线性代数总结
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结
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第一章行列式
行列式是线性代数中的重要概念之一。行列式的定义包括二三阶行列式和N阶行列式。其中，N阶行列式是由行列式
中所有不同行、不同列的n个元素的乘积的和构成的。
行列式的计算需要用到奇偶排列、逆序数和对换等概念。行列式还具有多种性质，如行列式行列互换其值不变，行列式中某两行（列）互换，行列式变号等。通过这些性质，我们可以推论出行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零等结论。
行列式还有一些特殊的形式，如转置行列式、对称行列式、反对称行列式、三线性行列式和上（下）三角形行列式等。
行列式在解线性方程组中应用广泛，如克莱姆法则。非齐次线性方程组的系数行列式不为零时，有唯一解；而齐次线性方程组的系数行列式为1时，只有零解。
第二章矩阵
矩阵是线性代数中另一个重要概念。矩阵是由数个数排成的矩形阵列，其中包括零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n
阶方阵和相等矩阵等。
矩阵的运算包括加法、数乘和乘法。其中，加法和数乘都满足交换律和结合律。而矩阵的乘法需要满足行数等于列数的规则。矩阵的乘法运算需要用到矩阵的元素之间的乘积和求和。
在矩阵的运算中，我们需要注意矩阵的类型和是否有意义。
一般情况下，矩阵乘法不满足消去律。即使已知AB=0，
也不能得到A=0或B=0.
对于矩阵A，它的转置等于A乘以A加B。即
transpose(A)=A(A+B)。
对于标量k和矩阵A，有(kA)=kA和(AB)=BA（反序定理）。
对于方幂A^k，有(A^k)=(A^1+k/2)+(A^2+k/2)。
线性代数知识点总结完整
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第一章 行列式
1. n 阶行列式()
(
)
12
1212
11121212221212
1=
=
-∑n n
n
n t p p p n p p np p p p n n nn
a a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式
()
()
111211222211221122010
n t n n nn nn nn
a a a a a D a a a a a a a =
=-=
1
2
12
n n
λλλλλλ=;
()
()1
12
2
121n n n n
λλλλλλ-=-
3.行列式的性质
定义 记
11121212221
2
n n n n nn
a a a a a a D a a a =;11211
1222212n n T n
n
nn
a a a a a a D a a a =
;行列式T
D 称为行列式D 的转置行列式.. 性质1
行列式与它的转置行列式相等..
性质2 互换行列式的两行()
↔i j r r 或列()
↔i j c c ;行列式变号.. 推论 如果行列式有两行列完全相同成比例;则此行列式为零..
性质3 行列式某一行列中所有的元素都乘以同一数()⨯j k r k ;等于用数k 乘此行列式；
推论1
D 的某一行列中所有元素的公因子可以提到D 的外面;
推论2 D 中某一行列所有元素为零;则=0D ..
性质4
若行列式的某一列行的元素都是两数之和;则
1112111212222212
()
()()i i n
i i n n n ni ni
nn
a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+=
线性代数知识点总结
大学线性代数知识点总结
第一章 行列式 二三阶行列式
N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n
n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121)
..(∑-=τ
奇偶排列、逆序数、对换
行列式的性质：①行列式行列互换,其值不变.转置行列式T D D = ②行列式中某两行列互换,行列式变号.
推论：若行列式中某两行列对应元素相等,则行列式等于零. ③常数k 乘以行列式的某一行列,等于k 乘以此行列式. 推论：若行列式中两行列成比例,则行列式值为零； 推论：行列式中某一行列元素全为零,行列式为零. ④行列式具有分行列可加性
⑤将行列式某一行列的k 倍加到另一行列上,值不变 行列式依行列展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(
定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零.
克莱姆法则：
非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时,有唯一解：
)21(n j D
D x j j ⋯⋯==
、
齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时,则只有零解
逆否：若方程组存在非零解,则D 等于零
特殊行列式：
①转置行列式：33
23
13
32221231211133
32
31
232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =
③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零
④三线性行列式:33
31
222113
线性代数的重点知识点总结
线性代数的重点知识点总结
线性代数是数学中的一个重要分支，它研究向量空间和线性变换的性质。在数学、物理、计算机科学等领域中，线性代数都有着广泛的应用。本文将总结线性代数的一些重点知识点，帮助读者更好地理解和应用线性代数。
1. 向量和矩阵
向量是线性代数中的基本概念，它表示空间中的一点或者一个方向。向量可以
表示为一个有序的数列，也可以表示为一个列矩阵。矩阵是由多个向量按照一定规则排列而成的矩形阵列。矩阵可以进行加法、减法和数乘等运算。矩阵的转置、逆矩阵和行列式等概念也是线性代数中的重要内容。
2. 线性方程组
线性方程组是线性代数中的一个重要问题，它可以表示为多个线性方程的组合。线性方程组的求解可以通过消元法、矩阵的逆等方法进行。当线性方程组有唯一解时，称为可逆方程组；当线性方程组无解或者有无穷多解时，称为不可逆方程组。
3. 向量空间和子空间
向量空间是线性代数中的一个核心概念，它包含了所有满足线性组合和封闭性
的向量的集合。子空间是向量空间中的一个子集，它也满足线性组合和封闭性的性质。子空间可以通过一组线性无关的向量来生成，这组向量称为子空间的基。子空间的维度等于基向量的个数。
4. 线性变换
线性变换是线性代数中的一个重要概念，它是指一个向量空间到另一个向量空
间的映射，并且保持向量空间的线性性质。线性变换可以用矩阵表示，矩阵的每一列表示线性变换后的基向量。线性变换有很多重要的性质，比如保持向量的线性组合、保持向量的线性无关性等。
5. 特征值和特征向量
特征值和特征向量是线性代数中的一个重要概念，它们描述了线性变换对向量
线性代数知识点总结汇总
线性代数知识点总结
1 行列式
（一）行列式概念和性质
1、逆序数：所有的逆序的总数
2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和
3、行列式性质：（用于化简行列式）
（1）行列互换（转置），行列式的值不变
（2）两行（列）互换，行列式变号
（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式
（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。
（6）两行成比例，行列式的值为0。
（二）重要行列式
4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积
5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘
6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则
7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式
数学归纳法证明
★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：
（三）按行（列）展开
9、按行展开定理：
（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0
（四）行列式公式
10、行列式七大公式：
（1）|kA|=k n|A|
（2）|AB|=|A|·|B|
（3）|A T|=|A|
（4）|A-1|=|A|-1
（5）|A*|=|A|n-1
（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则
（7）若A与B相似，则|A|=|B|
（五）克莱姆法则
11、克莱姆法则：
（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解
线性代数重点总结
线性代数重点总结
线性代数是现代数学领域的重要分支，它研究线性方程组、向量
空间、线性映射等代数结构和它们之间的关系。在应用数学、工程学、计算机科学等领域中，线性代数起着举足轻重的作用。本文将以1500
字左右的篇幅，对线性代数的重点内容进行总结，旨在为读者提供一
份简明扼要、重点突出的学习指南。
第一部分：线性方程组与矩阵
1.1 线性方程组的定义及解的存在唯一性
线性方程组由多个线性方程组成，它的解是使得方程组中所有方
程都成立的解集。如果线性方程组有解，且解是唯一的，那么称线性
方程组是可解且解唯一的。
1.2 线性方程组的矩阵形式
将线性方程组用矩阵和向量表示可以简化计算过程。线性方程组
的系数矩阵A、未知数向量X和常数向量B之间满足AX=B的关系。
1.3 线性方程组的消元法
高斯消元法和高斯-约当消元法是求解线性方程组的常用方法。
通过对矩阵进行初等行变换，将线性方程组转化为更简化的形式，从
而求出解。
1.4 矩阵的运算
矩阵的加法、减法和数乘是常见的矩阵运算。此外，还有矩阵的
乘法、转置和逆矩阵等运算。
1.5 矩阵的特征值与特征向量
特征值和特征向量描述了矩阵的特征性质。特征值是方程Ax=λx 的解，其中A是方阵，λ是特征值，x是非零向量。特征向量则是对
应于特征值的非零向量。
第二部分：向量空间与线性映射
2.1 向量空间的定义与性质
向量空间是具有线性结构的集合。它满足加法封闭性、数乘封闭性、零向量存在性、加法逆元存在性等性质。
2.2 线性独立与线性相关
向量空间中的向量集合线性相关指存在非零向量使得线性组合等
线性代数知识点总结
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线性代数知识点总结篇1
第一章行列式
知识点1：行列式、逆序数
知识点2：余子式、代数余子式
知识点3：行列式的性质
知识点4：行列式按一行（列）展开公式
知识点5：计算行列式的方法
知识点6：克拉默法则
第二章矩阵
知识点7：矩阵的概念、线性运算及运算律
知识点8：矩阵的乘法运算及运算律
知识点9：计算方阵的幂
知识点10：转置矩阵及运算律
知识点11：伴随矩阵及其性质
知识点12：逆矩阵及运算律
知识点13：矩阵可逆的判断
知识点14：方阵的行列式运算及特殊类型的矩阵的运算知识点15：矩阵方程的求解
知识点16：初等变换的概念及其应用
知识点17：初等方阵的概念
知识点18：初等变换与初等方阵的关系
知识点19：等价矩阵的概念与判断
知识点20：矩阵的子式与最高阶非零子式
知识点21：矩阵的秩的概念与判断
知识点22：矩阵的秩的性质与定理
知识点23：分块矩阵的概念与运算、特殊分块阵的运算知识点24：矩阵分块在解题中的技巧举例
第三章向量
知识点25：向量的概念及运算
知识点26：向量的线性组合与线性表示
知识点27：向量组之间的线性表示及等价
知识点28：向量组线性相关与线性无关的概念
知识点29：线性表示与线性相关性的关系
知识点30：线性相关性的判别法
知识点31：向量组的最大线性无关组和向量组的秩的概念
知识点32：矩阵的秩与向量组的秩的关系
知识点33：求向量组的最大无关组
知识点34：有关向量组的定理的综合运用
知识点35：内积的概念及性质
知识点36：正交向量组、正交阵及其性质
知识点37：向量组的正交规范化、施密特正交化方法
完整版线性代数知识点总结
完整版线性代数知识点总结
线性代数是数学的一个分支，研究向量空间及其上的线性变换。它在各个领域中都有广泛的应用，包括物理学、计算机科学、工程学等。以下是线性代数的一些重要知识点总结：
1.向量和向量空间：向量是有方向和大小的量，可以用来表示力、速度、位移等。向量空间是向量的集合，具有加法和标量乘法运算，同时满足一定的性质。
2.线性方程组和矩阵：线性方程组是一组线性方程的集合，研究其解的性质和求解方法。矩阵是一个由数构成的矩形数组，可以用来表示线性方程组中的系数和常数。
3.矩阵的运算：包括矩阵的加法、减法和乘法运算。矩阵乘法是一种重要的运算，可以用来表示线性变换和复合变换。
4.行列式和特征值：行列式是一个标量，表示矩阵的一些性质，如可逆性和面积/体积的变换。特征值是矩阵对应的线性变换中特殊的值，表示该变换在一些方向上的伸缩程度。
5.向量的内积和正交性：向量的内积是一种二元运算，可以用来表示向量之间的夹角和长度。正交向量是指内积为零的向量，可以用来表示正交补空间等概念。
6.向量的投影和正交分解：向量的投影是一个向量在另一个向量上的投影，可以用来表示向量的分解。正交分解是将一个向量分解为与另一个向量正交和平行的两个向量之和。
7.线性变换和线性映射：线性变换是指保持向量加法和标量乘法运算的变换。线性映射是向量空间之间的函数，具有保持线性运算的性质。
8.特征值和特征向量：特征值和特征向量是线性变换或矩阵中一个重要的概念，用于描述变换的性质和方向。
9.正交矩阵和对称矩阵：正交矩阵是一个方阵，其列向量组成的矩阵是正交的。对称矩阵是一个方阵，其转置等于自身。
线性代数知识点总结汇总
线性代数知识点总结
1 行列式
〔一〕行列式概念和性质
1、逆序数：所有的逆序的总数
2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和
3、行列式性质：〔用于化简行列式〕
〔1〕行列互换〔转置〕，行列式的值不变
〔2〕两行〔列〕互换，行列式变号
〔3〕提公因式：行列式的某一行〔列〕的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式
〔4〕拆列分配：行列式中如果某一行〔列〕的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
〔5〕一行〔列〕乘k加到另一行〔列〕，行列式的值不变。
〔6〕两行成比例，行列式的值为0。
〔二〕重要行列式
4、上〔下〕三角〔主对角线〕行列式的值等于主对角线元素的乘积
5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘
6、Laplace展开式：〔A是m阶矩阵，B是n阶矩阵〕，那么
7、n阶〔n≥2〕X德蒙德行列式
数学归纳法证明
★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：
〔三〕按行〔列〕展开
9、按行展开定理：
〔1〕任一行〔列〕的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值〔2〕行列式中某一行〔列〕各个元素与另一行〔列〕对应元素的代数余子式乘积之和等于0
〔四〕行列式公式
10、行列式七大公式：
〔1〕|kA|=k n|A|
〔2〕|AB|=|A|·|B|
〔3〕|A T|=|A|
〔4〕|A-1|=|A|-1
〔5〕|A*|=|A|n-1
〔6〕假设A的特征值λ1、λ2、……λn，那么
〔7〕假设A与B相似，那么|A|=|B|
〔五〕克莱姆法那么
11、克莱姆法那么：
〔1〕非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解
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1、行列式
1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式；
2. 代数余子式的性质：
①、ij A 和ij a 的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij
M A A M ++=-=-
4. 设n 行列式D ：
将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2
1(1)
n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)2
2(1)n n D D -=-；
将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =；
将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式：
①、主对角行列式：主对角元素的乘积；
②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2
(1)
n n -⨯ -；
③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2
(1)n n -⨯ -；
⑤、拉普拉斯展开式：
A O A C A B
C
B O B
==、(1)m n C
A O
A A B
B O
B C
==-
⑥、德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；
6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n
n
k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式；
7. 证明0A =的方法：
①、A A =-；
②、反证法；
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结
线性代数是数学中的一个分支，主要研究向量和线性方程组的性质，涉及到向量空间、矩阵、线性变换等多个重要概念和性质。本文
将对线性代数的基本知识点进行总结，并探讨其在实际应用中的重要性。
1. 向量空间：
向量空间是线性代数的基础概念之一，它指的是一组向量的集合，其
中任意向量的线性组合仍然属于该集合。向量空间的定义包括了满足
加法和标量乘法的一些基本性质，如封闭性、结合律、分配律等。向
量空间的研究使得我们能够通过研究向量的线性组合来描述和分析更
加复杂的问题。
2. 矩阵：
矩阵是线性代数中的另一个重要概念，它由行和列组成的矩形阵列。
矩阵可以用来表示线性变换、解决线性方程组等问题。矩阵的加法和
乘法运算具有一些特殊的性质，如结合律、交换律等。线性代数的很
多概念和方法都是基于矩阵的表示和操作。
3. 线性方程组：
线性方程组是线性代数中最基本的问题之一，它是由一组线性方程组
成的方程组。线性方程组的求解可以通过矩阵的表示和变换来进行，
其中高斯消元法和矩阵的逆矩阵是常用的求解方法。线性方程组的解
可以有唯一解、无解或无穷解三种情况，这取决于矩阵的秩和自由变
量个数。
4. 线性变换：
线性变换是线性代数中的一个重要概念，它是指将一个向量空间映射
到另一个向量空间的变换。线性变换具有保持加法和标量乘法的性质，它可以通过矩阵的乘法来表示。线性变换在计算机图形学、数据处理、信号处理等领域都有广泛的应用。
5. 特征值和特征向量：
特征值和特征向量是线性代数中研究矩阵性质的重要工具。特征值表示一个矩阵在某个特定方向上的伸缩比例，特征向量表示在该方向上的不变性。通过计算矩阵的特征值和特征向量，我们可以了解矩阵的对称性、相似性等性质，进而应用于诸如主成分分析、图像处理等领域。
线性代数 知识点总结
线性代数知识点总结
一、向量
1、向量的定义
向量是指具有大小和方向的量，通常用定位矢量、力、速度、加速度等概念来描述，是线性代数的基础概念之一。在向量的表示上，通常用箭头表示。
2、向量的加法
向量的加法满足结合律和交换律，即对于任意两个向量a、b和任意数α，有a+b=b+a，(a+b)+c=a+(b+c)，α(a+b)=αa+αb。
3、向量的数量积
向量的数量积又称内积或点积，是指两个向量相乘后相加的结果。表示为a•b，数值为
|a||b|cosθ，其中θ为a、b之间的夹角。
4、向量的线性相关与线性无关
若存在一组不全为零的实数α1、α2、…、αn，使得α1a1+α2a2+…+αnan=0，则向量a1、a2、…、an为线性相关。否则为线性无关。
5、向量的外积
向量的外积又称叉积，是指两个向量相乘后得到一个垂直于原两个向量的新向量。其模长为两个向量长度的乘积与夹角的正弦。
6、向量的投影
向量a在向量b上的投影是指垂直于b的向量a′，满足a=a′+a″，其中a″即为a在b上的投影。
7、标量
标量是没有方向的，只有大小的量。标量和向量共同构成线性代数的基础。
二、矩阵
1、矩阵的定义
矩阵是由m行n列的数按特定顺序排列的格式，通常用方括号表示。其中m、n分别称为矩阵的行数和列数。
2、矩阵的运算
矩阵的加法、数乘、矩阵乘法等运算是线性代数中矩阵的重要运算。矩阵乘法中的常见性
质有结合律、分配律、非交换性等。
3、矩阵的转置
矩阵的转置是指行列互换，即对于矩阵A，其转置记为A'，且满足(a')ij=(a)ji。
4、矩阵的秩
线性代数知识点总结
线性代数知识点总结
线性代数是数学中重要的一个分支，它研究向量、向量空间、
线性映射和线性方程组等一系列与线性关系密切相关的概念和理论。在数学、物理学、计算机科学等领域都有广泛应用。本文将
对线性代数中的几个核心知识点进行总结。
一、向量和矩阵
向量是线性代数的基本概念之一，它可以用来表示具有大小和
方向的物理量。在数学上，向量通常用一列数字表示，例如二维
向量可以表示为(2, 3)，三维向量可以表示为(1, 2, 3)。向量的运算
包括加法、减法和数乘等。矩阵是由一组数按照矩阵的排列规则
排列成的数表，它可以表示线性变换和线性方程组。矩阵的加法、减法和数乘与向量类似。
二、内积和外积
内积是向量的一种运算，它可以衡量两个向量之间的夹角和长度。常见的内积有点乘和数量积。点乘是指两个向量对应分量的
乘积之和，例如向量(1, 2, 3)和向量(4, 5, 6)的点乘为1×4 + 2×5 +
3×6 = 32。数量积是指一个向量与自身的点乘，它的结果是向量的
模的平方。外积是向量的另一种运算，它的结果是一个新的向量，与原始向量垂直。
三、线性方程组和矩阵的逆
线性方程组是由多个线性方程组成的方程组，例如2x + 3y = 7
和4x - 5y = 3就是一个线性方程组。解线性方程组是线性代数中
的常见问题之一，可以利用矩阵表示线性方程组，并通过矩阵求解。矩阵的逆是指存在一个矩阵与原始矩阵相乘等于单位矩阵，
逆矩阵在求解线性方程组时起到重要的作用。
四、线性映射和线性变换
线性映射是指保持向量加法和数乘运算的映射。线性映射在矩
阵的表示中，可以用矩阵乘法来表示，例如矩阵A与向量x的乘
线性代数知识点总结归纳
线性代数知识点总结归纳
线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间和线性方程组等内容。它在许多领域都有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等。下面将对线性代数的常见知识点进行总结归纳。
1.向量和向量空间：
-向量是由有序的数字组成的数组，可以用于表示空间中的点、力、速度等。
-向量的运算包括加法和数乘，其中加法满足结合律和交换律，数乘满足分配律。
-向量空间是由一组向量组成的集合，满足加法和数乘的封闭性、结合律、交换律等性质。
2.线性方程组：
- 线性方程组是由多个线性方程组成的方程集合，形如a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b。
-线性方程组可以用矩阵和向量的形式表示，即Ax=b，其中A是系数矩阵，x是未知向量，b是常数向量。
-解线性方程组的方法有高斯消元法、矩阵的逆、克拉默法则等。
3.矩阵和矩阵运算：
-矩阵是由数构成的矩形阵列，可以用于表示线性变换、方程组等。
-矩阵的运算包括加法、数乘和乘法。矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律。
-矩阵的转置、逆矩阵、伴随矩阵是常见的矩阵运算。
4.线性变换：
-线性变换是指保持向量空间的加法和数乘运算的一种映射关系。
-线性变换可以用矩阵表示，通过矩阵与向量的乘法来实现。
-线性变换有许多重要的性质，如保持向量加法、数乘运算、保持原
点不变等。
5.特征值和特征向量：
-特征值是线性变换中的一个重要概念，表示线性变换沿一些方向拉
伸或压缩的比例因子。
-特征向量是与特征值相关联的向量，在经过线性变换后，仅被拉伸
或压缩，方向不变。
-特征值和特征向量可以通过求解线性方程组(A-λI)v=0来求得。
线性代数知识点总结汇总
线性代数知识点总结
1 行列式
（一）行列式概念和性质
1、逆序数：所有的逆序的总数
2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和
3、行列式性质：（用于化简行列式）
（1）行列互换（转置），行列式的值不变
（2）两行（列）互换，行列式变号
（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式
（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。
（6）两行成比例，行列式的值为0。
（二）重要行列式
4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积
5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘
6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则
7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式
数学归纳法证明
★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：
（三）按行（列）展开
9、按行展开定理：
（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0
（四）行列式公式
10、行列式七大公式：
（1）|kA|=k n|A|
（2）|AB|=|A|·|B|
（3）|A T|=|A|
（4）|A-1|=|A|-1
（5）|A*|=|A|n-1
（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则
（7）若A与B相似，则|A|=|B|
（五）克莱姆法则
11、克莱姆法则：
（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解
线性代数知识点总结(免费)
线性代数知识点总结(免费)
线性代数是数学的一个分支，用来研究向量空间及其上的线性变换。它也被广泛用于研究和求解线性系统及其的基本定理。它也可以用来建立数学模型，在工程技术中有很多应用。
线性代数的基本概念包括：
1、向量空间：向量空间是一种数据结构，用来表示可被各种线性变换操作的数据集合。
2、线性变换：线性变换就是把一个特定的向量进行某种特定的运算，比如加减乘除法等，得到另一个新的向量。
3、线性系统：线性系统是一种特殊的线性变换，它把输入的变量转化成另一种叫做输出的变量，两者的关系用一组关系式来表示。
4、矩阵：矩阵是一种数字表示的线性系统，它是一个多行多列的方阵，用来表示线性变换和向量的计算。
5、线性方程组：线性方程组是一类特殊的线性系统，用一组数和一组系数来表示，把多个变量之间的关系使用一组等式来表示。
6、向量空间的基：向量空间的基是一组特定的向量，它们可以通过特定的线性变换操作得出一组特定的结果向量。
7、坐标转换：坐标转换是一种线性变换，它把一个点的坐标通过一系列的变换转变到另外一个坐标系上，它是研究向量在不同空间内交互变换的重要工具。
8、特征值及特征向量：特征值及特征向量是一组线性变换系统中的一种特殊的解，它是能够对给定线性系统唯一确定特定解的参数。
9、行列式：行列式是用一组数字表示在向量空间中某个方向上的变换类型。它们反映了这种变换的维度以及变换的模式。
10、矩阵的分解：矩阵的分解是指把复杂的矩阵情形，通过各种算法，把它分解成若干个简单的矩阵形式，以便使用更方便。
通过线性代数可以通过复杂的变换操作，把各种复杂的数据转化成对应的变量，然后通过特定的算法求解出来，这就是线性代数的作用所在。它也在各个领域中有着广泛的应用，如数字信号处理、机器学习、图像处理以及多种科学领域都用到了线性代数的相关理论和实践。
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线性代数总结 [转贴 2008-05-04 13:04:49]
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线性代数总结
一、课程特点
特点一：知识点比较细碎。
如矩阵部分涉及到了各种类型的性质和关系，记忆量大而且容易混淆的地方较多。
特点二：知识点间的联系性很强。
这种联系不仅仅是指在后面几章中用到前两章行列式和矩阵的相关知识，更重要的是在于不同章节中各种性质、定理、判定法则之间有着相互推导和前后印证的关系。
复习线代时，要做到“融会贯通”。
“融会”——设法找到不同知识点之间的内在相通之处；
“贯通”——掌握前后知识点之间的顺承关系。
二、行列式与矩阵
第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。
行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和阶两种类型；主要方法是应用行列式的性质及按行\列展开定理化为上下三角行列式求解。
对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于、、等的相关性质，及性质（其中为矩阵的特征值）。
矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、、、的性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初等矩阵的性质等。
三、向量与线性方程组
向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节；后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。
向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。
解线性方程组可以看作是出发点和目标。线性方程组（一般式）
还具有两种形式：
（Ⅰ）矩阵形式，其中
，，
（Ⅱ）向量形式，其中
,
向量就这样被引入了。
1）齐次线性方程组与线性相关、无关的联系
齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当时等式一定成立；印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。
齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解；②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式中的只能全为0才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为0的使上式成立；但向量部分中判断向量组是否线性相关\无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系：齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关\无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。
2）齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系
同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”，向量组组成的矩阵有说明向量组的极大线性无关组中有个向量，即线性无关，也即等式只有零解。所以，经过
“秩→ 线性相关\无关→ 线性方程组解的判定”
的逻辑链条，由就可以判定齐次方程组只有零解。当时，的列向量组线性相关，此时齐次线性方程组有非零解，且齐次线性方程组的解向量可以通过个线性无关的解向量（基础解系）线性表示。
3）非齐次线性方程组与线性表示的联系
非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由的列向量组线性表示，即使等式成立的一组数就是非齐次线性方程组的解。当非齐次线性方程组满足时，它有唯一解。这一点也正好印证了一个重要定理：“若线性无关，而线性相关，则向量可由向量组线性表示，且表示方法唯一”。
性质1.对于方阵有：
方阵可逆ó
ó 的行\列向量组均线性无关ó
ó 可由克莱姆法则判断有唯一解，
而仅有零解
对于一般矩阵则有：
ó 的列向量组线性无关
ó 仅有零解，有唯一解（如果有解）
性质2．齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关，而非齐次线性方程组是否有解对应于是否可以由的列向量组线性表出。
以上两条性质可视为是将线性相关、行列式、秩、线性方程组几部分知识联系在一起的桥梁。
应记住的一些性质与结论
1．向量组线性相关的有关结论：
1）向量组线性相关ó向量组中至少存在一个向量可由其余个向量线性表出。
2）向量组线性无关ó向量组中没有一个向量可由其余的向量线性表出。
3）若线性无关，而线性相关，则向量可由向量组线性表示，且表示法唯一。
2．向量组线性表示与等价的有关结论：
1）一个线性无关的向量组不可能由一个所含向量个数比它少的向量组线性表示。2）如果向量组可由向量组线性表示，则有
3）等价的向量组具有相同的秩，但不一定有相同个数的向量；
4）任何一个向量组都与它的极大线性无关组等价。
3．常见的线性无关组：
1）齐次线性方程组的一个基础解系；
2）、、这样的单位向量组；
3）不同特征值对应的特征向量。
4．关于秩的一些结论：
1）；
2）；
3）；
4）；
5）若有、满足，则；
6）若是可逆矩阵则有；
7）若可逆则有；
8）。
4．线性方程组的解：
1）非齐次线性方程组有唯一解则对应齐次方程组仅有零解；
2）若有无穷多解则有非零解；
3）若有两个不同的解则有非零解；
4）若是矩阵而则一定有解，而且当时有唯一解，当时有无穷多解；
5）若则没有解或有唯一解。
四、特征值与特征向量
相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”。本章知识要点如下：
1．特征值和特征向量的定义及计算方法
就是记牢一系列公式如、、和。
常用到下列性质：
若阶矩阵有个特征值，则有；
若矩阵有特征值，则、、、、、分别有特征值、、、、、，且对应特征向量等于所对应的特征向量；
2．相似矩阵及其性质
定义式为，此时满足、、，并且、有相同的特征值。
需要区分矩阵的相似、等价与合同：矩阵与矩阵等价（）的定义式是，其中、为可逆矩阵，此时矩阵可通过初等变换化为矩阵，并有；当中的、互逆时就变成了矩阵相似（）的定义式，即有；矩阵合同的定义是，其中为可逆矩阵。