第八章 空间解析几何答案
高等数学(同济第七版)第八章课后答案
A点＇（f. X的I面上 . u J且在 yOzlfli上 .c 点 （:l二r轴上. o 点。1γ轴I:.
面8.求点（ n. b ‘ c ） 呆f- ( I ） 各坐标j(lj; (2）各坐际电，， : ( ] ) 'li t，注IJii点的叫“；仅的
�标．
解 ( I ）点（(1 • /1. c) J::. F xO予！而的对你点为（ti • ＂电－ r) • J::. J' ·＇仇nii的叫你点！斗
函’－ 白／（ Pu(.r.o,Ju,zo）分别fl f千小卡拉1(ij,f11 f千，，斗 f,J；刘IJ (J(J 1fi:r吃 , 'I; /I\ ｛♀币l己的‘｜平�－1,.
R曰： 设 ’，��问11' : 1(! 'I� .f:,1；系电111＇�1自－ ·'.ti,!』川！也必.''11 ,.. 'J.J /.( ,,.. X: i 飞 ＂＝ 1iu 的111.气 ．
了 :-:s
2 古丁了） －：；－：－
丁
E!ll
9 + (J - I) 1 + (z-2) 2 =16 +(y +2) 1 + （二＋ 2) .::
{ 9+(r-1)
2
+(z-2)2=(i-5) 2
8第八章空间解析几何答案
8第八章空间解析几何答案
第八章空间解析几何与向量代数
§8.1向量及其线性运算
1.填空题
（1）点关于面对称的点为（），关于面对称的点为（），关于面对称的点为（）.
（2）点关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于轴对称的点为（），关于坐标原点对称的点为（）.
2. 已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角.
解：因为，故，方向余弦为，，，方向角为，， .
3. 在平面上，求与、、等距离的点.
解：设该点为，则
，即，解得，则该点为.
4. 求平行于向量的单位向量的分解式.
解：所求的向量有两个，一个与同向，一个与反向. 因为，所以.
5. 已知点且向量在x轴、y轴和z轴上的投影分别为，求点的坐标.
解：设点的坐标为，由题意可知，则，即点的坐标为.
§8.2 数量积向量积
1.若，求的模.
解：
所以.
2.已知，证明：.
证明：由，可得，可知，展开可得，即，故.
3. 。。。。
4.已知，，求与的夹角及在上的投影.
解：，
，. 因为，所以.
5..
§8.3 曲面及其方程
1.填空题
（1）将xOz坐标面上的抛物线绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（），绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）.
（2）以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为（）.
（3）将坐标面的圆绕轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）. 2.求与点与点之比为的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.
解：设动点为，由于，所以，解之，可得，即，所以所求的动点的轨迹为以点为心，半径为的球面.
3
§8.4 空间曲线及其方程
1. 填空题
（1）二元一次方程组在平面解析几何中表示的图形是（两相交直线的交点）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于轴且过点）.
空间解析几何及向量代数测试题及答案
军教院第八章空间解析几何测试题
一、填空题（共7题，2分/空，共20分）
___.
1.四点,，，组成的四面体的体积是___1
6
2。已知向量，,,则=__（—2，-1，0）____.
3。点到直线的距离是______________.
4.点到平面的距离是_____________。
5。曲线C：对xoy坐标面的射影柱面是_______,
对yoz坐标面的射影柱面是___________,对xoz坐标面的射影柱面是______________。
6.曲线C：绕轴旋转后产生的曲面方程是_______，曲线C绕轴旋转后产生的曲面方程是__________________。
7。椭球面的体积是_____40π____________。
二、计算题（共4题，第1题10分,第2题15分,第3题20分，第4题10分,共55分）
1. 过点作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程。这里是3个非零实数.
解：设点在平面上的射影点为，在平面上的射影点为,在平面上的射影点为,则,
于是,，所确定的平面方程是
即 .
2。已知空间两条直线,.
(1)证明和是异面直线;(2)求和间的距离;(3)求公垂线方程。
证明：（1) 的标准方程是，经过点，方向向量
的标准方程是，经过点，方向向量，于是
,所以和是异面直线。
（2）由于，
和间的距离
（3)公垂线方程是，即.
3。求曲线绕x轴旋转产生的曲面方面.
解:设是母线上任意一点,则过的纬圆方程是,（1）
又 ,（2)
由（1）（2）消去得到。
4。已知单叶双曲面,为腰椭圆上的点，
（1）求经过点两条直母线方程及其夹角；
空间解析几何习题答案
空间解析几何习题答案
空间解析几何习题答案
在学习数学的过程中，解析几何是一个重要的分支。它通过坐标系和代数方法来研究几何图形的性质和变换。而空间解析几何则是解析几何的一个延伸，它研究的是三维空间中的几何图形。在空间解析几何的学习过程中，我们经常会遇到一些习题，下面我将给出一些空间解析几何习题的解答。
习题一：已知直线L1过点A(1, 2, 3)和点B(4, 5, 6)，直线L2过点C(7, 8, 9)且与直线L1垂直，求直线L2的方程。
解答：首先，我们可以求出直线L1的方向向量。直线L1的方向向量可以通过两点的坐标差来得到，即(4-1, 5-2, 6-3)，即(3, 3, 3)。因为直线L2与直线L1垂直，所以直线L2的方向向量与直线L1的方向向量垂直，即两个向量的点积为0。设直线L2的方向向量为(a, b, c)，则有3a + 3b + 3c = 0。再代入直线L2过点C(7, 8, 9)，得到7a + 8b + 9c = 0。所以直线L2的方程为7x + 8y + 9z = d，其中d为常数。
习题二：已知点A(1, 2, 3)和点B(4, 5, 6)，求直线AB的方程。
解答：直线AB的方向向量可以通过两点的坐标差来得到，即(4-1, 5-2, 6-3)，即(3, 3, 3)。设直线AB的方程为x = 1 + 3t，y = 2 + 3t，z = 3 + 3t，其中t为
参数。
习题三：已知平面P过点A(1, 2, 3)、点B(4, 5, 6)和点C(7, 8, 9)，求平面P的方程。
解答：平面P的法向量可以通过两个方向向量的叉积来得到。设向量AB为(4-1, 5-2, 6-3)，即(3, 3, 3)，向量AC为(7-1, 8-2, 9-3)，即(6, 6, 6)。则平面P的法向
高等数学第八章空间解析几何
确定直线的条件：
当直线 L上一点 M 0 ( x0, y0, z0 )
和 它 的 一 方 向 向 量 (m, n, p)
为已知时，直线L的位置就完全确定了．
z s M0
O
y
x
第五页，共30页。
直线的对称式方程： 设直线L上一点M0(x0 , y0 , x0)和它的一方向向量
s(m, n, p)为已知， 再设点M (x, y, z) 为直线L上的
所给直线的对称式方程为
令
得所给直线的参数方程为
第十二页，共30页。
三、两直线的夹角
两直线的方向向量的夹角( 通常指锐角)叫做两直 线的夹角.
设直线L1和L2的方向向量分别为
s1 (m1, n1, p1), s2 (m2, n2, p2 )
那么L1和L2的夹角j 就是(s1,^s2)和(s1,^s2)p (s1,^s2)两者中 的锐角，因此cos j |cos(s1,^s2)|．
量与平面的法线向量垂直，所以，直线与平面平行或直线在平
面
上
相
当
于
A mB nC p0
第十八页，共30页。
例3 求过点(1，2，4)且与平面2x3yz40
垂直的直线的方程. 解 平面的法线向量（2，3，1）可以作为所求直线
的方向向量．
由此可得所求直线的方程为
第十九页，共30页。
第八章第3节曲面及其方程
36
x a
z c
0
,
y b
x a
z c
0
.
y b
(4) y1 b,
截痕为一对相交于点 (0,b,0) 的直线.
x a
z c
0
,
x a
z c
0
.
y b
y b
（3）用坐标面 yoz ( x 0)， x x1与曲面相截
F x, y2 z2 0.
14
例5.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为
的圆锥面方程.
解:在yoz面上,直线 L的方程为
z y cot
z
L
M (0, y, z)
绕 z 轴旋转时, 圆锥面的方程为
z x2 y 2 cot
y
令a cot ,两边平方 x
同理当 p 0, q 0 时可类似讨论.
30
椭圆抛物面的图形如下：
z
z
o y
x
p 0, q 0
xo
y
p 0, q 0
31
特殊地：当 p q时，方程变为
x2 y2 z ( p 0) 旋转抛物面 2p 2p
空间解析几何与向量代数复习题答案
第八章 空间解析几何与向量代数答案
一、选择题
1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是（A ） A 5 B 3 C 6 D 9
2. 设a =（1,-1,3）, b =（2,-1,2），求c =3a -2b 是（ B ）
A （-1,1,5）.
B （-1,-1,5）.
C （1,-1,5）.
D （-1,-1,6）.
3. 设a =（1,-1,3）, b =（2, 1,-2），求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A ）
A -i -2j +5k
B -i -j +3k
C -i -j +5k
D -2i -j +5k
4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是（ C ） A 2π B 4π C 3
π D π 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是（ C ） A 2π B 4π C 3
π D π 6. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12213+=-=z y x 的距离是：（ A ） A 138 B 118 C 158 D 1
7. 设,23,a i k b i j k =-=++r r r r r r r 求a b ⨯r r 是：（ D ）
A -i -2j +5k
B -i -j +3k
C -i -j +5k
D 3i -3j +3k
8. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ A ）
A 2
B 364
C 3
0808习题课2(空间解析几何部分)
8(p49)
x4 y3 z 求过点 ( 3,1,2)且 通 过 直 线 的平面方程 . 5 2 1
解法（一）
设已知点 M的坐标为 (3,1,2)，且直线 L过点N (4,3,0).
直线的方向向量 s （ 5,2， 1 ） , 平面的法向量 n MN s ,
2
3 2 . 2
2 x 4 y z 0 15 求直 线 在平 面4 x y z 1上的 3 x y 2z 9 0 投影 直线 的方程 .
解.1. 解题思路：利用平面束， 作过已知直线的平面束，在该平面束中找与已 知平面垂直的平面（投影平面），该平面与已 知平面的交线即为所求. 过已知直线的平面束方程为:
取L : (1,2,2) 所求平面,
所求平面为 ( x 1) 8( y 2) 13( z 2) 0,
即 x 8 y 13z 9 0.
五、用对称式方程及参数方程表示直线
x y z 1 0 . 2 x y 3z 4 0
第八章 空间解析几何与向量代数
习 题 课（二）
思考与练习
P51 题21 画出下列各曲面所围图形: (1) 抛物柱面 2 y 2 x , 平面 z 0 及 x y z 1; 4 2 2 ( 2) 抛物柱面 x 2 1 z , 平面 y 0, z 0 及 x y 1;
高等数学(经济类)课后习题及答案第八章空间解析几何答案
习题8-1（A ）
1．求空间两点(1,2,2)A 与(1,0,1)B -之间的距离．
解：3AB ==．
2．写出点()456A -，，的对称点坐标：
（1）分别关于xOy 、yOz 、xOz 平面的对称点坐标；
（2）分别关于x 轴、y 轴、z 轴的对称点坐标；
（3）关于原点的对称点坐标．
答案：（1）(4,5,6)--；(4,5,6)--；(4,5,6)．
（2）(4,5,6)-；(4,5,6)---；(4,5,6)-．
（3）(4,5,6)--．
3．判断由()123A ，，，()315B ，，，()243C ，
，三点构成的三角形的形状．
解：因为3AB ==，
AC ==
BC ==， 进一步，计算可得222AB AC BC +=，
所以ABC ∆为直角三角形．
4．求点(,,)M x y z 到各个坐标轴之间的距离．
答案：M 点到x 轴的距离x d =M 点到y 轴的距离y d =，
M 点到z 轴的距离z d =
5．在x 轴上求一点M ，使它到点()321A -，，和()31
4B ，，的距离相等．
解：由题意设点(,0,0)M x ，且满足MA MB ==，
解得1x =，所以(1,0,0)M ．
6．一动点(,,)M x y z 与定点0000(,,)M x y z 的距离为R (0)R >，求动点(,,)M x y z 所满足的方程．
解：由题意0MM R =R =，
即2222000()()()x x y y z z R -+-+-=． 7． 一动点(,,)M x y z 与两定点(1,2,3)A 与(2,1,4)B -距离相等，求动点(,,)M x y z 所满足的方
空间解析几何(练习题参考答案)
1. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程．
39．02=+-z y
3． 在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离
相等．
7．)5
1,1,57
(．
5．已知：→
→-AB prj D C B A CD
，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （ ）
A ．4
B ．1
C ．
2
1
D ．2 7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（ ）
A ．平行于x 轴
B ．平行于y 轴
C ．平行于z 轴
D ．过z 轴． 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．重合 9．直线
3
7423z
y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内 10．设点)0,1,0(-A 到直线⎩⎨
⎧=-+=+-0
720
1z x y 的距离为（ ）
A ．5
B ．
6
1 C ．
51 D ．8
1 5．D 7．D 8．B 9．A 10．A ．
3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直．
4
．
设
++=2，
22+-=，
243+-=，则
)(b a p r j c += ．
4． 过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 10．曲面方程为：442
高等数学(1)-2习题册8章答案
第八章 空间解析几何与向量代数
第1次课 空间直角坐标系 向量及其线性运算
1．在x 轴上求与点(3,1,7)A -及(7,5,5)B -等距离的点． 解：设所求点为(,0,0)x ，据题意知：
22(3)149(7)2525x x --++=-++
得2x =，于是所求点为(2,0,0)．
2．把ABC ∆的BC 边三等分，设分点依次为12,D D ，再把各分点与点A 连接起来，试以
,AB c BC a −−→
→−−→→==表示向量−→
−−→−A D A D 21,．
解：113D A c a −−→
=-- ，2D A −−→23
c a =-- ．
3．已知两点)1,2,4(1M 和)2,0,3(2M ，计算向量123M M -
的模、方向角．
解：1236M M -= ,2,,343
πππαβγ===．
4．求平行于向量(3,2,1)a →
=-的单位向量．
解：0
(a
a
→=
5．已知||3a →
=，其方向余弦3
1
cos ,32cos ==βα，求向量a →
的坐标表示式．
解：设(,,)x y z a a a a →
=，则2
cos 3x a
a
α==
，1cos 3
y a a β== ，所以2x a =，1y a =. 又222
cos cos cos 1αβγ++=，得24cos 9γ=
，2
cos 3
γ=±． 2
cos 3z a a
γ==± ，所以2z a =±，于是，所求向量a →的坐标表示式为(2,1,2)a →=±．
6．一向量的终点为)7,1,2(-B ,它在x 轴，y 轴和z 轴上的投影依次为4,4-和1，求该向量的起点A 的坐标.
第八章空间解析几何与向量代数知识点题库与答案
第八章：空间解析几何与向量代数
一、重点与难点
1重点
① 向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角； ② 数量积（是个数）、向量积（是个向量）； ③ 几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；
④ 平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程） 的夹角；
⑤ 空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程） 两直线的夹角、直线与平面的夹角；
2、难点
① 向量积（方向）、混合积（计算）；
② 掌握几种常见的旋转曲面、柱面的方程和二次曲面所对应的图形； ③ 空间曲线在坐标面上的投影；
④ 特殊位置的平面方程（过原点、平行于坐标轴、垂直于坐标轴等； ）
⑤ 平面方程的几种表示方式之间的转化； ⑥ 直线方程的几种表示方式之间的转化；
二、基本知识
1、向量和其线性运算
① 向量的基本概念：
向量 既有大小 又有方向的量；
向量表示方法：用一条有方向的线段（称为有向线段）来表示向量有向线段的长度表示向量
的大小 有向线段的方向表示向量的方向 .；
向量的符号 以A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作
表示 也可用上加箭头书写体字母表示
例如a 、r 、v 、F 或a 、r 、v 、F ；
向量的模 向量的大小叫做向量的模 向量a 、a 、AB 的模分别记为|a|、|a|、|AB |
单位向量模等于1的向量叫做单位向量;
向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反
就称这两个向量平行
向量a 与b
平行 记作a // b 零向量认为是与任何向量都平行； 两向量平行又称两向量共
线
第八章答案
第八章 空间解析几何与向量代数
第一节 向量及其线性运算
一、填空题
1.点(1,2,3)-在第Ⅴ卦限，点(2,3,1)--在第Ⅲ卦限．
2.点(,,)x y z 到xoy 面、yoz 面、xoz 面的距离分别为z ，x ，y ；到x 轴、y 轴、
z
.
3.点(,,)a b c 关于yoz 面的对称点是(,,)a b c -；与(,,)a b c -关于xoz 面对称；关于原点的 对称点是(,,)a b c ---．
4.点M 的向径与x 轴成45
角，与y 轴成60
角，长度为6，若在z 轴上的坐标是负值，
则点M
的坐标为3)-．
提示：设(,,)OM x y z =
，cos 6
x x
r α===
，x =1cos 26y y r β===，3y =；
由2
22cos
cos cos 1αβγ++=，有1cos 2
γ=-，3z =-.
5.与向量(16,15,12)a =-
平行，方向相反且长度为75的向量为(48,45,36)--．
6．设()()11112222,,,,,M x y z M x y z ,则12M M
=
7.与向量(6,7,6)a =- 平行的单位向量为67
6,,111111⎛⎫±- ⎪⎝⎭
．
8.向量AB
在x 轴、y 轴、z 轴上的投影依次为44-，，7，它的终点坐标为(2,1,7)B -， 则起点坐标(2,3,0)-．提示：若(,,)A x y z ，则AB
(4,4,7)(2,1,7)x y z =-=----.
9. 若()(),,,,,,x y z x y z a a a a b b b b ==
人教版高中数学必修二《第八章 立体几何初步》课后作业及答案解析
人教版高中数学必修二《第八章立体几何初步》课后作业
《8.1 基本几何图形》课后作业
第1课时棱柱、棱锥、棱台
基础巩固
1．下面的几何体中是棱柱的有( )
A．3个B．4个 C．5个 D．6个
2．下列图形中，是棱台的是( )
3.一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )
A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥D．六棱锥
4．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是( )
A．棱柱的侧棱长都相等
B．四棱锥有五个顶点
C．三棱台的上、下底面是相似三角形
D．有的棱台的侧棱长都相等
5．下列图形中，不能折成三棱柱的是( )
6．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．
7．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________ cm.
8．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：
(1)由6个平行四边形围成的几何体；
(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；
(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．
能力提升
9．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
10．如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm.
11．如图在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：
(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
智慧树知道网课《线性代数与空间解析几何典型题解析》课后章节测试满分答案
第一章测试
1
【单选题】(2分)
排列53124的逆序数是（）。
A.
4
B.
7
C.
5
D.
6
2
【单选题】(2分)
行列式，则（）。
A.
B.
C.
D.
3
【单选题】(2分)
用克莱姆法则解方程组，则其解为（）。
A.
B.
C.
D.
4
【单选题】(2分)
对于阶行列式，则A的全部代数余子式之和等于（）。
A.
1
B.
2
C.
D.
-1
5
【判断题】(2分)
二阶行列式的结果是2项的代数和。（）
A.
对
B.
错
6
【判断题】(2分)
转置之后，行列式多一个负号。（）
A.
对
B.
错
7
【判断题】(2分)
范德蒙行列式是一个表达式。（）
A.
对
B.
错
8
【判断题】(2分)
齐次线性方程组一定有零解，可能没有非零解。（）
A.
对
B.
错
9
【判断题】(2分)
由n个方程构成的n元齐次线性方程组，当其系数行列式等于0时，该齐次线性方程组有非零解。（）
A.
错
B.
对
10
【判断题】(2分)
设D是n阶行列式，则D的第2行元素与第三行元素对应的代数余子式之积的和为0。（）
A.
对
B.
错
第二章测试
1
【单选题】(2分)
向量的单位向量为（）。
A.
B.
C.
D.
2
【单选题】(2分)
若表示与同方向的单位向量,则下列表示向量在上的投影向量的是（）。
A.
B.
C.
D.
3
【单选题】(2分)
过点和点且平行于轴的平面方程为（）。
A.
B.
C.
D.
4
【单选题】(2分)
点到平面的最短距离是（）。
A.
2
B.
1
C.
4
D.
3
5
【判断题】(2分)
曲线绕轴旋转所成的曲面方程为。（）
A.
对
B.
错
6
【判断题】(2分)
方程表示的是一个单叶双曲面。（）
A.
错
B.
对
7
【判断题】(2分)
设向量，，则。（）
A.
错
B.
对
8
【判断题】(2分)
高等数学第八章练习题及答案
第八章 空间解析几何与向量代数自测题
A
一、填空
1. 已知空间三点(1,2,0)A 、(1,3,2)B -、(2,3,1)C ，则cos BAC ∠
=
AB 在AC
上的投影为
；三角形的面积ABC S ∆
=2；同时垂直于向量AB 与AC
的单位向量为1,4,3)±
--. 2. xOy 面上的曲线2y x =绕y 轴旋转一周所得旋转曲面方程为2
2
y x z =+.
3. 在平面解析几何中2
y x =表示抛物线_图形，在空间解析几何中表示_抛物柱面_图形.
4. 球面02422
22=++-++z y x z y x 的球心坐标为(1,2,1)--
.
5. 曲线22291x y z x z ⎧++=⎨+=⎩在xOy 面上的投影为22228
x x y z ⎧-+=⎨=⎩.
6.
曲面z =被曲面2
2
20x y x +-=所截下的部分在xOy 面上的投影为22
20
0x x y z ⎧-+≤⎨=⎩
.
7. 过点A (3,0,1)-且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程为37540x y z -+-=.
8. 点A (3,0,1)-到平面2230x y z -+-=的距离为
23
. 9. 直线531123-=++=-z k y k x 与直线22
531-+=
+=-k z y x 相互垂直，则k =34
. 二、解答题
1. 求过点)2,1,4(1M ，)1,5,3(2--M ，且垂直于07326=++-z y x 的平面. 解：由已知可知，已知平面的法向量为0(6,2,3)n =-，取所求平面的法向量为
1207
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第八章 空间解析几何与向量代数
§8.1向量及其线性运算 1.填空题
（1）点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz 面对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz 面对称的点为（)1,1,1(-）.
（2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）.
2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角.
解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21=
M M ，方向余弦为2
2
cos =
α，22cos =β，0cos =γ，方向角为4πα=，4π
β=， 2
πγ=.
3. 在yoz 平面上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则
222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ，
即⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=-+-+-+=-+2
2222
2)
3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得⎩⎨⎧==33y z ，则该点
为)3,3,0(.
4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式.
解：所求的向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向. 因为
29)4(32||222=-++=a ，所以)432(29
1k j i e a -+±
=.
5. 已知点)6,2,1(-B 且向量在x 轴、y 轴和z 轴上的投影分别为1,4,4-，
求点A 的坐标.
解：设点A 的坐标为),,(z y x ，由题意可知)1,4,4()6,2,1(-=----z y x ，则5,6,5=-==z y x ，即点A 的坐标为)5,6,5(-. §8.2 数量积 向量积 1.若3
),(,4||,3||π
=
==Λ
b a b a ，求b a
c 23-=的模.
解：b b b a a b a a b a b a c 22233233)23()23(||2
⋅+⋅-⋅-⋅=-⋅-=
73443
cos
431239||412||92222=⨯+⨯⨯⨯-⨯=+⋅-=π
b b a a
所以73||=
c .
2.已知||||b a b a -=+，证明：0=⋅b a .
证明：由||||b a b a -=+，可得2
2
|
|||b a b a -=+，可知)
()()()(b a b a b a b a -⋅-=+⋅+，展开
可
得
b a b a b a b a ⋅-+=⋅++2||||2||||2222，即04=⋅b a ，故0=⋅b a .
3.
4.已知)4,2,1(=a ，)3,3,3(-=b ，求a 与b 的夹角及a 在b 上的投影. 解：934)3(231=⨯+-⨯+⨯=⋅b a ，
7
7
9
9916419
cos =
++⋅++=
θ，7
7arccos
=θ. 因为a j b b a b Pr ||=⋅，所以33
39
Pr ==
a j
b .
5..
§8.3 曲面及其方程 1.填空题
（1）将xOz 坐标面上的抛物线x z 42
=绕x 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（x y z 42
2
=+），绕z 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程
为（2224y x z +=）.
（2）以点)2,3,2(-为球心，且通过坐标原点的球面方程为（17)2()3()2(2
2
2
=-+++-z y x ）.
（3）将xOy 坐标面的圆42
2
=+y x 绕x 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（42
2
2
=++z y x ）.
2.求与点)1,2,1(A 与点)2,0,1(B 之比为2:1的动点的轨迹，并注明它是什么
曲面.
解：设动点为),,(z y x P ，由于2:1||:||=PB PA ，所以
222222)2()0()1()1()2()1(2-+-+-=-+-+-z y x z y x ，解
之
，
可
得
194166333222=+---++z y x z y x ，即
920
)32()38()1(222=
-+-+-z y x ，所以所求的动点的轨迹为以点)3
2
,38,1(为心，半径为352的球面. 3
§8.4 空间曲线及其方程 1. 填空题
（1）二元一次方程组⎩⎨
⎧-=+=3
41
2x y x y 在平面解析几何中表示的图形是（两相
交直线的交点)5,2(）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于z 轴且过点)0,5,2(）.
（2）旋转抛物面)20(2
2
≤≤+=z y x z 在xOy 面上的投影为
（⎩⎨⎧=+=2
22z y x z ），在x O z 面上的投影为（22
≤≤z x ），在y O z 面上的投影为（22
≤≤z y ）.
2.求球面42
22=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程.
解：将x z -=1代入42
22=++z y x ，得4)1(2
2
2
=-++x y x ，因此
投影方程为⎩⎨
⎧=+-=3
220
2
2y x x z . 4.分别求母线平行于x 轴、y 轴及z 轴且通过曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0
24
2222222z y x z y x 的
柱面方程.
解：在⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0
2422222
22z y x z y x 中消去x 得432
2=-z y ，即为母线平行于x 轴
且通过曲线的柱面方程.
在⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0
2422
22222z y x z y x 中消去y 得4532
2=+z x ，即为母线平行于y 轴且通过曲线的柱面方程.
在⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++0
242222222z y x z y x 中消去z 得8522=+y x ，即为母线平行于z 轴且
通过曲线的柱面方程.
4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：