高考数学基础知识总结：第六章 不等式

高中数学 第六章——不等式
考试内容：
不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求：
（1）理解不等式的性质及其证明．
（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．
（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式．
（4）掌握简单不等式的解法．
（5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │
§06.不等式 知识要点
1.不等式的基本概念
（1）不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>-
（2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.
（3）同向不等式与异向不等式.
（4）同解不等式与不等式的同解变形.
2.不等式的基本性质
（1）a b b a <⇔>（对称性）
（2）c a c b b a >⇒>>,（传递性）
（3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性）
（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加）
（5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减）
（6）bc ac c b a >⇒>>0,.
（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）
（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）
(9)0,0a b a b c d c d >><<⇒>（异向不等式相除）
11(10),0a b ab a b
>>⇒<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则）
（12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）
3.几个重要不等式
（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若
（2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号）
（3）如果a ,b
.2
a b +（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：
○
1如果P 是定值,那么当x=y 时，S 的值最小； ○
2如果S 是定值,那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等.
,3
a b c a b c R +++∈(4)若、、则a=b=c 时取等号）
0,2b a ab a b
>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号）
2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或
（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若
4.几个著名不等式
（1）平均不等式：如果a ,b
都是正数，那么2
112a b a b ++（当仅当a=b 时取等号）
即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）： 特别地，222()22a b a b ab ++≤≤（当a =b 时，222()22
a b a b ab ++==） ),,,(332222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++≥++ ⇒幂平均不等式：22122221)...(1...n n a a a n
a a a +++≥+++ 注：例如：22222()()()ac bd a
b
c
d +≤++. 常用不等式的放缩法：①21111111(2)1(1)(1)1n n n n n n n n n n
-==-≥++--
1)n ==≥
（2）柯西不等式：时取等号当且仅当（则
若n
n n n n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ 332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,, （3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有 12121212()()()()()().2222
x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或 则称f(x)为凸（或凹）函数.
5.不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.
6.不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）.
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.
特例①一元一次不等式ax >b 解的讨论；
②一元二次不等式ax 2
+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ()()0()()0()()0;0()0
()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ （3）无理不等式：转化为有理不等式求解
1()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬⇔≥⎨⎭⎪>⎩
定义域 ○2⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或○
3⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]
([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f （4）.指数不等式：转化为代数不等式
()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b
>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅> （5）对数不等式：转化为代数不等式
()0()0log ()log ()(1)()0;
log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩
（6）含绝对值不等式
○
1应用分类讨论思想去绝对值；○2应用数形思想； ○
3应用化归思想等价转化 ⎩
⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为 注：常用不等式的解法举例（x 为正数）：
①231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x -=
⋅--≤=
②2222232(1)(1)124(1)()22327x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤类似于22sin cos sin (1sin )y x x x x ==-，③111||||||()2x x x x x x
+=+≥与同号，故取等。