必修一指数与指数函数
高一数学必修一指数对数幂函数知识点汇总
指数函数与对数函数之间是反函数
之间的关系
★
指数及指数幂的运算
1.根式的概念
a 的n 次方根的定义：一般地，如果x n =a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n>1,n ∈N +
当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根是负数，表示为；当n 为偶数时，
正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为
.
负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子
叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数.
2.n 次方根的性质：
(1)当n 为奇数时，；当n 为偶数时，(2)3.分数指数幂的意义：
注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.
4.有理数指数幂的运算性质：
★指数函数及其性质1.指数函数概念
一般地，函数叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .
n
√a n =a
n √a n
=|a|=
a,a ≥0-a,a<0
n
√a +n √a
n
√a (n √a )n =a a n =n √a m m
(a>0,m,n ∈N,n>1);
(a>0,m,n ∈N,n>1);
a n
1
m
a n =
m
(a>0,b>0,r,s ∈Q)(1)a r a s =a r+s (2)
(a r )s =a rs (3)
(ab)r =a r ·b r
y=a
x
(a>0,且a ≠1)
y=a x
且★
对数与对数运算
1.对数的定义
(1)若
=N （a>0,a ≠0，N>0），则x 叫做以a 为底N 的对数，记作x=log a N ，
其中a 叫做底数，N 叫做真数.(2)负数和零没有对数.
人教高中数学必修一A版《指数函数》指数函数与对数函数说课复习(指数函数的概念、图象及性质)
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1．函数 y＝a ＋1(a>0 且 a≠1)的图象必经过点( x－2
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)
A．(0，1)
B．(1，1)
C．(2，0)
D．(2，2)
解析：选 D.因为当 x＝2 时，y＝ax－2＋1＝2 恒成立，所以函数 y＝ax－2＋1(a>0 且 a≠1)的图象必经过点(2，2)．
栏目 导引
第四章 指数函数与对数函数
(2)已知某函数是指数函数求参数值的方法
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①依据指数函数形式列方程：令底数大于 0 且不等于 1，系数等于
1 列出不等式与方程；
②求参数值：解不等式与方程求出参数的值．
奇偶性
非奇非偶函数
栏目 导引
第四章 指数函数与对数函数
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指数与指数函数-必修一
n a (a 0) 负数没有偶次方根
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知识要点
2. 两个重要公式 公式 (1) ( a ) a.
n n
适用范围: ①当n为大于1的奇数时, a∈R.
②当n为大于1的偶数时, a≥0.
公式 (2)
n
a , n 2k 1, k N , a = | a |, n 2k , k N .
(0,1)
(0,1)
图
象 y=1
y=1
o x o x (, ) 1.0 定义域： 当x< 时, 性 0< 当 x > 0 时 , (0, ) 2.y< 值域： 1. y > 1. (0,1) 3.过点 , 即 x= 0 时 , y= 1 质 4.在R上是 增函数 在R上是 减 函数
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变式训练 2
(2)k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？ 解:函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝ 3x的图象向下平移一个单位后，再把位 于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方
得到的，函数图象如图所示．
①当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点, 即方程无解； ②当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有 唯一的交点，所以方程有一解； ③当0<k<1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有两个 不同交点，所以方程有两解．
高中人教A版必修一指数函数与对数函数知识点总结
高中人教A版必修一指数函数与对数函数知识点总结指数函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们经常出现在各种高考试题中。下面对高中人教A版必修一中的指数函数和对数函数的知识点进行总结：
一、指数函数的定义和性质：
1.指数函数的定义：设a是一个正数且不等于1，x是任意实数，则形如y=a^x的函数称为指数函数。
2.指数函数的性质：
(1)当a>1时，指数函数y=a^x是递增函数。
(2)当0<a<1时，指数函数y=a^x是递减函数。
(3)当a>0且不等于1时，指数函数y=a^x的图象经过点(0,1)。
(4)当a>1时，指数函数y=a^x的图象在y轴的右半部分无上界，且在x轴的左半部分无下界；当0<a<1时，指数函数y=a^x的图象在y轴的右半部分无下界，且在x轴的左半部分无上界。
(5)指数函数y=a^x的图象经过点(1,a)。
二、对数函数的定义和性质：
1. 对数函数的定义：设a是一个大于0且不等于1的实数，b是一个正数，则形如y=log_a^b的函数称为对数函数。
2.对数函数的性质：
(1) 对数函数y=log_a^b的定义域是(0,+∞)，值域是(-∞,+∞)。
(2) 当0<a<1时，对数函数y=log_a^b是递增函数。
(3) 当a>1时，对数函数y=log_a^b是递减函数。
(4) 对数函数y=log_a^b的图象经过点(a,1)。
(5) 对数函数y=log_a^b是指数函数y=a^x的反函数，即y=log_a^b
等价于b=a^y。
高中数学必修一 指数运算性质及指数函数
第8课时 指数运算性质及指数函数
知识点一 分数指数幂 给定正实数a ，对于任意给定的整数m ，n (m ，n 互素)，存在唯一的正实数b ，使得b n ＝a m
，我们把b 叫作a 的m
n
次幂，记作b ＝m
n a .
指数运算性质 一般地，在研究实数指数幂的运算性质时，约定底数为大于零的实数.当a >0，b >0时，有： (1)a m ·a n ＝ ；(2)(a m )n ＝ ；(3)(ab )n ＝ ，其中m ，n ∈R . 例1 计算下列各式(式中字母都是正数).
(1)10.5
23
3
277(0.027)21259-
⎛⎫⎛⎫
+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；
2)2
115113
3
6
6
2
2
(2)(6)(3)a b a b a b ÷－－；
21
5
2.5
30.064-0
⎡⎤-π.⎢⎥⎣⎦
（） 知识点二 指数函数
一般地，函数 叫作指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .
注意①底数是大于0且不等于1的常数；②指数函数的自变量必须位于指数的位置上；③a x 的系数必须为1；④指数函数等号右边不会是多项式，如y ＝2x ＋1不是指数函数. 知识点三 指数函数的图像和性质
例2 (1)下列函数中是指数函数的是________.(填序号) ①y ＝2·(2)x ；②y ＝2
x －1
；③y ＝⎝⎛⎭
⎫π2x
；④y ＝1
3x
-；⑤y ＝1
3x . (2)若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则实数a ＝________. (3)若函数y ＝(2a －3)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________. 例3 (1)函数y ＝a x －1
高中数学必修一《指数函数及其性质》PPT课件
问题探究？
（1）在同一坐标系下画出函数y x2和y 2x的图像， 并指出有几个交点？
（2）（2010年山东卷）函数y=2x x2的图像大致是（ ）
aa
a
二、为什么要求a>0且a≠1?
(1)若a=0时， 当x>0时ax恒为0；当x<0时没有意义。
(2)若a<0时， ax有些会没有意义。 (3)若a=1时，则y=1x=1是一个常数函数。常数函
数性质很清楚，对它也没有研究的必要．
例1、根据题意解答下列问题。
①若函数f(x)=(m2—m+1)ax（a>0且a≠1）是 指数函数，则m的值等于多少？
在R上为增函数
在R上为减函数
（从左向右上升）
（从左向右下降）
非奇非偶函数
非奇非偶函数
指数函数图象的性质
a的范围 图象
a >1
y
0<a<1
y
定义域 值域 定点 单调性
函数值 的变化 范围
o
x
ox
（左右无限延伸） (-∞，+∞)
（在x轴上方） 恒过点（0，1）
(0，+∞) 即x = 0时，y = 1
(0，+∞) （图象恒在x轴上方）
恒过点（0，1）即不论a取何值 当x = 0时，y = 1恒成立
新课标人教版必修一指数函数及其性质课件(共17张PPT)
2 2
（3）1.70
.3
0.9
3 . 1
高中数学必修1同步辅导课程——指数函数及其性质
3 5 < (2)( ) __________________( ) 4 6
2 3
2 3
3 3 ( ) 2 9 3 ( 9 )0 1 4 4 解析： 2 ( ) 10 10 5 3 5 ( ) 6 6
（3）若底数不同，则应与中间量“1”进行 比较。常用 “1”。
ห้องสมุดไป่ตู้
高中数学必修1同步辅导课程——指数函数及其性质
例2：解下列不等式
1 x 2 8 2 x (1) ( ) 3 3
(2) a
x 2 2 x
1 x2 ( ) (a 0且a 1) a
高中数学必修1同步辅导课程——指数函数及其性质
a 1
（1）定义域 ：( － ，＋ ) ； （2）值域：（ 0, ）； (3) 过定点 :（ 0 ,1 ） (4) 是R上的减函数 (5) 值域变化情况： x>0时，y （ 0 ,1 ） ; 是R上的增函数
x>0时，y （ 1, ）
x<0时，y （ 0 ,1 ）
x<0时，y （1, ）
解：原不等式可化为
人教A版高中数学必修一课件 《指数函数》指数函数与对数函数(第1课时指数函数的概念、图象及性质)
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]
35
3．函数y＝ 是________．
1－12x的定义域
[0，＋∞) [由1－12x≥0得12
x≤1＝120，∴x≥0，
∴函数y＝ 1－12x的定义域为
[0，＋∞)．]
36
4．设f(x)＝3x，g(x)＝13x. (1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象； (2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得 到什么结论？
28
1．函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同． 2．函数y＝af(x)的值域的求解方法如下： (1)换元，令t＝f(x)； (2)求t＝f(x)的定义域x∈D； (3)求t＝f(x)的值域t∈M； (4)利用y＝at的单调性求y＝at，t∈M的值域． 3．形如y＝f(ax)的值域，要先求出u＝ax的值域，再结合y＝f(u)确定 出y＝f(ax)的值域．
30
3．由于指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的定义域为 R，所以函数 y＝ af(x)(a>0 且 a≠1)与函数 f(x)的定义域相同，求与指数函数有关的函数的值 域时，要考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性．
31
当堂达标 固双基
32
1．思考辨析 (1)y＝x2 是指数函数．( ) (2)函数 y＝2－x 不是指数函 数．( ) (3)指数函数的图象一定在 x 轴 的上方．( )
高中数学必修一指数运算与指数函数
• 当0 < � < 1时,��(�) > ��(�) 与�(�) < �(�）同解。
• 类型一 根式与分数指数幂的互化
• 类型二 根式与分数指数幂的混合运算
• 类型三 指数函数的定义
• 类型四 指数函数的图象和性质
• 类型五 指数函数性质的应用
• 一般地，函数� = �� (� > 0且� ≠ 1)叫做
指数函数。
• 1、定义域是R。
• 因为指数的概念已经扩充到有理数和无理
数，所以在� > 0的前提下, �可以是任意
实数。
三、对指数函数定义的理解
• 2、规定� > 0,且� ≠ 1的理由：
当� > 0时，�� 恒等于0
• （1）若� = 0 ，
• C．a＝2
• 答案：C
D．a>0且a≠1
类型四 指数函数的图像和性质
• 例4：函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a、
b为常数，则下列结论正确的是( )
• A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
• C.0<a<1，b>0
D．0<a<1，b<0
• 解析：由图象呈下降趋势可知0<a<1，又由图象
高一数学必修一第四章指数函数与对数函数
高一数学必修一第四章指数函数与对数函数指数函数和对数函数是高中数学中重要的两个函数，也是高一数学必修一中第四章需要掌握的重点内容。在本章中，我们将深入了解指数函数和对数函数之间的关系，以及它们在日常生活中的广泛运用。
首先，让我们来回顾一下指数函数的定义，指数函数是以一个特定的基数为底的函数，它可以表示当x变化时会随之改变的一种量的数学表示。指数函数的形式为 y = ax，这里的a是基数，当a = 1时，指数函数称为底数为1的单调函数。指数函数在实际应用中有广泛的用途，例如在我们日常生活中，我们会碰到“一年涨三分”，“一年贴现百分之十”等概念，都属于指数函数的范畴。
接着，我们再来讨论一下对数函数，它的定义是以指数函数的反函数，它的形式为 y = logax，其中a又称为对数的底数。在日常生活中，我们会经常碰到对数函数的应用，例如我们可以使用它来计算发动机的功率，照明强度，声音等等。
另外，指数函数和对数函数之间也有着重要的联系，它们之间具有逆函数关系，即y = axy = logax两个函数可以相互替换，也就是说当a是一个正数时，其两个函数的函数图形是可以经过对称轴翻转后对号入座的。
除此之外，我们还可以运用指数函数和对数函数中的经典公式来解决实际问题，例如以水的分解为例，水的分解可以用以下的指数函数公式来表示：
n = a1 + a2，其中a1代表水的分解率，a2是水的生成率。当
a1等于2时，这个公式就可以转换为一个对数函数的形式：n = log2a2。
总之，指数函数和对数函数在实际应用中都是极为重要的，它们之间也存在着紧密的联系，它们被广泛地运用在人们日常生活中，而且也可以利用它们来解决实际问题。
2021年人教版高一数学必修一第4单元 指数函数与对数函数(讲解和习题)
人教版高一数学必修一第4单元指数函数与对数函数
（讲解和习题）
基础知识讲解
一．指数函数的定义、解析式、定义域和值域
【基础知识】
1、指数函数的定义：
一般地，函数y＝a x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．
2、指数函数的解析式：
y＝a x（a＞0，且a≠1）
【技巧方法】
①因为a＞0，x是任意一个实数时，a x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．①规定底数a大于零且不等于1的理由：
如果a＝0，当x＞0时，a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义；
如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在．
如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，
为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．
二．指数函数的图象与性质
【基础知识】
1、指数函数y＝a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：
y ＝a x a ＞1 0＜a ＜1
图象
定义域 R 值域 （0，+∞） 性质
过定点（0，1）
当x ＞0时，y ＞1； x ＜0时，0＜y ＜1
当x ＞0时，0＜y ＜1；
x ＜0时，y ＞1
在R 上是增函数
在R 上是减函数
2、底数与指数函数关系
①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a ＞l 时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y 轴；同样地，当0＜a ＜l 时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x 轴． ①底数对函数值的影响如图．
①当a ＞0，且a ≠l 时，函数y ＝a x 与函数y ＝
的图象关于y 轴对称．
高中数学人教版教材必修一《指数函数及其性质》ppt
0
1
a
二、讲授新课
思考:为何规定a0，且a1?
0
1
a
1
当a0时，ax有些会没有意义，如(-2)2
,0
1 2
等都没有意义；
而当a=1时，函数值y恒等于1，没有研究的必要.
▲关于指数函数的定义域：
回顾上一节的内容，我们发现指数 a p中p可
以是有理数也可以是无理数，所以指数函数的定 义域是R。
2x
细胞个数y关于分裂次数x的表达为
材料2:当生物死后,它机体内原有的
碳14会按确定的规律衰减,大约每经过
5730年衰减为原来的一半,这个时间称
为‘‘半衰期”.根据此规律,人们获
得了生物体内碳14含量P与死亡年数t
之间的关系,这个关系式应该怎样表示
呢
t
?
y
1 2
5730Leabharlann Baidu
,
(t
y (1)x 的图像有什么关系吗？ 2
y (1)x 2
y4
y 2x （x R）
3
2
(0,1) 1
-4
-3
-2
-1
01
2
3 4x
-1
探究
选取底数的若干个不同的值，在同一个平
高一数学必修一《指数函数及其性质》PPT课件
1 (5) y 2
x 2 x
(0 y 2)
9.函数f(x)的定义域是(0,1), 求f(2-x)的定义域.
10.下图是①y=ax②y=bx③y=cx④y=dx的图像,则 a,b,c,d与1的大小关系是 (B) A.a<b<1<c<d C.1<a<b<c<d
①
②
y③
作出函数图像： 1。列表 2。描点 3。连线
y
y( )
1 x 2
4 3 2 1
y=2x
-3 -2 -1 0
1
2 3
x
下面请动手在同一直角坐标系下画出下列函数 的图象
y (3)
x
1 x y( ) 3
x 例1：函数 （a>0且a≠1）的图象经 过点(3， )，求f(0),f(1),f(-3)
1 x
(2) y 5
x
x 1
12、函数y=a2x-3+3恒过定点 （3／2，4） 。 13、如图是指数函数①y a ，② y ③
b
x
B．b a 1 d c C．1 a b c d
，④ y d 的图象，则a,b,c,d的大小关系是（ B ） A． a b 1 c d
三个实例
一张纸对折一次得两层，对折两次得 ４ 层， 对折三次得 ８ 层，若对折x次所得层数为y， 则y与x的关系是： y 2 x
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指数与指数函数
1.指数及其相关概念:
n, (1)n次方根:如果存在实数x，使得x=a(a?R,n>1,n?N)，那么x叫做a的n 次方根.
(2)求a的n次方根，叫做a开n次方，称作开方运算;
当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.表示为: ;
当n是偶数时，正数的n次方根有个，表示为 ; 2.分数指数:
mn 正分数指数幂:a= ;(a>0,m,n?N*,且n>1)
m,n 负分数指数幂:a= = ;(a>0,m,n?N*,且n>1) 3.指数幂的运算性质:
nnnnnn = ;= (当n为奇数时);= = (当n为偶数时); aa(a)
rs (1)a?a= ;(a>0,r,s?Q)
sr (2)(a)= = ;(a>0,b>0,r,s?Q)
3)(ab)r= ;(a>0,b>0,r,s?Q) (
4.指数函数:
x(1)一般地，函数y=a(a>0且a?1,x?R)叫做指数函数.
(2)图象性质:
0<a<1 a>1
图象
定义域
值域
过定点
单调性在R上 ; 在R上 ;
x (3)结合函数图象总结出a、x、a三者之间的一种大小关系:
x 当x>0时，若a>1，则a 1;若0<a<1，则 ;
x 当x<0时，若a>1，则 ;若0<a<1，则a 1.
第 1 页共 1 页
2233【例1】(1)填空:?= ;?= ;?= (x<1); x,2x，1(,5)(,3)
高中数学必修一指数函数对数函数知识点
高中数学必修一指数函数、对数函数知识点考点内容典型题
整数和有理指数幂的运算
a 0＝1(a≠0)；a－n＝
1
a n
(a≠0, n∈N*)
a
m
n＝n a m (a＞0 , m，n∈N*, 且n＞
1)
(a＞0 , m，n∈N*, 且n＞
1)
当n∈N*时，(n a)n＝a
当为奇数时，n a n＝a
当为偶数时，n a n＝│a│＝
a (a≥0)
－a (a＜0)
运算律：a m a n＝a m + n
(a m)n＝a m n
(ab)n＝a n b n
1.计算: 2－1×6423＝ .
2. 224282＝；
333363＝ .
3343427＝；
393
36＝ .
3.︒
-
-
+
+-45
sin
2
)1
2
(
)1
2
(0
1
4.
指
数
函
数
的
概
念
、
图
象
与
性
质
1、解析式：y＝a x(a＞0，且a≠1)
2、图象：
3、函数y＝a x(a＞0,且a≠1)的性质：
①定义域:R ，即(－∞，＋∞)
值域:R+ , 即(0，＋∞)
②图象与y轴相交于点(0,1).
③单调性：在定义域R上
当a＞1时，在R上是增函数
当0＜a＜1时,在R上是减函数
④极值：在R上无极值(最大、最小值)
当a＞1时，图象向左与x轴无限接近；
当0＜a＜1时,图象向右与x轴无限接
近.
⑤奇偶性：非奇非偶函数.
5.指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的图象过
点(3,π) , 求f (0)、f (1)、f (－3)的
值.
6.求下列函数的定义域:
①2
2x
y-
=；②
2
4
1
5-
=
-
x
y.
7.比较下列各组数的大小:
①1.22.5 1.22.51 , 0.4－0.1 0.4－0.2 ,
②0.30.4 0.40.3, 233 322.
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数典型例题
单选题
1、如图所示，函数y =|2x −2|的图像是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
答案：B
分析：将原函数变形为分段函数，根据x =1及x ≠1时的函数值即可得解. ∵y =|2x −2|={2x −2,x ≥12−2x ,x <1
，
∴x =1时，y =0,x ≠1时，y >0. 故选：B.
2、函数f(x)=2x −1
x 的零点所在的区间可能是（ ） A ．(1,+∞)B ．(1
2
，1)C ．(1
3
，1
2
)D ．(1
4
，1
3
)
答案：B
分析：结合函数的单调性，利用零点存在定理求解.
因为f(1)=2−1
1=1>0,f(1
2)=√2−2<0,f(1
3)=√23
−3<0f(1
4)=√24
−4<0， 所以f(1
2)⋅f(1)<0，又函数f(x)图象连续且在(0,+∞)单调递增， 所以函数f(x)的零点所在的区间是(1
2，1)， 故选：B ．
小提示：本题主要考查函数的零点即零点存在定理的应用，属于基础题.
3、已知函数f (x )={−2x,x <0−x 2+2x,x ≥0 若关于x 的方程f (x )=1
2x +m 恰有三个不相等的实数解，则m 的取值
范围是（ ） A ．[0,3
4]B ．(0,3
4) C ．[0,9
16]D ．(0,9
16) 答案：D
分析：根据题意，作出函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0 与y =1
2x +m 的图像，然后通过数形结合求出答案.
函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0
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指数函数
典例分析
题型一 指数函数的定义与表示
【例1】 求下列函数的定义域
(1)32
x
y -= (2)21
3
x y += (3)512x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
(4)()10.7x
y =
【例2】 求下列函数的定义域、值域
⑴11
2
x y -= ； ⑵3x y -=； ⑶2
120.5x x y +-=
【例3】 求下列函数的定义域和值域：
1．x
a y -=1 2．31
)2
1(+=x y
【例4】 求下列函数的定义域、值域
(1)11
0.4
x y -=； (2)y = (3)21x y =+
【例5】 求下列函数的定义域
(1)13x
y =;
(2)y =
【例6】 已知指数函数()(0,x f x a a =>且1)a ≠的图象经过点(3,π)，求(0)f ，(1)f ，
(3)f -的值．
【例7】 若1a >，0b >，且b b a a -+=b b a a --的值为（ ）
A B ．2或2- C ．2- D ．2
题型二 指数函数的图象与性质
【例8】 已知1a b c >>>，比较下列各组数的大小：
①___b c a a ；②1b
a ⎛⎫
⎪⎝⎭
1c
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
；②11
___b c
a a ；②__a a
b
c ．
【例9】 比较下列各题中两个值的大小：
⑴ 2.51.7，31.7； ⑵ 0.10.8-，0.20.8-； ⑶ 0.31.7， 3.10.9．
【例10】 比较下列各题中两个值的大小
(1)0.80.733，
(2)0.10.10.750.75-， (3) 2.7 3.51.01 1.01，
(4) 3.3 4.50.990.99，
【例11】 已知下列不等式，比较m 、n 的大小
(1) 22m n < (2)0.20.2m n >
(3)()01m n a a a <<<
(4)()1m n a a a >>
【例12】 图中的曲线是指数函数x y a =的图象，已知a
413
,,3105
四个值，则相应于曲线1234,,,c c c c 的a 依次为_______________．
【例13】 已
知a =
函数()x f x a =，若实数m n ，满足()()f m f n >，则m n ，的大小关系为 ．
【例14】
设a
b =
c a ，b ，c 的大小关系是
【例15】 若对[1,2]x ∈，不等式22x m +>恒成立，求实数m 的取值范围．
【例16】 判断函数11
()3
x y -=的单调性．
【例17】 函数||()x f x e =（ ）
A ．是奇函数，在(,0]-∞上是减函数
B ．是偶函数，在(,0]-∞上是减函数
C ．是奇函数，在[0,)+∞上是增函数
D ．是偶函数，在(,)-∞+∞上是增函数
【例18】 已知函数f (x )为偶函数，当()0x ∈+∞，
时，()12x f x +=-,求当()0x ∈-∞，时，()f x 的解析式.
【例19】 证明函数x a y =和x a y -= )10(≠>a a 且的图象关于y 轴对称。
题型三 关于指数的复合函数
1.二次函数复合型
【例20】 求函数2212x x
y -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
单调区间，并证明
【例21】 函数221()3x x
f x -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
的单调增区间为 ，值域为 ．
【例22】 函数()342x x f x =⋅-，求()f x 在[0,)x ∈+∞上的最小值．
【例23】 求函数1()423x x f x a +=-⋅+ (R)x ∈的值域．
【例24】 已知4323x x y =-⋅+，当其值域为[1,7]时，x 的取值范围是
【例25】 求下列函数的单调区间．
⑴2
32
x
x y a -++=（0a >，且1a ≠）；
⑵已知910390x x -⨯+≤，求函数1111
()4()542
x x y --=-⋅+最值．
【例26】 函数2
281
(01)x x y a a --+=<<的单调增区间是 ．
【例27】 设()124()x x f x a a =++⋅∈R ，当(,1]x ∈-∞时，()f x 的图象在x 轴上方，求a 的
取值范围．
【例28】 如果函数221(0,1)x x y a a a a =+->≠在区间[1,1]-上的最大值是14，求a 的值．
【例29】 求函数11()1([3,2])42x x
f x x ⎛⎫⎛⎫
=-+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的单调区间及其值域．
【例30】 已知12x -≤≤，求函数1()3239x x f x +=+⋅-的最大值和最小值．
【例31】 求函数
()()
444222x x x f x a --=+-+的最小值，并指出使
()
f x 取得最小值时x 的
值
2.分式函数复合型
【例32】 当a ＞1时，证明函数1()1x x
a f x a +=-是奇函数．
【例33】 求证下列命题：
(1)()2x x
a a f x --=（a ＞0，a ≠1)是奇函数；
(2)()(1)1
x x a x
f x a +=-（a ＞0，a ≠1）是偶函数.