菱形的判定专项练习30题(有答案)ok

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菱形的判定同步练习(含答案)

第六章特殊平行四边形1 菱形的性质与判定第2课时菱形的判定基础闯关知识点一：利用定义判定菱形1.如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA到点E,使AE=AB,连接ED,EC,AC.添加一个条件，能使四边形ACDE成为菱形的是( )A.AB=ADB.AB=EDC.CD=AED.EC=AD2.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,要使四边形AFDE为菱形,△ABC应满足的条件是.(添加一个条件即可)知识点二：利用对角线的位置关系判定菱形3.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，DE=DF.在下列条件中，使四边形BECF是菱形的是( )A.EB⊥ECB.AB⊥ACC.AB=ACD.BF∥CE4.从下图入口处进入，最后到达的是( )A.甲B.乙C.丙D.丁知识点三：利用边的关系判定菱形5.如图,将平行四边形ABCD沿AE翻折,使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是( )A.AF=EFB.AB=EFC.AE=AFD.AF=BE6.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是( )A.AB=BCB.AC=BCC.∠B=60°D.∠ACB=60°7.如图,在△ABC中,AD是角平分线,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.如果AE=4cm,那么四边形AEDF的周长为( )A.12cmB.16cmC.20cmD.22cm8.如图，两条笔直的公路l₁，l₂相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建了三个加工厂A,B,D,已知AB=BC=CD=DA=5千米,村庄C到公路l₁的距离为4千米，则村庄C到公路l₂的距离为.知识点四：菱形判定方法的综合应用9.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O，添加下列条件，不能判定▱ABCD是菱形的是( )A.AC⊥BDB.AB=BCC.AC=BDD.∠1=∠210.如图,在▱ABCD中,AE,CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线.添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是( )A.AE=AFB.EF⊥ACC.∠B=60°D.AC是∠EAF的平分线能力提升11.如图，在小正方形组成的网格图中，四边形ABCD的顶点都在格点上，则下列结论错误的是( )A.AD∥BCB.DC=ABC.四边形ABCD是菱形D.将边AD向右平移3格，再向上平移7格就与边BC重合12.如图,▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,BD=2AD,E,F,G分别是OC,OD,AB的中点，下列结论：①BE ⊥AC;②EG=EF;③△EFG≌△GBE;④EA平分∠GEF;⑤四边形BEFG是菱形.其中正确的个数是( )A.2B.3C.4D.513.如图，四边形ABCD内有一点E,AE=BE=DE=BC=DC,AB=AD,若∠C=100°,则∠BAD的度数为.14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,D为斜边AB上一点,以CD,CB为边作▱CDEB,当AD=时,▱CDEB为菱形.15.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA,DC的延长线分别交于点E,F.(1)求证:AE=CF.(2)请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由.16.如图,▱ABCD中,过点A作AM⊥BC于点M,交BD于点E,过点C作CN⊥AD于点N,交BD于点F,连接AF,CE.(1)求证:△ABE≌△CDF.(2)求证:当AB=AD时,四边形AECF是菱形.17.如图,过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB,BC,CD,DA 于点P,M,Q,N.(1)求证:△PBE≌△QDE.(2)顺次连接点P,M,Q,N,求证:四边形PMQN是菱形.培优创新【求解中点四边形的关键——中位线】18.如图，在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件,是( )A.四边形ABCD是梯形B.四边形ABCD是菱形C.对角线AC=BDD.AD=BC19.如图,在四边形ABCD中,E是AB上的一点,△ADE和△BCE都是等边三角形,点P,Q,M,N分别为AB,BC,CD,DA的中点，求证：四边形MNPQ是菱形.参考答案1.B2.示例:AB=AC3.C4.D5.C6.A7.B8.4千米9.C 10.C 11.C 12.C 13.50° 14.2.815.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,BE∥DF,∴∠E=∠F.在△AOE和△COF中,CF.(2)解:示例:当EF⊥BD时,四边形BFDE是菱形.理由:如图,连接BF,DE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD.∵△AOE≌△COF,∴OE=OF,∴四边形BFDE是平行四边形.∵EF⊥BD,∴四边形BFDE是菱形.16.证明:(1)∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,∠ABM=∠CDN,∴∠ABE=∠CDF.∵AM⊥BC,CN⊥AD,∴∠AMB=∠CND=90°,∴∠BAM=∠DCN,在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF(ASA).(2)如图,连接AC.当AB=AD时,四边形ABCD为菱形,则AC⊥BD,AD∥BC.∵△ABE≌△CDF,∴AE=CF.∵AM⊥BC,CN⊥AD,AD∥BC,∴AM∥CN,∴四边形AECF为平行四边形.∵AC⊥EF,∴四边形AECF为菱形.17.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴EB=ED,AB∥CD,∴∠EBP=∠EDQ.在△PBE和△QDE中,(2)如图所示,∵△PBE≌△QDE,∴EP=EQ.同理,△BME≌△DNE(ASA),∴EM=EN,∴四边形PMQN是平行四边形.∵PQ⊥MN,∴四边形PMQN是菱形.18.D19.证明:如图,连接BD,AC.∵△ADE和△BCE都是等边三角形,∴AE=DE,EC=BE,∠AED=∠BEC=60°,∴∠AEC=∠DEB=120°,∴△AEC≌△DEB(SAS),∴AC=BD.∵M,N是CD,DA的中点,∴MN是△ACD的中位线,即同理可得NP=QM,∴四边形MNPQ是菱形.。

菱形的判定(含答案)

菱形的判定一、选择题1．下列四边形中不一定为菱形的是（）A．对角线相等的平行四边形 B．每条对角线平分一组对角的四边形C．对角线互相垂直的平行四边形 D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形2．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD= BC； ⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（）．A．1种 B．2种 C．3种 D．4种3．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）A．8cm和43cm B．4cm和83cm C．8cm和83cm D．4cm和43cm二、填空题4．如图1所示，已知□ABCD，AC，BD相交于点O，•添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）图1 图25．如图2所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE 是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可）6．菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD： ∠ABC= 1：•2，•则BD=•_____，•菱形的面积是______．7．在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_____，AC=_____．四、思考题9．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由．]2、如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．3如图所示，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB=BF，AD、BE相交于M，BC、DF交于N，求证：四边形BMDN是菱形．1、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是___________2、有一组邻边相等的四边形是菱形（）3、对角线互相垂直的四边形是菱形（）4、对角线互相平分垂直的四边形是菱形（）5、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，与AB相交于点E，DF∥AB，与AC相交于点F，试说明四边形AEDF是菱形。

菱形的判定练习

菱形的判定练习一、选择题〔每题2分，共30分〕1 .菱形和矩形一定都具有的性质是〔〕A .对角线相等.B .对角线互相平分.C.对角线互相垂直. D .每条对角线平分一组对角.2. 四边相等的四边形是〔〕A .菱形B .矩形C.正方形D .梯形3. 菱形是轴对称图形，它的对称轴有〔〕A . 1条B. 2条C. 3条D. 4条4. 如图19-2-2-14,在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是菱形四边的中点，连结EG与FH交于点0,那么图中的菱形共有〔〕A . 4个B. 5个C. 6个D. 7个图19-2-2-145. 在菱形ABCD中，AC=6, BD=8，那么菱形的边长为〔〕A . 5 B. 10 C . 6 D . 86. 如图19-2-2-15,在菱形ABCD 中，AB=5，/ BCD=120° 那么对角线AC等于〔〕A. 20B. 15 C . 10 D . 5图19-2-2-157. 如图19-2-2-16，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF=2，那么ABCD的周长是〔〕A. 4B. 8C. 12D. 168. 菱形的边长和一条对角线的长均为'1 r ,那么菱形的面积为〔〕A. 3cm2B. 4cm2C. 仏叶D. 2-讥叶9. 以下条件之一能使口ABCD是菱形的为〔〕①AC丄BD ②/ BAD=90°③AB=BC ④AC=BDA .①③B .②③ C.③④ D .①②③10. 以下说法正确的选项是〔〕A .对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B .对角线互相垂直的平行四边形是菱形C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形D .对角线相等的四边形是菱形11. 用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是〔〕A .平行四边形B .正方形C.矩形D .菱形12. 菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图19-2-2-17所示, 仁'■… K，那么点B的坐标为〔〕A. dB.（i 应）C.D.（L】）13. 如图19-2-2-18,菱形ABCD 中，/ B=60° AB=2, E、F 分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF,那么△ AEF的周长为〔〕A. B.・疵C. 4 2 D. 3图19-2-2-1814. 如图19-2-2-19,将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线〔虚线〕剪下，再翻开，得到的菱形的面积为〔〕A. 10cm2B. 20cm2C. 40cm2D. 20cm2DB图19-2-2-1915. 将矩形纸片ABCD按如图19-2-2-20所示的方式折叠，得到菱形AECF.假设AB=3，那么BC的长为〔〕A. 1B. 2C.亡D.曲图19-2-2-20二、填空题〔每空3分，共15分〕16. 假设一个菱形的周长是40cm,它的一条对角线长10cm,那么菱形相邻的两个角度数分别是—.17. 如图19-2-2-21, P为菱形ABCD的对角线上一点，PE丄AB于点E, PF丄AD于点F, PF=3cm，那么P点到AB的距离是cm.图19-2-2-2118. 菱形的一个内角为60° 一条对角线的长为2舘，那么另一条对角线的长为19. 菱形的周长为40，—条对角线长为12,那么这个菱形的面积为—.20. 如图19-2-2-22, 一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 假设墙上钉子间的距离AB=BC=16cm,那么/仁—度.图19-2-2-2221 .如图19-2-2-23,在菱形ABCD 中，/ ADC=72° AD 的垂直平分线交对角线BD于点P,垂足为E,连接CP，那么卍口円? = ________ 度.图19-2-2-2322. _____________________________________ 如图19-2-2-24,在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O, DE丄BC 于点E, 且DE=OC, OD=2，那么AC= _____________________ .三. 解答题 23. 〔本小题总分值 5分〕如图19-2-2-25,菱形ABCD 中，BE 丄AD , BF 丄CD , E 、F 为垂足，AE=ED ，求/ EBF 的度数.24. 〔本小题总分值 5分〕：如图19-2-2-26，矩形ABCD 中,DE // AC , CE // BD .试说明四边形 OCED 是菱形的理由.25. 〔本小题总分值5分〕如图19-2-2-27,^ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ,交AC 于点O , CE / AB 交MN 于E ,连结 AE 、CD .〔1〕求证：AD=CE ;图 19-2-2-24C图 19-2-2-25E〔2〕填空：四边形ADCE的形状是图19-2-2-2726. 〔本小题总分值5分〕如图19-2-2-28,将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ ACD沿CA方向平移得到△ A C .〔1〕证明：△ A AD^A CC B;〔2〕假设/ ACB=30°,试问当点C'在线段AC上的什么位置时，四边形ABC D是菱形，并请说明理由.图19-2-2-2827. 〔本小题总分值5分〕如图19-2-2-29, ABCD的对角线AC的垂直平分线与两边AB、CD的延长线分别相交于E、F，求证: 四边形AECF为菱形28. 〔本小题总分值5分〕如图19-2-2-30,在厶ABC中，/ BAC=90° AD 丄BC 于D, CE 平分/ ACB,交AD 于G,交AB 于E, EF丄BC于F，求证：四边形AEFG是菱形；29. 〔本小题总分值5分〕如图19-2-2-31，四边形ABCD是菱形，DE丄AB交BA的延长线于E, DF丄BC,交BC的延长线于F .请你猜测DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜测图19-2-2-3130. 〔本小题总分值6分〕如图19-2-2-32,矩形ABCD中，0 是AC 与BD的交点，过0点的直线EF与AB、CD的延长线分别交于E、F.〔1〕求证：△ BOE^A DOF;〔2〕当EF与AC满足什么关系时，以A、E、C、F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论.FDCE图19-2-2-3231. 〔本小题总分值7分〕如图19-2-2-33,有一矩形纸片ABCD , AB=6, BC=8，将纸片沿EF 折叠，使B 与D 重合.〔1〕四边形BEDF 是菱形吗？为什么？〔2〕求EF 的长. 图 19-2-2-3332. 〔本小题总分值7分〕如图19-2-2-34,在四边形ABCD 中, E 为AB 上一点，△ ADE 和厶BCE 都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、 DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ,试判断四边形PQMN 为怎样的四边形，并证明你的结论.图 19-2-2-34参考答案 1. B 2. A 3. B4. B 5. A 6. D 7. D 8. D 9. A 10. B11. D 12. C 13. B 14. A 15. D16. 60 °120° 17.3 18.6 19 .96 20.12021. .72 22.4 323. 60° 24. ・・ DE // AC , CE // BD , 二四边形OCED 是平行四边形，又T 四边形ABCD 是矩形，••• AC 与BD 互相平分且相等，即OC=OD,•••(■■ OCED 是菱形.25. 〔1〕证明：T MN是AC的垂直平分线•OA=OC ,Z AOD= / EOC=90°, T CE// AB,•/ DAO= / ECO,•△ADO^A CEO,•AD=CE,〔2〕四边形ADCE是菱形.26. 〔1〕由平移得AA=CC'AD二A D=BC,Z DAC= / D A =A ACB,• △A AD^ CC B;1〔2〕当AC = 2AC时，四边形ABC D是菱形, 由〔1〕可得BC =AD , AB=CD ,•四边形ABC D是平行四边形，T AC =2AC,Z ABC=90°1二BC =2AC,••• BC =AC ,vZ ACB=30°,•/ CAB=60°,•AB二BC ,•四边形ABC D是菱形.27. v四边形ABCD是平行四边形,•AB// CD,•Z EOA= Z CFO,又vZ EOA= Z COF, OA=OC,•△AOE^A COF,•OE=OF,即AC与EF互相垂直平分，•四边形AECF为菱形28. 如图19-2-2-35,v CE 平分Z ACB, EA丄CA, EF 丄BC,•AE=FE,vZ 仁Z 2,•△ AEC^^ FEC,•AC=FC,v CG=CG,•••△ACG^A FCG,•••/ 5 二/ 7 二/B,•GF // AE,v AD 丄BC, EF 丄BC,•AG/ EF,v AG=GF〔或AE=EF〕，•四边形AGFE 是菱形〔一组邻边相等的平行四边形是菱形〕29．DE=DF．证明如下：连结BD，v四边形ABCD是菱形，•/ CBD= / ABD〔菱形的对角线平分一组对角〕，v DF 丄BC, DE 丄AB,•DF=DE〔角平分线上的点到角两边的距离相等〕.30. 〔1〕证明：v四边形ABCD是矩形，•OB=OD〔矩形的对角线互相平分〕，AE / CF〔矩形的对边平行〕.•/ E=Z F，/ OBE二/ ODF .•△BOE^A DOF〔AAS〕.〔2〕当EF丄AC时，四边形AECF是菱形.证明：v四边形ABCD是矩形，•OA=OC〔矩形的对角线互相平分〕.又由〔〔〕△ BOE^A DOF 得，OE=OF,•四边形AECF 是平行四边形〔对角线互相平分的四边形是平行四边形〕 ,又EF丄AC,•四边形AECF 是菱形〔对角线互相垂直的平行四边形是菱形〕.31. 〔 1〕如图，四边形BEDF 是菱形.:沿EF 折叠，使B 与D 重合， ••• EF 垂直平分BD ,即 OB=OD ,Z BOF 二/DOE=90°. v AD // BC ,• / 仁/2.• △ BOF ^A DOE .• OE=OF ,即EF 与BD 互相垂直平分.•四边形BEDF 是菱形.〔2〕设 CF=x ,那么 BF=DF=8-x=DF ,32. 如图 19-2-2-36, x 解得 7 4 , DF 8x25•/ BD 62 82 10,• OD 1£BD 2 5在 Rt A DOF中，OF 2得 DF 2 OD 2 22516 .• OF 154 .• EF 2OF 2 154 7.5在 Rt A DCF 中,由CF 2 DC 2 DF 2得，x 2 62图19-2-2-36连结AC、BD.v PQ为仏ABC的中位线，••• PQ_ 2AC.同理MN仝2AC.•MN PQ,•四边形PQMN为平行四边形.在厶AEC和厶DEB中，AE=DE，EC=EB,Z AED=60°/ CEB, 即/ AEC= / DEB.•△ AEC^^ DEB.•AC=BD.1 1•PQ=2AC=2BD=PN,•. PQMN为菱形.。

菱形的判定专项练习30题

菱形的判决博项训练30题（有问案）之阳早格格创做1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BA=AD=DC=BC，面E为BC的中面．（1）供证：四边形ABED是菱形；（2）过A面做AF⊥BC于面F，若BD=4cm，供AF的少．2．如图，四边形ABCD中，对于角线AC、BD相接于面O，且AC⊥BD．面M，N分别正在BD、AC上，且AO=ON=NC，BM=MO=OD．供证：BC=2DN．3．如图，正在△ABC中，AB=AC，D，E，F分别是BC，AB，AC的中面．（1）供证：四边形AEDF是菱形；（2）若AB=12cm，供菱形AEDF的周少．4．如图，正在▱ABCD中，EF∥BD，分别接BC，CD于面P，Q，接AB，AD的延少线于面E，F．已知BE=BP．供证：（1）∠E=∠F；（2）▱ABCD是菱形．5．如图，正在△ABC中，D是BC的中面，E是AD的中面，过面A做AF∥BC，AF取CE的延少线相接于面F，对接BF．（1）供证：AF=DC；（2）若∠BAC=90°，供证：四边形AFBD是菱形．6．已知仄止四边形ABCD中，对于角线BD仄分∠ABC，供证：四边形ABCD是菱形．7．如图，正在一个含30°的三角板ABC中，将三角板沿着AB地圆曲线翻转180°得到△ABF，再将三角板绕面C逆时针目标转动60°得到△DEC，面F正在AC上，对接AE．（1）供证：四边形ADCE是菱形．（2）对接BF并延少接AE于G，对接CG．请问：四边形ABCG是什么特殊仄止四边形？为什么？8．如图，已知四边形ABCD是仄止四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂脚分别是为E F，而且DE=DF．供证：四边形ABCD是菱形．9．如图，正在△ABC中，DE∥BC，分别接AB，AC于面D，E，以AD，AE为边做▱ADFE接BC于面G，H，且EH=EC．供证：（1）∠B=∠C；（2）▱ADFE是菱形．10．如图，正在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的下，∠BAC的仄分线AE接CD于F，EG⊥AB于G．（1）供证：△AEG≌△AEC；（2）△CEF是可为等腰三角形，请道明您的论断；（3）四边形GECF是可为菱形，请道明您的论断．11．如图，正在△ABC中，AB=AC，面D、E、F分别是△ABC三边的中面．供证：四边形ADEF是菱形．12．如图，正在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、E、F分别为AD、BC、BD、AC的中面，供证：四边形MENF为菱形．13．已知：如图，正在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的仄分线AE接BC于面E，对接DE．供证：四边形ABED是菱形．14．如图，正在△ABC中，AB=AC，M、O、N分别是AB、BC、CA的中面．供证：四边形AMON是菱形．15．如图：正在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE仄分∠ACB，接AD于G，接AB于E，EF⊥BC于F．供证：四边形AEFG是菱形．16．如图，矩形ABCD绕其对于角线接面转动后得矩形AECF，AB接EC 于面N，CD接AF于面M．供证：四边形ANCM是菱形．17．如图，四边形ABCD、DEBF皆是矩形，AB=BF，AD、BE接于M，BC、DF接于N，那么四边形BMDN是菱形吗？如果是，请写出道明历程；如果没有是，道明缘由．18．已知如图所示，AD是△ABC的角仄分线，DE∥AC接AB于E，DF∥AB接AC于F，四边形AEDF是菱形吗？道明缘由．19．已知：如图所示，BD是△ABC的角仄分线，EF是BD的笔曲仄分线，且接AB于E，接BC于面F．供证：四边形BFDE是菱形．20．如图，正在仄止四边形ABCD中，O是对于角线AC的中面，过面O 做AC的垂线取边AD、BC分别接于E、F．供证：四边形AFCE是菱形．21．如图，正在矩形ABCD中，EF笔曲仄分BD．（1）推断四边形BEDF的形状，并道明缘由．（2）已知BD=20，EF=15，供矩形ABCD的周少．22．如图所示，正在▱ABCD中，面E正在BC上，AE仄分∠BAF，过面E做EF∥AB．供证：四边形ABEF为菱形．23．已知，如图，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=8cm，做∠CAE=∠ACE 接BC于E，做∠ACF=∠CAF接AD于F．（1）供证：AECF是菱形；（2）供四边形AECF的里积．24．如图，仄止四边形ABCD的对于角线AC的笔曲仄分线取边AD、BC 分别接于E、F．问四边形AFCE是菱形吗？请道明缘由．25．如图：正在仄止四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的延少线上一面，且BE=DF，对接EF接AC于O．（1）AC取EF互相仄分吗？为什么？（2）对接CE、AF，再增加一个什么条件，四边形AECF是菱形？为什么？26．已知：如图，△ABC战△DBC的顶面正在BC边的共侧，AB=DC，AC=BD接于E，∠BEC的仄分线接BC于O，延少EO到F，使EO=OF．供证：四边形BFCE是菱形．27．如图，正在△ABC中，D是BC边的中面，F，E分别是AD及其延少线上的面，CF∥BE．（1）供证：△BDE≌△CDF；（2）请对接BF，CE，试推断四边形BECF是何种特殊四边形，并道明缘由；（3）正在（2）下要使BECF是菱形，则△ABC应谦脚何条件？并道明缘由．28．如图，正在△ABC中，∠ACB=90°，BC的笔曲仄分线DE接BC于D，接AB于E，F正在DE上，而且AF=CE．（1）供证：四边形ACEF是仄止四边形；（2）当∠B的大小谦脚什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回问并道明您的论断．29．如图，正在△ABC中，AD是∠BAC的仄分线，EF笔曲仄分AD接AB于E，接AC于F．供证：四边形AEDF是菱形．30．如图，△ABC中，面O是边AC上一个动面，过O做曲线MN∥BC，设MN接∠BCA的仄分线于面E，接∠BCA的中角仄分线于面F．（1）商量：线段OE取OF的数量闭系并加以道明；（2）当面O疏通到那边，且△ABC谦脚什么条件时，四边形AECF是正圆形？（3）当面O正在边AC上疏通时，四边形BCFE会是菱形吗？假如，请道明，若没有是，则道明缘由．矩形的判决博项训练30题参照问案：1．1）道明：∵面E为BC的中面，∴BE=CE=BC，∵BA=AD=DC=BC，∴AB=BE=ED=AD，∴四边形ABED是菱形；（2）解：过面D做DH⊥BC，垂脚为H，∵CD=DE=CE，∴∠DEC=60°，∴∠DBE=30°，正在Rt△BDH中，BD=4cm，∴DH=2cm，∵AF=DH，∴AF=2cm．2．∵AO=ON，BM=MO，∴四边形AMND是仄止四边形，∵AC⊥BD，∴仄止四边形AMND是菱形，∴MN=DN，∵ON=NC，BM=MO，∴MN=BC，∴BC=2DN 3．（1）∵D，E分别是BC，AB的中面，∴DE∥AC且DE=AF=AC．共理DF∥AB且DF=AE=AB．又∵AB=AC，∴DE=DF=AF=AE，∴四边形AEDF是菱形．（2）∵E是AB中面，∴AE=AB=6cm，果此菱形AEDF的周少为4×6=24cm．4．（1）∵BE=BP，∴∠E=∠BPE，∵BC∥AF，∴∠BPE=∠F，∴∠E=∠F．（2）∵EF∥BD，∴∠E=∠ABD，∠F=∠ADB，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∵四边形ABCD是仄止四边形，∴□ABCD是菱形．5．1）道明：∵E是AD的中面，∴AE=DE，∵AF∥BC，∴∠1=∠2，正在△AEF战△DEC 中，∴△AFE≌△DCE（AAS），∴AF=DC；（2）道明：∵D是BC的中面，∴DB=CD=BC，∵AF=CD，∴AF=DB，∵AF∥BD，∴四边形AFBD是仄止四边形，∵∠BAC=90°，D为BC中面，∴AD=CB=DB，∴四边形AFBD是菱形．6．∵对于角线BD仄分∠ABC，∴∠1=∠2，∵四边形ABCD是仄止四边形，∴AB∥DC，∴∠3=∠1，∴∠3=∠2，∴DC=BC，又∵四边形ABCD是仄止四边形，∴四边形ABCD是菱形．7．（1）∵三角板ABC中，将三角板沿着AB地圆曲线翻转180°得到△ABF，∴△ABC≌△ABF，且∠BAC=∠BAF=30°，∴∠FAC=60°，∴AD=DC=AC，又∵△ABC≌△EFC，∴CA=CE，又∵∠ECF=60°，∴AC=EC=AE，∴AD=DC=CE=AE，∴四边形ADCE是菱形；（2）道明：由（1）可知：△ACD，△AFC是等边三角形，△ACB≌△AFB，∴∠EDC=∠BAC=∠FAC=30°，且△ABC为曲角三角形，∴BC=AC，∵EC=CB，∴EC=AC，∴E为AC中面，∴DE⊥AC，∴AE=EC，∵AG∥BC，∴∠EAG=∠ECB，∠AGE=∠EBC，∴△AEG≌△CEB，∴AG=BC，（7分）∴四边形ABCG是仄止四边形，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCG是矩形8．正在△ADE战△CDF中，∵四边形ABCD是仄止四边形，∴∠A=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°．又∵DE=DF，∴△ADE≌△CDF（AAS）∴DA=DC，∴仄止四边形ABCD是菱形9．（1）∵正在▱ADFE中，AD∥EF，∴∠EHC=∠B（二曲线仄止，共位角相等）．∵EH=EC（已知），∴∠EHC=∠C（等边对于等角），∴∠B=∠C（等量代换）；（2）∵DE∥BC（已知），∴∠AED=∠C，∠ADE=∠B．∵∠B=∠C，∴∠AED=∠ADE，∴AD=AE，∴▱ADFE是菱形．10．1）道明：∵∠ACB=90°，∴AC⊥EC．又∵EG⊥AB，AE是∠BAC的仄分线，∴GE=CE．正在Rt△AEG取Rt△AEC中，，∴Rt△AEG≌Rt△AEC（HL）；（2）解：△CEF是等腰三角形．缘由如下：∵CD是AB边上的下，∴CD⊥AB．又∵EG⊥AB，∴EG∥CD，∴∠CFE=∠GEA．又由（1）知，Rt△AEG≌Rt△AEC，∴∠GEA=∠CEA，∴∠CEA=∠CFE，即∠CEF=∠CFE，∴CE=CF，即△CEF是等腰三角形；（3）解：四边形GECF是菱形．缘由如下：∵由（1）知，Rt△AEG≌Rt△AEC，则GE=EC；由（2）知，CE=CF，∴GE=EC=FC．又∵EG∥CD，即GE∥FC，∴四边形GECFR是菱形．11．∵D、E、F分别是△ABC 三边的中面，∴DE AC，EF AB，∴四边形ADEF为仄止四边形．又∵AC=AB，∴DE=EF．∴四边形ADEF为菱形．12．∵M、E、分别为AD、BD、的中面，∴ME∥AB，ME=AB，共理：FH∥AB，FH=AB，∴四边形MENF是仄止四边形，∵M．F是AD，AC中面，∴MF=DC，∵AB=CD，∴MF=ME，∴四边形MENF为菱形13．∵AE仄分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，…（1分）正在△BAE战△DAE中，∵，∴△BAE≌△DAE（SAS）…（2分）∴BE=DE，…（3分）∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，…（4分）∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，…（5分）∴AB=BE=DE=AD，…（6分）∴四边形ABED是菱形．14．∵AB=AC，M、O、N分别是AB、BC、CA的中面，∴AM=AB=AC=AN，M0∥AC，NO∥AB，且MO=AC=AN，NO=AB=AM（三角形中位线定理），∴AM=MO=AN=NO，∴四边形AMON是菱形（四条边皆相等的四边形是菱形）15．证法一：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，∴∠B=∠CAD，∵CE仄分∠ACB，EF⊥BC，∠BAC=90°（EA⊥CA），∴AE=EF（角仄分线上的面到角二边的距离相等），∵CE=CE，∴由勾股定理得：AC=CF，中，，∴∠CAD=∠CFG，∵∠B=∠CAD，∴∠B=∠CFG，∴GF∥AB，∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴AD∥EF，即AG∥EF，AE∥GF，∴四边形AEFG是仄止四边形，∵AE=EF，∴仄止四边形AEFG是菱形．证法二：∵AD⊥BC，∠CAB=90°，EF⊥BC，CE仄分∠ACB，∴AD∥EF，∠4=∠5，AE=EF，∵∠1=180°﹣90°﹣∠4，∠2=180°﹣90°﹣∠5，∴∠1=∠2，∵AD∥EF，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴AG=AE，∵AE=EF，∴AG=EF，∵AG∥EF，∴四边形AGFE是仄止四边形，∵AE=EF，∴仄止四边形AGFE是菱形．16．∵CD∥AB，∴∠FMC=∠FAN，∴∠NAE=∠MCF（等角的余角相等），正在△CFM战△AEN中，，∴△CFM≌△AEN（ASA），∴CM=AN，∴四边形ANCM为仄止四边形，正在△ADM战△CFM中，，∴△ADM≌△CFM（AAS），∴AM=CF，∴四边形ANCM是菱形17．四边形BMDN是菱形．∵AM∥BC，∴∠AMB=∠MBN，∵BM∥FN∴∠MBN=∠BNF，∴∠AMB=∠BNF，又∵∠A=∠F=90°，AB=BF，∴△ABM≌△BFN，∴BM=BN，共理，△EMD≌△CND，∴DM=DN，∵ED=BF=AB，∠E=∠A=90°，∠AMB=∠EMD，∴△ABM≌△EDM，∴BM=DM，∴MB=MD=DN=BN，∴四边形BMDN是菱形18．如图，由于DE∥AC，DF∥AB，所以四边形AEDF为仄止四边形．∵DE∥AC，∴∠3=∠2，又∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AE=DE，∴仄止四边形AEDF为菱形．19．∵EF是BD的笔曲仄分线，∴EB=ED，∴∠EBD=∠EDB．∵BD是△ABC的角仄分线，∴∠EBD=∠FBD．∴∠FBD=∠EDB，∴ED∥BF．共理，DF∥BE，∴四边形BFDE是仄止四边形．又∵EB=ED，∴四边形BFDE是菱形．20．要领一：∵AE∥FC．∴∠EAC=∠FCA．（2分）又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF．（5分）∴EO=FO．又EF⊥AC，∴AC是EF的笔曲仄分线．（8分）∴AF=AE，CF=CE，又∵EA=EC，∴AF=AE=CE=CF．∴四边形AFCE为菱形．（10分）要领二：共要领一，证得△AOE≌△COF．（5分）∴AE=CF．∴四边形AFCE是仄止四边形．（8分）又∵EF是AC的笔曲仄分线，∴EA=EC，∴四边形AFCE是菱形．（10分）要领三：共要领二，证得四边形AFCE是仄止四边形．（8分）又EF⊥AC，（9分）∴四边形AFCE为菱形21．（1）四边形BEDF是菱形．正在△DOF战△BOE中，∠FDO=∠EBO，OD=OB，∠DOF=∠BOE=90°，所以△DOF≌△BOE，所以OE=OF．又果为EF⊥BD，OD=OB，所以四边形BEDF为菱形．（5分）（2）如图，正在菱形EBFD中，BD=20，EF=15，则DO=10，EO=7.5．由勾股定理得DE=EB=BF=FD=12.5．S菱形EBFD=EF•BD=BE•AD，即所以得AD=12．根据勾股定理可得AE=3.5，有AB=AE+EB=16．由2（AB+AD）=2（16+12）=56，故矩形ABCD的周少为5622．∵四边形ABCD是仄止四边形，∴AF∥BE，又∵EF∥AB，∴四边形ABEF为仄止四边形，∵AE仄分∠BAF，∴∠BAE=∠FAE，∵∠FAE=∠BEA，∴∠BAE=∠BEA，∴BA=BE，∴仄止四边形ABEF为菱形23．（1）道明：正在矩形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，又∠CAE=∠ACE，∠ACF=∠CAF，∴∠EAC=∠FCA．∴AE∥CF．∴四边形AECF为仄止四边形，又∠CAE=∠ACE，∴AE=EC．∴▱AECF为菱形．（2）设BE=x，则EC=AE=8﹣x，正在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即42+x2=（8﹣x）2．解之得x=3，所以EC=5，即S菱形AECF=EC×AB=5×4=20．24．四边形AFCE是菱形，缘由是：∵四边形ABCD是仄止四边形，∴AD∥BC，∴=，∵AO=OC，∴OE=OF，∴四边形AFCE是仄止四边形，∵EF⊥AC，∴仄止四边形AFCE是菱形25．（1）AC取EF互相仄分，对接CE，AF，∵仄止四边形ABCD，∴AB∥CD，AB=CD，又∵BE=DF，∴AB+BE=CD+DF，∴AE=CF，∴AE∥CF，AE=CF，∴四边形AECF是仄止四边形，∴AC取EF互相仄分；（2）条件：EF⊥AC，∵EF⊥AC，又∵四边形AECF是仄止四边形，∴仄止四边形AECF是菱形．26．∵AB=DC AC=BD BC=CB，∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC=∠ACB，∴BE=CE，又∵∠BEC的仄分线是EF，∴EO是中线（三线合一），∴BO=CO，∴四边形BFCE是仄止四边形（对于角线互相仄分），又∵BE=CE，∴四边形BFCE是菱形．27．（1）道明：∵CF∥BE，∴∠EBD=∠FCD，D是BC边的中面，则BD=CD，∠BDE=∠CDF，∴△BDE≌△CDF．（2）如图所示，由（1）可得CF=BE，又CF∥BE，所以四边形BECF是仄止四边形；（3）△ABC是等腰三角形，即AB=AC，缘由：当AB=AC时，则有AD⊥BC，又（2）中四边形为仄止四边形，所以可判决其为菱形．28．（1）∵DE为BC的笔曲仄分线，∴∠EDB=90°，BD=DC，又∵∠ACB=90°，∴DE∥AC，∴E为AB的中面，∴正在Rt△ABC中，CE=AE=BE，∴∠AEF=∠AFE，且∠BED=∠AEF，∠DEC=∠DFA，∴AF∥CE，又∵AF=CE，∴四边形ACEF为仄止四边形；（2）要使得仄止四边形ACEF为菱形，则AC=CE即可，∵DE∥AC，∴∠BED=∠BAC，∠DEC=∠ECA，又∵∠BED=∠DEC，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC，又EB=EC，∴AE=EC=EB，∵CE=AB，∴AC=AB即可，正在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴当∠B=30°时，AB=2AC，故∠B=30°时，四边形ACEF为菱形．29．∵AD仄分∠BAC∴∠BAD=∠CAD又∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°∵正在△AEO战△AFO中，∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO=FO即EF、AD相互仄分，∴四边形AEDF是仄止四边形又EF⊥AD，∴仄止四边形AEDF为菱形30．1）解：OE=OF．缘由如下：∵CE是∠ACB的角仄分线，∴∠ACE=∠BCE，又∵MN∥BC，∴∠NEC=∠ECB，∴∠NEC=∠ACE，∴OE=OC，∵OF是∠BCA的中角仄分线，∴∠OCF=∠FCD，又∵MN∥BC，∴∠OFC=∠ECD，∴∠OFC=∠COF，∴OF=OC，∴OE=OF；（2）解：当∠ACB=90°，面O正在AC的中面时，∵OE=OF，∴四边形AECF是正圆形；（3）问：没有成能．解：如图所示，∵CE仄分∠ACB，CF仄分∠ACD，∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=（∠ACB+∠ACD）=90°，若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，但是正在△GFC中，没有成能存留二个角为90°，所以没有存留其为菱形．。

22.3菱形的判定常考题(含有详细的答案解析)

菱形的判定2一、选择题1、在平面直角坐标系中，已知点 A (0, 2), B (- 恥,0) , C (0, - 2), D (2方,0),贝U 以这四个点为顶点的四边形ABCD 是( )A 、矩形B 菱形C 正方形D 、梯形2如图，下列条件之一能使平行四边形 ABCD 是菱形的为()① AC 丄 BD ;② / BAD=90°;③ AB=BC ;④ AC=BD .A 、①③B 、②③D 、①②③3、能判定一个四边形是菱形的条件是()A 、对角线相等且互相垂直B 对角线相等且互相平分C 对角线互相垂直D 、对角线互相垂直平分4、四边形的四边长顺次为a 、b 、c 、d ，且a 2+b 2+c 2+d 2=ab+bc+cd+ad ，则此四边形一定是( )A 、平行四边形B 、矩形C 菱形D 、正方形填空2、如图，平行四边形 ABCD 中，AF 、CE 分别是/ BAD 和/BCD 的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件,个即可，图中不能再添加别的点”和线”)3、在四边形 ABCD 中，对角线 AC BD 交于点 0，从(1) AB=CD (2) AB // CD; (3) OA=OC; (4) OB=OD; ( 5)AC 丄BD; (6) AC 平分/ BAD 这六个条件中，选取三个推出四边形 ABCD 是菱形.如(1) (2) ( 5) => ABCD 是菱形, 再写出符合要求的两个： __________________ => ABCD 是菱形； ________________ => ABCD 是菱形C ③④ ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是使四边形 AECF 为菱形，则添加的一个条件可以(只需写出1、如图，如果要使平行四边形是D 是BC 的中点，连接AD ,在AD 的延长线上取一点E ,连接BE ,(1) 求证：△ ABEBA ACE(2)当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形 ABEC 是菱形？并说明理由.2、如图，在？ABCD 中，E, F 分别为边 AB , CD 的中点，连接 DE 、BF 、BD.(1) 求证：△ ADEBA CBF.(2) 若AD 丄BD ,则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论.3、(2007?娄底)如图，已知点 D 在厶ABC 的BC 边上，DE// AC 交AB 于E , DF// AB 交AC于F .(1) 求证：AE=DF ;(2) 若AD 平分/ BAC,试判断四边形 AEDF 的形状，并说明理由.ABCD 中，AB// CD, BC=CD AD 丄 BD , E 为 AB 中点，求证：四边形 BCDE 是5、如图，在 △ ABC 和厶DCB 中，AB=DC AC=DB, AC 与DB 交于点 M .(1) 求证：△ ABCBA DCB;(2) 过点C 作CN// BD,过点B 作BN // AC, CN 与BN 交于点N ,试判断线段BN 与CN 的数量关系，并证明你的结论.A三、解答题(共11小题)菱形.6如图，△ ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D,交AC于点O, CE// AB交MN于E,连接AE、CD.(1)求证：AD=CE(2)_________________________________________ 填空：四边形ADCE的形状是 .7如图△ ABC与厶CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC BC上，且EF// AB(1)求证：四边形EFCD是菱形；(2)设CD=4,求D、F两点间的距离.8 (2007?双柏县)如图，在梯形纸片ABCD中，AD// BC, AD>CD,将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE 交BC于点E,连接C'.求证：四边形CDC E是菱形.9已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F. 求证：四边形AFCE是菱形.A E D/A/B F C10、如图，等边△ ABC的边长为2, E是边BC上的动点，EF// AC交边AB于点F,在边AC上取一点P,使PE=EB 连接FP.(1)请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；(不再另外添加辅助线)(2)探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由；(1)11若如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是AD BC的中点，G H分别是BDAC的中点，AB CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形？请证明你的结论。

菱形的性质专项练习30题(有答案)ok

菱形的性质专项练习30题（有答案)1．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AH⊥BC，交BD于E，垂足为H，已知CH=4，AH=8（1）求菱形的周长；（2）求OE的长度．2．如图，菱形ABCD中，两条对角线AC和BD相交于点O，AC=6cm，BD=8cm．（1）求菱形ABCD的面积；（2）求菱形ABCD的周长．3．如图，菱形对角线AC，BD相交于一点O，且AC=12cm，BD=16cm．求这个菱形的周长和面积．4．如图，已知菱形ABCD的边长是2cm，BAD=120°．（1）试说明：△ABC是等边三角形；（2）求菱形两条对角线的长．5．如图，菱形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，AB=5，OA=3．（1）求菱形ABCD的周长；（2）求菱形ABCD的面积．6．如图，菱形ABCD的周长为200cm，对角AC与BD交于点O，且AC=60cm，试求菱形ABCD的面积．7．已知：菱形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，BD=8，求菱形的周长和面积．8．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．试判断四边形AODE的形状，并说明理由．9．如图，O为菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；（2）若AC=6，BD=8，求线段OE的长．10．如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F．（1）证明：AM=DM；（2）若DF=2，求菱形ABCD的周长；（3）在没有辅助线的前提下，图中共有_________对相似三角形．11．菱形ABCD中，∠B=60°，一块三角板的60°角的顶点绕点A转动，两边分别交BC、CD于点E、F．（1）说明△ABC、△ACD都是等边三角形．（2）判断△AEF的形状，说明理由？（3）如果AB=2，写出△CEF的周长的最小值．12．如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE，CE交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若菱形ABCD的周长为20，矩形OCED的周长为14，求菱形ABCD的面积．13．如图，点E、F分别在菱形ABCD的边BC、AD上，且AF=CE，∠BAE=25°，∠BCD=130°，求∠AFC的度数．14．如图，平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，AE是BC沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．（1）求证：BE=DG：（2）若四边形ABFG是菱形，且AB：BC=2：3，求∠B的度数．15．如图，菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，BE=CE，求∠BAD的度数．16．如图，已知一四边形菜地ABCD为菱形，点E，F分别位于边AB，BC上，AD=6，AE=5BE，BF=5CF，若△DEF 为等边三角形．（1）求∠A的度数；（2）求菱形ABCD的面积．17．如图，已知菱形ABCD，∠B=60°，△ADC内一点M满足∠AMC=120°，若直线BA与CM交于点P，直线BC 与AM交于点Q，求证：P，D，Q三点共线．18．已知：如图，菱形ABCD的对角线交于点O，且AO、BO的长分别是方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）=0的两根，菱形ABCD的周长为20，求m的值．19．如图所示，在菱形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且CE=CF，求证：AE=AF．20．已知：菱形ABCD中，对角线AC=16cm，BD=12cm，BE⊥DC于点E，求菱形ABCD的面积和BE的长．21．如图，菱形ABCD中，E是AD中点，EF⊥AC交CB的延长线于点F．（1）DE和BF相等吗？请说明理由．（2）连接AF、BE，四边形AFBE是平行四边形吗？说明理由．22．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF．若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD．求证：（1）AE=AF；（2）△AEF为等边三角形．23．如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足E为BC的中点，连接DE，F为DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=4，求DE和AF的长．24．如图，边长为a的菱形ABCD中，∠A=60°，过C任作直线分别交AB、AD的延长线于E、F，连接DE、BF 交于M，若△BEM和△DFM外接圆的半径分别是R1、R2，求证：R1•R2为定值，并求这个定值．25．如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，6），D（﹣8，0）．（1）求点C的坐标；（2）设菱形ABCD对角线AC、BD相交于点E，求经过点E的反比例函数解析式．26．如图，菱形ABCD中，点P是AB的中点，延长DP交CB的延长线于E点．求证：BE=CD．27．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF．（1）求证：AE=AF；（2）若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．28．如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A，B重合），连接DP交对角线AC于E，连接EB．求证：∠APD=∠EBC．29．如图，在菱形ABCD中，E是BC延长线上一点，连接AE，使得∠E=∠B，过D作DH⊥AE于H．（1）若AB=10，DH=6，求HE的长；（2）求证：AH=CE+EH．30．如图，已知点O在菱形ABCD内，过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AD于F，且OE=OF．（1）求证：OB=OD；（2）把菱形换成矩形、平行四边形、等腰三角形，上述结论仍成立吗？（写出结论，不证明）参考答案:1．（1）设AB=x，则BC=x，BH=BC﹣CH=x﹣4，在Rt△ABH中，AH2+BH2=AB2，∴82+（x﹣4）2=x2，解得x=10，∴菱形周长为40．（2）∵AH=8，CH=4，∴AC==4，∴CO=AO=AC=2，∵BC=10，CO=2，∴BO==4∵∠BHE=∠BOC=90°，∠EBH=∠CBO，∴△BHE∽△BOC，∴，∴，∴EH=3，∴AE=AH﹣EH=8﹣3=5，∴OE==2．（1）菱形的对角线为AC=6cm，BD=8cm，则菱形的面积为AC•BD=×6×8=24cm2；（2）菱形对角线互相垂直平分，∴BO=OD=4cm，AO=OC=3cm，∴AB==5cm，故菱形的周长为20cm，答：菱形的周长为20cm，面积为24cm2．3．∵在菱形ABCD中，AC=12cm，BD=16cm，∴S菱形ABCD =×AC×BD=×12×16=96（cm2）．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=6cm，OB=BD=8cm，∴AB==10cm，∴菱形ABCD的周长为：4×10=40（cm）．故这个菱形的周长为40cm，面积为96cm24．（1）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∴AB=BC，∠BAC=∠BAD=60°，∴△ABC是等边三角形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵∠BAC=60°，AB=2cm，∴∠ABO=30°，∴OA AB=1（cm），∴OD==（cm），∴AC=2OA=2cm，BD=2OD=2cm．5．（1）∵四边形ABCD是菱形，AB=5，∴菱形ABCD的周长等于5×4=20；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，根据勾股定理，得：OB=，==4，∴AC=2OA=6，BD=2OB=8，∴S菱形ABCD=×AC×BD=×6×8=246．菱形周长为200cm，则AB=50cm，∵AC=60cm，∴AO=30cm，菱形对角线互相垂直，∴△AOB为直角三角形，在Rt△AOB中，BO==40cm，∴BD=2BO=80cm，∴菱形ABCD的面积为S=×60cm×80cm=2400cm2，答：菱形ABCD的面积为2400cm2．7．由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，∴AB=5，∴周长L=4AB=20；∵菱形对角线相互垂直，∴菱形面积是S=AC×BD=24．综上可得菱形的周长为20、面积为24．8．四边形AODE是矩形．∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD∴∠AOD=90°，∴四边形AODE是矩形9．（1）四边形OCED是矩形．理由如下：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴∠COD=90°，∴四边形OCED是矩形；（2）在菱形ABCD中，∵AC=6，BD=8，∴OC=AC=×6=3，OD=BD=×8=4，∴CD===5，在矩形OCED中，OE=CD=510．1）证明：连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵EM⊥AC，∴EM∥BD，∵E为AB的中点，∴M为AD的中点，∴AM=DM；（2）解：∵EB∥FD，EM∥BD，∴四边形FDBE是平行四边形，∴FD=BD，∵DF=2，∴BE=2，∴AB=2BE=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4AB=4×4=16；（3）设ME与AC的交点为G，相似三角形有：△AGE∽△AGM，△AGE∽△CGF，△AGM∽△CGF，△AEM∽△DFM，△ABC∽△ADC共5对．11．（1）∵菱形ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠B=∠D=60°，∴△ABC和△ACD都是等边三角形．（2）∵∠B=∠ACD=60°，AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAF，∴△ABE≌△ACF，∴AE=AF，又∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形；（3）∵EC+CF=BE+EC=BC=2，△AEF是等边三角形，∴EF=AE，∴△CEF的周长=2+AE，由“垂线段最短”，当AE⊥BC时，AE最短，AE=，∴△CEF的周长=2+12．（1）∵DE∥AC，CE∥BD∴四边形OCED为平行四边形，∵AC，BD为菱形的对角线，∴AC⊥BD，即∠COD=90°，∴平行四边形OCED为矩形．（2）菱形ABCD的周长为20，则菱形的边长为5，即=5，矩形OCED的周长为14，则OC+OD=7，解题OC=3，OD=4，∴AC=6，BD=8，∴菱形的面积为×6×8=24．答：菱形ABCD的面积为2413．由菱形ABCD，得∠BAD=∠BCD=130°，∠BAE=25°，∴∠EAF=105°，又∵AF=CE，AD∥BC，∴四边形AECF是平行四边形，则∠AFC=180°﹣∠EAF=180°﹣105°=75°．14．（1）∵∠ABE=∠CDG，∠AEB=∠CGD，AE=CG，∴△ABE≌△CDG，∴BE=DG，（2）四边形ABFG是菱形，则BF=AB，∵AB：BC=2：3∴FC=AB，∵AE是BC沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．∴BE=FC，∴AB=2BE，∴直角△ABE中，∠BAE=30°，∴∠ABE=60°15．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，AD∥BC，∵AE⊥BC，BE=CE，∴AB=AC，∴AB=AC=BC，即△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，又∵AD∥BC，∴∠BAD=180°﹣∠B=120°16．（1）如图，过E作AD，BC的垂线交AD和CB的延长线于H，G．∵AD∥CB，∴△BGE∽△AHE，∵AB=AD=6，∴AE=BF=5，CF﹣BE=1，令BG=x，GE=y，则EH=5y，AH=5x，在△FGE 中，，在△DEH 中，，根据EF=ED，BE=1，易得EF2=ED2，即有，解得，，∴tan∠A=，∴∠A=60°；（2）由以上求得知，EH=AEsin60°=，，故．17．连接PD，DQ，由已知∠PAC=120°，∠QCA=120°，∴△PAC∽△AMC，△AMC∽△ACQ．∴，．∴AC2=PA•QC，又AC=AD=DC．∴，又∠PAD=∠DCQ=60°，∴△PAD∽△DCQ，∴∠APD=∠CDQ．∴∠PDA+∠ADC+∠CDQ=180°，∴P，D，Q三点共线．18．∵菱形ABCD的周长为20，∴菱形的边长AB=5，由直角三角形的三边关系可得：AO2+BO2=25，又有根与系数的关系可得：AO+BO=2m﹣1，AO•BO=4（m﹣1），∴AO2+BO2=（AO+BO）2﹣2AO•BO=（2m﹣1）2﹣2×4（m﹣1）=25，整理得：4m2﹣12m+9=25，解得：m=4或﹣1（舍去）．故m=419．∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB=CD=CB，∠B=∠D．又∵CE=CF，∴CD﹣CE=CB﹣CF，即DE=BF．∴△ADE≌△ABF．∴AE=AF20．菱形ABCD的面积S=×16×12=96，∵AC⊥BD，∴AB=10，∴CD=AB=10，∴×CD×BE=48，∴BE=cm，所以菱形ABCD的面积为96cm2，BE 的长为cm21．（1）DE=BF．理由如下：如图，设AB、EF相交于G，连接BD，在菱形ABCD中，BD⊥AC，∵EF⊥AC，∴EG∥BD，∵E是AD中点，∴EG是△ABD的中位线，∴AG=BG，又∵AD∥BC，∴∠AEG=∠BFG，在△AEG和△BFG 中，，∴△AEG≌△BFG（AAS），∴AE=BF，∵E是AD中点，∴AE=DE，∴DE=BF；（2）四边形AFBE是平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴AE∥BF，又∵AE=BF，∴四边形AFBE是平行四边形22．（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CB=CD=AD，∠B=∠D，∵BE=DF∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE=AF；（2）连接AC，∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD．∴AB=AC=AD，∴AB=AD=BC=CD=AC，∴∠B=60°，∴∠BCD=120°，∴∠EAF=60°，∴△AEF为等边三角形．23．（1）证明：∵∠B+∠C=180°，∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，∴∠C=∠AFD．∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC．∵AD=DC，∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵AB=4，E为BC的中点，∴BE=2，AE=，DE=．∵△ADF∽△DEC，∴．∴AF=．24．△BEC∽△DCF，∴．∴△BED∽△DBF．∴∠BED=∠DBM．∴∠BME=∠BDM+∠DBM=∠BDM+∠BED=∠ABD= 60°．∴由正弦定理得：2R1=，2R2=．∴R1•R2=•==．25．（1）∵A（0，6），D（﹣8，0），∴OA=6，OD=8，∴由勾股定理可得AD=10，∵四边形ABCD为菱形∴CD=AD=10，∴OC=2，∴C（2，0），（2）∵A（0，6）C（2，0），∴E（1，3），设经过点E 的反比例函数解析式为，将E（1，3）代入求得k=3∴反比例函数解析式为：26．∵点P是AB的中点，∴AP=BP，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC，AD∥BC，∴∠A=∠PBE，∵在△ADP和△BEP中，，∴△ADP≌△BEP（ASA），∴BE=AD，∵AD=CD，∴BE=CD27．（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D，又∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF；（2）连接AC，∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，∴AB=AC=AD．∵AB=BC=CD=DA，∴△ABC和△ACD都是等边三角形．∴∠CAE=∠BAE=30°，∠CAF=∠DAF=30°．∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°又∵AE=AF，∴△AEF是等边三角形．28．∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，AC平分∠BCD，在△BCE和△DCE 中，，∴△BCE≌△DCE（SAS），∴∠EBC=∠EDC，又AB∥DC，∴∠APD=∠EDC，∴∠EBC=∠APD29．（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=10，∵DH⊥AE，∴∠AHD=90°，在Rt△ADH中，AH===8，∵∠E=∠B，∴AE=AB=10，∴HE=AE﹣AH=10﹣8=2；证明：（2）过点D作DF⊥BC的延长线于点F，连接DE，∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD=CD，∴∠1=∠B，∠2=∠3，∵∠B=∠2，∴∠1=∠3，∵DH⊥AE，DF⊥CF，∴∠4=∠F，在△ADH和△CDF中，，∴△ADH≌△CDF（AAS），∴AH=CF，DH=DF，∴在Rt△DEH和Rt△DEF中，，∴Rt△DEH≌Rt△DEF（HL），∴EH=EF，∵CF=CE+EF，∴AH=CE+EH30．（1）证明：连接OA、AC、BD，∵OE⊥AB，OF⊥AD，且OE=OF，∴∠BAO=∠DAO，∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，MB=MD，∠BAC=∠DAC，∴O在AC上，∴OB=OD．（2）解：矩形和平行四边形时，结论不成立，等腰三角形时，结论成立，因为：矩形和平行四边形的对角线不一定平分对角，而等腰三角形的三线合一性质，能得出结论成立菱形的性质--11。

菱形判定练习题

菱形判定练习题一、选择题1. 下列哪个条件不能判定一个四边形是菱形？A. 对角线互相垂直平分B. 四边相等C. 一组邻边相等D. 对角线相等2. 如果一个四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形可能是：A. 矩形B. 菱形C. 平行四边形D. 梯形3. 菱形的对角线长度之和是：A. 等于边长B. 等于对角线长度的两倍B. 不能确定D. 等于对角线长度的四倍4. 在菱形中，对角线将菱形分成四个部分，这四个部分的面积是：A. 相等B. 互为倍数关系C. 不能确定D. 互为倒数关系5. 一个四边形的对角线互相平分，且一组对边相等，这个四边形是：A. 矩形B. 菱形C. 平行四边形D. 梯形二、填空题6. 菱形的对角线互相________，并且每条对角线平分一组对角。

7. 如果一个四边形的四条边都相等，那么这个四边形是________形。

8. 菱形的面积可以通过________来计算，公式为S=d1*d2/2，其中d1和d2是两条对角线的长度。

9. 在菱形ABCD中，如果AC=6，BD=8，那么菱形的面积是________。

10. 菱形的对角线将菱形分成四个________形。

三、判断题11. 菱形的对角线一定相等。

（）12. 菱形的对角线相互垂直。

（）13. 菱形的对角线平分一组对角。

（）14. 菱形的面积可以通过边长和高来计算。

（）15. 菱形的对角线将菱形分成四个全等三角形。

（）四、简答题16. 请简述菱形的判定方法有哪些？17. 菱形的对角线有哪些性质？18. 为什么菱形的对角线将菱形分成四个全等的三角形？19. 如果已知菱形的边长，如何计算其面积？20. 菱形的对称性有哪些特点？五、计算题21. 已知菱形ABCD的边长为5cm，求其对角线AC和BD的长度。

22. 已知菱形ABCD的对角线AC=8cm，BD=6cm，求菱形的面积。

六、证明题23. 证明：菱形的对角线互相垂直。

24. 证明：菱形的对角线互相平分。

菱形的判定配套练习-含答案

菱形的判定1.如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，作ED∥AC，CE∥BD，DE，CE相交于点E。

求证：四边形OCED是菱形。

AB的长为半径画2.如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于12弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是()A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形3.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC与BD相交于O,AO=CO.请你再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是菱形，则下列条件不符合的是()A．BD平分∠ABC B．AB=ADC．AC⊥BD D．OB=OA4.如图，AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB于E，交AC于F，求证：四边形是菱形．5.如图，在▱ABCD中，BD是对角线，且DB⊥BC，E,F分别为边AB、CD的中点．求证：四边形DEBF是菱形．6.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F．求证：四边形AEDF是菱形．7.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连结AE，BD，且AE=AB.(1) 求证：∠ABE=∠EAD;(2) 若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形8.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点，连接BE，并延长BE交CD的延长线于点F．(1) 求证：△ABE≅△DFE；(2) 连接BD、AF，当BE平分∠ABD时，求证：四边形ABDF是菱形．9.如图，在菱形ABCD中，E、F为对角线BD的三等分点．求证：四边形AFCE是菱形．10.如图，在平行四边形ABCD中，BD的垂直平分线EF与AD交于点E，与BC交于点F，与BD交于点O．(1) 证明：OE=OF．(2) 证明：四边形BEDF是菱形．11.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，点F在BD上，且BE=DF，连接AE 并延长，交BC于点G，连接CF并延长，交AD于点H．(1) 求证：△AOE≅△COF；(2) 若AC平分∠HAG，求证：四边形AGCH是菱形．12.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，点F是AC上一点，连接BF，DF．(1) 求证：△ABF≅△ADF；(2) 若AB∥CD，求证：四边形ABCD是菱形．13.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．求证：四边形AEDF是菱形．14.如图，平行四边形ABCD的边CD的垂直平分线与边DA，BC的延长线分别交于点E，F，与边CD交于点O，连接CE，DF．(1) 求证：DE=CF；(2) 请判断四边形ECFD的形状，并证明你的结论．菱形的判定1.【答案】略【解析】∵DE∥AC,CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC与BD相等且互相平分，∴OD=OC，∴四边形OCED是菱形．2.【答案】B【解析】根据做法可知：AC=CB=BD=AD，故四边形ADBC是菱形3.【答案】D【解析】由已知条件可得△AOB≌△COD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，A．∵BD平分∠ABC，∴∠ABO=∠CBO，∴∠CBO=∠CDO，∴CB=CD，∴AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形；故A正确；B．∵AB=AD，∴AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形；故B正确；C．AC⊥BD,AO=CO，∴AB=BC，∴AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形；故C正确；D．OB=OA，能判定四边形是矩形，故D不正确，选D．【备注】菱形的判定4.【答案】略【解析】∵AD是△ABC的角平分线∴∠EAD=∠FAD∵DE // AC，DF // AB∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD=∠ADF∴∠FAD=∠FDA∴AF=DF∴四边形AEDF是菱形5.【答案】略【解析】∵DB⊥BC，F是边CD的中点∴BF=12CD∴BF=DF∵四边形ABCD是平行四边形∴AB // CD∴∠ADB=∠CBD=90∘∵E是边AB的中点∴DE=12AB∴DE=BE∵AB=CD∵BE=DF∴BF=DF=DE=BE∴四边形DEBF是菱形6.【答案】略【解析】∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD又∵EF⊥AD∴∠AOE=∠AOF=90∘∵△AEO与△AFO中{∠EAO=∠FAO AO=AO∠AOE=∠AOF∴△AEO≅△AFO(ASA)∴EO=FO∵EF垂直平分AD∴EF、AD相互平分∴四边形AEDF是平行四边形又EF⊥AD∴平行四边形AEDF为菱形7.(1)【答案】略【解析】在平行四边形ABCD中，AD∥BC,∴∠AEB=∠EAD,∵AE=AB,∴∠ABE=∠AEB,∴∠ABE=∠EAD;(2)【答案】略【解析】∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBE,∵∠ABE=∠AEB,∠AEB=2∠ADB,∴∠ABE=2∠ADB,∴∠ABD=∠ABE−∠DBE=2∠ADB−∠ADB=∠ADB,∴AB =AD,又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形．8.(1)【答案】略【解析】∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ．∵ 点 F 在 CD 的延长线上，∴FD ∥AB ．∴∠ABE =∠DFE ．∵E 是 AD 中点，∴AE =DE ．在 △ABE 和 △DFE 中，∵{∠ABE =∠DFE∠BEA =∠DEF AE =DE∴△ABE ≅△DFE ；(2)【答案】略【解析】∵△ABE ≅△DFE ，∴AB =DF ．∵AB ∥DF ，AB =DF ，∴ 四边形 ABDF 是平行四边形．∵BF 平分 ∠ABD ，∴∠ABF =∠DBF ．∵AB ∥DF ，∴∠ABF =∠DFB ，∴∠DBF =∠DFB ．∵DB =DF ．∴ 四边形 ABDF 是菱形．9.【答案】略【解析】如图，连接 AC ，交 BD 于点 O ．∵ 四边形 ABCD 是菱形，∴ AC ⊥BD ，OA =OC ，OD =OB ．又 E ，F 为对角线 DB 的三等分点，∴ DE =BF ．又OE=OD−DE，OF=OB−BF，∴OE=OF．∴四边形AECF为平行四边形．又AC⊥BD，∴四边形AFCE是菱形．10.(1)【答案】略【解析】∵EF是BD的垂直平分线，四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB，AD∥BC，∴∠EDB=∠FBD，又∠EOD=∠FOB，∴△ODE≅△OBF，∴OE=OF．(2)【答案】略【解析】∵EF⊥BD，∴四边形EBFD的对角线垂直互相平分，∴四边形EBFD是菱形．11.(1)【答案】略【解析】如图．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∴AO=CO，BO=DO．∵BE=DF，∴BO−BE=DO−DF．即EO=FO．在△AOE和△COF中，{EO=FO,∠1=∠2, AO=CO.∴△AOE≅△COF．(2)【答案】略【解析】由（1），△AOE≅△COF．∴∠3=∠4．∴AG∥CH．在平行四边形 ABCD 中，AD ∥BC ，即 AH ∥GC ． ∴ 四边形 AGCH 是平行四边形．∵AC 平分 ∠HAG ，∴∠4=∠5．∴∠3=∠5．∴HA =HC ，∴ 四边形 AGCH 是菱形．12.(1)【答案】略【解析】在 △ABC 与 △ADC 中∵ {AB =ADCB =CD AC =AC∴ △ABC ≅△ADC ，∴ ∠BAC =∠DAC ，在 △ABF 与 △ADF 中∵ {AB =AD∠BAF =∠DAF AF =AF∴ △ABF ≅△ADF ．(2)【答案】略【解析】由（1）得 ∠BAC =∠DAC ，∵ AB ∥CD ，∴ ∠BAC =∠DCA ，∴ ∠DAC =∠DCA ，∴ DA =DC ，∵ AB =AD ，CB =CD ，∴ AB =AD =CB =CD ．∴ 四边形 ABCD 是菱形．13.【答案】∵ 点 D ，E ，F 分别是 BC ，AB ，AC 的中点， ∴DE ∥AC ，DF ∥AB ．∴ 四边形 AEDF 是平行四边形．又 AD ⊥BC ，BD =DC ，∴AB =AC ．∴AE =AF ．∴ 平行四边形 AEDF 是菱形．14.(1)【答案】略【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠EDO =∠FCO ，∠DEO =∠CFO ，∵EF平分CD，∴DO=CO，∴△EOD≅△FOC，∴DE=CF．(2)【答案】四边形ECFD是菱形．【解析】∵EF是CD的垂直平分线，∴DE=EC，CF=DF，又DE=CF，∴DE=EC=CF=DF，∴四边形ECFD是菱形．。

菱形的判定(含答案)

１一、证明题1. 如图AD FE ∥，点B 、C 在AD 上，12∠=∠，.BF BG =（1）求证：四边形BCEF 是菱形； [证]（2）若.AB BC CD ACF BDE ==，求证：△≌△ [解]2. 如图，在平行四边形ABCD 中，BE 平分ABC ∠交AD 于点E ，DF 平分∠ADC 交BC 于点F . 求证：（1）ABE CDF △≌；（2）若BD EF ⊥，则判断四边形EBFD 是什么特殊四边形，请证明你的结论.3. 如图，A 、B 、C 三点在同一条直线上，2AB BC =.分别以AB 、BC 为边作正方形ABEF 和正方形BCMN ，连接FN EC ，. 求证：.FN EC =4. 如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 上一点，点F 在CB 的延长线上，且.DE BF = （1）求证：ADE ABF △≌△；（2）问：将ADE △顺时针旋转多少度后与ABF △重合，旋转中心是什么？FEB ACD12FDEC AB ADB CE BBF２5. 如图，在正方形ABCD 中，G 是BC 上的任意一点（G 与B C 、两点不重合），E F 、是AG 上的两点（E F 、与A G 、两点都不重合），若AF BF EF =+，12∠=∠，请判断线段DE 与BF 有怎样的位置关系，并证明你的结论.6. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 、BD 交于点O ，∠1 =∠2．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）若∠BOC =120°，AB = 4cm ，求四边形ABCD 的面积．2 ABCDEF G 1D３7. 如图，在ABC △中，AB AC ，D 为BC 中点.四边形ABDE 是平行四边形. 求证：四边形ADCE 是矩形.8. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，连接EF 、OE 、OF .求证：四边形AEOF 是菱形.9. 在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB 、ED ．（1）求证：△BEC ≌△DEC ；（2）延长BE 交AD 于F ，当∠BED =120°时，求∠A F DB E O４CD10. 已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE = AF ．（1）求证：BE = DF ；（2）连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，连接EM 、FM ．判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论．证明：（1）（2）11. 如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，点G ，E 分别是边AB ，BC 的中点，∠AEF =90o ，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．（1）证明：∠BAE =∠FEC ；（2）证明：△AGE ≌△ECF ；（3）求△AEF 的面积．12. 如图，已知四边形ABCD 是菱形， DE ⊥AB ，DF ⊥BC . 求证:△ADE ≌△CDF .A DB E FO C５13. 已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD AB = (如图所示)．BAD ∠的平分线AE 交BC 于点E ，联结DE ． (1) 在图中，用尺规作BAD ∠的平分线AE (保留作图痕迹，不写作法)，并证明四边形ABED 是菱形；(2) 若︒=∠60ABC ，BE EC 2=，求证：DC ED ⊥．14. 如图，正方形ABCD 中，E F 、分别是AB BC 、边上的点，且.AE BF =求证.AF DE ⊥15. 如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，点D 落在点G 处，EF 为折痕．（1）求证：FGC EBC △≌△；（2）若84AB AD ==，，求四边形ECGF （阴影部分）的面积．A BC D D C F B E A６16. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 、F 分别在AD 及其延长线上，CE ∥BF ，连接BE 、CF ．（1）求证：△BDF ≌△CDE ；（2）若AB ＝AC ，求证：四边形BFCE 是菱形．一、证明题1. （1）证：2.AD FE FEB ∴∠=∠∥，12 1.FEB ∠=∠∴∠=∠，..BF BC BC EF BF EF =∴=∴=，∴四边形BCEF 是平行四边形.BF BC =，∴四边形BCEF 是菱形. （5分）（2）证：EF BC AB BC CD AD FE ===，，∥，∴四边形ABEF 、四边形CDEF 均为平行四边形，AF BE FC ED ∴==，.（8分）又2AC BC BD ==，.ACF BDE ∴△≌△ （10分）2. 证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴A C AB CD ABC ADC ∠=∠=∠=∠，，∵BE 平分ABC ∠，DF 平分ADC ∠，∴ABE CDF ∠=∠ 2′ ∴()ABE CDF ASA △≌△4′ （2）由ABE CDF △≌△，得AE CF =5′在平行四边形ABCD 中，AD BC AD BC =∥，７∴DE BF DE BF =∥，∴四边形EBFD 是平行四边形 6′ 若BD EF ⊥，则四边形EBFD 是菱形 8′3. 证明：在正方形ABEF 和正方形BCMN 中，90AB BE EF BC BN FEN EBC ===∠=∠=，，°. （2分） 2AB BC =， .EN BC ∴=（4分） FEN EBC ∴△≌△. （5分）.FN EC ∴= （6分）4. （1）证明：在正方形ABCD 中， 90D ABC AD AB ∠=∠==°，，（1分） 90ABF D ABF ∴∠=∴∠=∠°，，（3分）又DE BF =，4分）ADE ABF ∴△≌△；5分）（2）将ADE △顺时针旋转90度后与ABF △重合，（7分）旋转中心是A 点．（9分）5. 根据题目条件可判断.DE BF ∥证明如下：∵四边形ABCD 为正方形，∴ 290AB AD BAF ∠+∠==，°． ∵,AF AE EF =+又,AF BF EF =+ ∴AE BF =，∵12,∠=∠∴().ABF DAE SAS △≌△5分∴AFB DEA ∠=∠，BAF ADE ∠=∠. ∴290ADE ∠+∠=°.∴90AED BFA ∠=∠=°. ∴.DE BF ∥ 9分6. （1）∵∠1 =∠2，∴BO=CO 即2 BO=2CO （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形∴ AO=CO ，BO=OD （2分）即AC=2CO ，BD= 2 BO ∴AC= BD （3分）∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴四边形ABCD 是矩形（4分）（2）在△BOC 中，∠BOC =120°， ∴ ∠1 =∠2 =（180°—120°）÷2 = 30° （5分） ∴在Rt △ABC 中，AC=2AB=2⨯4=8(cm )，D８∴BC=344822=-(cm ) （6分） ∴四边形ABCD 的面积=24)= （7分）7. 证明：四边形ABDE 是平行四边形， AE BC ∴∥，AB DE =，.AE BD = 2分 D 为BC 中点， ∴.CD BD =3分.CD AE CD AE ∴=∥∴四边形ADCE 是平行四边形.5分AB AC =， ∴.AC DE =∴平行四边形ADCE 是矩形.7分8. 证明：点E F 、分别为AB AD 、的中点，1122AE AB AF AD ∴=，=． 2分又四边形ABCD 是菱形， AB AD ∴=． AE AF ∴=．４分又菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ， O ∴为BD 的中点.OE OF ∴、是ABD △的中位线. 6分 OE AD OF AB ∴∥，∥．∴四边形AEOF 是菱形. 10分9. （1）证明：∵四边形ABCD 是正方形∴BC ＝CD ，∠ECB ＝∠ECD ＝45°又EC ＝EC …………………………2分 ∴△ABE ≌△ADE ……………………3分（2）∵△ABE ≌△ADE∴∠BEC ＝∠DEC ＝12∠BED …………4分 ∵∠BED ＝120°∴∠BEC ＝60°＝∠AEF ……………5分 ∴∠EFD ＝60°+45°＝105° …………………………6分10. 证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，AF DBEO９∴AB ＝AD ,∠B = ∠D = 90°． ∵AE = AF ，∴Rt Rt ABE ADF △≌△． ∴BE ＝DF ．4分（2）四边形AEMF 是菱形．∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BCA = ∠DCA = 45°，BC = DC ．∵BE ＝DF ，∴BC －BE = DC －DF . 即CE CF =． ∴OE OF =． ∵OM = OA ，∴四边形AEMF 是平行四边形． ∵AE = AF ，∴平行四边形AEMF 是菱形．8分11. （1）证明：∵∠AEF =90°，∴∠FEC +∠AEB =90°．………………………………………1分在Rt △ABE 中，∠AEB +∠BAE =90°，∴∠BAE =∠FEC ；……………………………………………3分（2）证明：∵G ，E 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 的中点，∴AG=GB=BE=EC ，且∠AGE =180°－45°=135°．又∵CF 是∠DCH 的平分线，∴∠ECF =90°+45°=135°．………………………………………4分在△AGE 和△ECF 中，135AG EC AGE ECF GAE FEC =⎧⎪∠=∠=⎨⎪∠=∠⎩，，AD BEF O C１０∴△AGE ≌△ECF ； …………………………………………6分（3）解：由△AGE ≌△ECF ，得AE=EF ．又∵∠AEF =90°，∴△AEF 是等腰直角三角形．………………………………7分由AB=a ，BE =21a ，知AE =25a ， ∴S △AEF =85a 2．…………………………9分12. 证明：在△ADE 和△CDF 中,∵四边形ABCD 是菱形,∴∠A =∠C ，AD =CD .……………………2分又DE ⊥AB ，DF ⊥BC ,∴∠AED =∠CFD =900.……………………4分∴△ADE ≌△CDF . ……………………6分13. (1) 图略（有作图痕迹，且正确）．证明：∵AE 为BAD ∠的平分线，∴DAE BAE ∠=∠．又∵BC AD //，∴AEB DAE ∠=∠．∴AEB BAE ∠=∠．∴BE AB =． ∵AB AD =，∴BE AD =．∵BE AD //，∴四边形ABED 是平行四边形． ∵AB AD =，∴四边形ABED 是菱形．(2)证明：由(1) 知，四边形ABED 是菱形，∴AB DE //，BE DE =． ∴︒=∠=∠60ABC DEC ．(方法一)设线段EC 中点为F ，联结DF ，则FC EF =． ∵BE EC 2=，BE DE =．∴FC EF DE ==． ∵︒=∠60DEF ，∴△DEF 为等边三角形．∴︒=∠=∠60EFD EDF ，FC EF DF ==．∴FCD FDC ∠=∠．∴FDC FCD FDC DFE ∠=∠+∠=∠2．∴︒=∠30FDC ．∴︒=∠+∠=∠90FDC EDF EDC ，即DC DE ⊥．(方法二)作EC DH ⊥，垂足为H ，则︒=∠30EDH ．∴在Rt △DEH 中，ED EH 21=，ED DH 23=． ∵BE DE =，BE EC 2=，∴ED HC 23=．在Rt △DCH 中，3tan ==∠DHHCCDH ．∴︒=∠60CDH ．∴︒=∠+∠=∠90EDH CDH EDC ，即DC DE ⊥．14. 证明：四边形ABCD 为正方形90DA ABDAE ABF ∴=∠=∠=° 又AE BF =DAE ABF ∴△≌△ADE BAF ∴∠=∠（4分）90ADE AED ∠+∠=°90BAF AED ∴∠+∠=°AF DE ∴⊥ （3分）15. （1）证明：四边形ABCD 是矩形， 90A B BCD D AD BC ∴∠=∠=∠=∠==°，． ······························································ 1分将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，点A 与点C 重合，点D 落在点G 处，90G D ∴∠=∠=°，90ECG A CG AD ∠=∠==°，， ·················································· 2分 9090G B CG BC ECG BCD ∴∠=∠==∠=∠=°，，°，90GCF BCE FCE ∴∠=∠=∠°-， ·················································································· 3分 FGC EBC ∴△≌△． ·········································································································· 4分（2）解：由（1）得FGC EBC △≌△，EBCF ECGF AEFD S S S ∴==四边形四边形四边形，2ABCD ECGF AEFD EBCF S S S S ∴=+=矩形四边形四边形四边形，11841222ABCD ECGF S S ∴==⨯⨯=矩形四边形． ······································································· 6分16. （1）证明：∵ D 是BC 的中点，∴BD =CD ．………………………………1分 ∵CE ∥BF ∴∠DBF=∠DCE ． ………………………………………………2分又∵∠BDF=∠CDE ， …………………………………………………………3分 ∴△BDF ≌△CDE ． ……………………………………………………………4分（2）证明：∵△CDE ≌△BDF ，∴DE ＝DF ．………………………………5分 ∵BD ＝CD ，∴四边形BFCE 是平行四边形．…………………………………6分在△ABC 中，∵AB ＝AC ，BD =CD ． ∴AD ⊥BC ，即EF ⊥BC ．……………7分 ∴平行四边形BFCE 是菱形． …………………………………………………8分（另解）∵△CDE ≌△BDF ，∴CE ＝BF ． ……………………………………5分 ∵CE ∥BF ，∴四边形BFCE 是平行四边形．……………………………………6分 ∴BE =CF ．在△ABC 中，∵AB ＝AC ，BD =CD ．∴AD ⊥BC ，即AD 垂直平分BC ，∴BE =CE ．…………………………………7分 ∴平行四边形BFCE 是菱形． ……………………………………………………8分。

菱形地判定专项练习30题

实用标准
菱形的判定专项练习 30 题（有答案）
1．如图，梯形 ABCD中， AD∥BC， BA=AD=DC=BC，点 E 为 BC的中点．（ 1）求证：四边形 ABED是菱形；（ 2）过 A 点作 AF⊥BC于点 F，若 BD=4cm，求 AF的长．
2．如图，四边形 ABCD中，对角线 AC、BD相交于点 O，且 AC⊥ BD．点 M，N 分别在 BD、AC上，且 AO=ON=N，CBM=MO=O．D 求证： BC=2DN．
3．如图，在△ ABC中， AB=AC， D， E， F 分别是 BC， AB，AC的中点．（ 1）求证：四边形 AEDF是菱形；（ 2）若 AB=12cm，求菱形 AEDF的周长．
4．如图，在 ? ABCD中， EF∥BD，分别交 BC， CD于点 P，Q，交 AB， AD的延长线于点求证：（ 1）∠ E=∠ F；（ 2） ? ABCD是菱形．
22．如图所示，在 ? ABCD中，点 E 在 BC上， AE平分∠ BAF，过点 E 作 EF∥AB．求证：四边形 ABEF为菱形．
23．已知，如图，矩形 ABCD中， AB=4cm， AD=8cm，作∠ CAE=∠ ACE交 BC于 E，作∠ ACF=∠ CAF交 AD于 F．（ 1）求证： AECF是菱形；（2）求四边形 AECF的面积．
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实用标准
11．如图，在△ ABC中， AB=AC，点 D、E、 F 分别是△ ABC三边的中点．求证：四边形 ADEF是菱形．
12．如图，在四边形 ABCD中， AB=CD，M、 N、 E、 F 分别为 AD、 BC、BD、 AC的中点，求证：四边形 MENF为菱形．
13．已知：如图，在梯形 ABCD中， AD∥ BC，AB=AD，∠ BAD的平分线 AE交 BC于点 E，连接 DE．求证：四边形 ABED 是菱形．

菱形的判定专项练习题

菱形的判定专项练习30题（有答案）1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BA=AD=DC=BC，点E为BC的中点．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）过A点作AF⊥BC于点F，若BD=4cm，求AF的长．2．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD．点M，N分别在BD、AC上，且AO=ON=NC，BM=MO=OD．求证：BC=2DN．3．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若AB=12cm，求菱形AEDF的周长．4．如图，在▱ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E，F．已知BE=BP．求证：（1）∠E=∠F；（2）▱ABCD是菱形．5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．（1）求证：AF=DC；（2）若∠BAC=90°，求证：四边形AFBD是菱形．6．已知平行四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形ABCD是菱形．7．如图，在一个含30°的三角板ABC中，将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，再将三角板绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，点F在AC上，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形．（2）连接BF并延长交AE于G，连接CG．请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是为E F，并且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形．9．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，以AD，AE为边作▱ADFE交BC于点G，H，且EH=EC．求证：（1）∠B=∠C；（2）▱ADFE是菱形．10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交CD于F，EG⊥AB于G．（1）求证：△AEG≌△AEC；（2）△CEF是否为等腰三角形，请证明你的结论；（3）四边形GECF是否为菱形，请证明你的结论．11．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别是△ABC三边的中点．求证：四边形ADEF是菱形．12．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、E、F分别为AD、BC、BD、AC的中点，求证：四边形MENF 为菱形．13．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．求证：四边形ABED是菱形．14．如图，在△ABC中，AB=AC，M、O、N分别是AB、BC、CA的中点．求证：四边形AMON是菱形．15．如图：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFG是菱形．16．如图，矩形ABCD绕其对角线交点旋转后得矩形AECF，AB交EC于点N，CD交AF于点M．求证：四边形ANCM是菱形．17．如图，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB=BF，AD、BE交于M，BC、DF交于N，那么四边形BMDN是菱形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，说明理由．18．已知如图所示，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，四边形AEDF是菱形吗？说明理由．19．已知：如图所示，BD是△ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交AB于E，交BC于点F．求证：四边形BFDE是菱形．20．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．21．如图，在矩形ABCD中，EF垂直平分BD．（1）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．（2）已知BD=20，EF=15，求矩形ABCD的周长．22．如图所示，在▱ABCD中，点E在BC上，AE平分∠BAF，过点E作EF∥AB．求证：四边形ABEF为菱形．23．已知，如图，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=8cm，作∠CAE=∠ACE交BC于E，作∠ACF=∠CAF交AD于F．（1）求证：AECF是菱形；（2）求四边形AECF的面积．24．如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．问四边形AFCE是菱形吗？请说明理由．25．如图：在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的延长线上一点，且BE=DF，连接EF交AC于O．（1）AC与EF互相平分吗？为什么？（2）连接CE、AF，再添加一个什么条件，四边形AECF是菱形？为什么？26．已知：如图，△ABC和△DBC的顶点在BC边的同侧，AB=DC，AC=BD交于E，∠BEC的平分线交BC于O，延长EO到F，使EO=OF．求证：四边形BFCE是菱形．27．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）请连接BF，CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由；（3）在（2）下要使BECF是菱形，则△ABC应满足何条件？并说明理由．28．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．29．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F．求证：四边形AEDF是菱形．30．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA 的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．矩形的判定专项练习30题参考答案：1．1）证明：∵点E为BC的中点，∴BE=CE=BC，∵BA=AD=DC=BC，∴AB=BE=ED=AD，∴四边形ABED是菱形；（2）解：过点D作DH⊥BC，垂足为H，∵CD=DE=CE，∴∠DEC=60°，∴∠DBE=30°，在Rt△BDH中，BD=4cm，∴DH=2cm，∵AF=DH，∴AF=2cm．2．∵AO=ON，BM=MO，∴四边形AMND是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形AMND是菱形，∴MN=DN，∵ON=NC，BM=MO，∴MN=BC，∴BC=2DN 3．（1）∵D，E分别是BC，AB的中点，∴DE∥AC且DE=AF=AC．同理DF∥AB且DF=AE=AB．又∵AB=AC，∴DE=DF=AF=AE，∴四边形AEDF是菱形．（2）∵E是AB中点，∴AE=AB=6cm，因此菱形AEDF的周长为4×6=24cm．4．（1）∵BE=BP，∴∠E=∠BPE，∵BC∥AF，∴∠BPE=∠F，∴∠E=∠F．（2）∵EF∥BD，∴∠E=∠ABD，∠F=∠ADB，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴□ABCD是菱形．5．1）证明：∵E是AD的中点，∴∠1=∠2，在△AEF和△DEC 中，∴△AFE≌△DCE（AAS），∴AF=DC；（2）证明：∵D是BC的中点，∴DB=CD=BC，∵AF=CD，∴AF=DB，∵AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵∠BAC=90°，D为BC中点，∴AD=CB=DB，∴四边形AFBD是菱形．6．∵对角线BD平分∠ABC，∴∠1=∠2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠3=∠1，∴∠3=∠2，∴DC=BC，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．7．（1）∵三角板ABC中，将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，∴△ABC≌△ABF，且∠BAC=∠BAF=30°，∴∠FAC=60°，∴AD=DC=AC，又∵△ABC≌△EFC，∴CA=CE，又∵∠ECF=60°，∴AC=EC=AE，∴AD=DC=CE=AE，（2）证明：由（1）可知：△ACD，△AFC是等边三角形，△ACB≌△AFB，∴∠EDC=∠BAC=∠FAC=30°，且△ABC为直角三角形，∴BC=AC，∵EC=CB，∴EC=AC，∴E为AC中点，∴DE⊥AC，∴AE=EC，∵AG∥BC，∴∠EAG=∠ECB，∠AGE=∠EBC，∴△AEG≌△CEB，∴AG=BC，（7分）∴四边形ABCG是平行四边形，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCG是矩形8．在△ADE和△CDF中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°．又∵DE=DF，∴△ADE≌△CDF（AAS）∴DA=DC，∴平行四边形ABCD是菱形9．（1）∵在▱ADFE中，AD∥EF，∴∠EHC=∠B（两直线平行，同位角相等）．∵EH=EC（已知），∴∠EHC=∠C（等边对等角），∴∠B=∠C（等量代换）；（2）∵DE∥BC（已知），∴∠AED=∠C，∠ADE=∠B．∵∠B=∠C，∴∠AED=∠ADE，∴AD=AE，∴▱ADFE是菱形．10．1）证明：∵∠ACB=90°，∴AC⊥EC．在Rt△AEG与Rt△AEC中，，∴Rt△AEG≌Rt△AEC（HL）；（2）解：△CEF是等腰三角形．理由如下：∵CD是AB边上的高，∴CD⊥AB．又∵EG⊥AB，∴EG∥CD，∴∠CFE=∠GEA．又由（1）知，Rt△AEG≌Rt△AEC，∴∠GEA=∠CEA，∴∠CEA=∠CFE，即∠CEF=∠CFE，∴CE=CF，即△CEF是等腰三角形；（3）解：四边形GECF是菱形．理由如下：∵由（1）知，Rt△AEG≌Rt△AEC，则GE=EC；由（2）知，CE=CF，∴GE=EC=FC．又∵EG∥CD，即GE∥FC，∴四边形GECFR是菱形．11．∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE AC，EF AB，∴四边形ADEF为平行四边形．又∵AC=AB，∴DE=EF．∴四边形ADEF为菱形．12．∵M、E、分别为AD、BD、的中点，∴ME∥AB，ME=AB，同理：FH∥AB，FH=AB，∴四边形MENF是平行四边形，∵M．F是AD，AC中点，∴MF=DC，∵AB=CD，∴MF=ME，∴四边形MENF为菱形13．∵AE平分∠BAD，∵，∴△BAE≌△DAE（SAS）…（2分）∴BE=DE，…（3分）∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，…（4分）∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，…（5分）∴AB=BE=DE=AD，…（6分）∴四边形ABED是菱形．14．∵AB=AC，M、O、N分别是AB、BC、CA的中点，∴AM=AB=AC=AN，M0∥AC，NO∥AB，且MO=AC=AN，NO=AB=AM（三角形中位线定理），∴AM=MO=AN=NO，∴四边形AMON是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）15．证法一：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，∴∠B=∠CAD，∵CE平分∠ACB，EF⊥BC，∠BAC=90°（EA⊥CA），∴AE=EF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵CE=CE，∴由勾股定理得：AC=CF，∵△ACG和△FCG中，∴△ACG≌△FCG，∴∠CAD=∠CFG，∵∠B=∠CAD，∴∠B=∠CFG，∴GF∥AB，∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴AD∥EF，即AG∥EF，AE∥GF，∴平行四边形AEFG是菱形．证法二：∵AD⊥BC，∠CAB=90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB，∴AD∥EF，∠4=∠5，AE=EF，∵∠1=180°﹣90°﹣∠4，∠2=180°﹣90°﹣∠5，∴∠1=∠2，∵AD∥EF，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴AG=AE，∵AE=EF，∴AG=EF，∵AG∥EF，∴四边形AGFE是平行四边形，∵AE=EF，∴平行四边形AGFE是菱形．16．∵CD∥AB，∴∠FMC=∠FAN，∴∠NAE=∠MCF（等角的余角相等），在△CFM和△AEN中，，∴△CFM≌△AEN（ASA），∴CM=AN，∴四边形ANCM为平行四边形，在△ADM和△CFM中，，∴△ADM≌△CFM（AAS），∴AM=CF，∴四边形ANCM是菱形17．四边形BMDN是菱形．∵AM∥BC，∴∠AMB=∠MBN，∵BM∥FN∴∠MBN=∠BNF，∴∠AMB=∠BNF，又∵∠A=∠F=90°，AB=BF，∴△ABM≌△BFN，∴DM=DN，∵ED=BF=AB，∠E=∠A=90°，∠AMB=∠EMD，∴△ABM≌△EDM，∴BM=DM，∴MB=MD=DN=BN，∴四边形BMDN是菱形18．如图，由于DE∥AC，DF∥AB，所以四边形AEDF 为平行四边形．∵DE∥AC，∴∠3=∠2，又∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AE=DE，∴平行四边形AEDF为菱形．19．∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠EBD=∠EDB．∵BD是△ABC的角平分线，∴∠EBD=∠FBD．∴∠FBD=∠EDB，∴ED∥BF．同理，DF∥BE，∴四边形BFDE是平行四边形．又∵EB=ED，∴四边形BFDE是菱形．20．方法一：∵AE∥FC．∴∠EAC=∠FCA．（2分）又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF．（5分）∴EO=FO．又EF⊥AC，∴AC是EF的垂直平分线．（8分）∴AF=AE，CF=CE，又∵EA=EC，∴AF=AE=CE=CF．∴四边形AFCE为菱形．（10分）方法二：同方法一，证得△AOE≌△COF．（5分）∴AE=CF．∴四边形AFCE是平行四边形．（8分）又∵EF是AC的垂直平分线，方法三：同方法二，证得四边形AFCE是平行四边形．（8分）又EF⊥AC，（9分）∴四边形AFCE为菱形21．（1）四边形BEDF是菱形．在△DOF和△BOE中，∠FDO=∠EBO，OD=OB，∠DOF=∠BOE=90°，所以△DOF≌△BOE，所以OE=OF．又因为EF⊥BD，OD=OB，所以四边形BEDF为菱形．（5分）（2）如图，在菱形EBFD中，BD=20，EF=15，则DO=10，EO=7.5．由勾股定理得DE=EB=BF=FD=12.5．S菱形EBFD =EF•BD=BE•AD，即所以得AD=12．根据勾股定理可得AE=3.5，有AB=AE+EB=16．由2（AB+AD）=2（16+12）=56，故矩形ABCD的周长为5622．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥BE，又∵EF∥AB，∴四边形ABEF为平行四边形，∵AE平分∠BAF，∴∠BAE=∠FAE，∵∠FAE=∠BEA，∴∠BAE=∠BEA，∴BA=BE，∴平行四边形ABEF为菱形23．（1）证明：在矩形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，又∠CAE=∠ACE，∠ACF=∠CAF，∴∠EAC=∠FCA．∴AE∥CF．∴四边形AECF为平行四边形，又∠CAE=∠ACE，∴AE=EC．∴▱AECF为菱形．（2）设BE=x，则EC=AE=8﹣x，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，所以EC=5，即S菱形AECF=EC×AB=5×4=20．24．四边形AFCE是菱形，理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴=，∵AO=OC，∴OE=OF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵EF⊥AC，∴平行四边形AFCE是菱形25．（1）AC与EF互相平分，连接CE，AF，∵平行四边形ABCD，∴AB∥CD，AB=CD，又∵BE=DF，∴AB+BE=CD+DF，∴AE=CF，∴AE∥CF，AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AC与EF互相平分；（2）条件：EF⊥AC，∵EF⊥AC，又∵四边形AECF是平行四边形，∴平行四边形AECF是菱形．26．∵AB=DC AC=BD BC=CB，∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC=∠ACB，∴BE=CE，又∵∠BEC的平分线是EF，∴EO是中线（三线合一），∴BO=CO，∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分），又∵BE=CE，∴四边形BFCE是菱形．27．（1）证明：∵CF∥BE，∴∠EBD=∠FCD，D是BC边的中点，则BD=CD，∠BDE=∠CDF，∴△BDE≌△CDF．（2）如图所示，由（1）可得CF=BE，又CF∥BE，所以四边形BECF是平行四边形；（3）△ABC是等腰三角形，即AB=AC，理由：当AB=AC 时，则有AD⊥BC，又（2）中四边形为平行四边形，所以可判定其为菱形．28．（1）∵DE为BC的垂直平分线，∴∠EDB=90°，BD=DC，又∵∠ACB=90°，∴DE∥AC，∴E为AB的中点，∴在Rt△ABC中，CE=AE=BE，∴∠AEF=∠AFE，且∠BED=∠AEF，∠DEC=∠DFA，∴AF∥CE，又∵AF=CE，∴四边形ACEF为平行四边形；（2）要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC=CE即可，∵DE∥AC，∴∠BED=∠BAC，∠DEC=∠ECA，又∵∠BED=∠DEC，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC，又EB=EC，∴AE=EC=EB，∵CE=AB，∴AC=AB即可，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴当∠B=30°时，AB=2AC，故∠B=30°时，四边形ACEF为菱形．29．∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD又∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°∵在△AEO和△AFO中，∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO=FO即EF、AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形又EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形30．1）解：OE=OF．理由如下：∵CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE=∠BCE，又∵MN∥BC，∴∠NEC=∠ECB，∴∠NEC=∠ACE，∴OE=OC，∵OF是∠BCA的外角平分线，∴∠OCF=∠FCD，又∵MN∥BC，∴∠OFC=∠ECD，∴∠OFC=∠COF，∴OF=OC，∴OE=OF；（2）解：当∠ACB=90°，点O在AC的中点时，∵OE=OF，∴四边形AECF是正方形；（3）答：不可能．解：如图所示，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=（∠ACB+∠ACD）=90°，若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形．。

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菱形的判定专项练习30 题（有答案）1．如图，梯形ABCD 中， AD ∥ BC，BA=AD=DC=BC ，点 E 为 BC 的中点．（1）求证：四边形 ABED 是菱形；（2）过 A 点作 AF ⊥ BC 于点 F，若 BD=4cm ，求 AF 的长．2．如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点O，且 AC ⊥ BD ．点 M ，N 分别在 BD 、AC 上，且 AO=ON=NC ，BM=MO=OD ．求证： BC=2DN ．3．如图，在△ ABC 中， AB=AC ，D ，E， F 分别是 BC ，AB ， AC 的中点．（1）求证：四边形 AEDF 是菱形；（2）若 AB=12cm ，求菱形 AEDF 的周长．4．如图，在 ?ABCD 中， EF∥ BD ，分别交 BC ， CD 于点 P， Q，交 AB ，AD 的延长线于点 E， F．已知 BE=BP ．求证：（ 1）∠ E= ∠F；（ 2） ?ABCD 是菱形．5．如图，在△ ABC 中， D 是 BC 的中点， E 是 AD 的中点，过点 A 作 AF ∥ BC ， AF 与 CE 的延长线相交于点 F，连接BF．（ 1）求证： AF=DC ；（ 2）若∠ BAC=90 °，求证：四边形AFBD 是菱形．6．已知平行四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ ABC ，求证：四边形ABCD 是菱形．7．如图，在一个含 30°的三角板 ABC 中，将三角板沿着 AB 所在直线翻转 180°得到△ ABF ，再将三角板绕点 C 顺时针方向旋转 60°得到△ DEC ，点 F 在 AC 上，连接 AE ．（1）求证：四边形 ADCE 是菱形．（2）连接 BF 并延长交 AE 于 G，连接 CG．请问：四边形 ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？8．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，DE ⊥ AB ， DF ⊥BC ，垂足分别是为E F，并且 DE=DF ．求证：四边形 ABCD 是菱形．9．如图，在△ ABC 中， DE∥ BC，分别交 AB ，AC 于点 D ， E，以 AD ， AE 为边作 ?ADFE 交 BC 于点 G， H，且EH=EC ．求证：（ 1）∠ B= ∠ C；（2） ?ADFE 是菱形．10．如图，在△ ABC 中，∠ACB=90 °， CD 是 AB 边上的高，∠BAC 的平分线AE 交 CD 于 F， EG⊥ AB 于 G．（1）求证：△ AEG ≌ △ AEC ；（2）△ CEF 是否为等腰三角形，请证明你的结论；（3）四边形 GECF 是否为菱形，请证明你的结论．11．如图，在△ ABC 中， AB=AC ，点 D 、E、 F 分别是△ABC 三边的中点．求证：四边形ADEF 是菱形．12．如图，在四边形 ABCD 中， AB=CD ， M 、 N、 E、 F 分别为 AD 、 BC 、BD 、 AC 的中点，求证：四边形 MENF 为菱形．13．已知：如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC， AB=AD ，∠BAD 的平分线 AE 交 BC 于点 E，连接 DE ．求证：四边形ABED 是菱形．14．如图，在△ ABC 中， AB=AC ， M 、 O、 N 分别是 AB 、 BC 、 CA 的中点．求证：四边形AMON 是菱形．15．如图：在△ ABC 中，∠BAC=90 °， AD ⊥ BC 于 D， CE 平分∠ ACB ，交 AD 于 G，交 AB 于 E， EF⊥ BC 于 F．求证：四边形AEFG 是菱形．16．如图，矩形ABCD 绕其对角线交点旋转后得矩形AECF ， AB 交 EC 于点 N ， CD 交 AF 于点 M ．求证：四边形ANCM 是菱形．17．如图，四边形 ABCD 、 DEBF 都是矩形， AB=BF ， AD 、BE 交于 M ， BC 、DF 交于 N，那么四边形 BMDN 是菱形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，说明理由．18．已知如图所示， AD 是△ ABC 的角平分线， DE ∥ AC 交 AB 于 E， DF∥AB 交 AC 于 F，四边形 AEDF 是菱形吗？说明理由．19．已知：如图所示，BD 是△ABC 的角平分线， EF 是 BD 的垂直平分线，且交AB 于 E，交 BC 于点 F．求证：四边形 BFDE 是菱形．20．如图，在平行四边形ABCD 中， O 是对角线AC 的中点，过点O 作 AC 的垂线与边AD 、 BC 分别交于E、 F．求证：四边形AFCE 是菱形．21．如图，在矩形ABCD 中， EF 垂直平分BD ．（1）判断四边形 BEDF 的形状，并说明理由．（2）已知 BD=20 ， EF=15 ，求矩形 ABCD 的周长．22．如图所示，在?ABCD 中，点 E 在 BC 上， AE 平分∠BAF ，过点 E 作 EF∥ AB ．求证：四边形ABEF 为菱形．23．已知，如图，矩形 ABCD 中， AB=4cm ， AD=8cm ，作∠ CAE= ∠ ACE 交 BC 于 E，作∠ ACF= ∠ CAF 交 AD 于F．（ 1）求证： AECF 是菱形；（ 2）求四边形AECF 的面积．24．如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD 、BC 分别交于 E、F．问四边形 AFCE 是菱形吗？请说明理由．25．如图：在平行四边形 ABCD 中， E、F 分别是边 AB 、CD 的延长线上一点，且 BE=DF ，连接 EF 交 AC 于 O．（ 1） AC 与 EF 互相平分吗？为什么？（ 2）连接 CE、AF ，再添加一个什么条件，四边形AECF 是菱形？为什么？26．已知：如图，△ABC 和△ DBC 的顶点在 BC 边的同侧， AB=DC ，AC=BD 交于 E，∠ BEC 的平分线交 BC 于 O，延长EO 到 F，使 EO=OF ．求证：四边形 BFCE 是菱形．27．如图，在△ ABC 中， D 是 BC 边的中点， F， E 分别是 AD 及其延长线上的点，CF∥ BE．（1）求证：△ BDE ≌ △ CDF ；（2）请连接 BF， CE，试判断四边形 BECF 是何种特殊四边形，并说明理由；（3）在（ 2）下要使 BECF 是菱形，则△ABC 应满足何条件？并说明理由．28．如图，在△ ABC 中，∠ACB=90 °， BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D ，交 AB 于 E， F 在 DE 上，并且AF=CE ．（ 1）求证：四边形 ACEF 是平行四边形；（ 2）当∠ B 的大小满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？请回答并证明你的结论．29．如图，在△ ABC 中， AD 是∠ BAC 的平分线， EF 垂直平分 AD 交 AB 于 E，交 AC 于 F．求证：四边形AEDF 是菱形．30．如图，△ ABC 中，点 O 是边 AC 上一个动点，过 O 作直线 MN ∥ BC，设 MN 交∠ BCA 的平分线于点 E，交∠BCA 的外角平分线于点 F．（ 1）探究：线段OE 与 OF 的数量关系并加以证明；（ 2）当点 O 运动到何处，且△ ABC满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？（ 3）当点 O 在边 AC 上运动时，四边形BCFE 会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．矩形的判定专项练习30 题参考答案：1． 1）证明：∵点 E 为 BC 的中点，∴BE=CE= BC，∵BA=AD=DC= BC ，∴AB=BE=ED=AD ，∴四边形 ABED 是菱形；（ 2）解：过点 D 作 DH ⊥BC ，垂足为H ，∵CD=DE=CE ，∴ ∠ DEC=60 °，∴ ∠ DBE=30 °，在 Rt△ BDH 中， BD=4cm ，∴ DH=2cm ，∵AF=DH ，∴AF=2cm ．2．∵ AO=ON ，BM=MO ，∴ 四边形 AMND 是平行四边形，∵ AC ⊥ BD ，∴ 平行四边形 AMND 是菱形，∴ MN=DN ，∵ ON=NC ， BM=MO ，∴ MN= BC ，∴ BC=2DN3．（ 1）∵ D， E 分别是 BC ， AB 的中点，∴DE∥ AC 且 DE=AF= AC ．同理 DF∥ AB 且 DF=AE=AB ．又∵ AB=AC ，∴DE=DF=AF=AE ，∴四边形 AEDF 是菱形．（ 2）∵ E 是 AB 中点，∴ AE= AB=6cm ，因此菱形AEDF ∴∠1=∠2，在△AEF 和△DEC 中，∴ △ AFE ≌ △ DCE（ AAS ），∴AF=DC ；（2）证明：∵ D 是 BC 的中点，∴ DB=CD= BC，∵AF=CD ，∴ AF=DB ，∵AF ∥BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形，∵∠ BAC=90 °， D 为 BC 中点，∴AD= CB=DB ，∴四边形 AFBD 是菱形．6．∵对角线 BD 平分∠ ABC ，∴∠1=∠2，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，∴∠ 3=∠ 1，∴∠ 3=∠ 2，∴DC=BC ，又∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴四边形 ABCD 是菱形．的周长为 4×6=24cm ．4．（ 1）∵ BE=BP ，∴∠ E=∠BPE，7．（ 1）∵三角板 ABC 中，将三角板沿着AB 所在直线∵BC∥AF ，翻转 180°得到△ ABF ，∴ ∠ BPE=∠ F，∴ ∠ E=∠ F．∴ △ ABC ≌ △ABF ，且∠BAC= ∠BAF=30 °，（2）∵EF∥BD ，∴ ∠ FAC=60 °，∴ ∠ E=∠ABD ，∠ F=∠ ADB ，∴ AD=DC=AC ，∴∠ABD= ∠ADB ，又∵ △ ABC ≌△ EFC，∴ AB=AD ，∴ CA=CE ，∵四边形 ABCD 是平行四边形，又∵ ∠ ECF=60 °，∴ □ABCD 是菱形．∴ AC=EC=AE ，（2）证明：由（ 1）可知：△ ACD ，△ AFC 是等边三角形，△ACB ≌△ AFB ，∴ ∠ EDC= ∠BAC=∠ FAC=30°，且△ ABC为直角三角形，∴BC= AC ，∵EC=CB ，∴EC= AC，∴E为AC 中点，∴DE⊥ AC ，∴AE=EC ，∵AG∥BC，∴ ∠ EAG= ∠ ECB ，∠AGE= ∠ EBC ，∴△AEG≌△CEB ，∴AG=BC ，（ 7 分）∴四边形 ABCG 是平行四边形，∵ ∠ ABC=90 °，∴四边形 ABCG 是矩形8．在△ ADE 和△CDF 中，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠A=∠C，∵DE⊥ AB ， DF⊥ BC，∴ ∠ AED= ∠ CFD=90 °．又∵ DE=DF ，∴△ADE ≌△CDF（AAS ）∴DA=DC ，∴平行四边形 ABCD 是菱形9．（ 1）∵在 ?ADFE 中， AD ∥EF，∴ ∠ EHC= ∠B （两直线平行，同位角相等）．∵EH=EC （已知），∴ ∠ EHC= ∠C（等边对等角），∴ ∠ B=∠ C（等量代换）；（ 2）∵ DE ∥ BC （已知），∴∠AED= ∠C，∠ADE= ∠B．∵∠B=∠C，∴∠AED= ∠ADE ，∴AD=AE ，∴?ADFE 是菱形．10． 1）证明：∵ ∠ACB=90 °，在 Rt△AEG 与 Rt△ AEC 中，，∴Rt△AEG ≌ Rt△ AEC （HL ）；（ 2）解：△ CEF 是等腰三角形．理由如下：∵CD 是 AB 边上的高，∴CD⊥AB ．又∵ EG⊥AB ，∴EG∥ CD ，∴∠ CFE=∠ GEA ．又由（ 1）知， Rt△ AEG ≌ Rt△ AEC ，∴∠GEA= ∠ CEA，∴ ∠ CEA= ∠ CFE，即∠ CEF=∠ CFE，∴ CE=CF ，即△CEF 是等腰三角形；（ 3）解：四边形GECF 是菱形．理由如下：∵由（ 1）知，Rt△AEG ≌ Rt△ AEC ，则 GE=EC ；由（ 2）知， CE=CF ，∴GE=EC=FC ．又∵ EG∥CD ，即 GE∥ FC，∴四边形 GECFR 是菱形．11．∵ D、 E、F 分别是△ ABC 三边的中点，∴DE AC，EF AB ，∴四边形 ADEF 为平行四边形．又∵ AC=AB ，∴DE=EF ．∴四边形 ADEF 为菱形．12．∵ M 、 E、分别为AD 、 BD 、的中点，∴ME∥AB ，ME= AB ，同理： FH∥AB ， FH=AB ，∴四边形 MENF 是平行四边形，∵M．F 是 AD ，AC 中点，∴MF= DC，∵AB=CD ，∴MF=ME ，∴四边形 MENF 为菱形∴平行四边形 AEFG 是菱形．∵，证法二：∵ AD ⊥BC，∠ CAB=90 °， EF⊥ BC， CE 平分∴ △ BAE ≌△ DAE （ SAS）（ 2 分）∠ACB ，∴ BE=DE ，（ 3 分）∴ AD ∥EF，∠ 4=∠ 5，AE=EF ，∵AD ∥BC，∵ ∠ 1=180°﹣ 90°﹣∠ 4，∠ 2=180 °﹣ 90°﹣∠ 5，∴ ∠ DAE= ∠ AEB ，（ 4 分）∴∠1=∠2，∴ ∠ BAE= ∠AEB ，∵ AD ∥EF，∴ AB=BE ，（ 5 分）∴∠2=∠3，∴ AB=BE=DE=AD ，（6 分）∴∠1=∠3，∴四边形 ABED 是菱形．∴ AG=AE ，∵ AE=EF ，∴ AG=EF ，∵ AG ∥EF，∴四边形 AGFE 是平行四边形，14．∵ AB=AC ，M 、 O、 N 分别是 AB 、 BC、 CA 的中∵ AE=EF ，点，∴平行四边形 AGFE 是菱形．∴AM= AB= AC=AN ，M0 ∥ AC ， NO ∥AB ，且 MO= AC=AN ，NO= AB=AM （三角形中位线定理），16．∵ CD∥ AB ，∴ AM=MO=AN=NO ，∴∠FMC= ∠FAN，∴四边形 AMON 是菱形（四条边都相等的四边形是菱∴ ∠ NAE= ∠ MCF （等角的余角相等），形）在△ CFM 和△ AEN 中，15．证法一：∵ AD ⊥BC ，∴ ∠ ADB=90 °，，∵ ∠ BAC=90 °，∴ ∠ B+∠ BAD=90 °，∠ BAD+ ∠ CAD=90 °，∴ △ CFM ≌△ AEN （ASA ），∴∠B=∠CAD ，∴ CM=AN ，∵ CE 平分∠ ACB ， EF⊥ BC，∠ BAC=90 °（ EA ⊥CA ），∴四边形 ANCM 为平行四边形，∴ AE=EF （角平分线上的点到角两边的距离相等），在△ADM 和△CFM 中，∵ CE=CE ，∴由勾股定理得： AC=CF ，，∵△ACG 和△FCG 中∴△ADM ≌△CFM （AAS ），，∴ AM=CF ，∴四边形 ANCM 是菱形∴△ACG≌△FCG，17．四边形 BMDN 是菱形．∴ ∠ CAD= ∠ CFG，∵AM ∥BC，∵∠B=∠CAD ，∴∠AMB= ∠MBN ，∴ ∠ B=∠ CFG，∵BM ∥FN∴GF∥AB ，∴∠MBN= ∠BNF ，∵AD ⊥BC，EF⊥ BC，∴∠AMB= ∠BNF ，∴AD ∥EF，又∵ ∠ A= ∠ F=90°， AB=BF ，∴DM=DN ，∵ED=BF=AB ，∠ E=∠ A=90 °，∠ AMB=∠EMD ，∴△ABM ≌△ EDM，∴ BM=DM ，∴ MB=MD=DN=BN ，∴四边形 BMDN 是菱形18．如图，由于 DE ∥ AC ，DF∥ AB ，所以四边形 AEDF 为平行四边形．∵DE∥ AC ，∴ ∠3=∠ 2，又∠ 1=∠ 2，∴∠ 1=∠3，∴ AE=DE ，∴平行四边形 AEDF 为菱形．19．∵ EF 是 BD 的垂直平分线，∴EB=ED ，∴∠ EBD= ∠EDB ．∵BD 是△ ABC 的角平分线，∴ ∠ EBD= ∠FBD ．∴ ∠ FBD=∠EDB ，∴ED∥BF．同理， DF∥ BE ，∴四边形 BFDE 是平行四边形．又∵ EB=ED ，∴四边形 BFDE 是菱形．20．方法一：∵ AE ∥ FC．∴ ∠ EAC= ∠FCA ．（ 2 分）又∵ ∠ AOE= ∠ COF， AO=CO ，∴△AOE≌△COF．（5 分）∴EO=FO ．又 EF⊥AC ，∴AC 是 EF 的垂直平分线．（ 8 分）∴AF=AE ， CF=CE ，又∵ EA=EC ，∴AF=AE=CE=CF ．∴四边形 AFCE 为菱形．（ 10 分）方法二：同方法一，证得△ AOE ≌ △ COF．（ 5 分）∴AE=CF ．∴四边形 AFCE 是平行四边形．（ 8 分）方法三：同方法二，证得四边形 AFCE 是平行四边形．（ 8 分）又 EF⊥ AC ，（9 分）∴四边形 AFCE 为菱形21．（ 1）四边形 BEDF 是菱形．在△ DOF 和△BOE 中，∠FDO= ∠ EBO ，OD=OB ，∠ DOF=∠BOE=90 °，所以△ DOF ≌ △BOE ，所以 OE=OF ．又因为 EF⊥BD ， OD=OB ，所以四边形 BEDF 为菱形．（5 分）（2）如图，在菱形 EBFD 中， BD=20 ， EF=15，则 DO=10 ， EO=7.5 ．由勾股定理得 DE=EB=BF=FD=12.5 ．S 菱形EBFD= EF?BD=BE ?AD ，即所以得 AD=12 ．根据勾股定理可得AE=3.5 ，有 AB=AE+EB=16 ．由 2（AB+AD ） =2（ 16+12 ）=56 ，故矩形 ABCD 的周长为 5622．∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AF ∥ BE，又∵EF∥AB ，∴四边形 ABEF 为平行四边形，∵AE 平分∠ BAF ，∴∠ BAE= ∠ FAE，∵∠FAE=∠BEA ，∴∠BAE= ∠ BEA ，∴BA=BE ，∴平行四边形 ABEF 为菱形23．（ 1）证明：在矩形ABCD 中，∵AB ∥CD ，∴∠BAC= ∠ DCA ，又∠CAE= ∠ ACE，∠ACF= ∠CAF，∴∠EAC= ∠ FCA．∴AE ∥ CF．∴四边形 AECF 为平行四边形，又∠CAE= ∠ ACE，∴AE=EC ．∴?AECF 为菱形．（2）设 BE=x ，则 EC=AE=8 ﹣ x，在 Rt△ABE 中，222菱形的判定 ---第10页共12页所以 EC=5 ，即 S 菱形AECF=EC ×AB=5 ×4=20．24．四边形 AFCE 是菱形，理由是：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC，∴= ，∵AO=OC ，∴ OE=OF ，∴四边形 AFCE 是平行四边形，∵EF⊥AC ，∴平行四边形AFCE 是菱形25．（ 1） AC 与 EF 互相平分，连接CE，AF ，∵平行四边形ABCD ，∴AB ∥ CD ，AB=CD ，又∵BE=DF ，∴AB+BE=CD+DF ，∴AE=CF ，∴AE ∥ CF， AE=CF ，∴四边形 AECF 是平行四边形，∴AC 与 EF 互相平分；（ 2）条件： EF⊥ AC ，∵EF⊥AC ，又∵四边形 AECF 是平行四边形，∴平行四边形AECF 是菱形．26．∵ AB=DC AC=BD BC=CB，∴△ABC ≌△DCB ，∴∠DBC= ∠ACB ，∴BE=CE ，又∵ ∠ BEC 的平分线是EF，∴EO 是中线（三线合一），∴BO=CO ，∴四边形 BFCE 是平行四边形（对角线互相平分），又∵ BE=CE ，∴四边形 BFCE 是菱形．27．（ 1）证明：∵ CF∥BE ，∴∠ EBD= ∠ FCD ，D是 BC 边的中点，则 BD=CD ，∠BDE= ∠CDF ，∴△BDE ≌△CDF ．（ 2）如图所示，由（ 1）可得 CF=BE ，又 CF∥ BE ，所以四边形 BECF 是平行四边形；（ 3）△ ABC 是等腰三角形，即 AB=AC ，理由：当AB=AC 时，则有 AD ⊥ BC，又（ 2）中四边形为平行四边形，所以可判定其为菱形．28．（ 1）∵ DE 为 BC 的垂直平分线，∴ ∠ EDB=90 °， BD=DC ，又∵ ∠ ACB=90 °，∴DE∥AC ，∴E 为 AB 的中点，∴在 Rt△ ABC 中， CE=AE=BE ，∴∠ AEF= ∠ AFE ，且∠ BED= ∠AEF ，∠ DEC= ∠ DFA ，∴AF ∥ CE，又∵ AF=CE ，∴四边形 ACEF 为平行四边形；（ 2）要使得平行四边形ACEF 为菱形，则 AC=CE 即可，∵DE∥AC ，∴∠BED= ∠BAC ，∠DEC=∠ECA，又∵ ∠ BED= ∠ DEC，∴∠EAC= ∠ ECA，∴ AE=EC ，又 EB=EC ，∴ AE=EC=EB ，∵CE= AB ，∴AC= AB 即可，在 Rt△ABC 中，∠ ACB=90 °，∴当∠ B=30 °时， AB=2AC ，故∠ B=30 °时，四边形ACEF 为菱形．29．∵ AD 平分∠BAC∴ ∠ BAD= ∠CAD又∵EF⊥AD ，∴ ∠ AOE= ∠ AOF=90 °∵在△AEO 和△ AFO 中，∴ △ AEO ≌ △AFO （ ASA ），∴EO=FO即 EF、 AD 相互平分，∴四边形 AEDF 是平行四边形又 EF⊥AD ，∴平行四边形AEDF 为菱形30． 1）解： OE=OF ．理由如下：∵ CE 是∠ACB 的角平分线，∴ ∠ ACE= ∠BCE ，又∵ MN ∥BC，∴ ∠ NEC= ∠ECB ，∴ ∠ NEC= ∠ACE ，∴OE=OC ，∵ OF 是∠ BCA 的外角平分线，∴ ∠ OCF= ∠FCD ，又∵ MN ∥BC，∴ ∠ OFC= ∠ECD ，∴ ∠ OFC= ∠COF，∴OF=OC ，∴OE=OF ；（ 2）解：当∠ ACB=90 °，点 O 在 AC 的中点时，∵OE=OF ，∴四边形 AECF 是正方形；（ 3）答：不可能．解：如图所示，∵CE 平分∠ ACB ，CF 平分∠ ACD ，∴ ∠ ECF=∠ ACB+∠ ACD=（∠ACB+∠ACD）=90 °，若四边形BCFE 是菱形，则BF ⊥ EC，但在△ GFC 中，不可能存在两个角为 90°，所以不存在其为菱形．。

初二数学菱形的判定作业练习题(含答案)

初二数学菱形的判定作业练习题一．选择题（共5小题）1．下列说法不正确的是()A．四边都相等的四边形是菱形B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．对角线互相平分且相等的四边形是菱形2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的有()①当AB BC⊥时，四边形ABCD是菱形；=时，四边形ABCD是菱形；②当AC BD③当90=时，四边形ABCD是菱形；∠=︒时，四边形ABCD是菱形；④当AC BDABCA．3个B．4个C．1个D．2个3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA OC=，=．若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是()OB ODA．AC BD∠=︒D．AC BD⊥⊥C．60=B．AB BCAOB4．已知四边形ABCD中，AC BD⊥，再补充一个条件使四边形ABCD为菱形，这个条件可以是() A．AC BD==B．AB BCC．AC与BD互相平分D．90∠=︒ABC5．在平面直角坐标系内，点O是原点，点A的坐标是(3,4)，点B的坐标是(3,4)-，要使四边形AOBC 是菱形，则满足条件的点C的坐标是()A．(3,0)-B．(3,0)C．(6,0)D．(5,0)二．填空题（共5小题）6．如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直，那么这个四边形是．7．如图，两张等宽的长方形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是．8．四边形ABCD中，已知//AD BC，添加一个条件，即可判定该四边AB CD，//形是菱形．9．如图，四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB OD=，请你添加一个适当的条件，使四边形ABCD是菱形．（只需添加一个即可）10．四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD交于点O，请你添加一个合适的条件使其成为菱形．（只需添加一个即可）三．解答题（共4小题）11．如图，在ABCD=．⊥，垂足分别为点E、F，且BE DFY中，AE BC⊥，AF CD求证：ABCDY是菱形．12．已知如图ABCDY中，EF垂直平分对角线BD，交点为O，求证：四边形BFDE是菱形．13．如图，//∠交AE于点D，AC BD⊥于点O，交BF于点C，连接CD．求AE BF，BD平分ABC证：四边形ABCD是菱形．14．如图，在ABCAF BC交BE的延长∠=︒，AD是中线，E是AD的中点，过点A作//∆中，90BAC线于F，连接CF，求证：四边形ADCF是菱形．答案与解析一．选择题（共5小题）1．下列说法不正确的是()A．四边都相等的四边形是菱形B．有一组邻边相等的平行四边形是菱形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．对角线互相平分且相等的四边形是菱形【分析】由菱形的判定定理和矩形的判定定理分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：Q四边都相等的四边形是菱形，∴选项A不符合题意；Q有一组邻边相等的平行四边形是菱形，∴选项B不符合题意；Q对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴选项C不符合题意；Q对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴选项D符合题意；故选：D．2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的有()①当AB BC=时，四边形ABCD是菱形；②当AC BD⊥时，四边形ABCD是菱形；③当90∠=︒时，四边形ABCD是菱形：ABC④当AC BD=时，四边形ABCD是菱形；A．3个B．4个C．1个D．2个【分析】根据菱形的判定定理判断即可．【解答】解：Q四边形ABCD是平行四边形，=时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；∴①当AB BC②当AC BD⊥时，四边形ABCD是菱形；故符合题意；③当90∠=︒时，四边形ABCD是长方形；故不符合题意；ABC④当AC BD=时，四边形ABCD是长方形；故不符合题意；故选：D．3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA OC=．若要使四边形ABCD=，OB OD为菱形，则可以添加的条件是()A．AC BD⊥=B．AB BC∠=︒D．AC BD⊥C．60AOB【分析】由条件OA OC=根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平=，OB OD行四边形，再由矩形和菱形的判定定理即可得出结论．【解答】解：OA OCQ，OB OD=，=∴四边形ABCD为平行四边形，A、AC BDQ，=∴四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、AB BCQ，⊥∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；Q，∠=︒AOBC、60不能得出四边形ABCD是菱形；选项C不符合题意；D、AC BDQ，⊥∴四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．4．已知四边形ABCD中，AC BD⊥，再补充一个条件使四边形ABCD为菱形，这个条件可以是() A．AC BD=B．AB BC=C．AC与BD互相平分D．90∠=︒ABC【分析】由在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，又由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求得答案．【解答】解：Q在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，⊥Q，AC BD∴四边形ABCD是菱形．故选：C．5．在平面直角坐标系内，点O是原点，点A的坐标是(3,4)，点B的坐标是(3,4)-，要使四边形AOBC 是菱形，则满足条件的点C的坐标是()A．(3,0)-B．(3,0)C．(6,0)D．(5,0)【分析】如图，连接AB交OC于D，根据菱形的性质即可得到结论．【解答】解：如图，连接AB交OC于D，Q四边形AOBC是菱形，=，AD OC∴⊥，OD CD-，Q点A的坐标是(3,4)，点B的坐标是(3,4)OD∴=，3∴=，OC6∴，(6,0)C故选：C．二．填空题（共5小题）6．如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直，那么这个四边形是菱形．【分析】由一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直，根据菱形的判定定理可得这个四边形是菱形．【解答】解：Q一个四边形的两条对角线互相平分，∴此四边形是平行四边形，Q两条对角线互相垂直，∴这个四边形是菱形．故答案为：菱形．7．如图，两张等宽的长方形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形．【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．【解答】解：过点A 作AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，如图，Q 两条纸条宽度相同，AE AF ∴=．//AB CD Q ，//AD BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．ABCD S BC AE CD AF =⋅=⋅Y Q ．又AE AF =Q ．BC CD ∴=，∴四边形ABCD 是菱形；故答案为：菱形．8．四边形ABCD 中，已知//AB CD ，//AD BC ，添加一个条件 AB BC =或AC BD ⊥ ，即可判定该四边形是菱形．【分析】根据平行四边形的判定证出四边形ABCD 是平行四边形，根据菱形的判定证出即可．【解答】解：添加的条件是AB BC =，或AC BD ⊥；理由如下：//AB CD Q ，//AD BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，若AB BC =，则平行四边形ABCD 是菱形；若AC BD ⊥，则平行四边形ABCD 是菱形；故答案为：AB BC =或AC BD ⊥．9．如图，四边形ABCD 是对角线互相垂直的四边形，且OB OD =，请你添加一个适当的条件OA OC = ，使四边形ABCD 是菱形．（只需添加一个即可）【分析】可以添加条件OA OC =，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可判定出结论．【解答】解：OA OC =，OB OD =Q ，OA OC =，∴四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ⊥Q ，∴平行四边形ABCD 是菱形，故答案为：OA OC =．10．如图，四边形ABCD 为平行四边形，请你添加一个合适的条件 ()AB BC AC BD =⊥ 使其成为菱形．（只需添加一个即可）【分析】根据菱形的判定可得．【解答】解：AB BC =Q （一组邻边即可），且四边形ABCD 为平行四边形∴四边形ABCD 是菱形AC BD ⊥Q ，且四边形ABCD 为平行四边形∴四边形ABCD 是菱形．故答案为()AB BC AC BD =⊥三．解答题（共4小题）11．如图，在ABCD Y 中，AE BC ⊥，AF CD ⊥，垂足分别为点E 、F ，且BE DF =．求证：ABCD Y 是菱形．【分析】由平行四边形的性质可得B D ∠=∠，由“ASA ”可证ABE ADF ∆≅∆，可得AB AD =，即可得结论．【解答】证明：Q 四边形ABCD 是平行四边形B D ∴∠=∠，且BE DF =，90AEB ADF ∠=∠=︒()ABE ADF ASA ∴∆≅∆AB AD ∴=，且四边形ABCD 是平行四边形∴四边形ABCD 是菱形12．已知如图ABCD Y 中，EF 垂直平分对角线BD ，交点为O ，求证：四边形BFDE 是菱形．【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出DOE BOF ∆≅∆，得到OE OF =，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD 是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE 为菱形．【解答】证明：Q 在ABCD Y 中，O 为对角线BD 的中点，BO DO ∴=，EDB FBO ∠=∠，在DOE ∆和BOF ∆中，EDO FBO OD OBEOD FOB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()DOE BOF ASA ∴∆≅∆；OE OF ∴=，又OB OD =Q ，∴四边形EBFD 是平行四边形，EF BD ⊥Q ，∴四边形BFDE 为菱形．13．如图，//AE BF ，BD 平分ABC ∠交AE 于点D ，AC BD ⊥于点O ，交BF 于点C ，连接CD ．求证：四边形ABCD 是菱形．【分析】直接利用平行线的性质结合角平分线的定义得出对应角的关系，进而得出()ADO CBO ASA ∆≅∆，进而证明即可．【解答】证明：//AE BF Q ，ADB CBD ∴∠=∠，BD Q 平分ABC ∠交AE 于点D ，ABD DBC ∴∠=∠，ABD ADB ∴∠=∠，AB AD ∴=，AC BD ⊥Q ，BO DO ∴=，在ADO ∆和CBO ∆中ADO CBO DO BOAOD BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ADO CBO ASA ∴∆≅∆，AD BC ∴=，又∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，AB AD =Q ，∴四边形ABCD 是菱形．14．如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD 是中线，E 是AD 的中点，过点A 作//AF BC 交BE 的延长线于F ，连接CF ，求证：四边形ADCF 是菱形．【分析】根据AAS 证AFE DBE ∆≅∆，推出AF BD =．结合已知条件，利用“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到ADCF 是菱形．【解答】证明：//AF BC Q ，AFE DBE ∴∠=∠，E Q 是AD 的中点，AD 是BC 边上的中线，AE DE ∴=，BD CD =，在AFE ∆和DBE ∆中，AFE DBE FEA BED AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AFE DBE AAS ∴∆≅∆；AF DB ∴=．DB DC =Q ，AF CD ∴=．//AF BC Q ，∴四边形ADCF 是平行四边形，90BAC ∠=︒Q ，D 是BC 的中点， 12AD DC BC ∴==， ∴四边形ADCF 是菱形．。

中考数学复习----《菱形的判定》知识点总结与专项练习题(含答案)

中考数学复习----《菱形的判定》知识点总结与专项练习题（含答案）知识点总结1.直接判定：四条边都相等的四边形是菱形。

几何语言：∵AB=BC=CD=DA，∴四边形ABCD是菱形2.利用平行四边形判定：①定义：一组领边相等的平行四边形是菱形。

②对角线的特殊性：对角线相互垂直的平行四边形是菱形。

练习题1、（2022•襄阳）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（）A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．2、（2022•营口）如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是．（写出一个即可）【分析】由平移的性质得AB∥DE，AB＝DE，则四边形ABED是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论．【解答】解：这个条件可以是AB＝AD，理由如下：由平移的性质得：AB∥DE，AB＝DE，∴四边形ABED是平行四边形，又∵AB＝AD，∴平行四边形ABED是菱形，故答案为：AB＝AD（答案不唯一）．3、（2022•齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是．（只需写出一个条件即可）【分析】由AB∥CD，AB＝CD得四边形ABCD是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论．【解答】解：添加的条件是AB＝CD，理由如下：∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故答案为：AB＝CD（答案不唯一）．4、（2022•辽宁）如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F．若∠ACB＝60°，CD＝43，则四边形CEDF的周长是．【分析】连接EF交CD于O，证明四边形CEDF是菱形，可得CD⊥EF，∠ECD＝∠ACB＝30°，OC＝CD＝2，在Rt△COE中，可得CE＝＝＝4，故四边形CEDF的周长是4CE＝16．【解答】解：连接EF交CD于O，如图：∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形CEDF是平行四边形，∵CD是△ABC的角平分线，∴∠FCD＝∠ECD，∵DE∥AC，∴∠FCD＝∠CDE，∴∠ECD＝∠CDE，∴CE＝DE，∴四边形CEDF是菱形，∴CD⊥EF，∠ECD＝∠ACB＝30°，OC＝CD＝2，在Rt△COE中，CE＝＝＝4，∴四边形CEDF的周长是4CE＝4×4＝16，故答案为：16．。

菱形的判定练习题

菱形的判定练习题一、选择题1. 菱形的定义是具有四条相等边的四边形，下列哪个选项不是菱形的特征？A. 对角线互相垂直平分B. 对边相等C. 四边相等D. 内角和为180度2. 在菱形ABCD中，若AB=CD=10，BC=AD=8，下列哪个选项是正确的？A. 对角线AC=8B. 对角线BD=10C. 对角线AC=6D. 对角线BD=83. 菱形的面积可以通过以下哪种方式计算？A. 边长×边长B. 边长×高C. 对角线乘积的一半D. 以上都是二、填空题4. 若菱形的对角线AC=16，BD=12，则菱形的面积为________。

5. 菱形ABCD中，若AB=6，∠A=60°，则菱形的对角线BD的长度为________。

三、判断题6. 菱形的对角线一定互相垂直。

（）7. 菱形的对角线不一定相等。

（）8. 菱形的内角一定都是90度。

（）四、简答题9. 描述如何通过已知菱形的一条边长和其中一个内角来求得菱形的面积。

10. 假设菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且AC=10，BD=8，求菱形的边长。

五、计算题11. 在菱形ABCD中，已知AB=5，∠A=120°，求菱形的对角线AC和BD的长度。

12. 菱形PQRS中，PQ=6，对角线PR和QS相交于点O，且PR=8，求点O到各边的距离。

六、证明题13. 证明：菱形的对角线互相垂直。

14. 证明：菱形的对角线平分每组对角。

七、应用题15. 一个菱形的花坛，其边长为10米，求这个花坛的面积。

16. 一个菱形的风筝，其对角线长度分别为12米和16米，求风筝的面积。

八、拓展题17. 如果菱形的一边增加2米，而其他边保持不变，求新的菱形面积与原菱形面积的比值。

18. 菱形ABCD中，若AB=5，∠A=60°，求菱形的周长。

九、综合题19. 菱形EFGH中，EF=8，∠E=120°，求菱形的对角线长度，并计算菱形的面积。

菱形的判定专项练习30题

菱形的判定专项练习30题(有答案)ok

菱形的判定专项练习30题(有答案)ok菱形的判定专项练习30题（有答案）1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BA=AD=DC=BC，点E为BC的中点．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）过A点作AF⊥BC于点F，若BD=4cm，求AF的长．2．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD．点M，N分别在BD、AC上，且AO=ON=NC，BM=MO=OD．求证：BC=2DN．3．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若AB=12cm，求菱形AEDF的周长．4．如图，在▱ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E，F．已知BE=BP．求证：（1）∠E=∠F；（2）▱ABCD是菱形．5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．（1）求证：AF=DC；（2）若∠BAC=90°，求证：四边形AFBD是菱形．6．已知平行四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形ABCD是菱形．7．如图，在一个含30°的三角板ABC中，将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，再将三角板绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，点F在AC上，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形．（2）连接BF并延长交AE于G，连接CG．请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是为E F，并且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形．9．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，以AD，AE为边作▱ADFE交BC于点G，H，且EH=EC．求证：（1）∠B=∠C；（2）▱ADFE是菱形．10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交CD于F，EG⊥AB于G．（1）求证：△AEG≌△AEC；（2）△CEF是否为等腰三角形，请证明你的结论；（3）四边形GECF是否为菱形，请证明你的结论．11．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别是△ABC三边的中点．求证：四边形ADEF是菱形．12．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、E、F分别为AD、BC、BD、AC的中点，求证：四边形MENF 为菱形．13．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．求证：四边形ABED是菱形．14．如图，在△ABC中，AB=AC，M、O、N分别是AB、BC、CA的中点．求证：四边形AMON是菱形．15．如图：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFG是菱形．16．如图，矩形ABCD绕其对角线交点旋转后得矩形AECF，AB交EC于点N，CD交AF于点M．求证：四边形ANCM是菱形．17．如图，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB=BF，AD、BE交于M，BC、DF交于N，那么四边形BMDN是菱形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，说明理由．18．已知如图所示，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，四边形AEDF是菱形吗？说明理由．19．已知：如图所示，BD是△ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交AB于E，交BC于点F．求证：四边形BFDE是菱形．20．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．21．如图，在矩形ABCD中，EF垂直平分BD．（1）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．（2）已知BD=20，EF=15，求矩形ABCD的周长．22．如图所示，在▱ABCD中，点E在BC上，AE平分∠BAF，过点E作EF∥AB．求证：四边形ABEF为菱形．23．已知，如图，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=8cm，作∠CAE=∠ACE交BC于E，作∠ACF=∠CAF交AD于F．（1）求证：AECF是菱形；（2）求四边形AECF的面积．24．如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．问四边形AFCE是菱形吗？请说明理由．25．如图：在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的延长线上一点，且BE=DF，连接EF交AC于O．（1）AC与EF互相平分吗？为什么？（2）连接CE、AF，再添加一个什么条件，四边形AECF是菱形？为什么？26．已知：如图，△ABC和△DBC的顶点在BC边的同侧，AB=DC，AC=BD交于E，∠BEC的平分线交BC于O，延长EO到F，使EO=OF．求证：四边形BFCE是菱形．27．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）请连接BF，CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由；（3）在（2）下要使BECF是菱形，则△ABC应满足何条件？并说明理由．28．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．29．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F．求证：四边形AEDF是菱形．30．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA 的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．参考答案：1．1）证明：∵点E为BC的中点，∴BE=CE=BC，∵BA=AD=DC=BC，∴AB=BE=ED=AD，∴四边形ABED是菱形；（2）解：过点D作DH⊥BC，垂足为H，∵CD=DE=CE，∴∠DEC=60°，∴∠DBE=30°，在Rt△BDH中，BD=4cm，∴DH=2cm，∵AF=DH，∴AF=2cm．2．∵AO=ON，BM=MO，∴四边形AMND是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形AMND是菱形，∴MN=DN，∵ON=NC，BM=MO，∴MN=BC，∴BC=2DN 3．（1）∵D，E分别是BC，AB的中点，∴DE∥AC且DE=AF=AC．同理DF∥AB且DF=AE=AB．又∵AB=AC，∴DE=DF=AF=AE，∴四边形AEDF是菱形．（2）∵E是AB中点，∴AE=AB=6cm，因此菱形AEDF的周长为4×6=24cm．4．（1）∵BE=BP，∴∠E=∠BPE，∵BC∥AF，∴∠BPE=∠F，∴∠E=∠F．（2）∵EF∥BD，∴∠E=∠ABD，∠F=∠ADB，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴□ABCD是菱形．5．1）证明：∵E是AD的中点，∴∠1=∠2，在△AEF和△DEC 中，∴△AFE≌△DCE（AAS），∴AF=DC；（2）证明：∵D是BC的中点，∴DB=CD=BC，∵AF=CD，∴AF=DB，∵AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵∠BAC=90°，D为BC中点，∴AD=CB=DB，∴四边形AFBD是菱形．6．∵对角线BD平分∠ABC，∴∠1=∠2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠3=∠1，∴∠3=∠2，∴DC=BC，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．7．（1）∵三角板ABC中，将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，∴△ABC≌△ABF，且∠BAC=∠BAF=30°，∴∠FAC=60°，∴AD=DC=AC，又∵△ABC≌△EFC，∴CA=CE，又∵∠ECF=60°，∴AC=EC=AE，∴AD=DC=CE=AE，（2）证明：由（1）可知：△ACD，△AFC是等边三角形，△ACB≌△AFB，∴∠EDC=∠BAC=∠FAC=30°，且△ABC为直角三角形，∴BC=AC，∵EC=CB，∴EC=AC，∴E为AC中点，∴DE⊥AC，∴AE=EC，∵AG∥BC，∴∠EAG=∠ECB，∠AGE=∠EBC，∴△AEG≌△CEB，∴AG=BC，（7分）∴四边形ABCG是平行四边形，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCG是矩形8．在△ADE和△CDF中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°．又∵DE=DF，∴△ADE≌△CDF（AAS）∴DA=DC，∴平行四边形ABCD是菱形9．（1）∵在▱ADFE中，AD∥EF，∴∠EHC=∠B（两直线平行，同位角相等）．∵EH=EC（已知），∴∠EHC=∠C（等边对等角），∴∠B=∠C（等量代换）；（2）∵DE∥BC（已知），∴∠AED=∠C，∠ADE=∠B．∵∠B=∠C，∴∠AED=∠ADE，∴AD=AE，∴▱ADFE是菱形．10．1）证明：∵∠ACB=90°，∴AC⊥EC．在Rt△AEG与Rt△AEC中，，∴Rt△AEG≌Rt△AEC（HL）；（2）解：△CEF是等腰三角形．理由如下：∵CD是AB边上的高，∴CD⊥AB．又∵EG⊥AB，∴EG∥CD，∴∠CFE=∠GEA．又由（1）知，Rt△AEG≌Rt△AEC，∴∠GEA=∠CEA，∴∠CEA=∠CFE，即∠CEF=∠CFE，∴CE=CF，即△CEF是等腰三角形；（3）解：四边形GECF是菱形．理由如下：∵由（1）知，Rt△AEG≌Rt△AEC，则GE=EC；由（2）知，CE=CF，∴GE=EC=FC．又∵EG∥CD，即GE∥FC，∴四边形GECFR是菱形．11．∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE AC，EF AB，∴四边形ADEF为平行四边形．又∵AC=AB，∴DE=EF．∴四边形ADEF为菱形．12．∵M、E、分别为AD、BD、的中点，∴ME∥AB，ME=AB，同理：FH∥AB，FH=AB，∴四边形MENF是平行四边形，∵M．F是AD，AC中点，∴MF=DC，∵AB=CD，∴MF=ME，∴四边形MENF为菱形13．∵AE平分∠BAD，∵，∴△BAE≌△DAE（SAS）…（2分）∴BE=DE，…（3分）∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，…（4分）∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，…（5分）∴AB=BE=DE=AD，…（6分）∴四边形ABED是菱形．14．∵AB=AC，M、O、N分别是AB、BC、CA的中点，∴AM=AB=AC=AN，M0∥AC，NO∥AB，且MO=AC=AN，NO=AB=AM（三角形中位线定理），∴AM=MO=AN=NO，∴四边形AMON是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）15．证法一：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，∴∠B=∠CAD，∵CE平分∠ACB，EF⊥BC，∠BAC=90°（EA⊥CA），∴AE=EF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵CE=CE，∴由勾股定理得：AC=CF，∵△ACG和△FCG中，∴△ACG≌△FCG，∴∠CAD=∠CFG，∵∠B=∠CAD，∴∠B=∠CFG，∴GF∥AB，∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴AD∥EF，即AG∥EF，AE∥GF，∴平行四边形AEFG是菱形．证法二：∵AD⊥BC，∠CAB=90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB，∴AD∥EF，∠4=∠5，AE=EF，∵∠1=180°﹣90°﹣∠4，∠2=180°﹣90°﹣∠5，∴∠1=∠2，∵AD∥EF，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴AG=AE，∵AE=EF，∴AG=EF，∵AG∥EF，∴四边形AGFE是平行四边形，∵AE=EF，∴平行四边形AGFE是菱形．16．∵CD∥AB，∴∠FMC=∠FAN，∴∠NAE=∠MCF（等角的余角相等），在△CFM和△AEN中，，∴△CFM≌△AEN（ASA），∴CM=AN，∴四边形ANCM为平行四边形，在△ADM和△CFM中，，∴△ADM≌△CFM（AAS），∴AM=CF，∴四边形ANCM是菱形17．四边形BMDN是菱形．∵AM∥BC，∴∠AMB=∠MBN，∵BM∥FN∴∠MBN=∠BNF，∴∠AMB=∠BNF，又∵∠A=∠F=90°，AB=BF，∴△ABM≌△BFN，∴DM=DN，∵ED=BF=AB，∠E=∠A=90°，∠AMB=∠EMD，∴△ABM≌△EDM，∴BM=DM，∴MB=MD=DN=BN，∴四边形BMDN是菱形18．如图，由于DE∥AC，DF∥AB，所以四边形AEDF 为平行四边形．∵DE∥AC，∴∠3=∠2，又∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AE=DE，∴平行四边形AEDF为菱形．19．∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠EBD=∠EDB．∵BD是△ABC的角平分线，∴∠EBD=∠FBD．∴∠FBD=∠EDB，∴ED∥BF．同理，DF∥BE，∴四边形BFDE是平行四边形．又∵EB=ED，∴四边形BFDE是菱形．20．方法一：∵AE∥FC．∴∠EAC=∠FCA．（2分）又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF．（5分）∴EO=FO．又EF⊥AC，∴AC是EF的垂直平分线．（8分）∴AF=AE，CF=CE，又∵EA=EC，∴AF=AE=CE=CF．∴四边形AFCE为菱形．（10分）方法二：同方法一，证得△AOE≌△COF．（5分）∴AE=CF．∴四边形AFCE是平行四边形．（8分）又∵EF是AC的垂直平分线，方法三：同方法二，证得四边形AFCE是平行四边形．（8分）又EF⊥AC，（9分）∴四边形AFCE为菱形21．（1）四边形BEDF是菱形．在△DOF和△BOE中，∠FDO=∠EBO，OD=OB，∠DOF=∠BOE=90°，所以△DOF≌△BOE，所以OE=OF．又因为EF⊥BD，OD=OB，所以四边形BEDF为菱形．（5分）（2）如图，在菱形EBFD中，BD=20，EF=15，则DO=10，EO=7.5．由勾股定理得DE=EB=BF=FD=12.5．S菱形EBFD =EF•BD=BE•AD，即所以得AD=12．根据勾股定理可得AE=3.5，有AB=AE+EB=16．由2（AB+AD）=2（16+12）=56，故矩形ABCD的周长为5622．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥BE，又∵EF∥AB，∴四边形ABEF为平行四边形，∵AE平分∠BAF，∴∠BAE=∠FAE，∵∠FAE=∠BEA，∴∠BAE=∠BEA，∴BA=BE，∴平行四边形ABEF为菱形23．（1）证明：在矩形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，又∠CAE=∠ACE，∠ACF=∠CAF，∴∠EAC=∠FCA．∴AE∥CF．∴四边形AECF为平行四边形，又∠CAE=∠ACE，∴AE=EC．∴▱AECF为菱形．（2）设BE=x，则EC=AE=8﹣x，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，所以EC=5，即S菱形AECF=EC×AB=5×4=20．24．四边形AFCE是菱形，理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴=，∵AO=OC，∴OE=OF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵EF⊥AC，∴平行四边形AFCE是菱形25．（1）AC与EF互相平分，连接CE，AF，∵平行四边形ABCD，∴AB∥CD，AB=CD，又∵BE=DF，∴AB+BE=CD+DF，∴AE=CF，∴AE∥CF，AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AC与EF互相平分；（2）条件：EF⊥AC，∵EF⊥AC，又∵四边形AECF是平行四边形，∴平行四边形AECF是菱形．26．∵AB=DC AC=BD BC=CB，∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC=∠ACB，∴BE=CE，又∵∠BEC的平分线是EF，∴EO是中线（三线合一），∴BO=CO，∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分），又∵BE=CE，∴四边形BFCE是菱形．27．（1）证明：∵CF∥BE，∴∠EBD=∠FCD，D是BC边的中点，则BD=CD，∠BDE=∠CDF，∴△BDE≌△CDF．（2）如图所示，由（1）可得CF=BE，又CF∥BE，所以四边形BECF是平行四边形；（3）△ABC是等腰三角形，即AB=AC，理由：当AB=AC 时，则有AD⊥BC，又（2）中四边形为平行四边形，所以可判定其为菱形．28．（1）∵DE为BC的垂直平分线，∴∠EDB=90°，BD=DC，又∵∠ACB=90°，∴DE∥AC，∴E为AB的中点，∴在Rt△ABC中，CE=AE=BE，∴∠AEF=∠AFE，且∠BED=∠AEF，∠DEC=∠DFA，∴AF∥CE，又∵AF=CE，∴四边形ACEF为平行四边形；（2）要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC=CE即可，∵DE∥AC，∴∠BED=∠BAC，∠DEC=∠ECA，又∵∠BED=∠DEC，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC，又EB=EC，∴AE=EC=EB，∵CE=AB，∴AC=AB即可，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴当∠B=30°时，AB=2AC，故∠B=30°时，四边形ACEF为菱形．29．∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD又∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°∵在△AEO和△AFO中，∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO=FO即EF、AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形又EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形30．1）解：OE=OF．理由如下：∵CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE=∠BCE，又∵MN∥BC，∴∠NEC=∠ECB，∴∠NEC=∠ACE，∴OE=OC，∵OF是∠BCA的外角平分线，∴∠OCF=∠FCD，又∵MN∥BC，∴∠OFC=∠ECD，∴∠OFC=∠COF，∴OF=OC，∴OE=OF；（2）解：当∠ACB=90°，点O在AC的中点时，∵OE=OF，∴四边形AECF是正方形；（3）答：不可能．解：如图所示，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=（∠ACB+∠ACD）=90°，若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形．。