2初等模型

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数学建模培训讲义-建模概论与初等模型

模型建立建立t与n的函数关系有多种方法:
1. 右轮盘转过第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度等于录象带在时间t内移动的长度vt, 所以
m kn
模型建立
2. 考察右轮盘面积的变化,等于录象带厚度 3. 考察t到t+dt录象带在乘以转过的长度,即右轮盘缠绕的长度,有
[(r wkn)2 r 2 ] wvt (r wkn)2kdn vdt
• 亲自动手，认真作几个实际题目
数学建模的论文结构
1、摘要——问题、模型、方法、结果
2、问题重述
3、模型假设
4、分析与建立模型
5、模型求解
6、模型检验
7、模型推广
8、参考文献
9、附录
谢谢！
二、初等模型
例1 哥尼斯堡七桥问题
符号表示“一笔画问题”(抽象分析法) 游戏问题图论(创始人欧拉) 完美的回答连通图中至多两结点的度数为奇
3. 对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，
使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地。
A
y A
椅脚连线为正方形ABCD(如右图).
模型
t ——椅子绕中心点O旋转角度
构 f(t)——A,C两脚与地面距离之和 D
B
t
x
成 g(t)——B,D两脚与地面距离之和
O
B
f(t), g(t) 0
D
C
模型构成由假设1，f和g都是连续函数 A
实际上, 由于测试有误差, 最好用足够多的数据作拟合。
若现有一批测试数据：
t 0 20 40 60 n 0000 1153 2045 2800 t 100 120 140 160 n 4068 4621 5135 5619

姜启源数学模型第五版第二章

分析与建模
甲的无差别曲线
如果甲占有(x1,y1)与占有
y
(x2,y2)具有同样的满意程度, y0
即p1, p2对甲是无差别的.
y1
将所有与p1, p2无差别的点连接起来, 得到一条无差别 y2
曲线MN.
O
.M
M1
p1
p3(x3,y3)
. .p2
N1
N
x1
x2
x0 x
线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度.
参数估计 • 根据测试数据对模型作拟合.
• 调查交通工程学的相关资料：
司机反应时间c1约为0.7~1s，系数c2约为0.01( mh2/km2)
城市通行能力模型
道路通行能力~单位时间内通过某断面的最大车辆数. 通行能力表示道路的容量，交通流量表示道路的负荷. 饱和度~流量与通行能力的比值, 表示道路的负荷程度.
3个参数之间的基本关系 q vk
交通流的主要参数及基本规律 q vk
速度v 与密度k 的关系车流密度加大司机被迫减速
数据分析、机理分析线性模型 v v f (1 k / k j )
vf ~畅行车速(k=0时) kj~阻塞密度(v=0时)
流量q与密度k 的关系 q v f k(1 k / k j )
Ta~内层玻璃的外侧温度
内
Ta Tb
室外
Tb~外层玻璃的内侧温度
T1 d l d T2
k1~玻璃的热传导系数
Q1
k2~空气的热传导系数
墙
Q1

k1
T1
Ta d

k2
Ta
Tb l

k1

M02初等模型量纲分析和无量纲化

4
第二章
初等模型
5
第二章
初等模型
6
应用： 1：减少物理量； 2：舍弃次要因素，减少独立参数的个数； 3：物理模拟中的比例模型
例，用实验方法研究飞机的外部流动时，很难设想为此而建立能容纳全尺寸飞机的大风洞，因为仅驱动风洞气流所需的能量就大的惊人。所以合理的解决办法就是缩小试件尺寸，做模型实验。因此引起的问题是应怎样设计和安排实验才能保证模型实验能真实地反映全尺寸飞机的飞行情况呢？
m=6, n=3
第二章初等模型
f (q1 , q2 , L, qm ) = 0
rank A = r Ay=0 有m-r个基本解
ys = (ys1, ys2, …,ysm s = 1,2,…, m-r )T
ϕ ( g , l , ρ , v, s, f ) = 0
rank A = 3 Ay=0 有m-r=3个基本解
第二章初等模型
7
2.5
量纲分析与无量纲化
量纲分析是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法，它在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系。
量纲齐次原则
等式两端的量纲一致
例，用实验方法研究飞机的外部流动时，很难设想为此而建立能容纳全尺寸飞机的大风洞，因为仅驱动风洞气流所需的能量就大的惊人。所以合理的解决办法就是缩小试件尺寸，做模型实验。因此引起的问题是应怎样设计和安排实验才能保证模型实验能真实地反映全尺寸飞机的飞行情况呢？
动力学中基本量纲 L, M, T 导出量纲
对无量纲量α，[α]=1(=L0M0T0)
第二章初等模型
m1m2 f =k 2 r
9
量纲齐次原则

数学建模课程内容

■用Matlab解微分方程
2
微分 3. 运用这些规律列出方程和定解条件。 HOW？方程建模采用如下一种或多种方法进行微分方程建模：
（i）按规律直接列方程 —— 在数学、力学、物理、化学等学科
中许多自然现象所满足的规律已为人们所熟悉，并直接由微分方程所描述。
（ii）微元分析法与任意区域上取积分的方法——自然
假设
建模
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
1）总人数N不变，病人和健康
人的比例分别为 i(t), s(t)
SI 模型
2）每个病人每天有效接触人数
为, 且使接触的健康人致病 ~ 日接触率
N[i(t t) i(t)] [s(t)]Ni(t)t
di si
dt
s(t) i(t) 1
di dt
传染病蔓延 1/σ ~
传染病不蔓延阈值
14
模型4 SIR模型预防传染病蔓延的手段
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
,
(日接触率) 卫生水平
(日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0
的估计
提高 r0
s0 i0 r0 1
s0
i0
s
1
ln s s0
27
上图中，共有三条曲线，代表三个状态参数随时间变化的图形
上图中只出现一条曲线，此曲线代表以三个状态参数为坐标、以时间为参数的一条三维空间中的曲线
28
小提示：要观看Lorenz 混沌方程随时间而变的动画，可在MATLAB 命令窗口下执行"lorenz"命令。
29
界中也有许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。可是通过微元分析法，利用已知的规律建立一些变量（自变量与未知函数）的微元之间的关系式，然后再通过取极限的方法得到微分方程，或等价地通过任意区域上取积分的方法来建立微分方程。

数学建模初等模型

数学建模初等模型
数学建模是将现实世界的问题抽象化为数学模型，并利用数学方法和技巧来分析和解决这些问题的过程。

在数学建模中，初等模型是指使用基本的数学概念和方法来描述和解决问题的模型。

常见的初等模型包括线性模型、指数模型、对数模型、多项式模型等。

线性模型是最简单的初等模型之一，它假设变量之间的关系是线性的，可以用直线来表示。

指数模型描述的是变量之间的指数关系，对数模型则描述的是变量之间的对数关系。

多项式模型可以用多项式函数来描述变量之间的关系。

使用初等模型进行数学建模时，我们需要确定问题中的关键变量和它们之间的关系，然后建立数学方程或函数来表示这些关系。

通过对这些方程或函数进行求解和分析，我们可以得到问题的解答或结论。

初等模型的优点是简单易懂，容易理解和应用。

它适用于一些简单的实际问题，例如人口增长、物体运动、投资收益等。

但初等模型也有一些限制，它对问题的描述和解决方法有一定的限制性，不能很好地处理复杂的问题。

总之，初等模型是数学建模中的一种简单模型，通过使用基本的数学
概念和方法来描述和解决问题。

它易于理解和应用，适用于一些简单的实际问题。

但在处理复杂问题时，可能需要借助更高级的数学模型和技巧来进行建模和分析。

数学实验二报告

数学模型实验报告实验内容：
学生姓名
学号
实验二初等模型
8. 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生鱼的重量给予奖励。

俱乐部只准备了一把软尺用于测量。

请设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。

假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围值鱼身的最大周长）。

先用机理分
13. 生物学家认为，对于休息状态的热血动物，消耗的能量主要用于维持体温，能量与从心脏到全身的血流量成正比，而体温主要通过身体表面散失，建立一个动物体重（单位：g）与心率（单位：次/min）之间的模型，并用下面的数据加以检验。

动物体重心率
田鼠 25 670
家鼠 200 420
兔 2000 205
小狗 5000 120
大狗 30000 85
羊 50000 70
人 70000 72
马 450000 38。

《数学建模》教学大纲

《数学模型》课程教学大纲一、《数学模型》课程说明（一）课程编号：07251105（二）英文名称：Mathmatic Modeling（三）开课对象：数学与应用数学专业（四）课程的性质：数学建模是为数学与应用数学专业开设的一门学科基础课，其先修课程有数学分析、高等代数、概率论与数理统计、数学实验等。

它是研究如何将数学方法和计算机知识结合起来用于解决实际生活中存在问题的一门边缘交叉学科，是集经典数学、现代数学和实际问题为一体的一门新型课程，是应用数学解决实际问题的重要手段和途径。

（五）教学目的：数学建模是继本科生学习数学分析、高等代数、概率论与数理统计之后进一步提高运用数学知识解决实际问题，培育和训练综合能力所开设的一门新学科。

通过具体实例引入使学生掌握数学建模基本思想、基本方法、基本类型。

学会进行科学研究的一般过程，并能进入一个实际操作的状态．通过数学模型有关的概念、特征的学习和数学模型应用实例的介绍，培养学生数学推导计算和简化分析能力、熟练运用计算机能力；培养学生联想、洞察能力、综合分析能力；培养学生应用数学解决实际问题的能力。

（六）教学要求和方法1.教学要求本课程主要介绍在数学应用中已经比较完善的数学模型，包括初等模型、简单优化模型、线性规划模型、离散模型、离散模型、微分方程模型、差分方程、概率统计模型等内容。

要求学生了解数学建摸的基本概念及基本方法，学会将学过的数学方法和知识同周围的现实世界联系起来，甚至和真正的实际问题联系起来。

不仅应使学生知道数学有用、怎么用，更要使学生体会到在真正的应用中还需要继续学习。

2.教学方法本课程将课堂讲授与上机实习结合起来，以课堂讲授为主。

课堂讲授旨在教学生如何建立模型，讲授中穿插各类数模实例，与现实中的各类实际问题相结合，启发学生自主思考和研究问题，找寻解决问题的数学模型和实际方法。

除此外，还会讲解数学建模论文的书写方法，以论文的形式完成建模和研究工作。

上机旨在教学生如何求解模型，以学生自主学习为主，结合课堂学习内容完成课堂布置的作业，利用数学软件求解模型结果。

数学建模-初等模型讲义

123
2083.3
1341.8
3425.2 256250.0 250365.4
237
2083.3
45.5
2128.8 493750.0 328794.3
238
2083.3
34.1
2117.4 495833.3 328828.5
239
2083.3
240
2083.3
22.7
2106.1 497916.7 328851.2
9
7
9
11.3
4
8.5
21
21 21
ai比惯例分配的要小
第21席应该分配乙系, 标准1的分配方案：10, 7, 4.
可用列表方法解决标准1(类似可解决标准2与3) 计算 ni 成表, k 1,2, k
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 甲 103 51.5 34.3 25.8 20.6 17.2 14.7 12.9 11.4 10.3 9.4 乙 63 31.5 21.0 15.8 12.6 10.5 9.0 7.9 7.0 6.3 5.7 丙 34 17.0 11.3 8.5 6.8 5.7 4.9 4.3 3.8 3.4 3.1
2. 按揭还款
用房产在银行办理的贷款, 该贷款要按照银行规
定的利率支付利息。贷款形式
商业贷款和公积金贷款. 还款形式
等额本息和等额本金.
如贷款50万, 分20年还清, 年利率r , 问月供是多少？
调整日期
2015.08.26 2015.06.28 2015.05.11 2015.03.01 2014.11.22 2012.07.07 2012.06.09 2011.07.07 2011.04.06 2011.02.09 2010.12.26 2010.10.20 2008.12.23

初等函数与函数模型知识点总结-2025届高三数学一轮复习

知识点总结 3-3初等函数与函数模型一．幂函数1．幂函数的概念：一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数． 2．五种常见幂函数的图象与性质函数特征性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝12xy ＝x －1图象定义域R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} 值域R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增 (－∞，0)减，(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1，1)x ＝1，y ＝1，y ＝x 分区域．根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． (1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；幂函数的图象过定点(1，1)；(2)当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增，特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸； (3)当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减； (4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．(5)在第一象限，直线x ＝a (a >1)同各幂函数相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．(即：指大图高)(6)形如f (x )＝x α(其中α∈Z )，当α为奇数时，幂函数为奇函数，图象关于原点对称；当α为偶数时，幂函数为偶函数，图象关于y 轴对称．(7)对于形如f (x )＝x m n(其中n ∈N *，m ∈Z ，m 与n 互质)的幂函数的奇偶性： ①当m 为偶数时，f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称； ②当m ，n 都为奇数时，f (x )为奇函数，图象关于原点对称；③当n 为偶数时，x >0(或x ≥0)，f (x )是非奇非偶函数，图象只在第一象限(或第一象限及原点处)．二．二次函数1.二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)=ax 2+bx +c(a ≠0)；xyy ＝1y ＝xx ＝1α<00<α<1α>1O顶点式：f(x)=a(x −m)2+n(a ≠0)，对称轴为：x =m ，顶点是：(m,n)；零点式：f(x)=a(x −x 1)(x −x 2)(a ≠0)，x 1,x 2是f(x)的零点(即方程ax 2+bx +c =0两根)，对称轴x =x 1+x 22；2.二次函数的图象和性质解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 R R值域[4ac −b 24a,+∞)(−∞,4ac −b 24a]单调性 (−∞,−b2a ]上递减；[−b2a ,+∞)上递增 (−∞,−b2a ]上递增；[−b2a ,+∞)上递减对称性函数的图象关于直线x =−b 2a 对称3.与二次函数有关的恒成立问题：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则(1)f (x )＞0恒成立的充要条件是{a >0,∆<0, f (x )＜0恒成立的充要条件是{a <0,∆<0,(2)f (x )＞0(a ＜0)在区间[m ，n ]恒成立的充要条件是{f(m)>0f(n)>0(3)f (x )＜0(a ＞0)在区间[m ，n ]恒成立的充要条件是{f(m)<0f(n)<0三．指数与指数函数1.根式：式子√a n叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 性质：(√a n)n ＝a (a 使√a n有意义)；当n 为奇数时，√a n n ＝a ，当n 为偶数时，√a n n＝|a |＝{a, a ≥0,−a,a <0,2.分数指数幂规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n=√a m n(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a−m n=√a mna >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.3.有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r +s ； (a r )s ＝a rs ； (ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q.4.指数函数及其性质①概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数. ②指数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象定义域R值域 (0，＋∞)性质过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1 当x <0时，y >1；当x >0时，0<y <1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数①画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，(−1,1a ). ②在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象越高，底数越大，简称“底大图高” 如图是:(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，则：c ＞d ＞1＞a ＞b ＞0．四．对数与对数函数1．(1)对数的定义：如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，N>0(负数和零没有对数)． (2)几种常用的对数一般对数：log a N (a >0，且a ≠1)；常用对数：lgN =log 10N ；自然对数：lnN =log e N (e ≈2.718) 2.对数的常用结论(1)log a 1＝0(a >0且a ≠1)； (2)log a a ＝1(a >0且a ≠1)；推广：log a a n =n (a >0且a ≠1) (3)对数恒等式： a log a N ＝N (a >0且a ≠1，N >0)．4.对数的运算法则：如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )； 5.对数的换底公式：log b N ＝log a Nlog ab (a ，b 均大于零，且不等于1)；推广：(1)log a b ·log b a ＝1，即log a b ＝1log ba (a ，b 均大于0且不等于1)；(2)log a m b n ＝nmlog a b (a ，b 均大于0且不等于1，m ≠0，n ∈R )；6.对数函数的概念函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 7.对数函数的图象与性质函数y ＝log a x ，a >1y ＝log a x ，0<a <1图象图象特征在y 轴右侧，过定点(1，0) 当x 逐渐增大时，图象是上升的当x 逐渐增大时，图象是下降的定义域(0，＋∞)值域 R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数函数值变化规律当x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．五．对勾函数与飘带函数f (x )＝ax ＋bx1.对勾函数：f (x )＝ax ＋bx (ab ＞0)(1)当a ＞0，b ＞0时，f (x )在(－∞，－√ba]，[√ba ，＋∞)上是增函数，在[－√ba ，0)，(0，√ba ]上是减函数；(2)当a ＜0，b ＜0时，f (x )在(－∞，－]√ba ，[√ba ，＋∞)上是减函数，在[－√ba ，0)，(0，√ba ]上是增函数；2.飘带函数：f (x )＝ax ＋bx(ab ＜0)(1)当a ＞0，b ＜0时，f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数； (2)当a ＜0，b ＞0时，f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是减函数；六.几类常见函数模型函数模型函数解析式一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 反比例函数模型 f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数且k ≠0)二次函数模型 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)指数函数模型 f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1)幂函数模型 f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)七．抽象函数的模型 1.反比例函数模型若f(x +y)=f(x)f(y)f(x)+f(y)；则f(x)=f(1)x，(其中x,f(x),f(y),f(x +y)均不为0)2.一次函数模型模型1：若()()()f x y f x f y ±=±，则()(1)f x f x =；模型2：若()()()f x y f x f y ±=±，则()f x 为奇函数；模型3：若()()(),f x y f x f y m +=++则()()[1]f x f m x m =+-；模型4：若()()(),f x y f x f y m -=-+则()()[1]f x f m x m =-+；xya ＞0，b ＞0－b ab aOxya ＜0，b ＜0－b ab aOxya ＞0，b ＜0－－b a－b aOxya ＜0，b ＞0－－b a－b aO3.指数函数模型模型1：若f(x +y)=f(x)f(y)，则f(x)=[f(1)]x ,(f(x)>0)；模型2：若f(x −y)=f(x)f(y)，则f(x)=[f(1)]x ,(f(x)>0)；模型3：若f(x +y)=m ∙f(x)f(y)，则f(x)=[mf(1)]xm；模型4：若f(x −y)=m ∙f(x)f(y)，则f(x)=m [f(1)m]x ；4.对数函数模型模型1：若f(x n )=nf(x)，则f(x)=f(a )log a x(a >0且a ≠1，x >0)；模型2：若f(xy)=f(x)+f(y)，则f(x)=f(a )log a x(a >0且a ≠1，x >0)；模型3：若f(xy )=f(x)−f(y)，则f(x)=f(a )log a x(a >0且a ≠1，x >0)；模型4：若f(xy)=f(x)+f(y)+m ，则f(x)=[f(a )+m ]log a x +m(a >0且a ≠1，x >0)；模型5：若f(x y )=f(x)−f(y)+m ，则f(x)=[f(a )−m ]log a x +m(a >0且a ≠1，x >0)； 5.幂函数模型模型1：若f(xy)=f(x)f(y)，则f(x)=[f(a )]log a x (a >0且a ≠1，x >0)；模型2：若f(xy )=f(x)f(y)，则f(x)=[f(a )]log a x (a >0且a ≠1，x >0,y ≠0,f(y)≠0)；代入()f a 则可化简为幂函数； 6.余弦函数模型模型1：若f(x +y)+f(x −y)=2f(x)f(y)(f(x)不恒为0)，则f(x)=cosωx ；模型2：若f(x)+f(y)=2f(x+y 2)f(x−y 2)(f(x)不恒为0)，则f(x)=cosωx ；模型3：若f(x +y)+f(x −y)=kf(x)f(y)(f(x)不恒为0)，则f(x)=2kcosωx ； 7.正切函数模型模型1：若f(x +y)=f(x)+f(y)1−f(x)f(y) (f(x)f(y)≠1)，则f(x)=tanωx ；。

第四讲(一)初等模型-公平的席位分配-实物交换PPT课件

问 p1 / n1 p2 /(n2 +1)是否会出现?
若rB (n1 1, n2 ) rA (n1, n2 1),则这席位应给A,反之给B
10
当rB (n1 1, n2 ) rA (n1, n2 1),该席给A
根据rA，rB的定义
p22
p12
n2 (n2 1) n1(n1 1)
该席给A，否则该席给B
M1
p3(x3,y3)
将所有与p1, p2无差别的点连接起来，得到一条无差别曲线MN,
y2
.p2
N1
N
0
x1
x2
xo x
线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度，
比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1
上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。
16
y
甲的无差别曲线族记作
设A,B分别有n1, n2席,若增加1席, 问应分给A?还是B?
9
不妨设初始时 p1 / n1 p2 / n2, 即对A不公平,分下列几种情况
1)若 p1 /(n1 1) p2 / n2,则这席位应给A
2)若 p1 /(n1 1) p2 / n2,应计算rB (n1 1, n2 ) 3)若 p1 / n1 p2 /(n2 +1),应计算rA (n1, n2 1)
第四讲初等模型
一、公平的席位问题二、实物交换
1
一、公平的席位分配
席位分配是日常生活中经常遇到的问题，在企业、公司、学校、政府部门都能应用该模型解决实际的问题。
席位可以是代表大会、股东会议、公司企业员工大会等的具体座位。假设说，有一个公司要召集所有的部门开一个员工会议，在公司的会议厅里只能坐40个人，而公司总共有10个部门，10个部门总共有498个人，而每个部门的人数都不尽相同。如果你是会议的策划人，你要合理的分配会议厅的40个座位，既要保证每个部门都有人参加，最关键的就是要对10个部门都公平，保证10个部门对你所安排的位置没有异议。那么这个问题就要靠数学建模的方法来解决。

M02_初等模型数学建模

以上距离，车速在每小时 100公里以下时，可适当缩
短与同车道前车车距，但应保持50米以上距离。
2. 核军备竞赛
核军备竞赛
背景
• 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威慑战略”，核军备竞赛不断升级。
• 随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列
的核裁军协议。
问
❖ 在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的平衡状态。
全部核导弹攻击己方的核导弹基地； ➢ 乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核
导弹，给对方工业、交通等目标以毁灭性的打击。
• 在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地。
• 摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。
图 y=f(x) ~ 甲方有x枚导弹，乙方所需的最少导弹数的 x=g(y) ~ 乙方有y枚导弹，甲方所需的最少导弹数
预报A
正确率
实测预报
有雨
无雨
有雨 6
10
17/30=0.57 无雨 3
11
实测预报
有雨
无雨
有雨 0 0
无雨 9 22
预报B ×
正确率
22/31=0.71
预报C
实测预报
有雨
无雨
正确率有雨 22/27=0.81 无雨
53 2 17
预报实测有雨无雨有雨 6 0 无雨 2 21
√ 预报D
正确率
s(2 s) 2 s
x=2y, y=y0/s2
y0
0
y=f(x)
当 x=ay 时, 猜测有：
y
y0 sa
y0 sx/ y

初等模型-数学模型

几何模型
01
02
03
平面几何
平面几何是几何模型的基础，通过点、线、面等基本元素描述实际问题，如三角形、四边形、圆等。
立体几何
立体几何是描述三维空间中物体形状和位置关系的数学模型，如长方体、球体、圆柱体等。
解析几何
解析几何是将几何问题转化为代数问题的数学模型，通过代数方法解决几何问题。
提高数学模学模型具有强大的预测和决策支持功能，可以提高决策的科学性和准确性。通过数学模型的建立和应用，可以解决实际问题，推动科学技术和社会经济的发展。
影响力
加强数学模型的宣传和推广，提高其在社会、经济、科技等领域的认知度和影响力。同时，加强国际交流与合作，推动数学模型在全球范围内的应用和发展。
感谢观看
THANKS
通过数学模型可以模拟物种进化过程，解释生物多样性的起源和演化。
在商业决策中的应用
市场预测
通过分析历史数据和市场趋势，可以建立一个数学模型来预测未
来的市场需求和销售情况。
投资决策
利用数学模型评估投资组合的风险和回报，帮助投资者做出明智
的投资决策。
供应链管理
通过数学模型优化库存管理、物流和运输，降低成本并提高效率。
01
02
03
04
解析法
通过数学公式推导求解，适用于有解析解的简单问题。
数值法
通过数值计算求解，适用于大多数实际问题。
近似法
通过近似计算求解，适用于难以精确求解的问题。
模拟法
通过模拟实验求解，适用于难以建立数学模型的问题。
数学模型的验证与优化
模型验证
通过对比模型的预测结果与实际数据进行验证，确保模型的准确性。

数学模型-第02章(第五版)

对Q1比Q2的减少量作最保守的估计，
取k1/k2 =16
Q1 1 , h l
Q2 8h 1
d
模型应用
Q
1
l
1
, h
Q 8h 1
d
2
取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2=0.03
Q1/Q2
即双层玻璃窗与同样多材
料的单层玻璃窗相比，可
0.06
减少97%的热量损失.
结果分析
0.03 0.02
八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84 18.28 0.610 30.0
空艇重w0(kg) 桨手数n 16.3 13.6 18.1 .7
准调查赛艇的尺寸和质量备
l /b, w0/n 基本不变
问题分析分析赛艇速度与桨手数量之间的关系
赛艇速度由前进动力和前进阻力决定: • 前进动力 ~ 桨手的划桨功率 • 前进阻力 ~ 浸没部分与水的摩擦力
O 2 4 6h
Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气的热传导系数k2极低, 而这要求空气非常干燥、不流通.
房间通过天花板、墙壁、…损失的热量更多.
实际上双层窗的功效不会如此之大!
2.2 划艇比赛的成绩
对四种赛艇 (单人、双人、四人、八人) 4次国际
问大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某题种关系. 试建立数学模型揭示这种关系.
比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1上, 于是形成一族无差别曲线（无数条）.
甲的无差别曲线甲的无差别曲线族记作 f(x,y)=c1 c1~满意度
y
f(x,y)=c1
.y
p1
c1
（f ~等满意度曲线）