1.3.1函数的单调性与最大最小值1-2-3课时修订版_图文.ppt

1.3.1单调性与最大(小)值说课PPT

第7页，共19页。
（四）教学目标
1、知识与技能（1）使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性。（2）启发学生发现问题和提出问题，培养学生分析问题、认
识问题和解决问题的能力。
（3）通过观察-猜想-推理-证明这一个重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。
由教师引导，借助对几个函数图像的观察，对所观察到得特征进行归类，引入函数的单调性研究。
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（二）合作学习、问题探究
问题1：观察一次函数和二次函数的图像（P17，1.3-2），说说随着自变量的增大，图像的升降情况。
问题2：观察下面的表格(P28表1-3)，描述二次函数随自变量增大函数值的变化特征。引导学生从数值变化角度描述变化规律，图像上升（下降），随着x的增大y也增大（或减小）。
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2 教材的地位与作用
本节课是在学生学习了函数概念的基础上所研究的函数的一个重要性质。函数单调性的概念是研究具体函数函数单调性的一句，在研究函数的值域、定义域、最值等性质中有重要应用；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用。可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位。此外函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法。这就是，加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一半。首先借助对函数图像的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画。
（要注意说理的充分性）； ④结论：若为，则在区间D内为增函数
若为，则在区间D内为减函数 .
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高一数学必修一单调性与最大(小)值第课时课件PPT

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A
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D
01
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如何用函数的解析式和数学语言进行
描绘？
引导探究二
函数单调性的相关概念一般地，设函数f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1，x2 ，当 x1 x2时，都有_f_(_x_1_)_<_f_(_x_2_)，那
么就说函数 f (x)在区间D上是增函数．
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变
引导探究一
我们通过几个函数的图象观察函数值随自变量而变化的规律.
函数值在（，）上随着自变量的增大而增大.
函数值在（，0)上随自变量的增大而减少，在[0，）上随自变量的增大而增大.
这种函数在其定义域的一个区间上函数值随着自变量的_增__大__而__增__大__的性质我们称之为“函数在这个区间上是增函数”；函数在其定义域的一个区间上函数值随着自变量的_增__大__而__减__少__的性质我们称之为“函数在这个区间上是减函数”.
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高中数学 1.3.1 单调性与最大(小)值第2课时函数的最值课件新人教A版必修1

(1)令 x 为年产量，y 表示利润，求 y＝f(x)的表达式； (2)当年产量为何值时，工厂的利润最大？其最大值是多少？
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(3)求解：选择合适的数学方法求解函数． (4)评价：对结果进行验证或评估，对错误加以改正，最后将结果应用于现实，做出解释或预测．也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步
第三十三页，共48页。
3
某工厂生产一种机器的固定成本为 5 000 元，且每生产 1 部，需要增加投入 25 元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年 500 部，已知销售收入的函数为 N(x)＝ 500x－12x2，其中 x 是产品售出的数量(0≤x≤500)．
(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数(shìshù)满足等式，也就是说y＝f(x)的图象与直线y＝M至少有一个交点．
第十一页，共48页。
2．最值定义函数的__最__大__值__和__最__小_值___统称为函数的最值几何函数y＝f(x)的最值是图象_最__高__点___或_最__低__点___的意义纵坐标说明函数的最值是在整个定义域内的性质
第二十三页，共48页。
②由①知，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以若函数 f(x)的定义域与值域都是[12，2]，则ff122＝＝122，，
即1a1a－－212＝＝122，，解得 a＝25.
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规律总结：1.利用单调性求最值的一般步骤
(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值． 2．利用单调性求最值的三个常用结论 (1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间 [a，b]的左、右端点(duān diǎn)处分别取得最小(大)值和最大 (小)值． (2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)． (3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．

1.3.1 单调性与最大(小)值(第2课时)新

6、函数y x2-2ax 1的单调递增区间是[_a_,____)? 单调递减区间是 _(____,_a_]
7、函数y x2 2(a 1)x 1在(, 4)上是增函数，
则a的取值范围是 _(____,__5_]
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8
二、新课讲解
y
y
B3
yC
A
1
-1 o x
林老师网络编辑整理
19
三单、调例函题数讲在解闭区间上的最值必在端点处取得
例4 判断函数f ( x) 2 x 2, 6的单调性，求最值. x 1
解：任取x1，x2 [2,6]，且x1<x2，
f ( x1 )
f ( x2 )
2
x1 1
2 x2 1

2(x2 x1 ) (x1 1)(x2 1)
(2)存在x=__-_1__，有 _f_(-_1_)_ =1，
我们就说f(x)有
最大值为1 。林老师网络编辑整理
9
二、新课讲解
1、最大值：
设函数 y=f(x) 的定义域为I，如果存在实数M满足: (1)对于任意的 x∈I，都有 f(x) ≤ M； (2)存在 x0∈I，使得 f(x0)=M . 那么，我们称 M 是函数 y=f(x)的最大值。
由2 x1 <x2 6得：x2 x1 0， x1 1 0， x2 1 0,
f ( x1 ) f ( x2 )>0，即f ( x1)>f ( x2 ),
f ( x)= 2 是[2,6]上的减函数. x 1
因此，f ( x)max

f (2)
2 2，f ( 2 1 林老师网络编辑整理

高中数学1.3.1函数的单调性与最大(小)值优秀课件

x
设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I.
O
x1
x2
x
设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I.
如果对于属于定义域I内某个区间D上如果对于属于定义域I内某个区间D上
的任意两个自变量的值x1,x2，
的任意两个自变量的值x1,x2，
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )，当x1<x2时，都有 f (x1 ) > f(x2 )，
y
y x2
f (x1)
O
x1
x
在某一区间内当x的增大时，函数值y也增大
图象在该区间内呈上升趋势；
在某一区间内当x的增大时，函数值y反而减小
图象在该区间内呈下降趋势；
函数的这种性质称为函数的单调性。
一、函数单调性的概念：
1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如
那么就说在f(x)这个区间上是单调增那么就说在f(x)这个区间上是单调
函数，D称为f(x)的单调增区间.
减函数，D称为f(x)的单调减区间.
单调区间
注意：
①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质. ②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当 x1<x2时，总有f(x1)<f(x2) 或f(x1)>f(x2) 分别是增函数和减函数.
xHale Waihona Puke 没有单调增区间O 思考1x：能不能说 y1 x在定义域 (,0) (0,)上
是单调减函数 ?
思考2：函数 y 1 x
y 1 的单调区间是什么？ x
的单调增区间是 ( ,0)(,0, )

1.3.1单调性与最大(小)值课件

m
O
n
x
f(m )
(2)若函数若函数y=f(x)在区间，n]上单调递减，则函数在区间[m，上单调递减上单调递减，若函数在区间 y=f(x)的最值是什么？的最值是什么？的最值是什么
y
当x=m时，f (x)有最时有最
f(m )
大值f 大值 (m)，当x=n时，f(x) ，时有最小值f 有最小值 (n).
函数单调性的概念：函数单调性的概念：
1．增函数
一般地，设函数y=f(x)的定义域为，如果对的定义域为I，一般地，设函数的定义域为于定义域I内的某个区间内的任意两个自变量于定义域内的某个区间D内的任意两个自变量 1 ，内的某个区间内的任意两个自变量x x2 ，当 x1<x2 时，都有 1)<f(x2)，那么就说都有f(x ，那么就说f(x)在在区间D上是增函数如图1 区间上是增函数如图 . 上是增函数,如图
对于函数y= 对于函数 f(x) ，若在区间 I 上，当x＝1时, y＝1; ＝时＝当 x＝2时, y＝3 , 能说在区间 I 上函数值 y 随自变＝时＝的增大而增大吗? 量 x的增大而增大吗的增大而增大吗 y
3 1 0 1 2
x
函数的单调性定义
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函在某个区间上是增函数或是减函如果函数那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）在这一区间具有（数，那么就说函数在这一区间具有严格的）单调性，区间叫做叫做y=f(x)的单调区间单调性，区间D叫做的单调区间.
探究: 探究:函数单调性与函数的最值的关系
（1）若函数y=f (x)在区间，n] (m<n)上单调递增，）若函数在区间[m，上单调递增，在区间上单调递增则函数y=f (x)的最值是什么？的最值是什么？则函数的最值是什么

高中数学1.3.1单调性与最大(小)值优秀课件1

2.已知f(x )
6kx 3,x 1 x 2 k 2 1,x
在R上单增，
1
求k的取值范围。
3.f(x )在定义域（ - 1，1）上单减，且f(1 a) f(3a 2),求a的取值范围。
注意： 1.牢记“数形结合”永是远解决数学问题的核主心题。 2.应用y f (x)的单调性可实现函数大值小与自变量大小的等价转化。 3.解抽象函数f (x)对应的抽象不等式关：键化为标准型 “f (g(x)) f (h(x))”然后应用抽象函数 y f (x)在相应区间的单调性来解。
5 .性质法
（（
2） 3）
kf ( x )与 f ( x ) “: 正同负反”。 f ( x ) k与 f ( x )； f ( x )与 f
(x)(
f
(x)
0 )同增减。
( 4 ) f ( x )恒正或恒负时，
f ( x )与 1 的单调性相反。
f (x)
（ 5） f ( x ) • g ( x )与 f ( x ), g ( x )的单调性关系复杂。
上的升降。
2.函数的单调性从
说明：
3.单调性定义： (1)增函数：P28 (2)减函数：P28 注：三层意义。
思考三：
对函数单调性的理解？
说明：
函数单调性
形：图象自左到右纯“ 升或降”
对概念理解数： x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
(或 f ( x1 ) f ( x2 ))
（ 3）定号。（用符号法则
）
（ 4）判断与结论。
例题2.求以下函数的单调区间
1 .y x ,y2 x 1 ,y 2 ,y 8 2 x x 2 x 2.y4x2, f(x) x26x9 x26x9, x1 2x3,x1 f(x)x2 2,x1

高中数学1.3.1单调性与最大(小)值(第二课时)课件

请你仿造函数最大值的定义，给出是函数y=f(x)的最小值的定义.
设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：〔1〕对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；〔2〕存在x0 ∈I ，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最小值(minimum value).
课堂例题
例1. “菊花〞烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它到达最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(tt2t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最正确时刻？这时距地面的高度是多少〔精确到1m〕？
2．函数的最大〔小〕值与单调性的关系从上面的例题可以看到，函数的最大〔小〕值与单调性有非常紧密的关系. 我们再看一个例子.
例3 观察以下图，用函数的单调性研究以下问题： (1) 假设函数y=f(x)的定义域为x∈[b,e]，求最大值和最小值；
解题过程见多媒体课件内教案.
例3 观察以下图，用函数的单调性研究以下问题： (2) 假设函数y=f(x)的定义域为x∈[a,e]，求最大值和最小值；
解题过程见多媒体课件内教案.
例3观察以下图，用函数的单调性研究以下问题： (3) 假设函数y=f(x)的定义域为x∈[b,d)，求最大值和最小值；
解题过程见多媒体课件内教案.
课堂小结
函数的最大〔小〕值是一个函数在一段区间或者整个定义域上的整体性质.一个函数可能存在最大值也可能不存在最大值，最大值具有唯一性，对于最小值也一样.
1.3.1 函数的最大(小)值
上节课例1.图1.3 4是定义在区间[5,5]上的函数y f (x),
根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上
它是增函数还是减函数?
y

单调性与最大(小)值(第1课时)函数的单调性单调区间 PPT课件

答：(1)是错误的，从左向右看，函数y＝
1 x
的图像不是下降
的．
(2)是错误的，函数y＝
1 x
的单调递减区间应是(－∞，0)，
(0，＋∞)．不能写成(－∞，0)∪(0，＋∞)．
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第一章 1.3 1.3.1 第1课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修1
2．对函数y＝
1 x
，取x1＝－1<x2＝2，则f(x1)＝－1<f(x2)＝
答：函数单调性定义中的x1、x2必须是任意的，应用单调性定义解决问题时，要注意保持其任意性．
第10页
第一章 1.3 1.3.1 第1课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修1
课时学案
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第一章 1.3 1.3.1 第1课时
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修1
题型一函数的单调性
例1 (1)证明：函数f(x)＝x＋1x在(0,1)上是减函数． (2)证明：函数f(x)＝x3＋x在R上是增函数．注：a3－b3＝(a－b)·(a2＋ab＋b2) 【思路点拨】证明的关键是作差变形，尽量变形成几个最简单的因式的乘积的形式．
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修1
思考题1
(1)已知函数f(x)＝
2 x
＋1，证明：函数f(x)在(0，＋
∞)上是减函数．
(2)证明：函数f(x)＝－ x在定义域上是减函数．
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第一章 1.3 1.3.1 第1课时
高考调研【证明】 (1)
新课标A版 ·数学 ·必修1
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第一章 1.3 1.3.1 第1课时
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第一章 1.3 1.3.1 第1课时

高一数学 1.3.1 单调性与最大新小值第一课时课件新人教A版必修1

(2)这个区间也可以是定义域的真子集，如y＝x2 在定义域(－∞，＋∞)不具备单调性，但在(－∞，0] 是减函数，在[0，＋∞)是增函数．
(3) 有的函数不具备单调性，如函数 y ＝
1，x为有理数 0，x为无理数.
它的定义域为 R，但不具备单调性；
(4)单调区间，必须是一个区间，不能是两个区间的并，
1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大（小）值
第1课时函数的单调性
1．理解单调性的定义． 2．运用单调性的定义判断函数的单调性．
自学导引
1．定义域为I的函数f(x)的增减性：
自主探究
2．如果函数y＝f(x)在区间D上是_增__函__数__或 _减__函__数__ ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有 _(严__格__的__)_单__调__性__ ，区间D叫做y＝f(x)的_单__调__区__间_ ．
＋∞)，但函数 y＝1x在(0，＋∞)上是减函数，却不能
写成在[0，＋∞)上是减函数．
5．求函数的单调区间，就是求函数保持同一单调性不ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的最大区间．
二、函数单调性的判断与证明 1．函数单调性的判断方法有三种：一是依据单调性的定义；二是依据函数的图象；三是依据已知函数的单调性判断．如已学过的一次函数、二次函数、反比例函数的单调性情况． 2．函数单调性的证明方法：依据定义进行证明．其步骤如下： ①取值：即设x1，x2是该区间上的任意两个值，且x1<x2；
3．判断(证明)函数的单调性判断(证明)函数单调性的步骤
自主探究
1．在增、减函数定义中，能否把“任意”两字去掉？
答：不能．如图所示
虽然f(－1)<f(2)，但f(x)在[－1,2]上并不递增．

1_3_1单调性与最大(小)值(二)课件

2≤
f ( x2
x1
x) 2≤((xx141时1xx61,2)x)(1
x(1xx2 21x1626)) x2
x1 x2< 0，x1x2 16 0.
所f以(x函1)数 ff((xx)在2 ) [20,4,]上即是f (减x1函) 数f.(x2 ).
同理函数f(x)在[4,10]上是增函数.
§1.3.1单调性与最大(小)值
【3】在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞,-2] 上递减,在[-2,+∞)上递增,则f(x)在[1,2]上的值
域__[_2_1__,4_9__] _.
m 16, f (x) 4x2 16x 1
4(x 2)2 15.
§1.3.1单调性与最大(小)值
【4】求函数 f (x) x 16 , x [2,10] 的最大值.
§1.3.1单调性与最大(小)值
定义中的两个条件缺一不可,只有(1)没有 (2)不存在最大值点,而只有(2)没有(1),M不一定是函数y=f(x)的最大值.比照最大值的定义, 最小值是如何定义的?
§1.3.1单调性与最大(小)值
2.函数的最小值：
设函数f(x)的定义域为Ｉ,如果存在实数M满足:
要使 x1 x2 16, 则需 x1, x2 [2,4],
要使 x1 x2 16, 则需 x1, x2 [4,10],
§1.3.1单调性与最大(小)值
【4】求函数
f (x)
x
16 x
,
x
[2,10]
的最大值.
解:任取x1, x2 , x1, x2∈[2,4],且x1< x2,
f(
当
x1 )
则函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面的高度.

《1.3.1单调性与最大(小)值》课件必修1

类型一函数单调性的判断与证明 9 【例1】求证：y＝x＋ (0<x≤3)为减函数． x
证明：任取 x1，x2∈(0,3]且 x1<x2(即 x2－x1>0)， 9(x1－x2) 9 9 则 f(x2)－f(x1)＝x2＋－(x1＋ )＝x2－x1＋ x2 x1 x1x2 x1x2－9 9 ＝(x2－x1)(1－ )＝(x2－x1)· . x1x2 x1x2 ∵x2－x1>0，x1x2>0,0<x1<x2≤3， ∴x1x2<9，有 x1x2－9<0， ∴f(x2)－f(x1)<0，故 f(x)在(0,3]上为减函数．
)
A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,1] D．[－3,4] 答案：C
3．函数f(x)在R上是减函数，则有
(
)
A．f(3)<f(5)
C．f(3)>f(5) ∴f(3)>f(5)．答案：C
B．f(3)≤f(5)
D．f(3)≥f(5)
解析：∵函数f(x)在R上是减函数，3<5，
类型二求函数的单调区间【例2】求函数f(x)＝－2 9－4x2的单调区间．
解：设9－4x2＝t(t≥0)， 3 3 2 由9－4x ≥0，得－ ≤x≤ . 2 2 3 当－ ≤x≤0时，随着x增大，t增大； 2 3 当0<x≤ 时，随着x增大，t减小． 2 又函数y＝－2 t在[0，＋∞)上是减函数， 3 2 所以，f(x)＝－2 9－4x 在[－，0]上是减函数，在 2 3 (0， ]上是增函数． 2 3 即函数f(x)的单调减区间为[－，0]，单调增区间为 2 3 (0， ]． 2
求下列函数的单调区间： 1 2 (1)y＝－x ＋2x；(2)y＝ . x＋1