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求数列通项公式的十种方法(例题+详解)

求数列通项公式的十种方法

一.公式法例1已知数列｛勺｝满足d”|=2勺+3x2", q=2,求数列｛勺｝的通项公式。扌，故数列｛影｝是以沪知为首项，以扌为

公差的等差数列，由等差数列的通项公式，

畤“+心)|,

3 1 所以数列｛©｝的通项公式为a n =(-n —)2\

2 2

评注：本题解题的关键是把递推关系式。心=2©+3><2”转化为增一牛=3,说明数列 2 2 2 ｛*｝是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出*=1+5—1)_,进而求出数列 2 2 2

｛q r ｝的通项公式。

例2.若S”和7；分别表示数列｛©｝和0｝的前"项和，对任意正整数

a n =-2(n + l), T n -3S n =4n.求数列｛

b K ｝的通项公式；

解：•/ a fj = -2(n + I)

/. “] = -4 cl = -2 = 一昇一 3n

.・.坊=3»+4"=-3舁2_5加 2 分当 ”=1 时,7j 訥=—3—5=—8 当 n>2^\,b f J =T f J —7^2—1 =-6/2—2 ........... . ^=—6/2—2. 4 分

练习：1.已知正项数列｛an ｝,其前n 项和Sn 满足10Sn=an 2+5a n +6且a 】,a3,a 】5成等比数列，求数列｛%｝的通项％. 解：T 105>訂+5/+6,

① ・：108产日「+5/+6,解之得创=2或力产3,

又 10$-产②-：+5②T +6(〃$2),②

由①—②得 10a = (a^—a…-i 2) +6(a…—a…-x ),即(8”+$Q (%—/一】—5) =0

数列通项公式方法大全很经典

1，数列通项公式的十种求法：（1）公式法（构造公式法）例1 已知数列{}n

a 满足1

232n

n n a a +=+⨯，1

2a =，求

数列{}n

a 的通项公式。

解：1232

n n a

a +=+⨯两边除以1

2n +，得11

n n n n a

a ++=

+，则

222

n n n n a a ++-=，故数列{}2n n

a 是以12

为首项，以2

3为公差的等差数列，由等差数列的通项公

式，得31(1)

n n

n =+-，所以数列{}n

a 的通项公式

为31()222

n =-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式

1232n

n n a a +=+⨯转化为11

n n n n a

a ++-

=，说明数列{}2

n n

是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式

求出31(1)

n n

n =+-，进而求出数列{}n

a 的通项公

式。（2）累加法

例2 已知数列{}n

a 满足1

1211

n n a a n a +=++=，，求数

列{}n

a 的通项公式。

解：由1

n n a

a n +=++得1

n n a

a n +-=+则

11232211

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1

(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L

(完整版)数列通项公式方法大全很经典

1，数列通项公式的十种求法：

（1）公式法（构造公式法）

例1 已知数列{}n a 满足1232n

n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n

n n a a +=+⨯两边除以12n +，得

113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n

a 是

以1222

a 1

1==为首项，以23

为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222

n a n =-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n

n n a a +=+⨯转化为

113

222

n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22

n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

（2）累加法

例2 已知数列{}n a 满足1121

1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

11232211

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1

2[(1)(2)21](1)1

(1)2(1)1

(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n

n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2

数列通项公式方法大全很经典

1，数列通项公式的十种求法：之答禄夫天创作

（1）公式法（构造公式法）

例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得

113222n n n n a a ++=+，则11

222

n n n n a a ++-=，故数列{}2

n n

a 是以1222a 1

1==

为首项，以2

为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得

1(1)22

n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为

()222

n n a n =-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为

113222

n n n n a a ++-=，说明数列{}2n

n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22

n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。（2）累加法

例 2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，

进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+，

即得数列{}n a 的通项公式。

数列求通项公式的9种方法

通项公式.
二、累加法：型如
的数列
例 3 已知数列{an} 满足 a1 2 ， an1 an 3n 2 ，求{a
变式训练
5(1)已知数列 {an }
满足
a1

1，
an1

an

ln(1
1) n
，求{
(2)已知数列{an} 满足 a1 2 ， an1 an 3 22n1 ，求{a
例2
已知数列{an} 的前 n
项和 Sn

3 2
an
3 ，求{an} 的通项公式.
变式训练1 已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求an. (1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n－
变式训练2 已知数列的前n项和满足
，求的通项公式
变式训练 4 已知正项数列{an} 的前 n 项和 Sn 满足 2 Sn an
本课结束
1 ， an1

an an
2
，求{an} 的
例 10（拓展）.设由 a1
1, an

2n
an1
1 an1
n
1

2,3,定义数列an ，
变式训练 11
已知数列{an} 满足 a1
1 ， an1

2an an 2
，求{an} 的通项

数列通项公式的十种求法(非常经典)

数列通项公式的十种求法

（1）公式法（构造公式法）

例1 已知数列{}n a 满足1232n

n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n

n n a a +=+⨯两边除以12n +，得

113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n

a 是

以1222

a 1

1==为首项，以23

为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222

n a n =-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n

n n a a +=+⨯转化为

113

222

n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22

n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

（2）累加法

例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

11232211

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1

2[(1)(2)21](1)1

(1)2(1)1

(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++

+⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=

史上最全的数列通项公式的求法15种

最全的数列通项公式的求法

数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。

◆一、直接法

根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。例1. 根据下列数列的前几项，说出数列的通项公式： 1、1.3.7.15.31……… 2、1,2,5,8,12………

3、2121

2,1,,,,3253

………

4、1,-1,1,-1………

5、1、0、1、0………

◆二、公式法

①利用等差数列或等比数列的定义求通项

②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-21

11n S S n S a n n

n 求解.

(注意：求完后一定要考虑合并通项)

例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式.

②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n

S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式.

③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

{}n b 的通项公式。

③解析：由题意，321++++=n n n a a b ，又{}n a 是等比数列，公比为q ∴

q a a a a b b n n n n n n =++=+++++2

21，故数列{}n b 是等比数列，)1(211321+=+=+=q q q a q a a a b ， ∴ )1()1(1+=⋅+=-q q q q q b n n n

数列通项公式方法大全很经典

1,数列通项公式的十种求法:

（１）公式法（构造公式法）

例1 已知数列{}n a 满足1232n

n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n

n n a a +=+⨯两边除以12n +,得

113222n n n n a a ++=+,则113222

n n n n a a ++-=

，故数列{}2n

n a 是以1222

a 1

1==为首项，以23

为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222

n a n =-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n

n n a a +=+⨯转化为

113

222

n n n n a a ++-=,说明数列{}2n n a 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出3

1(1)22

n n a n =+-,进而求出数列{}n a 的通项公式。

（2）累加法

例2 已知数列{}n a 满足1121

1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解:由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

11232211

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1

2[(1)(2)21](1)1

(1)2(1)1

(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n

n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2

数列通项公式方法大全很经典

1，数列通项公式的十种求法：

（1）公式法（构造公式法）

例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得

113222n n n n a a ++=+，则113222

n n n n a a ++-=

，故数列{}2n

n a 是以1

22a 11==为首项，以23

为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31

()222

n n a n =-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为

113222

n n n n

a a ++-=，说明数列{}2n

n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3

1(1)

n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

（2）累加法

例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出

11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。

数列通项公式方法大全很经典

得1

3222n n n n

a a

++=+，则11

3222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n

a 是以1222a 1

1==为首项，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n

a 的通项公式为31

()222

n n a n =-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a

+=+´转化为

n n n n

a ++-=

，说明数列{}2n n a

11232211

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1

(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++´++´++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n

a n =。

评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+

+-+-1，数列通项公式的十种求法：

（1）公式法（构造公式法）

例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+´，1

2a =，求数列{}n a 的通项公式。的通项公式。

解：1232n n n a

a +=+´两边除以12

n +，以23

为公差的为公差的等差数列等差数列，由等差数列的通项公式，是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n

数列通项公式方法大全很经典

1，数列通项公式的十种求法：

（1）公式法（构造公式法）

例1 已知数列{}n a 满足1232n

n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n

n n a a +=+⨯两边除以12n +，得

113222n n n n a a ++=+，则113

222

n n n n a a ++-=

，故数列{}2n n a 是以1222

a 1

1==为首项，以23

为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222

n a n =-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n

n n a a +=+⨯转化为

113

222

n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22

n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

（2）累加法

例2 已知数列{}n a 满足1121

1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

11232211

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1

2[(1)(2)21](1)1

(1)2(1)1

(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n

n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2

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实用标准文案

1,数列通项公式的十种求法:

(1)公式法(构造公式法)

3 1

所以数列｛a n ｝的通项公式为a n qn -)2n

。

解：由a n 1 a n 2n 1 得 a n 1 a n 2n 1则

n 1

)(a

n 1

n 2

)L (a 3 a ?) (a 2 a 1 ) a

[2( n 1) 1] [2(n 2) 1] L ( 2 2 1) (2 1 1) 1 2[(n 1) (n 2) L 2 1] (n 1) 1

(n 1)

(n 1) 1

2 -

(n 1)(n 1) 1

n 2

所以数列｛a n ｝的通项公式为a n 2

n 。

例1已知数列｛a n ｝满足a n 1 2a n 3 2n

，印 2，求数列｛a n ｝的通项公式。解: a n 1 2a n 3 2n 两边除以2n 1

，得 a n 1 2* 1 a n 3 a n 1 a n 3 2“ 2，人」2“ 1 2“ 2， a n

刁

以a- 2 1为首项，以|为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得 a 故数列｛扌｝是 3 1 (n 1)-，

评注：本题解题的关键是把递推关系式 a n 1 2a n 2n 转化为贵

a n I ，说明数列

是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出 a n

1 (n 1)?，进而求出数列｛a n ｝的通项公式。 (2)累加法已知数列｛a n ｝满足a n 1 a n 2n 1，a 1

1，求数列｛a n ｝的通项公

式。

评注：本题解题的关键是把递推关系式 a n 1

a n 2n 1转化为a n 1 a n 2n 1，进而求

数列通项公式方法(大全)很经典

1，数列通项公式的十种求法：

（1）公式法（构造公式法）

例1 已知数列{}n a 满足1232n

n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n

n n a a +=+⨯两边除以12n +，得

113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n

a 是

以1222

a 1

1==为首项，以23

为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222

n a n =-。

评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n

n n a a +=+⨯转化为

113

222

n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22

n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

（2）累加法

例2 已知数列{}n a 满足1121

1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

11232211

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1

2[(1)(2)21](1)1

(1)2(1)1

(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n

n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2