由状态空间表达式求传递函数
传递函数、零极点增益与状态空间转换的matlab算法实现
传递函数、零极点增益与状态空间三种模型转换的MATLAB算法实现一、引言微分方程是自控控制系统最原始的数学模型，它反映系统动态运行规律。
时域分析中要用拉普拉斯变换定义传递函数，再做其它转化。
为了方便我们对自动控制理论的理解和学习，本人总结了传递函数、零极点增益与状态空间三种模型转换的MATLAB算法，用处多多。
二、状态空间模型转换为传递函数、零极点增益模型1、MATLAB算法%将状态空间模型x(t)=Ax(t)+Bu(t),y(t)=Cx(t)+Du(t)转化成传递函数G(s)=num(s)/den(s)%或零极点模型G(s)=k(s+z1)(s+z2)...(s+zm)/(s+p1)(s+p2)...(s+pn)的函数ssto2.m%调用格式G=ssto2(key,A,B,C,D),其中输入参数A,B,C,D为状态空间四个矩阵，输出参数当key=1%时为传递函数；当key=2时，为状态空间模型function G=ssto2(key,A,B,C,D)if key==1sys=ss(A,B,C,D);G=tf(sys),elseif key==2sys=ss(A,B,C,D);G=zpk(sys),end2、例题分析【例1】已知一加压液流箱系统，该系统的状态变量是液位h（t）与料浆总压H（t），输入变量是料浆流入量u1（t）与空气流入量u2（t），输出变量就是状态变量H（t）与h（t）本身，系统状态空间模型为H(t)ℎ(t)=−0.39120.01234−0.0220H(t)ℎ(t)+0.033440.012340.0008960u1(t)u2(t) y1(t)y2(t)=11H(t)ℎ(t)+00u1(t)u2(t)求多个输入到输出的传递函数模型与多个输入到输出的零极点增益模型。
>> clear;A=[-0.3912,0.01234;-0.022,0];B=[0.03344,0.01234;0.000896,0];C=[1,1];D=[0,0];key=1;G=ssto2(key,A,B,C,D);key=2;G=ssto2(key,A,B,C,D);G =From input 1 to output:0.03434 s - 0.0003741--------------------------s^2 + 0.3912 s + 0.0002715From input 2 to output:0.01234 s - 0.0002715--------------------------s^2 + 0.3912 s + 0.0002715Continuous-time transfer function.G =From input 1 to output:0.034336 (s-0.0109)------------------------(s+0.3905) (s+0.0006952)From input 2 to output:0.01234 (s-0.022)------------------------(s+0.3905) (s+0.0006952)Continuous-time zero/pole/gain model.三、传递函数模型转换为状态空间、零极点增益模型1、MATLAB算法%将传递函数模型G(s)=num(s)/den(s)转换成零极点模型%G(s)=k(s+z1)(s+z2)...(s+zm)/(s+p1)(s+p2)...(s+pn)%或状态空间模型x(t)=Ax(t)+Bu(t),y(t)=Cx(t)+Du(t)的函数%tfto2.m,函数的调用格式为G=tfto2(key,n,d)%其中输入参数n与d为传递函数分子、分母均按s的降幂排列的两个向量%输出参数key=1时，为零极点模型；key=2时，为状态空间模型%sys = tf(num,den)命令可以建立一个传递函数，其中分子和分母分别为num和den。
现代控制理论从状态空间表达式求传递函数矩阵
《现代控制理论》MOOC课程1.4从状态空间表达式求传递函数矩阵一. 传递函数矩阵的定义定义：对于多输入－多输出线性定常系统，输入向量为,输出向u =u 1u 2⋯u r T 量为, 且假定初始状态为零。
分别表示的拉氏y =y 1y 2⋯y m T ෝu i s ,ෝy i s u i ,y i ොy 1s =w 11s ොu 1s +w 12s ොu 2s +⋯+w 1r s ොu r sොy 2s =w 21s ොu 1s +w 22s ොu 2s +⋯+w 2r s ොu r s⋮ොy m s =w m1s ොu 1s +w m2s ොu 2s +⋯+w mr s ොu r sෝy (s)=ොy 1(s)⋮ොy m (s)=w 11s⋯w 1r s⋮⋯⋮w m1s⋯w mr s ොu 1(s)⋮ොu r (s)=W (s )ෝu (s )写成向量形式：称为系统的传递函数矩阵。
W (s )变换，表示第j 个输入端到第i 个输出端的传递函数，系统的输入输出关系可描述为：w ij (s )x=A x+Bu x0=0y=C x+Du结论：对应于状态空间描述W(s)=C(sI−A)−1B+D 其传递函数矩阵为:证明：lims→∞W s=D且有：W(s)并且，当D≠0时，为真有理分式矩阵，当D=0时，为严格真有理分式矩阵，W s对状态空间表达式取拉氏变换：s X(s)=AX(s)+BU(s)Y(s)=CX(s)+DU(s)由状态方程的拉氏变换表达式可得：X(s)=(sI−A)−1B U(s)Y(s)=(C(sI−A)−1B+D )U(s)代入输出方程的拉氏变换表达式可得：故传递函数矩阵为：W(s)=C(sI−A)−1B+D对于传递函数矩阵：W(s )=C (sI −A )−1B +D 考虑：(sI −A)−1=Τadj(sI −A )det (sI −A )且伴随矩阵每个元素多项式的最高次幂都小于的最高次幂，故adj (sI −A )det (sI −A )lim s→∞W s =D因此有：lim s→∞(sI −A )−1=0当D ＝0时，为严格真有理分式；W s 故当D ≠0时，为真有理分式；W s三. 传递函数矩阵的唯一性证明：一个系统的状态空间表达式是非唯一的，但其传递函数矩阵是唯一的。
实验1--系统的传递函数阵和状态空间表达式的转换
实验1 系统的传递函数阵和状态空间表达式的转换一 实验目的1 学习多变量系统状态空间表达式的建立方法、了解系统状态空间表达式与传递函数相互转换的方法；2 通过编程、上机调试，掌握多变量系统状态空间表达式与传递函数相互转换方法。
二 实验原理（1） 由传递函数建立状态空间 系统的传递函数为()()()11101110n n n n n n n Y s b s b s b s b G s U s s a s a s a ----++++==++++ ()()1212100121210n n n n n n n n n n N s s s s b b s a s a s a s s D s ββββ--------++++=+=++++++ （i ）()()N s D s 只含单实极点时的情况。
设()D s 可分解为： ()()()()12n D s s s s λλλ=---则 ()()()()1n ii iY s N s c U s D s s λ===-∑若令状态变量为 ()1i iX U s s λ=- 其向量-矩阵形式为11122201101n n n x x x x u x x λλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，[]12n n x x y c cc x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（ii ）()()N s D s 含重实极点时的情况。
例如()D s 可分解为 ()()()()314n D s s s s λλλ=---则 ()()()()()()131112324111ni i iY s N s c c c c U s D s s s s s λλλλ===+++----∑ 若令状态变量为 ()1i iX U s s λ=- 111111211213113444101001101n n n x x x x x x u x x x x λλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ []1112134n y c c c c c x =（2） 状态方程转化为传递函数设系统的模型如式(1－1)示。
传递函数写状态空间表达式
传递函数写状态空间表达式【导言】在工程学科领域中，状态空间方法是一种十分重要的工具，在控制系统和信号处理方面得到了广泛应用。
在此过程中，传递函数和状态空间表达式便成为了其中不可或缺的两个环节。
本文将从传递函数转化为状态空间表达式这一点入手，给读者详细介绍其操作方法和其中的一些要点。
【一、传递函数和状态空间表达式概述】首先我们需要了解一些基本概念。
传递函数(Transfer Function)指的是在时域和频域之间建立约束关系的函数。
它描述了系统输入与输出之间的关系，是刻画线性时不变系统的一种有效方式。
状态空间表达式(State-Space Representation)指的是在某些符号和运算法则下，将一个时不变系统的整个历史过程表示为一个有限元素向量和矩阵的函数。
它描述了系统在时域和状态空间中的变化、状态之间的相互关系和控制变量和系统状态之间的关联。
传递函数与状态空间模型是描述线性时不变系统常用的两种方法。
传递函数的优点是简单、直接，能够快速得到系统的频率特性，但是只能表达一阶系统。
状态空间模型能够表达高阶、非线性系统，可以更好地反映物理实际。
【二、传递函数转化为状态空间表达式】将传递函数转化为状态空间表达式，原则上可以采用多种方法，本文将以矩阵分式形式为例进行讲解。
假设系统的传递函数为G(s)，那么我们可以按照以下步骤进行转化：1、设系统的状态变量为x，输出变量为y，则系统的状态方程可以表示为：x' = Ax + Buy = Cx + Du其中A、B、C和D是系统的状态矩阵、输入矩阵、输出矩阵和耦合矩阵。
2、用连分式的形式表示传递函数：G(s) = D + C(sI - A)⁻¹ B3、将上式展开，得到：G(s) = D + CB⁻¹(sI - A)⁻¹ B4、令P(s) = (sI - A)，则：G(s) = D + CB⁻¹P⁻¹(s)B5、对P(s)进行分解：P(s) = (s - λ1)Q1(s) ... (s - λn)Qn(s)其中λ1,λ2,...,λn是P(s)的特征值，Q1(s),Q2(s),...,Qn(s)是与特征值相关的特征向量矩阵。
状态空间求传递函数
22
2
11
1
DCx C x D Du
2 11
22
21
状态空间表达式
x 1 x 2
A 1
B 2
C 1
0 A
2
x1 x 2ຫໍສະໝຸດ B 1BD 21u
y D C 21
C 2
x1 x 2
D 2
Du 1
传递函数阵
Y (s) Y (s) G (s)Y (s) G (s)G (s)U (s)
2
2
1
2
1
G(s) G (s)G (s)
2
1
3）反馈连接（u1=u-y2,u2=y,y=y1,D1=D2=0)
U
X1
U1
1(A1,B1,C1,D1) Y1
Y
Y2
2(A2,B2,C2,D2)
U2
x 1 A1x1 B1u1 A1x1 B1u B1C2x2 x 2 A2x2 B2u2 A2x2 B2C1x1
述系统的两组不同的状态变量，则状态变量之间有
非奇异线性变换，即
x P~x ~x P1x
p11 p12 p1n
P
p21
p22
p2n
pn1
pn2
pnn
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
2.串联（前一系统的输出是后一系统的输入）
u=u1,u2=y1,y=y2
X1
X2
U1
1(A1,B1,C1,D1)
Y1 U2
2(A2,B2,C2,D2)
Y2
x A x B u
1
11
1
x A x B C x B D u
2
状态空间表达式
（28） 状态空间方程实现非唯一，书p28, 图1.16b求得其对应的传递函数为： （29）
为求得 令式（29）与式（26）相等，通过对 多项式系数的比较得： 故得： （30）
也可将式(30)写成式(31)的形式，以便记忆。 （31）
将上图a的每个积分器输出选作状念变最，如图所示，得这种结构下的 状态空间表达式：
解：
→
→
u
y
－
＋
例： 解： 比例积分环节： → → u y ＋
例：
解：
综合惯性环节、积分环节模拟结构图得：
u
y
－
＋
u
y
解：选积分器的输出为状态变量得：
u
y
状态方程：
输出方程：
状态空间表达式
1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式
一般常见的控制系统，按其能量属性，可分为电气、机械、机电、气动 液压、热力等系统。根据其物理规律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守 恒定律等，即可建立系统的状态方程。当指定系统的输出时，很容易写出系 统的输出方程。
同一系统，经非奇异变换后，得：
其特征方程为：
（44）
1.5.2 系统特征值的不变性及系统的不变量
1.系统特征值
式(43)与式(44)形式虽然不同，但实际是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。可以证明如下：
将特征方程写成多项式形式 由于特征 值全由特征多项式的系数 唯一确定，而特征值 经非奇异变换是不变的，那么这些系统 也是不变 的量。所以称特征多项式的系数为系统的不变量。
(3)有共轭复根时，以四阶系统其中有一对共轭复根为例，即 此时
1.6 从状态空间表达式求传递函数阵
1.6.1 传递函数(阵)
实验一MATLAB系统地传递函数和状态空间表达式地转换
实验一 MATLAB 系统的传递函数和状态空间表达式的转换一、实验目的1、学习多变量系统状态空间表达式的建立方法；2、通过编程、上机调试，掌握多变量系统状态空间表达式与传递函数之间相互转换的方法；3、掌握相应的MATLAB 函数。
二、实验原理设系统的模型如式（1.1）所示：⎩⎨⎧+=+=DCx y BuAx x ' x ''R ∈ u ∈R ’’’ y ∈R P (1.1) 其中A 为nXn 维系统矩阵、B 为nXm 维输入矩阵、C 为pXn 维输出矩阵，D 为直接传递函数。
系统的传递函数和状态空间表达式之间的关系如式（1.2）所示G(s)=num(s)/den(s)=C (SI-A)-1 B+D (1.2) 式（1.2）中，num(s)表示传递函数的分子阵，其维数是pXm ，den(s)表示传递函数的按s 降幂排列的分母。
表示状态空间模型和传递函数的MATLAB 函数如下：函数ss （state space 的首字母）给出了状态空间模型，其一般形式是: sys=ss(A,B,C,D)函数tf （transfer function 的首字母）给出了传递函数，其一般形式是: G=tf(num ，den)其中num 表示传递函数中分子多项式的系数向量（单输入单输出系统），den 表示传递函数中分母多项式的系数向量。
函数tf2ss 给出了传递函数的一个状态空间实现，其一般形式是: [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)函数ss2tf 给出了状态空间模型所描述系统的传递函数，其一般形式是: [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu)其中对于多输入系统，必须确定iu 的值。
例如，若系统有三个输入u 1，u 2，u 3，则iu 必须是1、2、或3，其中1表示u 1,2表示u 2，3表示u 3。
该函数的结果是第iu 个输入到所有输出的传递函数。
三.实验步骤及结果1、应用MATLAB 对下列系统编程，求系统的A 、B 、C 、D 阵，然后验证传递函数是相同的。
由状态空间表达式求传递函数
5
例8-3-1续 G(s) Y (s) C[sI A]1 B U (s)
s2 2s 3 s 2 1
[3
2 1]
5
s(s 2)
s
5s (3s 5) s2
s3 2s2 3s 5
0 0
1
1
s3
[3 2s2ຫໍສະໝຸດ 21] 3s 5s s
2
s3
3 2s s2 2s2 3s 5
例8-3-1续
G(s) Y (s) C[sI A]1 B U (s)
s2 2s 3 s 2 1
[3
2 1]
5
s(s 2)
s
5s (3s 5) s2
s3 2s2 3s 5
0 0
1
1
s3
[3 2 2s2
1] 3s
5
s s2
s3
3 2s s2 2s2 3s
A11 A21
adjA
A12
A22
A1n A2n
An1
An2
Ann
2×2矩阵求逆
余因子
A11 a22
A
a11
a12
a21 a22
A12 a21
A21 a21
A22 a11
adjA
A11 A12
A21 A22
a22 a21
a12 a11
有 X (s) [sI A]1 BU (s)
带入（2）式有
Y (s) C[sI A]1 BU (s)
于是得到传递函数 G(s) Y (s) C[sI A]1 B U (s)
一个系统状态变量选取不同，状态空间表达式不同，但求 出的传递函数是相同的。
传递函数、零极点增益与状态空间转换的matlab算法实现
传递函数、零极点增益与状态空间三种模型转换的MATLAB算法实现一、引言微分方程是自控控制系统最原始的数学模型，它反映系统动态运行规律。
时域分析中要用拉普拉斯变换定义传递函数，再做其它转化。
为了方便我们对自动控制理论的理解和学习，本人总结了传递函数、零极点增益与状态空间三种模型转换的MATLAB算法，用处多多。
二、状态空间模型转换为传递函数、零极点增益模型1、MATLAB算法%将状态空间模型x(t)=Ax(t)+Bu(t),y(t)=Cx(t)+Du(t)转化成传递函数G(s)=num(s)/den(s)%或零极点模型G(s)=k(s+z1)(s+z2)...(s+zm)/(s+p1)(s+p2)...(s+pn)的函数ssto2.m%调用格式G=ssto2(key,A,B,C,D),其中输入参数A,B,C,D为状态空间四个矩阵，输出参数当key=1%时为传递函数；当key=2时，为状态空间模型function G=ssto2(key,A,B,C,D)if key==1sys=ss(A,B,C,D);G=tf(sys),elseif key==2sys=ss(A,B,C,D);G=zpk(sys),end2、例题分析【例1】已知一加压液流箱系统，该系统的状态变量是液位h（t）与料浆总压H（t），输入变量是料浆流入量u1（t）与空气流入量u2（t），输出变量就是状态变量H（t）与h（t）本身，系统状态空间模型为H(H)−0.39120.01234H(H)0.033440.01234H1(H)=+ℎ(H)ℎ(H)H2(H)−0.02200.0008960H1(H)H(H)H1(H)=11+00H2(H)ℎ(H)H2(H)求多个输入到输出的传递函数模型与多个输入到输出的零极点增益模型。
>> clear;A=[-0.3912,0.01234;-0.022,0];B=[0.03344,0.01234;0.000896,0];C=[1,1];D=[0,0];key=1;G=ssto2(key,A,B,C,D);key=2;G=ssto2(key,A,B,C,D);G =From input 1 to output:0.03434 s - 0.0003741--------------------------s^2 + 0.3912 s + 0.0002715From input 2 to output:0.01234 s - 0.0002715--------------------------s^2 + 0.3912 s + 0.0002715 Continuous-time transfer function.G =From input 1 to output:0.034336 (s-0.0109)------------------------(s+0.3905) (s+0.0006952)From input 2 to output:0.01234 (s-0.022)------------------------(s+0.3905) (s+0.0006952) Continuous-time zero/pole/gain model.三、传递函数模型转换为状态空间、零极点增益模型1、MATLAB算法%将传递函数模型G(s)=num(s)/den(s)转换成零极点模型%G(s)=k(s+z1)(s+z2)...(s+zm)/(s+p1)(s+p2)...(s+pn)%或状态空间模型x(t)=Ax(t)+Bu(t),y(t)=Cx(t)+Du(t)的函数%tfto2.m,函数的调用格式为G=tfto2(key,n,d)%其中输入参数n与d为传递函数分子、分母均按s的降幂排列的两个向量%输出参数key=1时，为零极点模型；key=2时，为状态空间模型%sys = tf(num,den)命令可以建立一个传递函数，其中分子和分母分别为num和den。
状态空间表达式及其与传递函数间的关系
x Ax Bu y Cx Du
u(t)
y(t)
系统
A : 系统（状态）矩阵 （n n）
B : 控制（输入）矩阵 （n p）
C : 输出矩阵 （q n）
D : 前馈矩阵 （q p）
A、B、C、D 为常数阵 定常系统
A、B、C、D 含时变参数 时变系统
9
x Ax Bu y Cx Du
不同状态变量之间存在线性变换关系
13
2.6 两种模型的相互转化
2.6.1由状态空间模型转化为传递函数（阵） 2.6.2由传递函数转化为状态空间描述 应用MATLAB进行模型之间的相互转化（自
学）
14
2.6.1 由状态空间模型转化为传递函数（阵）
设 线 性 定 常 系 统 的 状 态空 间 模 型 为
0 1u
1 G( s ) LCs2 RCs 1
y 1
0
x1 x2
由同一系统的不同状态空间表
达式导出的传递函数（阵）必
然相同
18
2.6.2 由系统传递函数建立状态空间模型
之前已知：由微分方程转
A,B,C,D
化为状态空间模型
u(t)
y(t)
系统
U(s)
x Ax Bu 注意！ u(t)
G(s)
y(t)
y Cx Du
系统
对其进行拉氏变换 sX(s) x(0 ) AX(s) BU(s) Y(s) CX(s) DU(s)
对应的传递函数（阵）为
令初始条件为零， x( 0 ) 0 得：sX(s) AX(s) BU(s)
x n
xn
第四讲 从状态空间表达式求传递函数阵
s6 s( s 6 ) 11 s 6
1 s 2 s
求得传递函数阵为：
s 2 4 s 29 1 W (s) 3 2 2 s 6 s 11 s 6 4 s 56 s 52 2 3 s 17 s 14 s 3s 4
2
0 1 2
根据矩阵求逆公式：
( sI A )
adj ( sI A ) det( sI A )
求得：
s 0 6 1 s 11 0 1 s 6
1
s 2 6 s 11 1 3 6 2 s 6 s 11 s 6 6s
现代控制理论
Modern Control Theory
河海大学计算机及信息工程学院 江苏常州 213022 倪建军 njjcumt@
第1章 线性系统的状态空间表达式
本章主要内容
1.1
状态变量及状态空间表达式
1.2
1.3
状态变量及状态空间表达式的模拟结构图
状态变量及状态空间表达式的建立（一）
1.4
1.5
状态变量及状态空间表达式的建立（二）
状态矢量的线性变换（自学）
1.6
从状态空间表达式求传递函数阵
输入与输出有相互联系
[例1 ] 求由
0 A 0 6
1 0 11
0 1 1 ，B 2 0 6
0 1 1 ，C 2 2
倪建军njjcumt163com河海大学计算机及信息工程学院江苏常州213022moderncontroltheorymoderncontroltheory本章主要内容本章主要内容1111状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式1212状态变量及状态空间表达式的模拟结构图状态变量及状态空间表达式的模拟结构图1313状态变量及状态空间表达式的建立一状态变量及状态空间表达式的建立一1414状态变量及状态空间表达式的建立二状态变量及状态空间表达式的建立二1515状态矢量的线性变换自学状态矢量的线性变换自学1616从状态空间表达式求传递函数阵从状态空间表达式求传递函数阵输入与输出有相互联系输入与输出有相互联系siadj根据矩阵求逆公式
由状态空间表达式求传递函数
矩阵求逆 A1 adjA 其中：adjA伴随矩阵，| A | 是 A的行列式
| A|
子式 Mij : 从n n矩阵A中去掉第i行，第j列后所得到
的(n-1)(n-1)矩阵的行列式称
矩阵
Ann
的子式
M
。
ij
余因子 Aij (1)i j Mij
A 的伴随矩阵 adjA 是以 A 的余因子
3 s 2
s2 2s 3 s 2 1
s3
1 2s2
3s
5
5 5s
s(s 2)
s
(3s 5) s2
例8-3-1续
G(s) Y (s) C[sI A]1 B U (s)
s2 2s 3 s 2 1
[3
2 1]
5
s(s 2)
s
5s (3s 5) s2
s3 2s2 3s 5
0 0
1
1
s3
[3 2 2s2
1] 3s
5
s s2
s3
3 2s s2 2s2 3s
5
例8-3-1续 G(s) Y (s) C[sI A]1 B U (s)
由状态空间表达式求传递函数
设单输入单输出（SISO)系统 在零初始条件下取拉氏变换
X& AX Bu
sX (s) AX (s) BU (s) (1)
y CX du
一般d 0
Y (s) CX (s)
(2)
由（1）式整理得到 [sI A]X (s) BU (s) 左乘 [sI A]1
状态空间表达式求传递函数
从状态空间表达式求传递函数
1 W ( s) = [Cadj ( sI − A) B + D sI − A ] sI − A
与经典控制理论的传递函数相比较，可得到如下结论
N ( s ) b0 s + b1s + ... + bn−1s + bn W (s) = = n n −1 D( s ) s + a1s + ... + an−1s + an
… + +
∫
xn
cn
λn
λ1 0 0 λ 2 & x= ... ... 0 0 y = [1 1 ...
...பைடு நூலகம்...
0 c1 c 0 x + 2 u ... ... ... 0 λn cn 1] x
c1
∫
x1
λ1
c2
n ci c12 c11 + ... + + +∑ ( s − λ1 ) 2 ( s − λ1 ) i =q +1 ( s − λi )
... & xq −1 = λ1 xq −1 + xq & xq = λ1 xq + u & xq +1 = λq +1 xq +1 + u ... & xn = λn xn + u y = c1q x1 + c1( q −1) x2 + ...c12 xq −1 + c11 xq + ... + cn xn
状态空间求传递函数
x P~ x p11 p P 21 pn1
1 ~ xP x
p12 p1n p22 p2 n pn 2 pnn
例：线性系统的状态空间表达式为
1 0 x x 2 0 3 x 1 1 y 0 0 0
1 4 1
0 x1 0 x 1 3 2 2 x3 0
0 u1 0 u2 1
1.6系统状态空间表达式的标准型（规范型）
对于系统，由于状态变量选择的非唯一性，
可以得到不同形式的状态空间表达式，描述
同一系统的不同状态变量之间有什么关系？
状态空间表达式是否可相互转换？是否可得
到系统状态空间表达式的标准型（规范型）？
系统状态的线性变换 对于n阶系统，令 x1 , x2 , xn ; ~ x1 , ~ x2 ~ xn 是描 述系统的两组不同的状态变量，则状态变量之间有 非奇异线性变换，即
1 1
X ( s ) ( sI A) BU ( s ) 零初始条件下， Y ( s ) [C ( sI A) B D]U ( s ) G (s)U ( s ) G (s) C ( sI A) B D 系统传递函数阵
1
它是m×r维,反映了系统输入和输出之间的传递关系。
x1 0 x 2 1 x3
求系统的传递函数矩阵。
G(s) C sI A B
1
s 1 1 0 0 0 0 1 0 s 4 1 1 s2 s 3 6 s 2 11s 3 -( s 1) 3 2 s 6 s 11s 3
1 2 2 2 2
2
由状态空间表达式求传递函数
由状态空间表达式求传递函数传递函数可以通过状态空间表达式直接计算得出。
首先，写出状态空间表达式：
$\begin{cases} \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) \\ y(t)= Cx(t) + Du(t) \end{cases}$
其中，
- $A$、$B$、$C$、$D$ 分别为系统的状态、输入、输出矩阵；
- $x(t)$、$u(t)$、$y(t)$ 分别为系统的状态、输入、输出向量。
接着，对状态空间表达式进行变换，得到传递函数的表达式。
令 $X(s)$、$U(s)$、$Y(s)$ 分别为拉普拉斯变换后的状态、输入、输出向量，
则有：
$\begin{aligned} sX(s) &= AX(s) + BU(s) \\ Y(s) &= CX(s) + DU(s) \end{aligned}$ 将 $X(s)$ 化简，得到：
$X(s) = (sI - A)^{-1}BU(s)$
再将 $X(s)$ 代入 $Y(s)$，得到：
$Y(s) = C(sI - A)^{-1}BU(s) + DU(s)$
将 $U(s)$ 提取出来，有：
$\frac{Y(s)}{U(s)}= C(sI - A)^{-1}B + D$
此即为系统的传递函数。
需要注意的是，此传递函数是一个矩阵，通常我们会简化为一个标量传递函数。
状态空间表达式求传递函数
2009年 4月20日
bm s m + bm −1s m −1 + ... + b1s + b0 已知系统的传递函数 W ( s ) = n s + an −1 s n −1 + ... + a1s + a0
5.3.3 系统的并联型实现
1）具有互异根时 n cn ci c1 c2 W (s) = + + ... + =∑ ( s − λ1 ) ( s − λ2 ) ( s − λn ) i =1 ( s − λi )
X (s) = ( sI − A) −1 B U (s) Y ( s) U-Y间的传递函数为 W ( s ) = = C ( sI − A) −1 B + D U ( s)
6
当系统是多输入-多输出系统时，传递函数是一个 mXr矩阵函数，其中矩阵中的各元素Wij ( s ) 都是标量 函数，表示第j个输入对第i个输出的传递关系。 系统传函还可以计算为
n
n −1
（1）系统矩阵A的特征多项式等同于传递函数的分 母多项式。 （2）传递函数的极点就是系统矩阵A的特征值 （3）由于状态变量选择的不同，同一系统的状态 空间描述不是唯一的，但是从表征系统状态空间描 述的不同的A,B,C和D变换到表征系统输入输出描述 的传递函数W（s）是唯一的。
6.2 传递函数的不变性 −1 当做坐标变换 z = T x ，则系统的状态表达式为
+
... 0 1 0 λ ... 0 1 2 x + u & x= ... ... ... ... ... 1 0 0 0 λn y = [ c1 c2 ... cn ] x 0
传递函数到状态空间方程
传递函数和状态空间方程引言传递函数和状态空间方程是控制系统工程中常用的数学模型和分析工具。
它们用于描述和分析动态系统的行为和性能，对于控制系统的设计和优化起着关键作用。
传递函数定义在控制系统中，传递函数是一个描述输入和输出之间关系的数学函数。
传递函数通常用G(s)表示，其中s是复数变量，表示系统的复频域特性。
传递函数描述了一个线性、时不变系统对输入信号的响应。
传递函数的一般形式如下：b0*s^n + b1*s^(n-1) + ... + bnG(s) = ---------------------------------------s^m + a1*s^(m-1) + ... + am其中n和m分别是传递函数的分子和分母的最高次幂。
用途传递函数可用于描述系统的频率响应和稳定性特性。
传递函数可以反映系统对不同频率的输入信号的放大或衰减情况，帮助工程师了解系统的动态特性。
传递函数还可以用于控制系统的设计和分析。
通过对传递函数进行数学运算和变换，可以获得系统的稳定性、动态响应以及频域特性等关键性能指标。
工作方式传递函数的输入是一个复数变量s，代表系统的频域特性。
通过将s带入传递函数的表达式中，可以得到系统的输出。
传递函数的输出代表了系统对输入信号的响应。
通过对传递函数表达式进行分析和计算，可以获得系统的稳定性、频率响应和动态响应等关键性能指标。
状态空间方程定义在控制系统中，状态空间方程是一种用状态变量表示系统状态的数学模型。
状态空间方程描述了系统的状态和状态变化随时间的规律。
状态空间方程的一般形式如下：dx/dt = Ax + Buy = Cx + Du其中，x是系统的状态向量，表示系统的状态变量；u是系统的输入向量，表示系统的输入信号；y是系统的输出向量，表示系统的输出信号；A、B、C和D是系统的系数矩阵。
用途状态空间方程可以用于描述和分析系统的动态行为和稳定性特性。
状态空间方程是一种直观、物理意义明确的模型，可以帮助工程师理解系统的内部状态和相互关系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
An1 An 2 Ann
2×2矩阵求逆
a11 a12 A a a 21 22
A12 a21 A21 a21 A22 a11
余因子
A11 a22
A11 adjA A12
A21 a22 a12 A22 a21 a11
子式 M ij : 从n n矩阵A中去掉第i行，第j列后所得到 的(n-1)(n-1)矩阵的行列式称 矩阵 Ann 的子式 M ij。 余因子 Aij (1)i j M ij
A 的伴随矩阵 adjA 是以 A 的余因子 Aij为元素构成的矩阵的转置矩阵
A11 A21 A A 12 22 adjA A1n A2 n
由状态空间表达式求传递函数
设单输入单输出（SISO)系统 在零初始条件下取拉氏变换 X AX Bu sX ( s) AX ( s) BU ( s) (1) Y ( s) CX ( s) (2) y CX du 一般d 0
由（ 1）式整理得到 [sI A] X (s) BU (s)
0 0 1
例8-3-1续
Y (s) G( s) C[ sI A]1 B U (s)
s 2 2s 3 s 2 1 s( s 2) s 5 5s (3s 5) s 2 [3 2 1] 3 2 s 2s 3s 5
1 [3 2 1] 3 2s s 2 3 s 3 2 s 2s 2 3s 5 s 2 s 3s 5 2 s
0 0 1
矩阵求逆 A1
adjA | A|
其中：adjA伴随矩阵， | A | 是 A 的行列式
例8-3-1续
Y (s) G ( s) C[ sI A]1 B U ( s) s 2 2s 3 s 2 1 s ( s 2) s 5 5s (3s 5) s 2 [3 2 1] 3 2 s 2s 3s 5 1 [3 2 1] 3 2s s 2 3 s 3 2 s 2 s 3s 5 2 s 2 s 2 3s 5 s
例8-3-1 x1 0
0 x1 0 x 0 x 0 u 0ห้องสมุดไป่ตู้1 2 2 5 3 2 1 x3 x3 1
1
x1 y [3 2 1] x 2 x3
解：
s 1 0 adj[ sI A] 1 [ sI A] 0 s 1 sI A 5 3 s 2
s 2 2s 3 s 2 1 1 3 5 s ( s 2) s s 2s 2 3s 5 5s (3s 5) s 2
左乘 [sI A]1
有
X (s) [sI A]1 BU (s)
带入（2）式有
于是得到传递函数
Y (s) C[sI A]1 BU (s)
Y ( s) G(s) C[ sI A]1 B U ( s)
一个系统状态变量选取不同，状态空间表达式不同，但求 出的传递函数是相同的。