什么是中国剩余定理
中国剩余定理（孙子定理）详解
中国剩余定理（孙⼦定理）详解问题：今有物不知其数，三三数之剩⼆，五五数之剩三，七七数之剩⼆。
问物⼏何？简单点说就是，存在⼀个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余⼆，然后求这个数。
上⾯给出了解法。
再明⽩这个解法的原理之前，需要先知道⼀下两个定理。
定理1：两个数相加，如果存在⼀个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。
定理2：两数不能整除，若除数扩⼤（或缩⼩）了⼏倍，⽽被除数不变，则其商和余数也同时扩⼤（或缩⼩）相同的倍数（余数必⼩于除数）。
以上两个定理随便个例⼦即可证明！现给出求解该问题的具体步骤：1、求出最⼩公倍数lcm=3*5*7=1052、求各个数所对应的基础数（1）105÷3=3535÷3=11......2 //基础数35（2）105÷5=2121÷5=4 (1)定理2把1扩⼤3倍得到3，那么被除数也扩⼤3倍，得到21*3=63//基础数633、105÷7=1515÷7=2 (1)定理2把1扩⼤2倍得到2，那么被除数也扩⼤2倍，得到15*2=30//基础数30把得到的基础数加和（注意：基础数不⼀定就是正数）35+63+30=1284、减去最⼩公倍数lcm（在⽐最⼩公倍数⼤的情况下）x=128-105=23那么满⾜题意得最⼩的数就是23了。
⼀共有四个步骤。
下⾯详细解释每⼀步的原因。
（1）最⼩公倍数就不解释了，跳过（记住，这⾥讨论的都是两两互质的情况）（2）观察求每个数对应的基础数时候的步骤，⽐如第⼀个。
105÷3=35。
显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除，就是其他数的最⼩公倍数。
相当于找到了最⼩的起始值，⽤它去除以3发现正好余2。
那么这个基础数就是35。
记住35的特征，可以整除其他数但是不能被3整除，并且余数是2。
体现的还不够明显，再看下5对应的基础数。
21是其他数的最⼩公倍数，但是不能被5整除，⽤21除以5得到的余数是1，⽽要求的数除以5应该是余1的。
中国剩余定理文章 -回复
中国剩余定理文章-回复中国剩余定理是一个数论中重要的定理，它被广泛应用于密码学、计算机科学以及通信等领域。
本文将以"中国剩余定理"为主题，详细介绍这一定理的含义、原理和应用。
一、引言中国剩余定理是古老而又精妙的数论问题之一。
它最早由我国古代数学家孙子所发现，被称为“孙子定理”。
孙子定理后来由中国数学家秦九韶进行了更加深入的研究和推广，因此也被称为“秦九韶定理”。
后来，西方的数学家们将其命名为中国剩余定理。
中国剩余定理是一个非常重要的数论定理，它解决了模运算中的一类复杂问题，并得到了广泛的应用。
二、数论的基本概念在介绍中国剩余定理之前，我们先了解一些基本的数论概念。
在数论中，我们经常碰到关于求余数的问题。
例如，当我们把一个数除以3时，有可能余数是0、1或2。
这种情况下，我们可以用数学符号表示为a ≡b (mod n)，其中a是被除数，b是余数，n是模数。
如果两个数满足这个关系，我们称它们是模n同余的。
三、中国剩余定理的原理中国剩余定理是一种基于同余关系的数论定理，它可以用来解决模n同余的问题。
具体而言，中国剩余定理告诉我们，如果给定了一组两两互质的模数，那么可以通过求解模数的一组同余方程来得到原方程的解。
换句话说，中国剩余定理帮助我们将原问题转化为一组相对简单的方程。
四、中国剩余定理的应用中国剩余定理在密码学和计算机科学中得到了广泛应用。
例如，在RSA 公钥加密算法中，中国剩余定理被用来加速密钥生成和解密过程。
在RSA 算法中，需要对大素数进行模n同余的计算，中国剩余定理的应用大大提高了计算效率。
此外，中国剩余定理还被用于解决模运算的扩展问题。
例如，我们可以利用中国剩余定理来求解模4、模3和模5的同余式，并得到一组解，用于解决一些问题。
中国剩余定理的应用不仅仅限于数论领域，在通信技术、电路设计等方面也有重要的应用。
五、范例让我们通过一个简单的例子来进一步理解中国剩余定理的应用。
中国剩余定理
中国剩余定理孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。
是数论中一个重要定理。
又称中国余数定理。
一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。
《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。
中文名孙子定理外文名Chinese remainder theorem(CRT)分类数学提出孙子问题一元线性同余方程组又名余数定理目录.1公式.2文献.3交换环上推广.▪主理想整环.▪一般的交换环.4数论相关.5例题解析公式用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。
中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,m n两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,a n，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：设是整数m1,m2, ... ,m n的乘积，并设是除了m i以外的n- 1个整数的乘积。
设为模的数论倒数(为模意义下的逆元)方程组的通解形式为在模的意义下，方程组只有一个解：证明 [1]：从假设可知，对任何，由于，所以这说明存在整数使得这样的叫做模的数论倒数。
考察乘积可知：所以满足：这说明就是方程组的一个解。
另外，假设和都是方程组的解，那么：而两两互质，这说明整除. 所以方程组的任何两个解之间必然相差的整数倍。
而另一方面，是一个解，同时所有形式为：的整数也是方程组的解。
所以方程组所有的解的集合就是：文献一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
同余（九）——孙子定理（中国剩余定理）
同余（九）——孙子定理（中国剩余定理）往期文章同余（一）同余（二）同余（三）同余（四）—书籍书号的小秘密同余（五）——费马小定理同余（六）——斐波那契数列同余（七）——密码学中的应用同余（八）——欧拉定理整数与整除问题导读孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法。
是数论中四大定理之一。
又称中国剩余定理。
在数学著作《孙子算经》中，提到一个“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？孙子算经《孙子算经》的作者生平和编写年不详，一般认为是东晋时期的作品，比孙武的《孙子兵法》要晚很多。
用我们现在学习的数学语言来描述“物不知数”问题：算经中给出答案是23，23是满足同余方程组的最小正整数。
并给出了上述问题的一般解法。
宋代数学家秦九韶在其名著《数书九章》中考虑了更一般化同余方程组的解法。
最终他得到了下面的定理。
孙子定理定理假设整数m1,m2, ... ,m n两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,a n,上述同余方程组有唯一解。
其中证明从假设可知，（m i,M i）=1，故存在整数使得另一方面，对i≠j , m j|M i, 因此所以满足又若x1,x2,是方程组的两个解，则x1≡x2（mod m i）1≤i≤n考虑到（m i,m j）=1(i≠j), 即可知x1≡x2（mod m）所以解是唯一的。
□定理应用例子1（韩信点兵）有兵一队，若列成5行纵队，则末行1人；成6行纵队，则末行5人；成7行纵队，则末行4人；成11行纵队，则末行10人，求兵数？解此时m=5×6×7×11=2310M1=462，M2=385，M3=330，M4=210.解得到t1=3，t2=t3=t4=1,, 在根据定理得到x≡2111（mod 2310）. 注：这个例子说明，在秦朝末年时期，就有了孙子定理的特例。
定理故事孙子定理是中国古代数学史上最值得骄傲的结论，国内外每一本数论书中都有此定理。
中国剩余定理简介
中国剩余定理简介在《孙⼦算经》中有这样⼀个问题：“今有物不知其数，三三数之剩⼆（mod3=2），五五数之剩三（mod5=3），七七数之剩⼆(mod7=2），问物⼏何？”这个问题称为“孙⼦问题”，该问题的⼀般解法国际上称为“中国剩余定理”。
具体解法分下⾯三步：1、找出三个数：从3和5的公倍数中找出被7除余1的最⼩数15，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最⼩数21，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最⼩数70。
2、⽤15乘以2（2为最终结果除以7的余数），⽤21乘以3（3为最终结果除以5的余数），同理，⽤70乘以2（2为最终结果除以3的余数），然后把三个乘积相加15∗2+21∗3+70∗215∗2+21∗3+70∗2得到和233。
3、⽤233除以3、5、7的最⼩公倍数105，得到余数23，这个余数23就是符合条件的最⼩数。
很神奇，是吧？我们逐步剖析。
我们第⼀⽬标是求⼀个数n符合条件，⽽不需最⼩。
我们先假设n1是满⾜mod3=2的任意⼀个数，n2是满⾜mod5=3的任意⼀个数，n1是满⾜mod7=2的任意⼀个数。
如果想要(n1+n2)也mod3=2，n2必须是3的倍数（易证）。
如果想要(n1+n2+n3)也mod3=2，n3也得是3的倍数。
归纳得要想(n1+n2+n3)同时满⾜mod3=2,mod5=3,mod7=2，必须有：1. n1mod3=2 && 5|n1 && 7|n12. n2mod5=3 && 3|n2 && 7|n23. n3mod7=5 && 3|n3 && 5|n3于是只需要在5,7的倍数中找⼀个mod3=2的作为n1，在3,7的倍数中找⼀个mod5=3的作为n2，在3,5的倍数中找⼀个mod7=2的作为n3即可。
解决这个⼩问题孙⼦⼜⽤了⼀个⼩技巧。
就是不是先找mod3=2的，⽽是先找mod3=1的再把它乘2⾃然它就mod3=2了。
中国剩余定理与线性组合、特解通解、基之联系
中国剩余定理与线性组合、特解通解、基之联系1 引言中国剩余定理是关于南北朝时期一部著名的算术著作《孙子算经》中物不知数问题引出的一个定理．《孙子算经》中物不知数问题是：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”2 中国剩余定理及其证明2.1中国剩余定理的定义)150](3[P在现在的初等数论中，中国剩余定理是这样叙述的：设k m m ，⋯⋯,1是两两既约的正整数， 那么对任意整数 ,,1k a ，a ⋯⋯ 一次同余方程组 k j m a x j j ≤≤≡1),(mod 1 （1） 必有解，且解数为1．事实上，同余方程组（1）的解是)(m od 111m a x M a x M x k k k +⋯⋯+≡ （2） 这里k m m m m ⋯⋯=21 , )1(k j M m m j j ≤≤=,以及j x 是满足k j m x M j j j ≤≤≡1),(mod 1 （3） 的一个整数（既是j M 对模 j m 的逆）．中国剩余定理的数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都起着广泛应用.2.2中国剩余定理的证明)99](1[P证明1 首先证明解的存在性．令k m m m M ⋯⋯=21,对于每个,,,2,1n k ⋯=令k k k ，km m m m m M M ⋯⋯==+-111，根据定理条件可得1),(=k k m M ,又根据一元同余式有解的充要条件可知)(m od 1k k m x M ≡是有解的．设它的唯一解为x k ．构造)(m od 111m a x M a x M x k k k +⋯⋯+≡.根据K M 的构造可知,k j m M k j ≠≡),(mod 0那么k k k a x M a x M x +⋯⋯+≡111)(mod k k k k m x M a ≡，又k x 是)(m od 1k k m x M ≡的解，所以有)(m od )(m od k k k k k k m a m x M a x ≡≡，这就证明了x 是所给同余式组的一个公共解，所以解存在．再证解的唯一性．假使y 是所给同余式组的另一公共解，则有)(m od k k m a x ≡≡)(mod k m y 所以对于每一个k 都有K M 整除)(x y -，又根据i j m m j i ≠=,1),(所以k m m m ⋯⋯21整除)(x y -, 于是)(mod M y x ≡所以解是唯一的．证毕．证明2 为简单起见考虑2=k 的情形，现在，21m m m =， 1112,m M m M ==及同余方程组（1）是)(m od 11m a x ≡)(m od 22m a x ≡由第一个方程知，可把x 表为：y m a x 11+=．这样，以上同余方程组变为同余方程，)(m od 2121m a a y m -≡即，)(m od 2122m a a y M -≡由))(m od (12122m a a M y --≡,进而有))(m od (12221m a a x M y m -≡. （4）由此及式（4）得))(m od (12221m a a x M a x -+≡)(m od )1(222122m a x M a x M +-≡ （5）由21,m m 的对称性，同样可得)(m od )1(211111m a x M a x M x -+≡ （6） 但（5）式和（6）式还都不是我们需要的式（2）（2=k ）的形式．但利用式（3）（0=k ），容易看出 ),(m od 112211m x M x M -≡),(m od 112211m x M x M -≡所以),(m od 12211m x M x M -≡由此及（5）式（或（6）式）立即推出：若x 是解则必有)(m od 222111m a x M a x M x +≡容易验证222111a x M a x M +的确是原同余方程组的解．证毕．用证法二来证2=k 的情形并不方便．下面再介绍一种证法．证明 3 首先，我们来指出这样一个事实：若 0x 满足同余方程组（1），0x '满足下面的同余方程组k j m a x j j ≤≤'≡1),(mod那么，00x x '+一定是同余方程组 k j m a a x j j j ≤≤'+≡1),(mod的解．因此，我们可以用下面的叠加方法来求同余方程组（1）的解．设=ji a ⎩⎨⎧≠=j i j i a j 0,（7）对每个固定的)1(k i i ≤≤考虑同余方程组k j m a x j ij ≤≤≡1),(mod （8）注意到i j ≠时 0=ij a 所以由这方程组的第k i i ,,1,1,,1⋯+-⋯ 个方程（注意j m 两两既约）)(mod 0i M x ≡,即y M x i = . 代入第i 个方程得)(mod i i i m a y M ≡.由)(m od i i i m a x y ≡,即)(m od m a x M y M i i i i ≡ .即)(m od m a x M x i i i ≡.容易验证，i i i a x M 确实同余方程组（8）的解（这就证明了同余方程组（8）有解且解数为1．注意到由式（7）可得j r j j j a a a a =+⋯⋯++)()2()1(,所以，k k k a x M a x M +⋯⋯+111 一定是同余方程组（1）的解．在证法一中已证明了若有解，则解数为1．定理证毕．细心的读者会发现，一元同余式组与求解一次不定方程组是一样的，同余式组中 k j m a x j 「≤≤≡1),(mod 用线性方程组的语言可表达为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⋯⋯⋯=-=-kk k a m x x a m x x a m x x 222111 （9） (x 为整数范围内的根)3线性方程组定理（线性方程组有解判别定理）)78](2[p 非奇次线性方程组有解的充分必要条件为它的系数矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯⋯⋯⋯sn s s n n a a a a a a a a a 212212111211 与增广矩阵 A = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯⋯⋯⋯⋯s sn s s n n b a a a b a a a b a a a 21222221111211 有相同的秩.定理)90](2[p 如果0γ 是非奇次方程组的一个特解，那么该方程组的任一解 γ 都可以表成 ηγγ+=0其中 η是其导出组的一个解．因此，对于该方程组的任一特解γ，当γ取遍它的导出组时，此方程组就给得到它的全部解．线性方程组（9）可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋯⋯⋯-=-=kk k m a x x m a x x m a x x /)(/)(/)(222111 因为k x x x ,,,21⋯⋯，都是整数．所以由中国剩余定理知，k k k a x M a x M +⋯⋯+111 为x 的一个特解．其导出组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⋯⋯⋯=-=-0002211k k m x x m x x m x x的所有解为x 为m 的整数解倍．所以（9）的通解为),(m od 111111m a x M a x M am a x M a x M x k k k k k k +⋯⋯+≡++⋯⋯+= （a 为整数）总的来说，中国剩余定理是线性组合的最早应用，它又是数论中的一个特有的重要概念．4 相关例题“物不知数”问题就是要求同余方程组)7(mod 2)5(mod 3)3(mod 2≡≡≡x x x （10）的正整数解．书中求出了满足这一问题的最小正整数解23=x ，所用的具体解法实质上就是求这同余方程组的形如式（2）的解，我们来解决同余方程组（10），这里.15,21,357,5,3321321======M M M m m m 容易算出可取.1,1,2332211===---M M M (这里jj M -是j M 对模 j m 的逆) 因此（10）的解为 )105(mod 23233211531212235≡≡⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯≡x因此，满足“物不知数”问题的正整数解是,,2,1,0,10523⋯=+=t t x 最小的为23.定理2)155](3[p 设k k k x x M M m m m ,,,,,,,,,111⋯⋯⋯与中国剩余定理中假设一致．再设)(mod )()1(11m x x M x x M x k k k ⋯+≡那么,x 遍历模m 的完全（既约）剩余系的充要条件是)(j x分别遍历j m 的完全（既约）剩余系.此外，还有k j m xx j ≤≤≡1),(m od )(. (11) 下面来举几个例子．例1)157](3[P 解同余方程组)11(mod 2)7(mod 2)5(mod 1)3(mod 1-≡≡-≡≡x x x x 解 取 ,11,7,5,34321====m m m m 满足中国剩余定理的条件．这时,753,1153,1173,11754321⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=M M M M我们来求1x ，由于)3(m od 1)1()1()1(1≡-⨯⨯-=M ，所以)3(m od 1111x x M ≡≡,因此可取)5(m od 112)2(.121≡⨯⨯-==M x ,知)5(m od 1222x x M ≡≡,因此可取)7(m od 4543.132≡⨯⨯==M x ,知 )7(m od 41333x x M ≡≡,因此可取)11(m od 6573.243≡⨯⨯==M x ,知)11(m od 61444x x M ≡≡，因此可取24=x ,进而由中国剩余定理知同余方程组解为)11753)(mod 2(2)753(22)1135()1(1)1173(11)1175(⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≡x 即)1155(mod 394420660231385≡-+-≡x例2 求相邻的四个整数，它们依次22227532，，，，整除．解 设这四个相邻整数是.2,1,,1++-x x x x 按要求应满足),2(m od 012≡-x ),3(mod 02≡x),5(m od 012≡+x ),7(mod 022≡+x所以，这是一个解同余方程组的问题，这里242322217,5,3,2====m m m m 两两既约，满足定理的条件.532,732,752,7532224222322222221⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=M M M M由)2m od 111121（≡≡M ，知 )2(m od 12111x x M ≡=因此可取11=x ．由 )3(m od 4417102222≡⨯≡⨯≡M ，知)3(m od 412222x x M ≡=，因此可取x 2=-2 ．由)5(mod 112122223-≡⨯≡M ，知)5(mod 1112322x x M -≡=,)5(mod 3222233x x ≡-=, )5(mod 2416233x x -≡=因此可取 94=x ．由)7(m od 1863)24()13(24≡⨯≡-⨯-＝M ， 知 )7(m od 1812444x x M ≡≡,)7(mod 5543244x x ≡≡,)7(m od 5030244x x ≡≡,因此可取4x =-19由定理知⨯-⨯⨯⨯+-⨯⨯⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯≡)19(532)1(97320)2(752117532222222222222x )7532(m od 22222⨯⨯⨯-）（)44100mod 342491587611025（+-≡.所以满足要求的四个相邻整数有无穷多组，它们是,4410029348t + ,4410029349t +,4410029350t + ,4410029351t + （t 为整数）最小的这样的四个相邻正整数是29351,29350,29349,29348．例3 求模11的一组完全剩余系，使其中每个数被,7,5,3,2除后的余数分别为1,1,1,1--．解 在定理2中取,11,7,5,3,255321=====m m m m m ,以及,1,1,1)3()2()1(=-==x x x1)4(-=x .由定理2知，当)5(x 遍历模11的完全剩余系时)5(5544332211x x M x M x M x M x M x +-+-= （12） 这就给出了所要求的完全剩余系．下面来求)51(≤≤j x j ．由)2(m od 1≡i M 知)2(m od 1111x x M ≡≡,所以可取11=x ．由 )3(m od 12-≡M 知)3(m od 11222x x M ）（-≡≡ 所以可取12-=x ．由)5(mod 23≡M 知)5(mod 21333x x M ≡≡,所以可取23-=x ．由)7(m od 14≡M 知)7(m od 1444x x M ≡≡,所以可取14=x ．由)11(mod 15≡M 知)11(m od 1555x x M ≡≡.所以可取 15=x 这样就得到)5(753211532)2(117321175211753x x ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯--⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=41)3(2102106712103309247701155)5()5()5(+=+=+--+=x x x具有这样性质的最小的模11的完全剩余系是.4110210,419412108210,317210,416210,415210,414210,413210411022,41210,41+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+ 例4 解同余方程组)15(mod 1),20(mod 11),8(mod 3≡≡≡x x x .解 这里15,20,8321===m m m 不两两既约，所以不能直接用定理．容易看出，这同余方程组的解和同余方程组)3(mod 1)5(mod 1)5(mod 11)4(mod 11)8(mod 3≡≡≡≡≡x x x x x的解同解．显见，满足第一个方程的x 必满足第二个方程，而第三，第四个方程是一样的．因此，原方程组和同余方程组)3(mod 1)5(mod 1)8(mod 3≡≡≡x x x （13）的解相同．同余方程组（13）满足定理的条件．容易解出同余方程组（13）的解为 )120(mod 29-≡x .注意到[]12015,20,8=所以这也是原同余方程组的解，且解数为1.例4给出了模k m m ，⋯⋯,1 不是两两既约时，同余方程组（1）如何求解的例子．对于一般情形的解法原则上也是这样．例5 解同余方程组)1155(mod 19≡x .解 这是一个一次同余方程．这里我们把它化为模较小的一次同余方程组来解．由于117531155⨯⨯⨯=，所以这个同余方程组和方程组)3(mod 55619≡x , )5(mod 55619≡x ,)7(mod 55619≡x , )11(mod 55619≡x .的解相同．这同余方程组就是)3(mod 1≡x , )5(mod 1≡-x ,)7(mod 32≡x , )11(mod 63≡-x .上述同余方程组就变为)3(mod 1≡x , )5(mod 1-≡x ,)7(mod 2≡x , )11(mod 2-≡x .这同余方程组可用定理的方法来解．实际上，这就是我们的例1中的同余方程组，它的解是)1155(mod 394≡x这就是原同余方程组的解．例6 解同余方程组)10(mod 13≡x ,)15(mod 74≡x解 利用例4的方法这同余方程组的解与同余方程组)5(mod 74)3(mod 74)5(mod 13)2(mod 13≡≡≡≡x x x x 的解相同．但第二个同余方程)5(mod 13≡x 可化为)5(mod 2≡x ，第四的同余方程组 )5(mod 74≡x 可化为)5(mod 2-≡x ，与)5(mod 8≡x 矛盾，所以原同余方程组无解．我们用线性方程组的方法来解以上例1中的一元同余式组例7 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=--=-=-2112715134321x x x x x x x x (16) 线性方程组(21)可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=+=-=11/)2(7/)2(5/)1(3/)1(4321x x x x x x x x 因为4321,,,x x x x 都是整数，由中国剩余定理知,394=x 为 x 的一个特解，其导出组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-0110705034321x x x x x x x x 的所有解为11753⨯⨯⨯的整数倍．（16）式的通解为)1155(mod 3941155394≡+=a x .中国剩余定理主要是解决一次同余式问题，再算术中还可以利用它来检查因数和验算整数计算的结果．5 结束语中国剩余定理堪称数学史上名垂百世的成就，它在数学史上占有光辉的一页，其数学思想一直启发和指引着历代数学家们，在数学领域，特别是计算机领域发挥着重要作用．。
浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用
浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用中国剩余定理是对同余方程组求解的一种方法，它是中国古代数学家在解决实际问题时所创立的。
在小学数学学习中，中国剩余定理也有其应用和意义。
中国剩余定理的核心思想是将一个同余方程组转化为两个同余方程的组合问题，通过求解后再利用同余理论确定唯一解。
其关键在于划定不同同余方程之间的“不干涉区间”，以确保各个同余方程不会互相干扰，从而统一起来保证整个问题的解的统一性。
在小学数学中，我们可以通过举例来说明中国剩余定理的运用。
例如，我们需要求解同余方程组：x ≡ 2 (mod 3)x ≡ 3 (mod 4)首先需要划分不干涉区间，即寻找同时满足以上两个同余方程的最小公因数。
也就是说，要找到一个整数，既能被3整除又能被4整除。
显然，这个数是12，因此我们可以将原来的同余方程组转化为下面这个同余方程组：x ≡ 2 (mod 3)x ≡ 3 (mod 4)x ≡ 8 (mod 12)接下来，我们可以尝试求解这个同余方程组。
首先，通过第一个同余方程，我们可以得到：x = 2 + 3k其中k为整数。
通过对k的求解，我们可以得到所有满足以上两个同余方程的解，即：k = 3 + 4n 或 k = 2 + 4m（其中n，m为整数）将k带入第一个同余方程，我们可以得到最终的解为：x = 11 + 12q（其中q为整数）通过以上步骤，我们成功地将一个同余方程组化简为了一个同余方程，从而得到了其所有解。
这就是中国剩余定理在小学数学中的运用。
总之，中国剩余定理在小学数学中可能不会直接出现，但它的思想和方法可以为学生理解和解决一些实际问题提供帮助。
通过引导学生思考，他们可以深入理解数学的本质和意义，从而更好地掌握其中的知识和技巧。
中国古代史上最完美和最值得骄傲的数学成果：中国剩余定理
中国古代史上最完美和最值得骄傲的数学成果：中国剩余定理导言：本文将介绍中国古代最完美和最值得骄傲的数学成果“中国剩余定理”，希望能有更多的读者和学生能重视我们国家的传统文化，并通过对中国剩余定理的了解和学习喜欢上数论。
在中外几乎每一本基础数论的教课书中，都会介绍一个被称之为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem）的知识。
在我的印象里，自己是在小学四五年级的时候接触到这个知识的，并知道如何去应用它，但要等到初中后才真正明白其原理。
中国剩余定理是中国古代史上最完美和最值得骄傲的数学成果，它是中国对世界数学思想史的重要贡献。
但很遗憾，现在的孩子大部分都已经不学这部分知识。
距我当年学习这部分内容已经近三十年了，我不知道我们的数学教育到底出了什么问题。
那么，今天我们就来了解和学习一下这个数论中的著名定理“中国剩余定理”。
第一部分：问题的起源中国剩余定理起源于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，因此又名“孙子剩余定理”。
《孙子算经》，中国南北朝数学著作，《算经十书》之一。
全书共分三卷：上卷详细的讨论了度量衡的单位和筹算的制度和方法；中卷主要是关于分数的应用题，包括面积、体积、等比数列等计算题，大致都在《九章》中论述的范围之内；下卷对后世的影响最为深远，如下卷第31题即著名的“鸡兔同笼”问题，后传至日本，被改为“鹤龟算”。
下卷第26题“物不知数”为后来的“大衍求一术”的起源，被看作是中国数学史上最有创造性的成就之一，称为“中国剩余定理”。
经考证，《孙子算经》的作者与《孙子兵法》的孙武并非同一人。
“中国剩余定理”在古代有“韩信点兵”、“鬼谷算”、“求一术”、“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”、“物不知数”、“孙子定理”之名，是数论中主要命题，它不仅在抽象代数理论中有相应的推广，也被应用到密码学、哥德尔不完全性定理的证明、快速傅里叶变换理论等。
首先，引述《孙子算经》中“物不知数”的原文：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：二十三。
中国剩余定理的证明过程
中国剩余定理的证明过程中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）是一种非常有用的数论定理，它提供了一种解决一组同余方程组的方法。
这个定理最早由中国古代数学家孙子提出，被认为是中国古代数学的杰作之一。
现代中国剩余定理由法国数学家员会(LPéLopital)于1785年从中国传统数学中发现并证明。
首先，我们先来探究一下同余方程的定义。
对于给定的整数a，b 和m，同余方程可以表示为：ax ≡ b (mod m)，其中≡表示模m下的同余关系。
也就是说，x是一个整数，满足ax与b除以m所得余数相等。
如果同余方程有解，那么方程存在无穷多个解，且这些解之间相互模m同余。
接下来，我们来证明中国剩余定理。
设m1，m2，...，mk是两两互质的正整数，令M = m1 * m2 * … * mk，再令Mi = M/mi。
根据中国剩余定理，存在一个整数yi满足以下条件：Mi * yi ≡ 1 (mod mi)，对于任意的1 ≤ i ≤ k。
我们先证明Mi * yi ≡ 1 (mod mi)。
由于Mi = M/mi，因此Mi与mi互素。
根据扩展欧几里得算法，存在整数ai和bi，使得Mi *ai + mi * bi = 1。
我们对两边同时取模mi，得到Mi * ai ≡ 1 (mod mi)，从而证明了Mi * yi ≡ 1 (mod mi)。
现在我们来考虑方程组x ≡ a1 (mod m1)，x ≡ a2 (modm2)，...，x ≡ ak (mod mk)在模M下的解。
设x = a1 * Mi * yi1 + a2 * Mi * yi2 + ... + ak * Mi * yik。
为了证明这个x是方程组的解，我们只需证明x对于每个mi都满足给定的同余方程。
对于任意的1 ≤ j ≤ k，我们有x ≡ a1 * Mi * yi1 + a2 *Mi * yi2 + ... + aj * Mi * yij + ... + ak * Mi * yik (mod mj)。
中国剩余定理的证明过程
中国剩余定理的证明过程中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）是数论中的一项重要理论，最早由中国数学家孙子在《孙子算经》中提出，后来被欧洲数学家雷蒙德·托勒密（Regiomontanus）发现并命名。
下面，我们将详细介绍中国剩余定理的证明过程。
一、首先我们要明确中国剩余定理是针对两两互素的模数进行求解的。
假设我们有n个不同的互素模数：m1, m2, ..., mn。
令M = m1 * m2* ... * mn，且Mi = M / mi，其中1≤i≤n。
二、定理的主要思想是通过构造一个等差数列，使得该等差数列模除每个模数mi的余数相等。
设x是满足条件的数，那么我们有以下等式：x ≡ a1(mod m1)x ≡ a2(mod m2)...x ≡ an(mod mn)三、我们将上述等式转化为如下的等差数列形式：x ≡ a1 + k1 * m1 (mod m1 * m2 * ... * mn)x ≡ a2 + k2 * m2 (mod m1 * m2 * ... * mn)...x ≡ an + kn * mn (mod m1 * m2 * ... * mn)其中ki是一个整数。
四、根据模运算的性质，可以将上述等式简化如下：x ≡ ∑(ai * Mi * Mi') (mod M)其中Mi'是Mi的逆元，满足Mi * Mi' ≡ 1(mod mi)。
五、根据欧几里得算法，可以计算M的逆元Mi'，即可得到x的取值。
通过上述证明过程，可以看出中国剩余定理的基本思想是通过构造一个等差数列，使得该数列模除每个模数的余数相等，然后根据模运算的性质进行计算求解。
下面我们通过一个具体的例子来说明中国剩余定理的应用：假设我们需要求解以下模线性方程组：x ≡ 2(mod 3)x ≡ 3(mod 4)x ≡ 2(mod 5)首先，计算M = 3 * 4 * 5 = 60，然后计算Mi = M / miM1=60/3=20M2=60/4=15M3=60/5=12接下来，计算Mi的逆元Mi'，得到：M1' ≡ 2(mod 3) => M1' = 2M2' ≡ 3(mod 4) => M2' = 3M3' ≡ 3(mod 5) => M3' = 3然后，根据上述公式：x ≡ (∑(ai * Mi * Mi'))(mod 60)≡ (2 * 20 * 2 + 3 * 15 * 3 + 2 * 12 * 3)(mod 60)≡ 287(mod 60)最后，求解287(mod 60)的余数，得到x ≡ 7(mod 60)。
生动讲解中国剩余定理
contents
目录
• 引言 • 中国剩余定理的背景 • 中国剩余定理的原理 • 中国剩余定理的证明 • 中国剩余定理的应用 • 中国剩余定理的扩展和推广
01 引言
什么是剩余定理
• 剩余定理，也称为中国剩余定理，是数论中的一个重要定理。 它提供了一种解决一类线性同余方程组的方法，这些方程组中 的每一个方程都是模数不同的。简单来说，如果有一组线性同 余方程，每个方程都有一个不同的模数，那么中国剩余定理告 诉我们如何找到一个整数，满足所有这些方程。
剩余定理的重要性
• 剩余定理在许多领域都有着广泛的应用，包括但不限于密码学、计算机科学、数论和代数几何等。在密码学中，它被用于 公钥密码系统的设计和分析，如RSA算法。在计算机科学中，它被用于实现模运算的高效算法，以及解决一些优化问题。在 数论和代数几何中，它被用于研究整数的性质和结构。因此，理解并掌握中国剩余定理是非常重要的。
数据压缩
在数据压缩中，中国剩余 定理可以用于优化数据编 码和解码的过程，提高数 据传输和存储的效率。
并行计算
在并行计算中，中国剩余 定理可以用于优化并行算 法的设计和实现，提高计 算性能。
06 中国剩余定理的扩展和推 广
对称中国剩余定理
方程组，其解存在且唯一。
02 中国剩余定理的背景
历史背景
古代数学家的贡献
中国剩余定理起源于中国古代数 学家的研究，如《九章算术》中 的“方程”章就提到了线性同余 方程组的解法。
数学史上的里程碑
中国剩余定理是中国古代数学的 重要成果，也是世界数学史上的 里程碑之一，对后世数学的发展 产生了深远影响。
数学背景
同余方程
同余方程是数论中的基本概念，它描 述了整数之间的一种等价关系。中国 剩余定理主要应用于解决线性同余方 程组的问题。
中国剩余定理 文言文
中国剩余定理引言中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem，CRT）是数论中的一个重要定理，最早由中国古代数学家孙子所发现并应用于解决同余方程组的问题。
它在数论、代数、密码学等领域具有广泛的应用。
中国剩余定理可以用来求解形如x≡a1(mod m1), x≡a2(mod m2), …, x≡a n(mod m n)的同余方程组，其中m1,m2,…,m n两两互质。
本文将从历史背景、定理表述、证明思路和应用领域等方面详细介绍中国剩余定理。
历史背景中国剩余定理最早出现在约公元3世纪的《孙子算经》中。
当时，这个定理是应用于农业领域，用来解决土地面积测量问题。
孙子通过观察到不同形状的土地可以分成若干个矩形或三角形，并且每个矩形或三角形的面积都是整数，从而引出了同余方程组的概念。
随着时间的推移，中国剩余定理逐渐在数论领域中得到重视，并成为一种重要的解方程的方法。
直到现代，中国剩余定理仍然是数论中的一个基础定理。
定理表述中国剩余定理可以用如下形式来表述：对于给定的正整数m1,m2,…,m n两两互质，以及任意的整数a1,a2,…,a n，同余方程组x≡a1(mod m1)x≡a2(mod m2)…x≡a n(mod m n)有一个解x，且该解满足0≤x<M=m1⋅m2⋅…⋅m n。
证明思路中国剩余定理的证明思路可以分为两个步骤：构造解和证明解的唯一性。
首先，我们通过扩展欧几里得算法求出m i关于m j的逆元r ij。
然后，令b i=r ii a i，即b i是a i关于模m i的逆元与a i相乘。
接着，我们可以构造出一个解x=b1M1+b2M2+⋯+b n M n，其中M i=M/m i。
这样，我们就得到了一个解x。
其次，我们需要证明这个解x是唯一的。
假设存在另一个解x′，则对于任意的i，有x≡x′(mod m i)。
由于m1,m2,…,m n两两互质，根据同余方程的性质可知x≡x′(mod M)。
奥数数论：中国剩余定理要点及解题技巧
奥数数论：中国剩余定理要点及解题技巧中国剩余定理（ChineseRemainderTheorem）在近代抽象代数学中占有⼀席⾮常重要的地位。
下⾯给⼤家讲解中国剩余定理的由来、知识点及解题技巧，帮助⼤家学好中国剩余定理。
◆ 中国剩余定理的由来
韩信点兵⼜称为中国剩余定理，相传汉⾼祖刘邦问⼤将军韩信统御兵⼠多少，韩信答说，每3⼈⼀列余1⼈、5⼈⼀列余2⼈、7⼈⼀列余4⼈、13⼈⼀列余6⼈……。
刘邦茫然⽽不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满⼀万，每5⼈⼀列、9⼈⼀列、13⼈⼀列、17⼈⼀列都剩3⼈，则兵有多少？
⾸先我们先求5、9、13、17之最⼩公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最⼩公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（⼈）。
中国有⼀本数学古书「孙⼦算经」也有类似的问题：
「今有物，不知其数，三三数之，剩⼆，五五数之，剩三，七七数之，剩⼆，问物⼏何？」答⽈：「⼆⼗三」术⽈：「三三数之剩⼆，置⼀百四⼗，五五数之剩三，置六⼗三，七七数之
剩⼆，置三⼗，并之，得⼆百三⼗三，以⼆百⼀⼗减之，即得。
凡三三数之剩⼀，则置七⼗，
五五数之剩⼀，则置⼆⼗⼀，七七数之剩⼀，则置⼗五，即得。
」
孙⼦算经的作者及确实着作年代均不可考，不过根据考证，着作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上⾯这种问题的解法，中国⼈发现得⽐西⽅早，所以这个问题的推⼴及其解法，被
称为中国剩余定理。
◆ 中国剩余定理要点及解题技巧。
中国剩余定理
中国剩余定理中国剩余定理缘起自求解一次同余式问题。
《孙子算经》中有“物不知其数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”用现代数学符号表示，这相当于求解一次同余式组()()()2mod 33mod 52mod 7N N N ≡⎧⎪≡⎨⎪≡⎩的最小正整数解。
《孙子算经》中给出了此题的解法及答案。
对于更一般的情况，南宋数学家秦九韶在他的划时代巨著《数学九章》中提出了“大衍总数术”，明确、系统地叙述了求解一次同余式组的一般方法。
在西方，经过欧拉、拉格朗日、高斯三代人、前后六十多年努力，才完成了一次同余式理论的建立，得到了与秦九韶一致的算法，并给出了严格的证明。
后人称之为“中国剩余定理”。
中国剩余定理是我国古代数学家为世界数学发展做出的巨大贡献，它其中蕴含的深刻的数学思想在近代数学中占有同样重要的地位。
在抽象代数的理论中，整数集与一元多项式集都属于主理想整环，有着许多相似的性质。
关于整数的中国剩余定理可以自然地推广到一元多项式环上，得到如下结果： 设()()()12,,,n m x m x m x 是n 个两两互素的多项式，()()()12,,,n a x a x a x 是任意n 个多项式，则一定存在多项式()f x 满足：()()()()()()()()()()()()1122mod mod mod n n f x a x m x f x a x m x f x a x m x ⎧≡⎪≡⎪⎨⎪⎪≡⎩并且在()()()()()()12mod n m x m x m x m x m x =意义下是唯一的。
也就是说，次数小于()m x 的()f x 是唯一确定的。
特别地，当()i m x 均为一次多项式时，上面的结果即等价于插值多项式的存在与唯一性定理，从而可得出著名的拉格朗日插值多项式。
不仅仅是主理想环，在更一般的含单位元1的交换环上，我们也有类似结论。
此外，中国剩余定理在赋值论中也起着不可或缺的作用，而赋值论是研究代数数论和交换代数的重要工具。
浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用
浅谈“中国剩余定理”在小学数学学习中的运用中国剩余定理是数论中的一个重要定理，最早由中国古代数学家孙子钱编著的《孙子算经》一书中提出。
它是一种求解同余方程组的方法，能够通过给定的多个同余方程，得到一个解使得这些方程同时成立。
在小学数学学习中，中国剩余定理虽然属于高级数学知识，但我们可以简化它的概念和运用，在数学学习中进行启发式教学。
我们需要简单了解一下同余方程的定义。
在数论中，同余方程是指具有相同余数的整数之间的关系。
设a、b为任意整数，m为正整数，则称a与b对于m同余，记作a≡b(mod m)，当且仅当m整除a-b。
中国剩余定理的核心思想是：如果有两个数a和b在模m下同余，即a≡b(mod m)，同时a和b对于不同的m有不同的余数，那么可以通过这两个同余方程，找到一个解x，使得x对于这两个m的余数分别为a和b。
这样的解可以称为“同余类”。
举个例子来说明，假设有两个同余方程：x≡1(mod 2)和x≡2(m od 3)。
我们可以通过中国剩余定理，求解出一个解x=5。
这意味着5在模2下的余数为1，同时在模3下的余数为2。
实际上，5还可以加上2的倍数或者3的倍数，得到一系列满足同余关系的数。
例如x=5+6k(k为整数)也满足上述两个同余方程。
在小学数学学习中，我们不需要引入复杂的数论概念和运算，但可以通过启发式教学的方式，让学生在实际问题中体验和应用中国剩余定理。
以下是一个例子：假设小明花了一些钱买了一本书，他知道这本书的价格除以2余1，除以3余2，除以5余4。
请问这本书可能的价格是多少？我们可以引导学生尝试用暴力枚举法来找到这个数。
从1开始，依次检查是否满足给定的同余方程。
这样的话，显然非常耗时且不够高效。
接下来，我们可以向学生讲解并尝试应用中国剩余定理的简化方法。
设x为书的价格，则根据题意有以下同余方程：x≡1(mod 2)x≡2(mod 3)x≡4(mod 5)我们可以从第一个同余方程开始，找到一个数a满足a=1(mod 2)。
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什么是中国剩余定理？剩余定理详细解法中国数学史书上记载：在两千多年前的我国古代算书《孙子算经》中，有这样一个问题及其解法：今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三：七七数之剩二。
问物几何？意思是说：现在有一堆东西，不知道它的数量，如果三个三个的数最后剩二个，如果五个五个的数最后剩三个，如果七个七个的数最后剩二个，问这堆东西有多少个？你知道这个数目吗？《孙子算经》这道著名的数学题是我国古代数学思想“大衍求一术”的具体体现，针对这道题给出的解法是：N=70×2＋21×3＋15×2-2×105＝23如此巧妙的解法的关键是数字70、21和15的选择： 70是可以被5、7整除且被3除余1的最小正整数，当70×2时被3除余2 21是可以被3、7整除且被5除余1的最小正整数，当21×3时被5除余3 15是可以被3、5整除且被7除余1的最小正整数，当15×2时被7除余2 通过这种构造方法得到的N就可以满足题目的要求而减去2×105 后得到的是满足这一条件的最小正整数。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？」答曰：「二十三」术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。
凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。
」孙子算经的作者及确实着作年代均不可考，不过根据考证，着作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。
中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
中国剩余定理例题讲解1 中国剩余定理例题讲解2一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有几个？答案：方法一：用剩余定理做：7*100+2*36+3*45=9079、5、4的最小公倍数是：180 907/180=5。
7所以这样的三位数是：180*1+7=187 180*2+7=367 180*3+7=547 180*4+7=727 180*5+7=907共有：五个方法二：枚举法：类似题型若无特殊的条件，一般都通过枚举法找出符合条件的最小值，然后在此基础上加上各除数的最小公倍数，则可以得出相应的答案。
具体到此题，我们可以利用一些特殊条件缩小范围，减少枚举次数。
①因为除以4余3，因此该数为奇数；②因为除以5余2，因此该数个位数为2或7，根据①，可知该数个位数应为7；③因为除以9余7，结合②，该数最少应为97；结合①，经过尝试，得到符合条件的最小数值为187④3个除数9、5、4的最小公倍数180，因此符合条件的三位数有187、367、547、727、907共5个。
一条长长的阶梯，如果每步跨 2 级，那么最后余 1 级；如果每步跨 3 级，那么最后余 2 级；如果每步跨 5 级，那么最后余 4 级；如果每步跨 6 级，那么最后余 5 级；如果每步跨 6 级，那么最后余 5 级；只有当每步跨7级时，最后才刚好走完.问这条台阶最少有多少级.答案：如果每步跨 2 级，那么最后余 1 级；可知是个奇数如果每步跨 3 级，那么最后余 2 级；可知+1就是3的整数倍如果每步跨 5 级，那么最后余 4 级；可知尾是4或9.但是是个奇数,所以是9如果每步跨 6 级，那么最后余 5 级；可知+1就是6的整数倍只有当每步跨7级时，最后才刚好走完.可知是7的整数倍7*7=49 7*17=119 49+1不是3的倍数,排除了.119+1是3和6的整数倍,所以台阶有119级在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事：韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立了卓绝的功劳。
据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再令士兵从１至５报数，也记下最后一个士兵所报之数；最后令士兵从1至7报数，又记下最后一个士兵所报之数；这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵。
这个故事中所说的韩信点兵的计算方法，就是现在被称为“中国剩余定理”的一次同余式解法。
它是中国古代数学家的一项重大创造，在世界数学史上具有重要的地位。
最早提出并记叙这个数学问题的，是南北朝时期的数学著作《孙子算经》中的“物不知数”题目。
这道“物不知数”的题目是这样的：“今有一些物不知其数量。
如果三个三个地去数它，则最后还剩二个；如果五个五个地去数它，则最后还剩三个；如果七个七个地去数它，则最后也剩二个。
问：这些物一共有多少？”用简练的数学语言来表述就是：求这样一个数，使它被３除余２，被５除余３，被７除余２。
《孙子算经》给出了这道题目的解法和答案，用算式表示即为：用现代的数学术语来说，这幅“开方作法本源图”实际上是一个指数为正整数的二项式定理系数表。
稍懂代数的读者都知道：《孙子算经》实际上是给出了这类一次同余式组的一般解：其中70、21、15和105这四个数是关键，所以后来的数学家把这种解法编成了如下的一首诗歌以便于记诵：“三人同行七十（７０）稀，五树梅花二一（２１）枝。
七子团圆正半月（１５），除百零五（１０５）便得知。
”《孙子算经》的“物不知数”题虽然开创了一次同余式研究的先河，但由于题目比较简单，甚至用试猜的方法也能求得，所以尚没有上升到一套完整的计算程序和理论的高度。
真正从完整的计算程序和理论上解决这个问题的，是南宋时期的数学家秦九韶。
秦九韶在他的《数书九章》（见图１一７一１）中提出了一个数学方法“大衍求一术”，系统地论述了一次同余式组解法的基本原理和一般程序。
秦九韶为什么要把他的这一套计算程序和基本原理称为“大衍求一术”呢？这是因为其计算程序的核心问题是要“求一”。
所谓“求一”，通俗他说，就是求“一个数的多少倍除以另一个数，所得的余数为一”。
那么为什么要“求一”呢？我们可以从“物不知数”题的几个关键数字７０、２１、１５中找到如下的规律：其中70是5和7的倍数，但被3除余1；21是3和7的倍数，但被5除余1；15是3和5的倍数，但被7除余1，任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。
为此，秦九韶提出了乘率、定数、衍母、衍数等一系列数学概念，并详细叙述了“大衍求一术”的完整过程。
（由于解法过于繁细，我们在这里就不展开叙述了，有兴趣的读者可进一步参阅有关书籍。
）直到此时，由《孙子算经》“物不知数”题开创的一次同余式问题，才真正得到了一个普遍的解法，才真正上升到了“中国剩余定理”的高度。
从《孙子算经》到秦九韶《数书九章》对一次同余式问题的研究成果，在１９世纪中期开始受到西方数学界的重视。
１８５２年，英国传教士伟烈亚力向欧洲介绍了《孙子算经》的“物不知数”题和秦九韶的“大衍求一术”；１８７６年，德国人马蒂生指出，中国的这一解法与西方１９世纪高斯《算术探究》中关于一次同余式组的解法完全一致。
从此，中国古代数学的这一创造逐渐受到世界学者的瞩目，并在西方数学史著作中正式被称为“中国剩余定理”。
孙子剩余定理-正文中国南北朝时期（5～6世纪）著名的著作《孙子算经》中“物不知数”问题所阐述的定理。
物不知数问题的原题是：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这属于数论的一次同余方程组问题。
用现代数学符号可表为求下列同余方程的整数解：式中《孙子算经》中使用一种适合解一般的一次同余方程组的方法，求得此特殊问题的最小整数解N=23。
解题步骤是：选定5×7的一个倍数，被3除余1，即70；选定3×7的一个倍数，被5除余1，即21；选定3×5的一个倍数，被7除余1，即15。
然后按下式计算式中105为3,5,7的最小公倍数，p为适当选取的整数,使得0＜N≤105，这里取p=2。
上述问题和解法，可直接推广为定理：设α1,α2,…,αn两两互素，则, (1)有整数解,且对模M是惟一的。
若记最小正整数解为N,则,式中k j满足。
p为适当选取的整数,使得N≤M。
“物不知数”问题,在欧洲是一个知名的问题，C.F.高斯于19世纪初给出了它的一般性定理。
因此国际上称上述《孙子算经》中的问题为孙子剩余定理或中国剩余定理。
《孙子算经》没有给出求k j的具体算法。
宋代秦九韶在《数书九章》中第一次详细地、完整地阐述了求解一次同余方程组的算法，他称做“大衍总数术”，其中包括求k j的一种机械化算法──大衍求一术。
秦九韶称αj为“定数”，k j为“乘率”,由中屡减αj所得的余数G j(<αj)为“奇数”。
“大衍求一术云：置奇右上，定居右下,立天元一于左上(图1)。
先以右上除右下，所得商数与左上一相生(即相乘)入左下。
然后乃以右行上下以少除多，递互除之，所得商数随即递互累乘归左行上下，须使右上末后奇一而止。
乃验左上所得，以为乘率。
”秦九韶在例题中曾以G j=3,αj=4为例，列出求k j的算草布式：此时右上余1，故左上即为乘率k j=3。
秦九韶还在历史上首次提出了当α1,α2,…,αn并非两两互素时, 求解(1)的方法。
他设计了“两两连环求等,约奇弗约偶”，"复乘求定"等算法,先约去诸模数α1,α2,…,αn中包含的多余的因子,得到新的一组,使恰为α1,α2,…,αn的最小公倍数。
再对,中的因子重新归并，得到使仍为α1,α2,…,αn的最小公倍数，且它们两两互素。
这样便将问题化约为模数两两互素的情形。
秦九韶尚未提及当α1,α2,…,αn并非两两互素时，方程(1)可解的条件。
但从他所举八道例题中有七道的模数满足可解条件这一事实分析，许多人认为秦九韶已知道该条件。
例1、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数.解：（1）先列出除以3余2的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26，…，（2）再列出除以5余3的数：3，8，13，18，23，28，….这两列数中，首先出现的公共数是8。