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空间解析几何习题答案解析

一、计算题与证明题1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ．计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯．解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向因此0=⨯b a ，0=⨯c b ，0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a , 求||||b a ⋅．解：3cos ||=⋅=⋅θb a b a （1）4sin ||=⋅=⨯θb a b a （2）()222)1(+得()252=⋅b a所以 5=⋅b a4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=⋅x a, 求向量x 的坐标．解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a则325=-+=⋅z y x x a （1）又x 与a 共线，则0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y ky x j y x i z y z yx kj i所以()()()05252222=-+++--y x x z z y即010*********22=-++++xy xz yz z y x （2）又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax整理得 103222=++z y x （3）联立()()()321、、解出向量x 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,1016．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程．解：因为()7,8,3A ,)3,2,1(--BAB 中垂面上的点到B A 、的距离相等，设动点坐标为()z y x M ,,，则由MB MA =得()()()()()()222222321783++-++=-+-+-z y x z y x化简得027532=-++z y x这就是线段AB 的中垂面的方程。

第六章空间解析几何习题详细解答

习题 6-11．在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(1,1,1),A -(1,1,1),B -(1,1,1),C --(1,1,1).D --解： A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ.2．求点(,,)M x y z 与x 轴，xOy 平面及原点的对称点坐标．解：),,(z y x M 关于x 轴的对称点为),,(1z y x M --，关于x O y 平面的对称点为),,(2z y x M -，关于原点的对称点为),,(3z y x M ---.3．已知点(,,)A a b c ，求它在各坐标平面上及各坐标轴上的垂足的坐标（即投影点的坐标）．解：分别为),0,0(),0,,0(),0,0,(),,0,(),,,0(),0,,(c b a c a c b b a . 4．过点(,,)P a b c 分别作平行于z 轴的直线和平行于xOy 面的平面，问它们上面的点的坐标各有什么特点？解：平行于z 轴的直线上面的点的坐标：x a,y b,z R ==∈；平行于xOy 面的平面上的点的坐标为 z c,x,y R =∈.5．求点(2,5,4)P -到原点、各坐标轴和各坐标面的距离．解：到原点的距离为到x 到y 轴的距离为到z 6．求证以1(4,3,1)M 、2(7,1,2)M 、3(5,2,3)M 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形．证明：222212(74)(13)(21)14M M =-+-+-=,222223(57)(21)(32)6M M =-+-+-= 222213(45)(32)(13)6M M =-+-+-=，即1323M M M M =，因此结论成立.7．在yOz 坐标面上，求与三个点(3,1,2),(4,2,2),(0,5,1)A B C ---等距离的点的坐标．解：设yoz 坐标面所求点为),,0(z y M ，依题意有||||||MC MB MA ==，从而222)2()1()30(-+-+-z y 222)2()2()40(++++-=z y222)2()1()30(-+-+-z y联立解得2,1-==z y ，故所求点的坐标为)2,1,0(-.8．在z 轴上求与点(4,1,7)A -，点(3,5,2)B -等距离的点．解：设所求z 轴上的点为),0,0(z ，依题意：222)7()10()40(-+-++z 222)2()50()30(++-+-=z ，两边平方得914=z ，故所求点为)914,0,0(.习题 6-21．若四边形的对角线互相平分，用向量方法证明它是平行四边形．证： =,BM =，∴=+=+BM =与平行且相等,结论得证.2．求起点为(1,2,1)A ，终点为(19,18,1)B --的向量AB −−→与12AB −−→-的坐标表达式．解：→AB =j i k j i 2020)11()218()119(--=-+--+--={20,20,0}--,12AB −−→-={10,10,0} 3．求平行于(1,1,1)a =的单位向量．解：与a 平行的单位向量为{}1,1,131±=±a a . 4．求λ使向量(,1,5)λ=a 与向量(2,10,50)=b 平行．解：由b a //得5051012==λ得51=λ. 5．求与向量(1,5,6)=a 平行，模为10的向量b 的坐标表达式．解：}6,5,1{6210==a a a ,故 {}6,5,16210100±=±=a b . 6．已知向量6410=-+a i j k ，349=+-b i j k ，试求：（1）2+a b ；（2）32-a b ．解：（1） 264102(349)1248i a b i j k i j k j k +=-+++-=+-; （2）323(6410)2(349)=122048a b =i j k i j k i j k --+-+--+.7．已知两点A 、(3,0,4)B ，求向量AB −−→的模、方向余弦和方向角．解：因为(1,1)AB =-, 所以2AB =,11cos ,cos 222αβγ===-,从而π3α=,3π4β=,2π3γ=. 8．设向量的方向角为α、β、γ．若已知π3α=，2π3β=．求γ．解： π3α=,2π3β=,由222cos cos cos 1αβγ++=得21cos 2γ=.故π4γ=或3π4.9．设23=++m i j k ，23=+-n i j k ，34=-+p i j k ，求向量23=+-a m n p 在x 轴上的投影和在y 轴上的分向量．解：2(23)3(23)(34)5114a i j k i j k i j k i j k =++++---+=+-.故向量a 在x 轴上的投影5=x a ，在y 轴上的投影分量为11y a j =.10．(1,1,2)=a ，(0,1,0)=b ，(0,0,1)=c ，求（1）⋅a b ，⋅a c ，⋅b c ；（2）⨯a a ，⨯a b ，⨯a c ，⨯b c ．解：依题意，i a =，j b =，k c =，故0=⋅=⋅j i b a ，0=⋅=⋅k i c a ，0=⋅=⋅k j c b . 0=⨯=⨯i i a a ，k j i b a =⨯=⨯，j k i c a -=⨯=⨯，i k j c b =⨯=⨯. 11．(1,0,0)=a ，(2,2,1)=b ，求⋅a b ，⨯a b 及a 与b 的夹角余弦．解：（1）121221⋅=⨯+⨯+⨯=a b 6, 112221⨯==i j ka b }{3,3,0-.(2)cos a b a b a b θ++==. 12．已知π5,2,(,)3∧===a b a b ，求23-a b ．解：()()2232323-=-⋅-a b a b a b 22412976=-⋅+=a a b b ，∴23-=ab 13．证明下列问题：（1）证明向量(1,0,1)=a 与向量(-1,1,1)=b 垂直；证：1）01110)1(1=⨯+⨯+-⨯=⋅b a ,^π(,)2a b ∴=，即a 与b 垂直. （2）证明向量c 与向量()()⋅-⋅a c b b c a 垂直． 2） [()()]⋅-⋅⋅a c b b c a c [()()]=⋅⋅-⋅⋅a c b c b c a c ()[]=⋅⋅-⋅c b a c a c 0=[()()]∴⋅-⋅⊥a c b b c a c .14．求点M 的向径OM −−→与坐标轴之间的夹角．解：设OM 与x 、y 、z 轴之间的夹角分别为γβα,,，则211)2(11cos 22=++==α, 22cos ==β,21cos ==γ. 3π=∴α, 4π=β, 3π=γ.15．求与a =i +j +k 平行且满足1⋅=a x 的向量x ．解：因x a //, 故可设{}λλλλ,,==a x ，再由1=⋅x a 得1=++λλλ，即31=λ，从而⎭⎬⎫⎩⎨⎧=31,31,31x .16．求与向量324=-+a i j k ，2=+-b i j k 都垂直的单位向量．解：=⨯=xy z xyzij kc a b a a a b b b 324112=--i j k =105+j k ，22||10=c 0||=c c c ∴=.⎫±+⎪⎭j 17．求以点(1,-1,2)A 、(5,-6,2)B 和(1,3,-1)C 为顶点的三角形的面积以及AC 边上的高BD ．解：{0,4,3},{4,5,0}AC AB =-=-,三角形ABC 的面积为,22516121521||21222=++=⨯=AB C A S||||21,5)3(4||22BD S ==-+= ||521225BD ⋅⋅= .5||=∴BD18．已知向量≠0a ，≠0b ，证明2222||||||()⨯=-⋅a b a b a b ．解 2222||||||sin ()∧⨯=⋅a b a b ab 222||||[1cos ()]∧=⋅-a b ab22||||=⋅a b 222||||cos ()∧-⋅a b ab 22||||=⋅a b 2().-⋅a b19．证明：如果=0a +b+c ，那么⨯=⨯=⨯b c c a a b ，并说明它的几何意义．证：由++=0a b c , 有()++⨯=⨯=00a b c c c , 但⨯=0c c ，于是⨯+⨯=0a c b c ,所以⨯=-⨯=⨯b c a c c a .同理由()++⨯=0a b c a , 有 ⨯=⨯c a a b ,从而 ⨯=⨯=⨯b c c a a b . 其几何意义是以三角形的任二边为邻边构成的平行四边形的面积相等.20．已知向量23,3=-+=-+a i j k b i j k 和2=-c i j ，计算下列各式：（1）()()⋅-⋅a b c a c b ；（2）()()+⨯+a b b c ；（3）()⨯⋅a b c ；（4）⨯⨯a b c ．解：（1）()()8(2)8(3)⋅-⋅=---+=a b c a c b i j i j k 824--j k . (2) 344,233+=-++=-+a b i j k b c i j k ，故()()+⨯+a b b c 344233=-=-i j k--j k . （3）231()231(2)(85)(2)11311312-⨯⋅=-⋅-=--+⋅-=-=--i jk a b c i j i j k i j 2. （4）由（3）知85,()851120⨯=--+⨯⨯=--=-i jka b i j k a b c 221++i j k .习题 6—31、求下列各平面的方程：（1）过点()3,2,10M 且以{}1,2,2=n 为法向量的平面；（2）过三点()()()01,0,0,1,0,0,0,1C B A 的平面；（3）过点()1,0,0且与平面1243=++z y x 平行的平面；（4）通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面；（5）过点)1,1,1(，且垂直于平面7=+-z y x 和051223=+-+z y x 的平面. （6）过原点及点)1,1,1(，且与平面8x y z -+=垂直的平面；解（1）：平面的点法式方程为()()()032212=-+-+-z y x .（2）设所求平面方程为0=+++d cz by ax ,将C B A ,,的坐标代入方程，可得d c b a -===，故所求平面方程为1=++z y x .（3）依题意可取所求平面的法向量为}2,4,3{=n ,从而其方程为()()()0120403=-+-+-z y x 即 2243=++z y x .（4）平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴, 即A =0; 另一方面表明它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为By +Cz =0.又因为这平面通过点(4, -3, -1), 所以有-3B -C =0, 或C =-3B . 将其代入所设方程并除以B (B ≠0), 便得所求的平面方程为y -3z =0.（5）},1,1,1{1-=n }12,2,3{2-=n 取法向量},5,15,10{21=⨯=n n n所求平面方程为化简得: .0632=-++z y x（6）设所求平面为,0=+++D Cz By Ax 由平面过点)1,1,1(知平0,A B C D +++=由平面过原点知0D =，{1,1,1},n ⊥- 0A B C ∴-+=,0A C B ⇒=-=，所求平面方程为0.x z -=2、求平行于0566=+++z y x 而与三个坐标面所围成的四面体体积为1的平面方程. 解: 设平面为,1=++cz b y a x ,1=V 111,32abc ∴⋅=由所求平面与已知平面平行得,611161c b a == 化简得,61161c b a ==令tc t b t a t c b a 61,1,6161161===⇒===代入体积式 11111666t t t ∴=⋅⋅⋅ 1,6t ⇒=±,1,6,1===∴c b a 或1,6,1,a b c =-=-=-所求平面方程为666x y z ++=或666x y z ++=-.3、求下列各直线的方程：（1）通过点)1,0,3(-A 和点)1,5,2(-B 的直线；（2）过点()1,1,1且与直线433221-=-=-z y x 平行的直线. （3）通过点)3,51(-M 且与z y x ,,三轴分别成︒︒︒120,45,60的直线；（4）一直线过点(2,3,4)-A ，且和y 轴垂直相交，求其方程. （5）通过点)2,0,1(-M 且与两直线11111-+==-z y x 和01111+=--=z y x 垂直的直线；（6）通过点)5,3,2(--M 且与平面02536=+--z y x 垂直的直线. 解：（1）所求的直线方程为：015323-=-=++z y x 即：01553-=-=+z y x ，亦即01113-=-=+z y x .（2）依题意，可取L 的方向向量为{}4,3,2=s ，则直线L 的方程为413121-=-=-z y x . （3）所求直线的方向向量为：{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=︒︒︒21,22,21120cos ,45cos ,60cos ，故直线方程为：132511--=+=-z y x . （4）因为直线和y 轴垂直相交,所以交点为),0,3,0(-B 取{2,0,4},BA s −−→==所求直线方程.440322-=+=-z y x （5）所求直线的方向向量为：{}{}{}2,1,10,1,11,1,1---=-⨯-，所以，直线方程为：22111+==-z y x . （6）所求直线的方向向量为：{}5,3,6--，所以直线方程为： 235635x y z -++==--.4、求直线1,234x y z x y z ++=-⎧⎨-+=-⎩的点向式方程与参数方程.解在直线上任取一点),,(000z y x ,取10=x ,063020000⎩⎨⎧=--=++⇒z y z y 解2,000-==z y .所求点的坐标为)2,0,1(-,取直线的方向向量{}{}3,1,21,1,1-⨯=s k j i kj i34312111--=-=,所以直线的点向式方程为：,321041-+=--=-z y x 令102,413x y z t --+===--则所求参数方程: .3241⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=tz ty tx5、求下列各平面的方程：（１）通过点)1,0,2(-p ，且又通过直线32121-=-=+z y x 的平面；（２）通过直线115312-+=-+=-z y x 且与直线⎩⎨⎧=--+=---052032z y x z y x 平行的平面；（３）通过直线223221-=-+=-z y x 且与平面0523=--+z y x 垂直的平面；（4）. 求过点(2,1,0)M 与直线2335x t y t z t =-⎧⎪=+⎨⎪=⎩垂直的平面方程.解：（１）因为所求的平面过点)1,0,2(-p 和)2,0,1(-'p ，且它平行于向量{}3,1,2-，所以要求的平面方程为：03331212=--+-z y x , 即015=-++z y x .（２）已知直线的方向向量为{}{}{}2,1,11,2,13,1,5--⨯-=，∴平面方程为：2311510315x y z -++--=,即3250x y z +--= （３）所求平面的法向量为{}{}{}13,8,11,2,32,3,2-=-⨯-，∴平面的方程为：0)2(13)2(8)1(=--+--z y x ，即09138=+--z y x .（4）.所求平面的法向量为{}2,3,1，则平面的方程为：2(2)3(1)(0)0x y z -+-+-=, 即 2370x y z ++-=.6、分别在下列条件下确定n m l ,,的值：（1）使08)3()1()3(=+-+++-z n y m x l 和016)3()9()3(=--+-++z l y n x m 表示同一平面；（2）使0532=-++z my x 与0266=+--z y lx 表示二平行平面；（3）使013=+-+z y lx 与027=-+z y x 表示二互相垂直的平面；（4）使直线13241zy x =+=-与平面0153=+-+z y lx 平行；（5）使直线⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+=135422t z t y t x 与平面076=-++z my lx 垂直.解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则：168339133-=--=-+=+-l n n m m l 即：⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=-+092072032n l m n l m ，解之得 97=l ，913=m ，937=n . （2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则：6362-=-=m l ，所以4-=l ，3=m . （3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则：7230l ++=所以： 57l =-.（4）欲使所给直线与平面平行，则须：015334=⨯-⨯+l 即1l =-. （5）欲使所给直线与平面垂直，则须：3642=-=m l ，所以：8,4-==m l . 7、求平面011=-+y x 与083=+x 的夹角；解：设011=-+y x 与083=+x 的夹角为θ，则cos θ==∴ 4πθ=.8、验证直线l ：21111-=-=-z y x 与平面π：032=--+z y x 相交，并求出它的交点和交角.解： 032111)1(2≠-=⨯-⨯+-⨯∴直线与平面相交.又直线的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=t z t y tx 211设交点处对应的参数为0t ，∴03)21()1()(2000=-+-++-⨯t t t ∴10-=t ，从而交点为（1，0，-1）.又设直线l 与平面π的交角为θ，则：21662111)1(2sin =⨯⨯-⨯+-⨯=θ，∴6πθ=.9、判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面，如果相交时请求出夹角的余弦.（1）⎩⎨⎧=-+=+-0623022y x z y x 与⎩⎨⎧=-+=--+01420112z x z y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧--=+==212t z t y tx 与142475x y z --+==-. 解：（1）将所给的直线方程化为标准式为：4343223z y x =-=--43227-=--=-z y x 234234-==-- ∴二直线平行.又点)0,43,23(与点（7，2，0）在二直线上，∴向量⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--0,45,2110,432,237平行于二直线所确定的平面，该平面的法向量为：{}{}19,22,50,45,2114,3,2--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-，从而平面方程为：0)0(19)2(22)7(5=-+---z y x ，即 0919225=++-z y x .（2）因为121475-≠≠-，所以两直线不平行，又因为0574121031=--=∆，所以两直线相交，二直线所决定的平面的法向量为{}{}{}1,1,35,7,412,1--=-⨯-，∴二直线所决定的平面的方程为：330x y z -++=.设两直线的夹角为ϕ，则cos ϕ==.10、判别下列直线与平面的相关位置：（1）37423z y x =-+=--与3224=--z y x ；（2）723zy x =-=与8723=+-z y x ；（3）⎩⎨⎧=---=-+-01205235z y x z y x 与07734=-+-z y x ；（4）⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==4992t z t y t x 与010743=-+-z y x .解（1） 0)2(3)2()7(4)2(=-⨯+-⨯-+⨯-，而017302)4(234≠=-⨯--⨯-⨯，所以，直线与平面平行.（2） 0717)2(233≠⨯+-⨯-⨯,所以，直线与平面相交，且因为772233=--=，∴直线与平面垂直.（3）直线的方向向量为：{}{}{}1,9,51,1,22,3,5=--⨯-， 0179354=⨯+⨯-⨯，所以直线与平面平行或者直线在平面上；取直线上的点)0,5,2(--M ，显然点在)0,5,2(--M 也在平面上（因为4(2)3(5)70⨯--⨯--=），所以，直线在平面上.（4）直线的方向向量为{}9,2,1-， 097)2(413≠⨯+-⨯-⨯∴直线与平面相交但不垂直.11、求点(2,1,1)到平面2240x y z +-+=的距离. 解：利用点到平面的距离公式可得933d ===. 12、求点)1,3,2(-p 到直线⎩⎨⎧=++-=++-0172230322z y x z y x 的距离.解：直线的标准方程为：2251211-+==-z y x 所以p 到直线的距离 1534532025)2(1212392292421243222222===-++-+--+-=d .13、求点(4,1,2)M 在平面1x y z ++=上的投影.解：过点(4,1,2)M 作已知平面的垂线，垂线的方向向量就是已知平面的法向量(1,1,1)，所以垂线方程为412111x y z ---==，此垂线与已知平面的交点即为所求投影.为了求投影，将垂线方程化为参数方程412x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，代入平面方程求得2t =-，故投影为(2,1,0)-.14、求直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 在平面0=++z y x 上的投影直线的方程．解：应用平面束的方法．设过直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 的平面束方程为0)1()1(=++-+--+z y x z y x λ即01)1()1()1(=-++-+-++λλλλz y x这平面与已知平面0=++z y x 垂直的条件是01)1(1)1(1)1(=⋅+-+⋅-+⋅+λλλ,解之得1-=λ代入平面束方程中得投影平面方程为10y z --=，所以投影直线为⎩⎨⎧=++=--001z y x z y .15、求通过平面0134=-+-z y x 和025=+-+z y x 的交线且满足下列条件之一的平面：（1）通过原点；（2）与y 轴平行；（3）与平面0352=-+-z y x 垂直. 解：（1）设所求的平面为：0)25()134(=+-++-+-z y x z y x λ 欲使平面通过原点，则须：021=+-λ，即21=λ，故所求的平面方程为 0)25()134(2=+-++-+-z y x z y x 即：0539=++z y x .（2）同（1）中所设，可求出51=λ.故所求的平面方程为 0)25()134(5=+-++-+-z y x z y x 即：031421=-+z x .（3）如（1）所设，欲使所求平面与平面0352=-+-z y x 垂直，则须：0)3(5)51()4(2=-++--+λλλ从而3=λ，所以所求平面方程为05147=++y x .习题 6—41、一动点移动时，与)0,0,4(A 及xOy 面等距离，求该动点的轨迹方程. 解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则(,,)M x y z C MA z ∈⇔= 亦即z z y x =++-222)4(0)4(22=+-∴y x 从而所求的轨迹方程为0)4(22=+-y x .2、求下列各球面的方程：（1）圆心)3,1,2(-，半径为6=R ；（2）圆心在原点，且经过点)3,2,6(-；（3）一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(--与；（4）通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(- 解：（1）所求的球面方程为：36)3()1()2(222=-+++-z y x （2）由已知，半径73)2(6222=+-+=R ，所以球面方程为49222=++z y x（3）由已知，球面的球心坐标1235,1213,3242=-=-=+-==+=c b a ，球的半径21)35()31()24(21222=++++-=R ，所以球面方程为：21)1()1()3(222=-+++-z y x（4）设所求的球面方程为：0222222=++++++l kz hy gx z y x因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=++=+=08160621008160k h g g l 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==2210k g h l∴所求的球面方程为0424222=+--++z y x z y x .3、求下列旋转曲面的方程：（1）将yOz 坐标面上的抛物线22y z =绕z 旋转一周所生成的旋转曲面；解：222x y z +=(旋转抛物面) .（2）将zOx 坐标面上的双曲线12222=-cz a x 分别绕x 轴和z 轴旋转一周所生成的旋转曲面．解：绕x 轴旋转得122222=+-c z y a x 绕z 轴旋转得122222=-+cz a y x .4、说明下列旋转曲面是怎样形成的？（1）1994222=++z y x ；（2）14222=+-z y x （3）1222=--z y x ；（4）222)(y x a z +=- 解：（1）xOy 平面上椭圆19422=+y x 绕x 轴旋转而成；或者 xOz 平面上椭圆22149+=x z 绕x 轴旋转而成（2）xOy 平面上的双曲线1422=-y x 绕y 轴旋转而成；或者 yOz 平面上的双曲线2214-=y z 绕y 轴旋转而成（3）xOy 平面上的双曲线122=-y x 绕x 轴旋转而成；或者 xOz 平面上的双曲线221x z -=绕x 轴旋转而成（4）yOz 平面上的直线a y z +=绕z 轴旋转而成或者 xOz 平面上的直线z x a =+绕z 轴旋转而成.5、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？（1）1+=x y ；（2）422=+yx ；（3）122=-y x ；（4）22x y =.解：（1）1+=x y 在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面；（2）422=+y x 在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面；（3）122=-y x 在平面解析几何中表示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面；（4）y x22=在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面.6、指出下列曲面的名称，并作图：（1）22149x z +=；（2）22y z =；（3）221x z += ；（4）22220x y z x ++-=；（5）222y x z +=；（6）22441x y z -+=；（7）221916x y z ++=；（8）222149x y z -+=-；（9）1334222=++z y x ；（10）2223122z y x +=+.解： (1)椭圆柱面；(2) 抛物柱面；(3) 圆柱面；(4)球面；（5）圆锥面；（6）双曲抛物面；（7）椭圆抛物面；（8）双叶双曲面；（9）为旋转椭球面；（10）单叶双曲面.7、画出下列各曲面所围立体的图形：（1）012243=-++z y x 与三个坐标平面所围成；（2）42,42=+-=y x x z 及三坐标平面所围成；（3）22=0,(0)=1z z =a a >,y =x,x +y 及0x =在第一卦限所围成；（4）2222,8z x y z x y =+=--所围.解：（1）平面012243=-++z y x 与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体；（2）抛物柱面24z x =-与平面24x y +=及三坐标平面所围成；（3）坐标面=0z 、0x =及平面(0)z =a a >、y=x 和圆柱面22=1x +y 在第一卦限所围成；（4）开口向上的旋转抛物面22z x y =+与开口向下的抛物面228z x y =--所围.作图略.8、画出下列曲线在第一卦限内的图形（1）⎩⎨⎧==21y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=---=0422y x y x z ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧=+=+222222a z x ay x解：（1）是平面1x =与2y =相交所得的一条直线；（2）上半球面z 与平面0x y -=的交线为14圆弧；（3）圆柱面222x y a +=与222x z a +=的交线.图形略.9、分别求母线平行于x 轴及y 轴而且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++0162222222y z x z y x 的柱面方程.解：消去x 坐标得16322=-z y ，为母线平行于x 轴的柱面；消去y 坐标得：162322=+z x ，为母线平行于y 轴的柱面.10、求在yOz 平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）.解：⎩⎨⎧==+0122x z y ；⎩⎨⎧==++01222x z y x ； ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++1122222z y z y x .11、试求平面20x -=与椭球面222116124x y z ++=相交所得椭圆的半轴与顶点.解：将椭圆方程22211612420x y z x ⎧++=⎪⎨⎪-=⎩化简为：221932y z x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，可知其为平面2=x 上的椭圆，半轴分别为3,3，顶点分别为)3,0,2(),3,0,2(),0,3,2(),0,3,2(--.12 、将下面曲线的一般方程化为参数方程（1）2229x y z y x ⎧++=⎨=⎩；（2）⎩⎨⎧==+++-04)1()1(22z z y x解：（1）原曲线方程即：⎪⎩⎪⎨⎧=+=199222z x xy ，化为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤≤==tz t t y t x sin 3)20(cos 23cos 23π；（2）)20(0sin 3cos 31πθθθ≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=z y x .13、指出下列方程所表示的曲线（1）222253⎧++=⎨=⎩x y z x （2）⎩⎨⎧==++13094222z z y x ；（3）⎩⎨⎧-==+-3254222x z y x ；（4）⎩⎨⎧==+-+408422y x z y ；（5）⎪⎩⎪⎨⎧=-=-0214922x z y . 解：（1）圆；（2）椭圆；（3）双曲线；（4）抛物线；（5）双曲线.14、求螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.解：⎩⎨⎧==+0222z a y x ；⎪⎩⎪⎨⎧==0sin x b z a y ；⎪⎩⎪⎨⎧==0cosy b z a x .15、求曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧==++211222z z y x 在坐标面上的投影. 解：（1）消去变量z 后得,4322=+y x 在xOy 面上的投影为,04322⎪⎩⎪⎨⎧==+z y x 它是中心在原点，半径为23的圆周. （2）因为曲线在平面21=z 上，所以在xOz 面上的投影为线段.;23||,021≤⎪⎩⎪⎨⎧==x y z （3）同理在yOz 面上的投影也为线段..23||,21≤⎪⎩⎪⎨⎧==y x z16、求抛物面x z y =+22与平面 02=-+z y x 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程.解：交线方程为⎩⎨⎧=-+=+0222z y x xz y ，（1）消去z 得投影,004522⎩⎨⎧==-++z x xy y x （2）消去y 得投影2252400x z xz x y ⎧+--=⎨=⎩，（3）消去x 得投影22200y z y z x ⎧++-=⎨=⎩.习题 6—7飞机的速度：假设空气以每小时32公里的速度沿平行y 轴正向的方向流动，一架飞机在xoy 平面沿与x 轴正向成π6的方向飞行，若飞机相对于空气的速度是每小时840公里，问飞机相对于地面的速度是多少？解：如下图所示，设OA 为飞机相对于空气的速度，AB 为空气的流动速度，那么OB 就是飞机相对于地面的速度.840cos 840sin 4203420,3266OA i j i j AB j ππ=⋅+⋅=+=所以, 24203452,(420856.45OB i j OB =+=≈千米／小时.本章复习题A一、判断正误:1、若c b b a ⋅=⋅且≠0b ，则c a =； ( ⨯ )解析 c b b a ⋅-⋅=)(c a b -⋅=0时，不能判定=b 0或c a =．例如i a =，j b =，k c =，有⋅=⋅=0a b b c ，但c a ≠．2、若c b b a ⨯=⨯且≠0b ，则c a =； ( ⨯ )解析此结论不一定成立．例如i a =，jb =，)(j ic +-=，则空所流动与飞机飞行速度的关系k j i b a =⨯=⨯，k j i j c b =+-⨯=⨯)]([，c b b a ⨯=⨯，但c a ≠．3 、若0=⋅c a ，则=0a 或=0c ； ( ⨯ ) 解析两个相互垂直的非零向量点积也为零．4、 a b b a ⨯-=⨯． ( √ ) 解析这是叉积运算规律中的反交换律．二、选择题:1 、当a 与b 满足（ D ）时，有b a b a +=+；(A)⊥a b ； (B)λ=a b (λ为常数)； (C)a ∥b ； (D)⋅=a b a b ．解析只有当a 与b 方向相同时，才有a +b =a +b ．(A)中a ，b 夹角不为0，(B)，(C)中a ，b 方向可以相同，也可以相反．2、下列平面方程中，方程( C )过y 轴；(A) 1=++z y x ； (B) 0=++z y x ； (C) 0=+z x ； (D) 1=+z x ．解析平面方程0=+++D Cz By Ax 若过y 轴，则0==D B ，故选C ．3 、在空间直角坐标系中，方程2221y x z --=所表示的曲面是( B )；(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面．解析对于曲面2221y x z --=，垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆，垂直于x 轴或y 轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面．4、空间曲线⎩⎨⎧=-+=5,222z y x z 在xOy 面上的投影方程为( C )；(A)722=+y x ； (B)⎩⎨⎧==+5722z y x ； (C) ⎩⎨⎧==+0722z y x ；(D)⎩⎨⎧=-+=0222z y x z解析曲线⎩⎨⎧==+5722z y x 与xOy 平面平行，在xOy 面上的投影方程为⎩⎨⎧==+0722z y x ．5 、直线11121-+==-z y x 与平面1=+-z y x 的位置关系是( B )．(A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为π4； (D) 夹角为π4-．解析直线的方向向量s ={2，1，-1}，平面的法向量n ={1，-1，1}，n s ⋅=2-1-1=0，所以，s ⊥n ，直线与平面平行．三、填空题:1、若2=b a ，π()2=a,b ，则=⨯b a 2 ，=⋅b a 0 ；解 =⨯b a b a sin()a,b π2=2，=⋅b a b a cos()a,b π2=0．2、与平面062=-+-z y x 垂直的单位向量为 }2,1,1{66-±；解平面的法向量 n ={1，-1，2}与平面垂直，其单位向量为0n =411++=6，所以，与平面垂直的单位向量为}2,1,1{66-±．3、过点)2,1,3(--和)5,0,3(且平行于x 轴的平面方程为 057=-+z y ；解已知平面平行于x 轴，则平面方程可设为 0=++D Cz By ，将点 (-3，1，-2)和(3，0，5)代入方程，有{20,50,B C D C D -+=+= ⇒ 7,51,5B D C D ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩得 05157=+--D Dz Dy ，即057=-+z y ．4、过原点且垂直于平面022=+-z y 的直线为z yx -==20；解直线与平面垂直，则与平面的法向量 n ={0，2，-1}平行，取直线方向向量s =n ={0，2，-1}，由于直线过原点，所以直线方程为z yx -==20 ．5、曲线⎩⎨⎧=+=1,222z y x z 在xOy 平面上的投影曲线方程为 ⎩⎨⎧==+.0,1222z y x解: 投影柱面为 1222=+y x ，故 ⎩⎨⎧==+0,1222z y x 为空间曲线在xOy 平面上的投影曲线方程．四、解答题:1、已知}1,2,1{-=a ，}2,1,1{=b ，计算(a) b a ⨯； (b) ()()-⋅+2a b a b ； (c)2b a -；解: (a) b a ⨯=211121-kj i 1,3}5,{--=. (b) {2,4,2}{1,1,2}{1,5,0}2a b -=--=-，1,3}{2,{1,1,2}2,1}{1,-=+-=+b a ，所以()()-⋅+2a b a b 7}3,1,2{}0,5,1{=-⋅-=．(c) 1}3,{0,{1,1,2}2,1}{1,--=--=-b a ，所以2b a -10)19(2=+=．2、已知向量21P P 的始点为)5,2,2(1-P ，终点为)7,4,1(2-P ，试求：(1)向量21P P 的坐标表示； (2)向量21P P 的模；(3)向量21P P 的方向余弦； (4)与向量21P P 方向一致的单位向量．解:(1)}2,6,3{}57),2(4,21{21-=-----=P P ；74926)3(222==++-=；(3) 21P P 在z y x ,,三个坐标轴上的方向余弦分别为362cos ,cos ,cos 777αβγ=-==；(4)k j i k j i 7276737263)(21++-=++-==P P ．3、设向量{}1,1,1=-a ，{}1,1,1=-b ，求与a 和b 都垂直的单位向量.解：令{}1110,2,2111=⨯=-=-i j kc a b，01⎧==⎨⎩c c c ，故与a 、b 都垂直的单位向量为0⎧±=±⎨⎩c .4、向量d 垂直于向量]1,3,2[-=a 和]3,2,1[-=b ，且与]1,1,2[-=c的数量积为6-，求向量d解： d垂直于a与b ，故d平行于b a⨯，存在数λ使()b a d⨯=λ⨯-=]1,3,2[λ]3,2,1[-]7,7,7[λλλ--=因6-=⋅c d，故6)7(1)7()1(72-=-⨯+-⨯-+⨯λλλ， 73-=λ]3,3,3[-=∴d.5、求满足下列条件的平面方程：(1)过三点)2,1,0(1P ，)1,2,1(2P 和)4,0,3(3P ；(2)过x 轴且与平面025=++z y x 的夹角为π3．解 (1)解1：用三点式．所求平面的方程为0241003211201210=---------z y x ，即01345=+--z y x ．解2： }1,1,1{-=}2,1,3{-=，由题设知，所求平面的法向量为k j i kj in 452131113121--=--=⨯=P P P P ，又因为平面过点)2,1,0(1P ，所以所求平面方程为0)2(4)1(5)0(=-----z y x ，即01345=+--z y x ．解3：用下面的方法求出所求平面的法向量},,{C B A =n ，再根据点法式公式写出平面方程也可．因为3121,P P P P ⊥⊥n n ，所以{0,320,A B C A B C +-=-+=解得A C A B 4,5-=-=，于是所求平面方程为0)2(4)1(5)0(=-----z A y A x A ，即 01345=+--z y x ．（2）因所求平面过x 轴，故该平面的法向量},,{C B A =n 垂直于x 轴，n 在x 轴上的投影0=A ，又平面过原点，所以可设它的方程为0=+Cz By ，由题设可知0≠B （因为0=B 时，所求平面方程为0=Cz 又0≠C ，即0=z ．这样它与已知平面025=++z y x 所夹锐角的余弦为π1cos 32=≠=，所以0≠B ），令C B C'=，则有0='+z C y ，由题设得22222212)5(10121503cos ++'++⨯'+⨯+⨯=πC C ，解得3='C 或13C '=-，于是所求平面方程为03=+z y 或03=-z y ．6、一平面过直线⎩⎨⎧=+-=++04,05z x z y x 且与平面01284=+--z y x 垂直，求该平面方程；解法1：直线⎩⎨⎧=+-=++04,05z x z y x 在平面上，令x =0，得 54-=y ，z =4，则（0，-54，4）为平面上的点．设所求平面的法向量为n =},,{C B A ，相交得到直线的两平面方程的法向量分别为 1n ={1，5，1}，2n ={1，0，-1}，则直线的方向向量s =1n ⨯2n =101151-kj i ={-5，2，-5}，由于所求平面经过直线，故平面的法向量与直线的方向向量垂直，即⋅n s ={-5，2，-5}•},,{C B A =C B A 525-+-=0，因为所求平面与平面01284=+--z y x 垂直，则}8,4,1{},,{--⋅C B A =C B A 84--=0，解方程组{5250,480,A B C A B C -+=--= ⇒ 2,5,2A CBC =-⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所求平面方程为 0)4()54(25)0(2=-++---z C y C x C ，即012254=+-+z y x ．解法2：设所求平面π为 ()054x y z x z λ+=++-+，即(1)5(1)40x y z λλλ+++-+=，其法向量为(1,5,1)λλ=+-n ，由题意知所求平面π与平面01284=+--z y x 垂直，故1(1)458(1)0λλ+-⨯--=，解得3λ=，则所求平面π的方程为012254=+-+z y x ．另外，容易验证40x z -+=不是所求的平面方程．7、求既与两平面1:43x z π-=和2:251x y z π--=的交线平行，又过点(3,2,5)-的直线方程.解法1：{}11,0,4=-n ，{}22,1,5=--n ，{}124,3,1s =⨯=---n n ，从而根据点向式方程，所求直线方程为325431x y z +--==---，即325431x y z +--==. 解法2：设{},,s m n p =，因为1⊥s n ，所以40m p -=；又2⊥s n ，则250m n p --=，可解4,3m p n p ==，从而0p ≠．根据点向式方程，所求直线方程为32543x y z p p p +--==，即325431x y z +--==. 解法3：设平面3π过点(3,2,5)-，且平行于平面1π，则{}311,0,4==-n n 为3π的法向量，从而3π的方程为1(3)0(2)4(5)0x y z ⋅++⋅--⋅-=，即4230x z -+=．同理，过已知点且平行于平面2π的平面4π的方程为25330x y z --+=．故所求直线的方程为423025330x z x y z -+=⎧⎨--+=⎩．8、一直线通过点)1,2,1(A ，且垂直于直线11231:+==-z y x L ，又和直线z y x ==相交，求该直线方程；解：设所求直线的方向向量为{,,}m n p =s ，因垂直于L ，所以320m n p ++=；又因为直线过点)1,2,1(A ，则所求直线方程为pz n y m x 121-=-=-，联立121,①,②320,③x y z m n p x y z m n p ---⎧==⎪⎨==⎪++=⎩由①，令λ=-=-=-p z n y m x 121，则有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=,1,2,1p z n y m x λλλ代入方程②有{12,11,m n m p λλλλ+=++=+ 可得p m =，代入③解得p n 2-=，因此，所求直线方程为112211-=--=-z y x ．9、指出下列方程表示的图形名称：(a) 14222=++z y x ；(b) z y x 222=+；(c) 22y x z +=；(d) 022=-y x ；(e) 122=-y x ； (f) ⎩⎨⎧=+=222z y x z ．解： (a) 绕y 轴旋转的旋转椭球面．(b) 绕z 轴旋转的旋转抛物面． (c) 绕z 轴旋转的锥面．(d) 母线平行于z 轴的两垂直平面：y x =，y x -=． (e) 母线平行于z 轴的双曲柱面． (f) 旋转抛物面被平行于XOY 面的平面所截得到的圆，半径为2，圆心在（0，0，2）处．10、求曲面22z x y =+与222()z x y =-+所围立体在xOy 平面上的投影并作其图形．解：将所给曲面方程联立消去z ，就得到两曲面交线C 的投影柱面的方程122=+y x ，所以柱面与xOy 平面的交线⎩⎨⎧==+'01:22z y x C 所围成的区域221+≤x y 即为曲面22z x y=+与222()z x y =-+所围立体在xOy 平面上的投影(图略)．本章复习题B1、设4=a ，3=b ，()6π=a,b ，求以2+a b 和3-a b 为邻边的平行四边形的面积.解：(2)(3)326A =+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯a b a b a a a b b a b b325=-⨯-⨯=-⨯a b a b a b 15sin()543302=⋅=⨯⨯⨯=a b a,b .2、设(3)(75)+⊥-a b a b ，(4)(72)-⊥-a b a b ，求()a,b . 解：由已知可得：(3)(75)0+⋅-=a b a b ，(4)(72)0-⋅-=a b a b 即 22715160-+⋅=a b a b ，2278300+-⋅=a b a b ．这可看成是含三个变量a 、b 及⋅a b 的方程组，可将a 、b 都用⋅a b 表示，即=a b 1cos()22⋅⋅===⋅a b a b a,b a b a b ，()3π=a,b .3、求与}3,2,1{-=a 共线，且28=⋅b a 的向量b ．解由于b 与a 共线，所以可设}3,2,{λλλλ-==a b ，由28=⋅b a ，得28}3,2,{}3,2,1{=-⋅-λλλ，即2894=++λλλ，所以2=λ，从而}6,4,2{-=b ．4、已知}0,1,1{},2,0,1{=-=b a ，求c ，使b c a c ⊥⊥,且6=c ．解法1: 待定系数法．设},,{z y x =c ，则由题设知0,0=⋅=⋅b c a c 及6=c ，所以有①20②③6x z ⎧-=⎪= 由①得2x z = ④，由②得x y -= ⑤，将④和⑤代入③得62)(222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+x x x ，解得2,4,4±==±=z y x ，于是 }2,4,4{-=c 或}2,4,4{--=c ．解法2: 利用向量的垂直平行条件，因为b c a c ⊥⊥,，所以c ∥b a ⨯．设λ是不为零的常数，则k j i k j i b a c λλλλλ+-=-=⨯=22011201)(，因为6=c ，所以6]1)2(2[2222=+-+λ，解得2±=λ，所以}2,4,4{-=c 或{4,4,2}=--c ．解法3: 先求出与向量b a ⨯方向一致的单位向量，然后乘以6±．k j i kj i b a +-=-=⨯22011201，31)2(2222=+-+=⨯b a ，故与b a ⨯方向一致的单位向量为}1,2,2{31-．于是}1,2,2{36-±=c ，即}2,4,4{-=c 或}2,4,4{--=c ．5、求曲线2220x y R x y z ⎧+=⎨++=⎩的参数式方程.解：曲线参数式方程是把曲线上任一点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 都用同一变量即参数表示出来，故可令cos ,sin x R t y R t ==，则(cos sin )z R t t =-+．6、求曲线22:2z L x y x⎧⎪=⎨+=⎪⎩xOy 面上及在zOx 面上的投影曲线的方程．解：求L 在xOy 面上的投影的方程，即由L 的两个方程将z 消去，即得L 关于xOy 面的投影柱面的方程222x y x +=则L 在xOy 面上的投影曲线的方程为2220x y xz ⎧+=⎨=⎩．同理求L 在zOx 面上的投影的方程，即由L 的两个方程消去y ，得L 关于zOx 面的投影柱面的方程z =L 在zOx面上的投影曲线方程为0z y ⎧=⎪⎨=⎪⎩．7、已知平面π过点0(1,0,1)M -和直线1211:201x y z L ---==，求平面π的方程．解法1：设平面π的法向量为n ，直线1L 的方向向量1(2,0,1)=s ，由题意可知1⊥n s ，(2,1,1)M 是直线1L 上的一点,则0(1,1,2)M M =在π上，所以0MM ⊥n ,故可取10MM =⨯n s (1,3,2=--．则所求平面的点法式方程为 1(1)3(0)2(1)0x y z ⋅-+⋅--⋅+=，即3230x y z +--=为所求平面方程．解法2：设平面π的一般方程为0Ax By Cz D +++=，由题意可知，π过点0(1,0,1)M -，故有0A C D -+=, （1）在直线1L 上任取两点12(2,1,1),(4,1,2)M M ，将其代入平面方程，得20A B C D +++=, （2）420A B C D +++=, （3）由式（1）、（2）、（3）解得3,2,3B A C A D A ==-=-,故平面π的方程为3230x y z +--=.解法3：设(),,M x y z 为π上任一点．由题意知向量0M M 、01M M 和1s 共面，其中()12,1,1M 为直线1L 上的点，1(2,0,1)=s 为直线1L 的方向向量．因此0011()0M M M M ⨯⋅=s ，故平面π的方程为1012110110201x y z --+--+=，即3230x y z +--=为所求平面方程．8、求一过原点的平面π，使它与平面0:π4830x y z -+-=成4π角，且垂直于平面1:π730x z ++=．解：由题意可设π的方程为0Ax By Cz ++=，其法向量为(,,)A B C =n ，平面0π的法向量为0(1,4,8)=-n ，平面1π的法向量为1(7,0,1)=n ，由题意得00||cos 4||||π⋅=⋅n n n n ，即=（1）由10⋅=n n ，得70A C +=，将7C A =-代入（1）式得,解得20,B A =或10049B A =-，则所求平面π的方程为2070x y z +-= 或 491003430x y z --=．9、求过直线1L ：0230x y z x y z ++=⎧⎨-+=⎩且平行于直线2L ：23x y z ==的平面π的方程．解法1：直线1L 的方向向量为1=s 111(4,1,3)213==---i j k，直线2L 的对称式方程为632x y z==，方向向量为2(6,3,2)=s ，依题意所求平面π的法向量1⊥n s 且2⊥n s ，故可取12=⨯n s s ，则413(7,26,18)632=--=-i j kn ，又因为1L 过原点，且1L 在平面π上，从而π也过原点，故所求平面π的方程为726180x y z -+=．解法2：设所求平面π为 (23)0x y z x y z λ+++-+=，即(12)(1)(1x y z λλλ++-++=，其法向量为(12,1,13)λλλ=+-+n ，由题意知2⊥n s ，故26(12)3(1)2(13)λλλ⋅=++-++=n s ，得1115λ=-，则所求平面π的方程为726180x y z -+=．另外，容易验证230x y z -+=不是所求的平面方程．10、求过直线L ：⎩⎨⎧=+-+=+-+0185017228z y x z y x 且与球面1222=++z y x 相切的平面方程解：设所求平面为 ()018517228=+-+++-+z y x z y x λ，即 (15)(288)(2)170x y z λλλλ+++-+++=，由题意：球心)0,0,0(到它的距离为1，即1)2()828()51(17222=--+++++λλλλ解得：89250-=λ 或 2-=λ 所求平面为：42124164387=--z y x 或 543=-y x11、求直线L ：11111--==-z y x 在平面π：012=-+-z y x 上投影直线0L 的方程，并求直线0L 绕y 轴旋转一周而成的曲面方程.解：将直线L ：11111--==-z y x 化为一般方程 ⎩⎨⎧=-+=--0101y z y x ，设过直线L 且与平面π垂直的平面方程为()011=-++--y z y x λ，则有02)1(1=+--λλ，即2λ=-，平面方程为0123=+--z y x ，这样直线0L 的方程⎩⎨⎧=-+-=+--0120123z y x z y x 把此方程化为：⎩⎨⎧--==)1(221y z yx ，因此直线0L 绕y 轴旋转一周而成的曲面方程为：22221(2)(1)2x z y y ⎛⎫+=+-- ⎪⎝⎭即 0124174222=-++-y z y x .12、求过点)1,0,3(-A 且平行于平面1π：3450x y z --+=，又与直线1:2x L =1111y z -+=-相交的直线L 的方程．解法1：用点向式方程.因为直线L 平行于平面1π，故直线L 的方向向量},,{p n m =s 垂直于平面1π的法向量}1,4,3{--=n ，从而得043=--p n m ①，又直线1L 的方向向量为}1,1,2{-=s ，)1,1,0(-B 是直线1L 上一点，)1,0,3(-A 是直线L 上一点，根据题设：直线L 与直线1L 相交，所以1s,s 及共面，因此1()2110312m n pAB ⨯⋅=-=-s s ，即0=-+-p n m ②，将①和②联立解得p n p m 4,5-=-=，由此得145p n m =-=-，于是所求直线方程为11453-=-=-+z y x ．解法2：用一般式，即先求出过L 的两个平面，将其方程联立便得L 的方程．直线L 在过点A 且平行于平面1π的平面2π上，平面2π的方程为0)1()0(4)3(3=----+z y x ，即01043=+--z y x ，直线L 又在过点A 及直线1L 的平面3π上，平面3π的法向量可取为1211312AB ⨯=-=-+--i j ks i j k ，故平面3π的方程为0)1()0()3(=---++-z y x ，即02=++-z y x ，于是所求直线方程为{34100,20.x y z x y z --+=-++=13、求直线1l ：⎩⎨⎧=+=-+321z x z y x 与直线2l ：1-==z y x 的公垂线的方程解： 2L 的方向向量]1,1,1[2=l 而1L 的方向向量k j i k j i l231021111--=-=于是公垂线l 的方向向量k j i kj i l l l4311123121+--=--=⨯=，过1l 与l 的平面π的法向量k j i kj il l n62184312311---=----=⨯=.也可取法向量]3,1,9[=n，以1=z 代入1L 方程，可得1l 上的点]1,1,1(1M ，于是平面π方程0)1(3)1()1(9=-+-+-z y x ，即01339=-++z y x再求2L 与π的交点P ，2L 的参数方程为t x =，t y =，t z +=1，代入上述平面方程，得： 013)1(39=-+++t t t ，1310=t ，再代回2l 的参数方程得1310=x ，1310=y ，1323=z ，于是P()132313101310,,，兼顾公垂线l 的方向向量]4,3,1[--=l，于是可产生公垂线l 的方程为431132313101310-=--=--z y x .14、求点)1,`1,2(0-M 到直线l ：⎩⎨⎧=+-+=-+-032012z y x z y x 的距离d .解法1：直线l 的方向向量为121[0,2,4]121=-=-i j ks ，在l 上任取一点)2,0,1(-M ，则0(3,1,1)M M −−→=-，0M M −−→⨯s 311(2,12,6)024=-=-i j k，故0⨯=M M s，又=s ，d 0⨯==M M ss解法2：将直线l 的方程由一般式化为标准式得42201-==+z y x ，故过点0M 与直线l 垂直的平面π的方程为0)1(4)1(2=-++z y ，即 012=-+z y ，直线l 的参数式方程为：1-=x ，t y =，22+=t z ，将上式代入平面π的方程，得：01)22(2=-++t t ，解得：53-=t ，所以直线l 的交点为()5453,,1--N 2，于是点0M 到直线l 的距离为。

空间解析几何例题

第4章向量代数与空间解析几何习题解答习题一、计算题与证明题1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ．计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯．解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向因此0=⨯b a ，0=⨯c b ，0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a , 求||||b a ⋅．解：3cos ||=⋅=⋅θb a b a （1）4sin ||=⋅=⨯θb a b a （2）()222)1(+得()252=⋅b a所以 5=⋅b a3．设力k j i F 532++-=作用在点)1,6,3(A , 求力F 对点)2,7,1(,-B 的力矩的大小．解：因为()1,6,3A ,()2,7,1-B 所以()31,2--=力矩()()k j i k j i F AB M 53232++-⨯-+-=⨯=kj i kj i kj i 41614321252325331532312-+=--+-----=---=所以，力矩的大小为()13641614222=-++=M4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=⋅x a ρρ, 求向量x 的坐标．解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a则325=-+=⋅z y x x a （1）又x 与a 共线，则0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y ky x j y x i z y z yx kj i所以()()()05252222=-+++--y x x z z y即010*********22=-++++xy xz yz z y x （2）又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax整理得 103222=++z y x （3）联立()()()321、、解出向量x 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,101 5．用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平分, 则该四边形为平行四边形．证明：如图所示，因为平行四边形ABCD 的对角线互相平分，则有==,由矢量合成的三角形法则有+=+=+=+=所以CD BA =即BA 平行且等于CD四边形ABCD 是平行四边形6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程．解：因为()7,8,3A ,)3,2,1(--BAB 中垂面上的点到B A 、的距离相等，设动点坐标为()z y x M ,,，则由MB MA =得()()()()()()222222321783++-++=-+-+-z y x z y x化简得027532=-++z y x这就是线段AB 的中垂面的方程。

空间解析几何习题答案解析(最新整理)

一、计算题与证明题1．已知, , , 并且．计算．1||=a 4||=b 5||=c 0=++c b a a c c b b a ⨯+⨯+⨯解：因为, , , 并且1||=a 4||=b 5||=c 0=++c b a 所以与同向，且与反向a b b a +c 因此，，0=⨯b a 0=⨯c b 0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a 2．已知, , 求．3||=⋅b a 4||=⨯b a ||||b a ⋅解：（1）3cos ||=⋅=⋅θb a b a（2）4sin ||=⋅=⨯θb a b a 得()222)1(+()252=⋅b a 所以5=⋅b a 4．已知向量与共线, 且满足, 求向量的坐标．x )2,5,1(,-a 3=⋅x ax 解：设的坐标为，又x ()z y x ,,()2,5,1-=a 则（1）325=-+=⋅z y x x a 又与共线，则x a 0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y kyx j y x i z y z y x kj i 所以()()()05252222=-+++--y x x z z y 即（2）010*********22=-++++xy xz yz z y x 又与共线，与夹角为或x a x a 0π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax 整理得（3）103222=++z y x 联立解出向量的坐标为()()()321、、x ⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,1016．已知点, 求线段的中垂面的方程．)7,8,3(A )3,2,1(--B AB 解：因为,()7,8,3A )3,2,1(--B 中垂面上的点到的距离相等，设动点坐标为，则由得AB B A 、()z y x M ,,MB MA =()()()()()()222222321783++-++=-+-+-z y x z y x 化简得027532=-++z y x 这就是线段的中垂面的方程。

空间解析几何练习题参考答案

1.过点M o (1, — 1, 1)且垂直于平面X - y —z + 1 = 0及2x+ y + z + 1 = 0的平面方程.3的.3.10.曲面方程为:4.X 2 +y 2 +4z 2 =4 ,它是由曲线旋转而成19 7292口 =止=口；10 .曲线L + z 2=1绕z 轴1 2-3 439. y —z+2=03.在平面x-y-2z=0上找一点p ,使它与点(2,1,5), (4-3,1)及(—2,—1,3)之间的距离相等.7. (-,1,^).5 55. 已知：A(1,2,3), B(5,_1,7),C(1,1,1), D(3,3,2),则 prj AB =7.设平面方程为X-y =0，则其位置(8.平面 X-2 y + 7z+3=0 与平面 3x + 5y + z-1=010 .设点 A(0,—1,0)到直线[—y+I~0[x + 2z-7=0c(arb) =4.过点(2,-8,3)且垂直平面x + 2y —3z-2 = 0直线方程为&动点到点（0,0,5）的距离等于它到x 轴的距离的曲面方程为9.曲面方程：16X 2 -9y 2—9Z 2 =25则曲面名称为A .平行于X 轴B .平行于y 轴C .平行于D .过轴.A .平行9.直线匕3-2 A .平行B . y +4 --7 B .C .相交D .重合垂直 =-与平面4x-2y-2z-3=0的位置关系(3垂直C •斜交D .直线在平面内5. & B 9. A 10 . A .3. 当m= 时，2i -3j +5k 与3i+mj -2k 互相垂直.设 a=2i+j +kb =i -2j +2kc = 3i -4j +2k的位置关系(的距离为(1C . 5旋转而成.1.设 a =i 2, jH b ={1,—1,3},c = ^,—2,0}，则(a x b)x 2=(4.若 M I (1,1,1),M 2(221),M 3(2,1,2),则 M i Mb 与M 1M 3的夹角申x —2 y —3 z — 49.直线〒=亍=〒与平面2x+y +z =6夹角为（7•求与平面2X —6y + 3z =4平行平面，使点（3,2,8）为这两个平面公垂线中点.3.确定k 值，使三个平面：kx —3y + Z = 2,3X + 2y + 4z = 1, X —8y - 2Z = 3通过同一条直线.5•求以向量i + j, j +k,k + i 为棱的平行六面体的体积.7.与平面2X + y + 2Z + 5 = 0，且与三个坐标面所构成的四面体体积为 1的平面方程B . 10C . to ,—1,—1}D . {2,1,21}3.若 a =6i +3j -2k,b//a, 且 b =14,则 b =(A . ±(12i+6j-4k)B . ±(12i+6j)C . ±(12i -4k)D . ±(6j -4k)6.求平面 x-y+2z-6=0 与平面2x + y + z — 5 = 0的夹角（兀C.—3&设点 M o (3,-1,2),直线 |[x + y -，则l 2x —y + z —4 = 0M O 到I 的距离为3U 2A . -----2 3^5B .——5 3(5C .——4D .——21. DA . 30o, .5 D . arcsi n-6B . 60oC . 90o10.曲线尸2J 2在y z 面上的投影方程 [z=(x-1)2+(y -1)21.设 a=i —2j+3k , b=2i+j , c = —i + j+k ，贝U a+b 与 c 是否平行1不平行f2 22y +2yz + z -4y-3z + 2 = 0 I X =0练习题选参考答案1 •两非零向量7、、b 垂直，则有?^b =0或P 门尽话=0 ；平行则有7^=0或:=屈或两向量对应坐标成比例。

空间解析几何练习题参考答案

空间解析几何[练习试题参考答案解析]

1. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程．39．02=+-z y3．在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离相等．7．)51,1,57(．5．已知：→→-AB prj D C B A CD，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （）A ．4B ．1C ．21D ．2 7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（）A ．平行于x 轴B ．平行于y 轴C ．平行于z 轴D ．过z 轴． 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．重合 9．直线37423zy x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内 10．设点)0,1,0(-A 到直线⎩⎨⎧=-+=+-07201z x y 的距离为（）A ．5B ．61 C ．51 D ．81 5．D 7．D 8．B 9．A 10．A ．3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直．4．设++=2，22+-=，243+-=，则)(b a p r j c += ．4．过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________．10．曲面方程为：44222=++z y x ，它是由曲线________绕_____________旋转而成的．3．34-=m ； 4．2919 9．332212--=+=-x y x ； 10．曲线1422=+z y 绕z 轴旋转而成．1．设{}{}{}0,2,1,3,1,1,1,3,2-=-=-=，则=⨯⨯)(（） A ．8 B ．10 C ．{}1,1,0-- D ．{}21,1,23．若==-+=，则14//236（）A ．)4612(-+±B ．)6(+±C ．)4(-±D ．)46(-± 4．若ϕ与，则3121321)2,1,2(),1,2,2(),1,1,1(M M M M M M M （） A ．6π B ．2π C ．3π D ．4π6．求平面062=-+-z y x 与平面052=-++z y x 的夹角（） A ．2π B ．6π C ．3π D ．4π 8．设点⎩⎨⎧=-+-=+-+-04201)2,1,3(z y x z y x l M o ，直线，则M O 到l 的距离为（）A ．223 B ．553 C ．453 D ．229．直线夹角为与平面62241312=++-=-=-z y x z y x （） A ．30o B ．60o C ．90oD ．65arcsin1．D 3．A 4．C 6．C 8．A 9．D7．求与平面4362=+-z y x 平行平面，使点)8,2,3(为这两个平面公垂线中点． 3．确定k 值，使三个平面：328,1423,23=--=++=+-z y x z y x z y kx 通过同一条直线．5．求以向量+++,,为棱的平行六面体的体积．7．与平面0522=+++z y x ，且与三个坐标面所构成的四面体体积为1的平面方程_____________________．8．动点到点（0,0,5）的距离等于它到x 轴的距离的曲面方程为________________． 9．曲面方程：259916222=--z y x 则曲面名称为________________．10．曲线⎪⎩⎪⎨⎧-+-=--=2222)1()1(2y x z yx z 在y z 面上的投影方程______________． 1．设32+-=，+=2，++-=，则与+是否平行__________．1．不平行7．33222±=++z y x ； 8．25102-=-z x ；9．双叶双曲面； 10．⎩⎨⎧==+--++02342222x z y z yz y练习题选参考答案1．两非零向量→a 、→b 垂直，则有0=⋅→→b a 或0Pr =→→a j b；平行则有0=⨯→→b a 或→→=ba λ或两向量对应坐标成比例。

空间解析几何习题答案

一、计算题与证明题1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ．计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯．解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向因此0=⨯b a ，0=⨯c b ，0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a , 求||||b a ⋅．解：3cos ||=⋅=⋅θb a b a （1）4sin ||=⋅=⨯θb a b a （2）()222)1(+得()252=⋅b a所以 5=⋅b a4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=⋅x a, 求向量x 的坐标．解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a则325=-+=⋅z y x x a （1）又x 与a 共线，则0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y ky x j y x i z y z yx kj i所以()()()05252222=-+++--y x x z z y即010*********22=-++++xy xz yz z y x （2）又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax整理得 103222=++z y x （3）联立()()()321、、解出向量x 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,101 6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程．解：因为()7,8,3A ,)3,2,1(--BAB 中垂面上的点到B A 、的距离相等，设动点坐标为()z y x M ,,，则由MB MA =得()()()()()()222222321783++-++=-+-+-z y x z y x化简得027532=-++z y x 这就是线段AB 的中垂面的方程。

空间解析几何课后习题解析

空间解析几何课后习题解析第一章矢量与坐标§1.1 矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.[解]：（1）单位球面；（2）单位圆（3）直线；（4）相距为2的两点2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量、OB、、OD、OE、OF、AB、BC、CD、DE、和中，哪些矢量是相等的？[解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF中，相等的矢量对是：图1-1.和和和和和3. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝NM. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：如图1-2，连结AC, 则在?BAC中，21AC. KL与方向相同；在?DAC中，21AC. NM与AC方向相同，从而KL＝NM且KL与NM方向相同，所以KL＝NM.4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1) 、; (2) 、; (3) 、;(4) AD、; (5) BE、.[解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）；互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。

§1.2 矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量ba,应满足什么条件？（1=+（2+=+（3-=+（4+=C（5=[解]：（1）, -=+；（2）,+=+（3≥且,-=+ （4）,+=（5）,≥-=-§1.3 数量乘矢量1 试解下列各题．⑴ 化简)()()()(→→→→-?+--?-b a y x b a y x ．⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．⑶ 从矢量方程组=-=+→→→→→→by x ay x 3243，解出矢量→x ，→y ．解⑴→→→→→→→→→→→→→→-=+-+---+=-?+--?-ay b x b y a y b x a x b y a y b x a x b a y x b a y x 22)()()()(⑵ →→→→→→→→→→+=+-+-+=+3132132142232e e e e e e e e b a ，→→→→→→→→→→→-+-=+---+=-321321321342)223(2e e e e e e e e e b a ，→→→→→→→→→→→-+-=+---+=-3213213217103)223(2)2(323e e e e e e e e e b a ． 2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ，求→EF ．解→→→→→→→→→→→-+=-+-+=+=c b a c a c b a AB CD EF 533)2(21)865(212121．3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线．证明∵→→→→→→→→→→=+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382∴→AB 与→BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线．4 在四边形ABCD 中，→→→+=b a AB 2，→→→--=b a BC 4，→→→--=b a CD 35，证明ABCD 为梯形．证明∵→→→→→→→→→→→→→=--=-+--++=++=BC b a b a b a b a CD BC AB AD 2)4(2)35()4()2( ∴→AD ∥→BC ，∴ABCD 为梯形．5. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量, BM ,可以构成一个三角形.[证明]： )(21+=)(21BC BA BM +=)(21+=0)(21=+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。

空间解析几何复习资料含答案

空间解析几何练习题1. 求点),,(c b a M 分别关于（1）xz 坐标面（2）x 轴（3）原点对称点的坐标． 2. 设 )2,,3(x A -与)4,2,1(-B 两点间的距离为29，试求x ． 3. 证明 )3,2,1(A )5,1,3(B )3,4,2(C 是一个直角三角形的三个顶点．4. 设ABC ∆的三边=，=，=，三边的中点依次为D ，E ，F ，试用向量表示，，，并证明：=++ ．5. 已知：k j i a 2+-=，k j i b -+=3求b a 32+，b a 32-．6. 已知：向量与x 轴，y 轴间的夹角分别为060=α，0120=β求该向量与z 轴间的夹角γ．7. 设向量的模是5，它与x 轴的夹角为4π，求向量在x 轴上的投影． 8. 已知：空间中的三点)2,1,0(-A ，)5,3,1(-B ，)2,1,3(--C 计算：32-，4+．9. 设{}1,0,2-=a ，{}2,2,1--=b 试求b a -，b a 52+，b a +3． 10. 设：{}1,2,2-=，试求与a 同方向的单位向量．11. 设：253++=，742--=，45-+=，-+=34试求（1）在y 轴上的投影；（2）在x 轴和z 轴上的分向量；（3 ．12. 证明：22)()(-=-⋅+．13. 设：{}1,0,3-=a ，{}3,1,2--=b 求⋅，∧⋅)(． 14. 设→→→→-+=k j x i a 2，→→→→+-=k j i b 23且→→⊥b a 求x15. 设{}2,1,0-=，{}1,1,2-=求与和都垂直的单位向量．16. 已知：空间中的三点)0,1,1(A ，)3,1,2(-B ，)2,1,2(-C 求ABC ∆的面积．17. （1）设∥求⋅ （21==求⋅18. 3=5=，试确定常数k 使k +，k -相互垂直．19. 设向量与互相垂直，∧⋅)(c a 3π=，∧⋅)(c b 6π=1=2=3=+．20. 设：53+-=，32+--=求b a ⋅21. 设：k j i a --=63，k j i b 54-+=求（1）a a ⋅；（2）)3()23(-⋅+；（3）a 与b 的夹角．22. 设：∧⋅)(6π=1=3=． 23. 设：{}2,1,1-=a ，{}1,2,1--=，试求：（1）b a ⋅；（2）b a ⨯；（3）∧⋅)cos(．24. 3=26=72=，求b a ⋅．25. 设a 与b 相互垂直，3=4=，试求（1）)()(b a b a -⨯+；（2）)2()3(b a b a -⨯-．26. 设：0=++c b a 证明：a c c b b a ⨯=⨯=⨯27. 已知：-+=23，2+-=，求（1）b a ⨯；（2）)32()2(-⨯+；（3）⨯+)(（4）b i a +⨯． 28. 求与{}1,2,2=a {}6,10,8---=b 都垂直的单位向量．29. 已知：{}1,6,3--=a ，{}5,4,1-=b ，{}12,4,3-=c 求c b a b c a )()(⋅+⋅在向量上的投影．30. 设：d c b a ⨯=⨯，d b c a ⨯=⨯且c b ≠，d a ≠证明d a -与c b -必共线．31. 设：b a 3+与b a 57-垂直，b a 4-与b a 27-垂直，求非零向量a 与b 的夹角．32. 设：{}6,3,2-={}2,2,1--=向量在向量与423=，求向量的坐标．33. 4=3=，∧⋅)(b a 6π=求以2+和3-为边的平行四边形面积． 34. 求过点)1,2,7(0-P ，且以{}3,4,2-=为法向量的平面方程． 35. 过点)1,0,1(0-P 且平行于平面53=--z y x 的平面方程． 36. 过点)2,3,1(-M 且垂直于过点)1,2,2(-A 与)1,2,3(B 的平面方程． 37. 过点)2,1,3(-A ，)1,1,4(--B ，)2,0,2(C 的平面方程．38. 过点)1,1,2(0P 且平行于向量{}1,1,2=和{}3,2,3-=的平面方程．39. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程．40. 将平面方程 01832=+-+z y x 化为截距式方程，并指出在各坐标轴上的截距．41. 建立下列平面方程（1）过点（3-，1，2-）及z 轴；（2）过点A （3-，1，2-）和B （3，0，5）且平行于x 轴；（3）平行于x y 面，且过点A （3，1，5-）；（4）过点P 1（1，5-，1）和P 2（3，2，2-）且垂直于x z 面．42. 求下列各对平面间的夹角（1），62=+-z y x 32=++z y x ；（2）09543=--+z y x ，07662=-++z y x ．43. 求下列直线方程（1）过点（2，1-，3-）且平行于向量{}123，，--=；（2）过点M o (3，4，2-)且平行z 轴；（3）过点M 1（1，2，3）和M 2（1，0，4）；（4）过原点，且与平面0623=-+-z y x 垂直．44. 将下列直线方程化为标准方程（1）⎩⎨⎧=--+=-+-084230432z y x z y x ；（2）⎩⎨⎧-=+=422z y y x ；（3）⎩⎨⎧=+=-+00123z y z x 45. 将下列直线方程化成参数式方程（1）⎩⎨⎧-==-+-250125z y z y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-025126y z x ． 46. 求过点（1，1，1）且同时平行于平面012=+-+z y x 及012=+-+z y x 的直线方程．47. 求过点（3，1，2-）且通过直线12354z y x =+=-的平面方程． 48. 求通过两直线211111-=-+=-z y x 与 112111-=+=--z y x 的平面方程． 64．求下列各对直线的夹角（1）74211+=-=-z y x ，131256--=-=+z y x ；（2）⎩⎨⎧=-+-=-+-012309335z y x z y x ，⎩⎨⎧=-++=+-+0188302322z y x z y x ．49. 证明直线31141+=-=-z y x 与 ⎩⎨⎧=--+=++0207z y x z y x 相互平行． 50. 设直线 l 的方程为：nz y x 42311+=--=- 求n 为何值时,直线l 与平面052=+--z y x 平行？51. 作一平面，使它通过z 轴，且与平面0752=--+z y x 的夹角为3π． 52. 设直线l 在平面01:=+++z y x π 内，通过直线⎩⎨⎧=+=++0201:1z x z y l 与平面π的交点，且与直线l 1垂直、求直线l 的方程．53. 求过点（1，2，1）而且与直线 ⎩⎨⎧=-+-=+-+01012z y x z y x 与 ⎩⎨⎧=+-=+-002z y x z y x 平行的平面方程． 54. 一动点到坐标原点的距离等于它到平面04=-z 的距离，求它的轨迹方程．55. 直线⎩⎨⎧=-+=-+023012:z x y x l 与平面012:=--+z y x π 是否平行？若不平行，求直线l 与平面π的交点，若平行，求直线l 与平面π的距离．56. 设直线l 经过两直线35811:1--==--z y x l ，⎪⎩⎪⎨⎧--=+=+=t z t y t x l 101152143:2 的交点，而且与直线l 1与l 2都垂直，求直线l 的方程．57. 已知直线：⎩⎨⎧=-+-=+-+04201:1z y x z y x l 及点 )213(，，-p 过点p 作直线l 与直线l 1垂直相交，求直线l 的方程．58. 方程：019224222=-+--++z y x z y x 是否为球面方程，若是球面方程，求其球心坐标及半径．59. 判断方程：11462222=-+-++z y x z y x 是否为球面方程，若是球面方程，求其球心坐标及半径．60. 将曲线：⎩⎨⎧==052y x z 绕x 轴旋转一周，求所成的旋转曲面方程．61. 将曲线：⎩⎨⎧==+0369422z y x 绕y 轴旋转一周，求所成的旋转曲面方程．62. 说明下列旋转曲面是怎样形成的（1）10343222=++z y x ；（2）24222=+-z y x ；（3）1222=--z y x ；（4）222)(y x a z +=-． 63. 指出下列方程在空间中表示什么样的几何图形（1）14322=+y x ；（2）13222=-y x ；（3）x z 42=；（4）13422=+z y ．自测题 (A)(一) 选择题1．点M )5,1,4(-到 x y 坐标面的距离为（）A ．5B ．4C ．1D ．422．点A )3,1,2(-关于y z 坐标面的对称点坐标（）A ．)3,1,2(--B ．)3,1,2(--C ．)3,1,2(-D ．)3,1,2(--3．已知向量{}{}{}3,1,4,2,2,2,1,5,3--==-=c b a ，则=+-c b a 432（）A ．{}16,0,20B ．{}20,4,5-C ．{}20,0,16-D ．{}16,0,20-4．设向量424--=，236+-=，则)3)(23(+-=（）A ．20B ．16-C ．32D ．32-5．已知：→→-AB prjD C B A CD ，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （） A ．4 B ．1 C ．21 D ．2 6．设=-⨯+-+=+-=)()(22，则（）A ．k j i 53++-B ．k j i 1062++-C ．1062--D ．k j i 543++7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（）A ．平行于x 轴B ．平行于y 轴C ．平行于z 轴D ．过z 轴．8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（）A ．平行B ．垂直C ．相交D ．重合9．直线37423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内10．设点)0,1,0(-A 到直线⎩⎨⎧=-+=+-07201z x y 的距离为（） A ．5 B ．61 C ．51 D ．81 (二) 填空题1．设=--x B x A ，则，两点间的距离为，，与29)421()2,,3(_________．2．设23-+-=，+-=2，则=-32_______________．3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直．4．设++=2，22+-=，243+-=，则)(b a p r j c += ．4．设+-=2，32-+=，则)2()2(-⨯+=_________．5．与)0,3,4()1,2,3(--B A 和等距离的点的轨迹方程为_______________．6．过点），，（715，），，（204-且平行于z 轴的平面方程_______________．7．设平面：03222,01=--+=+-+z y x z y x 与平行，则它们之间的距离_________．8．过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________．10．曲面方程为：44222=++z y x ，它是由曲线________绕_____________旋转而成的．(三) 解答题1．求平行于{}的单位向量2,3,6-=a ．2．已知作用于一点的三个力{}{}{}5,4,3,3,2,1,4,3,2321-==--=F F F 求合力的大小与方向．3．如果{}1,1,2-=，{}1,2,1-=求在上的投影．4．用向量方法，求顶点在)4,4,3(),5,3,1(),1,1,2(-----的三角形的三个内角．5．设2+-=，-+=2，22++=，试将下列各式用,,表示．（1） c b a ⨯⨯)(；（2）)()(c a b a ⨯⨯⨯．6．求经过点（1,2,0）且通过z 轴的平面方程．7．在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离相等．8．求过 )1,0,0(),0,1,0(),0,0,1( 的圆的方程，并求该圆在坐标平面xoy 上的投影曲线方程．9．求过点（1,2,1）且同时平行0132=-++z y x 和053=+-+z y x 两平面的直线方程．10．方程：12222=++z y x 表示什么图形？自测题（B ）(一) 选择题1．设{}{}{}0,2,1,3,1,1,1,3,2-=-=-=，则=⨯⨯)(（）A ．8B ．10C ．{}1,1,0--D ．{}21,1,22．设{}{}2,2,2,2,1,1-=-=，则同时垂直于a 和b 的单位向量（）A ．}0,21,21{± B ．}0,21,21{± C ．}0,2,2{± D ．}0,2,2{±3．若==-+=b a b k j i a ，则，14//236（）A ．)4612(k j i -+±B ．)612(j i +±C ．)412(k i -±D ．)46(k j -±4．若ϕ，则3121321)2,1,2(),1,2,2(),1,1,1(M M M M M M M （）A ．6πB ．2πC ．3πD ．4π 5．过)320()231(),412(321，，和，，，，M M M ---，的平面方程（）A ．015914=--+z y xB ．06872=--+z y xC ．015914=-+-z y xD ．015914=-++z y x6．求平面062=-+-z y x 与平面052=-++z y x 的夹角（）A ．2πB ．6πC ．3πD ．4π 7．直线⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A 各系数满足（）条件，使它与y 轴相交． A ．021==A A B ．2121D D B B = C ．021==C C D ．021==D D 8．设点⎩⎨⎧=-+-=+-+-04201)2,1,3(z y x z y x l M o ，直线，则M O 到l 的距离为（）A ．223 B ．553 C ．453 D ．229．直线夹角为与平面62241312=++-=-=-z y x z y x （） A ．30o B ．60o C ．90o D ．65arcsin 10．过点)5,2,1(---且和三个坐标平面都相切的球面方程（）A ．22225)1()1()1(=+++++z y xB ．22225)5()5()5(=+++++z y xC ．22225)2()2()2(=+++++z y xD ．22225)5()5()5(=-+-+-z y x(二) 填空题1．设32+-=，+=2，++-=，则与+是否平行__________．2．设}8,5,3{=，}7,4,2{--=，}4,1,5{-=，则-+34在x 轴上的投影_________________．3．化简：=⨯--⨯+++⨯++)()()(__________________．4．直线 ⎩⎨⎧=---=-+-01205235:z y x z y x l 和平面 07734:=-+-z y x π的___________位置关系． 5．过直线⎩⎨⎧=+-+=-+-025014z y x z y x 且与x 轴平行的平面方程___________________． 6．原点==+-k kz y x ，则，的距离为到平面262)0,0,0(_________________．7．与平面0522=+++z y x ，且与三个坐标面所构成的四面体体积为1的平面方程_____________________．8．动点到点（0,0,5）的距离等于它到x 轴的距离的曲面方程为________________．9．曲面方程：259916222=--z y x 则曲面名称为________________．10．曲线⎪⎩⎪⎨⎧-+-=--=2222)1()1(2y x z y x z 在y z 面上的投影方程______________． (三) 解答题1．设}0,1,1{},1,1,0{},1,1,1{===并令z y x ++=（x ,y ,z 为数量）求（1）；（2）当z y x ,,}3,2,1{时，=．2．求平行于}2,3,6{-=a 的单位向量．3．确定k 值，使三个平面：328,1423,23=--=++=+-z y x z y x z y kx 通过同一条直线．4．已知两个不平行的向量与，2=⋅1=4=，设)(3)(2Xa b b a c -⨯=，求（1）)(+⋅；（2；（3）的夹角余与弦．5．求以向量i k k j j i +++,,为棱的平行六面体的体积．6．垂直平分连接)3,5,2(),1,3,4(B A -的线段的平面方程．7．求与平面4362=+-z y x 平行平面，使点)8,2,3(为这两个平面公垂线中点．8．在平面02=--z y x 上找一点p 使它与点)3,1,2()1,3,4(),5,1,2(---及之间的距离相等．9．方程：0448422=-+-+y x y x 表示什么曲面？9．方程组⎩⎨⎧=-++=--++0122046222z y x y x z y x 图形是什么？若是一个圆，求出它的中心与半径．参考答案参考答案练习题1．（1）),,(c b a -；（2）),,(c b a --；（3）),,(c b a ---．2．51-==x x 或． 3．算出距离后，证明满足勾股定理 4．略5．++=+32； i 75732+--=- ．6． 13545或=γ． 7．225． 8．}13,4,11{4},18,8,11{32-=+-=-． 9．}5,2,7{3},12,10,9{52},1,2,1{--=+--=+=-． 10．单位向量为}31,32,32{-． 11．（1）7；（2）在x 轴的分向量i 13，在z 轴的分向量9-；（3）299=u ． 12．利用数量积运算法则． 13．9-=⋅； 70359arccos )(-=∧π． 14．x =4． 15．单位向量：)24(211k j i ++±． 16．1723=∆ABC S ． 17．(1)若a 与b 同向，则b a b a ⋅=⋅，若a 与b 反向，则b a b a ⋅-=⋅；（2）)cos(b a ∧．18．53±=k ． 19．3617+=++c b a ． 20．16=⋅b a ． 21．（1）46；（2）2-；（3）4838arccos )(-=∧πb a ． 22．23． 23．（1）3；（2）k j i 333--；（3）21．24．30±。

空间解析几何习题答案解析(可编辑修改word版)

(- 2 y - 5z )2+ (z + 2x )2+ (5x - y )2x 2 + y 2 + z 2 ⋅ 12 + 52 + (- 2)2 x 2 + y 2 + z 2 ⋅ 3010 5 ⎪一、计算题与证明题1．已知| a |= 1, | b |= 4 ,| c |= 5 , 并且 a + b + c = 0 ．计算 a ⨯ b + b ⨯ c + c ⨯ a ．解：因为| a |= 1, | b |= 4 , | c |= 5 , 并且 a + b + c = 0 所以 a 与b 同向，且 a + b 与c反向因此 a ⨯ b = 0 ， b ⨯ c = 0 ， c ⨯ a = 0 所以 a ⨯ b + b ⨯ c + c ⨯ a = 02．已知| a ⋅ b |= 3 , | a ⨯ b |= 4 , 求| a | ⋅ | b |．解： | a ⋅ b |= a ⋅ b cos= 3（1）| a ⨯ b |= a ⋅ b sin = 4(1)2 + (2)2 得(a ⋅ b )2= 25（2）所以a ⋅b = 54．已知向量 x 与 a (,1,5,-2) 共线, 且满足a ⋅ x= 3 , 求向量 x 的坐标．解：设 x 的坐标为(x , y , z )，又 a = (1,5,-2) 则 a ⋅ x = x + 5 y - 2z = 3 又 x 与 a 共线，则 x ⨯ a = 0即（1）i j kx yz = y 1 5 - 2 5 z i - x - 2 1 y j + x y k- 2 1 5= (- 2 y - 5z )i + (z + 2x ) j + (5x - y )k = 0所以 = 0即29x 2 + 5 y 2 + 26z 2 + 20 yz + 4xz - 10xy = 0 又 x 与 a 共线， x 与 a 夹角为0 或（2）cos 0 = 1 =x ⋅ a=3整理得x 2 + y 2 + z 2 = 310（3）联立(1)、(2)、(3) 解出向量 x 的坐标为⎛ 1 ⎝ , 1, 2 - 1 ⎫ ⎭a ⋅b a ⋅ b x 2 + y 2 + z 2 12 + 12 + 02 ⎩- ⎪ ⎪⎪6．已知点 A (3,8,7) , B (-1,2,-3) 求线段 AB 的中垂面的方程．解：因为 A (3,8,7) , B (-1,2,-3)AB 中垂面上的点到 A 、B 的距离相等，设动点坐标为 M (x , y , z ) ，则由 MA ==MB 得化简得2x + 3y + 5z - 27 = 0这就是线段 AB 的中垂面的方程。

空间解析几何习题答案

空间解析几何习题答案一、计算题与证明题1．已知|a|?1, |b|?4, |c|?5, 并且a?b?c?0．计算a?b?b?c?c?a．解：因为|a|?1, |b|?4, |c|?5, 并且a?b?c?0 所以a与b同向，且a?b与c反向因此a?b?0，b?c?0，c?a?0 所以a?b?b?c?c?a?0 2．已知|a?b|?3, |a?b|?4, 求|a|?|b|．解：|a?b|?a?bcos??3|a?b|?a?bsin??4 2(1)2??2?得?a?b??25 2所以a?b?5 4．已知向量x与a(,1,5,?2)共线, 且满足a?x?3, 求向量x的坐标．解：设x的坐标为?x,y,z?，又a??1,5,?2? 则a?x?x?5y?2z?3又x与a共线，则x?a?0 即??yzxyxyxyz?i?j?k5?21?215 15?2???2y?5z?i??z?2x?j??5x?y?k?0所以ijk??2y?5z?2??z?2x?2??5x?y?2222?0即29x?5y?26z?20yz?4xz?10xy?0又x与a共线，x与a夹角为0或?cos0?1?x?ax?y?z?1?5???2?222222222?3x ?y?z?30222 整理得x?y?z?3 10?2?、?3?解出向量x的坐标为?联立?1?、?111?,,?? 1025??6．已知点A(3,8,7), B(?1,2,?3)求线段AB的中垂面的方程．解：因为A?3,8,7?,B(?1,2,?3) AB中垂面上的点到A、B的距离相等，设动点坐标为M?x,y,z?，则MA?MB 得?x?3?2??y?8?2??z?7?2化简得2x?3y?5z?27?0 ??x?1?2??y?2?2??z? 3?2 这就是线段AB的中垂面的方程。

7．向量a, b, c具有相同的模, 且两两所成的角相等, 若a, b的坐标分别为(1,1,0)和(0,1,1), 求向量c的坐标．解：a?b?c?r且它们两两所成的角相等，设为? 则有a?b?1?0?1?1?0?1?1 则cos??a?b1?2 a?br设向量c的坐标为?x,y,z? 则a?c?1?x?1?y?0?z?x?y?a?bcos??r?r?1?1r2b?c?0?x?1?y?1?z?y?z?b?ccos??r?r?1?1r2c?x2?y2?z2?r?12?12?02?2 所以x?y?z?22221?x???3x?1??4??联立、、(3)求出?y?0或?y? 3?z?1??1?z???3?所以向量c 的坐标为?1,0,1?或??,,?? 8．已知点A(3,6,1), B(2,?4,1), C(0,?2,3), D(?2,0,?3)，(1) 求以AB, AC, AD为邻边组成的平行六面体的体积．(2) 求三棱锥A?BCD的体积．?14?331?3?(3) 求?BCD的面积．(4) 求点A到平面BCD的距离．解：因为A?3，0，1?，B?2,?4,1?,C?0,?2,3?,D??2,0,?3? 所以AB???1,?10,0? AC???3,?8,2? AD???5,?6,?4? AB,AC,AD是以它们为邻边的平行六面体的体积???1?10V??3?5?8?602??3?100?0 ??0?120?12??176 ?4立体几何中知道，四面体ABCD的体积1188VT?V??176? 663因为BC???2，2，2?，BD???4，4，?4? i BC?BD??2jk22??16i?16j?0k ?44?4 所以BC?BD?因此S?BCD???16?2???16?2?162，这是平行四边形BCED的面积11S□BCED??162?82 22(4)设点A到平面BCD的距离为H，立体几何使得三棱锥A?BCD的体积1VT?S?BCD?H 3所以H?3VTS?BCD883?11?112 ?28223?1．求经过点A(3,2,1)和B(?1,2,?3)且与坐标平面xOz垂直的平面的方程．解：与xoy 平面垂直的平面平行于y轴，方程为Ax?Cz?D?0(1) 把点A?3，2，1?和点B??1，2，?3?代入上式得3A?C?D?0(2) ?A?3C?D?0(3) DD，得A??,C? 22DDz?D?0代入得?x?22消去D得所求的平面方程为x?2?z?0 xyz??1距离相等的点的轨迹方程．2．求到两平面?:3x?y?2z?6?0和?:?2?51解；设动点为M?x,y,z?，点到平面的距离公式得3z?y?2z?63???1??2222??5x?2y?10z?10?? 5?2?2???10?22 所以3x?y?2z?6??14129??5x?2y?10z?10?3．已知原点到平面?的距离为120, 且?在三个坐标轴上的截距之比为?2:6:5, 求?的方程．解：设截距的比例系数为k，则该平面的截距式方程为xyz???1 ?2k6k5k 化成一般式为?15x?5y?6z?30k?0 又因点O?0,0,0?到平面?的距离为120，则有?30k??15?求出k??4286 2?5?622?120 所以，所求平面方程为?15x?5y?6z?120286?0 5．已知两平面?:mx?7y?6z?24?0与平面?:2x?3my?11z?19?0相互垂直，求m的值．解：两平面的法矢分别为n1??m,?1,?6?，n2??2,?3m,11?，n1⊥n2，得2m?21m?66?0 求出m??66 196．已知四点A(0,0,0), B(,2,?5,3), C(0,1,?2), D(2,0,7), 求三棱锥D?ABC中ABC。

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第七章空间解析几何与向量代数A一、1、平行于向量 a (6,7, 6) 的单位向量为______________.2、设已知两点M 1 (4, 2 ,1)和M 2(3,0,2) ，计算向量M1M2 的模，方向余弦和方向角.3、设m 3i 5j 8k ,n 2i 4j 7k , p 5i j 4k ，求向量 a 4m 3n p 在x 轴上的投影，及在y 轴上的分向量.二、1、设a3i j 2k ,b i 2j k ，求(1) a b及 a b；(2)( 2a) 3b及 a 2b (3) a、b的.夹角的余弦(3,1,3) ，求与 M1M 2,M 2 M 3 同时垂直的单位向量.2、知M 1(1, 1,2), M 2 (3,3,1), M3.3、设a (3,5, 2), b ( 2,1,4) ，问与满足 _________时， a b z轴三、1、以点(1,3,-2) 为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程x2 y 2 z 2 2x 4 y 2z 0 表示______________曲面.3、1) 将xOy 坐标面上的y2 2x 绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________ ，曲面名称为___________________.2) 将xOy 坐标面上的x2 y 2 2x 绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程_____________，曲面名称为___________________.3) 将xOy 坐标面上的4x2 9 y 2 36 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方程为 _____________，曲面名称为_____________________.4）在平面解析几何中y x2 表示 ____________ 图形。

在空间解析几何中y x 2表示______________图形.5）画出下列方程所表示的曲面(1) z2 4( x2 y 2 )(2) z 4( x2 y 2 )四、x 2 y 21在平面解析几何中表示1、指出方程组4 9 ____________图形，在空间解y 3析几何中表示 ______________图形 .2、求球面 x 2y 2z 29 与平面x 的交线在 xOy 面上的投影方程 .z 13、求上半球 0za 2x 2 y 2 与圆柱体 x 2 y 2 ax (a 0) 的公共部分在xOy 面及 xOz 面上的投影 . 五、1、求过点 (3,0,-1) 且与平面 3x-7y+5z-12=0 平行的平面方程 .2、求过点 (1,1,-1)，且平行于向量 a=(2,1,1)和 b=(1,-1,0) 的平面方程 .3、求平行于 xOz 面且过点 (2,-5,3) 的平面方程 .4、求平行于 x 轴且过两点 (4,0,-2) 和(5,1,7) 的平面方程 .六、1、求过点 (1,2,3)且平行于直线xy 3 z 1的直线方程 .21 52、求过点 (0,2,4)且与两平面 x2z 1 , y 3z 2 平行的直线方程 .3、求过点 (2,0,-3) 且与直线4、求过点 (3,1,-2)且通过直线x2 y 4z 7 03x 5 y 2z 1 垂直的平面方程 .x 4 y 3 z的平面方程 .521x y 3z 0 y z 1 0 的夹角 .5、求直线y z与平面 xx 06、求下列直线与直线、直线与平面的位置关系1) 直线2) 直线x 2y y z 7 与直线 x 1y 3 z ;2x z 7 2 1 1x2 y 2 z 3和平面 x+y+z=3.3 14 7、求点 (3,-1,2)x y z 1 0 的距离 .到直线2x y z 4B1、已知 a b c 0 （ a, b, c 为非零矢量），试证 : a b b c c a .2、 a b3, a b {1,1,1}, 求 (a, b) .3、已知和为两非零向量，问取何值时，向量模| a tb |最小？并证明此时 b (a tb) .4、求单位向量，使n a 且 n x 轴，其中 a (3,6,8) .5、求过轴，且与平面 2xy5z 0 的夹角为的平面方程 .36、求过点 M 1 (4,1,2) ， M 2 (3,5, 1) ，且垂直于 6x 2y 3z 7 0的平面 .7、求过直线x 2y z 1 0x y z平行的平面 .2x y z 2 ，且与直线：1 128、求在平面 : xy z 1上，且与直线 y 1L ：垂直相交的直线方程 .z19、设质量为 100kg 的物体从空间点 M 1 (3,1,8) ，移动到点 M 2 (1,4,2) ，计算重力所做的功（长度单位为） .10、求曲线y 2 z 2 2x在 xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲z 3 线？11、已知 OA i 3k , OB j 3k ，求 OAB 的面积12、 . 求直线2x 4 y z 0y z 1上的投影直线方程 .3x y 2z 9在平面 4xC1、设向量 a, b, c 有相同起点 , 且 a bc 0 ，其中0 ， , ,不全为零 ,证明 : a, b,c 终点共线 .2、求过点 M 0 (1,2, 1) ，且与直线：x2 y 12相交成角的直线方程 .2 1 1 33、过 ( 1,0,4) 且平行于平面 3x 4 yz 10 0 又与直线x 1y 3z相交的直线方112程 .4、求两直线：x1 y z与直线：xyz 2的最短距离 .0 1163 05、柱面的准线是xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量 g {1,1,1} ，求此柱面方程 .6、设向量 a,b 非零， b2, (a,b)，求 lima xbax.3xx 2 y 7、求直线 L :z1( y 1) 绕 y 轴旋转一周所围成曲面方程 .2第七章空间解析几何与向量代数习题答案A一、 1、6,7,611 11 112、M 1M 2=2, cos1, cos2,cos1 ,2 ,3 ,3222343、在 x 轴上的投影为 13，在 y 轴上的分量为 7j 二、 1、 1） a b 3 1 ( 1) 2 ( 2) ( 1) 3ij k a b 3125ij 7k1 21（ 2） ( 2a) 3b6(a b) 18 ， a 2b2( ab) 10i2 j 14k^ a b 3（ 3） cos(a, b)a b2 212、 M 1M 2{ 2,4, 1}, M 2M 3{ 0, 2,2}i j ka M 1M 2M 2M 3 2 41 6i 4 j 4k0 2 2a 6, 4, 4a{17 17 }2 2 2 17即为所求单位向量。

空间解析几何例题

第4章向量代数与空间解析几何习题解答习题4.1一、计算题与证明题1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ．计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯．解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向因此0=⨯b a ，0=⨯c b ，0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a , 求||||b a ⋅．解：3cos ||=⋅=⋅θb a b a （1）4sin ||=⋅=⨯θb a b a （2）()222)1(+得()252=⋅b a所以 5=⋅b a3．设力k j i F 532++-=作用在点)1,6,3(A , 求力F 对点)2,7,1(,-B 的力矩的大小．解：因为()1,6,3A ,()2,7,1-B 所以()31,2--=AB力矩()()k j i k j i F AB M 53232++-⨯-+-=⨯=kj i kj i kj i 41614321252325331532312-+=--+-----=---=所以，力矩的大小为()13641614222=-++=M4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=⋅x a ρρ, 求向量x 的坐标．解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a则325=-+=⋅z y x x a （1）又x 与a 共线，则0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y ky x j y x i z y z yx kj i所以()()()05252222=-+++--y x x z z y即010*********22=-++++xy xz yz z y x （2）又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax整理得 103222=++z y x （3）联立()()()321、、解出向量x 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,101 5．用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平分, 则该四边形为平行四边形．证明：如图所示，因为平行四边形ABCD 的对角线互相平分，则有MA CN ND BM ==,由矢量合成的三角形法则有MA BM BA +=MA BM BM MA MD CM CD +=+=+=所以CD BA =即BA 平行且等于CD四边形ABCD 是平行四边形6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程．解：因为()7,8,3A ,)3,2,1(--BAB 中垂面上的点到B A 、的距离相等，设动点坐标为()z y x M ,,，则由MB MA =得()()()()()()222222321783++-++=-+-+-z y x z y x化简得027532=-++z y x这就是线段AB 的中垂面的方程。

空间解析几何答案word

空间解析⼏何答案word第⼋章空间解析⼏何与向量代数§8.1向量及其线性运算 1.填空题（1）点)1,1,1(关于xoy ⾯对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz ⾯对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz ⾯对称的点为（)1,1,1(-）.（2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）.2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、⽅向余弦和⽅向⾓.解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21=M M ，⽅向余弦为22cos =α，22cos =β，0cos =γ，⽅向⾓为4πα=，4πβ=， 2πγ=. 3. 在yoz 平⾯上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ，即-+-+=-+-+-+=-+222222)3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得==33y z ，则该点为)3,3,0(.4. 求平⾏于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式.解：所求的向量有两个，⼀个与a 同向，⼀个与a 反向. 因为29)4(32||222=-++=a ，所以)432(291k j i e a -+±=.5.设k j i m 22-+=，k j i n ++=2，求向量n m a +=4在各坐标轴上的投影及分向量.解：因为k j i k j i k j i n m a 796)2()22(44-+=+++-+=+=，所以在x 轴上的投影为6=x a ，分向量为i i a x 6=，y 轴上的投影为9=y a ，分向量为j j a y 9=，z 轴上的投影为7-=z a ，分向量为k k a z 7-=.6. 在yOz 平⾯上，求与)1,2,1(A 、)0,1,2(B 和)1,1,1(-C 等距离的点.解：设所求的点为),,0(z y P ，由||||||CM BM AM ==可得-+++=+-++-+=-+-+222222222222)y z y ，解之得21=y ，0=z 故所求的点为)0,21,0(.7. 已知点)6,2,1(-B 且向量AB 在x 轴、y 轴和z 轴上的投影分别为1,4,4-，求点A 的坐标.解：设点A 的坐标为),,(z y x ，由题意可知)1,4,4()6,2,1(-=----z y x ，则5,6,5=-==z y x ，即点A 的坐标为)5,6,5(-.8.试⽤向量法证明：三⾓形各边依次以同⽐分之，则三个分点所成的三⾓形必与原三⾓形有相同的重⼼.证明：若),,(111z y x A 、),,(222z y x B 、),,(333z y x C 是⼀个FGH ?的三个顶点，设三⾓形的重⼼为E，则),,(31)(31321321321z z z y y y x x x C B A E ++++++=++=设ABC ?的同⽐nm之分点分别为F 、G 、H ，分点的坐标为),,(212121mn mz nz m n my ny m n mx nx F ++++++),,(323232m n mz nz m n my ny m n mx nx G ++++++),,(31313mn mz nz m n my ny m n mx nx H ++++++则三⾓形FGH ?的重⼼为,()(31133221mn mx nx m n mx nx m n mx nx H G F ++++++++=++),133221133221mn mz nz m n mz nz m n mz nz m n my ny m n my ny m n my ny ++++++++++++++++),,(31321321321z z z y y y x x x ++++++=. 所以三个分点所成的三⾓形必与原三⾓形有相同的重⼼. §8.2 数量积向量积 1.若3 ),(,4||,3||π===Λb a b a ，求b ac 23-=的模.解：b b b a a b a a b a b a c 22233233)23()23(||2+--=--=73443cos431239||412||92222=?+-?=+?-=πb b a a所以73||=c .2.已知||||b a b a -=+，证明：0=?b a .证明：由||||b a b a -=+，可得22||||b a b a -=+，可知)()()()(b a b a b a b a -?-=+?+，展开可得b a b a b a b a ?-+=?++2||||2||||2222，即04=?b a ，故0=?b a .3.已知20||,18||,10||=+==b a b a ，求||b a -. 解：因为b a b a b a b a b a b a ?++=?++=+?+=+=23241002||||)()(||4002227824324100=++=.4.已知)4,2,1(=a ，)3,3,3(-=b ，求a 与b 的夹⾓及a 在b 上的投影. 解：934)3(231=?+-?+?=?b a ，7799916419cos =++?++=θ，77arccos=θ. 因为a jb b a b Pr ||=?，所以3339Pr ==a jb .5.已知a ,b ,c 为单位向量，且满⾜0=++c b a ，计算a c c b b a ?+?+?. 解：因为0)()(=++?++c b a c b a ，所以0222||||||222=?+?+?+++a c c b b a c b a ，⽽1||||||222===c b a ，所以23-=?+?+?a c c b b a . 6.求与k j i b k j i a 32,2-+=++=都垂直的单位向量.解：kj i k j i kji b a c 357122132113112312121-+-=+---=-=?=⽽83)3(5)7(||222=-++-==c e .7.设)(8,186,5b a CD b a BC b a AB -=+-=+=，试证A 、B 、D 三点共线.证明：只需证明//.因为AB b a b a CD BC BD 2)5(2102=+=+=+=，所以BD AB //. 8.已知)3,2,1(-=a ，=b )0,,2(m ，)9,3,9(-=c（1）确定m 的值，使得b a +与c 平⾏. （2）确定m 的值，使得b a -与c 垂直.解：（1）要使b a +与c 平⾏，只需0=?+c b a )(，因为b a +)3,2,3(-=m ，⽽c b a ?+)()99,0,99(32m m m --=--=，所以当1=m 时b a +与c 平⾏.（2）要使b a -与c 垂直，只需0)(=?-c b a ，因为b a -)3,2,1(---=m ，⽽c b a ?-)(24327639)9,3,9()3,2,1(+=+++-=-?---=m m m ，所以当8-=m 时，b a -与c 垂直. §8.3 曲⾯及其⽅程 1.填空题（1）将xOz 坐标⾯上的抛物线x z 42=绕x 轴旋转⼀周，所⽣成的旋转曲⾯的⽅程为（x y z 422=+），绕z 轴旋转⼀周，所⽣成的旋转曲⾯的⽅程为（2224y x z +=）.（2）以点)2,3,2(-为球⼼，且通过坐标原点的球⾯⽅程为（17)2()3()2(222=-+++-z y x ）.（3）将xOy 坐标⾯的圆422=+y x 绕x 轴旋转⼀周，所⽣成的旋转曲⾯的⽅程为（4222.求与点)1,2,1(A 与点)2,0,1(B 之⽐为2:1的动点的轨迹，并注明它是什么曲⾯.解：设动点为),,(z y x P ，由于2:1||:||=PB PA ，所以222222)2()0()1()1()2()1(2-+-+-=-+-+-z y x z y x ，解之，可得194166333222=+---++z y x z y x ，即920)32()38()1(222=-+-+-z y x ，所以所求的动点的轨迹为以点)32,38,1(为⼼，半径为352的球⾯. 3.求与点)3,1,2(和点)4,2,4(等距离的动点的轨迹.解：设动点为),,(z y x P ，由题意知222222)4()2()4()3()1()2(-+-+-=-+-+-z y x z y x ，整理得0112=-++z y x .4. 写出下列曲⾯的名称，并画出相应的图形. （1）259916222-=--z y x . 解：该曲⾯为单叶双曲⾯. （2）259916222=--z y x . 解：该曲⾯为双叶双曲⾯.（3）1254222=++z y x . 解：该曲⾯为旋转椭球⾯. （4）x y x 922=-. 解：该曲⾯为双曲柱⾯. （5）x z y 922=+. 解：该曲⾯为椭圆抛物⾯.（6）0)3()2()1(4222§8.4 空间曲线及其⽅程 1. 填空题（1）⼆元⼀次⽅程组?-=+=3412x y x y 在平⾯解析⼏何中表⽰的图形是（两相交直线的交点)5,2(）；它在空间解析⼏何中表⽰的图形是（两平⾯的交线，平⾏于z 轴且过点)0,5,2(）.（2）旋转抛物⾯)20(22≤≤+=z y x z 在xOy ⾯上的投影为（=+=222z y x z ），在xOz ⾯上的投影为（22≤≤z x ），在yOz ⾯上的投影为（22≤≤z y ）.2.求球⾯4222=++z y x 与平⾯1=+z x 的交线在xOy ⾯上的投影⽅程.解：将x z -=1代⼊4222=++z y x ，得4)1(222=-++x y x ，因此投影⽅程为??=+-=322022y x x z .3.分别求母线平⾏于x 轴、y 轴及z 轴且通过曲线=+-=++0242222222z y x z y x 的柱⾯⽅程.解：在=+-=++022z y x z y x 中消去x 得4322=-z y ，即为母线平⾏于x 轴且通过曲线的柱⾯⽅程.在=+-=++0242222222z y x z y x 中消去y 得45322=+z x ，即为母线平⾏于y 轴且通过曲线的柱⾯⽅程.在=+-=++0242222222z y x z y x 中消去z 得8522=+y x ，即为母线平⾏于z 轴且通过曲线的柱⾯⽅程.4.将下列曲线的⼀般⽅程化为参数⽅程：（1）-==++-14)1(222x y z y x .解：将1-=x y 代⼊4)1(222=++-z y x 得4)1(222=+-z x ，即14)2()1(222=+-z x . 令θcos 21=-x ，θsin 2=z ，所求的参数⽅程为==+=θθθsin 2cos 2cos 21z y x . （2）=+=++4922222z x z y x .解：做变换??==θθsin 2cos 2z x ，将其带⼊⽅程9222=++z y x ，即得52=y .所以参数⽅程为??sin 25cos 2z y x （πθ20≤≤）.5.求螺旋线??===θθθ3sin 2cos 2z y x 在三个坐标⾯上的投影曲线的直⾓坐标⽅程.解：螺旋线在xOy ⾯上的投影为===0sin 2cos 2z y x θθ，直⾓坐标⽅程为??==+0422z y x . 螺旋线在yOz ⾯上的投影为===03sin 2x z y θθ，直⾓坐标⽅程为==03sin 2x z y . 螺旋线在zOx ⾯上的投影为===03cos 2y z x θθ，直⾓坐标⽅程为==03cos 2y z x . 6.画出下列⽅程所表⽰的曲线：（1）?==++1164222z z y x .（2）=-+=+1)2(2222y x y z x . （3）??==-4116422y z x .§8.5 平⾯及其⽅程 1. 填空题（1）⼀平⾯过点)4,1,1(-且平⾏于向量)1,1,2(-=a 和)1,0,1(=b ，平⾯的点法式⽅程为（0)4()1(3)1(=+----z y x ）,平⾯的⼀般⽅程为（023=---z y x ）,平⾯的截距式⽅程（12)1,3,1(1111-）. （2）设直线L 的⽅程为??=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A ，当（021==D D ）时，直线L 过原点；当（021==A A ）且（01≠D 或02≠D 有⼀个成⽴）时，直线L 平⾏于x 轴但不与x 轴相交；当（2121D D B B =）时，直线L 与y 轴相交；当（02121====D D C C ）时，直线L 与z 轴重合. 2.求过三点)1,1,1(-，)3,1,3(-和)2,1,0(的平⾯⽅程. 解：由平⾯的三点式⽅程知，所求的平⾯⽅程为131313121212111z z y y x x z z y y x x z z y y x x ---------121110131113111-+---+--+-=z y x121422111---+-=z y x =0，即0735=-++z y x . 3.求过点)1,1,1(-且垂直于两平⾯02=-+z y x 和052=+-z y x 的平⾯⽅程.解：该平⾯的法向量为k j i kj i 37521211--=--，平⾯的⽅程为0)1(3)1(7)1(=--+--z y x ，即0537=---z y x .4.求点)1,2,1(到平⾯01022=-++z y x 的距离.解：点),,(0000z y x P =到平⾯0=+++D Cz By Ax 的距离公式是222000||CB A D Cz By ax d +++++=，因此点)1,2,1(到平⾯01022=-++z y x 的距离为1221|d .5.求平⾯052=-+-z y x 与各坐标⾯的夹⾓的余弦.解：所给平⾯的法向量为)1,2,1(-=n ，设该平⾯与xOy ⾯、yOz ⾯和zOx⾯的夹⾓为z θ、x θ和y θ，于是=z θcos ||||n k n ?611)2(1|110201|222=+-+?+?-?=， =x θcos ||||n i n ?611)2(1|010211|222=+-+?+?-?=， =y θcos ||||n j n ?621)2(1|011201|222=+-+?+?-?=. 6.求过点)5,4,1(-且在三个坐标轴上的截距相等的平⾯的⽅程. 解：设所求平⾯的⽅程为1=++aya y a x ，由于点)5,4,1(-在平⾯上，则1541=+-+aa a ，2=a ，所求⽅程为02=-++z y x . 7.分别按下列条件求平⾯⽅程：（1）平⾏于yOz 平⾯且经过点)2,3,2(--；（2）通过y 轴和点)1,1,2(-；（3）求平⾏于x 轴，且经过两点)2,1,2(-和)1,0,4(-的平⾯⽅程.解：（1）yOz 平⾯的法向量是)0,0,1(=n ，可作为所求平⾯的法向量，因。

习题解答

高等数学课件与自学复习讲义第七章空间解析几何向量代数§1 空间直角坐标系一、空间直角坐标系问在yz 平面上的点有什么特点？答：x 坐标为0 二、两点间的距离公式1. 求P 1(1, -1, 0), P 2(-1, 2, 3)之间的距离解：22)03())1(2()11(P P 22221=-+--+--=2. 在xy 上找一点，使它的x 坐标为1，且与点(1, -2, 2)和点(2, -1, -4)等距解：由题意设此点的坐标为（1, y, 0）得方程z ,5y 18y 2y 8y 4y )z 4()y 1()12()z 2()y 2()11(22222222==++=++--+--+-=-+--+-所以此点坐标为（1， 5， 0）§2 曲面曲线的方程一、坐标面的方程，与坐标面平行的平面方程 1. 下面方程各代表什么曲面？（1）x=b: 过点（b, 0, 0）且平行于yz 平面的方程（2）y=0: xz 平面（3）y=c: 过点（0, c, 0）且平行于xz 平面的方程二、球心在点P 0(x 0, y 0, z 0)，半径为R 的圆 1. 方程x 2+y 2+z 2-2x+2y-z+3=0是否表示球面？解：方程配方得43)21z ()1y ()1x (222-=-+++-无实数解，因而不表示球面。

2. 若方程x 2+y 2+z 2-4x+y=0是球面，求球心与半径解：方程配方得2222)217(417z )21y ()2x (==+++-，所以方程球心为（2, 21, 0）, 半径为2173. 求出下列方程所表示的球面的球心坐标与半径，x 2+y 2+z 2+4x-2y+z+45=0解：配方得222224)21z ()1y ()2x (==++-++，所以方程球心为（-2, 1, -21），半径为2三、柱面方程 1. 做方程y=x 2的图形解：此题为抛物柱面，缺z2. 方程14z y 22=+表示什么曲面？（测验题）解：平行于x 轴椭圆柱面3. 下列方程表示什么曲面，并作图. x 2+y 2=2x 解：配方得 (x-1)2+y 2=1即圆心在（1, 0, 0）点上的圆柱面4. y 2=1解：y=±1,相互平行的平面5. x 2+y 2+z 2=0 解：原点O 四、空间曲线的方程1. 问⎩⎨⎧==+az R y x 222表示什么曲线？解：x 2+y 2=R 2表示圆柱面，它的母线平行于z 轴，而z=a 表示平行于xy 坐标面的平面，因而它们的交线是圆。

空间解析几何答案

空间解析几何复习题（答案）1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ．计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯．解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向因此0=⨯b a ，0=⨯c b ，0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a , 求||||b a ⋅．解：3cos ||=⋅=⋅θb a b a （1）4sin ||=⋅=⨯θb a b a （2）()222)1(+得()252=⋅b a所以 5=⋅b a3．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=⋅x a, 求向量x 的坐标．解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a则325=-+=⋅z y x x a （1）又x 与a 共线，则0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y kyx j y x i z y z y x kj i所以()()()05252222=-+++--y x x z z y即010*********22=-++++xy xz yz z y x （2）又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax整理得 103222=++z y x （3）联立()()()321、、解出向量x 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,101 4．向量a , b , c 具有相同的模, 且两两所成的角相等, 若a , b 的坐标分别为)1,1,0()0,1,1(和, 求向量c 的坐标．解：r c b a ===且它们两两所成的角相等，设为θ 则有1101101=⨯+⨯+⨯=⋅b a 则21cos rb a b a =⋅⋅=θ 设向量c 的坐标为()z y x ,,则11cos 0112=⋅⋅=⋅=+=⋅+⋅+⋅=⋅rr r b a y x z y x c a ϑ （1） 11cos 1102=⋅⋅=⋅=+=⋅+⋅+⋅=⋅r r r c b z y z y x c b ϑ （2） 2011222222=++==++=r z y x c所以2222=++z y x （3）联立（1）、（2）、(3)求出⎪⎩⎪⎨⎧===101z y x 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==-=313431z y x所以向量c 的坐标为()1,0,1或⎪⎭⎫ ⎝⎛--31,34,315．已知点)1,6,3(A , )1,4,2(-B , )3,2,0(-C , )3,0,2(--D ， (1)求以AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2) 求三棱锥BCD A -的体积． (3) 求BCD ∆的面积．(4) 求点A 到平面BCD 的距离．解：因为()103，，A ，()1,4,2-B ,()3,2,0-C ,()3,0,2--D 所以()0,10,1--=()2,8,3--=AC()4,6,5---=（1）(),,是以它们为邻边的平行六面体的体积()17612120001003465283101=+--++---------=V （2）由立体几何中知道，四面体ABCD （三棱锥BCD A -）的体积3881766161=⨯==V V T（3）因为()222，，-=，()444--=，，k j i kj iBD BC 01616444222+--=---=⨯()()216161622=-+-=，这是平行四边形BCED 的面积因此S S BCD 21=∆□BCED 2821621=⨯= (4)设点A 到平面BCD 的距离为H ，由立体几何使得三棱锥BCD A -的体积H S V BCD T ⋅=∆31所以22112112838833==⋅==∆BCDT S V H 6．求经过点)1,2,3(A 和)3,2,1(--B 且与坐标平面xOz 垂直的平面的方程．解：与xoy 平面垂直的平面平行于y 轴，方程为0=++D Cz Ax (1)把点()123，，A 和点()321--，，B 代入上式得03=++D C A (2)03=+--D C A (3)由（2），（3）得2D A -=,2DC =代入（1）得022=++-D z Dx D 消去D 得所求的平面方程为02=--z x7．求到两平面0623:=-+-z y x α和1152:=+-+z y x β距离相等的点的轨迹方程．解；设动点为()z y x M ,,，由点到平面的距离公式得()()()2222221025101025213623-++-+-+-=+-+-+-z y x z y z所以()10102512914623+-+-±=-+-z y x z y x8．已知原点到平面α的距离为120, 且α在三个坐标轴上的截距之比为5:6:2-, 求α 的方程．解：设截距的比例系数为k ，则该平面的截距式方程为1562=++-kz k y k x 化成一般式为0306515=-++-k z y x 又因点()0,0,0O 到平面α的距离为120，则有()120651530222=++--k求出2864±=k所以，所求平面方程为028********=±++-z y x9．若点)1,0,2(-A 在平面α上的投影为)1,5,2(-B , 求平面α的方程．解：依题意，设平面的法矢为()2,5,4-=n 代入平面的点法式方程为()()()0125524=----+z y x整理得所求平面方程为035254=+--z y x10．已知两平面02467:=--+z y mx α与平面0191132:=-+-z my x β相互垂直，求m 的值．解：两平面的法矢分别为()6,1,1--=m n ，()11,3,22m n -=，由1n ⊥2n ，得066212=--m m求出1966-=m 11．已知四点)0,0,0(A , )3,5,2(,-B , )2,1,0(-C , )7,0,2(D , 求三棱锥ABC D -中ABC面上的高．解：已知四点()()()()7,0,2,2,1,0,3,5,2,0,0,0D C B A --,则()()()9,1,2,4,5,0,7,0,2--=--=--=DC DB DA为邻边构成的平行六面体的体积为()912450702,,-------==V()[]80700090++--++-=()87090-+-=28=由立体几何可知，三棱锥ABC D -的体积为314286161=⨯==-V V ABC D设D 到平面ABC 的高为H则有 ABC ABC D S H V ∆-⋅=31所以 ABCABCD S V H ∆-=3又()()2,1,0,3,5,2-==k j i kj i 24721352++=--=⨯所以，692124721222=++==∆S ABC 因此，696928692869213143==⨯=H 12．已知点A 在z 轴上且到平面014724:=+--z y x α的距离为7, 求点A 的坐标．解：A 在z 轴上，故设A 的坐标为()200，，，由点到平面的距离公式，得()()7724147222=-+-++-z所以69147±=+-z 则692±=z那么A 点的坐标为()692,0,0±A13．已知点．A 在z 轴上且到点)1,2,0(-B 与到平面9326:=+-z y x α的距离相等, 求点A 的坐标。

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