第八章 空间解析几何答案
高等数学(同济第七版)第八章课后答案
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大学知识第八节 空间解析几何
空间解析几何1. 在空间直角坐标系中，由参数方程sin 1cos 042sin 2x y z θπθθθ⎧⎪=⎪⎛⎫=-+≤<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=⎩确定的曲线的一般方程是（ ）。
22220.20x y A y y z ⎧+=⎨++=⎩ 22220.20x y B y z z ⎧+=⎨++=⎩22220.20x y y C z y ⎧++=⎨+=⎩ 22220.20x y x C y z ⎧++=⎨+=⎩1.【答案】C【解析】联立x=sin θ,y=-1+cos θ消去θ得2220x y y ++=，可知选择C. 2. 设112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 为平面上不共线的三点，则三角形ABC 的面积为（） AB AC ⋅ B.12AB AC ⋅ D. AB AC ⋅ 2.【答案】B【解析】由行列式的定义展开计算可得。
3.直线L:12x -:2x y z τ++=A.平行 B.相交但不垂直 C 垂直 D.直线L 在平面上 3.【答案】B 。
【解析】由题意得:直线l 的方向向量为m =(2，-1，一3)， 平面τ法向量n =(1，1，1)，易知m 与n 不共线，且mn ≠0，而直线l 上的点(1，-1，2)在平面τ上，故两者相交但不垂直。
故选择B 。
4.方程2221x y z -+=-所确定的二次曲面是（ ）A. 椭球面B.旋转双曲面C. 旋转抛物面D. 圆柱面4.【答案】B5.方程22211694x y z -+=所确定的二次曲面是（ ）A. 椭球面 B 。
旋转双曲面 C. 旋转抛物面 D. 圆柱面5.【答案】B6.已知抛物面方程222=x y z +（1）求抛物面上在点(1,1,3)M 处的切平面方程；（2）当k 为何值时，所求的切平面与平面340x ky z +-=相互垂直。
6.【解析】（1）令22(,,)2F x y z x y z =+- 则4,2,1F F F x y x y z∂∂∂===-∂∂∂。
高考数学一轮复习第八章 解析几何答案 (2)
第八章 解析几何第40讲 直线的方程及位置关系1.B【解析】 由于倾斜角为60°，故斜率k ＝3.又直线过点(－1，0)，所以直线方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0.2. C【解析】 若直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m＝m ＋13≠4－2，故m ＝2或－3.3. C【解析】 因为x ＜0时，a x＞1，所以0＜a ＜1，则直线y ＝ax ＋1a的斜率满足0＜a ＜1，在y 轴上的截距1a＞1，只有C 符合．4.D 【解析】因为直线x ＋a 2y －a ＝0(a 是正常数)在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和1a ，所以此直线在x 轴，y 轴上的截距和为a ＋1a≥2，当且仅当a ＝1a，即a ＝1时等号成立．故当直线x ＋a 2y －a ＝0在x 轴，y 轴上的截距和最小时，正常数a 的值是1，故选D.5. D【解析】 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋x 知，函数f (x )的图象关于x ＝π4对称，所以f (0)＝f⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，所以－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为k ＝a b＝－1.又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为3π4.6.C【解析】由题易知直线AB 的方程为x ＋y ＝4，点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2)，关于y 轴的对称点为C (－2，0)，则光线经过的路程为CD ＝62＋22＝210.(第6题)7.ACD【解析】设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得y x ＋1·y x －1＝3，即y 2＝3x 2－3.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋3m ＝0，y2＝3x2－3，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m2－3x 2＋23m x ＋6＝0(m ≠0)，则Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23m 2－24⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1m2－3≥0，即m 2≥16，解得m ≤－66或m ≥66.所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－∞，－66∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫66，＋∞.故选ACD. 8.ABD【解析】对于动直线l 2：(k ＋1)x ＋ky ＋k ＝0(k∈R )，当k ＝0时，斜率不存在，倾斜角为90°，故A 正确；联立方程组⎩⎨⎧x －y －1＝0，(k ＋1)x ＋ky ＋k ＝0，可得(2k ＋1)x ＝0，对任意的k ，此方程有解，可得l 1与l 2有交点，故B 正确；因为当k ＝－12时，k ＋11＝k －1＝k －1成立，此时l 1与l 2重合，故C 错误；由于直线l 1：x －y －1＝0的斜率为1，动直线l 2的斜率为k ＋1－k＝－1－1k≠－1，故对任意的k ，l 1与l 2都不垂直，故D 正确．9. AD 【解析】 设点P 的坐标为(a ，b )． 因为A (4，－3)，B (2，－1)，所以线段AB 的中点M 的坐标为(3，－2)． 而AB 所在直线的斜率k AB ＝－3＋14－2＝－1，所以线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3， 即x －y －5＝0.因为点P (a ，b )在直线x －y －5＝0上， 所以a －b －5＝0.①又点P (a ，b )到直线l ：4x ＋3y －2＝0的距离为2， 所以|4a ＋3b －2|42＋32＝2，即4a ＋3b －2＝±10，②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝277，b ＝－87.所以所求点P 的坐标为(1，－4)或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫277，－87. 10.2x －4y ＋3＝0【解析】因为AC ＝BC ，所以欧拉线为AB 的中垂线，又A (1,0)，B (0,2)，故AB 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1，k AB ＝－2，故AB 的中垂线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0. 11. 2910【解析】因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知PQ的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以PQ 的最小值为2910.12.6【解析】以A 为坐标原点，平行于l 1的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，(第12题)设B (a ，－2)，C (b,3)．因为AC ⊥AB ，所以ab －6＝0，ab ＝6，b ＝6a. 所以Rt △ABC 的面积S ＝12a2＋4·b2＋9＝12a2＋4·36a2＋9＝1272＋9a2＋144a2≥1272＋72＝6(当且仅当a 2＝4时取等号)．所以△ABC 的面积的最小值为6. 13.【解答】(1)由题知过点P 的直线l 与原点的距离为2，而点P 的坐标为(2，－1)，显然，过点P (2，－1)且垂直于x 轴的直线满足条件，此时l 的斜率不存在，其方程为x ＝2.若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由已知得|－2k －1|k2＋1＝2，解得k ＝34.此时直线l 的方程为3x －4y －10＝0.综上可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(第13题)(2)作图可得过点P 且与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线，如图．由l ⊥OP ，得k l ·k OP ＝－1，因为k OP ＝－12，所以k l ＝－1kOP ＝2.由直线方程的点斜式得y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0.所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝5.(3) 由(2)可知，过点P 不存在到原点的距离超过5的直线，因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．14. 【解答】 (1) 设A ′(x ，y )，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.所以A ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3313，413.(2) 在直线m 上取一点M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4，3)．又因为m ′经过点N (4,3)，所以由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，因为点P ′在直线l 上，所以2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0. 15. 【解答】 如图，建立平面直角坐标系，则E (30,0)，F (0,20)， 所以直线EF 的方程为x30＋y20＝1(0≤x ≤30)．易知当矩形草坪的一个顶点在EF 上时，可取最大值，在线段EF 上取点P (m ，n )， 作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R . 设矩形PQCR 的面积为S ， 则S ＝PQ ·PR ＝(100－m )(80－n )．又m30＋n20＝1(0≤m ≤30)，所以n ＝20－23m ， 所以S ＝(100－m )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫80－20＋23m ＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)．所以当m ＝5时，S 有最大值，这时EPPF＝5∶1.所以当矩形草坪的两边在BC ，CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分有向线段EF 成5∶1时，草坪面积最大．(第15题) 第41讲 圆的方程1. A2. B3. A4.B【解析】设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |，所以圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2.因为点(3,1)在圆上，所以9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5，所以圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.5. D 【解析】 由题意，设P (x ，y )，则(x ＋2)2＋y 2(x －2)2＋y 2＝12，化简可得x 2＋y 2＋203x ＋4＝0.6.D【解析】由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，因为圆x 2＋y 2＋2x －6y＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，所以该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0，所以a ＋3b ＝3(a >0，b >0)．所以1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1a ＋3b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝⎛⎭⎪⎪⎫10＋23a b ·3b a ＝163，当且仅当3b a ＝3a b ，即a ＝b 时取等号，故选D. 7.ABD【解析】对于A ，将圆化为标准方程，得(x －1)2＋(y －2)2＝4，圆心坐标为(1,2)，半径为r ＝2，点(1，－2)到圆心的距离d ＝(1－1)2＋(－2－2)2＝4>r ，所以点在圆外．对于B ，由圆心(1,2)到直线的距离公式得d ＝|1－2＋2|12＋12＝22.对于C ，因为两圆的圆心坐标分别为O (0,0)和C (－2,2)，直线l 为线段OC 的垂直平分线，所以直线l 的方程是x －y ＋2＝0.对于D ，设P (x ，y )是圆C 上一点．而y x的几何意义就是直线OP 的斜率(O 为坐标原点)．设yx＝k ，则直线OP 的方程为y ＝kx . 由图可知，当直线OP 与圆相切时，斜率取最值．(第7题)因为点C 到直线y ＝kx 的距离d ＝|3k －3|k2＋1，所以当|3k －3|k2＋1＝6，即k ＝3±22时，直线OP 与圆相切，所以y x的最大值是3＋22，故选ABD.8. ACD【解析】 由于y ≥0，所以x 2＋y 2＝4(y ≥0)为上半圆，如图，设3x ＋y ＝m ，当直线过点(－2,0)时，m ＝－23.设圆心O 到直线3x ＋y －m ＝0的距离为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，d ≤r ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，|－m|2≤2，解得m ∈[－23，4]．故选ACD.(第8题)9.AC【解析】如图，由原点到直线l 的距离d ＝212＋12＝1，知直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切．由图可知，当AP ，AQ 均为圆x 2＋y 2＝1的切线时，∠PAQ 取得最大值，连接OP ，OQ ，由∠PAQ 的最大值为90°，且∠APO ＝∠AQO ＝90°，则四边形APOQ 为正方形，所以OA ＝2OP ＝2.设A (t ，2－t )，则由两点间的距离公式得OA ＝t2＋(2－t )2＝2，整理得2t 2－22t ＝0，解得t ＝0或2.因此，点A 的坐标为(0，2)或(2，0)．(第9题)10.x 2＋y 2－2x ＝0【解析】方法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，2＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0.所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.方法二：画出示意图如图所示，则△OAB 为等腰直角三角形，故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1，所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.(第10题)11.25【解析】 因为圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0，故圆C 是以C (2,1)为圆心，半径r ＝5的圆．设点A (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为A ′(m ，n )，故⎩⎪⎨⎪⎧m ＋02＋n ＋22＋2＝0，n －2m －0＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2，故A ′(－4，－2)．连接A ′C 交圆C 于点Q ，由对称性可知PA ＋PQ ＝A ′P ＋PQ ≥A ′Q ＝A ′C －r ＝25. 12.22【解析】x2＋y2表示曲线上的任意一点(x ，y )到原点的距离．当x ≥0，y ≥0时，x 2＋y 2－2x －2y ＝0化为(x －1)2＋(y －1)2＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22；当x ≤0，y ≤0时，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0化为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22；当x ≥0，y ≤0时，x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22；当x ≤0，y ≥0时，x 2＋y 2＋2x －2y ＝0化为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×2＝22.综上可知，x2＋y2的最大值为22.13.【解答】(1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0,4)，PC ＝2，设P (a,2a )，则a2＋(2a －4)2＝2，解得a ＝2或a ＝65，所以点P 的坐标为(2,4)或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫65，125.(2)设P (b,2b )，过点A ，P ，C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为x (x －b )＋(y －4)(y －2b )＝0，整理得x 2＋y 2－bx －4y －2by ＋8b ＝0， 即(x 2＋y 2－4y )－b (x ＋2y －8)＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2－4y ＝0，x ＋2y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝165，所以该圆必经过定点(0,4)和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫85，165.14. 【解答】 (1) 若选择条件①， 则PM PN＝2，即(x －2)2＋y 2(x －5)2＋y 2＝2，整理得x 2＋y 2－12x ＋32＝0，即(x －6)2＋y 2＝4. 若选择条件②，由A (4,0)，B (6,2)的中点为E (5,1)，k AB ＝2－06－4＝1，知AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－(x －5)，即x ＋y －6＝0. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －6＝0，x ＋y －6＝0，解得圆心C (6,0)．半径r ＝CA ＝2，所以曲线C 的方程为(x －6)2＋y 2＝4. (2) 由直线x ＝ay ＋4被曲线C 截得的弦长为2，知圆心到直线的距离d ＝4－1＝3.由点到直线的距离公式得d ＝|6－a ·0－4|a2＋1＝3，解得a ＝±33.15. 【解答】 (1) 设圆C 的圆心为C (a ，b )， 则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝8.因为直线y ＝x 与圆C 相切于原点O ，所以点O 在圆C 上，且OC 垂直于直线y ＝x ， 于是有⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b2＝8，ba ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2.因为点C (a ，b )在第二象限，故a <0，b >0，所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8. (2) 假设存在点Q 符合要求，设Q (x ，y )，则有⎩⎨⎧(x －4)2＋y 2＝16，(x ＋2)2＋(y －2)2＝8，解得x ＝45或x ＝0(舍去)．所以存在点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫45，125，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．第42讲 直线与圆、圆与圆的位置关系1.A【解析】方法一：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以直线l 与圆相交．方法二：(几何法)由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m|m2＋1<1<5，故直线l 与圆相交．方法三：(代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x2＋(y －1)2＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，Δ＝(－2m 2)2－4(1＋m 2)(m 2－5)＝4(4m 2＋5)>0，故直线l 与圆相交．2.C【解析】 由圆C 1与圆C 2外切，可得(a ＋b )2＋(－2＋2)2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9.根据基本不等式可知ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立，故ab 的最大值为94. 3.C【解析】当直线y ＝x ＋1上的点与圆心距离最小时取得切线长的最小值，圆心(3,0)到直线的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d2－r2＝8－1＝7.4.C【解析】 因为圆心到直线的距离为|9＋12－11|5＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．(第4题)5. C 【解析】 将x ＝2y －y2化为x 2＋(y －1)2＝1，x ≥0，表示半圆，所以圆心(0,1)，半径r ＝1.因为圆心到直线x －y －2＝0的距离d ＝322，所以圆上的点到直线的最小距离b ＝322－1， 最大距离为(0,2)到直线的距离，即a ＝42＝22， 则a －b ＝22＋1. 6.D【解析】圆的标准方程为x 2＋(y －5)2＝3，圆心为(0，5)，半径r ＝3，由圆心到直线2x ·sinθ＋y ＝0的距离d ＝54sin2θ＋1＜3，解得sin 2θ＞16，所以弦长为2r2－d2＝23－54sin2θ＋1，因为53＜4sin 2θ＋1≤5，所以1≤54sin2θ＋1＜3，所以弦长2r2－d2＝23－54sin2θ＋1∈(0,22]，当4sin 2θ＋1＝5，即sin 2θ＝1时，弦长有最大值22.7. BC【解析】 因为直线y ＝kx －1过定点(0，－1)，故圆C 的圆心(－3,3)到直线y ＝kx －1的距离的最大值为(－3－0)2＋(3＋1)2＝5.又圆C 的半径为6，故弦长AB 的最小值为262－52＝211.又当直线y ＝kx －1过圆心时，弦长AB 取最大值为直径12，故AB∈[211，12]．故选BC.8.AD【解析】当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x2＋y2－2x －2y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1－3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1＋3，所以AB ＝23，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，由已知可得圆的标准方程为(x－1)2＋(y －1)2＝4，其圆心为C (1,1)，半径r ＝2，所以圆心C (1,1)到直线kx －y ＋3＝0的距离d ＝|k －1＋3|k2＋1＝|k ＋2|k2＋1.因为d 2＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB 22，所以(k ＋2)2k 2＋1＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2322，即(k ＋2)2＝k 2＋1，解得k ＝－34，所以直线l 的方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，满足题意的直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y －12＝0，故选AD.9. ABD 【解析】 如图，因为原点O 到直线4x －3y ＋5＝0的距离d ＝|5|42＋(－3)2＝1，到直线y ＝－1的距离为1，且到(0,1)的距离为1，所以圆O 1和圆O 2的一个圆心为原点O ，不妨看作是圆O 1，设O 2(a ，b )，则由题意知⎩⎨⎧b ＋1＝a2＋(b －1)2，b ＋1＝|4a －3b ＋5|42＋(－3)2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，则O 2(2,1)，所以O 1O 2＝22＋12＝5.O 2到直线4x －3y ＋5＝0的距离d ＝2.由于O 1，O 2的位置不确定，故ABD 错误．(第9题)10.10【解析】由x 2＋y 2－2x －4y ＝0，得(x －1)2＋(y －2)2＝5，所以该圆的圆心坐标为(1,2)，半径r ＝5.又圆心(1,2)到直线3x －y －6＝0的距离为d ＝|3－2－6|32＋(－1)2＝102，由⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB 22＝r 2－d 2，得AB 2＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5－52＝10，即AB ＝10.11. y ＝－12【解析】由题意知，点P ，A ，C ，B 在以PC 为直径的圆上，易求得这个圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将此圆的方程与圆C 的方程作差可得AB 所在直线的方程为y ＝－12.12. 3 【解析】 方法一：设A (a,2a )，a >0，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋52，a ，所以圆C 的方程为⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －a ＋522＋(y －a )2＝(a －5)24＋a 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －a ＋522＋(y －a )2＝(a －5)24＋a 2，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧xD ＝1，yD ＝2，所以AB→·CD→＝(5－a ，－2a )·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－a －32，2－a ＝a2－2a －152＋2a 2－4a ＝0，所以a ＝3或a ＝－1.又a >0，所以a ＝3，所以点A 的横坐标为3.方法二：因为AB→·CD →＝0，所以AB ⊥CD ，又点C 为AB 的中点，所以∠BAD ＝45°.设直线l 的倾斜角为θ，直线AB 的斜率为k ，则tanθ＝2，k ＝tan⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ＋π4＝－3.又B (5,0)，所以直线AB 的方程为y ＝－3(x －5)，又A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，联立⎩⎨⎧y ＝－3(x －5)，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，所以点A 的横坐标为3.13. 【解答】 (1) 不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下： 设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2. 又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x1·－1x2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况． (2) 由(1)知BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x22，12，则BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －x22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m2，y －12＝x2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －x22，x22＋mx2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－m 2，－12， 半径r ＝m2＋92.故该圆在y 轴上截得的弦长为2·r2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 14.【解答】(1)设圆心C (a,0)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a>－52，则|4a ＋10|5＝2，解得a ＝0或a ＝－5(舍去)，所以圆C ：x 2＋y 2＝4.(2) 存在，当点N 为(4,0)时，x 轴平分∠ANB . 理由如下：当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y2＝4，y ＝k (x －1)，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k2k2＋1，x 1x 2＝k2－4k2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y1x1－t ＋y2x2－t＝0⇒k (x 1－1)x 1－t ＋k (x 2－1)x 2－t ＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2(k 2－4)k 2＋1－2k2(t ＋1)k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4,0)时，使得∠ANM ＝∠BNM 总成立． 15.【解答】(1)将圆M 的方程化为标准形式为(x －6)2＋(y －7)2＝25，圆心M (6,7)，半径r ＝5，由题意，设圆N 的方程为(x －6)2＋(y －b )2＝b 2(b >0)，且(6－6)2＋(b －7)2＝b ＋5，解得b ＝1， 所以圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.(第15题)(2)因为k OA ＝2，所以可设l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0.又BC ＝OA ＝22＋42＝25.由题意，圆M 的圆心M (6,7)到直线l 的距离为d ＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫BC 22＝25，即|2×6－7＋m|22＋(－1)2＝25，解得m ＝5或m ＝－15.所以直线l 的方程为y ＝2x ＋5或y ＝2x －15.(3) 由TA→＋TP →＝TQ →，知四边形AQPT 为平行四边形， 又因为P ，Q 为圆M 上的两点，所以PQ ≤2r ＝10. 所以TA ＝PQ ≤10，即(t －2)2＋42≤10， 解得2－221≤t ≤2＋221， 故实数t 的取值范围为[2－221，2＋221]．第43讲 椭 圆第1练1.C【解析】设椭圆C 的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a >b >0)．因为短轴长为2，所以2b ＝2，解得b ＝1.因为离心率e ＝c a＝255，又a 2＝b 2＋c 2＝1＋c 2，所以a 2＝5，所以椭圆C 的标准方程为y25＋x 2＝1.故选C.2. A 【解析】 当m ＝4时，a 2＝5，b 2＝4,2c ＝25－4＝2，即m ＝4时，椭圆x25＋y2m＝1的焦距为2.当m ＝6时，a 2＝6，b 2＝5,2c ＝26－5＝2，即“m ＝4”是“椭圆x25＋y2m＝1的焦距为2”的充分不必要条件，故选A.3. A【解析】 由题意知y21m＋x 2＝1，所以a 2＝1m，b 2＝1，所以2×1m＝2×1×2＝4，所以m ＝14.故选A.4. A【解析】 过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，则△AF 1F 2∽△CDF 2，由AF2→＝2F2C →，知F 1F 2＝2F 2D ，AF 1＝2CD ，所以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2c ，b22a ，因为点C 在椭圆上，所以(2c )2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b22a 2b2＝1，即5c 2＝a 2，所以e ＝c a ＝55.5. A 【解析】 设PF 1＝m ，PF 2＝n ，因为OP ＝OF 2，所以OP ＝OF 2＝OF 1，所以△PF 1F 2为直角三角形，即∠F 1PF 2＝90°.因为tan ∠PF 2F 1＝2，所以m ＝2n .因为△PF 1F 2的面积为4，所以12mn ＝4，即mn ＝8.因为∠F 1PF 2＝90°，所以m 2＋n 2＝F 1F 22＝4c 2.由椭圆的定义可得m ＋n ＝2a ，所以m 2＋n 2＋2mn ＝4a 2，解得b 2＝4，m ＝4，n ＝2，所以a ＝3，所以所求椭圆方程为x29＋y24＝1，故选A.6. A 【解析】如图，设椭圆的左焦点为F ′，连接AF ′，BF ′，则四边形AFBF ′为矩形，因此AB ＝FF ′＝2c ，AF ＋BF ＝2a ，AF ＝2c sin α，BF ＝2c cosα，所以2c sinα＋2c cosα＝2a ，所以e ＝1sin α＋cos α＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4，因为α∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π12，π6， 所以α＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π3，5π12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32，2＋64，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤62，1＋32，所以e ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－1，63.(第6题)7.AB【解析】 由题意知m >0，当m ＜5时，a ＝5，b ＝m ，c ＝5－m ，所以e ＝c a ＝5－m 5＝105，解得m ＝3；当m ＞5时，a ＝m ，b ＝5，c ＝m －5，所以e ＝c a＝m －5m＝105，解得m ＝253.故选AB.8.BD【解析】 观察图形可知a 1＋c 1>a 2＋c 2，即A 选项不正确；a 1－c 1＝a 2－c 2＝PF ，即B 选项正确；由a 1－c 1＝a 2－c 2>0，c 1>c 2>0知，a1－c1c1<a2－c2c2，即0＜a1c1<a2c2，从而c 1a 2>a 1c 2，c1a1>c2a2，即D 选项正确，C 选项不正确．故选BD 9.ACD【解析】对于A ，因为F 1F 2＝2，所以F 2(1,0)，PF 2＝1，所以QF 1＋QP ＝2a －QF 2＋QP ≥2a －PF 2＝2a －1，当Q ，F 2，P 三点共线时取等号，故A 正确；对于B ，假设椭圆C 的短轴长为2，则b ＝1，a ＝2，所以椭圆方程为x22＋y21＝1，代入点P 的坐标得12＋11>1，则点P 在椭圆外，假设不成立，故B 错误；对于C ，因为点P (1,1)在椭圆内部，所以1a＋1b <1，又a －b ＝1，所以b ＝a －1，所以1a＋1a －1<1，即a 2－3a ＋1>0，解得a >3＋52＝6＋254＝(1＋5)24，所以a >1＋52，所以e ＝1a<5－12，所以椭圆C 的离心率的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，5－12，故C 正确； 对于D ，若PF1→＝F1Q →，则F 1为线段PQ 的中点，所以Q (－3，－1)，所以9a ＋1b ＝1，又a －b ＝1，即a 2－11a ＋9＝0，解得a ＝11＋852＝22＋2854＝(5＋17)24，所以a ＝5＋172，所以椭圆C 的长轴长为5＋17，故D 正确．10.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12 【解析】 由方程x2m＋y21－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得1－m >m >0，解得0<m <12，所以实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12. 11. 24【解析】 在椭圆x249＋y224＝1中，a ＝7，b ＝26，c ＝49－24＝5，设PF 1＝m ，PF 2＝n ，由PF 1⊥PF 2，得m 2＋n 2＝(2c )2＝100，又m ＋n ＝2a ＝14，所以⎩⎪⎨⎪⎧m2＋n2＝4c2＝100，m ＋n ＝2a ＝14，所以mn ＝(m ＋n )2－(m 2＋n 2)2＝142－1002＝48，所以S △PF 1F 2＝12mn ＝24.12.33【解析】由于AF 2的中点P 恰好落在y 轴上，又A ，B 是椭圆上关于x 轴对称的两点，所以AB 过左焦点F 1且AB⊥F 1F 2，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－c ，b2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－c ，－b2a .因为P 是AF 2的中点，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，b22a .又F 2(c,0)，则BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c ，3b22a ，AF2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2c ，－b2a .因为BP →·AF2→＝0，则2c 2－3b42a2＝0，即2c ＝3b2a .又b 2＝a 2－c 2，则2ac ＝3(a 2－c 2)，即3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)．13. 【解答】 (1) 由已知可设C 2的方程为y 2＝4cx ，其中c ＝a2－b2. 不妨设A ，C 在第一象限，由题设得A ，B 的纵坐标分别为b2a，－b2a，C ，D 的纵坐标分别为2c ，－2c ，故AB ＝2b2a，CD ＝4c . 由CD ＝43AB ，得4c ＝8b23a，即3×c a＝2－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c a 2，解得c a ＝－2(舍去)或c a ＝12.所以C 1的离心率为12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，故C 1：x24c2＋y23c2＝1，所以C 1的四个顶点坐标分别为(2c,0)，(－2c,0)，(0，3c )，(0，－3c )，C 2的准线方程为x ＝－c .由已知得3c ＋c ＋c ＋c ＝12，即c ＝2.所以C 1的标准方程为x216＋y212＝1，C 2的标准方程为y 2＝8x .14.【解答】(1)由椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A (a,0)，上顶点为B (0，b )，可得直线AB 的方程为x a ＋y b＝1，即bx ＋ay －ab ＝0,则点O 到直线AB 的距离d ＝ab a2＋b2＝255，即4a 2＋4b 2＝5a 2b 2，①因为△OAB 的面积为1，所以12ab ＝1，即ab ＝2，②由①②，可解得a ＝2，b ＝1, 所以椭圆的标准方程为x24＋y 2＝1.(2) 由(1)可得x ＋2y －2＝0，所以直线AB 的斜率为－12，设直线l 的方程为y ＝－12x ＋t ，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋t ，x24＋y2＝1，整理得2y 2－2ty ＋t 2－1＝0，则y 1＋y 2＝t ，y 1y 2＝t2－12，所以k 1·k 2＝y1x1－2·y2－1x2＝y1y2－y1x1x2－2x2，所以x 1x 2－2x 2＝4(t －y 1)(t －y 2)－4(t －y 2)＝4[t 2－t (y 1＋y 2)＋y 1y 2－t ＋y 2]＝4[(y 1＋y 2)2－(y 1＋y 2)(y 1＋y 2)＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋y 2]＝4(y 1y 2－y 1)， 所以k 1·k 2＝y1y2－y14(y 1y 2－y 1)＝14，即k 1k 2＝14为定值．第2练1.D【解析】由于方程x2m＋y2m2－1＝1为椭圆，且焦点(0,1)在y 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧m>0，m2－1>0，m2－1>m ，m2－1－m ＝1，解得m ＝2，所以a ＝22－1＝3，长轴长为2a ＝23.2. B 【解析】 因为椭圆E 的离心率为22，所以c a ＝22，因为椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22，32，所以12a2＋34b2＝1， 又a 2＝b 2＋c 2，解得c ＝1，所以焦距为2c ＝2. 故选B.3. D 【解析】 依题意，8π＝ab ·π，故ab ＝8①. 不妨设直线l ：xa ＋yb ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，则椭圆的中心到直线l 的距离为ab a2＋b2＝43417，解得a 2＋b 2＝34②，联立①②，又a ＞b ＞0，解得a ＝42，b ＝2，故椭圆C 的方程为x232＋y22＝1. 4.B【解析】 由题意可知，以AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，也过左焦点，如图所示，OA ＝OB ＝OF 1＝OF 2，故这两个焦点F 1，F 2和A ，B 两点为顶点得一矩形．直线y ＝－3x 的倾斜角为120°，所以矩形宽为c ，长为3c .由椭圆定义知矩形的长宽之和等于2a ，即c ＋3c ＝2a ，所以e ＝c a ＝23＋1＝3－1，故选B.(第4题)5. A 【解析】 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x2a2＋y2b2＝1⇒(b 2＋a 2k 2)x 2＝a 2b 2，则x ＝±ab b2＋a2k2，由题意知ab b2＋a2k2＝c ①，因为e ＝c a＝12，所以a ＝2c ，b ＝a2－c2＝3c ，代入①可得12c43c2＋4c2k2＝c 2⇒k ＝±32.故选A. 6. C 【解析】如图，由椭圆的定义可知QF 1＋QF 2＝2a ，PF 1＋PF 2＝2a ，F 1F 2＝2c ，因为PF 2＝F 1F 2，所以PF 2＝2c ，则PF 1＝2(a －c )．因为2PF 1＝3QF 1，所以QF 1＝23PF 1，所以QF 1＝4(a －c )3，则QF 2＝2a ＋4c3.在△PF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠PF 1F 2＝PF21＋F2F21－PF222PF1·F2F1＝a －c2c ；在△QF 1F 2中，由余弦定理可得cos ∠QF 1F 2＝QF21＋F2F21－QF222QF1·F2F1＝a －3c4c .因为∠PF 1F 2＋∠QF 1F 2＝180°，所以cos ∠PF 1F 2＝－cos ∠QF 1F 2，所以a －c 2c＝－a－3c4c，化简得3a＝5c，所以e＝ca＝35. 所以椭圆的离心率为35.(第6题)7. BC 【解析】因为x26＋y2＝1，所以a＝6，b＝1，所以c＝a2－b2＝6－1＝5，则椭圆C的焦距为25，离心率为e＝ca＝56＝306.设P(x，y)(－6≤x≤6)，则PD2＝(x＋1)2＋y2＝(x＋1)2＋1－x26＝56⎝⎛⎭⎪⎪⎫x＋652＋45≥45>15，所以圆D在椭圆C的内部，且PQ的最小值为45－15＝55.故选BC. 8. ABC 【解析】由椭圆x225＋y216＝1，得a＝5，b＝4，c＝3，故A正确；椭圆上的动点P满足a－c≤PF1≤a＋c，即有2≤PF1≤8，故FP1的最小值为2，B正确；设FP1，FP2，FP3，…组成的等差数列为{a n}，公差d>0，则a1≥2，a n≤8，又d＝an－a1n－1，所以d≤6n－1≤621－1＝310，所以0<d≤310，所以d的最大值是310，故C正确，D错误．故选ABC.9. ABD 【解析】 设P (x 0，y 0)，则k PA ·k PB ＝y20－9x20＝y20－91－y209＝－9.设k PA ＝k (k ＞0)，则k PB ＝－9k，直线AP 的方程为y ＝kx －3，则点M 的坐标为(5,5k－3)．直线BP 的方程为y ＝－9k x ＋3，则点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5，－45k ＋3， 所以MN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪5k －3－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－45k ＋3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪5k ＋45k －6≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪25k ·45k －6＝24，当且仅当5k ＝45k，即k ＝3时等号成立．从而△DMN 面积的最小值为12×24×6＝72，故选ABD.10.2＋6－2【解析】如图，因为△ABF 为顶角是150°的等腰三角形，所以设AB ＝x ＝AF ，则由余弦定理得cos 150°＝AB2＋AF2－BF22AB ·AF，则BF ＝6＋22x .又OF ＝AB 2＋AF ·cos ∠AFO ＝3＋12x ＝2，解得x ＝6－2，BF ＝6＋22x ＝2，则2a ＝BF ＋BF 2＝BF ＋AF ＝2＋6－2.(第10题)11.⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，1【解析】由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，即点F 到点P 与点A 的距离相等，而FA ＝a2c －c ＝b2c，PF ∈(a －c ，a ＋c ]，于是b2c∈(a －c ，a ＋c ]，即ac －c 2<b 2≤ac ＋c 2，⎩⎪⎨⎪⎧ac －c2<a2－c2，a2－c2≤ac ＋c2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ca <1，c a ≤－1或c a ≥12，又e ∈(0,1)，故e ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，1. 12.63【解析】 如图，设点F (c,0)，因为直线AB ：y ＝33x ，所以tan ∠AOF ＝33，即∠AOF ＝30°.又AF ⊥BF ，O 为AB 中点，所以OA ＝OF ＝c ，所以点A (c cos ∠AOF ，c sin ∠AOF )，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3c 2，c 2.因为点A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3c 2，c 2在椭圆上，所以3c24a2＋c24b2＝1， 又b 2＝a 2－c 2，化简得3c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0，即3e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝23或2(舍去)，故e ＝63.(第12题)13. 【解答】 (1) 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧94a2＋3b2＝1，c a ＝53，c2＋b2＝a2，解得a 2＝9，b 2＝4，所以椭圆C 的方程为x29＋y24＝1.(2)由(1)知A (0,2)，所以∠PAQ 的平分线方程为y ＝2x ＋2，在直线y ＝2x ＋2上取点B (－1,0)，则AB ＝5，因为直线AP ，AQ 互相垂直，所以∠PAQ ＝90°， 所以点B 到AP ，AQ 的距离为102.设AP ：y ＝kx ＋2，则102＝|－k ＋2|1＋k2，解得k ＝－3或13.不妨取AP ：y ＝－3x ＋2，则AQ ：y ＝13x ＋2，分别与椭圆C 方程联立解得x P ＝10885，y P ＝－15485，x Q ＝－125，y Q ＝65，所以直线PQ 的斜率k PQ ＝－3239.14. 【解答】 (1) 由点P (2，3)在椭圆上可得2a2＋3b2＝1，整理得2b 2＋3a 2＝a 2b 2①.由S △PF 1F 2＝12×2c ×3＝23，解得c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝b 2＋4，代入①式整理得b 4－b 2－12＝0，解得b 2＝4，a 2＝8.所以椭圆的标准方程为x28＋y24＝1.(2) 由(1)可得F 2(2,0)，所以设直线l 1：x ＝my ＋2，联立直线与椭圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，x28＋y24＝1，整理得(m 2＋2)y 2＋4my －4＝0，所以直线l 1与椭圆两交点的中点M 的纵坐标y M ＝y1＋y22＝－2mm2＋2.同理直线l 2与椭圆两交点的中点N 的纵坐标y N ＝2m 1m2＋2＝2m2m2＋1，所以S △MNF 2＝12MF 2·NF 2＝121＋m2·1＋1m2·|y M ||y N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m (1＋m 2)2m 4＋5m 2＋2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m (1＋m 2)2(m 2＋1)2＋m 2， 将上式分子分母同除m (1＋m 2)可得， S △MNF 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪22m2＋1m ＋m 1＋m2， 不妨设m >0，令m2＋1m ＝t ，t ≥2，则S △MNF 2＝22t ＋1t ，令f (t )＝2t ＋1t ，f ′(t )＝2t2－1t2，因为t ≥2，所以f ′(t )>0，所以f (t )在[2，＋∞)上单调递增，所以当t ＝2时，△MNF 2的面积取得最大值，且S max ＝24＋12＝49. 第44讲 双曲线1. C2. B3. B【解析】 因为双曲线的右焦点为F (3,0)，即c ＝3，双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为bx ±ay ＝0.又点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为1，所以|3b|b2＋a2＝1，即3b c＝1，所以b ＝1，则a ＝c2－b2＝22，因此e ＝ca ＝324.故选B.4.B【解析】由双曲线的离心率为2，可知双曲线为等轴双曲线，a ＝b ，将点(3，2)代入双曲线方程得a ＝b ＝1，根据对称性，不妨设点P 在第一象限，点P 到x 轴的距离为h ，F 1F 2＝22，PF 1－PF 2＝2，由余弦定理得F 1F 22＝PF 12＋PF 22－2PF 1·PF 2cos60°＝(PF 1－PF 2)2＋PF 1·PF 2，所以PF 1·PF 2＝4，由三角形面积公式得12PF 1·PF 2sin60°＝12F 1F 2·h ，解得h ＝62.故选B.5.A【解析】方法一：双曲线x24－y22＝1的右焦点F (6，0)，渐近线方程为y ＝±22x ，不妨设点P 在第一象限，由PO ＝PF ，得点P 的横坐标为62，纵坐标为22×62＝32，即△PFO 的底边长为6，高为32，所以△PFO 的面积为12×6×32＝324.方法二：不妨设点P 在第一象限，根据题意可知c 2＝6，所以OF ＝6.又tan ∠POF ＝ba ＝22，所以等腰三角形POF 的高h ＝62×22＝32，所以S △PFO ＝12×6×32＝324.6. D 【解析】 如图，设△AMF 1的内切圆在边AF 1，AM 的切点分别为E ，G ，(第6题)则MF 1－MF 2＝2a ，得NF 1＋2－MF 2＝2a ，又NF 1＝EF 1＝GF 2，则GF 2＋2－MF 2＝2a ，得2＋MG ＝2a ，又MG ＝2，则2a ＝4, a ＝2，所以双曲线C 的离心率为22＋42＝2.故选D.7. BC 【解析】 由双曲线方程x24－y212＝1，得a ＝2，b ＝23，c ＝a2＋b2＝4，所以实轴长2a ＝4，故选项A 错误；渐近线方程为y ＝±b ax ＝±3x ，故选项B 正确；离心率e ＝c a＝2，故选项C 正确；准线方程为x ＝±a2c ＝±1，取其中一条准线x ＝1，y ＝3x 与x ＝1的交点A (1，3), 点A 到直线y ＝－3x 的距离d ＝|3×1＋3|(3)2＋12＝3，故D 错误．故选BC.8.ACD【解析】对于A ，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，正确；对于B ，由题意得F 2(2， 0)，F 1(－2， 0)，则以F 1F 2为直径的圆的方程不是x 2＋y 2＝1，错误；对于C ，F 1(－2， 0)到渐近线y ＝x 的距离为1，正确；对于D ，由题意得F 1(－2，0)，F 2(2，0)，设P (x 0，y 0)，根据PF1→·PF2→＝0，解得x 0＝±62，y 0＝±22，则△PF 1F 2的面积为1，正确．9.AC【解析】设双曲线C 的左焦点为F ′，则QF －QF ′＝2a ，即QF ＝QF ′＋2a ，故QF ＋PQ ＝QF ′＋PQ ＋2a ≥PF ′＋2a .由题意可得PF ＝PF ′＝24＋1＝5，所以PQ ＋QF ＋PF ≥2PF ＋2a ≥14，所以a ≥2，则双曲线C 的离心率e ＝c a ＝26a≤6.因为e >1，所以双曲线C 的离心率的取值范围为(1，6]．10.x210－y25＝1【解析】 由题意设所求双曲线方程为x212－y26＝k ，因为双曲线过点(23，－1)，所以1212－16＝k ，k ＝56，所以所求双曲线方程为x212－y26＝56，即x210－y25＝1. 11.10【解析】 因为双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝2x ，所以b a＝2，即b ＝2a .因为左焦点F (－3，0)，所以c ＝3，所以c 2＝a 2＋b 2＝3a 2＝3，所以a 2＝1，b 2＝2，所以双曲线方程为x 2－y22＝1，直线l 的方程为y ＝2(x ＋3)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝2(x ＋3)，x 2－y22＝1，消去y 可得x 2＋43x ＋7＝0，Δ＞0， 所以x 1＋x 2＝－43，x 1x 2＝7，所以AB ＝1＋k2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋4·48－28＝5×20＝10. 12. 75 【解析】 由定义知PF 1－PF 2＝2a .又PF 1＝6PF 2，所以PF 1＝125a ，PF 2＝25a .当P ，F 1，F 2三点不共线时，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝PF21＋PF22－F1F222·PF1·PF2＝14425a2＋425a2－4c22·125a ·25a ＝3712－2512e 2，即e 2＝3725－1225cos ∠F 1PF 2.因为cos ∠F 1PF 2∈(－1,1)，所以e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，75.当P ，F 1，F 2三点共线时，因为PF 1＝6PF 2，所以e ＝c a ＝75.综上，e 的最大值为75. 13. 【解答】(1) 设所求双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则 42－(－10)2＝λ，所以λ＝6.所以所求双曲线的标准方程为x26－y26＝1.(2) 将点M (3，m )代入双曲线方程，得326－m26＝1，所以m 2＝3，所以M (3，±3)． 又由双曲线方程知F 1(－23，0)，F 2(23，0)，所以kMF 1·kMF 2＝m 3＋23·m 3－23＝m2－3＝3－3＝－1，所以MF 1⊥MF 2.(3) 由MF 1⊥MF 2知∠F 1MF 2＝90°， 所以MF 21＋MF 2＝F 1F 2.① 又因为MF 1－MF 2＝26，②①－②2得2MF 1·MF 2＝F 1F 2－24＝24，所以MF 1·MF 2＝12，所以S △F 1MF 2＝12MF 1·MF 2＝6.14. 【解答】 (1) 设双曲线C 的方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由已知得a ＝3，c ＝2，又a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝1， 所以双曲线C 的方程为x23－y 2＝1.(2) 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 将y ＝kx ＋2代入x23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k2≠0，Δ＝36(1－k 2)＞0，x A＋x B＝62k 1－3k 2＜0，x A x B＝－91－3k 2＞0，解得33＜k ＜1.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33，1.15. 【解答】 (1) 设点F 1，F 2的坐标分别为(－c,0)，(c,0)(c >0)，由题知c a＝2，所以c ＝2a ，c 2＝4a 2，b 2＝c 2－a 2＝3a 2，又因为点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32在双曲线C 上，所以1a2－94b2＝1， 则b 2－94a 2＝a 2b 2，即3a 2－94a 2＝3a 4，解得a 2＝14，a ＝12.所以c ＝1.连接PQ ，因为OF 1＝OF 2，OP ＝OQ ，所以四边形PF 1QF 2为平行四边形． 因为四边形PF 1QF 2的周长为42，所以PF 2＋PF 1＝22>F 1F 2＝2.所以动点P 的轨迹是以点F 1，F 2分别为左、右焦点，长轴长为22的椭圆(除去左右顶点)．可得动点P 的轨迹方程为x22＋y 2＝1(y ≠0)．(2) 因为x 21＋x 2＝2，x212＋y 21＝1，x222＋y 2＝1，所以y 21＋y 2＝1，所以OG ·MN ＝MN ·OG ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x1＋x222＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y1＋y222＝12x21＋x22＋y21＋y22－2x1x2－2y1y2· x21＋x22＋y21＋y22＋2x1x2＋2y1y2 ＝123－2x1x2－2y1y23＋2x1x2＋2y1y2≤12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－2x1x2－2y1y2＋3＋2x1x2＋2y1y22＝32. 当且仅当3－2x 1x 2－2y 1y 2＝3＋2x 1x 2＋2y 1y 2，即x 1x 2＋y 1y 2＝0时取等号， 此时OM ⊥ON ，即△OMN 为直角三角形．第45讲 抛物线1. D2. C 【解析】 将x ＝4代入抛物线方程得P (4,4)，根据抛物线定义得PF ＝4＋p 2＝4＋1＝5.3.B【解析】设P (x P ，y P )，由题可得抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.又点P 到焦点F 的距离为2，所以由定义知点P 到准线的距离为2,所以x P ＋1＝2，所以x P ＝1.代入抛物线方程得|y P |＝2，所以△OFP 的面积为S ＝12·OF ·|y P |＝12×1×2＝1.4.C【解析】抛物线C ：x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1，圆M ：(x －3)2＋(y －4)2＝r 2(r >0)的圆心为(3,4)，因为准线恰好与圆M 相切，所以圆心到准线的距离为r ＝|4＋1|＝5.5.B【解析】因为CC 1的中点为M (1,4)，所以y A ＋y B ＝8，x C －p 2。
张志让 刘启宽 线性代数与空间解析几何 (二版)第八章习题解答
−
1
2⎟ 1 ⎟⎟
⎝2 ⎠
正定
⎜⎛ 3 2 − 3 ⎟⎞
⎜
2⎟
⑵ ⎜ 2 −2 −1⎟
⎜
2⎟
⎜ ⎜ ⎝
−
3 2
−1 2
⎟ 2⎟
⎠
不定
2
2．
⑴
⎜⎛ 1 ⎜t
t −1⎟⎞ 1 2 ⎟=A
⎜⎝ −1 2 5 ⎟⎠
⎛1 t ⎞ A' = ⎜⎜⎝t 1⎟⎟⎠
| A |= −5t 2 − 4t , | A'|= 1− t 2
对于λ1=2 ，
求
（λI-A）x=0,
得
⎛1⎞ x= ⎜⎜⎝1⎟⎟⎠
,
单位化为
⎜⎛1/ ⎜⎝1/
2 2
⎟⎞ ⎟⎠
；
对于λ1=4
，
求
（λI-
A）x=0,
得
x=
⎛ ⎜⎜⎝
1⎞ − 1⎟⎟⎠
,
单位化为
⎜⎜⎝⎛
1/ −1/
2 2
⎟⎟⎠⎞
，
⎛1 1 ⎞
故
⎛ ⎜⎜ ⎝
x y
⎞ ⎟⎟ ⎠
=
⎜
⎜
⎜ ⎜⎝
2 1
2
−
2 1
f
(x1 ,
x2 )
=
x12
−
x1 x2
+
x22 =
x12
−
x1 x2
+
1 4
x22
+
3 4
x
2 2
=(
x1
−
1 2
x2 )2
+
3 4
x
2 2
高等数学(经济类)课后习题及答案第八章空间解析几何答案
习题8-1（A ）1．求空间两点(1,2,2)A 与(1,0,1)B -之间的距离．解：3AB ==．2．写出点()456A -，，的对称点坐标：（1）分别关于xOy 、yOz 、xOz 平面的对称点坐标；（2）分别关于x 轴、y 轴、z 轴的对称点坐标；（3）关于原点的对称点坐标．答案：（1）(4,5,6)--；(4,5,6)--；(4,5,6)．（2）(4,5,6)-；(4,5,6)---；(4,5,6)-．（3）(4,5,6)--．3．判断由()123A ，，，()315B ，，，()243C ，，三点构成的三角形的形状．解：因为3AB ==，AC ==BC ==， 进一步，计算可得222AB AC BC +=，所以ABC ∆为直角三角形．4．求点(,,)M x y z 到各个坐标轴之间的距离．答案：M 点到x 轴的距离x d =M 点到y 轴的距离y d =，M 点到z 轴的距离z d =5．在x 轴上求一点M ，使它到点()321A -，，和()314B ，，的距离相等．解：由题意设点(,0,0)M x ，且满足MA MB ==，解得1x =，所以(1,0,0)M ．6．一动点(,,)M x y z 与定点0000(,,)M x y z 的距离为R (0)R >，求动点(,,)M x y z 所满足的方程．解：由题意0MM R =R =，即2222000()()()x x y y z z R -+-+-=． 7． 一动点(,,)M x y z 与两定点(1,2,3)A 与(2,1,4)B -距离相等，求动点(,,)M x y z 所满足的方程．解：由题意MA MB == 整理得26270x y z -+-=．习题8-2（A ）1．设向量23u a b c =+-，32v a b c =-+，求2v u -．解：2(61)(22)(43)547v u a b c a b c -=-+--++=-+．2．已知点C 是线段AB 的中点，O 是线段AB 外一点，若OA a =，OB b =，求OC ．解：由题意知AB b a =-，122b a AC AB -==， 因此，22b a a b OC OA AC a -+=+=+=． 3．设点N M ,分别是四边形ABCD 两对角线BD 与AC 之中点，若AB a =， CDc =，求MN ．解：设BC 中点为E ，中位线1122EM CD c ==，中位线1122NE AB a ==， 所以在MNE ∆中，1()2MN ME EN a c =+=-+． 4．已知向量(1,2,3)a =-，求2a -以及与a 平行的单位向量e ．解：22(1,2,3)(2,4,6)a -=--=--，与a 平行的单位向量1e 2,3)14a a =±=±-． 5．若2a =，1b =，且向量a 与b 的夹角为π6，求： （1）a b ⋅； （2）(2)(3)a b ⋅-； （3）()(2)a b a b +⋅-； （4）a b ⨯； （5）(2)(3)a b ⨯-； （6）()(2)a b a b +⨯-．解：（1）cos 212a b a b θ⋅==⋅⋅= （2）(2)(3)663a b a b ⋅-=-⋅=-；（3）222222()(2)222212a b a b a ab b a ab b +⋅-=--=--=⋅=-；（4）1sin 2112a b a b θ⨯==⋅⋅=； （5）(2)(3)66a b a b ⨯-=⨯=；（6）()(2)22333a b a b a a a b b a b b a b a b +⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯=⨯=．6．已知向量(2,2,1)a =-、(1,2,3)b =，求a b ⋅ 、a b ⨯及Pr j a b ．解：21(2)2131a b ⋅=⋅+-⋅+⋅=； 221856(8,5,6)123i j ka b i j k ⨯=-=--+=--；3a =，14b =，由a b ⋅1=可知cos θ=，所以1Pr j cos 3a b b θ==． 7．设()1,2,3M ，(2,1,3N ，求向量MN 的方向角和方向余弦．解：(1,MN =-，2MN =，方向余弦 1cos 2α=，1cos 2β=-，cos γ= 方向角 3πα=， 23πβ=，4πγ=． 8．一向量的终点为)7,1,2(-B 且它在x 轴、y 轴、z 轴上的投影依次为4，4-和7，求这个向量的起点A 的坐标．解：由题意可知(4,4,7)AB =-，设A 点坐标为000(,,)x y z ，则024x -=，014y --=-，077z -=，解得02x =-，03y =，00z =，所有A 点坐标为(2,3,0)-．9．若向量(,2,1)a k =-与向量(,2,3)b k k =-垂直，求k 值．解：2430a b k k ⋅=--=，解得1k =-或4k =．10．求与向量(2,2,1)a =、(4,5,3)b =都垂直的单位向量． 解：由题意22122(1,2,2)453i j kc a b i j k =⨯==-+=-，且3c =，故所求单位向量为1(1,2,2)3±-．11.已知点()1,1,1M ，()2,2,1A ，()2,1,2B ，求AMB ∠．解：因为()1,1,0MA =，()1,0,1MB =，所以111cos2MA MBAMB MA MB ⋅⋅∠===⋅，因此3AMB π∠=． 12．若a 与b 垂直且都是单位向量，求以u a b =+，v a b =-为邻边的平行四边形面积． 答案：2．解析：由题意1a b ==，由向量积的几何意义可知该平行四边形的面积为： ()()22S u v a b a b a a a b b a b b a b a b =⨯=+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯=⨯2sin 21112a b θ==⋅⋅⋅=．习题8-2（B ）1．证明向量()()b c a a c b ⋅-⋅与向量c 垂直．证：()()()()()()()()b c a a c b c b c a c a c b c b c a c a c b c ⎡⎤⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅⎣⎦， 因为()()()()b c a c a c b c ⋅⋅=⋅⋅，故，所以()()b c a a c b c ⎡⎤⋅-⋅⊥⎣⎦． 2．用向量证明三角不等式+AC BC AB <． 证：设AB c =，AC b =，BC a =，则a c b +=，两边平方得22()a c b +=，即2222a c ac b ++=．又因22a a =，22c c =，22b b =， 又2222cos b a c a c B =++，所以即2222b a c a c <++，故+AC BC AB <．3．已知向量,a b 满足5a =，6b =，15a b ⨯=，求a b ⋅．解：sin 30sin 15a b a b θθ⨯===，1sin 2θ=，cos 2θ=±，所以cos a b a b θ⋅==±． 4．已知向量,a b 满足a b ⊥，且3a =，4b =，求()()a b a b +⨯-．解：()()a b a b a a a b b a b b +⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯，因为0a a ⨯=，0b b ⨯=，a b b a ⨯=-⨯，则()()222sin a b a b a b a b a b θ+⨯-=-⨯=⨯=，又因a b ⊥，sin 1θ=，所以()()2sin 24a b a b a b θ+⨯-==． 5．已知向量a 、b 、c 两两垂直，且1a =、2b =、3c =，设s a b c =++，求s 以及s 与a 的夹角．解：22222()22214914s a b c a b c ab bc ac =++=+++++=++=，所以14s =.又因2()1s a a b c a a ⋅=++⋅==，所以=cos 1s a s a θθ⋅==，故 s 与a 的夹角θ=． 6．两个非零向量a 和b 满足如下条件：向量3a b +与75a b -垂直，并且向量4a b -与72a b -垂直，求向量a ，b 的夹角．解：设向量a 与b 的夹角为θ，由(3)(75)a b a b +⊥-，有 220(3)(75)7151671516cos a b a b a a b b a b a b a b θ=+⋅-=⋅-⋅+⋅=-+；由(4)(72)a b a b -⊥-，有 220(4)(72)78307830cos a b a b a a b b a b a b a b θ=-⋅-=⋅+⋅-⋅=+-， 上述两个方程联立，解得 21cos =θ，得π3θ=，所以向量a 与b 的夹角为π3．习题8-3（A ）1． 分别求满足下列各条件的平面方程：（1）过点(3,2,4)M --且垂直于x 轴；（2）过点(2,0,1)M -且平行于平面3753x y z -+=；（3）过点(2,9,6)M 且与线段OM 垂直，其中O 为坐标原点；（4）过三点(2,1,4)A -，(1,3,2)B --，(0,2,3)C ；（5）线段AB 的垂直平分面，其中(0,3,6)A ，(2,1,4)B -；（6）平行于xOz 平面且过点(2,4,3)M -；（7）过y 轴和点(1,4,1)M --；（8）过x 轴且垂直于平面03245=+-+z y x ；（9）过原点及点(6,3,2)M 且垂直平面8345=-+z y x ；（10）过点(2,1,1)M -且在x 轴和y 轴上的截距分别为2和1．解：（1）由于所求平面垂直于x 轴，故所求平面平行于yOz 平面，所以所求平面的方程为3x =；（2）设所求平面为375x y z k -+=，又因为其过点(2,0,1)M -，代入得1k =，所以所求平面方程为3751x y z -+=；（3）向量(2,9,6)OM =即为所求平面的法向量，又平面过点(2,9,6)M ，所以所求平面方程为2(2)9(9)6(6)0x y z -+-+-=，即296121x y z ++=；（4）所求平面的法向量为(3,4,6)(2,3,1)(14,9,1)n AB AC =⨯=--⨯--=-，代入点(2,1,4)A -，得到所求平面方程为14(2)9(1)(4)0x y z -++--=，即14915x y z +-=；（5）(2,4,2)AB =--即为所求平面的法向量，且过线段AB 的中点(1,1,5)，所以所求平面方程为2(1)4(1)2(5)0x y z -----=，即260x y z --+=；（6）由题意所求平面垂直于y 轴，且过点(2,4,3)M -，所以所求平面方程为4y =-；（7）设所求平面方程为0Ax Cz +=，代入点(1,4,1)M --得A C =，所以所求平面方程为0x z +=；（8）所求平面的法向量为1(1,0,0)(5,4,2)(0,2,4)n i n =⨯=⨯-=，且过原点，所以所求平面方程为20y z +=；（9）所求平面的法向量为1(6,3,2)(5,4,3)(17,28,9)n OM n =⨯=⨯-=-，所以所求平面方程为172890x y z -++=；（10）由题意设所求平面的截距式方程为121x y z c++=，其中c 为平面在z 轴上的截距， 代入点(2,1,1)M -，解得1c =，所以所求平面为1211x y z ++=． 2． 指出下列各平面的特殊位置，并作平面的草图：（1）0=z ； （2）012=-x ；（3）1=+y x ； （4）02=-z x ；（5）0=++z y x ； （6）1432=+-z y x ． 答案：（1）xOy 平面；（2）垂直于x 轴的平面；（3）平行于z 轴的平面；（4）平行于y 轴的平面；（5）在x 轴、y 轴和z 轴上截距全为1的平面；（6）在x 轴、y 轴和z 轴上截距分别为2、3-和4的平面；3． 求平面072=-+-z y x 与平面0112=-++z y x 的夹角．解：1(2,1,1)n =-，2(1,1,2)n =， 11111cos 24n n n n θ⋅===， 所以两平面夹角π3θ=． 4． 一平面过点(5,4,3)M 且在各坐标轴上的截距相等，求该平面方程．解：由题意设所求平面方程为1()1x y z a++=，代入(5,4,3)M 得12a =， 所以所求平面为12x y z ++=．5． 一平面过点(3,1,5)M --，且与平面3227x y z -+=-和5431x y z -+=-都垂直，求该平面方程．解：由题意知所求平面的法向12(3,2,2)(5,4,3)(2,1,2)n n n =⨯=-⨯-=-，又知其过点(3,1,5)M --，所以得到所求平面方程为2(3)(1)2(5)0x y z -++-+=，即2215x y z +-=．6． 求点(4,2,3)M -到平面25x y z +-=的距离．解：由点到平面的距离公式可得d ===习题8-3（B ）1．一平面过两点)3,4,0(-A ，)3,4,6(-B ,且在三个坐标轴上的截距之和为零，求该平面方程． 解：设所求平面方程为1x y z a b c++=，且0a b c ++=，将点)3,4,0(-A ，)3,4,6(-B 代入平面方程中，联立方程组解得3,6,9a b c ===-，或3,2,1a b c ==-=-， 所以所求平面方程为1369x y z ++=-或1321x y z ++=--． 2．一动点(,,)M x y z 与平面1=+y x 的距离等于它到z 轴的距离，求动点M 的轨迹．解：由题意点M 到z轴的距离为，点M 到平面1=+y x，所以=，解得2222210x y xy x y +-++-=，即为动点M 的轨迹． 3．设平面π位于平面0221=-+-z y x ：π与平面0622=-+-z y x ：π之间，且将此两平面的距离分为1︰3，求平面π的方程．解：平面1π与2π之间的距离为641)2(126222=+-++-．设所求平面方程为02=++-D z y x ：π，则π与1π的距离应为611=d ，π与2π的距离应为632=d ，而666221+=+=D d D d 、，于是3612=+=+D D 、，得3-=D ，所以所求平面方程为032=-+-z y x ：π．4．一平面与平面632120x y z +++=平行，若点(0,2,1)M -到两平面的距离相等，求该平面的方程．解：依题意设所求平面方程为6320x y z D +++=，又点(0,2,1)M -到两平面的距离相等，则=，即164D =+，得20D =-，12D =（舍），所以所求平面方程为632200x y z ++-=．5．求过x 轴且与点)5,0,2(M 的距离为5的平面方程．解：由π过x 轴，设所求平面方程为0=+Cz By ，由点)5,0,2(M 到π的距离为，有5522=+C B C，即2225C B C +=，得C B 2±= ，所求方程为02=+±Cz Cy ，即02=±z y ． 6．求平行于平面2250x y z +++=且与三坐标平面所构成的四面体的体积为1个单位的平面的方程．解：设所求平面的方程为220x y z D +++=，即122x y z D D D ++=---， 由题意 11622D D V D =-⋅-⋅-=，解得D =±220x y z ++±=．习题8-4（A ）1． 分别求满足下列各条件的直线方程：（1） 过点)1,2,1(-M 且与直线43121zy x =--=+平行； （2） 过原点垂直于平面03=-++z y x ； （3） 过两点)1,2,3(-A ，)2,0,1(-B ；（4） 过点)4,2,0(M 且与两平面12=+z x 及23=-z y 都平行；（5） 过点)1,2,1(-M 且与直线210210x y z x y z +--=⎧⎨+-+=⎩，平行．答案：（1）121234x y z --+==-；（2）x y z ==； （3）321421x y z -+-==-（或12421x y z +-==-）；（4）24231x y z --==-； （5）121311x y z +--==-． 2． 分别求满足下列各条件的平面方程：（1） 过点)1,1,2(M 且垂直于直线20210x y z x y z +-=⎧⎨+-+=⎩，；（2） 过点)2,1,3(-M 及直线12354zy x =+=-； （3） 过z 轴，且平行于直线L ：102340x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩，；（4） 过两平行直线13121-=+=-z y x 与 11322--=-=z y x ． 答案：（1）36x y z ++=；（2）892259x y z --=；（3）40x y +=；（4）697x y z -+=．3． 用对称式方程及参数方程表示直线123 4.x y z x y z -+=-⎧⎨-+=-⎩，解：先在直线上找一点，令1x =，解方程组236z y y z -=-⎧⎨-=⎩，得0,2y z ==-.故点(1,0,2)-在直线上．再求直线的方向向量s ，由题意可知12(2,1,1)s n n =⨯=--，所以对称式方程为12211x y z -+==--，从而参数式方程为122.x t y t z t =-⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩，， 4． 求两直线113:141x y z L -+==-与220:20x y L x z ++=⎧⎨+=⎩ 的夹角． 解：由已知，有直线2L 的方向向量为(1,4,1)-，直线2L 的方向向量为(2,2,1)--，由夹角公式可得cos 2θ==，所以π4θ=． 5． 求直线313x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩与平面02=+-z y x 的夹角ϕ．解：直线313x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩的方向向量113(242)2(121)111ijks ==-=---，，，，，平面02=+-z y x 的法线向量(112)n =-，，，由直线与平面的夹角公式，有1πarcsinarcsin26s n s nϕ⋅====⋅． 6．试确定下列各组中的直线与平面的位置关系：（1）37423zy x =-+=-+和3224=--z y x ； （2）723z y x =-=和8723=+-z y x ；（3）431232--=+=-z y x 和3x y z ++=； （4）310220x y z x y +-+=⎧⎨--=⎩和253x y z ++=．答案：（1）平行；（2）垂直；（3）平行；（4）垂直．7． 求直线11321x y z+-==- 与平面010=-+-z y x 的交点． 解：将直线11321x y z+-==-改写为参数方程t z t y t x =+-=-=、、1213，将其代入到平面方程010=-+-z y x 之中，有0101213=-+-+-t t t ，即0126=-t ，得2=t ，再将2=t 代到直线的参数方程之中，得235=-==z y x 、、，所以直线与平面的交点为(532)-，，．8．设直线1:112y L x z -==+，222:102x z L y +-=-=-，求同时平行于12,L L 且与它们等距的平面方程．解：所求平面的法向量12(5,2,1)n l l =⨯=---，则其方程为520x y z D +++=，下面求D ． 在1L 上取点1(1,0,1)M -，在2L 上取点2(2,1,2)M -，利用点到平面距离相等可得：=，解得1D =.因此，所求平面为5210x y z +++=． 9．求点(1,2,0)M -在平面点012=+-+z y x 上的投影．解：做过点(1,2,0)M -且垂直于平面012=+-+z y x 的直线方程为12121x y z+-==-，该直线与平面的交点522,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭即为所求的投影点．习题8-4（B ）1．求点(2,1,3)A 关于直线11:321x y zL +-==-的对称点M 的坐标． 解：设000(,,)M x y z ，过(2,1,3)A 做平面L ∏⊥，则的方程为∏325x y z +-=，求得直线L 与平面∏的交点为2133,,777B ⎛⎫-⎪⎝⎭，则点B 是线段AM 的中点，因此由中点公式得101927,,777M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．2．求原点关于平面6291210x y z +--=的对称点.解：过原点做该平面的垂线629x ty t z t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，代入平面方程解得1t =，得直线与平面的交点为(6,2,9)-．设所求对称点为(,,)x y z ，则有0006,2,9222x y z +++===-，所以(,,)(12,4,18)x y z =-． 3．求点()1,1,4M 到直线234112x y z ---==的距离． 解：过点()1,1,4M 作一个垂直于直线234112x y z ---==的平面，方程为(1)(1)2(4)0x y z -+-+-=，即2100x y z ++-=将直线234112x y z ---==的参数方程2324x t y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩代入到平面方程中，得12t =- 所以直线与平面的交点坐标为35,,322⎛⎫⎪⎝⎭，所以 点()1,1,4M 到直线234112x y z ---==的距离为点()1,1,4M 与交点35,,322⎛⎫⎪⎝⎭的距离，即所求4．设直线L 在yOz 平面上的投影方程为231y z x -=⎧⎨=⎩，在zOx 平面上的投影方程为20x z y +=⎧⎨=⎩，求直线L 在xOy 平面上的投影方程．解：设过直线L 的平面束方程为231(2)0y z x z λ--++-=， 即2(3)120x y z λλλ++---=，若该平面与z 轴平行，则有3λ=，所以L 在xOy 平面上的投影方程为327x y z +=⎧⎨=⎩．5．若直线131:23x y z L m --==-与2243:340x y z L +--==-相交，求m 的值及其交点的坐标． 解：两直线相交即共面，有12120s s M M ⨯⋅=，12(12,9,83)s s m ⨯=----，12(5,3,3)M M =-，所以1m =．下面求交点：将直线方程改写为参数方程123:13x t L y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩，232:443x k L y k z =-⎧⎪=-+⎨⎪=⎩，1L 与2L 相交时，下列方程组应有解：233214433t k t k t +=-⎧⎪+=-+⎨⎪-=⎩，解得1,1t k =-=，代入参数方程得到交点坐标为(1,0,3)．6． 求过直线2821705810x y z x y z +-+=⎧⎨+-+=⎩且与球面2221x y z ++=相切的平面方程．解：所求平面为28217(581)0x y z x y z λ+-+++-+=，即 (15)(288)(2)170x y z λλλλ+++-+++=，球心为原点，到平面的距离等于半径1，所以1d ==，分子分母平方相等化简得2894285000λλ++=，即(2)(89250)0λλ++=，解得25089λ=-或2λ=-，代入方程，得所求平面为38716424421x y z --=或345x y -=． 7．求过原点，且经过点(1,1,0)P -到直线3:24x z L y x =-⎧⎨=-⎩的垂线的平面方程．解：由已知得L 的方向向量(1,2,1)s =，过点P 做直线L 的垂直平面，其方程为(1)2(1)0x y z -+++=，即210x y z +++=. 设交点0000(,,)P x y z 为直线L 与此平面的交点，解得0002811,,333x y z ==-=. 由于所求平面过原点，可设其方程为0Ax By Cz ++=,将P 、0P 坐标代入平面方程得：028110333A B A B C -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，， 解得116A B C ==. 故所求平面方程为111160x y z ++=．习题8-5（A ）1． 分别写出满足下列各条件的曲面方程：（1）以点0(1,2,3)M -为球心，2R =为半径的球面方程； （2）以点(1,1,2)M -为球心，且过原点的球面方程； （3）与两定点(1,2,1)A -和(3,1,4)B 等距的动点轨迹；（4）与原点O 及定点)4,3,2(A 的距离之比为1﹕2的动点轨迹． 答案：（1）222(1)(2)(3)4x y z -+-++=； （2）6)2()1()1(222=-+++-z y x ； （3）2510x y z -+=；（4）22224116(1)339x y z ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．2．求出下列球面方程的球心坐标及半径： （1）222230x y z z ++--=； （2）2222420x y z x y z ++-++=． 答案：（1）球心(0,0,1)，半径2；（2）球心(1,2,1)--． 3． 写出满足下列条件的旋转曲面方程： （1）yOz 面上抛物线2y z =绕z 轴旋转一周； （2）yOz 面上直线z y 2=绕y 轴旋转一周；（3）xOy 面上椭圆1322=+y x 分别绕x 及y 轴旋转一周； （4）xOy 面上双曲线1222=-y x 分别绕x 及y 轴旋转一周．答案：（1）22z x y =+； （2）y =± （3）绕x 轴：2223()1x y z ++=，绕y 轴：22231x z y ++=； （4）绕x 轴：2222()1x y z -+=；绕y 轴：22221x z y +-=．4．分别在平面直角坐标系和空间直角坐标系下，指出下列方程所表示的图形名称：（1）3x =； （2）221x y -=； （3）2222=+y x .答案：（1）在平面直角坐标系下表示一条直线，在空间直角坐标系下表示一个平面； （2）在平面直角坐标系下表示一条双曲线，在空间直角坐标系下表示一个双曲柱面； （3）在平面直角坐标系下表示一个椭圆，在空间直角坐标系下表示一个椭圆柱面；． 5．画出下列各方程所表示的曲面：（1）22(1)1x y -+=； （2）22194y x -= （3）22194x y +=； （4）22x z +=． 答案：略．习题8-5（B ）1． 一球面过原点和)0,0,4(A 、)0,3,1(B 和)4,0,0(-C ，求该球面的方程．解：设球面方程为222z 0x y z Dx Ey F +++++=，由于它过)0,0,4(A 、)0,3,1(B 和)4,0,0(-C ，因此164019301640D D E F +=⎧⎪+++=⎨⎪-=⎩，，解得424.D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，， 因此，该球面的方程为2224240x y z x y z ++--+=． 2． 画出下列各曲面所围立体的图形:（1）0z =，3z =，x y =，x =，221x y +=（在第一卦限内）； （2）0x =，0y =，0z =，222x y R +=，222y z R +=（在第一卦限内）．答案：略．习题8-6（A ）1． 说出下列曲线的名称，指出曲线的特点并作出曲线的草图.（1）12x y =⎧⎨=⎩，； （2）221z x y z ⎧=+⎨=⎩，；（3）2228x y z z ⎧-=⎨=⎩，； （4）22282.x y z y ⎧-=⎨=-⎩，答案：（1）直线；（2）圆；（3）双曲线；（4）抛物线．2．分别在平面直角坐标系和空间直角坐标系下，指出下列方程所表示的图形名称．（1）5232;y x y x =+⎧⎨=-⎩， （2）22211.2x y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，答案：（1）在平面直角坐标系下表示一个点，在空间直角坐标系下表示一条直线；（2）在平面直角坐标系下表示两个点，在空间直角坐标系下表示两条直线.3．求曲线1z z ⎧=⎪⎨=⎪⎩在xOy 面上的投影．解：由1z z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，有221x y +=.因此，曲线1z z ⎧=⎪⎨=⎪⎩在xOy 面上的投影为2210.x y z ⎧+=⎨=⎩，4． 求曲线2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，在xOz 面上的投影． 解：由2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，，有223216x z +=. 因此，曲线2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩，在xOz 面上的投影为2232160.x z y ⎧+=⎨=⎩， 5． 画出下列空间区域Ω的草图．（1）Ω由平面1=++z y x 及三个坐标面围成； （2）Ω由圆锥面22y x z +=及上半球面222y x z --=围成；（3）Ω由抛物面z x -=12，平面0=y ，0=z 及1=+y x 围成；（4）Ω是由不等式222R z x ≤+及222R z y ≤+确定的第一卦限的部分．答案：略．6．作出下列空间区域在xOy 面及xOz 面上的投影区域．（1）介于球面22224a z y x =++内的圆柱体222)(a y a x ≤+-； （2）Ω由圆锥面22y x z +=及抛物柱面x z 22=围成．答案：略．习题8-6（B ）1． 分别求母线平行于x 轴与y 轴且都通过曲线2222222160x y z x y z ⎧++=⎪⎨-+=⎪⎩的柱面方程． 答案：平行于x 轴：22316y z -=；平行于y 轴：223216x z +=．2． 求曲线22229x y z y z⎧++=⎨=⎩的参数方程．答案：3cos ,(02π)x y z θθθθ=⎧⎪=≤<⎨⎪=⎩．总习题八一、填空题1．设向量a m n =+，2b m n =-，且2m =，1n =，m 与n 的夹角π3θ=，则向量a 与b 的数量积a b ⋅= ； 答案：1．解析：2222()(2)2cos 2a b m n m n m mn n m m n n θ⋅=+-=--=--142212=-⋅-=． 2．同时垂直于()1,2,1a =和()3,4,5b =的单位向量为 ； 答案：)6,2,2--． 解析：c a b =⨯=()1216,2,2345i j k=--，211c =所以)016,2,2211c c c==±--，即为所求单位向量． 3．设单位向量0a 的两个方向余弦为1cos 3α=，2cos 3β=，则向量0a 的坐标为 ；答案：0122,,333a ⎛⎫=±⎪⎝⎭． 解析：设第三个方向角为γ，由222cos cos cos 1αβγ++=，得2cos 3γ=± 所以0122,,333a ⎛⎫=±⎪⎝⎭． 4．过点(3,1,2)M -且平行于直线121:2329x y z L x y z ++=⎧⎨++=⎩，和直线223:34x y z L x y z --=-⎧⎨++=⎩，的平面方程是 ； 答案：32x y z ++=．解析：由题意可求得两直线的方向向量分别为1(1,2,1)(2,3,2)(1,0,1)s =⨯=-，2(2,1,1)(1,3,1)(2,3,7)s =--⨯=-，所以所求平面的法向量为12(3,9,3)n s s =⨯=---，又因为所求平面过点(3,1,2)M -，由点法式得平面方程为3(3)9(1)3(2)0x y z ---+--=，化简得32x y z ++=．5．过点()0,2,3M -且与平面23x z +=垂直的直线方程为 ； 答案：2302y z x -+==． 解析：因为所求直线与所给平面垂直，所以方向向量为()1,0,2n =由对称式得所求直线方程为2302y z x -+==． 6．过点)3,1,3(-且通过直线211132-=+=-z y x 的平面方程是 ； 答案：247x y z -++=-．解析：点)3,1,3(-与题中的直线共面，所以点)3,1,3(-和直线通过的点(2,1,1)-所形成的向量1(1,0,2)s =--，直线的方向向量为2(3,1,2)s =，所求平面的法向量为12n s s =⨯(2,4,1)=-，所求平面方程为247x y z -++=-．7．xOz 平面上的抛物线22x z =+绕x 轴旋转所形成的旋转曲面方程是 ，绕z 轴旋转所形成的旋转曲面方程是 ；答案：绕x 轴的旋转曲面方程是222()x y z =++，绕z 轴的旋转曲面方程是2222(2)x y z +=+．8．曲线2221x y z y x⎧+-=⎨=⎩在xOz 平面上的投影是 ；答案：22210x z y ⎧-=⎨=⎩．解析：曲线在xOz 坐标平面上的投影是xOz 坐标平面上的柱面与xOz 坐标平面的交线，xOz 坐标平面上的柱面方程是2221x z -=，xOz 坐标平面的0y =，故投影方程是2221x z y ⎧-=⎨=⎩．二、选择题：1．设向量a 与b 满足a b a b +=-，则a 与b 一定（ ）； (A) 平行 (B) 同向 (C) 反向 (D) 垂直 答案：C ．解析：当a 与b 反向时，a b a b +=-，故选C ． 2．设向量()()u b c a a c b =⋅-⋅，则有（ ）；.(A) u 与a 垂直 (B) u 与b 垂直 (C) u 与c 垂直 (D) u 与c 平行 答案：C ．解析：()()u b c a a c b =⋅-⋅两边乘以c ，则()()()()0u c b c a c a c b c ⋅=⋅⋅-⋅⋅=， 故u 与c 垂直.3. 已知向量a 的方向平行于向量(2,1,2)b =--和(7,4,4)c =--之间的角平分线，且56a =，则a =（ ）；(A) 5(1,7,2)3- (B) 2(1,7,2)3- (C) 5(1,7,2)2- (D) 2(1,7,2)3答案：A ．解析：由题意可知3,9b c ==，则01(2,1,2)3b =--，01(7,4,4)9c =--，于是可设0()(1,7,2)9a b c λλ=+=-，又因56a =，故=15λ=，所以a =5(1,7,2)3-，选A ． 4．设空间直线的方程为043x y z==-，则该直线必定（ ）；(A) 过原点且垂直于X 轴(B) 不过原点但垂直于X 轴(C) 过原点且垂直于Y 轴 (D) 不过原点但垂直于Y 轴答案：A ．解析：直线通过原点，且直线的方向向量为(0,4,3)s =-，X 轴的单位向量为(1,0,0)i =，所以0s i ⋅=，s i ⊥，选A ．5．已知平面π通过点(1,0,1)-，且垂直于直线30:240x y z L x y --+=⎧⎨-+=⎩，则平面π的方程是（ ）；(A) 21x y z -+= (B) 21x y z ++= (C) 22x y z -+= (D) 22x y z +-= 答案：B ．解析：由题意所求平面的法向量就是所给直线的方向向量，即(1,1,1)(1,2,0)(2,1,1)n s ==--⨯-=---，所以平面π的方程为210x y z ++-=，选B ．6．若直线121:110x y z L λ--==与直线2210:50x y L x z λ++=⎧⎨-+=⎩垂直，则=λ（ ）； (A) 4 (B) 2 (C) 2- (D) 2± 答案：2λ=±.解析：直线1L 的方向向量1(1,10,)s λ=，直线2L 的方向向量2(1,2,0)(,0,1)(2,1,2)s λλ=⨯-=--，由题意知12s s ⊥，故120s s ⋅=， 所以2λ=±.7．下列结论中错误的是（ ）；(A) 2230z x y ++=表示椭圆抛物面 (B) 222312x y z +=+表示双叶双曲面(C) 22220x y z +-=表示圆锥面 (D) 24y x =表示抛物柱面 答案：B.解析：双叶双曲面的方程为2222221x y z a b c--=，故选择B.8．曲线22z z x y⎧=⎪⎨=+⎪⎩xOy 坐标平面上的投影是（ ）；(A) 122=+y x (B) 222=+y x(C) 2210x y z ⎧+=⎨=⎩ (D) 222x y z ⎧+=⎨=⎩答案：C ．解析：联立两个曲面z =和22z x y =+，消去z 得到在xOy 坐标平面上的柱面方程为221x y +=，该柱面与xOy 坐标平面0z =的交线即为所求投影，故选C ．三、解答题.1．一单位向量e 与x 轴y 、轴的夹角相等，与z 轴夹角是前者的2倍，求向量e .解：设)2cos ,cos ,(cos ααα=e，由12cos cos cos 222=++ααα，有02sin cos 222=-αα，即0)sin 21(cos 22=-αα，所以2πα=或4πα=（43πα=舍去），于是)1,0,0(-=e 或)0,22,22(=e . 2．设非零向量,a b 满足Pr j 1a b =，计算极限0limx a xb ax→+-．解：原式222()()limlimlim()()x x x a xb aa xb aa xb a xb axx a xb a x a xb a →→→+-+-+⋅+-==++++22022limlimlimPr 1()a x x x a a xab x b b aa b xb b a b j b x a xb a a xb aa→→→⋅+⋅+⋅-⋅+⋅⋅=====++++．3．求平面3546x y z +-=与42x y z -+=的等分角平面方程． 解：设所求平面为3546(42)0x y z x y z λ+--+-+-=， 即 (3)(5)(44)620x y z λλλλ++-+---=， 依题意有 =解得53λ=±，代入所设方程有75414x y z ++=和582x y z +-=． 4．过点)3,2,1(M ，求垂直于直线z y x ==且与z 轴相交的直线方程.解：设所求直线方程为p z n y m x 321-=-=-，由与已知直线垂直，有0=++p n m ①；又设与z 轴交点为),0,0(0z ，有pz n m 3210-=-=-②，由①、②两式得m p m n 32-==、，所求直线方程是332211--=-=-z y x . 5．求与已知直线135:23x y L z +-==及2107:54x y L z -+==相交，且平行于直线321:387x y L z +-==-的直线方程．解：由题意可知所求直线L 的方向向量3(8,7,1)s s ==，以参数形式表示直线1L 和2L ，则L 与1L 和2L 的交点分别为1(23,35,)M t t t -+和2(510,47,)M λλλ+-，显然只需确定1M 和2M 之中的一点即可，因123//M M s ，故5213431287t t t λλλ-+--==-，即52138()43127()t t t t λλλλ-+=-⎧⎨--=-⎩，解得252t =-，从而知16525(28,,)22M ---， 所以所求直线方程经整理得282652258142x y z +++==． 6．指出下列方程所表示的曲面的名称，若是旋转面，指出它是什么曲线绕什么轴旋转而成的．（1）2221499x y z ++=； （2）22214y x z -+=； （3）2221x y z --=； （4）222099x y z +-=； （5）224x y z -=； （6）0z =．答案：（1）旋转椭球面．可看成椭圆221490x y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，绕x 轴旋转而成，或者椭圆221490x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，绕x 轴旋转而成．（2）单叶旋转双曲面．可看成双曲线22140y x z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，绕y 轴旋转而成，或者双曲线221,40y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕y 轴旋转而成．（3）双叶旋转双曲面．可看成双曲线2210x y z ⎧-=⎨=⎩，绕x 轴旋转而成，或者双曲线221,x z y ⎧-=⎨=⎩绕x轴旋转而成．（4）旋转抛物面．可看成抛物线20,90x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕z 轴旋转而成，或者抛物线20,90y z x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩绕z 轴旋转而成．（5）双曲抛物面．（6）旋转锥面．可看成射线,0z x y ==绕z 轴旋转而成，或者射线,0z y x ==绕z 轴旋转而成．7．指出曲面22219254x y z -+=在下列各平面上的截痕是什么曲线，并写出其方程： （1）2x =； （2）5y =； （3）2z =； （4）1z =．答案：（1）双曲线，方程为22542592z y x ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，；（2）椭圆，方程为222945x z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，； （3）两条直线，方程为352x yz ⎧=⎪⎨⎪=⎩，和352x y z ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，；（4）双曲线，方程为22392541.x y z ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，。
高等数学(1)-2习题册8章答案
第八章 空间解析几何与向量代数第1次课 空间直角坐标系 向量及其线性运算1．在x 轴上求与点(3,1,7)A -及(7,5,5)B -等距离的点． 解：设所求点为(,0,0)x ，据题意知：22(3)149(7)2525x x --++=-++得2x =，于是所求点为(2,0,0)．2．把ABC ∆的BC 边三等分，设分点依次为12,D D ，再把各分点与点A 连接起来，试以,AB c BC a −−→→−−→→==表示向量−→−−→−A D A D 21,．解：113D A c a −−→=-- ，2D A −−→23c a =-- ．3．已知两点)1,2,4(1M 和)2,0,3(2M ，计算向量123M M -的模、方向角．解：1236M M -= ,2,,343πππαβγ===．4．求平行于向量(3,2,1)a →=-的单位向量．解：0(aa→=5．已知||3a →=，其方向余弦31cos ,32cos ==βα，求向量a →的坐标表示式．解：设(,,)x y z a a a a →=，则2cos 3x aaα==，1cos 3y a a β== ，所以2x a =，1y a =. 又222cos cos cos 1αβγ++=，得24cos 9γ=，2cos 3γ=±． 2cos 3z a aγ==± ，所以2z a =±，于是，所求向量a →的坐标表示式为(2,1,2)a →=±．6．一向量的终点为)7,1,2(-B ,它在x 轴，y 轴和z 轴上的投影依次为4,4-和1，求该向量的起点A 的坐标.解：设起点A 的坐标为(,,)x y z ，则由24,14,71x y z -=--=--=可得(,,)(2,3,6)x y z =-．7．设32a i j k →→→→=--,2b i j k →→→→=+-，求(1)→→→→⨯⋅b a b a ,；(2) ,3)2(→→⋅-b a →→⨯b a 2；(3) ),cos(→∧→b a ；（4）b prj a →．解：（1）3,57a b a b i j k →→→→⋅=⨯=++ ；（2）(2)318a b →→-⋅=-，210214a b i j k →→⨯=++ ；（3）cos(,)14a ba b a b→→→∧→→→⋅==； （4）cos 14b prj a a ϕ→→===．8．已知)2,1,1(M 1-，)1,3,3(M 2，)3,1,3(M 3，求与−→−21M M 、−→−32M M 同时垂直的单位向量．解：设所求单位向量(,,)a x y z →=．12(2,4,1)M M −−→=-，23(0,2,2)M M −−→=-．1223M M M M ⨯241644022i j ki j k =-=---所求单位向量a →=12231223M M M M M M M M ⨯⨯=±． 9．已知(3,0,4),(5,2,14)OA OB =-=--，求AOB ∠平分线上的单位向量．解：AOB ∠平分线上的一个向量为011(3,0,4)(5,2,14)515OC OA OB =+=-+-- 2(2,1,1)15=-．所以，所求的AOB ∠平分线上的单位向量为OC OC= ． 10．若向量3a b + 垂直于75a b - ，4a b - 垂直于72a b - ，求a 和b之间的夹角．解：由题意知：(3)(75)0a b a b +⋅-= ，(4)(72)0a b a b -⋅-=22716150a a b b +⋅-= ，2273080a a b b -⋅+=整理得：24623a b b ⋅= ，22a b b ⋅= ，将22a b b ⋅= 代入22716150a a b b +⋅-= 得，a b = ，又22112cos(,)2b a b a b a b b→→→→∧→→→→⋅===故1(,)arccos23a b π→∧→==． 11．在Oxy 面上，求垂直于(5,3,4)a =-，并与a 等长的向量b ．解：设b (,,0)x y =，则b ===2250x y +=又由a b ⊥ ，可得 530x y -=．于是解方程组2250x y +=，530x y -=得1717x y ==或,1717x y =-=- 即b(,1717=或b(,0)1717=--． 12．求向量(3,12,4)a =- 在向量(1,0,2)(1,3,4)b =-⨯-上的投影．解：(1,0,2)(1,3,4)b =-⨯-102(6,2,3)134i j k=-=-．b prj a→(3,12,4)a b →→=⋅=-67=13．设向量4=α，3=β，6),(^πβα=，求以βα2+和βα3-为边的平行四边形的面积．解：以βα2+和βα3-为边的平行四边形的面积为22(2)(3)3()2()6S αβαβααββαβ=+⨯-=-⨯+⨯-^55s i n (,)543s i n6παβαβαβ=⨯=⋅⋅=⨯⨯30=提高题：设(2,1,2),(1,1,)a b z =--=，问z 为何值时^(,)a b 最小？并求出此最小值． 解：记^(,)a b ϕ=，则cos a ba bϕ→→→→⋅==所以，ϕ=d1d3zϕ==当4z<-时，dd zϕ<；当4z>-，dd zϕ<．所以，当4z=-时，^(,)a bϕ=有最小值，且min4πϕ==．第2次课平面及其方程空间直线及其方程1．求满足下列条件的平面方程：（1）过点1(1,2,0)M和2(2,1,1)M且垂直于平面П：1=-xy．解：所求平面的法向量()1,1,0(1,1,1)110111i j kn=-⨯-=--i j=+．所求平面方程为1(1)1(2)0x y⋅-+⋅-=，即30x y+-=．（2）过点(2,3,0)A -，(1,1,2)B -且与向量{4,5,1}a →=平行．解：所求平面的法向量()3,4,2(4,5,1)342451i j kn =-⨯=- 14531i j k =-++所求平面方程为14(2)5(3)310x y z -⋅++⋅-+=，即14531430x y z --+=（3）过(1,1,1),(2,2,2)A B ---和(1,1,2)C -．解：所求平面的法向量()3,3,3(0,2,3)333023i j kn =--⨯-=--- 396i j k =-++．所求平面方程为3(1)9(1)6(1)0x y z -⋅-+⋅-++=，即320x y z -++=．2．求平行于平面6650x y z +++=，而与三坐标面所构成的四面体体积为一个单位的平面．解：设所求平面方程为1x y za b c++=．由题意知 116111/6/1/6abc t ab c ⎧=⎪⎪⎨⎪===⎪⎩得111,,66a b c t t t ===，将其代入116abc =，得16t =．所以 1,6,1a b c ===故所求平面方程为116x y z ++=． 3．一平面通过Oz轴与平面27x y +=的夹角为3π，试求此平面方程． 解：因为所求平面过Oz ，所以可设平面方程为0Ax By += （1） 则其法向量为(,,)A B O ．平面27x y +=的法向量为(2,1,．因为所求平面与已知平面的夹角为3π，所以cos 3π=223830A AB B +-= （2） 联立（1）、（2）解得 13A B =再由A B 、不同时为零，代入式(1)可得所求平面方程为 30x y +=或30x y -=．4．求与两直线112x y t z t=⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩及121121x y z ++-==都平行、且过原点的平面方程． 解：{}{}120,1,1,1,2,1s s ==由题意所求平面平行于两直线，则平面的法向量n与该两直线的方向向量垂直，即12011121i j kn s s i j k =⨯==-+-又平面过原点，所以所求平面方程为 即 0x y z -+=．5．求满足下列条件的直线方程：（1）过点(4,1,3)-且平行于直线31122-=-=-z y x ． 解：方向向量(2,1,3)s =- ，故所求直线方程为413213x y z -+-==-．（2）过点(5,2,3)-且垂直于平面132=+-z y x 的直线方程．解：方向向量(2,3,1)s = ，故所求直线方程为523213x y z --+==-．（3）过点(0,2,4)且与直线⎩⎨⎧=-=+2312z y z x 平行．解：12(1,0,2),(0,1,3)n n ==-．方向向量s = 12102(2,3,1)013i j kn n ⨯==--故所求直线方程为34221x y z --==-．6．试求直线21:24x y z L x y z ++=⎧⎨++=⎩的对称式方程和参数方程．解：直线L 的方向向量为{}11321112121--==⨯=,,kj i n n v 点（-2，0，3）在直线L 上，所求直线L 的对称式方程：13132--=-=+z y x7．求直线⎩⎨⎧=--=++003z y x z y x 与平面220x y z -+=的夹角．解：12(1,1,3),(1,1,1),(2,2,1)n n n ==--=-．方向向量s = 12113(2,4,2)111i j kn n ⨯==---．则sin s n s nϕ⨯==⋅故所求夹角为arcsin6． 8．求直线⎩⎨⎧=++-=--+0220532:z y x z y x l 在平面14=+-z y x 上的投影直线方程．解：包含l 的平面束方程为235(22)0x y z x y z λ+--+-++=．(12)(2)(3)520x y z λλλλ++-+--+= 12(4,1,1),(12,2,3)n n λλλ=-=+--则124(12)(2)(3)1010n n λλλλ⋅=+--+-=-= ，得110λ=．故所求投影直线方程为12192948041x y z x y z +--=⎧⎨-+=⎩．提高题：1．已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1)，线段AB 绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面为S ，求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积．第3次课 曲面及其方程 空间曲线及其方程1．建立以点(1,3,2)-为球心，且通过坐标原点的球面方程． 解：2222(1)(3)(2)x y z R -+-++= 因为过原点，得214R =．所求球面方程为222(1)(3)(2)14x y z -+-++=．2．一动点与两定点)1,3,2(和)6,5,4(等距离，求该动点的轨迹方程． 解：设该点坐标为(,,)x y z ，则=所以该动点的轨迹方程为441063x y z ++=．3．求下列旋转曲面的方程：（1）xOy 面上的椭圆22221x y a b+=绕x 轴旋转所形成的旋转面的方程为（ 122222=++bz y a x ）．（2）zOx 面上的抛物线22x z =绕x 轴旋转的旋转抛物面方程是（ 222y z x += ）．（3）yOz 面上曲线22yz =绕z 轴旋转一周所得旋转曲面方程为（ 222()z x y =+ ）． （4）xOy 面上曲线9422=+y x 绕x 轴旋转一周所得旋转曲面方程为（ 222()94x z y ++= ）． 4．方程222y z x +=表示的二次曲面是（ 圆锥面 ）．5．方程221x y +=在空间所表示的图形是（ 圆柱面 ）． 6．方程22201x y x x z ⎧+-=⎨+=⎩代表的图形是（ 椭圆 ）．7．曲线22251x y z z ⎧++=⎨=⎩在xOy 面上的投影曲线方程为（ ⎩⎨⎧==+0422z y x ）． 8．曲线222112x y z z ⎧++=⎪⎨=⎪⎩在xOy 面上的投影曲线方程为（ ⎪⎩⎪⎨⎧==+04322z y x ）． 9．下列曲面是否是旋转曲面？若是，它是如何产生的？（1）z y x 422=+ （2）14425222=--z y x 解：（1）是，由xOz 面上曲线24x z =绕z 轴旋转而成，或yOz 面上曲线24y z =绕z 轴旋转而成． （2）是，由xOy 面上曲线221254x y -=绕x 轴旋转而成，或xOz 面上曲线221254x z -=绕x 轴旋转而成．10．画出下列曲面（或立体）的图形：（1）)(222y x z += （2）Rz z y x 2222=++（3）22y x z +=与222y x z --=所围的立体11．求以直线113:234x y z L ---==为中心轴，底半径为2的圆柱面方程． 解：圆柱面是到直线L 的距离为2的动点轨迹，设所求圆柱面上点的坐标为(,,)x y z ，由点到直线的距离公式知2=将上式两边平方，整理即得所求圆柱面方程为16(1)(3)12(1)(1)580x z x y --+--+=2．证明：直线0:x z l a c y b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在曲面2222221x y z a b c +-=上． 证明：曲面2222221x y z a b c+-=是一个单叶双曲面，要证明直线l 在该曲面上，只需证明只需l 上的每一点都在该曲面上．直线l 的参数方程为:x at l y b z ct =⎧⎪=⎨⎪=-⎩将上式代入曲面方程，满足曲面2222221x y z a b c+-=方程，故直线l 在曲面上．13．求曲线222222:x y z l z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩，在xOy 平面上的投影曲线的方程． 解：在曲线l 方程中消去z ，即得曲线l 在xOy 平面上的投影柱面方程为22222()2x y x y +++=即 2222(2)(1)0x y x y +++-=因为2220x y ++≠，所以有2210x y +-=，故所求投影曲线方程为 2210x y z ⎧+=⎨=⎩提高题：1． 椭球面1S 是椭圆22143x y +=绕x 轴旋转而成，圆锥面2S 是经过点(4,0)且与椭圆22143x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成． (1) 求1S 及2S 的方程；(2) 求1S 及2S 之间的立体体积．第4次课 第八章 总复习题1．设3,4a b == ，且a b ⊥ ，求()()a b a b +⨯- ．解：因为a b ⊥ ，^sin(,)sin 12a b π== 故^()()22sin(,)243124a b a b b a b a a b +⨯-=⨯==⨯⨯⨯=2．设(2,3,1),(1,2,5),,a b c a c b =-=-⊥⊥ ，且(27)10c i j k ⋅+-= ，求 c ．解：设(,,)c x y z = ，由,c a c b ⊥⊥ 有230250270x y z x y z x y z -+=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩，得65155,,12412x y z ===，所以65155(,,)12412c = ． 3．设()2a b c ⨯⋅= ，求[()()]()a b b c c a +⨯+⋅+ ．解：[()()]()a b b c c a +⨯+⋅+()()a b b b a c b c c a =⨯+⨯+⨯+⨯⋅+()()a b a c b c c a =⨯+⨯+⨯⋅+()()()()()()a b c a c c b c c a b a a c a b c a =⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅()()a b c b c a =⨯⋅+⨯⋅2()a b c =⨯⋅4=4．直线过点(3,5,9)A --，且与两直线135:23y x L z x =+⎧⎨=-⎩和247:510y x L z x =-⎧⎨=+⎩相交，求此直线方程． 解：设所求直线方程3:59x lt L y mt z nt =-+⎧⎪=+⎨⎪=-+⎩因为直线L 与1L 和2L 相交，所以59359623mt lt nt lt +=-++⎧⎨-+=-+-⎩，即(3)92m l t n l-=-⎧⎨=⎩ 51247915510mt lt nt lt +=-+-⎧⎨-+=-++⎩即(4)24(5)4m l t n l t -=-⎧⎨-=⎩得2,22n l m l ==．令1l =，则2,22n m ==．故所求直线方程为3:52292x t L y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=-+⎩．5．求过点(1,0,4)-，平行于平面340x y z -+=，且与直线132z x y +=-=相交的直线方程． 解：设所求直线方程为1,(,,)4x lt y mts l m n z nt =-+⎧⎪==⎨⎪=+⎩． 平面的法向量(3,4,1)n =- ，由于直线与平面平行，所以n s ⊥ ，即340l m n -+= 因为两直线相交，故有432nt lt mt +=-+=． ()3(2)4m l t l n t -=⎧⎨-=⎩，即43100m n l +-= 于是得419,728l n m n ==． 令28n =，得16,19l m ==．故所求直线方程为31619428x t y t z t =-+⎧⎪=⎨⎪=+⎩．6．求通过下列两平面1:220x y z ∏+--=和2:32210x y z ∏--+=的交线，且与平面3:32360x y z ∏++-=垂直的平面方程．解：设所求平面方程为(22)(3221)x y z x y z λμ+--+--+= 即 (23)(2)(2)(2)x y z λμλμλμλμ++-+--+-+= 由于该平面⊥平面2∏，所以它们的法向量一点互相垂直，于是3(23)2(2)3(2)0λμλμλμ++-+--=得50λμ-=．取1,5λμ==，代入(22)(3221)0x y z x y z λμ+--+--+=，得 所求平面方程为1791130x y z --+=．7．求与两平面632350x y z ---=和632630x y z ---=相切的球面方程，其中的一个切点为(5,1,1)--．解：由两平行平面的距离公式4d ==所以，球半径为2．求出另一个切点，过点作平面的法线方程561312x t y t z t =+⎧⎪=--⎨⎪=--⎩代入另一个平面方程，得47t =．从而得到球心坐标为471311(,,)777--．故所求球面方程为 222471311()()()4777x y z -++++= 8．求曲线22222(1)(1)z x y z x y ⎧=--⎪⎨=-+-⎪⎩在三个坐标面上的投影曲线的方程． 解：方程组消z ，得22x y x y +=+，故曲线在xOy 面上的投影为 2200x y x y z ⎧+--=⎨=⎩ 同理可得曲线在yOz 面上和xOz 面上的投影为222243200y z yz y z x ⎧++--+=⎨=⎩和222243200x z xz x z y ⎧++--+=⎨=⎩。
(完整版)空间解析几何及向量代数测试题及答案
军教院 第八章空间解析几何测试题一、填空题（共7题，2分/空，共20分）1.四点(0,0,0)O ,(1,0,0)A ,(0,1,1)B ,(0,0,1)C 组成的四面体的体积是___16___. 2.已知向量(1,1,1)a →=,)3,2,1(=→b ,(0,0,1)c →=,则→→→⨯⨯c b a )(=__(-2,-1,0)____.3.点)1,0,1(到直线⎩⎨⎧=-=03z x y x 的距离是4.点)2,0,1(到平面321x y z ++=的距离是___________.5.曲线C:2201x y z z x ⎧+-=⎨=+⎩对xoy 坐标面的射影柱面是___2210x x y -+-=____,对yoz 坐标面的射影柱面是__22(1)0z y z -+-=_________,对xoz 坐标面的射影柱面是____10z x --=__________.6.曲线C:220x yz ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__4224()x y z =+_____，曲线C 绕y 轴旋转后产生的曲面方程是___222x z y +=_______________.7.椭球面12549222=++z y x 的体积是_____40π____________.二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分）1. 过点(,,)P a b c 作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里,,a b c 是3个非零实数.解: 设点(,,)P a b c 在平面0z =上的射影点为1(,,0)M a b ，在平面0x =上的射影点为2(0,,)M a b ，在平面0y =上的射影点为3(,0,)M a c ，则12(,0,)M M a c =-u u u u u u r，13(0,,)M M b c =-u u u u u u r于是1M ，12M M u u u u u u r ，13M M u u u u u u r所确定的平面方程是000x ay b z ac bc---=- 即 ()()0bc x a ac y b abz -+-+= .2.已知空间两条直线:1l 010x y z +=⎧⎨+=⎩,:2l 010x y z -=⎧⎨-=⎩.(1)证明1l 和2l 是异面直线;(2)求1l 和2l 间的距离;(3)求公垂线方程. 证明：(1) 1l 的标准方程是1110x y z +==-，1l 经过点1(0,0,1)M -，方向向量1{1,1,0}v =- 2l 的标准方程是2110x y z -==，2l 经过点2(0,0,2)M ，方向向量2{1,1,0}v =，于是1212003(,,)1106110M M v v =-=u u u u u u r0≠，所以1l 和2l 是异面直线。
同济高等数学第八章学习指导及习题详解
462第八章 向量代数与空间解析几何一、预习导引第一节 向量及其线性运算1. 中学阶段已经学习了向量的概念、线性运算及运算规律.阅读本节前两部分的内容，从中找出与你以前学过的向量有关内容不同之处.2. 尝试自己画出空间直角坐标系的图形，确认每一个卦限的方位.你能找出坐标轴上的点、坐标面上的点及各卦限内的点的坐标的特点吗？空间任意一个向量你能用坐标表示吗？阅读本节第三部分内容，从中找出答案.3. 在空间直角坐标系中，向量可以用坐标来表示，那么向量的线性运算是否也可以利用坐标作运算？点的坐标表示与向量的坐标表示有区别吗？利用坐标进行向量运算要注意什么问题？仔细阅读本节第四部分内容，你将会正确解答这些问题.4. 在空间直角坐标系中画出向量()1,2,2OM =，利用本节第三部分知识，求向量OM 的模及它与,,x y z 三个坐标轴的夹角（分别设为,,αβγ，称为向量的方向角）的余弦cos ,cos ,cos αβγ，并考察向量的模、方向余弦与其坐标的关系.这种关系式可以推广到空间任意向量吗？阅读本节第五部分的1、2，验证你的结论是否正确.在书上画出来空间任意两点间的距离公式.5 .阅读本节第五部分的3，细心体会向量在轴上的投影概念.向量(),,OM x y z =在三个坐标轴上的投影分别是什么？与向量OM 在三个坐标轴上的分向量有什么区别？注意向量投影的性质.第二节 数量积 向量积 *混合积1. 中学阶段我们已经学习了平面上两向量的数量积的定义、坐标表示及运算规律，请你尝试把数量积的定义、坐标表示及运算规463 律推广到空间向量.阅读本节第一部分内容，验证你的推论.2. 两向量的向量积是一个向量，怎样确定这个向量的模、方向及向量积如何用坐标表示、有什么运算规律？带着这些问题阅读本节第二部分，从中找出答案.3. 向量的混合积顾名思义，是指既含有向量积又含有数量积的向量运算，即()a b c ⨯⋅.根据本节前两部分所学知识，用坐标表示向量的混合积()a b c ⨯⋅；混合积()a b c ⨯⋅的几何意义是什么？阅读本节第三部分内容，检验你的结论.第三节 平面及其方程1. 在平面解析几何中，把平面曲线看作动点的轨迹，建立了曲线和二元方程之间的关系，那么空间曲面或曲线是否也可以看作动点的几何轨迹，建立三元方程或方程组之间的关系？阅读曲面方程与空间曲线方程的概念，从你熟悉的学习和生活实践中举例说明这些概念.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---垂直于向量(),,n A B C =.把(),,M x y z 看作动点，满足0M M n ⊥的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把n 换为2n ，0M M n ⊥的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以n 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，揣摩用平面的点法式方程求解的问题类型.3. 平面方程0Ax By Cz D +++=中，,,,A B C D 中任意一个为零、任意两个为零及,,A B C 中任意两个为零且0D =时，它们对应的几何图形分别有什么特点？阅读本节第三部分，总结特殊的三元一次方程所表示的平面的特点．4. 阅读本节第四部分，弄清楚两平面的夹角的概念，夹角取值的范围，并用向量的坐标表示两平面的夹角.思考如何判断两平面的位置关系.推导空间中的点到平面的距离公式.第四节 空间直线及其方程4641. 从几何的角度看，两张相交平面确定一条直线L ，直线L 用动点的坐标表示，即由两个三元一次方程构成的方程组.通过空间一条直线L 的平面有多少？L 的方程唯一吗？阅读本节第一部分，从中找出答案.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---平行于向量(),,s m n p =.把(),,M x y z 看作动点，满足0//M M s 的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把s 换为2s ，0//M M s 的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以s 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，在书上画出直线的对称式方程和参数式方程.3. 阅读本节第三部分，弄清楚两直线夹角的取值范围.如何计算两直线的夹角？如何判断两直线的位置关系？4. 阅读本节第四部分，弄清楚直线与平面的夹角的取值范围.如何计算直线与平面的夹角？如何判断直线与平面的位置关系？分析平面束方程与三元一次方程的关系.第五节 曲面及其方程1. 阅读本节第一部分内容，通过例1与例2仔细揣摩：已知空间曲面如何建立其方程；已知坐标,,x y z 间的一个方程怎样研究它所表示的曲面的形状.2. 阅读本节第二部分内容，找出在进行旋转曲面方程的推导过程中，变化的量和不变的量，总结旋转曲面的方程的特点.思考给定一个三元二次方程，你能判断出它是否是旋转曲面？如果是，你能给出它的母线的方程和轴吗？它的母线唯一吗？3. 柱面方程的特点是什么？它的图形有什么特点？柱面方程与平面曲线方程有什么区别与联系？带着这些问题，阅读本节第三部分内容，从中找出答案.4. 阅读本节第四部分内容，从中找出下列问题的答案，怎样方程表示的曲面是二次曲面？常见的二次曲面有哪些？它们的图形是怎样的？。
第八章空间解析几何与向量代数知识点题库与答案
第八章：空间解析几何与向量代数一、重点与难点1重点① 向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角； ② 数量积（是个数）、向量积（是个向量）； ③ 几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；④ 平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程） 的夹角；⑤ 空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程） 两直线的夹角、直线与平面的夹角；2、难点① 向量积（方向）、混合积（计算）；② 掌握几种常见的旋转曲面、柱面的方程和二次曲面所对应的图形； ③ 空间曲线在坐标面上的投影；④ 特殊位置的平面方程（过原点、平行于坐标轴、垂直于坐标轴等； ）⑤ 平面方程的几种表示方式之间的转化； ⑥ 直线方程的几种表示方式之间的转化；二、基本知识1、向量和其线性运算① 向量的基本概念：向量 既有大小 又有方向的量；向量表示方法：用一条有方向的线段（称为有向线段）来表示向量有向线段的长度表示向量的大小 有向线段的方向表示向量的方向 .；向量的符号 以A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作表示 也可用上加箭头书写体字母表示例如a 、r 、v 、F 或a 、r 、v 、F ；向量的模 向量的大小叫做向量的模 向量a 、a 、AB 的模分别记为|a|、|a|、|AB |单位向量模等于1的向量叫做单位向量;向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反就称这两个向量平行向量a 与b平行 记作a // b 零向量认为是与任何向量都平行； 两向量平行又称两向量共线零向量 模等于0的向量叫做零向量记作0或0 零向量的起点与终点重合 它的方向可以看作是任意的共面向量：设有k （k 3）个向量 当把它们的起点放在同一点时如果k 个终点和公共起点在一个平面上 就称这k 个向量共面；，两平面AB 向量可用粗体字母两向量夹角：当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时两个向量之间的不超过的夹角称为向量a 与b 的夹角 记作(a ：b)或(b ：a)如果向量a 与b 中有一个是零向量 规定它们的夹角可以在 0与 之间任意取值；② 向量的线性运算向量的加法(三角形法则)：设有两个向量a 与b 平移向量使b 的起点与a 的终点重合 此 时从a 的起点到b 的终点的向量c 称为向量a 与b 的和 记作a+b 即 c a+b .平行四边形法则 向量a 与b 不平行时 平移向量使a 与b 的起点重合 以a 、b 为邻边作一平行四边形 从公共起点到对角的向量等于向量a 与b 的和a b向量的加法的运算规律(1)交换律abba(2)结合律(a b) c a (b c)负向量 设a 为一向量 与a 的模相同而方向相反的向量叫做a 的负向量 记为a把向量a 与b 移到同一起点 0则从a 的终点A 向b 的终点B 所引向量AB 便是向量b 与a 的差b a向量a 与实数 的乘积记作规定 a 是一个向量 方向当＞0时与a 相同 当＜0时与a 相反 当 向量这时它的方向可以是任意的a③ 空间直角坐标系在空间中任意取定一点 O 和三个两两垂直的单位向量 i 、j 、k 就确定了三条都以 O 为 原点的两两垂直的数轴依次记为x 轴(横轴卜y 轴(纵轴卜z 轴(竖轴)统称为坐标轴 它们 构成一个空间直角坐标系称为Oxyz 坐标系注：(1)通常三个数轴应具有相同的长度单位(2) 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上 而z 轴则是铅垂线(3) 数轴的的正向通常符合右手规则坐标面 在空间直角坐标系中 任意两个坐标轴可以确定一个平面 这种平面称为坐标面x 轴和y 轴所确定的坐标面叫做xOy 面 另两个坐标面是 yOz 面和zOx 面 卦限三个坐标面把空间分成八个部分每一部分叫做卦限含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限它位于xOy 面的上方在xOy 面的上方按逆时针方向排列着第二卦限、 第三卦限和第四卦限 在xOy 面的下方 与第一卦限对应的是第五卦限 按逆时针方向还排列着第六卦限、 第七卦限和第八卦限 八个卦限分别用字母I 、II 、III 、IV 、V 、VI 、VII 、VIII 表示向量的坐标分解式任给向量r 对应有点M 使OM r 以OM 为对角线、三条坐标轴为棱作长方体 有 r OM OP PN NM OP OQ OR向量的减法 向量与数的乘法: 它的模| a| | ||a|它的 0时| a| 0即a 为零运算规律(1)结合律 (a) ( a) ( )a ；(2)分配律()a a a ； (a b) a b 向量的单位化 设a0则向量看是与a 同方向的单位向量记为e a ，于是a |a|e a定理1 设向量a 0那么向量b 平行于a 的充分必要条件是存在唯一的实数设 OP Xi OQ yj OR zk 贝U r OM xi yj zk上式称为向量r 的坐标分解式xi 、yj 、zk 称为向量r 沿三个坐标轴方向的分向量点M 、向量r 与三个有序x 、y 、z 之间有一一对应的关系M r OM xi yj zk (x, y, z)投影的性质性质1 (a)u |a|cos (即Prj u a |a|cos )其中 为向量与u 轴的夹角 性质 2 (a b)u (a)u (b)u (即 Prj u (a b) Prj u a Prj u b) 性质 3 ( a)u (a)u (即 Prj u ( a) Prj u a)有序数x 、y 、z 称为向量 r （在坐标系Oxyz ）中的坐标 记作r (x y z) 向量r OM 称为点M 关于原点O 的向径 ④ 利用坐标作向量的线性运算设 a (a x a y a z ) b (b x b y b z )a b (a x b x a y b y a z b z ) a b (a x b x a y b y a z b z ) a ( a x a y a z )利用向量的坐标判断两个向量的平行设 a (a x a y a z ) 0 b (b x b y b z )向量 b//a b a即 b//a (b x b y b z )(a x a y a z )于是 bx b y axaybzaz⑤ 向量的模、方向角、投影 设向量r （x y z ）作OM r 则 向量的模长公式|r| ..x 2 y 2 z 2设有点 A(x i y i z i )、B(x y 2 z 2) AB OB OA(x 2 y 2 Z 2)(X 1 y 1 Z 1)(X 2 X 1 y 2 y 1 Z 2 z”A 、B 两点间的距离公式为： |AB| |AB|、（X 2 %）2 （y 2 yj 2厶 乙）2方向角:非零向量r 与三条坐标轴的夹角 称为向量r 的方向角设 r (x y z) 则 x |r|cos y |r|cos z |r|coscos 、cos 、cos 称为向量 r 的方向余弦cos x cos|r|从而(cos ,cos 1,COS ) F|r e r2 2 2cos cos cos 12、数量积、向量积、混合积① 两向量的数量积数量积 对于两个向量a 和b 它们的模|a|、|b|和它们的夹角 的 余弦的乘积称为向量 a 和b 的数量积记作ab 即a b |a| |b| cos数量积的性质⑴ a a |a| 2(2)对于两个非零向量 a 、b 如果a b 0贝U a b;反之如果a b 则a b 0如果认为零向量与任何向量都垂直 则a b a b 0两向量夹角的余弦的坐标表示设 (a 人b)则当a 0、b 0时有数量积的坐标表示设 a (a x a y a z ) b (b x b y b z )贝U a b a x b x a y b y a z b z 数量积的运算律 (1) 交换律 a b b a;⑵分配律 (a b) c a c b c(3) ( a) b a ( b) (a b)(a) (• b) (a b)、为数② 两向量的向量积向量积 设向量c 是由两个向量a 与b 按下列方式定出c 的模|c| |a||b|sin其中 为a 与b 间的夹角；c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面 c 的指向按右手规则从 a 转向b 来确定那么 向量c 叫做向量a 与b 的向量积 记作a b 即c a b向量积的性质(1) a a 0(2) 对于两个非零向量 a 、b 如果a b 0则a//b 反之 如果a//b 则a b 0 如果认为零向量与任何向量都平行 则a//b a b 0数量积的运算律(1) 交换律a b b a (2) 分配律(a b) c a c b c (3) ( a) b a ( b) (a b)(为数)数量积的坐标表示 设a (a x a y a z ) b (b x b y b z )a b (a yb z a z b y ) i ( a z b xa xb z ) j (a xb y a y b x ) kcosa xb x a y b y a z b z|a||b|X a 2 a z为了邦助记忆利用三阶行列式符号 上式可写成a yb z i a z b x j a x b y k a y b x k a x b z j a z b y ii j k a x a y a z b x b y b z(a y b z a z b y ) i ( a z b x a x b z ) j ( a x b y a y b x ) k③三向量的混合积混合积的几何意义： 混合积[abc]是这样一个数，它的绝对值表示以向量a 、b 、c 为棱的平行六面体的体积，如果向量a 、b 、c 组成右手系，那么混合积的符号是正的，如果a 、b 、c 组成左手系，那么混合积的符号是负的。
第八章答案
第八章 空间解析几何与向量代数第一节 向量及其线性运算一、填空题1.点(1,2,3)-在第Ⅴ卦限，点(2,3,1)--在第Ⅲ卦限．2.点(,,)x y z 到xoy 面、yoz 面、xoz 面的距离分别为z ，x ，y ；到x 轴、y 轴、z.3.点(,,)a b c 关于yoz 面的对称点是(,,)a b c -；与(,,)a b c -关于xoz 面对称；关于原点的 对称点是(,,)a b c ---．4.点M 的向径与x 轴成45角，与y 轴成60角，长度为6，若在z 轴上的坐标是负值，则点M的坐标为3)-．提示：设(,,)OM x y z =，cos 6x xr α===，x =1cos 26y y r β===，3y =；由222coscos cos 1αβγ++=，有1cos 2γ=-，3z =-.5.与向量(16,15,12)a =-平行，方向相反且长度为75的向量为(48,45,36)--．6．设()()11112222,,,,,M x y z M x y z ,则12M M=7.与向量(6,7,6)a =- 平行的单位向量为676,,111111⎛⎫±- ⎪⎝⎭．8.向量AB在x 轴、y 轴、z 轴上的投影依次为44-，，7，它的终点坐标为(2,1,7)B -， 则起点坐标(2,3,0)-．提示：若(,,)A x y z ，则AB(4,4,7)(2,1,7)x y z =-=----.9. 若()(),,,,,,x y z x y z a a a a b b b b ==则a b ± =(,,)x x y y z z a b a b a b ±±±． b a ⇔ ∥y x z x y za a ab b b ==．10．在xoy 面上，与三点(3,1,2),(4,2,2),(0,5,1)A B C --等距离的点为3821,,055⎛⎫-- ⎪⎝⎭．提示：设点(,,0)D x y ，由222AD BD CD ==得26108142x y x y -=⎧⎨-+=⎩.二、单项选择题1.设向量,a b互相平行，但方向相反，当0a b >> 时，必有 A ．Ａ．a b a b +=- Ｂ．a b a b +>- Ｃ．a b a b +<- Ｄ．a b a b +>+2.下列各组角可以作为某向量的方向角的是 A ．A ．90,150,60αβγ===B ．45,135,60αβγ===C ．60αβγ===D ．60,120,150αβγ===三、计算题1.已知两点()1M 和()23,0,2M ．计算向量12M M的模、方向余弦和方向角．解：()1M ，()23,0,2M ，∴()121,M M =-，122M M = ．∴1212M M M M11,222⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭，方向余弦为12-，，12，方向角为0120，0135，060． 2.设()()()3,5,8,2,4,7,5,1,4m n p ==--=- ，求向量43a m n p =+-在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量．解：()()()3,5,8,2,4,7,5,1,4m n p ==--=-，∴ 43(13,7,15)a m n p =+-= ， 故在x 轴上的投影为13，在y 轴上的分向量为7j ． 3.向量a 与三坐标轴的正向构成相等的锐角，其模长为3，求a ．解：设 (,,)a x x x = ，且0x >，由3a = ，有239x =，得x =∴a =．第二节 数量积 向量积一、填空题1．a ⇔ ⊥b 0b a ⋅= ；a b ⇔ ∥0a b ⨯=．2．向量()(),,,,,x y z x y z a a a a b b b b ==,若两向量夹角为θ，则 cos θa b a b a b ++3．向量()()3,1,2,1,2,1a b =--=- ,则()23a b -⋅= 18-,2a b ⨯= 10214i j k ++．4．已知点()()()2,4,,3,7,5,,10,9A n B C m 三点共线，则m = 4 ，n = 1 ．5．已知点()()()1231,1,2,3,3,1,3,1,3M M M -,与,M M M M 1223同时垂直的单位向量为2,2)--． 提示：与,M M M M 1223 同时垂直的单位向量为M M M M M M M M ⨯±⨯12231223.6．设()()2,5,1,1,3,2a b ==- ,a b λμ+与z 轴垂直，则λ与μ的关系2λμ=． 提示：()0a b k λμ+⋅=.7．,,a b c 为三个非零向量，a b ⊥,a 与c 的夹角为π3，b 与c 的夹角为π6，且a =1,2,3bc == ，则a b c ++=提示：2()()a b c a b c a b c ++=++⋅++ . 二、单项选择题1. 已知()()0,3,4,2,1,2a b ==- ，则ab =Pr j C ． A ．３ Ｂ．13-Ｃ．－１ Ｄ．１提示：515a a b b a⋅-===-Prj . 2.已知向量,a b的模分别为4,2a b ==，且a b ⋅= ，则a b ⨯= C ．A．2B．．．2 提示： cos(,)a b a b a b ⋅= ，cos(,)2a b = ， sin(,)a b a b a b ⨯==三、计算题1．()()()2,3,1,1,1,3,1,2,0a b c =-=-=-,求()a b c ⨯⋅ ．解：23185113i j ka b i j k ⨯=-=--+-，所以()(8,5,1)(1,2,0)2a b c ⨯⋅=--⋅-= ．2．求向量()4,3,4a =- 在向量()2,2,1b =上的投影．解：6Pr j 23b a b a b ⋅====． 3．已知3,26,72a b a b ==⨯=，求a b ⋅ ．解：∵sin 72a b a b θ⨯== ∴7212sin 32613θ==⨯，5cos 13θ==±，从而5cos 3263013a b a b θ⎛⎫⋅==⨯⨯±=± ⎪⎝⎭．4．化简：()()()a b c c a b c b b c a ++⨯+++⨯--⨯．解：()()()a b c c a b c b b c a ++⨯+++⨯--⨯a cbc a b c b b a c a =⨯+⨯+⨯+⨯-⨯+⨯ a c b c a b b c a b c a =⨯+⨯+⨯-⨯+⨯-⨯2()a b =⨯ ．第三节 曲面及其方程一、填空题1．xoy 面上双曲线224936x y -=分别绕x 轴、y 轴旋转一周所得旋转曲面的方程依次 为36)(94222=+-z y x 和369)(4222=-+y z x .2．曲面2221x y z --=是由xoy 面上的曲线221x y -=绕x 轴旋转一周所得或由xoz 面上 曲线122=-z x 绕x 轴旋转一周所得.3．2221484x y z ++=表示的曲面为 旋转椭球面 ． 4．2235x y z +=表示的曲面为 椭圆抛物面 ．5．z =表示的曲面为 圆锥面的上半部分 ．6.22y x =表示的曲面为 母线平行于z 轴的抛物柱面 ．二、计算题1．一动点与两定点()2,3,1A 和()4,5,6B 等距离，求这动点的轨迹方程． 解：设动点为),,(z y x P ，则由题意知：22||||PB PA =,从而222222)6()5()4()1()3()2(-+-+-=-+-+-z y x z y x即 0631044=-++z y x ∴动点的轨迹方程为：0631044=-++z y x ． 2.将xoz 坐标面上的曲线z x a =+分别绕x 轴及z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程. 解：在xoz 面上的a x z +=绕x 轴旋转一周，所得旋转曲面为：a x z y +=+±22即222)(z y a x +=+，同理，绕z 轴旋转一周后，得旋转曲面方程为：a y x z ++±=22， 即222)(y x a z +=-．3.说明下列旋转曲面是怎样形成的：⑴2221499x y z ++= ⑵22214yx z -+= 解：(1) xoy 面上的曲线19422=+y x (或xoz 面上的曲线19422=+z x )绕x 轴旋转一周所得；(2) xoy 面上的曲线1422=-y x (或yoz 面上的曲线1422=-y z )绕y 轴旋转一周所得． 4.画出由曲面4z =22z x y =+及221x y +=所围立体(含z 轴部分).解：4z =)4,0,0(的下半圆锥面，22z x y =+表示旋转抛物面，221x y +=表示圆柱面，从而三者所围立体即可得到，如图所示．第四节 空间曲线及其方程一、填空题1.母线平行于y 轴且经过曲线2222222160x y z x z y ⎧++=⎨+-=⎩的柱面方程为223216x z +=. 2.球面z =z =xoy 面上的投影方程为221x y z ⎧+=⎨=⎩. z 22z x y =+ 221x y +=4z =图8-1x yO3.旋转抛物面()2204z x y z =+≤≤在xoy 面上的投影为224x y z ⎧+≤⎨=⎩，在yo z 面上的投 影为240y z x ⎧≤≤⎨=⎩.4.圆锥面z =22z x =所围立体在xoy 面上的投影为2220x y xz ⎧+≤⎨=⎩，在xoz面上的投影为0x z y ⎧≤≤⎪⎨=⎪⎩ 二、单项选择题1.曲线2221:1645230x y z x z Γ⎧+-=⎪⎨⎪-+=⎩关于xoy 面的投影柱面的方程是 A . A .2220241160x y x +--= B .22441270y z z +--=C .22202411600x y x z ⎧+--=⎨=⎩D .224412700y z z x ⎧+--=⎨=⎩2.曲线22203y z x z ⎧+-=⎨=⎩在面xoy 上的投影曲线的方程是 B .A .220y x z ⎧=⎨=⎩B .2290y x z ⎧=-⎨=⎩C .2293y x z ⎧=-⎨=⎩D .223y xz ⎧=⎨=⎩三、将曲线方程22222443812y z x zy z x z ⎧++=⎨+-=⎩化成母线分别平行于x 轴及z 轴的柱面的交线方程. 解：将22222443812y z x z y z x z ⎧++=⎨+-=⎩分别消去,x z ，得 224y z z += ① 240y x += ②再将①②联立得交线方程：222440y z zy x ⎧+=⎨+=⎩．第五节 平面及其方程一、填空题1.设一平面经过点()000,,x y z,且垂直于向量(),,A B C ，则该平面方程为000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=. 2.平面260x y z -+-=与平面250x y z ++-=的夹角为π3.3.平行于xoz 面且经过点()2,5,3-的平面方程为50y +=.4.经过x 轴和点()3,1,2--的平面方程为20y z +=. 提示：过x 轴的平面方程设为0By CZ +=.5.点()1,2,1到平面22100x y z ++-=的距离为 1 .提示：d =.二、求平行于x 轴且经过两点()4,0,2-和()5,1,7的平面方程.解：设所求平面方程为0By Cz D ++=， 又平面过()4,0,2-()5,1,7两点2070C D B C D -+=⎧∴⎨++=⎩, 29D CB C=⎧∴⎨=-⎩， ∴所求平面方程为：920y z --=． 三、一平面过点()1,0,1-且平行于向量()2,1,1a = 和()1,1,0b =-,试求该平面方程.解：设平面的法向量为n ，则n a b =⨯ ，2113110i j kn i j k ∴==+--，从而(1,1,3)n =-． 又 平面过点(1,0,1)-，∴所求平面方程为(1)3(1)0x y z -+-+=，即340x y z +--=.四、求平面2250x y z -++=与各坐标面夹角的余弦.解：平面2250x y z -++=的法向量(2,2,1)n =-，设平面与,,yoz xoz xoy 面的夹角分别为,,αβγ， 又yoz 面的法向量(1,0,0)i =2c o s .3n i n i α⋅∴== 同理．21cos ,cos .33βγ== 第六节 空间直线及其方程一、填空题1．设直线经过点()000,,x y z ，且平行于向量(),,m n p ,则该直线的对称式方程为00o x x y y z z m n p ---==,参数方程为000x x mty y nt z z pt=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩. 2．直线124x y z x y z -+=⎧⎨++=⎩的对称式方程为302213x y z --+==-. 3．过点()0,2,4且与两平面21x z +=和32y z -=平行的直线方程为024231x y z ---==-. 4．直线30x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩与平面10x y z --+=的夹角为 0 .5．点()3,1,2-到直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离为. 提示：过(3,1,2)A -与10:240x y z L x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩垂直的平面为1y z +=，该平面与直线L 的交点131,,22B ⎛⎫-⎪⎝⎭，则A 到直线L 的距离即为AB .6．过直线1:L 4020x z y +-=⎧⎨-=⎩且平行于直线221:211x y zL +-==的平面方程为 320x y z -++=.提示：过1L 的平面束:(4)(2)0x z y λ∏+-+-=， 2∥L ∏20n s ∴⋅= ,2(1,,1),(2,1,1)n s λ==210λ∴++=,得3λ=-．∴平面为43(2)0x z y +---=，即320x y z -++=..7．直线326040x y z x y z D -+-=⎧⎨+-+=⎩与z 轴相交，则D = 3 .二、单项选择题1．两直线1158:121x y z L --+==-与26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩的夹角为 C . A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．π22．直线111x x y y z z m n p---==与平面0Ax By Cz D +++=的夹角θ满足 C . A ．sin θ=B ．cos θ=C ．sin θ=D ．cos θ=3．过点()2,0,3-且与直线247035210x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩垂直的平面方程是 A .A ．16(2)14(0)11(3)0x y z --+-++=B .(2)2(0)4(3)0x y z ---++=C ．3(2)5(0)2(3)0x y z -+--+=D .16(2)14(0)11(3)0x y z -++++-= 4．设直线3210:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面:4220x y z ∏-+-=，则直线L C .A ．平行于∏B ．在∏上C ．垂直于∏D ．与∏斜交提示：判断直线的方向向量与平面的法向量的关系.三、计算题1．求过点()4,1,3-且与直线230:510x y L y z --=⎧⎨-+=⎩平行的直线方程．解：设直线L 的方向向量12025051i j ks i j k =-=++-，∴所求直线的方向向量(2,1,5)s '=，从而直线方程为：413215x y z -+-==． 2．求直线2403290x y z x y z -+=⎧⎨---=⎩在平面41x y z -+=上的投影直线的方程．解：过已知直线的平面束方程为：329(24)0x y z x y z λ---+-+=，即(32)(14)(2)90x y z λλλ+-++--=．要使其与平面41x y z -+=垂直，则满足4(32)1420,λλλ++++-= 11.13λ=-1731371170.x y z ∴+--= ∴投影直线方程为 41.1731371170x y z x y z -+=⎧⎨+--=⎩ 3．求过直线20:4236x y L x y z +=⎧⎨++=⎩且切于球面2224x y z ++=的平面方程．解：设所求平面方程为：4236(2)0x y z x y λ++-++=即(42)(2)360x y z λλ++++-= 由题意知：(0,0,0)到平面的距离为22=即2440λλ++=2λ∴=-∴所求平面方程为：2z =．第八章 自测题一、填空题（每小题3分，共24分）1．设a =()2,5,1-，b =()1,3,2,问λ与μ有怎样的关系2λμ=，λa +μb 与z 轴垂直． 2．若已知向量a =()3,4,0,b =()1,2,2,则a ,b夹角平分线上的单位向量为．提示： a ，b 夹角平分线上的单位向量为a b a b a ba b+±+.3．若两个非零向量a ,b的方向余弦分别为111cos ,cos ,cos αβγ和222cos ,cos ,cos αβγ， 设a ,b夹角为ϕ，则cos ϕ=122112cos cos cos cos cos cos ααββγγ++．4．过直线122232x y z -+-==-且与平面3250x y z +--=垂直的平面方程为 81390x y z -++-=．提示：L ：122232x y z -+-==-，化为一般方程12232232x y y z -+⎧=⎪⎪-⎨+-⎪=⎪-⎩， 即32102320x y y z ++=⎧⎨+-=⎩，过L 的平面束为：321(232)0x y y z λ++++-= ① (3,22,3)n λλ=+ ，(3,2,1)s =-，由0n s ⋅= 得13λ=-，代入①，可得平面方程.5．直线1l :158121x y z --+==-与直线2l :623x y y z -=⎧⎨-=⎩的夹角θ=1arccos 6． 6．点()3,-4,4到直线452221x y z ---==-的距离为 提示：过()A 3,-4,4与L ：452221x y z ---==-垂直的平面为：2(3)2(4)(4)0x y z --++-=，与L 的交点为(8,1,4)B ，A 到L 的距离即为AB . 7．曲线22210x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在xoy 面上的投影曲线为2222210x y xy z ⎧++=⎨=⎩．8．与两直线112x y t z t=⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩及121121x y z ++-==都平行，且过原点的平面方程为 0x y z -+=．二、单项选择题（每小题3分，共12分）1．点()3,2,2P -在平面32210x y z -+-=上的投影点是 B ． A ．()3,1,2- B ．301720,,777⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．()7,2,1 D ．()2,21,3--提示：过()3,2,2P -与平面 垂直的直线为322312x y z -+-==-，其与平面∏的交点即为投影点. 2．直线224213x y z -+-==-与平面4x y z ++=的关系是 A ． A ．直线在平面上 B ．平行 C ．垂直 D ．三者都不是 3．两平行平面23490x y z -++=与234150x y z -+-=的距离为 C ．A ．629 B ．2429 CD提示：两平行平面的距离为平面上任一点到另一平面的距离 4．xoz 平面上曲线e xz =绕x 轴旋转所得旋转曲面方程为 A ．Ae x = B ．22e x y z += C ．22e xy z += D．z =三、计算题（共64分）1．求与坐标原点O 及点()2,3,4A 距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程，它表示 怎样的曲面？（本题6分）解：设所求曲面上的点为(,,)x y z ，则由题意知：2222221(2)(3)(4)4x y z x y z ++=-+-+-， ∴ 曲面方程为：222333468290x y z x y z +++++-=，表示一球面．2．将空间曲线方程222160x y z x z ⎧++=⎨+=⎩化为参数方程．（本题5分）解：把z x =-代入22216x y z ++=，得22216x y +=，令x t =，4sin y t =，则z t =-，∴空间曲线方程的参数方程为：4sin x ty t z t⎧=⎪=⎨⎪=-⎩．3．求中心点在直线247045140x y z x y z +--=⎧⎨++-=⎩上且过点A ()0,3,3和点B ()1,3,4-的球面方程．（本题6分）解：把247045140x y z x y z +--=⎧⎨++-=⎩化为对称式方程：7002322x y z ---==-，设球心坐标为 73,2,22O t t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则OA OB =，从而 ()()()222227932233423222t t t t t ⎛⎫⎛⎫-+-=-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴32t =， ∴(1,3,3)O -，1OA =，所以球面方程为222(1)(3)(3)1x y z ++-+-=．4．求通过直线0230x y z x y z ++=⎧⎨-+=⎩且平行于直线23x y z ==的平面方程．（本题7分）解：设所求平面的方程为：(23)0x y z x y z λ+++-+=，即(12)(1)(13)0x y z λλλ++-++=，(12,1,13)n λλλ=+-+ ，又∵直线11123x y z==平行于平面， ∴1112(1)(13)023λλλ++-++=， ∴1115λ=-， ∴所求平面方程为：726180x y z -+=．5．点()2,1,1P --关于平面∏的对称点为1P ()-2,3,11，求∏的方程．（本题7分）解：设1PP 的中点为0P ，则0(0,1,5)P ，1(4,4,12)PP =- ，∵1//PP n ，取(1,1,3)n =-，由题意知所求∏的方程为：(0)(1)3(5)0x y z --+-+-=，即3160x y z -++-=．6．直线10:10x y z L x y z +--=⎧⎨-++=⎩在平面:0x y z ∏++=上投影直线L 0的方程．（本题7分）解：设所求平面方程为：1(1)0x y z x y z λ+--+-++=，即(1)(1)(1)10x y z λλλλ++-+-+-=，1(1,1,1)n λλλ=+--， 又∵2(1,1,1)n = ，22n n ⊥， ∴1110λλλ++-+-= ∴1λ=-，∴ 10y z --=， ∴ 投影直线L 0的方程为：10y z x y z -=⎧⎨++=⎩．7．求过直线5040x y z x z ++=⎧⎨-+=⎩且与平面48120x y z --+=成π4角的平面方程．（本题7分）解：设所求平面的方程为：5(4)0x y z x z λ+++-+=，即(1)5(1)40x y z λλλ+++-+=，1(1,5,1)n λλ=+- ，又∵2(1,4,8)n =--，1212πcos 4n n n n ⋅==，=即，解得34λ=-， 又平面40x z -+=与平面48120x y z --+=的夹角余弦cos ==θ π.4∴=θ ∴所求平面方程为：207120x y z ++-=及40x z -+=.8．求过点()P 2,1,3且与直线l :11321x y z+-==-垂直相交的直线方程．（本题7分） 解：由题意知，过点P ()2,1,3且垂直与l 的平面方程为：3(2)2(1)(3)0x y z -+---=即3250x y z +--=，令3121x t y t z t=-⎧⎪=+⎨⎪=-⎩，代入上述平面方程，解得37t =．所以平面与l 的交点为02133,,777P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于所求直线的方向向量0//s P P ，所以取(2,1,4)s =- ， 所以直线方程为213214x y z ---==-． 9．直线过点()3,5,9A --且和直线1l :3523y x z x =+⎧⎨=-⎩,2l :47510y x z x =-⎧⎨=+⎩相交，求此直线方程．（本题7分）解：设所求直线为l ，则l 与1l ，2l 分别相交，1l ：5332y z x -+==，2l ：71045y z x +-==， 所以取11(0,5,3)P l -∈，1(1,3,2)s = ，1(3,0,6)AP = ；22(0,7,10)Pl -∈，2(1,4,5)s =， 2(3,12,19)AP =- ，令111(18,0,9)n s A P =⨯=-，222(136,4,24)n s AP =⨯=--，过l 与1l 的平面方程为：2(3)(9)0x z +-+=，即230x z --=；过l 与2l 的平面方程为：34(3)(5)6(9)0x y z +---+=，即346530x y z --+=；所以直线l 的方程为：230346530x z x y z --=⎧⎨--+=⎩．。
空间解析几何与向量代数复习题答案
第八章 空间解析几何与向量代数答案一、选择题1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是（A ） A 5 B 3 C 6 D 92. 设a =（1,-1,3）, b =（2,-1,2），求c =3a -2b 是（ B ）A （-1,1,5）.B （-1,-1,5）.C （1,-1,5）.D （-1,-1,6）.3. 设a =（1,-1,3）, b =（2, 1,-2），求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A ）A -i -2j +5kB -i -j +3kC -i -j +5kD -2i -j +5k4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是（ C ）A 2πB 4πC 3π D π 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是（ C ）A 2πB 4πC 3π D π 6. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12213+=-=z y x 的距离是：（ A ）A 138B 118C 158D 17. 设,23,a i k b i j k =-=++求a b ⨯是：（ D ）A -i -2j +5kB -i -j +3kC -i -j +5kD 3i -3j +3k8. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ A ）A B 364 C 32D 39. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程是：（ D ）A 2x+3y=5=0B x-y+1=0C x+y+1=0D 01=-+y x ．10、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有（ C ）；A -+a b =a b ；B =a b ；C 0⋅a b =；D ⨯a b =0．11、设,a b 为非零向量，且a b ⊥, 则必有（ C ） A a b a b +=+ B a b a b -=- C +=-a b a b D +=-a b a b12、已知()()2,1,21,3,2---a =,b =，则Pr j b a =（ D ）；A 53； B 5； C 3； D ． 13、直线11z 01y 11x -=-=--与平面04z y x 2=+-+的夹角为 （B ） A 6π； B 3π； C 4π； D 2π． 14、点(1,1,1)在平面02=+-+1z y x 的投影为 （A ）（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0,21； （B ）13,0,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （C ）()1,1,0-；（D ）11,1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 15、向量a 与b 的数量积⋅a b =（ C ）.A a rj P b a ；B ⋅a rj P a b ；C a rj P a b ；D b rj P a b ．16、非零向量,a b 满足0⋅=a b ，则有（ C ）．A a ∥b ;B =λa b (λ为实数)；C ⊥a b ；D 0+=a b ．17、设a 与b 为非零向量，则0⨯=a b 是（A ）．A a ∥b 的充要条件；B a ⊥b 的充要条件;C =a b 的充要条件；D a ∥b 的必要但不充分的条件．18、设234,5=+-=-+a i j k b i j k ，则向量2=-c a b 在y 轴上的分向量是（B ）．A 7B 7jC –1；D -9k19、方程组2222491x y z x ⎧++=⎪⎨=⎪⎩表示 （ B ）. A 椭球面； B 1=x 平面上的椭圆；C 椭圆柱面； D 空间曲线在1=x 平面上的投影.20、方程 220x y +=在空间直角坐标系下表示 （C ）.A 坐标原点(0,0,0)；B xoy 坐标面的原点)0,0(；C z 轴；D xoy 坐标面.21、设空间直线的对称式方程为012x y z ==则该直线必（ A ）. A 过原点且垂直于x 轴； B 过原点且垂直于y 轴；C 过原点且垂直于z 轴；D 过原点且平行于x 轴.22、设空间三直线的方程分别为123321034:;:13;:2025327x t x y z x y z L L y t L x y z z t =⎧+-+=⎧++⎪===-+⎨⎨+-=--⎩⎪=+⎩,则必有（ D ）. A 1L ∥2L ； B 1L ∥3L ； C 32L L ⊥； D 21L L ⊥.23、直线 34273x y z ++==--与平面4223x y z --=的关系为 ( A )． A 平行但直线不在平面上； B 直线在平面上；C 垂直相交；D 相交但不垂直．24、已知1,==a b 且(,)4∧π=a b , 则 +a b = ( D )．A 1； B1 C 2； D .25、下列等式中正确的是( C )．A +=i j k ；B ⋅=i j k ；C ⋅=⋅i i j j ；D ⨯=⋅i i i i ．26、曲面22x y z -=在xoz 平面上的截线方程为 (D)．A 2x z =；B 20y z x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩；C 2200x y z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩；D 20x z y ⎧=⎪⎨=⎪⎩． 二、计算题1．已知()2,2,21M ，()0,3,12M ，求21M M 的模、方向余弦与方向角。
第八章解析几何
17．已知直线 2x＋5y＋C＝0 与圆 x2＋y2＝9 相切，则 C 的值为（ A．3 C．±3 29 B.－3 29 D．－3 2
18．圆 x2＋(y－5)2＝25 的圆心到直线 3x＋4y－5＝0 的距离等于（ 3 A．5 B． 3 C． 5 7 D． 15
B
）
19．与直线 2x＋y－1＝0 平行，且与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝5 相切的直线方程 是( A ) A．2x＋y＋2＝0 或 2x＋y－8＝0 B． x－2y＋1＝0 或 x－2y－9＝0
C．2x＋y＋1＝0 或 2x＋y－9＝0
D． x－2y＋2＝0 或 x－2y－8＝0
20．已知直线 2x－y＋1＝0 与以点(1，－2)为圆心的圆相交于 A、B 两点， 且|AB|＝4,则此圆的标准方程是(C A． (x－1)2＋(y＋2)2＝16 C． (x＋1)2＋(y－2)2＝9 三．填空题 1..三点 A(2， 3)、B(a， 4)、C(8， a)共线的充要条件是 2. 已 知 点 A(-3 ， 2) 、 2x-3y-14=0 。 a=0 或 a=-5 。 ) B．(x－1)2＋(y＋2)2＝9 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝16
7．已知圆的方程为 x2＋y2＋2x－8y＋8＝0，过点 P(2，0)作圆的一条切线， 切点为 A，则 PA 的长为__4_____． 8． 圆 x2＋y2－2x＋2y＋1＝0 上的点到直线 x＋y＋2＝0 的距离最大值是___1 ＋ 2 _________． 9．如果方程 x2＋ky2＝2 表示焦点在 y 轴上的椭圆，那么实数 k 的取值范围 是______0＜k＜1______． 10 ．方程 <4_________ 11.已知双曲线的对称轴是坐标轴，且经过点（3,0） ，虚轴长为 2，则双曲线 的标准方程是
高等数学第八章练习题及答案
第八章 空间解析几何与向量代数自测题A一、填空1. 已知空间三点(1,2,0)A 、(1,3,2)B -、(2,3,1)C ，则cos BAC ∠=AB 在AC上的投影为；三角形的面积ABC S ∆=2；同时垂直于向量AB 与AC的单位向量为1,4,3)±--. 2. xOy 面上的曲线2y x =绕y 轴旋转一周所得旋转曲面方程为22y x z =+.3. 在平面解析几何中2y x =表示抛物线_图形，在空间解析几何中表示_抛物柱面_图形.4. 球面0242222=++-++z y x z y x 的球心坐标为(1,2,1)--.5. 曲线22291x y z x z ⎧++=⎨+=⎩在xOy 面上的投影为22228x x y z ⎧-+=⎨=⎩.6.曲面z =被曲面2220x y x +-=所截下的部分在xOy 面上的投影为22200x x y z ⎧-+≤⎨=⎩.7. 过点A (3,0,1)-且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程为37540x y z -+-=.8. 点A (3,0,1)-到平面2230x y z -+-=的距离为23. 9. 直线531123-=++=-z k y k x 与直线22531-+=+=-k z y x 相互垂直，则k =34. 二、解答题1. 求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面. 解：由已知可知，已知平面的法向量为0(6,2,3)n =-，取所求平面的法向量为120743(6,3,10)623ij kn M M n =⨯=--=--，所以所求平面方程为 6(4)3(1)10(2)0x y z -+---=，即631070x y z +--=.2. 求通过直线13213x y z +-==-与点A (3,0,1)的平面方程. 解：由已知可知，直线过点(0,1,3)P -，方向向量为(2,1,3)s =-，取所求平面的法向量 312(1,13,5)213ij kn PA s =⨯=-=---，所以所求平面方程为3135(1)0x y z ----=，即 13520x y z --+=.3. 求直线2432-=-=-z y x 与平面062=-++z y x 的交点及夹角余弦. 解：直线的参数是方程为2,3,42x t y t z t =+=+=+，代入平面方程得1t =-，所以交点坐标为(1,2,2)，5sin |cos(,)|,cos 66s ns n s n ϕϕ⋅====. 4. 求过点A (3,0,1)且与直线13213x y z +-==-垂直相交的直线方程. 解：设垂足坐标为000(,,)P x y z ，则由已知条件得00013213x y z +-==-， 0002(3)3(1)0AP s x y z ⋅=--+-=，解得11339(,,)71414P --，取所求直线方向向量为AP ，所以所求直线的方程为3122132571414x y z --==--，即31441325x y z --==--. B1. 求点A (3,0,1)到直线13213x y z +-==-的距离； 解：由已知可知，直线过点(0,1,3)P -，方向向量为(2,1,3)s =-，所以19514AP s d s ⨯==. 2. 判定直线113:213x y z l +-==-与直线2152:342x y z l -++==-是否相交，如果相交，求出交点，如果异面，求出两条异面直线间的距离；解：由已知可知，直线1l 过点1(0,1,3)P -，方向向量为1(2,1,3)s =-，直线2l 过点1(1,5,2)P--，方向向量为2(3,4,2)s =-，因为1212145[ ]2131170342PP s s --=-=-≠-，所以两直线异面，距离 121212[ ]117390PP s s d s s ==⨯；3. 求点(1,1,3)A 关于平面0x y z ++=对称的点.解：过点(1,1,3)A 且与平面垂直的直线方程为点113x y z -=-=-，所以垂足为224(,,)333P --，设对称点为(,,)M x y z ，则2AM AP =，即555(1,1,3)2(,,)333x y z ---=---，所以771(,,)333M ---.4. 求直线2432-=-=-z y x 在平面062=-++z y x 上的投影直线及直线关于平面对称的直线方程；解：由已知可知，直线0l 的参数式方程为2,3,42x t y t z t =+=+=+，代入平面方程可得1t =-，所以交点为1(1,2,2)P ，过点(2,3,4)P 且与已知平面垂直的直线2l 方程为22,3,4x t y t z t =+=+=+，垂足为211319(,,)366P ，所以已知直线0l 在平面上的投影直线为122217366x y z ---==-，即12247x z y --=-=-， 设点(2,3,4)P 关于已知平面的对称点为3P ，则322PP PP =，解得3447(,,)333P -，所以已知直线关于平面对称的直线方程为122721333x y z ---==--，即12272x y z --==---. 5. 求直线1321x y z +==--绕z 轴旋转一周所得旋转曲面方程.解：设所求曲面上任一点(,,)P x y z 是由直线上的点1111(,,)P x y z 绕z 轴旋转得来，则22221111111,,321x y x y x y z z z ++=+===--，消去111,,x y z 得22252840x y z z +-+=.。
第8章 空间解析几何(题库)答案
第八章 空间解析几何（题库）A 组 基础题1. 点()2,3,1M -关于原点的对称点是（ D ）.A. ()2,3,1--B. ()2,3,1---C. ()2,3,1-D. ()2,3,1--2. 设a 与b 均为非零向量，且a b ⊥，则必有（ C ）.A. a b a b +=+B. a b a b -=-C. a b a b +=-D. a b a b +=- 3. 设,,a b c均为非零向量，则与a 不垂直的向量是（ D ）.A. ()()a c b a b c ⋅-⋅B. a b b a a a⋅-⋅ C. a b ⨯ D. ()a ab a +⨯⨯4. 已知,,a b c均为单位向量且满足关系式0a b c ++= ，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅= （ A ）.A. 32-B. 1C. 1-D. 325. ()()a b a b +⨯-=2b a ⨯ .6. 设,,a b c两两垂直，1a =，b = 1c = ，则a b c +-= 2.7. 已知两点()10,1,2M 和()21,1,0M -，则与向量12M M同方向的单位向量为122,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭.8. 已知向量AB 的终点()2,1,7B -，它在,,x y z 轴上的投影依次为4,4,7-，则AB的始点坐标是()2,3,0-.9. 设()()()2,3,1,1,2,3,2,1,2a b c =-=-=，向量v 与,a b 同时垂直，且在c 上的投影为1，则v = 511,,77⎛⎫ ⎪⎝⎭.10. 设 ()4,3,,6a b a b π=== ，则以,a b 为邻边的平行四边形的面积S =6.11.已知2,a b == ，且2a b ⋅= ，则a b ⨯=2.12. 直线127:27x y z L x y z +-=⎧⎨-++=⎩与23638:20x y z L x y z +-=⎧⎨--=⎩的关系是（ C ）.A. 12L L ⊥B. 1L 与2L 相交但不一定垂直C. 12//L LD. 1L 与2L 是异面直线13. 曲线2221:1645230x y z l x z ⎧+-=⎪⎨⎪-+=⎩在xOy 平面上的投影柱面的方程是（ C ）. A. 2220241160x y x +--= B. 22441270y z z +--=C. 22202411600x y x z ⎧+--=⎨=⎩ D.22441270y z z z ⎧+--=⎨=⎩14. 曲线222222416:44x y z l x y z ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩在xOy 平面上的投影的方程是（ C ）. A. 224x y += B. 22440x y z ⎧+=⎨=⎩C.2240x y z ⎧+=⎨=⎩ D. 22440x y z ⎧+=⎨=⎩15. 方程221492x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在空间解析几何中表示（ B ）. A. 椭圆柱面 B. 椭圆曲线 C. 两个平行面 D. 两条平行线16. 设直线3210:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面:4220x y z π-+-=，则L （ C ）.A. 平行于πB. 在π上C. 垂直于πD. 与π斜交17. 已知两条直线21221x y z +-==-和13142x y z m --+==-互相垂直，则m =（ C ）. A. 4- B. 2- C. 3 D. 518. 将xOy 坐标面上的双曲线224936x y -=绕x 轴旋转一周，所生成的旋转曲面方程为22249936x y z --=，绕y 轴旋转一周，所生成的旋转曲面方程为22249436x y z -+=.19. 过点()1,2,1M -且与直线1331x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面方程是340x y z --+=.20. 平行于zOx 平面且过点()2,5,3-的平面方程为50y +=.21. 通过z 轴和点()3,1,2--的平面方程为30x y +=.22. 平行于x 轴且经过两点()4,0,2-和()5,1,7的平面方程为920y z --=.23. 过点()5,7,4-，且在,,x y z 三个轴上截距相等的平面方程为20x y z ++-=.24. 过点()1,0,1-且平行于向量()2,1,1a = 与()1,1,0b =-的平面方程为340x y z +--=.25. 过点()1,2,1且垂直于两平面0x y +=和50y z +=的平面方程为540x y z -+-=.26. 过原点及过点()6,3,2-，且与平面428x y z -+=垂直的的平面方程为2230x y z +-=.27. 点()1,2,1到平面22100x y z ++-=的距离d =1.28. 设直线73:121x y z L +-==-上与点()3,2,6的距离最近的点为()3,1,0-.29. 直线124x y z x y z -+=⎧⎨++=⎩的对称式方程为12113x t y t z t=-⎧⎪=+⎨⎪=+⎩.30. 点()1,2,0-在平面210x y z +-+=上的投影为522,,333⎛⎫- ⎪⎝⎭.B 组 提高题1. 设,a b均为非零向量，且满足()()375a b a b +⊥- ，()()472a b a b -⊥- ，则a 与b 的夹角等于（ C ）.A. 0B. 2πC. 3π D. 23π2. 直线1158:121x y z L --+==-与直线26:23x y L y z -=⎧⎨+=⎩的夹角为（ B ）. A. 2π B. 3π C. 4π D. 6π3. 过原点且与直线213231x y z ---==垂直的直线方程为3816x y z==-.4. 设 ()4,3,,6a b a b π=== ，求以2a b + 和3a b - 为边的平行四边形的面积.解：()()235a b a b b a +⨯-=⨯，则面积()55sin ,30S b a a b a b =⨯=⋅⋅=5. 已知 ()22,5,,3a b a b π===，问λ为何值时，才能使17A a b λ=+ 与3B a b =- 垂直.解：由于A 与B垂直，则有0A B ⋅= ，即()22351170a a b b λλ+-⋅-=因此，() ()22351cos ,170a a b a b b λλ+-⋅⋅-=，代入 ()22,5,,3a b a b π=== ，整理得40λ=.6. 求经过直线1123:101x y z L ---==-且平行于直线221:211x y zL +-==的平面的方程. 解：直线1L 上有点()1,2,3P ，其方向向量()11,0,1l =- ，直线2L 的方向向量()22,1,1l =，由已知得所求平面同时垂直于直线1L 及直线2L ，其法向量()121,3,1n l l =⨯=-，由所求平面过点()1,2,3P ，得平面点法式方程为()13230x y z ---+-=，化为一般式方程为320x y z -++=.7. 求直线1250:240x y L y z ++=⎧⎨--=⎩与直线20:240y L x z =⎧⎨++=⎩的公垂线方程.解：直线1L 的方向向量()11202,1,2021i j kl ==--，直线2L 的方向向量()20102,0,1102i j kl ==-，则共垂线的方向向量()121,2,2l l l =⨯=--，设公垂线上任意一点为(),,P x y z ，与直线1L 上有点()1,3,10Q --由公垂线与直线1L 相交，即两直线共面得121,,2120122x yz PQ l l ++⎡⎤=-=⎣⎦--， 化简得22140x y z +++=， 同理直线2L 与公垂线相交，得25480x y z +++=，因此，所求公垂线方程为2214025480x y z x y z +++=⎧⎨+++=⎩.8. 求平面2260x y z +-+=和平面4880x y z -+-=的交角的平分面方程.解：设所求平面上任意一点为(),,P x y z ，由已知可得点P 到两平面的距离相等，则有22648839x y z x y z +-+-+-=化简得所求平面方程为714260x y z -+-=或752100x y z +++=.9. 求曲面2229x y z ++=与平面1x z +=的交线在xOy 面上的投影方程.解：()22219x y x z ⎧++-=⎪⎨=⎪⎩化简得2222800x y x z ⎧+--=⎨=⎩.10. 一平面通过点()1,2,3，它在x 轴、y 轴上的截距相等，且该平面在三个坐标轴上的截距均为正数，则截距分别为何值时，它与三个坐标面所围成的空间几何体的体积最小？并求此时的平面方程. 解：设所求平面方程为1x y z a a c ++=，由点()1,2,3在此平面上，得出()333ac a a =>-. 此平面与三个坐标面所围成的空间几何体的体积()()313623a V a a c a a =⋅⋅=>-，计算得()()222923a a V a -'=-，因此932a <<时0V '<，92a >时0V '>，可得出当92a =，9c =时几何体的体积最小，此时平面与三个坐标轴截距分别为99,,922，平面方程为 2290x y z ++-=.。
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第八章 空间解析几何与向量代数§8.1向量及其线性运算 1.填空题（1）点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz 面对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz 面对称的点为（)1,1,1(-）.（2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）.2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角.解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21=M M ，方向余弦为22cos =α，22cos =β，0cos =γ，方向角为4πα=，4πβ=， 2πγ=.3. 在yoz 平面上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ，即⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=-+-+-+=-+222222)3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得⎩⎨⎧==33y z ，则该点为)3,3,0(.4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式.解：所求的向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向. 因为29)4(32||222=-++=a ，所以)432(291k j i e a -+±=.5. 已知点)6,2,1(-B 且向量在x 轴、y 轴和z 轴上的投影分别为1,4,4-，求点A 的坐标.解：设点A 的坐标为),,(z y x ，由题意可知)1,4,4()6,2,1(-=----z y x ，则5,6,5=-==z y x ，即点A 的坐标为)5,6,5(-. §8.2 数量积 向量积 1.若3),(,4||,3||π===Λb a b a ，求b ac 23-=的模.解：b b b a a b a a b a b a c 22233233)23()23(||2⋅+⋅-⋅-⋅=-⋅-=73443cos431239||412||92222=⨯+⨯⨯⨯-⨯=+⋅-=πb b a a所以73||=c .2.已知||||b a b a -=+，证明：0=⋅b a .证明：由||||b a b a -=+，可得22||||b a b a -=+，可知)()()()(b a b a b a b a -⋅-=+⋅+，展开可得b a b a b a b a ⋅-+=⋅++2||||2||||2222，即04=⋅b a ，故0=⋅b a .3.4.已知)4,2,1(=a ，)3,3,3(-=b ，求a 与b 的夹角及a 在b 上的投影. 解：934)3(231=⨯+-⨯+⨯=⋅b a ，7799916419cos =++⋅++=θ，77arccos=θ. 因为a j b b a b Pr ||=⋅，所以3339Pr ==a jb .5..§8.3 曲面及其方程 1.填空题（1）将xOz 坐标面上的抛物线x z 42=绕x 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（x y z 422=+），绕z 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（2224y x z +=）.（2）以点)2,3,2(-为球心，且通过坐标原点的球面方程为（17)2()3()2(222=-+++-z y x ）.（3）将xOy 坐标面的圆422=+y x 绕x 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（4222=++z y x ）.2.求与点)1,2,1(A 与点)2,0,1(B 之比为2:1的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.解：设动点为),,(z y x P ，由于2:1||:||=PB PA ，所以222222)2()0()1()1()2()1(2-+-+-=-+-+-z y x z y x ，解之，可得194166333222=+---++z y x z y x ，即920)32()38()1(222=-+-+-z y x ，所以所求的动点的轨迹为以点)32,38,1(为心，半径为352的球面. 3§8.4 空间曲线及其方程 1. 填空题（1）二元一次方程组⎩⎨⎧-=+=3412x y x y 在平面解析几何中表示的图形是（两相交直线的交点)5,2(）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于z 轴且过点)0,5,2(）.（2）旋转抛物面)20(22≤≤+=z y x z 在xOy 面上的投影为（⎩⎨⎧=+=222z y x z ），在x O z 面上的投影为（22≤≤z x ），在y O z 面上的投影为（22≤≤z y ）.2.求球面4222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程.解：将x z -=1代入4222=++z y x ，得4)1(222=-++x y x ，因此投影方程为⎩⎨⎧=+-=322022y x x z . 4.分别求母线平行于x 轴、y 轴及z 轴且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0242222222z y x z y x 的柱面方程.解：在⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0242222222z y x z y x 中消去x 得4322=-z y ，即为母线平行于x 轴且通过曲线的柱面方程.在⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0242222222z y x z y x 中消去y 得45322=+z x ，即为母线平行于y 轴且通过曲线的柱面方程.在⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0242222222z y x z y x 中消去z 得8522=+y x ，即为母线平行于z 轴且通过曲线的柱面方程.4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：（1）⎩⎨⎧-==++-14)1(222x y z y x .解：将1-=x y 代入4)1(222=++-z y x 得4)1(222=+-z x ，即14)2()1(222=+-z x . 令θcos 21=-x ，θsin 2=z ，所求的参数方程为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=θθθsin 2cos 2cos 21z y x . . §8.5 平面及其方程 1. 填空题（1）一平面过点)4,1,1(-且平行于向量)1,1,2(-=a 和)1,0,1(=b ，平面的点法式方程为（0)4()1(3)1(=+----z y x ）,平面的一般方程为（023=---z y x ）,平面的截距式方程（12232=-+-+zy x ）,平面的一个单位法向量为（)1,3,1(1111-）. （2）设直线L 的方程为⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A ，当（021==D D ）时，直线L 过原点；当（021==A A ）且（01≠D 或02≠D 有一个成立）时，直线L 平行于x 轴但不与x 轴相交；当（2121D D B B =）时，直线L 与y 轴相交；当（02121====D D C C ）时，直线L 与z 轴重合. 2.求过三点)1,1,1(-，)3,1,3(-和)2,1,0(的平面方程. 解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为131313121212111z z y y x x z z y y x x z z y y x x ---------121110131113111-+---+--+-=z y x121422111---+-=z y x =0，即0735=-++z y x . 3.求过点)1,1,1(-且垂直于两平面02=-+z y x 和052=+-z y x 的平面方程.解：该平面的法向量为k j i kj i 37521211--=--，平面的方程为0)1(3)1(7)1(=--+--z y x ，即0537=---z y x .4.分别按下列条件求平面方程：（1）平行于yOz 平面且经过点)2,3,2(--； （2）通过y 轴和点)1,1,2(-；（3）求平行于x 轴，且经过两点)2,1,2(-和)1,0,4(-的平面方程. 解：（1）yOz 平面的法向量是)0,0,1(=n ，可作为所求平面的法向量，因此所求平面的方程为0)2(0)3(0)2(1=+⋅++⋅+-⋅z y x ，即2=x . （2）所求平面的法向量即垂直于y 轴又垂直于向量)1,1,2(-=n ，所以所求平面的法向量为k i kj i2010112+-=-，因此所求平面的方程为0)1(2)1(0)2(1=-⋅++⋅+-⋅-z y x ，即02=-z x .（3）由于所求平面平行于x 轴，故设所求平面方程为0=++D Cz By . 将点)2,1,2(-和)1,0,4(-分别代入0=++D Cz By 得02=+-D C B 及0=+-D C ，解得D C =及D B =. 因此所得方程为0=++D Dz Dy ，即01=++z y .§8.6 空间直线及其方程 1. 填空题 （1）直线421z y x =-=和平面442=+-z z x 的关系是（平面与直线互相垂直）.（2）过点)0,1,1(-且与直线321123-+=-=-z y x 平行的直线的方程是（31121-=+=-zy x ）. （3）直线182511+=--=-z y x 与直线⎩⎨⎧=+=-326z y y x 的夹角为（3π）. 2.化直线⎩⎨⎧=++=+-522z y x z y x 为对称式方程和参数方程.解：直线的方向向量为k j i kj i n n s 3211211121++-=-=⨯=. 取10=x ，代入直线方程可得10=y ，20=z . 所以直线的对称式方程为321121-=-=--z y x . 令t z y x =-=-=--321121，所给直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=tz t y t x 32121.3.求过点)3,0,2(且与直线⎩⎨⎧-=-+=+-1253742z y x z y x 垂直的平面方程.解：直线的方向向量可作为所求平面的法向量，即21n n n ⨯=)11,14,16(253421-=--=kj i . 所求平面的方程为0)3(11)0(14)2(16=-+-+--z y x ，即01111416=+--z y x .4. 确定λ的值，使直线:L ⎩⎨⎧=-+=-+02012z x y x 与平面1:=-+∏z y x λ平行，并求直线L 与平面∏之间的距离.解：直线L 的方向向量n k j i kj i --==2101012，要使直线L 与平面∏平行，只要0=⋅s n （其中=s )1,,1(-λ为平面∏的法向量），即0121=+-λ，解得1=λ. 令10=x ，代入直线L 的方程可得10-=y ，10=z ，直线L 与平面∏之间的距离33)1(11|)1(11111|222=-++-⨯+⨯-⨯=d .第八章 空间解析几何与向量代数综合练习 1.填空题：（1）已知1||=a ，2||=b ，且a 与b 夹角为3πθ=，则=-||b a （3）.（2）若向量)1,2,1(-=a ，=b ),,3(μλ-平行，则=),(μλ（)3,6(-）. （3）已知向量OM 的模为10，且与x 轴的夹角为6π，与y 轴的夹角为3π，与z 轴的夹角为锐角，则OM =（) 0 5, , 3(5）.（4）曲线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos (a 、b 为常数)在xOy 平面上投影曲线是（⎩⎨⎧==+0222z a y x ）.（5）xOy 平面上曲线16422=-y x 绕x 轴旋转一周所得旋转曲面方程是（16)(4222=+-z y x ）. （6）直线pz z n y y m x x 111-=-=-与平面0=+++D Cz By Ax 的夹角θ 的正弦=θsin （222222CB A pn m pC nB mA ++++++）.（7）方程y z x =-22所表示的曲面名称为（双曲抛物面）.（8）与两直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y x 122及112212-=-=+z y x 都平行，且过原点的平面方程是（0=+-z y x ）.（9）已知动点),,(z y x P 到yOz 平面的距离与点P 到点)2,1,1(-的距离相等，则点P 的轨迹方程为（012)2()1(22=++-+-x z y ）.（10）与两平面012=--+z y x 和032=+-+z y x 等距离的平面方程为（012=+-+z y x ）.2. 设k i a -=，k j i b ++=，求向量c ，使得b c a =⨯成立，这样的c有多少个，求其中长度最短的c . 解：设=c ),,(z y x ，则c a⨯k y j x z i y zyk j ++-=-=)(10，则1,1-=+=x z y ，因此这样的c )1,1,(x x --=，有无穷个.由于||c 23)21(2)1(1222++=--++=x x x ，因此，当21-=x 时，即c )21,1,21(--=长度最短.3. 已知点)0,1,1(A 和点)2,1,0(B ，试在x 轴上求一点C ，使得ABC ∆的面积最小.解：设)0,0,(x C ，则)2,0,1(-=，)0,1,1(--=x，k j x i x j iAC AB +-+=---=⨯)1(221101，故A B C∆的面积为1)]1(2[221||2122+-+=⨯=x S ，显然，当1=x 时，ABC ∆的面积最小，为25，所求点为)0,0,1(. 4. 求曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==+-2222242y x z z y x 在各坐标平面上的投影曲线方程.解：在xOy 平面投影为⎩⎨⎧==-04222z y x ；在y O z 平面投影为⎩⎨⎧==-043222x y z ；在zOx 平面投影为⎩⎨⎧==-04322y z x . 5.求原点关于平面:∏0=+++D Cz By Ax 的对称点的坐标.解：过原点作垂直于平面0=+++D Cz By Ax 的直线，该直线的方向向量等于平面∏的法向量),,(C B A ，所求直线的对称式方程为C z B y A x ==，即⎪⎩⎪⎨⎧===Ctz Bt y Atx 为其参数方程. 将此参数方程代入平面∏，有0)(222=+++D t C B A ，解得222C B A Dt ++-=，即直线与平面的交点为),,(222222222C B A CDC B A BD C B A AD ++-++-++-. 设所求的对称点为),,(000z y x ，则222020C B A AD x ++-=+，222020CB A BDy ++-=+，222020C B A CDz ++-=+，即所求的对称点为)2,2,2(222222222CB A CDC B A BD C B A AD ++-++-++-. 6.求直线11111:--==-z y x L 在平面012:=-+-∏z y x 上的投影直线绕x 轴线转一周所成曲面的方程. 解：过L 作垂直于平面∏的平面0∏，所求的直线L 在平面∏上的投影就是平面∏和0∏的交线. 平面0∏的法向量为：k j i kj i n 232111210--=--=，则过点),,(101的平面0∏的方程为：0)1(23)1(=----z y x ，即0123=+--z y x . 所以投影线为⎩⎨⎧=+--=-+-0123012z y x z y x . 将投影线表示为以x 为参数的形式：⎪⎩⎪⎨⎧--==)12(212x z x y ，则绕x 轴的旋转面的方程为2222)]12(21[)2(--+=+xx z y ，即0416*******=+---z y x x .7.求球心在直线11212--==-z y x 上，且过点)1,2,1(-和点)1,2,1(--的球面方程.解：设球心为),,(z y x ，则222222)1()2()1()1()2()1(-++++=++-+-z y x z y x ，即 02=-+z y x .又因为球心在直线上，直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 122，将直线的参数方程代入02=-+z y x ，可得61-=t ，球心坐标为)67,31,611(-，所求球面方程为665)67()31()611(222=-+++-z y x .8.已知两条直线的方程是142211:1--=+=-z y x L ，10122:2z y x L =-=-，求过1L 且平行于2L 的平面方程.解：因为所求平面过1L ，所以点)4,2,1(-在平面上. 由于平面的法向量垂直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为k j i kj i 43212121--=-.因此所求平面的方程为0)4(4)2(3)1(2=--+--z y x ，即08432=+--z y x .9. 在过直线⎩⎨⎧=++=+++0201z y x z y x 的所有平面中，求和原点距离最大的平面.解：设平面束方程为0)2(1=++++++z y x z y x λ，即01)1()1()12(=++++++z y x λλλ，平面与原点的距离为 31)32(61)1()1()12(|10)1(0)1(0)12(|2222++=++++++⨯++⨯++⨯+=λλλλλλλd要使平面与原点的距离最大，只要32-=λ，即该平面方程为03=---z y x .10. 设两个平面的方程为052=---z y x 和062=--+z y x（1）求两个平面的夹角. （2）求两个平面的角平分面方程. （3）求通过两个平面的交线，且和yOz 坐标面垂直的平面方程. 解：（1）两个平面的法向量为)1,1,2(1--=n 和)2,1,1(2-=n ，设两个平面的夹角为θ，则21)2(111)1(2|)2()1(1112|||||||cos 2222222121=-+++-+-⨯-+⨯-⨯=⋅=n n n n θ， 所以3πθ=.（2）因为角平分面上任意一点),,(z y x 到两个平面的距离相等，由点到平面的距离公式，可得222222)2(11|62|)1()1(2|52|-++--+=-+-+---z y x z y x ，即)62(52--+±=---z y x z y x ，所求的角平分面方程为12=+-z y x 或1133=-z x .（3）设通过两个平面的交线的平面方程为)62(52=--++---z y x z y x λ，即0)65)12()1()2(=--+--++λλλλz y x ，由于该平面垂直于yOz 坐标面，所以00)12(0)1(1)2(=⋅+-⋅-+⋅+λλλ，可得2-=λ，因此所求的平面方程为0733=--z y .。