电路(第八章 阻抗与导纳)
阻抗和导纳
相量电路模型图）
• 根据相量形式的基尔霍夫定律和支路关系，建立电路
方程，用复数运算法则求解方程。
• 将所得响应变量的相量，表示成时域中的实函数形式
在前面几章中提供的各种结论和方法，如节点法、网 孔法、电路定理等都可应用到相量分析法中。
u02
③当=1000rad/s时
2[576sin(10t 89.8 )]
U 03
R2 I2
R1
R1R2
R2
1 j1000C
IS
Βιβλιοθήκη Baidu
7500
u03
根据叠加定理，总输出电压
2[750sin1000t]
u0 u01 u02 u03 2[90sin(t 83.16 ) 576sin(10t 39.8 ) 750sin1000t]
7
§8.2 正弦稳态分析(阻抗和导纳)
阻抗不同于正弦量的复数表示，它不是一个相量，而 是一个复数计算量。
• 对同一端口来说 R 1
G
X1 B
Y1 1
R jX
Z R jX (R jX )(R jX )
R2
R X2
j R2
电路分析第8章 阻抗与导纳
b
A
r
0
幅角
a
+1
复数可用有向线段表示
A=a+jb =r(cos +jsin ) =rej =r
代数式 指数式 极坐标式
a=rcos b=rsin
r = a2+b2
设A1 = a1+ jb1 = r1 1 复数运算 A = a + jb = r 2 2 2 2 2 A1 · 2 = r1 ·2 (1+2) 极坐标式 A r
t(s)
t (rad)
i (t)= Imcos (t+) 正弦交流电的三要素： （1）幅值 Im （2）角频率 （3）初相位 0
i T/2 T 2 t(s)
t (rad)
1. 频率与周期
周期 T ：正弦量变化一周所需要的时间；
频率 f ：正弦量每秒内变化的次数； i 1 Im f T 2 t 交流电每交变一个周期便变 0 Ｔ t 化了2弧度，即 T = 2 T –Im 2π 角频率 : 2πf T ［例］我国和大多数国家的电力标准频率是50Hz，试求其 周期和角频率。
§8-3 相量
设 i(t)= Imcos(t+)
由欧拉恒等式， ej = cos+jsin Imej(t+)= Imcos(t+) +jImsin(t+) i(t) = Imcos(t+) = Re[Imej(t+) ]=Re[Imej ejt] = Re[Im ejt] 式中 Im = Imej =Im / = Imcos+jImsin —
阻抗与导纳
i + + u R – + u u L – + uC – – R L C
i = 4.4 2 sin( 314t − 33.1o )A uR = 132 2 sin( 314t − 33.1o )V
uL = 351.1 2 sin( 314t + 56.9 )V
o
uC = 175.1 2 sin( 314t − 123.1o )V
(a)
+
•
•
I
U
Z (b)
_
对于阻抗需要说明以下几点： 对于阻抗需要说明以下几点： 1、单一元件R、L、C的阻抗分别为： 、单一元件 、 、 的阻抗分别为 的阻抗分别为：
ZR = R ZL = jωL= jXL Z C
1 = −j = − jX C ωc
2、阻抗Z 取决于网络结构、元件参数和电源的 、阻抗 取决于网络结构、 频率。 频率。 3、阻抗Z是一个复数。 、阻抗 是一个复数 是一个复数。
XL
jXL - jX C
= [( 32.2 − j30) + (15 + j16.1)]A = (47.2 − j13.9) = 49.2∠ - 16.4A
i2 = 22 2sin(314t + 47 )A i = 49.2 2sin(314t −16.4o )A
第八章 阻抗和导纳
例 已知A=6+j8=10∠53.1o ， B=-4.33+j2.5=5∠150o 计算A+B,A-B,A·B,A/B
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8-3
一、振幅相量： 欧拉公式： e
jθ
振幅相量
= cosθ + j sinθ θ = ωt
e = cosωt + j sinωt (e jωt ) cosωt = Re
C
B A θa
θb
O
模扩大a倍 辐角逆时针 旋转 θa +1
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5.复数的除法——两种形式都可以
A a1 + ja 2 (a1 + ja 2 )(b1 − jb2 ) = = 2 2 B b1 + jb2 b1 + b2
Fra Baidu bibliotek
(a1b1 + a2b2 ) + j(a2b1 − a1b2 ) = 2 2 b1 + b2
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三、相量图 相量在复平面上的有向线段。
& Um = Um
+j
θ
& Um
Um
θ
O
+1
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例：画出 i1 =10cos(ωt + 30o )A
o
阻抗与导纳的概念与计算
阻抗与导纳的概念与计算
阻抗（Impedance）和导纳（Admittance）是电路中常用的两个概念，用来描述电路元件对电流和电压的响应关系。阻抗表示电路元件对电
流的阻碍程度，而导纳表示电路元件对电流的容许程度。在电气工程
领域，深入理解和准确计算阻抗和导纳对于分析和设计电路至关重要。
一、阻抗的概念与计算
阻抗是交流电路中的重要概念，它是电路元件对电流的阻碍程度的
度量。阻抗的单位是欧姆（Ω），用Z表示。
1. 奥姆定律
根据奥姆定律可以得出电阻元件的阻抗计算公式，阻抗Z等于电阻R。即Z = R。
2. 电感元件的阻抗计算
电感元件对交流电具有阻抗，其计算公式为Z = jωL，其中j是虚数
单位，ω是角频率，L是电感元件的感值。
3. 电容元件的阻抗计算
电容元件对交流电也具有阻抗，其计算公式为Z = 1/(jωC)，其中C
是电容元件的电容值。
二、导纳的概念与计算
导纳是电路元件对电流的容许程度的度量，它是电导的倒数。导纳的单位是西门子（S），用Y表示。
1. 电导与导纳的关系
电导（Conductance）是电路元件对电流的容许程度的度量，是导纳的实部（实数部分）。导纳Y等于电导G。即Y = G。
2. 电阻元件的导纳计算
电阻元件的导纳计算公式为Y = 1/R，其中R为电阻值。
3. 电感元件的导纳计算
电感元件的导纳计算公式为Y = jωL，其中j是虚数单位，ω是角频率，L是电感元件的感值。
4. 电容元件的导纳计算
电容元件的导纳计算公式为Y = jωC，其中j是虚数单位，ω是角频率，C是电容元件的电容值。
三、阻抗与导纳之间的关系
【精】电路阻抗与导纳
Z = Z1+Z2 = (R1+R2) + j (X1+X2)
分公压式：U1
Z1 Z1 Z2
U
Z =∑Z i = ∑R i + ∑j X i
U2
注意：对于阻抗模一般 ZZ1Z2
Z2 Z1 Z2
U
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例: 有两个阻抗 Z16.1j69ΩZ22.5j4Ω 它们串联接在 U22030V的电源;
求: I 和 U1、U2
I
+
+ 解：ZZ1Z2(6.126. 5j)( 94)
U
Z 1 -U 1
+
-
Z2
U
-
2
8.6 j651030Ω
IU 22 3 00220A Z 1 030
U 1 Z 1 I (6 .j1 9 2 6 )0 2 1 0 5. 5 9 2 . 6 0 2
23 5 9 5 V .8 .6
z 0 ，电路呈感性。
电压相量为： Um5 20V
ImU Zm5522 405145mA
U RmRIm5145545V U LmjXLImj6145645V U CmjXCImj1145113V 5
i sin(106 t 45) ｍA
U L
uR 5 sin(106 t 45) V uL 6 sin(106 t 45) V
阻抗和导纳
已知正弦电流波形如图， rad/s， 已知正弦电流波形如图，ω＝103rad/s， 表达式； （1）写出i(t)表达式； 求最大值发生的时间t （2）求最大值发生的时间t1 t 解: i(t ) = 100cos(103 t +ϕ)
=
+ϕ
t = 0 → 50 = 100cosϕ
ϕ = ±π 3
ϕ =− π
设 i(t)=Imcos(ω t+φ )
U=
def
1 T
∫
T
0
u ( t )dt
2
1 T 2 I= Im cos2 ( ω t +ϕ ) dt ∫0 T
∵
∫
T
0
cos ( ω t +ϕ ) dt = ∫
2
T
0
1+ cos 2(ω t +ϕ ) 1 dt = t 2 2
T 0
1 = T 2
1 2 T Im Im ⋅ = ∴ I= = 0.707Im T 2 2
3
由于最大值发生在计时起点之后
i(t ) = 100cos(10 t − ) 3 当 103 t1 = π 3 有最大值
3
π
t1＝ 3 ＝ .047ms 1 10
π 3
3. 同频率正弦量的相位差 (phase difference)。 。 设 u(t)=Umcos(ω t+φu), 则 i(t)=Imcos(ω t+ φ i) 相位差 ：ϕ = (ω t+ φ u)- (ω t+ φ i)= φ u- φ i -
阻抗、导纳定义
阻抗、导纳定义
阻抗和导纳是描述电路响应能力的参数。在交流电路分析中，导纳和阻抗通常用于描述电路基本特性，如电流、电压和功率的关系等。
其中，导纳（admittance）指线性电路对电流变化的响应能力，与阻抗（impedance）相对应。导纳是一个复数，由实部和虚部构成。实部表示电路对真实功率的响应能力，虚部则表示电路对反向功率（也就是无功功率）的响应能力。
而阻抗是电压和电流的比值，导纳是电流和电压的比值。它们之间有以下关系：Z=1/Y，其中Z是阻抗，Y是导纳。
电路中的阻抗与导纳
电路中的阻抗与导纳
电路中的阻抗（Impedance）和导纳（Admittance）是电学中非常重
要的两个概念。阻抗是电路对交流电（AC）的抵抗能力，和电阻（Resistance）一样，单位是欧姆（Ohm），但是阻抗是一个复数。导
纳是电路对交流电的导电能力，和电导（Conductance）一样，单位是
西门子（Siemens），也是一个复数。
1. 阻抗的定义和计算
阻抗是电路对交流电的阻力，包括电容（Capacitance）、电感（Inductance）和电阻三种形式。以电容为例，如果向电容放入交流电，首先会充电，然后在自身两极之间建立电场，导致电流的变化速度越
来越慢，最后达到平衡状态。因此，电容对交流电的阻力，和电流的
相位差为90度。
电容的阻抗可以用以下公式计算：
Z_c = 1/ jωC
其中，Z_c 是电容的阻抗，j是虚数单位，ω是角频率（radians per second），C是电容的电容值（Farads）。同理，电感的阻抗为：Z_l = jωL
其中，Z_l 是电感的阻抗，L是电感的感抗值（Henries）。电阻的
阻抗为：
Z_r = R
其中，Z_r是电阻的阻抗，R是电阻的阻值（Ohms）。
将三种元件的阻抗按照欧姆定律叠加，可以得到整个电路的阻抗。
2.导纳的定义和计算
导纳是对阻抗的倒数，“导纳”这个词在中文中的用法并不广泛，可
能大家比较熟悉“电导”这个词，但是它们的意思是类似的。导纳的计
算方法如下：
Y = 1/Z
其中，Z是电路的阻抗，Y是电路的导纳。
导纳的好处在于，它更适合于串联和并联电路的计算。将电路分解
阻抗与导纳
解:
Z2
+
& U
Z 1 Z 2 5∠53° × 10∠ 37° Z= = Z1 + Z 2 3 + j4 + 8 j6 50∠16° = = 4.47 ∠26.5 ° 11.8 ∠ 10.5 °
Z1
-
& I1
& I2
& U 220 ∠ 0 ° & = I1 = = 44 ∠ 53 ° A Z1 5 ∠ 53 ° & U 220 ∠ 0 ° & = 同理： 同理： 2 I = = 22 ∠ 37 ° A Z 2 1 0 ∠ 37 °
V1 30V V2 40V
_
4 (a)
V2
8V
_
Z = 10 两个阻抗串联时,在什么情况下 在什么情况下: 两个阻抗串联时 在什么情况下
U=14V ?
Z =7
U=70V ?
Z = Z 1 + Z 2 成立。 成立。
2. 阻抗并联
& I
+
& U
Z1
-
& I1
Z2
& I2
& & U U & & & I = I1 + I2 = + Z1 Z2 & 1 1 1 U &= = + I Z Z Z Z Z1 Z 2 Z= Z1 + Z 2
阻抗及导纳的串并联
阻抗及导纳的串并联
1.阻抗的串联
同电阻的串联电路相似，对于n个阻抗串联而成的电路，其等效阻抗为：
Zeq=Z1+Z2+...Zn=∑Zk k=1,2,...,n
各个阻抗的电压分配为
2.阻抗的并联
同电阻的并联电路相似，对于n个导纳并联而成的电路，其等效导纳为：
Yeq=Y1+Y2+...Yn=∑Yk k=1,2,...,n
各个导纳的电流分配为
例1. 已知Z1 = (10 + j6.28)Ω，Z2 = (20 - j31.9)Ω，Z3 = (15 + j15.7)Ω。求Zab。
例2. 已知图示RLC串联电路中R = 15Ω，L = 12mH，C = 5μF，端电压为，试求等效阻抗Zeq、电路中的电流i 及各元件的电压相量。解：
例3. 已知U=115V，U1=55.4V，U2=80V，f=50Hz，R1=32Ω。求线圈
的电阻R2 和电感L2。
解：方法1：画相量图进行定性分析。
可画出Z2的阻抗三角形（与其电压三角形相似）如图（b）所示，方法2：画出Z和Z2的阻抗三角形(与其电压三角形相似) ，用勾股定理求其模值。
阻抗与导纳
3
Z R j( X L X C ) 30 j(79.8 - 39.8)
(30 j40) 5053.1o
22020o U o I 4.4 33 . 1 A o Z 5053
u R – + u u L – + u – C –
R L C
例1 R、L、C串联交流电路如图所示。已知R=30、 L=254mH、C=80F， 。 u 220 2 sin( 314 t 20o )V 求：电流及各元件上的电压瞬时值表达式。 i 解: U 220 20o V +
+
X L L 314 254 10 79.8 1 1 XC 39.8 6 C 314 80 10
虚部X：电抗分量 （可正可负）
Z R X X arctan R R Z cos X Z sin
2
2
Z
X
R
阻抗三角形
U Z I Z I R jX I U
+
U
I
N
_
R U X RI jXI U
U R 与 I 同相
o
C
注意： U U U U R L C
例2 如图所示电路。已知R1=3、 R2=8， o u 220 2 sin( 314 t 10 )V XC=6 、XL=4 ， 求：各支路电流及总电流的瞬时值表达式。 I i 解: U 22010 o V
第8章 阻抗和导纳
U m cos(t ) U m U m
Um
—称为u(t)的（振幅）相量。
（3） 例题
求 i(t ) 5 cos(314t 60)A
的(振幅)相量及相量图示。
8-6
解 ： 5 cos(314t 60 )A 560 A
+j
。 5 60 。 60
R 15Ω、L 30mH 、C 83.3μF，求i(t )。
解： 利用相量方法，即根据:
I Rm
Um 、I Cm jCU m、U m jLI Lm， R
i (t) iR iC C L iL
以及KCL相量形式
+
u(t) R
-
选用相量法：
8-17
+j
sss电路分析的典型问题：给定电路的结构、元件 参数以及激励的瞬时值，求响应的瞬时值。 （1）两类约束的类比： 电阻电路的时域形式
8-21
i 0 u 0
u Ri
sss电路的相量形式 I 0
m
U
m
0
U m ZI m
运用相量并引用阻抗(导纳)，上述典型问题可以仿照 电阻电路处理方法来进行。为便于仿照，引入相量模型。
u、i同频率正弦波，且
① （振幅关系） I m CU m
即
jCU m I m
阻抗与导纳
电路中阻抗和导纳
阻抗（Z单位欧姆）：Z=R+jX Z=U/I∠φu-φi=｜Z｜∠φZ 等效电路由两个电路元件串联表示，见p221 图9-2（b）
阻抗=等效电阻+j等效电抗X>0为感性阻抗，R串L
X<0为容性阻抗，R串C
X=0为阻性
X=ωLeq (X>0 φZ>0) ｜X｜=1/ωCeq (X<0 φZ<0 )
导纳（Y单位西门子）：Y=G+jB Y=I/U∠φi-φu=｜Y｜∠φY 等效电路由两个电路元件并联表示，见p222图9-3（b）
导纳=等效电导+j等效电纳B>0为容性导纳，R并C
B<0为感性电纳，R并L
B=0为阻性
B=ωCeq (B>0 φY>0) ｜B｜=1/ ωLeq (B<0 φY<0)
感抗：XL=ωL 容抗: Xc=-1/ωC
ZY=1 ｜Z｜｜Y｜=1 φZ+φY=0
Y=G+jB=1/(R+jX)=(R-jX)/(R^2+X^2)=
R/( R^2+X^2)-jX/( R^2+X^2)
∴G=R/( R^2+X^2)=R/｜Z｜^2
B=-X/( R^2+X^2)=-X/｜Z｜^2
串联等效电路就变换为相应的并联等效电路
同理,Z=R+jX=1/( G+jB)=(G-jB)/(G^2+B^2)=
G/(G^2+B^2)-jB/(G^2+B^2)
∴R= G/(G^2+B^2)=G/｜Y｜^2
X=-B(G^2+B^2)=-B/｜Y｜^2
并联等效电路就变换为相应的串联等效电路
P224 例9-1要掌握，尤其是书下部UL(加点),UC（加点）的算法：UL（加点）=jωLI（加点）=j60*4∠-53.13°=240∠90-53.13°=240∠36.87°UC(加点)=(-j/ωC) I（加点）=-j40*4∠-53.13°=160∠-53.13°-90°=160∠-143.13°
阻抗与导纳
阻抗与导纳
阻抗与导纳
1. 阻抗: 无源二端网络端口上
电压相量与电流相量之比。
用极坐标来表示阻抗，可以写成
其中：z：阻抗模，φZ：阻抗角，R：电阻（分量〕，X：电抗（分量〕
阻抗模、电阻分量、电抗分量和阻抗角的关系可以用一个三角形来表示
当无源二端网络中同时含有电阻和电抗元件时，端口电压电流的相位差（阻抗角φZ）在-90°与+90°之间变化。
φZ>0：电压导前电流：N0为感性。
φZ<0：电压落后电流：N0为容性。
2．导纳：无源二端网络端口上电流相量与电压相量之比。
其中：G：电导分量，B：电纳分量
3．阻抗与导纳的关系
同一对端口
阻抗与导纳串并联
阻抗串联时：
阻抗并联时：
基本元件的阻抗与导纳
电阻元件的阻抗和导
纳为纯电阻，电感和
电容元件的阻抗和导
纳分别为纯电抗和纯
电纳。
电路的相量模型
将电路中电流，电压用相量表示；将基本元
件用它们的阻抗或导纳来标出，得到的电路
模型称为相量模型。
1、电感符号：L ，单位：h（亨特）感抗单位：Ω（欧姆）
2、电容符号：C ，单位：f（法拉）容抗单位：Ω（欧姆）
3、阻抗符号：Z，单位：Ω（欧姆）
4、导纳符号：Y，单位：s（西门子）
电路基础原理理解电路中的阻抗与导纳
电路基础原理理解电路中的阻抗与导纳
电路是现代社会中常见的组成部分之一，我们在日常生活中经常会
接触到各种电子设备和电路。要深入理解电路的运作原理，了解阻抗
和导纳的概念是非常重要的。
一、什么是阻抗和导纳？
阻抗（Impedance）是指电路对交流电信号的阻碍程度，它由电阻、电感和电容三个因素共同构成。阻抗一般用符号Z表示，单位是欧姆（Ω）。阻抗分为实部和虚部，实部表示电路中的电阻，虚部表示电路中的电感和电容。
导纳（Admittance）是阻抗的倒数，表示电路对电流的容纳性。导
纳一般用符号Y表示，单位是西门子（S）。导纳也有实部和虚部的分别，实部表示电路中的电导，虚部表示电路中的电纳。
二、阻抗与导纳的计算方法
在交流电路中，阻抗和导纳的计算方法与直流电路中的电阻和电导
类似。对于纯电阻电路，阻抗与电阻数值相等，导纳与电导数值相等。
对于纯电感电路，阻抗由电感的大小、电路频率以及电感的内阻确定。电感的阻抗为XL = 2πfL ，其中f表示频率，L表示电感值。导纳
为Y = 1 / Z 。
对于纯电容电路，阻抗由电容的大小、电路频率以及电容的内阻确定。电容的阻抗为XC = 1 / (2πfC) ，其中C表示电容值，f表示频率。
导纳同样为Y = 1 / Z 。
三、阻抗与导纳的应用
1. 阻抗与导纳的概念和计算方法在电路设计和分析中发挥着重要作用。了解电路中的阻抗和导纳，可以帮助我们分析电路中的能量传输
和功率流动情况，为电路的优化和设计提供指导。
2. 阻抗与导纳的概念也适用于通信领域。在无线通信中，了解阻抗
和导纳有助于我们理解信号在天线和传输线上的传播情况，从而提高
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电路分析基础
一个复数由模和幅角两个特征量确定。 一个正弦量有幅值、频率和初相位三个要素。 在正弦稳态电路中，各个电压和电流都是与电源 同频率的正弦量，因此，在计算时可不必考虑频率。 已知频率的情况下，计算过程中一个正弦量可用 幅值和初相角两个特征量来确定。
欧拉公式： e j cos j sin 复指数函数： e j (t ) cos(t ) j sin( t )
m I m I
称为最大值相量。
振幅值相量的模值等于正弦量的振幅值，幅角等 于正弦量的初相位。
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电路分析基础
相量是一个复数，但它是代表一个正弦波的，为 了与一般复数的区别，在这相量的字母上方加一点。
i ( t ) 10 cos(t 45) A 1045 A I
cos 1U m Im I 0cos .707 I U 0.707U m m 2 2 2 2
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电路分析基础
m I m 2I 2 I I
I 称为有效值相量。 I
有效值相量的模值等于正弦量的有效值，幅角等 于正弦量的初相位。
sin cos( 90) I 2m 10150 A 4 120 A I
3m
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电路分析基础
（1）将正弦转换成余弦：sin cos( 90) （2）将表达式前的负号转换成角度： cos cos( 180) （3）若角度值大于180°，则： 360
ψi ψu 0
其特点是：两个正弦量同时到达最大值，也同时到达零 值。
ψi ψu 900 称i与u正交。
其特点是：当一正弦量的值达到最大时，另一正弦量的 值刚好是零。 i u 180o 称i与u反相。 其特点是：当一正弦量到达正的最大时，另一正弦量正 好为负的最大。
20 30 A I
0
0
j
U 60 0
0
I
30 0
u 10 2 cos( t 60 )V
10 60 0 V U
注意
0
+1
1
只有同频率的正弦量才能画在同 一相量图上。
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电路分析基础
例8 2 i1 ( t ) 5 cos(314t 60) A，
3m I 1m I 2m (5 j 5 3 ) j 5 I 5 j3 .66 6.236.2 A I 0 A 2m 5 i3 6.2cos(t 36.2) A
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例8-6 已知：
uab 10cos(t 60)V
例8 3 已 知 振 幅 值 相 量 U 1m 50 30V , U 100150V
2m
频率f=50Hz，试写出它们所代表的正弦电压。 解：ω=2πf=2π×50=100π rad/s u1(t ) 50cos(100t 30)V u2 (t ) 100cos(100t 150)V
§8-2 复数
i1 I m1 sin( t 1 )
i2 I m2 sin( t 2 )
i i1 i2 I m1 sin( t 1 ) Im2 sin(t 2 ) Im sin( t )
Im=?
Ψ=?
计算很复杂
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§8-1 变换方法的概念
所有变换方法的基本思路和步骤是： （1）把原来的问题变换为一个较易处理的问题。 原来的问题
原来问题的解答
直接求解
变换
变换域中较 易的问题 求解
反变换 变换域中问题 的解答
（2）在变换域中求解。
（3）把变换域中求得的解答反变换为原来问题 的解答。
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第八章 阻抗与导纳
§8-1 §8-2 §8-3 §8-4 §8-5 §8-6 §8-7 §8-8 §8-9 §8-10 §8-11 §8-12 变换方法的概念 复数 振幅相量 相量的线性性质和KCL、KVL的相量形式 三种基本电路元件VCR的相量形式 VCR相量形式的统一—阻抗与导纳的引入 相量模型的引入 正弦稳态混联电路的分析 相量模型的网孔分析和节点分析 相量模型的等效 有效值 有效值相量 两类特殊问题 相量图法
i (t ) I m cos(t )
Re[I m e j (t ) ]
j (t )
Re[I m e j e jt ]
e j t ] Re[I m
I m e j (t ) I m cos(t ) jI m sin(t )
1 f1(t ) 2 f2 (t )
称为相量的线性性质。
A 1 A 1 2 2
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i ？ 0
m e jt ) Re( I m ) e jt Re( I
m 0 I
m ( 2 I ) 0 I
0 I
i
u
C
d du C [U m cos(t u )] i C dt dt CUm sin(t u ) 直流稳态 CUm cos(t u 90) （ω=0）时， Im=0，则电容 CUm cos(t u 90) 相当于开路。 Im cos(t i )
周期性交流电流i通过电阻R在一个周期T内产生的 热量等于一直流电流I通过同一电阻R、在相等的时间T 内产生的热量，则直流电流I称为交流电流i的有效值。 I R i R
pdt = i Rdt = R i dt 0 0
T
T
2
T
2
0
2 PT = I RT
I RT R i 2 dt
2 0
T
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一、复数及其表示
设A为复数，则： A = a + jb
实部
j 1 称为虚数单位。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
虚部 +j b 称为复数的模
a A cos
b A sin
A a b
2 2
A
A
a +1
b tan a
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0 幅角
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A = a + jb
（代数式）
j
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求解方程
x
2.35
5
直接求解是相当困难的。
x 2.35 5
x lg1 0.2974 1.983
变换 取对数
2.35 lg x lg 5
查反对 反变换 数表 求解
lg x lg5 2.35 0.2974
查对数表
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i(t ) 10 2 cos(t 45) A u(t ) 10 2 cos(t 60)V
10 I 45 0 A
10 60 0 V U
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电路分析基础
相量和复数一样，可以在复平面上用有向线段来 表示，称为相量图。
i 20 2 cos( t 30 ) A
abm bcm
1.93 j 4.66 5.04 67.5V uac 5.04cos(t 67.5) A
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§8-5 三种基本电路元件VCR的相量形式
一、电阻元件 m I m i i Im cos(t i ) I u Ri RIm cos(t i ) Um cos(t u )
2 U RI ψu=ψi ，则 u、i同相。
u
i
R
Um RIm
m U m u RI RI U m i m
Um RIm u i
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RI U
I
U
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二、电容元件 u Um cos(t u )
ubc 8 sin(t 120) V
求uac。
abm 10 120V 5 j 5 3 解： U
acm U
ubc 8cos(t 120 90) 8cos(t 30) bcm 830V 4 3 j 4 U U U ( 5 j 5 3 ) (4 3 j 4)
m
100 30V U m u( t ) 100cos(t 30)V
i (t ) I m cos(t )
m I m I
注意
正弦量与相量是对应关系，而不是相 等关系。
m i (t ) I
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§8-11
有效值
有效值相量
1 T 2 也称方均根值。 I i dt T 0
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i (t ) I m cos(t )
1 T 2 2 I I m cos (t ) d t 0 T
1 T
T 0
2 Im [cos 2(t ) 1]d t 2
2 1 Im T T cos 2 ( t ) d t d t 0 0 T 2
m 0 U
0 U
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例8-5 下图所示为电路中的一个节点，已知：
i1 10cos(t 60) A i2 5 sint A
求i3。
i3 i2
i1
1m 1060 A 5 j 5 3 解： I i2 5 cos(t 90) A 2m 5 90 A j 5 I
cos(t ) Re[e j (t ) ]
Re[e j (t ) ]称为取复数 e j (t ) 的实部。
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sin( t ) Im[e ] Im[e j (t ) ]称为取复数 e j (t ) 的虚部。
i(t ) Im cos(t i ) u(t ) Um cos(t u )
(t i ) (t u ) i u
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i u 0 i u 0
称i 超前u 角。 称i 滞后u 角。 称i与u同相位，简称同相。
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§8-4 相量的线性性质和基尔霍 夫定律的相量形式
若f1(t)和f2(t)为同频率的正弦量，且 ， f (t ) A f1(t ) A 1 2 2
设1和2为两个实数，
， 1 f1(t ) 1 A 1
2 f 2 ( t ) 2 A 2
A A cos j A sin （三角式）
A A e （指数式）
A A （极坐标式）
欧拉公式： e j cos j sin
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二、复数运算（熟记公式） A1 a1 jb1
A2 a2 jb2
A1 A1 1
A1 A2 a1 a2 jb1 b2
A2 A2 2
A1 A2 A1 A2 1 2
A1 A1 1 2 A2 A2
A2 ?
A ?
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§8-3 振幅相量
u(t ) Um cos(t )
振幅
角频率 ω =2 /T=2 f f =1/ T
初相位
相位差：两个同频率正弦量的相位之差或是初相 之差，称为相位差，用 表示。
i2 (t ) 10sin(314t 60) A, i3 (t ) 4 cos(314t 60) A。
试写出代表这三个电流的各振幅相量，并画相量图。 解 i1 ( t ) 5 cos(314t 60) A， 560) A I 1m
i2 (t ) 10cos(314t 60 90) 10 cos(314t 60 90 180) 10cos(314t 150)