由状态空间表达式求传递函数

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状态空间表达式求传递函数

u
u1
∑
y1 u2
1
∑
y2
2
y
显， 1 = u u2 = y1， = y2 然 u ， y
& x1 = A1 x1 + B1u1 = A1 x1 + B1u Σ1 : y1 = C1 x1 + D1u1 = C1 x1 + D1u
& x2 = A2 x2 + B2 y1 = A2 x2 + B2 (C1 x1 + D1u) = B2C1 x1 + A2 x2 + B2 D1u Σ2 : y2 = C2 x2 + D2 y1 = C2 x2 + D2 (C1 x1 + D1u) = D2C1 x1 + C2 x2 + D2 D1u
1 s − λ1
xq
1 s − λ1
xq −1
...
1 s − λ1
x2
x1 1 c1q s − λ1
...
U (s)
c11 c12
c1( q −1)
+ + + Y (s) + + +
Leabharlann Baidu
1 s − λq +1
xq +1
cq +1

状态空间表达式

1 n 1 n
2014-2-16
电信学院苗荣霞
例:
求图示电路的状态方程
R
u
C
uC
L
以u作为系统的控制输入，uC作为系统输出。建立系统的动态方程。
教材P9:系统矩阵A错。
2014-2-16
电信学院苗荣霞
三、一般系统的状态空间表达式
或对线性系统,这组方程可表示为:
如果系统是定常的,则系数矩阵为常数,方程组表示为:
说明：同一系统可用各种不同的变量图表示，可给择优选取提供条件
2014-2-16 电信学院苗荣霞
步骤：１.适当地方画出积分器，数目等于变量个数；２.在积分器输出位置标上相应变量的编号３.根据状态描述方程画加法器和比例器４.按信号传递关系有箭头连接
2014-2-16
电信学院苗荣霞
§2、状态空间表达式的建立
几个典型环节的状态变量图（1）积分环节：
u ( s)
状态变量图
K s K sa
y ( s)
u
K

u1
x
y
（2）一阶惯性环节： u(s) （3）一阶微分惯性环节：
u ( s)
y ( s)
u
K

a
x
y
K (s d ) sa
y ( s)
u1

《现代控制理论》刘豹著(第3版)课后习题答案

《现代控制理论》刘豹著（第3版）课后习题答案

《现代控制理论》刘豹著(第3版)课后习题答案第一章习题答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。

解：系统的模拟结构图如下：

系统的状态方程如下：

令，则所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。以电压为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。

解：由图，令，输出量有电路原理可知：

既得写成矢量矩阵形式为：

1-3 参考例子1-3. 1-4 两输入，，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。

解：系统的状态空间表达式如下所示：

1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。

解：令，则有相应的模拟结构图如下：

1-6 已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现，

并画出相应的模拟结构图解：

1-7 给定下列状态空间表达式‘画出其模拟结构图求系统的传递函数解：

1-8 求下列矩阵的特征矢量解：A的特征方程解之得：

当时，解得：

令得当时，解得：

令得1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型解：A的特征方程当时，解之得令得当时，解之得令得当时，解之得令得约旦标准型1-10 已知两系统的传递函数分别为W1(s)和W2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：串联联结并联联结1-11 已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：

实验一MATLAB系统的传递函数和状态空间表达式的转换word精品

实验一一 MATLAB 系统的传递函数和状态空间表达式的转换

1、学习多变量系统状态空间表达式的建立方法；

2、通过编程、上机调试，掌握多变量系统状态空间表达式与传递函数之间相互转换的方法；

3、掌握相应的MATLAB 函数

设系统的模型如式(1.1 )所示:

其中A 为nXn 维系统矩阵、B 为nXm 维输入矩阵、C 为pXn 维输出矩阵, D 为直接传递函数。系统的传递函数和状态空间表达式之间的关系如式(

1.2)

所示

-1

G(s)=num(s)/den(s)=C (Sl-A) B+D

(1.2)

式(1.2)中，num(s)表示传递函数的分子阵，其维数是 pXm ，den(s)表示传递函数的按s 降幕排列的分母

表示状态空间模型和传递函数的 MATLAB 函数如下：

函数ss ( state space 的首字母)给出了状态空间模型，其一般形式是

sys=ss(A,B,C,D)

函数tf (transfer function 的首字母)给出了传递函数，其一般形式是

G=tf(num ，den)

其中num 表示传递函数中分子多项式的系数向量 (单输入单输出系统)，den

表示传递函数中分母多项式的系数向量。

函数tf2ss 给出了传递函数的一个状态空间实现，其一般形式是

[A,B,C,D]=tf2ss( num,de n)

函数ss2tf 给出了状态空间模型所描述系统的传递函数，其一般形式是

[n um,de n]=ss2tf(A,B,C,D,iu)

实验目的

实验原理

x' = Ax + Bu

x 迂 R''

y = Cx + D

状态空间求传递函数

22
2
11
1
DCx C x D Du
2 11
22
21
状态空间表达式
x 1 x 2
A 1
B 2
C 1
0 A
2
x1 x 2
B 1
BD 21
u
y D C 21
C 2
x1 x 2
D 2
Du 1
传递函数阵
Y (s) Y (s) G (s)Y (s) G (s)G (s)U (s)
2
2
1
2
1.5.5 从状态空间表达式求传递函数
已知系统的状态空间表达式为
x (t) Ax(t) Bu(t) y(t) Cx(t) Du(t)
拉氏变换得
sX (s) X (0) AX (s) BU (s) Y (s) CX (s) DU (s)
零初始条件下， X (s) (sI A)1 BU (s) Y (s) [C(sI A)1 B D]U (s)
对于系统，由于状态变量选择的非唯一性，可以得到不同形式的状态空间表达式，描述同一系统的不同状态变量之间有什么关系？状态空间表达式是否可相互转换？是否可得到系统状态空间表达式的标准型（规范型）？
系统状态的线性变换
对于n阶系统，令 x , x , x ; ~x , ~x ~x 是描
1
2
n

传递函数写状态空间表达式

【导言】

在工程学科领域中，状态空间方法是一种十分重要的工具，在控制系统和信号处理方面得到了广泛应用。在此过程中，传递函数和状态空间表达式便成为了其中不可或缺的两个环节。本文将从传递函数转化为状态空间表达式这一点入手，给读者详细介绍其操作方法和其中的一些要点。

【一、传递函数和状态空间表达式概述】

首先我们需要了解一些基本概念。

传递函数(Transfer Function)指的是在时域和频域之间建立约束关系的函数。它描述了系统输入与输出之间的关系，是刻画线性时不变系统的一种有效方式。

状态空间表达式(State-Space Representation)指的是在某些符号和运算法则下，将一个时不变系统的整个历史过程表示为一个有限元素向量和矩阵的函数。它描述了系统在时域和状态空间中的变化、状态之间的相互关系和控制变量和系统状态之间的关联。

传递函数与状态空间模型是描述线性时不变系统常用的两种方法。传

递函数的优点是简单、直接，能够快速得到系统的频率特性，但是只能表达一阶系统。状态空间模型能够表达高阶、非线性系统，可以更好地反映物理实际。

【二、传递函数转化为状态空间表达式】

将传递函数转化为状态空间表达式，原则上可以采用多种方法，本文将以矩阵分式形式为例进行讲解。

假设系统的传递函数为G(s)，那么我们可以按照以下步骤进行转化：

1、设系统的状态变量为x，输出变量为y，则系统的状态方程可以表示为：

x' = Ax + Bu

y = Cx + Du

其中A、B、C和D是系统的状态矩阵、输入矩阵、输出矩阵和耦合矩阵。

控制理论lesson5§1.3由传递函数求状态空间表达式

• 10、你要做多大的事情，就该承受多大的压力。12/12/
2020 2:15:53 PM14:15:532020/12/12
• 11、自己要先看得起自己，别人才会看得起你。12/12/
谢谢大家 2020 2:15 PM12/12/2020 2:15 PM20.12.1220.12.12
中间变量z及z的各阶导数为一组变量时,得到的
状态方程是能控标准形实现。即式中的A和B阵。显然这是与系统结构相对应的一种规范形实现。
分解式第二部分表示状态变量与输出的关系，输出y等于各状态变量与输入的线性组合，即式中的C和D阵。
若传递函数等效为：
G(s)
b0
b1s n1 b2 s n1 bn1s s n a1s n1 an1s
•
7、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。。20 20年12 月下午 2时15 分20.12. 1214:1 5December 12, 2020
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•
2、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。14:1 5:5314: 15:5314 :1512/ 12/2020 2:15:53 PM

由状态空间表达式求传递函数

5
例8-3-1续 G(s) Y (s) C[sI A]1 B U (s)
s2 2s 3 s 2 1
[3
2 1]
5
s(s 2)
s
5s (3s 5) s2
s3 2s2 3s 5
0 0
1
1
s3
[3 2s
2 2
1] 3s
5
s s
2
s3
3 2s s2 2s2 3s 5
矩阵求逆 A1 adjA 其中：adjA伴随矩阵，| A | 是 A的行列式
| A|
子式 Mij : 从n n矩阵A中去掉第i行，第j列后所得到
的(n-1)(n-1)矩阵的行列式称
矩阵
Ann
的子式
M
。
ij
余因子 Aij (1)i j Mij
A 的伴随矩阵 adjA 是以 A 的余因子
Aij为元素构成的矩阵的转置矩阵
A11 A21
adjA
A12
A22
A1n A2n
An1
An2
Ann
2×2矩阵求逆
余因子
A11 a22
A
a11
a12
a21 a22
A12 a21
A21 a21
A22 a11
adjA
A11 A12
A21 A22

已知传递函数求状态空间表达式

在控制系统理论中，常常需要将已知的传递函数转换为状态空间表达式。这是因为状态空间形式更加直观，便于进行控制器设计和系统分析。

首先，我们需要将传递函数化简为标准形式：

G(s) = frac{b_0 s^n + b_1 s^{n-1} + cdots + b_{n-1} s + b_n}{s^n + a_1 s^{n-1} + cdots + a_{n-1} s + a_n}

其中 $n$ 为传递函数的阶数，$b_i$ 和 $a_i$ 是系数。

接下来，我们可以通过状态空间的基本方程来表示传递函数： $$

begin{aligned}

dot{x} &= Ax + Bu

y &= Cx + Du

end{aligned}

其中，$x$ 是 $n$ 维状态向量，$u$ 是 $m$ 维输入向量，$y$ 是$p$ 维输出向量。$A$、$B$、$C$、$D$ 是系数矩阵，它们的维度分别为 $n times n$、$n times m$、$p times n$ 和 $p times m$。

我们可以通过下列步骤获得$A$、$B$、$C$ 和 $D$：

1. 首先，将传递函数分解为零极点形式：

G(s) =

kfrac{(s-z_1)(s-z_2)cdots(s-z_n)}{(s-p_1)(s-p_2)cdots(s-p_n )}

其中，$k$ 是比例系数，$z_i$ 和 $p_i$ 是零点和极点。

2. 利用零极点分解结果，构造传递函数的控制分式表达式：

G(s) = kfrac{(s-z_1)}{(s-p_1)} cdot frac{(s-z_2)}{(s-p_2)} cdots frac{(s-z_n)}{(s-p_n)}

状态空间表达式及其与传递函数间的关系

0 1u
1 G( s ) LCs2 RCs 1
y 1
0

x1 x2

由同一系统的不同状态空间表
达式导出的传递函数（阵）必
然相同
18
2.6.2 由系统传递函数建立状态空间模型
之前已知：由微分方程转
A,B,C,D
化为状态空间模型
u(t)
y(t)
系统
U(s)
CP sI P 1 AP 1 P 1B D
CP P 1sI AP 1 P 1B D
CsI A 1 B D
G( s )
17
同一系统不同状态空间表达式可以之导出相同的传递函数
例: R-L-C串联网络（输入u，输出y=uc）
前例R-L-C网络的两种状态变量为
i
x

uc

和
x

uc

u c

令
~x

uc u c

则
~x

uc
u c

uc i C

0 1 i 1C0 uc
Px
即同一系统状态空间模型的具体形式不唯一，
前例rlc网络的两种状态变量为即同一系统状态空间模型的具体形式不唯一不同状态变量之间存在线性变换关系14261由状态空间模型转化为传递函数阵262由传递函数转化为状态空间描述应用matlab进行模型之间的相互转化自15ducxbuax空间模型为设线性定常系统的状态siadetsiadet对应的传递函数阵为注意

传递函数转化为状态空间表达式

传递函数（Transfer Function）是一种在频域内描述系统动态特性的方法。它是将输入信号转化为输出信号的数学表达式，其中输入信号为Laplace变换后的输入信号，输出信号为Laplace 变换后的输出信号。

状态空间表达式（State Space Representation）是一种在时间域内描述系统动态特性的方法，通过描述系统状态的变化情况来描述系统的行为。状态空间表达式通常用状态转移方程和观测方程来描述。

传递函数转化为状态空间表达式需要进行频域到时域的转换，可以使用求解阶跃响应的方法，或者使用差分方程的方法来实现。

现代控制理论第一章

以用模拟结构图(下图)表示。下图中T 代表单位延迟器，类似于连续系统中
实现是非唯一的，较简单的实现见下图所示的模拟结构图。图中
已知参数，
为
为待定常数。以每个延迟器的输出作为一个状态变量，可得：
矢量矩阵形式的离散状态空间表达式为：
式中
的求法，类似于1.4节中式(34)求
的计算公式，即：
多变量离散状态空间表达式为：
相应的系统传递函数为
上式的实现，可以有多种结构，常用的简便形式可由相应的模拟结构图(下图)导出。
这种由中间变量到输入端的负反馈，是一种常见的结构形式，也是一种最易求得的结构
形式。
将图中每个积分器的输出取作状态变量，有时称为相变量，它是输出的各阶导数。至于每个积分器的输入，显然就是各状态变量的导数。从图（a），容易列出系统的状态方程：
1.6 从状态空间表达式求传递函数阵
1.6.1 传递函数(阵) 1．单输入一单输出系统已知系统的状态空间表达式：（62）式中，为为维状态矢量；和列阵；c为为输出和输入，它们都是标量；A 行阵；d 为标量，一般为零。方阵; 为
对式(62)进行拉氏变换，并假定初始条件为零，则有：
（63）
的分母，就是系统矩阵A的特征多项式，
的分子是
一个多项式矩阵。
应当指出，同一系统，尽管其状态空间表达式可以作各种非奇异变换而不是唯一的，但它的传递函数阵是不变的c对于已知系统如式(66)，其传递函数阵为式(69)。当做坐标变换，即令时，该系统的状态空间表达式为：

现代控制理论从状态空间表达式求传递函数矩阵

《现代控制理论》MOOC课程

1.4从状态空间表达式求传递函数矩阵

一. 传递函数矩阵的定义

定义：对于多输入－多输出线性定常系统，输入向量为,输出向u =u 1u 2⋯u r T 量为, 且假定初始状态为零。分别表示的拉氏

y =y 1y 2⋯y m T ෝu i s ,ෝy i s u i ,y i ොy 1s =w 11s ොu 1s +w 12s ොu 2s +⋯+w 1r s ොu r s

ොy 2s =w 21s ොu 1s +w 22s ොu 2s +⋯+w 2r s ොu r s

⋮

ොy m s =w m1s ොu 1s +w m2s ොu 2s +⋯+w mr s ොu r s

ෝy (s)=ොy 1(s)⋮ොy m (s)=w 11s

⋯w 1r s

⋮⋯⋮w m1s

⋯w mr s ොu 1(s)

⋮ොu r (s)

=W (s )ෝu (s )写成向量形式：

称为系统的传递函数矩阵。

W (s )变换，

表示第j 个输入端到第i 个输出端的传递函数，系统的输入输出关系可描述为：w ij (s )

x=A x+Bu x0=0

y=C x+Du

结论：对应于状态空间描述

W(s)=C(sI−A)−1B+D 其传递函数矩阵为:

证明：lim

s→∞W s=D

且有：W(s)

并且，当D≠0时，为真有理分式矩阵，当D=0时，为严格真有理分式矩阵，

W s

对状态空间表达式取拉氏变换：s X(s)=AX(s)+BU(s)

Y(s)=CX(s)+DU(s)

由状态方程的拉氏变换表达式可得：X(s)=(sI−A)−1B U(s)

由状态空间表达式求传递函数

[3
2 1]

5
s(s 2)
s

5s (3s 5) s2
s3 2s2 3s 5
0 0
1
1

s3
[3 2 2s2
1] 3s
5
s s2

s3
3 2s s2 2s2 3s
5
例8-3-1续 G(s) Y (s) C[sI A]1 B U (s)

x&2

0
0
1

x2

0
u
x&3 5 3 2 x3 1
x1
y [3
2
1]

x2

x3
解：
s [sI A]1 0
5
1
0
1

s
1

adj[sI A] sI A
矩阵求逆 A1 adjA 其中：adjA伴随矩阵，| A | 是 A的行列式
| A|
子式 Mij : 从n n矩阵A中去掉第i行，第j列后所得到
的(n-1)(n-1)矩阵的行列式称
矩阵
Ann
的子式
M
。
ij
余因子 Aij (1)i j Mij

实验一MATLAB系统的传递函数和状态空间表达式的转换DOC

实验一 MATLAB 系统的传递函数和状态空间表达式的转换
一、实验目的 1、学习多变量系统状态空间表达式的建立方法； 2、通过编程、上机调试，掌握多变量系统状态空间表达式与传递函数之间相互转换的方法； 3、掌握相应的 MATLAB 函数。
二、实验原理设系统的模型如式（ 1.1 ）所示：
x' Ax Bu x R' '
>> step(sysnew)
所以： K=[-1 0] A=[-3 -2;1 0];
B=[1;0]; C=[0 1];
D=0; V=[-3;-3]; sysold=ss(A,B,C,D); p=eig(A) p =-2
-1 Q=obsv(A,C); m=rank(Q); n=length(A); if m==n H=acker(A',C',V')' else disp('系统不是状态完全可观测 ') end H =-2
B=[0;0;1;2]; C=[3 0 1 0]; D=[0]; [z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,1);
Flagz=0; n=length(A); for i=1:n
if real(p(i))>0 Flagz=1; end end >> disp('系统的零极点模型为 ');z,p,k 系统的零极点模型为 z = 1.0000

由状态空间表达式求传递函数

由状态空间表达式求传递函数传递函数可以通过状态空间表达式直接计算得出。

首先，写出状态空间表达式：

$\begin{cases} \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) \\ y(t)= Cx(t) + Du(t) \end{cases}$

其中，

- $A$、$B$、$C$、$D$ 分别为系统的状态、输入、输出矩阵；

- $x(t)$、$u(t)$、$y(t)$ 分别为系统的状态、输入、输出向量。

接着，对状态空间表达式进行变换，得到传递函数的表达式。

令 $X(s)$、$U(s)$、$Y(s)$ 分别为拉普拉斯变换后的状态、输入、输出向量，

则有：

$\begin{aligned} sX(s) &= AX(s) + BU(s) \\ Y(s) &= CX(s) + DU(s) \end{aligned}$ 将 $X(s)$ 化简，得到：

$X(s) = (sI - A)^{-1}BU(s)$

再将 $X(s)$ 代入 $Y(s)$，得到：

$Y(s) = C(sI - A)^{-1}BU(s) + DU(s)$

将 $U(s)$ 提取出来，有：

$\frac{Y(s)}{U(s)}= C(sI - A)^{-1}B + D$

此即为系统的传递函数。

需要注意的是，此传递函数是一个矩阵，通常我们会简化为一个标量传递函数。