指数函数的图像和性质
指数函数的图像及性质
x
(x
0)
向左平移 1个单位
y (1)x1( x 1); 3
另一部分是：y=3x (x<0)向左平移 y=3x+1 (x<-1).
1个单位
图象如图：
(2)由图象知函数在（-∞，-1］上是增函数， 在（-1，+∞）上是减函数. (3)由图象知当x=-1时,函数有最大值1,无最小值. 探究提高 在作函数图象时,首先要研究函数与某一 基本函数的关系.然后通过平移或伸缩来完成.
若x>0，则y>1；
若x>0，则0<y<1；若x
若x＝0，则y＝1；
＝0，则y＝1；
若x<0，则0<y<1
若x<0，则y>1
指数函数与对数函数的图象所经过的定点
1.不论a(a>0且a≠1)取何实数，函数y＝ax－3＋4的图象都经 过的一个定点是( )
A．(－3，4) B．(3，5)
C．(－3，5) D．(3，－4)
解析：y＝ax图象经过定点(0，1)，将y＝ax的图象向右平移 3个单位长度，得到函数y＝ax－3的图象，则定点(0，1)平移到了 定点(3，1)，再将y＝ax－3的图象向上平移4个单位长度得到函数y ＝ax－3＋4的图象，则定点(3，1)平移到了定点(3，5)．故选B.
答案：B
指数函数图象特征及单调性的应用
感悟高 考 2．已知 a＝ 25，函数 f(x)＝ax，若实数 m，n 满足 f(m)＞f(－n)， 则 m，n 满足的关系为( B )
A．m＋n<0 B．m＋n>0 C．m>n D．m<n
解析：f(x)＝
25x是
R
上的增函数，实数
指数函数的图像和性质1
x ... -2 -1 0 1 2 3 ... 10 ...
y=2x ... 0.25 0.5 1 2 4 8 ... 1 024 ...
y=3x ... 0.11 0.33 1 3 9 27 ... 59 049 ...
做一做
描点画出图像
y 3x
y 2x
(1)当x<0时,总有2x>3x;
指数函数 的图像和性质
观察,归纳
指数函数在底数a＞1及0＜a＜1,两种情况的图象和性质如下:
a>1
0＜ a ＜ 1
图 象
(1)定义域:R
性 (2)值域:( 0 ,+∞ )
(3)过点（0，1），即x=0时，
质 y(4=)当1 x>0时,y>1;x<0时0<y<1 (4)当x>0时,0<y<1;x<0时y>1
(2)当x>0时,总有2x<3x;
(3)当x>0时,y=3x比y=2x的函
数值增长得快.
a>b>1时,
(1)当x<0时,总有ax<bx<1;
(2)当x=0时,总有ax=bx=1;
(3)当x>0时,总有ax>bx>1;
(4)指数函数的底数越大,当x>0时,其函数值增
长得就越快.
y 3x
y 2x
(2)因为y=0.75x是R上的减函数,0.1>-0.1,所以 0.750.1<0.75-0.1.
练习:
比较下列各题中两个值的大小.
(1)1.7 2.5, 1.7 3 (2) 0.8 –0.1, 0.8 –0.2 (3) 1.7 0.3, 0.9 3.1
指数函数图像及性质
指数函数图像及性质
指数函数图像的特征就是“J”形的曲线，它可用来表示水平和垂直运动的加速度和内能释放。
指数函数可以表示非常多种物理或生物学现象。
指数函数图像具有以下性质：
1. 指数函数图像以指数增长和指数衰减。
即曲线是从左向右张开的，以及从右向左收缩的。
2. 一般情况下，指数函数图像会通过坐标原点（0,0），如果不是，则说明指数函数图像是一条平行曲线。
3. 在每一个定义域，指数函数图像的斜率最大值为1，但是随着x的增加，它的斜率越来越小，趋近于0。
4. 在不同的定义域，指数函数图像的形状也有所不同，一般数学家会把它们分成“快速增长函数”和“减速函数”，其中前者的最大斜率大于1而后者的最大斜率小于1。
5. 对于指数函数图像，从右向左看斜率是负值，而从左向右看又会变成正值。
6. 有时候，指数函数图像会拐到右上或者右下方，这时候说明指数函数正在发挥它的作用。
7. 指数函数的绝对值有三种情况，即增加，减少和突然增加，这种情况受到外部因素的影响。
8. 指数函数图像在平行于y轴的负半轴上，其值会无限接近0，而在平行于y轴的正半轴上，其值会无限增长。
指数函数对数函数与幂函数指数函数的性质与图像
指数函数对数函数与幂函数指数函数的性质与图像xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•指数函数的定义与性质•对数函数的定义与性质•幂函数的定义与性质•指数函数、对数函数与幂函数的比较•指数函数、对数函数与幂函数的应用案例•总结与展望01指数函数的定义与性质指数函数的定义02指数函数：y=f(x)=a^x03a>0时，函数图像过一三象限；a<0时，函数图像过二四象限。
指数函数的性质函数图像恒过(0,1)点值域：R a>1时，函数为单调递增函数；0<a<1时，函数为单调递减函数奇偶性：当a>0时，为奇函数；当a=0时，既不是奇函数也不是偶函数；当a<0时，为偶函数指数函数的图像图像恒过(0,1)点当a>1时，函数的增长速度随着x的增大而逐渐加快；当0<a<1时，函数的增长速度随着x的增大而逐渐减慢。
a>1时，函数为单调递增函数，图像位于一三象限；0<a<1时，函数为单调递减函数，图像位于二四象限。
当a>1时，函数的最大值无限趋近于正无穷大；当0<a<1时，函数的最小值无限趋近于0。
02对数函数的定义与性质1 2 3自然对数：以数学常数e为底数的对数，记作ln(x)。
常用对数：以10为底数的对数，记作lg(x)。
底数为任意正数的对数，记作log(x)。
对数的运算性质log(a*b)=log(a)+log(b)；log(a/b)=log(a)-log(b)；log(a^n)=nlog(a)。
对数恒等式log(a/b)=log(a)-log(b)；log(a^n)=nlog(a)。
对数的运算律如果a>0且a不等于1，M>0，N>0，那么log(a)(MN)=log(a)M +log(a)N；log(a)(M/N)=log(a)M -log(a)N；log(a)M^n=nlog(a)M。
•对数函数的图像与性质：图像与x轴交点为1，当x>1时，函数值大于0；当0<x<1时，函数值小于0。
指数函数及其性质
指数函数及其性质
指数函数是数学中的一种常见函数形式，可以表示为f(x) = a^x，其中a是一个正实数且不为1，x是任意实数。
指数函数的性质如下：
1. 定义域：指数函数的定义域是全部实数集。
2. 值域：当a>1时，指数函数的值域是(0, +∞)，即正数集；当0<a<1时，指数函数的值域是(0, 1)，即(0,1)开区间。
3. 增减性：当a>1时，指数函数是递增的；当0<a<1时，指数函数是递减的。
4. 对称轴：指数函数没有对称轴。
5. 对称性：指数函数不具有对称性。
6. 极限性质：当x趋于正无穷大时，指数函数的极限是正无穷大；当x趋于负无穷大时，指数函数的极限是0。
7. 交叉性：当a>1时，指数函数与x轴交于点(0,1)；当0<a<1时，指数函数与y轴交于点(0,1)。
8. 垂直渐近线：指数函数没有垂直渐近线。
9. 水平渐近线：指数函数没有水平渐近线。
10. 切线性质：指数函数在任意一点的切线都与该点对应的指数函数图像相切。
总结起来，指数函数具有增减性、无对称性、极限性质和交叉性等基本性质。
指数函数在实际问题中经常用于描述增长或衰减的规律，具有重要的应用价值。
指数函数的图象和性质
1
1
练习：比较大小 a3和a 2，（a 0, a 1)
方法总结
（1）构造函数法：要点是利用函数的单调性，数的特征是同底不同 指（包括可以化为同底的），若底数是参变量要注意分类讨论。比 较两个同底数幂的大小时,可以构造一个指数函数,再利用指数函数的 单调性即可比较大小. （2）搭桥比较法：用别的数如0或1做桥。数的特征是不同底不同指。 比较两个不同底数幂的大小时,通常引入第三个数作参照.
分析：(1)因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数 的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算 倍增期.(2)要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与 倍增期的数量关系. 解：(1)观察图,发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年 约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年， 所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年.(2)因为倍增期为 20年，所以每经过20年，人口将翻一番.因此，从80万人开始， 经过20年，该城市人口大约会增长到160万人.
x
用描点法作函数y (1)x 和y (1)x的图象.
函
2
3
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
数 y=2-x … 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 …
图 y=3-x … 27 9 3 1 1/3 1/9 1/27 …
象 y (1)x 2
特 征
y (1)x 3
y
O
思考：若不用描点法， 这两个函数的图象又该 如何作出呢？
底数a由大变小时函数图像在第一象限内按＿＿顺＿＿
时针方向旋转.
问题三：图象中有哪些特殊的点？
答：四个图象都经过点＿(＿0＿,1＿) ．
a>1
指数函数的定义图象及性质_图文
一张报纸折叠39次，其高度可到达月球
对折次数 1
2
3
所得纸 的层数
2
4＝
8＝
函数关系是
在以下关系中：
底为常数
指数为自变量
形如 的函数叫做指数函数.
幂为函数
其中 为自变量，定义域为
探究：为什么要规定
探讨:若不满足上述条件
会怎么样?
（1）若 则当x > 0时，
当x≤0时, 无意义.
（2）若
则对于x的某些数值，可使
在同一坐标系中分别作出如下函数的图像：
x
… -3 -2 -1 -0.5 0 0.5 1 2 3 …
… 0.13 0.25 0.5 0.71 1 1.4 2 4 8 …
…8 4 2
1.4 1 0.71 0.5 0.25 0.13 …
x
… -2.5 -2 -1
-0.5 0
0.5 1 2
2.5 …
… 0.06 0.1 0.3 0.6 1 1.7 1 0.6 0.3 0.1 0.06 …
()
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
性质
一般地，函数 y =a x （a >0,a ≠ 1, x ∈R) 具有如下的性质
（1）定义域是实数集R， 值域是正实数集；
y
y = ( )x y = ( )x
y = 3x y = 2x
（2）函数的图象都通过点( 0, 1 ).
（3）当a > 1时，这个函数是增 函数，当x > 0 ,y > 1 ,当x < 0 时 ， 0 < y <1 ;
指数函数的性质与图像
指数函数的性质与图像
指数函数图像及性质如下：
1、a＞1，图像单调递增，走势是同为增函数时，底大近轴，对称性是底数互为倒数时，图像关于y轴对称。
2、0＜a＜1，图像单调递减，走势是同为减函数时，底小近轴，对称性是底数互为倒数时，图像关于y轴对称。
3、指数函数的自变量范围是（-∞，+∞），因变量范围是（0,+∞）；当指数函数自变量范围在（-∞，0）时，因变量输出范围为（0，1）。
指数函数的判定
在理解指数函数的概念时，应抓住定义的“形式”像y=2*3^x，y=2^1/x，y=3^根号x-2，y=(2^x)-1 等函数均不符合形式y=a^x(a>0，且a不等于1)，因此它们都不是指数函数。
指数函数的定义表达式中，在ax前的系数必须是数1，自变量x必须在指数的位置上，且不能是x的其他表达式，否则，就不是指数函数。
指数函数及其图像与性质_图文
小试牛刀
例2.判断下列函数在其定义域上的单调性
(1)y=4x; 解：
知识积累：
y
指数函数y=2x的性质 x
（1）函数的定义域为R，值域为(0，∞); （2）图像都在x轴的上方，向上无限延伸，
向下无限接近x轴； （3）函数图象都经过（0,1）点； （4）函数图像自左至右呈上升趋势。
动手试一试
列表：
x
…
-3
…
8
图像：
指数函数y= 的图像
-2
-1.5
-1
-0.5
指数函数及其图像与性质_图文.ppt
直观感知：核裂变
如果裂变次数为x ，裂变后的原子核为 y，则y与x之间的关 系是什么？
y=2x
你还能举出一些类似的例子吗？ （如细胞分裂……）
归纳结论
指数函数的概念：
一般地，设a>0且a≠1，形如y=ax的函数称为指数函数。 定义域：R
学以致用
问题：对于其它a的值，指数函数的图像又 是怎样的呢？
及时复习~~积沙成塔
指数函数的图像和性质：
y=ax
a
a>1
0<a<1
图
像
性 质
(1)函数值都是正的； (2)x=0时，y=1； (3)当x>0时，y>1;当x<0时， 0<y<1； (4)f(x)=2x在（-∞，+ ∞）上是增函数。
（1）函数值都是正的； （2）x=0时，y=1； （3）当x>0时， 0<y<1 ;当x<0时， y>1 ； （4）f(x)=2x在（-∞，+ ∞）上是增函数。
0
0.5
指数函数图像和性质_课件
0.4
2.5
10 20.2
比较指数型值常常 借助于指数函数的图像 或直接利用函数的单调性 或选取适当的中介值（常用的特殊值是0和1），再利用单调性比较大小
a>1
图
6
0<a<1
6
5
5
4
4
3
3
象
1
-4 -2
2
2
1
1
1
-4
-2
0
-1
2
4
6
0
-1
2
4
6
1.定义域：R
性
2.值域：（0，+∞） 3.过点（0，1），即x=0时，y=1
x
x
-2
-1
0 1
1 2
2 4
3 8
2
1 2 x
1 8 8 1 27 1 27
1 4
4
1 2 2 1 3 3
1
1 1
3
1 3
x
1 9 9
1 2 3 1 3
1 4 9 1 9
1 8 27 1 27
y
1 y 2
x
1 y 3
x
y 3x
x>0时，0<y<1 x<0时， y>1 在R上是减函数
比较下列各题中两个值的大小： ①
1 .7
2 .5
，
1.7
3
解 ：利用函数单调性, 1.7 2.5 与 1.7 3 的底数是1.7，它们可以看成函数 y= 1.7 x 当x=2.5和3时的函数值；
5
；
因为1.7>1，所以函数y= 1.7 在R上是增函数， 而2.5<3，所以，
指数函数的图像和性质
指数函数的图像和性质
指数函数是一种特殊函数，其定义域为实数集合R，值域也是实数集合R。
指
数函数的图像是一条弧线，朝右上方抛物线式延伸，底点在坐标原点处。
其图像如下所示：
指数函数具有以下性质：
一、指数函数是定义在实数集合上的单值函数，其图象是一条朝右上方延伸的
弧线，且在坐标原点处有底点，函数值随x增大而增大，函数图像上每一点到底点的距离都不变；
二、指数函数对任何正实数都有定义，指数函数f(x)=a^x（a为正实数）的图
谱具有单调性，当a的值不同时，指数函数的函数图象具有相似的特点；
三、指数函数具有不变性，不论x的取值范围如何，函数的函数图象仍不改变；
四、指数函数的切线斜率随着x的增大而增大；
五、指数函数的斜率在同一条线上增加或减少；
六、不论指数函数是升幂函数还是降幂函数，其图象都是从坐标原点开始，一
条朝右上方延伸的弧线。
以上就是指数函数的图像与性质，根据以上描述，指数函数的函数图像与以及
其性质可以得出：指数函数是从坐标原点开始，一条朝右上方延伸的弧线，有着单调性，不变性，切线斜率随着x的增大而增大等性质。
指数函数的图像与性质
细胞分裂问题：
任何有机体都是由细胞作为基本单位组成 的，每个细胞每次分裂为2个，则1 个这样的 细胞第一次分裂后变为2个细胞，第2次分裂 后就得到4个细胞，第3次分裂后就得到8个细 胞，…。那么，一个这样的细胞分裂x次后， 得到的细胞个数y与x函数关系是什么？
观 察 细 胞 分 裂 过 程 图 ：
0 0.1 1, y 0.1x 是减函数， 且-0.1 0.1,
0.10.1 0.10.1
巩固练习（P107习题第5题）
5、 比较下列各题中两个值的大小：
(1)30.8
30.7
(2)0.ห้องสมุดไป่ตู้50.2
0.750.2
(3)0.91
0.91.1
(4)1.12
y 1 ax
自变量(R)
大于0，不等于1的常数
y 1 ax
练习：下列哪些函数是指数函数?
√ (1)y=2x,
√ (2)y=(1/2)x, × (3)y=x3,
× (4)y=2·3x, × (5)y=(-10)x, × (6)y=3x+1.
例题解释
例1 已知指数函数f (x) 2x，求f (2), f (1), f (0), f (1)的值。
例题解释
例3 利用指数函数的单调性，比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.60.1与1.60.2
(2)0.70.1与0.70.2
解：(1)考察函数y 1.6x
1.6 1, y 1.6x 是增函数， 且0.1 0.2,
1.60.1 1.60.2
(2)考察函数y 0.7x
解：f (2)
22
1 22
1 4
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3. 运算法则
a a ? m n a a ? n m (a ) ?
m n
a b ?
n n
指数函数
1.定义
x y=a （a>0且a≠1），
x∈R
1.图像和性质
O
1
x y=a （a>0且a≠1）
1
1
O
a 1
O
0 a 1
1.比较大小
4 (1) ____0 5
o
5.解不等式
(1) 2 2
x x
2
2x
x2
x
O x 2 x
x 2
(2) 0.2 0.2 2x x 2
x 22 x
5.解不等式
1 2x 5 (3) 2 2 2 32
2x
1 (4) 3
2 x 1
1 243 2 x 1 5 1 1 3 3
(3) 6 ____1
(4) 10 __ 1
1 2
3
1
O
3
1
1 2
3.判断x的正负
x
(1) 2 1.5, x __ 0
(2) 2
x
0.4, x __ 0
1 .5 1
O
1
0 .4
O
3.判断x的正负
x
(3) 0.25 5, x __ 0
(4) 0.25 0.4, x __ 0
(2) 5 ____ 0
1
3
1
O
1
3
1 O
1.比较大小
(3) 7 ____ 0
0
1
O
1
3 (4) __ 0 100
3
3O
2.比较大小
2 (1) ____1 3
2
1
O
1
2
7 (2) __1 9
4
4O
2.比较大小
6.判定a的取值范围
(1) a a
3
3 4
3.1
3 3.1 减 0 a 1
3 4 增 4 3
( 2) a
a
4 3
O
3 3 .1
a 1
4 3O 3 4
6.判定a的取值范围
(3) a
( 4) a
5
a
3 4
a
5 4
7.比较m、n的大小 m n (1) 0.66 0.66
四. 指数函数与对数函数
• • • • 指数 指数函数 对数 对数函数
1.
2.
n
n
a
0 ?
n
1.根式
? （n N且n 1 ）
n n n n
3. n为奇数，a ? n为偶数， a ?
2. 有理指数幂的概念 n 0
a ?
a ? N
m n
?
a
n
m n
?
a ?
a ?
mn
(2) 6.6 6.6
m
n
O
n m
mn
mnO
P101. 练习5 P102. A2~5
作 业
石器时代2.5哪个服人多 http://www.shiqi.so/ 石器时代2.5哪个服人多
容凌娢一副视死如归的样子，“士可杀，不可辱！要杀要刮随你便，总比在这里干活还被人欺负要好。”“干嘛这么激动，我没有生气 啊。”“没有生气还把我搞到这里来刷碗……”慕容凌娢的肚子不争气的叫了起来……(古风一言)点朱砂，笔书华，戎马难忘镜中花。第026章 风俗习惯不同而已“咕噜噜……”“还没吃东西吗？”“这不是废话嘛！”慕容凌娢没好气的说。“给，专门给你留的。”百蝶从袖子中拿出 了一个小布袋，递给了慕容凌娢，“应该还是热着的。”慕容凌娢打开袋子，里面是两个还冒着淡淡热气的馒头。“就只有这个吗？”慕容凌 娢看百蝶的眼神完全变了，她已经被百蝶的食物“驯化”了。“人不要太贪得无厌了，你还想要什么？”“有木有老干妈？辣条也行啊。”慕 容凌娢狼吞虎咽地吃着馒头，还在死皮赖脸的讨价还价。“干吃馒头很不好吃啊。”“那你怎么还吃？”“因为饿。”“你慢慢吃吧，我先回 去了。”百蝶看了看放在慕容凌娢身旁的盘子，“那些被打碎的盘子我就不在追究了，至于其它的盘子和碗……今晚必须刷完。”“嗯……纳 尼？”慕容凌娢赶忙将嘴里的馒头咽了下去，差点没有噎出眼泪来。“百蝶姐姐你……这真的不是我打碎的……”百蝶丝毫不理会慕容凌娢的 解释，头也不回的走了，独自留慕容凌娢在风中凌乱。“笨蛋，白痴，心机girl……”慕容凌娢不停地小声嘀咕，“居然还分楼主，层主，不 就是变向的中二病吗……如果你是楼主，我还是吧主呢！”说归说，慕容凌娢还是得老老实实的刷碗。……(第二天)“天哪，那个小女孩居然 真的把碗给刷完了。”“估计是在这里待了一晚上吧。”“真是太不可思议了！”“……”慕容凌娢依在墙边已经睡着了，根本就没有听见这 些人的议论。“白绫，白绫，醒醒啊！”若曦走过去晃了晃慕容凌娢。“唔……让我再睡一会……”慕容凌娢小声哼唧，以为自己还在家里， 想要再赖会儿床。“白绫，赶快起来吧！”若曦也没有什么办法，只好推了慕容凌娢一下。慕容凌娢刚想要再次入睡，结果身子一歪，倒了下 来。“啊！”慕容凌娢被突然惊醒了，“是谁推我的！”“白绫，对不起呀。”若曦抱歉的说道，“我看你怎么叫也叫不醒，所以就推了你一 下。没摔疼吧？”“没……没事。”慕容凌娢不好意思的笑了笑，“我还以为今天是星期天呢……”“星期天？什么意思？”“这个……这个 是我们那里计算天数的方法。”“原来白绫你不是这里的人啊！”若曦说道，“怪不到感觉你说的话会有些奇怪呢。”“呵呵，是呀，毕竟风 俗习惯都不太一样呢。”慕容凌娢随即编了一个谎。(古风一言)绾青丝，颜影依，绣针可绘情相思。第027章 不敢再想下去“白绫，对不起 呀。”若曦抱歉的
x
5
1
O
1
0 .4
O
P100. 2,1,3
作 业
4.比较大小
(1) ( 2)
1 2 5 1 3 ____ 5
1 3 ____ 0.5
1
O
1 2 0.5
1 1 3 2
1
1 1 2 3
4.比较大小
(3)
2 3 10
____1
3
2 3
(4)
2 3 10
____1