对函数零点的理解

合集下载

函数零点

一、函数的零点1. 零点的概念：对于函数y ＝f (x )(x ∈D )，把使f (x )＝0成立的实数x 叫做函数y ＝f (x )(x ∈D )的零点． 2. 函数零点的意义：方程f (x )=0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． 3. 零点存在性判定定理：如果函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象是连续不断的一条曲线,且f (a )·f (b )＜0,则函数y =f (x )在区间(a ,b )内有零点，即存在c ∈(a ,b ),使得f (c )=0,这个c 就是方程f (x )=0的根． 4. 二次函数零点的判定（1）二次函数零点的判定二次函数2y ax bx c =++的零点个数，方程20ax bx c ++=的实根个数见下表．（2① 二次函数的图象是连续的，当它通过零点时(不是二次零点)，函数值变号． ② 相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号．【说明】对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立．（3）二次函数的零点的应用① 利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图．② 根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质．重难点【定理1】21x x k ≤<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≥-=∆k ab k af ac b 20)(042 如图所示：f【定理2】kx x <≤21⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->≥-=∆k ab k af ac b 20)(042．如图所示：【定理3】21x k x <<⇔0)(<k af ．如图所示：推论1 210x x <<⇔0<ac ．推论2 211x x <<⇔0)(<++c b a a ．【定理4】有且仅有11x k <(或2x )2k <⇔0)()(21<k f k f如图所示：【定理5】221211p x p k x k <<≤<<⇔⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<>><<0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a【定理6】2211k x x k <≤<⇔⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<>>>≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<-<<<<≥-=∆2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b如图所示：二、二分法1. 对于在区间[],a b 上连续，且满足()()0f a f b <的函数()y f x =通过不断把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点从而得到零点近似值的方法，叫做二分法．2. 用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证()()0f a f b <，给定精确度．第二步：求区间(),a b 的中点1x ．第三步：计算()1f x○1若()10f x =，则1x 就是函数的零点； ○2若()()1.0f a f x <，则令1b x =； ○3若()()10f x f b <，则令1a x =．第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点的近似值a （或b ），否则重复第二、三、四步．函数零点的性判定及求解：【例1】判断下列函数在给定的区间上是否纯在零点．（1）()2318f x x x =--，[]1.8x ∈ （2）()331f x x x =--，[]1,2x ∈- （3）()()2log 2f x x x =+-，[]1,3x ∈．【解析】（1）方法一：()1200f =-<，()8220f =>，()()180f f ∴⋅<．故()2318f x x x =--在[]1,8上存在零点．方法二：令23180x x --=，解得3x =-或6x =，()23180f x x x ∴=--=在[]1,8上存在零点．（2）()110f -=-<，()250f =>，()31f x x x ∴=--在[]1,2-上存在零点．（3）()()221log 121log 210f =+->-=，()()223log 323log 830f =+-<-=，()()130f f ∴⋅<．故()()2log 2f x x x =+-在[]1,3上存在零点．【例2】设函数3y x =与212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像交点为()00,x y ，则0x 所在的区间（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()1,3D ．()3,4【答案】B【例3】（天津理2）函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是（）Ａ．()2,1-- Ｂ．()1,0- Ｃ．()0,1 Ｄ．()1,2【答案】B【解析】解法1．因为()22260f --=-<，()11230f --=-<，()00200f =+>，所以函数()23x f x x =+的零点所在的一个区间是()1,0-．故选Ｂ．解法2．()230x f x x =+=可化为23x x =-．画出函数2x y =和3y x =-的图象，可观察出选项Ｃ，Ｄ不正确，且()00200f =+>，由此可排除Ａ，故选Ｂ．例题精讲【例4】（2010宣武一模理4）设函数231()2x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则其零点所在的区间为（）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）【答案】B【解析】 ()f x 在R 上单调增，(1)10f =-<，(2)70f =>，故零点所在区间(1,2)．【例5】（合肥第三次质检）“14a =-”是“函数()21f x ax x =--只有一个零点”的（）A ．充要条件B ．充分而不必要C ．必要而不充分D ．既不充分也不必要【答案】B【解析】由“函数()21f x ax x =--只有一个零点”可得14a =-或0a =，故14a =-充分而不必要．【例6】（2010浙江文）已知x 是函数()121x f x x=+-的一个零点．若()101,x x ∈，()20,x x ∈+∞，则 A ．()10f x <，()20f x C ．()10f x >，()20f x <D ．()10f x >，()20f x >【答案】B【例7】（山东理10）已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x <≤时,()3f x x x =-，则函数()y f x =的图象在区间[]0,6上与x 轴的交点的个数为（） A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】A【解析】因为当02x <≤时，()3f x x x =-,又因为()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且()00f =,所以()()()()6420f f f f ===,又因为()10f =,所以()30f =,()50f =,故函数()y f x =的图象在区间[]0,6上与x 轴的交点的个数为6个,选A ．【例8】（2010福建文）函数()223,0-2+ln ,0x x x f x x x ⎧+-=⎨>⎩≤的零点个数为 ( )A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】当0x ≤时，令2230x x +-=解得3x =-；当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C ．二次函数的零点问题【例9】方程()2250x m x m +-+-=的两根都大于2，则m 的取值范围________．【答案】(]5,4--【解析】令()()225f x x m x m =+-+-，要使()0f x =的两根都大于2，则()()()22450,20,22,2m m f m ⎧⎪=---⎪⎪>⎨⎪-⎪>⎪⎩Δ≥ 54m -<<-．【例10】关于x 的方程()234210m x mx m +-+-=的两根异号，且负的绝对值不正的绝对值大，那么实数m 的取值范围时（）A ．30m -<D ．0m <或3m >【解析】由题意知()()2121216432104032103m m m m x x m m x x m ⎧=-+->⎪⎪⎪+=<⎨+⎪⎪-⋅=<⎪+⎩Δ得30m -<<，故选A ．【变式】（福建文6）若关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）A ．（－1，1）B ．（－2，2）C ．()(),22,-∞-+∞ D ．()(),11,-∞-+∞．【答案】C【变式】（重庆理10）设m ，k 为整数，方程220mx kx -+=在区间（0,1）内有两个不同的根，则m k +的最小值为（）A ．-8B ．8C ．12D ． 13【答案】D【例11】已知m ∈R ，函数()()21f x m x x a =-+-恒有零点，求实数a 的取值范围．【答案】当0m =时，a R ∈；当0m ≠时，11a -≤≤【解析】 (1)当0m =时，()0f x x a =-=解得x a =恒有解，此时a R ∈；．(2)当0m ≠时，∵ ()0f x =，即20mx x m a +--=恒有解，∴ 211440m am ∆=++≥恒成立，令()2441g m m am =++ ∵()0g m ≥恒成立，∴2α2∆=16-16≤0，解得11a -≤≤,综上所述知，当0m =时，a R ∈；当0m ≠时，11a -≤≤．函数图象与方程【例12】关于x 的方程10ax a +-=在区间()0,1内有实根，求实数a 的取值范围是（）A ．1a >B ．12a <C ．112a << D ．12a <或1a > 【解析】只需()()010f f <即可，解得112a <<．【例13】（2010•上海理17）若0x 是方程1312xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭的解，则0x 属于区间（）【例14】设123,,x x x 依次是方程12log 2x x +=，2log (2)x +22x x +=的实数根，试比较123,,x x x 的大小．【答案】231x x x <<【解析】在同一坐标内作出函数2y x =-，12x12log y x=，2x y =-的图象从图中可以看出，310x x << 又20x <，故231x x x <<【例15】（山东理16）已知函数()log a f x x x b =+-（0a >，且0a ≠），当234a b <<<<时，函数()f x 的零点()0,1x n n ∈+，n N *∈，则N =_________ ．【答案】5【解析】方程()log a f x x x b =+-（0a >，且0a ≠）=0的根为0x ,即函数log a y x =()23a <<的图象与函数()34y x b b =-<<的交点横坐标为0x ,且()0,1x n n ∈+，n N ∈*,结合图象,因为当()23x a a =<≤时,1y =,此时对应直线上1y =的点的横坐标()14,5x b =+∈;当2y =时, 对数函数()log 23a y x a =<<的图象上点的横坐标()4,9x ∈,直线()34y x b b =-<<的图象上点的横坐标()5,6x ∈,故所求的5=．【例16】（2010广东深圳）已知函数()221f x x ex m =-++-，()()20e g x x x x=+>．（1）若()g x m =有零点，求m 的取值范围；（2）确定m 的取值范围，使得()()0g x f x -=有两个相异样的实根．【解析】（1）()22e g x x e x=+≥等号成立的条件是x e =故()g x 得值域是(]2,e +∞．故此只需2m e >，则()g x m =就有零点．（2）若()()0g x f x -=有两个相异实根，而()()g x f x =中()g x 与()f x 的图像有两个不同的交点．作出()2e g x x x=+()0x >的图像，如图()21f x x ex m =-++-=()221x e m e --+-+，其对称轴为x e =，开口向下，最大值为21m e -+故当212m e e -+>，即221m e e >-++时，()g x 与()f x 有两个交点，即()()0g x f x -=有两个实数根．∴m 的取值范围是()221,e e -+++∞．函数零点的应用【例17】（辽宁文16）已知函数()2x f x e x a =-+有零点，则a 的取值范围是___________．【答案】(],2ln 22-∞-【例18】（2011•湖南）已知函数()1x f x e =-，()243g x x x =-+-，若有()()f a f b =，则b 的取值范围为（）A．2⎡⎣B．(2+C ．[]1,3D ．()1,3【例19】已知2()log f t t =，8t ⎤∈⎦，对于()f t 值域内的所有实数m ，不等式2424x mx m x ++>+恒成立，求x 的取值范围．【解析】 ∵t ∈8]，∴ ()f t ∈[12，3]， ∴m ∈[12，3] ．原题转化为：2(2)(2)m x x -+->0恒成立，当2x =时，不等式不成立．∴2x ≠，令2()(2)(2)g m m x x =-+-，m ∈[12，3]，则：2212()(2)022(3)3(2)(2)0x g x g x x -⎧=+->⎪⎨⎪=-+->⎩，解得：21x x ><-或． ∴x 的取值范围为(,1)(2,)-∞-+∞．【答案】(,1)(2,)-∞-+∞【例20】（2009福建卷文）若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0．25，则()f x 可以是（）A ．()41f x x =-B ．()2(1)f x x =-C ．()1xf x e =- D ．()12f x In x ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】 A【解析】 ()41f x x =-的零点为14x =，()2(1)f x x =-的零点为1x =, ()1xf x e =-的零点为0x =，()12f x In x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点为x=23．现在我们来估算()422x g x x =+-的零点，因为g(0)=-1,g(21)=1,所以g(x)的零点x ∈(0, 21),又函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0．25，只有()41f x x =-的零点适合，故选A ．【例21】（2010西城一模文20）已知函数2()()e x f x x mx m =-+，其中m ∈R ．（1）若函数()f x 存在零点，求实数m 的取值范围；（2）当0m <时，求函数()f x 的单调区间，并确定此时()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．【解析】（1）设()f x 有零点，即函数2()g x x mx m =-+有零点，所以240m m -≥，解得4m ≥或0m ≤；（2）2()(2)e ()e (2)e x x x f x x m x mx m x x m '=-⋅+-+⋅=-+，令()0f x '=得0x =或2x m =-，因为0m <，所以20m -<，当(,2)x m ∈-∞-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；当(2,0)x m ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增．此时，()f x 存在最小值．()f x 的极小值为(0)0f m =<．根据()f x 的单调性，()f x 在区间(2,)m -+∞上的最小值为m ，解()f x =0，得()f x 的零点为1x =和2x =结合2()()e x f x x mx m =-+⋅可得在区间1(,)x -∞和2(,)x +∞上，()0f x >．因为0m <，所以120x x <<，并且1(2)2x m m --=+=4|2|4(2)1022m m m m -+---+-->===>，即12x m >-，综上，在区间1(,)x -∞和2(,)x +∞上，()0f x >，()f x 在区间(2,)m -+∞上的最小值为m ，0m <，所以，当0m <时()f x 存在最小值，最小值为m ．【例22】设函数()32f x x ax bx a =+++，()232g x x x =-+，其中x R ∈，a ，b 为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点()2,0处有相同的切线1． (I) 求a ，b 的值，并写出切线1的方程；(II)若方程()()f x g x mx +=有三个互不相同的实根0，1x ，2x ，其中12x x <，且对任意的1,2x x x ⎡⎤∈⎣⎦，()()(1)fxg x m x +<-恒成立，求实数m 的取值范围．判断函数()y f x =在某区间上是否有零点，有几个零点，常用以下方法：解方程：方程根的个数即为零点的个数定理法：利用函数零点存在性定理直接判断图像法：转化为求两个函数图像的交点个数问题进行判断课后总结【习题1】（天津文4）函数()e 2xf x x =+-的零点所在的一个区间是（）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2 【答案】C【解析】因为()11e 120f --=--<，()00e 0210f =+-=-<，()11e 12e 10f =+-=->，所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选Ｃ．【习题2】偶函数()f x 在区间[]0,a ()0a >是单调函数，且满足()()00f f a <，则函数()f x 在区间[],a a -内零点的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．4A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C ．【习题4】（2009安徽卷理）设a ＜b,函数2()()y x a x b =--的图像可能是（）【答案】 C【解析】/()(32)y x a x a b =---，由/0y =得2,3a bx a x +==，∴当x a =时，y 取极大值0，当课堂检测23a bx +=时y 取极小值且极小值为负．故选C ．【习题5】方程2210(0ax x a --=>，且1)a ≠在区间[]1,1-上有且仅有一个实根，求函数23xxy a -+=的单调区间．【解析】令2()21f x ax x =--，（1）由(1)20f a -==，得0a =，舍去；（2）由(1)220f a =-=，得1a =，舍去；（3）(1)(1)0f f -⋅<⇔20a a -<⇔01a << 综上：01a << 对于函数23xxy a -+=，令t y a =，221133()612t x x x =-+=--+则t y a =在R 上为减函数，t 在1(,]6-∞上为增函数，在1[,)6+∞上为减函数． ∴当1(,]6x ∈-∞时，23x x y a -+=是减函数；当1[,)6x ∈+∞时，23x x y a -+=是增函数．【答案】单调减区间1(,]6-∞单调增区间1[,)6+∞【习题6】若函数()()01xf x a x a a a =-->≠且有两个零点，则实数a 的取值范围是 _________．【答案】}1|{>a a【解析】设函数(0,x y a a =>且1}a ≠和函数y x a =+,则函数()()01x f x a x a a a =-->≠且有两个零点, 就是函数(0,xy a a =>且1}a ≠与函数y x a=+有两个交点,由图象可知当10<<a 时两函数只有一个交点,不符合,当1>a 时,因为函数(1)x y a a =>的图象过点(0,1),而直线y x a =+所过的点（0，a ）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点．所以实数a 的取值范围是}1|{>a a ．。

函数零点的概念

函数零点的概念
函数零点是一种非常重要的概念，用于解释复杂的数学函数。

它是一种特殊的解，它可以帮助我们理解函数的特性，并预测函数可能出现的曲线。

函数零点可以被函数本身、函数零点所在的性质以及函数对应的几何意义来解释。

一般来说，函数零点是函数的一个特殊点。

它是一个函数的特殊点，这个特殊点的函数值为0.0，我们把这个特殊点叫做函数零点。

通常当函数满足一些特定的几何性质时，函数零点就会出现。

函数零点有很多种，其中最常用的是定义在实数域上的函数零点。

实数域上的函数零点可以用数学方法求解，也可以用解析函数解析求得。

实数域上的函数零点也可以用图像法求得，但是这种方案只能用来探索函数零点的性质，不能求得函数零点的精确值。

此外，实数域上的函数零点还可以通过求导和极值的方法求得，求导可以得到函数的斜率，从而可以确定函数的零点；而极值可以求得函数的极大值和极小值，由于函数的值在极值的点的左右附近都在变动，因此也可以用来推测函数零点的位置。

而除了实数域上的函数零点，还有复数域上的函数零点等一些特殊的函数零点。

函数零点对于函数的研究和分析有着重要的意义，它可以让我们更好地分析函数，并预测函数可能出现的曲线。

函数零点也是很多科学研究中用到的重要概念，因此，了解函数零点的概念十分有必要。

总的来说，函数零点是一种非常重要的概念，可以帮助我们理解函数的性质，并预测函数可能出现的曲线。

它可以帮助我们更好地分
析函数，并且在科学研究中也非常有用，因此，了解函数零点的概念十分重要。

高考数学《函数零点的个数问题》知识讲解与例题讲解

高考数学《函数零点的个数问题》知识讲解与例题讲解一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。

（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续） ① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =−,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。

由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。

（详见方法技巧）二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。

例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭即可判定其零点必在1,12⎛⎫⎪⎝⎭中 2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。

函数的零点与函数像的关系

函数的零点与函数像的关系函数的零点与函数值的关系在数学中，函数的零点指的是使得函数的值为零的输入值。

而函数的像则是函数映射的结果，即函数的输出值。

函数的零点与函数值之间有着密切的关系，本文将探讨这种关系以及相关的数学概念。

一、零点的定义函数的零点，又称为函数的根，是指使得函数等于零的输入值。

对于一个函数f(x)，若存在一个实数a，使得f(a)=0，则称a为函数f(x)的零点。

二、零点与函数值的关系2.1 零点与函数图像的交点在函数的图像中，函数的零点对应于曲线与x轴的交点。

当函数在某一区间内的函数值由正数变为负数时，就意味着函数在该区间内存在一个零点。

同理，当函数的函数值由负数变为正数时，也意味着函数在该区间内存在一个零点。

2.2 零点与函数的性质函数的零点是函数的一个重要性质。

在函数的零点处，函数的值为零，因此零点是函数图像与x轴相交的点，也是函数曲线上的特殊点。

在函数图像中，零点将曲线分割成不同的区域，对于函数的增减性以及图像的凹凸性等有着重要的影响。

三、零点的求解方法3.1 图像法通过绘制函数的图像，可以直观地观察到函数的零点所在的位置。

根据图像的形状，可以初步估计函数的零点所在的区间，并使用逼近法等方法进一步求解。

3.2 利用方程求解对于给定的函数f(x)，可以将函数转化为方程，然后使用代数方法求解零点。

例如，对于一元二次函数f(x)=ax^2+bx+c，可以将方程f(x)=0转化为求解二次方程ax^2+bx+c=0的根的问题。

3.3 数值逼近法当函数的解析解难以求得或不存在时，可以使用数值逼近法求得函数的零点。

常用的数值逼近方法包括二分法、牛顿法和割线法等。

四、零点的应用领域函数的零点在数学和实际应用中具有广泛的应用。

在代数方程求解、物理学中的运动学问题、金融学中的根据收益率求解等领域都需要使用到零点的概念和求解方法。

五、总结函数的零点与函数的像有着密切的关系。

零点是使得函数的值为零的输入值，而函数值描述了函数映射的结果。

高中数学-函数零点问题及例题解析

高中数学-函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点：（变号零点与不变号零点）（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。

（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。

若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。

2、二分法：对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; 二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：（一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（a,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。

根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如例、函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（）（A ）（0，1）；（B ）（1，2）；（C ）（2，e ）；（D ）（3，4）。

分析：显然函数xx x f 2)1ln()(-+=在区间[1,2]上是连续函数，且0)1(<f ,0)2(>f ，所以由根的存在性定理可知，函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B（二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。

函数的零点是什么意思

函数的零点是什么意思
答：函数的零点就是当f（x）=0时对应的自变量x的值，需要注意的是零点是一个数值，而不是一个点，是函数与X轴交点的横坐标。

一般地，对于函数y=f(x)（x∈R），我们把方程f(x)=0的实数根x叫作函数y=f(x)(x∈R)的零点。

即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值。

函数的零点不是一个点，而是一个实数。

得某系统的传递函数G(s)为0的s的值(注意s为复数)，该值在复平面上的点，就是零点。

若该系统的输入为U(s)，当s取值为零点处的值，则G(s)=0。

又因为系统输出Y(s)=G(s)·U(s)，而s的特殊取值使得G(s)=0，所以此时无论输入信号为何种形式，最终输出Y(s)都是0，这也是零点的实际意义。

也可以这样说，若某系统工作在零点上，那么此时任何输入经过该系统后，输出都是0。

专题十四函数的零点问题(1)(解析版)

专题十四函数的零点问题(1)1．函数零点的定义一般地，对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把方程f(x)＝0的实数根x称为函数y＝f(x)(x∈D)的零点．注：函数的零点不是一个“点”，而是方程f(x)＝0的实根．2．函数零点存在性定理设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a) f(b)＜0，那么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0．注：(1)f(x)在[a，b]上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提．(2)零点存在性定理中的几个“不一定”与“一定”(假设f(x)连续)．①若f(a) f(b)＜0，则f(x)“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点，可以有多个．要分析f(x)的性质与图象，如果f(x)单调，则“一定”只有一个零点．因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调．②若f(a) f(b)＞0，则f(x)在[a，b]“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点．如果f(x)单调，那么“一定”没有零点．③若f(x)在(a，b)有零点，则f(a) f(b)的符号是不确定的，“不一定”必须异号．受函数性质与图象影响．如果f(x)单调，则f(a) f(b)一定小于0．3．函数的零点，方程的根，两图象交点之间的联系设函数为y＝f(x)，则f(x)的零点即为满足方程f(x)＝0的根，若f(x)＝g(x)－h(x)，则方程可转变为g(x)＝h(x)，即方程的根在坐标系中为g(x)，h(x)交点的横坐标，其范围和个数可从图象中得到．由此看来，函数的零点，方程的根，两图象的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化．注：函数零点，方程的根，两图象交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化，且这三者各具特点：(1)函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点．(2)方程的根：当所给函数不易于分析性质和图象时，可将函数转化为方程，方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数，为作图做好铺垫．(3)两图象的交点：前两个主要是代数运算与变形，而将方程转化为函数交点，是将抽象的代数运算转变为图形特征，是数形结合的体现．通过图象可清楚的数出交点的个数（即零点，根的个数）或者确定参数的取值范围．数形结合能否解题，一方面受制于利用方程所构造的函数（故当方程含参时，通常进行参变分离，其目的在于若含x的函数可作出图象，那么因为另外一个只含参数的图象为直线，所以便于观察），另一方面取决于作图的精确度，所以会涉及到一个构造函数的技巧，以及作图时速度与精度的平衡．4．常用结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．考点一函数零点所在区间的判定问题【方法总结】判断函数零点(方程的根)所在区间的方法(1)解方程法：当函数对应方程易解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上．(2)定理法：利用零点存在性定理进行判断．若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内．例如：对于方程ln x ＋x ＝0，无法直接求出根，构造函数f (x )＝ln x ＋x ，由f (1)>0，1()2f <0即可判定其零点必在(12，1)中．(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．【例题选讲】[例1] (1)已知函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：在下列区间中，函数f (x )必有零点的区间为( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．(4，5)答案 B 解析由所给的函数值的表格可以看出，x ＝2与x ＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f (2)·f (3)<0，所以函数在(2，3)内有零点．(2)若函数f (x )唯一的零点同时在区间(0，16)，(0，8)，(0，4)，(0，2)内，那么下列命题正确的是( ) A ．函数f (x )在区间(0，1)内有零点 B ．函数f (x )在区间(0，1)或(1，2)内有零点 C ．函数f (x )在区间[2，16)上无零点 D ．函数f (x )在区间(1，16)内无零点答案 C 解析由题意可确定f (x )唯一的零点在区间(0，2)内，故在区间[2，16)内无零点． (3)函数f (x )＝e x ＋2x －3的零点所在的一个区间为( )A ．(－1，0)B ．(0，12)C ．(12，1)D ．(1，32)答案 C 解析 ∵1()2f ＝12e －2<0，f (1)＝e －1>0，∴零点在(12，1)上，故选C ．(4)已知实数a ，b 满足2a ＝3，3b ＝2，则函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1) D ．(1，2)答案 B 解析 ∵实数a ，b 满足2a ＝3，3b ＝2，∴a ＝log 23>1，00，f (－1)＝log 32－1－log 32＝－1<0，∴根据函数的零点判定定理得出函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间为(－1，0)．故选B ．(5)函数f (x )＝2x ＋ln 1x －1的零点所在的大致区间是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．(1，2)与(2，3)答案 B 解析 f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x －ln(x －1)，当1＜x ＜2时，ln(x －1)＜0，2x ＞0，所以f (x )＞0，故函数f (x )在(1，2)上没有零点．f (2)＝1－ln1＝1，f (3)＝23－ln2＝2－3ln23＝2－ln83．因为8＝22≈2.828＞e ，所以8＞e 2，即ln8＞2，即f (3)＜0.又f (4)＝12－ln3＜0，所以f (x )在(2，3)内存在一个零点．(6)设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x )( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点答案 D 解析由f (x )＝13x －ln x (x >0)得f ′(x )＝x －33x ，令f ′(x )>0得x >3，令f ′(x )<0得0<x <3，令f ′(x )＝0得x ＝3，所以函数f (x )在区间(0，3)上为减函数，在区间(3，＋∞)上为增函数，在点x ＝3处有极小值1－ln 3<0，又f (1)＝13>0，f (e)＝e 3－1<0，1()f e ＝13e ＋1>0，所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点．故选D ．【对点训练】1．根据表格中的数据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为________．1．答案 (1，2) 解析据题意令f (x )＝e x －x －2，由于f (1)＝e 1－1－2＝2.72－3<0，f (2)＝e 2－4＝7.39－ 4>0，故函数在区间(1，2)内存在零点，即方程在相应区间内有根． 2．已知自变量和函数值的对应值如下表：则方程2x ＝x 2的一个根位于区间( )A ．(0.6，1.0)B ．(1.4，1.8)C ．(1.8，2.2)D ．(2.6，3.0)2．答案 C 解析令f (x )＝2x ，g (x )＝x 2，因为f (1.8)＝3.482，g (1.8)＝3.24，f (2.2)＝4.595，g (2.2)＝4.84．令 h (x )＝2x －x 2，则h (1.8)>0，h (2.2)<0．故选C ．3．若a 0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a ，b )，(b ，c )内分别存在零点，又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点；因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )，(b ，c )内． 4．函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，2)4．答案 C 解析方法一 ∵f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，∴f (0)f (1)＜0，故函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是(0,1)，选C ．方法二函数f (x )＝e x ＋x －2的零点，即函数y ＝e x 的图象与y ＝－x ＋2的图象的交点的横坐标，作出函数y ＝e x 与直线y ＝－x ＋2的图象如图所示，由图可知选C ． 5．在下列区间中，函数f (x )＝e －x ＋4x －3的零点所在的区间可能为( )A ．⎝⎛⎭⎫－14，0B ．⎝⎛⎭⎫0，14C ．⎝⎛⎭⎫14，12D ．⎝⎛⎭⎫12，34 5．答案 D 解析函数f (x )＝e －x ＋4x －3是连续函数，又因为1()2f ＝1e －1＜0，3()4f ＝14e 3＋3－3＞0，所以1()2f 3()4f ⋅＜0，故选D ．6．若x 0是方程131()2x x =的解，则x 0属于区间( )A ．⎝⎛⎭⎫23，1B ．⎝⎛⎭⎫12，23C ．⎝⎛⎭⎫13，12D ．⎝⎛⎭⎫0，13 6．答案 C 解析令g (x )＝1()2x ，f (x )＝13x ，则g (0)＝1>f (0)＝0，11321111()()()()2222g f =<=，1311()()32g =1311()()33f >=，所以由图象关系可得13<x 0<12．7．已知实数a >1，01,00，所以f (－1)·f (0)<0，则由零点存在性定理可知f (x )在区间(－1，0)上存在零点．8．若函数y ＝f (x )(x ∈R )是奇函数，其零点分别为x 1，x 2，…，x 2 017，且x 1＋x 2＋…＋x 2 017＝m ，则关于x 的方程2x ＋x －2＝m 的根所在区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)8．答案 A 解析因为函数y ＝f (x )(x ∈R )是奇函数，故其零点x 1，x 2，…，x 2 017关于原点对称，且其中一个为0，所以x 1＋x 2＋…＋x 2 017＝m ＝0．则关于x 的方程为2x ＋x －2＝0，令h (x )＝2x ＋x －2，则h (x )为(－∞，＋∞)上的增函数．因为h (0)＝20＋0－2＝－1<0，h (1)＝21＋1－2＝1>0，所以关于x 的方程2x＋x －2＝m 的根所在区间是(0，1)．9．已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)9．答案 C 解析因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2，4)．10．函数f (x )＝ln x －2x2的零点所在的区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)10．答案 B 解析易知f (x )＝ln x －2x 2在定义域(0，＋∞)上是增函数，又f (1)＝－2<0，f (2)＝ln 2－12>0．根据零点存在性定理，可知函数f (x )＝ln x －2x 2有唯一零点，且在区间(1，2)内．11．函数f (x )＝12ln x ＋x －1x－2的零点所在的区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫1e ，1 B ．(1，2) C ．(2，e) D ．(e ，3)11．答案 C 解析易知f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝12ln 2－12<0，f (e)＝12＋e －1e －2>0．∴f (2)f (e)<0，故f (x )的零点在区间(2，e)内．12．已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0且a ≠1)．当2<a <31，在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝－x ＋b 的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2，3)内，∴函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)时，n ＝2．考点二简单函数(方程)零点(解)的个数判断【方法总结】函数零点个数的判断方法(1)解方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则方程解的个数即为函数零点的个数．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点所具有的性质．(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图象的，常分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题．即将函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数转化为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象公共点的个数来判断．【例题选讲】[例2] (1)(2018·全国Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数是________．答案 3 解析由题意知，cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＝0，所以3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以x ＝π9＋k π3，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π9；当k ＝1时，x ＝4π9；当k ＝2时，x ＝7π9，均满足题意，所以函数f (x )在[0，π]的零点个数为3．(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0答案 B 解析法一由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e ．因此函数f (x )共有2个零点．法二函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，|lg x |，x >0，则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C 解析 g (x )＝f (1－x )－1＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－x )2＋2(1－x )－1，1－x ≤0，|lg(1－x )|－1，1－x >0＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋2，x ≥1，|lg(1－x )|－1，x <1，易知当x ≥1时，函数g (x )有1个零点；当x <1时，函数g (x )有2个零点，所以函数g (x )的零点共有3个，故选C ．(4)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是．答案 2 解析当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上，f (x )有一个零点；当x >0时，f ′(x )＝2＋1x >0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f (x )的零点个数为2．(5)函数f (x )＝12x －1()2x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B 解析函数f (x )＝12x －1()2x 的零点个数是方程12x －1()2x ＝0的解的个数，即方程12x ＝1()2x的解的个数，也就是函数y ＝12x 与y ＝1()2x 的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图所示，可得交点个数为1．(6)函数f (x )＝3x |ln x |－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B 解析函数f (x )＝3x |ln x |－1的零点数的个数即函数g (x )＝|ln x |与函数h (x )＝1()3x 图象的交点个数．作出函数g (x )＝|ln x |和函数h (x )＝1()3x 的图象，由图象可知，两函数图象有两个交点，故函数f (x )＝3x |ln x |－1有2个零点．(7)已知函数f (x )＝1()2x －cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为________．答案 3 解析如图，作出g (x )＝1()2x 与h (x )＝cos x 的图象，可知其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3．(8)(2015湖北)函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2－x 2的零点个数为__________．答案 2 解析函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2－x 2的零点个数等价于方程2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2－x 2＝0的根的个数，即函数g (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝2sin x cos x ＝sin 2x 与h (x )＝x 2的图象交点个数．分别画出两函数图象，如图，由图可知，函数g (x )与h (x )的图象有2个交点．故零点个数为2．【对点训练】13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．313．答案 C 解析解法1 令f (x )＋3x ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－2x ＋3x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1＋1x＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2．故选C ．解法2 函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数就是y ＝f (x )与y ＝－3x 两个函数图象的交点个数，如图所示，由函数的图象可知，零点个数为2．14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A ．12，0B ．－2，0C ．12D ．014．答案 D 解析当x ≤1时，令f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，令f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上函数f (x )的零点只有0． 15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x >2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．515．答案 A 解析当x <0时，f (2－x )＝x 2，此时函数f (x )－g (x )＝－1－|x |＋x 2的小于零的零点为x ＝－1＋52；当0≤x ≤2时，f (2－x )＝2－|2－x |＝x ，函数f (x )－g (x )＝2－|x |＋x －3＝－1无零点；当x >2时，f (2－x )＝2－|2－x |＝4－x ，函数f (x )－g (x )＝(x －2)2＋4－x －3＝x 2－5x ＋5大于2的零点有一个．因此函数y ＝f (x )－g (x )共有零点2个．16．设函数f (x )＝2|x |＋x 2－3，则函数y ＝f (x )的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．116．答案 C 解析易知f (x )是偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋x 2－3，∴x ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，∴x ＝1是函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上唯一零点．从而x ＝－1是y ＝f (x )在(－∞，0)内的零点．故y ＝f (x )有两个零点．17．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．317．答案 C 解析由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象，如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2．18．函数f (x )＝|log 2x |＋x －2的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．418．答案 B 解析函数f (x )＝|log 2x |＋x －2的零点个数，就是方程|log 2x |＋x －2＝0的根的个数．令h (x )＝|log 2x |，g (x )＝2－x ，在同一坐标平面上画出两函数的图象，如图所示．由图象得h (x )与g (x )有2个交点，∴方程|log 2x |＋x －2＝0的根的个数为2．19．函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内( )A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点19．答案 B 解析当x ∈(]0，1时，因为f ′(x )＝12x＋sin x ，x >0，sin x >0，所以f ′(x )>0，故f (x )在[0，1]上单调递增，且f (0)＝－1<0，f (1)＝1－cos 1>0，所以f (x )在[0，1]内有唯一零点．当x >1时，f (x )＝x －cos x >0，故函数f (x )在[0，＋∞)上有且仅有一个零点，故选B ． 20．函数f (x )＝4cos 2x2·cos ⎝⎛⎭⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为__________． 20．答案 2 解析 f (x )＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，x >－1，函数f (x )的零点个数即为函数y 1＝sin 2x (x >－1)与y 2＝|ln(x ＋1)|(x >－1)的图象的交点个数．分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f (x )有两个零点．21．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x －x 2＋2x ，x ＞0x 2－2，x ≤0的零点个数是________．21．答案 3 解析当x ＞0时，作函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图象，由图知，当x ＞0时，f (x )有2个零点；当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点，综上知f (x )有3个零点．22．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．422．答案 B 解析函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数，即函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象的交点的个数．如图所示，函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象有两个交点，故函数y ＝f (x )＋x －4的零点有2个．故选B ．23．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x ＞1，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为________．23．答案 2 解析函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g (x )＝f (x )－e x 有2个零点．24．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x ＜1，x 2－4x ＋2，x ≥1，则函数g (x )＝2|x |f (x )－2的零点个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个24．答案 B 解析画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x ＜1，x 2－4x ＋2，x ≥1，的图象如图，由g (x )＝2|x |f (x )－2＝0可得第11页f (x )＝22|x |，则问题化为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x ＋1|，x ＜1，x 2－4x ＋2，x ≥1，与函数y ＝22|x |＝21－|x |的图象的交点的个数问题．结合图象可以看出两函数图象的交点只有两个，应选答案B ．。

函数零点的概念

函数零点的概念
函数零点是指在函数图像上的一个点，虽然它看起来很小，但它
却具有重要的数学意义。

它的特殊性在于，它代表了一个位置，在这
个位置上，函数的值为零，这意味着函数在零点处的曲线图是水平的
而不是斜的。

当我们考虑一个函数时，试图理解函数零点是非常重要的，因为
它可以为我们提供有关函数的额外信息，以此来确定函数的行为特征。

特别是，我们可以利用函数零点来确定函数的奇偶性，即零点可以帮
助我们确定函数是否对称。

对称函数是具有对称性的函数，它具有相
同的形式，无论在任一方向上做出的变化（例如，左或右移动）都是
不变的。

函数零点的另一重要特征是，它可以帮助我们了解函数的单调性。

显然，除了零点之外，函数的曲线是单调的，即曲线在该点的一侧始
终是上升的，而在另一侧始终下降。

总之，函数零点是一个非常重要的概念，它允许我们在数学上测
量函数的行为，以确定它的特征和性质。

函数零点可以为我们提供宝
贵的信息，允许我们确定函数的奇偶性和单调性，从而使我们能够更
好地理解和解释函数的行为。

高考数学《函数零点的个数问题》知识点讲解与分析

高考数学《函数零点的个数问题》知识点讲解与分析一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。

（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续）① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =−,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。

例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭即可判定其零点必在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭中 2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。

高中数学讲义微专题10 函数零点的个数问题

微专题10 函数零点的个数问题一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。

（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续） ① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =-,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。

例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭即可判定其零点必在1,12⎛⎫⎪⎝⎭中2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。

求函数零点的几种方法

函数零点一、知识点回顾1、函数零点的定义：对于函数)(x f y =,我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点。

注意：（1）零点不是点；（2）方程根与函数零点的关系：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．2、零点存在性定理：如果函数)(x f y =在闭区间[a, b]上的图象是连续曲线,并且有0)()(<⋅b f a f , 那么, 函数)(x f y =在区间(a, b)内至少有一个零点．3、一个重要结论：若函数)(x f y =在其定义域内的某个区间上是单调的，则)(x f 在这个区间上至多有一个零点。

4、等价关系：函数)()()(x g x f x F -=有零点⇔方程0)()()(=-=x g x f x F 有实根⇔方程组⎩⎨⎧==)()(21x g y x f y 有实数根⇔函数)(1x f y =与)(2x g y =的图像有交点。

二、求函数)(x f y =零点的方法1、解方程0)(=x f 的根；2、利用零点存在性定理和函数单调性：3、转化成两个函数图像的交点问题。

三、典例分析例1二次函数c bx ax y ++=2的部分对应值如下表：则不等式02>++c bx ax 的解集是例2 若函数2()2f x x x a =-+有两个零点，且一个在（－2，0）内，另一个在（1，3）内，求a 的取值范围．变式 1、已知关于x 的方程2350x x a -+=的两根12x x ，满足1(20)x ∈-，，2(13)x ∈，，求实数a 的取值范围．2、已知函数()()()2()f x x a x b a b =--+<，若()αβαβ<，是方程()0f x =的两个根，则实数a b αβ，，，之间的大小关系是（）A ．a b αβ<<<B ．a b αβ<<<C ．a b αβ<<<D ．a b αβ<<<3．函数012)(≠++=a a ax x f ，，若在11≤≤-x 上，)(x f 存在一个零点，则实数a 的取值范围是例3 函数26x y =和2log y x =的图象的交点有（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个变式：1、若方程8x x b =+有两个不相等的实数根，求b 的取值范围．2、已知函数221,0,()2,x x f x x x x ⎧->⎪=⎨--⎪⎩≤0.若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m m 的取值范围是．练习1．已知函数)(x f 为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于________．2.函数2()1,()|1|f x x g x a x =-=-．若关于x 的方程|()|()f x g x =只有一个实数解，求a 的取值范围；3．方程lgx+x=3的解所在区间为（）A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，+∞)4.xx x f 1lg )(-=零点所在区间是（）. A. ]1,0( B. ]10,1( C. ]100,10( D. ),100(+∞5.若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--两个零点分别位于区间（A ）(,)a b 和(,)b c 内（B ）(,)a -∞和(,)a b 内（C ）(,)b c 和(,)c +∞内（D ）(,)a -∞和(,)c +∞内。

函数的零点

函数的零点零点这一块内容知识点比较少，但我相信本文引用的例题对于高一新生来说有较大的参考价值。

【零点】设有一函数f(x)，我们把能够使f(x)=0的实数x_0称为函数f(x)的一个“零点”。

显然，函数的零点和它的图像与x轴交点横坐标对应（零点并非几何意义上的点，而是数字，但在不关心数值，只关心零点个数的时候，我们不必强调“横坐标”这件事，因为这并不影响“对应”一词的正确性）。

零点可以通过解方程f(x)=0得到，但零点个数不一定与对应方程的实根个数相同。

例如f(x)=(x-1)^2(x-2)(x^2+1)，我们说对应方程有三个实根：x_1=x_2=1，x_3=2，但说函数的零点只有1，2两个。

不难理解，对于函数F(x)=f(x)-g(x)，它的零点对应函数f(x)与g(x)图像的交点。

特别地，如果g(x)=c，从而是一个常数函数，那么F(x)的零点就对应函数f(x)的图像与直线y=c的交点。

【例】【2020-2021学年嘉兴市高一上期末统考】（多选）若定义在\bold{R} 上的函数 f(x) 满足 f(-x)+f(x)=0 ，当 x<0 时，f(x)=x^2+2ax+\dfrac 32a （ a \in \bold{R} ），则下列说法正确的是：A. 若方程 f(x)=ax+\dfrac a2 有两个不同的实数根，则 a<0 或4<a<8 ；B. 若方程 f(x)=ax+\dfrac a2 有两个不同的实数根，则 4<a<8 ；C. 若方程 f(x)=ax+\dfrac a2 有4个不同的实数根，则 a>8 ；D. 若方程 f(x)=ax+\dfrac a2 有4个不同的实数根，则 a>4 。

解：首先，由题意， f(x) 是奇函数，这样就可以根据已知的 x<0时的解析式写出函数在 \bold{R} 上的解析式：f(x)=\begin{cases} -x^2+2ax-\dfrac 32a& (x>0)\\ 0& (x=0)\\x^2+2ax+\dfrac 32a& (x<0) \end{cases}根据选项，设 g(x)=ax+\dfrac a2 。

方程的根与函数的零点

即12a 2 0
a 1
小结
函数的零点定义：
对于函数y=f(x), 使f(x)=0的实数x 叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点
零点的求法
代数法
图像法
函数零点存在性原理
如果函数 y f (x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，
y
0a
bx
思考：若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点，一定能得出f(a)·f(b)<0的结论吗？
y
bbb bb
b
0 a b b bb bb x
例 2：若方程2ax2 x 1 0在0,1内
恰有一解，则a的取值范围（）
A．a 1 B．a 1 C．1 a 1 D．0 a 1
典错：令 f (x) 2ax2 x 1在0,1内恰有一解，则 f (0) f (1) 0。
y
函数 y f (x) x1 0
方程
x
2 x f (x) 0
一元二次方程与相应二次函数图像的关系
判别式△ = b2－4ac
△＞0
△=0
△＜0
方程ax2 +bx+c=0 (a>0)的根
两个不相等有两个相等的的实数根x1 、x2 实数根x1 = x2
没有实数根
函数y= ax2 +bx +c(a>0)的图象
y
x1 0
x2 x
y 0 x1 x
y
0
x
函数的图象与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点

数学必修一函数的零点知识点

数学必修一函数的零点知识点
数学必修一中，函数的零点是一个重要的知识点。

以下是关于函数的零点的基本知识点：
1. 零点的定义：对于函数 f(x)，如果存在某个实数 a，使得 f(a) = 0，那么 a 就是 f(x) 的零点。

换句话说，就是函数图像与 x 轴相交的点。

2. 方程的根：函数的零点也可以理解为方程 f(x) = 0 的根。

解方程 f(x) = 0 可以求得函数的零点。

3. 判断零点的方法：
- 通过图像：可以通过绘制函数的图像，找到函数与 x 轴相交的点来确定零点。

- 通过方程：可以将函数 f(x) 置为零，即 f(x) = 0，然后解方程来求得零点。

4. 零点的性质：
- 零点可能有重根：即某个 x 值对应的函数值可能为 0 的次数大于 1。

- 零点的奇偶性：如果 f(x) 有一个零点 a，则 f(-x) 也有一个零点 -a。

即零点是关于原点对称的。

5. 零点与图像的关系：函数的零点与函数图像的交点有着紧密的关系。

例如，函数上方和下方零点的个数的差别可以用来分析函数的增减性。

6. 零点的应用：零点在数学中应用广泛，可以用来求方程的根、函数的解析式等。

这些是关于函数的零点的一些基本知识点，希望对你有帮助！。

函数的零点的求法

知识点1.（1）函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点．（2）函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．2.方法（1）代数法求函数零点：直接求方程0)(=x f 的实数根；（2）几何法求函数零点：对于不能直接求解的超越方程，可以将)()(0)(x h x g x f =⇔=再分别设)(x g y =，)(x h y =转化为它们的图象交点问题，即：函数)(x g y =与)(x h y =的图象有几个交点，那么方程0)(=x f 就有几个实根，函数)(x f y =就有几个有零点。

1.函数在区间上的零点个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．72．函数的零点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．33 ．函数在区间内的零点个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．34.若0x 是方程式 lg 2x x +=的解，则0x 属于区间 [答]（）（A ）（0，1）. （B ）（1，）. （C ）（，）（D ）（，2）解析：04147lg )47()75.1(,2lg )(<-==-+=f f x x x f 由构造函数 02lg )2(>=f 知0x 属于区间（，2） 5.0x 是函数f(x)=2x+11x-的一个零点.若1x ∈（1，0x ）， 2x ∈（0x ，+∞），则（A ）f(1x )＜0，f(2x )＜0 （B ）f(1x )＜0，f(2x )＞0 （C ）f(1x )＞0，f(2x )＜0 （D ）f(1x )＞0，f(2x )＞0 6. f （x ）=2xe x +-的零点所在的一个区间是(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2） 7.函数的零点与的零点之差的绝对值不超过，则可以是 A. B. C. D.8.设定义在上的函数是最小正周期为的偶函数,是的导函数,当时,;当且时 ,,则函数在上的零点个数为（）A．2 B．4 C．5 D．89.函数2f x-=的零点个数为（）x(x)2A．0 B．1 C．2 D．3答案: .2,,,,,,,B。

高中数学讲义：函数零点的个数问题

函数零点的个数问题一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =Î，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =Î的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b Î，使得()00f x =。

（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续）① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <Þ在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =-,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。

例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f æö><ç÷èø即可判定其零点必在1,12æöç÷èø中2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。

函数的零点与二分法

函数的零点与二分法1、掌握函数的零点和二分法的定义．2、会用二分法求函数零点的近似值。

一、函数的零点：定义：一般地，如果函数()y f x =在实数a 处的值等于零即()0f a =，则a 叫做这个函数的零点。

对于任意函数，只要它的图像是连续不间断的，其函数的零点具有下列性质：当它通过零点（不是偶次零点）时函数值变号；相邻两个零点之间的所有的所有函数值保持同号。

特别提醒：函数零点个数的确定方法：1、判断二次函数的零点个数一般由判别式的情况完成；2、对于二次函数在某个闭区间上零点的个数以及不能用判别式判断的二次函数的零点，则要结合二次函数的图像进行；3、对于一般函数零点的个数的判断问题不仅要在闭区间[],a b 上是连续不间断的，且f(a)∙f （b ）＜0，还必须结合函数的图像和性质才能确定。

函数有多少个零点就是其对应的方程有多少个实数解。

二、二分法：定义：对于区间[],a b 上连续的，且()()0f a f b -<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而等到零点近似值的方法，叫做二分法。

特别提醒：用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间[],a b ，验证：f(a)∙f （b ）＜0，给定精确度；第二步：求区间[],a b 得中点1x ；第三步：计算()1f x ；若()1f x =0，则1x 就是函数零点；若f(a)∙f （x 1）＜0，则令1b x =；若f(x 1)∙f （b ）＜0，则令1a x =第四步：判断是否达到精确度ε，即若a b ε-<，则得到零点近似值a ()b 或，否则重复第二、三、四步。

类型一求函数的零点例1：求函数y ＝x －1的零点：解析：令y ＝x －1＝0，得x ＝1， ∴函数y ＝x －1的零点是1. 答案：1练习1：求函数y ＝x 3－x 2－4x ＋4的零点．答案：－2,1,2.练习2：函数f (x )＝2x ＋7的零点为( ) A ．7 B ．72 C ．－72 D ．－7答案：C类型二零点个数的判断例2：判断函数f (x )＝x 2－7x ＋12的零点个数解析：由f (x )＝0，即x 2－7x ＋12＝0得Δ＝49－4×12＝1>0，∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不相等的实数根3,4， ∴函数f (x )有两个零点，分别是3,4. 答案：2个练习1：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数的零点个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．0个 D ．无法确定答案：B练习2：已知二次函数f (x )＝ax 2＋6x －1有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >－9且a ≠0 B ．a >－9 C ．a <－9 D ．a >0或a <0答案：A类型三函数零点的应用例3：若关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋2k －1＝0的两实数根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围．解析：设函数f(x)＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1，先画出函数的简图，如图所示，函数f(x)＝x 2＋(k －2)x ＋2k －1的图象开口向上，零点x 1∈(0,1)，x 2∈(1,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0f 1<0f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>01＋k －2＋2k －1<04＋2k －2＋2k －1>0，解得，12<k <23，∴实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23. 练习1：已知方程x 2＋2px ＋1＝0有一个根大于1，有一个根小于1，则p 的取值范围为__________．答案：(－∞，－1)练习2：函数f (x )＝2(m ＋1)x 2＋4mx ＋2m －1的一个零点在原点，则m 的值为________．答案：12类型四二分法的概念例4：函数图象与x 轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是( )．解析：选项B 中的函数零点是不变号零点，不能用二分法求解．答案：B练习1：函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象不间断，并且f (a )·f (b )<0，则这个函数在这个区间上( )A ．只有一个变号零点B ．有一个不变号零点C ．至少有一个变号零点D ．不一定有零点答案：C练习2：用二分法求函数f (x )＝x 3－2的零点时，初始区间可选为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)答案：B类型五用二分法求函数零点的近似值例5: 求函数f (x )＝x 3＋2x 2－3x －6的一个为正数的零点(精确到0.1)．解析：由于f (1)＝－6<0，f (2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：求函数精确到0.1的实数解．答案：1.7练习1: 试用计算器求出函数f (x )＝x 2，g (x )＝2x ＋2的图象交点的横坐标(精确到0.1)．答案：－0.7.练习2: (2014～2015学年度四川省中学高一月考)用二分法求方程x 3＋3x －7＝0在(1,2)内近似解的过程中，设函数f (x )＝x 3＋3x －7，算得f (1)<0，f (1.25)<0，f (1.5)>0，f (1.75)>0，则该方程的根落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,1.75)D ．(1.75,2)答案：B1、(2014·湖北文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}答案： D2、已知x ＝－1是函数f (x )＝ax＋b (a ≠0)的一个零点，则函数g (x )＝ax 2－bx 的零点是( ) A ．－1或1 B ．0或－1 C ．1或0 D ．2或1答案: C3、三次方程x 3＋x 2－2x －1＝0的根不可能所在的区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)答案: C4、(2014～2015学年度黑龙江省哈尔滨市第三十二中学高一期中测试)若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：0.1)为( )A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．1.5答案:C5、已知函数y ＝f (x )的图象是连续不断的，有如下的对应值表：A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个答案：B基础巩固1．若函数f (x )在定义域{x |x ≠0}上是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，f (2)＝0，则函数f (x )的零点有( )A ．一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断答案： B2．若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实根1、2，则实数f (x )＝cx 2＋bx ＋a 的零点为( )A ．1,2B ．－1，－2C ．1，12D ．－1，－12答案： C3．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内答案： A4．下列命题中正确的是( )A ．方程(x －2)(x －5)＝1有两个相异实根，且一个大于5，一个小于2B ．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点个数是1C ．零点存在性定理能用来判断函数零点的存在性，也能用来判断函数零点的个数D ．利用二分法所得方程的近似解是惟一的答案： A5．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算， f (0.64)<0, f (0.72)>0, f (0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.68B ．0.72C ．0.7D ．0.6答案： C能力提升6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表，则使ax 2＋bx ＋c >0成立的x 的取值范围是______.x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6－4－6－6－46答案： (7．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a 、b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的方程f (x )＝c (c ∈R )有两个实根m 、m ＋6，则实数c 的值为________．答案：98．给出以下结论，其中正确结论的序号是________． ①函数图象通过零点时，函数值一定变号； ②相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；③函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，若满足f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上一定有实根；④“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效．答案： ②③9. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋cx ≤02 x >0，若f (－4)＝2, f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数是________．答案：310. 已知函数f (x )＝ax 3－2ax ＋3a －4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a 的取值范围；(2)若a ＝3217，用二分法求方程f (x )＝0在区间(－1,1)上的根．答案：（1）1<a <2.（2）若a ＝3217，则f (x )＝3217x 3－6417x ＋2817，∴f (－1)＝6017>0, f (0)＝2817>0, f (1)＝－417<0，∴函数零点在(0,1)，又f (12)＝0，1 2.∴方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根为。

对函数零点的理解

函数零点

函数零点的概念

高考数学《函数零点的个数问题》知识讲解与例题讲解

函数的零点与函数像的关系

高中数学-函数零点问题及例题解析

函数的零点是什么意思

专题十四 函数的零点问题(1)(解析版)

函数零点的概念

高考数学《函数零点的个数问题》知识点讲解与分析

高中数学讲义微专题10 函数零点的个数问题

求函数零点的几种方法

函数的零点

方程的根与函数的零点

数学必修一函数的零点知识点

函数的零点的求法

高中数学讲义：函数零点的个数问题

函数的零点与二分法

专题十四函数的零点问题(1)(解析版)