(上海版)高二第二学期数学单元测试复数
(人教版)上海市必修第二册第二单元《复数》测试(含答案解析)
一、选择题1．复数()()2222z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ）A ．2a ≠，或1a ≠B ．2a ≠，且1a ≠C ．2a =，或0a =D ．0a = 2．已知复数z 满足2||230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） A ．1个圆 B ．线段 C ．2个点 D ．2个圆3．已知12,z z C ∈，121z z ==，12z z +=12z z -=（ ）A ．0B ．1C D ．2 4．能使得复数()32z a aia R =-+∈位于第三象限的是（ ） A ．212a i -+为纯虚数 B ．12ai +模长为3C ．3ai +与32i +互为共轭复数D ．0a > 5．若a b 、为非零实数,则以下四个命题都成立:①10a a+≠；②()2222a b a ab b +=++；③若a b ，=则a b =±；④若2a ab =，则a b ，=则对于任意非零复数a b 、，上述命题中仍为真命题的个数为（ ）个. A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．213(1)i i +=+（ ） A ．3122i - B ．3122i + C ．3122i -- D ．3122i -+ 7．,A B 分别是复数12,z z 在复平面内对应的点，O 是原点，若1212z z z z +=-，则OAB ∆一定是A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 8．已知复数2a i i +-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于 A ．-2B ．2C ．12D ．-1 9．“复数3i ia z -=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a ≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10．已知(,)a bi a b R +∈是11i i +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1- B ．12- C ．12 D ．111．复数11i i +-的实部和虚部分别为a ，b ，则a b +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．若复数2(1)34i z i+=+，则z =（ ） A ．45 B ．35 C ．25 D ．25二、填空题13．已知集合{}11M z z =+=，{}i N z z i z =+=-，则M N =______. 14．若复数z 满足12i z i ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________.15．复数(1sin )(cos sin )z θθθ=++-i 是实数，[]0,2θπ∈则θ=______.16．已知复数（，是虚数单位）的对应点在第四象限，且，那么点在平面上形成的区域面积等于____17．已知复数z 满足43(z i i i+=为虚数单位），则z 的共轭复数z ＝____． 18．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z = _________________； 19．已知，则 =____．20．给出下列四种说法：①-2i 是虚数，但不是纯虚数；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③已知 x y R ，∈，则 x i 1i y +=+ 的充要条件为x y 1==；④如果让实数a 与 ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中正确说法的为 __________．三、解答题21．当实数m 取什么值时，复数224(6)Z m m m i =-+--分别满足下列条件？ （1）复数Z 实数；（2）复数Z 纯虚数；（3）复平面内，复数Z 对应的点位于直线y x =-上.22．已知复数z 满足2z =，2z 的虚部为2，（1）求复数z ；（2）设22,,z z z z -在复平面上对应点分别为,,A B C ，求ABC ∆的面积. 23．（1）在复数范围内解方程()232i z z z i i -++=+（i 为虚数单位） （2）设z 是虚数，1z zω=+是实数，且12ω-<<（i ）求z 的值及z 的实部的取值范围；（ii ）设11z zμ-=+，求证：μ为纯虚数； （iii ）在（ii ）的条件下求2ωμ-的最小值．24．已知复数2z i =+（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x px q ++=根.(1)求p q +的值；(2)复数w 满足z w ⋅是实数，且w =w 的值.25．设复数12,z z 满足12122210z z iz iz +-+=.（1）若12,z z 满足212z z i -=，求12,z z .（2）若1z =k ，使得等式24z i k -=恒成立？若存在，试求出k 的值；若不存在，请说明理由.26．已知1251034.z i z i =+=-，（1）若12z z ，若在复平面上对应的点分别为A,B ，求AB 对应用的复数（2）若12111z z z z =+，求【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用复数的运算性质和几何意义即可得出.【详解】解：由于复数()()2222z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上,因此, 220a a -=，解得2a =，或0a =故选C【点睛】熟练掌握复数的运算性质和几何意义是解题的关键. 2．A解析：A【详解】 因为2||230z z --=,所以3z =,3z = (负舍)因此复数z 的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.3．B解析：B【分析】 利用复数加法、减法和模的运算化简已知条件，由此求得12z z -.【详解】设12,z a bi z c di =+=+，则()()12z z a c b d i +=+++，()()12z z a c b d i -=-+-. 依题意得：22221,1a b c d +=+=，12z z +=⇒()()223a c b d +++=⇒()222223a b c d ac bd +++++=⇒()21ac bd +=.所以12z z -==1==.故选：B【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题. 4．A解析：A【分析】分析四个选项中的参数a ，判断是否能满足复数()32z a aia R =-+∈是第三象限的点.【详解】 322z a ai a ai =-+=--由题意可知，若复数在第三象限，需满足200a a -<⎧⎨-<⎩，解得：02a <<， A.212z a i =-+是纯虚数，则12a =，满足条件；B.123z ai =+==，解得：a =a =C. 3ai +与32i +互为共轭复数,则2a =-，不满足条件；D.0a >不能满足复数z 在第三象限，不满足条件.故选：A【点睛】本题考查复数的运算和几何意义，主要考查基本概念和计算，属于基础题型.5．B解析：B【解析】【分析】根据复数的概念和性质，利用复数的代数形式的运算法则，即可得出正确选项.【详解】解：对于①，当a i =时，10a a+=，即①不成立， 对于②，根据复数代数形式的运算法则，满足乘法公式，即②在正确，对于③，在复数C 中，1i =，则1,a b i ==时，a b ≠±，即③错误，对于④，根据复数代数形式的运算法则可得，若2a ab =，则a b ，=即④正确， 综上可得上述命题中仍为真命题的序号为②④，故选B.【点睛】本题考查了复数的概念和性质及复数的代数形式的运算法则，属基础题.6．A解析：A【分析】首先计算2(1)i +，之后应用复数的除法运算法则，求得结果.【详解】 ()21313312221ii i i i ++==-+， 故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.7．C解析：C【解析】 因为1212z z z z +=-，所以22||OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- , 因此0OA OB OA OB ⋅=∴⊥ ，即OAB 一定是直角三角形，选C. 8．C解析：C【解析】 2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以21210,0552a a a -+=≠∴=，选C. 9．A解析：A【详解】因为33ai z a i i-==--，所以由题设可得00a a -<⇒>，因此0a >是0a ≥的充分不必要条件，故应选答案A ．10．A解析：A【解析】【分析】 先利用复数的除法运算法则求出11i i+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ．【详解】 ()()21(1)21112i i i i i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ，∴a ＝0，b ＝﹣1，∴a +b ＝﹣1，故选：A ．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题． 11．A解析：A【分析】利用两个复数代数形式的除法运算性质，把复数化为最简形式，得到其实部和虚部的值，进而求得结果.【详解】21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+， 所以0,1a b ==， 所以1a b +=，故选：A.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关复数的问题，解题思路如下：（1）利用复数除法运算法则先化简复数11i i+-； （2）确定出复数的实部和虚部各是多事； （3）进而求得a b +的值.12．C解析：C【分析】先求出8625i z -=，再求出||z 得解. 【详解】 由题得()()()()212342863434343425i i i i i z ii i i +-+====+++-，所以102255z ===. 故选：C二、填空题13．【分析】根据复数的几何意义可知代表的是圆上代表的是线利用线与圆的位置关系可知结果【详解】的几何意义是以点为圆心1为半径的圆表示到点和点的距离相等的点的集合是线段的垂直平分线也就是轴的几何意义是轴与圆 解析：{}0,2-【分析】 根据复数的几何意义，可知11z +=代表的是圆上,i z i z +=-代表的是线，利用线与圆的位置关系，可知结果.【详解】11z +=的几何意义是以点()1,0-为圆心，1为半径的圆.i i z z +=-表示到点()0,1A 和点()0,1B -的距离相等的点的集合，是线段AB 的垂直平分线，也就是x 轴.M N ⋂的几何意义是x 轴与圆的公共点对应的复数，故0z =或2z =-，{}0,2M N ∴⋂=-.【点睛】本题考查复数的几何意义，属中档题.14．－1【分析】利用复数的运算法则求出根据虚部的概念即可得出【详解】∴的虚部为故答案为【点睛】本题考查了复数的运算法则复数的分类考查了推理能力与计算能力属于基础题解析：－1【分析】利用复数的运算法则求出z ，根据虚部的概念即可得出．【详解】()()212122i i i z i i i +-+===--， ∴z 的虚部为1-，故答案为1-.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 15．或【解析】【分析】由复数的虚部为0求得再由的范围得答案【详解】是实数即又或故答案为：或【点睛】本题主要考查了复数的代数表示法实部虚部的概念利用三角函数求角属于中档题 解析：4π或54π. 【解析】【分析】 由复数z 的虚部为0求得tan θ，再由θ的范围得答案. 【详解】(1sin )(cos sin )z i θθθ=++-是实数，cos sin 0θθ∴-=，即tan 1θ=，又[0,2],θπ∈4πθ∴=或54π， 故答案为：4π或54π 【点睛】 本题主要考查了复数的代数表示法，实部、虚部的概念，利用三角函数求角，属于中档题. 16．π【分析】先把复数分母有理化再根据z 在第四象限和|z|≤2可得关于xy 的不等式组进而可得点P 在平面上形成的区域面积【详解】由题得z=x+yi1+i=x+y+(y-x)i2z 在第四象限则有x+y2>0解析：【分析】先把复数分母有理化，再根据z 在第四象限和，可得关于x ，y 的不等式组，进而可得点P 在平面上形成的区域面积．【详解】 由题得，z 在第四象限，则有，整理得，由得，化简得，则点在不等式组所表示的平面区域内，如图阴影部分：则其面积.【点睛】本题考查复数的运算和复数的模，与线性规划相结合，有一定综合性．17．【分析】利用复数的运算法则共轭复数的定义即可得出结果【详解】由可得即所以故答案是：【点睛】该题考查的是有关复数的问题涉及到的知识点有复数的运算法则以及共轭复数的概念属于简单题目解析：34i -+【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出结果.【详解】 由43z i i +=可得34z i i=-，即23434z i i i =-=--， 所以34z i =-+，故答案是：34i -+.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的运算法则以及共轭复数的概念，属于简单题目.18．【分析】先根据复数除法得再根据共轭复数概念得【详解】因为所以即【点睛】本题重点考查复数的概念与复数相等属于基本题复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为解析：2i +【分析】 先根据复数除法得z ，再根据共轭复数概念得z .【详解】因为()1243i z i +=+，所以43212i z i i+==-+,即2.z i =+ 【点睛】本题重点考查复数的概念与复数相等，属于基本题.复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi19．-2-3i 【解析】分析：化简已知的等式即得a 的值详解：由题得(1-i)31+i-3i=a ∴a=(1-i)4(1+i)(1-i)-3i=-2i·-2i2-3i=-2-3i 故答案为-2-3i 点睛：（1）解析：-2-3i【解析】分析：化简已知的等式，即得 a 的值.详解：由题得，故答案为-2-3i点睛：（1）本题主要考查复数的综合运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)本题是一个易错题，已知没有说“a”是一个实数，所以它是一个复数，如果看成一个实数，解答就错了. 20．③【解析】分析：①根据纯虚数的定义可判断；②根据共轭复数的定义可判断；③根据复数相等的性质可判定；④根据纯虚数的定义可判断详解：①因为是虚数也是纯虚数错误；②两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共解析：③.【解析】分析：①根据纯虚数的定义可判断；②根据共轭复数的定义可判断；③根据复数相等的性质可判定；④根据纯虚数的定义可判断.详解：①因为2i -是虚数也是纯虚数，错误；②两个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭复数，如1i -和3i +，这两个复数的和为实数，但这两个复数不是共轭复数，错误；③已知,x y R ∈，则i 1i x y +=+的充要条件为1x y ==，正确；④如果让实数a 与i a 对应，那么实数集与纯虚数集不是一一对应的，如当0a =时，错误，故答案为③.点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查复数的基本概念，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.三、解答题21．（1）2m =-或3m =；（2）2m =；（3）2m =-或52m =. 【分析】（1）由虚部为0，求解m 值；（2）由实部为0且虚部不为0，列式求解m 值；（3）由实部与虚部的和为0，列式求解m 值．【详解】解：由题可知，复数224(6)Z m m m i =-+--，（1）当Z 为实数时，则虚部为0，由260m m --=，解得：2m =-或3m =；（2）当Z 纯虚数时，实部为0且虚部不为0， 由224060m m m ⎧-=⎨--≠⎩，解得：2m =； （3）当Z 对应的点位于直线y x =-上时，则0x y +=，即：实部与虚部的和为0，由224(6)0m m m -+--=，解得：2m =-或52m =． 【点睛】本题考查复数的基本概念，以及复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 22．（1）1i +或1i --；（2）1【分析】（1）设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由已知列关于a ，b 的方程组，求解可得复数z ； （2）分类求得A 、B 、C 的坐标，再由三角形面积公式求解．【详解】解：（1）设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由已知可得：22ab ==⎪⎩2221a b ab ⎧+=⎨=⎩， 解得11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩． ∴z ＝1+i 或z ＝﹣1﹣i ；（2）当z ＝1+i 时，z 2＝2i ，z ﹣z 2＝1﹣i ，∴A （1，1），B （0，2），C （1，﹣1），故△ABC 的面积S 12=⨯2×1＝1； 当z ＝﹣1﹣i 时，z 2＝2i ，z ﹣z 2＝﹣1﹣3i ，∴A （﹣1，﹣1），B （0，2），C （﹣1，﹣3），故△ABC 的面积S 12=⨯2×1＝1． ∴△ABC 的面积为1．【点睛】 本题考查复数的乘方和加减运算，考查复数相等的条件和复数的几何意义，以及三角形的面积的求法，考查运算能力，属于中档题．23．（1）12z =-±；（2）（i ）1z =；1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭（ii ）证明见解析；（iii ）1 【分析】（1）利用待定系数法，结合复数相等构造方程组来进行求解；（2）（i ）采用待定系数法，根据实数的定义构造方程即可解得z 和ω，利用ω的范围求得a 的范围；（ii ）利用复数的运算进行整理，根据纯虚数的定义证得结论；（iii ）将2ωμ-整理为123t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求得最小值. 【详解】（1）()()()()()23235512225i i i i z z z i i i i i ----++====-++- 设(),z x yi x y R =+∈，则2221x y xi i ++=-22121x y x ⎧+=∴⎨=-⎩，解得：12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩122z ∴=-± （2）（i ）设z a bi =+(,a b R ∈且)0b ≠2222221a bi a b a bi a bi a b i a bi a b a b a b ω-⎛⎫⎛⎫∴=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ω为实数 220b b a b∴-=+，整理可得：221a b += 即1z = ()21,2a ω∴=∈- 1,12a ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭（ii ）()()()()()222211*********a bi a bi z a bi a b bi z a bi a bi a bi a b μ--+-------====++++++-++ 由（i ）知：221a b +=，则1b i a μ=-+ 1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且0b ≠ 01b a ∴-≠+ μ∴是纯虚数（iii ）()()22222211212221111b a a a a a a a a a a a ωμ--++-=+=+=+=++++令1a t +=，则1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1a t =- ()2222111232123t t t t t t t t ωμ-+-+-+⎛⎫∴-===+- ⎪⎝⎭ 12t t+≥（当且仅当1t =时取等号） 2431ωμ∴-≥-= 即2ωμ-的最小值为：1【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，利用待定系数法结合复数相等的条件进行转化是解决本题的关键．运算量较大，综合性较强．24．(1) 1p q += (2) 42w i =-或42i -+.【解析】【分析】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，得出另一根为2i -，根据韦达定理即可得解.(2) 设(),w a bi a b R =+∈,由z w ⋅是实数，得出关于a b ，的方程，又w =a b ，的另一个方程，联立即可解得a b ，的值，即得解.【详解】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，所以由共轭虚根定理另一根是2i -，根据韦达定理可得4,5,1p q p q =-=+=.（2）设(),w a bi a b R =+∈()()()()222a bi i a b a b i R +⋅+=-++∈，得20a b +=又w =2220a b +=,所以4,2a b ==-或4,2a b =-=，因此42w i =-或w=42i -+.【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，复数的乘法及模的运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．25．（1）123,5z i z i ==-或12,z i z i =-=-.（2）存在，k =【分析】（1）由条件可得211230z iz --=，设1z a bi =+，即可算出（2）由条件得212212iz z z i -=+，然后22212iz z i-=+22427z i -= 【详解】（1）由212z z i -=，可得212z z i =-，代入已知方程得()()1111222210z z i iz i z i -+--+=， 即211230z iz --=.令()1,z a bi a b =+∈R ， 所以()22230a b i a bi +---=， 即()222320a b b ai +---=， 所以2223020a b b a ⎧+--=⎨-=⎩，解得03a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=-⎩. 所以123,5z i z i ==-或12,z i z i =-=-. （2）由已知得212212iz z z i-=+，又1z =所以22212iz z i-=+22222132iz z i -=+， 所以()()()()22222121322iz iz z i z i ---=+-， 整理得()()224427z i z i -+=，所以22427z i -=，即24z i -=，所以存在常数k =，使得等式24z i k -=恒成立.【点睛】设()1,z a bi a b =+∈R ，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法.26．（1）214i --（2）552i -【详解】 （1）()()2134i 510i 214.AB z z i =-=--+=--所以AB 对应用的复数为214i --. （2）由题得121212111z z z z z z z +=+= 1212552z z z i z z ∴==-+。
上海民办兰生复旦中学必修第二册第二单元《复数》测试卷(包含答案解析)
一、选择题1．已知复数z 满足()20161i z i -=（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A ．12B ．12-C ．12i D ．12i -2．若a b 、为非零实数,则以下四个命题都成立:①10a a+≠；②()2222a b a ab b +=++；③若a b ，=则a b =±；④若2a ab =，则a b ，=则对于任意非零复数a b 、，上述命题中仍为真命题的个数为（ ）个. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．复数z 满足5(3)2i z i ⋅+=－，则z 的虚部是（ ） A ．12B ．12－C ．12i －D ．12i 4．已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，32i -+，那么向量BA 对应的复数是（ ）A ．55i -+B ．55i -C ．55i +D ．55i --5．设x ∈R ，则“1x =”是“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”的( )A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6．若复数z 满足(1)|1|z i i i -=-+，则z 的实部为（ ）A ．12B 1C ．1D ．127．已知复数z 满足33z -=，则4z i -（i 为虚数单位）的取值范围为（ ）A ．[]28,B ．3⎤⎦C ．[]1,9D ．[]3,88．已知复数Z 满足()13Z i i +=+，则Z 的共轭复数为( ) A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i --9．已知(,)a bi a b R +∈是11ii+-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．110．复数z 满足()234(i z i i --=+为虚数单位)，则(z = ) A ．2i -+ B ．2i - C ．2i -- D ．2i + 11．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则复数(1)z i -的虚部为（ ）A ．3-B ．3C ．3i -D ．3i12．若复数z 满足(12)5z i +=，则它的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、填空题13．复数31+i i 1i+-的值是______. 14．在复变函数中，自变量z 可以写成(cos sin )i z r i r e θθθ=⨯+=⨯，其中||r z =，θ是z 的辐角．点(),x y 绕原点逆时针旋转θ后的位置可利用复数推导，点()2,3A 绕原点逆时针旋转3arcsin5得A '_______；复变函数ln (,0)z z C z ω=∈≠，i ωπ=，z =_______．15．若z 为复数，且22z z -=+，则|z －1|的最小值是________． 16．若复数z 满足111,arg 23z z z z π--⎛⎫== ⎪⎝⎭，则z 的代数形式是z =_____________. 17．复数3(2) i (,)z x y x y =++-∈R ，且||2z =，则点(,)x y 的轨迹是_____________．18．若实数,m n 满足20212(4)(2)i mi n i ⋅+=+，且z m ni =+，则||z =_____． 19．已知复数集合{i |1,1,,}A x y x y x y R =+≤≤∈221133{|(i),}44B z z z z A ==+∈，其中i 为虚数单位，若复数z A B ∈，则z 对应的点Z 在复平面内所形成图形的面积为________20．如果复数z 的模不大于1，而z 的虚部的绝对值不小于，则复平面内复数z 的对应点组成图形的面积是___．三、解答题21．已知复数1z i =-. （1）设25341z z ω=+-+，求ω的值； （2）求满足不等式332a ≥+的实数a 的取值范围. 22．复数2(1)32z i a i =--++（α∈R ）.（1）若z 为纯虚数求实数a 的值，及z 在复平面内对应的点的坐标； （2）若z 在复平面内对应的点位于第三象限，求实数a 的取值范围. 23．已知复数z=（m ﹣1）+（2m+1）i （m ∈R ） （1）若复数z 为纯虚数，求实数m 的值；（2）若复数z 在复平面内的对应点位于第二象限，求 |z| 的最小值． 24．已知复数12z i =-+,1255z z i =-+（其中为虚数单位） （1）求复数2z ；（2）若复数()()()2323231z z m m m i ⎡⎤=---+-⎣⎦所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．25．已知z 为虚数，42z z +-为实数． （1）若2z -为纯虚数，求虚数z ； （2）求|4|z -的取值范围．26．已知复数()()227656z a a a a i a R =-++--∈，求a 分别为何值时，（1）z 是实数； （2）z 是纯虚数；（3）当6za =-z 的共轭复数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 根据题意求出1122z i =+，即可得到z ，得出虚部. 【详解】20164504=⨯，201641i i ∴==.111122z i i ∴==+-，1122z i ∴=-，z ∴的虚部为12-.故选:B. 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，易错点在于没能弄清虚部的概念导致选错.2．B解析：B 【解析】 【分析】根据复数的概念和性质，利用复数的代数形式的运算法则，即可得出正确选项. 【详解】解：对于①，当a i =时，10a a+=，即①不成立， 对于②，根据复数代数形式的运算法则，满足乘法公式，即②在正确，对于③，在复数C 中，1i =，则1,a b i ==时，a b ≠±，即③错误， 对于④，根据复数代数形式的运算法则可得，若2a ab =，则a b ，=即④正确， 综上可得上述命题中仍为真命题的序号为②④， 故选B. 【点睛】本题考查了复数的概念和性质及复数的代数形式的运算法则，属基础题.3．A解析：A 【解析】 【分析】通过5(3)2i z i ⋅+=－计算出z ，从而得到z ，根据虚部的概念即可得结果. 【详解】∵5(3)2i z i ⋅+=－，∴()()()()5232211333322i i i i z i i i i i ----====-+++-， ∴1122z i =+，即z 的虚部是12，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数除法的运算，共轭复数的概念，复数的分类等，属于基础题.4．B解析：B 【分析】由向量减法的坐标运算可得向量(5,5)BA OA OB =-=-，根据复数与复平面内的点一一对应，即可得结果. 【详解】向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，32i -+， 根据复数与复平面内的点一一对应， 可得向量(2,3)OA =-，(3,2)OB =-．由向量减法的坐标运算可得向量(5,5)BA OA OB =-=-， 根据复向量、复数与复平面内的点一一对应， 可得向量BA 对应的复数是55i -，故选B ． 【点睛】解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．5．A解析：A 【解析】分析：先化简“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”，再利用充要条件的定义判断.详解：因为复数()()211z x x i =-++为纯虚数，所以210, 1.10x x x ⎧-=∴=⎨+≠⎩ 因为“x=1”是“x=1”的充要条件，所以“1x =”是“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”的充分必要条件.故答案为A.点睛：（1）本题主要考查纯虚数的概念，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数0,0a b =⎧⇔⎨≠⎩不要把下面的b≠0漏掉了. 6．A解析：A 【解析】 【详解】∵()11z i i i i -=-+，∴)()()()11111122i i iz i ii i +===+--+，则z，故选A. 7．A解析：A 【分析】利用复数模长的三角不等式可求得4z i -的取值范围. 【详解】()()4334z i z i -=-+-，由复数模长的三角不等式可得()()334334334z i z i z i ---≤-+-≤-+-， 即35435z i -≤-≤+，即248z i ≤-≤， 因此，4z i -的取值范围是[]28,. 故选：A. 【点睛】本题考查复数模长的取值范围的计算，考查三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.8．A解析：A 【分析】根据复数的运算法则得()()()()31242112i i i Z ii i +--===-+--，即可求得其共轭复数.【详解】由题：()13Z i i +=+，所以()()()()31242112i i i Z ii i +--===-+--，所以Z 的共轭复数为2i +. 故选：A 【点睛】此题考查求复数的共轭复数，关键在于准确求出复数Z ，需要熟练掌握复数的运算法则，准确求解.9．A解析：A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算法则求出11ii+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ． 【详解】()()21(1)21112i i ii i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ， ∴a ＝0，b ＝﹣1， ∴a +b ＝﹣1， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．10．C解析：C 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由()2345i z i --=+=，得()()()5252222i z i i i i -+===-+-----+， 2z i ∴=--． 故选C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．11．B解析：B 【分析】由复数的几何意义，得到12z i =-+，再根据复数的运算法则，化简复数为(1)13z i i -=+，结合复数的概念，即可求解.【详解】由题意，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-， 可得12z i =-+， 又由(1)(12)(1)13z i i i i -=-+-=+，所以复数(1)z i -的虚部为3. 故选：B.12．A解析：A 【分析】根据复数的除法运算法则，可得12z i =-，求得12z i =+，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足(12)5z i +=，可得51212z i i==-+， 所以12z i =+，它在复平面内对应的点为(1,2)在第一象限.故选:A. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算法则，以及共轭复数的概念和复数的几何意义，其中解答中熟记复数的除法的运算法则，准确化简、运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．0【分析】先利用复数的除法运算计算再计算相加即得解【详解】【点睛】本题考查了复数的四则运算考查了学生数学运算能力属于基础题解析：0 【分析】先利用复数的除法运算计算1+i1i-，再计算3 i ，相加即得解. 【详解】()()()231i 1i 2i i i i 01i 1i 1i 2+++=-=-=--+. 【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了学生数学运算能力，属于基础题.14．【分析】点对应的复数其中则对应的复数其中利用两角和差公式求得的坐标；由则化简可得【详解】点对应的复数其中则对应的复数其中则则故的坐标为；由则得故答案为：；【点睛】本题考查了复数的运算结合考查了两角和解析：118(,)55-1-【分析】点A 对应的复数sin )z i αα=+，其中cos ,sin 1313αα==，则A '对应的复数)sin()]z i αβαβ'=+++，其中34sin ,cos 55ββ==，利用两角和差公式求得A '的坐标；由ln (,0)z z C z ω=∈≠，i ωπ=，则i z e π=cos sin i ππ=+，化简可得z . 【详解】点A 对应的复数sin )z i αα=+，其中cos αα==则A '对应的复数)sin()]z i αβαβ'=+++，其中34sin ,cos 55ββ==，则cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-=sin()sin cos cos sin 65αβαβαβ+=+=，则118)55z i '=+=-+，故A '的坐标为118(,)55-；由ln (,0)z z C z ω=∈≠，i ωπ=，则i z e π=cos sin i ππ=+， 得1z =-. 故答案为：118(,)55-；1- 【点睛】本题考查了复数的运算，结合考查了两角和的正弦、余弦公式，还考查了学生阅读理解能力，分析能力，运算能力，属于中档题.15．【分析】首先根据题意得到复数到的距离与到的距离相等即复数在虚轴上再设出计算的最小值即可【详解】因为复数满足所以在复平面内复数到的距离与到的距离相等即复数在虚轴上设所以的最小值为故答案为：【点睛】本题 解析：1【分析】首先根据题意得到复数z 到(2,0)-的距离与到(2,0)的距离相等，即复数z 在虚轴上.再设出z bi =，计算1z -的最小值即可. 【详解】因为复数z 满足22z z -=+，所以在复平面内，复数z 到(2,0)-的距离与到(2,0)的距离相等. 即复数z 在虚轴上，设z bi =，b R ∈.111z bi -=-+=≥，所以1z -的最小值为1. 故答案为：1 【点睛】本题主要考查复数代数式的形式及其几何意义，同时考查学生的转化能力，属于中档题.16．【分析】先写出的三角形式再进行化简整理即可【详解】设则∴∴解得故答案为：【点睛】本题考查复数三角形式的定义属基础题解析：13+【分析】先写出1z z-的三角形式，再进行化简整理即可. 【详解】设01z z z -=，则001,arg 23z z π==，∴011cos sin 23344z i ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭=，∴114z z -=+，解得1z =+.故答案为：1+. 【点睛】本题考查复数三角形式的定义，属基础题.17．以为圆心2为半径的圆【分析】根据复数模的定义确定复数对应点满足条件化简即得轨迹【详解】解：∵∴即点的轨迹是以为圆心2为半径的圆故答案为：以为圆心2为半径的圆【点睛】本题考查复数模的定义以及圆的方程含解析：以(3,2)-为圆心，2为半径的圆 【分析】根据复数模的定义确定复数对应点满足条件，化简即得轨迹. 【详解】解：∵||2z =，∴22(3)(2)4x y ++-=，即点(,)x y 的轨迹是以(3,2)-为圆心，2为半径的圆． 故答案为：以(3,2)-为圆心，2为半径的圆 【点睛】本题考查复数模的定义以及圆的方程含义，考查基本分析求解能力，属基础题.18．【分析】先通过复数代数形式的四则运算法则对等式进行运算再利用复数相等求出最后由复数的模的计算公式求出【详解】因为所以已知等式可变形为即解得【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则复数相等的概念【分析】先通过复数代数形式的四则运算法则对等式进行运算，再利用复数相等求出,m n ，最后由复数的模的计算公式求出z ． 【详解】因为2021i i =，所以已知等式可变形为2(4)44i mi n ni +=+-，即2444m i n ni -+=+-，2444m n n⎧-=-⎨=⎩ 解得31m n =⎧⎨=⎩ ，3i z =+z ∴=．【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则，复数相等的概念以及复数的模的计算公式的应用．19．【分析】先由复数的几何意义确定集合所对应的平面区域再确定集合所对应的平面区域由复数可得复数对应的点在复平面内所形成图形即为集合与集合所对应区域的重叠部分结合图像求出面积即可【详解】因为复数集合所以集解析：72【分析】先由复数的几何意义确定集合A 所对应的平面区域，再确定集合B 所对应的平面区域，由复数z A B ∈⋂，可得复数z 对应的点Z 在复平面内所形成图形即为集合A 与集合B 所对应区域的重叠部分，结合图像求出面积即可. 【详解】因为复数集合{i |1,1,,}A x y x y x y R =+≤≤∈，所以集合A 所对应的平面区域为1x =±与1y =±所围成的正方形区域；又221133{|,}44B z z i z z A ⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭，设1z a bi =+，且1a ≤,1b ≤, ,a b R ∈， 所以()()()21333333444444z i z i a bi a b a b i ⎛⎫⎛⎫=+=++=-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设2z 对应的点为(),x y ，则()()3434x a b y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以3232a x y b y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又1a ≤,1b ≤，所以33223322x y y x ⎧-≤+≤⎪⎪⎨⎪-≤-≤⎪⎩， 因为复数z A B ∈⋂，z 对应的点Z 在复平面内所形成图形即为集合A 与集合B 所对应区域的重叠部分，如图中阴影部分所示， 由题意及图像易知：阴影部分为正八边形，只需用集合A 所对应的正方形区域的面积减去四个小三角形的面积即可.由321x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得112B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，由321x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得112C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 所以11172242222S =⨯-⨯⨯⨯=阴影. 故答案为72【点睛】本题主要考复数的几何意义，以及不等式组所表示平面区域问题，熟记复数的几何意义，灵活掌握不等式组所表示的区域即可，属于常考题型.20．【解析】分析：先根据复数的模以及复数的虚部列不等式再根据扇形面积减去三角形面积得弓形面积详解：设则如图因此复平面内复数z 的对应点组成图形为两个弓形其面积为扇形面积减去三角形面积是点睛：本题重点考查复 解析：233π 【解析】分析：先根据复数的模以及复数的虚部列不等式，再根据扇形面积减去三角形面积得弓形面积.详解：设(,)z x yi x y R =+∈，则2211,2x y y +≤≥ ，如图,2.3AOB π∠=因此复平面内复数z 的对应点组成图形为两个弓形，其面积为扇形面积减去三角形面积是21212232(111sin )23233πππ⨯⋅-⨯⨯⨯=- 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 22a b +(,)a b 、共轭为.-a bi三、解答题21．（1）5i ；（2）1(2,][1,)6-+∞.【分析】 （1）将复数1z i =-代入25341z z ω=+-+，利用复数乘方运算以及除法运算法则，计算化简即可，解题过程注意避免出现计算错误； （2）将复数1z i =-32a ≥+，转化为一元二次不等式求解即可，解题过程注意考虑二次根式的有意义的条件.【详解】（1）1z i =-.()()255314311211i i i i ω∴=++-=+---+ ()()()512311212i i i i +=+--+ 12315i i i =++-=；（2≥3≥， 即()2231220a a a a ⎧⎡⎤+-≥+⎪⎣⎦⎨⎪+>⎩，整理得26710a a -+≥且2a >-，解得126a -<≤或1a ≥， 所以实数a 的取值范围是[)12,1,6⎛⎤-⋃+∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题综合考查复数的运算法则的应用，考查了复数的模的公式，同时考查一元二次不等式的解法，考查了运算求解能力，属于中档题.22．（1）23a =，(0,1)-；（2）2(,)3+∞. 【分析】（1）先化简出z 的代数形式，再根据题意求实数a 的值和z 在复平面内对应的点的坐标； （2）先化简出z 的代数形式，再根据题意建立不等式求实数a 的取值范围即可.【详解】解：因为2(1)32z i a i =--++，所以2(1)32(23)z i a i a i =--++=-- （1）若z 为纯虚数，则230a -=，解得：23a =， 此时z i =-，z 在复平面内对应的点的坐标为：(0,1)-， 所以z 为纯虚数时实数23a =，z 在复平面内对应的点的坐标为：(0,1)- （2）若z 在复平面内对应的点位于三象限， 则23010a -<⎧⎨-<⎩，解得23a > 所以z 在复平面内对应的点位于第三象限，则实数a 的取值范围：2(,)3+∞.【点睛】本题考查复数的代数形式、利用复数的几何意义求对应的点的坐标与求参数、利用复数的分类求参数的范围，是基础题.23．（1）m=1；（2 . 【解析】分析：（1）利用纯虚数的定义即可得出．（2）利用复数模的计算公式、几何意义即可得出．详解：（1）∵z=（m ﹣1）+（2m+1）i （m ∈R ）为纯虚数，∴m ﹣1=0且2m+1≠0∴m=1（2）z 在复平面内的对应点为（m ﹣1，2m+1）） 由题意：，∴． 即实数m 的取值范围是.而|z|=()()22121m m -++==，当时， =． 点睛：本题考查了纯虚数的定义、复数模的计算公式、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．24．（1）23z i =-；（2）11m -<<【解析】试题分析：（1）根据复数的四则运算即可求得；（2）将23Z i =-代入得()()23123Z m m m i =--+--，由复数的概念和几何意义得()210230m m m ⎧-->⎨--<⎩，解得11m -<<.试题（1）1255z z i =-+，21555532i i z i z i-+-+===--+ （2）()()()2323231z z m m m i ⎡⎤=---+-⎣⎦()()2231i m m m i ⎡⎤=--+-⎣⎦ ()()2123m m m i =--+--由于3z 所对应的点在第四象限，，所以实数m 的取值范围是25．（1）22z i =+或22z i =-；（2）()0,4.【分析】（1）由于z 为虚数，可设(z x yi x =+，y R ∈，0)y ≠，根据2z -为纯虚数，求得x 的值，再由42z z +-为实数求出y 的值，即得虚数z ； （2）由42z z +-为实数且0y ≠，可得22(2)4x y -+=，根据2204(2)y x =-->，求得x的范围，根据复数的模的定义，化简为4z -=的范围，即可得出|4|z -的取值范围．【详解】解：由于z 为虚数，可设(z x yi x =+，y R ∈，0)y ≠，（1）则22z x yi -=-+，由2z -为纯虚数，得2x =，2z yi ∴=+， 又因为42z z +-为实数， 则(442)242z yi y i R z yi y +=++=+-∈-， 得40y y-=，2y =±， 所以22z i =+或22z i =-. （2）2222(4442)4[]22(2)(2)x y z x yi x y i R z x yi x y x y -+=++=++-∈-+--+-+， 因为42z z +-为实数， ∴2240(2)y y x y -=-+， 0y ≠，22(2)4x y ∴-+=，224(2)0y x =-->∴，则2(2)4x -<，解得：(0,4)x ∈，∴|4||4|z x yi -=+-由于(0,4)x ∈，则016416x <-<，所以04<<，即0|4|4z <-<，所以|4|z -的取值范围为()0,4.【点睛】本题考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法以及复数求模，考查运算求解能力． 26．（1）61a a ==-或；（2）1a =；（3）见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）根据题意得到要求虚部位0即可；（2）要求实部位0且虚部不为0即可，2760a a -+=，且2560a a --≠，得1a =；（2）()()11a a i -++=()()221110a a -++=，得2a =±，进而得到结果.（1）z 是实数，2560a a --=，得61a a ==-或（2）z 是纯虚数，2760a a -+=，且2560a a --≠，得1a =（3）当6z a =-()()11a a i -++= 得()()221110a a -++=，得2a =±当2a =时，412z i =--,得412z i =-+；当2a =-时，248z i =+,得248z i =-点睛：这个题目考查了复数的几何意义，复数分为虚数和实数，虚数又分为纯虚数和非纯虚数，需要注意的是已知数的性质求参时，会出增根，比如纯虚数，既要求实部为0，也要求虚部不为0.。
(上海版)高二第二学期数学单元测试复数
2011学年第二学期高二数学学科练习卷（2012.5）（满分100分，考试时间90分钟）考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、准考证号、条形码等在答题纸相应位置填写清楚；2．本试卷共两个大题，15小题；请考生用钢笔或圆珠笔将答案填写在答题纸的相应位置上，解答题如无特别说明必须写出解题步骤．一、填空题（本大题满分40分）本大题共10题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．已知i z -=1（i 是虚数单位），计算=++i z zi ||231 ▲ ； 2．若复数z 满足132i 2iz z =--（i 是虚数单位），则z = ▲ ； 3．计算：29303132250i i i i +++=…+i ▲ ；4．k R ∈，且方程2(3)40x k i x k ++++=有实数解，则k = ▲ ；5．方程2320x x -+=在复数范围内根的个数为 ▲ ；6．已知复数1z i =+，如果2211z az b i z z ++=+-+，则实数a = ▲ ，b = ▲ ； 7．(文科)若复数z 满足342z i +-=，则z 的最大值为 ▲ ；(理科)若实数x 、y 满足1z x yi =，2z x yi =，124z z +=，则x y + 的取值范围是 ▲ ；8．下列类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）：①“若,a b R ∈，则0a b a b -=⇒=”类比推出“若,a b C ∈，则0a b a b -=⇒=”；②“若,,,a b c d R ∈，则复数,a bi c di a c b d +=+⇒==”类比推出“若,,,a b c d Q ∈，则,a c a c b d +=+==”；③“若,a b R ∈，则0a b a b ->⇒>”类比推出“若,a b C ∈，则0a b a b ->⇒>”．其中正确的命题序号是 ▲ ；9．对非零实数a 、b ，存在以下四个真命题：①10a a+≠；②222()2a b a ab b +=++；③若a b =，则a b =±；④若2a ab =，则a b =.那么，对于非零复数a 、b ，仍然成立的所有序号是 ▲ ；10．设1z 、2z 为复数，下列命题：①如果22120z z +=，那么120z z ==； ②如果12z z =，那么12z z =±； ③如果1z a ≤（a 是正实数），那么1a z a -≤≤； ④如果1z a =（a 是正实数），那么211z z a ⋅=正确的命题序号是 ▲ .二、解答题（本大题满分60分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必要的步骤.11．（本题满分10分）(文科)已知a R ∈，命题p ：实系数一元二次方程220x ax ++=的两根都是虚数；命题q ：存在复数z 同时满足2z =且1z a +=.试判断：命题p 和命题q 之间是否存在推出关系？并请说明你的理由.(理科)关于x 的实系数一元二次方程20ax bx c ++=有两虚根1x ，2x ，且(13)a ai i c i -=-（i 为虚数单位），12||1x x -=，求实数b 的值．12．（本题满分12分）已知：复数数列{}n a 的通项公式为(1)(1(1n a i =+…，请求出1n n a a +-的值.13．（本题满分12分，每小题满分各6分） 已知集合{}13,S z z z C =-≤∈，3,,2w T z z i t w S t R ⎧+⎫==+∈∈⎨⎬⎩⎭. （1）若S T φ= ，求t 的取值范围；（2）若S T S = ，求t 的取值范围.14．（本题满分12分，每小题满分各6分）设复数cos sin z i αα=+⋅，cos sin u i ββ=+⋅，且4355z u i +=+. （1）求tan()αβ+的值；（2）求22z u zu ++的值.15．（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分7分）设复数),(R y x yi x ∈+=β与复平面上点),(y x P 对应.（1）若β是关于t 的一元二次方程220t t m -+=（m R ∈）的一个虚根，且2||=β，求实数m 的值； （2）设复数β满足条件a a n n )1(3|3|)1(|3|-+=--++ββ(n N *∈、)3,23(∈a )，当n 为奇数时，动点()P x y 、的轨迹为1C ；当n 为偶数时，动点()P x y 、的轨迹为2C ，且两条曲线都经过点D ，求轨迹1C 与2C 的方程；（3）在（2）的条件下，轨迹2C 上存在点A ，使点A 与点B 00(,0)(0)x x >的最小距离不小于332，求实数0x 的取值范围.。
上海格致中学必修第二册第二单元《复数》测试(有答案解析)
一、选择题1．当2z =时，100501z z ++=（ ）A ．1B ．-1C ．iD ．i -2．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“1x >”是“复数2(1)()z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知复数，是z 的共轭复数，则=A ．B ．C ．1D ．25．已知i 为虚数单位，复数32i2iz +=-，则以下命题为真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为74i 55- B ．z 的虚部为75-C ．3z =D ．z 在复平面内对应的点在第一象限6．设313iz i+=-，则232020z z z z ++++=（ ）A ．1B ．0C ．1i --D ．1i + 7．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．10101010i --B ．10111010i --C ．10111012i --D ．10111010i -8．若实系数一元二次方程20z z m ++=有两虚数根αβ、，且3αβ=-，那么实数m 的值是（ ） A ．52B ．1C ．1-D ．52-9．复数51i i-的虚部是( )A ．12B ．2i C ．12-D ．2i -10．在下列命题中，正确命题的个数是（ ） ①两个复数不能比较大小；②复数1z i =-对应的点在第四象限；③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④若221223()()0z z z z -+-=，则123z z z ==.A ．0B ．1C ．2D ．311．若11iai++是纯虚数（其中i 为虚数单位），则实数a 等于（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-12．若复数2(1)34i z i+=+，则z =（ ）A ．45B ．35C ．25D ．5二、填空题13．已知虚数(),2z x yi x yi =+-+（x ，y R ∈）的模为4，则23z i +-的取值范围为________．14．化简：202020191z i i ⎛⎫=+=⎪ ⎪+⎝⎭________.15．661i ⎛⎫+= ⎪ ⎪-⎝⎭_______________. 16．已知a 为实数，i 为虚数单位，若复数2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则20001a i i+=+______. 17．如果虚数z 满足38z =，那么3222z z z +++的值是________. 18．已知复数z ，且|z|＝1，则|z+3+4i|的最小值是________．19．已知复数集合{i |1,1,,}A x y x y x y R =+≤≤∈221133{|(i),}44B z z z z A ==+∈，其中i 为虚数单位，若复数z A B ∈，则z 对应的点Z 在复平面内所形成图形的面积为________ 20．若复数 z =21ii-,则3z i + =__________ 三、解答题21．已知复数z 满足|z |=z 的实部、虚部均为整数，且z 在复平面内对应的点位于第四象限. （1）求复数z ；（2）若()22m m n i z --=，求实数m ，n 的值. 22．已知复数(,)z a bi a b =+∈R ，且2(1)430a i a b i --++=．（Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）若mz z+是实数，求实数m 的值． 23．复数()()212510,1225,z a ai za a i =++-=-+-，其中a R ∈ .（1）若2a =-，求1z 的模； （2）若12z z +是实数，求实数a 的值.24．已知i 为虚数单位，当实数m 为何值时，复数是()2262m m z m m i m+-=+-：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？25．已知1(3)(?4)z x y y x i =++-,2(42)(53)(,)z y x x y i x y R =--+∈,设12z z z =-,且132z i =+,求复数1z ,2z .26．已知O 为坐标原点，向量1OZ 、2OZ 分别对应复数1z 、2z ，且()213105z a i a =+-+，()()22251z a i a R a =+-∈-.若12z z +是实数. （1）求实数a 的值； （2）求以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据100501z z ++的结构特点，先由z =，得到()2212-==-i z i ，再代入100501z z ++求解.【详解】因为z =所以()221,2-==-i z i所以()()()2550250100,1=-=-=-=-=-z i i z i i ，所100501++=-z z i ， 故选：D 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，还考查了周期性的应用，运算求解的能力，属于基础题.2．B解析：B 【分析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答. 【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选B. 【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.3．C解析：C 【分析】根据充分必要条件的定义结合复数与复平面内点的对应关系，从而得到答案． 【详解】若复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限，则20,10x x x ⎧->⎨->⎩ 解得1x >，故“1x >”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的充要条件. 故选C. 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了复数的与复平面内点的对应关系，是一道基础题．4．A解析：A 【分析】 利用复数除法化简，再求出共轭复数，进而可得结果.【详解】，，，故答案为：A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.5．D解析：D 【分析】利用复数的除法运算，化简32i2iz +=-，利用共轭复数，虚部，模长的概念，运算求解，进行判断即可. 【详解】()()()()32i 2i 32i 47i2i 2i 2i 55z +++===+--+， z ∴的共扼复数为47i 55-，z 的虚部为75，22476555z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，在第一象限. 故选：D. 【点睛】本题考查了复数的四则运算，共轭复数，虚部，模长等概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.6．B解析：B 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由等比数列的前n 项和公式及虚数单位i 的运算性质求解． 【详解】 3(3)(13)1013(13)(13)10i i i iz i i i i +++====--+， 20202020232020(1)(1)(11)0111z z i i i z z z zz i i---∴+++⋯+====---．故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的运算性质，训练了等比数列前n 项和的求法，是基础题．7．B解析：B 【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案. 【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i ii -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i iii i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-，可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-，可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---， 故选：B. 【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.8．A解析：A 【分析】根据实系数方程有两虚数根，利用求根公式解得：12z -±=，由此可得αβ-的m 表示形式，根据3αβ-=即可求得m 的值. 【详解】因为20z z m ++=，所以z =，又因为3αβ-=，所以3=，所以419m -=，解得：52m =. 故选A. 【点睛】实系数一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，有两虚根为,αβ，注意此时的240b ac ∆=-<，因此在写方程根时应写成：2b x -±=而不能写成了2b x -±=.9．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先化简所给的复数，然后确定其虚部即可. 【详解】由复数的运算法则可知：51i i -()()()1111122i i ii i +==-+-+，则复数51i i-的虚部是12.本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．A解析：A 【解析】对于选项①,不能说两个复数不能比较大小，如复数3和4就可比较大小，所以该命题是错误的.对于选项②，复数1z i =-对应的点在第二象限，所以该命题是错误的.对于选项③，若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则21x -=0且232x x ++≠0，所以x=1,所以该命题是错误的. 对于选项④，若()()2212230z z z z -+-=，可以123,0,1z i z z ===， 所以该命题是错误的. 故选A.11．B解析：B 【分析】设11ibi ai +=+，化简后利用复数相等列方程求解即可. 【详解】设()1,,1ibi a b R ai+=∈+， 所以()11i bi ai ab bi +=⋅+=-+，所以11ab b -=⎧⎨=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩，故选：B ． 【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，考查复数相等的性质，属于基础题.12．C解析：C 【分析】 先求出8625iz -=，再求出||z 得解. 【详解】由题得()()()()212342863434343425i i i i iz ii i i +-+====+++-，所以102255z ===. 故选：C二、填空题13．【分析】由模长公式易得设（）表示的几何意义为点到点的距离结合图形求出距离的范围即可得解【详解】因为虚数（）的模为4所以有故点的轨迹是以圆心半径为的圆设（）表示的几何意义为点到点的距离由图可知点到点的 解析：[]1,9【分析】由模长公式易得()22216x y -+=，设z x yi =+（x ，y R ∈），23z i +-表示的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)B -的距离，结合图形求出距离的范围即可得解. 【详解】因为虚数()2x yi -+（x ，y R ∈）的模为4，所以有()22216x y -+=，故点(,)x y 的轨迹是以圆心(2,0)A ，半径为4r =的圆，设z x yi =+（x ，y R ∈），23z i +-表示的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)B -的距离， 由图可知，点(,)x y 到点(2,3)B -的距离的最大值为AB r +，最小值为AB r -，又因为5AB ==，所以点(,)x y 到点(2,3)B -的距离的最大值为9，最小值为1， 则23z i +-的取值范围为[]1,9. 故答案为[]1,9.【点睛】本题考查复数的模和复数的几何意义，解题关键是根据复数的模长公式，得到x 和y 关系式，根据条件作出图形利用数形结合求解，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查数形结合思想，属于常考题.14．【分析】利用的幂的性质化简即可得答案【详解】所以原式故答案为：【点睛】本题考查复数的计算合理利用常见结论可使计算简便如等等 解析：1i --【分析】利用i 的幂的性质化简即可得答案. 【详解】2019201633i i i i i =⋅==-， ()1010202010102101010082222i 2i 2i i i i 11i 2i 1i ⎡⎤⎛⎫-⎛⎫====⋅==-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以原式=1i --. 故答案为：1i --. 【点睛】本题考查复数的计算.合理利用常见结论可使计算简便，如4i 1n =，41i i n +=，42i 1n +=-，43ii n +=-，()21i 2i +=，()21i 2i -=-，1i i=-等等.15．【分析】由于次数比较高先利用的周期性将其次数降低再进行四则运算【详解】故答案为：【点睛】本主要考查了有关的幂的运算和复数的四则运算还考查了转化问题运算求解的能力属于基础题 解析：2i【分析】由于次数比较高，先利用()*ni n ∈N 的周期性，将其次数降低，再进行四则运算.【详解】661i⎛⎫+=⎪⎪-⎝⎭33233121⎡⎤+⎛⎫⎢⎥=+=+=⎪⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦ii i i i ii.故答案为：2i【点睛】本主要考查了有关i的幂的运算和复数的四则运算，还考查了转化问题，运算求解的能力，属于基础题.16．【分析】利用纯虚数的定义复数的运算法则即可求出【详解】解：为纯虚数且解得故答案为：【点睛】本题考查了复数的运算法则纯虚数的定义考查了推理能力与计算能力属于基础题解析：1i-【分析】利用纯虚数的定义、复数的运算法则即可求出.【详解】解：2(1)(1)z a a i=-++为纯虚数，210a∴-=，且10a+≠，解得1a=20001112(1)111(1)(1)i iii i i i++-∴===-+++-.故答案为：1i-.【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 17．6【分析】利用立方差公式由得再将所求式子进行等价变形为最后利用整体代入计算求值【详解】由得又z为虚数得∴故答案为：6【点睛】本题考查立方差公式的应用复数的四则运算考查转化与化归思想考查逻辑推理能力和解析：6【分析】利用立方差公式，由38z=，得()2(2)240z z z-++=，再将所求式子进行等价变形为()323222242z z z z z z+++=+++-，最后利用整体代入计算求值.【详解】由38z=，得()2(2)240z z z-++=.又z为虚数，得2240z z++=.∴()3232222428026z z z z z z+++=+++-=+-=.故答案为：6【点睛】本题考查立方差公式的应用、复数的四则运算，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体代入法的灵活运用.18．4【解析】【分析】方法一：根据绝对值不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|求出|z+3+4i|的最小值即可方法二：利用复数的几何意义求解即可【详解】方法一：∵复数z 满足|z|＝1∴|z+3解析：4【解析】【分析】方法一：根据绝对值不等式|a |﹣|b |≤|a +b |≤|a |+|b |，求出|z +3+4i |的最小值即可．方法二：利用复数的几何意义求解即可【详解】方法一：∵复数z 满足|z|＝1，∴|z+3+4i|≥|3+4i|﹣|z|＝5﹣1＝4，∴|z+3+4i|的最小值是4．方法二：复数z 满足|z|＝1，点z 表示以原点为圆心、1为半径的圆．则|z+3+4i|表示z 点对应的复数与点（﹣3，﹣4）之间的距离，圆心O 到点（﹣3，﹣4）之间的距离d ==5，∴|z+3+4i|的最小值为5﹣1＝4，故答案为4．【点睛】本题考查了不等式的应用问题，也考查了复数的几何意义及运算问题，属基础题． 19．【分析】先由复数的几何意义确定集合所对应的平面区域再确定集合所对应的平面区域由复数可得复数对应的点在复平面内所形成图形即为集合与集合所对应区域的重叠部分结合图像求出面积即可【详解】因为复数集合所以集 解析：72【分析】先由复数的几何意义确定集合A 所对应的平面区域，再确定集合B 所对应的平面区域，由复数z A B ∈⋂，可得复数z 对应的点Z 在复平面内所形成图形即为集合A 与集合B 所对应区域的重叠部分，结合图像求出面积即可.【详解】 因为复数集合{i |1,1,,}A x y x y x y R =+≤≤∈，所以集合A 所对应的平面区域为1x =±与1y =±所围成的正方形区域； 又221133{|,}44B z z i z z A ⎛⎫==+∈⎪⎝⎭，设1z a bi =+，且1a ≤, 1b ≤, ,a b R ∈， 所以()()()21333333444444z i z i a bi a b a b i ⎛⎫⎛⎫=+=++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设2z 对应的点为(),x y ，则()()3434x a b y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以3232a x y b y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又1a ≤,1b ≤，所以33223322x y y x ⎧-≤+≤⎪⎪⎨⎪-≤-≤⎪⎩， 因为复数z A B ∈⋂，z 对应的点Z 在复平面内所形成图形即为集合A 与集合B 所对应区域的重叠部分，如图中阴影部分所示， 由题意及图像易知：阴影部分为正八边形，只需用集合A 所对应的正方形区域的面积减去四个小三角形的面积即可.由321x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得112B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，由321x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得112C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 所以11172242222S =⨯-⨯⨯⨯=阴影. 故答案为72【点睛】本题主要考复数的几何意义，以及不等式组所表示平面区域问题，熟记复数的几何意义，灵活掌握不等式组所表示的区域即可，属于常考题型.20．【解析】分析：先化简复数z 再求再求 的值详解：由题得所以故答案为：点睛：（1）本题主要考查复数的运算共轭复数和复数的模的计算意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力(2)复数的共轭复数5【解析】分析：先化简复数z,再求3z i +，再求3z i + 的值.详解：由题得2i 2i(1i)22i 1i 1i (1i)(1i)2z +-+====-+--+，所以31312,3z i i i i z i +=--+=-+∴+==点睛：（1）本题主要考查复数的运算、共轭复数和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数,z a bi =-||z =三、解答题21．(1) 12z i =-或2i z =-.(2) 3m =±，5n =.【分析】（1）利用已知条件，设出复数z ，通过225(,)a b a b +=∈Z 及所对点所在位置求出即可复数z ；（2）利用（1），结合复数的乘法运算求解m ，n 的值【详解】（1）设(,)z a bi a b =+∈Z ，则225(,)a b a b +=∈Z ，因为z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以0a >，0b <，所以12a b =⎧⎨=-⎩或21a b =⎧⎨=-⎩， 所以12z i =-或2i z =-.（2）由（1）知12z i =-或2i z =-，当12z i =-时，234z i =--；当2i z =-时234z i =-.因为()22m m n i z --=，所以234m m n =±⎧⎨-=⎩，解得3m =±，5n =. 【点睛】本题考查复数的模长公式，考查复数的乘法运算，考查计算能力，是基础题22．（Ⅰ）33z i =-（Ⅱ）18m =【分析】（Ⅰ）根据复数相等列方程组，解得,a b （Ⅱ）先化复数为代数形式，再根据复数为实数列式，解得实数m 的值．【详解】 解： （Ⅰ）由题意240{30a ab a ++=-+=，解之得3,3a b ==-． 所以33z i =-为所求（Ⅱ）由（Ⅰ）得，()133333333666m i m m m m z i i i z i +⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=++- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭m z z +是实数，306m ∴-=，即18m =为所求． 【点睛】 本题考查复数相等以及复数概念，考查基本分析求解能力，属中档题23．（1）（2）5a =-或3a =.【解析】（1）2a =-，则136z i =+，则1z ===， ∴1z的模为. （2）()()2125101225z z a a i a a i +=++-+-+- ()()()261025a a a i ⎡⎤=-+-+-⎣⎦ ()()26215a a a i =-++-因为12z z +是实数，所以22150a a +-=，解得5a =-或3a =故5a =-或3a =.24．（1）2m =；（2）0m ≠且2m ≠；（3）3m =-.【分析】（1）由实数定义可知实部为零，由此可构造方程求得结果；（2）由虚数定义可知虚部不为零，结合分式分母不为零可构造不等式组求得结果； （3）由纯虚数定义可知实部为零且虚部不为零，由此可构造方程组求得结果.【详解】 （1）由2200m m m ⎧-=⎨≠⎩得：2m = ∴当2m =时，复数z 是实数 （2）由2200m m m ⎧-≠⎨≠⎩得：0m ≠且2m ≠ ∴当0m ≠且2m ≠时，复数z 是虚数 （3）由226020m m m m m ⎧+-=⎪⎨⎪-≠⎩得：3m =- ∴当3m =-时，复数z 是纯虚数 【点睛】本题考查根据复数的类型求解参数值的问题，关键是熟练掌握实数、虚数和纯虚数的定义；易错点时忽略无论复数为什么类型，分式分母不能为零的要求.25．1z =59,i -287.z i =--【分析】明确复数1z ,2z 的实部与虚部，结合加减法的运算规则，即可求出复数z ，从而用,x y 表示出z ，接下来根据复数相等的充要条件列出关于,x y 的方程组求解，即可得出1z ,2z .【详解】∵12z z z =- ()()()()344253x y y x i y x x y i =++---++ ()()342x y y x ⎡⎤=+--⎣⎦ ()()453y x x y i ⎡⎤+-++⎣⎦ ()()534x y x y i =-++. ∴()()534z x y x y i =--+.又∵132z i =+∴531342x y x y -=⎧⎨+=-⎩∴21x y =⎧⎨=-⎩∴()()1321142z i =⨯-+--⨯ 59,i =-∴()()24122523187.z i i ⎡⎤⎡⎤=⨯--⨯-⨯+⨯-=--⎣⎦⎣⎦【点睛】本题主要考查复数代数形式的加减运算、共轭复数的定义以及复数相等的充要条件，属于中档题.复数相等的性质是：若两复数相等则它们的实部与虚部分别对应相等.26．（1）3a =；（2）118. 【分析】（1）求出1z 和2z ，由复数12z z +是实数，可求得实数a 的值；（2）求出1OZ 和2OZ ，利用平面向量的数量积求出12cos Z OZ ∠，进一步求出12sin Z OZ ∠，结合三角形的面积公式可求得所求四边形的面积.【详解】（1）由题意可得()213105z a i a =--+， ()22251z a i a =+--，则()2123221551z z a a i a a+=+++-+-， 由于复数12z z +是实数，则221505010a a a a ⎧+-=⎪+≠⎨⎪-≠⎩，解得3a =；（2）由（1）可得138z i =+，21z i =-+，则点13,18Z ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()21,1Z -， 因此，以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形的面积为121118S Z Z =⨯=. 【点睛】本题考查利用复数类型求参数，同时也考查了四边形面积的计算，涉及平面向量数量积的应用，考查计算能力，属于中等题.。
上海西郊学校必修第二册第二单元《复数》测试卷(答案解析)
一、选择题1．满足条件34z i i -=+的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆2．若a b 、为非零实数,则以下四个命题都成立:①10a a+≠；②()2222a b a ab b +=++；③若a b ，=则a b =±；④若2a ab =，则a b ，=则对于任意非零复数a b 、，上述命题中仍为真命题的个数为（ ）个. A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．复数()211i z i+=-，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．在复平面内，O 是原点，,,OA OC AB 对应的复数分别为－2＋i ，3＋2i, 1＋5i ，那么BC 对应的复数为( )A ．4＋7iB ．1＋3iC ．4－4iD ．－1＋6i 6．已知复数2a i i +-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于 A ．-2B ．2C ．12D ．-1 7．已知z 是纯虚数，21z i ＋－是实数，那么z 等于 ( )． A ．2i B ．i C ．－i D ．－2i8．已知复数z 满足33z -=，则4z i -（i 为虚数单位）的取值范围为（ ）A ．[]28,B ．3⎤⎦C ．[]1,9D ．[]3,8 9．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．10101010i -- B ．10111010i --C ．10111012i --D ．10111010i - 10．已知复数z 满足()211i i z+=-(i 为虚数单位），则复数z =（ ） A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i -- 11．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则复数(1)z i -的虚部为（ ）A ．3-B ．3C ．3i -D ．3i12．若复数z 满足(12)5z i +=，则它的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限二、填空题13．若复数z 满足0z z z z ⋅++=，则复数33z i --的最大值与最小值的乘积为___________．14．棣莫弗公式()cos sin cos sin nx i x nx i nx +=+（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667~1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6cos sin 77i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于第______象限.15．已知复数z 满足()14i z a i +=+（i 为虚数单位），且22z =，则实数a =________．16．化简：2020201921i z i i ⎛⎫=+= ⎪ ⎪+⎝⎭________.17．已知复数z 满足|z 2-2i||z|+=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点的坐标（x ，y ）的轨迹方程为__________.18．若复数214t z t i+=-+在复平面内对应的点位于第四象限,则实数t 的取值范围是____. 19．如果复数z 的模不大于1，而z 的虚部的绝对值不小于，则复平面内复数z 的对应点组成图形的面积是___．20．定义运算a c ad bcb d =-，复数z 满足i 1i 1i z =+，z 为z 的共轭复数，则z ＝___________. 三、解答题21．已知i 是虚数单位，设复数z 满足22z -=.（1）求14z i +-的最小值与最大值；（2）若4z z+为实数，求z 的值. 22．当实数m 取什么值时，复数224(6)Z m m m i =-+--分别满足下列条件？ （1）复数Z 实数；（2）复数Z 纯虚数；（3）复平面内，复数Z 对应的点位于直线y x =-上.23．已知复数()12251z a i a =+--，()223105z a i a =+-+，其中a 为实数，i 为虚数单位.（1）若复数1z 在复平面内对应的点在第三象限，求a 的取值范围；（2）若21z z +是实数（2z 是2z 的共扼复数），求1z 的值.24．已知：复数1z 与2z 在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且12(1)(1)z i z i -=+（i 为虚数单位），|1z．（I ）求1z 的值；（II ）若1z 的虚部大于零，且11m z n i z +=+（m ，n ∈R ），求m ，n 的值． 25．已知复数1z mi =+（i 是虚数单位，m R ∈），且(3)z i ⋅+为纯虚数（z 是z 的共轭复数）．（1）设复数121m i z i+=-，求1z ； （2）设复数20172a i z z-=，且复数2z 所对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 26．复数()()()2152615z i m i m i =++-+-． （1）实数m 取什么数时，z 是实数；（2）实数m 取什么数时，z 是纯虚数；（3）实数m 取什么数时，z 对应的点在直线70x y ++=上．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】 因为34z i i -=+，所以5z i -=，22(1)25,x y +-= 因此复数z 在复平面上对应点的轨迹是圆，选C.2．B解析：B【解析】【分析】根据复数的概念和性质，利用复数的代数形式的运算法则，即可得出正确选项.【详解】解：对于①，当a i =时，10a a+=，即①不成立，对于②，根据复数代数形式的运算法则，满足乘法公式，即②在正确，对于③，在复数C 中，1i =，则1,a b i ==时，a b ≠±，即③错误，对于④，根据复数代数形式的运算法则可得，若2a ab =，则a b ，=即④正确， 综上可得上述命题中仍为真命题的序号为②④，故选B.【点睛】本题考查了复数的概念和性质及复数的代数形式的运算法则，属基础题.3．C解析：C【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，求出z 在复平面内对应的点的坐标得答案．【详解】()()()()212121,1,1111i i i i z i z i i i i i +⋅+====-+∴=-----⋅+ 即z 的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限 .故选C.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4．B解析：B【分析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答.【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)．∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选B.【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.5．C解析：C【解析】BC BA AO OC AB OA OC =++=--+15(2)3244i i i i =----+++=-，选C.6．C解析：C【解析】 2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以21210,0552a a a -+=≠∴=，选C. 7．D解析：D【分析】根据复数的运算，化简得到21[(2)(2)]12z b b i i +=-++-，再由复数为实数，即可求解. 【详解】设z ＝b i (b ∈R ，且b ≠0)， 则＝＝＝ [(2－b )＋(2＋b )i]． ∵∈R ， ∴2＋b ＝0，解得b ＝－2，∴z ＝－2i.故选D.【点睛】 本题主要考查了复数的基本运算和复数的基本概念的应用，其中熟记复数的四则运算法则和复数的基本分类是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.8．A解析：A【分析】利用复数模长的三角不等式可求得4z i -的取值范围.【详解】()()4334z i z i -=-+-，由复数模长的三角不等式可得()()334334334z i z i z i ---≤-+-≤-+-， 即35435z i -≤-≤+，即248z i ≤-≤，因此，4z i -的取值范围是[]28,.故选：A.【点睛】本题考查复数模长的取值范围的计算，考查三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.9．B解析：B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i ii -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i i i i i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-， 可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-， 可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---， 故选：B.【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题. 10．B解析：B【解析】因为()211i i z+=-，所以22(1)112i i z i i i ==+=-- ，选B. 11．B解析：B【分析】 由复数的几何意义，得到12z i =-+，再根据复数的运算法则，化简复数为(1)13z i i -=+，结合复数的概念，即可求解.【详解】由题意，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-， 可得12z i =-+，又由(1)(12)(1)13z i i i i -=-+-=+，所以复数(1)z i -的虚部为3.故选：B.12．A解析：A【分析】根据复数的除法运算法则，可得12z i =-，求得12z i =+，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足(12)5z i +=，可得51212z i i==-+， 所以12z i =+，它在复平面内对应的点为(1,2)在第一象限. 故选:A.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算法则，以及共轭复数的概念和复数的几何意义，其中解答中熟记复数的除法的运算法则，准确化简、运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．24【分析】设（）结合条件得在复平面内对应点的轨迹再由的几何意义求解即可【详解】设（）则由得即复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心以1为半径的圆表示复数在复平面内对应点到点的距离所以最大值为最小值为 解析：24【分析】设z a bi =+，（,a b ∈R ），结合条件0z z z z ⋅++=得z 在复平面内对应点的轨迹，再由33z i --的几何意义求解即可．【详解】设z a bi =+，（,a b ∈R ）则由0z z z z ⋅++=,得2220a b a ++=，即()2211a b ++=．复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(1,0)A -为圆心，以1为半径的圆，33z i =--z 在复平面内对应点到点(3,3)P 的距离所以33z i --最大值为||116PA +==．最小值为||114PA -==故最大值与最小值的乘积为2446=⨯故答案为：24【点睛】本题考查复平面内复数对应的点的轨迹问题，复数模长的几何意义，是中档题. 14．二【分析】先根据棣莫弗公式得再根据三角函数确定符号根据复数集合意义得答案【详解】由得∵∴∴复数在复平面内所对应的点位于第二象限故答案为：二【点睛】本题考查复数的几何意义三角函数符号的判断是中档题 解析：二【分析】先根据棣莫弗公式得666cos sin cos sin 7777i i ππππ⎛⎫++ ⎪=⎝⎭，再根据三角函数确定符号，根据复数集合意义得答案.【详解】由()cos sin cos sin n x i x nx i nx +=+，得666cos sin cos sin 7777i i ππππ⎛⎫++ ⎪=⎝⎭， ∵627πππ<<，∴6cos 07π<，6sin 07π>， ∴复数6cos sin 77i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于第二象限. 故答案为：二.【点睛】本题考查复数的几何意义，三角函数符号的判断，是中档题.15．0【分析】先化简再利用建立方程最后解得实数的值【详解】解：∵∴∵∴解得：故答案为：0【点睛】本题考查复数的运算复数的几何意义求参数是基础题解析：0【分析】先化简4422a a z i +-=+，再利用z ==后解得实数a 的值.【详解】解：∵ ()14i z a i +=+，∴ ()()4(1)4(4)(4)4411(1)222a i i a i a a i a a z i i i i +-+++-+-====+++-∵z =，∴ z == 解得：0a =，故答案为：0.【点睛】本题考查复数的运算，复数的几何意义求参数，是基础题. 16．【分析】利用的幂的性质化简即可得答案【详解】所以原式故答案为：【点睛】本题考查复数的计算合理利用常见结论可使计算简便如等等 解析：1i --【分析】利用i 的幂的性质化简即可得答案.【详解】2019201633i i i i i =⋅==-，()1010202010102101010082222i 2i i i i 11i 2i 1i ⎡⎤⎛⎫-⎛⎫====⋅==-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以原式=1i --.故答案为：1i --.【点睛】 本题考查复数的计算.合理利用常见结论可使计算简便，如4i 1n =，41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，()21i 2i +=，()21i 2i -=-，1i i=-等等. 17．【分析】设复数根据模的计算公式得到化简即可求解【详解】设复数则所以整理得即在复平面内对应的点的坐标的轨迹方程为故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的模的运算以及复数的表示及应用其中解答中熟记复数的模 解析：20x y -+=【分析】设复数(,)z x yi x y R =+∈=简即可求解.【详解】设复数(,)z x yi x y R =+∈，则z =22(2)(2)z i x y i +-=++-==20x y -+=，即z 在复平面内对应的点的坐标(,)x y 的轨迹方程为20x y -+=.故答案为：20x y -+=.【点睛】本题主要考查了复数的模的运算，以及复数的表示及应用，其中解答中熟记复数的模的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.18．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数再由复数在复平面内对应的点位于第四象限列出不等式组求解即可得结论【详解】在复平面内对应的点位于第四象限解得实数的取值范围是故答案为【点睛】复数是高考中的必 解析：()1,2-【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z ，再由复数214t z t i+=-+在复平面内对应的点位于第四象限列出不等式组,求解即可得结论.【详解】 ()()2222i 114441i i i t t z t t t t ⎡⎤-++=-+=-+=--+⎢⎥-⎣⎦，在复平面内对应的点位于第四象限,24010t t ⎧->∴⎨--<⎩，解得12t -<<， ∴实数t 的取值范围是()1,2-，故答案为()1,2-.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.19．【解析】分析：先根据复数的模以及复数的虚部列不等式再根据扇形面积减去三角形面积得弓形面积详解：设则如图因此复平面内复数z 的对应点组成图形为两个弓形其面积为扇形面积减去三角形面积是点睛：本题重点考查复 解析：23-3π 【解析】分析：先根据复数的模以及复数的虚部列不等式，再根据扇形面积减去三角形面积得弓形面积. 详解：设(,)z x yi x y R =+∈，则2211,2x y y +≤≥ ，如图,2.3AOB π∠=因此复平面内复数z 的对应点组成图形为两个弓形，其面积为扇形面积减去三角形面积是21212232(111sin )23233πππ⨯⋅-⨯⨯⨯=- 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 22a b +(,)a b 、共轭为.-a bi20．2＋i 【解析】根据题意得到=故得到z=2-i ＝2＋i 故答案为2＋i解析：2＋i【解析】 根据题意得到1z i zi i i =-=1i +,故得到z=2-i ，z ＝2＋i.故答案为2＋i.三、解答题21．（1）最大值为7，最小值为3.（2）见解析【分析】（1）根据题意22z -=，可知z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，14z i +-表示点(,)x y 到(1,4)-的距离，结合几何意义求得结果；（2）根据4z z +为实数，列出等量关系式，求得结果. 【详解】（1）设z x yi =+，根据22z -=，所以有22(2)4x y -+=，所以z 的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，所以14(1)(4)z i x y i +-=++-=其表示点(,)x y 到(1,4)-的距离，所以其最大值为圆心(2,0)到(1,4)-的距离加半径，最小值为圆心(2,0)到(1,4)-的距离减半径，27=23=；（2）222222444()44()()x yi x y z x yi x yi x y i z x yi x y x y x y -+=++=++=++-++++， 因为4z z +为实数，所以2240y y x y -=+， 即224(1)0y x y-=+，所以0y =或224x y +=， 又因为22(2)4x y -+=，所以00x y =⎧⎨=⎩（舍去），40x y =⎧⎨=⎩，1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以4z =或1z =+或1z =-.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有根据几何意义有模的最值，根据复数为实数求复数的值，属于简单题目.22．（1）2m =-或3m =；（2）2m =；（3）2m =-或52m =. 【分析】（1）由虚部为0，求解m 值；（2）由实部为0且虚部不为0，列式求解m 值；（3）由实部与虚部的和为0，列式求解m 值．【详解】解：由题可知，复数224(6)Z m m m i =-+--，（1）当Z 为实数时，则虚部为0，由260m m --=，解得：2m =-或3m =；（2）当Z 纯虚数时，实部为0且虚部不为0， 由224060m m m ⎧-=⎨--≠⎩，解得：2m =； （3）当Z 对应的点位于直线y x =-上时，则0x y +=，即：实部与虚部的和为0，由224(6)0m m m -+--=，解得：2m =-或52m =． 【点睛】本题考查复数的基本概念，以及复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 23．（1）51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）1z =【分析】（1）根据复数1z 对应点所在的象限得出关于实数a 的不等式组，解出即可；（2）根据12z z +是实数，得出该复数的虚部为零，可求出实数a 的值，再利用复数的模长公式可计算出1z 的值.【详解】 （1）复数1z 在复平面内对应的点在第三象限，则201250a a ⎧<⎪-⎨⎪-<⎩，解得152a a >⎧⎪⎨<⎪⎩，即512a <<.故实数a 的取值范围是51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）()223105z a i a =+-+，()223105a i a z =--+∴， ()()()2212233225102151551z z a i a i a a i a a a a∴+=+-+--=+++--++-.12z z +是实数，2215015a a a a ⎧+-=⎪∴≠⎨⎪≠-⎩，解得3a =， ()122511z a i i a∴=+-=-+-，1z ∴= 【点睛】本题考查利用复数的几何意义、复数的概念求参数，同时也考查了复数模长的计算，考查计算能力，属于中等题.24．（I ）11z i =-或11z i =-+（II ）4,1m n =-=【分析】（I ）设1z x yi =+，得出2z 的表达式，根据12(1)(1)z i z i -=+和1z =方程组求得,x y 的值，进而求得1z 的值.（II ）根据（I ）的结论确定1z 的值.代入11m z n i z +=+运算化简，根据复数相等的条件列方程组，解方程组求得,m n 的值. 【详解】解：（I ）设1z x yi =+（x ，y ∈R ），则2z =－x+yi ，∵z 1（1－i ）=2z （1+i ），|1z，∴22()(1)()(1)2x yi i x yi i x y +-=-++⎧⎨+=⎩， ∴11x y =⎧⎨=-⎩或11x y =-⎧⎨=⎩，即11z i =-或11z i =-+ （II ）∵1z 的虚部大于零，∴11z i =-+，∴11z i =--，则有(1)1m i n i i +--=+-+，∴12112m n m ⎧--=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩，∴41m n =-⎧⎨=⎩． 【点睛】 本小题主要考查复数的概念，考查复数的模、复数相等、复数的虚部等知识，属于基础题. 25．（1）1z =2）13a > 【分析】(1)先根据条件得到13z i =-，进而得到15122z i =--，由复数的模的求法得到结果；（2）由第一问得到2(3)(31)10a a i z ++-=，根据复数对应的点在第一象限得到不等式30310a a +>⎧⎨->⎩，进而求解.【详解】∵1z mi =+，∴1z mi =-.∴(3)(1)(3)(3)(13)z i mi i m m i ⋅+=-+=++-.又∵(3)z i ⋅+为纯虚数，∴30130m m +=⎧⎨-≠⎩，解得3m =-．∴13z i =-.（1）13251122i z i i -+==---，∴12z =； （2）∵13z i =-，∴2(3)(31)1310a i a a i z i -++-==-， 又∵复数2z 所对应的点在第一象限，∴30310a a +>⎧⎨->⎩，解得：13a >． 【点睛】如果Z 是复平面内表示复数z a bi =+(),a b ∈R 的点，则①当0a >，0b >时，点Z 位于第一象限；当0a <，0b >时，点Z 位于第二象限；当0a <，0b <时，点Z 位于第三象限；当0a >，0b <时，点Z 位于第四象限;②当0b >时，点Z 位于实轴上方的半平面内；当0b <时，点Z 位于实轴下方的半平面内．26．（1）5m =或3-；（2）2m =-；（3）12m =或2- 【分析】复数222(1)(52)(615)(56)(215)z i m i m i m m m m i =++-+-=+++--．（1）由22150m m --=，解得m 即可得出． （2）由225602150m m m m ⎧++=⎨--≠⎩，解得m 即可得出． （3）由22(56)(215)70m m m m +++--+=．解出即可得出．【详解】解：复数222(1)(52)(615)(56)(215)z i m i m i m m m m i =++-+-=+++--．（1）由22150m m --=，解得5m =或3-．5m ∴=或3-时，复数z 为实数．（2）由225602150m m m m ⎧++=⎨--≠⎩，解得2m =-． 2m ∴=-时，复数z 为纯虚数．（3）由22(56)(215)70m m m m +++--+=．化为：22320m m +-=， 解得12m =或2-．12m ∴=或2-，z 对应点在直线70x y ++=上． 【点睛】本题考查了复数的运算法则及其有关概念，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
上海莘光学校必修第二册第二单元《复数》检测题(含答案解析)
一、选择题1．在复平面内与复数21iz i=+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ） A ．1i --B ．1i -C ．1i +D ．1i -+2．满足条件34z i i -=+的复数z 在复平面上对应点的轨迹是（ ） A ．一条直线 B ．两条直线C ．圆D ．椭圆3．当z =时，100501z z ++=（ ） A ．1 B ．-1C ．iD ．i -4．若复数(1a iz i i+=-是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．-2B ．-1C ．1D ．25．已知z 是纯虚数，21z i＋－是实数，那么z 等于 ( )． A ．2i B ．i C ．－i D ．－2i 6．复数z 满足23z z i +=-，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．3i +D ．3i - 7．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．10101010i -- B ．10111010i -- C ．10111012i -- D ．10111010i - 8．复数252i +i z =的共轭复数z 在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．复数z 满足()234(i z i i --=+为虚数单位)，则(z = ) A ．2i -+B ．2i -C ．2i --D ．2i +10．复数z 满足(12)3z i i +=+，则z =（ ） A ．15i + B ．1i - C ．15i - D ．1i +11．若32a ii-+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．32-B ．23-C ．23 D ．3212．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则复数(1)z i -的虚部为（ ）A ．3-B ．3C ．3i -D ．3i二、填空题13．设z 为复数，且1z =，当23413z z z z ++++取得最小值时，则此时复数z =______.14．已知复数2i -（i 为虚数单位）是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，则b c +=_____.15．设复数z ，满足11z =，22z =，123z z i +=-，则12z z -=____________． 16．已知11z i --=，则z i +的取值范围是_____________；17．在复变函数中，自变量z 可以写成(cos sin )i z r i r e θθθ=⨯+=⨯，其中||r z =，θ是z 的辐角．点(),x y 绕原点逆时针旋转θ后的位置可利用复数推导，点()2,3A 绕原点逆时针旋转3arcsin5得A '_______；复变函数ln (,0)z z C z ω=∈≠，i ωπ=，z =_______．18．已知复数()22356()=-+-+∈z k k k k i k R ，且0z <，则k =________. 19．已知，则 =____．20．定义运算a c ad bc b d=-，复数z 满足i 1i 1iz =+，z 为z 的共轭复数，则z ＝___________.三、解答题21．复数1z 、2z 满足120z z ⋅≠，1212||||z z z z +=-，证明：21220z z <.22．已知复数z 使得2z i R +∈，2zR i∈-，其中i 是虚数单位. （1）求复数z 的共轭复数z ；（2）若复数()2z mi +在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.23．已知复数()2227656 ()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，实数a 取什么值时，z 是:①实数？②虚数？③纯虚数？24．已知复数z =22761a a a -+-2(56)i a a +--，a R ∈． （1）若复数z 为实数，求实数a 的值；（2）若复数z 为虚数，求实数a 的取值范围； （3）是否存在实数a ，使得复数z 为纯虚数？25．若z C ∈，4233i z z +=，sin sin i ωθθ=-（θ为实数），i 为虚数单位. （1）求复数z ； （2）求z ω-的取值范围.26．已知复数z 满足|z|2,2z 的虚部为2，z 所对应的点在第一象限， (1)求z ;(2)若z ,z 2,z-z 2在复平面上对应的点分别为A ,B ,C ,求cos ∠ABC ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】根据复数的运算法则求出1z i =+，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数. 【详解】由题()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，在复平面对应的点为（1,1）， 关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为1i -+. 故选：D 【点睛】此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义.2．C解析：C 【解析】因为34z i i -=+，所以5z i -=，22(1)25,x y +-= 因此复数z 在复平面上对应点的轨迹是圆，选C.3．D解析：D 【分析】根据100501z z ++的结构特点，先由z =，得到()2212-==-i z i ，再代入100501z z ++求解.【详解】因为z =所以()221,2-==-i z i所以()()()2550250100,1=-=-=-=-=-z i i z i i ，所100501++=-z z i ，故选：D 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，还考查了周期性的应用，运算求解的能力，属于基础题.4．C解析：C 【分析】利用复数代数形式的除法运算化简复数1a iz i+=-,再根据实部为0且虚部不为0求解即可. 【详解】()()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22a a a az +++-+===+-+-为纯虚数， 1010a a +≠⎧∴⎨-=⎩，即1a =，故选C. 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题. 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.5．D解析：D 【分析】根据复数的运算，化简得到21[(2)(2)]12z b b i i +=-++-，再由复数为实数，即可求解. 【详解】设z ＝b i (b ∈R ，且b ≠0)， 则＝＝＝ [(2－b )＋(2＋b )i]．∵∈R ，∴2＋b ＝0，解得b ＝－2， ∴z ＝－2i. 故选D. 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算和复数的基本概念的应用，其中熟记复数的四则运算法则和复数的基本分类是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6．A解析：A 【解析】令22()331,1z a bi z z a bi a bi a bi i a b =+∴+=++-=-=-∴==7．B解析：B 【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案. 【详解】解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，则24201923020(1)22020i S i i i i ii -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019202023020(1)(1)202020201i i i S i i i i i iii i i--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-，可得：2(1)(1)(1)20202020202112i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-，可得：2021(2021)(1)1011101012i i i S i i -+-++===---， 故选：B. 【点睛】本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.8．C解析：C 【解析】 【分析】根据复数的运算求得2i z =-+，得到z 2i =--，再根据复数的表示，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据复数的运算可得复数252i +i 2i z ==-+， 则z 2i =--，所以z 对应点(2,1)--在第三象限，故选C ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9．C解析：C 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】由()2345i z i --=+=，得()()()5252222i z i i i i -+===-+-----+， 2z i ∴=--． 故选C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10．D解析：D 【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得1i z =-，利用共轭复数的定义可得结论. 【详解】()12i 3i z +=+，()()()()3i 12i 3i 55i 1i 12i 12i 12i 5z +-+-∴====-++-， 所以1z i =+，故选D. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.11．C解析：C 【分析】先化简复数，再利用纯虚数的定义求解. 【详解】由题得()(32)(32)(23)32(32)(32)13a i a i i a a ii i i -----+==++-， 因为32a ii-+为纯虚数， 则320(23)0a a -=⎧⎨-+≠⎩，所以23a =.故选：C 【点睛】结论点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈则0a =且0b ≠，不要漏掉了0b ≠.12．B解析：B由复数的几何意义，得到12z i =-+，再根据复数的运算法则，化简复数为(1)13z i i -=+，结合复数的概念，即可求解.【详解】由题意，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-， 可得12z i =-+， 又由(1)(12)(1)13z i i i i -=-+-=+，所以复数(1)z i -的虚部为3. 故选：B.二、填空题13．【分析】设复数的辐角为将用表示出来再利用二倍角公式二次函数性质求最小值可得与的值即可得复数【详解】设复数的辐角为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的三角形形式涉及三角恒等变换及二次函数性质解析：144-±【分析】设复数z 的辐角为θ，将23413z z z z ++++用θ表示出来，再利用二倍角公式，二次函数性质求最小值，可得cos θ与sin θ的值，即可得复数z . 【详解】设复数z 的辐角为θ，23413z z z z ++++==2cos22cos 3θθ=++ 24cos 2cos 1θθ=++ 21334cos 444θ⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭所以1cos 4θ=-，sin4θ=± 所以144z=-±， 故答案为：14- 【点睛】本题主要考查了复数的三角形形式，涉及三角恒等变换及二次函数性质，属于中档题.14．1【分析】的共轭复数是实系数一元二次方程的一个根利用一元二次方程的根与系数的关系求【详解】解:因为是实系数一元二次方程的一个根所以是实系数一元二次方程的一个根所以因此故答案为：1【点睛】本题考查了一【分析】2i -的共轭复数2i +是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，利用一元二次方程的根与系数的关系求b 、c .【详解】解:因为2i -是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根， 所以2i +是实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根， 所以[(2)(2)]4b i i =--++=-，(2)(2)5c i i =-⋅+=， 因此451b c +=-+=. 故答案为：1. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题.15．【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出的值【详解】设在复平面中对应的向量为对应的向量为如下图所示：因为所以所以又因为所以所以所以又故答案为：【点睛】 解析：6【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出12z z -的值. 【详解】设12,z z 在复平面中对应的向量为12,OZ OZ ，12z z +对应的向量为3OZ ，如下图所示：因为123z z i +，所以12312z z =+=+，所以222131221cos 1224OZ Z +-∠==⨯⨯，又因为1312180OZ Z Z OZ ∠+∠=︒，所以12131cos cos 4Z OZ OZ Z ∠=-∠=-， 所以222211212122cos 1416Z Z OZ OZ OZ OZ Z OZ =+-⋅⋅∠=++=，所以216Z Z =，又12216z z Z Z -==， 6. 【点睛】结论点睛：复数的几何意义：（1）复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应复平面内的点()(),,Z a b a b R ∈； （2）复数(),z a bi a b R =+∈ ←−−−→一一对应平面向量OZ .16．【分析】利用复数的几何意义求解表示复平面内到点距离为1的所有复数对应的点表示复平面内到点的距离结合两点间距离公式可求范围【详解】因为在复平面内表示复平面内到点距离为1的所有复数对应的点即复数对应的点解析：1]【分析】利用复数的几何意义求解，11z i --=表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，z i +表示复平面内到点(0,1)-的距离，结合两点间距离公式可求范围. 【详解】因为在复平面内，11z i --=表示复平面内到点(1,1)距离为1的所有复数对应的点，即复数z 对应的点都在以(1,1)为圆心，半径为1的圆上；z i +表示复平面内的点到点(0,1)-11=，11=，所以z i +的取值范围是1].故答案为：1]-. 【点睛】结论点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若z x yi =+，则z a bi --表示复平面内点(,)x y 与点(,)a b 之间的距离，z a bi r --=表示以(,)a b 为圆心，以r 为半径的圆上的点.17．【分析】点对应的复数其中则对应的复数其中利用两角和差公式求得的坐标；由则化简可得【详解】点对应的复数其中则对应的复数其中则则故的坐标为；由则得故答案为：；【点睛】本题考查了复数的运算结合考查了两角和解析：118(,)55-1- 【分析】点A 对应的复数sin )z i αα=+，其中cos ,sin 1313αα==，则A '对应的复数)sin()]z i αβαβ'=+++，其中34sin ,cos 55ββ==，利用两角和差公式求得A '的坐标；由ln (,0)z z C z ω=∈≠，i ωπ=，则i z e π=cos sin i ππ=+，化简可得z . 【详解】点A 对应的复数13(cos sin )z i αα=+，其中213313cos ,sin 1313αα==， 则A '对应的复数13[cos()sin()]z i αβαβ'=+++，其中34sin ,cos 55ββ==， 则13cos()cos cos sin sin 65αβαβαβ+=-=-， 1813sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+=， 则13181311813()55z i i '=-+=-+，故A '的坐标为118(,)55-；由ln (,0)z z C z ω=∈≠，i ωπ=，则i z e π=cos sin i ππ=+， 得1z =-. 故答案为：118(,)55-；1- 【点睛】本题考查了复数的运算，结合考查了两角和的正弦、余弦公式，还考查了学生阅读理解能力，分析能力，运算能力，属于中档题.18．2【分析】由知为实数且的实部小于零由此可构造方程求得结果【详解】解得：故答案为：【点睛】本题考查根据复数为实数求解参数值的问题关键是能够明确复数只有在虚部为零即为实数时才可以比较大小解析：2. 【分析】由0z <知z 为实数且z 的实部小于零，由此可构造方程求得结果. 【详解】0z < z R ∴∈ 2256030k k k k ⎧-+=∴⎨-<⎩，解得：2k = 故答案为：2 【点睛】本题考查根据复数为实数求解参数值的问题，关键是能够明确复数只有在虚部为零，即为实数时才可以比较大小.19．-2-3i 【解析】分析：化简已知的等式即得a 的值详解：由题得(1-i)31+i-3i=a ∴a=(1-i)4(1+i)(1-i)-3i=-2i·-2i2-3i=-2-3i 故答案为-2-3i 点睛：（1）解析：-2-3i 【解析】分析：化简已知的等式，即得 a 的值. 详解：由题得，故答案为-2-3i点睛：（1）本题主要考查复数的综合运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)本题是一个易错题，已知没有说“a”是一个实数，所以它是一个复数，如果看成一个实数，解答就错了.20．2＋i 【解析】根据题意得到=故得到z=2-i ＝2＋i 故答案为2＋i解析：2＋i【解析】 根据题意得到1z i zi i i =-=1i +,故得到z=2-i ，z ＝2＋i.故答案为2＋i.三、解答题21．见解析．【分析】通过复数的模相等，判断两个复数对应的向量垂直，然后设出复数比证明即可．【详解】设复数1z 、2z 在复平面上对应的点为1Z 、2Z ，由1212||||z z z z +=-知，以1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形为矩形，∴12OZ OZ ⊥，故可设12z ki z =(k ∈R 且0k ≠)，∴22221220z k i k z ==-<. 【点睛】本题关键之处在于模长相等的处理，可以得到1OZ 、2OZ 为邻边的平行四边形为矩形． 22．（1）42i +；（2）()2,2-.【分析】(1)根据2z i R +∈、2z R i∈-，结合复数的加法、除法运算即可求出z ，进而由共轭复数的概念求得z ；(2) 复数()2z mi +在复平面上对应的点在第四象限，即对应复数的实部、虚部都小于0，解不等式即可求得m 的范围【详解】（1）设(),z x yi x y R =+∈，则()22z i x y i +=++∵2z i R +∈∴2y =- 又22242255z x i x x i R i i -+-==+∈--， ∴4x = 综上，有42z i =-∴42z i =+（2）∵m 为实数，且()()()()2224212482z mi m i m m m i +=+-=+-+-⎡⎤⎣⎦ ∴由题意得()21240820m m m ⎧+->⎪⎨-<⎪⎩，解得22m -<< 故，实数m 的取值范围是()2,2-【点睛】本题考查了复数，利用复数的四则运算及共轭复数的概念求复数，另外依据复数所处的象限求参数范围23．①6a =；②1a ≠±且6a ≠；③无解.【分析】对于复数z a bi =+(),a b R ∈，若0b =，则z 为实数；若0b ≠，则z 为虚数；若0b ≠且0a =，则z 为纯虚数；得到不等式解得；【详解】 解：()2227656 ()1a a z a a i a R a -+=+--∈- ①若复数z 是实数，则22560,10,a a a ⎧--=⎨-≠⎩即16,1,a a a =-=⎧⎨≠±⎩或即6a =. ②若复数z 是虚数，则22560,10,a a a ⎧--≠⎨-≠⎩即16,1,a a a ≠-≠⎧⎨≠±⎩且即1a ≠±且6a ≠. ③若复数z 是纯虚数，则222560,760,10,a a a a a ⎧--≠⎪-+=⎨⎪-≠⎩即16161a a a a a ≠-≠⎧⎪==⎨⎪≠±⎩且，且，，此时无解. 【点睛】本题考查复数的基本概念，需注意实部的分母不能为零，属于基础题.24．（1）6；（2）(,1)(1,1)(1,6)(6,)-∞--+∞；（3）不存在实数a 使得复数z为纯虚数．【分析】根据z a bi =+为实数、虚数和纯虚数的条件，列方程，解方程求得a 的值.【详解】由于210a -≠，所以1a ≠±.（1）当z 为实数时，2560a a --=，解得6a =.（2）当z 为虚数时2560a a --≠，结合1a ≠±可知，a 的取值范围是()()()(),11,11,66,-∞-⋃-⋃⋃+∞.（3）当z 为纯虚数时，2227601560a a a a a ⎧-+=⎪-⎨⎪--≠⎩，方程227601a a a -+=-解得6a =，2560a a --≠解得1a ≠-且6a ≠，两者没有公共元素，故不存在实数a 使得复数z 为纯虚数．【点睛】本小题主要考查复数z a bi =+是实数、虚数和纯虚数的条件，属于基础题.25．（1）1i 2z =+；（2）[]0,2. 【分析】（1）设(),z a bi b a =+∈R ，根据复数相等，得出关于实数a 、b 的方程组，解出这两个未知数，即可得出复数z 的值；（2）利用复数的模长公式以及辅助角公式得出z ω-=，利用正弦函数的值域可求出z ω-的取值范围.【详解】（1）设(),z a bi b a =+∈R ，则z a bi =-，()()42a bi a bi i ++-=∴，即62a bi i +=，所以621a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12z i ∴=+； （2）()11sin cos sin cos 222z i i i ωθθθθ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝-=+⎭---+=== 1sin 16πθ⎛⎫ ≤⎝--⎪⎭≤，022sin 46πθ≤--⎛⎫ ⎪⎝⎭≤∴， 02z ω∴≤-≤，故z ω-的取值范围是[]0,2.【点睛】本题考查复数的求解，同时也考查了复数模长的计算，涉及复数相等以及辅助角公式的应用，考查计算能力，属于中等题.26．(1) z=1+i .(2) 【解析】分析：（1）设z=x+yi(x,y ∈R)，根据题意得到x,y 的方程组，即得z.(2)先求z ,z 2,z-z 2在复平面上对应的点，再利用向量的夹角公式求cos ∠ABC.详解：(1)设z=x+yi(x,y ∈R).∵|z|=∴x 2+y 2=2. ①又z 2=(x+yi)2=x 2-y 2+2xyi,∴2xy=2,∴xy=1. ②由①②可1,-1,1-1.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩解得或 ∴z=1+i 或z=-1-i.又x>0,y>0,∴z=1+i.(2)z 2=(1+i)2=2i,z-z 2=1+i-2i=1-i.如图所示,∴A(1,1),B(0,2),C(1,-1),()()BA 1,1,BC 1,3,∴=-=-∴cos ∠ABC BA?BC 25|BA||BC|21025====⨯ 点睛：（1）本题主要考查复数的求法和复数的几何意义，考查向量的夹角，意在考查学生对这些知识的掌握水平. (2) 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，θ为向量a 与b 的夹角，则121222221122cos x y x y θ=+⋅+.。
上海兰生复旦必修第二册第二单元《复数》测试(答案解析)
一、选择题1．已知复数1z ，2z 满足()1117i z i +=-+，21z =，则21z z -的最大值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6 2．复数()211i z i+=-，则z 的共轭复数在复平面内对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．设x ∈R ，则“1x =”是“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”的( ) A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知复数12z =-，则z z +=（ ）A ．122i --B ．12-+C ．12+D ．122- 5．已知复数2a i i +-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于 A ．-2 B ．2 C ．12 D ．-16．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z=A ．1+2iB ．1-2iC ．12i -+D ．12i -- 7．已知z 是纯虚数，21z i ＋－是实数，那么z 等于 ( )． A ．2i B ．i C ．－i D ．－2i8．已知复数z 满足33z -=，则4z i -（i 为虚数单位）的取值范围为（ ）A ．[]28,B ．3⎤⎦C ．[]1,9D ．[]3,8 9．已知i 为虚数单位，（1＋i ）x ＝2＋yi ，其中x ，y ∈R ，则｜x ＋yi ｜＝A ．B ．2C ．4 D10．在下列命题中，正确命题的个数是（ ）①两个复数不能比较大小；②复数1z i =-对应的点在第四象限；③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④若221223()()0z z z z -+-=，则123z z z ==.A ．0B ．1C ．2D ．3 11．已知复数21ai z i +=-是纯虚数，则实数a 等于（ ）A B ．2 C D12．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则复数(1)z i -的虚部为（ ） A ．3- B ．3 C ．3i - D ．3i二、填空题13．复平面上点,()Z a b 对应着复数Z a bi =+以及向量(,)OZ a b =，对于复数123,,z z z ，下列命题都成立；①1221z z z z +=+；②1212z z z z +≤+；③2211z z =；④1212z z z z ⋅=⋅；⑤若非零复数123,,z z z ，满足1213z z z z =，则23z z =.则对于非零向量123OZ OZ OZ ，，仍然成立的命题的所有序号是___________. 14．i 是虚数单位，若84i z z +=+，则z =___________. 15．已知1i z z -=-+，则复数z =______.16．已知(1,1)OP =，将OP 按逆时针方向旋转3π得到OZ ，则Z 点对应的复数为________.17．化简：202020191z i i ⎛⎫=+= ⎪ ⎪+⎝⎭________. 18．若1i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根（其中i 为虚数单位，,p q R ∈），则p q +=__________．19．661i ⎛⎫+= ⎪ ⎪-⎝⎭_______________. 20．已知复数z ，且|z|＝1，则|z+3+4i|的最小值是________．三、解答题21．已知复数(,)z a bi a b =+∈R ，且2(1)430a i a b i --++=． （Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）若m z z+是实数，求实数m 的值． 22．（1）求复数2320191i i i i z i++++=+的值. （2）复数()213105z a i a =+-+，()22251z a i a =+--，若12z z +是在复平面内对应的点在第三象限，求实数a 的取值范围. 23．i 为虚数单位，(,)z a bi a b R =+∈是虚数， 1z zω=+是实数，且12ω-<<，11z u z-=+. （1）求||z 及a 的取值范围； （2）求2u ω-的最小值.24．（1）已知()232z z z i i ++=-，求复数z ；（2）已知复数z 满足2z z-为纯虚数，且1z i -=，求复数z ． 25．设12cos ,1sin z x i z i x =+=+（x 为实数且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，i 是虚数单位），求函数()212f x z z =-的值域.26．已知复数1sin 2i z x λ=+，2()i z m m x =+（,,m x λ∈R ），且12z z =. （1）若0λ=且0πx <<，求x 的值；（2）设()f x λ=；①求()f x 的最小正周期和单调递减区间；②已知当x α=时，12λ=，试求cos(4)3πα+的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】先求得1z ，设出2z ，然后根据几何意义求得21z z -的最大值.【详解】 由()()()()11711768341112i i i i z i i i i -+--++====+++-，令2z x yi =+，x ，y R ∈，由222||11z x y =⇒+=，()()2134z z x y i -=-+-=2z 对应点在单位圆上，所以21z z -表示的是单位圆上的点和点()3,4的距离，()3,4到圆心()0,05=，单位圆的半径为1，所以21max 516z z -=+=.故选：D【点睛】 本小题主要考查复数除法运算，考查复数模的最值的计算.2．C解析：C【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数z ，求出z 在复平面内对应的点的坐标得答案．【详解】 ()()()()212121,1,1111i i i i z i z i ii i i +⋅+====-+∴=-----⋅+ 即z 的共轭复数在复平面内对应的点在第三象限 .故选C.【点睛】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．A解析：A【解析】分析：先化简“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”，再利用充要条件的定义判断. 详解：因为复数()()211z x x i =-++为纯虚数， 所以210, 1.10x x x ⎧-=∴=⎨+≠⎩因为“x=1”是“x=1”的充要条件，所以“1x =”是“复数()()211z x x i =-++为纯虚数”的充分必要条件. 故答案为A.点睛：（1）本题主要考查纯虚数的概念，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数0,0a b =⎧⇔⎨≠⎩不要把下面的b ≠0漏掉了. 4．C解析：C【解析】分析：首先根据题中所给的复数z ，可以求得其共轭复数，并且可以求出复数的模，代入求得12z z +=+，从而求得结果.详解：根据122z =--，可得12z =-+，且1z ==，所以有1112222z z +=-++=+，故选C. 点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的共轭复数、复数的模、以及复数的加法运算，属于基础题目.5．C【解析】 2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以21210,0552a a a -+=≠∴=，选C. 6．B解析：B【解析】试题分析：设i z b a =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一. 7．D解析：D【分析】 根据复数的运算，化简得到21[(2)(2)]12z b b i i +=-++-，再由复数为实数，即可求解. 【详解】设z ＝b i (b ∈R ，且b ≠0)，则＝＝＝ [(2－b )＋(2＋b )i]． ∵∈R ， ∴2＋b ＝0，解得b ＝－2，∴z ＝－2i.故选D.【点睛】本题主要考查了复数的基本运算和复数的基本概念的应用，其中熟记复数的四则运算法则和复数的基本分类是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.8．A解析：A【分析】利用复数模长的三角不等式可求得4z i -的取值范围.【详解】()()4334z i z i -=-+-，由复数模长的三角不等式可得()()334334334z i z i z i ---≤-+-≤-+-， 即35435z i -≤-≤+，即248z i ≤-≤，因此，4z i -的取值范围是[]28,.故选：A.【点睛】本题考查复数模长的取值范围的计算，考查三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.9．A解析：A【解析】【分析】首先求得x ,y 的值，然后求解复数的模即可.【详解】由题意可得：2x xi yi +=+，结合复数的充分必要条件可知：2x x y =⎧⎨=⎩，则2x y ==，22x yi i +=+==本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10．A解析：A【解析】对于选项①,不能说两个复数不能比较大小，如复数3和4就可比较大小，所以该命题是错误的.对于选项②，复数1z i =-对应的点在第二象限，所以该命题是错误的.对于选项③，若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则21x -=0且232x x ++≠0，所以x=1,所以该命题是错误的. 对于选项④，若()()2212230z z z z -+-=，可以123,0,1z i z z ===， 所以该命题是错误的. 故选A. 11．B解析：B【分析】 化简复数2222a a z i -+=+，根据复数z 是纯虚数，得到202a -=且202a +≠，即可求解.【详解】 由题意，复数()()()()2122211122ai i ai a a z i i i i +++-+===+--+，因为复数z 是纯虚数，可得202a -=且202a +≠，解得2a =， 所以实数a 等于2.故选：B.【点睛】 本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的基本概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的基本概念求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．B解析：B【分析】由复数的几何意义，得到12z i =-+，再根据复数的运算法则，化简复数为(1)13z i i -=+，结合复数的概念，即可求解.【详解】由题意，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-， 可得12z i =-+，又由(1)(12)(1)13z i i i i -=-+-=+，所以复数(1)z i -的虚部为3.故选：B.二、填空题13．①②③【分析】①根据复数加法交换律判定；②结合复平面中复数模长的几何意义判定；③由判定；④结合复平面中向量数量积判定；⑤结合复平面中向量数量积判定【详解】解：①成立满足加法的交换律故①正确；②在复平解析：①②③【分析】①根据复数加法交换律判定；②结合复平面中复数模长的几何意义判定；③由221111z z z z ==判定；④结合复平面中向量数量积判定；⑤结合复平面中向量数量积判定.【详解】解：①1221z z z z +=+成立，满足加法的交换律，故①正确；②在复平面内，根据复数模长的几何意义知， 1212z z z z +，，分别对应三角形的三边，则1212z z z z +<+，若120,z z =或或12,z z 对应的向量方向相同时，有1212z z z z +=+， 综上，1212z z z z +≤+，故②正确；③221111z z z z ==成立，故③正确； ④121212cos z z z z z z θ⋅=⋅≤⋅，故④不成立，⑤若非零复数123,,z z z ，满足1213z z z z =， 121213132323cos ,cos ,cos cos ,z z z z z z z z z z z z αβαβ===不一定等于，故⑤不成立.故答案为：①②③【点睛】与复数的几何意义相关问题的一般步骤：(1)进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；(2)把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据是复a bi +与复平面上的点(,)a b 一一对应.14．【分析】先设复数再求得最后利用复数相等即可求得【详解】解：设复数则所以所以根据复数相等得：解得所以故答案为：【点睛】本题考查复数的相等概念共轭复数复数的模等是基础题解析：34i +【分析】先设复数(),,z a bi a b R =+∈，再求得z =. 【详解】解：设复数(),,z a bi a b R =+∈，则z a bi =-=所以84z a bi i z =+=++，所以根据复数相等得：84a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩， 所以34z i =+，故答案为：34i +【点睛】本题考查复数的相等概念，共轭复数，复数的模等，是基础题.15．【分析】设根据得到再利用复数相等的条件列出方程组求得的值即可求解【详解】设则因为所以即根据复数相等的条件得解得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了复数相等的条件以及复数的模的计算公式的应用其中解 解析：i -【分析】设()i ,z x y x y =+∈R ，根据1i z z -=-+，得到(i 1i x y +=-+，再利用复数相等的条件列出方程组，求得,x y 的值，即可求解.【详解】设()i ,z x y x y =+∈R，则z = 因为1i z z -=-+，所以i 1i x y +=-+，即(i 1i x y +=-+，根据复数相等的条件得11x y ⎧⎪-=-⎨=⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，所以i z =，所以i z =-. 故答案为：i -【点睛】本题主要考查了复数相等的条件，以及复数的模的计算公式的应用，其中解答中熟记复数模的计算公式和复数相等的条件，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.16．【分析】写出P 点对应的复数为根据复数乘法的几何意义可写出Z 点对应的复数【详解】解：由题意得P 点对应的复数为由复数乘法的几何意义得：故填故答案为：【点睛】本题主要考查复数三角形式的几何意义属于基础题解析：1122i + 【分析】写出P 点对应的复数为1i +，根据复数乘法的几何意义可写出Z 点对应的复数.【详解】解：由题意得，P 点对应的复数为1i +，由复数乘法的几何意义得：11(1)cos sin 3322z i i ππ+⎛⎫=+⋅+=+ ⎪⎝⎭，.. 【点睛】本题主要考查复数三角形式的几何意义，属于基础题.17．【分析】利用的幂的性质化简即可得答案【详解】所以原式故答案为：【点睛】本题考查复数的计算合理利用常见结论可使计算简便如等等 解析：1i --【分析】利用i 的幂的性质化简即可得答案.【详解】2019201633i i i i i =⋅==-，()1010202010102101010082222i 2i i i i 11i 2i 1i ⎡⎤⎛⎫-⎛⎫====⋅==-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以原式=1i --.故答案为：1i --.【点睛】 本题考查复数的计算.合理利用常见结论可使计算简便，如4i 1n =，41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，()21i 2i +=，()21i 2i -=-，1i i=-等等. 18．0【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解【详解】是关于的实系数方程的一个根是关于的实系数方程的另一个根则即故答案为：0【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算 解析：0【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数关系求解.【详解】1i -是关于x 的实系数方程20x px q ++=的一个根，1i ∴+是关于x 的实系数方程20x px q ++=的另一个根，则(1)(1)2p i i -=-++=，即2p =-，2(1)(1)12q i i i =-+=-=，0p q ∴+=.故答案为：0【点睛】本题考查了一元二次方程的虚根特征和虚数的运算,考查了计算能力，属于中档题. 19．【分析】由于次数比较高先利用的周期性将其次数降低再进行四则运算【详解】故答案为：【点睛】本主要考查了有关的幂的运算和复数的四则运算还考查了转化问题运算求解的能力属于基础题解析：2i【分析】由于次数比较高，先利用()*n in ∈N 的周期性，将其次数降低，再进行四则运算. 【详解】661i ⎛⎫+= ⎪ ⎪-⎝⎭33233121⎡⎤+⎛⎫⎢⎥=+=+= ⎪ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎣⎦i i i i i i i . 故答案为：2i【点睛】本主要考查了有关i 的幂的运算和复数的四则运算，还考查了转化问题，运算求解的能力，属于基础题.20．4【解析】【分析】方法一：根据绝对值不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|求出|z+3+4i|的最小值即可方法二：利用复数的几何意义求解即可【详解】方法一：∵复数z 满足|z|＝1∴|z+3解析：4【解析】【分析】方法一：根据绝对值不等式|a |﹣|b |≤|a +b |≤|a |+|b |，求出|z +3+4i |的最小值即可．方法二：利用复数的几何意义求解即可【详解】方法一：∵复数z 满足|z|＝1，∴|z+3+4i|≥|3+4i|﹣|z|＝5﹣1＝4，∴|z+3+4i|的最小值是4．方法二：复数z 满足|z|＝1，点z 表示以原点为圆心、1为半径的圆．则|z+3+4i|表示z 点对应的复数与点（﹣3，﹣4）之间的距离，圆心O 到点（﹣3，﹣4）之间的距离d ==5，∴|z+3+4i|的最小值为5﹣1＝4，故答案为4．【点睛】本题考查了不等式的应用问题，也考查了复数的几何意义及运算问题，属基础题．三、解答题21．（Ⅰ）33z i =-（Ⅱ）18m =【分析】（Ⅰ）根据复数相等列方程组，解得,a b （Ⅱ）先化复数为代数形式，再根据复数为实数列式，解得实数m 的值．【详解】解： （Ⅰ）由题意240{30a ab a ++=-+=，解之得3,3a b ==-． 所以33z i =-为所求（Ⅱ）由（Ⅰ）得，()133333333666m i m m m m z i i i z i +⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=++- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ m z z +是实数，306m ∴-=，即18m =为所求． 【点睛】 本题考查复数相等以及复数概念，考查基本分析求解能力，属中档题22．（1）1122z i =-+；（2）()1,3 【分析】 （1）根据4142434,1,,1n n n n ii i i i i +++==-=-=得414243442340,n n n n i i i i i i i i n N +++++++=+++=∈，进而得2311122i i i z i i ++==-++； （2）由题得()()()2121321551a z z a a i a a -+=++-+-，再结合题意，根据复数的几何意义得()()2130512150a a a a a -⎧<⎪+-⎨⎪+-<⎩，解不等式组即可得答案. 【详解】解：（1）由于4142434,1,,1n n n n ii i i i i +++==-=-=， 所以414243442340,n n n n i i i i i i i i n N +++++++=+++=∈，而201945043=⨯+， 所以()232019231111111222i i i i i i i i z i i i i --++++++-=====-++++； （2）()()()()22123232102510255151z z a i a i a a i a a a a ⎛⎫⎡⎤+=+-++-=++-+- ⎪⎣⎦+-+-⎝⎭()()()21321551a a a i a a -=++-+-， 因为12z z +在复平面内对应的点在第三象限，所以()()2130512150a a a a a -⎧<⎪+-⎨⎪+-<⎩，解不等式组得：13a <<. 故实数a 的取值范围是()1,3【点睛】本题考查复数的运算，复数的几何意义求参数，考查运算能力，是中档题.23．（1）||1z =；112a -<<；（2）1. 【分析】（1）化简ω得到22221()a b z a b i z a b a bω=+=++-++，利用ω是实数，得到220b b a b-=+，解得0b ≠，得到221a b +=，从而求得||1z =，进而求得12z a z ω=+=，根据12ω-<<，得到112a -<<； （2）各年级题意可知2121a u a a ω--=++，进一步转化，利用基本不等式求得其最值. 【详解】（1）22221()a b z a b i z a b a b ω=+=++-++，因为ω是实数， 所以220b b a b-=+，又0b ≠，所以221a b +=，所以||1z = 因为12z a z ω=+=，且12ω-<<，所以112a -<<. （2）由题意知111a bi bi u a bi a ---==+++， 所以2222211222(1)(1)1b a a u a a a a a a ω---=+=+=++++ 12(1)311a a =++-≥+，当且仅当0a =时，等号成立， 所以2u ω-的最小值为1.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的分类，复数的乘法除法运算，基本不等式求最值，属于简单题目.24．（1）1-±；（2）2z i =或1z i =-+或1z i =+.【分析】（1）设复数(),z a bi a b R =+∈，根据复数的运算法则和复数相等得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数，即可得出复数z ；（2）设复数(),z a bi a b R =+∈，根据2z z-为纯虚数和1z i -=列出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数，可得出复数z .【详解】（1）设复数(),z a bi a b R =+∈，由()232z z z i i ++=-，得()22232a b ai i ++=-，根据复数相等得22322a b a ⎧+=⎨=-⎩，解得1a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩1z =-； （2）设复数(),z a bi a b R =+∈，则()()()222222222a bi a b z a bi a bi a b i z a bi a bi a bi a b a b -⎛⎫⎛⎫-=+-=+-=-++ ⎪ ⎪++-++⎝⎭⎝⎭， 由题意可得2220a a a b -=+，2220b b a b +≠+. ()11z i a b i -=+-=1=，所以有()()()2222222222202011a a b a b b a b a b a b ⎧+-⎪=+⎪⎪++⎪≠⎨+⎪⎪+-=⎪⎪⎩，解得02a b =⎧⎨=⎩或11a b =±⎧⎨=⎩. 因此，2z i =或1z i =-+或1z i =+.【点睛】本题考查复数的求解，常将复数设为一般形式，根据复数的相关运算列举出方程组进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.25．3⎡⎤-⎣⎦【分析】求出()fx 的解析式后利用辅助角公式化简得到()34f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭，由x 的范围结合正弦函数的性质可得()f x 的值域.【详解】 ()()()()22212cos 11sin 32cos sin f x z z x x x x =-=-+-=-+ 34x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故3,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦sin 14x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的值域为3⎡⎤-⎣⎦.【点睛】本题考查复数的模的计算以及三角函数的值域的求法，此类问题属于中档题.26．（1）6π，23π；（2）①周期T π=，单调减区间511[,]1212k k ππππ++，k ∈Z ；②78- 【分析】根据复数相等的概念列方程，求得关于,,sin 2,cos 2m x x λ的关系式.（1）将0λ=代入上述求得的关系式，由此解出x 的值.（2）由上述求得的关系式，求得()f x λ=的表达式.①利用辅助角公式和三角函数最小正周期和的单调减区间的求法，求得()f x 的最小正周期和单调递减区间.②利用二倍角公式和诱导公式，求得cos(4)3πα+的值.【详解】 由于12z z =，所以sin 22x m m xλ=⎧⎪⎨=⎪⎩，故sin 22x x λ=. （1）当0λ=时，sin 220x x -=，则tan 2x =0πx <<所以022πx <<，所以π23x =或4π23x =，所以π6x =或2π3x =. （2）由于sin 22x x λ=，故()πsin 222sin 23f x x x x ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭. ①函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.由ππ3π2π22π232k x k +≤-≤+，解得5π11πππ1212k x k +≤≤+，所以函数()f x 的单调递减区间为511[,]1212k k ππππ++，k ∈Z . ②依题意π1sin 222sin 232x αα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以π1sin 234α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.所以ππcos 4cos 2236αα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22ππ2cos 212sin 2163αα⎛⎫⎛⎫=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1721168=⨯-=-. 【点睛】本小题主要考查复数相等的概念，考查辅助角公式，考查三角函数最小正周期、单调区间的求法，考查二倍角公式和诱导公式，考查运算求解能力，属于中档题.。
高二选修2-2《复数》单元测试卷及其答案
复数单元测试题一、选择题。
（每小题5分，共60分） 1．若i 为虚数单位，则=+i i )1(（ ）A ．i +1B ．i -1C ．i +-1D ．i --1 2．0=a 是复数(,)a bia b R +∈为纯虚数的（）A ．充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 3．在复平面内，复数ii +-12对应的点位于 ( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 4．设复数ω++-=ω1,2321则i =（ ）A ．ω-B ．ω-1C ．2ωD ．21ω5．设R ,,,∈d c b a ，则复数))((di c bi a ++为实数的充要条件是（ ） A ．0ad bc -= B ．0ac bd -= C ．0ac bd += D ．0ad bc +=6．如果复数ibi 212+-的实部与虚部互为相反数，那么实数b 等于（ ）A ．32-B ．32C ．2D ．27．若复数z 满足方程022=+z ，则3z 的值为（ ）A ．22±B ．22-C ．i 22±D ．i 22-8．设O 是原点，向量,对应的复数分别为i 32-，i 23+-，那么向量BA 对应的复数是（ ） A ．i 55-B ．i 55+-C ．i 55+D ．i 55--9．i 表示虚数单位，则2008321i i i i ++++ 的值是（ ）A ．0B ．1C ．iD ．i - 10．复数8)11(i+的值是（ ）A ． i 16B ． i 4C ．16D ． 411．对于两个复数i 2321+-=α，i 2321--=β，有下列四个结论：①1=αβ；②1=βα；③1=βα；④133=β+α，其中正确的结论的个数为（ ）A ． 1B ．2C ． 3D ．412．若C z ∈且1||=z ，则|22|i z --的最小值是 （ ）A ．22B ．122+C ．122-D ．2二、填空题。
高三复习数学《第13章_复数》单元测试卷(有答案)
《第13章 复数》单元测试卷（上海市）一、填空题1. 复数z ＝3−2i ，Imz ＝________．2. 若复数z ＝(m 2−5m +6)+(m −3)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数m ＝________．3. 复数(1−i)(1+i)i在复平面中所对应的点到原点的距离是________．4. 已知z ∈C ，则命题“z 是纯虚数”是命题“z 21−z 2∈R ”的________条件．5. 复数Z 满足(1+2i)Z ¯=4+3i ，那么Z ＝________．6. 若复数z 满足z +12|z ¯|＝−1+2i ，则z ＝________−83+2________ ．7. 设O 是原点，向量OA →、OB →对应的复数分别为2−3i ，−3+2i ，那么，向量BA →对应的复数是________．8. 若复数z =√2，则z 2+z 4+z 8＝________．9. 已知复数z 满足|z|＝1，则|z +iz +1|的最小值为________．10. 设非零复数x 、y 满足x 2+xy +y 2＝0，则代数式(xx+y )2008+(yx+y )2008的值是________． 二、选择题设f(n)＝i n +i −n (n ∈N)，则集合{x|x ＝f(n)}中元素的个数为（ ） A.1 B.2C.3D.无穷多个已知z1，z2都是虚数，则z1=z2¯的一个必要不充分条件是（）A.|z1+z2|＝0B.z2=z1¯C.z1＝z2D.|z1|＝|z2|有下列命题：①若z∈C，则z2≥0；②若z1，z2∈C，z1−z2>0，则z1>z2；③若z1，z2∈C，则|z1+z2|＝|z1|+|z2|．④z1+z2∈R⇔z2=z¯1其中，正确命题的个数为（）A.0B.1C.2D.3设x∈C，方程|x|2−|x|＝0的解集为（）A.{0, 1}B.{0, −1, 1}C.{0, −1, 1, −i, i}D.以上都不对三、解答题当m为何实数时，复数z=2m2−3m−2m2−25+(m2+3m−10)i：(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．（1）复数z满足(1+2i)z+(3−10i)z¯=4−34i，求z．（2）若ω=−12+√32i，ω3＝1，计算(√3+i2)6+(−√3+i2)6．已知复数z满足|z−2|＝2，z+4z∈R，求z．已知z为复数，z+2i和z2−i均为实数，其中i是虚数单位．(Ⅰ)求复数z；(Ⅱ)若复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．关于x的方程a(1+i)x2+(1+a2i)x+a2+i＝0 (a∈R)有实根，求a的值及方程的根．已知关于t的方程t2−2t+a＝0的一个根为1+√3i.(a∈R)（1）求方程的另一个根及实数a的值；(x2+a)≥m2−2km+2k对k∈（2）是否存在实数m，使对x∈R时，不等式loga[−1, 2]恒成立？若存在，试求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析《第13章 复数》单元测试卷（上海市）一、填空题 1.【答案】 −2【考点】虚数单位i 及其性质 复数的运算 复数的基本概念【解析】根据复数z ＝3−2i 直接得到虚部是−2． 【解答】∵ 复数z ＝3−2i ，∴ z 的虚部是−2， 2.【答案】 2【考点】虚数单位i 及其性质 复数的运算 复数的基本概念 【解析】由纯虚数的概念可得 {m 2−5m +6=0m −3≠0，求出实数m 的值．【解答】∵ 复数z ＝(m 2−5m +6)+(m −3)i 是纯虚数，∴ {m 2−5m +6=0m −3≠0，∴ m ＝2，3.【答案】 2【考点】复数的代数表示法及其几何意义 【解析】利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质化简复数，求出其在复平面内的对应点的坐标，利用两点间的距离公式求得复数对应的点到原点的距离． 【解答】 复数(1−i)(1+i)i=i(1−i)(1+i)i×i=−2i ，其对应点的坐标为(0, −2)， 该点到原点的距离等于 2， 4.【答案】 充分不必要【考点】虚数单位i 及其性质 复数的运算充分条件、必要条件、充要条件 复数的基本概念 【解析】先判断充分性成立，即当z 是纯虚数时，z 21−z 2∈R ，反之z 可以取0，故可的结论．【解答】当z 是纯虚数时，不妨设z ＝bi(b ≠0)，则z 21−z 2=−b 21+b 2∈R 反之，z 21−z 2∈R ，则z 可以取0故命题“z 是纯虚数”是命题“z 21−z 2∈R ”的充分不必要条件5.【答案】 2+i 【考点】虚数单位i 及其性质 复数的运算 复数的基本概念【解析】根据已知条件，将等式的两边同除以1+2i ，利用复数除法的法则，分子、分母同乘以1−2i 求出z ¯，进一步求出复数z ． 【解答】因为(1+2i)Z ¯=4+3i ， 所以z ¯=4+3i1+2i =(4+3i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=2−i 所以z ＝2+i ， 6.【答案】 ,i【考点】虚数单位i 及其性质 复数的运算 复数的基本概念【解析】设出复数的代数形式，根据所给的式子代入复数的共轭复数的模长和复数，根据两个复数相等的充要条件写出复数的实部和虚部相等，解方程组即可． 【解答】设z ＝a +bi ，∵ 复数z 满足z +12|z ¯|＝−1+2i ， ∴ a +bi +12√a 2+b 2=−1+2i ， ∴ a +12√a 2+b 2=−1，①b ＝2，②把②代入①得到a =−83， ∴ z =−83+2i7.【答案】 5−5i 【考点】复数的代数表示法及其几何意义 【解析】根据向量OA →、OB →对应的复数分别为2−3i ，−3+2i ，得到向量BA →=OA →−OB →，代入所给的数据作出向量对应的结果． 【解答】∵ 向量OA →、OB →对应的复数分别为2−3i ，−3+2i ， ∴ 向量BA →=OA →−OB →=2−3i +3−2i ＝5−5i 8.【答案】 −i【考点】 复数的运算 【解析】 由z =√2，知z 2=1−2i+i 22=−i ，z 4＝(−i)2＝−1，z 8＝(−1)2＝1，由此能求出z 2+z 4+z 8．【解答】 ∵ z =√2，∴ z 2=1−2i+i 22=−i ，z 4＝(−i)2＝−1， z 8＝(−1)2＝1，∴ z 2+z 4+z 8＝−i −1+1＝−i ． 9. 【答案】 √3【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】设z＝cos x+sin x，则|z+iz+1|=√[1+√2cos(x+π4)]2+2sin2(x+π4)=√3+2√2cos(x+π4)≥√3．【解答】设z＝cos x+(sin x)i，|z+iz+1|=√[1+√2cos(x+π4)]2+2sin2(x+π4)=√3+2√2cos(x+π4)≥√3．当x=π4时取得最小值√3．所以|z+iz+1|的最小值为√3．10.【答案】−1【考点】复数的运算棣莫弗定理【解析】将已知方程两边同除以y2变形解得xy =−12±√32i=ω，利用ω3＝1，1+ω＝−ω2，及2005＝3×668+1化简原式可得答案．【解答】将已知方程变形为(xy )2+xy+1＝0，解这个一元二次方程，得xy =−12±√32i=ω，显然有ω3＝1，1+ω＝−ω2，而2008＝3×669+1，则原式＝( xx+y )2008+( yx+y)2008=ω2008(1+ω)2008+1(1+ω)2008=ω(−ω2)2008+1(−ω2)2008=−1二、选择题【答案】C【考点】虚数单位i及其性质复数的运算元素与集合关系的判断复数的基本概念【解析】根据i的性质，对n分4种情况讨论，分别计算n＝4k、n＝4k+1、n＝4k+2、n＝4k+3情况下的f(n)的值，进而结合集合中的元素的性质，可得答案．根据题意，在f(n)＝i n +i −n 中，n ＝4k 时，i n ＝1，i −n ＝1，则f(n)＝2；n ＝4k +1时，i n ＝i ，i −n =1i =−i ，则f(n)＝0； n ＝4k +2时，i n ＝−1，i −n ＝−1，则f(n)＝−2； n ＝4k +3时，i n ＝−i ，i −n =−1i =i ，则f(n)＝0；则集合{x|x ＝f(n)}中元素的个数为3； 【答案】 D【考点】虚数单位i 及其性质 复数的运算充分条件、必要条件、充要条件 复数的基本概念 【解析】由z 1=z 2¯可推出|z 1|＝|z 2|，但当|z 1|＝|z 2|时，不能推出z 1=z 2¯，由此得出结论． 【解答】由z 1，z 2都是虚数，z 1=z 2¯可推出|z 1|＝|z 2|．但当|z 1|＝|z 2|时，不能推出z 1=z 2¯，如|1−2i|＝|−2+i|，但1−2i ≠2+i ¯． 故z 1=z 2¯的一个必要不充分条件是 z 1=z 2¯， 【答案】 A【考点】虚数单位i 及其性质 复数的运算 复数的基本概念【解析】可利用复数的概念与性质逐个判断其正误． 【解答】令z ＝i ，z 2＝i 2＝−1，①错；令z 1＝2−i ，z 2＝1−i 满足z 1，z 2∈C ，z 1−z 2>0，但z 1与z 2不能比较大小，②错； 不妨令z 1＝5，z 2＝−3，显然不满足|z 1+z 2|＝|z 1|+|z 2|，③错； 不妨令z 1＝5，z 2＝−3，不能⇒z 2=z 1¯，④错． 【答案】 D【考点】复数的代数表示法及其几何意义 有理数域由已知中x ∈C ，令x ＝a +bi(a, b ∈R)，解方程|x|2−|x|＝0，可得a ＝b ＝0，或a 2+b 2＝1，即x ＝0，或x 为任意一个模为1的复数，故方程|x|2−|x|＝0的解集为一个无限集，比照四个答案，即可得到结论． 【解答】令t ＝|x|(t ≥0)则方程|x|2−|x|＝0可化为 t 2−t ＝0解得t ＝1，或她t ＝0 令x ＝a +bi(a, b ∈R) 则a ＝b ＝0，或a 2+b 2＝1 三、解答题 【答案】解：(1)z 为实数，则虚部m 2+3m −10=0，即{m 2+3m −10=0，m 2−25≠0，解得m =2，∴ m =2时，z 为实数； (2)z 为虚数，则虚部m 2+3m −10≠0，即{m 2+3m −10≠0，m 2−25≠0，解得m ≠2且m ≠±5．当m ≠2且m ≠±5时，z 为虚数；(3){2m 2−3m −2=0，m 2+3m −10≠0，m 2−25≠0，解得m =−12，∴ 当m =−12时，z 为纯虚数．【考点】复数的基本概念 【解析】（1）复数是实数，则虚部为零，求得m 的实数值；（2）复数是虚数，则虚部不为零，可求得m 的实数值；（3）复数是纯虚数，则实部为零，虚部不为零，即可求得m 的实数值． 【解答】解：(1)z 为实数，则虚部m 2+3m −10=0，即{m 2+3m −10=0，m 2−25≠0，解得m =2，∴ m =2时，z 为实数；(2)z 为虚数，则虚部m 2+3m −10≠0，即{m 2+3m −10≠0，m 2−25≠0，解得m ≠2且m ≠±5．当m ≠2且m ≠±5时，z 为虚数；(3){2m 2−3m −2=0，m 2+3m −10≠0，m 2−25≠0，解得m =−12，∴ 当m =−12时，z 为纯虚数．【答案】设z ＝x +yi (x, y ∈R)，则(1+2i)(x +yi)+(3−10i)(x −yi)＝4−34i ， 整理得(4x −12y)−(8x +2y)i ＝4−34i ． ∴ {4x −12y =48x +2y =34 ，解得{x =4y =1 ，∴ z ＝4+i ．若ω=−12+√32i ，ω3＝1，则 (√3+i 2)6+(−√3+i 2)6=(−i ⋅−1+√3i 2)6+(−i ⋅−1−√3i 2)6=i 6⋅[ω6+(ω2)6] ＝−2． 【考点】 复数的运算 【解析】（1）设z ＝x +yi (x, y ∈R)，有条件可得(4x −12y)−(8x +2y)i ＝4−34i ，利用两个复数相等的充要条件求出x 、y 的值，即得z 的值． （2）根据ω3＝1，以及要求的式子即 (−i ⋅−1+√3i 2)6+(−i ⋅−1−√3i 2)6=i 6⋅[ω6+(ω2)6]，运算求得结果．【解答】设z ＝x +yi (x, y ∈R)，则(1+2i)(x +yi)+(3−10i)(x −yi)＝4−34i ， 整理得(4x −12y)−(8x +2y)i ＝4−34i ． ∴ {4x −12y =48x +2y =34 ，解得{x =4y =1 ，∴ z ＝4+i ．若ω=−12+√32i ，ω3＝1，则 (√3+i 2)6+(−√3+i 2)6=(−i ⋅−1+√3i 2)6+(−i ⋅−1−√3i 2)6=i 6⋅[ω6+(ω2)6] ＝−2． 【答案】设z ＝x +yi ，x ，y ∈R ，则 z +4z =z +4z ¯zz¯=x +yi +4(x−yi)x 2+y 2=x +4x x 2+y 2+(y −4yx 2+y 2)i ，∵z+4z ∈R，∴y−4yx2+y2=0，又|z−2|＝2，∴(x−2)2+y2＝4，联立解得，当y＝0时，x＝4或x＝0 （舍去x＝0，因此时z＝0），当y≠0时，{x=1y=±√3，z＝1±√3，∴综上所得z1＝4，z2＝1+√3i，z3＝1−√3i．【考点】复数的运算【解析】设z＝x+yi，x，y∈R，根据复数及模的运算，建立方程组，求出x，y即可求出z．【解答】设z＝x+yi，x，y∈R，则z+4z =z+4z¯zz¯=x+yi+4(x−yi)x2+y2=x+4xx2+y2+(y−4yx2+y2)i，∵z+4z ∈R，∴y−4yx2+y2=0，又|z−2|＝2，∴(x−2)2+y2＝4，联立解得，当y＝0时，x＝4或x＝0 （舍去x＝0，因此时z＝0），当y≠0时，{x=1y=±√3，z＝1±√3，∴综上所得z1＝4，z2＝1+√3i，z3＝1−√3i．【答案】（1）设复数z＝a+bi(a, b∈R)，由题意，z+2i＝a+bi+2i＝a+(b+2)i∈R，∴b+2＝0，即b＝−(2)又z2−i =(a+bi)(2+i)5=2a−b5+2b+a5i∈R，∴2b+a＝0，即a＝−2b＝（4）∴z＝4−2i．（2）由(Ⅰ)可知z＝4−2i，∵(z+ai)2＝(4−2i+ai)2＝[4+(a−2)i]2＝16−(a−2)2+8(a−2)i对应的点在复平面的第一象限，∴{16−(a−2)2>08(a−2)>0解得a的取值范围为2<a<(6)【考点】复数的运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】（I）设出复数的代数形式，整理出z+2i和z2−i，根据两个都是实数虚部都等于0，得到复数的代数形式．(II)根据上一问做出的复数的结果，代入复数(z+ai)2，利用复数的加减和乘方运算，写出代数的标准形式，根据复数对应的点在第一象限，写出关于实部大于0和虚部大于0，解不等式组，得到结果．【解答】（1）设复数z＝a+bi(a, b∈R)，由题意，z+2i＝a+bi+2i＝a+(b+2)i∈R，∴b+2＝0，即b＝−(2)又z2−i =(a+bi)(2+i)5=2a−b5+2b+a5i∈R，∴2b+a＝0，即a＝−2b＝（4）∴z＝4−2i．（2）由(Ⅰ)可知z＝4−2i，∵(z+ai)2＝(4−2i+ai)2＝[4+(a−2)i]2＝16−(a−2)2+8(a−2)i对应的点在复平面的第一象限，∴{16−(a−2)2>08(a−2)>0解得a的取值范围为2<a<(6)【答案】设x＝x0是原方程的根，则a(1+i)x02+(1+a2i)x0+a2+i＝0即(ax02+x0+a2)+(ax02+a2x0+1)i＝0∴{ax02+x0+a2=0ax02+a2x0+1=0两式相减可得，(a2−1)x＝a2−1（1）当a2−1≠0时，x0＝1代入原方程可得，a2+a+1＝0没有实根（2）当a2−1＝0时，若a＝1，则x02+x0+1＝0没有实根若a＝−1，则x2−x−1＝0，解得x0=1±√52综上可得a=−1,x=1±√52【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】设x＝x0是原方程的根，则a(1+i)x02+(1+a2i)x0+a2+i＝0，即(ax02+x0+a2)+ (ax02+a2x0+1)i＝0根据复数相等的条件可得{ax02+x0+a2=0ax02+a2x0+1=0，从而可求【解答】设x＝x0是原方程的根，则a(1+i)x02+(1+a2i)x0+a2+i＝0即(ax02+x0+a2)+(ax02+a2x0+1)i＝0∴{ax02+x0+a2=0ax02+a2x0+1=0两式相减可得，(a2−1)x＝a2−1（1）当a2−1≠0时，x0＝1代入原方程可得，a2+a+1＝0没有实根（2）当a2−1＝0时，若a＝1，则x02+x0+1＝0没有实根若a＝−1，则x2−x−1＝0，解得x0=1±√52综上可得a=−1,x=1±√52【答案】由题设知一根为1−√3i，∴a=(1+√3i)(1−√3i)=4．设存在实数m满足条件，不等式为m2−2km+2k≤log4(x2+4)，∵log4(x2+4)的最小值为1，∴m2−2km+2k≤1对k∈[−1, 2]恒成立，即2(1−m)k+m2−1≤0对k∈[−1, 2]恒成立，设g(k)＝2(1−m)k +m 2−1则{g(−1)=m 2+2m −3≤0g(2)=m 2−4m +3≤0解得{−3≤m ≤11≤m ≤3∴ m ＝1， 因此存在m ＝1满足条件．【考点】函数恒成立问题【解析】(Ⅰ)由题意知另一根为1−√3i ，由此能求出a =(1+√3i)(1−√3i)=4． (Ⅱ)设存在实数m 满足条件，不等式为m 2−2km +2k ≤log 4(x 2+4)，由log 4(x 2+4)的最小值为1，知m 2−2km +2k ≤1对k ∈[−1, 2]恒成立，由此能够推导出存在m ＝1满足条件．【解答】由题设知一根为1−√3i ，∴ a =(1+√3i)(1−√3i)=4．设存在实数m 满足条件，不等式为m 2−2km +2k ≤log 4(x 2+4)， ∵ log 4(x 2+4)的最小值为1，∴ m 2−2km +2k ≤1对k ∈[−1, 2]恒成立，即2(1−m)k +m 2−1≤0对k ∈[−1, 2]恒成立， 设g(k)＝2(1−m)k +m 2−1则{g(−1)=m 2+2m −3≤0g(2)=m 2−4m +3≤0解得{−3≤m ≤11≤m ≤3∴ m ＝1， 因此存在m ＝1满足条件．。
上海新市学校必修第二册第二单元《复数》检测卷(包含答案解析)
一、选择题1．在复平面内与复数21i z i =+所对应的点关于虚轴对称的点为A ，则A 对应的复数为（ ）A ．1i --B ．1i -C ．1i +D ．1i -+ 2．设i 为虚数单位，复数23i z i +=，则z 的共轭复数为（ ） A ．32i - B ．32i +C ．32i --D ．32i -+ 3．在复平面内，O 是原点，,,OA OC AB 对应的复数分别为－2＋i ，3＋2i, 1＋5i ，那么BC 对应的复数为( )A ．4＋7iB ．1＋3iC ．4－4iD ．－1＋6i 4．已知复数2a i i +-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于 A ．-2B ．2C ．12D ．-1 5．“复数3i ia z -=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a ≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知集合，()(){}221,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=，则实数m 的值为 （ ）A ．4B ．－1C ．4或－1D ．1或6 7．下列命题中,正确的命题是（ ）A ．若1212,0z z C z z ∈->、，则12z z >B ．若z R ∈，则2||z z z ⋅=不成立C ．1212,,0z z C z z ∈⋅=，则10z =或20z =D ．221212,0z z C z z ∈+=、，则10z =且20z =8．复数51i i-的虚部是( ) A ．12 B ．2i C ．12- D ．2i - 9．在下列命题中，正确命题的个数是（ ）①两个复数不能比较大小；②复数1z i =-对应的点在第四象限；③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±；④若221223()()0z z z z -+-=，则123z z z ==.A ．0B ．1C ．2D ．310．已知复数z 满足()2z i i i -=+，则z =（ ）A B C D 11．若32a i i -+为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．32- B ．23- C ．23 D ．3212．若(),a bi a b i+∈R 与()21i +互为共轭复数，则+a b 的值为（ ） A ．2 B ．2- C ．3- D ．3 二、填空题13．下列命题（i 为虚数单位）中：①已知,a b ∈R 且a b =，则()()a b a b i -++为纯虚数；②当z 是非零实数时，12z z+≥恒成立；③复数3(1)z i =-的实部和虚部都是－2；④如果|2||2|a i i +<-+，则实数a 的取值范围是11a -<<；⑤复数1z i =-，则13122z i z +=+；其中正确的命题的序号是__________. 14．定义运算a cad bc b d=-，复数z 满足z 1i 1i i =+，则复数z =______. 15．计算：8811i i -⎛⎫-= ⎪+⎝⎭______________.16．化简2012221i ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭________.点集{||1|1,}D z z z C =++=∈，则||z 的最小值_____和最大值________.17．复数1cos z i θ=+，2sin z i θ=-，则复数12z z -的模的最大值为________.18．在实数集R 中,我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”.类似地,我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“＞”.定义如下:对于任意两个复数：()111222121212z a bi z a b i a a b b R z z =+=+∈，，，，，＞当且仅当“12a a ＞”或“12a a =”且“12b b ＞”.按上述定义的关系“＞”，给出以下四个命题:①若12z z ＞,则12z z ＞；②若1223z z z z ＞，＞，则13z z ＞；③若12z z ＞,则对于任意12z C z z z z ∈++，＞；④对于复数0z ＞,若12z z ＞,则12zz zz ＞.其中所有真命题的序号为______________.19．给出下列四种说法：①-2i 是虚数，但不是纯虚数；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③已知 x y R ，∈，则 x i 1i y +=+ 的充要条件为x y 1==；④如果让实数a 与 ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中正确说法的为 __________．20．定义运算a c ad bcb d =-，复数z 满足i 1i 1i z =+，z 为z 的共轭复数，则z ＝___________. 三、解答题21．已知复数z 满足(1)z i m i +=-(其中i 是虚数单位).（1）在复平面内，若复数z 的共轭复数对应的点在直线70x y +-=上，求实数m 的值；（2）若||1z ，求实数m 的取值范围.22．计算下列各式：（1）32322323i i i i+-+-+；（2）()3111i i i i +++-； 23．设虚数z 满足2510z z +=+.（1）求z 的值；（2）若()12i z -在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，求复数z . 24．已知复数()1z mi m R =+∈，312z i -+是实数． （1）求复数z ；（2）若复数0112z m z =+-是关于x 的方程20x bx c ++=的根，求实数b 和c 的值． 25．已知复数2z i =+（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x px q ++=根.(1)求p q +的值；(2)复数w 满足z w ⋅是实数，且w =w 的值.26．已知复数z 在复平面上对应的点在第二象限，且满足2z z =.（Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）设z ，2z ，3z 在复平面上对应点分别为A ，B ，C ，求ABC ∆的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据复数的运算法则求出1z i =+，即可得到其对应点关于虚轴对称点的坐标，写出复数.【详解】 由题()()()2122211112i i i i z i i i i -+====+++-，在复平面对应的点为（1,1）， 关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为1i -+.故选：D【点睛】此题考查复数的几何意义，关键在于根据复数的乘法除法运算准确求解，熟练掌握复数的几何意义.2．B解析：B【分析】由题意首先由复数的运算法则求得z 的值，然后求解其共轭复数的值即可.【详解】22232323321i i i i z i i i ++-====--，则32z i =+， 故选B .【点睛】本题主要考查复数的运算法则，共轭复数的概念与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．C解析：C【解析】BC BA AO OC AB OA OC =++=--+15(2)3244i i i i =----+++=-，选C.4．C解析：C【解析】2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以21210,0552a a a -+=≠∴=，选C. 5．A解析：A【详解】 因为33ai z a i i-==--，所以由题设可得00a a -<⇒>，因此0a >是0a ≥的充分不必要条件，故应选答案A ． 6．B解析：B【分析】根据交集的定义可得()()2231563m m m m i --+--=，由复数相等的性质列方程求解即可.【详解】因为()(){}221,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=， 所以()()2231563m m m m i --+--=， 可得223131560m m m m m ⎧--=⇒=-⎨--=⎩，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算.7．C解析：C【分析】A ．根据复数虚部相同，实部不同时，举例可判断结论是否正确；B ．根据实数的共轭复数还是其本身判断2||z z z ⋅=是否成立；C ．根据复数乘法的运算法则可知是否正确；D ．考虑特殊情况：12,1z i z ==，由此判断是否正确.【详解】A ．当122,1i z z i =+=+时，1210z z -=>，此时12,z z 无法比较大小，故错误；B ．当0z =时，0z z ==，所以20z z z ⋅==，所以此时2||z zz ⋅=成立，故错误；C ．根据复数乘法的运算法则可知：10z =或20z =，故正确；D ．当12,1z i z ==时，2212110z z +=-+=，此时10z ≠且20z ≠，故错误. 故选：C.【点睛】本题考查复数的概念以及复数的运算性质的综合，难度一般.(1)注意实数集是复数集的子集，因此实数是复数；(2)若z C ∈，则有2z z z ⋅=.8．A解析：A【解析】【分析】由题意首先化简所给的复数，然后确定其虚部即可.【详解】 由复数的运算法则可知：51i i -()()()1111122i i i i i +==-+-+， 则复数51i i-的虚部是12. 本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查复数的运算法则，虚部的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．A解析：A【解析】对于选项①,不能说两个复数不能比较大小，如复数3和4就可比较大小，所以该命题是错误的.对于选项②，复数1z i =-对应的点在第二象限，所以该命题是错误的.对于选项③，若()()22132x x x i -+++是纯虚数，则21x -=0且232x x ++≠0，所以x=1,所以该命题是错误的. 对于选项④，若()()2212230z z z z -+-=，可以123,0,1z i z z ===， 所以该命题是错误的. 故选A. 10．A解析：A【分析】首先求得复数z ，然后求解其共轭复数并确定模即可.【详解】 由题意可得：2211i z i i i i i +=+=-++=-，则1,z i z =+=故选A .【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 11．C解析：C【分析】先化简复数，再利用纯虚数的定义求解.【详解】 由题得()(32)(32)(23)32(32)(32)13a i a i i a a i i i i -----+==++-， 因为32a i i-+为纯虚数， 则320(23)0a a -=⎧⎨-+≠⎩，所以23a =. 故选：C【点睛】结论点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈则0a =且0b ≠，不要漏掉了0b ≠.12．A解析：A【分析】把两个复数都化为(,)a bi a b R +∈形式，然后由共轭复数定义求得,a b ，从而得结论．【详解】 因为()2i a bi a bi b ai i i++==-，()212i i +=，又1a bi +与()21i -互为共轭复数，所以0b =，2a =.则2a b +=.故选：A ．二、填空题13．②③④【分析】①当时不是纯虚数；②根据基本不等式的性质知恒成立；③化简复数得的实部和虚部都是；④根据模长公式得关于的不等式求解即可；⑤根据复数代数运算法则化简计算即可【详解】对于①且若时则不是纯虚数解析：②③④【分析】①当0a b 时，()()0a b a b i -++=不是纯虚数；②根据基本不等式的性质知1||2z z +恒成立； ③化简复数z ，得z 的实部和虚部都是2-；④根据模长公式得关于a 的不等式，求解即可；⑤根据复数代数运算法则，化简计算即可．【详解】 对于①，a ，b R ∈且a b =，若0a b 时，则()()a b a b i -++不是纯虚数，①错误；对于②，当z 是非零实数时，根据基本不等式的性质知1||2z z +恒成立，②正确； 对于③，复数3(1)22z i i =-=--，z ∴的实部和虚部都是2-，③正确；对于④，如果|2||2|a i i +<-+，则2441a +<+，解得11a -<<，所以实数a 的取值范围是11a -<<，④正确；对于⑤，复数1z i =-，则1131(1)122z i i z i +=+-=--，∴⑤错误． 综上，正确的命题的序号是②③④．故答案为：②③④．【点睛】本题考查复数的概念与应用问题，考查逻辑推理能力，是综合题． 14．【分析】根据新运算定义得到即运算化简即得解【详解】由得得故答案为：【点睛】本题考查了复数的四则运算考查了学生新概念理解数学运算的能力属于基础题解析：2i -【分析】 根据新运算定义，得到z 1i 1i i =+，即i i 1i z -=+，运算化简即得解. 【详解】 由z 1i 1i i =+，得i i 1i z -=+，得12i 2i iz +==-. 故答案为：2i -【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了学生新概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 15．【分析】先利用复数的运算法则将和化简然后计算出及的值然后得出的值【详解】故答案为：解析：0【分析】 先利用复数的运算法则将11i i -+和2化简，然后计算出811i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭及8的值，然后得出8811i i -⎛⎫- ⎪+⎝⎭的值． 【详解】()()()()8422848811111011i i i i i i i ⎡⎤⎡⎤-=-=--=-=⎢⎥⎢⎥+-⎢-⎛⎫- ⎪+⎝⎭⎥⎥⎢⎣⎦⎣⎦． 故答案为：0．16．13【分析】根据复数的代数形式的除法乘方运算法则计算可得根据复数的几何意义得到的轨迹即可得到的最值；【详解】解：设因为即根据复数的几何意义可知表示以为圆心为半径的圆上的点集则故答案为：；；【点睛】本 解析：1- 1 3【分析】根据复数的代数形式的除法、乘方运算法则计算可得，根据复数的几何意义得到z 的轨迹，即可得到||z 的最值；【详解】解：2012221i ⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭)()()201222111i i i ⎡⎤-=⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦2012022⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭20120⎫=+⎪⎪⎝⎭1006222⎡⎤⎛⎫⎢⎥=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()100610062514221i i i i ⨯+=-====-设(),z x yi x y R =+∈，因为{||1|1,}D z z z C =++=∈即11x yi +++=根据复数的几何意义可知{||1|1,}D z z z C =+=∈表示以(1,-为圆心，1为半径的圆上的点集， 则max 13z ==，min 11z ==，故答案为：1-；1；3.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，也考查了复数模的求法与几何意义，是中档题． 17．【分析】先求再求模将其转化为角度的函数从而求最大值【详解】由题意可得因为故的最大值为故答案为：【点睛】考查向量的减法模的计算以及函数的最大值属综合基础题【分析】先求12z z -，再求模，将其转化为角度的函数，从而求最大值.【详解】由题意可得12cos sin 2z z i θθ-=-+，12z z -==，因为45sin 26θ-，故12z z -..【点睛】考查向量的减法、模的计算以及函数的最大值.属综合基础题.18．②③【分析】根据新定义序的关系对四个命题逐一分析由此判断出真命题的序号【详解】对于①由于所以或且当满足但所以①错误对于②根据序的关系的定义可知复数的序有传递性所以②正确对于③设由所以或且可得或且即成解析：②③【分析】根据新定义“序”的关系，对四个命题逐一分析，由此判断出真命题的序号.【详解】对于①，由于12z z >，所以“12a a >”或“12a a =且12b b >”. 当121,2a a =-=-，满足12a a >但12z z <，所以①错误.对于②，根据“序”的关系的定义可知，复数的“序”有传递性，所以②正确.对于③，设z c di =+，由12z z >，所以“12a a >”或“12a a =且12b b >”，可得“12a c a c +>+”或“12a c a c +=+且12b d b d +>+”，即12z z z z +>+成立，所以③正确.对于④，当123,2,2z i z i z i ===时，126,4zz zz =-=-，12zz zz <，故④错误. 故答案为：②③【点睛】本小题主要考查新定义复数“序”的关系的理解和运用，考查分析、思考与解决问题的能力，属于基础题.19．③【解析】分析：①根据纯虚数的定义可判断；②根据共轭复数的定义可判断；③根据复数相等的性质可判定；④根据纯虚数的定义可判断详解：①因为是虚数也是纯虚数错误；②两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共解析：③.【解析】分析：①根据纯虚数的定义可判断；②根据共轭复数的定义可判断；③根据复数相等的性质可判定；④根据纯虚数的定义可判断.详解：①因为2i -是虚数也是纯虚数，错误；②两个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭复数，如1i -和3i +，这两个复数的和为实数，但这两个复数不是共轭复数，错误；③已知,x y R ∈，则i 1i x y +=+的充要条件为1x y ==，正确；④如果让实数a 与i a 对应，那么实数集与纯虚数集不是一一对应的，如当0a =时，错误，故答案为③.点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查复数的基本概念，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 20．2＋i 【解析】根据题意得到=故得到z=2-i ＝2＋i 故答案为2＋i解析：2＋i【解析】 根据题意得到1z i zi i i =-=1i +,故得到z=2-i ，z ＝2＋i.故答案为2＋i.三、解答题21．（1）7m =；（2）[1-，1].【分析】（1）把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，再由共轭复数的概念求得z ，由题意列关于m 的方程求解；（2）利用复数模的计算公式列式，求解关于m 的不等式得答案.【详解】解：（1）由(1)z i m i +=-，得()(1)111(1)(1)22m i m i i m m z i i i i ----+===-++-， ∴1122m m z i -+=+， 由题意，117022m m -++-=，解得7m =；（2）由||1z 1， 解得：11m -. ∴实数m 的取值范围[1-，1].【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题.22．（1）0；（2）8i -【分析】利用复数的乘除运算法则求解.【详解】计算下列各式：（1）()()23233232023232323i i i i i i i i i i i i--++-+=+=-=-+-+； （2）()())3338111i i ii i i i i i +++=-++-=-=-.【点睛】 本题主要考查复数的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．（1）5；（2或. 【分析】（1）设z x yi =+（x 、y R ∈，i 为虚数单位），根据条件2510z z +=+得出x 、y 所满足的关系式，从而可得出z 的值；（2）将复数()12i z -表示为一般形式，然后由题意得出实部与虚部相等，并结合2225x y +=，求出x 、y 的值，即可得出复数z .【详解】（1）设z x yi =+（x 、y R ∈，i 为虚数单位），则()25252z x yi +=++，()1010z x yi +=++， 由2510z z +=+=2225x y +=，因此，5z ==； （2）()()()()()121222i z i x yi x y y x i -=-+=++-，由于复数()12i z -在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，则22x y y x +=-，所以22325y x x y =-⎧⎨+=⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.因此，z =或. 【点睛】 本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的几何意义，解题时要结合已知条件将复数表示为一般形式，考查运算求解能力，属于中等题.24．（1）14z i =-；（2）4,20b c ==.【分析】（1）根据复数的除法运算，化简得32241255z m m i i --+=++，结合312z i -+是实数，列出方程，即可求解；（2）根据024z i =--是方程的根，得到(164)2120b i b c --+-=，结合复数相等的条件，列出方程，即可求解.【详解】（1）因为()1z mi m R =+∈， 可得32(2)(12)2241212(12)(12)55z mi mi i m m i i i i i -----+===++++-， 又由312z i -+是实数，可得405m +=，解得4m =-，所以14z i =-． （2）因为011242z m z i =+-=--是方程20(,)x bx c b c R ++=∈的根， 所以2(42)(42)0i b i c --+--+=，即(164)2120b i b c --+-=，可得16402120b bc -=⎧⎨-+-=⎩，解得4,20b c ==. 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数相等的概念求参数，其中解答中熟记复数的除法运算法则，以及复数相等的充要条件列出方程组是解答的关键，着重考查推理与运算能力.25．(1) 1p q += (2) 42w i =-或42i -+.【解析】【分析】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，得出另一根为2i -，根据韦达定理即可得解.(2) 设(),w a bi a b R =+∈,由z w ⋅是实数，得出关于a b ，的方程 ，又w =a b ，的另一个方程，联立即可解得a b ，的值，即得解.【详解】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，所以由共轭虚根定理另一根是2i -，根据韦达定理可得4,5,1p q p q =-=+=.（2）设(),w a bi a b R =+∈()()()()222a bi i a b a b i R +⋅+=-++∈，得20a b +=又w =2220a b +=,所以4,2a b ==-或4,2a b =-=，因此42w i =-或w=42i -+.【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，复数的乘法及模的运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．26．（1）132z i =-+. (2）33ABC S ∆=. 【解析】 分析：（Ⅰ）设(0,0)z a bi a b =+<>，则z a bi =-，由题2z z =，列出方程即可求解；（Ⅱ）由（Ⅰ），根据复数的表示，得到z ，2z ，3z 在复平面上对应点A ，B ，C ，利用三角形的面积公式，即可求解.详解：（Ⅰ）设()0,0z a bi a b =+，则z a bi =-，故2222z a b abi z a bi =-+==-.所以22a b a -=，2ab b =-.又0a <，0b >，解得12a =-，32b =，1322z i =-+. （Ⅱ）由（Ⅰ），得1322z i =-+，2132z i =--，31z =. z ，2z ，3z 在复平面上对应点A ，B ，C ，如图所示：故1233311sin 23ABC S π∆=⨯⨯⨯⨯=. 点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中熟记复数的基本概念和复数的四则运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.。
上海所在城市必修第二册第二单元《复数》检测(有答案解析)
一、选择题1．12i 12i+=- A ．43i 55-- B ．43i 55-+ C ．34i 55-- D ．34i 55-+ 2．已知复数z 满足：21z -=，则1i z -+的最大值为（ ）A ．2B 1C 1D ．33．设()()2225322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（ ） A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 对应的点在实轴的下方D ．z 一定为实数 4．能使得复数()32z a aia R =-+∈位于第三象限的是（ ） A ．212a i -+为纯虚数B ．12ai +模长为3C ．3ai +与32i +互为共轭复数D ．0a > 5．若a b 、为非零实数,则以下四个命题都成立:①10a a+≠；②()2222a b a ab b +=++；③若a b ，=则a b =±；④若2a ab =，则a b ，=则对于任意非零复数a b 、，上述命题中仍为真命题的个数为（ ）个. A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．在复平面内,复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ,其中O 为坐标原点,则AB =（ ）A B C ．2 D ．47．若11z z -=+，则复数z 对应的点在（ ）A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限 8．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z= A ．1+2iB ．1-2iC ．12i -+D ．12i -- 9．复数252i +i z =的共轭复数z 在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10．设复数z 满足()1i i z +=，则z =（ ）A B ．12CD ．2 11．已知复数z 满足()211i i z +=-(i 为虚数单位），则复数z =（ ） A ．1i + B ．1i -+C ．1i -D ．1i --12．已知复数21ai z i +=-是纯虚数，则实数a 等于（ ）A B ．2 C D二、填空题13．i 是虚数单位，若84i z z +=+，则z =___________.14．计算：8811i i -⎛⎫-= ⎪+⎝⎭______________. 15．已知复数z 满足|z 2-2i||z|+=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点的坐标（x ，y ）的轨迹方程为__________.16．已知复数z ，且|z|＝1，则|z+3+4i|的最小值是________．17．设b R ∈，i 是虚数单位，已知集合{}|2A z z i =-≤，{}11|1,B z z z bi z A ==++∈，若A B ⋂≠∅，则b 的取值范围是________． 18．复数(1)(z i i i =-为虚数单位）的共轭复数为________.19．关于x 的不等式mx 2-nx+p>0(m ,n ,p ∈R)的解集为(-1,2),则复数m+p i 所对应的点位于复平面内的第____象限.20．若复数z 满足2z i z i -++=，则1z i --的取值范围是________三、解答题21．计算下列各式：（1）32322323i i i i+-+-+；（2）()3111i i i i +++-； 22．已知1z i =+，i 为虚数单位.（1）若234z z ω=+-，求ω；（2）若2211z az b i z z ++=--+，求实数a ，b 的值. 23．设虚数z 满足2510z z +=+.（1）求z 的值；（2）若()12i z -在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，求复数z . 24．已知关于x 的方程()2250x px p R -+=∈的两根为1x 、2x . （1）若134x i =+，求p 的值；（2）若121x x -=，求实数p 的值.25．复数()()()2152615z i m i m i =++-+-．（1）实数m 取什么数时，z 是实数；（2）实数m 取什么数时，z 是纯虚数；（3）实数m 取什么数时，z 对应的点在直线70x y ++=上．26．若z C ∈，i 为虚数单位，且|22|1z i +-=，求|22|z i --的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：212(12)341255i i i i ++-+==∴-选D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.2．B解析：B【分析】复数方程|2|1z -=转化成实数方程()2221x y -+=，再由复数模定义|1|z i -+表示(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．【详解】解：设z x yi =+，由|2|1z -=得圆的方程()2221x y -+=，又|1|z i -+(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．则由几何意义得x ma |1|11z i -+==， 故选：B ．【点睛】本题主要考查复数模的计算和几何意义，属于中档题． 3．C解析：C【分析】根据()2222110t t t ++=++>，2253t t +-可正可负也可为0，即可判定.【详解】 ()2222110t t t ++=++>，z ∴不可能为实数，所以D 错误；z ∴对应的点在实轴的上方，又z 与z 对应的点关于实轴对称，z 对应的点在实轴的下方，所以C 正确；213,25302t t t -<<+-<，z 对应的点在第二象限，所以A 错误； 21,25302t t t =+-=，z 可能为纯虚数，所以B 错误； ∴C 项正确.故选：C【点睛】此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.4．A解析：A【分析】分析四个选项中的参数a ，判断是否能满足复数()32z a aia R =-+∈是第三象限的点.【详解】 322z a ai a ai =-+=--由题意可知，若复数在第三象限，需满足200a a -<⎧⎨-<⎩ ，解得：02a <<， A.212z a i =-+是纯虚数，则12a =，满足条件；B.123z ai =+==，解得：a =a =C. 3ai +与32i +互为共轭复数,则2a =-，不满足条件；D.0a >不能满足复数z 在第三象限，不满足条件.故选：A【点睛】本题考查复数的运算和几何意义，主要考查基本概念和计算，属于基础题型.5．B解析：B【解析】【分析】根据复数的概念和性质，利用复数的代数形式的运算法则，即可得出正确选项.【详解】解：对于①，当a i =时，10a a+=，即①不成立， 对于②，根据复数代数形式的运算法则，满足乘法公式，即②在正确，对于③，在复数C 中，1i =，则1,a b i ==时，a b ≠±，即③错误，对于④，根据复数代数形式的运算法则可得，若2a ab =，则a b ，=即④正确， 综上可得上述命题中仍为真命题的序号为②④，故选B.【点睛】本题考查了复数的概念和性质及复数的代数形式的运算法则，属基础题.6．C解析：C【分析】利用复数的几何意义、向量的模长公式和坐标运算，即可求解，得到答案．【详解】因为复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ，所以向量(1,1)OA =和(1,3)OB =，所以(0,2)AB OB OA =-=，则22022AB AB ==+=，故选C ．【点睛】本题主要考查了复数的几何意义、向量的模长计算和坐标运算，着重考查了推理能力和计算能力，属于基础题． 7．B解析：B【分析】首先分析题目，设z x yi =+，将其代入11z z -=+进行化简可得0x =，从而可得结论.【详解】设z x yi =+，则11x yi x yi +-=++，即()()222211x y x y -+=++，解得0x =，所以z yi =，它对应的点在虚轴上.故选B.【点睛】本题主要考查复数的模以及复数的几何意义，属于中档题. 8．B解析：B【解析】试题分析：设i z b a =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.9．C解析：C【解析】【分析】根据复数的运算求得2i z =-+，得到z 2i =--，再根据复数的表示，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据复数的运算可得复数252i +i 2i z ==-+， 则z 2i =--，所以z 对应点(2,1)--在第三象限，故选C ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．A解析：A【解析】由()1i z i +=，得()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z -=+++-＝＝，2z ∴=＝故选A ． 11．B解析：B【解析】因为()211i i z+=-，所以22(1)112i i z i i i ==+=-- ，选B. 12．B解析：B【分析】 化简复数2222a a z i -+=+，根据复数z 是纯虚数，得到202a -=且202a +≠，即可求解.【详解】 由题意，复数()()()()2122211122ai i ai a a z i i i i +++-+===+--+， 因为复数z 是纯虚数，可得202a -=且202a +≠，解得2a =，所以实数a 等于2.故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的基本概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的基本概念求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．【分析】先设复数再求得最后利用复数相等即可求得【详解】解：设复数则所以所以根据复数相等得：解得所以故答案为：【点睛】本题考查复数的相等概念共轭复数复数的模等是基础题解析：34i +【分析】先设复数(),,z a bi a b R =+∈，再求得z =. 【详解】解：设复数(),,z a bi a b R =+∈，则z a bi =-=所以84z a bi i z =+=++，所以根据复数相等得：84a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩， 所以34z i =+，故答案为：34i +【点睛】本题考查复数的相等概念，共轭复数，复数的模等，是基础题.14．【分析】先利用复数的运算法则将和化简然后计算出及的值然后得出的值【详解】故答案为：解析：0【分析】 先利用复数的运算法则将11i i -+和2化简，然后计算出811i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭及8的值，然后得出8811i i -⎛⎫- ⎪+⎝⎭的值． 【详解】()()()()8422848811111011i i i i i i i ⎡⎤⎡⎤-=-=--=-=⎢⎥⎢⎥+-⎢-⎛⎫- ⎪+⎝⎭⎥⎥⎢⎣⎦⎣⎦． 故答案为：0．15．【分析】设复数根据模的计算公式得到化简即可求解【详解】设复数则所以整理得即在复平面内对应的点的坐标的轨迹方程为故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的模的运算以及复数的表示及应用其中解答中熟记复数的模 解析：20x y -+=【分析】设复数(,)z x yi x y R =+∈=简即可求解.【详解】设复数(,)z x yi x y R =+∈，则z =22(2)(2)z i x y i +-=++-==20x y -+=，即z 在复平面内对应的点的坐标(,)x y 的轨迹方程为20x y -+=.故答案为：20x y -+=.【点睛】本题主要考查了复数的模的运算，以及复数的表示及应用，其中解答中熟记复数的模的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.16．4【解析】【分析】方法一：根据绝对值不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|求出|z+3+4i|的最小值即可方法二：利用复数的几何意义求解即可【详解】方法一：∵复数z 满足|z|＝1∴|z+3解析：4【解析】【分析】方法一：根据绝对值不等式|a |﹣|b |≤|a +b |≤|a |+|b |，求出|z +3+4i |的最小值即可．方法二：利用复数的几何意义求解即可【详解】方法一：∵复数z 满足|z|＝1，∴|z+3+4i|≥|3+4i|﹣|z|＝5﹣1＝4，∴|z+3+4i|的最小值是4．方法二：复数z 满足|z|＝1，点z 表示以原点为圆心、1为半径的圆．则|z+3+4i|表示z 点对应的复数与点（﹣3，﹣4）之间的距离，圆心O 到点（﹣3，﹣4）之间的距离d ==5，∴|z+3+4i|的最小值为5﹣1＝4，故答案为4．【点睛】本题考查了不等式的应用问题，也考查了复数的几何意义及运算问题，属基础题． 17．【解析】【分析】根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A 表示的点的轨迹是以（01）为圆心半径为2的圆及内部；集合B 表示圆的圆心移动到了（11+b ）；两圆面有交点即可求解b 的取值范围【详解】由题意集解析：b ≤≤【解析】【分析】根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A 表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；集合B 表示圆的圆心移动到了（1，1+b ）；两圆面有交点即可求解b 的取值范围．【详解】由题意，集合A 表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部； 集合B 表示点的轨迹为以（1，1+b ）为圆心，半径为2的圆及内部∵A∩B≠∅，说明，两圆面有交点；∴4≤．可得：b ≤≤，故答案：b ≤≤，【点睛】本题考查复数几何意义，圆与圆的位置关系，体现了数学转化思想方法，明确A.B 集合的意义是关键，是中档题18．【分析】根据复数的乘法运算可求z 写出其共轭复数即可【详解】因为所以故填【点睛】本题主要考查了复数的运算共轭复数属于中档题解析：1i -【分析】根据复数的乘法运算可求z,写出其共轭复数即可.【详解】因为()1z i i =-1i =+，所以 1z i =-，故填1i -【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数，属于中档题.19．二【解析】分析：先根据x 的不等式mx2-nx+p>0(mnp ∈R)的解集为(-12)得到再分析出m<0p>0再确定复数m+pi 所对应的点位于复平面内的第二象限详解：∵mx2-nx+p>0(mnp ∈R解析：二.【解析】分析：先根据x 的不等式mx 2-nx+p>0(m,n,p ∈R)的解集为(-1,2)得到0,n -12,m p -12,m m ⎧⎪<⎪⎪+=⎨⎪⎪⨯=⎪⎩（）（）再分析出m<0,p>0,再确定复数m+pi 所对应的点位于复平面内的第二象限.详解：∵mx 2-nx+p>0(m,n,p ∈R)的解集为(-1,2),0,n (-1)2,m p (-1)2,m m ⎧⎪<⎪⎪∴+=⎨⎪⎪⨯=⎪⎩即m<0,p>0.故复数m+pi 所对应的点位于复平面内的第二象限.故答案为二.点睛：（1）本题主要考查复数的几何意义和一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)已知一元二次不等式的解集，一般要想到韦达定理.20．【解析】分析：由复数的几何意义解得点的轨迹为以为端点的线段表示线段上的点到的距离根据数形结合思想结合点到直线距离公式可得结果详解：因为复数满足在复平面内设复数对应的点为则到的距离之和为所以点的轨迹为解析：【解析】分析：由复数的几何意义解得点z 的轨迹为以()()0,1,0,1-为端点的线段，1z i --表示线段上的点到()1,1的距离，根据数形结合思想，结合点到直线距离公式可得结果. 详解：因为复数z 满足2z i z i -++=，在复平面内设复数z 对应的点为(),z x y ，则(),z x y 到()()0,1,0,1-的距离之和为2，所以点z 的轨迹为以()()0,1,0,1-为端点的线段，1z i --表示线段上的点到()1,1的距离，可得最小距离是()0,1与()1,1的距离，等于1；最大距离是()0,1-与()1,1即1z i --的取值范围是⎡⎣，故答案为⎡⎣.点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，是基础题. 复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若z x yi =+，则z a bi -+表示点(),x y 与点(),a b 的距离，z a bi r -+=表示以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆.三、解答题21．（1）0；（2）8i -【分析】利用复数的乘除运算法则求解.【详解】计算下列各式：（1）()()23233232023232323i i i i i i i i i i i i--++-+=+=-=-+-+；（2）()())3338111i i i i i i i i i+++=-++-=-=-.【点睛】 本题主要考查复数的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．（1）ω；（2）12a b =-⎧⎨=⎩【分析】（1）求出1z i =+的共轭复数，代入234z z ω=+-化简，再求ω； （2）根据2211z az b i z z ++=--+，得到()()21a b a i i +++=+，列方程组即可求解. 【详解】（1）已知1z i =+，1z i ∴=-，()()213141i i i ω=++--=--∴，ω∴=（2）()()22211a b a z az b i z z i i+++++==--+， ()()21a b a i i ∴+++=+，121a b a +=⎧∴⎨+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩. 【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及共轭复数，复数的模长，根据两个复数相等列方程组求解.23．（1）5；（2）22i -或22-+. 【分析】（1）设z x yi =+（x 、y R ∈，i 为虚数单位），根据条件2510z z +=+得出x 、y 所满足的关系式，从而可得出z 的值；（2）将复数()12i z -表示为一般形式，然后由题意得出实部与虚部相等，并结合2225x y +=，求出x 、y 的值，即可得出复数z .【详解】（1）设z x yi =+（x 、y R ∈，i 为虚数单位），则()25252z x yi +=++，()1010z x yi +=++， 由2510z z +=+=2225x y +=，因此，5z ==； （2）()()()()()121222i z i x yi x y y x i -=-+=++-，由于复数()12i z -在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，则22x y y x +=-，所以22325y x x y =-⎧⎨+=⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.因此，z=或. 【点睛】 本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的几何意义，解题时要结合已知条件将复数表示为一般形式，考查运算求解能力，属于中等题.24．（1）6；（2）p =或p =±【分析】（1）将134x i =+代入方程，将复数化为一般形式，利用复数相等可求得实数p 的值； （2）列出韦达定理，由121x x -=可得出关于p 的等式，由此可解得实数p 的值.【详解】（1）已知关于x 的方程()2250x px p R -+=∈的一根为134x i =+，所以，()()()()23434251832440i p i p p i +-++=-+-=，所以，1832440p p -=-=，解得6p ；（2）2100p ∆=-，由题意得121225x x p x x +=⎧⎨=⎩.若0∆≥，即2100p ≥，则121x x -===，解得p =；若∆<0，即100p <，由2250x px -+=，可得22210024p p x ⎫-⎛⎫⎪-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得12p x =+，22p x =，则121x x i -===，解得p =±.综上所述，p =或p =±【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）在解第一问时，可利用实系数的二次方程的两个虚根互为共轭复数来求解； （2）在解第二问时，应对二次方程是否有实根进行分类讨论，并结合韦达定理求解. 25．（1）5m =或3-；（2）2m =-；（3）12m =或2- 【分析】复数222(1)(52)(615)(56)(215)z i m i m i m m m m i =++-+-=+++--．（1）由22150m m --=，解得m 即可得出． （2）由225602150m m m m ⎧++=⎨--≠⎩，解得m 即可得出． （3）由22(56)(215)70m m m m +++--+=．解出即可得出．【详解】解：复数222(1)(52)(615)(56)(215)z i m i m i m m m m i =++-+-=+++--．（1）由22150m m --=，解得5m =或3-．5m ∴=或3-时，复数z 为实数．（2）由225602150m m m m ⎧++=⎨--≠⎩，解得2m =-． 2m ∴=-时，复数z 为纯虚数．（3）由22(56)(215)70m m m m +++--+=．化为：22320m m +-=，解得12m =或2-．12m ∴=或2-，z 对应点在直线70x y ++=上． 【点睛】本题考查了复数的运算法则及其有关概念，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 26．3 【分析】根据|22|1z i +-=，结合复数减法的模的几何意义，判断出z 对应点的轨迹，再根据复数减法的模的几何意义，结合圆的几何性质，求得|22|z i --的最小值.【详解】由|22|1z i +-=得|(22)|1z i --+=，因此复数z 对应的点Z 在以022z i =-+对应的点0Z 为圆心，1为半径的圆上，如图所示.设|22|y z i =--，则y 是Z 点到22i +对应的点A 的距离.又04AZ =，∴由图知min 0||13y AZ =-=.【点睛】本小题主要考查复数减法的模的几何意义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.。
沪教版高二下册数学高二下册同步测试复数的加法与减法
复数的加法与减法[基础训练A 组]一、选择题1．下面四个命题(1) 0比i -大(2)两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数(3) 1x yi i +=+的充要条件为1x y ==(4)如果让实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应，其中正确的命题个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32．13()i i --的虚部为( )A ．8iB ．8i -C ．8D ．8-3．使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( )A ．z z -=B ．z z =C ．2z 为实数D ．z z -+为实数4．设456124561212,,z i i i i z i i i i =+++++⋅⋅⋅⋅则12,z z 的关系是( )A ．12z z =B ．12z z =-C ．121z z =+D ．无法确定5． 2020(1)(1)i i +--的值是( )A ． 1024-B ． 1024C ． 0D ．10246．已知2()(1,)n n f n i i i n N -=-=-∈集合{}()f n 的元素个数是( )A. 2B. 3C. 4D. 无数个二、填空题1. 如果(,,0)z a bi a b R a =+∈≠且是虚数，则222,,,,,,,,z z z z z z z z z z -=--⋅中是 虚数的有 _______个，是实数的有 个，相等的有 组.2. 如果35a <<,复数22(815)(514)z a a a a i =-++--在复平面上的对应点z 在 象限.3. 若复数sin 2(1cos 2)z a i a =--是纯虚数,则a = .4. 设222log (33)log (3)(),z m m i m m R =--+-∈若z 对应的点在直线210x y -+=上,则m 的值是 .5. 已知3(2),z i =-则z z -= .6. 若z =,那么100501z z ++的值是 .7. 计算232000232000i i i i ++++= . 三、解答题1．设复数z 满足1z =,且(34)i z +是纯虚数,求z -.2．已知复数z 满足: 13,z i z =+-求22(1)(34)2i i z++的值. 参考答案一、选择题1．A (1) 0比i -大，实数与虚数不能比较大小；（2）两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数不一定是共轭复数；（3）1x yi i +=+的充要条件为1x y ==是错误的，因为没有表明,x y 是否是实数；（4）当0a =时，没有纯虚数和它对应2．D 2133333112()()()()(2)8i i i i i i i i i ----=-====-，虚部为8- 3．B z z z R -=⇔∈；z z z R =⇒∈，反之不行，例如2z =-；2z 为实数不能推出 z R ∈，例如z i =；对于任何z ，z z -+都是实数4．A 49444567...127212(1)(1)1,111i i i i z i z i i i i+++++--=======-- 5．C 202021021010101010(1)(1)[(1)][(1)](2)(2)(2)(2)0i i i i i i i i +--=+--=--=-=6．B 00122331(0)0,(1)2,(2)0,(3)2f i i f i i i i f i i f i i i i---=-==-=-==-==-=- 二、填空题1．4,5,3 2,,,z z z z -=四个为虚数；22,,,,z z z z z z --⋅五个为实数；2,,z z z z z z z =--==⋅=三组相等2．三 35a <<，22815(3)(5)0,514(2)(7)0a a a a a a a a -+=--<--=+-< 3．,2k k Z ππ+∈ sin 20,1cos 20,22,,2k k k Z πθθθππθπ=-≠=+=+∈422222233log (33)2log (3)10,log 1(3)m m m m m m ------+==--22331,3,(3)2m m m m m m --==>=-而5．125 2236(2)125z z z i -⋅==-==6．i 100501005011z z z ==++=++ 50255025222()()11122i i i i i i i =++=++=++= 7．10001000i - 记232000232000S i i i i =++++ 234200020012319992000iS i i i i i =+++++2000234200020012001(1)(1)2000200020001i i i S i i i i i i i i i --=+++++-=-=-- 2000100010001i S i i-==-- 三、解答题1．解：设,(,)z a bi a b R =+∈，由1z =1=；(34)(34)()34(43)i z i a bi a b a b i +=++=-++是纯虚数，则340a b -=44155,3334055a a a b b b ⎧⎧==-⎪⎪⎪⎪=⇒⎨⎨-=⎪⎪⎪⎩==-⎪⎪⎩⎩或，4343,5555z i i -=--+或 2．解：设,(,)z a bi a b R =+∈，而13,z i z =+-130i a bi -++=则410,43330a a z ib b =-⎧+-=⇒=-+⎨=-=⎩⎪⎩ 22(1)(34)2(724)2473422(43)4i i i i i i z i i++-++===+-+-。
上海民办行知二中必修第二册第二单元《复数》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．已知复数z 满足()20161i z i-=（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A ．12 B ．12- C ．12i D ．12i - 2．在复平面内，虚数z 对应的点为A ，其共轭复数z 对应的点为B ，若点A 与B 分别在24y x =与y x =-上，且都不与原点O 重合，则OA OB ⋅=（ ）A ．-16B ．0C ．16D ．323．已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，32i -+，那么向量BA 对应的复数是（ ）A ．55i -+B ．55i -C ．55i +D ．55i --4．已知复数23i -是方程220x px q ++=的一个根，则实数p ，q 的值分别是（ ） A ．12，26 B ．24，26 C ．12，0 D ．6，85．“1x >”是“复数2(1)()z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．复数z 满足23z z i +=-，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．3i +D ．3i -7．已知复数1z ﹑2z 满足()120z z r r -=>，复数,*(1)i i n n N ω≤≤∈满足1i z r ω-=或者2i z r ω-=，且i j r ωω-≥对任意1i j n ≤<≤成立，则正整数n 的最大值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12 8．设313i z i +=-，则232020z z z z ++++=（ ） A ．1 B ．0 C ．1i -- D ．1i +9．复数z 满足()234(i z i i --=+为虚数单位)，则(z = )A ．2i -+B ．2i -C ．2i --D ．2i + 10．已知复数21ai z i +=-是纯虚数，则实数a 等于（ ）A B ．2 C D11．若复数2(1)34i z i+=+，则z =（ ）A ．45B ．35C ．25D ．512．若(),a bi a b i +∈R 与()21i +互为共轭复数，则+a b 的值为（ ） A ．2 B ．2- C ．3- D ．3二、填空题13．若复数z 满足0z z z z ⋅++=，则复数33z i --的最大值与最小值的乘积为___________．14．如果复数212bi i-+的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为__ 15．设复数z 满足1z =，且使得关于x 的方程2230zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为______.16．计算12z ==_______. 17．已知a 为实数，i 为虚数单位，若复数2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则20001a i i+=+______. 18．已知复数()()()4231234a i z i i -=-+⋅-，且1z =，则实数a =_________. 19．已知复数z 满足等式1i 1z --=，则3z -的最大值为______20．设复数1(z i i =--虚数单位),z 的共轭复数为z ，则()1z z -⋅=________.三、解答题21．已知复数z 满足(1)z i m i +=-(其中i 是虚数单位).（1）在复平面内，若复数z 的共轭复数对应的点在直线70x y +-=上，求实数m 的值；（2）若||1z ，求实数m 的取值范围.22．（1）在复数范围内解方程()232i z z z i i -++=+（i 为虚数单位） （2）设z 是虚数，1z zω=+是实数，且12ω-<< （i ）求z 的值及z 的实部的取值范围；（ii ）设11z zμ-=+，求证：μ为纯虚数； （iii ）在（ii ）的条件下求2ωμ-的最小值．23．已知z 是纯虚数，并使得21z i+∈-R ，求z24．在复平面内，A B C ，，分别对应复数1231i 5i 33i z z z =+=+=+，，，以AB,AC 为邻边作一个平行四边形ABCD ，求D 点对应的复数4z 及AD 的长.25．已知复数z =22761a a a -+-2(56)i a a +--，a R ∈． （1）若复数z 为实数，求实数a 的值；（2）若复数z 为虚数，求实数a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得复数z 为纯虚数？26．若z C ∈，42i z z +=，sin sin i ωθθ=-（θ为实数），i 为虚数单位. （1）求复数z ；（2）求z ω-的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【分析】 根据题意求出1122z i =+，即可得到z ，得出虚部. 【详解】 20164504=⨯，201641i i ∴==.111122z i i ∴==+-，1122z i ∴=-，z ∴的虚部为12-.故选:B. 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，易错点在于没能弄清虚部的概念导致选错.2．B解析：B【分析】先求出(4,4)OA =，(4,4)OB =-，再利用平面向量的数量积求解.【详解】∵在复平面内，z 与z 对应的点关于x 轴对称， ∴z 对应的点是24y x =与y x =-的交点.由24y x y x⎧=⎨=-⎩得(4,4)-或(0,0)（舍），即44z i =-，则44z i =+，(4,4)OA =，(4,4)OB =-，∴444(4)0OA OB ⋅=⨯+⨯-=.故选B【点睛】本题主要考查共轭复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．B解析：B【分析】由向量减法的坐标运算可得向量(5,5)BA OA OB =-=-，根据复数与复平面内的点一一对应，即可得结果.【详解】向量OA ，OB 对应的复数分别为23i -，32i -+，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量(2,3)OA =-，(3,2)OB =-．由向量减法的坐标运算可得向量(5,5)BA OA OB =-=-，根据复向量、复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA 对应的复数是55i -，故选B ．【点睛】解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．4．A解析：A【分析】复数23i -是方程的根，代入方程，整理后利用复数的相等即可求出p,q 的值.【详解】因为23i -是方程220x px q ++=的一个根，所以22(23)(23)0i p i q -+-+=， 即(224)3100p i p q --++=，所以22403100p p q -=⎧⎨-++=⎩，解得12,26p q ==，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数方程及复数相等的概念，属于中档题.5．C解析：C【分析】根据充分必要条件的定义结合复数与复平面内点的对应关系，从而得到答案．【详解】若复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限，则20,10x x x ⎧->⎨->⎩ 解得1x >，故“1x >”是“复数()()21z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的充要条件.故选C.【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了复数的与复平面内点的对应关系，是一道基础题． 6．A解析：A【解析】 令22()331,1z a bi z z a bi a bi a bi i a b =+∴+=++-=-=-∴==7．C解析：C【分析】用向量,OA OB 表示12,z z ，根据题意，可得OA OB BA r -==，因为1i z r ω-=或者2i z r ω-=，根据其几何意义可得i ω的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n ，数形结合，即可得答案.【详解】用向量,OA OB 表示12,z z ，因为()120z z r r -=>，所以OA OB BA r -==，又,*(1)i i n n N ω≤≤∈满足1i z r ω-=或者2i z r ω-=，则i ω可表示以O 为起点，终点在以A 为圆心，半径为r 的圆上的向量，或终点在以B 为圆心，半径为r 的圆上的向量，则终点可能的个数即为n ，因为i j r ωω-≥，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为60︒，如图所示，则最多有10个可能的终点，即n =10.故选：C【点睛】解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到i ω的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.8．B解析：B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由等比数列的前n 项和公式及虚数单位i 的运算性质求解．【详解】 3(3)(13)1013(13)(13)10i i i i z i i i i +++====--+， 20202020232020(1)(1)(11)0111z z i i i z z z zz i i---∴+++⋯+====---． 故选：B ．【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的运算性质，训练了等比数列前n 项和的求法，是基础题．9．C解析：C【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由()2345i z i --=+=，得()()()5252222i z i i i i -+===-+-----+， 2z i ∴=--．故选C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10．B解析：B【分析】化简复数2222a a z i -+=+，根据复数z 是纯虚数，得到202a -=且202a +≠，即可求解.【详解】由题意，复数()()()()2122211122ai i ai a a z i i i i +++-+===+--+， 因为复数z 是纯虚数，可得202a -=且202a +≠，解得2a =， 所以实数a 等于2.故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的基本概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的基本概念求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.11．C解析：C【分析】 先求出8625i z -=，再求出||z 得解. 【详解】 由题得()()()()212342863434343425i i i i i z i i i i +-+====+++-，所以102255z ===. 故选：C12．A解析：A【分析】把两个复数都化为(,)a bi a b R +∈形式，然后由共轭复数定义求得,a b ，从而得结论．【详解】 因为()2i a bi a bi b ai i i++==-，()212i i +=，又1a bi +与()21i -互为共轭复数，所以0b =，2a =.则2a b +=.故选：A ．二、填空题13．24【分析】设（）结合条件得在复平面内对应点的轨迹再由的几何意义求解即可【详解】设（）则由得即复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心以1为半径的圆表示复数在复平面内对应点到点的距离所以最大值为最小值为 解析：24【分析】设z a bi =+，（,a b ∈R ），结合条件0z z z z ⋅++=得z 在复平面内对应点的轨迹，再由33z i --的几何意义求解即可．【详解】设z a bi =+，（,a b ∈R ）则由0z z z z ⋅++=,得2220a b a ++=，即()2211a b ++=．复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(1,0)A -为圆心，以1为半径的圆，33z i =--z 在复平面内对应点到点(3,3)P 的距离所以33z i --最大值为||116PA +==．最小值为||114PA -==故最大值与最小值的乘积为2446=⨯故答案为：24【点睛】本题考查复平面内复数对应的点的轨迹问题，复数模长的几何意义，是中档题.14．【分析】先化简再解方程即得解【详解】由题得因为复数的实部和虚部互为相反数所以故答案为：【点睛】本题主要考查复数的除法运算考查复数实部虚部的概念意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 解析：23- 【分析】先化简222(4)125bi b b i i ---+=+，再解方程224+055b b ---=即得解. 【详解】 由题得2(2)(12)22(4)12(12)(12)5bi bi i b b i i i i -----+==++-， 因为复数212bi i-+的实部和虚部互为相反数， 所以2242+0,553b b b ---=∴=-. 故答案为：23- 【点睛】 本题主要考查复数的除法运算，考查复数实部虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15．【分析】首先设(且)代入方程化简为再分和两种情况求验证是否成立【详解】设(且)则原方程变为所以①且②；（1）若则解得当时①无实数解舍去；从而此时或3故满足条件；（2）若由②知或显然不满足故代入①得所解析：74- 【分析】首先设z a bi =+ (a ，b ∈R 且221a b +=)，代入方程，化简为()()222320ax ax bx bx i +++-=，再分0b =和0b ≠两种情况求,a x 验证是否成立.【详解】设z a bi =+，(a ，b ∈R 且221a b +=) 则原方程2230zx zx ++=变为()()222320ax ax bx bx i +++-=.所以2230ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去；从而1a =-，2230x x --=此时1x =-或3，故1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得38a =-，b =所以83z =-±.综上满足条件的所以复数的和为337188884i i ⎛⎫⎛⎫-+-++--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：74-【点睛】思路点睛：本题考查复系数二次方程有实数根问题，关键是设复数z a bi =+后代入方程，再进行整理转化复数的代数形式，注意实部和虚部为0，建立方程求复数z . 16．-511【分析】利用复数的运算公式化简求值【详解】原式故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查复数的次幂的运算注意以及等公式化简求值 解析：-511【分析】利用复数的运算公式，化简求值.【详解】原式1212369100121511()i =+=+=-+=--. 故答案为：511-【点睛】思路点睛：本题考查复数的n次幂的运算，注意3112⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，()212i i +=，以及()()612211i i ⎡⎤+=+⎣⎦，等公式化简求值. 17．【分析】利用纯虚数的定义复数的运算法则即可求出【详解】解：为纯虚数且解得故答案为：【点睛】本题考查了复数的运算法则纯虚数的定义考查了推理能力与计算能力属于基础题解析：1i -【分析】利用纯虚数的定义、复数的运算法则即可求出.【详解】解：2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，210a ∴-=，且10a +≠，解得1a =20001112(1)111(1)(1)i i i i i i i ++-∴===-+++-. 故答案为：1i -.【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 18．【分析】化简的表达式根据列方程由此求得的值【详解】依题意由于即即即即解得故填：【点睛】本小题主要考查复数的除法乘法和乘方运算考查复数模的运算考查运算求解能力属于中档题解析：2±【分析】化简z 的表达式，根据1z =列方程，由此求得a 的值.【详解】依题意，()()()433434a i z i i -=--⋅-()()()()44343434i i a i i ---⋅-=-42534a i i -⎛⎫=-⋅ ⎪-⎝⎭()()()()434253434a i i i i ⎡⎤-+=-⋅⎢⎥-+⎣⎦()434432525a a i ++-⎡⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦，由于1z =，即()4344325125a a i ++-⎡⎤-⋅=⎢⎥⎣⎦，即()()44344334431252525a a i a a i ++-++-⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，即()24334125255a a i -++=，即223443125255a a +-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22525125a +=，24a =，解得2a =±. 故填：2±【点睛】本小题主要考查复数的除法、乘法和乘方运算，考查复数模的运算，考查运算求解能力，属于中档题.19．【分析】由题意画出图形数形结合得答案【详解】|z ﹣1﹣i|＝1的几何意义为复平面内动点到定点（11）距离为1的点的轨迹如图：|z ﹣3|可以看作圆上的点到点(30)的距离由图可知|z ﹣3|的最大值为故 解析：51+【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．【详解】|z ﹣1﹣i |＝1的几何意义为复平面内动点到定点（1，1）距离为1的点的轨迹， 如图：|z ﹣3|可以看作圆上的点到点(3,0)的距离.由图可知，|z ﹣3|22(31)(01)151-+-=．51．【点睛】本题考查复数模的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．20．【解析】分析：由可得代入利用复数乘法运算法则整理后直接利用求模公式求解即可详解：因为所以故答案为点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算属于中档题解题时一定要注意和10【解析】分析：由1i z =--，可得1i z =-+，代入()1z z -⋅，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可.详解：因为1i z =--，所以1i z =-+，()()()()()111121z z i i i i ∴-⋅=++⋅-+=+⋅-+39110i =-+=+=10.点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++三、解答题21．（1）7m =；（2）[1-，1].【分析】（1）把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，再由共轭复数的概念求得z ，由题意列关于m 的方程求解；（2）利用复数模的计算公式列式，求解关于m 的不等式得答案.【详解】解：（1）由(1)z i m i +=-，得()(1)111(1)(1)22m i m i i m m z i i i i ----+===-++-， ∴1122m m z i -+=+， 由题意，117022m m -++-=，解得7m =； （2）由||1z1， 解得：11m -. ∴实数m 的取值范围[1-，1].【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题.22．（1）122z i =-±；（2）（i ）1z =；1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭（ii ）证明见解析；（iii ）1 【分析】（1）利用待定系数法，结合复数相等构造方程组来进行求解；（2）（i ）采用待定系数法，根据实数的定义构造方程即可解得z 和ω，利用ω的范围求得a 的范围；（ii ）利用复数的运算进行整理，根据纯虚数的定义证得结论；（iii ）将2ωμ-整理为123t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求得最小值. 【详解】（1）()()()()()23235512225i i i i z z z i i i i i ----++====-++- 设(),z x yi x y R =+∈，则2221x y xi i ++=-22121x y x ⎧+=∴⎨=-⎩，解得：122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩122z ∴=-±（2）（i ）设z a bi =+(,a b R ∈且)0b ≠2222221a bi a b a bi a bi a b i a bi a b a b a b ω-⎛⎫⎛⎫∴=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ ω为实数 220b b a b∴-=+，整理可得：221a b += 即1z = ()21,2a ω∴=∈- 1,12a ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭（ii ）()()()()()222211*********a bi a bi z a bi a b bi z a bi a bi a bi a b μ--+-------====++++++-++ 由（i ）知：221a b +=，则1b i a μ=-+ 1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且0b ≠ 01b a ∴-≠+ μ∴是纯虚数（iii ）()()22222211212221111b a a a a a a a a a a a ωμ--++-=+=+=+=++++ 令1a t +=，则1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1a t =- ()2222111232123t t t t t t t t ωμ-+-+-+⎛⎫∴-===+- ⎪⎝⎭12t t+≥（当且仅当1t =时取等号） 2431ωμ∴-≥-= 即2ωμ-的最小值为：1【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，利用待定系数法结合复数相等的条件进行转化是解决本题的关键．运算量较大，综合性较强．23．-2i 【分析】设()z bi b R =∈，代入21z i +-进行化简，根据21z i +-为实数，列方程，解方程求得b 的值，也即求得z . 【详解】设()z bi b R =∈，代入21z i +-得()()()()()212221112bi i b b i bi R i i i ++-+++==∈--+，所以20b +=，解得2b =-.所以2z i =-.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数是纯虚数、实数的概念和运算，属于基础题. 24．z 4＝7＋3i ，210AD =【分析】由复数的几何意义得到AC 对应复数z 3－z 1，AB 对应复数z 2－z 1，AD 对应复数z 4－z 1，AD AB AC ＝＋，z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)，再由复数的加法运算和模长的公式得到结果.【详解】如图所示：AC 对应复数z 3－z 1，AB 对应复数z 2－z 1，AD 对应复数z 4－z 1.由复数加减运算的几何意义，得AD AB AC ＝＋，∴z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1).∴z 4＝z 2＋z 3－z 1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i.∴AD 的长为41AD z z ＝-＝()()73i 1i 62i 210＋－＋＝＋＝ 【点睛】在复平面上，点,()Z a b 和复数z a bi =+(),a b ∈R 一一对应，所以复数可以用复平面上的点来表示，这就是复数的几何意义．复数几何化后就可以进一步把复数与向量沟通起来，从而使复数问题可通过画图来解决，即实现了数与形的转化．由此将抽象问题变成了直观的几何图形，更直接明了．25．（1）6；（2）(,1)(1,1)(1,6)(6,)-∞--+∞；（3）不存在实数a 使得复数z为纯虚数．【分析】根据z a bi =+为实数、虚数和纯虚数的条件，列方程，解方程求得a 的值.【详解】由于210a -≠，所以1a ≠±.（1）当z 为实数时，2560a a --=，解得6a =.（2）当z 为虚数时2560a a --≠，结合1a ≠±可知，a 的取值范围是()()()(),11,11,66,-∞-⋃-⋃⋃+∞.（3）当z 为纯虚数时，2227601560a a a a a ⎧-+=⎪-⎨⎪--≠⎩，方程227601a a a -+=-解得6a =，2560a a --≠解得1a ≠-且6a ≠，两者没有公共元素，故不存在实数a 使得复数z 为纯虚数．【点睛】本小题主要考查复数z a bi =+是实数、虚数和纯虚数的条件，属于基础题.26．（1）1i 2z =+；（2）[]0,2. 【分析】 （1）设(),z a bi b a =+∈R ，根据复数相等，得出关于实数a 、b 的方程组，解出这两个未知数，即可得出复数z 的值；（2）利用复数的模长公式以及辅助角公式得出z ω-=，利用正弦函数的值域可求出z ω-的取值范围.【详解】（1）设(),z a bi b a =+∈R ，则z a bi =-，()()42a bi a bi i ++-=∴，即62a bi i +=，所以621a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12z i ∴=+； （2）()11sin cos sin cos 22z i i i ωθθθθ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎝⎭⎝-=+⎭---+=== 1sin 16πθ⎛⎫ ≤⎝--⎪⎭≤，022sin 46πθ≤--⎛⎫ ⎪⎝⎭≤∴， 02z ω∴≤-≤，故z ω-的取值范围是[]0,2.【点睛】本题考查复数的求解，同时也考查了复数模长的计算，涉及复数相等以及辅助角公式的应用，考查计算能力，属于中等题.。
上海高东中学必修第二册第二单元《复数》测试卷(答案解析)
一、选择题1．已知复数23i -是方程220x px q ++=的一个根，则实数p ，q 的值分别是（ ）A ．12，26B ．24，26C ．12，0D ．6，82．已知复数，是z 的共轭复数，则=A ．B ．C ．1D ．2 3．在复平面内，O 是原点，,,OA OC AB 对应的复数分别为－2＋i ，3＋2i, 1＋5i ，那么BC 对应的复数为( )A ．4＋7iB ．1＋3iC ．4－4iD ．－1＋6i4．,A B 分别是复数12,z z 在复平面内对应的点，O 是原点，若1212z z z z +=-，则OAB ∆一定是A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形5．已知z 是纯虚数，21z i＋－是实数，那么z 等于 ( )． A ．2iB ．iC ．－iD ．－2i6．已知集合，()(){}221,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=，则实数m 的值为 （ ） A ．4 B ．－1C ．4或－1D ．1或67．设313iz i+=-，则232020z z z z ++++=（ ）A ．1B ．0C ．1i --D ．1i + 8．已知i 为虚数单位，（1＋i ）x ＝2＋yi ，其中x ，y ∈R ，则｜x ＋yi ｜＝A ．2B ．2C ．4D 29．设复数11iz i，那么在复平面内复数1z -对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．复数11ii+-的实部和虚部分别为a ，b ，则a b +=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．已知复数123,,z z z 满足：1233421, 41, 1z i z i z z i +-=-=-=-，那么3132+z z z z --的最小值为（ ） A ．2172B ．5C ．252D ．21712．对于给定的复数0z ，若满足042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆，则01z -的取值范围是（ ）A．)2 B．)1 C．)2-D．)1-二、填空题13．从集合{}0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a ，b ，组成复数i a b +，其中虚数有______个.14．计算12z ==_______. 15．计算：8811i i -⎛⎫-= ⎪+⎝⎭______________. 16．若复数(2)(1)()z a a i a R =-++∈对应的点位于第二象限，则z 的取值范围是_______.17．已知a 为实数，i 为虚数单位，若复数2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则20001a i i+=+______. 18．复数(1sin )(cos sin )z θθθ=++-i 是实数，[]0,2θπ∈则θ=______. 19．在复平面内，三点A 、B 、C 分别对应复数A z 、B z 、C z ，若413B AC A z z i z z -=+-，则ABC ∆的三边长之比为________20．已知复数集合{i |1,1,,}A x y x y x y R =+≤≤∈221133{|(i),}44B z z z z A ==+∈，其中i 为虚数单位，若复数z A B ∈，则z 对应的点Z 在复平面内所形成图形的面积为________三、解答题21．（1）在复数范围内解方程()232iz z z i i-++=+（i 为虚数单位） （2）设z 是虚数，1z zω=+是实数，且12ω-<< （i ）求z 的值及z 的实部的取值范围； （ii ）设11zzμ-=+，求证：μ为纯虚数； （iii ）在（ii ）的条件下求2ωμ-的最小值．22．已知复数(,)z a bi a b =+∈R ，且2(1)430a i a b i --++=．（Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）若mz z+是实数，求实数m 的值． 23．当实数m 为何值时，复数()22656z m m m m i =--+++分别是 （1）虚数； （2）纯虚数； （3）实数.24．设复数z 的共轭复数为z ，且23z z i +=+，sin cos i ωθθ=-，复数z ω-对应复平面的向量OM ，求z 的值和2OM 的取值范围.25．复数()()()2152615z i m i m i =++-+-． （1）实数m 取什么数时，z 是实数； （2）实数m 取什么数时，z 是纯虚数；（3）实数m 取什么数时，z 对应的点在直线70x y ++=上．26．当m 为何值时，复数()228()x m m i m =++-∈R 是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】复数23i -是方程的根，代入方程，整理后利用复数的相等即可求出p,q 的值. 【详解】因为23i -是方程220x px q ++=的一个根，所以22(23)(23)0i p i q -+-+=，即(224)3100p i p q --++=，所以22403100p p q -=⎧⎨-++=⎩，解得12,26p q ==，故选A.【点睛】本题主要考查了复数方程及复数相等的概念，属于中档题. 2．A解析：A 【分析】利用复数除法化简，再求出共轭复数，进而可得结果.【详解】，，，故答案为：A. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．C解析：C 【解析】BC BA AO OC AB OA OC =++=--+15(2)3244i i i i =----+++=-，选C.4．C解析：C 【解析】因为1212z z z z +=-，所以22||OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- , 因此0OA OB OA OB ⋅=∴⊥ ，即OAB 一定是直角三角形，选C.5．D解析：D 【分析】根据复数的运算，化简得到21[(2)(2)]12z b b i i +=-++-，再由复数为实数，即可求解. 【详解】设z ＝b i (b ∈R ，且b ≠0)， 则＝＝＝ [(2－b )＋(2＋b )i]．∵∈R ，∴2＋b ＝0，解得b ＝－2， ∴z ＝－2i.故选D. 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算和复数的基本概念的应用，其中熟记复数的四则运算法则和复数的基本分类是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.6．B解析：B 【分析】根据交集的定义可得()()2231563m m m m i --+--=，由复数相等的性质列方程求解即可. 【详解】因为()(){}221,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=，所以()()2231563m m m m i --+--=，可得223131560m m m m m ⎧--=⇒=-⎨--=⎩，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算.7．B解析：B 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由等比数列的前n 项和公式及虚数单位i 的运算性质求解． 【详解】 3(3)(13)1013(13)(13)10i i i iz i i i i +++====--+， 20202020232020(1)(1)(11)0111z z i i i z z z zz i i---∴+++⋯+====---．故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的运算性质，训练了等比数列前n 项和的求法，是基础题．8．A解析：A 【解析】 【分析】首先求得x ,y 的值，然后求解复数的模即可. 【详解】由题意可得：2x xi yi +=+，结合复数的充分必要条件可知：2x x y =⎧⎨=⎩，则2x y ==，22x yi i +=+== 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查复数相等的充分必要条件，复数模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．C解析：C 【分析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解. 【详解】由题得21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--， 所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限. 故选：C10．A解析：A 【分析】利用两个复数代数形式的除法运算性质，把复数化为最简形式，得到其实部和虚部的值，进而求得结果. 【详解】21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+， 所以0,1a b ==， 所以1a b +=， 故选：A. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关复数的问题，解题思路如下：（1）利用复数除法运算法则先化简复数11ii+-； （2）确定出复数的实部和虚部各是多事；（3）进而求得a b +的值.11．A解析：A 【分析】先求出复数123,,z z z 对应的点的轨迹，再利用数形结合分析得解. 【详解】1421, z i +-=表示1z 的轨迹是以A (4,2)-为圆心，以1为半径的圆； 2 41, z i -=表示2z 的轨迹是以B (0,4)为圆心，以1为半径的圆； 331z z i -=-，表示3z 的轨迹是直线y x =，如图所示：3132+z z z z --表示直线y x =上的点C 到圆A 和圆B 上的点的距离，先作出点B (0,4)关于直线y x =的对称点D (4,0)，连接AD , 与直线y x =交于点C .3132+z z z z --的最小值为2||||||2(44)222172CE CF AD +=-=++=. 故选：A 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是能由复数方程得到复数对应的点的轨迹，通过数形结合分析得到动点处于何位置时，3132+z z z z --取到最小值.意在考查学生对复数的轨迹问题的理解掌握水平.12．A解析：A 【分析】根据条件可得042z i -<，即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离，由圆的性质可得答案.【详解】因为042z i z z -+-=的复数z 对应的点的轨迹是椭圆， 所以042z i -<由复数的几何意义可知042z i -<表示复数0z 对应的点到()0,4的距离小于2. 即复数0z 对应的点在以()0,4为圆心，2为半径的圆内部.01z -表示复数0z 对应的点到()1,0的距离.如图，设()0,4C ,1,0A221417 AC=+=则212AC z AC-<-<+,即1721172z-<-<+故选：A【点睛】本题考查椭圆的定义的应用，考查复数的几何意义的应用和利用圆的性质求范围，属于中档题.二、填空题13．36【分析】若复数为虚数则分两种情况讨论即得解【详解】从集合中任取两个互不相等的数组成复数当时对应的有6个值；当取123456时对应的只有5个值所以虚数有（个）故答案为:36【点睛】本题考查了虚数的解析：36【分析】若复数ia b+为虚数，则0,0a b=≠，分0,0a a=≠两种情况讨论即得解.【详解】从集合{}0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a，b，组成复数ia b+，当0a=时，对应的b有6个值；当a取1,2,3,4,5,6时，对应的b只有5个值.所以虚数有66536+⨯=（个）.故答案为:36.【点睛】本题考查了虚数的定义，考查了学生概念理解，数学运算，分类讨论的能力，属于基础题. 14．-511【分析】利用复数的运算公式化简求值【详解】原式故答案为：【点睛】思路点睛：本题考查复数的次幂的运算注意以及等公式化简求值解析：-511【分析】利用复数的运算公式，化简求值.【详解】原式1212100369100100999(23)121511()13[(23)]132()()iii ii i-=+=+=-+=---⨯-⨯-+-+.故答案为：511-【点睛】思路点睛：本题考查复数的n 次幂的运算，注意3112⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭，()212i i +=， 以及()()612211i i ⎡⎤+=+⎣⎦，等公式化简求值.15．【分析】先利用复数的运算法则将和化简然后计算出及的值然后得出的值【详解】故答案为： 解析：0【分析】先利用复数的运算法则将11i i -+和2化简，然后计算出811i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭及8的值，然后得出8811i i -⎛⎫- ⎪+⎝⎭的值． 【详解】()()()()8422848811111011i i i i i i i ⎡⎤⎡⎤-=-=--=-=⎢⎥⎢⎥+-⎢-⎛⎫- ⎪+⎝⎭⎥⎥⎢⎣⎦⎣⎦． 故答案为：0．16．【分析】根据复数的几何意义可知复数对应的点的坐标为再根据该点位于第二象限得即而再用二次函数法求其取值范围【详解】因为复数对应的点的坐标为又因为该点位于第二象限所以解得所以因为所以故答案为：【点睛】本解析：2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【分析】根据复数的几何意义，可知复数(2)(1)()z a a i a R =-++∈对应的点的坐标为21a a -+（,），再根据该点位于第二象限，得2010a a -<⎧⎨+>⎩即1a 2-<< ，而||z ===范围. 【详解】因为复数(2)(1)()z a a i a R =-++∈对应的点的坐标为()21a a -+,， 又因为该点位于第二象限， 所以20,10,a a -<⎧⎨+>⎩解得1a 2-<<.所以||z ===因为1a 2-<<，所以||,32z ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭.故答案为：⎫⎪⎪⎣⎭【点睛】本题主要考查复数的几何意义，复数的模，还考查运算求解的能力，属于中档题.17．【分析】利用纯虚数的定义复数的运算法则即可求出【详解】解：为纯虚数且解得故答案为：【点睛】本题考查了复数的运算法则纯虚数的定义考查了推理能力与计算能力属于基础题 解析：1i -【分析】利用纯虚数的定义、复数的运算法则即可求出. 【详解】 解：2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，210a ∴-=，且10a +≠，解得1a =20001112(1)111(1)(1)i i i i i i i ++-∴===-+++-.故答案为：1i -. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.18．或【解析】【分析】由复数的虚部为0求得再由的范围得答案【详解】是实数即又或故答案为：或【点睛】本题主要考查了复数的代数表示法实部虚部的概念利用三角函数求角属于中档题解析：4π或54π. 【解析】 【分析】由复数z 的虚部为0求得tan θ，再由θ的范围得答案. 【详解】(1sin )(cos sin )z i θθθ=++-是实数，cos sin 0θθ∴-=，即tan 1θ=，又[0,2],θπ∈4πθ∴=或54π， 故答案为：4π或54π 【点睛】 本题主要考查了复数的代数表示法，实部、虚部的概念，利用三角函数求角，属于中档题. 19．3：4：5【分析】设对应的复数计算对应的复数从而得出再根据与的比值得出答案【详解】设表示的复数为表示的复数为则所以所以表示的复数为所以所以又所以又则所以的三边长之比为：故答案为：【点睛】本题考查了复 解析：3：4：5【分析】设AB 、AC 对应的复数，计算BC 对应的复数，从而得出AC BC ⊥，再根据AB 与AC 的比值得出答案.【详解】设AB 表示的复数为a bi +，AC 表示的复数为i c d +， 则444()(1)()()333a bi c di i c d d c i +=++=-++， 所以43a c d =-，43b dc =+， 所以BC 表示的复数为44()()33AC AB c a bd i d ci -=-+-=-， 所以44(,)(,)033AC BC c d d c ⋅=⋅-=， 所以AC BC ⊥, 又B A C A z z AB AC z z -=-，所以45133AB i AC =+==， 又AC BC ⊥,则433BC AC ==， 所以ABC ∆的三边长之比为：3:4:5,故答案为：3:4:5.【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了复数模的运算，考查了推理能力，属中档题. 20．【分析】先由复数的几何意义确定集合所对应的平面区域再确定集合所对应的平面区域由复数可得复数对应的点在复平面内所形成图形即为集合与集合所对应区域的重叠部分结合图像求出面积即可【详解】因为复数集合所以集解析：72【分析】先由复数的几何意义确定集合A 所对应的平面区域，再确定集合B 所对应的平面区域，由复数z A B ∈⋂，可得复数z 对应的点Z 在复平面内所形成图形即为集合A 与集合B 所对应区域的重叠部分，结合图像求出面积即可.【详解】 因为复数集合{i |1,1,,}A x y x y x y R =+≤≤∈，所以集合A 所对应的平面区域为1x =±与1y =±所围成的正方形区域； 又221133{|,}44B z z i z z A ⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭，设1z a bi =+，且1a ≤, 1b ≤, ,a b R ∈， 所以()()()21333333444444z i z i a bi a b a b i ⎛⎫⎛⎫=+=++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设2z 对应的点为(),x y ， 则()()3434x a b y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以3232a x y b y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又1a ≤, 1b ≤，所以33223322x y y x ⎧-≤+≤⎪⎪⎨⎪-≤-≤⎪⎩， 因为复数z A B ∈⋂，z 对应的点Z 在复平面内所形成图形即为集合A 与集合B 所对应区域的重叠部分，如图中阴影部分所示，由题意及图像易知：阴影部分为正八边形，只需用集合A 所对应的正方形区域的面积减去四个小三角形的面积即可. 由321x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得112B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，由321x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得112C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 所以11172242222S =⨯-⨯⨯⨯=阴影. 故答案为72【点睛】本题主要考复数的几何意义，以及不等式组所表示平面区域问题，熟记复数的几何意义，灵活掌握不等式组所表示的区域即可，属于常考题型.三、解答题21．（1）1322z i =-±；（2）（i ）1z =；1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭（ii ）证明见解析；（iii ）1 【分析】（1）利用待定系数法，结合复数相等构造方程组来进行求解；（2）（i ）采用待定系数法，根据实数的定义构造方程即可解得z 和ω，利用ω的范围求得a 的范围；（ii ）利用复数的运算进行整理，根据纯虚数的定义证得结论；（iii ）将2ωμ-整理为123t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求得最小值. 【详解】（1）()()()()()23235512225i i i i z z z i i i i i ----++====-++- 设(),z x yi x y R =+∈，则2221x y xi i ++=-22121x y x ⎧+=∴⎨=-⎩，解得：1232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩ 132z ∴=- （2）（i ）设z a bi =+(,a b R ∈且)0b ≠2222221a bi a b a bi a bi a b i a bi a b a b a b ω-⎛⎫⎛⎫∴=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ω为实数 220b b a b∴-=+，整理可得：221a b += 即1z = ()21,2a ω∴=∈- 1,12a ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭（ii ）()()()()()222211111211111a bi a bi z a bi a b bi z a bi a bi a bi a b μ--+-------====++++++-++ 由（i ）知：221a b +=，则1b i a μ=-+ 1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且0b ≠ 01b a ∴-≠+ μ∴是纯虚数（iii ）()()22222211212221111b a a a a a a a a a a a ωμ--++-=+=+=+=++++ 令1a t +=，则1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1a t =- ()2222111232123t t t t t t t t ωμ-+-+-+⎛⎫∴-===+- ⎪⎝⎭12t t+≥（当且仅当1t =时取等号） 2431ωμ∴-≥-= 即2ωμ-的最小值为：1【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，利用待定系数法结合复数相等的条件进行转化是解决本题的关键．运算量较大，综合性较强．22．（Ⅰ）33z i =-（Ⅱ）18m =【分析】（Ⅰ）根据复数相等列方程组，解得,a b （Ⅱ）先化复数为代数形式，再根据复数为实数列式，解得实数m 的值．【详解】 解： （Ⅰ）由题意240{30a ab a ++=-+=，解之得3,3a b ==-． 所以33z i =-为所求（Ⅱ）由（Ⅰ）得，()133333333666m i m m m m z i i i z i +⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=++- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ m z z +是实数，306m ∴-=，即18m =为所求．【点睛】本题考查复数相等以及复数概念，考查基本分析求解能力，属中档题23．（1）m≠-2且m≠ -3; （2）m=3； （3）m=-2或m=-3.【分析】由已知条件分别得到（1）虚数：得到 256m m ++≠0；（2）纯虚数：得到 26m m --＝0并且256m m ++≠0（3）实数；2 56m m ++=0；分别解之即可．【详解】复数()22656z m m m m i =--+++是：（1）虚数：得到 256m m ++≠0，解得m≠-2且m≠ -3;（2）纯虚数： 得到 26m m --＝0并且256m m ++≠0解得m=3（3）实数：2 56m m ++=0解得m=-2或m=-3故答案为m≠-2且m≠ -3; m=3； m=-2或m=-3.【点睛】本题考查了复数的基本概念；关键是由题意，得到复数的实部和虚部的性质．24．1z i =+,3⎡-+⎣【详解】分析：设(),z a bi a b R =+∈则z a bi =-，由23z z i +=+，根据复数相等的充要条件列方程求得1z i =+，由复数减法运算法则以及复数的几何意义，结合辅助角公式求得234OM πθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用三角函数的有界性可得2OM 的取值范围. 详解：设(),z a bi a b R =+∈则z a bi =-，由23z z i +=+，根据复数相等的充要条件 解得11a b =⎧⎨=⎩，所以1z i =+. ()()1sin 1cos z i ωθθ-=-++()()22211OM sin cos θθ=-++ ()32sin cos θθ=--322sin 4πθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭因为1sin 14πθ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以334πθ⎛⎫-≤-- ⎪⎝⎭ 3≤+即233OM -≤≤+故所求1z i =+，2OM 的取值范围是3⎡-+⎣.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.25．（1）5m =或3-；（2）2m =-；（3）12m =或2- 【分析】复数222(1)(52)(615)(56)(215)z i m i m i m m m m i =++-+-=+++--．（1）由22150m m --=，解得m 即可得出． （2）由225602150m m m m ⎧++=⎨--≠⎩，解得m 即可得出． （3）由22(56)(215)70m m m m +++--+=．解出即可得出．【详解】解：复数222(1)(52)(615)(56)(215)z i m i m i m m m m i =++-+-=+++--．（1）由22150m m --=，解得5m =或3-．5m ∴=或3-时，复数z 为实数．（2）由225602150m m m m ⎧++=⎨--≠⎩，解得2m =-． 2m ∴=-时，复数z 为纯虚数．（3）由22(56)(215)70m m m m +++--+=．化为：22320m m +-=， 解得12m =或2-． 12m ∴=或2-，z 对应点在直线70x y ++=上． 【点睛】本题考查了复数的运算法则及其有关概念，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 26．（1）4m =-（2）3m ≥或1m ≤-且4m ≠-（3）1m =-或3m =【分析】（1）根据实数的定义，由实部中根式内部的代数式大于等于0，虚部等于0，列式求解； （2）根据虚数的定义，由实部中根式内部的代数式大于等于0，虚部不等于0，列式求解；（3）根据纯虚数的定义，由实部中根式内部的代数式等于0，虚部不等于0，列式即可求解．【详解】（1）由题意知22230280m m m m ⎧--≥⎨+-=⎩，所以4m =-， 故当4m =-时，复数z 为实数.（2）由题意得22230280m m m m ⎧--≥⎨+-≠⎩，即3124m m m m ≥≤-⎧⎨≠≠-⎩或且， 所以3m ≥或1m ≤-且4m ≠-，故当3m ≥或1m ≤-且4m ≠-时，z 为虚数.（3）由题意得20280m m =+-≠⎪⎩，所以1324m m m m =-=⎧⎨≠≠-⎩或且， 所以1m =-或3m =，故当1m =-或3m =时，复数z 为纯虚数.【点睛】本题考查复数的基本概念和复数的分类，根据复数的类型求参数，还涉及一元二次方程和一元二次不等式的解法，考查计算能力，是中档题．。
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2011学年第二学期高二数学学科练习卷（2012.5）
（满分100分，考试时间90分钟）
考生注意：
1．答卷前，考生务必将姓名、准考证号、条形码等在答题纸相应位置填写清楚；
2．本试卷共两个大题，15小题；请考生用钢笔或圆珠笔将答案填写在答题纸的相应位置上，解答题如无特别说明必须写出解题步骤．
一、填空题（本大题满分40分）本大题共10题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.
1．已知i z -=1（i 是虚数单位），计算=++i z z
i ||231 ▲ ； 2．若复数z 满足132i 2i
z z =--（i 是虚数单位），则z = ▲ ； 3．计算：29303132250i i i i +++=…+i ▲ ；
4．k R ∈，且方程2(3)40x k i x k ++++=有实数解，则k = ▲ ；
5．方程2320x x -+=在复数范围内根的个数为 ▲ ；
6．已知复数1z i =+，如果2211
z az b i z z ++=+-+，则实数a = ▲ ，b = ▲ ； 7．(文科)若复数z 满足342z i +-=，则z 的最大值为 ▲ ；
(理科)若实数x 、y 满足1z x yi =，2z x yi =，124z z +=，则x y + 的取值范围是 ▲ ；
8．下列类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）：
①“若,a b R ∈，则0a b a b -=⇒=”类比推出“若,a b C ∈，则0a b a b -=⇒=”；
②“若,,,a b c d R ∈，则复数,a bi c di a c b d +=+⇒==”类比推出“若,,,a b c d Q ∈，
则,a c a c b d +=+==”；
③“若,a b R ∈，则0a b a b ->⇒>”类比推出“若,a b C ∈，则0a b a b ->⇒>”．
其中正确的命题序号是 ▲ ；
9．对非零实数a 、b ，存在以下四个真命题：①10a a
+≠；②222()2a b a ab b +=++；③若a b =，则a b =±；④若2a ab =，则a b =.
那么，对于非零复数a 、b ，仍然成立的所有序号是 ▲ ；
10．设1z 、2z 为复数，下列命题：
①如果22120z z +=，那么120z z ==； ②如果12z z =，那么12z z =±； ③如果1z a ≤（a 是正实数），那么1a z a -≤≤； ④如果1z a =（a 是正实数），那么211z z a ⋅=
正确的命题序号是 ▲ .
二、解答题（本大题满分60分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定
区域内写出必要的步骤.
11．（本题满分10分）
(文科)已知a R ∈，命题p ：实系数一元二次方程220x ax ++=的两根都是虚数；命题q ：
存在复数z 同时满足2z =且1z a +=.试判断：命题p 和命题q 之间是否存在推出关系？并请说明你的理由.
(理科)关于x 的实系数一元二次方程20ax bx c ++=有两虚根1x ，2x ，且(13)a ai i c i -=-
（i 为虚数单位），12||1x x -=，求实数b 的值．
12．（本题满分12分）已知：复数数列{}n a 的通项公式为(1)(1(1
n a i =+…，请求出1n n a a +-的值.
13．（本题满分12分，每小题满分各6分） 已知集合{}13,S z z z C =-≤∈，3,,2w T z z i t w S t R ⎧
+⎫==+∈∈⎨⎬⎩⎭
. （1）若S T φ= ，求t 的取值范围；
（2）若S T S = ，求t 的取值范围.
14．（本题满分12分，每小题满分各6分）
设复数cos sin z i αα=+⋅，cos sin u i ββ=+⋅，且4355z u i +=
+. （1）求tan()αβ+的值；
（2）求22
z u zu ++的值.
15．（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分7分）
设复数),(R y x yi x ∈+=β与复平面上点),(y x P 对应.
（1）若β是关于t 的一元二次方程220t t m -+=（m R ∈）的一个虚根，且2||=β，求实数m 的值； （2）设复数β满足条件a a n n )1(3|3|)1(|3|-+=--++ββ(n N *∈、)3,2
3(∈a )，当n 为奇数时，动点()P x y 、
的轨迹为1C ；当n 为偶数时，动点()P x y 、的轨迹为2C ，且两
条曲线都经过点D ，求轨迹1C 与2C 的方程；
（3）在（2）的条件下，轨迹2C 上存在点A ，使点A 与点B 00(,0)(0)x x >的最小距离不小于332，求实数0x 的取值范围.。