没答案华南理工大学高等数学统考试卷下12期中(2)

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华南理工大学2011高数下期中考试及答案

华南理工大学2011-2012学年第二学期《高等数学》期中考试试卷评分标准一. 解答下列各题 (每小题5分,共20分) 1.求极限22()lim (e x y x y x y -+→+∞→+∞+）.解：lim e 0k t t t -→+∞= ２＇22()2()lim (e lim (e 20x y x y x yx x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-=⎣⎦））３＇２．求由方程组222222320z x yx y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩所确定的()y x 及()z x 的导数d d y x 及d d z x . 解：()()226023220xdx z dz xdx ydy z xdx ydy -++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩ ３＇ 6,1326dz x dy x xydx z dx y yz+==-++ ２＇３．设,u f 可微，证明： ()()grad grad f u f u u '= 证明：()()()()()()(){}()()(){},,,,x y z xyzf u f u f u f u f u u f u u f u u '''''''''==⋅⋅⋅grad ３＇(){}(),,x y z f u u u u f u u '''''==grad ２＇４．求曲线23x ty t z t =⎧⎪=-⎨⎪=⎩的切线，使它与平面21z y z ++=平行.解：设切点为()23000,,M t t t -，则切向量为{}2001,2,3T t t =- . １＇_____________ ________学号学院专业座位号( 密封线内不答题 ) ……………………密………………………………………………封………………………………………线……………………………………{}{}2200001,2,31,2,11430T n t t t t ⋅=-⋅=-+=解得01t =或013t =，相应切点为()1,1,1-或111,,3927⎛⎫- ⎪⎝⎭，２＇因此，所求切线为1111:123x y z L -+-==-， 21113927:321x y z L -+-==- ２＇二. 解答下列各题 (每小题10分,共30分)５．设()()()()()22,,0,0,0,,0,0x y xy x y x y f x y x y -⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩，试研究该函数在()0,0点的可微性. 解：()()()()0,00,00,0lim0,0,000x y x f x f f f x →-===- ４＇又()()()()2222022(,)()limlim0(()())x x y y f x y x y x y x y x y x y ∆→∆→∆→∆→∆∆∆∆∆-∆=≠∆+∆∆+∆∆+∆ ５＇函数(),f x y 在点()0,0处是不可微的１＇６．设函数(),f x y 具有二阶连续偏导数，满足等式2220x yy x y xy y xx f f f f f f f -+=，且0y f ≠，(,)y y x z =是由方程(,)z f x y =确定的函数.求 22yx∂∂.解：x yf yx f ∂=-∂ ４＇ 220yx ∂=∂ ６＇7．在经过点12,1,3⎛⎫ ⎪⎝⎭的所有平面中求一个，使这个平面在第一卦限内与三个坐标平面所围成的四面体的体积最小.解：设该平面为1x y za b c++=，１＇四面体的体积为16V abc =. １＇问题化为求16V abc =在约束条件21110,0,0,03a b c a b c++-=>>>下的最小值点.构造拉格朗日函数()1211,,,163f a b c abc a b c λλ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭３＇由22222110,0,0,1066633a b c bc ac ab f f f f a b c a b cλλλλ=-==-==-==++-= ３＇得唯一一组解6,3,1a b c ===，该实际问题的最小值一定存在，从而该点一定是要求的最小值点了.因此所要求的平面为163x yz ++= ２＇三. 解答下列各题 (每小题8分，共32分) ８．计算11301ydy x dx +⎰⎰.解：21113330111x yDdy x dx x d dx x dy σ+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰４＇()112333011113x x dx x d x =+=++⎰⎰ ３＇ ()22219=- １＇ 9．计算22y Dx edxdy -⎰⎰，其中区域D 是由直线0,1,x y y x ===所围成的区域.解：22y Dx e dxdy -⎰⎰21200yy dy x e dx -=⎰⎰ 4’ 213013y y e dy -=⎰ 2’ 1163e =- 2’10．计算2()x y dV Ω+⎰⎰⎰.其中Ω是曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与两平面2,8z z ==所围成的区域.解：求出旋转面方程为222x y z += １＇2()x y dV Ω+⎰⎰⎰＝()22x y dV Ω+⎰⎰⎰ １＇＝()8222Dzdz x y dxdy +⎰⎰⎰ ３＇82283220022336z dz d r dr z dz πθππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ ３＇ 11．计算三重积分2y dV Ω⎰⎰⎰，其中(){}222,,2x y z xy z z Ω=++≤.解：2y dV Ω⎰⎰⎰22cos 2342sin sin d d dr ππϕθθϕϕρ=⎰⎰⎰５＇415π=３＇四. 解答下列各题 (每小题9分,共18分)12.求由两圆周()22224x y a a +-=和()222(0)x y a aa +-=>所围的均匀薄片的质心.解：0x = ２＇4sin 2202sin 11sin 3a a D Dy ydxdy d r dr S a πθθθθπ==⎰⎰⎰⎰５＇＝73a ２＇13. 计算由曲面22x y az +=和222(0)z a x y a =-+>所围立体的表面积.解：22222224412x y a x y S dxdy a a+≤=+++⎰⎰６＇2(2)3a a π=+ ３＇。

华南理工大学高等数学统考试卷下自测wjf2

《微积分（下）》自测试卷2（时间120分钟，总分100）学院（系）专业班姓名：成绩报告表序号：一、填空题1．[3分] 已知级数1(2)n n u ∞=-∑收敛，则()sin limn n nu u π→∞= 2．[3分]幂级数)11n n n x ∞=+的收敛域为 3．[3分]若(),ln f x y =()1,1df =4．[3分] 二元函数3322339z x y x y x =-++-的极小值点为5．[3分]二重积分(),D f x y dxdy ⎰⎰在极坐标下的二次积分为()2sin 00cos ,sin d f r r dr πθθθθ⎰⎰，则积分区域D 在直角坐标系中可表示为6、[3分]若()f x 满足方程()()02x f t dt f x =-⎰，则()f x = 二、计算1、[4分]设2y x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求,z z x y ∂∂∂∂2、[6分]设()2x yxy z x y f t dt +=+⎰，其中()f t 可导，求2,z dz x y∂∂∂ 3、[7分]求函数()()22,2x f x y e x y y =++的极值 4、[7分] 计算二重积分D xydxdy ⎰⎰，D 为22(2)1x y -+≤ 5、[6分] 求幂级数21(2)1nn x n ∞=+∑的收敛半径及收敛域6、[7分]设()()1111n n n x x u x x n n +=--≤≤+，求()1n n u x ∞=∑的和函数7、[6分] 将函数()f x =展开为x 的幂级数，并求出其收敛域8、[6分]求微分方程30y y x y '-=-的通解 9、[7分]利用代换cos u y x =将方程cos 2sin 3cos x y x y x y x e '''-+=化简，并求出原方程的通解10、[8分]设()f t 函数在[0,)+∞上连续，且满足方程222244()t x y t f t e f dxdy π+≤=+⎰⎰，求()f x 三、证明题 1、[5分] 设函数y x z x y =，求证：()ln z z x y x y z z x y∂∂+=++∂∂ 2、[6分] 求证：原点到曲面()221x y z --=上的点的最短距离为23、[7分] 设()01,2,n a n >= 单调，且级数11n n a ∞=∑收敛，证明：级数112n n n a a a ∞=+++∑ 收敛参考答案及提示一、()()223110;[,);;1,0;2;2223x dx dy x y y e ++≤ 二、2221,y x x f f x y xy y ⎛⎫⎛⎫'-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22212,x x f f x y y y ⎛⎫⎛⎫'- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()()()()()()()22,2xy f x y yf xy dx x f x y xf xy dy x f x y f xy xyf xy ''⎡⎤++-+++-++--⎡⎤⎣⎦⎣⎦；极小值为()()13111,1;;,,;11;228222e f S x x x -⎛⎫⎡⎤-=-=-≤≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 12cos 24,2sin cos 5cos xxx e u u e y c c x x x ''+==++ ()()()()()2222442402,88,412tt t t r f t e f rdr f t te tf t f t t e πππππππ⎛⎫'=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰三、1、2略，3、提示：122222,n n n n n a a a na a ≤=+++ ，1221212(1)2,(1)n n nn n a a a n a a +++≤=++++ 由12n n a ∞=∑收敛知112n n n a a a ∞=+++∑ 收敛。

高等数学统考卷11-12届附答案

高等数学统考卷 1112届附答案一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列函数中，哪个函数是奇函数？A. y = x^3B. y = x^2C. y = x^4D. y = |x|A. 积分的上下限互换，积分值不变B. 被积函数乘以常数，积分值也乘以该常数C. 积分区间可加性D. 积分中值定理3. 下列极限中，哪个是正确的？A. lim(x→0) (sin x) / x = 0B. lim(x→0) (1 cos x) / x^2 = 1C. lim(x→∞) (1 / x) = 0D. lim(x→∞) (x^2 1) / x = 1A. ∫∫(x^2 + y^2) dxdyB. ∫∫xy dxdyC. ∫∫x dxdyD. ∫∫y dxdy5. 下列级数中，哪个是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …B. 1 1/2 + 1/3 1/4 + …C. 1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …D. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …二、判断题（每题1分，共5分）1. 高斯公式可以用来计算曲面积分。

（）2. 泰勒公式可以用来近似计算函数值。

（）3. 无穷小量相乘仍为无穷小量。

（）4. 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。

（）5. 偏导数连续必可微。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x) = e^x 在x = 0处的导数值为______。

2. 曲线y = x^3 在点(1, 1)处的切线方程为______。

3. 若f(x, y) = x^2 + y^2，则f_x(1, 2) =______。

4. 设A为矩阵，若|A| = 0，则A为______矩阵。

5. 空间曲线r(t) = (cos t, sin t, t) 在t = π/2处的切线方向向量为______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述罗尔定理的内容。

2. 解释复合函数求导法则。

3. 举例说明什么是隐函数。

华南理工大学高等数学统考试卷下2005

2005-2006高等数学下册考试试卷姓名：班级：成绩单号：一、单项选择题 1、[3分]设y z xyf x ⎛⎫=⎪⎝⎭，且()f u 可导，则z x x ∂+∂z y y ∂∂为(A)2xy ； (B)()2x y z +； (C)()2x y +； (D) 2z2、[3分] 从点()2,1,1P --到一个平面引垂线，垂足为点()0,2,5M ，则此平面方程是（）(A)236360x y z +-+=； (B) 236360x y z --+=； (C) 236360x y z ---=； (D) 236360x y z -++= 3、[3分] 微分方程()11x y ''-=的通解是(A) ()211ln 1y x x c =--+ (B) 12ln 1y x c x c =-++ (C) 212ln 1y x x c x c =-++ (D) ()121ln 1y x x c x c =--++4、[3分]设平面曲线L为下半圆周y =，则曲线积分()22Lx y ds +=⎰(A)π； (B) 2π； (C)3π； (D)4π5、[3分]累次积分2111xydx e dy y+⎰⎰4221xyxdxe dy y=⎰⎰(A)e ； (B) 2e ； (C) 3e ； (D) 4e 二、填空题 1、[3分]已知单位向量,,a b c适合等式0a b c ++=，则a b c ⋅+⋅ a b c +⋅= .2、[3分]设2yu x =，则d u = .3、[3分]曲面333xyz z a -=在点()0,,a a -处的切平面方程是 .4、[3分]微分方程232x y y y xe -'''--=的待定特解形式是 .5、[3分]设∑为球面222x y z a ++=的外侧，则曲面积分()32222xdydz ydzdx zdxdyxy z∑++=++⎰⎰.三、a.[7分]（非化工类做本题，化工类不做本题）求无穷级数113n nn xn -∞=⋅∑的收敛域及在收敛域上的和函数b. [7分]（化工类做本题，非化工类不做本题）一条直线在平面:20x y π+=上，且与另两条直线11:141x y z L -==-及2412:21x y z L ---==都相交，求该直线方程四、a.[7分]（非化工类做本题，化工类不做本题）求函数()()()2ln 4f x x x =-+在01x =处的展开式b. [7分]（化工类做本题，非化工类不做本题）求函数2223u x y z z =++-在点()01,1,2M -处的梯度及沿梯度方向上函数的方向导数五、应用题[8分]做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料最省？六、计算题[8分]设积分域为22:4,0,0D x y x y +≤≥≥，试计算二重积分()22sin Dx y d σ+⎰⎰七、计算题[8分]计算三重积分zdv Ω⎰⎰⎰，式中:2z z Ω≥≤≤八、a.[8分]（非化工类做本题，化工类不做本题）将函数0,20()1,02x f x x -≤<⎧=⎨≤≤⎩展开成傅立叶级数，并指明展开式成立的范围b. [7分]（化工类做本题，非化工类不做本题）设()f x 在(),-∞+∞上有连续的一阶导数，求曲线积分()()22211Ly f xy xdx y f xy dy yy +⎡⎤+-⎣⎦⎰，L 为从点23,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭到点()1,2B 的直线段九、计算题[8分]计算曲面积分()x y z dS ∑++⎰⎰，其中∑为上半球面()22220x y z R z ++=≥十、计算题[8分] 求微分方程cos tan 20,12xdy x ey y dxπ⎡⎤⎛⎫⋅-+==- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的解十一、证明题[4分] 试证()()()()()224,,0,0,0,,0,0xy x y x yf x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点(0,0)处不连续，但存在一阶偏导数十二、计算题[4分]设二阶常系数线性微分方程x y y y e αβγ'''++=的一个特解为()21x x y e x e =++，试确定常数,,αβγ，并求该微分方程的通解。

华南理工大学期中考试

华南理工大学线性代数与解析几何期中考试
一．选择题
1.设A 为n 阶对称矩阵, B 为n 阶反对称矩阵, 则下列矩阵中为反对称矩阵的是( ).
(A)BA AB -; (B)BA AB +; (C)2)(AB ; (D)BAB ;
2.均为n 阶方阵, 则下面结论正确的是( ).
(A)若A 或B 可逆, 则AB 必可逆; (B)若A 或B 不可逆, 则AB 必不可逆; (C)若B A 、均可逆, 则B A +必可逆; (D)若B A 、均不可逆, 则B A +必不可逆.
3.若n 阶方阵B A 、都可逆, 且BA AB =, 则下列( )结论错误.
(A)11--=BA B A ; (B)A B AB 11--=; (C)1111----=A B B A ; (D)11--=AB BA ;
4.设C B A 、、为同阶方阵, 且E ABC =, 则下列各式中不成立的是( ).
(A)E CAB =; (B)E C A B =---111; (C)E BCA =; (D)E B A C =---111.
二．填空题
2. 求此平面方程
3.设n i a i ,3,2,1,0=≠, 且⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=-00
000000000121
n
n a a a a A ,则1-A
=
三．解答题 1.设n 阶矩阵A 和B 满足:
AB B A =+.
(1)证明: E A -为可逆矩阵, 其中E n 阶单位矩阵; (2)证明: BA AB =
;
(3)已知⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=200012031B , 求矩阵A .
2.（附加题）计算下面行列式。

华南理工大学高等数学统考试卷下2012

高等数学下册试卷2013．6一、填空题（每题4分，共20分） 1. 2(,)e ,2_____.xy u u u x y x y x y∂∂=+=∂∂则2. (1,0,1)(,)d |____.z x y xyz z -==已知由方程确定，则3. (,,)ln((1,0,1)(3,2,2)____.u x y z x A A B =-在处沿从指向的方向导数为4. 22222=()d d ____.D x y a x y x y ++=⎰⎰D 已知为围成的区域，则5. 2=(0,0)(1,1)____.L L y x =已知为从到的一段，则二、（本题7分）已知242,(,)(0,0)(,),0,(,)(0,0)x y x y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪≠⎩证明函数(,)f x y 在(0,0)处不连续，但偏导数存在.三、（本题7分）2ln 0,,,.x z z z z z y x y x y∂∂∂-=∂∂∂∂已知求四、（本题7分）22max{,}e d ,{(,)|01,01}.x y D D x y x y σ=≤≤≤≤⎰⎰计算二重积分其中五、（本题7分） 22222222d 2.z v x y z Rz x y z R ΩΩ++=++=⎰⎰⎰计算二重积分,其中为球面和围成的封闭区域六、（本题8分）32sin (3e )d (sin )d (0,0)(,2).1cos 3xL x t t x x y x x y y y L y t π=-⎧++-⎨=-⎩⎰计算,其中为摆线从到的部分七、（本题8分）323232(2)d d +(2y )d d (2)d d ,0)x xy y z yz z x z zx x y z a ∑--+-∑=>⎰⎰计算其中为的上侧. 八（本题7分）求定解问题2d cos tan [2]0,|1d x y x xe y y x π=-+==-的解. 九（本题7分）求微分方程44x y y e '''-=的通解.十（本题7分）()(,)f x -∞+∞函数在内有连续的导数，且满足22222224()()()d d ,x y t f t x y f x y x y t +≤=+++⎰⎰().f x 求十一（非化工类，每小题5分，共15分）（1）判断级数1201d 1n n x x ∞=+∑⎰的敛散性；（2）求幂级数113(2)nn n n x n ∞=+-∑的收敛区间，并讨论区间端点的处的收敛性；（3）将函数2()ln(1)f x x x =--展开成关于x 的幂级数，并指出其收敛区间.十一（化工类，每小题5分，共15分）（1）求曲面e e 4x y z z +=在点(ln 2,ln 2,1)处的切平面和法线方程；（2）在曲面z =(1,的距离最短，并求最短距离;（3）求曲面22z x y =+包含在圆柱面222x y x +=内那部分（记作∑）的面积.。

04届,华南理工大学,高等数学第二学期重修(考)试卷(共3页)

04届,华南理工大学,高等数学第二学期重修（考）试卷华南理工大学高等数学第二学期重修试卷院系：专业班级：学号：姓名：题号一二三四五六总分得分题号七八九十十一得分一、选择题：在括号内填上所选项字母 1、过点和直线的平面方程是 (A)；(B)；(C)；(D) 2、已知曲面上在点处的切平面平行于平面，则点的坐标是(A)；(B) ；(C) ；(D) 3、设为连续函数，则改换二次积分的积分次序等于(A) ；(B) ；(C) ；(D) 4、设曲线为圆周且取正向，则曲线积分 (A)；(B) ；(C) ；(D) 5、通解为的微分方程是(A)；(B) ；(C)；(D) 二、填空题：将答案填写在横线上 1、已知空间向量的方向余弦为，且，又向量，则。

2、函数在点处沿点指向点方向的方向导数为。

3、设是圆域，则当时，有4、改变二次积分的积分次序，则。

5、微分方程的特解的形式是。

三、设，其中和具有二阶连续导数，求。

四、计算三重积分，其中是由曲面与所围成的闭区域。

五、求曲线积分，其中为从点沿曲线到点的一段。

六、计算对面积的曲面积分，其中是球面被柱面截下的部分。

七、求经过点且与三个坐标面所围成的四面体体积为最小的平面，并求其最小的体积。

八、设，其中是由确定的隐函数，求。

求幂级数的收敛域。

九、计算二重积分，其中。

将函数展开成的幂级数。

十、求微分方程满足初始条件的特解。

十一、设具有二阶连续导数，且曲线积分与积分路径无关，求函数。

十二、。

华南理工大学2009-2010高等数学下册期中考试试卷答案.

华南理工大学期中考试2009-2010学年第二学期《高等数学》期中考试试卷注意事项：1. 考试形式：闭卷；．本试卷满分100分，考试时间90分钟。

. 解答下列各题 (每小题5分,共20分)设函数由方程确定，其中F为可微函数，且，求z是由方程所确定的函数，其中具有二阶导数，且22求dz.对等式两端取微分得22，x在点处的梯度. yiP为椭球面上的一动点，若S在点P处的切平面与xoy面垂直，P的轨迹C。

椭球面S点处的法向量是，222《高等数学》试卷第 1 页共 6 页点P处的切平面与xoy面垂直的充要条件是n⋅{0,0,1}=2z-y=0⎧232⎧x2+y2+z2-yz=1⎪x+y=1所以点P的轨迹C的方程为：⎨，即⎨ 4⎩2z-y=0⎪⎩2z-y=0二. 解答下列各题 (每小题10分,共30分)５．求二元函数f(x,y)=x解 fx'(x,y)=2x2+y2(2+y)+ylny的极值 22y(2),f'(x,y)=2xy+lny+1令fx'(x,y)=0,fy'(x,y)=0，解得唯一驻点 0,⎪⎛⎝1⎫e⎭'' 0,⎪=2 2+由于A=fxx⎛⎝1⎫e⎭⎛⎝1⎫1⎛1⎫''>0,B=f0,=4⋅0⋅=0 xy⎪2⎪e⎭e⎝e⎭1⎫1⎫⎛22''⎛C=fyy0,=2⋅0+e=e,B-AC=-2e2+<0 ⎪ 2⎪ee⎝⎭⎝⎭从而f 0,⎪=-是f(x,y)的极小值⎛⎝1⎫e⎭1e∂2u∂2u∂2u+52=0。

确定的６．设函数u=f(x,y)具有二阶连续偏导数，且满足等式42+12∂x∂x∂y∂y∂2u=0 a,b值，使等式在变换ξ=x+ay,η=x+by下简化为∂ξ∂η2∂u∂u∂u∂2u∂2u∂u∂u2=+,=+2+解，∂x∂ξ∂η∂x2∂ξ2∂ξ∂η∂η222∂u∂u∂u∂2u∂2u∂2u∂2u∂2u∂2u2∂u2∂u=a+b,2=a+2ab+b=a2+(a+b)+b222∂y∂ξ∂η∂y∂ξ∂ξ∂η∂η∂x∂y∂ξ∂ξ∂η∂η将以上各式代入原等式，得∂2u∂2u∂2u2(a+12a+4)2+⎡⎣10ab+12(a+b)+8⎤⎦∂ξ∂η+(5b+12b+4)∂η2=0 ∂ξ2《高等数学》试卷第 2 页共 6 页由题意，令a+12a+4=0,10ab+12(a+b)+8≠0,5b+12b+4=0 22解得a=-2,b=-22，或a=-,b=-2 55⎧x2+y2-2z2=07．已知曲线C:⎨，求C上距离xOy面最远的点和最近的点。

华南理工大学高等数学统考试卷下2009

高等数学下册试卷2009．7．1姓名：学院与专业：学号：一、填空题[共24分]1、[4分]函数(),f x y 在点(),x y 处可微是它在该点偏导数z x∂∂与z y∂∂连续的必要条件（填必要、充分或充要），又是它在该点有方向导数的充分条件（填必要、充分或充要）2、[4分]向量场()2cos xy A e i xy j xz k =++ 的散度为()sin 2xy ye x xy xy -+. 向量场()()()2332B z y i x z j y x k =-+-+-的旋度为{}2,4,6.3、[4分] ]设()(),,,z f x xy f u v =有连续偏导数，则dz =()122f yf dx xf dy ++4、[4分] 交换二次积分的积分次序()222,yydy f x y dx =⎰⎰()402,x dx f x y dy ⎰⎰5、[4分]设曲面∑为柱面221x y +=介于平面0z =与1z =部分的外侧，则曲面积分()22x y dxdy ∑+=⎰⎰ 0 ，()22x y dS ∑+=⎰⎰2π6、设()3322,339,0f x y x y x y x x =-++->，则它有极小值()1,05f =- 二、[8分] 设ze xyz =，求22z x∂∂解：两边取微分，得z e dz xydz xzdy yzdx =++,zzxzdy yzdx yzdx xzdy e dz xydz xzdy yzdx dz e xyxyz xy++-=+==--从而z z xxz x∂=∂-，()()222211zz xz x z z x z z z x x xx x x xz x xz ∂∂⎛⎫--+- ⎪∂∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎝⎭===⎪ ⎪∂∂∂∂-⎝⎭⎝⎭-()()()()()()()22222322332222211221111z z z z xz z x z z z zx z z z z z x xxz xz xz xz ∂--------∂--∂====∂----三、[7分] 设长方形的长x 、宽y 、高z 满足1111xyz++=，求体积最小的长方体。

华南理工大学2015级工科数分(下)期中考试卷(附解答)

,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《工科数学分析》2015—2016学年第二学期期中考试卷1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；．考试形式：开（闭）卷；本试卷共 4个大题，满分100分，考试时间90分钟。

10分，共60分）设函数f 有二阶连续偏导数,求函数22,y z f x x⎛⎫= ⎪⎝⎭的二阶混合偏导数.解:2223212222122222232,422242210z y f y xz y y y y y y f f f f f f x y x x x x x x ∂'=∂⎛⎫∂''''''''''=-+-=-+- ⎪∂∂⎝⎭L L L L计算 2421222xxxdx dy dx dy yyππ+⎰⎰:()22421221322sin724210xy yxxdx dy dx dyyyxdy dx yπππππ+==+⎰⎰⎰⎰分分L L L L计算三重积分zdv Ω⎰⎰⎰，其中Ω.由222222x y z z x y ⎧++≤⎪⎨≥+⎪⎩所确定 22221222220,1,2x y z z z z z z x y⎧++=⎪⇒+-===-⎨=+⎪⎩（舍去） 22:1D x y +≤，Ω柱坐标下为202,01,r r z θπ≤≤≤≤≤≤2分()2212124046271221171104612r zdv d d rr r dr ππθθππΩ==--⎛⎫=--=⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰分分4. 计算()221(1)Lx dy ydx x y---+⎰，其中L 为下列闭曲线，沿逆时针方向：（1）点()1,0在L 所围区域之外；（2）点()1,0在L 所围区域之内。

解在这里22221,(1)(1)y x P Q x y x y--==-+-+，进而 ()222221(1)y x P Qy xx y --∂∂==∂∂⎡⎤-+⎣⎦在()1,0点以外成立且连续，从而（1）点()1,0在L 所围区域之外，由格林公式，可得()221(1)Lx dy ydx x y ---+⎰=0； 4分（2）点()1,0在L 所围区域之内，可以()1,0为中心做一个适当小的圆，使得这个小圆包含在L 的内部，取逆时针方向，设2221:(1)L x y r -+=。

华工高数参考答案答案

华工高数参考答案答案华工高数参考答案高等数学是大部分理工科专业的必修课程，对于很多学生来说，高数是一门相对较难的学科。

华南理工大学（简称华工）是一所以工科为主的综合性大学，其高数课程也备受关注。

本文将提供一份华工高数参考答案，希望能够帮助到正在学习高数的同学们。

第一章：极限与连续1. 极限的概念与性质- 极限的定义：设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的ε>0，都存在常数δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|<ε成立，则称函数f(x)在x0处的极限为A。

- 极限的性质：- 唯一性：如果极限存在，那么极限值唯一。

- 局部有界性：如果函数在某点的极限存在，则函数在该点的某个去心邻域内有界。

- 局部保号性：如果函数在某点的极限存在且大于（或小于）零，则函数在该点的某个去心邻域内大于（或小于）零。

- 四则运算法则：设函数f(x)和g(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，且lim(x→x0)f(x)=A，lim(x→x0)g(x)=B，则：- lim(x→x0)(f(x)+g(x))=A+B- lim(x→x0)(f(x)-g(x))=A-B- lim(x→x0)(f(x)g(x))=A*B- lim(x→x0)(f(x)/g(x))=A/B（若B≠0）2. 连续与间断- 连续的定义：设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，如果lim(x→x0)f(x)=f(x0)，则称函数f(x)在点x0处连续。

- 连续的性质：- 连续函数的四则运算：若函数f(x)和g(x)在点x0处连续，则f(x)+g(x)、f(x)-g(x)、f(x)g(x)、f(x)/g(x)（若g(x0)≠0）在点x0处也连续。

- 复合函数的连续性：若函数f(x)在点x0处连续，函数g(u)在u=f(x0)处连续，则复合函数g(f(x))在点x0处连续。

华南理工大学高等数学统考试卷下03期中dx (2)

2003-2004高等数学下册期中考试试卷（电材、新材）姓名：班级：成绩单号：一、单项选择题1、[3分]二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数),(00y x f x '和),(00y x f y '都存在，是),(y x f 在该点连续的D(A)充分条件而非必要条件； (B) 必要条件而非充分条件；(C) 充分必要条件； (D) 既非充分条件又非必要条件；2、[3分] 设)(22y x z -=ϕ，其中ϕ具有连续的导数，则下列等式成立的是 (A)y z y x z x ∂∂=∂∂ (B) yz x x z y ∂∂=∂∂ (C) y z x x z y∂∂-=∂∂ (D) y z y x z x ∂∂-=∂∂ 3、[3分] 若L 是平面曲线)0(222>=+a a y x 依顺时针方向一周，则 dy y x y xy dx yx y x e L x ⎰+-++-2222222)sin(2的值为 (A) 2a π (B)22a π (C) 0 (D) 22a π-4、[3分]设),(y x f 连续，则)(),(102211=⎰⎰-dy y x yf dx (A) dy y x yf dx ⎰⎰102210),(2； (B) dy y x yf dx x⎰⎰02210),(4； (C) dy y x yf dx y y ⎰⎰-),(22210(D) 05、[3分]设1,1,:3-===x y x y D 围成的有限区域，而1D 为D 的第一象限部分，则()⎰⎰=+-D x dxdy y e xy )(sin 2(A) ⎰⎰-12sin 2D x ydxdy e (B) ⎰⎰12D xydxdy(C) ()⎰⎰-+12sin 4D x dxdy y e xy (D) 06、[3分] 设直线;32,6:;5251:21=+=-+=--=-z y y x L z y x L 则这两直线的夹角为 (A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π 二、填空题1、[3分]设)cos()2cos()1(),()cos(y x y x e y x f xy +--+=π，则=')4,(ππy f 。

(完整版)华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案三

《高等数学》（下册）测试题三一、填空题1．若函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-处取得极值，则常数a =5-． 2．设1()e d x yxf x y =⎰，则1()f x dx =⎰12e -． 3．设S 是立方体1,,0≤≤z y x 的边界外侧，则曲面积分567d d d d d d sx y z y z x z x y ++=⎰⎰Ò 3 ． 4．设幂级数nnn a x ∞=∑的收敛半径为3，则幂级数11(1)n n n na x ∞+=-∑的收敛区间为()2,4-．5．微分方程2434exy y y x -'''+-=用待定系数法确定的特解（系数值不求）的形式为()24e x y x ax bx c -=++．二、选择题1．函数22222222sin 2(),0,(,)0,2,x y x y f x y x yx y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩在点(0,0)处（ D ）．（A ）无定义；（B ）无极限；（C ）有极限但不连续；（D ）连续． 2．设sec(1)z xy =-，则zx∂=∂（ B ）．（A ）sec(1)tan(1)xy xy --；（B ）sec(1)tan(1)y xy xy --；（C ）2tan (1)y xy -；（D ）2tan (1)y xy --．3．两个圆柱体222x y R +≤，222x z R +≤公共部分的体积V 为（ B ）．（A）02d Rx y ⎰；（B）08d Rx y ⎰；（C）d RRx y -⎰；（D）4d R Rx y -⎰．4．若0n a ≥，1nn kk S a==∑，则数列{}n S 有界是级数收敛的（ A ）．（A ）充分必要条件；（B ）充分条件，但非必要条件；（C ）必要条件，但非充分条件；（D ）既非充分条件，又非必要条件．5．函数sin y C x =-（C 为任意常数）是微分方程22d sin d yx x=的（ C ）．（A ）通解；（B ）特解；（C ）是解，但既非通解也非特解；（D ）不是解．三、求曲面e e4x y zz+=上点0(ln 2,ln 2,1)M 处的切平面和法线方程．解：{}{}022M 11e ,e ,e e 2,2,4ln 2//1,1,2ln 2xy x y z z z zx y n z z z z ⎧⎫=--=--⎨⎬⎩⎭r 切平面为()ln 2ln 22ln 212ln 20x y z x y z -+---=+-= 法线为1ln 2ln 22ln 2z x y --=-=-四、求通过直线 0:20x y L x y z +=⎧⎨-+-=⎩的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行于直线1:L x y z ==．解：设过直线L 的平面束为()20,x y z x y λ-+-++= 即()(){}1120,1,1,1x y z n λλλλ+--+-==+-r第一个平面平行于直线1:L x y z ==，即有{}{}111,1,11,1,1210,2n s λλλλ⋅=+-⋅=+==-r r从而第一个平面为{}1111120,324,1,3,223x y z x y z n ⎛⎫⎛⎫--++-=-+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r 第二个平面要与第一个平面垂直，也即{}{}11,3,21,1,11332260,3n n λλλλλλ⋅=-⋅+-=+-++=-+==r r从而第二个平面为4220x y z ++-=五、求微分方程430y y y '''-+=的解，使得该解所表示的曲线在点(0,2)处与直线2240x y -+=相切．解：直线2240x y -+=为2,1y x k =+=，从而有定解条件()()01,02y y '==，特征方程为()()212430,310,3,1r r r r r r -+=--===方程通解为312xx y c ec e =+，由定解的初值条件122c c +=3123x x y c e c e '=+，由定解的初值条件1231c c +=从而1215,22c c =-=，特解为31522x x y e e =-+ 六、设函数()f u 有二阶连续导数，而函数(e sin )xz f y =满足方程22222e xz z z x y∂∂+=∂∂ 试求出函数()f u ．解：因为()()()()222sin ,sin sin xx x z z f u e y f u e y f u e y x x∂∂''''==+∂∂ ()()()()222cos ,cos (sin )xx x z z f u e y f u e y f u e y y y∂∂''''==+-∂∂ ()()222222()e ,()0x x z zf u e f u f u f u x y∂∂''''+==⇒-=∂∂ 特征方程为()2121210,1,1,uur r r f u c e c e --===-=+ 七、计算曲面积分222(cos cos cos )dS xy yx z αβγ∑++⎰⎰Ò，其中∑是球体2222x y z z ++≤与锥体z ≥Ω的表面，cos α，cos β，cos γ是其外法线方向的方向余弦．解：两表面的交线为222222122122,0,1,1x y z z x y z z z z z z ⎧++=⎧+=⎪⇒===⇒⎨⎨==⎩⎪⎩原式()222xy z dv Ω=++⎰⎰⎰，投影域为22:1D x y +≤，用柱坐标:02,01,1r r z θπΩ≤≤≤≤≤≤原式)()2111122222rrd rdr rz dz r r z zπθπ=+=+⎰⎰⎰()(12220211r r r r dr π⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎰()()()113134220013122t t dt r r r dr ππ⎡⎤=--+-+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰()()11532452200221113125345t t r r r ππ⎡⎤⎛⎫=--⋅-+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦21181127022154551010πππππ⎡⎤⎛⎫=--+--=+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭另解：用球坐标:02,0,02cos 4πθπϕρϕΩ≤≤≤≤≤≤原式()2cos 24222000sin 2cos sin d d d πϕπθϕρϕρϕρϕρ=+⎰⎰⎰()2cos 443302sin 2cos sin d d πϕπϕρϕρϕϕρ=+⎰⎰()545735022cos cos 2cos cos 5d ππϕϕϕϕ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭⎰1684579494216555658t t t t dt ππ⎛⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪⎭⎝6831161010t t π⎛=- ⎝2710π=八、试将函数2()e d xt f x t -=⎰展成x 的幂级数（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛区间）．解：()220n=01()e d d n!n xxt n f x t t t ∞-⎛⎫-==⎪ ⎪⎝⎭∑⎰⎰()()()21n=01,,!21nn x x n n ∞+-=∈-∞+∞+∑九、判断级数)0,0(1>>∑∞=βαβαn nn 的敛散性．解：()11lim lim 1n n n n n nu n u n ααβρββ++→∞→∞==⋅=+ 当01,1βρ<<<，级数收敛；当1,1βρ>>，级数发散；当1,1βα=>时级数收敛；当1,01βα=<≤时级数发散十、计算曲线积分222(1e )d (e 1)d y y Lx x x y ++-⎰，其中L 为22(2)4x y -+=在第一象限内逆时针方向的半圆弧．解：再取1:0,:04L y x =→，围成半圆的正向边界则原式11222(1e )d (e 1)d y y L L L x x x y +=-++-⎰⎰()44200101122D dxdy x dx x x ⎛⎫=-+=-+=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰十一、求曲面S ：222124x z y ++=到平面π：2250x y z +++=的最短距离．解：问题即求d =在约束222124x z y ++=下的最小值可先求()()22,,9225f x y z d x y z ==+++在约束222124x z y ++=下的最小值点取()()2222,,225124x z L x y z x y z y λ⎛⎫=++++++- ⎪⎝⎭()()42250,422520,x y L x y z x L x y z y λλ=++++==++++=()22222250,1224z z x z L x y z y λ=++++=++=0λ≠时212,41,,12x y z y y x z ====±==±，211521151111,,13,1,,123233d d +++---+⎛⎫⎛⎫==---== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭这也说明了0λ=是不可能的，因为平面与曲面最小距离为13。