杜芬混沌综述
混沌发展历程研究现状及目的意义
混沌发展历程研究现状及目的意义1混沌的发展史 (1)2混沌同步发展史及研究现状 (2)2.1 混沌同步在超宽带无线通信中的应用 (3)2.2 混沌同步在数字水印中的应用 (3)3混沌保密通信研究现状与发展趋势 (4)4研究目的和意义 (5)1混沌的发展史混沌的发现从现代科学意义上讲可追溯到19世纪末20世纪初庞加莱在研究限制三体问题时遇到了混沌问题，发现三体引力互相作用能产生惊人的复杂性，他是世界上第一个了解混沌存在的人。
典型的Duffing动力学方程和VDP动力学方程奠定了混沌动力学基础。
1954年到1963年间，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)和他的学生阿诺多(Amold)以及瑞士数学家莫西(Moser)提出了著名的KAM定理。
1963年，洛伦兹(Lorenz)给出了三个变量的洛仑兹方程。
这都为混沌运动奠定了基础。
1964年，法国天文学家M.Henon等人从研究球状星团以及洛伦兹吸引子中得到启发，得到了一个二维不可积哈密顿系统中的确定性随机行为，发现了Henon映射。
混沌一词的应用是从美国数学家约克(J.A.Y okr)和李天岩(T.Y.Li)题为“周期3意味着混沌”的文章中引用得来的。
1976年，美国生态学家梅(May)在文章《具有极复杂的动力学的简单数学模型》中，研究了一维平方映射，指出逻辑(Logistic)非常简单的一维迭代映射也能产生复杂的周期倍化和混沌运动。
后来，美国物理学家费根鲍姆(Feigenbaum)与1978年发现了倍周期分岔现象中的标度性和普适常数，并引入了重整化群的思想，从而使混沌在现代科学中有了坚实的理论基础。
1984年，美国物理学家肖(Shaw)和他的同事用水龙头进行混沌实验，并有实验数据重建了奇怪吸引子。
从20世纪80年代开始，混沌的理论受到广泛和深入的研究，人们着重研究系统如何从有序进入新的混沌及混沌的性质及特点。
1983年，由蔡少棠(L.O.Chua)发明的蔡氏电路由于结构简单，实现容易，并且表现出丰富的混沌行为。
混沌理论 综述 很全ppt课件
Content
1. 混沌与分岔的起源与发展 2. 混沌的概念 3. 混沌的特点 4. 混沌现象举例 5. 分岔的概念 6. 混沌的研究方法 7. 分岔的研究方法 8. 混沌在现代科技领域的应用
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混沌与分岔的起源与发展
❖ 公认的最早发现混沌的是伟大的法国数学家，物理学 家—庞加莱，他是在研究天体力学，特别是在研究三体 问题时发现混沌的。他发现三体引力相互作用能产生惊 人的复杂行为，确定性动力学方程的某些解有不可预见 性。
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分岔的概念
❖ 分岔(bifurcation)是非线性领域的重要理论。分岔是指动力学 系统中，控制参量改变时，其各自的拓扑结构发生突然变化。
❖ 混沌的定性描述，“混沌是确定性非线性系统的有界的敏 感初始条件的非周期行为”。
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混沌的概念
❖ n周期点的定义：如果对于某x0 ，有f (n)(x0)=x0，但对于小于n的自然 数k，有f (k)(x0)≠ x0 ，则称x0为f 的一个n周期点。
❖ n周 期 轨道的定义：当 x0为f 的一个n 周期点时， 称{x0, f (1)(x0), f (2)(x0),…, f (n-1)(x0)}为f 的n周期轨道。
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混沌现象举例--昆虫繁衍
下面取λ为不同值对虫口方程进行迭代求解： 1. 取λ：0—1迭代 ❖ 容易验证，λ在0—1之间时，无认初始值取多少，对方程Xn+1=λXn (1—Xn)迭代
归宿均为确定值零。这是一个最平凡的1周期解，对应系统的稳定态。 2. 取λ：1—3迭代 ❖ 迭代也是收敛的，迭代结果总是趋向于一个稳定的不动点，这是一个非零的1周
混沌的特点
2. 内在随机性
❖ 确定性行为一定产生于确定性方程，而随机行为却产生 于两类方程：一类是随机微分方程，一类是确定性方程。 随机微分方程表现出来的随机性是由随机参数、随机初 始条件或随机外界强迫所产生，常称为外在随机性。确 定性方程本身不包含任何随机因素，但在一定的参数范 围却能产生出看起来很混乱的结果，把这种由确定性方 程产生的随机性称之为内在随机性。
混沌概述
R为有理数 R为无理数
无理环面
近可积体系的相空间特点
有理环面的变化
有理环面消失，被无穷 嵌套的不变环面替代 呈现一种自相似结构
无理环面的变化
KAM定理
当微扰充分小时，相空间 中绝大部分无理环面经微 扰后仅发生光滑变形，系 统在这些光滑环面上保持 其准周期运动
KAM环面的存在使混沌 运动限制在局域范围之内
混沌经典模型-虫口模型
分岔
动力学系统中当控制参量改变时，其演化行为会 发生一个结构的突然变化
R=3.5699时进入混沌
虫口模型的分岔图
李天岩-约克定理
定理一
周期三的出现预示所有的周期都有可能出现
定理二
由不同初值出发的两条轨道就会有时靠得极近， 有时又必定离得足够远，即产生了混沌。
动力学系统
保守系统
连续系统
耗散系统 动力系统 耗散系统
离散系统
保测度映射
有阻尼无驱动的单摆
耗散系统的扩展相图
有驱动无阻尼的单摆体系
保守系统的相图
庞加莱截面图
庞加莱截面是运动轨迹与选取的平面相交之
后形成的截面图
周期轨迹：截面图上为 孤立，离散的周期点 准周期轨迹：在截面图 上表现为封闭曲线 混沌的轨迹：在截面图 上表现为混乱、弥散的 点
什么是混沌
蝴蝶效應
什么是混沌
不规则中蕴藏秩序
天气看似无法精确预报，但年复一年程序一定 的规律性 可以对短期做出有效的预报
混沌
确定的但不可预测的运动状态
作为系统基础的动力学是确定的； 个别结果敏感依赖初始条件，长期行为不可预 测；
分岔图做法[1]
![分岔图做法[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/f8c583b4172ded630b1cb664.png)
>>混沌研究总结篇------一、分岔图（系统）先打个提纲，这几天把自己混沌相关知识研究学习内容总结一下。
首先简绍几个基本概念：一、自治系统一个n阶自治的连续动态系统可以表示为可以理解为对于自治的连续系统，上相量场f是不依赖于时间t的。
二、非自治系统一个n阶非自治的连续动态系统可以表示为可以理解为对于非自治的连续系统，向量场f不仅依赖于状态变量x，而且依赖于时间t，如Duffing振子。
三、庞加莱映射庞加莱映射是一个传统的用来离散化连续系统的方法。
庞加莱映射可以用(n-1)阶的离散映射来取代n阶的连续系统。
庞加莱映射的用处正在于减小系统的阶数，并且在连续系统和离散系统之间建立了一座桥梁。
对于n阶自治系统，其对应的解对就着轨迹。
当选择作为一个(n-1)维的超平面，这样轨迹将穿越超平面。
难点主要是超平面的选取，使其对应的解穿越超平面，就可以得到一个领域内的庞加莱映射。
对于n阶非自治系统，若其外加强迫力的最小周期是T,j最终的庞加莱映射可以定义为相应的轨道P(xk)是对某个轨迹每隔T时刻采样一次获得，这种操作和每隔T时刻的频闪观测仪的行为很相似。
所以要想得到一个系统的庞加莱映射，这段话一定要好好理解，当真真知道这中间说的含义，庞加莱映射这么画其实也已经知道国。
四、分岔图分岔图的横坐标是一个变化的参数，纵坐标是你要求的某一个量的随着各参数的变化情况，而poincare则是我们选取横坐标上的某参数的某一个具体值时截面图，只不过poincare截面的选取其实可以是任意的。
下面主要研究的混沌系统有：Logistic、Henon、Lorenz、Duffing、Rossler、Chen、混沌电机模型等系统系统先说Chen系统，因为和课题有一定的关系，而且自己以后起家也得从Chen系统入手。
系统方程如下：dx/dt=a*(y-x)dy/dt=(c-a)*x+c*y-x*zdz/dt=x*y-b*z就是对此方程中不同参数a、b、c下对系统画分岔图，研究混沌系统(1)给定a、c，画b关于系统的分岔图结果如下图所示CODE：function fenchatuchenclc;clearXA=35;XC=28;Z=[];for XB=linspace(2,,100);options = odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',[1e-4 1e-4 1e-5]);[T,X]=ode45('chen',[0,50],[-5 0 5],options,XA,XB,XC);n=length(X);for k=round(n/2):nif abs(X(k,1))<1Z=[Z,XB+abs(X(k,2))*i];endendendfigureplot(Z,'.','markersize',1)title('chen映射分岔图')xlabel('b'),ylabel('|x| where x=0')这组代码不完全是自己的,现在见解其中一些方法在进行自己系统的绘制，这个程序的具体原理我会在后面给出来的。
混沌运动——精选推荐
混沌运动●图⽚来源：独眼矮⼦《迷失在混沌的世界》本世纪以来，⼈们越来越意识到：物理世界是⼀个充满着⾮稳定性和随机涨落的复杂体系，单⼀的决定论或概率论的描述⽅法并不完备；物理学家要⽤新的见解来重新考察物质的运动和结构，以便更深刻地描述⾃然界的真实情况。
混沌（chaos）和分维（fractal）就是这些新见解的⼀部分。
为了使物理图象更为清晰，本⽂着重介绍混沌运动的各种表现，⽽省去了详尽的数学推导。
运动的⾮线性和混沌在物理学中，我们通常研究的是线性问题。
所谓线性问题，就是表达该过程的物理学规律，即微分⽅程式中，只包含函数ψ及其导数的⼀次项。
若含有⼆次等⾼次项，则称为⾮线性的，线性仅是某种程度上的有条件的近似。
单摆运动是⼤家所熟悉的，它的运动⽅程是=-g/l，是线性的，表现出简谐振动特征。
我们知道是在⼩⾓条件下对sinθ的近似代换。
其实按照泰勒级数展开sinθ=-3/6 ……，除⼀次项外，还存在⾮线性微扰项。
在某些稳定过程中，这些微扰项的效应不会表现出来，可以作为线性问题处理；⼀旦⾮线性微扰的作⽤通过⾃放⼤过程⽽不断强化，则会使摆的运动复杂起来。
如果在单摆实验装置中，⽤⼀枚铁质回形针作摆球，在摆球下⽅平放⼀块塑料板，板上粘两块强度相同的磁铁：这就构成了磁微扰单摆试验装置。
调整塑料板位置，使磁铁联线的中点就在摆球的正下⽅。
我们随意把摆球拉开⼀个⼩位移，在塑料板上仔细地记下它们的位置，并观察摆球最后停下的位置。
不难发现：这些运动的初始点可分为⼆⼤类：⼀类是可以准确地判定摆球最终将停留在哪块磁铁附近，另⼀类则是⽆法进⾏判定的。
进⽽发现，摆球的起始位置越靠近两磁铁的等距点，摆球的运动迹线越复杂，越难预先判定其最终归宿。
⽽若要把这类初始点的位置构成⼀个集合⼜是那么的困难：它们凹凸曲折、时断时连，很不光滑，⼜⽆穷尽。
实验结果发现，磁微扰单摆运动出现了特异的表现。
⾸先，运动是在决定论中蕴含着随机性，使得对于某些起始条件下的运动结果是不可预测的。
分岔图做法[1]
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>>混沌研究总结篇------一、分岔图（1.Chen系统）先打个提纲，这几天把自己混沌相关知识研究学习内容总结一下。
首先简绍几个基本概念：一、自治系统一个n阶自治的连续动态系统可以表示为可以理解为对于自治的连续系统，上相量场f是不依赖于时间t的。
二、非自治系统一个n阶非自治的连续动态系统可以表示为可以理解为对于非自治的连续系统，向量场f不仅依赖于状态变量x，而且依赖于时间t，如Duffing振子。
三、庞加莱映射庞加莱映射是一个传统的用来离散化连续系统的方法。
庞加莱映射可以用(n-1)阶的离散映射来取代n阶的连续系统。
庞加莱映射的用处正在于减小系统的阶数，并且在连续系统和离散系统之间建立了一座桥梁。
对于n阶自治系统，其对应的解对就着轨迹。
当选择作为一个(n-1)维的超平面，这样轨迹将穿越超平面。
难点主要是超平面的选取，使其对应的解穿越超平面，就可以得到一个领域内的庞加莱映射。
对于n阶非自治系统，若其外加强迫力的最小周期是T,j最终的庞加莱映射可以定义为相应的轨道P(xk)是对某个轨迹每隔T时刻采样一次获得，这种操作和每隔T时刻的频闪观测仪的行为很相似。
所以要想得到一个系统的庞加莱映射，这段话一定要好好理解，当真真知道这中间说的含义，庞加莱映射这么画其实也已经知道国。
四、分岔图分岔图的横坐标是一个变化的参数，纵坐标是你要求的某一个量的随着各参数的变化情况，而poincare则是我们选取横坐标上的某参数的某一个具体值时截面图，只不过poincare截面的选取其实可以是任意的。
下面主要研究的混沌系统有：Logistic、Henon、Lorenz、Duffing、Rossler、Chen、混沌电机模型等系统1.Chen系统先说Chen系统，因为和课题有一定的关系，而且自己以后起家也得从Chen 系统入手。
系统方程如下：dx/dt=a*(y-x)dy/dt=(c-a)*x+c*y-x*zdz/dt=x*y-b*z就是对此方程中不同参数a、b、c下对系统画分岔图，研究混沌系统(1)给定a、c，画b关于系统的分岔图结果如下图所示CODE：function fenchatuchenclc;clearXA=35;XC=28;Z=[];for XB=linspace(2,5.5,100);options = odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',[1e-4 1e-4 1e-5]);[T,X]=ode45('chen',[0,50],[-5 0 5],options,XA,XB,XC);n=length(X);for k=round(n/2):nif abs(X(k,1))<1Z=[Z,XB+abs(X(k,2))*i];endendendfigureplot(Z,'.','markersize',1)title('chen映射分岔图')xlabel('b'),ylabel('|x| where x=0')这组代码不完全是自己的,现在见解其中一些方法在进行自己系统的绘制，这个程序的具体原理我会在后面给出来的。
洛伦兹模型与混沌
洛伦兹模型与混沌—————《蝴蝶效应》混沌理论：混沌理论（（Chaos theory）是关于非线性系统在一定参数条件下展现分岔（bifurcation）、周期运动与非周期运动相互纠缠，以至于通向某种非周期有序运动的理论。
在耗散系统和保守系统中，混沌运动有不同表现，前者有吸引子，后者无（也称含混吸引子）。
从20世纪80年代中期到20世纪末，混沌理论迅速吸引了数学、物理、工程、生态学、经济学、气象学、情报学等诸多领域学者有关注，引发了全球混沌热。
混沌，也写作浑沌（比如《庄子》）。
自然科学中讲的混沌运动指确定性系统中展示的一种貌似随机的行为或性态。
确定性（deterministic）是指方程不含随机项的系统，也称动力系统（dynamical system）。
典型的模型有单峰映象（logistic map）迭代系统，洛伦兹微分方程系统，若斯叻吸引子，杜芬方程，蔡氏电路，Chen 吸引子等。
为浑沌理论做出重要贡献的学者有庞加莱、洛伦兹、上田睆亮（Y. Ueda）、费根堡姆、约克、李天岩、斯美尔、芒德勃罗和郝柏林等。
混沌理论向前可追溯到19世纪庞加莱等人对天体力学的研究，他提出了同宿轨道、异宿轨道的概念，他也被称为浑沌学之父。
混沌行为可以在许多自然系统中被观测到，例如天气和气候。
[1]对于这个行为的研究，可以通过分析混沌数学模型，或者通过诸如递归图和庞加莱映射等分析技术。
定义混沌理论是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中无法用单一的数据关系，而必须用整体，连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。
“一切事物的原始状态，都是一堆看似毫不关联的碎片，但是这种混沌状态结束后，这些无机的碎片会有机地汇集成一个整体。
”混沌一词原指发现宇宙混乱状态的描述,古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论，主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。
在井然有序的宇宙中，西方自然科学家经过长期的探讨，逐一发现众多自然界中的规律，如大家熟知的地心引力、杠杆原理、相对论等。
混沌理论简介
x x(1 x)[1 x(1 x)]
2
（10）
因式分解可得：
x[ x (1 )][ x (1 ) x 1 ] 0
2
1
1
方程的解为：
(11)
小结
1
虫口模型得出的混沌的特征： 自相似的规律。
2
窗口的规律。
黑线的规律。
3
混沌在生活中的例子。 在做馒头揉面时，要早发面中放一点碱粉，经过完全 重复的多次揉面动作，减分会在面团中形成均匀分布。这 种过程显然是不可逆的，因为不可能将已经均匀分布的碱 粉重新集中在一起，假如揉面的过程由下图三个基本动作： 压缩且拉伸，切断，重叠。则揉面就是上述三个动作的重 复。没经过一次三个动作，面团中每个质点的位置都发生 变化（这种变化成为一次面包师变换），可以看出经过多 次面包师变换，可以把原来靠的很近的两个质点分的很远。 如果沿质点运动轨迹测量两个质点之间的距离，原来差之 毫厘的两个质点可以达到差之千里的地步，之中揉面动作 是确定性的，但却产生了质点轨迹很混乱的运动。
经典力学在天体运动和预报潮汐运动中的成功，是的20 世纪50---60年代之间对气象的长期预报充满了盲目的乐观。 人们想既然能预报潮汐为何不能长期预报天气，都是流 体嘛。人类不光能预报天气还应该能改造天气！！！
现实那？？？
混沌的另一个例子-----蝴蝶效应
他当时先进的计算机排出了云 团运动方程式，计算机算出的数 据基本上与气象员的观测相符合。 计算机是很忠实的用相同的初 始条件总是一丝不苟的给你相同 的结果。
()
定点的稳定性问题：
x 从图像可以看出，稳定还是不稳定取决于M(x)曲线在
点的斜率，斜率的绝对值小于1，定点是稳定的，斜率的绝 对值大于1，定点就不稳定。 对曲线方程
Duffing混沌系统的电路仿真研究
DOI ：10．19392/j．cnki．1671－7341．201926177Duffing 混沌系统的电路仿真研究赵宁柳州铁道职业技术学院广西柳州545616摘要：借助Duffing 参数敏感性来检测微弱的信号是当前有关领域研究的重点，文章在阐述Duffing 系统及其电路实现的基础上，分析基于Duffing 混沌系统的电路仿真设计，旨在能够更好的提升电路设计的精准度。
关键词：Duffing 混沌系统；电路仿真；设计近几年，伴随混沌理论在现代科学领域的广泛应用，人们开始将混沌理论应用在微弱信号的检测分析中，并根据研究应用不同类型的背景噪声形成了多种应用混沌来进行微弱信号检测的理论和方法。
基于Duffing 混沌系统对初始参数信息的敏感性，使其可以利用混沌振子提取和检测微弱信号。
因此，从提升电路设计的精准度为基本出发点，就Duffing 混沌系统的电路仿真设计问题进行探究。
1Duffing 混沌系统Duffing 方程是描述共振现象、调和振动、次调和振动、拟周期振动、概周期振动、奇异吸引子和混沌现象的一种模型。
基于Duffing 混沌系统的微弱信号检测常用方程如（1）表示。
在公式中k 代表的是阻尼比，fcoswt 是内置激励信号，－x （t ）+x 3（t ）表是系统非线性恢复力项。
x ㊆（t ）－kx （t ）－x （t ）+x 3（t ）=fcoswt （1）2Duffing 混沌系统的电路特性2．1初始参数敏感性基于Duffing 混沌系统的初始参数敏感性是指在输入驱动正弦信号幅度数值较小的时候，相轨迹表现为poincare 映射下的吸引子。
在输入驱动正弦信号幅度数值超过一定阈值的时候将会出现同宿轨道的现象，且伴随输入驱动正弦信号幅度数值的增加，周期倍化将实现分叉，之后进入到混沌的状态，使得整个电路系统处于一种混沌的状态。
2．2对不同频率的基本响应导致Duffing 混沌系统从混沌状态朝着大尺度周期转变的临界驱动有效电压并不完全相同，但是在一定有效位数上是相同的。
混沌哲学概念
混沌哲学概念以下是有关混沌哲学的概念：混沌哲学理论是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用来探讨动态系统中（如：人口移动、化学反应、气象变化、社会行为等）必须用整体、连续的而不是单一的数据关系才能加以解释和预测的行为。
混沌哲学理论不是糊涂理论，不是宣扬真理的理论，也不是意识形态，是辩证之道，自然之道，是发展着的关于世界的认识论和方法论。
1.从蝴蝶效应出发爱德华·诺顿·罗伦兹，美国的气象学家，被称为混沌理论之父，也是“蝴蝶效应”的发现者。
他从所发现的“蝴蝶效应”起，提出了混沌学的概念，并一语双关地为混沌学提出了一个貌似荒诞的例子：在巴西有一只蝴蝶拍打翅膀，能在美国得克萨斯州引发一场龙卷风。
他的这一说法给人印象深刻，最初一刹那，人们会嘲笑这件事荒唐，然而仔细推敲，这一说法却令人着迷，不仅在于大胆的想象力，更在于其深刻的科学内涵与哲学魅力。
“蝴蝶效应”也时刻提醒着人们，如果一个微小的机制不加以适度的引导和调节，就有可能成为一个“坏的开端”，最终构成对整个社会的巨大危害；同样，如果调节得当，正确疏导，再经过一段时间的努力，就可能产生激励社会前进的轰动效应。
对于“蝴蝶效应”，中国有很多的成语加以告诫，在西方也有类似的顺口溜：丢了一根钉子，坏了一个马蹄；坏了一个马蹄，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位战士；伤了一位战士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国。
2.混沌哲学理论的例子（1）计算机可以计算出白球的未来轨迹（尽管程序必须非常精确地知道桌子上所有球的位置）。
假设稍微移动其中一个有色球，白球就会走不同的路线。
一个无法估量的微小差异最终可能产生重大的差异。
（2）天气是混沌理论的一个著名例子。
这个想法德华洛伦兹用气象模型进行计算以来就一直存在。
同一个计算运行两次后，会得到差异较大的两种结果。
（3）一个不太为人所知的例子是生态系统。
生态系统是自然环境的一部分。
生物方面（如动物和植物）和非生物方面（如空气、水和土壤）确保循环是连续的。
混沌学
蝴蝶力量——混沌（0902040115 梁熊土木学院09给排水一）一、混沌的定义1961年冬天，洛伦茨用计算机作天气仿真运算。
为了省事，他从原先输出的计算结果中选出了一行数据——相当于某一天的天气状况——作为初始条件输入了程序。
计算机从那一天的数据开始了运行，洛伦茨则离开了办公室去喝咖啡。
中国的神话故事中有所谓“洞中方一日，世上已千年”的传说，洛伦茨的一杯咖啡就“喝”出了那样的境界。
一个小时后，当他回到实验室时，仿真系统已经运行了两个月。
洛伦茨一看结果，不禁吃了一惊：新的计算结果与原先的大相径庭。
这为什么令人吃惊呢？因为这次计算采用的初始条件乃是旧的数据，既然初始条件是旧的，得到的结果怎么会大相径庭呢？原来，第二次运算时他为了省事，直接从上一次仿真的中段开端，输入第一次仿真结果打印出来的数据，让计算机运算。
这样从中段开始与完全从头开始的差别在于，打印单上只显示到第一次的计算机运算结果小数点后3位的0.506，而非完整的小数点后6位0.506127。
因此，当洛伦茨把以前输出的数据作为初始条件输入时，它与原先计算中保留了十几位有效数字的数据相比，已经有了微小的偏差。
洛伦茨的计算表明，在他的仿真系统中，这些微小的偏差每隔四天就会翻一番，直至新旧数据之间的相似性完全丧失为止。
最初远小于千分之一的差异，最终却造成了第二次的仿真结果和第一次完全不同，这正是蝴蝶效应。
洛伦茨从这个惊人的结果发现，准确预测天气只是人类的幻想，进而揭示出混沌现象具有不可预言性和对初始条件的极端敏感依赖性这两个基本特点，洛伦茨最初使用的是“海鸥效应”来形容这种现象，不过这并不是一个完全新颖的比喻：爱伦坡曾声称人们挥着手可能会影响大气条件，但洛伦茨是第一次对此进行系统思考并形成新的理论的人。
他把这一发现写成研究论文，于1963年出版，并于1972年正式提出“蝴蝶效应”这一著名的名词。
科学家们对混沌理论评价很高，认为“混沌学是物理学发生的第三次革命”，它与相对论、量子力学同被列为20世纪的最伟大发现之一。
分数阶混沌系统中的空间动力学特性分析与研究
分数阶混沌系统是一类具有丰富动力学行为的非线性系统。它与传统的整数阶混沌系统相比，具有更多的复杂性和灵活性。本文将围绕分数阶混沌系统的空间动力学特性展开分析与研究。
首先，我们来了解一下分数阶混沌系统的基本概念和特点。分数阶混沌系统是指系统的动力学方程中包含分数阶导数的一类非线性系统。与整数阶混沌系统相比，分数阶混沌系统在时域上表现出更多的复杂性，如周期振荡、混沌行为的多样性和长时间尺度的自相关性。这使得分数阶混沌系统在实际应用中具有广泛的价值和意义。
最后，我们还可以将分数阶混沌系统的空间动力学特性与实际应用相结合，探索其潜在的应用价值。例如，在通信领域，分数阶混沌系统可以用来生成随机序列和安全加密；在经济学领域，分数阶混沌系统可以用来模拟金融市场和预测经济走势。这些应用将进一步促进对分数阶混沌系统空间动力学特性的理解和研究。
综上所述，分数阶混沌系统的空间动力学特性是一个复杂而有趣的研究领域。通过对其进行深入的分析和研究，我们可以更好地理解和把握分数阶混沌系统的动力学行为和特征。同时，结合实际应用，我们还可以将其转化为实际问题的解决方案，推动科学技术的发展和创新。
接下来，我们将分析分数阶混沌系统的空间动力学特性。空间动力学是研究动力系统在空间维度上的演化规律和结构特征的一个重要分支。在分数阶混沌系统中，空间动力学表现出与整数阶混沌系统不同的特点。首先，分数阶混沌系统的相空间结构更为复杂，存在更多的奇点和不可逆性。其次，分数阶混沌系统的自相关性和长时间尺度的依赖关系使得空间动力学的演化模式不再是简单的周期振荡和混沌行为，而更具有自组织和自相似性。
进一步研究分数阶混沌系统的空间可以用来描述分数阶混沌系统的基本结构和动力学规律，而计算模拟可以用来模拟和验证数学模型。通过数学模型和计算模拟的相互作用，我们可以深入理解分数阶混沌系统的空间动力学特性。
混沌及其应用研究
混沌及其应用研究混沌是一种非线性动力学系统，它的本质是不可预测性和确定性，因此被认为是一种随机的现象。
混沌现象最早是由法国数学家亨利·庞加莱在19世纪末发现的，他在一个天体力学问题中发现了一种体现这种特性的运动状态。
随后，科学家们开始研究混沌的本质和应用。
混沌的本质混沌系统的本质是非线性，即它们的行为不满足线性关系，而是非常复杂的。
这种复杂性导致了混沌系统的不可预测性和不确定性。
换句话说，混沌系统的行为难以用简单的公式或规律来描述和预测。
这种情况对科学家们提出了挑战，同时也为混沌现象的研究和应用打下了基础。
混沌应用的研究混沌现象的研究涉及诸多学科，包括数学、物理、工程等。
其中，混沌在物理学中的应用最为广泛。
例如，在天气预报中，混沌模型可以帮助科学家们更好地理解大气动力学和气象现象。
此外，混沌还被应用于自然灾害预警和控制系统的设计中。
混沌模型还被用来研究生态系统和种群动力学，以及人类社会的发展过程。
在生态学中，混沌模型可以帮助科学家们更好地了解生态系统中各个因素之间的相互作用和演化趋势。
而在社会科学中，混沌模型被用来预测人类社会的发展趋势和变化。
混沌应用的发展与未来随着计算机技术的不断发展和计算能力的加强，混沌应用的研究也取得了长足的进展。
相信在未来几年，混沌模型将发挥更加重要的作用，为各行各业提供更加精确和有效的应用方案。
总结综上所述，混沌是一种非常重要的现象，它的本质特点是非线性和不可预测性。
混沌应用的研究涉及众多领域，包括物理、数学、生态学和社会科学等，它为各个领域的研究提供了很好的工具。
未来，混沌应用的发展将为人类社会的发展和进步做出更多的贡献。
混沌学
Devaney’s Definition of Chaos
i) f is topologically transitive.
transitive : for all non-empty open subsets U and V of X, there exists a natural number k such that fk(U)∩V is nonempty.
碎形(fractal)－混沌世界的秩序
毛線的維度＝?
遠距離來看，繩團凝聚成點，維度為零； 再近一點，看出來毛線團占據球形的空間，維度擴展成三； 再走近一些，看出毛線團是由一根根毛線所構成，他的維度為一， 即使它已糾結充斥了三維空間。 And then ?
「數據結果視觀測者與其對象而改變。 這種概念也正是這個世紀物理學的中心思想」
混沌的重要法則：疊代(Iterative)
‧將前次產生的值再重新代入本身的一種行為 ‧f(xn)=xn+1 ‧例子：天氣系統、生物數量 ‧對於初始條件的敏感
Example : f(xn+1)=4xn(1-xn)
brown: x0=0.6
green: x0=0.6001
Example : f(xn+1)=4xn(1-xn)
bExample : f(xn+1)=4xn(1-xn)
i)系統的變化看似是毫無規則，但實際上是有跡可尋的。
ii)系統的演化對初始條件的選取非常敏感，初始條件極微小的分別 (就 例如 0.6 和 0.6001 僅僅相差六千分之一)，在一段時間的演化後也可帶 來南轅北轍的結果。
Devaney’s Definition of Chaos
iii) f has sensitive dependence on initial conditions.
fxd3-2混沌
4. 混沌的一些特点
（4）具有混沌吸引子。
• 从局部来看，相互邻近的轨道却又有相互排斥而分 离的作用。是分离和折叠的统一。
• 混沌运动的奇怪吸引子具有无穷层次的自相似 （self-similar)结构。这种结构称为分形。其维 数常常是非整数。
管在靠得较近时发出的音调趋于一致，离得较远时则发生差拍现象。
线性振子
振动方程：
x Asin(t +)
三个特征量：振幅A、频率ω与相位φ，频率是固有的，振幅与相位决
定于初始条件。
非线性振子，如范德玻耳振子，杜芬振子等. 三个特征量：振幅、频率与相位都是与非线性系统的各个参数紧密相关的， 并且最终达到的振动状态与初始条件无关。
当F ~1时，角速度分岔成上下两支，运动状态似乎开始出现倍周期分岔。 但从相图来看仍是单周期运动，只是相轨线左右是不对称的，说明单摆运 动发生了对称性破缺。对称性破缺使单摆相对于零摆角是不对称的。
受驱单摆的混沌道路
F = 0 ~1.25间的运动状态
由于对称性破缺，当产生与 ， d dt d dt ， 相关 的变换时,产生了新吸引子对。这些新产生的吸引子对其平均角速度一般不为 零，这时角速度: d / dt (m n)n m，n为非零的整数 (3) F >1.048
或 P / Q 2 /1 有理数
说明一个振子与另一振子出现了同步，称为锁模，也称锁相(Phase-locking)
或锁频(Frequency-locking)。
同步与锁模是存在耦合的多个非线性振动系统的固有特性。因此锁模有一
定的范围，范围大小与两个振子间的耦合强度有关。
如果耦合很弱，锁模范围很小，两个振子基本上在独立振动，大多数振 动频率运动是非锁模的，它们处于准周期（Qusi-priodicity，或称拟周期）运 动状态。
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（2）当F=0.123时，可以得到相轨图 如下：
由于相轨图只是定性的表示杜芬系统的状态，
而我们也可以 用李雅普诺夫指数进行定量的 描述，通过matlab工具也可获得此时李雅普 诺夫指数的图像，由于只要存在一个正的李 雅普诺夫指数就可以说明处于混沌状态。 将系统转化成一个三维的系统，通过matlab 编程可以得到此时系统对应的李雅普诺夫指 数如下图像：
（3）从系统的相轨迹的变化分析中可以看出
混沌系统的动力学行为对初始参数是极其敏 感的，因此，可以利用待测周期信号使系统 动力行为从混沌临界状态转变到大尺度周期 状态的相轨迹的变化过程进行弱信号的检测。 这正是利用Duffing系统进行微弱周期信号幅 值检测的理论依据。
（4）系统发生混沌行为时系统对参数的依赖
通过matlab工具编程可以实现杜芬系统的相
轨图的变化。首先将杜芬系统改写成一个二 维系统如下。先考虑系统不加超声导波信号 时的相轨迹图： （1）
（1）调节F的值可以看出相轨图有明显的变
化； 当F=0时，系统初值也选择（0，0)时，系 统处于此时呈现的是一个点，也就是所谓的 不动点。继续调节F使得系统处于周期2，如 下所示。
（3）世界知名的动力气象学家，混沌理论的
创立者之一Lorenz指出混沌具有三个特点 1貌似随机； 2对初始条件敏感的依赖性； 3敏感的依赖于初始条件的内在变化。
二．混沌的基本特征
（1）对初始条件的敏感依赖性 表现为对一条混沌轨道施加无穷小的扰动， 则在时间演化过程中该轨道将以指数律发散 的形式偏离原轨道。 典型的现象是蝴蝶效应， 也可用“失之毫厘，谬以千里
杜芬方程是弱信号检测中的常用模型，它所
描述的非线性系统表现出多种非线性特性， 包括振荡，分岔，混沌的复杂状态，
五 杜芬系统数学模型及分析
（1）杜芬系统的方程表达式为：
（2）式中k为阻尼比，
为系统的非线性恢 复力项，等号右边的式子为驱动力项，即在 系统外部施加了强迫项。方程的解完全依赖 于k。F,w，及振子的初始状态。设有待检测 超声导波信号为S（t），且其周期也为w，则 此时系统为：
先将系统改写成一个三维的
由于这是一个三维的系统，所以应该有三个
李雅普诺夫指数，也就是应该有三条曲线， 分别表示三个李雅普诺夫指数。此外，从图 中还可以看出不存在大于0的李雅普诺夫指数， 所以系统的最终状态不是混沌状态，与应用 相轨图得到的结论是一样的。
（2）当加入策动力幅值时的情况
例如取F从0开始增加取到0.66时，c取0.43，
六混沌系统检测弱信号的原理
微弱信号的幅值小,测量时又易受传感器和测
量仪器本身噪声的影响,表现出的总体现象一 般是有用的被测信号被多种强信号所淹没。 所以将弱信号导入混沌系统，利用混沌系统 对初值的敏感性，来检测出微小幅值得存在。 混沌的初值敏感性是指，只要改变混沌方程 中的参数，例如策动力幅值，相轨图或者李 雅普诺夫指数就有很大的变化。加入弱信号， 就相当于改变了策动了的幅值了。
其中，表示时刻最邻近零点间的距离；M为
计算总步数。最大 Lyapunov指数不仅是区别 混沌吸引子的重要指标，也是混沌系统对于 初始值敏感性的定量描述。
对于n维系统的指数谱，若该系统具有混沌吸
引子，则必须同时满足以下条件 （1）至少存在一个正李雅普诺夫指数 （2）至少存在某一指数为0 （3）指数谱之和为负。
Kolmogorov熵的计算可以在相空间中进行， 包括最小二乘法等。 （6）分形理论分析方法 以上分析了混沌现象及相关定义，以及混沌 的特征，判别方法及判据。使得对混沌系统 有了初步界定和了解
超声导波的应用背景
超声导波检测技术的基本原理是应力波在有界结构 中传播时会发生散射，透射，折射等现象，通过研 究应力波在波导中的传播特性，可以评估结构的完 整性。超声导波技术已经被广泛的应用于管道，铁 轨，钢绞线，索等结构中。导波在波导中传播时， 产生导波的衰减。若检测范围较大时，由于导波的 衰减性和频散性，检测信号必将表现出强噪声下的 弱信号特征。此检测问题已经成为影响超声导波检 测效率重要因素之一。
系统进入混沌状态，得到相轨图如下所示， 也可以称为是奇怪吸引子
用李雅普诺夫指数图像验证
此图是如果方程变成了加上信号F*cos(c*t)后
的指数，其中F=0.66，c=0.43 由图中可以看出，最终当李雅普诺夫指数曲 线趋于稳定的一个值时，此时存在李雅普诺 夫指数大于0 ，而且三个指数的和一定是负 的，所以处于混沌状态，与前面的相轨图得 到的结果是一样的。
（1）混沌是非线性动力系统在一定控制参
数范围内产生的，对初始条件具有敏感依 赖性的非周期行为的状态，处于这种行为 状态的系统称为混沌系统。其中非线性是 动力系统出现混沌行为最根本的条件，是 系统必然要具备的因素。 （2）在决定论混沌中，混沌是一种动力学 系统的演化形式。在经典力学中，不论耗 散系统还是保守系统的运动，都可用相空 间中的轨迹来表示。混沌运动是确定论系 统中局限于有限相空间的轨道的高度不稳 定的运动。
（3）时域及相轨迹的直接观察方法：在时域
分析里，可通过观察各个状态变量的时域波 形，发现分岔和阵发性混沌，以及出现奇怪 吸引子。 （4）分维数 ：混沌运动具有某种潜在的秩 序，并能以相对较少的自由度来描述。分维 数给出了有关混沌的自由度的信息，分维数 的具体形式有很多种
（5）Kolmogorov熵：关联维数和
利用混沌振子检测微弱信号的基本思想是:将
待测信号作为混沌系统特定参数的补充而引 入混沌系统,根据系统由混沌向有序的相变,判 断出待测微弱信号的存在(幅值、频率、相位 等)
具体检测原理如下:首先在未加入待测信号之 前调节系统的策动力f（注意在此处调节的是 策动力f而不是阻尼k）使系统处于由混沌状 态向大尺度周期状态过渡的临界状态,得到阈 值fc。然后,加入同频率（是指和谁的频率相 同，还是说加入这些的信号的频率是相同的） 的待测信号αcos(t),
由于Duffing混沌系统对弱周期信号的敏感性,
加入弱周期信号后使系统发生相变后进入大 尺度周期状态(由于该混沌系统对噪声具有免 疫力,故噪声并不会影响系统的相变)。这时, 再次调节策动力f使得系统再次处于混沌到大 尺度周期的临界状态,得到策动力fc′。待测信 号的幅值α=fc-fc′。（通过比较加入信号前后 策动力幅值的大小就可以得到待测信号的幅 值）然而不同幅值的弱信号最后算出的李雅 普诺夫指数也是不同的，差别很大。
（2）长期不可预测性 混沌的非线性动力学特性决定了混沌是不可
以预测的，混沌对初始值的敏感性说明对其 进行预测存在一定难度。对于一个混沌过程， 对初始值的敏感性导致了每预测一次就会丢 失一部分信息，当预测若干次后，丢失的信 息越来越多，剩余的信息不足以进行合适的 预测，因此混沌不适合做长期预测。
三混沌系统的判据
所有混沌系统一定是非线性系统，但非线性
系统不一定是混沌系统。确定一个系统是否 存在混沌需要从多方面加以分析，结合定性 分析系统机理和其他方法，一下简介一些常 用的判别系统或时间序列是否具有混沌特性 的方法。
（1）Poincare截面法
：在相空间中选取一 截面，在截面上某一对共轭变量构成的截面 称为Poincare截面.当Poincare截面上是一些 成片的具有分形结构的密集点时，说明系统 是混沌的。 （2）Lyapunov指数法 ：李雅普诺夫指数是 指在相空间中相互靠近的两条轨线随着时间 的推移，按指数分离或聚合的平均变化速率。
加入超声导波信号s（t）后的相轨图
相应的李雅普诺夫指数图
通过综合分析可以如下结论： （1）策动力幅值对混沌运动有很大影响。在
同一策动力频率下，随着策动力幅值的不同， 动力学行为不同，表现为产生的混沌运动的 相轨迹不同。 2）固定一个F，或者说怎么从李雅普诺夫指 数的图像来求出此时对应的李雅普诺夫指数 呢。由于系统最终会趋于稳定，也就是李雅 普诺夫指数也会趋于一个定值，用最后稳定 的那个约数来表征李雅普诺夫指数也可以， 或者利用曲线的平均值来求也可以。或者利 用最小二乘法进行拟合。
（3）此系统的相变对周期小信号具有极强的
敏感性，对白噪声或者与参考信号频差较大 的周期干扰信号具有很强的免疫力，这就是 杜芬混沌振子显著的特征，也是其检测微弱 信号的基础。固定k=0.5，系统的相变比较明 显，一般固定k=0.5，去改变F。F从0依次增 大，混沌振子系统依次历经同宿轨道，分叉， 混沌，临界周期，大尺度周期五个状态。
性和混沌吸引子对噪声的免疫力使其在微弱 信号检测方面具有很好的应用。这种检测方 法主要以相轨迹从混沌状态向大尺度周期 态的转变为检测依据。因此对系统相轨迹图 模式的识别就可能存在误判以致带来误差。 所以就需要一个合适的指标来表示混沌系统 相轨迹的状态改变。所以采用李雅普诺夫指 数来进行定量计算，两者相互验证。
（3）分形性 分形性指混沌的运动轨线在相空间中的行为
特征，表示混沌运动状态具有多叶，多层结 构，且叶层越分越细，表现为无限层次的自 相似结构。混沌的相图通常表现为复杂的结 构，通过放大可以观测到自相似特征。
（4）有界性 混沌运动轨线始终局限于一个确定区域，混
沌吸引子是混沌有界性的最好体现。 （5）遍历性 混沌运动在其混沌吸引域内是各态历经的， 在有限时间内混沌轨道不重复地经历吸引子 内每一个状态点的邻域。 （6）混沌的运动限于有限区域且轨道永不重 复 （7）具有丰富的层次和自相似结构
（3）再考虑加入一个正弦信号，从而相当于
改变了周期策动力，也会是相轨图有所变化， 此时加入正弦信号令
此时方程变为
相轨图为如下
利用李雅普诺夫指数得到的图像为
无论是从相轨图还是李雅普诺夫指数都能看
出明显的混沌现象。然后将F调到系统处于混 沌运动和大周期运动的临界阈值，此时加入 同频率的导波信号，由于相当于改变了系统 的策动力幅值F，由于初值敏感性，系统会发 生明显的相轨图的变化。这也是用杜芬系统 检测导波弱信号的原理所在。得相轨图和李 雅普诺夫指数图分别如下：