高等数学中的RMI原则应用实例

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RMI原则在小学数学“数与代数”领域中的渗透共7页文档

RMI原则在小学数学“数与代数”领域中的渗透随着数学教育改革的深入，人们开始认识到数学方法论在数学中的重要作用。

如今数学思维、数学思维方法和数学知识、数学理论已有着同等重要的地位，关系（relationship）映射（mapping）反演（inversion）原则（简称RMI原则）作为一种分析和处理问题的普遍方法，是数学方法论中不可忽视的重要组成部分。

徐利治先生在其所著的《数学方法论选讲》中说过：数学上的RMI原则对数学工作者很是有用。

小而言之，可利用该原则解决个别数学问题；大而言之，甚至可以利用该方法原则作出数学上的重要贡献。

目前，关于RMI原则在中学数学和高等数学中的应用研究较多，而对于其在小学数学中的运用研究相对较少。

其实，在小学数学的许多方面也体现着RMI的思想。

这种化难为易、化繁为简的思想可以让小学生体会到数学思想的魅力，运用其解决问题会使小学生体验到成功的快乐与喜悦，从而激发他们学习数学的兴趣，提高他们分析问题与解决问题的能力。

一、RMI原则概述1.RMI原则的基本内容。

关系（relationship）映射（mapping）反演（inversion）原则（简称RMI原则），是一种分析和处理问题的普遍方法或准则，不仅在数学中，几乎在一切工程技术或应用科学中，都往往利用这一原则去解决问题。

而且映射和反演可以赋予很广泛的含义，因此RMI 原则实际可以理解为一种包罗万象的科学方法论原则。

RMI原则的基本内容，可用框图表示如下：简单地解释这个框图就是：我们要求的未知目标原象x是一个不容易求出的量，通过含有x的原象关系结构R，利用映射M（一一对应）将所求问题映射到映象关系结构R*，从R*中找出未知原象x的映象x*，如果x*可以确定下来，再通过反演即逆映射M-1就可以将未知目标原象x确定下来。

值得注意的是这里用到的映射M与反演M-1必须是确实可行的，否则整个过程都将无任何意义。

2.RMI原则的具体应用。

RMI法则在中学数学中的应用_刘方然

RM I 法则在中学数学中的应用江苏省灌南县教育局教研室　刘方然 RM I 法则即关系、映射、反演法则,是一种普遍的思想原则:对于有某种对应关系的两个结构领域S 、S *,S 中的问题在该结构中解答遇到困难时,可以利用对应关系,把问题映射到S *中去,在S *中求得解答后,再反演到S 中来,这样,原来的问题就得到解决.用框图表示,即\例1　计算x =223×357.(精确到0.001)首先在等式两边取对数,得l g x =23lg 2+57lg 3.再从对数表中查得lg 2、lg 3的值,然后计算出l g x 的值0.5415,再查反对数表,即可得到x 的值3.479.上述求解的过程就是RM I 法则的一个具体应用,将指数关系结构中的计算x =22×35,映射到对数关系结构中计算lg x =23lg 2+57lg 3,在对数运算结构中求得l g x ≈0.5415,再通过反演(取反对数)得到x ≈3.479.用框图表示为 RM I 法则是徐利治先生首先提出,并将这样的方法上升到理论.RM I 法则在数学中有广泛的应用,是重要的数学思想方法,它能揭示数学上两种关系结构的本质联系,有助于学生对数学知识的理解.因此,在教学中要培养学生运用RM I 的意识和能力,从而提高学生的数学思维品质.中学数学中应用RM I 法则常见的有以下几种情形.一、指数结构和对数结构大数学家欧拉曾指出“对数源出于指数”,这深刻地说明了指数和对数之间有着密切的联系,说明了指数运算结构和对数运算结构存在着对应关系.1.指数结构映射到对数结构一个含有乘方、开方的复杂计算式,可通过取对数化为对数的加减运算.如例1是典型的对数方法,它的映射H 是取对数,反演H -1是取反对数.2.对数结构映射为指数结构例2　已知a >0,a ≠1,M >0,N >0,求证l o g a M N =log a M +l o g a N .在对数结构中不好解决此问题,因此利用对数的定义,化对数问题为指数问题.设　l o g a M =p ,log a N =q ,由对数定义可以得　M =a p ,N =a q .所以,M N =a p ×a q =a p +q ,再利用对数定义化此式为对数形式,得l o g a M N =p +q ,即　log a M N =log a M +l o g a N .此问题是RM I 法则的一个具体运用,其映射H 是利用对数定义化对数为指数,其反演H -1是利用对数定义化指数为对数.二、方程结构和函数结构函数和方程是中学数学研究的重要内容.它们之间有着密切的联系,函数y =f (x )可以看作方程f (x )-y =0,而方程f (x ,y )=0,当对非空数集A 中任意一个x 0,都有唯一确定的一组解x =x 0,y =y 0,则此方程f (x ,y )=0可以看作是y 关于x 的一个函数.因此,许多函数问题、方程问题可以利用上述关系,分别在方程结构和函数结构间用RM I 法则解决.1.函数结构映射成方程结构例3　求函数y =co s x +2s i n x +co s x +3的值域.解:由y =co s x +2sin x +co s x +3,得y ·sin x +(y -1)co s x =2-3y ,∴　y 2+(y -1)2·sin(x +θ)=2-3y ,①(其中θ满足:co s θ=yy 2+(y -1)2,sin θ=y -1y 2+(y -1)2).∵　x ∈R ,∴　方程①有实数解.∴　y 2+(y -1)2≤|2-3y |.化简,得　(7y -3)(y -1)≥0,∴　y ≥1或y ≤37,即为函数的值域.注:求函数y =f (x )(x ∈A )的值域问题,可以映射成方程中的求参量y 的取值范围,使方程f (x )-y =0在x ∈A 的范围内有解的问题.求得参量y 的取值范围后再反演到函数结构中,即为y =f (x )的值域.2.方程结构映射成函数结构例4　已知方程lg (x -1)+l g (4-x )=l g (a -x ),求使方程有解的a 的取值范围.解:原方程x -1>0,4-x >0,a -x >0,(x -1)(4-x )=a -x .①②③④满足①、②、④的必满足③.∴　原问题等价于方程④在(1,4)上有解.由④,得　a =-(x -3)2+5,∵　1<x <4,　∴　1<a <5.注:本例首先是简化讨论,然后将问题映射成函数的值域问题,避免了用方程的方法解答此题的繁冗讨论,求得结果后再反演为方程问题的结果.三、代数结构和几何结构在中学数学中,有许多代数问题、几何问题可以利用解析几何的基本思想分别映射到几何关系结构和代数关系结构中去,然后再反演到原结构中来,从而使原问题得到解决.1.几何关系结构映射成代数关系结构例5　如图,已知平面内并列的三个相等的正方形,证明:∠1+∠2+∠3=π2.分析:如图,建立直角坐标系,由于平行线的内错角相等,故作映射H :∠1=arg (1+i ),∠2=a rg (2+i ),∠3=arg (3+i ).这样,几何问题被映射成a rg [(1+i )(2+i )(3+i )]=π2.∵　(1+i )(2+i )(3+i )=(1+3i )(3+i )=10i ,且a rg (1+i )、a rg (2+i )、a rg (3+i )均为锐角,∴　a rg (1+i )+arg (2+i )+a rg (3+i )=π2.反演到几何结构中,即∠1+∠2+∠3=π2.2.代数结构映射成几何结构例6　任给8个非零实数a 1,a 2,…,a 8.证明:6个数a 1a 3+a 2a 4,a 1a 5+a 2a 6,a 1a 7+a 2a 8,a 3a 5+a 4a 6,a 3a 7+a 4a 8,a 5a 7+a 6a 8中至少有一个是非负的.分析:注意到　2(a 1a 3+a 2a 4)=|a 1+a 2i |2+|a 3+a 4i |2-|(a 1-a 3)+(a 2-a 4)i |2=|a 1+a 2i |2+|a 3+a 4i |2-|(a 1+a 2i )-(a 3+a 4i )|2,故作映射H :a 1、a 2→O A :a 1+a 2i ;a 3、a 4→O B :a 3+a 4i ;a 5、a 6→O C :a 5+a 6i ;a 7、a 8→OD :a 7+a 8i .这样原问题就映射成:|OA |2+|O B |2-|BA |2≥0,或|OA |2+|O C |2-|A C |2≥0,或|OA |2+|OD |2-|AD |2≥0,或|OB |2+|OC |2-|BC |2≥0,或|OB |2+|OD |2-|BD |2≥0,或|OC |2+|OD |2-|CD |2≥0.由于O A 、OB 、O C 、OD 这四个向量中,至少有两个向量的夹角不超过90°,不妨设O A 、OB 的夹角不超过90°,在△A OB 中应用余弦定理,得|O A |2+|OB |2-|A B |2≥0,从而a 1a 3+a 2a 4≥0.故原命题成立.四、非标准结构和标准结构在中学数学中,有许多问题的解决是通过将原问题映射到标准结构中,在标准结构中解决后,再反演到原结构中,从而获得问题的解.例7　求双曲线4x 2-9y 2-16x +54y -29=0的中心坐标,顶点坐标,准线方程和渐近线方程.分析:原方程可化为(y -3)24-(x -2)29=1.故作映射H :x ′=x -2,y ′=y -3.这样将原关系结构映射成标准关系结构　y ′24-x ′29=1,在新坐标系x ′O ′y ′下,易求得中心为(0,0),顶点坐标分别为(0,-2)、(0,2),准线方程为y ′=±41313,渐近线方程为y ′=±23x ′.然后通过反演H -1:x =x ′+2,y =y ′+3,得到在原坐标系下,中心为(2,3),顶点为(2,1)、(2,5),准线方程为　y =3±41313,渐近线方程为2x -3y +5=0或2x +3y -13=0.五、现实模型结构和数学模型结构现实世界中的一些问题可以根据某些对应法则,将其映射成中学数学中一些常见结构(如:函数结构、方程结构、不等式结构……)中的问题,在数学结构中通过计算、推导得出数学结论后,再通过反演回到现实原型中,从而获得实际问题的解决.这是RM I 方法在中学数学中运用的典型内容.例8　某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷?(精确到1公顷)首先将这个现实问题映射成不等式结构中的问题:令耕地平均每年至少只能减少x 公顷,该地区人口为p ,粮食单产为M 吨/公顷.依题意得不等式M ×(1+22%)×(104-10x )p ×(1+1%)10≥M ×104p×(1+10%).然后在不等式结构中解这个不等式:化简上式,得x ≤103×[1-1.1×(1+0.01)101.22].∵　103×[1-1.1×(1+0.01)101.22]　=103×[1-(1.11.22)×(1+C 110×0.01+C 210×0.012+…)]　≈103×(1-(1.1)×1.1045]　≈4.1,∴x ≤4(公顷).最后将x ≤4这个数学关系,反演到现实模型中去,即按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷.。

RMI原则在中学数学中的应用

RMI原则在中学数学中的应用
发表时间：2011-11-07T15:34:50.760Z 来源：《素教教师》2011年8期供稿作者：马特[导读] ）复数法：前面我们提过复数法也是RMI原则的一种应用。

马特
这是一个将抽象化归的例子，其中有数形结合的思想。

（四）构造法：通过构造题目本身所没有的解题中介工具去解题。

下面通过实例看构造法是如何渗透RMI原则的。

（五）复数法：前面我们提过复数法也是RMI原则的一种应用。

RMI原则的映射使原象变成复数。

（六）初等几何变换的实质是有一个集合到另一个集合的双射，欧氏几何研究的是在这一双射下的图形到的不变量和不变性质。

徐利治先生在《数学方法论选讲》如此表述RMI原则：对目标原象的原象结构，先找到一个可定映映射，同时考虑到的逆映射具有合乎问题需要的能行性。

RMI原则的思想体现了数学的抽象性。

它寻求一种将“未知、复杂、困难”的问题转化为“简单、容易”的映射，在新的领域中，使问题得到解决，再“反演”回原来的领域中去，提高解决问题的能力，强化“数学细胞”,减少在解决数学问题的盲目性。

作者单位:珠海市第三中学。

数学方法论

数学方法论数学方法论数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问。

数学是一门工具性很强的科学，它和别的科学比较起来还具有较高的抽象性等特征，为了有效地发展它、改进它、应用它或者把它很好地传授给学生们，就要求对这门科学的发展规律、研究方法、发现与发明等法则有所掌握，因此，数学研究工作者、数学教师、科技工作者，以及高年级大学生、研究生等都需要知道一些数学方法论。

数学方法论特征对数学方法论的早期研究，十七世纪就已经开始了，法国数学家笛卡尔和德国数学家莱布尼兹都曾做过这方面的探讨，并出版过专著，历史上不少著名的大数学家，如欧拉，高斯、庞加莱、希尔伯特等人也曾就数学方法论的问题发表过许多精辟的见解，但是，对数学方法论进行系统地研究，还是最近几十年间的事，在这方面做了突出的贡献，当首推美国数学家和数学教育家波利亚，最近几十年来.由于现代电子计算机技术已经进入了人工智能和摸拟思维的阶段，就更加促使数学方法论蓬勃发展起来;信息论，控制论、认知科学和人工智能的最新研究成果相继引进了数学方法论的领域。

而徐利治先生正式提出"数学方法论"这一名称，并使其成为一门独立的学科，迄今仅二十来年。

数学科学和数学史料是数学方法论的源泉，同时，数学方法论还涉及到哲学、思维科学，心理学、一般科学方法论、系统科学等众多的领域。

数学方法论分为宏观数学方法论与微观数学方法论。

数学宏观方法论所研究的是整个数学的产生、形成和发展的`规律，数学理论的构造，以及数学与其它科学之间的关系。

研究宏观方法论的主要途径之一是研究数学史。

研究宏观方法论的另一条主要途径是研究数学理论体系的构造。

数学微观方法论所研究的是一些比较具体数学方法，特别是数学发现和数学创造的方法。

包括数学思维方法、数学解题心理与数学解题理论等等。

数学方法论目录第1讲数学方法论引论1 研究数学方法论的意义和目的2 宏观的方法论与微观的方法论3 略论希尔伯特成功的社会因素4 浅谈微观的数学方法论第2讲略论数学模型方法1 数学模型的意义2 数学模型的类别及简单例子3 MM的构造过程及特点4 怎样培训构造MM的能力第3讲关系映射反演原则的应用1 何谓“关系映射反演原则”?2 数学中的RMI原则3 若干较简单的例子4 几个较难一点的例子5 用RMI原则分析“不可能性命题”6 关于RMI原则的补充说明第4讲略论数学分理化方法1 公理化方法的意义和作用2 公理化方法发展简史3 公理化方法的基本内容4 重要例子——几何学公理化方法5 关于公理系统的相容性问题6 略谈自然科学中的公理化方法第5讲关于数学的结构主义1 结构主义学派的形成过程2 布巴基学派的一般观点3 数学结构的分类4 数直线结构分析5 略变拓扑结构6 略谈同构概念7 略评结构主义第6讲代数方程根式解法与伽罗瓦的群论思想方法1 代数基本定理与根式解法研究简史2 拉格朗日的思想方法与阿贝尔定理3 伽罗瓦的思想方法4 方程式可解性理论简介第7讲关于非标准数域与非康托型自然数模型的构造方法1 略论“无限”概念蕴含的矛盾2 非标准数域的构造方法3 非康托型自然数序列模型的构造法4 关于一个引伸的芝诺悖论的解释5 略论无限的两种形态第8讲悖论与数学基础问题1 悖论的定义和起源2 悖论的举例和数学三次危机3 策莫洛对悖论的解决方案4 罗素对悖论的解决方案5 塔斯基及其语义学6 哥德尔的不完备性定理与悖论7 悖论的成因与研究悖论的重要意义第9讲论数学基础诸流派及其无究观1 数学系统的相对相容性证明与诸流派形成的历史近因2 逻辑主义派的观点和方法3 直觉主义派的观点和方法……第10讲略论数学发明创造的心智过程附录Ⅰ 数学轴象度概念与抽象度分析法附录Ⅱ “数学模式观”与数学教育及哲学研究中的有关问题。

数学方法论RMI方法PPT课件

汽车20
汽车10
人 10
汽车20
骑车20
＝人10的6
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前前后后两两车车的的距距离离
前后两车的距离
汽车2分钟
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甲、乙两车分别从A、B两地出发，在、之间不断往返行驶。已知甲车的速度是每小时15公里，乙车的速度是每小时35公里，并且甲、乙两车第三次相遇的地点与第四次相遇的地点恰好相距100公里，那么，AB两地相距多少公里？
第13页/共23页
四、运用RMI方法来解决数学问题的基本思路：
（一）能否在另一关系结构中构造出该问题的模型（二）能否用另一知识系统中的语言来改述与解决这个问题（三）变形－－对应（映射）－－反演
第14页/共23页
日本数学家、数学教育家米山国藏指出： “学生进入社会后，几乎没有机会应用他们所学到的数学知识，因而这种作为知识的数学，通常在学生出校门后不到一两年就忘掉了，然而不管人们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着重要的作用。”
甲岁数
现在岁数与当时岁数的差 113岁
乙岁数
丙38岁
甲现在岁数
乙现在岁数
丙现在岁数
甲现在岁数是： (113 38) 3 2（5 岁）
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甲17岁
现在岁数与当时岁数的差 113岁
乙岁数
丙岁数
甲现在岁数
乙现在岁数
丙现在岁数
乙现在岁数是：丙现在岁数是：
(11317) 3 3（2 岁） 113 25 32 5（6 岁）
1
2
3
2400 9 3 800
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行程问题的数量关系（速度比）

RMI原理在中学数学中的应用

￣ｙＴ－
一一一
且 ≠ ０；
当一０时，１一 ∈Ｒ，
・
一
．
．
≤≤ ．譬
就可以确定目标原象．过以下步骤 “ 系— — 映通关
二、数结构和三角结构代
射～定映一反演——获解” —一一的数学解题方法称之为Ｒ原理，思维框图如下图所示：ＭＩ其
＜．
结构系统：
一）・
Ｉ
目标原象：
反演广
分析：道题若直接采用代数方法证明会比较困这难，但从它的结构特征来分析的话，可以利用Ｒ原理ＭＩ
・
对于给定的一个含有目标原象．的原象关系结构系统７２
．
．
一
Ｔ，当在Ｔ中不容易或者不能够直接确定ｚ时，如果能找到一个可定映映射： — Ｔ将Ｔ映入映象关系结Ｔ，构系统丁在Ｔ；中通过一定的数学方法去确定目标映
象一、（，后再通过反演，厂）然即相应的逆映射，一， ’
１方程结构映射成函数结构．
过恒等变形或者关系映射反演等原理得以实现．
【１已知方程ｓ２＋ｃｓ＋ａ例】ｉｘｏｘ＝０有实数解，ｎ求实数ａ的取值范围．解：由原方程得
ｎ：ＣＯＳ。ｚ — ＣＯＳ
．
关系映射反演原理即：系（ｅｔｎ、关Ｒｌｉ）映射（ｐａｏＭａ—
／，） ’ ．一０对于非空数集Ａ中任意一个ｚ而言，有（ｙ。都唯一确定的一组解一 ’ ，时它就可以看做是．关于ｙ

RMI原则在高中几何教学中的应用

RMI原则在高中几何教学中的应用第一篇：RMI原则在高中几何教学中的应用欢迎光临《中学数学信息网》***************RMI原则在高中几何教学中的应用广东省清远市清城中学高中部张爱菊广西壮族自治区桂林市桂林理工大学理学院张浩奇摘要：本文简单介绍了RMI原则，从5个方面以5个例子说明了RMI原则在高中几何教学中的应用，在解题中突出算法思想，以流程图的形式清楚地表述出解题思想过程。

关键词：RMI原则；高中几何；教学；流程图1.RMI原则简介关系 (relation) 映射(mapping)反演 (inversion) 原则是一种普遍的工作原则，简称为RMI 原则。

其基本思想如图1:我们知道，一道数学题或一个数学理论，都是由一些已知的数学对象，已知的数学关系和未知的（待定的）数学对象与关系组成的，我们把由这些对象与关系组成的集合称为关系结构系统。

显然，上面框图中间建立起某种确定的对应关系，使手续在中把映象目标中的，都是一个关系结构系统。

如果我们能在在与之中有唯一的元素与之对应，且能够通过数学确定下来，那么，这种对应就称为可定映映射。

同样，“反演”也是一确定”。

种对应，且满足“可以被RMI 原则告诉我们：如果在原象关系结构系统的可定映映射，将转化为，并在中不易确定原象目标，我们可以通过适当中确定映象目标，再通过反演确定。

2. RMI原则在高中几何教学中的应用在高中数学教材中，多处运用了RMI原则解决数学问题的思想和方法，所以，教师在教学中可以向学生明确指出这种思想方法，使之作为一种思想方法自觉运用。

RMI资料详解

二,RMI系统运行机制
客户端的JVM 客户端的应用程序 Stub Method1() () Method2() () 数据流
服务器端的JVM 服务器端的 Remote Method1() () Method2() ()
返回值参数
Skeleton Method1() () Method2() ()
一,RMI概述概述
2,RMI的目的 , 的目的 RMI的根本目的就是给应用程序开发者提供一个调用的根本目的就是给应用程序开发者提供一个调用远程对象方法的抽象功能,而不必采用低级通信. 远程对象方法的抽象功能,而不必采用低级通信.这样用 java开发的分布式应用程序可以完全是面向对象的,可以开发的分布式应用程序可以完全是面向对象的, 开发的分布式应用程序可以完全是面向对象的使用面向对象的开发方法进行设计. 使用面向对象的开发方法进行设计. RMI目前使用目前使用Java远程消息交换协议远程消息交换协议JRMP(Java 目前使用远程消息交换协议 ( Remote Messaging Protocol)进行通信.JRMP是专 )进行通信. 是专的远程对象制定的协议. 为Java的远程对象制定的协议.因此,Java RMI具有的远程对象制定的协议因此, 具有 Java的"Write Once,Run Anywhere"的优点,是分布的 , 的优点, 的优点式应用系统的百分之百纯Java解决方案.用Java RMI开解决方案. 式应用系统的百分之百纯解决方案开发的应用系统可以部署在任何支持JRE(Java Run 发的应用系统可以部署在任何支持 ( Environment Java,运行环境)的平台上. ,运行环境)的平台上.
二,RMI系统运行机制

RMI原则及其在高等数学中的应用

Ｆ）∑ （１＝
ｔ１ｆｎ＋．＝＝ｔ
于经匕即、 ±５］是Ｅ得／【上较、二＿二
一
作变换：
解：
＝，可得到易于定映的有理函数的ｔ则
不定积分，作反演可使问题得解。再
＝，ｘｔｄ＝ｔｔ而有ｔ则＝６ｘ６ｄ，，从
种包罗万象的科学方法论原则。Ｒ原则的基本内容为：Ｒ表示一组原象的ＭＩ令
经圈
高春涛
（哈尔滨商业大学，哈尔滨１０２）５０８
文摘编号：０５９３２１０ — １９Ｃ１０ — １Ｘ（００）４０５一Ａ摘要：ＭＩ则是一种重要的分析和处理问题的方法。Ｒ原
目标原象Ｘ的关系结构系统ｓ。如果能找到一个可定映映射，Ｓ映人或映满ｓ，可从Ｓ通过一将则
』
＝＝＝（＋ｔ』６６ｔｌ器－Ｉｔ２
：
关系结构（或原象系统）其中包含着待定的原象Ｘ，，令Ｍ表示一种映射（一一对应法则１通过它的作用，假定原象结构系统Ｒ被映成映象关系结构Ｒ，中其自然包含着未知原象Ｘ的映象ｘ，如果有办法把Ｘ确定下来，则通过反演即逆映射ＩＭ＝也就相应地把Ｘ确定下来，这便是ＲＩＭ工作原则的基本内容。
任一形如Ｒｘ（Ｖ）（Ｉ型鲁），或Ｒｘ／，的无理函
数的积分问题。因为，通过所说的变换，可将上述函
映射

《高等数学》中RMI原则的教学与运用

ｎＯｒ＝／
Ｈｎ＝ ‘
的和函数（流程图见图四）；第五步讲一个比例四更复杂的例子，如例五：求
ｎ＝Ｕ、
的和函数（流程图见图五）。
取对教
求
极限
求
极限
圈
取指 Hale Waihona Puke （图二）求导
求
知
函
数
求积分
（图三）
等数学中的主要运用。尤其是将解题过程以流程图的形式表达出来，使学生对Ｒ原则更易理解和接受。ＭＩ
关键词：高等数学；Ｒ原则；教学；流程图ＭＩ
中图分类号：Ｇ２４７文献标识码：Ａ文章编号：１７－２９（０８４００ — ３６３２１２０）０— ２４０
当然，若不提出Ｒ原则，则解题方法起不到升华的效果，学生知其然而不知起所以然，更谈不上用所学的方法去解ＭＩ
决其他数学问题乃至其他课程中的问题。
三
ｉ求幂指函数的极限，如：例二。、
ＲＩ则的运用Ｍ原
２、求幂级数的和函数，如例三、例四、例五。
一
Ｒ原则简介 …
所谓Ｒ原则就是：ＭＩ令表示一组原象的关系结构（或原象系统）其中包含着待确定的原象ｘ，，令表示一种映射，通过它的作用假定原象结构系统尺被映射成映象关系结构，其中自然包含着未知原象ｘ的映象ｘｌ如果有办法把ｘｌ，确
３将函数展开成幂级数。、
例：开，＝１ｘ３ｘ幂数六展）（）３的级。一－０

关系映射反演原则

关(RMI 原则)1 RMI 原则的思想与含义关系映射反演法(简记为RMI 原则)的基本思想是转换思想，即把一种待解决或未解决的问题,通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去,最终求得原问题的解答。

关系映射反演法是在这一转换思想指导下处理数学问题的一种具体手段与方式。

一般地可表述为：设S 为含有目标原像x 的、具有某种关系结构的集,若在S 中直接求x 有困难,可建立可逆映射φ，它满足：(1) S 在φ下的像φ(S)包含于另一个具有关系结构的集S*；且(2)S*中可以较容易地确定目标映像x*=φ(x) ，这样一来,就可以通过反演1-ϕ来确定x(即x=1-ϕ(x*))。

这个全过程可以概括为以下几个步骤:关系→映射→定映→反演→得解，并可用图表示如下：2关系映射反演原则在概率逼近中的应用用概率方法研究逼近中的问题，其关键是如何运用关系映射反演原则，即包括怎样把逼近中的有关问题适当地用概率语言描述，使其变成概率中的问题（此步即寻找关系映射φ）然后是如何应用概率论的方法把用概率语言描述的逼近问题进行处理,即求解（此步为映射功φ），最后是把定映后的概率语言翻译成我们所要解决的逼近问题（此步为反演1-φ）。

下面用图说明此过程。

由关系映射反演原则知：概率逼近的关键是如何通过原象关系，确定映射φ（用概率语言描述）确定定映ψ（怎样在概率论中求解）和反演1-ϕ中（去掉概率语言）。

下面通过例子来说明关系映反演原则在概率逼近中的重要作用及应用。

3用概率论方法weiesrtrass 逼近定理定理：设)(x f 在ba ,上连续，那么对任意0>ε，总存在多项式)(x φ，使得：φ-f =εφ<-)()(sup x x fba x ,∈由数学分析教材只需考虑1,0,=b a 的情形即可,现在我们先应用概率知识来直观地解释一下weiesrtrass 定理的概率证明的想法及Bernstein 多项式的由来和关系映射反演原则的作用1设随机变量ξ的取值范围为{0,1}，对任意}1,0{∈x 它的分布律为x P x -==1)0(ξ，x P x ==)1(ξ (1) （此处及今后与x 有关的概率记作(.)x P )设1ξ，2ξ， n ξ总与ξ同分布，且相互独立。

RMI原理在中学数学中的应用

RMI原理在中学数学中的应用化归法是一种重要的数学研究和解题的方法.化归就是转移，是把需要解决的比较困难的数学问题转化归结为一个或几个比较容易解决的新问题或者已经解决的问题，从而达到求解原问题的目的.用思维结构框如图所示：化归法的目的是化繁为简，化难为易，化未知为已知.化归法的途径和手段不固定，没有固有的模式，需要具体问题具体分析，但在中学数学中，化归法经常是通过恒等变形或者关系映射反演等原理得以实现.关系映射反演原理即：(relation)、映射(mapping)、反演(inversion)原理,简称rmi原理.rmi原理的提出有着坚实的哲学依据，即：世界是一个普遍联系的有机整体，世界上事物的联系具有普遍性.反映世界的不同量化模式(即关系结构) 相互之间也具有联系性，映射就是联系不同量化模式的基本纽带.rmi原理是一个十分重要的数学方法和思想，是化归原则在数学领域中的具体化与形式化，具有联系各个数学分支体系、解决数学问题的功能.由于rmi原理反映了数学方法的特殊性，因此，在数学方法论的发展史上，它也是一个真正具有数学特色的数学方法.数学中的关系结构是指彼此之间具有某种或某些数学关系(如代数关系、函数关系、序关系等等)的数学对象的集合.rmi理在数学中的应用可以这样描述：对于给定的一个含有目标原象x 的原象关系结构系统t，当在 t中不容易或者不能够直接确定x时，如果能找到一个可定映映射f：t→t*，将t映入映象关系结构系统t*；在t*中通过一定的数学方法去确定目标映象x*=f(x)，然后再通过反演，即相应的逆映射 f -1可以确定目标原象.通过以下步骤“关系——映射——定映——反演——获解”的数学解题方法称之为rmi维框图如下图所示：rmi原理关键是寻求适当的映射与反演.rmi原理在数学领域有着极为广泛的应用，同时派生出许多具体的数学方法，是较高层次的化归.应用rmi原理解决中学数学问题常见的情形有以下几种.一、方程结构和函数结构函数和方程在中学数学研究中是密不可分的，函数y=f(x)可以等价地看做是方程f(x)-y=0，当方程f(x，y)=0对于非空数集a中任意一个x0而言，都有唯一确定的一组解x=x0，y=y0时，它就可以看做是y关于x的一个函数.根据方程和函数之间这一互化的关系，我们可以分别在方程结构和函数结构之间运用rmi.1.方程结构映射成函数结构【例1】已知方程sin2x+cos x+a=0有实数解，求实数a的取值范围.2.函数结构映射成方程结构二、代数结构和三角结构在中学数学中，以初等函数为映射工具，利用rmi我们可以将一些代数、三角问题分别映射到代数关系结构和三角关系结构当中去，然后再反演回到原结构中来，从而达到求解原问题的目的.【例3】已知x是正实数，试证明：(x+1-x)?x＜12 .三、代数结构和几何结构我们经常说，用代数的方法去解决几何问题或者用几何的方法来解决代数问题.这实际上是一种利用代数的量与几何的形的关系来解决问题的一种方法，这种方法本身就是关系——映射——反演(rmi).在中学数学中，有许多代数问题可以通过坐标系寻求映射工具映射到几何关系结构中去，然后再反演到原来的代数结构中来，从而解决原来的代数问题.而几何问题也一样可以映射到代数关系结构中去，然后再反演到原来的几何结构中来，从而解决原来的几何问题.例如，在笛卡儿平面上用有序实数对(x，y)来表示点，它使一个有序实数对(x,y)与几何中的点构成了一一对应关系.坐标系里点的坐标按某种规则连续变化,那么,平面上的曲线就可以用方程来表示.比如，我们用关于x，y的一次方程来表示直线，用关于x，y的二次方程来表示圆锥曲线.这样作为原象的几何图形便和作为映象的(x，y)及含x，y的方程式建立起对应，这种对应关系是一种映射关系.通常情况下，一个几何问题在本质上就是某些特定的几何图形之间的关系问题，这种几何图形之间的关系问题在上述映射关系的对应下便可转化为代数式的关系问题.要解决图形之间的关系问题，只须解决代数式的关系问题即可.1.几何结构映射成代数结构【例4】已知一个半圆的直径ab =2r，直线l与ab的反向延长线垂直相交于点t，at=2a(a0)上一动点，a(6a，0)为定点，以a 为中心，将aq按顺时针方向旋转90°到ap，求p点的轨迹方程.六、应用模型结构和数学模型结构随着应用性问题在中学数学中的地位日益提高，在教学中我们既要重视提高学生的解题技巧，培养学生用熟知的数学模型解决数学问题的能力，又要培养学生从实际问题中提炼和构造数学模型的能力和将复杂陌生的问题化归为简单熟悉的数学模型来解决实际问题的能力.根据某些对应法则，通过建模可将一些有关应用模型结构的问题映射成中学数学中常见的问题结构(例如函数结构、数列结构、方程结构、三角结构、不等式结构等)，形成数学模型，在数学模型中找到解决数学问题的方法，得出结论后再反演回到实际问题原型中，从而解决实际问题.这是运用rmi原理解决中学数学问题最典型的内容.【例8】a村、b村坐落在一条小河的同侧，两村计划在河边共建一座可以供两村使用的水电站发电，已知a村到河边的垂直距离为300m，b村到河边的垂直距离为700m，两村相距500m，问水电站应该建于何处，使得送电到两村的电线用料最省?分析：要解决这个生活问题，必须用数学语言对问题加以描述，转化为一个数学问题，也是我们常说的数学建模.我们可以把两个村庄看做是两个点a、b，而小河则可看做是一条直线l，这样就可以将原问题转化为：在一条直线的同侧有相距500m a、b，它们到这条直线的距离分别为300m和700mp，使得∣ap∣+∣bp∣的值最小.这样一来，利用解析几何中的距离公式就可以很快求得p点的坐标，最后将p点再反演为水电站的位置即可.解决这类问题的关键在于怎样把实际问题归纳或抽象为数学问题，而数学建模能力的缺乏是学生在解决应用问题时遇到的最大困难.首先，我们必须弄清实际问题中已知的信息以及这些信息的关系，然后紧扣问题的主要矛盾提出假设，运用数学语言对已知信息进行必要的加工、改述，确定所要建立的数学模型中各种量的关系或图形之间的关系，最后找到解决数学模型问题的方法时，实际问题也就迎刃而解了.利用rmi原理研究数学问题，关键在于选取适当的映射.rmi 原理能揭示数学上两种关系结构的本质联系，是一种重要的数学思想方法.要想灵活地在中学数学中应用rmi原理，要求我们熟练掌握数学各分支的知识体系以及各分支之间的联系和变化，从而使数学各部分知识形成一个完整的整体.使用rmi原理指导学生解题，有助于学生对数学知识的理解，既可用以启发学生解题的思路、提高学生解题的效率，又可用来指导学生进行数学发现.在中学数学教学中，为了提高学生的数学思维品质和解决问题的能力，我们要注重培养学生运用rmi和能力.(责任编辑金铃）。

manim公式

manim公式在数学领域，Manim公式是一个非常重要的公式，它广泛应用于各种数学问题中。

以下是对Manim公式的详细介绍：定义：Manim公式是一个用于解决许多数学问题的公式，它以三位数学家的名字命名，分别是莫因、尼尔和艾曼。

它涉及到了关于复数运算和向量运算的多个基本定理和概念。

结构：Manim公式是一个相当简洁明了的公式，通常涉及到了多项式运算和矩阵运算。

它通常以一个等式的形式出现，其中包含了多个变量和表达式。

应用：Manim公式在许多数学领域中都有广泛的应用，包括代数、几何、微积分、概率论等。

它常常用于解决各种复杂的问题，如解方程、求积分、证明定理等。

通过使用Manim公式，可以简化计算过程，提高解题效率。

求解方法：Manim公式的求解方法通常涉及到代数学和几何学的知识。

在代数方面，需要熟练掌握多项式运算和矩阵运算的基本原理和方法；在几何方面，需要理解向量运算的基本概念和方法。

在求解Manim公式时，需要仔细分析题目的条件和要求，找到合适的变量和表达式，并运用相应的数学原理和方法进行求解。

注意事项：在使用Manim公式时，需要注意一些细节和限制条件。

首先，Manim公式只适用于某些特定的问题和情况，需要根据具体情况选择是否使用。

其次，在使用Manim公式时，需要仔细分析题目的条件和要求，确保所使用的变量和表达式符合题目的要求。

最后，需要熟练掌握相关的数学知识，以便更好地理解和应用Manim公式。

总之，Manim公式是一个非常重要的数学公式，广泛应用于各种数学问题中。

通过仔细分析题目条件和要求，选择合适的变量和表达式，并运用相应的数学原理和方法进行求解，可以更好地理解和应用Manim公式。

rmi方法

rmi方法嘿，你知道啥是 rmi 方法不？这可真是个有意思的玩意儿啊！咱就说啊，rmi 方法就像是一把神奇的钥匙，能打开好多扇紧闭的门呢！它不是那种死板的东西，而是充满了灵活性和创造性。

你想想看，在我们生活中，很多时候都需要找到一种巧妙的方法去解决问题吧。

比如说，你想把一堆乱七八糟的东西整理得井井有条，这时候 rmi 方法就可以派上用场啦！它能帮你梳理思路，找到最合适的方式来进行整理。

又好比说，你在工作中遇到了一个超级复杂的难题，感觉脑袋都要炸了。

别急呀，试试用 rmi 方法呀！它就像一个聪明的小助手，能给你提供一些独特的视角和思路，让你突然发现：哎呀，原来还可以这样啊！rmi 方法也不是那种高高在上、遥不可及的东西哦。

它其实就在我们身边，随时随地都能被我们利用起来。

就像我们每天都要吃饭睡觉一样自然。

你看那些厉害的人，他们为啥能那么牛？说不定就是因为他们善于运用 rmi 方法呢！他们能从看似普通的事情中发现不普通的点，然后用 rmi 方法去放大这些点，最后创造出惊人的成果。

再想想我们自己，有时候是不是会陷入一种固定的思维模式里出不来呀？这时候rmi 方法就能像一阵春风一样，吹走我们头脑中的迷雾，让我们看到更多的可能性。

比如说，你一直觉得自己不擅长画画，每次拿起画笔就犯愁。

但要是你用 rmi 方法去思考一下呢？也许你会发现，原来画画不一定要画得像大师一样才叫好，只要能表达出自己的心情和想法，那也是一种很棒的创作呀！rmi 方法还像是一个宝藏盒子，你永远不知道打开后会发现什么惊喜。

它可以让你在平淡的生活中找到乐趣，在困难的挑战面前找到勇气。

难道你不想拥有这样一个神奇的方法吗？它能让你的生活变得更加丰富多彩，让你的工作变得更加高效有趣。

所以啊，别再犹豫啦，赶紧去了解和运用 rmi 方法吧！相信我，你一定会爱上它的！它会给你带来意想不到的收获和惊喜呢！就这么定啦！。

RMI解题方法

关系、映射、反演的策略一、专题简析关系(relationship)、映射(mapping)、反演(inversion)方法,简称RMI 方法, 是一种重要的数学思想方法,也是分析、处理数学问题的一种奇特方法，是转化策略中一种特殊类型，是问题解决中的“神来之笔”，体现出“独辟蹊径”的创造性。

RMI 方法的基本思想：当解决问题甲有困难时,可以借助适当的映射对应,将问题甲及其关系结构R,转换成比较容易解决的问题乙及其关系结构R*,在关系结构R*中解出问题乙的解x*,然后把问题乙的解x*,通过反向的映射即反演回去得到结果x,而这个结果x 就是问题甲的解。

关系图如下：（解释较抽象，精髓自己悟）二、案例分析、问题探究引例历史典故——螳螂捕蝉，黄雀在后案例1 欧拉妙解七桥问题——运用RMI 方法的典范案例2 五位好朋友见面后，互相握一次手，一共握多少次手？可以数出多少条线段？问题1 小高妈妈每天让小高吃1个鸡蛋或者1个鸽蛋，那么小高吃完家里的6个鸡蛋和2个鸽蛋共有多少种不同的吃法？问题2 小明有8颗大白兔奶糖，计划每天至少吃一颗，连着三天吃完，有多少种不同的吃法？问题3 7只杯子杯口全都朝上。

规定每次翻转4只杯子，经过若干次后，能否使杯口全部朝下？问题4 布袋中放有一样大小的白球41个,黑球40个.小明每次从袋中随意摸出两个球,如果摸出的两球同色，就另外再拿一个黑球放入袋中；如果摸出的两球异色，就把其中那个白球放回袋中。

这样摸了79次后，试确定袋中剩下的球的情况？问题5321161814121++++问题6如何解释“一尺之锤，日取其半，万世不竭”？问题7如图有一段楼梯有8个台阶，规定每一步只能跨一级或二级，问：要登上第8级台阶有多少种不同的走法？问题8将一根均匀的长木条上，先刻上12等分线，再刻上15等分线，然后按刻度线锯开，能得到木条多少段？问题9一只蚂蚁从点A沿着实线爬到点B,不同的最短线路有条.问题10※（开阔眼界，解几启蒙听听即可）已知一个直角梯形ABCD，上底、下底、高分别为4厘米、12厘米、4厘米，对角线AC,BD相交于点E, 求E点到AD边的距离。

基于RMI原则的高中圆锥曲线的研究与实践

基于RMI原则的高中圆锥曲线的研究与实践摘要：本文基于RMI原则，对高中圆锥曲线的研究与实践进行了探究。

首先，介绍了RMI原则的概念和应用，指出其在教学中的重要性和必要性。

然后，对圆锥曲线进行了详细的分类和定义，阐述了其在几何学和物理学中的应用。

接下来，简要介绍了高中圆锥曲线的教学内容和目标，以及实现这些目标所需要的教学策略和方法。

最后，通过实例分析和实践活动，探讨了如何利用RMI原则有效地促进高中圆锥曲线的教学和学习。

关键词：RMI原则；高中圆锥曲线；教学策略；实践活动一、RMI原则的概念和应用RMI，即“Research, Methods, and Instruments”的缩写，翻译成中文为“研究、方法与工具”，是一种常用于教育教学中的方法论。

该原则强调教学应以研究为基础，以方法为指导，以工具为支撑，从而实现真正的有效学习。

在高中数学教学中，应用RMI原则可以有效提高学生对数学知识的理解和掌握能力。

二、圆锥曲线的分类和应用圆锥曲线是由平面切割双锥体所得的曲线，包括椭圆、双曲线和抛物线。

在几何学和物理学中，圆锥曲线有着广泛的应用，例如，用于描述天体运动和电子轨道等。

在高中数学教学中，圆锥曲线是一个重要的内容，需要深入掌握和理解。

三、高中圆锥曲线的教学策略和方法高中圆锥曲线的教学需要注重培养学生的几何直观感和数学思维能力。

教学策略可以采用从易到难的逐步推进方式、实例分析课堂讨论方式、模型演示等多种形式。

此外，针对不同类型的圆锥曲线应采取不同的教学方法，比如，对于双曲线，可以采用超越函数方法，对于椭圆则可以采用参数方程法等。

四、基于RMI原则的实践活动在教学过程中，应重视学生的实践活动，例如，让学生绘制圆锥曲线的图形，通过观察和比较不同类型的圆锥曲线，深入理解其性质和特点。

同时，还可以采用数学建模的方法，让学生将所学知识应用到实际问题中，增强其数学应用能力。

总之，基于RMI原则的高中圆锥曲线的研究与实践是十分重要的。

RMI原则在中学数学中的应用

RMI原则在中学数学中的应用RMI原则（Representation, Methods, Interpretation）是指表示、方法和解释三个方面，是数学教学的一个重要原则。

在中学数学中，RMI原则的应用可以帮助学生更全面地理解数学知识，提高数学学习的效果。

首先，表示是指用符号、图表等形式把问题或知识表达出来。

在数学教学中，教师可以通过具体的实物、图片、图表等形式来引入数学概念，帮助学生更好地理解和把握。

比如，教师可以通过引入具体的实际场景，如购物、旅行等，来介绍货币单位计算、比例关系等数学概念。

通过实际的物品，学生可以更直观地理解和记忆相关的数学知识。

其次，方法是指用于解决问题的数学方法。

在数学教学中，教师需要引导学生学习并掌握各种数学方法，如列方程、作图、逆向思维等，以解决不同类型的数学问题。

通过多样化的数学方法的引导，学生可以培养出灵活运用数学知识解决实际问题的能力。

例如，在解决一元一次方程的问题中，教师可以引导学生通过逆向思维，借助解释式思维，将解决问题的步骤转化为数学表达式的形式，从而更好地理解和解决问题。

最后，解释是指对数学知识的解释和理解。

在数学教学中，教师应该及时解释数学概念、定理、方法等的内涵和意义，帮助学生更深入地理解数学知识。

通过解释，学生可以建立起更完整、准确的数学知识体系。

例如，在几何学习中，教师可以通过对定理的解释和例题的讲解，帮助学生理解并掌握相关的性质和规律。

总而言之，在中学数学教学中，RMI原则以表示、方法和解释三个方面的应用，有助于学生全面地理解数学知识和解决数学问题。

通过引入具体的表示形式，可以帮助学生更直观地理解数学概念；通过教授多样化的数学方法，可以培养学生的灵活运用数学知识的能力；通过解释数学知识，可以帮助学生建立起完整的知识体系。

因此，教师在教学中应注重运用RMI原则，以促进学生的数学学习和发展。