高考数学第一轮总复习 027数列的应用同步练习

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2019-2020年高考数学一轮复习第二讲数列求和及数列的综合应用讲练理新人教A版

跟踪练习[xx·湖北卷]已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．
解：(1)设数列{an}的公差为d，
依题意知，2，2＋d，2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，
化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4，
当d＝0时，an＝2；
当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2，
从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.
(2)当an＝2时，Sn＝2n，显然2n<60n＋800，
此时不存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立．
当an＝4n－2时，Sn＝＝2n2.
二、错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法．
三、裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
常用的拆项方法
(1) ＝
(2) ＝ ( － )
(3) ＝
(4) ＝
四、倒序相加法和并项求和法
1．倒序相加法
且，即，解得：
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，
①当n为偶数时：
②当n为奇数时：
综上：
跟踪练习[xx·湖南卷]已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．
解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.

高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题7-5数列的综合应用-学生版

专题7.5数列的综合应用练基础1．（2021·浙江高三专题练习）已知正项等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b }，111a b ==，3b 是2a ，6a 的等差中项，8a 是3b ，5b 的等比中项，则下列关系成立的是（）A ．100100a b >B ．102411a b =C ．105a b >D ．999a b >2．（2021·江西赣州市·高三二模（理））朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有132根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（）A ．5B ．6C ．7D ．83.【多选题】（2020·湖南高三月考）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投人资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第n 月月底小王手中有现款为n a ，则下列论述正确的有（）(参考数据：11121.27.5,1.29==)A ．112000a =B ．1 1.21000n n a a +=-C ．2020年小王的年利润为40000元D ．两年后，小王手中现款达41万4．（2021·江西高三其他模拟（理））已知公差不为0的等差数列{}n a 的部分项1k a ，2k a ，3k a ，……构成等比数列{}n a ，且11k =，22k =，35k =，则n k =___________.5．（2021·西安市经开第一中学高三其他模拟（理））数列{}n a 满足：11a =，点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图像上，其中k 为常数，且0k ≠（1）若124,,a a a 成等比数列，求k 的值；（2）当3k =时，求数列{}n a 的前2n 项的和2n S .6.（2021·江苏高考真题）已知数列{}n a 满足12a =，且()*1321n n a a n n N +=+-∈.（1）求证：数列{}n a n +为等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）求数列{}n a 的前n 项和n S .7．（2021·全国高三其他模拟（理））已知在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，且375,49a S ＝＝.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2,n an n b a +＝数列{}n b 的前n 项和为,n T 且1000,n T ≥求n 的取值范围.8．（2021·太原市·山西大附中高三其他模拟）在数列{}{},n n a b 中，11111,331,331n n n n n n a b a a b n b b a n ++===---=-++.等差数列{}n c 的前两项依次为2a ，2b .（1）求数列{}n c 的通项公式；（2）求数列(){}+nnna b c 的前n 项和nS.9．（2021·重庆高三三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()21*n n a S n N -=∈．（1）求数列{}n a 的通项公式：（2）设()()11211n n n n a b a a +++=--，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：213n T ≤<．10．（2021·沂水县第一中学高三其他模拟）在数列{}n a 中，()111,01nn n a a a c ca +==>+，且125,,a a a 成等比数列．（1）证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足()2141n n n b n a a +=+，其前n 项和为n S ，证明：1n S n <+．练提升1．（2021·河南郑州市·高三三模（文））1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何．分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB 的长度为1，在线段AB 上取两个点C ，D ，使得13AC DB AB ==，以CD 为一边在线段AB 的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD ，得到图2中的图形；对图2中的线段EC 、ED 作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n 个图形（图1为第一个图形）中的所有线段长的和为n S ，对任意的正整数n ，都有n S a ＜，则a 的最小值为__________．2．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高三月考）已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，满足535S =，且1a ，4a ，13a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若241n n b a =-，数列{}nb 的前n 项和为n T ，实数λ使得13n nT S λ++≤对任意*n N ∈恒成立，求λ的取值范围.3．（2021·全国高三其他模拟）有下列三个条件：①数列{}2n a -是公比为12的等比数列，②n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，③21n n S a =-，在这三个条件中任选一个，补充在题中“___________”处，使问题完整，并加以解答.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，对任意的*n ∈N ，都有___________.已知数列{}n b 满足32nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，是否存在*k ∈N ，使得对任意的*n ∈N ，都有n kn ka ab b ≤？若存在，试求出k 的值；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.4.（2021·四川自贡市·高三三模（文））已知数列{a n }的前n 项和为S n ，21n n S a =-，数列{b n }是等差数列，且b 1＝a 1，b 6＝a 5．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若11n n n c b b +=，记数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：3T n ＜1．5．（2021·全国高三其他模拟）在①22n n S a =-；②32442a a a =+-；③321,2,S S S +成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：数列{a n }是各项均为正数的等比数列，前n 项和为S n ，a 1＝2，且___.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若n n b =*n N ∈），求数列{b n }的前n 项和T n .6．（2021·宁波市北仑中学高三其他模拟）已知数列{}n a 满足1122,1,1,n n n a n n a a a n n ++⎧==⎨---⎩为奇数为偶数，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，2,n n b a n N *=∈（1）求证：数列{}n b 为等比数列，并求其通项n b ；（2）求{}n nb 的前n 项和n T 及{}n a 的前n 项和为n S ．7．（2021·湖北高三其他模拟）在等比数列{a n }中，公比0q >，其前n 项和为S n ，且S 2=6，___________.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设log 2n n a b =，且数列{c n }满足c 1=1，c n +1﹣c n =b n +1b n ，求数列{c n }的通项公式.从①.S 4=30，②.S 6﹣S 4=96，③.a 3是S 3与2的等差中项，这三个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答.8．（2021·全国高三其他模拟）从①n b n =，②(6)n n b n =⋅﹣，③()212nn b n =+⋅中任选一个填入下面的空中，并解答．设等比数列{}n a 的公比3241,4,10q a a a >-=+=-，且____．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列132n n a b ⎧⎫-⋅⎨⎬⎩⎭的前n 项和．9．（2021·浙江高三其他模拟）已知数列{n b }满足13b =，27b =且n b =n n a c +，n ∈*N （n a 是等比数列，n c 是等差数列），记数列{n a }的前n 项和为n S ，{n c }的前n 项和为n T ，若公比数q 等于公差数d ，且2234a c =．（1）求数列{nb }的通项公式；（2）记n R 为数列{n b }的前n 项和，求22nR n -（n ≥2，且n ∈*N ）的最小值．10．（2021·浙江金华市·高三三模）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，()14,2(1)n n a n a n S n N *=⋅=+⋅∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 满足68n b n =-，其前n 项和为n T ，若(1)nn n S T λ≥-⋅⋅对任意n *∈N 恒成立，求实数λ的取值范围.练真题1.（2020·北京高考真题）在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （）．A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项2.（2020·浙江省高考真题）已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0，11a d≤．记b 1=S 2，b n+1=S 2n+2–S 2n ，n *∈N ，下列等式不可能．．．成立的是（）A．2a 4=a 2+a 6B．2b 4=b 2+b 6C．2428a a a =D．2428b b b =3.（2019年浙江卷）设,a b R ∈，数列{}n a 中，21,n n n a a a a b +==+，b N *∈,则（）A.当101,102b a => B.当101,104b a =>C.当102,10b a =-> D.当104,10b a =->4．（2020·江苏省高考真题）设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______．5.（2019年浙江卷）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,n C n *=∈N证明：12+.n C C C n *++<∈N 6.（2021·天津高考真题）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=．（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+∈，（i ）证明{}22n n c c -是等比数列；（ii）证明)*nk n N =<∈。

高考数学一轮复习《数列的综合运用》练习题(含答案)

高考数学一轮复习《数列的综合运用》练习题（含答案）一、单选题1．某银行设立了教育助学低息贷款，其中规定一年期以上贷款月均等额还本付息(利息按月以复利计算)．如果小新同学贷款10000元，一年还清，假设月利率为0.25%，那么小新同学每月应还的钱约为（）（1.002512≈1.03） A ．833B ．858C ．883D ．9022．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还（） A ．()()5111a γγ++-万元 B ．()()55111a γγγ++-万元C ．()()54111a γγγ++-万元 D ．()51a γγ+万元3．一种预防新冠病毒的疫苗计划投产两月后，使成本降64%，那么平均每月应降低成本（） A ．20%B ．32%C ．40%D ．50%4．今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额约是（）万元.（四舍五入，精确到整数）（参考数据：()21.05 1.1025=，()31.05 1.1576=，()41.05 1.2155=） A ．36B ．37C ．38D ．395．随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G 基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G 基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G 网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G 网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G 基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G 基站时要到（） A ．2022年12月B ．2023年2月C ．2023年4月D ．2023年6月6．我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为0.4%，设张华第n 个月的还款金额为n a 元，则n a =（）A ．2192B ．39128n -C ．39208n -D ．39288n -7．高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智.如南宋数学家杨辉在《详解九章算法.商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（）A ．464B ．465C ．466D ．4958．某单位用分期付款方式为职工购买40套住房，总房价1150万元.约定：2021年7月1日先付款150万元，以后每月1日都交付50万元，并加付此前欠款利息，月利率1%，当付清全部房款时，各次付款的总和为（） A ．1205万元B ．1255万元C ．1305万元D ．1360万元9．小李在2022年1月1日采用分期付款的方式贷款购买一台价值a 元的家电，在购买1个月后的2月1日第一次还款，且以后每月的1日等额还款一次，一年内还清全部贷款（2022年12月1日最后一次还款），月利率为r ．按复利计算，则小李每个月应还（） A ．()()1111111ar r r ++-元 B ．()()1212111ar r r ++-元C ．()11111a r +元D ．()12111a r +元10．在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于0R 1>，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数0R 3=，平均感染周期为7天（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，经过一个周期后这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：63729=，541024=）（） A ．35B ．42C ．49D ．5611．为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（）（取()111.27.5=，()121.29=） A ．32500元B ．40000元C ．42500元D ．50000元12．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高28万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高112万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1100万元.则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（） A ．2806万元B ．2906万元C ．3106万元D ．3206万元二、填空题13．小李向银行贷款14760元，并与银行约定：每年还一次款，分4次还清所有的欠款，且每年还款的钱数都相等，贷款的年利率为0.25，则小李每年所要还款的钱数是___________元.14．从2017年到2020年期间，某人每年6月1日都到银行存入1万元的一年定期储蓄．若年利率为20%保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期储蓄，到2020年6月1日，该人去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额为_______万元．15．银行一年定期储蓄存款年息为r ，三年定期储蓄存款年息为q ，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q 的值应略大于______．16．今年“五一”期间，北京十家重点公园举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来…，按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是____.三、解答题17．一杯100℃的开水放在室温25℃的房间里，1分钟后水温降到85℃，假设每分钟水温变化量和水温与室温之差成正比． (1)求()*n n N ∈分钟后的水温n t ；(2)当水温在40℃到55℃之间时（包括40℃和55℃），为最适合饮用的温度，则在水烧开后哪个时间段饮用最佳．（参考数据：lg 20.3≈）18．某优秀大学生毕业团队响应国家号召，毕业后自主创业，通过银行贷款等方式筹措资金，投资72万元生产并经营共享单车，第一年维护费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年收入租金50万元.(1)若扣除投资和维护费用，则从第几年开始获取纯利润？(2)若年平均获利最大时，该团队计划投资其它项目，问应在第几年转投其它项目？19．去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.记从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{}n a ，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{}n b . (1)求数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式；(2)为了确定处理生活垃圾的预算，请求出从今年起n 年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.（参考数据41.05 1.215≈，51.05 1.276≈，61.05 1.340≈）20．2020年是充满挑战的一年，但同时也是充满机遇､蓄势待发的一年．突如其来的疫情给世界带来了巨大的冲击与改变，也在客观上使得人们更加重视科技的力量和潜能．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．假设该企业第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金(2500)t t ≤万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元．（1）写出1n a +与n a 的关系式，并判断{}2n a t -是否为等比数列；（2）若企业每年年底上缴资金1500t =，第*()m m N ∈年年底企业的剩余资金超过21000万元，求m 的最小值．21．流行性感冒是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市的新感染者有30人，以后每天的新感染者比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从11月()*1929,k k k +≤≤∈N 日起每天的新感染者比前一天的新感染者减少20人. （1）若9k =，求11月1日至11月10日新感染者总人数；（2）若到11月30日止，该市在这30天内的新感染者总人数为11940人，问11月几日，该市新感染者人数最多？并求这一天的新感染者人数.22．教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户、存入规定数额资金、用于教育目的的专项储蓄，是一种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄，储蓄存款享受免征利息税的政策.若你的父母在你12岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在你生日当天存入1000元，连续存6年，在你十八岁生日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为10%.(1)在你十八岁生日当天时，一次性取出的金额总数为多少？（参考数据：71.1 1.95≈） (2)当你取出存款后，你就有了第一笔启动资金，你可以用你的这笔资金做理财投资.如果现在有三种投资理财的方案： ①方案一：每天回报40元；②方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； ③方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 你会选择哪种方案？请说明你的理由.23．已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A ．（Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；（Ⅱ）证明：11a =，且1211112nn na a a a a a a ---+++=+++；（Ⅲ）证明：当5n =时，成等比数列。

高考数学一轮复习《数列》练习题(含答案)

高考数学一轮复习《数列》练习题（含答案）一、单选题1．数列{}n a 满足：13a =，12n n a a +=-，则100a 等于（） A ．98B ．195-C ．201-D ．2012．在等比数列中，1912,,833n a a q ===，则项数n 为（）A ．3B ．4C ．5D ．63．已知等差数列{}n a 中，11a =，公差0d ≠，如果1a ，2a ，5a 成等比数列，那么d 等于（） A ．2或2-B ．2-C ．2D ．34．已知等比数列{}n a 的前n 和为n S ，22S =，412S =，则56a a +=（） A ．48B ．50C ．60D ．625．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，若36S =，618S =，则9S =（）． A ．30B ．36C ．40D ．486．自然数按照下表的规律排列，则上起第2013行，左起第2014列的数为（）A ．201320143⨯+B ．201320142⨯+C ．201320141⨯+D ．20132014⨯7．已知{}n a 为等差数列，且1713πa a a ++=，则()212tan a a +的值为（） A 3B ．3-C ．3±D ．38．已知数列{}n a 中，112n a n =-，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则n S 最大值时n 的值为（） A ．4B ．5C ．6D ．79．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且()()121n n n n S S S n n --=+-()*,2n N n ∈≥，则22n nS n -的最小值为（）A ．23B ．3C ．2-D ．1-10．已知无穷递减实数列{}n a 满足11a =，则下列可作为{}n a 递推公式*()n N ∈的是（） A ．1sin n n a a += B ．1cos n n a a += C ．12na n a +=D ．12log n n a a +=11．数列}{n a 的首项12a =，且)(146n n a a n N *+=+∈，令)(2log 2n n b a =+，则1220212021b b b ++⋅⋅⋅+=（）A ．2020B ．2021C ．2022D ．202312．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，()*111n n na S n +++=∈N ，则24816S S S S +++=（） A ．398B ．7916C ．418D ．5二、填空题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若171251,0S a ==，则{}n a 的通项公式为_____________14．二十四节气作为我国古代订立的一种补充历法，在我国传统农耕文化中占有极其重要的位置，是古代劳动人民对天文、气象进行长期观察、研究的产物，凝聚了古代劳动人民的智慧．古代数学著作《周髀算经》中记载有这样一个问题：从夏至之日起，小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若小暑、立秋、白露的日影子长的和为18尺，霜降的日影子长为10尺，则秋分的日影子长为_______________________尺．15．记n T 为等差数列{}n a 的前n 项和，若21a =，54a =，则10T =________． 16．等差数列{}n a 中，n S 是前n 项和，且38S S =，7k S S =，则k 的值为__________. 17．已知数列{}n a 的通项公式是6n n a f π⎛⎫=⎪⎝⎭，其中()sin()(0,)2f x wx w πϕϕ=+><的部分图象如图所示，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2020S =___________.三、解答题18．已知等差数列{}n a 中，61013,25a a == （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求数列{}n a 的第8项，第16项．19．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，2716a a +=，10100S =．求数列{}n a 的通项公式.20．已知数列{}n c 的前n 项之积为n T ，即12n n T c c c =，且()110n n n T +=，lg 1n n a c =-.（1）求数列{}n c 、{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n b =n *∈N ，均有121113nb b b +++<.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数．（1）证明：2n n a a λ+-=；（2）当数列{}n a 为等差数列时，记数列{}3nn a 的前n 项和为n T ，证明：1n T <．22．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n <a n ＋1，且S 3＝2S 2＋1. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b n ＝(2n －1)a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .23．已知等差数列{}n a 中，42a =，()5433a a a =-，数列{}n b 满足12b =，12n n b b +=．（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，试比较1n n a a +⋅与12n S +的大小；（3）任意*N n ∈，()()2322,?n n nn n n a a n b c a n b +⎧+--⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为偶数，为奇数，求数列{}n c 的前2n 项和．24．设函数()11lnxf x x-=+，设11a =，()1231,2n n a f f f f n n n n n n *-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++∈≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭N ．（1）求数列{}n a 的通项公式．（2）若112b =，()()()11,211nn n b n n a a *+=∈≥++N ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若()11n n a S λ+<+对一切n *∈N 成立，求λ的取值范围．25．设*N n ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，______.请在①1a ，2a ，5a 成等比数列，②69a =，③535S =，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b满足()11na nn nb a +=+-，求数列{}n b的前2n 项的和2n T参考答案1．B2．B3．C 4．B5．B6．B7．B8．B9．D10．A11．C12．B13．12n a n =- 14．8.4 15．45 16．4 17．18．（1）()*35n a n n N =-∈；（2）81619,43a a ==．19．21n a n =-.20．（1）对任意的n *∈N ，12n n T c c c =.当2n ≥时，()()1211101010n n n n n n n n T c T +--===，当1n =时，21110c T ==满足210n n c =，故()210n n c n N *=∈，所以，lg 121n n a c n =-=-；（2）证明：()()1211212n n a a n n +-=+---=⎡⎤⎣⎦，故数列{}n a 为等差数列，所以，()122n n n a a S n +==，n b ∴=(2124nn n ++=+，故当2n ≥时，n b=<2===当1n =时，1113b =<，当2n ≥时，12111111111132411n b b b nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭223=<<，故对任意的n *∈N ，121113nb b b +++<. 21．证明：（1）由11n n n a a S λ+=-，得1211n n n a a S λ+++=-，两式相减得121()n n n n a a a a λ+++-=，由于0n a ≠，所以10n a +≠，所以2n n a a λ+-=．（2）设等差数列{}n a 的公差为d ，由121111a a S a λλ=-=-；11a =，得21a λ=-，又31a a λ-=，得31a λ=+，所以1(1)11λλλ+--=--，解得4λ=；所以3124d a a =-=，解得2d =，所以12(1)21n a n n =+-=-，令3n n na b =，则1(21)()3n n b n =-⋅；所以121111()3()(21)()333nnT n =⨯+⨯+⋯+-⨯，则23111111()3()(21)()3333n n T n +=⨯+⨯+⋯+-⨯，两式相减得，21231121()[1()]2111111121332[()()()](21)()2(21)()()(121)1333333333313n n n n n n T n n n -++-=+++⋯++--⋅=+⨯--=-+--，所以113()13n n T n =-⋅<．22．（1）a n ＝2n －1(n ∈N *)；（2）T n ＝(2n －3)×2n ＋3. 23．（1）由题意可得:113243a d a d d +=⎧⎨+=⎩，解得:111a d =-⎧⎨=⎩，故()1112n a n n =-+-⨯=-因为数列{}n b 满足12b =，12n n b b +=，所以{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，所以1222n nn b -=⋅=，（2）由（1）知：()()212132n n a a n n n n +⋅=--=-+，()()12322n n n n n S -+--==，所以()()1122n n n S ++-=所以()()212122n S n n n n +=+-=--，所以11224n n n a a S n ++⋅-=-+，所以当2n <时，112n n n a a S ++⋅>，当2n =时，112n n n a a S ++⋅=，当3n ≥时，112n n n a a S ++⋅<；（3）当n 为奇数时，2n nn c =，当n 为偶数时，()()2223443161641616222nnnnn n n n n n n c ---+--+-=-==222222224161644(2)222222n n n n n n n n n n n n n n ---+-+-=-=-=- 对于任意正整数n ，有211321132111321222nk k n k n c c c c ---=-=+++=+++∑①， 213212111123214222n k n n k n n c --+=--=+++∑②，①-②得21321212111131222112141422222214nn k n n n k n n c --++=---=+++-=---∑ 441215863334224664n n nn n -+-=---=-⋅⋅⋅，所以211110659184n k n k n c --=+=-⨯∑，以及22421ni n i c c c c ==+++∑22222226222204224862220426486(2)(22)2222222222n n n n --=-+-+-+-++-2220104244n n n n -=-+=，因此2221211111106591844nnnk k k n n k k k n n c c c ---===+=+=-+⨯∑∑∑，所以，数列{}n c 的前2n 项和为211106591844n n n n--+-+⨯. 24．（1）1,11,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩；（2）14λ>．25．选①，（1）由12n n n S S a +=++得：()*12N n n a a n +-=∈，∴数列{}n a 是以1a为首项，2为公差的等差数列.由1a ，2a ，5a 成等比数列得()()211128a a a +=+，解得11a =.∴()*21N n a n n =-∈.（2）()()()112121na n nn n n b a n +=+-=+--，()()()22122211357 (434122221)n n n T n n n+-=+-+-+---+-=-+⎡⎤⎣⎦-. 选②，（1）由12n n n S S a +=++得()*12N n n a a n +-=∈，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列. 由69a =得1529a +⨯=，解得11a =-，∴()*23N n a n n =-∈.（2）()()()1112123na n nn n n b a n +-=+-=+--，∴()()22211135...454321n n T n n -=++-+---+-⎡⎤⎣⎦- 2212412n n n n =-+=-+.选③，（1）同理，由12n n n S S a +=++得()*12N n n a a n +-=∈，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列，由535S =得151035a d +=，解得13a =，∴()*21N n a n n =+∈.（2）()()()1112121na n nn n n b a n ++=+-=+-+， ∴()()()2222213579 (414121)n n T n n -=+-+-+---++⎡⎤⎣⎦- 221242442n n n n ++=-+=-+.。

高三数学数列综合同步练习人教版

高三数学数列综合同步练习人教版一. 选择题：（每小题5分，共50分）1. 已知A ，B ，C 为常数且0≠C ，*N n ∈，数列}{n a 成等差数列的充要条件为（）（1）n n n a a a +=+12（2≥n ）（2）B An a n +=（3）Bn An S n +=2（4）C Bn An S n ++=22. 在等差数列}{n a 中，50,231741=++++-=a a a a d ，则421062a a a a ++++ =（）A. 60B. 82-C. 182D. 96-3. 等差数列}{n a 中的前12项的和为35412=S ，其中奇数项之和奇S 与偶数项之和偶S 的比为3227，则}{n a 的公差=d （） A. 10 B. 30 C. 5 D. 154. 设等差数列的项数n 为奇数，则奇数项之和与偶数项之和的比为（） A.n n 1- B. n n 12+ C. n n 212+ D. 11-+n n 5. 设)}({*N n a n ∈是公差小于0的等差数列，它的前n 项和为n S ，则（）A. 1+≥n n S SB. 1+≤n n S SC. 1na S na n n ≤≤D. n n na S na ≤≤16. 已知数列}{n a 的通项公式为)34()1(1--=-n a n n ，n S 为其n 项和，则312215S S S -+的值为（）A. 13B. 76-C. 46D. 76 7. 数列}{n a 的通项公式为]1)32[()32(11-=--n n n a ，则下列表述正确的是（） A. 最大项为1a ，最小项为3a B. 最大项为1a ，最小项不存在 C. 最大项不存在，最小项为3aD. 最大项为1a ，最小项为4a8. 数列}{n a 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<≤=+121,12210,21n n n n n a a a a a ，若761=a ，则20a 的值为（）A.76 B. 75 C. 73 D. 719. 在ABC ∆中，b A c C a 232cos 2cos22=+，则（）A. c b a ,,依次成等差数列B. c a b ,,依次成等差数列C. b c a ,,依次成等差数列D. c b a ,,既成等差数列，也成等比数列10. 在ABC ∆中，三边c b a ,,依次成等差数列，c b a ,,也依次成等差数列，则ABC ∆是（）A. 正三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形二. 填空题：（每小题4分，共24分） 11. 把数列}{n a 的各项排成三角形状：987654321a a a a a a a a a记A （n m ,）为第m 行第n 个数，则)8,10(A 是}{n a 的第项。

高考数学第一轮复习强化训练 5.5《数列的综合应用》新人教版必修5

【考纲要求】1．探索并掌握一些基本的数列求前n 项和的方法；2．能在具体的问题情境中，发现数列的数列的通项和递推关系，并能用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题。

【基础知识】一、数列的应用主要是从实际生活中抽象出一个等差、等比的数列问题解答，如果不是等差等比数列的，要转化成等差等比数列的问题来解决。

二、方法总结1、求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围。

2、求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型。

3、单利问题：设本金为p ，期利率为r ，则n 期后本利和)1(nr p S n +=；复利问题：设本金为p ，期利率为r ，则n 期后本利和n n r p S )1(+=。

【例题精讲】例1 某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息. 若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？（取665.575.1,786.133.1,629.105.1101010===）解析：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列， ①甲方案获利：63.423.013.1%)301(%)301(%)301(11092≈-=+++++++ （万元），银行贷款本息：29.16%)51(1010≈+（万元），故甲方案纯利：34.2629.1663.42=-（万元）， ②乙方案获利：5.02910110)5.091()5.021()5.01(1⨯⨯+⨯=⨯+++⨯++++ 50.32=（万元）；银行本息和：]%)51(%)51(%)51(1[05.192+++++++⨯ 21.1305.0105.105.110≈-⨯=（万元）故乙方案纯利：29.1921.1350.32=-（万元）；综上可知，甲方案更好。

高考数学第一轮总复习025数列的通项精品同步练习新人教A版

同步练习g3.1025 数列的通项1、已知数列的前 n 项和为ｎ＝ a n－1（a 为不为零的实数），则此数列（）SA 、必定是等差数列B 、必定是等比数列C 、或是等差数列或是等比数列D 、既不行能是等差数列，也不行能是等比数列2、已知 a 1 ，a nn （ an 1）的通项公式 a n( )1a n , 则数列 a nA.2n1B. （ n 1 n 1C.n2 D. n）3、在数列 { a n } 中,n3a n 1 3a n2(nN ), 且 a 2 a 4a 7 a 920, 则 a 10 为()A. 5B. 7C. 8D.104、若数列 { a n } 的前 n 项的和 S n3a n 3，那么这个数列的通项公式为（）2A ． a n 2 3n 1B ． a n 3 2nC ． a n3n 3D ． a n 2 3n5、已知数列 { a n } 知足 a 1 =1， a n12a n2n ，则 a n =_______________.6、在数列 { a n } 中， a 1 2 ， 2a n 1 2a n 1 ，则 a n =_________________.7、已知数列 { a n } 中， a 1 2 ，且a nn1，则 a n =________________.an 1n 18、已知数列 { a n } 知足 a 1 1 ， a nan 11(n2) ，则 a n =_______________.n1n9、已知数列 { a n } 的首项 a 1 a （ a 是常数且 a 1 ）， a n 2a n 1 (1 n , N)2n ．（1） { a n } 能否可能是等差数列，若可能，求出 { a n } 的通项公式；若不行能，说明原因；（2）设 b n a n c(nN , c 是常数 )，若{ b n } 是等比数列，务实数 c 的值，并求出 { a n } 的通项公式。

高考数学第一轮总复习100讲(含同步练习及答案)_g31027数列的应用.

g3.1027数列的应用一、知识回顾1. 等差、等比数型的应用题；2. 递推数列型；3. 分期付款问题。

二、基本训练1. 某种产品平均每三年降低价格14，目前售价640元，则9年后此产品的价格是。

2. 现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数是。

3. 夏季高山的温度从山脚起每升高100m ，降低0.7℃。

已知某山山顶温度是14.8℃，山脚温度是26℃，则此山的相对高度是 m 。

4. 中国人民银行规定3年期的整存整取定期储蓄的年利率为2.7%，不计复利。

按这种方式存入5000元，存期3年，3年到期时必须按利息的20%缴纳利息税，到期最后取出的总金额是元。

（结果保留到1元）5. 某林场去年底木材存量为a m 3，若森林以每年25%的增长率生长，每年年底要砍伐的木材为x m 3。

设经过n 年林场木材存量为()f n (*)n N ∈，则()f n = 。

三、例题分析例1某企业2004年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降。

若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（今年为第一年）的利润为500(1+n 21)万元（n 为正整数）。

（1）设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元（须扣除技术改造资金），求A n 、B n 的表达式；（2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？例2某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房. 假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%. （1）分别求2005年底和2006年底的住房面积；（2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）例3 用分期付款的方式购买一批总价为2300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%，若首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？例4 下面是一个计算机程序的操作说明：（1）初始值1,1,0,0x y z n ====；（2）1n n =+（将当前1n +的值赋予新的n ）；（3）2x x =+（将当前2x +的值赋予新的x ）；（4）2y y =（将当前2y 的值赋予新的y ）；（5）z z xy =+（将当前z xy +的值赋予新的z ）；（6）如果7000z >，则执行语句（7），否则回语句（2）继续进行；（7）打印,n z ；（8）程序终止。

高考数学第一轮知识点巩固题库第5讲数列的综合应用(含解析)新人教A版

第5讲数列的综合应用一、选择题1．已知{a n }为等比数列．下面结论中正确的是( )．A ．a 1＋a 3≥2a 2B ．a 21＋a 23≥2a 22C ．若a 1＝a 3，则a 1＝a 2D ．若a 3>a 1，则a 4>a 2解析设公比为q ，对于选项A ，当a 1<0，q ≠1时不正确；选项C ，当q ＝－1时不正确；选项D ，当a 1＝1，q ＝－2时不正确；选项B 正确，因为a 21＋a 23≥2a 1a 3＝2a 22.答案 B2．满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，则满足S n >1 025的最小n 值是( )．A ．9B ．10C ．11D ．12解析因为a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)，所以a n ＋1＝2a n ，a n ＝2n －1，S n ＝2n －1，则满足S n >1 025的最小n 值是11. 答案 C3．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( )． A ．5年B ．6年C ．7年D ．8年解析由已知可得第n 年的产量a n ＝f (n )－f (n －1)＝3n 2.当n ＝1时也适合，据题意令a n ≥150⇒n ≥52，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年．答案 C4．在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }前n 项的和，若S n 取得最大值，则n ＝( )．A ．7B ．8C ．9D ．10解析设公差为d ，由题设3(a 1＋3d )＝7(a 1＋6d )，所以d ＝－433a 1<0.解不等式a n >0，即a 1＋(n －1)⎝⎛⎭⎫－433a 1>0，所以n <374，则n ≤9，当n ≤9时，a n >0，同理可得n ≥10时，a n <0. 故当n ＝9时，S n 取得最大值．答案 C5．设y ＝f (x )是一次函数，若f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )等于( )．A ．n (2n ＋3)B ．n (n ＋4)C ．2n (2n ＋3)D ．2n (n ＋4)解析由题意可设f (x )＝kx ＋1(k ≠0)，则(4k ＋1)2＝(k ＋1)×(13k ＋1)，解得k ＝2，f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n ＋1)＝2n 2＋3n . 答案 A6．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( )A ．1－14nB ．1－12nC.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n D.23⎝⎛⎭⎪⎫1－12n解析 a n ＝2n －1，设b n ＝1a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n .答案 C二、填空题7．设关于x 的不等式x 2－x ＜2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．解析由x 2－x ＜2nx (n ∈N *)，得0＜x ＜2n ＋1，因此知a n ＝2n . ∴S 100＝100(2＋200)2＝10 100.答案 10 1008．已知a ，b ，c 成等比数列，如果a ，x ，b 和b ，y ，c 都成等差数列，则a x ＋cy＝________.解析赋值法．如令a ，b ，c 分别为2,4,8，可求出x ＝a ＋b 2＝3，y ＝b ＋c 2＝6，a x ＋cy ＝2.答案 29．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99的值为________．解析由y ′＝(n ＋1)x n (x ∈N *)，所以在点(1,1)处的切线斜率k ＝n ＋1，故切线方程为y ＝(n ＋1)(x －1)＋1，令y ＝0得x n ＝nn ＋1，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 99＝lg x 1＋lg x 2＋…＋lgx 99＝lg(x 1·x 2·…·x 99)＝lg 12×23×…×9999＋1＝lg 199＋1＝－2.答案－210．数列{a n }的前n 项和为S n ，若数列{a n }的各项按如下规律排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n ，…，n －1n ，…，有如下运算和结论： ①a 24＝38；②数列a 1，a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9＋a 10，…是等比数列；③数列a 1，a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9＋a 10，…的前n 项和为T n ＝n 2＋n4；④若存在正整数k ，使S k <10，S k ＋1≥10，则a k ＝57.其中正确的结论有________．(将你认为正确的结论序号都填上)解析依题意，将数列{a n }中的项依次按分母相同的项分成一组，第n 组中的数的规律是：第n 组中的数共有n 个，并且每个数的分母均是n ＋1，分子由1依次增大到n ，第n 组中的各数和等于1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2.对于①，注意到21＝6(6＋1)2<24<7(7＋1)2＝28，因此数列{a n }中的第24项应是第7组中的第3个数，即a 24＝38，因此①正确．对于②、③，设b n 为②、③中的数列的通项，则b n ＝ 1＋2＋3＋…＋nn ＋1＝n 2，显然该数列是等差数列，而不是等比数列，其前n 项和等于12×n (n ＋1)2＝n 2＋n 4，因此②不正确，③正确．对于④，注意到数列的前6组的所有项的和等于62＋64＝1012，因此满足条件的a k 应是第6组中的第5个数，即a k ＝57，因此④正确．综上所述，其中正确的结论有①③④. 答案 ①③④ 三、解答题11．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝35，a 5和a 7的等差中项为13. (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝4a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 5＝5a 3＝35，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝4a 2n －1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以T n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝nn ＋1.12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列． (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.(1)解当n ＝1时，2a 1＝a 2－4＋1＝a 2－3， ①当n ＝2时，2(a 1＋a 2)＝a 3－8＋1＝a 3－7，② 又a 1，a 2＋5，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋5)，③由①②③解得a 1＝1.(2)解 ∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1， ∴当n ≥2时，有2S n －1＝a n －2n ＋1，两式相减整理得a n ＋1－3a n ＝2n ，则a n ＋12n －32·a n2n －1＝1，即a n ＋12n ＋2＝32⎝⎛⎭⎫a n 2n －1＋2.又a 120＋2＝3，知 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1＋2是首项为3，公比为32的等比数列，∴a n2n －1＋2＝3⎝⎛⎭⎫32n －1，即a n ＝3n －2n ，n ＝1时也适合此式，∴a n ＝3n －2n . (3)证明由(2)得1a n ＝13n －2n .当n ≥2时，⎝⎛⎭⎫32n>2，即3n －2n >2n，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n <1＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－12n －1<32. 13．已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和为14，且a 1，a 3，a 7恰为等比数列{b n }的前三项．(1)分别求数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为K n ，设c n ＝S n T n K n，求证：c n ＋1>c n (n ∈N *)．(1)解设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝14，(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得d ＝1或d ＝0(舍去)，a 1＝2，所以a n ＝n ＋1，S n ＝n (n ＋3)2.又a 1＝2，d ＝1，所以a 3＝4，即b 2＝4. 所以数列{b n }的首项为b 1＝2，公比q ＝b 2b 1＝2，所以b n ＝2n ，T n ＝2n ＋1－2.(2)证明因为K n ＝2·21＋3·22＋…＋(n ＋1)·2n ， ① 故2K n ＝2·22＋3·23＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1，②①－②得－K n ＝2·21＋22＋23＋…＋2n －(n ＋1)·2n ＋1， ∴K n ＝n ·2n ＋1，则c n ＝S n T n K n ＝(n ＋3)(2n －1)2n ＋1.c n ＋1－c n ＝(n ＋4)(2n ＋1－1)2n ＋2－(n ＋3)(2n －1)2n ＋1 ＝2n ＋1＋n ＋22n ＋2>0，所以c n ＋1>c n (n ∈N *)．14．设数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1＝a 2S n ＋a 1，其中a 2≠0. (1)求证：{a n }是首项为1的等比数列；(2)若a 2＞－1，求证：S n ≤n2(a 1＋a n )，并给出等号成立的充要条件．证明 (1)由S 2＝a 2S 1＋a 1，得a 1＋a 2＝a 2a 1＋a 1，即a 2＝a 2a 1.因a 2≠0，故a 1＝1，得a 2a 1＝a 2，又由题设条件知S n ＋2＝a 2S n ＋1＋a 1，S n ＋1＝a 2S n ＋a 1，两式相减得S n ＋2－S n ＋1＝a 2(S n ＋1－S n )，即a n ＋2＝a 2a n ＋1，由a 2≠0，知a n ＋1≠0，因此a n ＋2a n ＋1＝a 2.综上，a n ＋1a n ＝a 2对所有n ∈N *成立．从而{a n }是首项为1，公比为a 2的等比数列．(2)当n ＝1或2时，显然S n ＝n2(a 1＋a n )，等号成立．设n ≥3，a 2＞－1且a 2≠0，由(1)知，a 1＝1，a n ＝a n －12，所以要证的不等式化为：1＋a 2＋a 22＋…＋a n －12≤n 2(1＋a n －12)(n ≥3)，即证：1＋a 2＋a 22＋…＋a n 2≤n ＋12(1＋a n2)(n ≥2)，当a 2＝1时，上面不等式的等号成立．当－1＜a 2＜1时，a r 2－1与a n －r2－1，(r ＝1,2，…，n －1)同为负；当a 2＞1时，a r 2－1与a n －r 2－1，(r ＝1,2，…，n －1)同为正；因此当a 2＞－1且a 2≠1时，总有(a r 2－1)(a n －r 2－1)＞0，即a r 2＋a n －r 2＜1＋a n 2，(r ＝1,2，…，n －1)．上面不等式对r 从1到n －1求和得2(a 2＋a 22＋…＋a n －12)＜(n －1)(1＋a n 2)．由此得1＋a 2＋a 22＋…＋a n 2＜n ＋12(1＋a n 2)．综上，当a 2＞－1且a 2≠0时，有S n ≤n2(a 1＋a n )，当且仅当n ＝1,2或a 2＝1时等号成立.。

高考数学一轮复习练习-数列求和、数列的综合应用

§6.4 数列求和、数列的综合应用基础篇固本夯基【基础集训】考点一数列求和1.在等差数列{a n }中,a 4=5,a 7=11.设b n =(-1)n·a n ,则数列{b n }的前100项之和S 100=( ) A.-200 B.-100 C.200 D.100 答案 D2.数列{a n }的前n 项和为S n ,若a n =1n(n+1),则S 5等于( )A.1B.56C.16D.130答案 B 3.设f(x)=4x4x +2,求S=f (12 002)+f (22 002)+…+(2 0012 002)的值. 解析 ∵f(x)=4x 4x +2,∴f(1-x)=41-x 41-x +2=44+2·4x =24x +2, ∴f(x)+f(1-x)=1, ∵S=f (12 002)+f (22 002)+…+f (2 0012 002) =f (2 0012 002)+f (2 0002 002)+…+f (12 002), ∴2S=f (12 002)+f (22 002)+…+f (2 0012 002)+f (2 0012 002)+f (2 0002 002)+…+f (12 002)=1×2 001=2 001,∴S=2 0012. 4.已知等差数列{a n }满足(a 1+a 2)+(a 2+a 3)+…+(a n +a n+1)=2n(n+1)(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{a n2n -1}的前n 项和S n .解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d,由已知得{a 1+a 2=4,(a 1+a 2)+(a 2+a 3)=12,即{a 1+a 2=4,a 2+a 3=8.所以{a 1+(a 1+d)=4,(a 1+d)+(a 1+2d)=8,解得{a 1=1,d =2.所以a n =2n-1.(2)由(1)得a n 2n -1=2n -12n -1,所以S n =1+321+522+…+2n -32n -2+2n -12n -1,①12S n =12+322+523+…+2n -32n -1+2n -12n ,② ①-②得12S n =1+1+12+122+…+12n -2-2n -12n =3-2n+32n,所以S n =6-4n+62n. 考点二数列的综合应用5.已知数列{a n }满足a n =log (n+1)(n+2)(n ∈N *),我们把使乘积a 1·a 2·a 3·…·a n 为整数的数n 叫做“优数”,则在区间(1,2 004)内的所有“优数”的和为( )A.1 024B.2 003C.2 026D.2 048 答案 C6.已知函数f(x)=2x-3x-1,点(n,a n )在f(x)的图象上,数列{a n }的前n 项和为S n ,n ∈N *. (1)求使a n <0的n 的最大值; (2)求S n .解析 (1)由已知得a n =f(n)=2n-3n-1,则f '(n)=2nln 2-3,n ∈N *,当f '(n)>0,即n ≥3时, f(n)单调递增, 当f '(n)<0,即1≤n ≤2时, f(n)单调递减. 又∵a n <0,即2n-3n-1<0,当n=2时,22-6-1<0,当n=3时,23-9-1=-2<0,当n=4时,24-12-1>0.∴使a n <0的n 的最大值为3.(2)S n =a 1+a 2+...+a n =(2+22+ (2))-3(1+2+3+…+n)-n =2(1-2n )1-2-3·n(n+1)2-n=2n+1-n(3n+5)2-2. 7.已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1=2,且a 1+1,a 2+1,a 4+1成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =1a n a n+1,n ∈N *,S n 是数列{b n }的前n 项和,求使S n <319成立的最大的正整数n.解析 (1)设{a n }的公差为d.由a 1+1,a 2+1,a 4+1成等比数列,可得(a 2+1)2=(a 1+1)(a 4+1),又a 1=2,∴(3+d)2=3(3+3d),解得d=3(d=0舍去),则a n =a 1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1. (2)由(1)知b n =1a n a n+1=1(3n -1)(3n+2)=13(13n -1-13n+2), ∴S n =13(12-15+15-18+…+13n -1-13n+2)=13(12-13n+2)=n2(3n+2),则S n <319,即n 2(3n+2)<319, 解得n<12,则所求最大的正整数n 为11.综合篇知能转换【综合集训】考法一错位相减法求和1.(2018福建闽侯第八中学期末,16)已知数列{na n }的前n 项和为S n ,且a n =2n,则使得S n -na n+1+50<0的最小正整数n 的值为 . 答案 52.(2020届广东揭阳第三中学第一次月考,19)已知{a n }是公差d ≠0的等差数列,a 2,a 6,a 22成等比数列,a 4+a 6=26,数列{b n }是公比q 为正数的等比数列,且b 3=a 2,b 5=a 6. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解析 (1)∵{a n }是等差数列,且a 4+a 6=26,∴a 5=13,又∵a 2,a 6,a 22成等比数列,∴a 62=a 2a 22,即(13+d)2=(13-3d)(13+17d),解得d=3或d=0(舍),∴a n =a 5+(n-5)d=3n-2.∵b 3=a 2,b 5=a 6,∴q 2=b 5b 3=a 6a 2=3×6-23×2-2=4,∴q=2或q=-2(舍),又∵b 3=a 2=4,∴b n =b 3·q n-3=4·2n-3=2n-1.(2)由(1)可知,a n ·b n =(3n-2)·2n-1,∴T n =1×20+4×21+7×22+…+(3n-5)·2n-2+(3n-2)·2n-1, 2T n =1×21+4×22+7×23+…+(3n-5)·2n-1+(3n-2)·2n, 两式相减得-T n =1+3(21+22+…+2n-1)-(3n-2)·2n=1+3·2(1-2n -1)1-2-(3n-2)·2n =-5-(3n-5)·2n.∴T n =5+(3n-5)·2n.3.(2018河南安阳第二次模拟,17)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,点(n,S n )在函数f(x)=x 2+Bx+C-1(B,C ∈R )的图象上,且a 1=C. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)记b n =a n (a 2n -1+1),求数列{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)设数列{a n }的公差为d, 则S n =na 1+n(n -1)2d=d 2n 2+(a 1-d2)n, 又S n =n2+Bn+C-1,两式对照得{d 2=1,C -1=0,解得{d =2,C =1,所以a 1=1,所以数列{a n }的通项公式为a n =2n-1(n ∈N *). (2)由(1)知b n =(2n-1)(2·2n-1-1+1)=(2n-1)2n, 则T n =1×2+3×22+…+(2n-1)·2n,2T n =1×22+3×23+…+(2n-3)·2n +(2n-1)·2n+1, 两式相减得T n =(2n-1)·2n+1-2(22+ (2))-2=(2n-1)·2n+1-2×22(1-2n -1)1-2-2=(2n-3)·2n+1+6. 考法二裂项相消法求和4.(2018湖南株洲醴陵第二中学、第四中学联考,3)数列{1√n+1+n}的前2 017项的和为( )A.√2 018+1B.√2 018-1C.√2 017+1D.√2 017-1 答案 B5.(2019湖南岳阳一模,13)曲线y=n 2x+ln x(n ∈N *)在x=2n处的切线斜率为a n ,则数列{1a n a n+1}的前n 项的和为 .答案n n+16.(2018湖北十堰调研,17)已知数列{a n }中,a 1=1,a 2=3,其前n 项和为S n ,且当n ≥2时,a n+1S n-1-a n S n =0. (1)求证:数列{S n }是等比数列,并求数列{a n }的通项公式; (2)令b n =9a n(a n +3)(a n+1+3),记数列{b n }的前n 项和为T n ,求T n .解析 (1)当n ≥2时,a n+1S n-1-a n S n =(S n+1-S n )S n-1-(S n -S n-1)S n =S n+1S n-1-S n 2=0,∴S n2=S n-1S n+1(n ≥2).又由S 1=a 1=1≠0,S 2=a 1+a 2=4≠0,可推知对一切正整数n 均有S n ≠0,∴数列{S n }是等比数列,S n =4n-1.当n ≥2时,a n =S n -S n-1=3×4n-2,又a 1=1,∴a n ={1(n =1),3×4n -2(n ≥2).(2)当n ≥2时,b n =9a n (a n +3)(a n+1+3)=9×3×4n -2(3×4n -2+3)(3×4n -1+3)=3×4n -2(4n -2+1)(4n -1+1),又知b 1=38,∴b n ={38(n =1),3×4n -2(4n -2+1)(4n -1+1)(n≥2),则T 1=b 1=38.当n ≥2时,b n =3×4n -2(4n -2+1)(4n -1+1)=14n -2+1-14n -1+1,则T n =38+(142-2+1-142-1+1)+…+(14n -2+1-14n -1+1)=78-14n -1+1,又当n=1时,T 1=38符合上式,∴T n =78-14n -1+1(n ∈N *). 7.(2020届天津静海大邱庄中学第一次质量检测,20)已知等比数列{a n }的首项为1,公比为q,a 4,a 3,a 5依次成等差数列. (1)求q 的值;(2)当q<0时,求数列{na n }的前n 项和S n ; (3)当q>0时,求证:∑i=1na i2(2i -13)2-a i 2<34.解析 (1)∵a 4,a 3,a 5依次成等差数列,∴2a 3=a 4+a 5,∵{a n }是首项为1的等比数列,∴2q 2=q 3+q 4,∵q≠0,∴q 2+q-2=0,∴q=1或q=-2.(2)∵q<0,∴q=-2,∴a n =(-2)n-1,∵S n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n-1)a n-1+na n ,∴S n =1+2·(-2)+3·(-2)2+…+(n-1)·(-2)n-2+n ·(-2)n-1,-2S n =1·(-2)+2·(-2)2+3·(-2)3+…+(n-1)·(-2)n-1+n ·(-2)n,两式相减得3S n =1+(-2)+(-2)2+…+(-2)n-1-n ·(-2)n=1-(-2)n1-(-2)-n ·(-2)n=1-(3n+1)(-2)n 3,∴S n =1-(3n+1)(-2)n9. (3)证明:∵q>0,∴q=1,∴a n =1, ∴∑i=1n a i2(2i -13)2-a i 2=∑i=1n1(2i -13)2-1=∑i=1n 141(i+13)(i -23)=14∑i=1n (1i -23-1i+13) =14(113-143+143-173+…+1n -23-1n -13)=14(3-1n -13)<34. 【五年高考】考点一数列求和1.(2017课标Ⅱ,15,5分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,S 4=10,则∑k=1n1S k= .答案2nn+12.(2016北京,12,5分)已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和.若a 1=6,a 3+a 5=0,则S 6= . 答案 63.(2016课标Ⅱ,17,12分)S n 为等差数列{a n }的前n 项和,且a 1=1,S 7=28.记b n =[lg a n ],其中[x]表示不超过x 的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1. (1)求b 1,b 11,b 101;(2)求数列{b n }的前1 000项和.解析 (1)设{a n }的公差为d,据已知有7+21d=28, 解得d=1.所以{a n }的通项公式为a n =n.b 1=[lg 1]=0,b 11=[lg 11]=1,b 101=[lg 101]=2.(6分)(2)因为b n ={0,1≤n <10,1,10≤n <100,2,100≤n <1 000,3,n =1 000,(9分)所以数列{b n }的前1 000项和为1×90+2×900+3×1=1 893.(12分)思路分析 (1)先求公差,从而得通项a n ,再根据已知条件求b 1,b 11,b 101.(2)分析出{b n }中项的规律,进而求出数列{b n }的前1 000项和.4.(2015课标Ⅰ,17,12分)S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0,a n 2+2a n =4S n+3. (1)求{a n }的通项公式; (2)设b n =1a n a n+1,求数列{b n }的前n 项和.解析 (1)由a n 2+2a n =4S n +3,可知a n+12+2a n+1=4S n+1+3. 可得a n+12-a n 2+2(a n+1-a n )=4a n+1, 即2(a n+1+a n )=a n+12-a n 2=(a n+1+a n )(a n+1-a n ).由于a n >0,所以a n+1-a n =2.又由a 12+2a 1=4a 1+3,解得a 1=-1(舍去)或a 1=3.所以{a n }是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为a n =2n+1.(6分) (2)由a n =2n+1可知 b n =1a n a n+1=1(2n+1)(2n+3)=12(12n+1-12n+3). 设数列{b n }的前n 项和为T n ,则 T n =b 1+b 2+…+b n=12[(13-15)+(15-17)+…+(12n+1-12n+3)]=n3(2n+3).(12分)思路分析 (1)由a n 2+2a n =4S n +3,得a n+12+2a n+1=4S n+1+3,两式相减得出递推关系式,再求出a 1,利用等差数列的通项公式求法可得通项a n .(2)利用裂项相消法求T n (b n =12(12n+1-12n+3)).5.(2018天津,18,13分)设{a n }是等比数列,公比大于0,其前n 项和为S n (n ∈N *),{b n }是等差数列.已知a 1=1,a 3=a 2+2,a 4=b 3+b 5,a 5=b 4+2b 6. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N *). (i)求T n ; (ii)证明∑k=1n (T k +b k+2)b k (k+1)(k+2)=2n+2n+2-2(n ∈N *).解析本题主要考查等差数列的通项公式,等比数列的通项公式及其前n 项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.(1)设等比数列{a n }的公比为q. 由a 1=1,a 3=a 2+2,可得q 2-q-2=0.因为q>0,可得q=2,故a n =2n-1.设等差数列{b n }的公差为d. 由a 4=b 3+b 5,可得b 1+3d=4. 由a 5=b 4+2b 6,可得3b 1+13d=16, 从而b 1=1,d=1,故b n =n.所以,数列{a n }的通项公式为a n =2n-1,数列{b n }的通项公式为b n =n.(2)(i)由(1),有S n =1-2n 1-2=2n-1,故T n =∑k=1n (2k -1)=∑k=1n2k -n =2×(1-2n )1-2-n=2n+1-n-2. (ii)证明:因为(T k +b k+2)b k (k+1)(k+2)=(2k+1-k -2+k+2)k(k+1)(k+2)=k ·2k+1(k+1)(k+2)=2k+2k+2-2k+1k+1,所以,∑k=1n (T k +b k+2)b k (k+1)(k+2)=(233-222)+(244-233)+…+(2n+2n+2-2n+1n+1)=2n+2n+2-2.方法总结解决数列求和问题的两种思路(1)利用转化的思想将一般数列设法转化为等差或等比数列,这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成. (2)不能转化为等差或等比数列的,往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和.6.(2017天津,18,13分)已知{a n }为等差数列,前n 项和为S n (n ∈N *),{b n }是首项为2的等比数列,且公比大于0,b 2+b 3=12,b 3=a 4-2a 1,S 11=11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)求数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和(n ∈N *).解析本题主要考查等差数列、等比数列及其前n 项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.(1)设等差数列{a n }的公差为d,等比数列{b n }的公比为q.由已知b 2+b 3=12,得b 1(q+q 2)=12,而b 1=2,所以q 2+q-6=0,解得q=2或q=-3,又因为q>0,所以q=2.所以,b n =2n.由b 3=a 4-2a 1,可得3d-a 1=8①.由S 11=11b 4,可得a 1+5d=16②,联立①②,解得a 1=1,d=3,由此可得a n =3n-2.所以,数列{a n }的通项公式为a n =3n-2,数列{b n }的通项公式为b n =2n.(2)设数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为T n ,由a 2n =6n-2,b 2n-1=2×4n-1,有a 2n b 2n-1=(3n-1)×4n, 故T n =2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n,4T n =2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n +(3n-1)×4n+1, 上述两式相减,得-3T n =2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1=12×(1-4n )1-4-4-(3n-1)×4n+1=-(3n-2)×4n+1-8. 得T n =3n -23×4n+1+83. 所以,数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为3n -23×4n+1+83. 方法总结 (1)等差数列与等比数列中有五个量a 1,n,d(或q),a n ,S n ,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a 1和d(或q),问题可迎刃而解.(2)数列{a n }是公差为d 的等差数列,{b n }是公比q ≠1的等比数列,求数列{a n b n }的前n 项和适用错位相减法. 7.(2016山东,18,12分)已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2+8n,{b n }是等差数列,且a n =b n +b n+1. (1)求数列{b n }的通项公式; (2)令c n =(a n +1)n+1(b n +2)n,求数列{c n }的前n 项和T n .解析 (1)由题意知,当n ≥2时,a n =S n -S n-1=6n+5. 当n=1时,a 1=S 1=11,所以a n =6n+5(n ∈N *).设数列{b n }的公差为d.由{a 1=b 1+b 2,a 2=b 2+b 3,即{11=2b 1+d,17=2b 1+3d,可解得b 1=4,d=3.所以b n =3n+1. (2)由(1)知c n =(6n+6)n+1(3n+3)n=3(n+1)·2n+1.又T n =c 1+c 2+…+c n ,得T n =3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1],2T n =3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2],两式作差,得-T n =3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2] =3×[4+4(1-2n )1-2-(n +1)×2n+2]=-3n ·2n+2.所以T n =3n ·2n+2.考点二数列的综合应用8.(2017课标Ⅰ,12,5分)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( ) A.440 B.330 C.220 D.110 答案 A9.(2015福建,8,5分)若a,b 是函数f(x)=x 2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q 的值等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案 D10.(2019课标Ⅱ,19,12分)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1,b 1=0,4a n+1=3a n -b n +4,4b n+1=3b n -a n -4. (1)证明:{a n +b n }是等比数列,{a n -b n }是等差数列; (2)求{a n }和{b n }的通项公式.解析本题主要考查由递推关系证明数列为等比数列、等差数列以及求数列的通项公式,考查了学生的逻辑推理、运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.(1)由题设得4(a n+1+b n+1)=2(a n +b n ),即a n+1+b n+1=12(a n +b n ).又因为a 1+b 1=1,所以{a n +b n }是首项为1,公比为12的等比数列.由题设得4(a n+1-b n+1)=4(a n -b n )+8,即a n+1-b n+1=a n -b n +2.又因为a 1-b 1=1,所以{a n -b n }是首项为1,公差为2的等差数列. (2)由(1)知,a n +b n =12n -1,a n -b n =2n-1.所以a n =12[(a n +b n )+(a n -b n )]=12n +n-12, b n =12[(a n +b n )-(a n -b n )]=12n -n+12.思路分析 (1)将两递推关系式左、右两边相加可得a n+1+b n+1=12(a n +b n ),从而证得数列{a n +b n }为等比数列;将两递推关系式左、右两边相减可得a n+1-b n+1=a n -b n +2,从而证得数列{a n -b n }为等差数列.(2)由(1)可求出{a n +b n },{a n -b n }的通项公式,联立可解得a n ,b n . 解题关键将两递推关系式相加、相减,从而证得数列为等差、等比数列是解决本题的关键. 11.(2019天津,19,14分)设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列.已知a 1=4,b 1=6,b 2=2a 2-2,b 3=2a 3+4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设数列{c n }满足c 1=1,c n ={1,2k <n <2k+1,b k ,n =2k,其中k ∈N *. (i)求数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式; (ii)求∑i=12na i c i (n ∈N *).解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d,等比数列{b n }的公比为q.依题意得{6q =6+2d,6q 2=12+4d,解得{d =3,q =2,故a n =4+(n-1)×3=3n+1,b n =6×2n-1=3×2n.所以,{a n }的通项公式为a n =3n+1,{b n }的通项公式为b n =3×2n.(2)(i)a 2n (c 2n -1)=a 2n (b n -1)=(3×2n+1)·(3×2n-1)=9×4n-1.所以,数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式为a 2n (c 2n -1)=9×4n-1.(ii)∑i=12n a i c i =∑i=12n [a i +a i (c i -1)]=∑i=12na i +∑i=1na 2i (c 2i -1)=[2n ×4+2n (2n -1)2×3]+∑i=1n(9×4i-1)=(3×22n-1+5×2n-1)+9×4(1-4n )1-4-n =27×22n-1+5×2n-1-n-12(n ∈N *).思路分析 (1)利用等差数列、等比数列概念求基本量得到通项公式.(2)(i)由c n ={1,2k <n <2k+1,b k ,n =2k ,k ∈N *知a 2n (c 2n -1)=(3×2n +1)·(3×2n-1),从而得到数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式. (ii)利用(i)把∑i=12na i c i 拆成∑i=12n[a i +a i (c i -1)],进而可得∑i=12n a i c i =∑i=12na i +∑i=1na 2i (c 2i -1),计算即可.解题关键正确理解数列{c n }的含义是解题的关键.12.(2017山东,19,12分)已知{x n }是各项均为正数的等比数列,且x 1+x 2=3,x 3-x 2=2. (1)求数列{x n }的通项公式;(2)如图,在平面直角坐标系xOy 中,依次连接点P 1(x 1,1),P 2(x 2,2),…,P n+1(x n+1,n+1)得到折线P 1P 2…P n+1,求由该折线与直线y=0,x=x 1,x=x n+1所围成的区域的面积T n .解析 (1)设数列{x n }的公比为q,由已知知q>0. 由题意得{x 1+x 1q =3,x 1q 2-x 1q =2.所以3q 2-5q-2=0. 因为q>0,所以q=2,x 1=1.因此数列{x n }的通项公式为x n =2n-1.(2)过P 1,P 2,…,P n+1向x 轴作垂线,垂足分别为Q 1,Q 2,…,Q n+1. 由(1)得x n+1-x n =2n-2n-1=2n-1,记梯形P n P n+1Q n+1Q n 的面积为b n ,由题意得b n =(n+n+1)2×2n-1=(2n+1)×2n-2,所以T n =b 1+b 2+…+b n=3×2-1+5×20+7×21+…+(2n-1)×2n-3+(2n+1)×2n-2,① 2T n =3×20+5×21+7×22+…+(2n-1)×2n-2+(2n+1)×2n-1.② ①-②得-T n =3×2-1+(2+22+…+2n-1)-(2n+1)×2n-1=32+2(1-2n -1)1-2-(2n+1)×2n-1.所以T n =(2n -1)×2n +12. 解题关键记梯形P n P n+1Q n+1Q n 的面积为b n ,以几何图形为背景确定{b n }的通项公式是关键.教师专用题组考点一数列求和1.(2015江苏,11,5分)设数列{a n }满足a 1=1,且a n+1-a n =n+1(n ∈N *),则数列{1a n}前10项的和为 .答案20112.(2012课标,16,5分)数列{a n }满足a n+1+(-1)na n =2n-1,则{a n }的前60项和为 . 答案 1 8303.(2015天津,18,13分)已知数列{a n }满足a n+2=qa n (q 为实数,且q ≠1),n ∈N *,a 1=1,a 2=2,且a 2+a 3,a 3+a 4,a 4+a 5成等差数列. (1)求q 的值和{a n }的通项公式;(2)设b n =log 2a 2n a 2n -1,n ∈N *,求数列{b n }的前n 项和.解析 (1)由已知,有(a 3+a 4)-(a 2+a 3)=(a 4+a 5)-(a 3+a 4),即a 4-a 2=a 5-a 3, 所以a 2(q-1)=a 3(q-1).又因为q ≠1,故a 3=a 2=2, 由a 3=a 1·q,得q=2.当n=2k-1(k ∈N *)时,a n =a 2k-1=2k-1=2n -12;当n=2k(k ∈N *)时,a n =a 2k =2k=2n2.所以,{a n }的通项公式为a n ={2n -12,n为奇数,2n2,n 为偶数.(2)由(1)得b n =log 2a 2n a 2n -1=n 2n -1.设{b n }的前n 项和为S n ,则S n =1×120+2×121+3×122+…+(n-1)×12n -2+n×12n -1,12S n =1×121+2×122+3×123+…+(n-1)×12n -1+n×12n , 上述两式相减,得12S n =1+12+122+…+12n -1-n 2n =1-12n 1-12-n 2n =2-22n -n 2n , 整理得,S n =4-n+22n -1.所以,数列{b n }的前n 项和为4-n+22n -1,n ∈N *.4.(2015湖北,18,12分)设等差数列{a n }的公差为d,前n 项和为S n ,等比数列{b n }的公比为q.已知b 1=a 1,b 2=2,q=d,S 10=100. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式;(2)当d>1时,记c n =an b n,求数列{c n }的前n 项和T n .解析 (1)由题意有,{10a 1+45d =100,a 1d =2,即{2a 1+9d =20,a 1d =2,解得{a 1=1,d =2或{a 1=9,d =29.故{a n =2n -1,b n =2n -1或{a n =19(2n +79),b n=9·(29)n -1.(2)由d>1,知a n =2n-1,b n =2n-1,故c n =2n -12n -1,于是T n =1+32+522+723+924+…+2n -12n -1,①12T n =12+322+523+724+925+…+2n -12n .② ①-②可得12T n =2+12+122+…+12n -2-2n -12n =3-2n+32n , 故T n =6-2n+32n -1.考点二数列的综合应用5.(2013课标Ⅰ,12,5分)设△A n B n C n的三边长分别为a n,b n,c n,△A n B n C n的面积为S n,n=1,2,3,….若b1>c1,b1+c1=2a1,a n+1=a n,b n+1=c n+a n2,c n+1=b n+a n2,则()A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列答案B6.(2018江苏,14,5分)已知集合A={x|x=2n-1,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N*}.将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}.记S n为数列{a n}的前n项和,则使得S n>12a n+1成立的n的最小值为.答案277.(2019江苏,20,16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”.(1)已知等比数列{a n}(n∈N*)满足:a2a4=a5,a3-4a2+4a1=0,求证:数列{a n}为“M-数列”;(2)已知数列{b n}(n∈N*)满足:b1=1,1S n =2b n-2b n+1,其中S n为数列{b n}的前n项和.①求数列{b n}的通项公式;②设m为正整数,若存在“M-数列”{c n}(n∈N*),对任意正整数k,当k≤m时,都有c k≤b k≤c k+1成立,求m的最大值.8.(2019浙江,20,15分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=4,a4=S3.数列{b n}满足:对每个n∈N*,S n+b n,S n+1+b n,S n+2+b n成等比数列.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)记c n=√a n,n∈N*,证明:c1+c2+…+c n<2√n,n∈N*.2b n9.(2018江苏,20,16分)设{a n }是首项为a 1,公差为d 的等差数列,{b n }是首项为b 1,公比为q 的等比数列. (1)设a 1=0,b 1=1,q=2,若|a n -b n |≤b 1对n=1,2,3,4均成立,求d 的取值范围;(2)若a 1=b 1>0,m ∈N *,q ∈(1,√2m],证明:存在d ∈R ,使得|a n -b n |≤b 1对n=2,3,…,m+1均成立,并求d 的取值范围(用b 1,m,q 表示). 解析本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.(1)由条件知a n =(n-1)d,b n =2n-1. 因为|a n -b n |≤b 1对n=1,2,3,4均成立,即1≤1,1≤d ≤3,3≤2d ≤5,7≤3d ≤9,得73≤d ≤52. 因此,d 的取值范围为[73,52]. (2)由条件知:a n =b 1+(n-1)d,b n =b 1q n-1.若存在d ∈R ,使得|a n -b n |≤b 1(n=2,3,…,m+1)均成立, 即|b 1+(n-1)d-b 1q n-1|≤b 1(n=2,3,…,m+1).即当n=2,3,…,m+1时,d 满足q n -1-2n -1b 1≤d ≤q n -1n -1b 1. 因为q ∈(1,√2m],所以1<q n-1≤q m≤2, 从而q n -1-2n -1b 1≤0,q n -1n -1b 1>0,对n=2,3,…,m+1均成立.因此,取d=0时,|a n -b n |≤b 1对n=2,3,…,m+1均成立. 下面讨论数列{q n -1-2n -1}的最大值和数列{q n -1n -1}的最小值(n=2,3,…,m+1). ①当2≤n ≤m 时,q n -2n -q n -1-2n -1=nq n -q n -nq n -1+2n(n -1)=n(q n -q n -1)-q n +2n(n -1),当1<q ≤21m 时,有q n≤q m≤2,从而n(q n-q n-1)-q n+2>0.因此,当2≤n ≤m+1时, 数列{q n -1-2n -1}单调递增, 故数列{q n -1-2n -1}的最大值为q m -2m. ②设f(x)=2x(1-x),当x>0时, f '(x)=(ln 2-1-xln 2)2x<0. 所以f(x)单调递减,从而f(x)<f(0)=1. 当2≤n ≤m时,q n n q n -1n -1=q(n -1)n ≤21n (1-1n )=f (1n )<1. 因此,当2≤n ≤m+1时,数列{q n -1n -1}单调递减, 故数列{q n -1n -1}的最小值为q mm. 因此,d 的取值范围为[b 1(q m -2)m ,b 1q mm]. 疑难突破本题是数列的综合题,考查等差数列、等比数列的概念和相关性质,第(1)问主要考查绝对值不等式.第(2)问要求d 的范围,使得|a n -b n |≤b 1对n=2,3,…,m+1都成立,首先把d 分离出来,变成q n -1-2n -1b 1≤d ≤q n -1n -1b 1,难点在于讨论q n -1-2n -1b 1的最大值和q n -1n -1b 1的最小值.对于数列{q n -1-2n -1},可以通过作差讨论其单调性,而对于数列{q n -1n -1},要作商讨论单调性,∵q nnq n -1n -1=q(n -1)n =q (1-1n),当2≤n ≤m时,1<qn≤2,∴q (1-1n )≤21n (1-1n),可以构造函数f(x)=2x(1-x),通过讨论f(x)在(0,+∞)上的单调性去证明f (1n)<1,得到数列{q n -1n -1}的单调性,解出最小值.两个数列,一个作差得到单调性,一个作商得到单调性,都是根据数列本身结构而得,方法自然合理,最后构造函数判断21n (1-1n)与1的大小是难点,平时多积累,多思考,也是可以得到的. 10.(2015广东,21,14分)数列{a n }满足:a 1+2a 2+…+na n =4-n+22n -1,n ∈N*.(1)求a 3的值;(2)求数列{a n }的前n 项和T n ; (3)令b 1=a 1,b n =T n -1n +(1+12+13+…+1n)a n (n ≥2),证明:数列{b n }的前n 项和S n 满足S n <2+2ln n.解析 (1)当n=1时,a 1=1;当n=2时,a 1+2a 2=2, 解得a 2=12;当n=3时,a 1+2a 2+3a 3=114,解得a 3=14. (2)当n ≥2时,a 1+2a 2+…+(n-1)a n-1+na n =4-n+22n -1,①a 1+2a 2+…+(n-1)a n-1=4-n+12n -2,②由①-②得,na n =n2n -1,所以a n =12n -1(n ≥2),经检验,a 1=1也适合上式,所以a n =12n -1(n ∈N*).所以数列{a n }是以1为首项,12为公比的等比数列.所以T n =1×(1-12n )1-12=2-12n -1.(3)证明:b 1=1,b n =2n -1n·12n -2+(1+12+13+ (1))·12n -1(n ≥2).当n=1时,S 1=1<2+2ln 1.当n ≥2时,b n =T n -1n +(1+12+13+…+1n)·a n =T n -1n +(1+12+13+…+1n)·(T n -T n-1) =T n -1n +(1+12+13+…+1n )·T n -(1+12+13+…+1n)·T n-1 =(1+12+13+ (1))·T n -(1+12+13+…+1n -1)·T n-1, 所以S n =1+(1+12)·T 2-1·T 1+(1+12+13)·T 3-(1+12)·T 2+…+(1+12+13+…+1n )·T n -1+12+13+…+1n -1·T n-1=(1+12+13+…+1n)·T n <21+12+13+…+1n=2+2(12+13+ (1)),以下证明12+13+ (1)<ln n(n ≥2).构造函数h(x)=ln x-1+1x(x>1),则h'(x)=1x -1x 2=x -1x 2>0(x>1),所以函数h(x)在区间(1,+∞)上单调递增,即h(x)>h(1)=0.所以lnx>1-1x(x>1), 分别令x=2,32,43,…,nn -1,得 ln 2>1-12=12,ln 32>1-23=13,ln 43>1-34=14, …… lnn n -1>1-n -1n =1n. 累加得ln 2+ln 32+…+lnn n -1>12+13+ (1), 即ln 2+(ln 3-ln 2)+…+[ln n-ln(n-1)]>12+13+ (1), 所以12+13+ (1)<ln n(n ≥2). 综上,S n <2+2ln n,n ∈N *.11.(2015陕西,21,12分)设f n (x)是等比数列1,x,x 2,…,x n的各项和,其中x>0,n ∈N ,n ≥2.(1)证明:函数F n (x)=f n (x)-2在(12,1)内有且仅有一个零点(记为x n ),且x n =12+12x nn+1; (2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为g n (x),比较f n (x)和g n (x)的大小,并加以证明. 解析 (1)证明:F n (x)=f n (x)-2=1+x+x 2+…+x n-2,则F n (1)=n-1>0,F n (12)=1+12+(12)2+…+(12)n-2=1-(12)n+11-12-2=-12n <0,所以F n(x)在(12,1)内至少存在一个零点.又F'n(x)=1+2x+…+nx n-1>0,故F n(x)在(12,1)内单调递增,所以F n(x)在(12,1)内有且仅有一个零点x n.因为x n是F n(x)的零点,所以F n(x n)=0,即1-x n n+11-x n -2=0,故x n=12+12x n n+1.(2)解法一:由题设得,g n(x)=(n+1)(1+x n)2.设h(x)=f n(x)-g n(x)=1+x+x2+…+x n-(n+1)(1+x n)2,x>0. 当x=1时, f n(x)=g n(x).当x≠1时,h'(x)=1+2x+…+nx n-1-n(n+1)x n-12.若0<x<1,h'(x)>x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n(n+1)2x n-1=n(n+1)2x n-1-n(n+1)2x n-1=0.若x>1,h'(x)<x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n(n+1)2x n-1=n(n+1)2x n-1-n(n+1)2x n-1=0.所以h(x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减,所以h(x)<h(1)=0,即f n(x)<g n(x).综上所述,当x=1时, f n(x)=g n(x);当x≠1时, f n(x)<g n(x).解法二:由题设, f n(x)=1+x+x2+…+x n,g n(x)=(n+1)(x n+1)2,x>0. 当x=1时, f n(x)=g n(x).当x≠1时,用数学归纳法可以证明f n(x)<g n(x).①当n=2时, f2(x)-g2(x)=-12(1-x)2<0,所以f2(x)<g2(x)成立.②假设n=k(k≥2)时,不等式成立,即f k(x)<g k(x).那么,当n=k+1时,f k+1(x)=f k(x)+x k+1<g k(x)+x k+1=(k+1)(1+x k)2+x k+1=2x k+1+(k+1)x k+k+12.又g k+1(x)-2x k+1+(k+1)x k+k+12=kxk+1-(k+1)x k+12,令h k(x)=kx k+1-(k+1)x k+1(x>0),则h'k(x)=k(k+1)x k-k(k+1)x k-1=k(k+1)x k-1(x-1). 所以当0<x<1时,h'k(x)<0,h k(x)在(0,1)上递减; 当x>1时,h'k(x)>0,h k(x)在(1,+∞)上递增.所以h k(x)>h k(1)=0,从而g k+1(x)>2x k+1+(k+1)x k+k+12.故f k+1(x)<g k+1(x),即n=k+1时不等式也成立.由①和②知,对一切n≥2的整数,都有f n(x)<g n(x).解法三:由已知,记等差数列为{a k},等比数列为{b k},k=1,2,…,n+1.则a1=b1=1,a n+1=b n+1=x n,所以a k=1+(k-1)·x n-1n(2≤k≤n),b k=x k-1(2≤k≤n),令m k(x)=a k-b k=1+(k-1)(x n-1)n-x k-1,x>0(2≤k≤n),当x=1时,a k=b k,所以f n(x)=g n(x).当x≠1时,m'k(x)=k-1n·nx n-1-(k-1)x k-2=(k-1)x k-2(x n-k+1-1).而2≤k≤n,所以k-1>0,n-k+1≥1.若0<x<1,x n-k+1<1,m'k(x)<0;若x>1,x n-k+1>1,m'k(x)>0,从而m k(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,所以m k(x)>m k(1)=0,所以当x>0且x≠1时,a k>b k(2≤k≤n),又a1=b1,a n+1=b n+1,故f n(x)<g n(x).综上所述,当x=1时, f n(x)=g n(x);当x≠1时, f n(x)<g n(x).12.(2015重庆,22,12分)在数列{a n}中,a1=3,a n+1a n+λa n+1+μa n2=0(n∈N+).(1)若λ=0,μ=-2,求数列{a n}的通项公式;(2)若λ=1k0(k0∈N+,k0≥2),μ=-1,证明:2+13k0+1<a k0+1<2+12k0+1.解析(1)由λ=0,μ=-2,有a n+1a n=2a n2(n∈N+).若存在某个n0∈N+,使得a n0=0,则由上述递推公式易得a n0-1=0.重复上述过程可得a1=0,此与a1=3矛盾,所以对任意n∈N+,a n≠0.从而a n+1=2a n(n∈N+),即{a n}是一个公比q=2的等比数列. 故a n=a1q n-1=3·2n-1.(2)由λ=1k0,μ=-1,数列{a n}的递推关系式变为a n+1a n+1k0a n+1-a n2=0,变形为a n+1(a n+1k0)=a n2(n∈N+).由上式及a1=3>0,归纳可得3=a1>a2>...>a n>a n+1> 0因为a n+1=a n2a n+1k0=a n2-1k02+1k02a n+1k=a n-1k0+1k0·1k0a n+1,所以对n=1,2,…,k0求和得a k0+1=a1+(a2-a1)+…+(a k0+1-a k)=a1-k0·1k0+1k0·(1k0a1+1+1k0a2+1+…+1k0a n+1)>2+1k0·(13k0+1+13k0+1+…+13k0+1⏟k0个)=2+13k0+1.另一方面,由上已证的不等式知a1>a2>…>a k0>a k0+1>2,得a k0+1=a1-k0·1k0+1k0·(1k0a1+1+1k0a2+1+…+1k0a k+1)<2+1k 0·(12k 0+1+12k 0+1+…+12k 0+1⏟ k 0个)=2+12k 0+1. 综上,2+13k 0+1<a k 0+1<2+12k 0+1. 13.(2015安徽,18,12分)设n ∈N *,x n 是曲线y=x 2n+2+1在点(1,2)处的切线与x 轴交点的横坐标.(1)求数列{x n }的通项公式;(2)记T n =x 12x 32…x 2n -12,证明:T n ≥14n.解析 (1)y'=(x2n+2+1)'=(2n+2)x2n+1,曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2.从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1). 令y=0,解得切线与x 轴交点的横坐标x n =1-1n+1=nn+1. (2)证明:由题设和(1)中的计算结果知T n =x 12x 32…x 2n -12=(12)2(34)2…(2n -12n)2. 当n=1时,T 1=14.当n ≥2时,因为x 2n -12=(2n -12n )2=(2n -1)2(2n)2>(2n -1)2-1(2n)2=2n -22n =n -1n . 所以T n >(12)2×12×23×…×n -1n =14n. 综上可得对任意的n ∈N *,均有T n ≥14n.【三年模拟】一、单项选择题(每题5分,共30分)1.(2018江西南昌二中模拟,4)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,S 4=10,则数列{1S n}的前100项的和为( ) A.200101B.100101C.1101D.2101答案 A2.(2019江西宜春3月联考,12)已知函数f(x)=e x(sin x-cos x),记f '(x)是f(x)的导函数,将满足f(x)=0的所有正数x 从小到大排成数列{x n },n ∈N *,则数列{f '(x n )}的通项公式是( )A.√2(-1)n ·e n 4+(n -1)πB.√2(-1)n+1·e π4+(n -1)πC.√2(-1)n·e π4+nπ D.√2(-1)n+1·e π4+nπ答案 B3.(2019河南郑州一模,10)已知数列{a n }满足2a n+1+a n =3(n ∈N *),且a 3=134,其前n 项之和为S n ,则满足不等式|S n -n-6|<1123的最小整数n 是( )A.8B.9C.10D.11 答案 C4.(2018河北衡水中学八模,8)已知函数f(x)=a x+b(a>0,且a ≠1)的图象经过点P(1,3),Q(2,5).当n ∈N *时,a n =f(n)-1f(n)·f(n+1),记数列{a n }的前n 项和为S n ,当S n =1033时,n 的值为( ) A.7 B.6 C.5 D.4 答案 D5.(2019广东广州天河二模,12)已知数列{a n }是以1为首项,2为公差的等差数列,{b n }是以1为首项,2为公比的等比数列,设c n =a b n ,T n =c 1+c 2+…+c n (n ∈N *),则当T n <2 019时,n 的最大值是( ) A.9 B.10 C.11 D.12 答案 A6.(2018四川南充模拟,11)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=45,a n+1={2a n ,0≤a n ≤12,2a n -1,12<a n ≤1,则S 2 018等于( )A.5 0445B.5 0475C.5 0485D.5 0495答案 B二、多项选择题(每题5分,共10分)7.(改编题)已知数列{a n }:12,13+23,14+24+34,……,110+210+…+910,……,若b n =1a n a n+1,数列{b n }的前n 项和为S n ,则( )A.a n =n+12 B.a n =n 2C.S n =4nn+1D.S n =n n+1答案 BC8.(改编题)在数列{a n }中,a 1=2,其前n 项和为S n ,若点(S n n ,S n+1n+1)在直线y=2x-1上,则有( )A.S n =n(1+2n-1) B.a n =(n+1)2n-2+1 C.S n =n(1+2n ) D.数列{S n n-1}是等比数列答案 ABD三、填空题(每题5分,共15分)9.(2018山西太原一模,15)在数列{a n }中,a 1=0,a n -a n-1-1=2(n-1)(n ∈N *,n ≥2),若数列{b n }满足b n =n √a n+1+1×(811)n ,则数列{b n }的最大项为第项. 答案 610.(2018皖南八校第三次联考,16)已知数列{a n }的前n 项和为S n =2n+1,b n =log 2(a n 2·2a n ),数列{b n }的前n 项和为T n ,则满足T n >1024的n 的最小值为 . 答案 911.(2020届浙江丽水四校联考,14)已知数列{a n }满足:a 1=12,a n+1=a n 2+a n,用[x]表示不超过x 的最大整数,则[1a 1+1+1a 2+1+…+1a 2 012+1]的值等于 .答案 1四、解答题(共60分)12.(2020届山东夏季高考模拟,17)在①b 1+b 3=a 2,②a 4=b 4,③S 5=-25这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的k 存在,求出k 的值;若k 不存在,说明理由.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,{b n }是等比数列, ,b 1=a 5,b 2=3,b 5=-81,是否存在k,使S k >S k+1且S k+1<S k+2?注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 解析方案一:选条件①.设{b n }的公比为q,则q 3=b 5b 2=-27,解得q=-3,所以b n =-(-3)n-1.从而a 5=b 1=-1,a 2=b 1+b 3=-10,由于{a n }是等差数列,所以a n =3n-16. 因为S k >S k+1且S k+1<S k+2等价于a k+1<0且a k+2>0,所以满足题意的k 存在,当且仅当{3(k +1)-16<0,3(k +2)-16>0,解得k=4.方案二:选条件②.设{b n }的公比为q,则q 3=b 5b 2=-27,解得q=-3,所以b n =-(-3)n-1.从而a 5=b 1=-1,a 4=b 4=27,所以{a n }的公差d=-28.S k >S k+1且S k+1<S k+2等价于a k+1<0且a k+2>0,此时d=a k+2-a k+1>0,与d=-28矛盾,所以满足题意的k 不存在. 方案三:选条件③.设{b n }的公比为q,则q 3=b 5b 2=-27,解得q=-3 ,所以b n =-(-3)n-1.从而a 5=b 1=-1, 由{a n }是等差数列得S 5=5(a 1+a 5)2, 由S 5=-25得a 1=-9.所以a n =2n-11.因为S k >S k+1且S k+1<S k+2等价于a k+1<0且a k+2>0,所以满足题意的k 存在,当且仅当{2(k +1)-11<0,2(k +2)-11>0,解得k=4.13.(2020届天津静海大邱庄中学第一次质量检测,19)已知等差数列{a n }满足:a 3=7,a 5+a 7=26,{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ; (2)令b n =1a n 2-1(n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d, 因为a 3=7,a 5+a 7=26,所以{a 1+2d =7,2a 1+10d =26,解得{a 1=3,d =2,所以a n =3+2(n-1)=2n+1,S n =3n+n(n -1)2×2=n 2+2n. (2)由(1)知a n =2n+1, 所以b n =1a n 2-1=1(2n+1)2-1=14·1n(n+1)=14·(1n -1n+1),。

高考数学(文)一轮复习提能训练：《数列的综合应用》(人教A版)含详析

[A 组基础演练·能力提升]一、选择题1．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 8＋a 9＝( )A ．24B ．32C ．48D ．64解析：依题意有，a n ＋a n ＋1＝b n ，a n ·a n ＋1＝2n ，又a 1＝1，故a 2＝2，a 3＝2，a 4＝22，a 5＝22，a 6＝23，a 7＝23，a 8＝24，a 9＝24，故b 8＋a 9＝(a 8＋a 9)＋a 9＝a 8＋2a 9＝3×24＝48.答案：C2．已知数列{a n }为等差数列，数列{b n }是各项为正数的等比数列，其公比q ≠1，若a 4＝b 4，a 12＝b 12，则( )A ．a 8＝b 8B ．a 8>b 8C ．a 8<b 8D ．a 8>b 8或a 8<b 8解析：∵{b n }为等比数列，其公比q ≠1，∴b 4≠b 12， ∴a 4≠a 12，∴a 8＝a 4＋a 122 > a 4a 12＝ b 4b 12＝b 8.答案：B3．已知正项等差数列{a n }满足：a n ＋1＋a n －1＝a 2n (n ≥2)，等比数列{b n }满足：b n ＋1b n －1＝2b n (n ≥2)，则log 2(a 2＋b 2)＝( )A ．－1或2B ．0或2C ．2D ．1解析：由题意可知， a n ＋1＋a n －1＝2a n ＝a 2n ，解得a n ＝2(n ≥2)(由于数列{a n }每项都是正数)，又b n ＋1b n －1＝b 2n ＝2b n (n ≥2)，所以b n ＝2(n ≥2)，log 2(a 2＋b 2)＝log 24＝2. 答案：C4．(2013年高考辽宁卷)下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个命题： P 1：数列{a n }是递增数列； P 2：数列{na n }是递增数列； P 3：数列{a nn }是递增数列；P 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4解析：设a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ，它是递增数列，所以p 1为真命题；若a n ＝3n －12，则满足已知，但na n ＝3n 2－12n 并非递增数列，所以p 2为假命题；若a n ＝n ＋1，则满足已知，但a n n ＝1＋1n 是递减数列，所以p 3为假命题；设a n ＋3nd ＝4dn ＋a 1－d ，它是递增数列，所以p 4为真命题．答案：D5．(2014年保定调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，若b ＝3，则a ＋c 的最大值为( )A.32 B ．3 C ．2 3D ．9解析：∵a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列， ∴2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，∴cos B ＝12，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝(a ＋c )24，即3≥(a ＋c )24，当且仅当a ＝c 时，等号成立，∴a ＋c ≤2 3. 答案：C6．若关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0与x 2－x ＋b ＝0(a ≠b )的四个根组成首项为14的等差数列，则a ＋b 的值是( )A.38B.1124C.1324D.3172解析：设两个方程的根分别为x 1、x 4和x 2、x 3.因为x 1＋x 4＝x 2＋x 3＝1，所以x 1＝14，x 4＝34，从而x 2＝512，x 3＝712.则a ＝x 1x 4＝316，b ＝x 2x 3＝35144，或a ＝35144，b ＝316，∴a ＋b ＝316＋35144＝3172.答案：D 二、填空题7．(2013年高考重庆卷)已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________.解析：因为{a n }为等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，所以a 1(a 1＋4d )＝(a 1＋d )2，解得d ＝2a 1＝2，所以S 8＝64.答案：648．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月(按30天计)，共织390尺布”，则每天比前一天多织________尺布．(不作近似计算)解析：由题意知，a 1＝5，n ＝30，S n ＝390＝30×5＋30×292d ⇒d ＝1629.答案：16299．(2014年合肥模拟)已知数列{a n }满足a n a n ＋1a n ＋2a n ＋3＝24，且a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 013＝________.解析：由a n a n ＋1a n ＋2a n ＋3＝24可知，a n ＋1a n ＋2a n ＋3·a n ＋4＝24，得a n ＋4＝a n ，所以数列{a n }是周期为4的数列，再令n ＝1，求得a 4＝4，每四个一组可得(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋…＋(a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＋a 2 012)＋a 2 013＝10×503＋1＝5 031.答案：5 031 三、解答题10．(2014年大同模拟)已知公比为q 的等比数列{a n }的前6项和S 6＝21，且4a 1，32a 2，a 2成等差数列．(1)求a n ；(2)设{b n }是首项为2，公差为－a 1的等差数列，其前n 项和为T n ，求不等式T n －b n >0的解集．解析：(1)∵4a 1，32a 2，a 2成等差数列，∴4a 1＋a 2＝3a 2，即4a 1＝2a 2，∴q ＝2.则S 6＝a 1(1－26)1－2＝21，解得a 1＝13，∴a n ＝2n －13.(2)由(1)得－a 1＝－13，∴b n ＝2＋(n －1)⎝⎛⎭⎫－13＝7－n 3，T n ＝2n ＋n 2(n －1)·⎝⎛⎭⎫－13＝13n －n 26， ∴T n －b n >0，即－(n －1)(n －14)6>0，解得1<n <14(n ∈N *)，故不等式T n －b n >0的解集为{n ∈N *|1<n <14}．11．已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的正整数n 的最小值．解析：(1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8，∴a 2＋a 4＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＋a 1q 3＝20a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12a 1＝32.又数列{a n }单调递增，∴q ＝2，a 1＝2，∴a n ＝2n .(2)由题意知b n ＝2n ·log 122n ＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，①∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，② ∴①－②得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n－n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2， ∵S n ＋n ·2n ＋1>50，∴2n ＋1－2>50，∴2n ＋1>52，又当n ≤4时，2n ＋1≤25＝32<52，当n ≥5时，2n ＋1≥26＝64>52.故使S n ＋n ·2n ＋1>50成立的正整数n 的最小值为5.12．(能力提升)(2013年高考广东卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；解析：(1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2)当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 22－a 11＝1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为1，公差为1的等差数列，所以a nn ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2.。

2021-2022年高考数学第一轮总复习 025数列的通项精品同步练习新人教A版

2021-2022年高考数学第一轮总复习 025数列的通项精品同步练习新人教A 版1、已知数列的前n 项和为S ｎ＝a n －1（a 为不为零的实数），则此数列（）A 、一定是等差数列B 、一定是等比数列C 、或是等差数列或是等比数列D 、既不可能是等差数列，也不可能是等比数列2、已知）（，n n n a a n a a -==+111,则数列的通项公式( )A. B. C. D.3、在数列中, 且则为 ( )A. 5B. 7C. 8D. 104、若数列的前n 项的和，那么这个数列的通项公式为（）A ．B ．C ．D ．5、已知数列满足=1，，则=_______________.6、在数列中，，，则=_________________.7、已知数列中，，且，则=________________.8、已知数列满足，，则=_______________.9、已知数列的首项（是常数且），121(,2)n n a a n N n -=+∈≥．（1）是否可能是等差数列，若可能，求出的通项公式；若不可能，说明理由；（2）设c 是常数)，若是等比数列，求实数c 的值，并求出的通项公式。

10、数列满足12212,5,32n n n a a a a a ++===-，（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的前n 项和.11、设数列的前n 项和为，且*111,42()n n a S a n N +==+∈，（1）设，求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式及前n 项和的公式。

作业：同步练习 g3.1025数列的通项1—4、C DCD 5、6、7、8、9、（1）不可能（2）10、（1）略（2）（3）11、（1）略（2），35738 8B9A 讚+28763 705B 灛33952 84A0 蒠Ce31888 7C90 粐32166 7DA6 綦\?21534 541E 吞n。

高考数学一轮总复习同步测试卷十数列的综合应用课件文新人教A版

A.an＝n（n2－1）(n∈N*) B.an＝n(n－1)(n∈N*) C.an＝n－1(n∈N*) D.an＝2n－2(n∈N*)
【解析】先确定函数的第有限个零点，易知函
数 g(x)＝f(x)－x 前 n 个零点依次是 0，1，2，…，
代入验证只有 C 符合.
6.已知函数 f(x)对应关系如表所示，数列{an}
三、解答题(本大题共 3 小题，共 40 分.解答应
写出文字说明，证明过程和演算步骤.)
11.(13 分)已知数列{an}为等差数列，a1＝1，公
差 d>0，数列{bn}为等比数列，且 a2＝b1，a6＝b2， a18＝b3.
(1)求数列{an}和数列{bn}的通项公式； (2)设数列{cn}对任意正整数 n 均有bc11＋bc22＋… ＋bcnn＝12a2n，若 m 为正整数，求所有满足不等式 102<c1＋c2＋…＋cm<103 的 m 的值.
满足 a1＝3，an＋1＝f(an)，则 a2 017＝( C )
x 123
f(x) 2 3 1
A.1
B.2
C.3
D.2 017
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分，将各小题的结果填在题中横线上.)
7.在各项均为正数的等比数列{an}中，若 a2＝ 1，a8＝a6＋2a4，则 a6＝_4___.
2017’新课标·名师导学·新高考第一轮总复习同步测试卷文科数学(十) (数列的综合应用)
时间：60分钟总分：100分
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36 分．每小题所给的四个选项中只有一项是符合题目要求的．)
1．数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 Sn＝1－2 ＋3－4＋…＋(－1)n－1n，则 S17＝( A )

高考数学一轮总复习数列的综合应用同步课件理

第二十一页，共24页。
(2)当λ＝4时，an＝(2n＋1)4n－1，若存在(cúnzài)ar，as，at成等比数列，则[(2r＋1)4r－1][(2t＋1)4t－1]＝(2s＋1)242s－2， (2r＋1)(2t＋1)4r＋t－2s＝(2s＋1)2，由奇偶性知，r＋t－2s＝0， ∴(2r＋1)(2t＋1)＝(r＋t＋1)2， ∴(r－t)2＝0，这与r≠t矛盾，故不存在(cúnzài)这样的正整数r，s，t，使ar，as，at成等比数列．
列前 25 项之和 S25＝( C )
A．309
B．311 C．313 D．315
【解析】∵an＋1＋an＝2n，an＋2＋an＋1＝2(n＋1)， ∴an＋2－an＝2，∴数列{an}的奇数项是以 1 为首项，2 为公差的等差数列，偶数项也是以 1 为首项，2 为公差
的等差数列，据等差数列的求和公式可得 S25＝313.
B．若对任意的 n∈N*，都有 cn∥bn 成立，则数列 {an}是等比数列
C．若对任意的 n∈N*，都有 cn⊥bn 成立，则数列 {an}是等差数列
D．若对任意的 n∈N*，都有 cn⊥bn 成立，则数列 {an}是等比数列
第七页，共24页。
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将各小题的结果填在题中横线上．)
第十五页，共24页。
(2)因为 an－1·an ＝(xn－1，yn－1)·12(xn－1－yn－1，xn－1＋yn－1)
＝12(x2n－1＋y2n－1)＝21|an－1|2，
cos θn＝a|ann－－11·||aann|＝21|a|an－n|1|＝ 22，
π 所以 θn＝ 4 (n≥2)， bn＝n（n1－1）＝n－1 1－n1(n≥2)，

高考数学第一轮总复习同步测试卷10数列的综合应用课件理

则 Sn 关于 n 的表达式为( D )
A.n－21n－21n
B.nn2＋1－21n
C.n－21n＋1－21n
D.nn2＋1＋1－21n
【解析】Sn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(12＋212＋213＋…＋ 1 2n) ＝nn2＋1＋1211－－1221n＝nn2＋1＋1－21n.
6．将自然数 1,2,3，…，n，…，按第 k 组含 k 个
9．已知数列{an}满足 a1＝1，an＝a1＋2a2＋3a3 ＋…＋(n－1)·an－1(n∈N*，n≥2)，则{an}的通项公
式 an＝
1 n 1
n! 2
n2
.
【解析】由已知，
an＋1＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＋nan an＋nan＝(n＋1)an
∴aan＋n 1＝n＋1，(n≥2) 又 a1＝1，a2＝a1＝1 ∴当 n≥2 时，an＝a1·aa12·aa32·…·aan－n1＝n！ 2
(2)由(1)知
an＝2n－2nn－1，Sn＝k＝n 1
n
(2k)－
k＝1
k 2k－1
n
k＝1
n
(2k)＝n(n＋1)，又
k＝1
2kk－1由错位相减得
4－
n＋2 2n－1 . 故 Sn＝n(n＋1)＋n2＋n－12－4.
13．(18 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，且对任意正整数 n，点(an＋1，Sn)在直线 2x＋y－2 ＝0 上．
1，n＝1 故 an＝n！ 2 ，n≥2 .
10．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个项点是
下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为 2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的下底面面积)超过 39，则该塔形中正方体的个数至少是__6__.

人教数学A版高中数学同步训练之027数列的应用

同步练习027数列的应用1. 某商品降价10%，欲恢复原价，应提价（）A.10%B.9%C.11%D.1009%2、（2000全国卷）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分别累进计算.（A）800～900元（B）900～1200元（C）1200～1500元（D）1500～2800元3、农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。

2003年某地区农民人均收入为3150元(其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元), 预计该地区自2004年起的5 年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元。

根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于）A．4200元~4400元B．4400元~4600元C．4600元~4800元D．4800元~5000元4、一种设备的价格为450000元，假设维护费第一年为1000元，以后每年增加1000元，当此设备的平均费用为最小时为最佳更新年限，那么此设备的最佳更新年限为。

5、一个球从100m高处落下，每次着地后又跳回原来高度的一半，再落下，当它第10次着地时，共经过了m。

（精确到1m）6、某人从1998年起，每年7月1日到银行新存入a元一年定期，若年利率r保持不变，且每年到期存款自动转为新的一年定期，到2005年7月1日，将所有的存款及利息全部取回，他可取回的总金额是元。

7、将正奇数按下表排成5列：那么，2005应该在第行，第列。

8、某纺织厂的一个车间有n （n >7，n ∈N ）台织布机，编号分别为1，2，3，……，n ，该车间有技术工人n 名，编号分别为1，2，3，……，n 。

定义记号ij a ，如果第i 名工人操作了第j 号织布机，此时规定1ij a =，否则0ij a =.若第7号织布机有且仅有一人操作，则17273747a a a a ++++7n a += ；若3132333432n a a a a a +++++=，说明。

高考数学第一轮总复习 027数列的应用同步练习

2019-2020年高考数学一轮复习 第二讲 数列求和及数列的综合应用讲练 理 新人教A版

最新高考数学一轮复习知识点攻破习题-数列的综合应用