数学分析·下定义及定理
数学分析定理总结
数学分析定理总结数学分析是数学的一部分，主要研究函数、极限、连续性、微分和积分等概念与定理。
在数学分析中，有一些重要的定理，它们为我们理解和应用数学提供了基础。
下面将对数学分析中的一些重要定理进行总结。
首先是极限的定理。
极限是数学分析中重要的概念之一，描述了函数在某一点或趋近于某一点时的性质。
数学分析中有多个极限的定理，如夹逼定理、唯一极限定理、柯西收敛定理等。
夹逼定理告诉我们，如果一个函数夹在两个收敛于同一个极限的函数之间，那么这个函数也会收敛于同一个极限。
唯一极限定理则说明一个数列只能有一个极限。
柯西收敛定理则是一个重要的收敛准则，它指出一个数列收敛的充要条件是这个数列是柯西数列。
其次是连续性的定理。
连续性是函数分析中的重要概念，它描述了函数的平滑性和无间断性。
数学分析中有多个连续性的定理，如介值定理、零点定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理等。
介值定理告诉我们，如果一个函数在闭区间内取得了两个值，那么它在这个区间内必然取到介于这两个值之间的任何值。
零点定理则指出，如果一个连续函数在一个闭区间的两个端点取得了相反的函数值，那么它在这个区间内必然存在一个零点。
罗尔定理和拉格朗日中值定理则是微分学中的两个重要定理，它们指出了在一定条件下函数的特殊性质。
再次是微分的定理。
微分是数学分析中的重要内容，研究函数的变化率和斜率。
微分学中有多个微分的定理，如高阶导数的性质、泰勒展开、洛必达法则等。
高阶导数的性质指出，函数的高阶导数与原函数之间存在一定的关系，可以通过高阶导数来推断原函数的性质。
泰勒展开是一个重要的函数逼近工具，它告诉我们任何一个光滑函数都可以用一个无穷级数来表示。
洛必达法则则是求解函数极限的一种方法，通过求解极限的导数来求得函数极限。
最后是积分的定理。
积分是数学分析中的重要概念，用于计算曲线下面的面积和求解定积分。
数学分析中有多个积分的定理，如牛顿-莱布尼兹公式、分部积分、换元积分等。
牛顿-莱布尼兹公式指出，如果一个函数在某一闭区间上是连续的，并且存在原函数，那么在该闭区间上的定积分就可以通过求解原函数在这个区间上的差值来计算。
数学定义定理公式大全
数学定义定理公式大全
数学是一门广泛的学科，涵盖了许多不同的定义、定理和公式。
在这里我将尝试从几个主要的数学分支来介绍一些常见的定义、定
理和公式。
1. 代数学：
定义，代数学是研究数学结构和运算规则的一个分支，其中
包括各种代数结构如群、环、域等的定义。
定理，例如费马小定理、拉格朗日定理等。
公式，例如二次方程的解公式、二项式定理等。
2. 几何学：
定义，几何学研究空间、形状、大小和相对位置的性质和关系。
定理，比如皮亚诺公设、欧几里德几何的各种定理等。
公式，比如圆的面积公式、三角形的三边关系公式等。
3. 微积分：
定义，微积分是研究极限、导数、积分和无穷级数等概念的数学分支。
定理，比如泰勒定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理等。
公式，比如导数的定义公式、不定积分的公式等。
4. 概率论与统计学：
定义，研究随机现象规律性和统计规律性的数学分支。
定理，例如大数定律、中心极限定理等。
公式，例如期望、方差、正态分布概率密度函数等公式。
5. 线性代数：
定义，研究向量、矩阵、线性变换等代数结构和运算规则的数学分支。
定理，比如矩阵的秩-零化度定理、特征值分解定理等。
公式，比如矩阵乘法公式、逆矩阵公式等。
以上只是数学中的一小部分内容，每个分支都有大量的定义、定理和公式。
希望这些简要的介绍能够帮助你对数学有一个初步的了解。
如果你对特定的定义、定理或公式有更深入的了解，欢迎进一步提问。
定义、定理、引理、推论、定律
定义、定理、引理、推论、定律定义（Definition）定义是透过列出一个事件或者一个物件的基本属性来描述或规范一个词或一个概念的意义；被定义的事务或者物件叫做被定义项，其定义叫做定义项。
对于一种事物的本质特征或一个概念的内涵和外延所作的简要说明。
相当于数学上的对未知数的设定赋值，比如“设某未知数为已知字母x以便于简化计算，”对某个命名的词汇赋与一定的意义或形象，则有利于交流中的识别及认同。
命名和定义总是相伴而生，用已知的熟知的来解释和形容未知的陌生的事物并加以区别，这是一个理论界的真理。
命名和定义是理论的前提。
命名和定义是展开理论的前提。
定理（Theorem）是经过受逻辑限制的证明为真的陈述。
一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理。
证明定理是数学的中心活动。
一个定理陈述一个给定类的所有（全称）元素一种不变的关系，这些元素可以是无穷多，它们在任何时刻都无区别地成立，而没有一个例外。
猜想是相信为真但未被证明的数学叙述，或者叫做命题，当它经过证明后便是定理。
猜想是定理的来源，但并非唯一来源。
一个从其他定理引伸出来的数学叙述可以不经过成为猜想的过程，成为定理引理（Lemma）引理是数学中为了取得某个更好的结论而作为步骤被证明的命题，其意义并不在于自身被证明，而在于为达成最终目的作出贡献。
一个引理可用于证明多个结论。
引理和定理没有严格的区分。
推论（也称为系, 系理）（Inference）推论是指能够“简单明了地”从前述命题推出的论断。
推论往往在定理后出现; 如果命题 B 能够被简单明了的从命题 A 推导出，则称B 为A 的推论。
“推论”, “定理”, “命题”等术语的使用区别往往是比较主观的。
因为“简单明了”这个定义本来同作者及上下文相关。
当然，推论一般被认为不如定理重要。
定律（Law）为研究宇宙间不变的事实规律所归纳出的结论，不同于理论、假设、定义、定理，是对客观事实的一种表达形式，通过大量具体的客观事实经验累积归纳而成的结论。
数学定义定理公式大全
数学定义、定理、公式大全1. 数学定义1.1 数集•有限集：指元素个数有限的集合，记作A={a₁,a₂,…,an}。
•无限集：指元素个数无限的集合，记作A={a₁,a₂,…,an,…}。
•空集：不含任何元素的集合，记作∅或{}。
•子集：若集合A中的每个元素都是集合B中的元素，则称A为B的子集，记作A⊆B。
1.2 常用数系•自然数：正整数，记作N={1,2,3,4,…}。
•整数：正整数、负整数和0的集合，记作Z={…, -2,-1,0,1,2,…}。
•有理数：可以写成两个整数的比的数，记作Q。
•实数：包含有理数和无理数的数，记作R。
1.3 函数•函数：指定了集合A到集合B的一种关联规则，记作f:A→B。
•定义域：函数f中所有可能输入的集合，记作D(f)或Dom(f)。
•值域：函数f中所有可能输出的集合，记作R(f)或Ran(f)。
•逆函数：对于函数f:A→B，如果任意b∈B，都有唯一的a∈A，使得f(a)=b，则函数g:B→A称为f的逆函数，记作g=f⁻¹。
2. 数学定理2.1 代数定理•因式分解定理：每个整数都可以唯一地表示为素数的乘积。
•二次根定理：若在实数域上，对于方程ax²+bx+c=0，当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实根；当b²-4ac<0时，方程没有实根。
2.2 几何定理•勾股定理：对于直角三角形，斜边的平方等于两直角边的平方和。
•正弦定理：在任意三角形ABC中，边长a、b、c与对应的角A、B、C之间存在以下关系：a/sinA=b/sinB=c/sinC。
•余弦定理：在任意三角形ABC中，边长a、b、c与对应的角A、B、C之间存在以下关系：c²=a²+b²-2abcosC。
2.3 微积分定理•基本定理：若函数f在区间[a,b]上连续，并且F是f的任意一个原函数，则∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)。
大学数学数学分析的基本概念与定理
大学数学数学分析的基本概念与定理数学分析是大学数学的基础课程之一，它研究实数域上的函数及其性质，是数学学科的重要组成部分。
在学习数学分析的过程中，掌握一些基本的概念与定理是非常重要的。
本文将介绍数学分析中的一些基本概念与定理。
一、实数与数集在数学分析中，实数是指包括有理数和无理数在内的所有实数的集合，记作R。
实数具有完备性和有序性等基本性质。
数集是指一些数的集合，它可以是有限集也可以是无限集。
常见的数集有自然数集、整数集、有理数集和实数集等。
二、极限与收敛在数学分析中，极限是数列或函数的重要概念之一。
数列极限是指当n趋向于无穷大时，数列的项趋向于一个固定的数。
函数极限是指当自变量趋向于某个特定值时，函数的值趋向于一个固定的数。
收敛是指数列或函数具有极限的性质。
如果一个数列或函数存在极限，我们称它为收敛的；如果不存在极限，我们称它为发散的。
三、连续性与导数在数学分析中，连续性与导数是函数的重要性质。
连续性是指函数在定义域上没有间断点的性质，如果一个函数在某个点处连续，则在该点处左右极限存在且相等。
导数是函数的变化率的概念。
对于实数函数，如果该函数在某一点处的导数存在，则称该函数在该点可导。
导数的计算公式和性质是数学分析中的重要内容之一。
四、积分与微分方程积分是函数的逆运算。
在数学分析中，我们通过积分可以计算曲线下的面积、求定积分、解微分方程等。
微分方程是涉及未知函数及其导数的方程，是工程技术和物理学中常见的数学模型。
五、级数和函数项级数级数是数列之和的概念。
在数学分析中，级数是由一系列无穷多个数相加得到的结果。
常见的级数有等比级数和调和级数等。
函数项级数是将函数的无穷项和考虑进去的级数，它在实际问题中具有重要的应用。
六、基本定理与中值定理在数学分析中，基本定理起到了核心作用。
常见的基本定理有微积分基本定理、泰勒展开定理等。
中值定理是函数与导数之间的关系定理，包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。
总结起来，数学分析包含了实数与数集、极限与收敛、连续性与导数、积分与微分方程、级数和函数项级数、基本定理与中值定理等基本概念与定理。
数学分析知识点
数学分析知识点数学分析是数学的一个重要分支，涵盖了许多基础概念和重要定理。
在学习数学分析的过程中，我们需要掌握一些关键的知识点，这些知识点对于理解和运用数学分析有着重要的作用。
下面将介绍一些数学分析的基本知识点。
一、极限与连续性1. 极限：极限是数学中一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点的趋近情况。
对于一个函数f(x)，当x趋向于某一点a时，如果f(x)的值趋近于某个常数L，那么我们称L为函数f(x)在点a处的极限，记作lim(f(x))=L。
2. 连续性：函数在某一点处连续是指该点的函数值等于极限值。
在实数域上，函数f(x)在区间[a, b]上连续是指f(x)在[a, b]上每一个点都连续。
二、导数与微分1. 导数：导数描述了函数在某一点处的变化率。
如果函数f(x)在x=a处可导，那么它的导数f'(a)表示f(x)在点a处的变化率。
2. 微分：微分是导数的几何化，是函数在某一点处的线性变化。
函数在点a处的微分df(a)是指函数在点a处的切线方程的增量。
三、积分与微积分基本定理1. 不定积分：不定积分是积分的一种形式，用于求函数的原函数。
如果函数F(x)是函数f(x)的原函数，那么我们记作F(x)=∫f(x)dx。
2. 定积分：定积分是积分的一种形式，用于计算函数在一个区间上的总量。
如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么它在该区间上的定积分∫[a, b] f(x)dx表示f(x)在[a, b]上的总量。
四、级数与收敛性1. 级数：级数是一种无穷求和的形式，通常用于描述无穷个数的总和。
级数∑a_n=a_0+a_1+a_2+...+a_n表示从0到无穷大的项的和。
2. 收敛性：级数的收敛性用于描述级数总和的趋向情况。
如果级数∑a_n在无穷大时收敛到一个常数L，那么我们称该级数收敛。
以上介绍了数学分析中的一些基本知识点，这些知识点在数学分析的学习过程中扮演着重要的角色。
通过深入理解和掌握这些知识点，我们可以更好地理解和应用数学分析的概念和定理，从而提高数学分析的学习效率和水平。
数学分析的基本定理与推导
数学分析的基本定理与推导数学分析是数学的一个重要分支，它研究的是函数、极限、连续性、微积分等基本概念和定理。
本文将介绍数学分析中的一些基本定理以及它们的推导过程。
定理一：极限的定义与性质极限是数学分析中最基础的概念之一，可以用来描述函数在某一点的趋势。
设函数$f(x)$在$x_0$的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数$\epsilon$，存在正数$\delta$，使得当$0<|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)-A|<\epsilon$成立，则称函数$f(x)$在$x_0$处的极限为$A$，记作$\lim_{x \to x_0}f(x)=A$。
定理二：函数的四则运算定理设函数$f(x)$和$g(x)$在$x_0$的某个邻域内有定义，且$\lim_{x \tox_0}f(x)=A$，$\lim_{x \to x_0}g(x)=B$，则有以下四则运算定理：1. $\lim_{x \to x_0}(f(x)+g(x))=A+B$2. $\lim_{x \to x_0}(f(x)-g(x))=A-B$3. $\lim_{x \to x_0}(f(x) \cdot g(x))=A \cdot B$4. $\lim_{x \to x_0}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{A}{B}$（其中$B \neq 0$）定理三：函数的复合运算定理设函数$f(x)$在$x_0$的某个邻域内有定义，$g(x)$在$f(x_0)$的某个邻域内有定义，且$\lim_{x \to x_0}f(x)=A$，$\lim_{y \tof(x_0)}g(y)=B$，则有$\lim_{x \to x_0}g(f(x))=B$。
定理四：函数的单调性定理设函数$f(x)$在$(a,b)$上可导，则有以下结论：1. 若对于任意$x_1,x_2 \in (a,b)$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1)<f(x_2)$，则称$f(x)$在$(a,b)$上单调递增；2. 若对于任意$x_1,x_2 \in (a,b)$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1)>f(x_2)$，则称$f(x)$在$(a,b)$上单调递减；3. 若对于任意$x_1,x_2 \in (a,b)$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1) \leq f(x_2)$，则称$f(x)$在$(a,b)$上单调不减；4. 若对于任意$x_1,x_2 \in (a,b)$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1) \geq f(x_2)$，则称$f(x)$在$(a,b)$上单调不增。
数学分析中的重要定理
数学分析中的重要定理数学分析是数学的一个重要分支，研究的是函数、极限、连续性、微分和积分等概念及其性质。
在数学分析的学习过程中，有一些重要的定理对于理解和应用分析学的基本原理至关重要。
本文将介绍数学分析中的几个重要定理，包括泰勒定理、柯西—施瓦茨定理和拉格朗日中值定理。
首先，我们来介绍泰勒定理。
泰勒定理是分析学中的一个基本定理，它描述了函数在某个点附近的局部行为。
根据泰勒定理，如果一个函数在某个点处具有无穷阶可导性，那么它可以在该点的邻域内用一个无穷级数表示。
这个无穷级数称为泰勒级数，它的系数与函数在该点处的各阶导数有关。
泰勒定理在数学分析中有广泛的应用，可以用来近似计算函数的值，研究函数的性质等。
其次，我们来介绍柯西—施瓦茨定理。
柯西—施瓦茨定理是分析学中的一个重要定理，它描述了复变函数的积分性质。
根据柯西—施瓦茨定理，如果一个函数在某个闭合曲线内解析，那么它在该曲线内的积分等于零。
这个定理可以用来计算复变函数的积分，研究复变函数的性质等。
柯西—施瓦茨定理在复变函数论中有广泛的应用，是复分析的基础之一。
最后，我们来介绍拉格朗日中值定理。
拉格朗日中值定理是微分学中的一个重要定理，它描述了函数在某个区间内的平均变化率与该区间内某点的瞬时变化率之间的关系。
根据拉格朗日中值定理，如果一个函数在某个区间内连续且可导，那么在该区间内存在一个点，使得该点的瞬时变化率等于该区间内的平均变化率。
这个定理可以用来证明函数的性质，研究函数的增减性等。
拉格朗日中值定理在微分学中有广泛的应用，是微分学的基础之一。
综上所述，泰勒定理、柯西—施瓦茨定理和拉格朗日中值定理是数学分析中的几个重要定理。
它们分别描述了函数的局部行为、复变函数的积分性质和函数的平均变化率与瞬时变化率之间的关系。
这些定理在数学分析的学习和应用中起着重要的作用，对于理解和应用分析学的基本原理具有重要意义。
通过深入学习和理解这些定理，我们可以更好地掌握数学分析的基本概念和方法，为进一步研究和应用分析学打下坚实的基础。
数学下定义的概念
数学下定义的概念数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念的学科。
在数学中，有许多重要的定义，涵盖了众多重要的数学概念。
以下是一些经典的数学定义，将分别阐述它们所涉及的概念及其重要性。
1. 数字（Number）：数字是用来表示数量或者顺序的符号。
在数学中，有多种类型的数字，包括自然数（1，2，3...）、整数（...，-3，-2，-1，0，1，2，3...）、有理数（可以表示为两个整数比的分数）和实数（包括有理数和无理数）等。
数字作为数学中最基本的概念之一，用于表示计算、量化和度量。
2. 集合（Set）：集合是指具有确定的成员或元素的对象的集合。
它是数学中最基本也最主要的概念之一。
集合可以通过列举或描述成员的方式定义。
数学中的集合运算包括交集、并集和补集等。
集合论在数学的几乎所有领域都起到关键作用，它为数学提供了一种严密和抽象的代数结构。
3. 函数（Function）：函数是一个将一个集合的元素映射到另一个集合的规则。
函数通常用符号f(x)或者y来表示，其中x是自变量，y是函数对应的因变量。
函数在数学中的作用非常广泛，它描述了数量之间的关系，并且在数学分析、微积分、代数和几何等领域都有重要应用。
4. 方程（Equation）：方程是一个含有等号的数学表达式，其中包含了未知量和已知量。
解方程就是求解未知量的值，使得方程成立。
方程是数学的重要工具，在代数、微积分和数理逻辑等领域都有广泛应用。
5. 等价关系（Equivalence Relation）：等价关系是指满足自反性、对称性和传递性的关系。
即对于集合中的任意元素a、b和c，若a与a等价，a与b等价意味着b与a等价，a与b等价、b与c等价等价意味着a与c等价。
等价关系在数学中具有重要的作用，例如在集合划分、分类和分类等方面。
6. 极限（Limit）：极限是数列或函数在接近某一点或趋于无穷大时的行为描述。
极限在微积分中具有重要地位，在定义导数和积分以及解析几何中都有广泛应用。
数学分析定义、定理、推理一览表复习课程
数学分析定义、定理、推理一览表定义1给定两个非负实数x a0.a1.a2L a n L , y b0.b1.b2L b n L其中a o,b o为非负整数，a k,b k k 1,2,L为整数，若有0 a k 9,0 b k 9.则称x与y相等，记为x y .若a0b0或存在非负实数l,使得a kb k k 0,1,2丄l 而a i b 1,则称x大于y或y小于x,分别记为x y或y x.定义2设x a0.a1a2L a n L为非负实数.称有理数a。
.q a? L a为实数x的n位不足近似，而有理数x n x n称为x的n位过剩近似, n 0,1,2,L .实数的一些主要性质1. 实数集R对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数.2. 实数集是有序的，即任意两个实数a、b必满足下述三个关系之一：a b, a b,a b.3实数的大小关系具有传递性，即若a b,b c,则有a c.4.实数具有阿基米德性，即对任何a b R,若b>a>0,则存在正整数n，使得na>b.5实数R具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数, 且既有有理数也有无理数.6.如果一直线（通常画成水平直线）上确定一点o作为原点，指定一个方向为正方向（通常把指向右边的方向为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴.任意实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的每一个点也都唯一地代表一个实数.于是，实数集R与数轴上的点有着 -------- 对应关系.定义3绝对值得一些性质1. a a 0;当且仅当a=0时有a 0.2. a a a .3. a h h a h; ah h a h(h 0). 4. 对于任何a 、b R 有如下三角形不等式：a b a b a b .5. ab a||b .a |a|&冷0)定义4 实数a 的绝对值定义为a 从数轴上看，数a 的绝对值 a, a 0, a, a 0. a 就是a 到原点的距离区间和邻域开区间：a,b x a x b ,有限区间闭区间：a,b x|a x b ,半开半闭区间：a,b xa x b , 区间(,a] x|x a , , a,b R.工(a, ) xx a ,无限区间(,a) x|x a ,(,)x x R,邻域：a R, 0.满足x a 的全体实数x的集合称为点a的邻域，记作U a;,或U (a),即有U(a; ) {x||x a| } (a ,a ).点a的空心邻域：U°(a; ) {x| 0 | x a| }.点a的右邻域：U (a; ) [a,a );点a的左邻域：U (a; ) (a ,a];点a的空心右邻域：U 0(a; ) (a, a );点a的空心左邻域：U 0(a; ) (a , a);邻域U( ) {X||x| M}，其中M为充分大正数；邻域U( ) {X |x M}，其中M为充分大正数；邻域U( ) {X |x M}，其中M为充分大正数；定义5有界的定义设S为R中的一个数集•若存在M(L),使得对一切x S,都有x M (x L),则称S为有上界(下界)的数集，数M (L)称为S的一个上界(下界)■简记：S R, M 0, x S x M ,称S有界■若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集■若S不是有界集, 则称为无界集.定义6确界的定义1设S R.若数满足：i x S,有x ，即是S的上界；ii , x o S,使得x o ，即又是S的最小上界,则称为数集S的上确界，记作=sup S.2.设S R.若数满足：i x S,有x ，即是S的下界；ii , x0 S,使得x0，即又是S的最大下界,则称为数集S的下确界，记作=inf S定理1设数集S有上确界•i) =sup S S =max S.ii) =inf S S min S.定理一确界原理设S为非空数集.若S有上界，则必有上确界；若S有下界，则S必有下确界.定理2设A B为非空数集，满足：对一切x A和y B有x y.数集A有上确界，数集B有下确界，且supA inf B.推广的确界原理任一非空数集必有上、下确界(正常的或非正常的) 函数的概念定义1 给定两个实数集D和M，若有对应法则f,使对D内每一个X, 都有唯一的一个数y M与它相对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作f : D M,x a y.数集D称为函数f的定义域，x所对应的数y,称为f在点X的函数值, 常记为f (x).全体函数值的集合f(D) y| y f (x),x D ( M ) 称为函数f的值域.函数的四则运算给定两个函数f ,x ^和g,x D 2,记D=D 11 D 2,并设D .定义f 与g 在D 上的和、差、积运算如下：F(x) f(x) g(x),x D,G(x) f(x) g(x),x D,H(x) f(x)g(x),x D.若在D 中剔除g(x) 0的x 值，即令D * D i I x| g(x) 0,x D 2, 则除法如下L(x) f (x)/g(x),x D *. 初等函数定义2给定实数a 0,a 1设x 为我们规定sup {a r | r 为有理数}，当a 1时， a x r xi n f {a r |r 为有理数}，当0 a 1时.r x几个重要的等式(不等式)数列极限定义1收敛数列的性质定义1设a-为数列，n k为正整数集N +的无限子集，且n i n2 L n k L ，则数列a-i,a-2,L ,a-k,L称为数列a-的一个子列，简记为a-k.平凡子列：数列a-本身以及去掉有限项后得到的子列.非平凡子列：不是平凡子列的子列.数列a-与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限定理2.9数列a-收敛的充要条件是：a-的任何非平凡子列都收敛.定理二（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限定义1设f为定义在a, 上的函数，A为定数若对人给的0,存在正数Ml（ a）,使得当x M时有f x A ，则称函数f当x趋于时以A为极限，记作lim f x A或f x Ax .x2设函数f在点怡的某个空心邻域U。
数学分析定理证明最全汇总
数学分析定理证明最全汇总1. 引言本文旨在汇总数学分析中的常见定理及其证明，供研究和研究之用。
2. 逻辑与集合的定理2.1 反证法定理 2.1.1若一个命题的否定是不成立的，那么该命题本身是成立的。
证明：：假设命题P不成立。
假设命题$\neg P$不成立。
由此得到矛盾。
因此，命题P成立。
2.2 空集与全集定理 2.2.1空集是任何集合的子集。
证明：：假设存在一个集合A。
假设存在一个集合B，使得B是A的子集。
假设B不是空集。
由此得到矛盾。
因此，空集是A的子集。
3. 函数与极限的定理3.1 函数极限定理 3.1.1若函数f在某点c处的极限存在且为L，则f在c点连续。
证明：：假设函数f在c点极限存在且为L。
假设函数f在c点不连续。
由此得到矛盾。
因此，函数f在c点连续。
3.2 无穷极限定理 3.2.1对于一个无穷序列$\{a_n\}$，若$\lim_{n\to\infty} a_n$存在，则该极限必为有界集。
证明：：假设$\lim_{n\to\infty} a_n$存在。
假设$\{a_n\}$无界。
由此得到矛盾。
因此，该极限必为有界集。
总结本文汇总了数学分析中的部分定理及其简要证明，包括逻辑与集合的定理以及函数与极限的定理。
这些定理对于深入理解数学分析及其应用具有重要意义。
参考文献- 张田编著. (2009). 数学分析教程. 高等教育出版社.- Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill Education.。
初中数学全部定义定理公式
初中数学全部定义定理公式
一、基本定义
1.集合：在数学中，集合是一组具有特定特征的数据的集合，以大括
号括起来表示。
2.平方根：正数的平方根指的是一个数的平方，等于原来的数。
3.负数的平方根指的是一个负数的平方，等于原来的数。
4.有理数：有理数是一种可以用十进制分数来表示的数，如：1/2、
3/4、5/6等。
5.实数：实数是指所有可以用实际数字表示的数，如整数、有理数、
虚数等。
7.直线：直线是一种带有方向的无限长的线段，由两点确定。
8.空集：空集也叫做空集合，是一种没有任何元素的集合，用符号Ø
表示。
二、平面几何定理及公式
1.正方形的面积公式：面积=a2，其中a为正方形的边长。
2.长方形的面积公式：面积=a*b，其中a和b分别为长方形的长和宽。
3.三角形的面积公式：面积=1/2*a*h，其中a为三角形的底边长，h
为三角形的高。
4.圆形的面积公式：面积=πr2，其中r为圆的半径。
5.梯形的面积公式：面积=1/2*(a+b)*h，其中a和b分别为梯形的上底和下底，h为梯形的高。
人教版小学数学定义定理公式
千里之行，始于足下。
人教版小学数学定义定理公式很抱歉，由于文本长度限制，我无法在一个回答中提供的人教版小学数学定义、定理和公式。
不过我可以为您提供一些小学数学的常见定义、定理和公式，希望对您有所帮助：1. 定义：数是人们用来计算、度量和推理的概念。
数可以分为整数、分数和小数。
2. 定理：定理是数学中的重要命题，经过严格证明后被公认为真实可靠的结论。
例如皮亚诺公理和费马定理。
3. 公式：公式是用符号和字母表示的数学关系式，用于计算和解决问题。
例如勾股定理和圆的面积公式。
小学数学涉及的定义、定理和公式较为简单，主要侧重于基本概念的介绍和基本运算的掌握。
以下是一些小学数学常见的定义、定理和公式：1. 定义：加法是两个数或更多数的总和；减法是从一个数中减去另一个数；乘法是将两个数相乘；除法是将一个数分成若干等份。
2. 定理：数的交换律、结合律和分配律是小学数学中的重要定理。
例如加法的交换律：a + b = b + a；乘法的分配律：a × (b + c) = a × b + a ×c。
3. 公式：小学数学中常见的公式有加法、减法、乘法和除法的计算公式，例如：- 加法公式：a + b = c；第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
- 减法公式：a - b = c；- 乘法公式：a × b = c；- 除法公式：a ÷ b = c。
此外，小学数学的知识范围还包括整数、分数、小数的运算，以及二维几何图形的认识和计算等。
希望以上内容能够对您有所帮助。
如有需要，还请提供更具体的要求，我可以提供更具体的内容和知识点。
数学分析基本定理
数学分析基本定理数学分析是现代数学的一个重要分支，涵盖了许多基本理论和定理。
其中，数学分析的基本定理是数学分析的核心，是一系列重要的定理，对于理解和应用数学分析具有重要意义。
本文将介绍数学分析的基本定理，包括实数完备性定理、最大值最小值定理、洛必达法则以及泰勒展开定理。
一、实数完备性定理实数完备性定理是数学分析中的一个重要定理，它描述了实数的性质。
实数完备性定理表明，每个非空有上界的实数集合必定存在上确界。
这个定理为数学分析的一些重要结论提供了基础。
证明：假设有一个非空实数集合S，且S有上界。
根据实数的性质，S必定存在上确界。
证毕。
二、最大值最小值定理最大值最小值定理是数学分析中的一个重要定理，它描述了函数的性质。
最大值最小值定理表明，在一定条件下，函数在闭区间内必定取得最大值和最小值。
证明：假设有一个定义在闭区间[a, b]上的函数f(x)。
如果f(x)在[a,b]上连续，那么f(x)在[a, b]上必定存在最大值和最小值。
证毕。
三、洛必达法则洛必达法则是数学分析中的一个重要定理，它用于求解函数的极限。
洛必达法则表明，在一定条件下，通过对函数分子和分母同时求导，可以简化复杂的极限计算问题。
定理：假设有两个函数f(x)和g(x)，且f(x)和g(x)在某一点a附近连续，且g(x)在该点导数不为0。
如果f(x)和g(x)的极限都存在或者为无穷大，那么f(x)/g(x)的极限等于f'(x)/g'(x)。
证明：设f(x)和g(x)满足上述条件，根据洛必达法则，可以通过对f(x)和g(x)同时求导，将极限问题简化为计算f'(x)和g'(x)的极限问题。
根据导数的定义和极限的定义，可以得出结论f'(x)/g'(x)是f(x)/g(x)的极限。
证毕。
四、泰勒展开定理泰勒展开定理是数学分析中的一个重要定理，它用于近似计算复杂函数的值。
泰勒展开定理表明，如果某个函数在某一点附近具有足够多的连续导数，那么该函数可以用一个多项式来近似表示。
数学分析定义、定理、推理一览表
参变量函数的导数
高阶导数
定义略
微分
定义1
定理5.10
可微函数
若函数在定义区间上每一点都可微，则称函数为可微函数.
微分的运算法则
高阶微分
微分中值定理
函数的极值与最值
通过比较 在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值才能得到最大值或最小值.
函数的凸性与拐点
函数图像的讨论
作函数图像的一般程序
1.求函数的定义域；
2.考察函数的奇偶性、周期性；
3.求函数的某些特殊点，如与两个坐标轴的交点，不连续点，不可导点等；
4.确定函数的单调区间，极值点，凸性区间以及拐点；
5.考察渐近线；
6.综合以上结果画出函数图像.
定义1给定两个非负实数
其中 为非负整数， 为整数，若有
则称 与 相等，记为 .
定义2
定义3
绝对值得一些性质
定义4
区பைடு நூலகம்和邻域
定义5有界的定义
定义6确界的定义
定理1
定理一确界原理
定理2
推广的确界原理任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）.
函数的概念
定义1
函数的四则运算
初等函数
定义2
几个重要的等式（不等式）
定理二（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限.
广东省考研数学复习资料数学分析重要概念与定理归纳
广东省考研数学复习资料数学分析重要概念与定理归纳广东省考研数学复习资料：数学分析重要概念与定理归纳数学分析是研究实数、序列、函数和极限的数学学科，也是广东省考研数学科目中的重点内容之一。
在准备考研数学分析科目时，重要概念与定理的掌握和理解至关重要。
本文将对数学分析中一些重要的概念和定理进行归纳总结，帮助考生进行系统的复习。
一、实数与函数1. 实数的性质与运算在数学分析中，实数是最基本的概念之一。
实数具有以下性质：- 实数集的闭区间套定理- 实数集的稠密性- 实数的有序性- 实数的完备性实数运算的性质包括交换律、结合律、分配律等。
2. 函数的定义与性质函数是数学分析中研究的核心对象，了解函数的定义与性质对于数学分析的学习至关重要。
常见的函数类型包括初等函数、多项式函数、有理函数、指数函数和对数函数等。
函数的基本性质主要包括函数的单调性、奇偶性、周期性、反函数等。
二、极限与连续性1. 极限的定义与性质极限是数学分析中的重要概念，用于描述函数在某一点或无穷远处的趋势。
通常使用极限的定义和性质来研究函数的极限。
主要包括左极限、右极限、无穷极限等。
2. 一致收敛与点态收敛函数序列的收敛性是数学分析中的重要概念之一。
一致收敛与点态收敛是序列收敛性的两个常见概念。
了解它们的定义及其性质对于分析函数序列的收敛性十分重要。
3. 连续性连续性是函数的一个重要性质，它刻画了函数在某一点的平滑性程度。
连续函数的性质包括局部有界性、零点定理、介值定理等。
对于分段函数的连续性，需要掌握分段函数的连续性的条件和性质。
三、微分与积分1. 微分学基本概念微分学是数学分析的重要分支，研究函数的变化率和函数的最值问题。
微分学的基本概念包括导数、高阶导数、隐函数与显函数等。
2. 微分的基本性质与运算法则微分的基本性质和运算法则是进行微分计算的基础。
掌握微分运算的性质和规则有助于有效地计算和分析问题。
3. 积分的定义与性质积分是数学分析中的重要内容，用于计算曲线下面的面积或者函数在一定区间上的累积量。
初中数学定义定理汇总
初中数学定义定理汇总数学定义和定理是数学中的基本概念和规则，它们起到了指导数学推理和证明的作用。
下面是初中数学中的一些重要定义和定理：1.自然数：自然数是从1开始的整数序列，用符号N表示。
2.整数：整数是包括自然数及其相反数和0的数，用符号Z表示。
3.有理数：有理数是可以表示为两个整数的比的数，包括整数和分数，用符号Q表示。
4.无理数：无理数是不能表示为有理数的数，如根号2和圆周率π。
5.实数：实数是包括有理数和无理数的数，用符号R表示。
6.直角三角形：直角三角形是一个内角为直角的三角形。
7.等边三角形：等边三角形是三条边长度相等的三角形。
8.等腰三角形：等腰三角形是两边长度相等的三角形。
9.相似三角形：相似三角形是具有相同形状但大小不同的三角形。
10.同位角：同位角是两直线被一条截线所形成的对应角。
11.共线：共线是指多个点位于同一条直线上。
12.垂直：垂直是指两条直线或线段相互成直角。
13.平行：平行是指两条直线或线段永远不会相交。
14.余角：余角是指两角的和等于直角的角。
15.同向角：同向角是指两角的顶点和两边符合同一方向。
16.轴对称：轴对称是指图形的两侧是对称的。
17.逆向思维：逆向思维是指从结论出发，推导回原有问题的思维方式。
18.因式分解：因式分解是将一个多项式拆解为两个或多个因式相乘的过程。
19.分式：分式是指一个整数除以一个不为零的整数的运算表达式。
20.平面几何图形：平面几何图形是指位于同一平面上的图形，如三角形、四边形等。
学习数学的定理也是很重要的，下面是一些常见的初中数学定理：1.同位角定理：同位角相等的两个直线被截线所形成的对应角相等。
2.垂直角定理：两条互相垂直的直线所形成的角是相等的。
3.垂直定理：如果两条直线与一条截线相交，且形成的对应角相等，则这两条直线是垂直的。
4.平行定理：若两条直线与第三条直线相交，使得同位角或内错角或外错角成对相等，则这两条直线是平行的。
数学定义、定理超级大全
数学定义、定理超级大全数学是一门研究数量、结构、变化和空间的学科，通过逻辑推理和抽象概念进行推断和验证。
在数学中，有许多基本定义和定理，它们为数学的发展和应用提供了坚实的基础。
本文将介绍一系列重要的数学定义和定理，帮助读者深入理解数学世界的奥秘。
一、数学定义1. 数：数学中最基本的概念之一，用于计算和度量。
数分为自然数、整数、有理数和实数等不同类型。
2. 运算：数学中基本的操作，包括加法、减法、乘法和除法等。
3. 方程：数学中描述等式关系的表达式，由未知数和已知的常数、系数、运算符号组成。
4. 函数：一种特殊的关系，将一个输入值映射到一个唯一的输出值。
函数由定义域、值域和图像等构成。
5. 矩阵：由行和列组成的矩形阵列，用于表示和计算线性方程组、线性变换等。
6. 向量：有大小和方向的量，在数学中用箭头表示，并用坐标表示其分量。
7. 平面几何：研究平面上点、线、面及其相互关系的分支学科。
其中包括平面图形的性质和变换等。
8. 立体几何：研究三维空间中物体的形状、体积、距离和角度等属性的学科。
9. 概率：研究随机事件发生的可能性和规律的分支学科。
二、数学定理1. 费马定理：定义了整数幂的不可约分解，即不能找到大于1的整数幂等于两个较大数的幂的和。
2. 柯西-施瓦茨不等式：在向量空间中，任意两个向量的内积的绝对值不大于这两个向量的范数之积。
3. 黎曼猜想：对于大于1的所有自然数n，满足n为奇数时，ζ(n) < 0；n为偶数时，ζ(n)=0。
4. 角平分线定理：角的平分线将角分为两个相等的角。
5. 中值定理：若函数在闭区间上连续，在开区间上可导，则在开区间上至少存在一点，使得函数的导数在该点处等于函数在该区间的平均斜率。
6. 欧拉公式：e^iπ + 1 = 0，其中e为自然对数的底数，i为虚数单位，π为圆周率。
7. 傅里叶级数：将一个周期函数表示为正弦、余弦函数的和的展开式。
8. 皮卡定理：对于平面上面积为S的有理点多边形，其内部的整点的个数为A + B/2 - 1，其中A为多边形内部的格点数，B为多边形边界上的格点数。
数学分析·下定义及定理
第十二章 数项级数 1、级数的收敛性定义1 给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n u u u 21 （1）称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中n u 称为数项级数（1）的通项.数项级数（1）也常写作:∑∞=1n nu或简单写作∑nu.数项级数（1）的前n 项之和，记为n nk k n u u u u S +⋅⋅⋅++==∑=211， （2）称它为数项级数（1）的第n 个部分和，也简称部分和.定义 2 若数项级数（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即S Snn =∞→lim ），则称数项级数（1）收敛，称S 为数项级数（1）的和，记作⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=n u u u S 21或∑=n u S .若{}n S 是发散数列，则称数项级数（1）发散.定理12.1（级数收敛的柯西准则）级数（1）收敛的充要条件是：任给正数ε，总存在正整数N ，使得当m >N 以及对任意的正整数，都有p m m m u u u ++++⋅⋅⋅++21<ε. （6）定理12.2 若级数∑nu与∑nυ都收敛，则对任意常数,,d c 级数()∑+n nd cuυ亦收敛，且()∑∑∑+=+.n n n nd u c d cu υυ定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的收敛性. 定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号，即不改变级数的收敛性，也不改变级数的和。
正向级数定理12.5 正项级数∑nu收敛的充要条件：部分和数列{}n S 有界，即存在某个正数M ，对一切正整数n 有n S <M .定理12.6（比较原则） 设∑nu与∑nυ是两个正项级数，如果存在某个正数N ，对一切n >N 都有，n n u υ≤，则（i ）若级数∑nυ收敛，则级数∑nu也收敛； （ii ）若级数∑nυ发散，则级数∑nυ也发散.推论 设⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n n u u u υυυ2121,()()43是两个正项级数，若,lim l u nnn =∞→υ则（i ）当+∞<<l 0时，级数（3）、（4）同时收敛或同时发散； （ii ）当0=l 且级数（4）收敛时，级数（3）也收敛； （iii ）当+∞=l 且级数（4）发散时，级数（3）也发散. 定理12.7（达朗贝尔判别法，或称比式判别法） 设∑nu为正项级数，且存在某正整数0N 及常数().10<<q q（i ）若对一切,0N n >成立不等式,1q u u n n ≤+则级数∑nu收敛.（ii ）若对一切,0N n >成立不等式,11≥+n n u u则级数∑nu发散.推论1（比式判别法的极限形式） 若∑nu为正项级数，且,lim1q u u n n n =+∞→则（i ）当1<q 时，级数∑nu收敛；（ii ）当1>q 或+∞=q 时，级数∑nu发散.推论2 设∑nu为正项级数.（i ）若11______lim <=+∞→q u u nn n ，则级数收敛； （ii ）若11______lim >=+∞→q u u nn n ，则级数发散. 定理12.8（柯西判别法，或称根式判别法） 设∑nu为正项级数，且存在某正数0N 及常数l ，（i ）若对一切,0N n >成立不等式 ,1<≤l u nn则级数∑nu收敛；（ii ）若对一切,0N n >成立不等式 ,1≥nn u则级数∑nu发散.推论1（根式判别法的极限形式） 设∑nu为正项级数，且,liml u nn n =∞则（i ）当1<l 时，级数∑nu收敛； （ii ）当1>l 时，级数∑nu发散.推论2 设∑nu为正项级数，且,lim______l u nn n =∞→则当（i ）1<l 时级数收敛； （ii ）1>l 时级数发散.定理12.9 设f 为[)+∞,1上的非负减函数，那么正项级数()∑n f 与反常积分()⎰+∞1dxx f 同时收敛或同时发散.定理12.10（拉贝判别法） 设∑nu为正项级数，且存在某正整数N及常数r ，（i ）若对一切Nn 0>，成立不等式,111>≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-r u u n n n则级数∑nu收敛；（ii ）若对一切Nn 0>，成立不等式,111≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-n n u u n则级数∑nu发散；推论（拉贝判别法的极限形式） 设∑nu为正项级数，且极限ru u n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→11lim存在，则（i ）当1>r 时，级数∑nu收敛； （ii ）当1<r 时，级数∑nu发散.2、一般项数级数定理12.11（莱布尼茨判别法） 若交错级数()⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-+n n u u u u u 143211 (),,2,1,0⋅⋅⋅=>n u n （1）满足下述两个条件：（i ）数列{}n u 单调递减； （ii ）,0lim =∞→nn u则级数（1）收敛.推论 若级数（1）满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛级数（1）的余项估计式为.1+≤n n u R 定理12.12 绝对收敛的级数一定收敛.定理12.13 设级数⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n u u u 21绝对收敛，且其和等于S ，则任意重排列后所得到的级数也绝对收敛亦有相同的和数. 级数的乘积 设有收敛级数,,2121B v v v vA u u u u n nn n=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++==⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=∑∑()()32 把级数（2）与（3）中的每一项所有可能的乘积列成下表：这些乘积j i v u 可以按各种方法排成不同的级数.定理12.4（柯西定理） 若级数（2）（3）都绝对收敛，则对（4）中的所有乘积j i v u 按任意顺序排列所得的级数∑nw也绝对收敛，且其和等于.AB引理（分部求和公式，也称阿贝耳变换） 设()n i v i i ,,2,1,⋅⋅⋅=ε为两组实数，若令k k v v v +⋅⋅⋅++=21σ (),,,2,1n k ⋅⋅⋅=则有如下分部求和公式成立：()()().1112321211n n n n n ni i i v σεσεεσεεσεεε+-+⋅⋅⋅+-+-=--=∑（4）推论（阿贝耳引理） 若（i ）n εεε,,,21⋅⋅⋅是单调数组；（ii ）对任一正整数()n k k ≤≤1有A k ≤σ(这里k k v v +⋅⋅⋅+=1σ)，则记{}k kεεmax =时，有.31A v nk k k εε≤∑=定理12.5（阿贝耳判别法） 若{}n a 为单调有界数列，且级数∑nb收敛，则级数⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=∑n n nn b a b a b a ba 2211（5）收敛.定理12.6（狄利克雷判别法） 若数列{}n a 单调递减，且,0lim =∞→nn a又级数∑n b 的部分和数列有界，则级数（5）收敛.第十三章 函数列与函数项级数 1、第十四章 幂级数 第十五章 傅里叶级数第十六章 多元函数的极限与连续 第十七章 多元函数微分学 第十八章 隐函数定理及其应用 第十九章 含参量积分 第二十章 曲线积分 第二十一章 重积分 第二十二章 曲面积分第二十三章 流形体上微积分初阶段。
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第十二章 数项级数 1、级数的收敛性
定义1 给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n u u u 21 （1）
称为数项级数或无穷级数（也常简称级数），其中n u 称为数项级数（1）的通项.
数项级数（1）也常写作:
∑∞
=1
n n
u
或简单写作
∑n
u
.
数项级数（1）的前n 项之和，记为
n n
k k n u u u u S +⋅⋅⋅++==∑=211
， （2）
称它为数项级数（1）的第n 个部分和，也简称部分和.
定义 2 若数项级数（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S
n
n =∞
→lim ），则称数项级
数（1）收敛，称S 为数项级数（1）的和，记作
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=n u u u S 21或∑=n u S .
若{}n S 是发散数列，则称数项级数（1）发散.
定理12.1（级数收敛的柯西准则）级数（1）收敛的充要条件是：任给正数ε，总存在正整数N ，使得当m >N 以及对任意的正整数，都有
p m m m u u u ++++⋅⋅⋅++21<ε. （6）
定理12.2 若级数∑n
u
与
∑n
υ
都收敛，则对任意常数,,d c 级数
()∑+n n
d cu
υ亦收
敛，且
()∑∑∑+=+.
n n n n
d u c d cu
υυ
定理12.3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的收敛性.
定理12.4 在收敛级数的项中任意加括号，即不改变级数的收敛性，也不改变级数的和。
正向级数
定理12.5 正项级数
∑n
u
收敛的充要条件：部分和数列{}n S 有界，即存在某个正数M ，
对一切正整数n 有n S <M .
定理12.6（比较原则） 设∑n
u
与
∑n
υ
是两个正项级数，如果存在某个正数N ，对
一切n >N 都有，n n u υ≤，则
（i ）若级数
∑n
υ
收敛，则级数
∑n
u
也收敛；
（ii ）若级数∑n
υ
发散，则级数
∑n
υ
也发散.
推论 设
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n n u u u υυυ2121,
()()43
是两个正项级数，若
,
lim l u n
n
n =∞
→υ
则
（i ）当+∞<<l 0时，级数（3）、（4）同时收敛或同时发散； （ii ）当0=l 且级数（4）收敛时，级数（3）也收敛； （iii ）当+∞=l 且级数（4）发散时，级数（3）也发散.
定理12.7（达朗贝尔判别法，或称比式判别法） 设∑n
u
为正项级数，且存在某正整
数0N 及常数().10<<q q
（i ）若对一切,0N n >成立不等式
,1
q u u n n ≤+
则级数
∑n
u
收敛.
（ii ）若对一切,0N n >成立不等式
,11
≥+n n u u
则级数∑n
u
发散.
推论1（比式判别法的极限形式） 若
∑n
u
为正项级数，且
,
lim
1
q u u n
n n =+∞→
则
（i ）当1<q 时，级数
∑n
u
收敛；
（ii ）当1>q 或+∞=q 时，级数
∑n
u
发散.
推论2 设
∑n
u
为正项级数.
（i ）若
11
______
lim <=+∞→q u u n
n n ，则级数收敛； （ii ）若
11
______
lim >=+∞→q u u n
n n ，则级数发散. 定理12.8（柯西判别法，或称根式判别法） 设∑n
u
为正项级数，且存在某正数0N 及
常数l ，
（i ）若对一切,0N n >成立不等式
,1<≤l u n
n
则级数
∑n
u
收敛；
（ii ）若对一切,0N n >成立不等式
,
1≥n
n u
则级数
∑n
u
发散.
推论1（根式判别法的极限形式） 设
∑n
u
为正项级数，且
,
lim
l u n
n n =∞
则
（i ）当1<l 时，级数
∑n
u
收敛；
（ii ）当1>l 时，级数
∑n
u
发散.
推论2 设
∑n
u
为正项级数，且
,
lim
______
l u n
n n =∞
→
则当
（i ）1<l 时级数收敛； （ii ）1>l 时级数发散.
定理12.9 设f 为[)+∞,1上的非负减函数，那么正项级数()∑n f 与反常积分()⎰+∞
1
dx
x f 同时收敛或同时发散.
定理12.10（拉贝判别法） 设
∑n
u
为正项级数，且存在某正整数
N
及常数
r ，
（i ）若对一切N
n 0
>
，成立不等式
,
111>≥⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+-r u u n n n
则级数
∑n
u
收敛；
（ii ）若对一切N
n 0
>
，成立不等式
,
111≤⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+-n n u u n
则级数
∑n
u
发散；
推论（拉贝判别法的极限形式） 设
∑n
u
为正项级数，且极限
r
u u n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→11lim
存在，则
（i ）当1>r 时，级数
∑n
u
收敛；
（ii ）当1<r 时，级数∑n
u
发散.
2、一般项数级数
定理12.11（莱布尼茨判别法） 若交错级数
()⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+-+-+n n u u u u u 1
43211 (),,2,1,0⋅⋅⋅=>n u n （1）满足下述两个条件：
（i ）数列{}n u 单调递减； （ii ）
,0lim =∞
→n
n u
则级数（1）收敛.
推论 若级数（1）满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛级数（1）的余项估计式为.1+≤n n u R 定理12.12 绝对收敛的级数一定收敛.
定理12.13 设级数⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++n u u u 21绝对收敛，且其和等于S ，则任意重排列后所得到的级数也绝对收敛亦有相同的和数. 级数的乘积
设有收敛级数
,
,2121B v v v v
A u u u u n n
n n
=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++==⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=∑∑
()()
32 把级数（2）与（3）中的每一项所有可能的乘积列成下表：
这些乘积j i v u 可以按各种方法排成不同的级数.
定理12.4（柯西定理） 若级数（2）（3）都绝对收敛，则对（4）中的所有乘积j i v u 按任意顺序排列所得的级数
∑n
w
也绝对收敛，且其和等于.AB
引理（分部求和公式，也称阿贝耳变换） 设()n i v i i ,,2,1,⋅⋅⋅=ε为两组实数，若令
k k v v v +⋅⋅⋅++=21σ (),,,2,1n k ⋅⋅⋅=则有如下分部求和公式成立：
()()().111232121
1
n n n n n n
i i i v σεσεεσεεσεε
ε+-+⋅⋅⋅+-+-=--=∑
推论（阿贝耳引理） 若
（i ）n εεε,,,21⋅⋅⋅是单调数组；
（ii ）对任一正整数()n k k ≤≤1有A k ≤σ(这里k k v v +⋅⋅⋅+=1σ)，则记
（4）
{}k k
εεmax =时，有.31
A v n
k k k εε≤∑=
定理12.5（阿贝耳判别法） 若{}n a 为单调有界数列，且级数
∑n
b
收敛，
则级数
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=∑n n n
n b a b a b a b
a 2211（5）收敛.
定理12.6（狄利克雷判别法） 若数列{}n a 单调递减，且,0lim =∞
→n
n a
又级数∑n b 的部分
和数列有界，则级数（5）收敛.
第十三章 函数列与函数项级数 1、
第十四章 幂级数 第十五章 傅里叶级数
第十六章 多元函数的极限与连续 第十七章 多元函数微分学 第十八章 隐函数定理及其应用 第十九章 含参量积分 第二十章 曲线积分 第二十一章 重积分 第二十二章 曲面积分
第二十三章 流形体上微积分初阶段。