福建省厦门市2014届高三3月质检检查数学理试题(WORD版)

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福州市3月质检数学理试题扫描版含答案

2014年福州市高中毕业班质量检测数学(理科)试卷参考答案及评分标准1—10 DABCA DCBBD11.96 12.1/3 13.0 14.18+32 cm 2 15.804216. 解:(I)甲厂抽取的样本中优等品有7件,优等品率为7.10 乙厂抽取的样本中优等品有8件,优等品率为84.105=………………4分(II)ξ的取值为1，2，3. ………………5分12823101(1),15C C P C ξ⋅===………………7分21823107(2),15C C P C ξ⋅===………………9分 157)3(3100238=⋅==C C C P ξ………………11分所以ξ的分布列为………………12分故17712123.1515155E ξξ=⨯+⨯+⨯=的数学期望为（）………………13分17. 解:(I)2()2cos 2f x x x =+=cos 221x x +=2sin 216x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭……………2分令-222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得322322ππππ+≤≤-k x k 即63ππππ+≤≤-k x k …………4分[0,]2x π∈,∴f (x )的递增区间为]6,0[π………………6分(Ⅱ)由21)62sin(2)(=++=πC C f ,得21)62sin(=+πC而()0,C π∈,所以132,666C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,所以5266C ππ+=得3C π=8⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分因为向量)sin ,1(A =与向量)sin ,2(B =共线，所以sin 1sin 2A B =，由正弦定理得:21=b a ①……………10分由余弦定理得:3cos2222πab b a c -+=,即a 2+b 2－ab =9 ②………12分由①②解得32,3==b a ……………13分18. 解:(Ⅰ)证明：∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点,∴EF //BC又∠ABC =90°∴AE ⊥EF ，∵平面AEFD ⊥平面EBCF ， ∴AE ⊥平面EBCF ，AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，如图建立空间坐标系E ﹣xyz ．……………2分翻折前,连结AC 交EF 于点G,此时点G 使得AG+GC 最小. EG =12BC =2,又∵EA=EB =2．则A (0,0,2),B (2,0,0),C (2,4,0), D (0,2,2),E (0,0,0),G (0,2,0), ∴=(﹣2,2,2),CG=(-2,-2,0)∴BD CG ⋅=(﹣2,2,2)(-2,-2,0)=0，∴BD ⊥CG ………………5分(Ⅱ)解法一：设EG=k ,AD ∥平面EFCB ,∴点D 到平面EFCB 的距离为即为点A 到平面EFCB 的距离.S 四形GBCF =12[(3- k )+4]×2=7-k D GBCF V S AE 四形GBCF -\=鬃13=2(7)3k -又B ADGE ADGE V S BE 四形-= 13=2(2)3k +,B ADGE D GBCF V V --=2,∴4(2)3k +=2(7)3k -,1k ∴=即EG =1…………………8分设平面DBG 的法向量为1(,,)n x y z =,∵G (0,1,0),∴(2,1,0),BG =- BD =(－2,2,2),则 1100n BD n BG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即222020x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩ 取x ＝1,则y ＝2,z ＝－1,∴(1,2,1)n =-…………………10分面BCG 的一个法向量为2(0,0,1)n =则cos<12,n n>=1212||||n n n n =…………………12分由于所求二面角D-BF-C 的平面角为锐角,所以此二面角平面角的余弦值为6……………………13分 (Ⅱ)解法二:由解法一得EG =1,过点D 作DH ⊥EF ,垂足H ,过点H 作BG 延长线的垂线垂足O ，连接OD. ∵平面AEFD ⊥平面EBCF,∴ DH ⊥平面EBCF ，∴OD ⊥OB,所以DOH ∠就是所求的二面角D BG C --的平面角. …………9分由于HG =1,在∆OHG 中5OH =,又DH=2，在∆DOH 中tan DHDOH OH∠==分所以此二面角平面角的余弦值为6.…………13分19. 解: (Ⅰ)设动圆圆心M (x ,y ),依题意点M 的轨迹是以(1,0)为焦点,直线x =－1为准线的抛物线………2分其方程为y 2=4x .- …………3分(Ⅱ)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由题意得x 1≠x 2(否则αβπ+=)且x 1x 2≠0,则4,4222211y x y x == 所以直线AB 的斜率存在,设直线AB 的方程为y=kx+b , 则将y=kx+b 与y 2=4x 联立消去x ,得ky 2－4y +4b =0 由韦达定理得kby y k y y 4,42121==+-------※…………6分 ①当βα+=2π时,tan tan 1αβ⋅=所以121212121,0y y x x y y x x ⋅=-=,…………7分所以y 1y 2=16,又由※知:y 1y 2=kb4所以b =4k ;因此直线AB 的方程可表示为y=kx+4k ,所以直线AB 恒过定点(－4,0). …………8分②当αβ+为定值(0)θθπ<<时.若βα+=2π,由①知, 直线AB 恒过定点M (－4,0) …………9分当2πθ≠时,由αβθ+=,得tan tan()θαβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=16)(42121-+y y y y将※式代入上式整理化简可得:k b 44tan -=θ,所以θtan 44+=k b ,…………11分此时,直线AB 的方程可表示为y=kx +θtan 44+k ,所以直线AB 恒过定点)tan 4,4(θ-…………12分所以当2πθ=时,直线AB 恒过定点(－4,0)., 当2πθ≠时直线AB 恒过定点)tan 4,4(θ-.…………13分20. 解:(I)f (x )的定义域为),1(+∞-a. 其导数'()a xf x a ax x a=-=-++2111………1分 ①当0a <时,'()0f x >,函数在),1(+∞-a上是增函数;…………2分 ②当0a >时,在区间(,)a-10上,'()0f x >;在区间(0,+∞)上,'()0f x <．所以()f x 在(,)a-10是增函数,在(0,+∞)是减函数. …………4分 (II)当0a <时, 取1x e a=-，则11()1()2()011f e a e a ae e e a a a a-=--=->-=->, 不合题意.当0a >时令()()h x ax f x =-,则1()2ln()h x ax x a=-+………6分问题化为求()0h x >恒成立时a 的取值范围.由于'12()12()211a x a h x a x x a a+=-=++ ………7分 ∴在区间(,)a a --112上,0)('<x h ;在区间),21(+∞-a 上,0)('>x h . ()h x ∴的最小值为1()2h a -,所以只需1()02h a->即1112()ln()022a a a a ⋅---+>,1ln 12a ∴<-,2ea ∴>………9分(Ⅲ)由于当0a <时函数在),1(+∞-a上是增函数,不满足题意,所以0a >构造函数:()()()g x f x f x =--(10x a-<<) 11()ln()ln()2g x x x ax a a∴=--++………11分则2'22112()20111ax g x a x x x a a a=-+=<-+- 所以函数)(x g 在区间1(,0)a -上为减函数. 110x a-<<,则1()(0)0g x g >=, 于是()()f x f x -->110,又1()0f x =,()()f x f x ->=120,由()f x 在,)+∞（0上为减函数可知21x x >-.即120x x +>…………………14分21. (1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换解: (Ⅰ)法一:依题意,⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧-=-=+42,2236d c d c d c .⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4233A . ………… 2分所以⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-213121321A…………4分法二:033)3(0332=-++-=----c d d dcλλλλ即的两个根为6和1,故d =4,c =2. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴4233A …………2分所以⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-213121321A-…………4分 (Ⅱ)法一:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-41=2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11－⎪⎪⎭⎫⎝⎛-23…………5分 A 3⎪⎪⎭⎫⎝⎛-41=2×63⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11－13⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛434429…………7分法二:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1308612987423322142115;221421154233423332A A A 3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-41=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛434429411308612987…………7分 (2)(本小题满分7分)选修4-4：坐标系与参数方程.解:(Ⅰ)(曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x , 直线l 的普通方程x －y －2=0. ………..4分(Ⅱ)直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y t x 224222(t 为参数), 代入y 2=4x , 得到0482122=+-t t ,设M ,N 对应的参数分别为t 1,t 2 则048,2122121>==+t t t t所以|PM |+|PN|=|t 1+t 2|=212…………7分(3) )(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲解:(Ⅰ)法1: f (x )=|x －4|+|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|=1,故函数f (x )的最小值为1. m =1. …………4分法2:⎪⎩⎪⎨⎧<-<≤≥-=3,2743,14,72)(x x x x x x f .------------------1分x ≥4时,f (x )≥1;x <3时,f (x )>1,3≤x <4时,f (x )=1,----------------3分故函数f (x )的最小值为1. m =1. …………4分(Ⅱ)由柯西不等式(a 2+b 2+c 2)(12+22+32)≥(a +2b +3c )2=1----------5分故a 2+b 2+c 2≥141-…………6分当且仅当143,71,141===c b a 时取等号…………7分。

福建省福州市2014届高三质检数学理试题 Word版含解析

2014年福州市高中毕业班质量检测理科数学试卷第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)lg },{(,)}A x y y x B x y x a ====，若A B =∅，则是实数a 的取值范围是（）A. 1a <B. 1a ≤C. 0a <D. 0a≤2.“实数1a =”是“复数(1)ai i +（,a R i ∈”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不是充分条件又不是必要条件3.执行如图所示的程序框图,输出的M 值是（）A ．2B ．1-C ．12D ．2- 【答案】B4.命题“x R ∃∈，使得()f x x =”的否定是（） A. x R ∀∈,都有()f x x = B.不存在x R ∈,使()f x x ≠ C. x R ∀∈都有()f x x ≠ D. x R ∃∈使()f x x ≠5.已知等比数列{}n a 的前n 项积记为n ∏，若3488a a a =，则 9∏= ( ) A.512 B.256 C.81 D.166.如图，设向量(3,1),(1,3)OA OB ==,若OC OA OB λμ=+,且1λμ≥≥,则用阴影表示C 点所有可能的位置区域正确的是 ( )BAxxx7.函数()f x 的部分图像如图所示，则()f x 的解析式可以是 ( ) A. ()sin f x x x =+ B. cos ()xf x x=C.()cosf x x x = D. 3()()()22f x x x x ππ=--x考点：1.函数的图像.2.分类讨论.3.列举排除的数学思想.4.归纳化归的数学思想.8.已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点一点P 与点2F 关于直线bxy a=对称，则该双曲线的离心率为（） A.2B.C.D. 29.若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )=f (x ), f (2－x )=f (x ),且当x ∈[0,1]时，其图象是四分之一圆(如图所示)，则函数H (x )= |x e x|－f (x )在区间[－3,1]上的零点个数为 ( )A.5B.4C.3D.2x【答案】B 【解析】试题分析：因为定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)=f(x)，所以函数()f x 为偶函数，又因为f(2－x)=f(x)，所以函数()f x 关于直线1x =对称.因为函数H(x)= |xe x|－f(x)在区间[－3,1]上的零点即等价求方程()x f x xe =的解的个数.等价于函数x y xe =和函数()y f x =的图像的交点个数，由图象可得共有4个交点.故选B.考点：1.函数的性质.2.数形结合的思想.3.函数图像的正确表示及绘制.10.已知函数32()f x x bx cx d =+++（b 、c 、d 为常数），当(0,1)x ∈时取极大值，当(1,2)x ∈时取极小值，则221()(3)2b c ++-的取值范围是（） A.(2B. C. 37(,25)4D. (5,25)第Ⅱ卷（共100分）二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.11.5名同学站成一排，其中甲同学不站排头，则不同的排法种数是______________（用数字作答）.12.如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ，则点M 恰好取自阴影部分的概率为________.14.已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的表面积为____________.俯视图侧视图正视图15.已知函数1(1)sin 2,[2,21)2(),()(1)sin 22,[21,22)2nn x n x n n f x n N x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=∈⎨⎪-++∈++⎪⎩，若数列{}m a 满足*()()2m ma f m N =∈,且{}m a 的前m 项和为m S ，则20142006S S -=_____________. 【答案】8042 【解析】试题分析：20142006S S -=20072008200920102011201220132014a a a a a a a a +++++++.因为20072007()250122a f ==⨯+，2008(1004)2502a f ==⨯，20092009()250222a f ==+⨯，2010(1005)125022a f ==-+⨯+，2011250222a =-+⨯+，20122503a =⨯，201325032a =+⨯，2014125032a =-+⨯+.所以20142006S S -=8042.考点：1.分段函数的问题.2.数列的思想.3.三角函数的周期性.4.分类列举的数学思想.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.(本小题满分13分)在对某渔业产品的质量调研中，从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件，测量该产品中某种元素的含量（单位：毫克）.下表是测量数据的茎叶图：21006542098874286438210乙地甲地规定：当产品中的此种元素含量15≥毫克时为优质品.（Ⅰ）试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率（优质品件数/总件数）；（Ⅱ）从乙地抽出的上述10件产品中，随机抽取3件，求抽到的3件产品中优质品数ξ的分布列及数学期望()E ξ.(II)ξ的取值为1，2，3. 12823101(1),15C C P C ξ⋅===21823107(2),15C C P C ξ⋅===157)3(3100238=⋅==C C C P ξ 所以ξ的分布列为故的数学期望为123.1515155E ξ=⨯+⨯+⨯=（）考点：1.茎叶图的知识.2.列举对比的数学思想.3.数学期望的计算.4.概率知识.17.（本小题满分13分）已知函数2()2cos cos ().f x x x x x R =+∈.（Ⅰ）当[0,]2x π∈时，求函数)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）设ABC ∆的内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，且3,()2,c f C ==若向量)sin ,1(A m =与向量)sin ,2(B n =共线，求b a ,的值.令-222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，18.(本小题满分13分) 如图，直角梯形ABCD 中，090,24ABC AB BC AD ∠====,点,E F 分别是,AB CD 的中点，点G 在EF 上，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF .（Ⅰ）当AG GC +最小时，求证：BD CG ⊥;（Ⅱ）当2B ADGE D GBCF V V --=时，求二面角D BG C --平面角的余弦值.EB【答案】（Ⅰ）参考解析；（Ⅱ）6【解析】试题分析：（Ⅰ）因为当AG GC +最小时，及连结AC 与EF 的交点即为G 点，通过三角形的相似可得到EG 的长度.需要证明直线与直线垂直，根据题意建立空间直角坐标系，即可得到相关各点的坐标，从而写出相(Ⅱ)解法一：设EG=k ,AD ∥平面EFCB ,∴点D 到平面EFCB 的距离为即为点A 到平面EFCB 的距离.S 四形GBCF =12[(3- k )+4]×2=7-k D GBCF V S AE 四形GBCF -\=鬃13=2(7)3k -又B ADGE ADGE V S BE 四形-=?13=2(2)3k +,B ADGE D GBCF V V --=2,∴4(2)3k +=2(7)3k -,1k ∴=即EG =1设平面DBG 的法向量为1(,,)n x y z =,∵G (0,1,0),∴(2,1,0),BG =-BD =(－2,2,2),则 1100n BD n BG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222020x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩19.(本小题满分13分) 已知动圆C 过定点（1,0），且与直线1x =-相切. （Ⅰ）求动圆圆心C 的轨迹方程；（Ⅱ）设,A B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β,①当2παβ+=时，求证直线AB 恒过一定点M ；②若αβ+为定值(0)θθπ<<，直线AB 是否仍恒过一定点，若存在，试求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.20.(本小题满分14分)已知函数1()ln()f x x axa=+-,其中a R∈且0a≠（Ⅰ）讨论()f x 的单调区间；（Ⅱ）若直线y ax =的图像恒在函数()f x 图像的上方，求a 的取值范围；（Ⅲ）若存在1210,0x x a-<<>,使得12()()0f x f x ==,求证：120x x +>. 【答案】（Ⅰ）参考解析；（Ⅱ）2ea >；（Ⅲ）参考解析【解析】()h x ∴的最小值为1()2h a -,所以只需1()02h a -> 即1112()ln()022a a a a ⋅---+>,1ln 12a ∴<-,2ea ∴>(Ⅲ)由于当0a <时函数在),1(+∞-a上是增函数,不满足题意,所以0a >21.本小题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则安所做的前两题计分.作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应提好右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中. （1）(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换. 已知矩阵3A c ⎛= ⎝3d ⎫⎪⎭，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α⎛⎫= ⎪⎭⎝，属于特征值1的一个特征向量232α⎛⎫= ⎪-⎭⎝.（Ⅰ）求矩阵A 的逆矩阵；（Ⅱ）计算314A ⎛-⎫⎪⎭⎝ 【答案】（Ⅰ）⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-213121321A;（Ⅱ）429434⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：（Ⅰ）因为已知矩阵3A c ⎛= ⎝ 3d ⎫⎪⎭，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α⎛⎫= ⎪⎭⎝，属于特征值1的一个特征向量232α⎛⎫= ⎪-⎭⎝.通过特征向量与特征值的关系，可求矩阵A 中的相应参数的值，再通过逆矩阵的含义可求出矩阵A 的逆矩阵.同样可以从通过特征根的方程方面入手，求的结论.（2）(本小题满分7分)选修4-4：坐标与参数方程.在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=，直线l 的参数方程为:2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），两曲线相交于,M N 两点.（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若(2,4)P --求PM PN +的值.（3）(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲设函数()43f x x x =-+-, （Ⅰ）求()f x 的最小值m ；（Ⅱ）当23(,,)a b c m a b c R ++=∈时,求222a b c ++的最小值. 【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）114【解析】试题分析：（Ⅰ）因为()43f x x x =-+-,所以通过绝对值的基本不等式a b a b +≥-，即可得到最小值.另外也可以通过分类关键是去绝对值，求出不同类的函数式的最小值，再根据这些最小值中的最小值确定所求的结论.亿折网一折网。

福建省泉州市2014届普通中学高中毕业班3月质量检查试卷理数 Word版含答案.pdf

泉州市2014届高三3月质检数学试卷（理科）一、本大题共10小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数z=（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点在（） 2．已知集合A={x|x+1＜0}，B={x|3x＞0}，那么集合A∩B（） A．{x|x＜1}B．{x|x＜3} C．{x|1＜x＜3}D．? 3．某程序的框图如图所示，运行该程序时，若输入的x=0.1，则运行后输出的y值是（） 4．在二项式（2x+3）n的展开式中，若常数项为81，则含x3的项的系数为（） 5．已知等比数列{an}的首项a1=1，公比q≠1，且a2，a1，a3成等差数列，则其前5项的和S5=（）已知某产品连续4个月的广告费用xi（千元）与销售额yi（万元），经过对这些数据的处理，得到如下数据信息： ①xi=18，yi=14； ②广告费用x和销售额y之间具有较强的线性相关关系； ③回归直线方程=x+中的=0.8（用最小二乘法求得）．那么，当广告费用为6千元时，可预测销售额约为（） 7．已知l，m为不同的直线，α，β为不同的平面，如果l?α，且m?β，那么下列命题中不正确的是（） 8．在如图所示的棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，若点P是正方形BCC1B1的中心，则三棱锥PAB1D1的体积等于（） B． C． D． 9．某数学爱好者设计了一个食品商标，如果在该商标所在平面内建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则商标的边缘轮廓线AOC恰是函数y=tan的图象，边缘轮廓线AEC恰是一段所对的圆心角为的圆弧．若在图中正方形ABCD内随机选取一点P，则点P落在商标区域内的概率等于（） B． C． D． 10．（2014?泉州一模）如图，对于曲线Ψ所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得α≥∠AOB对于曲线Ψ上的任意两个不同的点A、B恒成立，则称角α为曲线Ψ上的任意两个不同的点A、B恒成立，则称角α为曲线Ψ的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线Ψ的相对于点O的“确界角”．已知曲线C：y=（其中e=2.71828…是自然对数的底数），O为坐标原点，则曲线C的相对于点O的“确界角”为（） B． C． D．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填在答题卷的相应位置． 11．（4分）（2014?泉州一模）（x2+sinx）dx=_________　． 12．（4分）（2014?泉州一模）若对满足不等式组的任意实数x，y，都有2x+y≥k成立，则实数k的最大值为　_________　． 13．（4分）（2014?泉州一模）已知直线l过双曲线C：3x2y2=9的右顶点，且与双曲线C的一条渐近线平行．若抛物线x2=2py（p＞0）的焦点恰好在直线l上，则p=_________　． 14．（4分）（2014?泉州一模）已知：△AOB中，∠AOB=90°，AO=h，OB=r，如图所示，先将△AOB绕AO所在直线旋转一周得到一个圆锥，再在该圆锥内旋转一个长宽都为，高DD1=1的长方体CDEFC1D1E1F1．若该长方体的顶点C，D，E，F都在圆锥的底面上，且顶点C1，D1，E1，F1都在圆锥的侧面上，则h+r的值至少应为　_________　． 15．（4分）（2014?泉州一模）定义一种向量运算“?”：?=（，是任意的两上向量）．对于同一平面内的向量，，，，给出下列结论： ?=?；λ（）=（λ）（λR）；（+）=?+? ④若是单位向量，则||≤||+1 以上结论一定正确的是　_________　．（填上所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共5小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（13分）（2014?泉州一模）某校高三年段共有1000名学生，将其按专业发展取向分成普理、普文、艺体三类，如图是这三类的人数比例示意图．为开展某项调查，采用分层抽样的方法从这1000名学生中抽取一个容量为10的样本．（Ⅰ）试求出样本中各个不同专业取向的人数；（Ⅱ）在样本中随机抽取3人，并用ξ表示这3人中专业取向为艺体的人数．试求随机变量ξ的数学期望和方差． 17．（13分）（2014?泉州一模）已知函数f（x）=2sin?cos2cos2+（ω＞0），其图象与直线y=2的相邻两个公共点之间的距离为2π．（Ⅰ）若x∈[0，π]，试求出函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）△ABC的三个内角A，B，C及其所对的边a，b，c满足条件：f（A）=0，a=2，且b，a，c成等比数列．试求在方向上的抽影n的值． 18．（13分）（2014?泉州一模）已知M（0，），N（0，），G（x，y），直线MG与NG的斜率之积等于．（Ⅰ）求点G的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）过点P（0，3）作一条与轨迹Γ相交的直线l．设交点为A，B．若点A，B均位于y轴的右侧，且=，请求出x轴上满足|QP|=|QB|的点Q的坐标． 19．（13分）（2014?泉州一模）设函数f（x）=xn+ax+b（a，b∈R，n∈N*），函数g（x）=sinx．（Ⅰ）当a=b=n=3时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a=b=1，n=2时，求函数h（x）=g（x）f（x）的最小值；（Ⅲ）当n=4时，已知|f（x）|≤对任意x∈[1，1]恒成立，且关于x的方程f（x）=g（x）有且只有两个实数根x1，x2．试证明：x1+x2＜0． 20．（14分）（2014?泉州一模）几何特征与圆柱类似，底面为椭圆面的几何体叫做“椭圆柱”．图1所示的“椭圆柱”中，A′B′，AB和O′，O分别是上、下底面两椭圆的长轴和中心，F1、F2是下底面椭圆的焦点．图2是图1“椭圆柱”的三视图及其尺寸，其中俯视图是长轴在一条水平线上的椭圆．（Ⅰ）若M，N分别是上、下底面椭圆的短轴端点，且位于平面AA′B′B的两侧． ①求证：OM∥平面A′B′N； ②求平面ABN与平面A′B′N所成锐二面角的余弦值；（Ⅱ）若点N是下底面椭圆上的动点，N′是点N在上底面的投影，且N′F1，N′F2与下底面所成的角分别为α、β，请先直观判断tan（α+β）的取值范围，再尝试证明你所给出的直观判断．本题有21、22、23三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分7分．如果多做，则按所做的前两题记分．【选修4-2：矩阵与变换】 21．（7分）（2014?泉州一模）在平面直角坐标系xOy中，线性变换σ将点（1，0）变换为（1，0），将点（0，1）变换为（1，2）．（Ⅰ）试写出线性变换σ对应的二阶矩阵A；（Ⅱ）求矩阵A的特征值及属于相应特征值的一个特征向量．【选修4-4：坐标系与参数方程】 22．（7分）（2014?泉州一模）平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的方程为x2+y2=4．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l和圆C的交点的极坐标（要求极角θ∈[0，2π））【选修4-5：不等式选讲】 23．（2014?泉州一模）设函数f（x）=+的最大值为M．（Ⅰ）求实数M的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|x1|+|x+2|≤M的解集．。

福建高三3月质量检查理科数学试题

厦门市2013届高三质量检查数学（理科）试卷注意事项：1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名；2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共50分）一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.1．已知全集U R =，集合{}3A x x =<，{}20B x x =-≥，则U AC B 等于（）A ．(,3]-∞B ．(,3)-∞C ．[2,3)D ．(3,2]-2. 双曲线2214x y -=的渐近线方程为（） A ．2y x =± B ．4y x =± C ．12y x =±D ．14y x =±3. 某雷达测速区规定：凡车速大于或等于80 km/h 的汽车视为“超速”，并将受到处罚．如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有（）A ．20辆B ．40辆C ．60辆D ．80辆 4. “abe e >”是22log log a b >”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.函数()sin ()f x x x x =+∈R （）A.是偶函数且为减函数B. 是偶函数且为增函数C.是奇函数且为减函数D. 是奇函数且为增函数俯视图侧视图6. 若不等式组,0,1y x y x ≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域为M ，不等式2y x ≥表示的平面区域为N 现随机向区域M 内投掷一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为（）A ．16B ．13C ．12 D. 237．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3∶1的比分获胜的概率为（）A.827 B. 6481 C. 49 D. 898. 在右侧程序框图中，输入5n =，按程序运行后输出的结果是（）A ．3B ．4C ．5 D.69．若函数3()3f x x x =-在2(,6)a a -上有最小值，则实数a 的取值范围是（A ．(B．[C ．[)2,1-D ．(2,1)-10. ABC∆中，2,45BCA ==，B 为锐角，点O 是ABC ∆外接圆的圆心，则OA BC ⋅的取值范围是（）A. (-B. (-C. [-D. (2,2)-第Ⅱ卷（非选择题共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分。

福建省厦门外国语学校2014届高三校适应性考试数学理试题word版

厦门外国语学校2014届高三校适应性考试数学（理科）试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.1．已知直线10ax y ++=经过抛物线24y x =的焦点，则该直线的倾斜角为（） A ．0 B ．4π C ．2π D ．34π2．若0,a b >>集合{|},{|}2a bM x b x N x x a +=<<=<，则集合M N 等于（）A ．{|x b x <B ．{|}x b x a <<C ．{}2a b x x +<D ．{|}2a bx x a +<<3．已知直线,a b 和平面α，其中a α⊄，b α⊂，则“//a b ”是“//a α”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线2y x =上，则sin 2θ 等于（）A ．45-B ．35-C ．35D ．455．如图所示的流程图，若输入x 的值为2，则输出x 的值为（）A ．5B ．7C ．125D ．1276．某教研机构随机抽取某校20个班级,调查各班关注汉字听写大赛的学生人数,根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成[)5,0,[)10,5,[)15,10,[)20,15,[)25,20,[)30,25,[)35,30,[]40,35时,所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（）7．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）ABCD8．在等差数列}{n a 中，0≠n a ，当2≥n 时，0121=+-+-n n n a a a ，n S 为}{n a 的前n 项和，若4612=-k S ，则k 等于（）A ．14B ．13C ．12D ．119．若函数1,0(),0x x f x x a e bx x ⎧<⎪=+⎨⎪-≥⎩ 有且只有一个零点，则实数b 等于（）A ．e -B ．1-C ．1D ．e10．一电子广告，背景是由固定的一系列下顶点相接的正三角形组成，这列正三角形的底边在同一直线上，正三角形的内切圆由第一个正三角形的O 点沿三角形列的底边匀速向前滚动（如图），设滚动中的圆与系列正三角形的重叠部分（如图中的阴影）的面积S 关于时间t 的函数为()S f t =，则下列图中与函数()S f t =图像最近似的是（）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．已知复数ln 2z m i =+是纯虚数，则⎰等于．12．已知函数||()2x a f x -=关于直线3x =对称，则二项式3(ax +展开式中各项的系数和为_______________．13．如图13，在ABC ∆中，3AB =，5AC =，若O 为ABC ∆的外心，则⋅的值是____________．14．如图14是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为．15．若数列{}n a 满足:存在正整数T ,对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立则称数列{}n a 为周期数列,周期为T ,已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>, 11,11,01n n n n na a a a a +->⎧⎪=⎨<≤⎪⎩则有下列结论： ①若34a =,则m 可以取3个不同的值；②若m =则数列{}n a 是周期为3的数列；③对任意的T N *∈且2T ≥,存在1m >,使得{}n a 是周期为T 的数列； ④存在m Q ∈且2m ≥,使得数列{}n a 是周期数列.其中正确的结论有．三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 16．（本小题满分13分）某同学在研究性学习中，了解到淘宝网站一批发店铺在今年的前五个月的销售量（单位：百件）的数据如下表：（Ⅰ）该同学为了求出y 关于x 的回归方程a x b yˆˆ+=，根据表中数据已经正确算出6.0ˆ=b，试求出a ˆ的值，并估计该店铺6月份的产品销售量；（单位：百件）（Ⅱ）一零售商现存有从该淘宝批发店铺2月份进货的4件和3月份进货的5件产品，顾客甲从零售商处随机购买了3件，后经了解，该淘宝批发店铺今年2月份的产品均有质量问题。

2014届福建省漳州市高三3月教学质量检查理科数学试题(含答案解析)word版

12122014年福建省漳州市普通高中毕业班质量检查数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分．考试时间120分钟.注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必需将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上. 参考公式：样本数据x 1，x 2，… ，x n 的标准差锥体体积公式V =31Sh 其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积、体积公式V =Sh 24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将正确答案填写在答题卷相应位置．1. 已知i 是虚数单位，则3i2i-+等于A .－1＋iB .－1－iC .1＋iD .1－i2. 41()x x +展开式中的常数项为A ．6B ．8C ．10D ．12 3. 已知正三棱柱(侧棱与底面垂直,底面是正三角形)的高与底面边长均为1,其直观图和正(主)视图如图所示,则它的左(侧)视图的面积是A B．1 C ．12D4．已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为3π，则a b +等于A ．1BCD ．25．执行如图所示的程序框图,如果输入1,2a b ==，则输出的a 的值为 A ．7B ．9C ．11D ．136. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则6S 等于A ．142B ．45C ．56D ．677. 已知函数2sin y x =的定义域为[a ,b ]，值域为[-2，1]，则b a -的值不可能是 A ．πB ．65π C ．π2 D ．67π 8. 已知正三角形ABC 的顶点A (1，1)，B (1，3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是A ．(1－3，2)B ．(0，2)C ．(3－1，2)D ．(0，1＋3) 9. 已知)(x f 为R 上的可导函数,且R x ∈∀,均有)()(x f x f '>,则以下判断正确的是A ．2013(2013)(0)f e f > B ．2013(2013)(0)f e f <C ．2013(2013)(0)f ef = D ．2013(2013)(0)f e f 与大小无法确定分别交于A 、B 两点.若ΔABF 2是等边三角形,则该双曲线的离心率为第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 把答案填在答题卡的相应位置. 11．320x dx ⎰=_________.12．等差数列{}n a 中, 3118a a +=, 数列{}n b 是等比数列,且77b a =,则68b b ⋅的值为．13．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，则满足|x|≤ 3的概率为．14. 过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，则|AB |的最小值为． 15. 定义全集U 的非空子集P 的特征函数()1,0,p U U x Pf x P x P∈⎧=⎨∈⎩，这里ðð表示集合P 在全集U 的补集.已知,A B 均为全集U 的非空子集，给出下列命题： ①若A B ⊆，则对于任意()()A B x U f x f x ∈≤，都有； ②对于任意()(),1U A A x U f x f x ∈=-都有ð；③对于任意()()(),A B A B x U f x f x f x ⋂∈=⋅都有； ④对于任意()()(),A B A B x U f x f x f x ⋃∈=+都有．则正确命题的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写在答题卷相应位置，要写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. （本小题满分13分）已知向量)(),sin ,cos ,sin x x x x m n ==，函数()f x m n =⋅．（I ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；（II ）已知ABC ∆中,角C B A ,,的对边分别为,,a b c ，若()32f A =，2,3a b c =+=，求ABC ∆的面积.17. （本小题满分13分）某电视台组织部分记者，用“10分制”随机调查某社区居民的幸福指数.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福指数的得分(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）若幸福指数不低于9.5分，则称该人的幸福指数为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记 ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望．18.（本小题满分13分）在四棱锥P-ABCD 中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，90ADC ∠=，1AB AD PD ===，2CD =． (I)求证：BC ⊥平面PBD ：(II)求直线AP 与平面PDB 所成角的正弦值；(Ⅲ)设E 为侧棱PC 上异于端点的一点，PE PC λ=，试确定λ的值，使得二面角E －BD －P 的余弦值为3．19. （本小题满分13分）已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点F 和椭圆22143x y +=的右焦点重合,直线l 过点F 交抛物线于A 、B 两点. (I)求抛物线C 的方程；(II)若直线l 交y 轴于点M,且,MA mAF MB nBF ==,m 、n 是实数,对于直线l ,m+n 是否为定值?若是,求出m+n 的值；否则,说明理由.0,a R >∈.21. 本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。

福建省厦门市高三数学上学期教学质量检查试题理新人

厦门市2013-2014学年（上）高三质量检测数学（理科）试题第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的． 1. 已知集合2{|20},{|03}A x x x B x x =--≤=<<，则A B I 等于A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x <≤C ．{|02}x x <≤D ．{|02}x x <≤2．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为y =，则此双曲线的离心率为A ．2BC．3D3．α为平面，,m n 是两条不同直线，则//m n 的一个充分条件是 A ．//m α且//n α B ．,m n 与平面α所成的角相等 C ．m α⊥且n α⊥D ．,m n 与平面α的距离相等4．实数,x y 满足2300,2x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩则3z x y =-的最小值为A ．6-B ．4-C ．0D ．115．下列说法正确的是A ．(0)0f =“”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件B ．“向量,,a b c r r r ，若a b a c ⋅=⋅r r r r ，则b c =r r ”是真命题C ．210x R x ∀∈+>“，”的否定是200,0x R x ∃∈+<“”D ．“若6a π=，则1sin 2α=”的否命题是“若6a π≠，则1sin 2α≠” 6．设函数122,0()log (),0x x f x x x -⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，则函数2()(1)y f x x =-+的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．47．将函数sin y x =的图象向右平移3π个单位，再将所得图象上的各点纵坐标保持不变，横坐标变为原来的(0)m m >倍后的函数图象关于直线3x π=-对称，则实数m 的最大值为 A ．5B ．4C ．3D ．28．已知sin 2sin 3ln 4ln 5,,,2345a b c d ====，则 A ．a b >且c d > B ．a b >且c d > C ．a b <且c d >D ．a b <且c d <9．已知向量1331(,),(,),(cos ,sin )22a b c θθ==-=r r r，则()()a c b c -⋅-r r r r 的最大值是 A ．1B ．2C ．21+D ．22+10．已知抛物线21:4C x py =，圆2222:()C x y p p +-=，直线1:2l y x p =+，其中0p >，直线l 与12,C C 的四个交点按横坐标从小到大依次为,,,A B C D ，则AB CD ⋅u u u r u u u r的值为A ．2pB ．22pC ．23pD ．24p第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题分必做题和选做题．（一）必做题：共4小题，每小题4分，满分16分．11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______________． 12．计算：1220(1)x x dx +-=⎰_______________．13．如图，ABC ∆中，3,(,)CD DB AD AB AC R λμλμ==+∈u u u r u u u r u u u r,则λμ=_______________． 14．已知函数2()xf x e x =-的导函数为'(),()f x y f x =与'()y f x =在同一直角坐标系下的部分图象如图所示，若方程'()()0f x f a -=在(,]x a ∈-∞上有两解，则实数a 的取值范围是_______________．（二）选做题；本题设有三个选考题，请考生任选2题作答，并在答题卡的相应位置填写答案，如果多做，则按所做的前两题计分，满分8分．15．（1）（选修42-：矩阵与变换）设矩阵（2）（选修44-：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，曲线C 的参数方程为12cos (2sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）．若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，则||AB =_______________．（3）（选修45-：不等式选讲）函数15y x x =--的最大值等于_______________．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且135715,49.a a a S ++== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22na nb =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．（本小题满分12分）已知函数21()sin cos sin (0)2f x x x x ωωωω=⋅+->，其相邻两个零点间的距离为2π．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）锐角ABC∆中，1(),4,282A f AB ABC π+==∆的面积为6，求BC 的值．18．（本小题满分12分）如图，,A B 是圆22:4O x y +=上的两点，其中(2,0)A ，且120AOB ∠=︒．若直线AB恰好经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和上顶点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设M 是椭圆C 上的动点，求||MO MA +u u u u r u u u r的最小值．19．（本小题满分13分）如图，C 是以AB 为直径的圆O 上异于,A B 的点，平面PAC ⊥平面ABC ，2PA PC PA ===，4BC =，,E F 分别是,PC PB 的中点，记平面AEF 与平面ABC 的交线为直线l ．（Ⅰ）求证：直线l ⊥平面PAC ；（Ⅱ）直线l 上是否存在点Q ，使直线PQ 分别与平面AEF 、直线EF 所成的角互余？若存在，求出||AQ 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分13分）某厂家开发新产品，经统计发现，批量生产该产品的单件平均成本有以下规律：生产1万件产品的单件平均成本为100元，生产2万件产品的单件平均成本为98元，…，生产n 万件产品的单件平均成本比生产(1)n -万件产品的单件平均成本少4(1)n n -元．（Ⅰ）试求生产n 万件产品的单件平均成本；（Ⅱ）当生产n 万件产品时每件产品的销售价格为(300)100n-元（假设产品全部售出），问生产多少万件产品才能使每件产品的平均利润最大？ 21．（本小题满分14分）已知k 为非零实数，函数2(),()ln ,()()(2)1f x kx g x x F x f x g kx ===--．（Ⅰ）求函数()F x 的单调区间；（Ⅱ）若直线l 与()f x 和()g x 的图象都相切，则称直线l 是()f x 和()g x 的公切线．已知函数()f x 与()g x 有两条公切线12,l l ，（i ）求k 的取值范围；（ii ）若,()a b a b >分别为直线12,l l 与()f x 图象的两个切点的横坐标，求证：'()02a bF +>．。

厦门市2014届高三3月质量检查参考答案及评分标准

厦门市2014届高三3月质量检查数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．请将答案填涂在答题卡的相应位置．1~10：DABAD CBACC8．提示：当22y x +取最小值8时，2x y ==；点(2,2)满足第三个不等式20ax y --≤即可． 9．提示：对参数a 分类，当0=a ，1-=y ；0≠a ，用极限思想，当+∞→x 时，2-→y ， -∞→x 时，1-→y ，故选C 10．提示：①正确．②错．函数()m f n =，[]8,4n ∈-不关于原点对称，因此没有奇偶性． ③正确．观察图形，点D 向右移动，点F 也向右移动．④正确．观察图形，当点D 移动到圆A 与x 轴的左、右交点时，分别得到函数()m f n =图象的左端点(8,3)--、右端点(4,3)．二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分．请将答案填写在答题卡的相应位置． 11.12i - 12.15 13.(1)2n n + 14.13 15.1(1,)3-- 15．提示：设()2()x x g x x e e -=+，()0()(21)f x g x g x >⇔>+ 不难研究出()g x 为偶函数，且在[0,)+∞单调递增，1()(21)|||21|13g x g x x x x >+⇔>+⇔-<<-.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卡的相应位置作答．16．本题考查立体几何中的线面位置关系、空间角、空间向量等基础知识；考查运算求解能力、空间想象能力、等价转化能力；考查数形结合、化归与转化等数学思想．满分13分．（Ⅰ）证明：　090=∠DAB ，AB DA ⊥∴， -------------------------------------1分又平面⊥ABCD 平面ABEF ，平面 ABCD 平面AB ABEF =，⊥∴DA 平面ABEF ， ----------------------------------------4分⊂EF 平面ABEF ，EF DA ⊥∴ --------------------------------------6分（Ⅱ）解法一：⊥DA 平面ABEF ，AF AB ⊥，以AF 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，AD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系xyz A -，如图所示， ------------ 7分 )1,2,0(),2,0,0(),0,2,2(),0,2,0(C D E B ∴，)1,2,0(),2,2,2(-=-=DC DE ， -------------------------------------8分设平面DCE 的法向量),,(000z y x n =，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n n ， ∴⎩⎨⎧=-=-+02000000z x z y x ，令10=x 得平面DCE 的一个法向量)2,1,1(=n， -----------------------------------10分又),0,0,2(=BE66262,c o s =⨯=>=<n BE， ---------------------12分 ∴直线BE 与平面DCE 所成角的正弦值是66. --------------------------------------13分解法二：设点B 到平面DCE 的距离为h ，直线BE 与平面DCE 所成角为α 5==EC DC ，32=DE ， ∴6=∆EDC S ，1=∆BCD S ， ----------------------9分连接DB ，则EDC B BCD E V V --=，BE S h S BCD EDC ⨯=⨯∆∆3131，∴26=h ，36=h ， -------------11分 ∴66236sin ===EB h α ， ---------------------12分 ∴直线BE 与平面DCE 所成角的正弦值是66. ---------------------13分 17. 本题考查概率统计中的相互独立事件同时发生的概率、二项分布、数学期望等基础知识；考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识；考查必然与或然思想．满分13分．解：（1）记事件i A ：乙第i 次投中，(1,2,3)i =，则2() (1,2,3)5i P A i ==，事件123,,A A A 相互独立 P （乙直到第3次才投中）=123123()()()()P A A A P A P A P A ⋅⋅=⋅⋅ --------------------3分=22218(1)(1)555125-⋅-⋅=------------------5分（2）设甲投中的次数为ξ，乙投中的次数为η，则η~2(3,)5B ，∴ 乙投中次数的数学期望26355E η=⨯= --------------------------------------7分ξ的可能取值是0,1,2,3. --------------------------------------8分甲前2次投中次数服从二项分布1(2,)3B ，且每次投中与否相互独立.1114(0)(1)(1)(1)3329P ξ==-⋅-⋅-=12222111114(1)(1)(1)(1)332329P C C ξ==⋅⋅-⋅-+-⋅= ------------------9分22122111115(2)()(1)(1)3233218P C C ξ==⋅⋅-+⋅⋅-⋅= -----------------10分 222111(3)()3218P C ξ==⋅⋅= -----------------11分∴ 甲投中次数的数学期望4451701239918186E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= -----------------12分∴E E ηξ>∴在比赛前，从胜负的角度考虑，应支持乙． ----------------13分注：如果学生没有计算(0)P ξ=，不必扣分，但如果计算出错，则扣1分．18．本题考查分段函数、二次函数、导数及其应用等基础知识；考查运算求解能力、等价转化能力；考查分类与整合、化归与转化、函数与方程、有限与无限等数学思想．满分13分．解：（Ⅰ）当0x ≤时，2()23f x x x =++，其单调递增区间为[1,0]-； -------------------2分当0x >时，∵1a =-，∴2()xf x x e -=， ∴2()2(1)(2)xx x f x xex e xe x ---'=+⋅-=-- -----------------------------------------4分令()0f x '>，得2x <，∴()f x 的单调递增区间为(0,2)． -----------------------5分综上，函数()f x 的单调递增区间为[1,0]-和(0,2)． --------------------------6分（Ⅱ）“方程()f x m =对任意正实数m 恒有实数解”等价转化为“函数()f x 的值取遍每一个正数”，---------------------------------------------------------7分注意到当0x ≤时，22()23(1)22f x x x x =++=++≥，因此，当0x >时，()f x 的值域必须包含(0,2)， ------------------------------------------8分以下研究0x >时的函数值域情况，0x >时，2()ax f x x e =，∴2()2(2)ax ax ax f x xe x ae xe ax '=+⋅=+，① 若0a ≥，则()0f x '>，此时()f x 在(0,)+∞上递增，()f x 的值域为(0,)+∞，满足要求； -------------------------------------------------------10分② 若0a <，令()0f x '>，得20x a <<-；令()0f x '<，得2x a>- ∴()f x 在2(0,)a -上单调递增，在2(,)a -+∞上单调递减 -----------------------------11分∴22max 22224()()()f x f e a a a e -=-=-⋅=， ∴()f x 值域为224(0,]a e，由224(0,](0,2)a e ⊃得，2242a e≥，解得，0a ≤< ----------------------------12分综上，所求实数a 的取值范围是[)e-+∞． --------------------------------------------13分 19．本题考查三角恒等变换、正弦定理和余弦定理等基础知识；考查学生信息处理能力、运算求解能力、空间想象能力及应用意识；考查化归与转换思想．满分13分．解：（Ⅰ）∵cos 5ACP ∠=-，4cos 5APC ∠= ∴sin 5ACP ∠=，3sin 5APC ∠=∵sin sin()sin cos sin cos 5PAC APC ACP APC ACP ACP APC ∠=∠+∠=∠⋅∠+∠⋅∠= ----4分 ∵sin sin AP PCACP PAC=∠∠ ∴5CP = ∴滑道CP 的长度是5百米． --------------------6分（Ⅱ）设DP x =，[0,10]x ∈ ∵6EP =，5CP =，4cos 5APC ∠=，2cos 3APE ∠=∴DE ==DC ==∴DE DC +=---------------------------------9分解法一：令()f x DE DC =+==当且仅当4x =， min ()(4)3f x f ==+． --------------12分答：DP 为4百米时，DE+DC 最短，为（3+ ---------13分解法二：令28t x x =-，则[16,10]t ∈-，令()g t DE DC =+=∵()0g t '=>，∴()g t 在[16,10]-单调递增，∴()g t 的最小值为(16)3g -=+4x =． ---------------------------------12分答：DP 为4百米时，DE+DC 最短，为（3+ ---------------------------------13分解法三：把空间四边形AEPC 展开成平面四边形AEPC ，此时DE+DC 的最小值为线段EC ，D 为AP 与EC 的交点． ---------------------------------8分∵4cos 5APC ∠=，2cos 3APE ∠= ∴8cos 15EPC -∠=∴22222cos EPC 29(3EC EP PC EP PC =+-⋅⋅∠=+=+∴3EC =+ ---------------------------------10分∵4cos 5APC ∠=，2cos 3APE ∠=∴sin EPC ∠=∴根据正弦定理，sin 4sin cos 5EP EPC ECP APC EC ⋅∠∠===∠ ∴90CDP ∠=∴4DP = ---------------------------------12分答：DP 为4百米时，DE+DC最短，为（3+ --------------------13分 20. 本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、圆与圆的位置等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力、探索求解的能力；考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想．满分14分．解：（Ⅰ）依题意可知2a =，圆22:(2)9B x y -+=中令0y =，得1(1,0)F -， ------------------2分所以2413b =-=,所以椭圆22:143x y E += ------------------------4分（Ⅱ）（ⅰ）解法一：①直线l 为x 轴时，10FQ BP ⋅=-----------------------5分 ②设直线:2AP x ty =-与22:143x y E +=联立得22(34)120t y ty +-=21234P t y t =+，226834P t x t -=+ ----------------------------------7分:2AP x ty =-中令0,x =得2Q y t= ---------------------------8分所以212226812(1,)(2,)3434t tFQ BP t t t -⋅=⋅-=++ 28(0,2)34t ∈+ 综上所述，1FQ BP ⋅的取值范围为[0,2) ----------------------------10分解法二：设00(,),P x y 且2200143x y +=，则:AP 0022y yx x =++，令0,x =得：0022Q y y x =+ -------6分 20010000022(1,)(2,)222y y FQ BP x y x x x ⋅=⋅-=-+++ -------------------------7分又2200143x y +=，则2200100421(2)22x y FQ BP x x -+⋅==-+ -------------------9分又0(2,2],x ∈-∴1[0,2)FQ BP ⋅∈-------------------------------------10分（ⅱ）假设存在定圆Γ满足题意，根据椭圆的对称性，猜想定圆Γ的圆心在x 轴上当P 恰好为B 时，圆P 就是圆22:(2)9B x y -+=，交x 轴于(5,0)D 当P 无限接近于A 时，圆P 就是圆22:(2)1A x y ++=，交x 轴于(3,0)C -所以定圆Γ的圆心为,C D 中点2(1,0)F ，恰好为22:143x y E +=右焦点.所以猜想定圆Γ：222(1)4x y -+= ---------------------------------12分下证：圆P 始终内切于定圆Γ21||||4PF PF +=,∴21||4||PF PF =-得证.----------------------------------14分21. （1）选修4-2：矩阵与变换本小题考查矩阵与变换、矩阵的特征值、特征向量等基础知识；考查运算求解能力；考查函数与方程的思想．满分7分解：（Ⅰ） 16127a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-----------------------------------1分 36127a b =⎧∴⎨+=⎩23a b =⎧∴⎨=⎩ ------------------------------------2分2213M ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭----------------------------------3分（Ⅱ）矩阵M 的特征多项式为()()()2225414,13f λλλλλλλ--==-+=----令()0,f λ=得矩阵M 的特征值为121,4λλ==． --------------------------------------------------------5分对于特征值11λ=，解相应的线性方程组20,20,x y x y --=⎧⎨--=⎩得一个非零解2,1,x y =⎧⎨=-⎩因此，121ξ⎛⎫=⎪-⎝⎭是矩阵M 的属于特征值为11λ=的一个特征向量． -------------------------------6分对于特征值24λ=，解相应的线性方程组220,0,x y x y -=⎧⎨-+=⎩得一个非零解1,1,x y =⎧⎨=⎩因此，211ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭是矩阵M 的属于特征值为24λ=的一个特征向量． --------------------------------7分（2）选修4-4：坐标系与参数方程本小题考查圆的极坐标方程、直线的参数方程、直线与圆的位置关系、极直互化等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合思想．满分7分解：（Ⅰ）由222,cos ,x y x ρρθ⎧=+⎨=⎩得228120x y x +-+=，所以，圆C 的直角坐标方程为：()2244x y -+= ------------------------------------------3分（Ⅱ）直线l 的直角坐标方程为：20x y --=设与直线l 平行的直线l '的方程为0x y m -+=，则当直线l '与圆C2=，解得4m =-或4m =（舍去） ---------------------------------------------------------------5分所以，直线l 与直线l '的距离为：2d ==即点P 到直线l 距离的最大值为2 ------------------------------------------------------------------7分（3）选修4-5：不等式选讲本小题考查绝对值的几何意义、绝对值不等式的解法、恒成立问题等基础知识；考查运算求解能力；考查化归与转化思想．满分7分．解：（Ⅰ）当2a =时，不等式()1f x <等价于21x -<，解得13x <<所以不等式()1f x <的解集是{}|13x x <<---------------------------------------------------------------3分（Ⅱ）()11f x x x a x ++=-++，由绝对值的几何意义知：它表示数轴表示a 的点与表示1-的点的距离，即为1a +， ------------------------------------------------------------------------------------------------5分故原命题等价于13a +≥，解得2a ≥或4a ≤---------------------------------------------------------------7分。

2014年福建高考理科数学试题详解_(word解析版)

2014年福建高考理科数学试题（word解析版）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．【2014年福建卷（理01）】复数z=（3﹣2i）i的共轭复数等于（）A．﹣2﹣3i B．﹣2+3i C． 2﹣3i D． 2+3i【答案】C【解析】∵z=（3﹣2i）i=2+3i，∴．故选：C【2014年福建卷（理02）】某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱【答案】A【解析】圆柱的正视图为矩形，故选：A【2014年福建卷（理03）】等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=2，S3=12，则a6等于（）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【解析】由题意可得S3=a1+a2+a3=3a2=12，解得a2=4，∴公差d=a2﹣a1=4﹣2=2，∴a6=a1+5d=2+5×2=12，故选：C．【2014年福建卷（理04）】若函数y=log a x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，则下列函数图象正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可知图象过（3，1），故有1=log a3，解得a=3，选项A，y=a﹣x=3﹣x=单调递减，故错误；选项B，y=x3，由幂函数的知识可知正确；选项C，y=（﹣x）3=﹣x3，其图象应与B关于x轴对称，故错误；选项D，y=log a（﹣x）=log3（﹣x），当x=﹣3时，y=1，但图象明显当x=﹣3时，y=﹣1，故错误．故选：B．【2014年福建卷（理05）】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于（）A．18 B．20 C．21 D．40【答案】B【解析】由程序框图知：算法的功能是求S=21+22+…+2n+1+2+…+n的值，∵S=21+22+1+2=2+4+1+2=9＜15，S=21+22+23+1+2+3=2+4+8+1+2+3=20≥15．∴输出S=20．故选：B【2014年福建卷（理06）】直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】若直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则圆心到直线距离d=，|AB|=2，若k=1，则|AB|=，d=，则△OAB的面积为×=成立，即充分性成立．若△OAB的面积为，则S==×2×==，解得k=±1，则k=1不成立，即必要性不成立．故“k=1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．故选：A【2014年福建卷（理07）】已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A.f（x）是偶函数B． f（x）是增函数C． f（x）是周期函数D． f（x）的值域为[﹣1，+∞）【答案】D【解析】由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+1，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当x≤0时，函数的值域为[﹣1，1]，当x＞0时，函数的值域为值域为（1，+∞），故函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），故正确．故选：D【2014年福建卷（理08）】在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A．=（0，0），=（1，2）B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）【答案】B【解析】根据，选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则 3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能．选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C 不能．选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．故选：B【2014年福建卷（理09）】设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（）A．5B．+C．7+D．6【答案】D【解析】设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点与圆心的距离为=≤5，∴P，Q两点间的最大距离是5+=6．故选：D【2014年福建卷（理10）】用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由（1+a）（1+b）的展开式1+a+b+ab 表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是（）A．（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5 B．（1+a5）（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c)5 C．（1+a）5（1+b+b2+b3+b4+b5）（1+c5） D．（1+a5）（1+b）5（1+c+c2+c3+c4+c5）【答案】A【解析】所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法中，与取红球的个数和黑球的个数无关，而红球篮球是无区别，黑球是有区别的，根据分布计数原理，第一步取红球，红球的取法有（1+a+a2+a3+a4+a5），第二步取蓝球，有（1+b5），第三步取黑球，有（1+c）5，所以所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法有（1+a+a2+a3+a4+a5）（1+b5）（1+c）5，二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置【2014年福建卷（理11）】若变量 x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为_________ ．【答案】1【解析】作出不等式对应的平面区域如图，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A（0，1）时，直线y=﹣3x+z的截距最小，此时z最小．此时z的最小值为z=0×3+1=1，故答案为：1【2014年福建卷（理12）】在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于．【答案】【解析】∵△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，由正弦定理得：，∴，解得sinB=1，∴B=90°，C=30°，∴△ABC的面积=．故答案为：【2014年福建卷（理13）】要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（单位：元）【答案】160【解析】设池底长和宽分别为a，b，成本为y，则∵长方形容器的容器为4m3，高为1m，故底面面积S=ab=4，y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80，∵a+b≥2=4，故当a=b=2时，y取最小值160，即该容器的最低总造价是160元，故答案为：160【2014年福建卷（理14）】如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_________ ．【答案】【解析】由题意，y=lnx与y=e x关于y=x对称，∴阴影部分的面积为2（e﹣e x）dx=2（ex﹣e x）=2，∵边长为e（e为自然对数的底数）的正方形的面积为e2，∴落到阴影部分的概率为．故答案为：【2014年福建卷（理15）】若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是_________ ．【答案】6【解析】由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个．三、解答题：本大题共5小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤【2014年福建卷（理16）】已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．（1）若0＜α＜，且sinα=，求f（α）的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间．解：（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣，=×（+）﹣=．（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣．=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴T==π，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z【2014年福建卷（理07）】在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD 沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图．（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系．∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M．∴=（0，1，﹣1），=（1，1，0），=．设平面BCM的法向量=（x，y，z），则，令y=﹣1，则x=1，z=1．∴=（1，﹣1，1）．设直线AD与平面MBC所成角为θ．则sinθ=|cos|===【2014年福建卷（理18）】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．解：（1）设顾客所获取的奖励额为X，①依题意，得P（X=60）=，即顾客所获得奖励额为60元的概率为，②依题意得X得所有可能取值为20，60，P（X=60）=，P（X=20）=，即X的分布列为X 60 20P所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为E（X）=20×+60×=40（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择（10，10，10，50）的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以数学期望不可能为60元，如果选择（50，50，50，10）的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可能为60元，因此可能的方案是（10，10，50，50）记为方案1，对于面值由20元和40元的组成的情况，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），记为方案2，以下是对这两个方案的分析：对于方案1，即方案（10，10，50，50）设顾客所获取的奖励额为X1，则X1的分布列为X160 20 100PX1的数学期望为E（X1）=．X1的方差D（X1）==，对于方案2，即方案（20，20，40，40）设顾客所获取的奖励额为X2，则X2的分布列为X240 20 80PX2的数学期望为E（X2）==60，X2的方差D（X2）=差D（X1）=．由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1小，所以应该选择方案2．【2014年福建卷（理19）】已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x．（1）求双曲线E的离心率；（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点（A，B分别在第一、第四象限），且△OAB的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程，若不存在，说明理由．解：（1）因为双曲线E的渐近线分别为l1：y=2x，l2：y=﹣2x，所以=2．所以=2．故c=a，从而双曲线E的离心率e==．（2）由（1）知，双曲线E的方程为﹣=1．设直线l与x轴相交于点C，当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|=a，|AB|=8，所以|OC|•|AB|=8，因此a•4a=8，解得a=2，此时双曲线E的方程为﹣=1．以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线双曲线E的方程为﹣=1也满足条件．设直线l的方程为y=kx+m，依题意，得k＞2或k＜﹣2；则C（﹣，0），记A（x1，y1），B（x2，y2），由得y1=，同理得y2=，由S△OAB=|OC|•|y1﹣y2|得：|﹣|•|﹣|=8，即m2=4|4﹣k2|=4（k2﹣4）．因为4﹣k2＜0，所以△=4k2m2+4（4﹣k2）（m2+16）=﹣16（4k2﹣m2﹣16），又因为m2=4（k2﹣4），所以△=0，即直线l与双曲线E有且只有一个公共点．因此，存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为﹣=1【2014年福建卷（理20）】已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）求a的值及函数f（x）的极值；（2）证明：当x＞0时，x2＜e x；（3）证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜ce x．解：（1）由f（x）=e x﹣ax得f′（x）=e x﹣a．又f′（0）=1﹣a=﹣1，∴a=2，∴f（x）=e x﹣2x，f′（x）=e x﹣2．由f′（x）=0得x=ln2，当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；∴当x=ln2时，f（x）有极小值为f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4．f（x）无极大值．（2）令g（x）=e x﹣x2，则g′（x）=e x﹣2x，由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=e ln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0，∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜e x；（3）对任意给定的正数c，总存在x0=＞0．当x∈（x0，+∞）时，由（2）得e x＞x2＞x，即x＜ce x．∴对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜ce x在21-23题中考生任选2题作答，满分7分.如果多做，则按所做的前两题计分.作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中.选修4-2：矩阵与变换【2014年福建卷（理21）】已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=（）．（1）求矩阵A；（2）求矩阵A﹣1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．解：（1）设A=，则由AA﹣1=E得=，解得a=，b=﹣，c=﹣，d=，所以A=；（2）矩阵A﹣1的特征多项式为f（λ）==（λ﹣2）2﹣1，令f（λ）=（λ﹣2）2﹣1=0，可求得特征值为λ1=1，λ2=3，设λ1=1对应的一个特征向量为α=，则由λ1α=Mα，得x+y=0得x=﹣y，可令x=1，则y=﹣1，所以矩阵M的一个特征值λ1=1对应的一个特征向量为，同理可得矩阵M的一个特征值λ2=3对应的一个特征向量为五、选修4-4：极坐标与参数方程【2014年福建卷（理22）】已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为常数）．（1）求直线l和圆C的普通方程；（2）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．解：（1）直线l的参数方程为，消去t可得2x﹣y﹣2a=0；圆C的参数方程为，两式平方相加可得x2+y2=16；（2）圆心C（0，0），半径r=4．由点到直线的距离公式可得圆心C（0，0）到直线L的距离d=．∵直线L与圆C有公共点，∴d≤4，即≤4，解得﹣2≤a≤2六、选修4-5：不等式选讲【2014年福建卷（理23）】已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．（1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3．( 1）解：∵|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，∴f（x）的最小值为3，即a=3；（2）证明：由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2=（p+q+r）2=32=9，即p2+q2+r2≥3。

2014厦门3月份质检理数(word版)

高三质量检查数学（理科）试题第I卷（选择题：共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分共50分1.执行右边的程序框图，如果输人的x为3，那么输出的结果是A、8B、6C、1D、－12.已知集合A＝{x|x2－x＜0}，集合B＝{x|2x＜4}，则“x∈A”是“x∈B”的A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数y＝1－2sin2x是A最小正周期为π的奇函数 B.最小芷周期为π的偶函数C.最小正周期为2π的奇函数 D.最小正周期为2π的偶函数4.学校为了了解学生每天课外阅读的时问（单位：分钟），抽取了n个学生进行调查，结果显示这些学生的课外阅读时间都在［10,50)，其频率分布直方图如图所示，其中时间在[30,50）的学生有67人，则n的值是A.100B.120C.130D.3905.已知点P在抛物线y2＝4x上，且P到y轴的距离与到焦点的距离之比为12，则点P到x轴的距离是A、14B、12C、1D、26.已知,αβ是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是7．设是平面内两个不共线的向量，若A，B，C 三点共线，则的最小值是A．2 B．4 C、6 D．88已知x，y满足4027020x yx yax y+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，且x2＋y2的最小值为8，则正实数a的取值范围是A．（0，2］B．［2，5］C、［3，＋∞）D．（0，5］9、已知a是实数，则函数f（x ）＝－2的图象不可能是10．如图，在平面直角坐标系xoy中，圆A：（x＋2）2＋y2＝36，点B（2，0），点D是圆A上的动点，线段BD的垂直平分线交线段AD于点F，设m，n分别为点F，D的横坐标，定义函数m＝f（n），给出下列结论：①f（一2）＝一2；②f（n）是偶函数；③f（n）在定义域上是增函数；④f（n）图象的两个端点关于圆心A对称．其中正确的个数是A、1 B．2 C、3 D．4第II卷（非选择题：共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分．共20分．11．若复数z 满足（l ＋2i ）z ＝｜3＋4i ｜（i 为虚数单位），则复数z 等于＿＿＿＿12、二项式的展开式中常数项等＿＿＿＿13．已知数列｛n a ｝中，1n a +＝2n a ，a 3＝8，则数列{log 2n a ｝的前n 项和等于＿＿＿14记曲线y ＝x 2与y x =学科网万围成的区域为D ，若利用计算机产生（0，1）内的两个均匀随机数 x ，y ，则点（x ，y ）恰好落在区域D 内的概率等于＿＿＿．15、已知函数，则满足f （x ）＞0的实数x的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿三、解答题：本大助共6小题．共80分．．16（本小题满分13分）如图，四边形ABCD 和ABEF 都是直角梯形，AD ／／ BC, AF ／／BE ，∠DAB ＝∠FAB ＝90°, 且平面ABCD ⊥平面ABEF ，DA ＝AB ＝BE =2，BC ＝1.（I)证明,DA ⊥EF;（II ）求直线BE 与平面DCE 所成角的正弦值．17.（本小题满分13分）甲乙二人比赛投篮，每人连续投3次，投中次数多者获胜．若甲前2次每次投中的概率都是13，第3次投中的概率12；乙每次投中的概率都是25，甲乙每次投中与否相互独立（I 〕求乙直到第3次才投中的概率；（II ）在比赛前，从胜负的角度考虑，你支持谁？请说明理由．18.（本小题满分13分）已知函数（I）若a＝－1，求函数f（x）的单调递增区间；（II）对任意的正实数m，关于x的方程f（x）＝m恒有实数解，求实数a的取值范围．19.（本小题满分13分）某度假区以2014年索契冬奥会为契机，依山修建了高山滑雪场．为了适应不同人群的需要，从山上A处到山脚滑雪服务区P处修建了滑雪赛道A-C-P和滑雪练习道A-E-P（如图）．已知cos∠ACP＝一55，cos∠APC＝45，cos∠APE＝23，公路AP长为10（单位：百米），滑道EP长为6(单位：百米）．（I）求滑道CP的长度；（B)由于C,E处是事故的高发区，为及时处理事故，度假区计划在公路AP上找一处D,修建连接道DC，DE，问DP多长时，才能使连接道DC＋DE最短，最短为多少百米？20.（本小题满分14分）如图，点A，B分别是椭圆E：22221(0)x ya ba b+=>>的左、右顶点，圆B:（x一2）2十y2=9经过椭圆E的左焦点F1．（I）求椭圆E的方程；（II）过A作直线l与y轴交于点Q，与椭圆E交于点P（异于A).（i）求的取值范围；（ii ）是否存在定圆，使得以P为圆心，PF1为半径的圆始终内切于圆，若存在，求出圆的方程；若不存在，说明理由21．本题设有（1）(2)(3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，共14分．如果多做，则按所做的前两题计分．(1）〔本小题满分7 分}) 选修4 -2：矩阵与变换已知点A（1，2）在矩阵对应的变换作用下得到点A'(6,7).（I）求矩阵M;（II）求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量(2）（本小题满分7分）选修4-4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为．（I）写出圆C的直角坐标方程；（II）若点P为圆C上的动点，求点P到直线l距离的最大值（3）（本小题满分7分）选修4一5：不等式选讲已知函数（I）若a=2,求不等式f(x)＜1的解集；（Q)若不等式f（x）＋｜x＋1｜≥3在R上恒成立，求实数a的取值范..。

【VIP专享】福建省厦门市2014届高三3月质检试题

福建省厦门市2014届高三3月质检英语卷第二部分英语知识运用(共两节，满分45分)第一节单项填空(共15小题；每小题1分，满分15分)21．Anti-Japanese War Victory Day is set to remind us of ________ need to remember history,cherish peace and create ________ better future.A．a；the B．the；a C．a；a D．the；the22．— 0h．I’ve left my keys in the office．— Again? But ________，let’s see what we shall do about itA．meanwhile B．therefore C．anyway D．instead23．The authorities ________an orange warning and urged people to stay indoors due to the smog．A．commanded B．struck C．cancelled D．issued(发布)24．________others in the reading room，Jack walked in on tiptoes.A．Not disturbing B．To not disturbC．Not to disturb D．Not having disturbed25．I’m afraid I can’t recognize Ann when we meet , for I ________her for 30 years.A．haven't seen B．didn’t see C．don’t see D．hadn’t seen 26．Look! Mum, I’ve been offered a bonus of $300.Really? Well, keep it ________it is safe.A．that B．where C．in which D．what27．Kathy, I could have gone to the movie FROZEN with you yesterday, butＩ________　pretty busy．A．had been B．was C．have been D．am28．Most jobs are advertised in the local and national ________．A．press B．diagram C．association D．resource29．The manager put up a notice to keep the staff ________of what to do this week．A．inform B．informing C．informed D．to inform30．— The engineer can not spare any time this afternoon— ________，can we fix the computer by ourselves?A．If any B．If ever C．If only D．If so31．Sixty-six Chinese athletes attended the 2014 Winter Olympics，three ________won gold medals．A．of whom B．of them C．among which D．among them32．— What do you think of the Spring Festival Gala of the Horse Year?一To be frank ,it didn't ________me muchA．contribute to B．belong to C．adapt to D．appeal to33．According to the regulations of the department store，all payments ________in cash． A．shall be made B．shall make C．would be made D．would make34．Our province has recently launched a “Beautiful China, Refreshing Fujian”tourism promotion campaign，________ its fresh air as the main selling point A．by B．on C．with D．for35．I’m still wondering____ put the Christmas gift under my pillow．A．whom it is that B．it is whom that C．it is who that D．who it is that第二节完形填空(共20小题；每小题1.5分，满分30分)You are trapped at the window of a building that is on fire．You hear a man’s voice throughthe smoke 36 you shouting,“Jump!”Will you jump? Will you leave the known（已知），as 37 as it is，and jump into the unknown?The 38 depends on two factors．The first has to 39 how much you know about the person who is shouting to you．Is he 40 ? Will he let you fall to the ground 41support your weight?So it is with all of our 42 ．What do we know about the people we would like to 43 ? Will they stand by you when circumstances 44 ? Can they be depended on?It’s like a woman who once purchased two watches from a street vendor(摊贩)on London’s Oxford Street．When she asked if the street salesman could 45 her guarantees，he said．“Certainly , madam．I can give you even 46 guarantees．”Then he added，“The onlything I 47 guarantee is that I will be here this time next Monday morning” So the first part of trust is 48 ．Is the other person worthy of your trust?49 important is a second factor, which is ACTION．Will you jump? It 50 little how much you believe you trust someone if you are finally 51 to jump．Will you show your trust for them by jumping?You may be 52 to make a jump．Staying in the burning building is 53 an option，but not one you’ll want to make for long．54 it feels risky to leap into the smoke，you may discover there is a safe and secure 55 ．You may also discover that there are those to be trusted．And you may discover that it is worth the jump．36．A．beside B．below C．behind D．above37．A．strange B．dangerous C．secure D．complex 38．A．phenomenon B．problem C．answer D．approach39．A．go with B．make out C．look over D．do with40．A．reliable B．capable C．strong D．clever41．A．but B．and C．or D．then42．A．situation B．options C．character D．relationships 43．A．accompany B．trust C．support D．protect44．A．change B．continue C．disappear D．improve45．A．delay B．consult C．offer D．acquire 46．A．lifetime B．professional C．certain D．annual47．A．mustn’t B．can’t C．needn’t D．won’t48．A．courage B．dependence C．strength D．belief49．A．Equally B．Absolutely C．Basically D．Relatively50．A．costs B．bothers C．matters D．differs51．A．unwilling B．unlikely C．eager D．ready52．A．expecting B．demanding C．deciding D．failing53．A．merely B．always C．hardly D．occasionally54．A．Though B．Because C．When D．Once55．A．survival B．jump C．escape D．landing第三部分阅读理解(共20小题；每小题2分，满分40分)阅读下列短文，从每题所给的四个选项(A、B、C和D)中，选出品佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

【精品解析厦门市3月质检】福建省厦门市2014届高三3月质检物理试题Word版含解析

厦门市2014届高三质量检查理科综合能力测试物理部分13．在2012年伦敦奥运会女子3米跳板比赛中，我国跳水名将吴敏霞获得金牌。

经过对她跳水过程录像的理想化处理，将十三敏霞（可视为质点）离开跳板时作为计时起点，其运动过程的v~t图像简化为如图所示，则A．t1时刻开始进入水面B．t2时刻开始进入水面C．t2时刻在空中最高点D．t3时刻浮出水面考点：运动的图像答案：B：离开跳板时作为计时起点，所以0-t1为起跳的上升过程，t1-t2为从最高点开始的下降阶段，t2-t3为入水的减速过程，B正确。

14．2013年12月2日，“嫦娥三号”探月卫星沿地月转移轨道直奔月球，在距月球表面100 km的P点进行第一次变轨后被月球捕获，先进入距月球表面100 km圆轨道绕月飞行，如图所示。

之后“嫦娥三号”叉经过一次变轨，进入近月表面15km、远月表面100km的椭圆轨道飞行，下列说法正确的是A．“嫦娥三号”在距月球表面100 km圆轨道上运行的速度大于月球的第一宇宙速度B．“嫦娥三号’’在距月球表面100 km圆轨道上运行周期比在椭圆轨道上的周期小C．“嫦娥三号’’在圆轨道上经过P点时开动发动机加速才能进人椭圆轨道D．“嫦娥三号’’在圆轨道上经过P点时刹车减速才能进入椭圆轨道考点：卫星的回收问题；宇宙速度答案：D：圆轨道的运行速度都小于第一宇宙速度，A错误；依据开普勒第三定律R3/T2=常量，B错误；在高圆轨道上经过P点时进人椭圆低轨道，只能减速来实现，C错误；D正确。

15．如图所示为用a、b两种单色光分别通过同一个双缝干涉装置获得的干涉图样，现让a、b两种单色光组成的复色光通过三棱镜或平行玻璃砖，光的传播路径和方向可能正确的是考点：光的折射；干涉；全发射答案：C：同一个双缝干涉装置见图样可知a光的波长长，频率小，同一介质a光的折射率小，临界角大，所以A、B错误；相同的入射角b光先发生全反射，C正确；D错误。

16．如图所示a、b间接人正弦交流电，变压器右侧部分为一火灾报警系统原理图，R2为热敏电阻，随着温度升高其电阻变小，所有电表均为理想电表，电流表A2为值班室的显示器，显示通过R1的电流，电压表V2显示加在报警器上的电压(报警器未画出)，R3为一定值电阻。

2014年高考真题——数学理(全国Ⅰ卷)+Word版含答解析

2014年高招全国课标1（理科数学word 解析版）第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={}22x x -≤<，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）【答案】：A【解析】：∵A={x |2230x x --≥}={}13x x x ≤-≥或，B={}22x x -≤<，∴A B ⋂={}21x x -≤≤，选A..2.32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --【答案】：D【解析】：∵32(1)(1)i i +-=2(1)12i i i i +=---，选D..3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数【答案】：C【解析】：设()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=--，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()()()()F x f x g x F x -=-=-，()F x 为奇函数，选C.4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A .B .3CD .3m【答案】：A【解析】：由C ：223(0)x my m m -=>，得22133x y m -=，233,c m c =+=设)F，一条渐近线y x =，即0x =，则点F 到C 的一条渐近线的距离d = A. .5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .78【答案】：D【解析】：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4216=种，周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人一天三人有11428C A =种；②每天2人有246C =种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为867168+=；或间接解法：4位同学都在周六或周日参加公益活动有2种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1627168-=；选D.6.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为【答案】：B【解析】：如图：过M 作M D ⊥OP 于Ｄ，则 PM=sin x ，OM=cos x ,在Rt OMP ∆中，MD=cos sin 1x xOM PM OP =cos sin x x =1sin 22x =，∴()f x 1sin 2(0)2x x π=≤≤，选B. .7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .158【答案】：D【解析】：输入1,2,3a b k ===；1n =时：1331,2,222M a b =+===； 2n =时：28382,,3323M a b =+===；3n =时：3315815,,28838M a b =+===；4n =时：输出158M = . 选D.8.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=【答案】：Ｂ【解析】：∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-，即22παβ-=，选B9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P【答案】：C【解析】：作出可行域如图：设2x y z +=，即122zy x =-+，当直线过()2,1A -时，min 220z =-+=，∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，选C.10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =A .72 B .52C .3D .2 【答案】：C【解析】：过Q 作Q M ⊥直线L 于M ，∵4FP FQ = ∴34PQPF =，又344QM PQ PF ==，∴3QM =，由抛物线定义知3QF QM == 选C11.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）【答案】：B【解析1】：由已知0a ≠，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a=，当0a >时，()22,0,()0;0,,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞>∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；且(0)10f =>，()f x 有小于零的零点，不符合题意。

2014年高考福建理科数学试题及答案(word解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2014年福建，理1，5分】复数(32i)i z =-的共轭复数z 等于（）（A ）23i -- （B ）23i -+ （C ）23i - （D ）23i +【答案】C【解析】由复数()32i i 23i z =-=+，得复数z 的共轭复数23i z =-，故选C ．【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．（2）【2014年福建，理2，5分】某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）（A ）圆柱（B ）圆锥（C ）四面体（D ）三棱柱【答案】A【解析】由空间几何体的三视图可知，圆柱的正视图、侧视图、俯视图都不可能是三角形，故选A ．【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题．（3）【2014年福建，理3，5分】等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =（）（A ）8（B ）10 （C ）12 （D ）14【答案】C 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的前n 项和公式，得33232122S ⨯=⨯+=，解得2d =，则()616125212a a d =+-=+⨯=，故选C ．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．（4）【2014年福建，理4，5分】若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图象正确的是（）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】B【解析】由函数log a y x =的图像过点()3,1，得3a =．选项A 中的函数为13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则其函数图像不正确；选项B 中的函数为3y x =，则其函数图像正确；选项C 中的函数为()3y x =-，则其函数图像不正确；选项D 中的函数为()3log y x =-，则其函数图像不正确，故选B ．【点评】本题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题．（5）【2014年福建，理5，5分】阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S 得值等于（）（A ）18 （B ）20 （C ）21 （D ）40【答案】B【解析】输入0S =，1n =，第一次循环，0213S =++=，2n =；第二次循环，23229S =++=，3n =；第三次循环，392320S =++=，4n =，满足15S ≥，结束循环，20S =，故选B ．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．（6）【2014年福建，理6，5分】直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“ABC ∆的面积为12”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由直线l 与圆O 相交，得圆心O 到直线l 的距离1d =<，解得0k ≠．当1k =时，d =AB =OAB ∆的面积为1122=；当1k =-时，同理可得OAB ∆的面积为12，则“1k =”是“OAB ∆的面积为12”的充分不必要条件，故选A ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键．（7）【2014年福建，理7，5分】已知函数()21,0cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则下列结论正确的是（）（A ）()f x 是偶函数（B ）()f x 是增函数（C ）()f x 是周期函数（D ）()f x 的值域为[)1,-+∞【答案】D【解析】由函数()f x 的解析式知，()12f =，()()1cos 1cos1f -=-=，()()11f f ≠-，则()f x 不是偶函数；当0x >时，令()21f x x =+，则()f x 在区间()0,+∞上是增函数，且函数值()1f x >；当0x ≤时，()cos f x x =，则()f x 在区间(),0-∞上不是单调函数，且函数值()[]1,1f x ∈-；∴函数()f x 不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[)1,-+∞，故选D ．【点评】本题考查分段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题．（8）【2014年福建，理8，5分】在下列向量组中，可以把向量()3,2a =表示出来的是（）（A ）12(0,0),(1,2)e e ==（B ）12(1,2),(5,2)e e =-=-（C ）12(3,5),(6,10)e e ==（D ）12(2,3),(2,3)e e =-=-【答案】B【解析】由向量共线定理，选项A ，C ，D 中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项B 中的向量组不共线，可以作为基底，故选B ．【点评】本题主要考查了向量的坐标运算，根据12a e e λμ=+列出方程解方程是关键，属于基础题．（9）【2014年福建，理9，5分】设,P Q 分别为()2262x y +-=和椭圆22110x y +=上的点，则,P Q 两点间的最大距离是（）（A ）（B （C ）7 （D ）【答案】D【解析】设圆心为点C ，则圆()2262x y +-=的圆心为()0,6C ，半径r 设点()00,Q x y 是椭圆上任意一点，则2200110x y +=，即22001010x y =-，∴CQ ，当023y =-时，CQ 有最大值P ，Q 两点间的最大距离为r =，故选D ．【点评】本题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．（10）【2014年福建，理10，5分】用a 代表红球，b 代表蓝球，c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由()()11a b ++的展开式1a b ab +++表示出来，如：“1”表示一个球都不取．“a ”表示取出一个红球，而“ab ”则表示把红球和篮球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球．5个无区别的蓝球5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是（）（A ）()()()523455111a a a a a b c +++++++ （B ）()()()552345111a b b b b b c +++++++ （C ）()()()523455111a b b b b b c +++++++ （D ）()()()552345111a b c c c c c +++++++【答案】A【解析】从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为23451a a a a a +++++；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为51b +；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为122334455555551C c C c C c C c C c +++++=()51c +，根据分步乘法计数原理得，适合要求的取法是()()()523455111a a a a a b c +++++++，故选A ．【点评】本题主要考查了分步计数原理和归纳推理，合理的利用题目中所给的实例，要遵循其规律，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2014年福建，理11，4分】若变量,x y 满足约束条件102800x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最小值为．【答案】1 【解析】作出不等式组表示的平面区域(如图所示)，把3z x y =+变形为3y x z =-+，则当直线3y x z =-+经过点()0,1时，z 最小，将点()0,1代入3z x y =+，得min 1z =，即3z x y =+的最小值为1．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．（12）【2014年福建，理12，4分】在ABC ∆中，60,4,23A AC BC =︒==，则ABC ∆的面积等于．【答案】23【解析】由sin sin BC AC A B =，得4sin 60sin 123B ︒==，∴90B =︒，()18030C A B =︒-+=︒，则11sin 423sin302322ABC S AC BC C ∆=⋅⋅⋅=⨯⨯︒=，即ABC ∆的面积等于23．【点评】本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积．正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题．（13）【2014年福建，理13，4分】要制作一个容器为43m ，高为1m 的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（单位：元）．【答案】160【解析】设底面矩形的一边长为x ，由容器的容积为4m 3，高为1m 得，另一边长为4xm ．记容器的总造价为y 元，则4444202110802080202?160y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯++⨯⨯=++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(元)，当且仅当4x x =，即2x =时，等号成立．因此，当2x =时，y 取得最小值160元，即容器的最低总造价为160元．【点评】本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题．（14）【2014年福建，理14，4分】如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为．【答案】22e【解析】因为函数ln y x =的图像与函数x y e =的图像关于正方形的对角线所在直线y x =对称，则图中的两块阴影部分的面积为112ln d 2(ln )2[(ln )(ln11)]2ee S x x x x x e e e ==-=---=⎰，故根据几何概型的概率公式得，该粒黄豆落到阴影部分的概率22P e =．【点评】本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．（15）【2014年福建，理15，4分】若集合{,,,}{1,2,3,4}a b c d =，且下列四个关系：①1a =；②1b ≠；③2c =；④4d ≠有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(,,,)a b c d 的个数是 __．【答案】6【解析】若①正确，则②③④不正确，可得b ≠1不正确，即b ＝1，与a ＝1矛盾，故①不正确；若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得4d =；由1a ≠，1b ≠，2c ≠，得满足条件的有序数组为3a =，2b =，1c =，4d =或2a =，3b =，1c =，4d =．若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得4d =；由②不正确，得1b =，则满足条件的有序数组为3a =，1b =，2c =，4d =；若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得1b =，由1a ≠，2c ≠，4d ≠，得满足条件的有序数组为2a =，1b =，4c =，3d =或3a =，1b =，4c =，2d =或4a =，1b =，3c =，2d =；综上所述，满足条件的有序数组的个数为6．【点评】本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（16）【2014年福建，理16，13分】已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =+-．（1）若02πα<<，且2sin 2α=，求()f α的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间．解：解法一：（1）因为02πα<<， 2sin 2α=，所以2cos 2α=．所以22211()()22222f α=+-=．（2）2111cos21112()sin cos cos sin 2sin 2cos2sin(2)22222224x f x x x x x x x x π+=+-=+-=+=+，22T ππ∴==．由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈．所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈．解法二：2111cos21112()sin cos cos sin 2sin 2cos2sin(2)22222224x f x x x x x x x x π+=+-=+-=+=+，（1）因为02πα<<，2sin 2α=，所以4πα=，从而2231()sin(2)sin 24242f ππαα=+==．（2）22T ππ==，由222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈．所以()f x 的单调递增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．（17）【2014年福建，理17，13分】在平行四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，,AB BD CD BD ⊥⊥．将ABD∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图．（1）求证：AB CD ⊥；（2）若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．解：（1）因为ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面,BCD BD AB =⊂平面,ABD AB BD ⊥，所以AB ⊥平面.BCD 又CD ⊂平面BCD ，所以AB CD ⊥．（2）过点B 在平面BCD 内作BE BD ⊥，如图．由（1）知AB ⊥平面,BCD BE ⊂平面,BCD BD ⊂平面BCD ，所以,AB BE AB BD ⊥⊥．以B 为坐标原点,分别以,,BE BD BA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意,得11(0,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,,)22B C D A M ．则11(1,1,0),(0,,),(0,1,1)22BC BM AD ===-．设平面MBC 的法向量000(,,)n x y z =．则00n BC n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00000102x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩．取01z =，得平面MBC 的一个法向量(1,1,1)n =-．设直线AD 与平面MBC 所成角为θ，则6sin cos ,3n ADn AD n AD θ⋅=<>==，即直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值为63．【点评】本题综合考查了面面垂直的性质定理、线面角的计算公式sin cos ,n AD n AD n AD θ⋅==⋅，考查了推理能力和空间想象能力，属于中档题．（18）【2014年福建，理18，13分】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．解：（1）设顾客所获的奖励为X ．①依题意,得1113241(60)2C C P X C ===．即顾客所获得的奖励额为60元的概率为12． ②依题意,得X 的所有可能取值为20，60．232411(60),(20)22C P X P X C =====．即X 的分布列为X20 60 P0.5 0.5 所以顾客所获得的奖励额的期望为()200.5600.540E X =⨯+⨯=（元）．（2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元．所以先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1．对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2．以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励为1X ，则1X 的分布列为：1X 20 60 100P16 23 161X 的期望为1121()206010060636E X =⨯+⨯+⨯=， 1X 的方差为22211211600()(2060)(6060)(10060)6363D X =-⨯+-⨯+-⨯=．对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励为2X ，则2X 的分布列为： 2X 40 60 80P16 23 162X 的期望为2121()40608060636E X =⨯+⨯+⨯=， 2X 的方差为2222121400()(4060)(6060)(8060)6363D X =-⨯+-⨯+-⨯=．由于两种方案的奖励额都符合要求，但方案2奖励的方差比方案1的小，所以应该选择方案2．【点评】本题主要考查了古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查了数据处理能力，运算求解能力，应用意识，考查了必然与或然思想与整合思想．（19）【2014年福建，理19，13分】已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的两条渐近线分别为12:2,:2l y x l y x ==-．（1）求双曲线E 的离心率；（2）如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线12,l l 于,A B 两点（,A B 分别在第一，四象限），且OAB ∆的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．解：（1）因为双曲线E 的渐近线分别为和2,2y x y x ==-．所以222,2,5b c a c a a a -=∴=∴=, 从而双曲线E 的离心率5e =．（2）由（1）知，双曲线E 的方程为222214x y a a-=．设直线l 与x 轴相交于点C ．当l x ⊥轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则,4OC a AB a ==，又因为OAB ∆的面积为8，所以118,48,222OC AB a a a =∴⋅=∴=．此时双曲线E 的方程为221416x y -=．若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为221416x y -=．以下证明:当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：221416x y -=也满足条件．设直线l 的方程为y kx m =+，依题意,得2k >或2k <-．则(,0)m C k-，记1122(,),(,)A x y B x y ．由2y x y kx m =⎧⎨=+⎩，得122m y k =-，同理得222m y k =+．由1212OAB S OC y y ∆=-得：1228222m m m k k k -⋅-=-+即222444(4)m k k =-=-．由221416y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得，222(4)2160k x kmx m ----=．因为240k -<，所以22222244(4)(16)16(416)k m k m k m ∆=+-+=---，又因为224(4)m k =-．所以0∆=，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为221416x y -=．【点评】本题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想．（20）【2014年福建，理20，14分】已知函数()x f x e ax =-（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为1-．（1）求a 的值及函数()f x 的极值；（2）证明：当0x >时，2x x e <；（3）证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()0x x ∈+∞，，恒有2x x ce <．解：解法一：（1）由()x f x e ax =-，得'()x f x e a =-．又'(0)11f a =-=-,得2a =．所以()2,'()2x x f x e x f x e =-=-．令'()0f x =，得ln2x =．当ln2x <时, '()0,()f x f x <单调递减；当ln2x >时，'()0,()f x f x >单调递增．所以当ln2x =时，()f x 取得极小值,且极小值为ln 2(ln 2)2ln 22ln 4,()f e f x =-=-无极大值．（2）令2()x g x e x =-，则'()2x g x e x =-．由（1）得'()()(ln 2)0g x f x f =≥>，故()g x 在R 上单调递增，(0)10g =>，因此，当0x >时，()(0)0g x g >>，即2x x e <．（3）①若1c ≥，则x x e ce ≤．又由（2）知，当0x >时，2x x e <．所以当0x >时，2x x ce <．取00x =，当0(,)x x ∈+∞时，恒有22x cx <．②若01c <<，令11k c=>，要使不等式2x x ce <成立，只要2x e kx >成立．而要使2x e kx >成立，则只要2ln()x kx >，只要2ln ln x x k >+成立．令()2ln ln h x x x k =--，则22'()1x h x x x-=-=．所以当2x > 时, '()0,()h x h x >在(2,)+∞内单调递增．取01616x k =>，所以()h x 在0(,)x +∞内单调递增．又0()162ln(16)ln 8(ln 2)3(ln )5h x k k k k k k k =--=-+-+．易知ln ,ln2,50k k k k >>>．所以0()0h x >．即存在016x c=，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2x x ce <．综上，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2x x ce <．解法二：（1）同解法一．（2）同解法一．（3）对任意给定的正数c，取o x =2）知，当0x >时，2x e x >，所以2222,()()22x x x x x e e e =>，当o x x >时，222241()()()222x x x x e x c c>>= 因此，对任意给定的正数c ，总存在0x ，当0(,)x x ∈+∞时，恒有2x x ce <．【点评】本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词、存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、划归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想．属难题．本题设有三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答．满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B 铅笔在答题卡上所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中．（21）【2014年福建，理21（1），7分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵A 的逆矩阵12112-⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．（1）求矩阵A ；（2）求矩阵1-A 的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．解：（1）因为矩阵A 是矩阵1-A 的逆矩阵,且1221130-=⨯-⨯=≠A ，所以232113 2121333⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ==⎪ ⎪- ⎪⎝⎭-⎪ ⎭⎝A ．（2）矩阵1-A 的特征多项式为221() 43(1)(3)12f λλλλλλλ--==-+=----，令()0f λ=，得矩阵1-A 的特征值为11λ=或23λ=，所以111ξ⎛⎫= ⎪-⎝⎭是矩阵1-A 的属于特征值11λ=的一个特征向量．211ξ⎛⎫= ⎪⎝⎭是矩阵 1-A 的属于特征值23λ=的一个特征向量．【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题．（21）【2014年福建，理21（2），7分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知直线l 的参数方程为24x a t y t =-⎧⎨=-⎩，（t 为参数），圆C 的参数方程为4cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数）．（1）求直线l 和圆C 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．解：（1）直线l 的普通方程为220x y a --=．圆C 的普通方程为2216x y +=．（2）因为直线l 与圆有公共点，故圆C 的圆心到直线l的距离4d =≤，解得a -≤．【点评】熟练掌握点到直线的距离公式和直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键．（21）【2014年福建，理21（3），7分】（选修4-5：不等式选讲）已知定义在R 上的函数()12f x x x =++-的最小值为a ．（1）求a 的值；（2）若p q r ，，为正实数，且p q r a ++=，求证：2223p q r ++≥．解：（1）因为12(1)(2)3x x x x ++-≥+--=，当且仅当12x -≤≤时，等号成立，所以()f x 的最小值等于3，即3a =．（2）由（1）知3p q r ++=，又因为,,p q r 是正数，所以22222222()(111)(111)()9p q r p q r p q r ++++≥⨯+⨯+⨯=++=，即2223p q r ++≥．【点评】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．。