高中数学竞赛题之平面几何

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高中数学竞赛平面几何基本定理

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篇一：高中数学竞赛平面几何基本定理

平面几何基础知识（基本定理、基本性质）

1．勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边

和另一边在这边上的射影乘积的两倍．(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2．射影定理（欧几里得定理）3．中线定理（巴布斯定理）设△ABC的边BC的中点为P，则有AB

中线长：ma?

?AC

?2(AP

?BP

)；

?2c2

．

?AD

4．垂线定理：AB?CD?AC

高线长：ha?

?BC

?BD

．

p(p?a)(p?b)(p?c)?

bca

sinA?csinB?bsinC．

5．角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．

如△ABC中，AD平分∠BAC，则

2b?c?

BDDC

ABAC

；（外角平分线定理）．

角平分线长：ta?6．正弦定理：7．余弦定理：c

bcp(p?a)?

csinC

2bcb?c

cos

（其中p为周长一半）．

asinA

bsinB

（其中R为三角形外接圆半径）．?2R，

?a?b

?2abcosC．

sin?BAD

sin?DAC

8．张角定理：sin

?BACAD

．

9．斯特瓦尔特(Stewart)定理：设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有AB2·DC+AC2·BD－AD2·BC＝

BC·DC·BD．

10．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）11．弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．

高中奥林匹克竞赛数学平面几何100题——珍藏版

高中奥林匹克竞赛数学平面几何100题—

—珍藏版

高中数学联赛的几何题目有100道，难度较高。这些题目涉及到各种不同的几何概念和定理，需要考生具备扎实的数学基础和丰富的解题经验。

在这些题目中，有许多需要考生进行证明，需要考生熟练掌握各种证明方法和技巧。同时，还有一些需要考生进行画图，需要考生具备良好的几何直观和手绘能力。

这些几何题目的难度不仅仅在于其题目本身，还在于考试的时间限制。考生需要在有限的时间内解决尽可能多的问题，因此需要考生具备快速解题的能力和良好的时间管理能力。

为了更好地应对这些几何题目，考生需要在平时的研究中注重基础知识的掌握和解题技巧的训练。同时，还需要多做一些类似的练题目，以提高自己的解题水平和应对能力。

总之，高中数学联赛的几何题目难度较高，需要考生具备扎实的数学基础、丰富的解题经验、良好的几何直观和手绘能力、快速解题的能力和良好的时间管理能力。考生需要在平时的研究中注重基础知识的掌握和解题技巧的训练，并多做类似的练题目，以提高自己的解题水平和应对能力。

1.研究证明角平分

在这一部分中，我们将研究如何证明一个角被平分。这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用角平分线的定义、角度相等、相似三角形等。

2.研究证明四点共圆

在这一部分中，我们将研究如何证明四个点共圆。这个问题也是几何学中的基础问题之一。我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用圆的定义、圆心角、垂直等。

3.研究证明角的倍数关系

在这一部分中，我们将研究如何证明角的倍数关系。这是一个非常重要的几何问题，因为它在许多几何证明中都有应用。我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用角度相等、相似三角形等。

历届全国高中数学联赛中的平面几何题

1994—2009年全国联赛中的平面几何题

1.如图,设的外接圆的半径为,内心为,,,的外角平分线交圆于.ABC ∆O R I °=∠60B C A ∠<∠A ∠O E 证明:(1)(2)(1994年)

;AE IO =.)31(2R IC IA OI R +<++<

2.如图,菱形的内切圆与各边分别相切于在与上分别作圆的切线交ABCD O ,,,,H G F E ⌒EF ⌒

GH O AB 于,交于,交于,交于.证明:.(1995年)

M BC N CD P DA Q NP MQ //

3.如图示,圆与圆和的三边所在的直线都相切,为切点,直线和相交于1O 2O ABC ∆H G F E ,,,EG FH P 点.证明:.(1996年)

BC PA ⊥

4.如图,已知两个半径不相等圆与圆相交于两点,且圆,圆分别与圆内切于两点.1O 2O N M ,1O 2O O T S ,求证:三点共线.(1997年)

T N S MN OM ,,⇔⊥

5.如图,分别为的外心和内心,是边上的高,在线段上.求证:的外接圆半I O ,ABC ∆AD BC I OD ABC ∆径等于边上的旁切圆半径.注:的边上的旁切圆是与边的延长线以及边都相切BC ABC ∆BC AC AB ,BC 的圆.(1998年)

6.如图,在凸四边形中,平分,是线段上的一点.,.ABCD AC BAD ∠E CD F AC BE =∩G BC DF =∩求证:.(1999年)

GAC EAC ∠=∠C

7.如图,锐角的边上有两点,满足,作(是ABC ∆BC F E ,CAF BAE ∠=∠AC FN AB FM ⊥⊥,N M ,垂足),延长交的外接圆于点.证明:四边形的面积与的面积相等.(2000年)

高中奥林匹克竞赛数学平面几何100题——珍藏版

高中数学联赛难度几何题100道

第一题：学习证明角平分 (4)

第二题：学习证明四点共圆 (5)

第三题：学习证明角的倍数关系 (6)

第四题：证明线与圆相切 (7)

第五题：证明垂直 (8)

第六题：证明线段相等 (9)

第七题：证明线段为比例中项 (10)

第八题：证明垂直 (11)

第九题：证明线段相等 (12)

第十题：证明角平分 (13)

第十一题：证明垂直 (14)

第十二题：证明线段相等 (15)

第十三题：证明角相等 (16)

第十四题：证明中点 (17)

第十五题：证明线段的二次等式 (18)

第十六题：证明角平分 (19)

第十七题：证明中点 (20)

第十八题：证明角相等 (21)

第十九题：证明中点 (22)

第二十题：证明线段相等 (23)

第二十一题：证明垂直 (24)

第二十二题：证明角相等 (25)

第二十三题：证明四点共圆 (26)

第二十四题：证明两圆相切 (27)

第二十五题：证明线段相等 (28)

第二十六题：证明四条线段相等 (29)

第二十七题：证明线段比例等式 (30)

第二十八题：证明角的倍数关系 (31)

第二十九题：证明三线共点 (32)

第三十题：证明平行 (33)

第三十一题：证明线段相等 (34)

第三十二题：证明四点共圆 (35)

第三十三题：证明三角形相似 (36)

第三十四题：证明角相等 (37)

第三十五题：证明内心 (38)

第三十六题：证明角平分 (39)

第三十七题：证明垂直 (40)

第三十八题：证明面积等式 (41)

第三十九题：证明角平分 (42)

第四十题：证明角相等 (43)

第四十二题：证明中点 (45)

全国高中数学联赛二试平面几何赛题精选

历年全国高中数学联赛二试几何题汇总

1 （类似九点圆）如图，在锐角∆ABC 中，AB<AC ，AD 是边BC 上的高，P 是线段AD 内一点。过P 作PE ⊥AC ，垂足为E ，作PF ⊥AB ，垂足为F 。1O 、2O 分别是∆BDF 、∆CDE 的外心。求证：1O 、2O 、E 、F 四点共圆的充要条件为P 是∆ABC 的垂心。

证明：连BP 、CP 、1O 2O 、E 2O 、EF 、F 1O 。

因为PD ⊥BC ，PF ⊥AB ，则B 、D 、P 、F 四点共圆，且BP 为该圆的直径。又因为1O 是∆BDF 的外心，故1O 在BP 上且是BP 的中点。

同理可证，C 、D 、P 、E 四点共圆，且2O 是CP 的中点。于是，1O 2O 平行于BC ，则∠P 2O 1O =∠PCB 。

因为AF*AB = AP*AD = AE*AC ，所以B 、C 、E 、F 四点共圆。充分性：

设P 是∆ABC 的垂心，由于PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，所以，B 、1O 、P 、E 四点共线，C 、2O 、P 、F 四点共线，∠F 2O 1O =∠FCB =∠FEB = ∠FE 1O ，故1O 、2O 、E 、F 四点共圆必要性：

设1O 、2O 、E 、F 四点共圆，则∠1O 2O E + ∠EF 1O = π

注意到∠P 2O 1O =∠PCB=∠ACB - ∠ACP ，又因为2O 是直角∆CEP 的斜边中点，也就是

∆CEP 的外心，所以∠P 2O E=2∠ACP 。

1O 2

【高中数学竞赛专题大全】竞赛专题9平面几何(50题竞赛真题强化训练)原卷版

【高中数学竞赛专题大全】

竞赛专题9 平面几何

（50题竞赛真题强化训练）

一、填空题

1．（2018·天津·高三竞赛）凸六边形ABCDEF 的6条边长相等，内角A 、B 、C 分别为134°、106°、134°.则内角E 是___________（用度数作答）.

2．（2020·江苏·高三竞赛）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =与圆C ：()()2227365x y -+-=交于A ，B ，则OA OB ⋅=__________．

3．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，ABC ∠所对的旁切圆与边AC 相切于点D ，ACB ∠所对的旁切圆与边AB 相切于点E ．若||1,||2AB AC ==，则ADE 面积的最大值为_______．

4．（2021·浙江·高三竞赛）在ABC 中，AB AC BC >>，在M ，N 为AB 上两点，且AN AC =，BM BC =，点P 为ABC 的内心.若75MPN ∠=°，则ACB =∠______. 5．（2021·全国·高三竞赛）设三个不同的正整数a b c 、、成等差数列，且以555a b c 、、为三边长可以构成一个三角形，则a 的最小可能值为________.

6．（2019·贵州·高三竞赛）如图，在△ABC 中，AB =30，AC =20，S △ABC =210，D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，△BAC 的平分线分别与DE 、BC 交于点F 、G ，则四边形BGFD 的面积为________.

7．（2018·山东·高三竞赛）若直线65280x y --=交椭圆22

全国高中数学联赛--平面几何赛题精选2

赛题精选(二) 曾建国2009.4.21

1. 已知：锐角△ABC的费马点为F。

求证：△ABF, △BCF, △CAF的欧拉交于一点.

2. 已知锐角△ABC, 其内切圆与边AB, AC分别切于点D, E. X, Y分别是∠ACB, ∠ABC的平分线与DE的

交点, Z是边BC的中点.

求证:当且仅当∠A=600时, △XYZ是等边三角

3. 已知:CC1是锐角△ABC的一条高线,K是CC1上的一点(不在垂心上).

证明:点C1到AC,BC,BK,AK的垂足在同一圆上.

4. 在等腰△ABC中,AB=AC,D是边AC的中点, E是点D在边BC上的投影, F是DE的中点.

证明:BF⊥AE的充要条件是△ABC是正△

5. 已知AA1、BB1、CC1是锐角△ABC的三条高.求证:C1在AC、BC、BB1、AA1的射影共线.

6. 已知凸四边形ABCD中,DC=a, BC=b, ∠DAB=900,∠DCB=ф, AB=AD.求对角线AC的长.

求证：△ABF, △BCF, △CAF

2. 已知锐角△ABC, 其内切圆与边AB, AC

交点, Z是边BC的中点.

求证:当且仅当∠A=600时, △XYZ

3. 已知:CC1是锐角△ABC的一条高线,K是CC1上的一点(不在垂心上).

证明:点C1到AC,BC,BK,AK的垂足在同一圆上.

4. 在等腰△ABC中,AB=AC,D是边AC的中点, E是点D在边BC上的投影, F是DE的中点.

证明:BF⊥AE的充要条件是△ABC是正△

E C

5. 已知AA1、BB1、CC1是锐角△ABC的三条高. 求证:C1在AC、BC、BB1、AA1的射影共线.

高中奥林匹克竞赛数学平面几何100题——珍藏版

高中数学联赛难度几何题100道

第一题：学习证明角平分 (4)

第二题：学习证明四点共圆 (5)

第三题：学习证明角的倍数关系 (6)

第四题：证明线与圆相切 (7)

第五题：证明垂直 (8)

第六题：证明线段相等 (9)

第七题：证明线段为比例中项 (10)

第八题：证明垂直 (11)

第九题：证明线段相等 (12)

第十题：证明角平分 (13)

第十一题：证明垂直 (14)

第十二题：证明线段相等 (15)

第十三题：证明角相等 (16)

第十四题：证明中点 (17)

第十五题：证明线段的二次等式 (18)

第十六题：证明角平分 (19)

第十七题：证明中点 (20)

第十八题：证明角相等 (21)

第十九题：证明中点 (22)

第二十题：证明线段相等 (23)

第二十一题：证明垂直 (24)

第二十二题：证明角相等 (25)

第二十三题：证明四点共圆 (26)

第二十四题：证明两圆相切 (27)

第二十五题：证明线段相等 (28)

第二十六题：证明四条线段相等 (29)

第二十七题：证明线段比例等式 (30)

第二十八题：证明角的倍数关系 (31)

第二十九题：证明三线共点 (32)

第三十题：证明平行 (33)

第三十一题：证明线段相等 (34)

第三十二题：证明四点共圆 (35)

第三十三题：证明三角形相似 (36)

第三十四题：证明角相等 (37)

第三十五题：证明内心 (38)

第三十六题：证明角平分 (39)

第三十七题：证明垂直 (40)

第三十八题：证明面积等式 (41)

第三十九题：证明角平分 (42)

第四十题：证明角相等 (43)

第四十二题：证明中点 (45)

高中数学竞赛平面几何基础——梅涅劳斯和赛瓦定理练习题(原卷版)

梅涅劳斯定理和赛瓦定理

梅涅劳斯定理：(此定理常用于证明三点共线的问题)

若直线l 不经过ABC ∆的顶点，并且与ABC ∆的三边,,BC CA AB 或它们的延长线分别交于,,P Q R ，则1BP CQ AR

PC QA RB

⋅⋅=

作平行线：作CM //PQ ,则

,BP BR CQ RM PC RM QA AR ==,

1BP CQ AR BR RM AR

PC QA RB RM AR RB

⋅⋅=⋅⋅= 面积法：,,,BPQ ARQ AQB PCQ

ARP PCQ BRP BRQ BPQ APQ S S S S S BP AR CQ PC S RB S S S QA S =====得证

梅涅劳斯定理逆定理：

P Q R ABC BC CA AB BP 1P Q R PC CQ AR

QA RB ∆⋅⋅=设、、分别是的三边、、上或它们的延长线上的三点，

，若，则、、三点共线；

塞瓦定理

=⋅⋅∆RB

QA CQ PC BP CR BQ AP AB CA BC ABC R Q P 的充要条件是边上的点，则、、的分别是、、设M Q

BCM ACM

ABP BMP ABM ACP CMP ACM ABM BCM AP BQ CR M S S S S S BP CQ AR PC S S S QA S RB S BP CQ AR PC QA RB

∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆=====⋅⋅证：先证必要性：设、、相交于点，则：

同理：以上三式相乘，得：＝

1：如图四边形ABCD 的内切圆分别切AB ,BC ,CD ,DA 于点E ,F ,G ,H ,求证：HG ,AC ,EF 交于一点.

高中数学竞赛几何专题练习题

高中数学竞赛——平面几何

典型例题

1. 如图，1O ⊙，

与2O ⊙相交于点C ，D ，过点D 的一条直线分别与1O ⊙，2O ⊙相交于点A ，B ，点P 在1O ⊙的弧AD ︵

上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在2O ⊙的弧BD ︵

上，

QD 与线段BC 的延长线交于点N ．O 是ABC △的外心，且MN OD ⊥，

求证：P ，Q ，M ，N 四点共圆．

2. 设O 是ABC △内一点，点O 关于A ∠，B ∠，C ∠的内平分角线的对称点分别为A '，B '，C '．证明：AA '，BB '，CC '相交于一点．

3.如图，在ABC △中，90BAC ∠=︒，点E 在ABC △的外接圆Γ的弧BC （不含点A ）内，AE EC >．

连接EC 并延长至点F ，使得EAC CAF ∠=∠，连接BF 交圆Γ于点D ，连接ED ，记DEF △的外心为O ．求证：A C O ，，三点共

线．

B A

4.如图，已知等圆1O 与圆2O 交于A ，B ，O 为AB 中点，过O 引圆1O 的弦CD 交圆2O 于P ，过O 引圆2O 的弦EF 交圆1O 于Q ．求证：AB ，CQ ，EP 三线交于一点．

5.四边形ABCD 内接于圆，BCD △，ACD △，ABD △，ABC △的内心依次记为,,,A B C D I I I I ．

试证：A B C D I I I I 是圆内接四边形．

I D

I C

I B

I A

6. 已知ABC △的重心为G ，证明,,AG BG CG 分别关于,,A B C ∠∠∠的角平分线对称的三条直线交于一点P ．

高中数学竞赛——平面几何

中学数学竞赛——平面几何

(叶中豪)

学问要点

几何变换及相像理论

位似及其应用

复数与几何

（1）复数的意义及运算

（2）复数与复平面上的点一一对应（3）复数与向量（4）定比分点

（5）重心和加权重心，三角形的特别点（6）面积

（7） 90°旋转与正方形（8）相像与复数乘法的几何说明（9）三次单位根与正三角形

例题和习题

1．（Sylvester ）已知P 是△ABC 所在平面上任一点。求证：3PA PB PC PG ++=，其中G 是△

ABC 的重心。

2．（Lami 定理）已知P 是△ABC 所在平面上任一点，P 点对于△ABC 的重心坐标为123::μμμ。

求证：1230PA PB PC μμμ++=。

3．（Gergonne ）(1)四边形的两组对边中点连线及两条对角的中点连线共点；（2）六边形相间的两

组中点所构成的三角形的重心重合。 4．（von Aubel ）以随意四边形的各边向形外作正方形，则相对两正方形的中心连线相互垂直。 5．以△ABC 的AB 、AC 两边为直角边，向两侧作等腰直角三角形ABD 和ACE ，使∠ABD ＝∠

ACE ＝90°。求证线段DE 的中点的位置与顶点A 的位置无关。 6．已知△ABC ，在给定线段MN 的同侧作三个彼此相像的三角形，使得 △A ′

MN ∽△NB ′M ∽△MN C ′∽△ABC 。求证：△A ′B ′C ′∽△ABC 。 7．（1）如图，在已知△ABC 的四周作三个相像三角形：△DBC ∽△ECA ∽△FAB 。求证：AFDE

高中数学奥林匹克竞赛(平面几何)

高中数学奥林匹克竞赛

——平面几何讲义（三角形全等和相似）

∆外接圆在顶点B、C处的切线相交于点D，例3.(2019年泛非数学奥林匹克（PAMO）)设ABC

∆的外接圆与AC、AB分别再次交于点E、F，点O为ABC

∆的外心。

BCD

AO⊥.

证明：EF

例5.（2019年全俄数学奥林匹克竞赛）在ABC ∆的AB 、AC 边上分别取点D 、E ，使得CE BC DB ==,线段BE 和CD 交于点P 。

证明：BDP ∆和CEP ∆的外接圆交于ABC ∆的内心。

高中数学竞赛——平面几何基础知识(基本定理、基本性质)

平面几何基础知识（基本定理、基本性质）

1．勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．

2．射影定理（欧几里得定理）

3．中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+；中线长：2

22222a c b m a −+=． 4．垂线定理：2222BD BC AD AC

CD AB −=−⇔⊥．高线长：C b B c A a bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===

−−−=． 5．角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．

如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AC

AB DC BD =；（外角平分线定理）．角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=−+=

（其中p 为周长一半）． 6．正弦定理：R C

c B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7．余弦定理：C ab b a c cos 2222−+=．

8．张角定理：AB

DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ．

9．斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．

高中数学测试题平面几何

高中数学测试题-平面几何

一、简答题

1. 什么是平面几何？

平面几何是研究平面上点、线、面以及它们之间关系的一门数学分支。它研究的对象是运动、旋转、相交、相切等在平面上发生的各种几何现象。

2. 平行线的定义是什么？如何判断两条直线是否平行？

平行线的定义是两条不重合且不相交的线在平面上的延长方向永不相交。要判断两条直线是否平行，可以借助以下几种方法：- 若两条直线的斜率相等且不相交，则它们平行。

- 若两线之间的对应角或同位角相等，则它们平行。

- 若两条直线被一条平行于它们的第三直线所切割，对应的内角或外角相等，则它们平行。

3. 什么是垂直线？如何判断两条直线是否垂直？

垂直线是指两条直线相交时，彼此之间的夹角为90度。要判断两条直线是否垂直，可以采用以下方法之一：

- 若两直线的斜率之乘积为-1，则它们垂直。

- 若两直线之间的对应角或同位角之和为90度，则它们垂直。

二、计算题

1. 已知直角三角形的两条直角边分别为3cm和4cm，求斜边的长度。

解：根据勾股定理，斜边的长度为√(3^2 + 4^2) = 5cm。

2. 已知△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 6cm，BC = 8cm，求∠BAC

的度数。

解：由三角形内角和定理可知，∠BAC = 180° - 90° - ∠CAB = 180°- 90° - arctan(6/8) ≈ 33.69°。

3. 已知直线l1的斜率为2，过直线上一点A(-3, 4)，求直线l1的方程。

解：直线l1的方程可以表示为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。由已知斜率k=2，过点A(-3, 4)，代入得4 = 2(-3) + b，解方程可得直线

历年全国高中数学联赛《平面几何》专题真题汇编

1、如图，在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ，满足∠BAE =∠CAF ，作FM ⊥AB ，FN ⊥AC （M 、N 是垂足），延长AE 交三角形ABC 的外接圆于D ．证明：四边形AMDN 与三角形ABC 的面积相等．

2、如图：⊿ABC 中，O 为外心，三条高AD 、BE 、CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N 。求证：（1）OB ⊥DF ，OC ⊥DE ；（2）OH ⊥MN 。

【解析】证明：(1)∵A 、C 、D 、F 四点共圆 ∴∠BDF ＝∠BAC

又∠OBC ＝21

(180°－∠BOC )＝90°－∠BAC

∴OB ⊥DF ． (2)∵CF ⊥MA

∴MC 2－MH 2＝AC 2－AH 2 ① ∵BE ⊥NA

∴NB 2－NH 2＝AB 2－AH 2 ② ∵DA ⊥BC

∴BD 2－CD 2＝BA 2－AC 2 ③ ∵OB ⊥DF

∴BN 2－BD 2＝ON 2－OD 2 ④ ∵OC ⊥DE

∴CM 2－CD 2＝OM 2－OD 2 ⑤ ①－②＋③＋④－⑤，得

NH 2－MH 2＝ON 2－OM 2 MO 2－MH 2＝NO 2－NH 2 ∴OH ⊥MN

∵1-=DF OB k k ∴OB ⊥DF 同理可证OC ⊥DE ．在直线BE 的方程

)

(b x a c

y -=

中令x ＝0得H (0，a bc -)

∴

ac ab bc a c b a bc a a bc k OH

++=

+=32222

直线DF 的方程为