创优课堂秋数学人教B必修1练习：模块综合检测 含解析
数学人教B版必修一 模块综合测试(B卷) Word版含解析
测试八模块综合测试（卷）【说明】本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共分，考试时间分钟.第Ⅰ卷（选择题共分）一、选择题(本大题共小题,每小题分，共分).已知集合{，}{<∈},若∩≠，则等于或答案：解析：将中元素代入中验证.∵∩≠,且,∴∈∈<,解得或..已知集合{},集合,且∈∩∩,则满足上述条件的集合的个数为答案：解析：由题意知∈，.集合有两种构成形式，一是只含有元素,二是含有,且含有中的部分或全部元素，共个..已知函数（）的定义域是［，］，则函数（）的定义域是.（，∞）.（，）.［，］.［，］答案：解析：∵函数()的定义域是［，］，∴≤≤.∴≤≤.∴≤≤.∴≤≤..（创新题）已知集合{}{}，定义集合※{()∈∈},则集合※中属于集合{()∈}的元素的个数是答案：解析：※{(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),()}.其中属于集合{()∈}的元素有（，），（，），（，），（，），共个..函数()是（∞∞）上的增函数，若对于∈都有()()≥()()成立，则必有≥≤≥≤答案：解析：由可知≥≥.∵函数()是（∞∞）上的增函数，∴()≥()()≥().∴()()≥()()..函数()的反函数为(),则()的单调递增区间为.（∞）.().(∞).()答案：解析：()()().由>,得<<.设,则().当∈()时，随增大，增大，从而()增大，所以()的单调递增区间为（，）..联通公司拟定从甲地到乙地通话分钟的通话费为()*(*［］),其中>,“*”表示乘以,［］表示不小于的最小整数.若某人从甲地到乙地的通话费为元，那么他的通话时间是.至多分钟.超过分钟，但小于分钟.至少分钟，但小于分钟.至少分钟答案：解析：由题意分析,得×［×［］］×［］［］,即［］，即有≤<，即至少通话分钟，但小于分钟.故选..函数()(∈)的图象如图所示，则函数()()(<<)的单调减区间是.［，］.（∞）∪［∞).［］.［］答案：解析：由题图，可知在（∞）和（，∞）上()均是减函数，在［，］上()是增函数.又∵<<,∴是减函数.利用复合函数的单调性，可知满足不等式≤≤的的值即为单调减区间，即减区间为［］..方程的解所在的区间是.().().().()答案：解析：令(),由于()()<，故函数在（，）内必存在零点，即方程在该区间内有根..若∈()，则下列结论正确的是>>>>.>>>>答案：解析：由于∈(),则∈()<,∈(),显然有>>..函数()的图象是。
数学人教B版1模块综合测评含解析
数学人教B 必修1模块综合测评(时间：120分钟 满分：150分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与函数f (x ）＝｜x ｜是同一个函数的是( ）A ．2y x=B ．2x y x=C ．y ＝e ln xD ．y ＝log 33x2．若2()|21y A x y x -⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭，，B ＝{(x ，y ）｜y ＝ax －3｝，若A ∩B ＝，则实数a 的取值是（ ） A ．2 B ．－5 C ．2或－5 D ．13．定义域为R 的函数y ＝f （x )的值域为［a ，b ],则函数y ＝f (x ＋a ）的值域为（ ）A ．[2a ，a ＋b ]B ．［0，b －a ]C ．［a ，b ］D ．[－a ，a ＋b ]4．已知偶函数f (x )在区间［0，＋∞)上单调增加，则满足f （2x－1)＜13f ⎛⎫⎪⎝⎭的x 的取值范围是（ )A ．1233⎛⎫⎪⎝⎭， B ．1233⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．1223⎛⎫⎪⎝⎭，D ．1223⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 5．定义域为R 的二次函数f (x )，其对称轴为y 轴，且它在(0，＋∞)上是减函数，则下列不等式中成立的是( ）A ．34f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞f （a 2－a ＋1) B ．34f ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥f (a 2－a ＋1) C ．34f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＜f （a 2－a ＋1） D ．34f ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤f (a 2－a ＋1)6．(2011·湖北荆州中学高一期末）函数12log (1)(1)xy x x =++-的定义域是( ）A ．（－1,0)B ．（－1,1）C ．（0，1）D ．(0,1] 7．已知集合A ＝｛0,2，a ｝，B ＝{1，a 2｝．若A ∪B ＝｛0,1，2,4，16｝，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4 8．（2011·山东日照高一期末)计算3log 213lg lg 52+-的结果为（ ）A ．2B ．1C ．3D ．－19．若函数y ＝ax 与b y x=-在(0,＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx在(0,＋∞）上是（ )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增10．若函数y ＝f (x ）是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点a ），则f （x )＝( ）A ．log 2xB ．12log xC ．12xD ．x 211．幂函数y ＝x 2，y ＝x －1，13y x =,12y x -=在第一象限内的图象依次是图中的曲线( ）A ．C 2,C 1，C 3，C 4B ．C 4，C 1,C 3，C 2 C ．C 3，C 2，C 1,C 4D ．C 1,C 4，C 2，C 312．函数f （x ）,f (x ＋2）均为偶函数，且当x ∈[0，2]时，f (x )是减函数，设81log2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，b ＝f （7。
高中数学人教B版必修1章末综合测评1 Word版含解析
章末综合测评(一) 集合(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).若集合＝{∈＋＋＝}中只有一个元素，则＝( )或【解析】由＋＋＝只有一个实数解，可得当＝时，方程无实数解；当≠时，则Δ＝－＝，解得＝(＝不合题意舍去).【答案】.集合＝{∈－≤<}用列举法可表示为( ).{－} .{}.{－，－} .{－}【解析】＝{∈－≤<}＝{－，－}.【答案】.若集合＝{}，＝{}，则∩的子集个数为( )【解析】∩＝{}，故∩的子集有个.【答案】.下面说法中正确的个数是( )①集合＋中最小的数是；②若－∉＋，则∈＋；③若∈＋，∈＋，则＋的最小值是；④＋＝的解集是由“”组成的集合.【解析】＋是正整数集，最小的正整数是，故①正确；当＝时，－∉＋，且∉＋，故②错；若∈＋，则的最小值是，又∈＋，的最小值也是，当和都取最小值时，＋取最小值，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的，故①③正确.【答案】.已知集合＝{，－}，＝{＝，，∈}，则集合与集合的关系是( )＝.以上都不正确【解析】由于＝{，－}，＝{＝，，∈}＝{，－}，故有＝.【答案】.下面给出的几个关系中：①{∅}⊆{，}；②{(，)}＝{，}；③{，}⊆{，}；④∅⊆{}.正确的是( ).①③.②③.③④.②④【解析】显然①②错误；因为{，}＝{，}，所以③正确；又空集是任何集合的子集，④正确.【答案】.已知全集＝∪中有个元素，(∁)∪(∁)中有个元素.若∩是非空集合，则∩的元素个数为( )＋－－【解析】画出图，如图.∵＝∪中有个元素，(∁)∪(∁)＝∁(∩)中有个元素，∴∩中有－个元素.【答案】.如图，为全集，，，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )。
高中数学 模块综合测评1(含解析)新人教B版选择性必修第一册-新人教B版高二选择性必修第一册数学试题
模块综合测评(一)(满分：150分 时间：120分钟)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( )A ．1B ．15 C ．35D ．75D [因为k a ＋b ＝(k －1，k,2)，2a －b ＝(3,2，－2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，所以(k a ＋b )·(2a －b )＝3(k －1)＋2k －4＝0⇒k ＝75．]2．已知四面体ABCD 的所有棱长都是2，点E 、F 分别是AD 、DC 的中点，则EF →·BA →＝( )A ．1B ．－1C ． 3D ．－ 3B [如图所示，EF →＝12AC →，所以EF →·BA →＝12AC →·(－AB →)＝－12×2×2cos 60°＝－1，故选B ．]3．若A (－2,3)，B (3，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 三点共线，则m 的值为()A ．12B ．－12C ．－2D ．2 A [由－2－33－(－2)＝m ＋212－3，得m ＝12．]4．若P (2，－1)为圆C ：(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是()A ．2x －y －5＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x －y －3＝0D [圆心C (1,0)，k PC ＝0－(－1)1－2＝－1，则k AB ＝1，AB 的方程为y ＋1＝x －2， 即x －y －3＝0，故选D ．]5．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A ．316B ．38C ．163D ．83A [抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)， 故双曲线的一个焦点是(1,0)， 所以m ＋n ＝1，且1m＝2， 解得m ＝14，n ＝34， 故mn ＝316．]6．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为 ( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8xB [由题可知抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4，令x ＝0，可得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，所以S △OAF ＝12×|a |4×|a |2＝4，得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x ．]7．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )A ．64B ．63C ．26D ．23 A [如图所示：∵B 1B ⊥平面ABCD ，∴∠BCB 1是B 1C 与底面所成角， ∴∠BCB 1＝60°． ∵C 1C ⊥底面ABCD ，∴∠CDC 1是C 1D 与底面所成的角， ∴∠CDC 1＝45°．连接A 1D ，A 1C 1，则A 1D ∥B 1C ．∴∠A 1DC 1或其补角为异面直线B 1C 与C 1D 所成的角． 不妨设BC ＝1，则CB 1＝DA 1＝2， BB 1＝CC 1＝3＝CD ， ∴C 1D ＝6，A 1C 1＝2．在等腰△A 1C 1D 中，cos ∠A 1DC 1＝12C 1D A 1D ＝64．]8．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则点A 1到平面MBD 的距离是 ( )A ．6a 6B ．3a 6C ．3a 4D ．6a 3A [建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，0，a 2，B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )， ∴DM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，0，a 2，DB →＝(a ，a,0)，DA 1→＝(a,0，a )． 设平面MBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ax ＋a2z ＝0，ax ＋ay ＝0，令x ＝1，则可得n ＝(1，－1，－2)．∴d ＝|DA 1→·n ||n |＝|a －2a |6＝66a ．]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得分5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．若A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，下面结论中正确的是( ) A ．AB ∥CD B ．AB ⊥AD C ．|AC |＝|BD |D ．AC ⊥BDABCD[k AB＝－4－26＋4＝－35，k CD＝12－62－12＝－35．且C不在直线AB上，∴AB∥CD，故A正确；又因为k AD＝12－22＋4＝53，∴k AB·k AD＝－1，∴AB⊥AD，故B正确；∵|AC|＝(6－2)2＋(12＋4)2＝417，|BD|＝(2－6)2＋(12＋4)2＝417，∴|AC|＝|BD|．故C正确；又k AC＝6－212＋4＝14，k BD＝12＋42－6＝－4．∴k AC·k BD＝－1，∴AC⊥BD，故D正确．]10．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0．若直线y＝k(x ＋1)上存在一点P，使过P点所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是()A．1B．2C．3D．4AB[圆C的方程为x2＋y2－4x＝0，则圆心为C(2,0)，半径R＝2．设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形P ACB为正方形，故有PC＝2 R＝22，∴圆心到直线y＝k(x＋1)的距离小于或等于PC＝22，即|2k－0＋k|k2＋1≤22，解得k2≤8，可得－22≤k≤22，∴结合选项，实数k的取值可以是1,2．]11．设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，|F A |为半径的圆交l 于B ，D 两点．若∠ABD ＝90°，且△ABF 的面积为93，则( )A ．|BF |＝3B ．△ABF 是等边三角形C ．点F 到准线的距离为3D ．抛物线C 的方程为y 2＝6xBCD [因为|F A |为半径的圆交l 于B ，D 两点，所以F A ＝FB ，若∠ABD ＝90°可得F A ＝AB ，所以可得△ABF 为等边三角形，所以B 正确；过F 作FC ⊥AB 交于C ，则C 为AB 的中点，C 的横坐标为p 2，B 的横坐标为－p 2，所以A 的横坐标为3p 2，代入抛物线可得y 2＝3p 2，|y A |＝3p ，△ABF 的面积为93，即12(x A －x B )|y A |＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2＋p 2×3p ＝93，解得：p ＝3，所以抛物线的方程为：y 2＝6x ，所以D 正确；焦点坐标为：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以焦点到准线的距离为：32×2＝3，所以C 正确；此时A 点的横坐标为92，所以BF ＝AF ＝AB ＝92＋32＝6，所以A 不正确．]12．我们把离心率为e＝5＋12的双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)称为黄金双曲线．如图给出以下几个说法中正确的是()A．双曲线x2－2y25＋1＝1是黄金双曲线B．若b2＝ac，则该双曲线是黄金双曲线C．若∠F1B1A2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线D．若∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线ABCD[双曲线x2－2y25＋1＝1中，∵e＝1＋5＋121＝5＋12，∴双曲线x2－2y25＋1＝1是黄金双曲线，故A正确；b2＝ac, 则e＝ca＝a2＋aca＝1＋e．∴e2－e－1＝0，解得e＝5＋12，或e＝5－12(舍)，∴该双曲线是黄金双曲线，故B 正确；如图，F 1，F 2为左、右焦点，A 1，A 2为左右顶点，B 1(0，b )，B 2(0，－b )，且∠F 1B 1A 2＝90°， ∴|B 1F 1|2＋|B 1A 2|2＝|A 2F 1|2，即b 2＋2c 2＝(a ＋c )2，整理，得b 2＝ac ，由B 知该双曲线是黄金双曲线，故C 正确； 如图，MN 经过右焦点F 2且MN ⊥F 1F 2，∠MON ＝90°， ∴NF 2＝OF 2，∴b 2a ＝c ，∴b 2＝ac ，由B 知该双曲线是黄金双曲线，故D 正确． 故选ABCD ．]三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．经过两条直线2x ＋y ＋2＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程为．2x ＋3y －2＝0 [由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得交点A (－2，2)，因为所求直线垂直于直线3x －2y ＋4＝0，故所求直线的斜率k ＝－23，由点斜式得所求直线方程为y －2＝－23(x ＋2)，即2x ＋3y －2＝0．]14．从原点向圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为．2π [(数形结合法)如图，圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0可化为x 2＋(y －6)2＝9，圆心坐标为(0,6)，半径为3． 在Rt △OBC 中可得：∠OCB ＝π3， ∴∠ACB ＝2π3，∴所求劣弧长为2π．]15．已知点F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，|F 1F 2|＝4，点Q (2，2)在椭圆C 上，P 是椭圆C 上的动点，则PQ →·PF 1→的最大值为．92[由题意可得：c ＝2，4a 2＋2b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝8，b 2＝4， 所以椭圆的方程为x 28＋y 24＝1， 可得F 1(－2,0)，设P (x ，y )，由x 28＋y 24＝1，可得：x 2＝8－2y 2，则PQ →·PF 1→＝(2－x ，2－y )(－2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2－2y ＝－y 2－2y ＋4＝－⎝⎛⎭⎪⎫y ＋222＋12＋4，当且仅当y ＝－22∈[－2,2]时，则PQ →·PF 1→的最大值为92．]16．已知三棱锥A -BCD 的所有棱长均相等，E 为DC 的中点，若点P 为AC 中点，则直线PE 与平面BCD 所成角的正弦值为，若点Q 在棱AC 所在直线上运动，则直线QE 与平面BCD 所成角正弦值的最大值为．(第一空2分，第二空3分)63223[连接BE ，AE ，过A 作AO ⊥底面BCD ，垂足为O ，连接OD ，则∠ADO是直线PE 与平面BCD 所成角(图略)，因三棱锥A -BCD 的所有棱长均相等，设棱长为2， 则DO ＝BO ＝23BE ＝234－1＝233，AO ＝4－⎝⎛⎭⎪⎫2332＝263， ∴sin ∠ADO ＝AO AD ＝2632＝63．∴直线PE 与平面BCD 所成角的正弦值为63． 当Q 与A 重合时，直线QE 与平面BCD 所成角正弦值取最大值，此时直线QE 与平面BCD 所成角为∠AEO ，AE ＝4－1＝3，∴直线QE 与平面BCD 所成角正弦值的最大值为： sin ∠AEO ＝AO AE ＝2633＝223．]四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)如图，已知点A (2,3)，B (4,1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．[解] (1)由题意可知，E 为AB 的中点， ∴E (3,2)，且k CE ＝－1k AB＝1，∴CE 所在直线方程为：y －2＝x －3，即x －y －1＝0． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，得C (4,3)，∴|AC |＝|BC |＝2，AC ⊥BC ， ∴S △ABC ＝12|AC |·|BC |＝2．18．(本小题满分12分)如图所示平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于E 点，定点A ，C 的坐标分别是A (－2,3)，C (2,1)．(1)求以线段AC 为直径的圆E 的方程；(2)若B 点的坐标为(－2，－2)，求直线BC 截圆E 所得的弦长． [解] (1)AC 的中点E (0,2)即为圆心， 半径r ＝12|AC |＝1242＋(－2)2＝5，所以圆E 的方程为x 2＋(y －2)2＝5．(2)直线BC 的斜率k ＝1－(－2)2－(－2)＝34，其方程为y －1＝34(x －2)，即3x －4y －2＝0．点E 到直线BC 的距离为d ＝|－8－2|5＝2，所以BC 截圆E 所得的弦长为25－22＝2．19．(本小题满分12分)如图所示在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，AD ＝233AB ，E 是PC 的中点．求证：PD ⊥平面ABE ．[证明]∵P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，∴AB ，AD ，AP 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝BC ＝1，则P (0,0,1)，A (0,0,0)，B (1,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，0．∵∠ABC ＝60°， ∴△ABC 为正三角形．∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12．∴AB →＝(1,0,0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34，12，∴设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·AB →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎨⎧x ＝0，14x ＋34y ＋12z ＝0，令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)．∵PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233，－1，显然PD →＝33n ，∴PD →∥n ， ∴PD →⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE ．20．(本小题满分12分)已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，直线y ＝t 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P ，圆心为P ．(1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标． [解] (1)因为c a ＝63，且c ＝2， 所以a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1． (2)由题意知P (0，t )(－1＜t ＜1)．由⎩⎨⎧y ＝t ，x 23＋y 2＝1得x ＝±3(1－t 2)，所以圆P 的半径为3(1－t 2)．当圆P 与x 轴相切时， |t |＝3(1－t 2)，解得t ＝±32．所以点P 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫0，±32．21．(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，平面P AD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 为PC 的中点，P A ＝PD ＝2，BC ＝12AD ＝1，CD ＝3．(1)求证：PQ ⊥AB ；(2)求二面角P -QB -M 的余弦值．[解] (1)证明：在△P AD 中，P A ＝PD ，Q 为AD 的中点，所以PQ ⊥AD ． 因为平面P AD ⊥底面ABCD ，且平面P AD ∩底面ABCD ＝AD ，所以PQ ⊥底面ABCD ．又AB ⊂平面ABCD ，所以PQ ⊥AB ．(2)在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝12AD ，Q 为AD 的中点， 所以四边形BCDQ 为平行四边形． 因为AD ⊥DC ，所以AD ⊥QB ．由(1)，可知PQ ⊥平面ABCD ，故以Q 为坐标原点，建立空间直角坐标系Q -xyz 如图所示，则Q (0,0,0)，A (1,0,0)，P (0,0，3)，C (－1，3，0)，B (0，3，0)，QB →＝(0，3，0)．因为AQ ⊥PQ ，AQ ⊥BQ ，所以AQ ⊥平面PQB ， 即QA →为平面PQB 的一个法向量，且QA →＝(1,0,0)．因为M 是棱PC 的中点，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，32，所以QM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，32．设平面MQB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧m ·QB →＝0m ·QM →＝0，即⎩⎨⎧3y ＝0－12x ＋32y ＋32z ＝0，令z ＝1，得x ＝3，y ＝0，所以m ＝(3，0,1)， 所以cos 〈QA →，m 〉＝QA →·m |QA →||m |＝32．由题意，知二面角P -QB -M 为锐角， 所以二面角P -QB -M 的余弦值为32．22．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y ＋1＝0和抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)，圆心C 到抛物线焦点F 的距离为17．(1)求抛物线E 的方程；(2)不过原点的动直线l 交抛物线E 于A ，B 两点，且满足OA ⊥OB ． ①求证直线l 过定点；②设点M 为圆C 上任意一动点，求当动点M 到直线l 的距离最大时直线l 的方程．[解] (1)圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y ＋1＝0，可得圆心C (－1,1)，半径r ＝1， 抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2，圆心C 到抛物线焦点F 的距离为17， 即有⎝⎛⎭⎪⎫－1－p 22＋12＝17，解得p ＝6，即抛物线方程为y 2＝12x .(2)①证明：设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝12x ，x ＝my ＋t， 整理得：y 2－12my －12t ＝0， 所以y 1＋y 2＝12m ，y 1y 2＝－12t ． 由于OA ⊥OB ．则x 1x 2＋y 1y 2＝0． 即(m 2＋1)y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝0． 整理得t 2－12t ＝0， 由于t ≠0，解得t ＝12． 故直线的方程为x ＝my ＋12， 直线经过定点P (12,0)．②当CP ⊥l 且动点M 经过PC 的延长线时，动点M 到动直线l 的距离取得最大值．k MP ＝k CP ＝－113， 则m ＝113．此时直线l 的方程为：x ＝113y ＋12， 即13x －y －156＝0．。
人教B版必修1练习模块综合检测 Word版含解析
模块综合检测班级姓名考号分数本试卷满分分，考试时间分钟．一、选择题：本大题共题，每题分，共分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．．设集合＝{－≤≤}，集合＝{＜≤}，则∩＝( )．(] ．[－]．[) ．(]答案：．幂函数＝的单调递增区间可以是( )．() ．(－)．(－) ．(－，－)答案：．如果幂函数()＝α的图象经过点(，)，则()的值等于( )答案：解析：由α＝得α＝－，故()＝＝.．设()＝(\\(－，＜，(－(，≥，))则[()]的值为( )．．．．答案：解析：[()]＝()＝，故选.．函数()＝(\\(＋－，≤，－，＞))的所有零点之和为( )．．．．答案：解析：当≤时，令＋－＝，解得＝－；当＞时，令－＝解得＝，所以可知函数所有零点之和为－＋＝.．设()＝－，则在下列区间中，使函数()有零点的区间是( )．[] ．[]．[－，－] ．[－]答案：解析：本题主要考查函数零点与方程根的关系．逐一验证即可，(－)＝－－(－)＜，()＝－＞，故选.．已知函数()在[－]上满足(－)＝()，()在[]上是单调函数，且(－)＜()，则下列不等式中一定成立的是( )．(－)＜(－) ．()＜()．(－)＜() ．()＞()答案：解析：由()＝(－)＜()，及()在[]上单调可知()在[]上单调递减．．函数()＝(＋)是奇函数，则实数等于( )．－．－．．－或答案：解析：(法一)(－)＝(＋)＝－()，∴(－)＋()＝，即[(＋)(＋)]＝，∴＝－.(法二)由()＝得＝－.．某种生物的繁殖数量(只)与时间(年)之间的关系式为＝(＋)，设这种生物第一年有只，则第年它们发展到( )．只．只．只．只答案：解析：由题意得＝(＋)，∴＝，∴第年时，＝(＋)＝.．在同一坐标系中，函数＝(≠)和＝＋的图象应是如图所示的( )答案：解析：＝为幂函数，＝＋为一次函数．对于，＝中，＜，＝＋中，由倾斜方向判断＞，∴不对；对于，＝中，＜，＝＋中，＜，∴对；对于，＝中，＞，＝＋中，由图象与轴交点知＜，∴不对；对于，＝中，＞，＝＋中，由倾斜方向判断＜，∴不对．．已知()是上的偶函数，且满足(＋)＝()，当∈()时，()＝＋，则()等于( )．．－．．－答案：解析：由条件知()＝(－＋)＝(－)．又因为(－)＝()，当∈()时，()＝＋，所以()＝.所以()＝(－)＝()＝.．函数()＝(\\((＜(，,(－(＋(≥())满足对任意≠，都有＜成立，则的取值范围是( ) ．(，) ．(，]．() ．[，＋∞)答案：解析：由题意知()在上是减函数，∴＜＜，又－＋≤≤，≤，∴＜≤.二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在题中横线上．．设全集＝{，＋}，＝{，－}，＝，则＝.答案：解析：∵＝，∴∉，∴∈，∴＋＝，解得＝或＝－，当＝－时，＝{}，此时，故舍去＝－.．函数()＝－＋在区间[]上的最大值是．答案：解析：()＝－＋＝.．对于任意实数、，定义{，}＝(\\(，≤，＞)).设函数()＝－＋，()＝，则函数()＝{()，()}的最大值是．答案：解析：依题意，()＝(\\((＜≤(,－＋(＞())，结合图象，易知()的最大值为.．分段函数()＝(\\((>(,－(≤()))可以表示为()＝，分段函数()＝(\\((≤((>()))可表示为()＝(＋－－)．仿此，分段函数()＝(\\((<((≥())可以表示为()＝.答案：(＋＋－)解析：由()＝(\\((>(，,－(≤(，)))()＝(\\((≤(，(>(，)))的表达式可知，()＝(\\((<((≥()))，可表示为()＝(＋＋－)．三、解答题：本大题共小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．。
数学人教B版1模块综合检测含解析
数学人教B 必修1模块综合检测（时间：120分钟 满分:150分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合S ＝｛y ｜y ＝3x ，x ∈R ｝,T ＝{y ｜y ＝x 2－1，x ∈R }，则S ∩T 等于（ )A ．∅B ．TC ．SD ．有限集2．函数y ）A ．（1,＋∞）B ．（－∞，2）C ．（1，2）D ．[1,2）3．若一次函数f （x )＝ax ＋b 有一个零点2，则函数g （x ）＝bx 2－ax 的图象可能是( ）4．已知集合M ＝{(x ，y )|xy ＝1，x ＞1｝，在映射f ：M →N 作用下,点(x ，y )的象为(log 2x ,log 2y ),则象N 的集合为（) A ．{（u ，v )｜u ＋v ＝0｝B ．｛(u ,v )｜u ＋v ＝0，u ＞0}C ．｛(u ，v ）|u ＋v ＝1}D ．｛（u ，v )|u ＋v ＝1，v ＞0｝5．函数f （x ）＝a x ＋log a (x ＋1）在［0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为（ ）A ．14 B ．12C ．2D ．46．函数f (x )＝2x －1＋x －9的零点所在区间是（ ）A ．(0，1）B ．（1，2）C ．（2，3)D ．(3,4）7．设函数246,0,()=6,0,x x x f x x x ⎧-+≥⎨+<⎩则不等式f (x ）＞f （1）的解集是( ）A ．(－3,1)∪（3，＋∞)B ．(－3，1）∪(2,＋∞)C ．(－1，1）∪（3,＋∞)D ．(－∞，－3）∪（1，3）8．设函数221,0,()=1,0,x x f x x x -<⎧⎨-≥⎩则134f -⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是（ )A ．52-B ．18C ．12- D ．129．方程12log =21x x -的实数根的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．不确定10．函数215=log (816)y x x ++的单调递增区间是（ )A ．（－4，＋∞)B ．（－∞,－4)C ．[－4，＋∞）D ．(－∞，－4］二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．已知集合A ＝{m 2，2m ＋1,－3｝,B ＝{m ＋2，2m －1，m 2＋1},若A ∩B ＝{－3｝，则实数m 的值是__________．12．计算01410.7533270.064160.01(27)8-⎛⎫--++- ⎪⎝⎭＝________. 13．将函数y ＝f (x )的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象对应函数的解析式为y ＝2x ，则f (x ）＝________.14．对任意实数a ，b ，定义运算“*”如下,,,*=,,a a b a b b a b ≤⎧⎨>⎩则函数122()=log (32)*log f x x x -的值域为________．15．下列对应关系中，是A 到B 的映射的个数是________．①A ＝N ＋,B ＝N ＋，f ：x →|x －5|②A ＝N ＋，B ＝｛－1，－2}，f :x →（－1)x③A ＝Z ，B ＝Q ，f :x →3x④A ＝｛x ｜x ＞0｝，B ＝R ，f ：x →log 2x三、解答题（本大题共6小题,共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．(本小题满分12分）化简：(1)12124⎛⎫ ⎪⎝⎭－(－9。
人教B版高中数学必修一模块综合测评
高中数学学习资料金戈铁骑整理制作模块综合测评(时间 120 分钟，满分 150 分)一、选择题 (本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分 .在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的)1.已知全集 U＝ {0,1,2,3,4} ，会集 A＝{1,2,3} ，B＝{2,4} ，则 (?U A)∪B＝()A.{1,2,4}B.{2,3,4}C.{0,2,4}D.{0,2,3,4}【剖析】∵全集 U＝{0,1,2,3,4} ，会集 A＝ {1,2,3} ，∴ ?U＝{0,4}，又BA＝ {2,4} ，则(?U A)∪B＝ {0,2,4}. 应选 C.【答案】C2.可作为函数 y＝ f (x)的图象的是 ()【剖析】由函数的定义可知：每当给出 x 的一个值，则 f (x)有唯一确定的实数值与之对应，只有 D 吻合 .【答案】D3.同时满足以下三个条件的函数是 ()①图象过点 (0,1)；②在区间 (0，＋∞ )上单调递减；③是偶函数 .A.f (x)＝－ (x ＋1)2＋2B.f (x)＝ 3|x|1 |x|－ 2C.f (x)＝ 2D.f (x)＝ x【剖析】A.若 f (x)＝－ (x ＋1)2＋2，则函数关于 x ＝－ 1 对称，不是偶函数，不满足条件③ .B.若 f (x)＝3|x|，在区间 (0，＋ ∞)上单调递加，不满足条件② .1 |x|C.若 f (x)＝ 2 ，则三个条件都满足 .D.若 f (x)＝x － 2，则 f (0)没心义，不满足条件① .应选 C. 【答案】C4.与函数 y ＝ －2x 3有同样图象的一个函数是 ()＝－ x －2x ＝x －2x＝－2x3＝x2－2x【剖析】要使函数剖析式有意义， 则 x ≤0，即函数 y ＝ －2x 3的定义域为(－∞，0]，故 y ＝ － 2x 3＝ |x| ·－ 2x ＝－ x －2x ，又因为函数 y ＝－ x －2x 的定义域也为 (－∞ ，0] ，故函数 y ＝ － 2x 3与函数 y ＝－ x － 2x 表示同一个函数，则他们有同样的图象，应选 A.【答案】A5.函数 f (x)＝2x －1＋log 2x 的零点所在区间是 ( )1 1 A. 8，4 B. 4，2111C. 2，1D.(1,2)【剖析】∵函数 f (x) ＝2x － 1＋ log 2 ，x∴f1＝－ 1，f (1)＝1， 211∴f 2 f (1)＜0，故连续函数 f (x)的零点所在区间是2，1 ，应选 C.【答案】C幂函数 y ＝f (x) 的图象经过点 － 2，－ 1，则满足 f (x)＝27 的 x 的值是 ( )6. 81 1A.3B.－3D.－3α11α【剖析】 设幂函数为 y ＝ x ，因为图象过点 －2，－ 8 ，因此有－ 8＝(－2) ，解得 α＝－ － 3－ 33，因此幂函数的剖析式为 y ＝x ，由 f (x)＝27，得 x ＝ 27，所1以 x ＝3.【答案】A函数f (x) ＝ 2x 2＋lg (3x ＋ 1)的定义域为 ()7.1－xA. －1，1B. －1，133 3C. －1，＋∞D. －∞，133【剖析】要使函数有意义， x 应满足： 1－ x>0， 解得－ 1＜x ＜1，3x ＋1>0， 3 故函数 f (x)＝2x 2＋ lg (3x ＋1)的定义域为 －1，1 .1－ x3【答案】A， b ＝， c ＝log ，则 ， ，的大小关系是()8.设 a ＝ab c ＜a ＜b＜a ＜c＜b ＜a＜b ＜c【剖析】 因为 y ＝x 在 (0，＋ ∞ )上是增函数，且＞，因此＞，即 a ＞ b ，c ＝log ＞log ＝ 1，而 1＝0＞.因此 b ＜ a ＜ c.应选 B.【答案】B9.若函数 f (x)＝ (k －1)a x －a －x (a>0，且 a ≠1)在 R 上既是奇函数，又是减函数，则 g(x)＝log a ＋ 的图象是()(x k)【剖析】x－ x，且≠在上既是奇函数，又是由 f (x)＝(k－1)a－ a(a>0a1)R减函数，因此 k＝2,0<a<1，再由对数的图象可知 A 正确 .【答案】A10.已知函数 f (x)是定义在R上的增函数，则函数y＝f (|x－ 1|)－1 的图象可能是()【剖析】f x－1 － 1， x≥1 ，∵ y＝ f (|x－1|)－ 1＝且 f (x)是R上的增f － x＋ 1 －1， x<1，函数；∴当 x≥1 时， y＝ f (x－ 1)－1 是增函数，当 x＜1 时， y＝ f (－x＋1)－1 是减函数 .∴函数 y＝f (|x－1|)－1 的图象可能是第二个 .应选 B.【答案】Bx，y＝log2，＝2这三个函数中，当 0＜x1＜x2＜1时，使 f1＋x211.在 y＝2x xx y2 12＞f x ＋f x恒成立的函数的个数是 ()2A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个【剖析】当 0＜x1＜x2＜ 1 时，y ＝ 2x使 f x 1＋ x 2 <fx 1 ＋ fx 2恒成立，2 2y ＝ log 2x 使 f x 1＋x 2 ＞fx 1 ＋fx 2恒成立，2 2 y ＝ x 2使 f x1＋ x 2＜f x 1 ＋ f x 2恒成立 .应选 B.22【答案】B12.若 f (x)是奇函数，且在 (0，＋∞ )上是增函数，又 f (－ 3)＝0，则(x －1)f (x)＜0的解是()A.( －3,0)∪(1，＋∞ )B.(－3,0)∪(0,3)C.(－∞，－ 3)∪(3，＋∞ )D.(－3,0)∪(1,3)【剖析】∵ f (x)是 R 上的奇函数，且在 (0，＋ ∞)内是增函数，∴在 (－ ∞，0)内 f (x)也是增函数，又∵ f (－3)＝ 0，∴ f (3)＝ 0，∴当 x ∈(－∞ ，－ 3)∪ (0,3)时， f (x)＜0；当 x∈ (－3,0)∪ (3，＋ ∞ )时， f (x)＞0，∵ (x －1) ·f(x)＜0，x － 1<0，x －1>0，∴或解得－ 3＜x ＜0 或1＜ x ＜ 3，f x >0f x <0，∴不等式的解集是 (－3,0)∪ (1,3)，应选 D.【答案】D二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，将答案填在题中的横线上 )13.当 a ＞0 且 a ≠1 时，函数 f (x)＝a x － 2－ 3 必过定点 ________. 【导学号：60210101】【剖析】因为 a 0＝1，故 f (2)＝a 0－3＝－ 2，因此函数 f (x)＝ ax －2－3 必过定点 (2，－ 2).【答案】(2，－ 2)x 2－4x ＋3，x ≤0，14.(2016 北·京模拟 )已知 f (x)＝ －x 2－ 2x ＋3，x>0，不等式 f (x ＋a)>f (2a－ x)在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数 a 的取值范围是 ________.【剖析】二次函数 y1＝x2－ 4x＋3 的对称轴是 x＝2，∴该函数在 (－∞，0]上单调递减，∴x2－ 4x＋3≥3，同样可知函数 y2＝－ x2－2x＋ 3 在(0，＋∞)上单调递减，∴－ x2－2x＋3<3，∴f (x)在R上单调递减，∴由 f (x＋a)>f (2a－x)，获取 x＋ a<2a－ x，即 2x<a，∴2x<a 在[a，a＋1]上恒成立，∴2(a＋1)<a，∴a<－2，∴实数 a 的取值范围是 (－∞，－ 2).【答案】(－∞，－ 2)＋4， x≥ 4 ，已知函数1x若关于 x 的方程 f (x)＝k 有两个不同样f (x)＝15.log2x， 0<x<4 ，的实根，则实数 k 的取值范围是 ________.【剖析】关于 x 的方程 f (x)＝k 有两个不同样的实根，等价于函数f (x)与函数y＝k 的图象有两个不同样的交点，作出函数的图象以下：由图可知实数 k 的取值范围是 (1,2).【答案】(1,2)16.关于定义在R上的函数 f (x)，有下述四个命题，其中正确命题的序号为________.①若函数 f (x)是奇函数，则 f (x－ 1)的图象关于点 A(1,0)对称；②若对 x∈R，有 f (x＋1)＝f (x－1)，则 y＝f (x)关于直线 x＝1 对称；③若函数 f (x－1)关于直线 x＝1 对称，则函数 f (x)为偶函数；④函数 f (x＋1)与函数 f (1－ x)关于直线 x＝1 对称 .【剖析】①，∵函数 f (x)是奇函数，∴ f (x)的图象关于点 O(0,0)对称 .又 y＝f (x－ 1)的图象是将 y＝f (x)的图象向右平移一个单位获取的，∴ f (x－1)的图象关于点 A(1,0)对称，故①正确；②，∵ f (x＋ 1)＝f (x－1)≠ f (1－ x)，∴y＝f (x)不关于直线 x＝1 对称，故②错误；③，∵函数 y＝ f (x－ 1)关于直线 x＝1 对称，∴函数 y＝f (x)的图象关于直线x＝0 对称，∴函数 f (x)为偶函数，故③正确；④，函数 f (x＋1)的图象与函数 f (1－ x)的图象不关于直线 x＝1 对称，如 f (x) ＝ x 时， f (1＋x)＝ x＋ 1， f (1－x)＝1－ x，这两条直线显然不关于 x＝1 对称，故④错误 .【答案】①③三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 )17.(本小题满分 10 分)计算以下各式的值：18.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x)是R上的奇函数，当 x∈(0，＋∞ )时， f (x)＝2x＋x，求 f (x)的剖析式 .【解】由题意，当 x＝0 时， f (x)＝0，∵ x＞0 时， f (x)＝2x＋x，∴当 x＜0时，－ x＞0，f (－ x)＝2－x－x，又∵函数 y＝f (x)是定义在R上的奇函数，∴x＜0 时， f (x)＝－ f (－x)＝－ 2－x＋ x，－2－x＋x，x<0，综上所述， f (x)＝0，x＝ 0，x2 ＋x，x>0.19.(本小题满分 12 分)已知会集 A＝{ x|(a－1)x2＋3x－ 2＝ 0} ，B＝ { x|x2－3x＋2＝0}.(1)若 A≠?，求实数 a 的取值范围；(2)若 A∩B＝A，求实数 a 的取值范围 .【解】(1)分两种情况考虑：①当a＝1 时， A＝2≠ ?；31②当 a≠1 时，＝ 9＋8(a－ 1)≥0，即 a≥ －8且 a≠1，1综上所述， a 的取值范围为a≥ －8.(2)由 A∩B＝A，获取 A? B，分两种情况考虑：1①当 A＝?时， a＜－8；②当 A≠?时，获取 B 中方程的解 1 和 2 为 A 的元素，即 A＝ {1,2} ，把 x＝1 代入 A 中方程得： a＝0.1综上所述， a 的取值范围为 a a＜－8或a＝0.20.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x)＝log a(2x＋1)，g(x)＝ log a(1－2x)(a＞0 且a≠1)，(1)求函数 F(x)＝f (x)－ g(x)的定义域；(2)判断 F(x)＝f (x)－g(x)的奇偶性，并说明原由；(3)确定 x 为何值时，有 f (x)－g(x)＞0.2x＋1>0，【解】(1)要使函数有意义，则有1－2x>0，1 1∴x －2<x<2 .(2)F(x)＝f (x)－g(x)＝log a(2x＋1)－log a(1－2x)，F(－x)＝ f (－x)－ g(－x)＝log a(－2x＋ 1)－log a(1＋ 2x)＝－ F(x).∴F(x)为奇函数 .(3)∵ f (x)－g(x)＞ 0，∴ log a(2x＋1)－log a(1－2x)＞0，即 log a(2x＋ 1)＞log a(1－ 2x).1①当 0＜a＜ 1 时，有 0<2x＋1<1－2x，∴－2<x<0.1②当 a＞1 时，有 2x＋ 1>1－2x>0，∴ 0<x<2.1综上所述，当 0＜a＜1 时，有 x∈ －2，0 ，使得 f (x)－g(x)＞0；1当 a＞ 1 时，有 x∈ 0，2，使得 f (x)－g(x)＞0.21.(本小题满分 12 分 )甲乙两人连续 6 年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量 )进行检查，供应了两个方面的信息，分别获取甲，乙两图：甲乙图 1甲检查表示：每个鱼池平均产量直线上升，从第 1 年1 万条鳗鱼上升到第6年2万条.乙检查表示：全县鱼池总个数直线下降，由第 1 年30 个减少到第 6 年10个 .请你依照供应的信息说明：(1)第 2 年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数；(2)到第 6 年这个县的鳗鱼养殖业的规模比第 1 年扩大了还是减小了？说明原由；(3)哪一年的规模 (即总产量 )最大？说明原由 .【解】由题意可知，图甲图象经过 (1,1)和(6,2)两点，从而求得其剖析式为 y 甲＝＋，图乙图象经过 (1,30)和(6,10)两点，从而求得其剖析式为y 乙 ＝－ 4x ＋34.(1)当 x ＝2 时， y 甲 ＝×2＋＝，y 乙 ＝－ 4×2＋34＝26，y 甲× y 乙＝×26＝31.2.因此第 2 年鱼池有 26 个，全县出产的鳗鱼总数为31.2 万条 .(2)第 1 年出产鳗鱼 1×30＝ 30(万条 )，第 6 年出产鳗鱼 2×10＝20(万条 )，可见第 6 年这个县的鳗鱼养殖业规划比第 1 年减小了 .(3)设第 m 年的规模最大，总出产量为n ，那么 n ＝ y 甲 y 乙 ＝＋ 0.8)(－4m ＋34)＝－2＋＋＝－ 0.8(m 2－－34)＝－ 0.8(m －2.25)2＋，因此，当 m ＝2 时， n 最大值为 31.2.即当第 2 年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为 31.2 万条 .22.(本小题满分12 分 ) 已知函数f (x) ＝a ·2x －2＋ a2 x(a ∈ R ). 【导学号：＋160210102】(1)试判断 f (x)的单调性，并证明你的结论；(2)若 f (x)为定义域上的奇函数，①求函数 f (x)的值域；②求满足 f (ax)＜ f (2a －x 2)的 x 的取值范围 .2【解】(1)函数 f (x)的定义域为 (－∞，＋ ∞) ，且 f (x)＝a － 2x ＋1，任取 x 1，x 2∈ (－∞ ，＋ ∞ )，且 x 1 ＜x 2，∵y ＝2x 在 R 上单调递加，且 x 1＜x 2，∴ 0<2x 1<2x 2，2x 2－2x 1>0,2x 1＋1>0,2x 2＋ 1>0， ∴ f (x 2)－f (x 1)＞0，即 f (x 2 )＞f (x 1)，∴ f (x)在 (－∞ ，＋ ∞ )上是单调增函数 .(2)∵ f (x)在定义域上是奇函数，∴ f (－ x)＝－ f (x)，人教B 版高中数学必修一模块综合测评 11 / 112 ＋ a － x 2＝0 对任意实数 x 恒成立， 即 a － － x＋1 2 ＋ 1 22·2x 2 化简得 2a － 2x ＋ 1＋ 2x ＋1 ＝0，∴2a －2＝0，即 a ＝1，2①由 a ＝1 得 f (x)＝1－ 2x ＋1，x 1∵2 ＋ 1＞ 1，∴ 0<2x ＋ 1<1，2 ∴－ 2<－2x ＋ 1<0，2∴－ 1<1－2x ＋1<1，故函数 f (x)的值域为 (－1,1).②由 a ＝1，得 f (x)＜f (2－x 2)，∵ f (x)在 (－∞ ，＋ ∞ )上单调递加，∴ x ＜2－x 2，解得－ 2＜x ＜ 1，故 x 的取值范围为 (－2,1).。
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模块综合测评(时间分钟,满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分).设集合、、均为非空集合，且满足，则下列各式不正确的是( ).()∪.()∪()∩().()∩()解析：，则（）∪（）（∩）≠.答案：（）（）为偶函数，则（）在（，）上是( ).增函数 .减函数.有增有减.增减性不确定解析：（）是偶函数，即（）（），∴.∴（）.∴在（，）上为减函数.答案：.设：→是集合到的映射，下列命题中正确的是( )中不同元素必有不同的象中的每一个元素在中必有原象中每一个元素在中必有象中每一个元素在中的原象唯一解析：只要理解映射的定义就可以很容易地解决.答案：.设（）、（）都是单调函数，有下列命题：①若（）是增函数，（）是增函数，则（）（）是增函数；②若（）是增函数，（）是减函数，则（）（）是增函数；③若（）是减函数，（）是增函数，则（）（）是减函数；④若（）是减函数，（）是减函数，则（）（）是减函数.其中正确的命题是( ).①③.①④.②③.②④解析：（）是单调函数，（）也是单调函数，它与（）有相反的增减性.两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数，∴②③对.答案：.函数（）定义在整数集上，且有（）则（）等于…( )解析：∵<，∴（）［（）］.∵（），∴［（）］（） .答案：.方程()＝有解，则∈( ).（，）.(,).(,).()解析：设()()，则()()()>，()()()<，所以方程()的解在(,)内.故选.答案：.下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )图解析：（）·（）<,（，）内才有零点.答案：.函数()在区间（∞，）上有最小值，则函数()在区间（，∞）上一定( ).有最小值.有最大值.是减函数.是增函数解析：函数()的对称轴是直线，由于函数()在开区间（∞，）上有最小值，所以直线位于区间（∞，）内，即<.()，下面用定义法判断函数()在区间（，∞）上的单调性.设<<，则()()()()()()()()().∵<<，∴<，>>. 没有某些发狂的劲头，就没有天才。
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模块综合测评(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.设集合A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I ，则下列各式不正确的是( ) A.(A)∪B=I B.(A)∪(B)=I C.A∩(B)=∅ D.(A)∩(B)= B 解析：A ⊆B ⊆I ，则（A ）∪（B ）=（A∩B ）=A≠I.答案：B2.f （x ）=（m-1）x 2+2mx+3为偶函数，则f （x ）在（2，5）上是( )A.增函数B.减函数C.有增有减D.增减性不确定 解析：f （x ）是偶函数，即f （-x ）=f （x ），∴m=0. ∴f （x ）=-x 2+3.∴在（2，5）上为减函数. 答案：B3.设f ：A→B 是集合A 到B 的映射，下列命题中正确的是( )A.A 中不同元素必有不同的象B.B 中的每一个元素在A 中必有原象C.A 中每一个元素在B 中必有象D.B 中每一个元素在A 中的原象唯一 解析：只要理解映射的定义就可以很容易地解决. 答案：C 4.设f （x ）、g （x ）都是单调函数，有下列命题：①若f （x ）是增函数，g （x ）是增函数，则f （x ）-g （x ）是增函数；②若f （x ）是增函数，g （x ）是减函数，则f （x ）-g （x ）是增函数；③若f （x ）是减函数，g （x ）是增函数，则f （x ）-g （x ）是减函数；④若f （x ）是减函数，g （x ）是减函数，则f （x ）-g （x ）是减函数. 其中正确的命题是( )A.①③B.①④C.②③D.②④ 解析：g （x ）是单调函数，-g （x ）也是单调函数，它与g （x ）有相反的增减性.两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数， ∴②③对. 答案：C5.函数f （x ）定义在整数集上，且有f （x ）=⎩⎨⎧<+≥-,1000)],5([,1000,3x x f f x x 则f （999）等于…( )A.996B.997C.998D.999解析：∵999<1000， ∴f （999）=f ［f （1004）］. ∵f （1 004）=1001， ∴f ［f （1 004）］=f （1 001）=1 001-3=998. 答案：C6.方程(21)x ＝x 31有解x 0，则x 0∈( )A.（0，61） B.(61,31) C.(31,21) D.(21,1)解析：设f(x)=(21)x -x 31，则f(31)=(21)31-(31)31>0，f(21)=(21)21-(21)31<0，所以方程(21)x =x 31的解在(31,21)内.故选C.答案：C7.下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )图1解析：f （a ）·f （b ）<0,（a ，b ）内才有零点. 答案：C8.函数f(x)=x 2-2ax+a 在区间（-∞，1）上有最小值，则函数g(x)=xx f )(在区间（1，+∞）上一定( )A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数解析：函数f(x)=x 2-2ax+a 的对称轴是直线x=a ，由于函数f(x)在开区间（-∞，1）上有最小值，所以直线x=a 位于区间（-∞，1）内，即a<1. g(x)=x x f )(=x+xa-2， 下面用定义法判断函数g(x)在区间（1，+∞）上的单调性.设1<x 1<x 2，则g(x 1)-g(x 2)=(x 1+1x a -2)-(x 2+2x a -2)=(x 1-x 2)+(21x a x a -)=(x 1-x 2)(121x x a-)=(x 1-x 2) 2121x x a x x -.∵1<x 1<x 2，∴x 1-x 2<0，x 1x 2>1>0. 没有某些发狂的劲头，就没有天才。
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模块综合测评(时间：分钟，满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．设集合＝{＝，∈}，＝{＝－，∈}，则∩等于()．．．．有限集．函数的定义域为()．(，＋∞) ．(－∞，)．() ．[)．若一次函数()＝＋有一个零点，则函数()＝－的图象可能是()．已知集合＝{(，)＝，＞}，在映射：→作用下，点(，)的象为(，)，则象的集合为()．{(，)＋＝}．{(，)＋＝，＞}．{(，)＋＝}．{(，)＋＝，＞}．函数()＝＋(＋)在[]上的最大值与最小值之和为，则的值为()．．．．．函数()＝－＋－的零点所在区间是()．() ．()．() ．()．设函数则不等式()＞()的解集是()．(－)∪(，＋∞) ．(－)∪(，＋∞)．(－)∪(，＋∞) ．(－∞，－)∪()．设函数则的值是()．．．．．方程的实数根的个数为()．．．．不确定．函数的单调递增区间是()．(－，＋∞) ．(－∞，－)．[－，＋∞) ．(－∞，－]二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在题中的横线上)．已知集合＝{＋，－}，＝{＋－，＋}，若∩＝{－}，则实数的值是．．计算＝.．将函数＝()的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得图象对应函数的解析式为＝，则()＝.．对任意实数，，定义运算“*”如下，则函数的值域为．．下列对应关系中，是到的映射的个数是．①＝＋，＝＋，：→－②＝＋，＝{－，－}，：→(－)③＝，＝，：→④＝{＞}，＝，：→三、解答题(本大题共小题，共分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)．(本小题满分分)化简：()－(－)－＋－；。
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模块综合测评(时间分钟,满分分) 一、选择题（每小题分，共分）.集合{},包含{}的的子集共有( )个个个个解析：方法一:{},{},{},{},{},{},{},{}.共个.方法二:相当于求集合{}的子集个数有个.故选.答案：.若集合{()∈}{()>},则∩等于( ).{}.{≥}解析：{>}{>},∴∩.答案：.设(),则{［()］}等于( )()()()解析：∵(),∴［()］()().∴{［()］}().故选.答案：.函数的定义域是( ).{<<}.{≥}.{≠}.{>}解析：由故选.答案：.已知()为奇函数,当<时()(),则当>时()等于( )()()()()解析：令>则<,∴()().又∵()为奇函数,∴()().∴()().故选.答案：.设函数()则()的值是…( ).解析：设（),则()∈［∞),所以≥.().故选.答案：.下列四个命题中正确的个数是( )①函数()在(∞)上是增函数,在(∞)上也是增函数,则在(∞)∪(∞)上也为增函数②函数()()是奇函数③的递增区间只有［∞)④与表示相同函数解析：①例如在(∞)上是增函数,在(∞)上也是增函数.但是在(∞)∪(∞)上不是增函数,∴①不正确.②∵>,∴函数的定义域为()()()(),∴()是奇函数.∴②正确.③作出(≥)时图象如下图.∵是偶函数,∴其图象关于轴对称(如上图).∴其增区间为［∞)和［］.∴③不正确.④∵,∴与不表示相同函数.∴④不正确.答案：.函数与在同一坐标系中的图象可能是( )。
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模块综合测评(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线kx-y-1=0与直线x+2y-2=0的交点在第四象限,则实数k 的取值范围为( )A.(-12,12) B.(-12,0) C.(12,+∞) D.(-∞,-12){kx -y -1=0,x +2y -2=0,解得{x =41+2k,y =2k -11+2k ,∴41+2k >0且2k -11+2k <0,∴-12<k<12.2.(2020浙江湖州期末)在空间直角坐标系中,若直线l 的方向向量为a =(1,-2,1),平面α的法向量为n =(2,3,4),则( ) A.l ∥α B.l ⊥α C.l ⊂α或l ∥α D.l 与α斜交a ·n =1×2+(-2)×3+1×4=0,可知a ⊥n .∴l ∥α或l ⊂α.3.设直线l 1:y=k 1x+1,l 2:y=k 2x-1,其中实数k 1,k 2满足k 1k 2+2=0,则l 1与l 2的交点一定在( ) A.2x 2+3y 2=1(x ≠0)上 B.x 2+2y 2=1(x ≠0)上 C.2x 2+y 2=1(x ≠0)上 D.3x 2+2y 2=1(x ≠0)上l 1:y=k 1x+1,∴k 1=y -1x(x ≠0);直线l 2:y=k 2x-1,∴k 2=y+1x (x ≠0).又k 1k 2+2=0,∴y -1x·y+1x+2=0,整理得2x 2+y 2=1(x ≠0),∴l 1与l 2的交点一定在2x 2+y 2=1(x ≠0)上.4.若双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y 2=4所截得的弦长为2,则C 的离心率为( )A.2B.√3C.√2D.2√33bx ±ay=0,圆心(2,0)到渐近线距离为d=√22-12=√3, 则点(2,0)到直线bx+ay=0的距离为 d=√a 2+b 2=2b c=√3,即4(c 2-a 2)c 2=3,整理可得c 2=4a 2,双曲线的离心率e=√c 2a 2=√4=2.5.已知圆C 1:x 2+(y+m )2=2与圆C 2:(x-m )2+y 2=8恰有两条公切线,则实数m 的取值范围是( ) A.(1,3) B.(-1,1) C.(3,+∞) D.(-3,-1)∪(1,3)圆C 1:x 2+(y+m )2=2与圆C 2:(x-m )2+y 2=8恰有两条公切线,∴两圆相交.又C 1圆心为(0,-m ),半径为√2,C 2圆心为(m ,0),半径为2√2,∴√2<√2|m|<3√2,即1<|m|<3, 解得-3<m<-1或1<m<3.6.(2020安徽池州模拟)已知MN 是正方体内切球的一条直径,点P 在正方体表面上运动,正方体的棱长是2,则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( ) A.[0,4] B.[0,2] C.[1,4] D.[1,2]O ,则OM=ON=1,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵MN 为球O 的直径,∴OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1, ∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1. 又点P 在正方体表面上移动,当P 为正方体顶点时,|PO⃗⃗⃗⃗⃗ |最大,最大值为√3; 当P 为内切球与正方体的切点时,|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |最小,最小值为1, ∴PO⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1∈[0,2], 即PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[0,2]. 7.过双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A ,若以双曲线C 的右焦点F 为圆心、以2为半径的圆经过A ,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的离心率为( ) A.√3B.2C.√5D.3y=±ba x ,所以A (a ,b )或A (a ,-b ),因此|AF|=c=2, 即√(2-a )2+b 2=2,整理可得a 2+b 2-4a=0. 因为a 2+b 2=c 2=4,解得a=1, 所以双曲线的离心率为e=ca =2.8.(2021黑龙江大庆一模)由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面,用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质:一束平行于抛物线轴的光线,经过抛物面的反射集中于它的焦点.用一过抛物线轴的平面截抛物面,将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中,对称轴与x 轴重合,顶点与原点重合,如图,若抛物线过点A (14,1),平行于对称轴的光线经过点A 反射后,反射光线交抛物线于点B ,则线段AB 的中点到准线的距离为( )A.25B.258C.174D.2y 2=mx ,将A 的坐标代入可得12=14m ,可得m=4,所以抛物线的方程为y 2=4x ,可得焦点F (1,0),准线方程为x=-1, 由题意可得反射光线过焦点(1,0),所以直线AB 的方程为y -01-0=x -114-1,整理可得y=-43(x-1),联立{y =-43(x -1),y 2=4x ,解得{y 1=-4,y 2=1,代入直线方程可得{x 1=4,x 2=14,所以反射光线与抛物线的两个交点A (14,1),B (4,-4), 所以AB 的中点为(178,-32),所以AB 的中点到准线的距离d=178+1=258.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点,如果AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1),则下列结论正确的有( )A.AP ⊥ABB.AP ⊥ADC.AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的一个法向量D.AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×(-1)+(-1)×2+(-4)×(-1)=0,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即AP ⊥AB ,故A 正确;∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1)×4+2×2+(-1)×0=0, ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP ⊥AD ,故B 正确;由AP ⊥AB ,AP ⊥AD ,且AB ∩AD=A ,得出AP⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的一个法向量,故C 正确; 由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的法向量,得出AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故D 错误. 10.设F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A 为双曲线的左顶点,以F 1,F 2为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M ,N 两点(M 在x 轴上方,N 在x 轴下方),c 为双曲线的半焦距,O 为坐标原点.则下列说法正确的是( ) A.点N 的坐标为(a ,b ) B.∠MAN>90°C.若∠MAN=120°,则双曲线C 的离心率为√213D.若∠MAN=120°,且△AMN 的面积为2√3,则双曲线C 的方程为x 23−y 24=1y=ba x ,代入圆x 2+y 2=c 2=a 2+b 2, 解得M (a ,b ),N (-a ,-b ),故A 错误;由于A (-a ,0),M (a ,b ),N (-a ,-b ),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a ,b ),AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-b ),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-b 2<0,则∠MAN>90°,故B 正确; 若∠MAN=120°,由余弦定理得4c 2=(a+a )2+b 2+b 2-2√(a +a )2+b 2·b cos120°, 化简得7a 2=3c 2,即e=ca =√213,故C 正确;由△AMN 的面积为2√3,得12ab×2=2√3,再由a 2+b 2=c 2,7a 2=3c 2,解得a=√3,b=2,即有双曲线C 的方程为x 23−y 24=1,故D 正确.11.过抛物线y 2=2px (p>0)焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,作AC ,BD 垂直抛物线的准线l 于C ,D 两点,其中O 为坐标原点,则下列结论正确的是( ) A.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ B.存在λ∈R ,使得AD⃗⃗⃗⃗⃗ =λAO ⃗⃗⃗⃗⃗ 成立C.FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0D.准线l 上任意一点M ,都使得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >0⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故A 正确; 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),可得C (-p2,y 1),D (-p2,y 2),又直线OA 的斜率k OA =y 1x 1=2p y 1,直线AD 的斜率k AD =y 1-y 2x 1+p2,设直线AB 方程为x=my+p2,代入抛物线的方程,可得y 2-2pmy-p 2=0,可得y 1y 2=-p 2,即有y 1(y 1-y 2)=y 12-y 1y 2=2px 1+p 2,则k OA =k AD ,即存在λ∈R ,使得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAO ⃗⃗⃗⃗⃗ 成立,故B 正确; FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-p ,y 1)·(-p ,y 2)=y 1y 2+p 2=0,故C 正确; 由抛物线的定义可得|AB|=|AC|+|BD|,可得以AB 为直径的圆的半径与梯形ACDB 的中位线长相等,即该圆与CD 相切,设切点为M ,即AM ⊥BM ,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故D 不正确.12.(2021江苏海安检测)双纽线像数字“8”,不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美,同时也具有特殊的有价值的艺术美,是形成其他一些常见的漂亮图案的基石,也是许多设计者设计作品的主要几何元素.曲线C :(x 2+y 2)2=4(x 2-y 2)是双纽线,则下列结论正确的是 ( )A.曲线C 经过5个整点(横、纵坐标均为整数的点)B.曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2C.曲线C 关于直线y=x 对称的曲线方程为(x 2+y 2)2=4(y 2-x 2)D.若直线y=kx 与曲线C 只有一个交点,则实数k 的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞)y=0时,x 4=4x 2,解得x=0或2或-2,即曲线过整点(0,0),(2,0),(-2,0),结合图像可知-2≤x ≤2,令x=±1,得y 2=2√3-3,不是整点,∴曲线C 共经过3个整点,故A 错误;x 2+y 2=4(x 2-y 2)x 2+y 2≤4,曲线C 上任取一点P (x ,y )到原点的距离d=√x 2+y 2≤2,故B 正确;曲线C 上任取一点M 关于y=x 的对称点为N , 设N (x ,y ),则M (y ,x ),M 在曲线C 上,∴(x 2+y 2)2=4(y 2-x 2),故C 正确;y=kx 与曲线C 一定有公共点(0,0),∵y=kx 与曲线C 只有一个公共点,则x 4(1+k 2)=4x 2(1-k 2),∴1-k 2≤0,∴k ≥1或k ≤-1,故D 正确.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.设向量a =(1,2,λ),b =(2,2,-1),若cos <a ,b >=49,则实数λ的值为 . -1227或2a =(1,2,λ),b =(2,2,-1),所以a ·b =2+4-λ=6-λ, |a |=√1+4+λ2=√5+λ2, |b |=√4+4+1=3. 若cos <a ,b >=49,则a ·b|a ||b |=√5+λ2×3=49,化简得7λ2+108λ-244=0, 解得λ=-1227或λ=2,则实数λ的值为-1227或2.14.(2020浙江宁波期末)如图,在空间四边形OABC 中,E ,F 分别是AB ,BC 的中点,H 是EF 上一点,且EH=14EF ,记OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则(x ,y ,z )= ;若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∠BOC=60°,且|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,则|OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= .(38,12,18)√308OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +14EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ −OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+14×2(OB +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=38OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +18OC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴(x ,y ,z )=(38,12,18).∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∠BOC=60°,且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1, ∴OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(38OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +18OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=964|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+14|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+164|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2×12×18×cos60° =964+14+164+116=3064,∴|OH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√308. 15.(2021河北邢台检测)在△ABC 中,A ,B 分别是椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点,点C 在椭圆上,且∠ABC=30°,(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则该椭圆的离心率为 .,作平行四边形ABEC ,由(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得AE ⊥BC , 故|AC|=|AB|=2c.又∠ABC=30°,∴|BC|=2×2c sin60°=2√3c. 由椭圆的定义知2a=|AC|+|BC|=2(1+√3)c , 故a=(√3+1)c ,∴离心率e=ca =√3+1=√3-12. 16.(2020山东临沂期末)如图,光线从P (a ,0)(a>0)出发,经过直线l :x-3y=0反射到Q (b ,0),该光线又在Q 点被x 轴反射,若反射光线恰与直线l 平行,且b ≥13,则实数a 的最小值是 .P 关于直线l 的对称点P'(m ,n ),直线l 的斜截式方程y=13x ,所以{0+n 2=13·a+m 2,n -0m -a ·13=-1,解得{m =45a ,n =35a , 所以点P'(45a ,35a).根据两点式得到直线P'Q 的方程为y -035a -0=x -b 45a -b,整理可得3ax-(4a-5b )y-3ab=0. 因为反射光线恰与直线l 平行, 所以3a4a -5b =-13,所以a=513b. 又因为b ≥13,所以a ≥5, 则a 的最小值是5.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2020安徽黄山期末)圆心为C 的圆经过点A (-4,1),B (-3,2),且圆心C 在直线l :x-y-2=0上. (1)求圆C 的标准方程;(2)过点P (3,-1)作直线m 交圆C 于M ,N 两点且|MN|=8,求直线m 的方程.由已知直线AB 的斜率k AB =1,AB 中点坐标为(-72,32),所以AB 垂直平分线的方程为x+y+2=0. 则由{x +y +2=0,x -y -2=0,解得{x =0,y =-2,所以圆心C (0,-2), 因此半径r=|AC|=5,所以圆C 的标准方程为x 2+(y+2)2=25.(2)由|MN|=8可得圆心C 到直线m 的距离d=√52-42=3, 所以当直线m 斜率不存在时,其方程为x=3, 即x-3=0;当直线m 斜率存在时,设其方程为y+1=k (x-3),则d=√k 2+1=3,解得k=-43,此时其方程为4x+3y-9=0.所以直线m 的方程为x-3=0或4x+3y-9=0. 18.(12分)如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别为AB ,B 1C 的中点. (1)借助向量证明平面A 1BD ∥平面B 1CD 1; (2)借助向量证明MN ⊥平面A 1BD.建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D (0,0,0),A 1(2,0,2),B (2,2,0),B 1(2,2,2),C (0,2,0),D 1(0,0,2),设平面A 1BD 的法向量为m =(x ,y ,z ), ∵DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),∴{DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,即{2x +2z =0,2x +2y =0,令x=-1,则平面A 1BD 的一个法向量m =(-1,1,1).同理平面B 1CD 1的一个法向量为n =(-1,1,1),∴m ∥n ,∴平面A 1BD ∥平面B 1CD 1.(2)∵M ,N 分别为AB ,B 1C 的中点,∴M (2,1,0),N (1,2,1),∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,1),∴MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥m , ∴MN ⊥平面A 1BD.19.(12分)如图,在矩形ABCD 中,AB=3,AD=6,点E ,F 分别在AD ,BC 上,且AE=1,BF=4,沿EF 将四边形AEFB 折成四边形A'EFB',使点B'在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上.(1)求证:平面B'CD ⊥平面B'HD ; (2)求证:A'D ∥平面B'FC ;(3)求直线HC 与平面A'ED 所成角的正弦值.ABCD 中,CD ⊥DE ,点B'在平面CDEF 上的射影为H , 则B'H ⊥平面CDEF ,且CD ⊂平面CDEF ,∴B'H ⊥CD.又B'H ∩DE=H ,∴CD ⊥平面B'HD. 又CD ⊂平面B'CD ,∴平面B'CD ⊥平面B'HD.A'E ∥B'F ,A'E ⊄平面B'FC ,B'F ⊂平面B'FC ,∴A'E ∥平面B'FC.由DE ∥FC ,同理可得DE ∥平面B'FC.又A'E ∩DE=E ,∴平面A'ED ∥平面B'FC , ∴A'D ∥平面B'FC.,过点E 作ER ∥DC ,过点E 作ES ⊥平面EFCD ,分别以ER ,ED ,ES 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系.∵B'在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上, ∴设B'(0,y ,z )(y>0,z>0). ∵F (3,3,0),且B'E=√10,B'F=4,∴{y 2+z 2=10,9+(y -3)2+z 2=16,解得{y =2,z =√6,∴B'(0,2,√6),∴FB'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-1,√6), ∴EA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14FB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-34,-14,√64.又ED⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,5,0), 设平面A'DE 的法向量为n =(a ,b ,c ),则有{n ·EA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-3a -b +√6c =0,5b =0,解得b=0,令a=1,得平面A'DE 的一个法向量为n =(1,0,√62). 又C (3,5,0),H (0,2,0), ∴CH⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-3,0), ∴直线HC 与平面A'ED 所成角的正弦值为sin θ=|cos <CH ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|CH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||CH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=√1+0+64×√9+9+0=√55. 20.(12分)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,点M 在抛物线C 上,点A (-2p ,0).若当MF ⊥x 轴时,△MAF 的面积为5. (1)求抛物线C 的方程;(2)若∠MFA+2∠MAF=π,求点M 的坐标.当MF ⊥x 轴时,点M (p2,±p),F (p2,0),则|AF|=p 2+2p=5p 2,|MF|=p ,∴S △MAF =12|AF|·|MF|=12×5p 2×p=5,解得p=2,∴抛物线方程为y 2=4x.(2)设M (x 0,y 0),由(1)可知A (-4,0),F (1,0),∴|AF|=5.∵∠MFA+2∠MAF=π,在△FAM 中,有∠MFA+∠MAF+∠AMF=π,∴∠MAF=∠AMF ,∴|FA|=|FM|.又|MF|=x 0+p 2=x 0+1,∴x 0+1=5,∴x 0=4,∴y 0=±4.故点M 的坐标为(4,4)或(4,-4).21.(12分)(2021江苏南通模拟)如图,在四棱锥P-ABCD 中,四边形ABCD 是等腰梯形,AB ∥DC ,BC=CD=2,AB=4.M ,N 分别是AB ,AD 的中点,且PD ⊥NC ,平面PAD ⊥平面ABCD.(1)证明:PD ⊥平面ABCD ;(2)已知三棱锥D-PAB 的体积为23,求平面PNC 与平面PNM 的夹角的大小.DM ,则DC ∥BM 且DC=BM ,所以四边形BCDM 为平行四边形,所以DM ∥BC 且DM=BC ,所以△AMD 是等边三角形,所以MN ⊥AD.因为平面PAD ⊥平面ABCD ,且平面PAD ∩平面ABCD=AD ,所以MN ⊥平面PAD.因为PD ⊂平面PAD ,所以PD ⊥MN.又因为PD ⊥NC ,且MN ∩NC=N ,MN ⊂平面ABCD ,NC ⊂平面ABCD ,所以PD ⊥平面ABCD.BD ,则BD ∥MN ,所以BD ⊥AD ,BD ⊥PD. 在Rt △DAB 中,DA 2+DB 2=AB 2,又AD=2,AB=4,所以DB=2√3,故△DAB 的面积为S △DAB =12·DA ·DB=2√3.由等体积法可得V D-PAB =V P-DAB =13·PD ·S △DAB =13·PD ·2√3=23,所以PD=√33.建立空间直角坐标系如图所示,则D (0,0,0),N (1,0,0),C (-1,√3,0),M (1,√3,0),P (0,0,√33), 所以PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-√33),NC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,√3,0),NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0). 设平面PNC 的法向量为n =(x ,y ,z ),则有{PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,NC⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0, 即{x -√33z =0,-2x +√3y =0,令x=1,则y=2√33,z=√3, 所以平面PNC 的一个法向量n =(1,2√33,√3). 设平面PNM 的法向量为m =(a ,b ,c ),则有{PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0, 即{a -√33c =0,√3b =0,解得b=0,令a=1,则c=√3,所以平面PNM 的一个法向量m =(1,0,√3).所以n ·m =1+3=4,|n |=4√33,|m |=2, 所以|cos <n ,m >|=|n ·m ||n ||m |=4√33×2=√32, 则平面PNC 与平面PNM 的夹角的大小为30°.22.(12分)(2020江苏镇江期末)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)经过点P (2,1),且离心率为√32,直线l 与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M.(1)求椭圆C 的方程;(2)若∠APB 的角平分线与x 轴垂直,求PM 长度的最小值.因为椭圆经过点P ,且离心率为√32,所以{22a 2+12b 2=1,c a =√32,其中a 2=b 2+c 2,解得{a 2=8,b 2=2,所以椭圆的方程为x 28+y 22=1.(2)因为∠APB 的角平分线与x 轴垂直,所以直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数.设直线PA 的斜率为k (k ≠0),则直线PA 的方程为y=k (x-2)+1,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{y =k (x -2)+1,x 28+y 22=1,得(1+4k 2)x 2+8k (1-2k )x+16k 2-16k-4=0,所以2x 1=16k 2-16k -41+4k 2,即x 1=8k 2-8k -21+4k 2,y 1=k (8k 2-8k -21+4k 2-2)+1=-4k 2-4k+11+4k 2,即A (8k 2-8k -21+4k 2,-4k 2-4k+11+4k 2),同理可得B (8k 2+8k -21+4k 2,-4k 2+4k+11+4k 2),则M 在直线x+2y=0上,所以PM 的最小值为P 到直线x+2y=0的距离,即d=√5=4√55,此时M (65,-35)在椭圆内,所以PM 的最小值为4√55.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。
人教B数学必修第一册练习：模块综合检测 含解析
模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{－1，0，1，2}，则A ∩B ＝( ) A.{x |－1≤x ≤2} B.{－1，0，1，2} C.{－1，2}D.{0，1}解析：选B.因为A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{－1，0，1，2}； 所以A ∩B ＝{－1，0，1，2}， 故选B.2.函数f (x )＝1－x ＋1x 的定义域为( )A.(－∞，1]B.(－∞，0)C.(－∞，0)∪(0，1]D.(0，1]解析：选C.要使函数有意义，则⎩⎨⎧1－x ≥0x ≠0得⎩⎨⎧x ≤1x ≠0，即x ≤1且x ≠0， 即函数的定义域为(－∞，0)∪(0，1]，故选C. 3.命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否定形式綈p 为( ) A.∀x ∈N ，x 3≤x 2 B.∃x ∈N ，x 3＞x 2 C.∃x ∈N ，x 3＜x 2D.∃x ∈N ，x 3≤x 2解析：选D.命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否定形式是存在量词命题； 所以綈p ：“∃x ∈N ，x 3≤x 2”.故选D. 4.“a ＞0”是“a 2＋a ≥0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A.解二次不等式a 2＋a ≥0得：a ≥0或a ≤－1， 又“a ＞0”是“a ≥0或a ≤－1”的充分不必要条件， 即“a ＞0”是“a 2＋a ≥0”的充分不必要条件，故选A.5.若函数y ＝x 2－4x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－8，－4]，则m 的取值范围是( ) A.(0，2] B.(2，4] C.[2，4]D.(0，4)解析：选C.函数f (x )＝x 2－4x －4的图像是开口向上，且以直线x ＝2为对称轴的抛物线，所以f (0)＝f (4)＝－4，f (2)＝－8，因为函数f (x )＝x 2－4x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－8，－4]，所以2≤m ≤4，即m 的取值范围是[2，4]，故选C.6.已知函数f (x ＋2)＝x ＋4x ＋5，则f (x )的解析式为( ) A.f (x )＝x 2＋1 B.f (x )＝x 2＋1(x ≥2) C.f (x )＝x 2 D.f (x )＝x 2(x ≥2)解析：选B.f (x ＋2)＝x ＋4x ＋5＝(x ＋2)2＋1； 所以f (x )＝x 2＋1(x ≥2). 故选B.7.设函数f (x )＝⎩⎨⎧12x －1(x ≥0)1x (x ＜0)，若f (a )＝a ，则实数a 的值为( )A.±1B.－1C.－2或－1D.±1或－2解析：选B.由题意知，f (a )＝a ；当a ≥0时，有12a －1＝a ，解得a ＝－2(不满足条件，舍去)；当a ＜0时，有1a ＝a ，解得a ＝1(不满足条件，舍去)或a ＝－1.所以实数a 的值是a ＝－1.故选B.8.已知函数y ＝x ＋4x －1(x ＞1)，则此函数的最小值等于( )A.4xx －1B.42＋1C.5D.9解析：选C.因为x ＞1，所以x －1＞0， y ＝x ＋4x －1＝(x －1)＋4x －1＋1≥2(x －1)×4x －1＋1＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x －1＝4x －1即x ＝3时取等号， 故此函数的最小值等于5，故选C.9.已知f (x )＝－2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )＞0的解集为(－1，3).若对任意的x ∈[－1，0]，f (x )＋m ≥4恒成立，则m 的取值范围是( )A.(－∞，2]B.[4，＋∞)C.[2，＋∞)D.(－∞，4]解析：选B.由f (x )＝－2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )＞0的解集为(－1，3)，则－1和3是方程2x 2－bx －c ＝0的实数根，所以b ＝4，c ＝6；所以f (x )＝－2x 2＋4x ＋6，所以f (x )＋m ≥4，化为m ≥2x 2－4x －2对任意的x ∈[－1，0]恒成立，设g (x )＝2x 2－4x －2，其中x ∈[－1，0]，所以g (x )在[－1，0]内单调递减，且g (x )的最大值为g max ＝g (－1)＝4，所以m 的取值范围是[4，＋∞).故选B.10.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≤0ax 2＋x ，x ＞0为奇函数，则a ＝( )A.－1B.1C.0D.±1解析：选A.因为函数f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，则f (－1)＝－f (1)，即1＋a ＝－a －1，即2a ＝－2，得a ＝－1，故选A.11.已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是{x |α＜x ＜β}(α＞0)，则不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫1β，1αB.⎝⎛⎭⎫－∞，1β∪⎝⎛⎭⎫1α，＋∞ C.{x |α＜x ＜β}D.(－∞，α)∪(β，＋∞)解析：选B.不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是{x |α＜x ＜β}(α＞0)，则α，β是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的实数根，且a ＜0；所以α＋β＝－b a ，α·β＝ca ；所以不等式cx2＋bx ＋a ＜0化为c a x 2＋b a x ＋1＞0，所以αβx 2－(α＋β)x ＋1＞0；化为(αx －1)(βx －1)＞0；又0＜α＜β，所以1α＞1β＞0；所以不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜1β或x ＞1α.故选B. 12.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，－3≤x ≤02x －3，x ＞0，若方程f (x )＋|x －2|－kx ＝0有且只有三个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－23，3－22 B.⎣⎡⎦⎤－23，3＋22 C.⎝⎛⎦⎤－∞，－23 D.⎣⎡⎦⎤－23，16 解析：选A.设h (x )＝f (x )＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ＋2(－3≤x ≤0)x －1(0＜x ≤2)3x －5(x ＞2)，方程f (x )＋|x －2|－kx ＝0有且只有三个不相等的实数解等价于y ＝h (x )的图像与y ＝kx 的图像有三个交点，又y ＝h (x )的图像与y ＝kx 的图像如图所示，求得k 1＝－23，k 2＝3－2 2.即实数k 的取值范围是－23≤k ＜3－22，故选A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上. 13.若a ∈R ，且a 2－a ＜0，则a ，a 2，－a ，－a 2从小到大的排列顺序是 . 解析：因为a 2－a ＜0，所以0＜a ＜1， －a 2－(－a )＝－(a 2－a )＞0，所以－a 2＞－a ， 所以－a ＜－a 2＜0＜a 2＜a .答案：－a ＜－a 2＜a 2＜a14.已知f (x )＝x 2－(m ＋2)x ＋2在[1，3]上是单调函数，则实数m 的取值范围为 . 解析：根据题意，f (x )＝x 2－(m ＋2)x ＋2为二次函数，其对称轴为x ＝m ＋22，若f (x )在[1，3]上是单调函数，则有m ＋22≤1或m ＋22≥3，解可得m ≤0或m ≥4，即m 的取值范围为m ≤0或m ≥4. 答案：m ≤0或m ≥415.已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，若a ≤1x ＋9y 恒成立，则实数a 的最大值为 .解析：因为x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1. 所以1x ＋9y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9xy ≥10＋2y x ·9x y ＝16，当且仅当y ＝3x ＝34时取等号. 因为不等式a ≤1x ＋9y 恒成立⇔⎝⎛⎭⎫1x ＋9y min ≥a . 所以a ∈(－∞，16]， 即实数a 的最大值为16. 答案：1616.若关于x 的不等式x 2＋mx ＋2＞0在区间[1，2]上有解，则实数m 的取值范围为_____. 解析：x ∈[1，2]时，不等式x 2＋mx ＋2＞0可化为m ＞－x －2x ，设f (x )＝－x －2x，x ∈[1，2]，则f (x )在[1，2]内的最小值为f (1)＝f (2)＝－3，所以关于x 的不等式x 2＋mx ＋2＞0在区间[1，2]上有解， 实数m 的取值范围是m ＞－3. 答案：m ＞－3三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)已知x ，y ∈R ＋，且2x ＋3y ＝1.(1)求xy 的最小值； (2)求4x ＋6y 的最小值.解：(1)x ，y ∈R ＋，且2x ＋3y ＝1.由均值不等式可得，1＝2x ＋3y ≥26xy， 解不等式可得，xy ≥24，当且仅当2x ＝3y ＝12即x ＝4，y ＝6时取最小值24.(2)4x ＋6y ＝(4x ＋6y )⎝⎛⎭⎫2x ＋3y ＝26＋12y x ＋12xy ≥26＋24＝50， 当且仅当x ＝y ＝5时取得最小值50.18.(本小题满分12分)函数f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4. (1)若f (x )有且只有一个零点，求m 的值；(2)若f (x )有两个零点且均比－1大，求m 的取值范围.解：(1)根据题意，若f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有且只有一个零点，则Δ＝(2m )2－4(3m ＋4)＝0；解可得：m ＝－1或4， 即m 的值为－1或4.(2)根据题意，若f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有两个零点且均比－1大，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2m )2－4(3m ＋4)＞0－m ＞－1f (－1)＝1－2m ＋3m ＋4＞0，解得－5＜m ＜－1，即m 的取值范围为(－5，－1).19.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x ＋ax 2＋1为奇函数.(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )在(－1，1)上的单调性，并证明. 解：(1)根据题意，f (x )＝x ＋ax 2＋1为奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0，即－x ＋a x 2＋1＋x ＋a x 2＋1＝0，解得a ＝0.(2)由(1)的结论，f (x )＝xx 2＋1在(－1，1)上为增函数；证明如下：任取x 1，x 2∈(－1，1)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝x 1(x 22＋1)－x 2(x 21＋1)(x 21＋1)(x 22＋1) x 1x 22＋x 1－x 2x 21－x 2(x 21＋1)(x 22＋1)＝x 1x 2(x 2－x 1)－(x 2－x 1)(x 21＋1)(x 22＋1)＝(x 1x 2－1)(x 2－x 1)(x 21＋1)(x 22＋1)，又由x 1，x 2∈(－1，1)，且x 1＜x 2，则x 1x 2－1＜0，x 2－x 1＞0，x 21＋1＞0，x 22＋1＞0，则有f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以函数f (x )在(－1，1)上单调递增.20.(本小题满分12分)已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞－2x 的解集为(1，3)，方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式.解：因为f (x )＋2x ＞0的解集为(1，3)， 设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a ＜0，所以f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .① 由方程f (x )＋6a ＝0，得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.②因为方程②有两个相等的实根，所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0， 即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15.又a ＜0，所以a ＝－15，将a ＝－15代入①得f (x )＝－15x 2－65x －35.21.(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝－x 2＋ax －a2＋1(a ∈R ).(1)若函数f (x )为偶函数，求a 的值.(2)若函数f (x )在区间[－1，1]上的最大值为g (a )，求g (a )的最小值.解：(1)二次函数f (x )＝－x 2＋ax －a 2＋1的对称轴为x ＝a2，由f (x )为偶函数，可得a ＝0；(2)f (x )＝－x 2＋ax －a 2＋1的对称轴为x ＝a2，当a 2≥1即a ≥2时，f (x )在[－1，1]单调递增，可得g (a )＝f (1)＝a2，且g (a )的最小值为1； 当a 2≤－1即a ≤－2时，f (x )在[－1，1]单调递减，可得g (a )＝f (－1)＝－32a ，且g (a )的最小值为3；当－1＜a 2＜1，即－2＜a ＜2时，f (x )的最大值为g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a 24－a 2＋1，当a ＝1时，g (a )取得最小值34，综上可得，g (a )的最小值为34.22.(本小题满分12分)近几年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x (千部)手机，需另投入成本R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2＋100x ，0＜x ＜40701x ＋10 000x －9 450，x ≥40， 由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. (1)求出2020年的利润W (x )(万元)关于年产量x (千部)的函数关系式(利润＝销售额－成本)；(2)2020年产量为多少(千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)当0＜x ＜40时，W (x )＝700x －(10x 2＋100x )－250＝－10x 2＋600x －250； 当x ≥40时，W (x )＝700x －⎝⎛⎭⎫701x ＋10 000x －9 450－250＝－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ＋9 200， 所以W (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－10x 2＋600x －250，0＜x ＜40－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ＋9 200，x ≥40. (2)若0＜x ＜40，W (x )＝－10(x －30)2＋8 750， 当x ＝30时，W max ＝8 750万元，若x ≥40，W (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000x ＋9 200≤9 200－210 000＝9 000，当且仅当x＝10 000时，即x＝100时，W max＝9 000万元，x所以2020年产量为100(千部)时，企业所获利润最大，最大利润是9 000万元.。
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高中数学学习材料唐玲出品模块综合测评 必修1(B 版)(时间：90分钟 满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在指定答题栏内．1．已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个解析：P ＝M ∩N ＝{1,3}，故P 的子集有22＝4个，故选B. 答案：B2．函数y ＝1x ＋log 2(x ＋3)的定义域是( ) A ．RB ．(－3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－3,0)∪(0，＋∞)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x ＋3>0，得x >－3且x ≠0，所以函数定义域为(－3,0)∪(0，＋∞)，故选D. 答案：D3．若幂函数f (x )＝x a 在(0，＋∞)上是增函数，则( )A ．a ＞0B ．a ＜0C ．a ＝0D ．不能确定 解析：当a >0时，f (x )＝x a 在(0，＋∞)上递增，故选A. 答案：A4．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |2x 2－3x －2＝0}，集合B ＝{x |x >1}，则A ∩(∁UB )＝( )A ．{2}B ．{x |x ≤1}C ．{－12}D ．{x |x ≤1或x ＝2}解析：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，2，∁U B ＝{x |x ≤1}，则A ∩(∁U B )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，故选C. 答案：C5．下列各式错误的是( ) A ．30.8>30.7 B ．log 0.50.4>log 0.50.6 C ．0.75－0.1<0.750.1D ．lg1.6>lg1.4解析：∵y ＝0.75x 为减函数，∴0.75－0.1>0.750.1，故选C. 答案：C6．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的反函数的图像为( )A. B.C. D.解析：函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的反函数为y ＝log 12x ，故选D.答案：D7．若一次函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点2，则函数g (x )＝bx 2－ax 的图像可能是( )A. B.C.D.解析：由题意知，2a ＋b ＝0，所以a ＝－b2. 因此g (x )＝bx 2＋b 2x ＝b (x 2＋12x )＝b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142－b 16.易知函数g (x )图像的对称轴为x ＝－14，排除A ，D. 又令g (x )＝0，得x ＝0，－0.5，故选C. 答案：C8．已知偶函数f (x )在(－∞，－2]上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＜f (－3)＜f (4)B ．f (－3)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＜f (4)C ．f (4)＜f (－3)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72D ．f (4)＜f ⎝⎛⎭⎪⎫－72＜f (－3)解析：∵f (x )在(－∞，－2]上是增函数，且－4<－72<－3，∴f (4)＝f (－4)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72<f (－3)，故选D.答案：D9．函数y ＝x 2的图像与函数y ＝|lg x |的图像的交点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝x 2和y ＝|lg x |的图像，如图，可得交点个数为1，故选B.答案：B10．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 的零点所在的大致区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2，e) D ．(3,4)解析：f (1)＝ln(1＋1)－21＝ln2－2＝ln2－lne 2<0，f (2)＝ln(2＋1)－22＝ln3－1>0，因此函数的零点必在区间(1,2)内，故选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．11．计算：160.75＋0.0112－(27)43＝__________.解析：原式＝1634＋(0.1)2×12－2712×43＝24×34＋0.1－33×23＝8＋110－9＝－910.答案：－91012．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4 (0≤x ≤2)，2x (x ＞2)，则f (2)＝________；若f (x 0)＝8，则x 0＝________.解析：f (2)＝22－4＝0，当x 0>2时，2x 0＝8，∴x 0＝4，当0≤x 0≤2时，x 20－4＝8，∴x 0＝±23(舍)，∴x 0＝4. 答案：0 413．已知f (x )＝x 3＋1，若f (a )＝11，则f (－a )＝__________. 解析：∵f (a )＝a 3＋1＝11，∴a 3＝10， f (－a )＝(－a )3＋1＝－a 3＋1＝－10＋1＝－9. 答案：－914．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a (x ＜1)，－x ＋1 (x ≥1)是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是________．解析：令g (x )＝(3a －1)x ＋4a ，h (x )＝－x ＋1，要满足f (x )在R 上是减函数，需有⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，g (1)≥h (1)，解之得17≤a ＜13.即a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)已知集合A ＝{x |1≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，C ＝{x |x <a }，全集为实数集R .(1)求A ∪B ，(∁R A )∩B ； (2)求A ∩C .解：(1)A ∪B ＝{x |1≤x ＜10}，(2分)(∁R A )∩B ＝{x |x <1或x ≥7}∩{x |2＜x ＜10}＝{x |7≤x ＜10}．(6分) (2)当a ≤1时，A ∩C ＝∅.(8分)当1<a <7时，A ∩C ＝{x |1≤x <a }．(10分) 当a ≥7时，A ∩C ＝{x |1≤x <7}．(12分)16．(12分)已知函数f (x )是正比例函数，函数g (x )是反比例函数，且f (1)＝1，g (1)＝2.(1)求函数f (x )和g (x )；(2)判断函数f (x )＋g (x )的奇偶性．解：(1)设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ，其中k 1k 2≠0. ∵f (1)＝1，g (1)＝2，∴k 1×1＝1，k 21＝2，∴k 1＝1，k 2＝2. ∴f (x )＝x ，g (x )＝2x .(6分)(2)设h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝x ＋2x ， ∴函数h (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(8分)∵h(－x)＝－x＋2－x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x＋2x＝－h(x)，(10分)∴函数h(x)是奇函数，即函数f(x)＋g(x)是奇函数．(12分)17．(12分)已知f(x)＝ln(e x＋a)是定义域为R的奇函数，g(x)＝λf(x)．(1)求实数a的值；(2)若g(x)≤x log2x在x∈[2,3]时恒成立，求λ的取值范围．解：(1)因为函数f(x)＝ln(e x＋a)是定义域为R的奇函数．(2分)所以f(0)＝0，即ln(1＋a)＝0，得a＝0.(4分)对于函数f(x)＝lne x＝x，显然有f(－x)＝－f(x)，故函数f(x)＝x是奇函数，所以实数a的值为0.(6分)(2)由(1)知f(x)＝x, g(x)＝λx，则λx≤x log2x在x∈[2,3]时恒成立．即λ≤log2x在x∈[2,3]上恒成立．(8分)∵函数y＝log2x在x∈[2,3]时的最小值为log22＝1，(10分)∴λ≤1.(12分)18．(14分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解：(1)设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ， 所以f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2， 即f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)． (6分)(2)设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为(20－x )万元． 依题意得：y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20)． (8分)令t ＝20－x (0≤t ≤25)．(10分) 则y ＝20－t 28＋12t ＝－18(t －2)2＋3，所以当t ＝2，即x ＝16万元时，收益最大，y max ＝3万元．(14分)。
高中数学 模块综合测评(含解析)新人教B版必修第一册-新人教B版高一第一册数学试题
模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |2x 2－x ≥0}，B ＝{y |y ＞－1}，则A ∩B ＝( ) A ．(－1，0] B ．(－1，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，12D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B [A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤0或x ≥12，∴A ∩B ＝(－1，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.故选B.]2．命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否定形式¬p 为( ) A ．∀x ∈N ，x 3≤x 2 B ．∃x ∈N ，x 3＞x 2 C ．∃x ∈N ，x 3＜x 2D ．∃x ∈N ，x 3≤x 2D [全称量词命题的否定是存在量词命题，不等号要改变，故选D.]3．已知p ：x －a ＞0，q ：x ＞1，若p 是q 的充分条件，则实数a 的取值X 围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)D [已知p ：x －a ＞0，x ＞a ，q ：x ＞1，若p 是q 的充分条件，根据小X 围推出大X 围得到a ≥1.故选D.]4．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x ＋3，f (m )＝6，则m 等于( )A ．－14B ．14C ．32D ．－32A [令12x －1＝t ，则x ＝2t ＋2，所以f (t )＝2×(2t ＋2)＋3＝4t ＋7.令4m ＋7＝6，得m ＝－14.故选A.]5．函数f (x )＝x ＋1＋1x －3的定义域为( ) A ．(－3，0]B ．(－3，1]C ．[－1，3)∪(3，＋∞)D ．[－1，3)C [由条件知⎩⎨⎧x ＋1≥0x －3≠0，∴x ≥－1且x ≠3，故选C.]6．函数f (x )＝mx 2＋(m －1)x ＋1在区间(－∞，1]上为减函数，则m 的取值X 围为( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C [当m ＝0时，f (x )＝1－x ，满足在区间(－∞，1]上为减函数，当m ≠0时，因为f (x )＝mx 2＋(m －1)x ＋1的图像的对称轴为直线x ＝1－m2m ，且函数在区间(－∞，1]上为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，1－m 2m ≥1，解得0＜m ≤13.综上，0≤m ≤13.故选C.]7．某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元．若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下多少钱( )A ．8元B ．16元C ．24元D ．32元D [设方形巧克力每块x 元，圆形巧克力每块y 元，小明带了a 元钱， ⎩⎨⎧3x ＋5y ＝a ＋8，①5x ＋3y ＝a －8，②①＋②，得8x ＋8y ＝2a ，∴x ＋y ＝14a ， ∵5x ＋3y ＝a －8，∴2x ＋(3x ＋3y )＝a －8， ∴2x ＋3×14a ＝a －8，∴2x ＝14a －8，∴8x ＝a －32， 即他只购买8块方形巧克力，则他会剩下32元，故选D.]8．已知函数f (x )＝mx ＋1的零点在区间(1，2)内，则m 的取值X 围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞D ．()－∞，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞B [根据题意，函数f (x )＝mx ＋1，当m ＝0时，f (x )＝1，没有零点， 当m ≠0时，f (x )为单调函数，若其在区间(1，2)内存在零点， 必有f (1)f (2)＜0，即(m ＋1)(2m ＋1)＜0，解得－1＜m ＜－12，即m 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，故选B.]二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列命题中是真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，2x 2－3x ＋4＞0 B ．∀x ∈{1，－1，0}，2x ＋1＞0 C ．∃x ∈N ，使x ≤xD ．∃x ∈N *，使x 为29的约数 ACD [对于A ，这是全称量词命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4＜0，所以2x 2－3x ＋4＞0恒成立，故A 为真命题；对于B ，这是全称量词命题，由于当x ＝－1时，2x ＋1＞0不成立，故B 为假命题；对于C ，这是存在量词命题，当x ＝0时，有x ≤x 成立，故C 为真命题； 对于D ，这是存在量词命题，当x ＝1时，x 为29的约数成立，所以D 为真命题．]10．有以下说法，其中正确的为( ) A ．“m 是有理数”是“m 是实数”的充分条件 B ．“x ∈A ∩B ”是“x ∈A ”的必要条件 C ．“x 2－2x －3＝0”是“x ＝3”的必要条件 D ．“x ＞3”是“x 2＞4”的充分条件ACD[A正确，由于“m是有理数”⇒“m是实数”，所以“m是有理数”是“m是实数”的充分条件；B不正确．因为“x∈A”“x∈A∩B”，所以“x∈A∩B”不是“x∈A”的必要条件；C正确．由于“x＝3”⇒“x2－2x－3＝0”，故“x2－2x－3＝0”是“x ＝3”的必要条件；D正确．由于“x＞3”⇒“x2＞4”，所以“x＞3”是“x2＞4”的充分条件．]11．已知f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－1，若f(a)·f(－a)＝4，则实数a的值可为()A．－3 B．－1C．1 D．3BC[∵f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－1，①当a＞0时，f(a)·f(－a)＝[f(－a)]2＝(－a－1)2＝4，解得，a＝1或a＝－3(舍)；②当a＜0时，f(a)·f(－a)＝[f(a)]2＝(a－1)2＝4，解可得，a＝－1或a＝3(舍)，综上可得，a＝－1或1，故选BC.]12．设c＜0，f(x)是区间[a，b]上的减函数，下列命题中正确的是()A．f(x)在区间[a，b]上有最小值f(a)B．1f（x）在[a，b]上有最小值f(a)C．f(x)－c在[a，b]上有最小值f(b)－cD．cf(x)在[a，b]上有最小值cf(a)CD[A中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，在区间[a，b]上有最小值f(b)，A错误；B中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，而函数1f（x）在[a，b]上单调性无法确定，其最小值无法确定，B错误；C中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，f(x)－c在区间[a，b]上也是减函数，其最小值f(b)－c，C正确；D中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，且c＜0，则cf(x)在区间[a，b]上是增函数，则在[a ，b ]上有最小值cf (a )，D 正确．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．不等式－2x 2＋x ＋3＜0的解集为________．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞[化－2x 2＋x ＋3＜0为2x 2－x －3＞0，解方程2x 2－x－3＝0得x 1＝－1，x 2＝32，所以不等式2x 2－x －3＞0的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞，即原不等式的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.]14．已知函数f (x )＝5－xx ，则f (1)＝________，函数y ＝f (x )的定义域为________．(本题第一空2分，第二空3分)2 (－∞，0)∪(0，5][函数f (x )＝5－x x ，则f (1)＝5－11＝2，令⎩⎨⎧5－x ≥0，x ≠0，解得x ≤5且x ≠0， ∴函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，5].]15．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值X 围为________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54[y ＝⎩⎨⎧x 2－x ＋a ，x ≥0，x 2＋x ＋a ，x ＜0， 作出图像，如图所示．此曲线与y 轴交于(0，a )点，最小值为a －14，要使y ＝1与其有四个交点，只需a －14＜1＜a ，∴1＜a ＜54.]16．设函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题： ①f (x )一定是偶函数；②当f (0)＝f (2)时，f (x )的图像一定关于直线x ＝1对称；③若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数； ④f (x )有最大值|a 2－b |.其中正确命题的序号是________．③[若a ＝1，b ＝1，则f (x )＝|x 2－2x ＋1|＝x 2－2x ＋1，显然f (x )不是偶函数，所以①错误；若a ＝－1，b ＝－4，则f (x )＝|x 2＋2x －4|，满足f (0)＝f (2)，但显然f (x )的图像不关于直线x ＝1对称，所以②错误；若a 2－b ≤0，则f (x )＝|x 2－2ax ＋b |＝x 2－2ax ＋b ，此时函数f (x )的图像是开口向上的抛物线，且抛物线的对称轴是直线x ＝a ，所以f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数，所以③正确；显然函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )没有最大值，所以④错误．故填③.]四、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪4－2x x －7＞0，B ＝{x |x 2－4x ＋4－m 2≤0，m ＞0}．(1)若m ＝3，求A ∩B ；(2)若A ∪B ＝B ，某某数m 的取值X 围．[解](1)若m ＝3，解得：A ＝(2，7)，B ＝[－1，5]， 所以A ∩B ＝(2，5]；(2)由题意得：B ＝[2－m ，2＋m ]， 又因为A ∪B ＝B ，有A ⊆B ，则有：2－m ≤2①；2＋m ≥7②；m ＞0③；同时成立． ∴m ≥5.18．(本小题满分12分)已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2.(1)求k 的取值X 围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值． [解](1)依题意，得Δ＝b 2－4ac ≥0， 即[－2(k －1)]2－4k 2≥0，解得k ≤12.(2)法一：依题意，得x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2.以下分两种情况讨论：①当x1＋x2≥0时，则有x1＋x2＝x1x2－1，即2(k－1)＝k2－1，解得k1＝k2＝1.因为k≤1 2，所以k1＝k2＝1不合题意，舍去．②当x1＋x2<0时，则有x1＋x2＝－(x1x2－1)，即2(k－1)＝－(k2－1).解得k1＝1，k2＝－3.因为k≤12，所以k＝－3.综合①②可知k＝－3.法二：依题意，可知x1＋x2＝2(k－1).由(1)可知k≤12，所以2(k－1)<0，即x1＋x2<0.所以－2(k－1)＝k2－1，解得k1＝1，k2＝－3.因为k≤12，所以k＝－3.19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x＋1x＋1，g(x)＝ax＋5－2a(a＞0).(1)判断函数f(x)在[0，1]上的单调性，并用定义加以证明；(2)若对任意m∈[0，1]，总存在m0∈[0，1]，使得g(m0)＝f(m)成立，某某数a 的取值X围．[解](1)函数f(x)在[0，1]上单调递增，证明如下：设0≤x1＜x2≤1，则f(x1)－f(x2)＝x1＋1x1＋1－x2－1x2＋1＝(x1－x2)＋x2－x1（x1＋1）（x2＋1）＝（x1－x2）（x1x2＋x1＋x2）（x1＋1）（x2＋1）.因为x 1－x 2＜0，(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，x 1x 2＋x 1＋x 2＞0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在[0，1]上单调递增． (2)由(1)知，当m ∈[0，1]时，f (m )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32.因为a ＞0，g (x )＝ax ＋5－2a 在[0，1]上单调递增， 所以m 0∈[0，1]时，g (m 0)∈[5－2a ，5－a ]. 依题意，只需⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32⊆[5－2a ，5－a ]所以⎩⎪⎨⎪⎧5－2a ≤1，5－a ≥32，解得2≤a ≤72， 即实数a 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，72.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－mx ＋2m －4(m ∈R ). (1)当m ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)当x ＞2时，不等式f (x )≥－1恒成立，求m 的取值X 围． [解](1)因为m ＝1，所以f (x )＝x 2－x －2. 所以x 2－x －2≥0，即(x －2)(x ＋1)≥0， 解得x ≤－1或x ≥2.故不等式f (x )≥0的解集为{x |x ≤－1或x ≥2}．(2)当x ＞2时，不等式f (x )≥－1恒成立等价于m ≤x 2－3x －2在(2，＋∞)上恒成立．因为x ＞2，所以x －2＞0，则x 2－3x －2＝（x －2）2＋4（x －2）＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋4≥2（x －2）·1x －2＋4＝6.当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． 故m 的取值X 围为(－∞，6].21．(本小题满分12分)某商场将进价为2 000元的冰箱以2 400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．(1)假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；(不要求写自变量的取值X 围)(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4 800元，同时又要使消费者得到实惠，每台冰箱应降价多少元？(3)每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？[解](1)根据题意，得y ＝(2400－2000－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋4×x 50，即y ＝－225x 2＋24x ＋3 200.(2)由题意，得－225x 2＋24x ＋3 200＝4 800， 整理得x 2－300x ＋20 000＝0， 解得x ＝100或x ＝200，又因为要使消费者得到实惠，所以应取x ＝200， 所以每台冰箱应降价200元．(3)y ＝－225x 2＋24x ＋3 200＝－225(x －150)2＋5 000， 由函数图像可知，当x ＝150时，y max ＝5 000，所以每台冰箱降价150元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高，最高利润是5 000元．22．(本小题满分12分)已知函数y ＝f (x )的定义域为D ，且f (x )同时满足以下条件：①f (x )在D 上是单调递增或单调递减函数；②存在闭区间[a ，b ]D (其中a <b )，使得当x ∈[a ，b ]时，f (x )的取值集合也是[a ，b ].那么，我们称函数y ＝f (x )(x ∈D )是闭函数．(1)判断f (x )＝－x 3是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由；(2)若f (x )＝k ＋x ＋2是闭函数，某某数k 的取值X 围．(注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出是增函数还是减函数即可)[解](1)f (x )＝－x 3在R 上是减函数，满足①；设存在区间[a ，b ]，f (x )的取值集合也是[a ，b ]，则⎩⎨⎧－a 3＝b ，－b 3＝a ，解得a ＝－1，b＝1，所以存在区间[－1，1]满足②， 所以f (x )＝－x 3(x ∈R )是闭函数．(2)f (x )＝k ＋x ＋2是[－2，＋∞)上的增函数，由题意知，f (x )＝k ＋x ＋2是闭函数，存在区间[a ，b ]满足② 即：⎩⎪⎨⎪⎧k ＋a ＋2＝a ，k ＋b ＋2＝b .即a ，b 是方程k ＋x ＋2＝x 的两根， a ，b 是方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－2＝0的两根． 且a ≥k ，b >k .令f (x )＝x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－2，得⎩⎪⎨⎪⎧f （k ）≥0，Δ>0，2k ＋12>k ，解得－94<k ≤－2，所以实数k 的取值X 围为 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2.。
数学人教B版必修一 模块综合测试A卷 含解析 精品
测试七 模块综合测试（A 卷）【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分)1.如果S={x ∈N |x ＜6}，A={1，2，3}，B={2，4，5}，那么（A ）∪（B ）等于 A.{1，3，4，5} B.{0，1，3，4，5} C.{1，2，3，4，5} D.{0} 答案：B解析：∵A={0,4,5},B={0,1,3},∴(A)∪(B)={0,1,3,4,5}. 2.设P={y|y=x 2,x ∈R },Q={x|y=2x ,x ∈R }，则 A.Q P B.Q P C.P∩Q={2,4} D.P∩Q={(2,4)}答案：A解析：因为P={y|y≥0},Q=R ,所以P Q.3.右图中，纵轴是某公司职工人数，但刻度被抹掉了，横轴是工作年数（有刻度），则该公司中，工作5年或更多时间的职工所占的百分比是A.9%B.3123% C.30% D.50% 答案：C解析：纵轴虽无刻度，但可以以一个“x”代表一个单位，则职工总人数为30个单位，工作5年或更多时间的职工有9个单位.故占百分比为9÷30=30%. 4.下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是答案：C解析：只有能够穿过x 轴的函数会出现满足零点存在性定理的条件“f(x)在［a,b ］上满足f(a)·f(b)<0,则其在该区间上存在零点”.5.设f(x)=3x +3x-8,用二分法求方程3x +3x-8=0在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间A.（1,1.25）B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能确定 答案：B提示：根据根的存在性原理判断.6.已知y=f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)=x-2,那么不等式f(x)<21的解集是 A.{x|0<x<25} B.{x|23-<x<0} C.{x|23-<x<0或0<x<25} D.{x|x<23-或0≤x<25}答案：D解析：f(x)是奇函数，所以f(0)=0;由于x>0时，f(x)=x-2,故设x<0,则-x>0,f(-x)=-x-2,f(x)=x+2,即f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<+=>-.0,2,0,0,0,2x x x x x 令x=0,不等式f(x)<21成立，排除A 、B 、C 选项.7.“沙漏”是古代计时工具，现在多做成精美的工艺品，放在案头，提醒人们要“惜时如金”.这里有一个沙漏的截面图（如图所示），其中阴影部分是流沙的横截面，面积为S ，将S 表示为流沙高度h 的函数(0≤h≤H)，则该函数的图象是答案：B 解析：S=Ha 2·h 2(0≤h≤H). 8.已知y=log m （2-mx ）在［0，1］上是x 的减函数，则m 的取值范围是 A.（0，1） B.（0，2） C.（1，2） D.［2，+∞) 答案：C解析：∵由题意m>0,且m≠1, ∴内函数t=2-mx 是减函数.∴只要外函数y=log m t 是增函数即可. ∴m>1.又当0≤x≤1时，2-mx>0, ∴m<2.9.设f 1（x ）=x+1，f 2（x ）=21x+2，f 3（x ）=621-x ，而g （x ）为f 1（x ）、f 2（x ）、f 3（x ）中的最小者，则g （x ）的最大值为 A.3 B.310 C.4 D.29 答案：C解析：在同一坐标系中画出各图象，如下图，阴影部分的边界便是g(x)的图象.由g(x)的图象可以看出f 2与f 3的交点的纵坐标即为所求.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=,216,221x y x y 得y=4.故选C. 10.已知方程x 2-2x+lg(2m-1)=0有一个正根一个负根，那么实数m 的取值范围是 A.0<m<1 B.21<m<1 C.21<m≤1 D.m<1 答案：B解析：依题意有⎪⎩⎪⎨⎧>---<->-,0)12lg(4)2(,0)12lg(,0122m m m 解得21<m<1.11.若函数f(x)=ka x -a -x （a>0且a≠1）既是奇函数，又是增函数，那么g(x)=log a (x+k)的图象是答案：C解析：∵f(x)是奇函数，∴f(-x)+f(x)=0.而ka -x -a x +ka x -a -x =0,整理得（k-1）(a x +x a1)=0.∴k=1. 又∵f(x)是增函数，∴a>1. ∴g(x)=log a (x+1)的图象为C.12.设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥<-,0,,0,7)21(x x x x若f(a)<1,则实数a 的取值范围是A.(-∞,-3)B.(1,+∞)C.(-3,1)D.(-∞,-3)∪(1,+∞) 答案：C解析：由题意知当a≥0时，有a <1, ∴0≤a<1;当a<0时，有（21）a -7<1,即(21)a <8, ∴-3<a<0.综上所述，可知-3<a<1.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上） 13.已知f:A→B 是从A 到B 的映射，其中A=B={(x,y)|x,y ∈R },f:(x,y)→(2,2yx y x -+)，那么B 中元素（-5，2）的原象是______________. 答案：(-3,-7)解析：令⎩⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+.7,3,22,52y x y x yx 解得14.函数y=（1+x ）0xx+-1的定义域是_______________. 答案：{x|x>-1且x≠0}解析：要使函数有意义需⎪⎩⎪⎨⎧≠≥+≠+,0,01,01x x x 简化成⎩⎨⎧≠>+,0,01x x解集为{x|x>-1且x≠0}.15.已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且f （x+2）=)(1x f -，若当2≤x≤3时，f （x ）=x ，则f （5.5）=_______________. 答案：2.5解析：由已知f(x+4)=f ［(x+2)+2］=)(11)2(1x f x f --=+-=f(x), ∴f(5.5)=f(1.5+4)=f(1.5)=f(-2.5+4)=f(-2.5)=f(2.5)=2.5. 16.（探究题）已知函数f(x)=2x -2-x ,有下列四个命题： ①对任意实数x,均有f(-x)=f(x); ②f -1(0)=0;③f(x)在R 上是增函数； ④f(|x|)有最小值0.其中正确命题是________________.（请将所有正确命题的序号都填上） 答案：②③④三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或解题步骤）17.（本小题满分12分）f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ∈［0，1］时，f （x ）=142+x x .（1）求f （x ）在（-1，0）上的解析式； （2）证明f （x ）在（0，1）上是减函数. 答案：(1)解：设-1<x<0，则0<-x<1.∵x ∈(0,1)时,f(x)=142+x x,∴f(-x)=142142+=+--x xx x .又∵f(x)是奇函数, ∴f(-x)=-f(x).∴当-1<x<0时,f(x)=-f(-x)=142+-x x.(2)证明：设0<x 1<x 2<1，则f(x 1)=14211+x x ,f(x 2)=14222+x x ,f(x 2)-f(x 1)=)14)(14()22)(12(1421422121211122++--=+-++x x x x x x x x x x . ∵0<x 1<x 2<1,2122x x >,故2122x x -<0,14x +1>0,24x +1>0,212x x +-1>0.∴f(x 2)-f(x 1)<0,从而f(x 2)<f(x 1).因此f(x)在(0,1)上是减函数. 18.（本小题满分12分）已知2lg ［21(x-y)］=lgx+lgy,求yx的值. 解：由已知等式得lg(2y x -)2=lgxy, ∴(2y x -)2=xy,即x 2-6xy+y 2=0, 解得223±=yx. ∵x>y>0,∴yx>1,故舍去223-. ∴223+=yx. 19.（本小题满分12分）(创新题)如图，D 是边长为8的等边△ABC 的AB 边上的中点.动点P 从B 开始沿B→C→A 的方向运动，到A 点为止.若P 点从B 开始运行的距离为x ，△BDP的面积为y.（1）求函数y=f(x)的解析式及其定义域； （2）作出函数y=f(x)的图象. 解：(1)当0≤x≤8时，S=21·BD·PQ=21·4·x·sin60°=x 3;当8<x≤16时，S=21·BD·PQ=21·4·(16-x)sin60°=3163+-x .于是S=f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤≤.168,3163,80,3x x x x ∴f(x)的定义域为［0,16］.(2)f(x)图象如下图所示：20.（本小题满分12分）已知函数f(x)对一切x,y ∈R ,都有f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证：f(x)是奇函数；（2）若f(-3)=a,试用a 表示f(12). 答案：（1）证明：已知f(x+y)=f(x)+f(y), ① 令y=-x 得f(x)+f(-x)=f(0), ②又令x=y=0代入①式,得f(0)=f(0)+f(0),即f(0)=0.由②式f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.(2)解：f(-3)=a,f(x)是奇函数，∴f(3)=-a.在①式中令y=x,可得f(2x)=2f(x),因此，f(12)=2f(6)=4f(3)=-4a.21.（本小题满分12分）如图，一个函数发生器，当输入x 后，经过发生器的作用，便输出一个x 101+90并打印这个输出值.然后立即对输出值作一个判断：若输出值超过99.9，则发生器停止工作；若输出值不超过99.9时，它会自动将输出值作为新输入值输入，经过发生器的作用，再做同样的运算后输出……（1）若输入一个值为10，则打印机打印出的结果是什么？（2）若输入一个值a 后，打印机打印出了a,问输入值a 为什么样的数？（3）若输入一个值b 后，打印机打印出了2个值，求输入值b 的取值范围是多少？解：(1)根据题意，给出一个输入值x ，用函数f(x)=x 101+90计算，所得结果即所谓输出值，并打印此值；再将此值与99.9进行比较，若此值不超过99.9，便再用函数f(x)=x 101+90计算，所得结果即所谓新输出值，并打印此值……于是输出的结果为91,99.1,99.91. (2)令101×a+90=a,得a=100. (3)依题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++⨯≤+,9.9990)90101(101,9.9990101b b解得90<b≤99,即b ∈(90,99］. 22.（本小题满分14分）（2007湖南长沙长郡中学高三月考，理18）某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每投入x 万元，可获得利润P=1601-(x-40)2+100万元.当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年都投入60万元的销售投资，在未来10年的前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获利润Q=)60(2119)60(1601592x x -+--万元.问从10年的累积利润看，该规划方案是否可行？ 解：在实施规划前，由题设P=1601-(x-40)2+100(万元)，知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元.则10年的总利润为W 1=100×10=1 000(万元). 实施规划后的前5年中，由题设P=1601-(x-40)2+100,知每年投入30万元时，有最大利润P max =8795（万元）. 前5年的利润和为8795×5=83975(万元).设在公路通车的后5年中，每年用x 万元投资于本地的销售，而用剩下的（60-x ）万元用于外地区的销售投资，则其总利润为W 2=［1601-(x-40)2+100］×5+(x x 21191601502+-)×5=-5(x-30)2+4 950. 当x=30时，(W 2)max =4 950（万元）. 从而10年的总利润为83975+4 950(万元). 83975+4 950>1 000.故该规划方案有极大实施价值.。
数学人教B版必修一 模块综合测试 Word版含解析
模块综合测评(时间：分钟满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)已知集合＝{＜}，＝{＞}，则∩等于( )．．{＜}．{＜}．{＜＜}设函数＝()的图象关于原点对称，则下列等式中一定成立的是( )．()－(－)＝．()＋(－)＝．()＋()＝．()－()＝函数()定义在整数集上，且有()＝(\\(－，≥，[(＋(]，<，))则()等于( ) ．．．．下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )一幂函数的图象经过点(，)，则它的单调递增区间是( )．(，＋∞) ．[，＋∞)．(－∞，＋∞) ．(－∞，)函数＝－＋与＝在同一坐标系的图象大致是图中的( )已知函数()＝(＋)，若＜＜＜，则、、的大小关系为( )＞＞＞＞＞＞＞＞已知函数＝()是函数＝的反函数，且图象经过点()，则的值是( )．．．已知、、为非零实数，且＝＝，那么…( )＝＋＝＋＝＋＝＋已知()是定义在(－)上单调递减的奇函数，当(－)＋(－)＜时，的取值范围为…( ) ．() ．(，) ．(，) ．(，)若函数()＝(＋)(＞，≠)的定义域和值域都是[]，则等于( )．某市年新建住房万，其中有万的经济适用房，有关部门计划以后每年新建住房面积比上一年增长，其中经济适用房每年增加万，按照此计划，当年建造的经济适用房面积首次超过该年新建住房面积一半的年份是(参考数据：＝＝＝＝)( )．．．．二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在题中的横线上)已知()＝，则()的增区间为．已知：→是从到的映射，其中＝＝{(，)，∈}，：(，)→(，)，那么中元素(－)的原象是．设奇函数()的定义域为[－]，若当∈[]时，()的图象如下图，则不等式()＜的解是．对于在区间[，]上有意义的两个函数()和()，如果对任意∈[，]，均有()－()≤，那么我们称()和()在[，]上是接近的．若()＝(＋)与()＝在闭区间[]上是接近的，则的取值范围是．三、解答题(本大题共小题，共分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(分)设全集＝，集合＝{＝(＋)(－)}，＝{－≥}．()求∪；()求()∩.(分)已知二次函数满足(－)＝(－－)，且其图象在轴上的截距为，在轴上截得的线段长为，求()的表达式．(分)已知函数()＝＋＋＋的零点为，，求＋的最小值．。
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C ．1D ．－1或1 答案：B解析：(法一)f (－x )＝lg(11＋x ＋a )＝－f (x )，∴f (－x )＋f (x )＝0，即lg[(21＋x ＋a )(21－x ＋a )]＝0，∴a ＝－1.(法二)由f (0)＝0得a ＝－1.9．某种生物的繁殖数量y (只)与时间x (年)之间的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种生物第一年有100只，则第7年它们发展到( )A ．300只B ．400只C ．500只D ．600只 答案：A解析：由题意得100＝a log 2(1＋1)，∴a ＝100，∴第7年时，y ＝100log 2(7＋1)＝300.10．在同一坐标系中，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax ＋1a的图象应是如图所示的( )答案：B解析：y ＝x a 为幂函数，y ＝ax ＋1a 为一次函数．对于A ，y ＝x a 中，a ＜0，y ＝ax ＋1a中，由倾斜方向判断a ＞0，∴A 不对；对于B ，y ＝x a 中，a ＜0，y ＝ax ＋1a中，a ＜0，∴B 对；对于C ，y ＝x a 中，a ＞0，y ＝ax ＋1a中，由图象与y 轴交点知a ＜0，∴C 不对；对于D ，y ＝x a中，a ＞0，y ＝ax ＋1a中，由倾斜方向判断a ＜0，∴D 不对．11．已知f (x )是R 上的偶函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝x ＋1，则f (3)等于( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1 答案：A解析：由条件知f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)．又因为f (－1)＝f (1)，当x ∈(0,2)时，f (x )＝x ＋1，所以f (1)＝2.所以f (3)＝f (－1)＝f (1)＝2.12．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x ＜1)，(a －3)x ＋4a (x ≥1)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则a 的取值范围是( )A ．(0，34)B ．(0，34]C ．(0,1)D ．[3，＋∞) 答案：B解析：由题意知f (x )在R 上是减函数，∴0＜a ＜1，又a －3＋4a ≤a,4a ≤3，a ≤34，∴0＜a ≤34. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设全集S ＝{1,2，x 2＋x }，A ＝{1，x 2－2}，∁S A ＝6，则x ＝______. 答案：2解析：∵∁S A ＝6，∴6∉A ，∴6∈S ，∴x 2＋x ＝6，解得x ＝2或x ＝－3，当x ＝－3时，A ＝{1,7}，此时A ⊆S ，故舍去x ＝－3.14．函数f (x )＝x 2－x ＋1在区间[0,3]上的最大值是________． 答案：7解析：f (3)＝9－3＋1＝7.15．对于任意实数a 、b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤bb ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．答案：1解析：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (0＜x ≤2)－x ＋3(x ＞2)，结合图象，易知h (x )的最大值为1.16．分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x >0)－x (x ≤0))可以表示为f (x )＝|x |，分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤3)3 (x >3))可表示为f (x )＝12(x ＋3－|x －3|)．仿此，分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6(x <6)x (x ≥6)可以表示为f (x )＝________.答案：12(6＋x ＋|x －6|)解析：由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x >0)，－x (x ≤0)，)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤3)，3 (x >3)，)的表达式可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6 (x <6)x (x ≥6))，可表示为f (x )＝12(6＋x ＋|x －6|)．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)求下列各式的值： (1)1.513-×⎝⎛⎭⎫－760＋80.25×42＋(32×3)6－；(2)2log 32－log 3329＋log 38－552log 3.解：(1)原式＝(23)13×1＋(23)14×214＋(213)6×(312)6－[(23)23]12＝⎝⎛⎭⎫2313＋(23×2) 14＋22×33－⎝⎛⎭⎫2313 ＝2＋4×27＝110.(2)原式＝2log 32－(log 325－log 332)＋log 323－55log 9＝2log 32－5log 32＋2log 33＋3log 32－9 ＝2－9＝－7.18．(12分)已知集合A ＝{x |x 2＋ax －6＝0}，B ＝{x |x 2＋bx ＋c ＝0}，且A ≠B ，A ∪B ＝{－2,3}，A ∩B ＝{－2}，求a ，b ，c 的值．解：∵A ∩B ＝{－2}，∴－2∈A 且－2∈B ，将－2代入方程：x 2＋ax －6＝0中，得a ＝－1，从而A ＝{－2,3}． 将－2代入方程x 2＋bx ＋c ＝0，得2b －c ＝4. ∵A ∪B ＝{－2,3}，∴A ∪B ＝A ，∴B ⊆A . ∵A ≠B ，∴B A ，∴B ＝{－2}．∴方程 x 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4c ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝4， ①b 2－4c ＝0， ②由①得c ＝2b －4，代入②整理得：(b －4)2＝0， ∴b ＝4，c ＝4.19．(12分)某市在如图所示的地面区域ABCD 上规划一块矩形地面PQCR 作为经济适用房用地，但为了保护古城墙，不得使用△AEF 内的部分．则测量可知AB ＝200 m ，BC ＝160 m ，AE ＝60 m ，AF ＝40 m ，问怎样设计矩形经济适用房用地的长和宽，才能使其面积最大，最大面积是多少？解：P 点可取在DF ，FE 或EB 上，显然P 点取在DF 上时最大住宅面积应是P 点恰与F 点重合时，同理如果P 点取在EB 上，则P 点恰与E 点重合时面积最大，所以面积最大时，P 点必在EF 上，如图，设PQ ＝x ，则140≤x ≤200，设QP 的延长线交AF 于G 点，则PG ＝200－x .∵△FGP ∽△F AE ，∴GF ＝23(200－x )，∴PR ＝120＋23(200－x )，∴S 矩形PQCR ＝x ·[120＋23(200－x )]＝－23x 2＋7603x ＝－23(x －190)2＋72 2003，∴当x ＝190，即经济适用房用地长PQ 为190 m ，宽为3803m 时，面积最大，最大值为72 2003m 2. 20．(12分)已知定义域为R 的奇函数f (x )，当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋2x . (1)求f (x )的解析式并画出其图象；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x ， 又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－x 2－2x ，∴x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x, 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0 x ＝0，x 2＋2x ，x ＜0，其图象为(2)由图象可知，f (x )在[－1,1]上单调递增，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，只需⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，解得1＜a ≤3. ∴实数a 的取值范围为(1,3]．21．(12分)已知函数f (x )＝a log 2x －b log 13x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0.(1)若a ＞0，b ＞0，证明函数f (x )在定义域内为增函数；(2)若a ＝ln(m 2＋2m ＋3)，b ＝ln10，解不等式f (3x －1)≤f (x ＋3)． 解：f (x )＝a log 2x －b log 13x ＝a log 2x ＋b log 3x ，其定义域为(0，＋∞)．(1)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝a log 2x 1＋b log 3x 1－(a log 2x 2＋b log 3x 2) ＝a (log 2x 1－log 2x 2)＋b (log 3x 1－log 3x 2)∵0＜x 1＜x 2且y ＝log 2x 和y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴log 2x 1＜log 2x 2，log 3x 1＜log 3x 2，当a ＞0，b ＞0时，a (log 2x 1－log 2x 2)＜0，b (log 3x 1－log 3x 2)＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数．(2)∵a ＝ln(m 2＋2m ＋3)＝ln[(m ＋1)2＋2]≥ln2＞ln1＝0，b ＝ln10＞ln1＝0， ∴由(1)可知函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴f (3x －1)≤f (x ＋3)⇔⎩⎪⎨⎪⎧3x －1＞0，x ＋3＞0，3x －1≤x ＋3，∴13＜x ≤2，∴原不等式的解集为{x |13＜x ≤2}．22．(12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b为实数)，x ∈R ，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0.(1)若f (－1)＝0，且函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求F (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围； (3)设m ·n <0，m ＋n >0，a >0，且f (x )为偶函数，判断F (m )＋F (n )能否大于零？ 解：(1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，又x ∈R ，f (x )≥0恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4a ≤0， ∴b 2－4(b －1)≤0， ∴b ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2，∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.)(2)由(1)知g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋2－k 22＋1－(2－k )24，当k －22≥2或k －22≤－2时，即k ≥6或k ≤－2时，g (x )是单调函数，所以k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)．(3)∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝ax 2＋1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋1，x >0，－ax 2－1，x <0，∵m ·n <0，设m >n ，则n <0.又m ＋n >0，∴m >－n >0，且|m |>|－n |.∴F (m )＋F (n )＝f (m )－f (n )＝(am 2＋1)－an 2－1＝a (m 2－n 2)>0， ∴F (m )＋F (n )能大于零．。