2017江苏省高等数学竞赛本1-4参考答案
江苏省年专转本高等数学试卷及解答教学内容
x x
▲
． a 1
lim( x 1)x lim(1 1 )x e1 ， a exdx ex a ea ，所以 a 1．
x x
x
x
8．设函数 y f (x) 的微分为 dy e2xdx ，则 f (x)
▲
． f (x) 2e2x
f (x) e2x ， f (x) 2e2x ．
18．
求通过点 (1, 1 , 1) 且与直线
x 1 1
y
1 2
z 1 1
及直线
4 x
x 3y 2z yz5
1 0
0
都垂直的直线方程．
解
依题意直线
x 1 1
y
1 2
z 1 1
的方向向量
s1
(1,
2,
1)
，直线
4x 3y 2z
x
y
z
5
1 0
0
的方向向量
i jk
i jk
s2
4
3
2
(5, 2, 7)
解 设 u y2 ， v xy ，则 z yf (u ，v) ，于是有
z x
y
f x
y
f v
v x
y2
f2 ，
2z xy
2 yf2
y2
f2 y
2 yf2
y2 ( f2 u
u y
f2 v
v ) y
ux f
vy
2 yf2 y2 (2 yf21 xf22 ) 2 yf2 2 y3 f21 xy2 f22 ．
9．设
y
y(x)
是由参数方程
x y
t3 3t 1 sin
1 t
确定的函数，则
江苏省高中数学竞赛预赛试题
江苏省⾼中数学竞赛预赛试题江苏省⾼中数学竞赛预赛试题本试卷分第⼀卷（选择题）和第⼆卷（⾮选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共36分）⼀．选择题：本⼤题共6⼩题，每⼩题6分，共36分。
在每⼩题给出的4个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1．函数y=f (x ) 的图像按a →=(?4，2)平移后，得到的图像的解析式为y=sin(x +4)+2，那么y=f (x ) 的解析式为( )A ． y=sin xB ． y=cos xC ．y=sin x +2D ．y=cos x +4解: y=sin[(x +π4)+π4], 即 y=cos x .故选B ．2．如果⼆次⽅程x 2－px －q=0 (p ，q ∈N*)的正根⼩于3，那么这样的⼆次⽅程有 ( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个解：由?=p 2+4q >0，－q <0，知⽅程的根⼀正⼀负．设f (x )= x 2－px －q ，则f (3)= 32－3p －q ＞0，即3p +q ＜9.由p ，q ∈N*，所以p=1，q ≤5或p=2，q ≤2. 于是共有7组(p ，q )符合题意．故选C ． 3．设a >b >0，那么a 2+1b (a －b )的最⼩值是（）A ． 2B ． 3C ．4D ． 5解：由a >b >0，可知 02≥4．故选C ．4．设四棱锥P －ABCD 的底⾯不是平⾏四边形，⽤平⾯α去截此四棱锥，使得截⾯四边形是平⾏四边形，则这样的平⾯α( )A ．不存在B ．只有1个C ．恰有4个D ．有⽆数多个解：设四棱锥的两组不相邻的侧⾯的交线为m ，n ，直线m 、n 确定了平⾯β，作与β平⾏的平⾯α与四棱锥侧棱相截，则截得的四边形是平⾏四边形．这样的平⾯α有⽆数多个．故选D ．5．设数列{a n }：a 0=2, a 1=16，a n +2=16 a n +1－63 a n (n ∈N )，则a 2005被64除的余数为( )A ． 0B ．2C ．16D ．48解：数列{ a n }模64周期地为2，16，2，－16，⼜2005被4除余1，故选C ． 6．⼀条⾛廊宽2m 、长8m ，⽤6种颜⾊的1?1m 2的整块地砖来铺设(每块地砖都是单⾊的，每种颜⾊的地砖都⾜够多)，要求相邻的两块地砖颜⾊不同，那么所有的不同拼⾊⽅案种数有( )A ．308B ．30?257C ．30?207D ．30?217 解：铺第⼀列(两块地砖)有30种⽅法；其次铺第⼆列，设第⼀列的两格铺了A 、B 两⾊(如图)，那么，第⼆列的上格不能铺A ⾊，若铺B⾊，则有(6－1)种铺法；若不铺B ⾊，则有(6－2)2种⽅法，于是第⼆列上共有AB21种铺法．同理，若前⼀列铺好，则其后⼀列都有21种铺法. 因此，共有30?217种铺法．故选D ．⼆．填空题：本⼤题共6⼩题，每⼩题6分，共36分.7．设向量→OA 绕点O 逆时针旋转2π得→OB ，且2→OA +→OB =（7，9），则向量→OB= ．解：设→OA =（m ，n ），则→OB =（－n ，m ），所以 2→OA +→OB =（2m －n ，2n +m ）=（7，9），即 ?2m －n=7，m +2n=9．得 ?m=235，n=115．因此，→OA =(235，115），→OB =（－115，235)．故填（－115，235)．8．设⽆穷数列{a n }的各项都是正数，S n 是它的前n 项之和，对于任意正整数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等⽐中项，则该数列的通项公式为．解：由题意知a n +22=2S n ，即S n =(a n +2)28．①由①式，a 1+22=2a 1，得a 1=2．⼜由①式得 S n －1=(a n －1+2)28(n ≥2) ②则有 a n =S n －S n －1=(a n +2)28－(a n －1+2)28 (n ≥2)，整理得 (a n +a n －1)(a n －a n －1－4)=0．⼜因为a n >0，a n －1>0，所以a n－a n－1=4(n≥2)，a1=2.因此, 数列{a n}是以2为⾸项，4为公差的等差数列，其通项公式为a n=2+4(n －1)，故填a n=4n－2 (n∈N*)．9．函数y=|cos x|+|cos2x| (x∈R) 的最⼩值是．解：令t=|cos x|∈[0，1]，则y=t+|2t2－1|．22≤t≤1时，y=2t2+t－1=2(t+ 14)2－98，得22≤y≤2．当0≤t<22时，y=－2t2+t+1=－2(t－14)2+98，得22≤y≤98．⼜y可取到22．故填2210．在长⽅体中ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=1，点E、F、G分别是棱AA1、C1D1与BC的中点，那么四⾯体B1－EFG的体积是．解：在D1A1的延长线上取⼀点H，使AH=14，易证，HE∥B1G，HE∥平⾯B1FG．故V B1－EFG=V E－B1FG=V H－B1FG=V G－B1FH．⽽S?B1EF =98，G到平⾯B1FH的距离为1．故填V B1－EFG=38．11．由三个数字1，2，3组成的5位数中，1，2，3都⾄少出现1次，这样的5位数共有个．解：在5位数中，若1只出现1次，有C51(C41+C42+C43)=70个；若1只出现2次，有C52(C31+C32)=60个；若1只出现3次，有C53C21=20个．所以这样的五位数共有150个．故填150．12．已知平⾯上两个点集：M={(x，y)| |x+y+1|≥2(x2+y2)，x，y∈R}，N={(x，y)| |x－a|+|y－1|≤1，x，y∈R}，若M∩N≠?，则a的取值范围为．解：由题意知M是以原点为焦点，直线x+y+1=0为准线的抛物线及其凹⼝内侧的点集，N是以(a，1)为中⼼的正⽅形及其内部的点集(如图)．考察M∩N=?时a的取值范围：令y=1, 代⼊⽅程|x+y+1|=2(x2+y2) 得x2－4x－2=0，解得x=2±6．所以，当a<2－6－1=1－6时M∩N=?．令y=2，代⼊⽅程|x+y+1|=2(x2+y2)得x2－6x－1=0，解得x=3±10．所以，当a>3+10时，M∩M=?．于是，当1－6≤a≤3+10，即a∈[1－6，3+10]时，M∩N≠?．故填[1－6，3+10]．三、解答题：13．已知点M是?ABC的中线AD上的⼀点，直线BM交边AC于点N，且AB 是?NBC的外接圆的切线，设BCBN=λ，试求BMMN（⽤λ表⽰）．(15分)证明：在?BCN中，由Menelaus定理得BM MN ·NAAC·CDDB=1．因为BD=DC，所以BM MN =ACAN．………………………6分由∠ABN=∠ACB，知?ABN ∽?ACB，则ABCDNMAB AN =AC AB =CB BN．所以，AB AN ·AC AB =? ????CB BN 2，即AC AN =BC 2BN2．…………………………………………………12分因此，BM MN =BC 2BN2．⼜BC BN=λ，故BM MN=λ2．………………………………………………………………15分14．求所有使得下列命题成⽴的正整数n (n ≥2)：对于任意实数x 1，x 2，…，x n ，当i=1∑n x i =0时，总有i=1∑nx i x i +1≤0 (其中x n +1=x 1)．(15分)解：当n=2时，由x 1+x 2=0，得x 1x 2+x 2x 1=－2x 12≤0．故n =2时命题成⽴；……3分当n=3时，由x 1+x 2+x 3=0，得x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1=(x 1+x 2+x 3)2－(x 21 +x 22+x 23)2=－(x 21+x 22+x 23)2≤0．故n=3时命题成⽴．……………………………………………………………………………………6分当n=4时，由x 1+x 2+x 3+x 4=0，得x 1x 2+x 2x 3+x 3x 4+x 4x 1=(x 1+x 3)(x 2+x 4)=－(x 2+x 4)2≤0．故n=4时，命题成⽴．………………………………………………………………9分当n ≥5时，令x 1=x 2=1，x 4=－2，x 3=x 5=…=x n =0，则i=1∑n x i =0，但i=1∑nx i x i +1=1>0，故n ≥5时命题不成⽴．综上可知，使命题成⽴的n=2，3，4．……………………………………………15分15．设椭圆的⽅程x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，线段PQ 是过左焦点F 且不与x 轴垂直的焦点弦，若在左准线上存在点R ，使△PQR 为正三⾓形，求离⼼率e 的取值范围，并⽤e 表⽰直线PQ 的斜率．(24分)解：如图，设线段PQ 中点M ，过点P 、M 、Q 分别作准线的垂线，垂⾜分别为点P ?，M ?，Q ?，则|MM ?|=12(|PP ?|+|QQ ?|)=12(|PF |e+|QF |e )=|PQ |2e．…………………………6分假设存在点R ，则|RM |=32|PQ |，且|MM ?|＜|RM | ，即|PQ |2e ＜32|PQ |，所以， e ＞33．………………………………12分于是，cos ∠RMM ?=|MM ?||RM |=12e ?13e，cot ∠RMM ?=13e 2－1．在图中，|PF| < |QF|，且有k PQ= tan∠QFx= tan∠FMM?=cot∠RMM?=13e2－1．………………………………………………18分当e>33时，过点F作斜率为13e2－1的焦点弦PQ，它的中垂线交左准线于R，由上述过程知，|RM|=32|PQ|．故?PQR为正三⾓形．……………………………………………21分根据对称性，当|FP| > |FQ|时，有k PQ=－13e2－1．所以，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离⼼率e的范围是(33，1)，且直线PQ的斜率为±13e2－1．…………………………………………………………………………………………24分16．⑴若n (n∈N*) 个棱长为正整数的正⽅体的体积之和等于2005，求n 的最⼩值，并说明理由；( 12分)⑵若n (n∈N*) 个棱长为正整数的正⽅体的体积之和等于，求n的最⼩值，并说明理由．( 24分)解：⑴因为 2005=1728+125+125+27=123+53+53+33，故n=4存在，n min≤4．………6分103=1000，113=1331，123=1728，133=2169，123<2005<133，则n≠1．若n=2，因103+103<2005，则最⼤⽴⽅体的棱长只能为11或12，2005－113=674，2005－123=277，674与277均不是完全⽴⽅数，故n=2不可能；若n=3，设此三个⽴⽅体中最⼤⼀个的棱长为x，由3x3≥2005＞3×83，知最⼤⽴⽅体的棱长只能为9、10、11或12，⽽2005<3?93， 2005－93－93=547，2005－93－83－83>0，故x≠9．2005－103－103=5，2005－103－93=276，2005－103－83=493，2005－103－73－73>0．故x≠10；2005－113－93<0，2005－113－83=162，2005－113－73=331，2005－113－63－63>0，故x≠11；2005－123－73<0，2005－123－63=61，2005－123－53－53>0，故x≠12．所以n=3不可能．综上所述，n min=4．…………………………………………………………………………12分⑵设n个⽴⽅体的棱长分别是x1，x2，…，x n，则x31+x32+…+x3n=．①由2002≡4(mod 9)，43≡1(mod 9)，得≡42005≡4668?3+1≡(43)668?4≡4(mod 9)．②⼜当x∈N*时，x3≡0，±1(mod 9)，所以x31≡⁄4(mod 9)，x31+x32≡⁄4(mod 9)，x31+x32+x33≡⁄4(mod 9)．③①式模9，并由②、③式可知n≥4．…………………………………………………18分⽽2002=103+103+13+13，则=?(103+103+13+13)=(2002668)3?(103+103+13+13)=(2002668?10)3+(2002668?10)3+(2002668)3+(2002668)3．故n=4为所求的最⼩值．………………………………………………………………24分。
江苏省历届高等数学竞赛试卷(1991-2010)
江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分）1.函数sin sin y x x=（其中2x π≤）的反函数为________________________。
2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与nx 为同阶无穷小，则n =____________。
3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。
4.设(1)()n m nn d x p x dx -=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。
5.222[cos()]sin x x xdx ππ-+=⎰_______________________________。
6. 若函数)(t x x =由⎰=--xt dt e t 12所确定的隐函数，则==022t dt xd 。
7.已知微分方程()y y y x x ϕ'=+有特解ln x y x =，则()x ϕ=________________________。
8.直线21x zy =⎧⎨=⎩绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。
9.已知a 为单位向量，b a 3+垂直于b a 57-，b a 4-垂直于b a 27-，则向量b a、的夹角为____________。
10.=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→nn n n n n 122222212111lim 。
二、（7分） 设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求nn a ∞→lim 。
三、（7分）求c 的值，使⎰=++bac x c x 0)cos()(，其中a b >。
四、（12分）求由曲面222222,,x y cz x y a xy b +=-=±=±和0z =所围区域的体积（其中,,a b c 为正实数）。
2017年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案
36t2(t2＋12) 1 ， 不妨设 k＞0， 令 t＝k＋ ，则 t≥2，可化得 PQ2＝ k (3t2＋4)2 6t t2＋12 ． 即 PQ＝ 3t2＋4 设 B(x0，y0)，则切点弦 PQ 的方程是 x0x＋3y0y＝3． k2－1 1 x－ 上，所以 y0＝－2． 又 P，Q 在 l：y＝ 2 4k 3(k2－1) ． 从而 x0＝ 2k k2－1 2 3( ) ＋12 k 3t2 所以 B 到 PQ 的距离 d＝ ＝ ． 2 k －1 2 2 t2＋12 2 ( ) ＋16 k 6t t2＋12 1 9t3 1 3t2 因此△BPQ 的面积 S＝ ×d×PQ＝ × × ＝ ． 2 2 2 t2＋12 2(3t2＋4) 3t2＋4 ……………………………… 16 分 1 1 9 令 u＝ ，则 0＜u≤ ，化得 S＝ ． t 2 2(4u3＋3u) 1 当 0＜u≤ 时，4u3＋3u 递增． 2 9 1 所以 0＜4u3＋3u≤2，即 S≥ ，当且仅当 u＝ ，即 t＝2，k＝1 时，等号成立． 4 2 9 ． 故△BPQ 的面积 S 的取值范围是 [ ，＋∞） 4 四、解答题（本题满分 20 分） 1 1 设函数 fn(x)＝1＋x＋ x2＋…＋ xn． 2! n! （1）求证：当 x∈(0，＋∞) ，n∈N* 时，ex ＞ fn(x)； （2）设 x＞0，n∈N*．若存在 y∈R 使得 ex ＝ fn(x)＋ 解： （1）用数学归纳法证明如下： (i) 当 n＝1 时，令 f(x)＝ex－f1(x)＝ex－x－1，则 f ′(x)＝ex－1＞0，x∈(0，＋∞)恒成立， 所以 f(x)在区间(0，＋∞)为增函数． 又因为 f(0)＝0，所以 f(x)＞0，即 ex＞f1(x)． ……………………………… 5 分 1 xn+1ey，求证：0＜y＜x． (n+1)! ………………………… 20 分
2017年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案
1 1 ＋ 的最小值． (x＋y)2 (x－y)2 ………………………… 4 分
1 1 1 1 1 )((x＋y)2＋(x－y)2) 2 ＋ 2 ＝ ( 2 ＋ 4 (x＋y) (x－y) (x＋y) (x－y)2
E E E E E
1 ≥ (1＋1)2 4
A A E
6k 6 ，y ＝1－ 2 ． k2＋3 Q k ＋3
y－yP x－xP (1＋3k2)(y＋1)－2 (1＋3k2)x＋6k 所以 直线 l： ＝ ，即 l： ＝ ． yQ－yP xQ－xP (1＋3k2)(yQ＋1)－2 (1＋3k2)xQ＋6k k2－1 1 化简得 l：y＝ x－ ． 2 4k 1 1 直线 l 纵截距是常数－ ，故直线 l 过定点(0，－ )． 2 2 ……………………… 8 分
(ii) 假设 n＝k 时，命题成立，即当 x∈(0，＋∞)时，ex＞fk(x)， 1 1 1 k+1 x )， 则 n＝k+1 时，令 g(x)＝ex－fk+1(x)＝ex－(1＋x＋ x2＋…＋ xk＋ 2! k! (k+1)! 1 1 所以 g(x)在区间(0， ＋∞)为增函数． 则 g′(x)＝ex－(1＋x＋ x2＋…＋ xk)＝ex－fk(x)＞0， 2! k! 又因为 g(0)＝0，所以 g(x)＞0，x∈(0，＋∞)恒成立，即 ex＞fk+1(x)，x∈(0，＋∞)． 所以 n＝k＋1 时，命题成立． 由(i)(ii)及归纳假设可知，∀n∈N*，当 x∈(0，＋∞)时，ex ＞ fn(x)． ……………………………… 10 分 1 n+1 y 1 n+1 x e ＞ fn(x)＋ x ， （2）由（1）可知 ex ＞fn＋1(x)，即 fn(x)＋ (n+1)! (n+1)! 所以 ey＞1，即 y＞0．下证：y＜x． 1 1 1 － 下面先用数学归纳法证明：当 x＞0，ex＜1＋x＋ x2＋…＋ xn 1＋ xnex，n∈N*． 2! n! (n－1)! (i) 当 n＝1 时，令 F(x)＝1+xex－ex，则 F′(x)＝xex＞0，x∈(0，＋∞)， 所以 F(x)在区间(0，＋∞)单调增． 又 F(0)＝0，故 F(x)＞0，即 ex＜1+xex． (ii) 假设 n＝k 时，命题成立， 1 1 1 － 即当 x∈(0，＋∞)时，ex＜1＋x＋ x2＋…＋ xk 1＋ xkex． 2! k ! (k－1)! 1 1 1 k+1 x x 则当 n＝k＋1 时，令 G(x)＝1＋x＋ x2＋…＋ xk＋ x e －e ， 2! k! (k+1)! 1 1 k+1 x x 1 k+1 x 1 x e －e ＞ x e ＞0， G′(x)＝1＋x＋ x2＋…＋ xkex＋ k! (k+1)! (k+1)! 2! 所以 G(x)在区间(0，＋∞)上为增函数，又 G(0)＝0，故 G(x)＞0，即 1 1 1 k+1 x ex＜1＋x＋ x2＋…＋ xk＋ x e ，x∈(0，＋∞)． 2! k! (k+1)! 由(i)(ii)及归纳假设， 1 1 1 n+1 x 可知当 x∈(0，＋∞)时，ex＜1＋x＋ x2＋…＋ xn＋ x e ，对 n∈N*成立． 2! n! (n+1)! 1 1 1 n+1 y 1 1 1 n+1 x x e ＜1＋x＋ x2＋…＋ xn＋ x e， 所以 ex＝1＋x＋ x2＋…＋ xn＋ 2! n! (n+1)! 2! n! (n+1)! 从而 ey＜ex，即 y＜x．证毕． ……………………………… 20 分
2016江苏省高等数学竞赛题本科一级
2016江苏省高等数学竞赛题（本科一级）1. 设234()(1)(2)(3)(4),.(2).f x x x x x f ''=----试求2. 求极限0tan(tan )tan(tan(tan ))limtan tan(tan )tan(tan(tan ))x x x x x x →-⋅⋅3.设Γ为曲线21x y =+上从点(0,2)A 到(1,3)B 的一段弧，试求曲线积分2(1).xy xy e xy dx e x dy Γ++⎰4.已知点(3,2,1)P 与平面:2231x y z ∏-+=，在直线2124x y z x y z ++=⎧⎨-+=⎩上求一点Q ，使得线段PQ 平行于平面∏，试写出点Q 的坐标.二．判断下一命题是否成立？若判断成立，给出证明；若判断不成立，举一反例，作出说明.命题：若函数()f x 在0x =处连续，0(2)()lim ()x f x f x a a R x→-=∈，则()f x 在0x =处可导，且 (0)f a '=.三．设函数()f x 在区间[0,1]上二阶可导，(0)0,(1)1f f ==.求证：(0,1),()(1)()1f f ξξξξξξ'''∃∈++=+使得.四．求定积分220sin 1cos x x dx xπ+⎰.五．设函数(,)f x y 在点(2,2)-处可微，满足： 2222(sin()2cos ,2cos )1()f xy x xy y x y o x y +-=++++试求曲面(,)z f x y =点(2,2)-处的切平面方程.六．求二重积分：22,{(,)01,01}Dx y xdxdy D x y y x x +-=≤≤-≤≤⎰⎰其中.七．设∑为球面2222,x y z z ++=试求曲面积分444333222()x y z x y z x y z x y z dS ∑++---+++---⎰⎰.八．已知级数2(1)ln n n n n λ∞=-∑，其中实数[0,1]λ∈，试对λ讨论该级数的绝对收敛，条件收敛与发散性.。
江苏省第十一届高等数学竞赛题(本一)试卷评分标准
2012年江苏省普通高等学校第十一届高等数学竞赛试题（本科一级）评分标准一、填空题（每小题4分，共32分，把答案写在题中横线上）1、x→2、()()2ln 1,ny x y =−=则 3、820sin d x x π=∫ 4、1∫5、函数 ()()(),,,x x f x y ϕψ皆可微，设()()(),,z f x y x y ϕψ=+则z z x y∂∂−∂∂ =6、()2222,d d d x y z z x y z x y z ΩΩ++≤++=∫∫∫设：则 7、到直线 (213−点，，)13122x y z−+==−的距离为 8、级数()()211k nnn n n ∞=−+−∑为条件收敛，则常数 k二、（每小题6分，共12分）（1）求 ()11231lim n n nn→∞+−+−+−⋅""（2）设在处三阶可导，且)(x f 0=x (0)0,(0)3f f ′′′==，求 30(e 1)()lim .x x f f x x→−−三、（每小题6分，共12分）在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，并证明满足条件；若不存在，请给出证明.（1）函数()f x 在处可导，但在0x =0x =的某去心邻域内处处不可导.（2）函数()f x 在(),δδ−上一阶可导()0δ>，()0f 为极值，且()()0,0f 为曲线的拐点.()y f x =四、（10分）设函数(,)f x y 在平面区域D 上可微，线段位于PQ D 内，点 的坐标分别为,P Q (),P a b ，,求证：在线段上存在点(,Q x y )PQ (),M ,ξη使得()()()()()(),,,,x y .f x y f a b f x a f y b ξηξη′′=+−+−五、（12分）计算曲线积分222222222()d ()d ()d x y z x y z x y z x y Γ+−++−++−∫v z , 其中 2226x y z y Γ++=为与 224x y y +=(0)z ≥ 的交线，从轴正向看去为逆时针方向..z六、（12分）点()()1,2,1,5,2,3A B −−在平面:223x y z Π−−=的两侧，过点,A B 作球面使其在平面ΣΠ上截得的圆Γ最小，（1）求球面的球心坐标与该球面的方程； Σ（2）证明: 直线与平面的交点是圆AB ΠΓ的圆心.七、（10分）求级数()()21112nnnn nn∞=++−∑ 的和.。
2017江苏省高等数学竞赛试题(本科四级)
(1) 求单调区间与极值;
4. (8 分) 已知 xn = ln2 (1 + n) + 2 ln(1 + n) − 2n, 试判别数列 {xn } 的单调性.
∫
5. (10 分) 设 n 为正整数,In =
0
π 2
sin 2nx dx, sin x (2) 试求定积分 I3 =
(1) 求 In − In−1 (n ≥ 2);
x →2
一
二
三
分
次积分的值. 2. (10 分) 判断下列命题是否成立? 若判断成立, 给出证明; 若判断不成立, 举一反例, 证明命题不成立. 命题 1. 若函数 f (x), g(x) 在 x = a 处皆不连续 (a ∈ R), 则 f (x) + g(x) 在 x = a 处不连续; 命题 2. 若函数 f (x), g(x) 在 x = a 处皆连续 (a ∈ R), 但不可导, 则 f (x) + g(x) 在 x = a 处不可导. 3. (13 分) 已知曲线 y = x2 , 2(1 − x) (2) 求凹凸区间; (3) 求渐近线; (4) 画出此曲线的简图.
2017 年江苏省普通高等学校第十四届
高等数学竞赛试题 (本科四级)
题号 得分 1. 解答下列各题 (每小题 5 分, 共 25 分). (1) (5 分 ×2) 求极限: ( 1 2 n ) + 2 +···+ 2 ; lim 2 n→∞ n + 1 n +2 n +n ( 1 2 n ) lim 2 ; + 2 + · · · + n→∞ n + 1 n + 22 n2 + n2 f (x) − x = 4, 试证 f (x) 在 x = 2 处可导, 并求 f ′ (2). x−2 ∫ 4 [x] (3) (5 分) 设 [x] 表示实数 x 的整数部分, 试求定积分 dx. 2 1 x √ ∫ 1 ∫ 1+√1−y2 2x − x2 , 1 ≤ x ≤ 2 交换二次积分 dy f (x)dx 的次序, 并求此二 (4) (5 分) 设 f (x) = 0 y x ,0 ≤ x ≤ 1 (2) (5 分) 已知函数 f (x) 在 x = 2 处连续, 且 lim
2017年江苏省高考数学试卷含答案解析
2017年省高考数学试卷一.填空题1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．6．（5分）如图，在圆柱O1O2有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．9．（5分）等比数列{an }的各项均为实数，其前n项为Sn，已知S3=，S6=，则a8=．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a ﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值围是．12．（5分）如图，在同一个平面，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值围是．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是．二.解答题15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．19．（16分）对于给定的正整数k，若数列{an }满足：an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…+an+k﹣1+an+k=2kan对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{an}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{an}是“P（3）数列”；（2）若数列{an }既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{an}是等差数列．20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值围．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【必做题】25．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．26．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．2017年省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（5分）（2017•）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为 1 ．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．2．（5分）（2017•）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，∴|z|==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）（2017•）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取18 件．【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为=，则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件，故答案为：18【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．4．（5分）（2017•）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是﹣2 ．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值x=，不满足x≥1，=2﹣=﹣2，所以y=2+log2故答案为：﹣2．【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于基础题．5．（5分）（2017•）若tan（α﹣）=．则tanα=．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα=，故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题6．（5分）（2017•）如图，在圆柱O1O2有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：R3，圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则==．故答案为：．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）（2017•）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，则D=[﹣2，3]，则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P==，故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．8．（5分）（2017•）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y=x，所以P（，），Q（，﹣），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．则四边形F1PF2Q的面积是：=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9．（5分）（2017•）等比数列{an }的各项均为实数，其前n项为Sn，已知S3=，S 6=，则a8= 32 ．【分析】设等比数列{an }的公比为q≠1，S3=，S6=，可得=，=，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q≠1，∵S3=，S6=，∴=，=，解得a1=，q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）（2017•）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是30 ．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）（2017•）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值围是[﹣1，]．【分析】求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R 上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数，原不等式即为2a2≤1﹣a，运用二次不等式的解法即可得到所求围．【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′（x）=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a≤，故答案为：[﹣1，]．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．12．（5分）（2017•）如图，在同一个平面，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n= 3 ．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得cosα=，sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n（m，n∈R），即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m，n∈R），∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）（2017•）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P 在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值围是[﹣5，1]．【分析】根据题意，设P（x0，y），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x+y+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P（x0，y），则有x2+y2=50，=（﹣12﹣x0，﹣y）•（﹣x，6﹣y）=（12+x）x﹣y（6﹣y）=12x+6y+x2+y2≤20，化为：12x0﹣6y+30≤0，即2x0﹣y+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立，解可得x0=﹣5或x=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x的取值围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y的关系式．14．（5分）（2017•）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8 ．【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f （x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，分析f（x）的图象与y=lgx 图象交点的个数，进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x）=，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，f（x）=，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点；故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8，故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．二.解答题15．（14分）（2017•）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD ⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF⊊平面ABC，AB⊆平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，因为BC⊥BD，所以FG∥BC，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（14分）（2017•）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣，问题得以解决，（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥，∴﹣cosx=3sinx，∴tanx=﹣，∵x∈[0，π]，∴x=，（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，当x=时，f（x）有最小值，最大值﹣2．【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题17．（14分）（2017•）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=±，则2×=8，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程；（2）设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，则即可求得l2及l 1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y2=x2﹣1，联立即可求得P点坐标；方法二：设P（m，n），当m≠1时，=，=，求得直线l1及l1的方程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得=±n2，联立椭圆方程，即可求得P点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=2c，①椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②由①②解得：a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P（x0，y），则直线PF2的斜率=，则直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣（x﹣1），直线PF1的斜率=，则直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣（x+1），联立，解得：，则Q（﹣x，），由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y=，∴y02=x2﹣1，则，解得：，则，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，当m=1时，不存在，解得：Q与F1重合，不满足题意，当m≠1时，=，=，由l1⊥PF1，l2⊥PF2，则=﹣，=﹣，直线l1的方程y=﹣（x+1），①直线l2的方程y=﹣（x﹣1），②联立解得：x=﹣m，则Q（﹣m，），由Q在椭圆方程，由对称性可得：=±n2，即m2﹣n2=1，或m2+n2=1，由P（m，n），在椭圆方程，，解得：，或，无解，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．18．（16分）（2017•）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．【分析】（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM=，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．【解答】解：（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，又∵AC⊂平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，∴NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，∴=，，得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台，∴EE1=GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G1，∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，∴E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，∴sin∠EE1G1=，sin∠EGM=sin∠EE1G1=，cos，根据正弦定理得：=，∴sin，cos，∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=，∴EN===20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．【点评】本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．19．（16分）（2017•）对于给定的正整数k，若数列{an }满足：an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…+an+k﹣1+an+k=2kan对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{an}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{an}是“P（3）数列”；（2）若数列{an }既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{an}是等差数列．【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1）═2×3an，根据“P（k）数列”的定义，可得数列{an}是“P（3）数列”；（2）由“P（k）数列”的定义，则an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an，变形整理即可求得2an =an﹣1+an+1，即可证明数列{an}是等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{an }首项为a1，公差为d，则an=a1+（n﹣1）d，则an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3，=（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1），=2an +2an+2an，=2×3an，∴等差数列{an}是“P（3）数列”；（2）证明：由数列{an }是“P（2）数列”则an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an，①数列{an }是“P（3）数列”an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an，②由①可知：an﹣3+an﹣2+an+an+1=4an﹣1，③a n﹣1+an+an+2+an+3=4an+1，④由②﹣（③+④）：﹣2an =6an﹣4an﹣1﹣4an+1，整理得：2an =an﹣1+an+1，∴数列{an}是等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．20．（16分）（2017•）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值围．【分析】（1）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣，从而f（﹣）=0，整理可知b=+（a＞0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．（2）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；（3）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因式分解即得结论．【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，令g′（x）=0，解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣，由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（﹣）=0，即﹣+﹣+1=0，所以b=+（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣+＞0，解得a＞3，所以b=+（a＞3）．（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，设x1，x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2=，x1x2=，所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2，又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值围是（3，6]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．（2017•）如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P 为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形角和定理即可证明．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，即可证明．【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，∴∠PAC=∠CAB．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，∴=．∴AC2 =AP•AB．【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2017•）已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；（2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C1的方程化简即可．【解答】解：（1）AB==，（2）设点P（x，y）为曲线C1的任意一点，点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0，y），则=，即x0=2y，y=x，∴x=y，y=，∴，即x02+y2=8，∴曲线C2的方程为x2+y2=8．【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2017•）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s 的函数，从而得出最短距离．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，∴P到直线l的距离d==，∴当s=时，d取得最小值=．【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题．［选修4-5：不等式选讲］24．（2017•）已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd 化简，利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），即可得出．【解答】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64，当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【必做题】25．（2017•）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【分析】在平面ABCD，过A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A1，C1的坐标，进一步求出，，，的坐标．（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值．【解答】解：在平面ABCD，过A作Ax⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax⊂平面ABCD，∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°，∴A（0，0，0），B（），C（，1，0），D（0，2，0），A 1（0，0，），C1（）．=（），=（），，．（1）∵cos＜＞==．∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；（2）设平面BA1D的一个法向量为，由，得，取x=，得；取平面A1AD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角，是中档题．26．（2017•）已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．【分析】（1）设事件Ai 表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（），由此能求出编号为2的抽屉放的是黑球的概率．（2）X的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，从而E（X）=（）=，由此能证明E（X）＜．【解答】解：（1）设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）. . -===．证明：（2）∵X的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，∴E（X）=（）==＜==•（）==，∴E（X）＜．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．. -可修- .。
江苏省高等数学竞赛试题
2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2ln(1x y x +=+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21xx e dx x-=⎰ 5.4211dx x+∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==8.级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()bbaab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111ABCD A BC D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。
（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
五（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥六、（12分）求()()21xx y e dx x y dy Γ++++⎰，其中Γ为曲线22201212x x x y x x ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩从()0,0O 到()1,1A -.七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-()2,3,,n = 记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dydx= 4.2cos y x =，()()n y x = 5.21xx e dx x-=⎰6.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=确定(),z z x y =，则z z x y∂∂+=∂∂8.设22:2,0D x y x y +≤≥，则D=二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0()0f x dx ξ=⎰.四.（12分）求广义积分4211dx x +∞-⎰五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
江苏省普通高等学校第十四届高等数学竞赛(本一)
江苏省普通高等学校第十四届高等数学竞赛（本一） 南京晓庄学院获奖名单
姓名 王杏龙 周 勇
单位 南京晓庄学院 南京晓庄学院
获奖等级 一等奖 一等奖
备注
江苏省普通高等学校第十四届高等数学竞赛（本三） 南京晓庄学院获奖名单
姓名 申 李 周 杨 中 婕 杰 丽
单位 南京晓庄学院 南京晓庄学院 南京晓庄学院 南京晓庄学院
获奖等级 二等奖 二等奖 二等奖 三等奖
备注
1/7
贺 韩
婕 清
南京晓庄学院 南京晓庄学院 南京晓庄学院 南京晓庄学院 南京晓庄学院 南京晓庄学院 南京晓庄学院 南京晓庄学院 南京晓庄学院 南京晓庄学院 南京晓庄学院
三等奖 三等奖 三等奖 三等奖 三等奖 三等奖 三等奖 三等奖 三等奖 三等奖 三等奖
钱文慧 黄 董 陈 张 叶 颖 源 磊 伟 彤
谢敏寰 陆晓蕾 吴笑怡
2/7
3/7
4/7
5/7
6/7
7/7
。
2017年江苏省高等数学竞赛一级
2017年江苏省高等数学竞赛一．解答下列各题（每小题5分，共25分）1.求极限：（10分）1）22232323212lim()12n n n n n n →∞++++++ 2）22233333312lim()12n n n n n n→∞++++++ 2.已知函数()y f x =在2x =处连续，2()32lim 22x f x x x →-+=-，试证()f x 在2x =处可导，并求(2)f '。
3.设[]x 表示实数x的整数部分，试求定积分611dx x ⋅⎰4.试求三重积分Ω⎰⎰⎰，其中222{(,,)|,2}x y z z x y z z Ω=++≤二．判断下一命题是否成立？若判断成立，给出证明；若判断不成立，举一反例，证明命题不成立。
命题：若函数()f x 在区间[],a b 上可导(,)a b R ∈，()0f a '>，则存在(,)c a b ∈，使得()f x 在区间[,)a c 上单调增加。
（10分）三．已知函数()f x 在区间[],a b 上连续，n N ∈，求证：1(()()1b b n a a b x f x dx f x dx b a n -≤-+⎰⎰（10分）四．求函数233(,)3(2)8f x y x y x y =-+-的极值，并证明(0,0)0f =不是(,)f x y 的极值（13分）五．设,02()0,02x x f x x orx ≤≤⎧=⎨<>⎩，试求二重积分2R ，其中2{(,)|||,||}R x y x y =<+∞<+∞（12分）六．设Γ为圆224x y +=，试将对弧长的曲线积分222(1)(1)x y y ds x y Γ+-+-⎰化为对坐标的曲线积分，并求该曲线积分的值。
（10分）七．已知直线1513:102x y z L -+-==与2811:.211x y z L ---==--1）证明1L 与2L 是异面直线；2）若直线L 与12L L 、皆垂直且相交，交点分别为P Q 、，试求点P 与Q 的坐标；3）求异面直线1L 与2L 的距离。
2017年江苏省高等数学竞赛试卷解析(专科)
（专）
(专科评分标准) 第 2 页
(专)
二. (10 分) 判断下列命题是否成立？若判断成立，给出证明；若判断不成立，举一反例,证明命题
不成立. 命题 1：若函数 f x, g x 在 x a 处皆连续 a R ，则 f x g x 在 x a 处连续;
命题 2：若函数 f x, g x 在 x a 处皆不连续 a R ，则 f x g x 在 x a 处不连续. (专)
2017 专科试题
一． 解下列各题 （每小题 5 分，共 25 分）
1.(5 分×2)
求极限: 1)
lim
n
n2
1
2 n n2
n
n
n2
n
;
2)
lim
n
n2
1
2 n n2 2
n
n n2 n
n .
(专科)
2.（5 分）
已知函数 f x 在 x 2 处连续,
f x 4
lim
5,
试证 f x 在 x 2 处可导,并求
x2 x 2
f 2.
（专）
3. （5 分） 设 nN, 试求极限
cos2n 1 x
lim
.
(专)
x /2 cos x
2
4. （5 分） 试求定积分 x dx. 1
I0
/2 cos x dx , （2 分）所以 0 cos x 2
I3
I2
I1
I0
2
（2
分）
六．（10 分）设曲线
y
2017年度江苏专转本专业考试高等数学精选题(含解析)
''江苏省 2017 年普通高校专转本选拔考试高数 试题卷一、单项选择题（本大题共 6 小题，没小题 4 分，共 24 分。
在下列每小题中选出一个正确答案，请在答题卡上将所选项的字母标号涂黑）1.设)(x f 为连续函数，则0)(0='x f 是)(x f 在点0x 处取得极值的( )A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件2.当0→x 时，下列无穷小中与x 等价的是( )A.x x sin tan -B.x x --+11C.11-+xD.x cos 1-3.0=x 为函数)(x f =000,1sin ,2,1>=<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-x x x x x e x的（ ）A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.连续点4.曲线xx x x y 48622++-=的渐近线共有（ ）A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条5.设函数)(x f 在 点0=x 处可导，则有（ ） A.)0(')()(limf x x f x f x =--→ B.)0(')3()2(lim 0f xx f x f x =-→C.)0(')0()(limf x f x f x =--→ D.)0(')()2(lim 0f xx f x f x =-→6.若级数∑∞-1-n n1pn ）（条件收敛，则常数P 的取值范围（ ）A. [)∞+，1B.()∞+，1C.(]1,0D.()1,0二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）7.设dx e xx a x xx ⎰∞-∞→=-)1(lim ，则常数a= .8.设函数)(x f y =的微分为dx e dy x2=，则='')(x f .9.设)(x f y =是由参数方程 {13sin 13++=+=t t x ty 确定的函数,则)1,1(dxdy = .10.设x x cos )(F =是函数)(x f 的一个原函数，则⎰dx x xf )(= .11.设 →a 与 →b 均为单位向量， →a 与→b 的夹角为3π，则→a +→b = .12.幂级数 的收敛半径为 .三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分）13.求极限xx dte xt x --⎰→tan )1(lim 02.14.设),(y x z z =是由方程0ln =-+xy z z 确定的二元函数，求22zx∂∂ .n n x ∑∞1-n 4n15.求不定积分 dx x x ⎰+32.16.计算定积分⎰210arcsin xdx x .17.设),(2xy y yf z =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求yx ∂∂∂z218.求通过点（1,1,1）且与直线112111-+=-=-+z y x 及直线{12z 3y 4x 05=+++=-+-z y x 都垂直的直线方程.19.求微分方程x y y y 332=+'-''是通解.20.计算二重积分dxdy y x⎰⎰D 2，其中 D 是由曲线 1-=y x 与两直线1,3==+y y x 围成的平面闭区域.四．证明题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分）21.证明：当π≤<x 0时，2cos 2sin <+x x x .22.设函数)(x f 在闭区间[]a a ,-上连续，且)(x f 为奇函数，证明： （1）⎰⎰--=0)()(aadx x f dx x f（2）⎰-=aadx x f 0)(五、综合题（本大题共 2 题，每小题 10 分，共 20 分）23.设平面图形 D 由曲线 xe y = 与其过原点的切线及 y 轴所围成，试求；（1）平面图形D 的面积；（2）平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积.24.已知曲线)(x f y =通过点（-1,5），且)(x f 满足方程3512)(8)(3x x f x f x =-'，试求：（1）函数)(x f 的表达式；（2）曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点.江苏省 2017 年普通高校专转本选拔考试高数 试题卷答案一、单项选择题 1-6 DBACD 解析： 二、填空题 7.-1 8.xe 22 9.31 10.c x x x +-sin cos 11.3 12.4三、计算题 13.114.32)1(z zy15.C x x x ++++-+39)3(25)3(·23516.4833π- 17.222212222f xy f y f y ''+''+' 18.213141-=-=-z y x 19.32)2sin 2cos (21+++=x x c x c e y x20.211ln 102-四、证明题21.证：令2cos 1sin )(-+=x x x x f 则x x x x x f sin 2cos sin )(-+=' x x x x x x f cos 2sin cos cos )(--+='' x x sin -= 因为 π≤<x 0 所以 0)(<''x f因为 ↓')(x f 所以 0)0()(='<'f x f 所以 ↓)(x f因为 0)0()(=<f x f 所以得出22.证（1）⎰⎰--=--0)()()(aadt t f t d t f⎰-=adt t f 0)( ⎰-=adx x f 0)(（2）dx x f dx x f dx x f a aaa ⎰⎰⎰+=--0)()()(⎰⎰+-=adx x f dx x f 0a)()( = 0 五、综合题23.（1）⎰⎰⎰-=-=1210102)(S x e e dx ex e x x（2）ππ21612-e 24.（1）35384)(x x x f -=拐点：（0,0）（1,3） 凹 ：（-∞，0）,（1，+∞） 凸 ：（0,1）t x -=。
2017年成人高等考试《数学一》(专升本)真题及答案
2017年成人高等考试《数学一》（专升本）真题及答案[单选题]1.当x→0时，下列变量是无穷小量的为()A.B.2xC.sinxD.ln(x+e)参考答案：C参考解析：【考情点拨】本题考查了无穷小量的知识点.[单选题]2.()A.eB.e-1C.e2D.e-2参考答案：C参考解析：[单选题]3.()A.0B.C.1D.2参考答案：B参考解析：【考情点拨】本题考查了函数在一点处连续的知识点.[单选题]4.设函数ƒ(x)=xlnx，则ƒ´(e)=()A.-1B.0C.1D.2参考答案：D参考解析：【考情点拨】本题考查了导数的基本公式的知识点. [单选题]5.函数ƒ(x)=x3-3x的极小值为()A.-2B.0C.2D.4参考答案：A参考解析：【考情点拨】本题考查了极小值的知识点.[单选题]6.方程x2+2y2+3z2=1表示的二次曲面是()A.圆锥面B.旋转抛物面C.球面D.椭球面参考答案：D参考解析：【考情点拨】本题考查了二次曲面的知识点.[单选题]7.A.-2B.-1C.0D.1参考答案：C参考解析：【考情点拨】本题考查了定积分的知识点.[单选题]8.设函数ƒ(x)在[a，b]上连续且ƒ(x)>0，则() A.B.C.D.参考答案：A参考解析：【考情点拨】本题考查了定积分性质的知识点.[单选题]9.()A.(3，-1，2)B.(1，-2，3)C.(1，1，-1)D.(1，-1，-1)参考答案：A参考解析：【考情点拨】本题考查了直线方程的方向向量的知识点.[单选题]10.()A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.收敛性与a的取值有关参考答案：B参考解析：【考情点拨】本题考查了级数的收敛性的知识点.[问答题]1.参考解析：[问答题]2.参考解析：[问答题]3.参考解析：[问答题]4.参考解析：[问答题]5.参考解析：[问答题]6.参考解析：[问答题]7.参考解析：即y2=2/3x3+C[问答题]8.用铁皮做一个容积为V的圆柱形有盖桶，证明当圆柱的高等于底面直径时，所使用的铁皮面积最小.参考解析：于是由实际问题得，S存在最小值，即当圆柱的高等于底面直径时，所使用的铁皮面积最小.[填空题]1.参考解析：【答案】1[填空题]2.参考解析：【答案】【考情点拨】本题考查了水平渐近线方程的知识点.[填空题]3.参考解析：【答案】1【考情点拨】本题考查了一阶导数的知识点.[填空题]4.参考解析：【答案】【考情点拨】本题考查了一阶导数的性质的知识点.[填空题]5.参考解析：【答案】2【考情点拨】本题考查了函数的定积分的知识点.[填空题]6.参考解析：【答案】【考情点拨】本题考查了反常积分的知识点.[填空题]7.已知曲线y=x2+x-2的切线ι斜率为3，则ι的方程为_________. 参考解析：【答案】3x-y-3=0【考情点拨】本题考查了切线的知识点.[填空题]8.参考解析：【答案】【考情点拨】本题考查了二元函数偏导数的知识点.[填空题]9.参考解析：【答案】f(x)【考情点拨】本题考查了导数的原函数的知识点.[填空题]10.参考解析：【答案】3【考情点拨】本题考查了幂级数的收敛半径的知识点.。