人教版高中数学选修(2-1)-2.3典型例题：双曲线及其标准方程

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数学：2.3《双曲线及其标准方程》课件(新人教版B选修2-1)

方程
x y − 2 =1 2 a b
2
2
y x − a.b.c 的关系
F ( ±c,0)
c = a +b
2 2 2
F ( 0, ±c )
谁正谁对应 a
例１、求双曲线的标准方程 (1)已知双曲线的焦点为F 5,0)和 (1)已知双曲线的焦点为F1(-5,0)和F2(5,0), 已知双曲线的焦点为双曲线上的点Ｐ双曲线上的点Ｐ到F1与F2的距离之差的绝对值 6,求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程。变题）为6,求双曲线的标准方程。(变题） (2)已知双曲线的焦点为F (0， 6)和 (2)已知双曲线的焦点为F1(0，-6)和已知双曲线的焦点为且经过点（ F2(0,6), 且经过点（2，-5）。
定义：平面内与两定点F 定义：平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a 点的轨迹叫做双曲线。等于常数2a (0 < 2a < F1F2 ) 点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。做双曲线的焦距。
M
F1
F2
0
F1
x P
| （x + c) + y − （x − c) + y |= 2a
2 2 2 2
对比两个方程可发现，仅互换了x, y y2 x2 ∴ 2 − 2 = 1 ( a > 0, b > 0) a b 表示焦点在y轴上的双曲线。
定义图象
MF1 − MF2 = 2a， < 2a < F1F2 ) (0
在两组同心圆的交点中描出“ 在两组同心圆的交点中描出“与Ｆ２，F1两点的距离的差等于8”的交点的交点。的差等于的交点。

高中数学选修2-1 2.3.1双曲线的标准方程(一)

3.求解方程
（1）建系（2）设点 M(x,y) （3）限制条件（4）代入等式（5）化简整理
y M
O
x
MF1 MF2 2a 0 2a 2c
同学们亲手练习！
x y 2 1(a 0, b 0) 2 a b
2
2
4.双曲线的标准方程
2 2 x y y x 2 1(a 0, b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b 在双曲线方程中, 总有
2 2 2
双曲线 | MF1 | | MF2 | 2a x2 y2 2 1 2 a b 2 2 y x 2 1 2 a b ( c , 0) (0, c ) c a b
2 2 2
方程
焦点 a , b, c 的关系
四、讲练结合
例1.课本P 47, 例1 已知双曲线的两个焦点分别为F1 5, 0 , F2 5, 0 , 双曲线上一点P到F1 , F2 距离之差的绝对值等于6.求双曲线的标准方程. 变式1.已知两点F1 5, 0 , F2 5, 0 , 求与这两点
(1)m ;
( 2)m ; (3)m 1; ( 4) 1 m 2
例3.求根据下列条件, 求双曲线的标准方程 (1)经过点P 3，10 ，Q 6， 2 的双曲线方程; ( 2)c 6 , 经过点( 5, 2), 焦点在x轴上. x y (3)已知双曲线与椭圆 1有共同的 27 36 焦点, 且过点
三、新知讲解
1.双曲线的定义平面内与两个定点F1 , F2的距离之差的绝对值等于常数2a (小于 | F1F2 |)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点, 两焦点间的距离叫双曲线的焦距.

人教版高中数学选修2-1练习：2-3-1双曲线及其标准方程

4 课后课时精练一、选择题1．在方程 mx 2＋ny 2＝ n 中，若 mn<0，则方程表示的曲线是A ．焦点在 x 轴上的椭圆B ．焦点在 x 轴上的双曲线C ．焦点在 y 轴上的椭圆D ．焦点在 y 轴上的双曲线2x分析：方程可化为 n ＋y 2＝1，n∵ mn<0，∴ m <0.∴方程表示焦点在 y 轴上的双曲线．答案： Dx2y22． [2014 ·福建宁德一模 ] 已知椭圆 a 2＋ 9 ＝1(a>0)与双曲线()x2y 24 －3＝1 有同样的焦点，则 a 的值为 ()A. 2B. 10C. 4D.342222分析：因为椭圆 x 2＋y＝1(a>0)与双曲线 x －y＝1 有同样的焦点a9 43(± ，，则有a 2－9＝7，∴ a ＝4.选 C.7 0)答案： C2 23．已知双曲线 x －y＝1 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，若双曲线25 9的左支上有一点 M 到右焦点 F 2 的距离为 18，N 是 MF 2 的中点，O 为坐标原点，则 |NO|等于 ( )A. 2 B ．13C ．20D ．41分析： NO 为△ MF 1F 2 的中位线，所以 |NO|＝2|MF 1|，又由双曲线的定义，知|MF 2|－|MF 1|＝10，因为 |MF 2|＝ 18，所以 |MF 1|＝8，所以 |NO|＝ 4，应选 D.答案： D4．若椭圆 x2y2＝1(a>b>0)和双曲线 x2－ y2a ＋b m n ＝1(m>0，n>0)有同样的焦点 F 、F ，P 是椭圆与双曲线的交点，则 |PF · 的值是()1 21| |PF 2| 1A ．a －mB.4(a － m)C ．a 2－m2D. a － m分析：由椭圆和双曲线的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝2 a ，||PF 1|－|PF 2||＝2 m ，两式平方相减得 4|PF 1| ·|PF 2|＝4(a －m)，∴ |PF 1| ·|PF 2|＝a －m.答案： A5．若 ab ≠0，则 ax －y ＋b ＝0 和 bx 2＋ay 2＝ab 所表示的曲线只可能是下列图中的 ( )x 2y 2分析：方程可化为 y ＝ax ＋b 和 a ＋ b ＝1.从选项 B ，D 中的两个椭圆看， a 、b ∈(0，＋ ∞)，但由 B 中直线可知 a<0，b<0，矛盾，应清除 B ；由 D 中直线可知 a<0，b>0，矛盾，应清除 D ；再由 A 中双曲线可知 a<0，b>0，但直线中 a>0，b>0，也矛盾，应清除 A ；由 C 中的双曲线可知 a>0，b<0，和直线中 a>0，b<0 一致．应选 C.答案： Cx2y26．[2014 ·江西高考 ]过双曲线 C ：a 2－b 2＝1 的右极点作 x 轴的垂线，与 C 的一条渐近线订交于点A.若以 C 的右焦点为圆心、半径为4 的圆经过 A ，O 两点 (O 为坐标原点 )，则双曲线 C 的方程为 ()x 2 y 2x 2 y 2A. 4－12＝1B. 7 －9 ＝1x 2 y 2x 2 y 2C. 8－ 8 ＝1D. 12－ 4＝1分析：此题考察双曲线的标准方程与几何性质，意在考察考生灵巧运用所学知识剖析问题、解决问题的能力．设双曲线的右焦点为 F ，则 F(c,0)(此中 c ＝ a 2＋b 2)，且 c ＝|OF|＝r ＝4，不如将直线 x ＝a 代b＝4，得 a －2＋b 2＝4，即 a 2－8a ＋16＋b 2＝16，所以 c 2－8a ＝，所以 8a ＝ 2＝42，解得 a ＝2，所以 b 2＝c 2－a 2＝16－4＝12，所以 0 c2 2 所求双曲线的方程为 x － y＝1.412答案： A 二、填空题7. [2014 北·京高考 ]设双曲线 C 的两个焦点为 (－ 2，0)，( 2，0)，一个极点是 (1,0)，则 C 的方程为 ________．分析：此题考察双曲线的基天性质以及标准方程．依据已知条件可判断双曲线的中心在座标原点，焦点在 x 轴上，所以 a ＝1，c ＝ 2，于是 b 2＝c 2－a 2＝1，所以方程为 x 2－y 2＝ 1.答案： x 2－y 2＝1x 2y 28．与双曲线 16－ 4 ＝1 有公共焦点，且过点 (3 2，2)的双曲线的标准方程是 ________．x 2 y 2分析：解法一：设双曲线的标准方程为a 2－b 2＝1(a>0，b>0)，因为双曲线过点 (3 2，2)，所以2222a 2－b 2＝1，①经过计算可知 c ＝2 5，所以 a 2＋b 2＝(2 5)2. ②a 2＝12，由①②得b 2＝8.故所求双曲线的标准方程为 x 2－y 2＝1.12 8解法二：设双曲线方程为x 2－ y 2＝ 1(－4<k<16)，将点 (3 2，16－k 4＋k2)代入，得2 2 － 22＝1，16－k 4＋kx2y 2解得 k ＝4 或 k ＝－ 14(舍去 )，所以双曲线的标准方程为12－ 8 ＝1.x 2 y 2答案： 12－ 8 ＝1x2y 29．过双曲线 144－25＝1 的一个焦点作 x 轴的垂线，则垂线与双曲线的交点到两焦点的距离分别为 ________．分析： ∵双曲线方程为 x 2 － y 2＝1，∴c ＝ 144＋25＝13，F 1(－144 2513,0)， F 2(13,0)．设过 F 1 垂直于 x 轴的直线 l 交双曲线于 A(－13，y)(y>0)，∴y 2＝25132 25144－1＝144.∴ y ＝25，即 |AF 1|＝25.12 12又∵ |AF 2|－ |AF 1|＝2a ＝24，25 313∴ |AF 2|＝24＋12＝ 12 .25 313故所求距离分别为： 12、 12 .25 313答案： 12、 12三、解答题10．设双曲线与椭圆 x 2＋ y2 ＝1 有同样的焦点，且与椭圆订交，27 36一个交点 A 的纵坐标为 4，求此双曲线的方程．y2x2解：解法一：设双曲线的方程为 a 2－b 2＝1(a>0，b>0)，由题意知c 2＝36－27＝9，c ＝3.又点 A 的纵坐标为 4，则横坐标为 15，于是有42 152a 2＝4，a 2 －b 2＝1，解得22b 2＝5.a ＋b ＝9.y 2x 2所以双曲线方程为 4 － 5 ＝1.解法二：将点 A 的纵坐标代入椭圆方程得A(15，4)，又两焦点分别为 F1(0,3)、F2(0，－ 3)．所以 2a＝15－2＋＋2－15－2＋－2＝8－4＝4，a＝2，∴b2＝c2－a2＝9－4＝5，y2x2所以双曲线方程为4－5＝1.解法三：由题意设双曲线方程为x2＋y2＝1(27<λ<36)，将27－λ 36－λA( 15，4)代入得，λ＝32，λ＝0(舍去 )．所以所求双曲线方程为y2x2 4－5＝1.11．已知椭圆 x2＋2y2＝32 的左、右两个焦点分别为F1，F2，动点 P 知足 |PF1|－|PF2|＝4.求动点 P 的轨迹 E 的方程．x2y2解：由椭圆的方程可化为32＋16＝1，得 |F1F2|＝2c＝2 32－16＝8，|PF1|－|PF2|＝4<8.∴动点 P 的轨迹 E 是以 F1(－4,0)，F2(4,0)为焦点，2a＝4，a＝2 的双曲线的右支，由 a＝2，c＝4 得 b2＝c2－a2＝16－4＝12，x2y2故其方程4－12＝1(x≥2)．12．A、B、C 是我方三个炮兵阵地， A 在 B 正东 6 千米， C 在 B 北偏西 30°，相距 4 千米， P 为敌炮阵地，某时辰 A 处发现敌炮阵地的某种信号，因为 B、C 两地比 A 距 P 地远，所以 4 s 后， B、C 才同时发现这一信号，此信号的流传速度为 1 km/s，A 若炮击 P 地，求炮击的方向角．解：如图，以直线BA 为 x 轴，线段 BA 的中垂线为 y 轴成立平面直角坐标系，则B(－3,0)，A(3,0)，C(－5，2 3)．因为 |PB|＝|PC|，所以点 P 在线段 BC 的垂直均分线上．设敌炮阵地的坐标为 (x，y)，因为 k ＝－ 3，BC 中点 D(－4， 3)，所以直线 lPD ：y－3＝1BC3 (x＋4)．①又 |PB|－|PA|＝4，故 P 在以 A、B 为焦点的双曲线右支上．x2y2则双曲线方程为4－5＝1(x>0)．②联立①②式，得x＝8， y＝5 3，所以 P 的坐标为 (8,5 3)．5 3所以 k PA＝8－3＝ 3.故炮击的方向角为北偏东30°.。

2018年高中数学人教A版选修2-1： 2.3.1 双曲线及其标准方程 (17张)

2.已知方程线，求m的取值范围.
表示双曲
2019年4月
眼皮蹦跳跳专业
13
（六）回顾反思，提升经验
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M M
F2
图象
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
20a1.b9.c系年的4关月
x2 y2 1 a2 b2
y2 x2 a2 b2 1
2019年4月
眼皮蹦跳跳专业
1
北京摩天大楼
巴西利亚大教堂
20法19拉年4利月主题公眼园皮蹦跳跳专业
2
花瓶
（一）联系生活，建构概念
演示实验：用拉链画双曲线
取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，同样的操作方法画出另一条曲线，这两条曲线合起来就是双曲线。
16
2019年4月
眼皮蹦跳跳专业
17
y
M
F1 O F2 x
O
x
F ( ±c, 0)
x2 a2

y2 b2
1(a 0,b 0)
F(0, ± c)
y2 a2
x2 b2
（1 a 0,b 0)
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上呢？
20(二19次年4项月系数为眼正皮,焦蹦点跳跳在专相业应的轴9上)
（四）应用拓展，提高能力
眼皮蹦跳跳专业
4
（二）注重细节，理解概念
思考：为什么要求 0<2a<2c? 演示

高中数学《双曲线及其标准方程》学案新人教版选修2-1

2.3.1双曲线及其标准方程【课标要求】了解双曲线的定义和标准方程。

【学习目标】1、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程。

2、掌握双曲线的标准方程。

3、会例一双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题。

【自主学习】1、双曲线是怎样作出来的（作图）？双曲线的定义是什么？几何画板【百度】/ShowSoftDown.asp?UrlID=1&SoftID=101652、若将定义中的2a<21F F 改为等于或大于，点的轨迹分别是什么？3、双曲线的标准方程是什么？怎样判断焦点的位置？4、求双曲线常用方法有哪些？【典型例题】例1．（1）已知双曲线两个焦点分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，双曲线上一点P 到点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. （2））的双曲线。

，有公共焦点，且过点（求与双曲线12214522=-yx例2 已知,A B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．【百度文库】/view/52f58125af45b307e87197a7.html方程。

的轨迹求顶点，且满足边长为中，在例C C B A AB ABC ,sin sin 2sin 28.3=-∆【拓展提高】：设双曲线在双曲线上。

是其两个焦点，点M F F yx2122,,194=-的面积。

时，求）当（的面积。

时，求）当（212121*********MF F MF F MF F MF F ∆=∠∆=∠【课堂练习】表示双曲线”的是方程“则若133"3",.122=+-->∈k yk xk R k （）A 充分不必要条件Ｂ必要不充分条件Ｃ充要条件 D 既不充分又不必要条件的焦距为双曲线1210.222=-yx（）A 23B 24 Ｃ 33 D 34到坐标原点的距离是点时，的纵坐标是，当点满足动点已知点P P PF PF P F F 212),0,2(),0,2(.32121=--A26 B23 C 3 D 2===-212221121625,.4PF PF yxF F P ，则上一点，且为焦点的双曲线是以点A 2B 22C 4或22D 2或22__________60,13.521212122的面积等于，则是双曲线上的一点，且，点的两个焦点分别是已知双曲线PF F PF F P F F yx ∆=∠=-6.已知双曲线，A 、B 为过左焦点F1的直线与双曲线左支的两个交点，|AB|=9，F2为右焦点，则△AF2B 的周长为＿＿＿.22194xy-=。

高二数学人教A版选修2-1(第2.3.1 双曲线及其标准方程) Word版含答案

绝密★启用前2.3.1双曲线及其标准方程一、选择题1．【题文】双曲线x y 222-=8的焦点坐标是（）A.()23,0± B.()0,23± C.()2,0± D.()0,2±2．【题文】若双曲线22:1916x y E -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（）A ．11B ．9C ．5D ．33．【题文】下列曲线中焦点坐标为()1,0-的是（）A ．223312x y -=B ．2214x y +=C ．22143x y -= D ．22123x y +=4．【题文】若双曲线22149x y -=上一点P 到左焦点的距离是3，则点P 到右焦点的距离为（）A ．4B ．5C ．6D ．75．【题文】过双曲线228x y -=的左焦点1F 有一条弦PQ 交左支于P 、Q 点，若7PQ =，2F 是双曲线的右焦点，则△2PF Q 的周长是（）A ．28B ．1482-C ．1482+D ．826．【题文】椭圆2214x y +=与双曲线2212x y -=有相同的焦点1F 、2F ，P 是这两条曲线的一个交点，则△12F PF 的面积是（）A ．4B ．2C ．1D ．127．【题文】过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点1F ，作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，若1PF 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是（）A ．b a MO MT -=-B ．b a MO MT ->-C ．b a MO MT -<-D ．b a MO MT -=+8．【题文】已知点P 为双曲线()222210,0x y a b a b -=>>右支上一点，12,F F 分别为双曲线的左，右焦点，且212b F F a=，I 为三角形12PF F 的内心，若1212IPF IPF IF F S SSλ=+成立，则λ的值为（）A ．1222+ B ．231- C ．21- D ．21+二、填空题9．【题文】设m 为常数，若点()5,0F 是双曲线2219x y m-=的一个焦点，则m = ．10．【题文】已知双曲线221x y -=，点1F ，2F 为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若12PF PF ⊥，则12PF PF +=_______．11．【题文】若动圆M 与圆1C ：()224+2x+y =外切，且与圆2C ：()224+2x y -=内切，则动圆圆心M 的轨迹方程________．三、解答题12．【题文】求以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．13．【题文】已知命题p ：方程22122x y m m -=-表示焦点在x 轴上的双曲线.命题q ：曲线()2231y x m x =+-+与x 轴交于不同的两点，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围.14．【题文】已知()12,0F -，()22,0F ，点P 满足122PF PF -=，记点P 的轨迹为E . （1）求轨迹E 的方程；（2）若直线l 过点2F 且与轨迹E 交于P 、Q 两点，无论直线l 绕点2F 怎样转动，在x 轴上总存在定点(),0M m ，使MP MQ ⊥恒成立，求实数m 的值.2.3.1双曲线及其标准方程参考答案及解析1.【答案】A【解析】双曲线方程整理为222221,4,8,12,2348x ya b c c-=∴==∴=∴=，焦点为()23,0±，故选A.考点：双曲线方程及性质.【题型】选择题【难度】较易 2. 【答案】B【解析】由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ．考点：双曲线的标准方程和定义．【题型】选择题【难度】较易 3. 【答案】A【解析】双曲线223312x y -=中，223a =，213b =，故2221c a b =+=，焦点为()1,0±，符合题意；椭圆2214x y +=中，焦点为()3,0±，不符合题意；双曲线22143x y -=中，焦点为()7,0±，不符合题意；椭圆22123x y +=中，焦点为()0,1±，不符合题意.故选A.考点：椭圆与双曲线的焦点坐标. 【题型】选择题【难度】较易 4. 【答案】D【解析】由双曲线方程可知2224,9,13,2,3,13a b c a b c ==∴=∴===，P 到左焦点的距离是3，所以P 在左支上且11223,4,34,PF PF PF PF =∴-=∴-=27PF ∴=.考点：双曲线定义及方程. 【题型】选择题【难度】较易 5. 【答案】C【解析】由双曲线方程可知22a b ==，884c =+=，根据双曲线的定义，得2142PF PF -=，2142QF QF -=，∴2142PF PF =+，2142QF QF =+，相加可得221182PF QF PF QF +=++， ∵117PF QF PQ +==，∴22782PF QF +=+，因此△2PF Q 的周长2278271482PF QF PQ =++=++=+，故选C ．考点：双曲线的定义．【题型】选择题【难度】一般 6. 【答案】C【解析】联立两方程得22221,41,2x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得33y =，由题意可知1223F F =，所以121323123F PF S =⨯⨯=△.考点：焦点三角形的面积. 【题型】选择题【难度】一般 7. 【答案】A【解析】连接OT ，则1OT PF ⊥，在1FTO △中，1TF b =．连接2PF ，在12PF F △中，O 、M 分别是12F F 、1PF 的中点，所以212OM PF =， ()()21121111122222MO MT PF PF TF PF PF b a b b a ⎛⎫∴-=--=-+=-+=- ⎪⎝⎭，故选A ．考点：双曲线的定义，直线与圆相切．【题型】选择题【难度】较难 8. 【答案】C【解析】设△12PF F 的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得12122,2PF PF a F F c -==，1112IPF SPF r =⋅，2212IPF S PF r =⋅，12122IF F S c r cr =⋅⋅=.由题意得：121122PF r PF r cr λ⋅=⋅+，∴122PF PF a c c λ-==，又2122b F F c a==， ∴222c a ac -=，∴21acλ==-，故选C ．考点：双曲线定义的应用. 【题型】选择题【难度】较难 9. 【答案】16【解析】由点()5,0F 是双曲线2219x y m -=的一个焦点及222c a b =+可得，259m =+，解得16m =．考点：双曲线的标准方程．【题型】填空题【难度】较易 10. 【答案】23【解析】设点P 在双曲线的右支上，因为12PF PF ⊥，所以()2221222PF PF =+，又因为122PF PF -=，所以()2124PF PF -=，可得1224PF PF ⋅=，则()222121212212PF PF PF PF PF PF +=++⋅=，所以1223PF PF +=. 考点：双曲线定义的应用. 【题型】填空题【难度】一般11. 【答案】()2212214x y x -=≥ 【解析】设动圆M 的半径为r ，则由已知1+2MC r =，22MC r =-， ∴1222MC MC -=．又()14,0C -，()24,0C ，∴128C C =．∴1222C C <．根据双曲线的定义知，点M 的轨迹是以()14,0C -、()24,0C 为焦点的双曲线的右支．∵2a =，4c =，∴22214b c a =-=，∴点M 的轨迹方程是()2212214x y x -=≥．考点：求轨迹方程. 【题型】填空题【难度】一般12. 【答案】22135x y -= 【解析】由椭圆的方程为22185x y +=可知8,5a b ==，则3c =，又因为双曲线以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点，所以双曲线中 3,8,5a c b ===，则双曲线的方程为221.35x y -= 考点：双曲线的标准方程. 【题型】解答题【难度】较易 13. 【答案】522m <≤或12m < 【解析】若命题p 为真，则2m >；若命题q 为真，则52m >或12m <，∵p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，∴,p q 一真一假，若p 真q 假，则522m <≤；若p 假q 真，则12m <.∴实数m 的取值范围为522m <≤或12m <.考点：双曲线的标准方程，二次函数的图像，简易逻辑关系. 【题型】解答题【难度】一般14. 【答案】（1）()22113y x x -=≥ （2）1- 【解析】（1）由12122PF PF FF -=<知，点P 的轨迹E 是以1F 、2F 为焦点的双曲线右支，22,22,3c a b ==∴=，故轨迹E 的方程为()22113y x x -=≥. （2）当直线l 的斜率存在时，设直线方程为()()()11222,,,,y k x P x y Q x y =-，与双曲线方程联立消去y 得()222234430k x k x k --++=，22122212230,0,40,3430,3k k x x k k x x k ⎧-≠⎪∆>⎪⎪∴⎨+=>-⎪⎪+⎪⋅=>-⎩解得23k >， ()()()()()()21212121222MP MQ x m x m y y x m x m k x x ⋅=--+=--+--()()()22221212124k x x k m x x m k =+-++++ ()()()()22222222222143423454.333k k k k m m k m k m k k k +++-+=-++=+--- ,0MP MQ MP MQ ⊥∴⋅=，()()22231450m k m m ∴-+--=对任意的23k >恒成立，2210,450,m m m ⎧-=⎪∴⎨--=⎪⎩解得 1.m =- ∴当1m =-时，MP MQ ⊥.当直线l 的斜率不存在时，由()()2,3,2,3P Q -及()1,0M -知结论也成立，综上，当1m =-时，MP MQ ⊥.考点：圆锥曲线的轨迹问题及双曲线的标准方程. 【题型】解答题【难度】较难。

高中数学选修2-1课件：2.3.1双曲线及其标准方程

思考 1:若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点的轨迹是什么?
答: 爆炸点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线.
思考 2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢?
3.列式 |MF1| - |MF2|=±2a
y
M
F1 O F2 x
4.化简
此即为焦点在x 轴上的双曲线的标准
方程
若建系时,焦点在y轴上呢?
y
y
M
M
F1 O F2 x
F2 x
O
F1
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
(a 0，b 0)
问题
1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
看 x2 , y2 前的系数，哪一个为正，
运用定义及现成的模型思考,这是一个相当不错的思考方向.
课本P55——练习1T、2T 、3T 课本P61——习题2.3A组1T、2T.
x2 y2 1 ( x 3)
9 16
∴可设双曲线方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 ( x ≥ 3) .
9 16
例2:如果方程 x2 y2 1 表示双曲线，求m
2m m1
的取值范围. 解: 由(2 m)(m 1) 0 得m 2或m 1
9 16
变式训练 1:已知两定点 F1(5, 0) , F2 (5, 0) ,动点 P 满足 PF1 PF2 10 ,求动点 P 的轨迹方程.

高中数学人教A版选修21课件2.3.1双曲线及其标准方程(系列二)

2．在双曲线的定义中，条件0<2a<|F1F2|不应忽视，若2a＝ |F1F2|，则动点的轨迹是两；条若射2a线>|F1F2| 则动点的轨迹是．不存在
3．双曲线定义中应注意关键词“ ”绝，对若值去掉定义中“
”三个绝字对，值动点轨迹只能是．
双曲线一支
题型探究
待定系数法求双曲线的标准方程
3．已知双曲线方程为2x02 －y52＝1，那么它的焦距为
A．10 C. 15
B．5 D．2 15
()
[答案] A
[解析] ∵a2＝20，b2＝5，c2＝25，c＝5，
∴焦距2c＝10.
三、解答题
7．已知双曲线的一个焦点坐标为F1(0，－13)，双曲线上一点 P到两焦点距离之差的绝对值为24，求双曲线标准方程．
[解析] 设双曲线方程为：ay22－bx22＝1(a>0，b>0) 由已知得，2a＝24，∴a＝12，c＝13，∴b＝5， ∴双曲线的标准方程为：1y424－2x52 ＝1.
(不合题意舍去)．
当双曲线的焦点在 y 轴上时，设双曲线的方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)．
∵P1、P2 在双曲线上，∴(4a3222－a25()432－b27b4)22＝＝11
a12＝19 解得
b12＝116
，即 a2＝9，b2＝16.
∴所求双曲线方程为y92－1x62 ＝1.
解法二：因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)，因 P1、P2 在双曲线上，所以有
人教版选修2-1
第二章圆锥曲线与方程
2.3 双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程Fra bibliotek学习方法

2018年高中数学人教A版选修2-1： 2.3.1 双曲线及其标准方程 (21张)2

M
F1
o
F2
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1
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5
F
1
O
F
2
x
3.列式 ||MF1| - |MF2||=2a 即|MF1| - |MF2|=±2a
即
2019年4月29日
( x c) y ( x c) y 2a
2 2 2 2
眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文档 12
4.化简
( x c ) y ( x c ) y 2a
x y 2 1 2 a b
F ( ±c, 0)
2
2
y x 2 1 2 a b
F(0, ± c)
2 2
20
2
2
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c a b
2
双曲线与椭圆之间的区别与联系
椭圆
双曲线
定义 MF1 MF2 2a F1 F2 MF1 MF2 2a F1 F2 方程
16 9
2 2 9 y 16 x 144 的焦点在 2、双曲线
x
y
轴？轴？
15
3、双曲线 x 15 y 15 的焦点在
2 2
2019年4月29日眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专业文档
例1 已知双曲线的焦点为 F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.

选修2-1 2.3.1双曲线及其标准方程PPT

问题4: 定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0（即0<2a<2c）？如果不对常数加以限制，动点的轨迹会是什么？
分3种情况来看：
①若2a=2c,则轨迹是什么？此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线
F1
F2
②若2a>2c,则轨迹是什么？
此时轨迹不存在
③若2a=0,则轨迹是什么？此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线
问题1：椭圆的定义是什么？
平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等于常数（大于|F1F2| ）的点的轨迹叫做椭圆。
问题2：椭圆的标准方程是怎样的? a b，c，关系如何？
x2 y2 1(a b 0)或 y2 x2 1(a b 0)
a2 b2
a2 b2
a2 b2 c2
问题3：如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差” 那么动点的轨迹会发生怎样的变化？
mn
题后反思：
1a 2, b 2, c 6 ( 6,0).( 6,0) 先把非标准方程
2a 2,b 2, c 2 (2,0).(2,0)
化成标准方程，再判断焦点所在
3a 2, b 2, c 6
(0, 6).(0, 6) 的坐标轴。
4a m,b n, c m n ( m n,0).( m n,0)
（1）先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。
（2） x2 y2 1(mn 0) 是否表示双曲线？ mn
m 0
n
0
x 表示焦点在轴上的双曲线；
m 0
n
0
表示焦点在 y轴上的双曲线。
x2 y 2 1表示双曲线，求 m的范围。
2 m m 1
答案：m 1或m 2。

高中数学选修2-1第二章第7课时同步练习§2.3.1双曲线及其标准方程(A)

§2.3.1 双曲线及其标准方程（A ）1、双曲线221169x y -=上的点P 到点（5，0）的距离是15，则P 到(5,0)-的距离是（） A 、7 B 、23 C 、5或25 D 、7或232、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，过焦点1F 的直线交在双曲线的一支上的弦长||AB 为m ，另一焦点为2F ，则2ABF ∆的周长为（）A 、4aB 、4a m -C 、42a m +D 、42a m -3、已知方程22111x y k k-=+-表示双曲线，则k 的取值范围是（） A 、11k -<< B 、0k > C 、0k ≥ D 、1k >或1k <-4、若椭圆221(0)x y m n m n +=>>和双曲线221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点1F 、2F ，P 为椭圆与双曲线的公共点，则12||||PF PF ⋅等于（）A 、m a -B 、1()2m a - C 、22m a - D 5、到两定点1(3,0)F -，2(3,0)F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹是（）A 、椭圆B 、线段C 、双曲线D 、两条射线6、在方程22mx my n -=中，若0mn <，则方程的曲线是（）A 、焦点在x 轴上的椭圆B 、焦点在x 轴上的双曲线C 、焦点在y 轴上的椭圆D 、焦点在y 轴上的双曲线 7、双曲线22221124x y m m -=+-的焦距是； 8、椭圆中的,,a b c 的关系式是；双曲线中的,,a b c 的关系式是；9、已知双曲线221916x y -=上一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为；10、设P 为双曲线2214x y -=上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是；11、相距2000米的两个哨所A 、B 听到远处传来的炮弹的爆炸声，已知当时的声速是330 米/秒，在A 哨所听到爆炸声的时间比在B 哨所听到时迟4秒，若以A 、B 两哨所所在直线为x 轴，中点为原点建立直角坐标系，则爆炸点所在的曲线方程为；12、讨论方程22193x y k k +=--表示的曲线。

高中数学人选修2-1第二章 2.3.1 双曲线的标准方程

[例2] 如果方程
x2
y2
1
2m m1
表示双曲线，求m的取值范围.
思考：
方程 x2 y2 1表示焦点在y轴
2m m1
双曲线时，则m的取值范围__________.
[例2] 如果方程
x2
y2
1
2m m1
表示双曲线，求m的取值范围.
思考：
方程 x2 y2 1表示焦点在y轴
2m m1
双曲线时，则m的取值范围___m_<_－__2___.
(3) 若2a=0,则轨迹是什么？
思考：
(1) 若2a=2c,则轨迹是什么？两条射线
(2) 若2a>2c,则轨迹是什么？不表示任何轨迹
(3) 若2a=0,则轨迹是什么？线段F1F2的垂直平分线
双曲线的标准方程
双曲线的标准方程 1. 建系.

y
以F1,F2所在的直线
x
为x轴，线段F1F2的中点
变式训练1：已知两定点F1(－5, 0)、
F2(5, 0)，动点P满足：||PF1|－|PF2|| =10，求动点P的轨迹方程.
变式训练2：已知两定点F1(－5,
0)、F2(5, 0)，动点P满足：|PF1|－|PF2| =6，求动点P的轨迹方程.
[例2] 如果方程
x2
y2
1
2m m1
表示双曲线，求m的取值范围.
轴上？
***问题*** 1. 如何判断双曲线的焦点在哪个
轴上？ 2. 双曲线的标准方程与椭圆的标
准方程有何区别与联系?
[例1] 已知两定点F1(－5, 0)、F2(5, 0)，动点P满足：||PF1|－|PF2||=6，求动点P的轨迹方程.

人教版高中数学选修2-1第二章1双曲线及其标准方程(1)教育课件

双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
x2 a2
-
y2 b2
=
1
y2 a2
-
x2 b2
=
1
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2
思考:
当 0°≤θ≤180°时，方程 x2cosθ+y2sinθ=1 的曲线怎样变化？
今日作业 P61：A组1、2.
课间休息
（2）若2a>2c呢？
由三角形知识有这样的点M不存在
推导方程
请同学们自己建立坐标系，推导方程
如何建系？M(x,y)
y
几何条件：
M
||MF1|–|MF2||=2a
F1 o F2
x
代数化：
F1(–c,0)， F2(c,0)
| xc2y2xc2y2|2a
推导方程
y
M (x，y)
F1
(-c，0) O
F2
什
么
很
头
试
常
变
成
我
自
己
你
部
多
时
完
弄
。
但
戏
候
在
这
样
做
时现镜有
场
一
个
就
穿
我
不
想
后
不
好
的
后
和
尔
是
等
我
果
就
戴。
是东
得
你
可
希
当
你
真
以的
■电你是否有这样经历，当你在做某一项工作和学习的时候，脑子里经常会蹦出各种不同的需求。比如你想安心下来看2小时的书，大脑会蹦出口渴想喝水，然后喝水的时候自然的打开电视。。。。。。，一个小时过去了，可能书还没看2页。很多时候甚至你自己都没有意思到，你的大脑不停地超控你的注意力，你就这么轻易的被你的大脑所左右。你已经不知不觉地变成了大脑的奴隶。尽管你在用它思考，但是你要明白你不应该隶属于你的大脑，而应该是你拥有你的大脑，并且应该是你可以控制你的大脑才对。一切从你意识到你可以控制你的大脑的时候，会改变你的很多东西。比如控制你的情绪，无论身处何种境地，都要明白自己所

湖南省临澧县第一中学高二人教A版数学选修2-1课件：2.3.1双曲线及其标准方程

轨迹方程是 A.1x62 －y92＝1(x≤－4) C.1x62 －y92＝1(x≥4)
B.x92－1y62 ＝1(x≤－3) D.x92－1y62 ＝1(x≥3)
( D)
课堂达标检测
双曲线及其标准方程
4．若方程10x－2 k＋5－y2 k＝1 表示双曲线，则 k 的取值范围是( A )
A. (5,10)
焦点在 y 轴上
图形
标准方程焦点焦距
统一形式：
xa22－by22＝1(a>0，b>0) F1(－c,0)，F2(c,0)
mx2＋ny2＝1(mn<0)
ay22－xb22＝1(a>0，b>0)
F1 (0，－c) ，F2 (0，c)
|F1F2|＝2c，c2＝ a2＋b2
哪项为正，焦点就在哪个轴上．
探究
为 340 m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．解如图，建立直角坐标系 xOy，设爆炸点 P 的坐标为(x，y)，
则|PA|－|PB|＝340×4＝1 360，即 2a＝1 360，a＝680. 又|AB|＝2 000，所以 2c＝2 000，c＝1 000，b2＝c2－a2＝537 600. 因为|PA|－|PB|＝340×4＝1 360>0，所以 x>0. 因此炮弹爆炸点的轨迹(双曲线)的方程为462x2400－537y2600＝1 (x>0)． (2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2
所以 102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，
S ∴ F1PF2 ＝12|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2＝12×64× 23＝16 3.

2014-2015学年高中数学(人教版选修2-1)配套课件第二章 2.3.1 双曲线及其标准方程

2 2 x y b2＝c2－a2，则双曲线的标准方程为 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)． a b
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基础梳理
例：焦点在x轴上的双曲线中，a＝3，b＝4，双曲线
x2 y2 －＝1 的标准方程为______________ ． 9 16
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3．取过焦点F1、F2的直线为y轴，线段F1F2的垂直平
y2
x2
所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 9 16 点评：求双曲线标准方程的一般步骤：①根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是有两种可能；②根据焦点位置设方程为 x 2 y2 y2 x 2 2 2－ 2＝1 或 2－ 2＝1(a>0，b>0)，焦点不定时，可设方程为 mx ＋ a b a b ny2＝1(mn<0)；③根据已知条件列出关于 a，b，c(或 m，n)的方程组； ④解方程组，将 a，b，c(或 m，n)代入方程，即得标准方程．
例：焦点在 y 轴上的双曲线中，a＝3，c＝4，双曲线的标
y2 x2 －＝1 准方程为____________ ． 9 7
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自测自评
1．点 F1，F2 是两个定点，动点 P 满足||PF1|－|PF2||＝ 2a(a 为非负常数)，则动点 P 的轨迹是( A．两条射线 B．一条直线 C．双曲线 D．前三种情况都有可能
y2 x2 解析：(1)设标准方程为 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)且 c＝4， a b ∵双曲线过点 P(2 2，－6)，
36 8 a －b ＝1， ∴ ＝4 ，
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∴双曲线标准方程为
y2
12
分线为x轴，建立直角坐标系．设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(0，－c)、(0，c)．