公平的席位分配

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席位分配问题数学建模

席位分配问题是一个常见的实际问题，涉及到资源的分配和管理。为了解决这个问题，我们可以使用数学建模的方法，通过建立数学模型来分析和优化席位的分配方案。

一、问题描述

假设有一个大型会议，需要分配给不同的参与者席位。每个参与者可能有不同的资格和需求，我们需要根据一定的规则来分配席位。具体问题包括：

1. 参与者数量和席位数量

2. 参与者的资格和需求

3. 席位分配的规则和标准

二、数学建模

为了解决席位分配问题，我们可以使用以下数学模型：

1. 参与者集合P：表示所有的参与者。

2. 席位集合S：表示所有的席位。

3. 资格矩阵A：表示每个参与者的资格情况，每一行表示一个参与者，每一列表示一个资格类型（例如，专业、身份等）。

4. 需求矩阵D：表示每个参与者对席位的需求情况，每一行表示一个参与者，每一列表示一个席位类型（例如，地点、时间等）。

5. 分配规则R：表示席位的分配规则和标准，如按照资格优先、按照需求优先、按照公平分配等。

根据以上描述，我们可以建立如下的数学模型：

目标函数：最小化席位浪费（即席位数与参与者需求之差）

约束条件：

1. 资格约束：每个参与者的资格必须满足分配规则的要求。

2. 需求约束：每个参与者所需席位类型必须得到满足。

3. 数量约束：总的席位数必须不超过总席位数量。

4. 可行性约束：分配的席位必须是有效的，即不存在冲突和重复的情况。

三、求解方法

根据上述数学模型，我们可以使用以下方法进行求解：

1. 枚举法：逐个尝试所有可能的席位分配方案，找到满足约束条件的方案。这种方法需要大量的计算时间和空间，但在某些情况下可能找到最优解。

公平的席位分配

二、合理的假设与变量说明

三、模型的建立：

p P

= i (i = 1, 2,3...n ) ，其中 ∑ N i = N

∑

P = P

公平的席位分配

姓名：仇嘉程班级：数学与应用数学（2）班学号：0907022010

摘要：席位分配是日常生活中经常遇到的问题，对于企业、公司、、学校政府部门都能解决实际的问题。席位可以是代表大会、股东会议、公司企业员工大会、等的具体座位。本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状态。我主要根据各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了公平的定义及相对不公平度的定义，采用了最大剩余法模型和 Q 值法模型，通过检验 2 种模型的相对不公平度来制定比较合理的分配方案。关键词：不公平度指标、Q 值法、最大剩余法一、问题的提出：

某学校有 3 个系共 200 名学生，其中甲系 100 名，乙系 60 名，丙系 40 名。问题一：若学生代表会议设 20 个席位，如何公平席位分配？

问题二：丙系有 6 名学生转入甲乙两系，其中甲系转入 3 人，乙系转入 3 人，又将如何公平的分配 20 个学生代表会议席位？

模型 1——比例分配法，若使得公平席位分配，最公平简单且常用的席位分配办法是按学生人数比例分配：

某单位席位分配数 = 某单位总人数比例⨯总席位

即：

N N i i =1

i =1

但是在实际生活中，若按模型 1 来计算，由于席位数不同，很难使得到的结果为整数，因此模型 1 难以成立，即绝对公平难以成立，我们需要寻求可能相对公平的分配方案。

数学论文席位的公平分配问题

数

学

建

模

论

文

席位的公平分配问题

姓名：

学号：18 15 20

公平的委员分配问题

摘要:

1.我们首先是用惯例分配法来解决这委员分配问题的,由于方法来解决存在很大的缺陷,因此,通过组内的讨论,我们想出了Q值法来解决此问题，发现这样能作到相对公平。我们这一组开始就考虑到了该怎样分配能作到相对公平，就这个问题，我们开始了研讨。我们采用惯例分配法分析发现：各楼所得到的委员数

A 、

B 、C楼分别为：3、3、4人，而Q值法其结果为：A、B、C楼分别为：

2、3、5人。

2.“取其精华，去其糟粕”我们发现Q值法能很好的解决委员分配问题，Q 值法：我们用Qi=(Pi*Pi)/[n(n+1)],其中i=A、B、C,Pi为第i楼的人数，n 为分配到的委员数，我们采用将剩下的一位委员名额分给Q值最大的一方。通过计算得到Qa=9204.16、Qb=9240.75、Qc=9331.2比较得到：Qa>Qb>Qc,所以我们决定把剩下的一名委员分给C楼。

3.我们用惯例分配法发现有一名委员不好分配，不知道分给谁更公平些。建议：我们的思维不能太单一了，在考虑问题方面要做到全面些，这样才会少走弯路。（无论在哪方面都一样。）

关键字：委员分配、比例法、Q值法

1.1问题的重述

分配问题是日常生活中经常遇到的问题，它涉及到如何将有限的人力或其他资源以“完整的部分”分配到下属部门或各项不同任务中.分配问题涉及的内容十分广泛，例如：学校共有1000学生，235人住在A楼，333人住B楼，432人住C楼，学校要组织一个10人委员会，试用惯例分配法和Q值方法分配各楼的委员数并比较结果。

公平席位分配Q值法

1 问题的假设与符号定义

1.1问题的假设:

1.席位是以整数计量的,并且为有限个,设为N个；

2.每个系别有有限个人,席位是按各集体的人员多少来分配的；3．每个系别的每个人被选举都是等可能的；

4．每个单位至少应该分配到一个名额,如果某个单位,一个名额也

不应该分到的话,则应将其剔除在分配之外；

5．在名额分配的过程中,分配是稳定的,不受任何其他因素所干扰.

1.2符号的定义：

n---－表示某系别的席位数（n1、n2、n3分别表示甲、乙、丙的席位数）；

p----表示某系别的人数（p1、p2、p3分别表示甲、乙、丙的人数）；

q-------表示总席位数；

N-------表示总的席位人数.Q-------表示某单位的Ｑ值.

3 问题的分析

通常人们都是按照人数比例来进行分配的.当比例中有小数时,人们又按照惯例将多余的席位分给比例中小数最大者.我们能得出以下结论：

公式：

4 模型建立

目标:建立公平的席位分配方案.

4.1 引出绝对不公平值并给出相对不公平值:

设A,B 两方人数分别为21,p p ；分别占有 1n 和2n 个席位,则两方每个席位所代表的人数分别为

11n p 和 2

2n p

. 我们称 2

11n p n p -

为.例：10,100,1202121====n n p p

则

11=-n p n p ；又 10,1000,10202121====n n p p 则

11=-n p n p 由上例可知,用绝对不公平程度作为衡量不公平的标准,并不合理,下面我们给出相对不公平值.

①若 2

数学建模论文 - 席位公平分配问题1

数学建模论文（席位公平分配问题）

席位公平分配问题

摘要

本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状态。我主要根据了各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了公平的定义及相对不公平的定义，采用了比例模型、汉丁顿模型和Q值模型制定了一个比较合理的分配方案。

首先，我根据相关资料的查阅，定义了公平的定义和不公平的定义以及不公平程度的定义和相对不公平数的定义以便来检验模型的公平性程度。

其次，我建立了一个比例模型，采用了比例相等的方法，列出一个关于所获席位与总席位数和各系人数与各系总人数的等式，进而求得所获席位数。同时我建立了一D+Q值模型，通过汉丁顿模型和Q 值模型的结合，最终得出一个比较合理的分配方案。

最后，我用相对不公平数来检验两个模型的公平性程度。

关键词：数学建模公平定义 Q值模型 d'Hondt（汉丁顿）模型

一、问题重述与分析： (3)

1.1问题重述： (3)

1.2问题分析： (3)

二、模型假设 (4)

三、符号说明 (4)

四、模型建立： (5)

4.1公平的定义： (5)

4.2不公平程度的表示： (5)

4.3相对不公平数的定义： (5)

4.4模型一的建立：（比例分配模型） (6)

4.5模型二的建立：（d'hondt模型和Q值模型） (6)

五、模型求解 (8)

5.1模型一求解： (8)

5.2模型二的求解： (8)

六、模型分析与检验 (9)

七、模型的评价： (11)

7.1、优点： (11)

7.2、缺点： (11)

7.3、改进方向： (11)

八、模型优化 (11)

九、参考文献 (12)

公平的席位分配_图文

加惯C
州 200 0.835 1 公
例
总和 1000 4
4 1200 5
平 5吗
“公平”分配方法衡量公平分配的数量指标
人数
A方 p1 B方 p2
席位 n1 n2
当p1/n1= p2/n2 时，分配公平若 p1/n1> p2/n2 ，对 A 不公平
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度
当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给A rA, rB的定义
该席给A 否则, 该席给B
定义
该席给Q值较大的一方
推广到m方计算分配席位
该席给Q值最大的一方
，
Q 值方法
三系用Q值方法重新分配 21个席位
按人数比例的整数部分已将19席分配完毕
甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3
“公平”分配方法将绝对度量改为相对度量
若 p1/n1> p2/n2 ，定义
~ 对A的相对不公平度
公平分配方案应
类似地定义 rB(n1,n2)
使 rA , rB 尽量小
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 若
A, B已分别有n1, n2席，若增加1席，问应分给A, 还是B？不妨假设在分配开始时对A不公平，即

公平席位分配

公平的名额分配

摘要：公平分配的问题是关乎国家大局，人民情绪的重要问题。多年以来，

我们都在努力寻找“真正的公平”，就此本文讨论了两种常用的分配方法和一种名为d’Hondt方法，并结合人们公认的衡量公平分配的理想化原则，对两种基本方法进行深入剖析。

对于10个名额（席位）的分配，我们先按三个宿舍学生人数比例分配得到2：3：4，然后剩余的一个名额参照惯例分给比例中小数最大的A宿舍，这就是常用且简单的比例加惯例分配法。当然若按照Q值方法，就必须舍弃所谓惯例，建立新的衡量指标——不公平度，按此指标计算，则多的一个名额应给C宿舍。十个名额如此，十五个亦然。

d’Hondt法，对于名额（席位）不多的情况更易实施：只需将A,B,C三宿舍人数依次除以自然数列，商数按名额取大值即可，直观简单。

最小方差原则是希望各单位每个席位代表的人数差异不要太大，特别地应该与整个分配方案中平均每个席位所代表的人数P/N差异不要太大。模型简化后，可直接用比例分配的方差大小表示差异大小，方差小，则说明分配合理，反之，则是不合理。

关键词：比例惯例不公平度Q值方差。

一、问题的重述

我们身边时时刻刻都能遇到分配问题，大到一个国家的政策，小到你我家庭中的琐事，任何一个处理不好，都可能引发意想不到的恶果。因此，公平分配就显得尤为重要。

现在我们已知某校学生要组织一个一定人数的委员会，各宿舍人数给定，总人数亦可知道。摆在我们面前有三种分配方案，我们需要做的是找到一种方案，这个方案一方面满足委员会的要求，另一方面也让个宿舍成员满意。怎样做才既能让委员会发挥已有的作用，又不失公平。这是个问题。

公平的席位分配问题

公平的席位分配模型

08数学2班陆亚文 0807022020

摘要：本文以公平性为原则，分别建立比例加惯例模型、Q 值法模型、d ’Hondt 法模型、

d ’Hondt+Q 值法模型来解决席位分配问题，通过对比各个宿舍得到的每个席位代表的人数发现d ’Hondt 法模型使各个宿舍分配到的席位数能更好的代表每个宿舍的整体.即席位分配更趋于公平合理.

关键词：公平比例加惯例法 Q 值法 d ’Hondt 法 d ’Hondt+Q 值法

正文

1问题复述

一个学校有1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍.学

生们要组织一个10人的委员会，怎样进行公平合理的席位分配，一方面满足委员会的要求，另一方面也让各个宿舍成员满意.再讨论：当席位数增至15人的时候，用之前的方法的公平性.

2模型假设

2.1选举过程中各个宿舍之间没有人员调动的情况，各个宿舍人数恒定. 2.2各个委员以及各个宿舍之间没有等级的差异. 2.3选举时严格按照制定的方案.

3模型建立与问题的解

通过对照姜启源.数学模型（第三版）[M].北京:高等教育出版社，1993公平席位分配模型，现在直接用以下面的问题 3.1用比例加惯例模型分配

表1 按比例加惯例分配方案

3.2 Q 值法模型分配

按上述比例加惯例法将9席分配完毕.

然后按Q 值公式：()

,1,2,,1i i i i p Q i m n n ==+

计算Q 值，并将第10席分给Q 值最大的宿舍得出分配结果：

3.3 d ’Hondt 法模型

记i P 和j 分别为各宿舍的人数和席位数（C B A i ,,=分别代表C B A ,,宿舍）. 然后按公式：j

公平的席位分配等四个数学模型例子

P 1 2 22
2k 1 2k 1 n 1
（2）若n 2m m Z ，则存在一个正整数 k，使得
2k 1 n 2k
1 k 第一轮的比赛次数是 n 2k ， 2 n 人轮空，剩下的人
k 1 k 1 n ( n 2 ) 2 数为，这样之后的k－1轮比赛中的场数为 2k 1 1
例1：某校有11位同学参加围棋单淘汰赛，应该进行几场比赛？
补例1 赛程安排问题
二、单循环赛：单循环赛就是参加比赛的每一个人都要和其他人比赛一次，然后根据总体成绩排定名次。如果和其他人比赛两次，则称为双循环赛。设有n队参加比赛，则每队都要与其余的n－1支队分别比赛一场。当n为偶数时，则要举行n－1轮比赛；当n为奇数时，则要举行n轮比赛，且每轮有1队轮空定理：设有n队参加比赛，则比赛的总场数是 Cn 场。例2：某校共有26个班，举行排球比赛，在不同的赛制下各要比多少场？
因为N n N0 1
1 A nW
n
，所以＝ 1 ＋A

nW

n
,
两边取对数得： ln n ln 1 A

nW

补例2
洗衣节水问题
若取定＝0.018， A W 4 ，即总水量与衣服中残留水量之比 4 为4 :1。则有 ln 0.018 n ln 1 。由近似计算公式得 n

公平的席位分配

问题提出：某学校有3个系⼀共200名学⽣，其中甲系100名，⼄系60名，丙系40名。如果学校代表会议设置20个席位，怎样公平地分配席位？

思考：

按照传统的思维⽅式，按照每个系的⽐例进⾏席位的分配。在该问题中，甲⼄丙三个系的⼈数⽐例为100:60:40=5:3:2。因此按照这个⽐例进⾏席位的分配可以公平简单的实现席位分配。

但是上⾯的例⼦有些特殊，因为每个系的⼈数⽐例正好是整数，并且能够恰好分配所有的席位。

现在将问题进⼀步⼀般化。

假设甲系学⽣103⼈，⼄系学⽣63⼈，丙系学⽣34⼈。此时甲⼄丙学⽣⼈数所占⽐例分⽐为51.5%、31.%、17.0%。仍然分配20个席位，此时甲⼄丙按⽐例分配的席位个数分别为：10.3、6.3、3.4

三个系进过协商同意将最后⼀个席位分配给⽐例中⼩数部分最⼤的丙系。此时甲⼄丙席位分别为10、6、4

现在问题进⼀步复杂。

由于决策过程可能出现10:10的现象，会议决定将增加⼀个席位。依旧按照上述的将最后⼀个席位分配给⼩数⽐例最⼤的那个系。

见下⾯表格

不过现在通过表格可以看出：总席位的增加，反⽽导致丙系由4个席位减少⾄3个席位，这样的分配⽅法（将最后⼀个席位分配给⼩数⽐例最⼤的那个系）对丙系不公平。

因此问题出现在分配席位的⽅法上⾯。该分配席位的⽅法称为最⼤剩余法或者最⼤分数法

最⼤分数法明显的缺陷：⼈⼝悖论，某⽅⼈⼝增加反⽽导致该⽅席位数⽬减少。例如上述三系学⽣变为114,64,34.按照最⼤剩余法，21个席位的分配结果应该是：11、6、4，⼄系学⽣⼈数增加席位反⽽⽐原来少1席，丙系学⽣数量不变席位反⽽多了1席。

公平的席位分配

席位公平分配问题

—Q值法的改进

摘要：本文为建立席位分配问题的公平合理方案．对经典Q 值法进行了研究并提出改进，构造了衡量相对不公平程度的新标准量。通过对书本中的经典席位分配问题实例的计算，比较分析了多种席位分配方法的求解结果，并与经典的Q值法进行了公平性的比较。结果表明改进的标准量更为合理，从而验证了该方法的有效性和合理性。

一、问题背景

席位分配问题是人类社会生活中相当普遍的一类资源分配问题，是数学在政治领域中应用的典型实例，其目标是在一个大集体对小集体进行某种资源分配时试图尽可能做到公平合理。席位分配问题最关键之处是它的悖论观，无论选择怎样的分配方案，总会产生这样或那样的矛盾，著名的有以下几种悖论：亚拉巴马悖论、人口悖论和新州悖论。同时，席位公平分配的关键是提出衡量公平度的一个量，即满足下述5条公理：

公理1(人口单调性)：一方的人口增加不会导致它失去一个名额。

公理2(无偏性)：在整个时间平均，每一方应接受到它自己应分摊的份额。

公理3(名额单调性)：总名额的增加不会使某一方的名额减少。

公理4(公平分摊性)：任何一方的名额都不会偏离其比例份额数。

公理5(接近份额性)：没有从一方到另一方的名额转让会使得这两方都接近于它们应得的份额。

然而，1982年M ．L ．Balinski 和H ．P ．Young 证明了一个B —Y 不可能定理，即绝对公平的分配(满足公理1～公理5)方案是不存在的，既然绝对公平的分配方案不存在，人们便致力于席位分配问题的相对公平的研究。著名的Q 值法是1982年由

D ．N ．Burghes 和I ．Hunttey 等人提出的一种相对不公平衡量标准，该方法简单易行，且克服了其他方法的一些矛盾，被广泛的应用于资源公平分配问题中。但不足之处是未考虑名额分配后的整体状况，而首先给每一方分配一个名额也是没有道理的。基于此考虑，这里提出了一种新的衡量相对不公平的标准，不需要事先给每一方分配一个名额，其计算量与Q 值法相当，但比Q 值法更趋于公平。通过实例比较了该方法与Q 值法及其它方法的求解结果，从而验证该方法的合理性和有效性。

席位公平分配

席位公平分配的“绝对+优化”

摘要: 为了使席位分配达到更高的公平度.本文采用了“绝对+优化”选择法.不是像以往那样直接地用

Q 值法或d’Hondt 法进行分配.而是在分配之前又做了一次“深加工”,即将所有的组数随机的分为两组选出最优的,进行分配,再在选出的两组中每组再分成两组选出最优的再分配依次进行直到分配结束,整个过程都是在优选中完成的.充分的展示了优化组合的合理性、公平性.

关键词: 公平度;优化组合;绝对值;深加工;最优 0 引言

席位分配的公平与否历来受到人们的普遍关注,特别是在政治学、管理、对策论和能源利用等领域具有广泛的应用.1974 年,M.L.Balinski 和H. P. Young 引入了席位分配问题的公理化体系,认为合理的分配方法f 应该包含五条公理:人口单调性公理、无偏性公理、席位单调性公理、公平分摊性公理和接近份额性公理[]1.其中席位单调性和公平分摊性由于在美国众议院引起诸多悖论而广受关注.我们知道,不存在绝对公平的分配方案,于是,人们便致力于研究席位分配的相对公平问题,寻找不同公平原则下的分配方法,如比例+惯例法、Q 值法、x 2

拟合法、0 -1规划法、最大熵法、最小极差法、最大概率法等[]

9-2.究竟如何分配

才算是最为公平的呢?本文为此提出了一种新方法——“绝对+优化”.

1 席位公平分配问题的数学模型

1.1 席位分配问题的描述

假设m 方,第i 方的人数为i n (i=1,2,3…,m),共有n=Σ

m i 1

=i n 人,从中选出k 个代表,第i 方的席位

席位分配的方法

席位分配的方法可以根据不同的需求和情境来选择，以下是几种常见的席位分配方法：

1. 随机分配：通过随机的方式将人员分配到不同的席位上，确保公平性和随机性。这种方法适用于没有特殊要求的场合，例如普通的会议或聚会。

2. 根据层级或地位分配：根据人员的层级、职位或地位等因素将其分配到不同的席位上。这种方法常用于正式的场合和会议，以便根据身份进行整齐有序的安排。

3. 根据兴趣或专业领域分配：根据人员的兴趣、专业领域或研究方向等因素将其分配到相应的席位上。这种方法可以促进人员之间的交流和合作，适用于专业会议或讨论活动。

4. 根据任务或工作需求分配：根据人员的任务或工作需求将其分配到适合的席位上。这种方法可以提高工作效率和协作效果，适用于工作会议或团队项目中。

5. 自由选择分配：允许人员根据个人喜好或需要自由选择席位。这种方法给予人员更大的自主权和便利性，适用于较小规模的会议或活动。

在实际应用时，可以根据具体情况综合考虑多种分配方法，灵活运用，以满足不同的需求和目标。

公平的席位分配问题

席位分配在社会活动中经常遇到，如：人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即：

某单位席位分配数= 某单位总人数比例总席位

如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这种分配方法公平吗？下面来看一个学院在分配学生代表席位中遇到的问题：

某学院按有甲乙丙三个系并设20个学生代表席位。它的最初学生人数及学生代表席位为

系名甲乙丙总数

学生数100 60 40 200

学生人数比例100/200 60/200 40/200

席位分配10 6 4 20 后来由于一些原因，出现学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为

系名甲乙丙总数学生数103 63 34 200 学生人数比例103/200 63/200 34/200

按比例分配席位10.3 6.3 3.4 20 按惯例席位分配10 6 4 20

由于总代表席位为偶数，使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而达不成一致意见。为改变这一情况，学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。重新按惯例分配席位,有

系名甲乙丙总数学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200

按比例分配席位 10.815 6.615 3.57 21 按惯例席位分配 11 7 3 21

这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。这个结果也说明按惯例分配席位的方法有缺陷，请尝试建立更合理的分配席位方法解决上面代表席位分配中出现的不公平问题。模型构成

数学建模-席位分配问题PPT课件

惯例分配方法（Halmiton方法）：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
存在不公平现象（Alabama悖论），能否给出更公平的分配席位的方案？
2 建模分析
目标：建立公平的分配方案。
反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。
系别人数席位数每席位代表的人数
10
乙 63 63/200=31.5% 31.5%•20=6.3
6
丙 34 34/200=17.0% 17.0%•20=3.4
4
Halmiton(1790)
现象1
丙系少了6人，但席位仍为4个。(不公平！）
先按整数分配再按余数较大者
分配
由于在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一个席位。
21个席位的分配结果（Halmiton方法）
n1
对B的相对不公平值；
3 模型构成
建立了衡量分配不公平程Baidu Nhomakorabea的数量指标 rA , rB
制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。
若A、B两方已占有席位数 n1, n2 ,
为
用相对不公平值讨论当席位增加1个时，应该给A还是B方。
不失一般性，若 p1 p2 ，有下面三种情形。 n1 n2
情形1
n1 n2
此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。