最小二乘法数值分析实验报告
最小二乘法数值分析实验报告
最小二乘法数值分析实验报告最小二乘法数值分析实验报告篇一：数值分析+最小二乘法实验报告数学与信息工程学院实课程名称：实验室：实验台号：班级：姓名：实验日期：验报告数值分析 201X年 4 月 13日篇二：数值分析上机实验最小二乘法数值分析实验报告五最小二乘法一、题目设有如下数据用三次多项式拟合这组数据，并绘出图形。
二、方法最小二乘法三、程序M文件：sy ms x f; xx=input( 请输入插值节点 as [x1,x2...]\n ff=i nput( 请输入插值节点处对应的函数值 as [f1,f 2...]\n m=input(请输入要求的插值次数m= n=leng th(xx); fr i=1:(m+1) syms faix; fai=x^(i-1); fr j=1:n x=xx(j);H(i,j)=eval(fai); end endA=ff*(H) *inv(H*(H) syms x; f=0; fr i=1:(m+1) f=f+A(i)*x^(i-1); end f plt(xx,ff, * ) hldnezplt(f,[xx(1),xx(n)])四、结果 sav e and run之后：请输入插值节点 as [x1,x2...] [-3 -2-1 0 1 2 3] 请输入插值节点处对应的函数值 as[f1,f2...] [-1.76 0.42 1.21.341.432.254.38]请输入要求的插值次数m=3 f =133/100+121469856021/35184372088832*x-8042142191733/450359 9627370496*x^2+1020815915537309/9007199254740992*x^3五、拓展：最小二乘法计算方法比较简单，是实际中常用的一种方法，但是必须经计算机来实现，如果要保证精度则需要对大量数据进行拟合，计算量很大。
最小二乘法的实验报告
最小二乘法的实验报告最小二乘法的实验报告引言：最小二乘法是一种常用的数学方法，用于拟合数据和求解最优解。
它适用于各种领域，如统计学、经济学、工程学等。
本实验旨在通过实际案例，探讨最小二乘法在实际问题中的应用和效果。
一、实验目的本实验旨在通过最小二乘法，对一组实际数据进行拟合，得出最佳拟合曲线，并分析拟合结果的合理性和可靠性。
二、实验材料与方法1. 实验材料：- 一组实际数据：包含自变量和因变量的数据对。
- 计算机软件：如MATLAB、Python等，用于进行最小二乘法计算和绘制拟合曲线。
2. 实验方法：- 数据处理：对实际数据进行预处理，包括数据清洗、异常值处理等。
- 模型选择：根据实际问题和数据特点，选择适当的拟合模型。
- 参数估计：利用最小二乘法，求解模型参数的最优估计值。
- 拟合效果评估：通过计算残差平方和、确定系数等指标，评估拟合效果的好坏。
三、实验过程与结果1. 数据处理：在本实验中，我们选择了一组汽车销量与广告投入的数据。
首先，我们对数据进行了清洗，排除了异常值和缺失值。
2. 模型选择：根据实际问题和数据特点，我们选择了线性模型进行拟合。
即假设广告投入与汽车销量之间存在线性关系。
3. 参数估计：利用最小二乘法，我们求解了线性模型的参数估计值。
具体计算过程如下： - 建立线性模型：y = β0 + β1x，其中y表示汽车销量，x表示广告投入。
- 最小化残差平方和：min Σ(yi - (β0 + β1xi))^2，其中yi为实际销量，xi为实际广告投入。
- 对β0和β1求偏导，并令偏导数为0，得到最优解的估计值。
4. 拟合效果评估：通过计算残差平方和和确定系数等指标，我们评估了拟合效果的好坏。
结果显示，残差平方和较小，确定系数较接近1，表明拟合效果较好。
四、实验讨论1. 拟合效果的合理性：通过对拟合效果的评估，我们认为拟合结果较为合理。
然而，我们也要注意到，拟合结果仅仅是对观测数据的一个估计，并不能完全代表真实情况。
实验三(最小二乘法)
实验三 最小二乘法
一．实验目的
了解最小二乘法的基本原理。
二．实验类型 设计型
三．实验学时 2学时
四．实验环境
1．硬件设备要求：
PC 及其联网环境； 2．软件设备要求：
MATLAB 。
五．实验原理及实验内容
最小二乘法原理：
已知数据对(,)(1,2,
,)j j x y j n =，求多项式0
()()m
i i i P x a x m n ==<∑，使得
2
0110(,,
,)n m
i m i j j j i a a a a x y ==⎛⎫
Φ=- ⎪⎝⎭
∑∑
为最小。
注意到此时()k k x x ϕ=，多项式系数01,,
,m a a a 满足下面的线性方程组：
100121111
2m m m
m m m m S S S a T S S S a T S S S a T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪
= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
其中
11
(0,1,2,
,2)
(0,1,2,
,)
n
k k j j n
k k j j j S x k m T y x k m ======∑∑
然后只要调用解线性方程组的函数程序即可。
实验内容：
例如：试用线形函数和二次多项式拟合如下数据:
并做出数据点和相应的拟合曲线图。
实验程序:
实验结果:
练习：已知实验数据如下：
x y和拟对表中数据作三次多项式拟合，给出拟合函数多项式的系数，并作出离散数据{,}
i i
合多项式的图形。
六．实验小结。
数值分析上机实验最小二乘法
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------数值分析上机实验最小二乘法数值分析实验报告五最小二乘法一、数值分析实验报告五最小二乘法一、题目设有如下数据题目设有如下数据 xj -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 ( )jf x -1.76 0.42 1.2 1.34 1.43 2.25 4.38 -1.76 0.42 1.2 1.34 1.43 2.25 4.38 用三次多项式拟合这组数据，并绘出图形。
二、用三次多项式拟合这组数据，并绘出图形。
二、方法最小二t(f,[xx(1),xx(n)]) 四、结果 save and run 之后：请输入插值节点 as [x1,x2...] [-3 -2 -1 0 1 2 3] 请输入插值节点处对应的函数值 as [f1,f2...] [-1.76 0.42 1.2 1.34 1.43 2.25 4.38] 请输入要求的插值次数m =3 f = 133/100+121469856021/35184372088832*x-8042142191733/450359结果 save and run 之后：请输入插值节点 as [x1,x2...] [-3 -2 -1 0 1 2 3] 请输入插值节点处对应的函数值 as [f1,f2...] [-1.76 0.42 1.2 1.34 1.43 2.25 4.38] 请输入要求的插值次数m =3 f = 133/100+121469856021/35184372088832*x-8042142191733/4503599 627370496*x+1020815915537309/9007199254740992*x9627370496*x+1020815915537309/9007199254740992*x五、拓展：1 / 2最小二乘法计算方法比较简单，是实际中常用的一种方法，但是必须经计算机来实现，如果要保证精度则需要对大量数据进行拟合，计算量很大。
数值分析实验报告
数值分析实验报告
一、实验背景
本实验主要介绍了数值分析的各种方法。
在科学计算中，为了求解一
组常微分方程或一些极限问题，数值分析是一种有用的方法。
数值分析是
一种运用计算机技术对复杂模型的问题进行数学分析的重要手段，它利用
数学模型和计算机程序来解决复杂的数学和科学问题。
二、实验内容
本实验通过MATLAB软件，展示了以下几种数值分析方法：
（1）拉格朗日插值法：拉格朗日插值法是由法国数学家拉格朗日发
明的一种插值方法，它可以用来插值一组数据，我们使用拉格朗日插值法
对给定的点进行插值，得到相应的拉格朗日多项式，从而计算出任意一个
点的函数值。
（2）最小二乘法：最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，它可以
用来拟合满足一定函数的点的数据，它的主要思想是使得数据点到拟合曲
线之间的距离的平方和最小。
（3）牛顿插值法：牛顿插值法是一种基于差商的插值方法，它可以
用来插值一组数据，可以求得一组数据的插值函数。
（4）三次样条插值：三次样条插值是一种基于三次样条的插值方法，它可以用来对一组数据进行插值，可以求得一组数据的插值函数。
三、实验步骤
1．首先启动MATLAB软件。
工程数值分析实验龙格库塔,最小二乘法
工程数值分析实验报告指导老师班级 学号 姓名实验一：最小二乘法拟合曲线实验一、实验名称：最小二乘法拟合曲线实验实验时间： 2015-5-14 实验地点： 主楼机房 实验器材： 计算机matlab二、实验目的：学会用最小二乘法求拟合数据的多项式，并应用算法于实际问题。
三、实验要求：（1）根据最小二乘法和加权最小二乘法的基本理论，编写程序构造拟合曲线的法方程，要求可以方便的调整拟合多项式的次数；（2）采用列主元法解（1）中构造的法方程，给出所拟合的多项式表达式； （3）编写程序计算所拟合多项式的均方误差，并作出离散函数 和拟合函数的图形； （4） 用MATLAB 的内部函数polyfit 求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数及平方误差，并用MATLAB 的内部函数plot 作出其图形，并与（1）的结果进行比较。
四、算法描述（实验原理与基础理论）基本原理：从整体上考虑近似函数 同所给数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)误差i i i y x p r -=)( (i=0,1,…,m) i i i y x p r -=)( (i=0,1,…,m)绝对值的最大值imi r ≤≤0max ，即误差 向量Tm r r r r ),,(10 = 的∞—范数；二是误差绝对值的和∑=mi ir，即误差向量r 的1—范数；三是误差平方和∑=mi ir2的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和∑=mi ir2来 度量误差 i r (i=0，1，…，m)的五、实验内容：共有两组给定数据，把给定的数据拟合成多项式。
第一组给定数据点如表1所示如下：表1 数据表表2 数据表六、程序流程图七、实验结果ans =27-May-2015ans =7.3611e+05ans =1.0e+03 *2.0150 0.0050 0.0270 0.0140 0.0010 0.0213 >>八、实验结果分析实验程序 quxiannihe.m clear alldate,now,clockx0=[0.0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0]; y0=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00]; w=ones(size(x0)); x=0:0.01:1; %进行五次曲线拟合 N=5;for i=1:Na1=LSF(x0,y0,w,i) ; y=polyval(a1,x); figure(i)plot(x0,y0,'ok',x,y,'r') title('最小二乘法'); legend('y0','y'); xlabel('x'); ylabel('y'); end实验二：4阶经典龙格库塔法解常微分方程一、实验名称： 4阶经典龙格库塔法解常微分方程实验时间： 2015-5-14 实验地点： 主楼机房 实验器材： 计算机matlab二、实验目的：学习掌握4阶经典R-K 方法，体会参数和步长对问题的影响。
数值分析+最小二乘法实验报告
数学与信息工程学院
实验报告
课程名称：数值分析
实验室：
实验台号：
班级：
姓名：
实验日期：2012 年 4 月13 日
实验名称最小二乘法求多项式拟合
实验目的和要求（1）了解最小二乘法求多项式拟合原理和方法；
（2）通过实例掌握用MATLAB求拟合函数及拟合图像；（3）编程实现用最小二乘法求多项式拟合。
实验内容和步骤：
实验内容：
根据matlab编写算法，用最小二乘法求多项式拟合。
实验步骤：
（1）开启软件平台——MATLAB，编程；
在command window 编写程序，求出拟合函数
x=[-2,-1,0,1,2];
y=[-0.1,0.1,0.4,0.9,1.6];
>> p=polyfit(x,y,3);
>> pa=poly2str(p,'x')
pa =
0.0083333 x^3 + 0.085714 x^2 + 0.39167 x + 0.40857（2）根据数值解法步骤编写M文件；
x=[-2 -1 0 1 2];
y=[-0.1 0.1 0.4 0.9 1.6];
p1=polyfit(x,y,3)
x1=-3:0.01:3;
y1=polyval(p1,x1);
plot(x,y,'b^',x1,y1,'r-')
（3）观察运行结果。
实验数据记录：
实验结果分析：
1.画图中点与函数要用不同的表现法，否则图片就是五点的连接。
2.3次拟合比2次拟合更准确。
3.在写M文件时，注意数据点乘的运用。
成绩评定
签字：年月日。
数值分析曲线拟合的最小二乘法实验报告
数值分析曲线拟合的最小二乘法实验报告数值分析曲线拟合的最小二乘法实验报告篇一：数值分析设计曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法一、目的和意义在科学实验的统计方法研究中，往往要从一组实验数据?xi,yi??i?0,1,2,?,m?中，寻找自变量x与因变量y之间的函数关系y?F?x?。
由于观测数据往往不准确，因此不要求y?F?x?经过所有点?xi,yi?，而只要求在给定点xi上误差而只要求所在所有给定点xi上的误差?i?F(xi)?yi ?i?0,1,2,?,m?按某种标准最小。
若记????0,?1,?2,?,?m?，就是要求向量?的范数如果用最大范数，计算上困难较大，通常采用欧式范数?最小。
2T 作为误差度量的标准。
F?x?的函数类型往往与实验的物理背景以及数据的实际分布有关，它一般含有某些待定参数。
如果F?x?是所有待定参数的线性函数，那么相应的问题称为线性最小二乘问题，否则称为非线性最小二乘问题。
最小二乘法还是实验数据参数估计的重要工具。
这是因为这种方法比其他方法更容易理解，即使在其他方法失效的情况下，用最小二乘法还能提供解答，而且从统计学的观点分析，用该方法求得各项估计具有最优统计特征，因此这一方法也是系统识别的重要基础。
线性最小二乘问题可以借助多元微分学知识通过求解法方程组得到解答。
用最小二乘法求拟合曲线时，首先要确定S?x?的形式。
这不单纯是数学问题，还与所研究问题的运动规律以及所得观测数据?xi,yi?有关；通常要从问题的运动规律以及给定数据描图，确定S?x?的形式，并通过实际计算选出较好的结果。
为了使问题的提法更有一般性，通常把最小二乘法中的? 22 都考虑为加权平方和22 ? ????xi???S?xi??f?xi??? i?0 m 2 这里??xi??0是?a,b?上的加权函数，它表示不同点?xi,f?xi?处的数据比重不同。
?二、计算方法在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量y与时间t的拟合曲线。
数值分析曲线拟合的最小二乘法——董安葳
数值分析第二次实验报告姓名：董安葳学号：5123119题目：曲线拟合的最小二乘法实验方法：根据书中最小二乘法的定义，自行设计算法编写matlab函数文件zuixiaoerchengnihe.m，然后通过调用自己编写的函数来解决实际问题。
实验过程：1．实验代码：zuixiaoerchengnihe.mfunction zuixiaoerchengnihe(X,Y,n) %X,Y为实验数据，分别为两个向量，由用户输入，n为所要求的拟合曲线的次数[b,a]=size(X);G=zeros(n+1,n+1); %法方程的矩阵Gd=zeros(n+1,1); %法方程的矩阵dfor ii=1:n+1for jj=ii:n+1for kk=1:a;G(ii,jj)=G(ii,jj)+X(1,kk)^(ii+jj-2); %通过循环计算矩阵G的上三角endG(jj,ii)=G(ii,jj); %矩阵G是对称矩阵，所以下三角的值直接拷贝上三角的值endfor pp=1:ad(ii,1)=d(ii,1)+Y(1,pp)*X(1,pp)^(ii-1); %通过循环计算矩阵dendendjielun=(G^(-1))*d %解法方程，输出为拟合曲线的系数向量%将所得系数向量通过循环输出将标准的拟合曲线方程输出fprintf('f(x)=')for ii=1:n+1fprintf([num2str(jielun(ii,1)) 'x' '^' num2str(ii-1)])if ii~=n+1fprintf('+')endendfprintf('\n')2．调用方法和输出结果：P95第十六题：P95第17题：P95第18题：经过输入X向量和Y向量再通过plot函数连线则可以判断用二次函数拟合比较合适。
故如下方式调用：。
最小二乘法实验报告
最小二乘法实验报告最小二乘法实验报告引言最小二乘法是一种常用的数学方法，用于拟合数据和估计模型参数。
它通过最小化观测值与理论值之间的误差平方和，寻找最优解。
本实验旨在通过实际数据拟合的方式，探索最小二乘法的原理和应用。
实验步骤1. 数据采集在实验开始前，我们选择了一个简单的线性回归模型进行拟合。
为了收集数据，我们在实验室里设置了一个简单的装置，用于测量物体的运动距离和所需时间。
通过多次重复实验，我们得到了一组数据，包括物体运动距离和所需时间的测量值。
2. 数据处理在进行最小二乘法拟合之前，我们需要对数据进行处理。
首先，我们计算每次实验的平均速度，通过将运动距离除以所需时间得到。
然后，我们将平均速度作为自变量，所需时间作为因变量，得到一组有序的数据点。
3. 拟合模型接下来，我们使用最小二乘法来拟合线性回归模型。
线性回归模型可以表示为：y = a + bx，其中y是因变量（所需时间），x是自变量（平均速度），a和b是待估计的模型参数。
通过最小化残差平方和，我们可以得到最优的a和b的估计值。
4. 拟合结果分析通过最小二乘法拟合得到的模型参数估计值，我们可以进一步分析拟合结果的准确性和可靠性。
首先，我们计算拟合优度，即拟合值与观测值之间的相关系数。
较高的拟合优度表明模型拟合效果较好。
此外，我们还可以计算参数估计的标准误差，用于评估参数估计值的可靠性。
结果与讨论在本实验中，我们使用最小二乘法对一组实际测量数据进行了线性回归拟合。
通过计算拟合优度，我们发现拟合效果较好，相关系数接近1。
这表明我们选择的线性回归模型较为合适，并且可以用于预测因变量（所需时间）。
此外，我们还计算了参数估计的标准误差。
标准误差是对参数估计值的精度进行评估的指标。
较小的标准误差表示参数估计值较可靠。
通过计算，我们发现参数估计值的标准误差较小，说明我们得到的模型参数估计值较为准确。
结论通过本实验，我们深入了解了最小二乘法的原理和应用。
昆明理工数值分析大作业最小二乘法
数值分析实验报告课题八曲线拟合的最小二乘法一、问题提出从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。
在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量y与时间t的拟合曲线。
二、实验要求t(分）0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 y(×10-4)0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.641、用最小二乘法进行曲线拟合；2、近似解析表达式为ϕ( t) = a1t + a2t 2 + a3t 3；3、打印出拟合函数ϕ(t)，并打印出ϕ(t j )与y(t j)的误差，j = 1,2,",12 ；4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较；5、* 绘制出曲线拟合图﹡。
三、实验目的1、掌握曲线拟合的最小二乘法；2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组；3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。
四、实验原理——最小二乘法拟合在函数的最佳平方逼近中f(x)∈[a,b],对已知函数f(x)的一组离散数据{(xi,yi),i=0,1,…m}，yi=f(xi)，求函数拟合S*(x),记误差δi=S*(xi)-yi 要求一个函数)(*x S y =与所给数据(){}m i y x i i ,,1,0,,⋅⋅⋅=的曲线拟合，这里()()m i x f y i i ,,1,0⋅⋅⋅==，要求一个函数)(*x S y =与所给数据(){}m i y x i i ,,1,0,,⋅⋅⋅=拟合，若记误差()()()T m i i i m i y x S δδδδδδ,,,,,,,1,0210*⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=-=，设()()()x x x n ϕϕϕ,,,10⋅⋅⋅是[]b a C ,上线性无关函数族，在()()(){}x x x span n ϕϕϕϕ,,,10⋅⋅⋅=中找一函数()x S *,使误差平方和()[]()()[]22*222min ∑∑∑=∈==-=-==mi i i x S mi mi i i iy x S y x S ϕδδ， （4.1）这里()()()()()m n x a x a x a x S <111100ϕϕϕ+⋅⋅⋅++=. （4.2）这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说，就称为曲线拟合的最小二乘法。
最小二乘法数值分析实验报告
最小二乘法数值分析实验报告数学与信息工程学院实课程名称：实验室：实验台号：班级：姓名：实验日期：验报告数值分析2012 年 4 月 13 日数值分析实验报告五最小二乘法一、题目设有如下数据用三次多项式拟合这组数据，并绘出图形二、方法最小二乘法三、程序M文件： syms x f;xx=input(‘请输入插值节点as [x1,x2...]\n’);ff=input(‘请输入插值_ __________________ ___________________ ___________________ ___________________实验一MATLAB在数值分析中的应用插值与拟合是来源于实际、又广泛应用于实际的两种重要方法随着计算机的不断发展及计算水平的不断提高，它们已在国民生产和科学研究等方面扮演着越来越重要的角色下面对插值中分段线性插值、拟合中的最为重要的最小二乘法拟合加以介绍分段线性插值所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近原曲线，这也是计算机绘制图形的基本原理实现分段线性插值不需编制函数程序，MATLAB自身提供了内部函数interp1其主要用法如下：interp1(x,y,xi) 一维插值◆yi=interp1(x,y,xi)对一组点(x,y) 进行插值，计算插值点xi的函数值x为节点向量值，y为对应的节点函数值如果y为矩阵，则插值对y 的每一列进行，若y 的维数超出x 或xi 的维数，则返回NaN ◆ yi=interp1(y,xi)此格式默认x=1:n ，n为向量y的元素个数值，或等于矩阵y的size(y,1) ◆ yi=interp1(x,y,xi,’method’)method用来指定插值的算法默认为线性算法其值常用的可以是如下的字符串nearest 线性最近项插值linear线性插值spline 三次样条插值贵州师范大学数学与计算机科学学院学生实验报告1. 对函数f(x)?,哪一种曲线拟合较好?为什么?能找出更好的拟合曲线吗?七、总结1、从图像可以看出用lagrange插值函数拟合数据中间拟合的很好，但两边与原函数图象相比波动太大，逼近效果很差，出现所谓的Runge现象2、从图像可以看出用最小二乘法去拟合较少的数据点，曲线拟合比直线拟合得好，高次的会比低次的拟合得好3.一般情形高次插值比低次插值精度高,但是插值次数太高也不一定能提高精度.八、附录1、M文件：function cy=Lagrange(x,y,n,cx)m=length(cx);cy=zeros(1,m);for k=1:n+1t=ones(1,m);for j=1:n+1if j~=kt=t.*(cx-x(j))./(x(k)-x(j));endendcy=cy+y(k).*t ;end>> x=-5::5;>> y=1./(x. +1);>> plot(x,y)>> n=10;>> x0=-5:10/n:5;>> y0=1./(1+x0. );>> cx=-5::5;>> cy=Lagrange(x0,y0,n,cx);>> hold on>> plot(cx,cy)e1 =xxxx大学数值分析实验报告题目：学院：专业：年级：学生姓名：学号：日期：曲线拟合的最小二乘法xxxx学院xxxxxxx xxxx级xxx xxx 2014年12月24日课题八曲线拟合的最小二乘法一、问题的提出从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘拟合求得拟合曲线在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求出含碳量y与时间t的拟合曲线0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55t(分)y(x10?4)0 二、要求1、用最小二乘法进行曲线的拟合；2、近似表达式为：?(t)?a0?a1t?a2t2?a3t3；?(t)，3、打印出拟合函数：并打印出?(tj)与y(tj)的误差，其中j?1,2,3,?,12；4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较；5、*绘制出拟合曲线图；三、目的和意义1、掌握曲线拟合的最小二乘法；2、最小二乘法亦可用于解超定线性方程组；3、探索拟合函数的选择与拟合进精度间的关系；四、MATLAB2011a简介及算法介绍MATLAB2011a本实验是基于MATLAB2011a软件平台进行程序设计MATLAB2011a是一款将数据结构、程序特性以及图形用户界面完美地结合在一起的一款强大的软件MATLAB的核心是矩阵和数组，在MATLAB2011a中，所有的数据都是以矩阵或数组的形式来表示和存储的MATLAB2011a提供了常用的矩阵代数运算功能，同时还提供了非常广泛的、灵活的数组运算功能，用于数据集的处理MATLAB的编程特性与其他高级语言类似，同时它还可以与其他语言(如Fortran和C语言)混合编程，进一步扩展了自身的功能这次作业课题，主要采用了MATLAB语言进行程序的编写，误差计算，拟合函数的输出，以及拟合曲线(1)和拟合曲线(2)与原离散数据点在一个图形界面中的现实的显示最小二乘拟合法在函数的最佳平方逼近中f(x)?C[a,b],如果f(x)只在一组离散的点集?xi,i?0,1,2,3,?,m?上给出，这就是科学实验中经常见到的实验数据?(xi,yi),i?0,1,2,3,?m?的曲线拟合，这里yi?f(xi)(i?0,1,2,3,?,m)，要求一个函数y?S*(x)与所给数据?(xi,yi),i?0,1,2,3,?m?拟合若记误差?i?S(xi)?yi(i?0,1,2,3,?,m),??(?0,?1,?2,?3,??m)T,设?0(x),?1(x),?,?n(x)是*?C[a,b]上线性无关的函数族，在??span??0(x),?1(x),?,?n(x)?中找一个函数S*(x)使误差平方和??这里22[S(xi)?yi]?min?[S*(xi)?yi]2, ()2i*2i?0i?0s(x)??i?0mmmS(x)?a0?0(x)?a1?1(x)?a2?2(x )?a3?3(x)??an?n(x) (n?m). () 这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说，就称为曲线拟合的最小二乘法. 用最小二乘法拟合曲线时，首先要确定S(x)的形式，这不是单纯的数学问题，还与所研究问题的运动规律及所得到的观测数据(xi,yi)有关；通常要从问题的运动规律或给定的数据描图，确定S(x)的形式，并通过实际计算选出最好的结果——这点将从下面的例题得到说明. S(x)的一般表达式为()式表示的线性形式.若?k(x)是k次多项式，S(x)就是n次多项式为了使问题的提法更有一般性，通常在最小二乘法中都考虑加权平方和2?2??22(xi)[S*(xi)?yi]2. ()i?0m 这里?(x)?0 (i?0,1,2,3,?m)是[a,b]上的权函数它表示不同的点(xi,yi)处的数据比重不同，列如：?(xi)可以表示点(xi,yi)处的重复观测次数用最小二乘法拟合曲线的问题，就是在形如()式的S(x)中求一函数y?S(x),使()式取得最小值它转化为求取多元函数*I(a0,a1,?an)(xi)[?aj?(xi)?f(xi)]2i?0j?0mn***的极小点(a0,a1,?,an)的问题这与多元函数求极值的必要条件的问题一样，则有：mn?I?2??(xi)[?aj?(xi)?f(xi)]?k(xi)?0k?0,1,2,?,n. ?aki?0j?0若记(?j,?k)(xi)?j(xi)?k(xi),()i?0mm(f,?k)(xi)f(xi)?k(xi)?dk,k?0,1,2,3?,n, ()i?0上式可以改写为：?(?j?0mk,?j)aj?dk, k?0,1,2,3?,n, ()线性方程组()称为法方程，可以将其写成：Ga?d其中??Ta?(a0,a1,?a2),d?(d0,d1,?dn)T,(0,0)(0,1)(,)(,)11G10(n,0)(n, 1)(0,n)(n,1)() (?n,?n)?五、课题分析拟合近似表达式：?(t)?a0?a1t?a2t2?a3t3的最高次数为三次，我们知道当拟合多项式的最高次数n?3时，与连续的情形一样，在求解法方程Ga?d的过程中，会出现系数矩阵(格拉姆矩阵)G为病态的问题但是如果?0(x),?1(x),?2(x),?,?n(x)是关于点集?xi?(i?0,1,2,?,m)带权?(xi)(i?0,1,2,?,m)正交的函数族，即：0,jk,()(?j,?k)(xi)?j(xi)?k(xi)??i?0?Ak?0,j?k,m则法方程的解为：(f,?k)?(?k,?k)*ak(x)f(x)?iii?0mk(xi),k?0,1,2,?,n ()??(x)?ii?0m2k(xi)这样就能避免求解格拉姆矩阵，也不会在求解线性方程组是就不会出现病态问题现在我们需要根据给定的节点x0,x1,?xm及权函数?(xi)?0,造出带权?(xi)正交的多项式?Pn(x)?.注意n?m，用递推公式表示Pk(x),即：?P0(x)?1,?() ?P1(x)?(x??1)P0(x),?P(x)?(x??)P(x) P(x),k?1,2,3,?,n?1.k?1kkk?1?k?1这里Pk(x)是首项系数为1的k次多项式，根据Pk(x)的正交性，得：m??(xi)xiPk2(xi)??(xPk(x),Pk(x))??k?1?i?0?m?(Pk(x),Pk(x))2?(x)P(x)?iki?i?0??(xPk,Pk),k?0,1,2,3,?,n?1, () ??(P,P)kk?m??(xi)Pk2(xi)??(Pk,Pk)i?0?,k?1,2,3 ,?,n??k(Pk?1,Pk?1)?(xi)Pk2?1(xi)??i?0?用正交多项式?Pk(x)?的线性组合做最小二乘曲线拟合，只要根据公式()和()逐步求Pk(x)得同时，相应计算出系数(f,Pk)*ak??(Pk,Pk)??(x)f(x)P(x)iikii?0m??(x)Pii?0m, k?0,1,2,?,n，()2k(xi)*并逐步把ak,Pk(x)累加到S(x)中去，最后就会得到所求的拟合曲线。
工程数值分析实验龙格库塔最小二乘法
工程数值分析实验报告指导老师班级学号姓名实验一：最小二乘法拟合曲线实验一、实验名称：最小二乘法拟合曲线实验实验时间： 2015-5-14实验地点：主楼机房实验器材：计算机matlab二、实验目的：学会用最小二乘法求拟合数据的多项式，并应用算法于实际问题。
三、实验要求：（1）根据最小二乘法和加权最小二乘法的基本理论，编写程序构造拟合曲线的法方程，要求可以方便的调整拟合多项式的次数；（2）采用列主元法解（1）中构造的法方程，给出所拟合的多项式表达式；（3）编写程序计算所拟合多项式的均方误差，并作出离散函数和拟合函数的图形；（4） 用MATLAB 的内部函数polyfit 求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数及平方误差，并用MATLAB 的内部函数plot 作出其图形，并与（1）的结果进行比较。
四、算法描述（实验原理与基础理论）基本原理：从整体上考虑近似函数 同所给数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)误差i i i y x p r -=)( (i=0,1,…,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差i i i y x p r -=)( (i=0,1,…,m)绝对值的最大值i m i r ≤≤0max ，即误差 向量T m r r r r ),,(10 = 的∞—范数；二是误差绝对值的和∑=m i i r 0，即误差向量r 的1—范数；三是误差平方和∑=m i i r02 的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和∑=m i i r 02 来 度量误差 i r (i=0，1，…，m)的整体大小。
五、实验内容：共有两组给定数据，把给定的数据拟合成多项式。
第一组给定数据点如表1所示如下：表1 数据表0．5 0．6 0．7 0．8 0．9 1．01 1．75 1．96 2．19 2．44 2．71 3．00表2 数据表六、程序流程图七、实验结果>> zuixiaoerchenfa ans =27-May-2015ans =+05ans =+03 *>>八、实验结果分析实验程序clear alldate,now,clockx0=[ ];y0=[1 ];w=ones(size(x0));x=0::1;%进行五次曲线拟合N=5;for i=1:Na1=LSF(x0,y0,w,i) ;y=polyval(a1,x);figure(i)plot(x0,y0,'ok',x,y,'r') title('最小二乘法'); legend('y0','y');xlabel('x');ylabel('y');end实验二：4阶经典龙格库塔法解常微分方程一、实验名称： 4阶经典龙格库塔法解常微分方程实验时间： 2015-5-14实验地点：主楼机房实验器材：计算机matlab二、实验目的：学习掌握4阶经典R-K方法，体会参数和步长对问题的影响。
最小二乘法实验报告
最小二乘法实验报告1. 引言最小二乘法是一种常用的参数估计方法，用于求解线性回归问题。
本实验旨在通过使用最小二乘法，从一组给定的数据点中拟合出一条最优的直线。
本报告将详细介绍实验的步骤和思路。
2. 实验步骤2.1 数据收集首先，我们需要收集一组数据点作为实验的输入。
可以通过实地调查、采集历史数据或利用模拟工具生成数据集。
为了简化实验过程，我们假设已经收集到了一组包含 x 和 y 坐标的数据点，分别表示自变量和因变量。
2.2 数据可视化在进行最小二乘法拟合之前，我们先对数据进行可视化分析。
使用数据可视化工具（如Matplotlib），绘制出数据点的散点图。
这有助于我们直观地观察数据的分布特征，并初步判断是否适用线性回归模型。
2.3 参数计算最小二乘法的目标是找到一条直线，使得所有数据点到该直线的距离之和最小。
为了实现这个目标，我们需要计算直线的参数。
设直线的方程为 y = ax + b，其中 a 和 b 是待求的参数。
为了求解这两个参数，我们需要利用数据集中的 x 和 y 坐标。
首先，我们计算x 的均值（记作 x_mean）和 y 的均值（记作 y_mean）。
然后，计算 x 与 x_mean的差值（记作 dx）和 y 与 y_mean 的差值（记作 dy）。
接下来，我们计算直线的斜率 a，使用以下公式：a = sum(dx * dy) / sum(dx^2)最后，计算直线的截距 b，使用以下公式：b = y_mean - a * x_mean2.4 拟合直线通过上述步骤，我们得到了直线的斜率 a 和截距 b 的值。
现在，我们将利用这些参数将直线绘制在散点图上，以观察拟合效果。
使用绘图工具，绘制出散点图和拟合的直线。
直线应当通过散点的中心，并尽可能贴近这些点。
通过观察可视化结果，我们可以初步评估拟合的效果。
2.5 评估拟合效果为了定量评估拟合的效果，我们需要引入误差指标。
最常用的误差指标是均方误差（Mean Squared Error，简称MSE），定义如下：MSE = sum((y - (ax + b))^2) / n其中，y 是实际的因变量值，(ax + b) 是拟合直线给出的因变量值，n 是数据点的数量。
误差理论线性参数的最小二乘法处理实验报告
误差理论线性参数的最小二乘法处理实验报告一、实验目的1.掌握误差理论线性参数的最小二乘法处理原理；2.熟悉误差理论线性参数的最小二乘法处理过程；3.进一步理解误差源与观测量之间的关系。
二、实验原理1.误差理论线性参数的最小二乘法处理原理：最小二乘法是一种常见的数据处理方法，通过最小化观测值与估计值之间的残差，来求取未知参数的最优估计值。
对于误差理论线性参数的最小二乘法处理，可以根据观测值和其对应的误差，通过建立含有未知参数的线性方程组，然后通过最小化残差平方和的方法求解最优估计值。
2.误差理论线性参数的最小二乘法处理步骤：(1)确定线性关系的函数模型；(2)建立观测值与理论值之间的代数关系；(3)建立每个观测值与误差之间的代数关系；(4)构建误差方程；(5)求解未知参数的最优估计值；(6)分析残差，并进行精度评定。
三、实验内容及步骤1.实验准备：(1)阅读实验教材，了解实验原理；(2)确定实验使用的观测仪器和测量对象；(3)清洗、校准测量仪器。
2.实验步骤：(1)根据实验要求，确定需要测量的多个观测值，并为每个观测值确定一个相应的误差；(2)建立观测值与理论值之间的线性关系；(3)构造观测值和误差的方程，并对方程进行变换和简化；(4)解线性方程组，求解未知参数；(5)计算观测值的残差，并分析精度。
四、实验数据处理1.实验数据：假设有三个观测值，测量结果如下：观测值1：4，误差：0.1观测值2：7，误差：0.2观测值3：10，误差：0.32.实验数据处理：(1) 建立观测值与理论值之间的线性关系模型：y = ax + b；(2)构造观测值和误差的方程：观测值1：4=a*1+b+ε1观测值2：7=a*2+b+ε2观测值3：10=a*3+b+ε3(3)对方程进行变换和简化，得到：4=a+b+ε17=2a+b+ε210=3a+b+ε3(4)构建误差方程：ε1=4-a-bε2=7-2a-bε3=10-3a-b(5)将误差方程代入原方程组，并最小化残差平方和，得到最优解：2a+b=35a+b=6(6)解得未知参数的最优估计值为：a=1,b=1(7)计算观测值的残差：观测值1的残差：ε1=4-1-1=2观测值2的残差：ε2=7-2-1=4观测值3的残差：ε3=10-3-1=6五、结果分析1.通过最小二乘法处理，我们得到未知参数的最优估计值为：a=1,b=12.通过计算观测值的残差，我们可以评定估计结果的精度，其中残差ε1=2,ε2=4,ε3=6实验结果表明，通过误差理论线性参数的最小二乘法处理，我们可以准确地估计未知参数的值，并评价估计结果的精度。
最小二乘法实验报告
最小二乘法实验报告【实验目的】：观察最小二乘多项式的数值不稳定现象【实验内容】：1 在[-1,1]区间上取n=20个等距节点，计算出以相应节点上x e 的值做为数据样本，以21,,,,l x x x 为基函数作出3,5,7,9,11,13,15l =次的最小二乘多项式，画出2ln(())cond A ～l 之间的曲线，其中A 是确定最小二乘多项式的系数矩阵。
计算出不同阶最小二乘多项式给出的最小误差21()(())niii l y x y σ==-∑2 在[-1,1]区间上取n=20个等距节点，计算出以相应节点上x e 的值做为数据样本，以121,(),(),()l p x p x p x 为基函数作出3,5,7,9,11,13,15l =次的最小二乘多项式，其中，()i p x 是勒让德多项式。
画出2ln(())cond A ～l 之间的曲线，其中A 是确定最小二乘多项式的系数矩阵。
计算出不同阶最小二乘多项式给出的最小误差21()(())niii l y x y σ==-∑，把结果与1比较【实验步骤及结果】：在[-1,1]区间上取n=20个等距节点，步长h=2/19，计算出以相应节点上xe 的值做为数据样本，数据如表格1。
表格 1 数据样本值（1）以21,,,,lx x x 为基函数拟合x e在matlab 中编写函数lsmex （x, y, l ）,生成最小二乘法的系数矩阵A 、右端向量d ，求出系数a =[a 0,a 1,a 2,…,a l ]T =A −1d ，得不同阶数下的最小二乘多项式y l x = a i x ll i =0=a T X ，其中，X =[1,x ,x 2,…,x l ]T 。
计算系数a 的结果如下：①l=3，a=0.9955489867169420.9975790016896890.5403514958744690.176998749075551②l=5，a=1.0000385524900931.0000200232735780.4992468083082510.1664971114258690.0437538102273870.008681888224899③l=7，a=0.9999998328590330.9999999168306320.5000057659443580.1666678539174880.0416364317252140.0083288507266840.0014385132646550.000204569079642④l=9，a=1.0000000004096801.0000000001936090.4999999775598710.1666666623932540.0416668593915860.0083333592774580.0013883192520920.0001983493275470.0000254781225020.000002822438546⑤l=11，a=1.0000000000087061.0000000000027290.5000000000509660.1666666666715170.0416666660046380.0083333331858740.0013888917549870.0001984115224330.0000247953487620.0000027562491600.0000002815437980.000000025378540 ⑥ l=13，a = 0.999999999770700 0.999999998584826 0.500000000002793 0.166666666744277 0.041666666993633 0.008333334699273 0.001388894421398 0.000198394060135 0.000024799884896 0.000002682209015 0.000000272755242 0.000000014901161 0.000000003426662 0 ⑦ l=15，a = 1.000000006592917 1.000000012805685 0.500000000015796 0.166666664183140 0.041666662936834 0.008333325386047 0.0013888428039190.0001977682113650.000025072928111 0.000001430511475 0.000000863215519 0.000001907348633 0.000000217004981 -0.000002384185791 0.0000000115726380.000000238418579计算出不同阶最小二乘多项式的误差并比较得到最小误差，最后计算cond (A )2，绘出2ln(())cond A ～l 之间的曲线如图1，拟合误差与阶数的关系曲线如图2。
数值分析最小二乘拟合法实验报告
一实验名称：实验五最小二乘拟合法二.实验题目：在某化学反应中，测得某物质的浓度y(单位：%)随时间t(单位：min)的变化数据如表。
理论上已知y和t的关系为Y=ae b/t,其中a>0和b<0为待定系数，上式两端取对数lny=lna+b/t.做变量替换z=lny,x=1/t,并记A=lna,B=b,则有z=A+Bx.根据所测数据，利用最小二乘直线拟合法确定A和B，进而给出y和t的关系。
三.实验目的：（1）要求我们掌握逐次最小二乘拟合法的原理和运用方法。
（2）培养编程和上机调试能力。
四.基础理论：要求会熟练运用C语言中的基本数学函数和逐次超松弛迭代法的具体操作思路。
五.实验环境：必须要有一台PC机，并且装有winXP，win7及以上版本的操作系统，还必须有Visual C++6.0或其他编程软件。
六实验过程：理解题意，然后试着在草稿纸上写出伪代码，接着再用C语言编译，接着要在编程环境中调试。
在实验过程中，经常遇到一些棘手的问题，需要通过百度才能够解决，最后还是很艰难的把代码都做好，最后写成实验报告。
七．实验完整代码：#include<stdio.h>#include<math.h>void main(){int i,n;doubletx,ty,x[16],y[16],sum_x=0,sum_y=0,sum_x2=0,sum_xy=0,D,a,b, A,B;for(i=0;i<16;i++){scanf("f%f",&tx,&ty);x[i]=1/tx,y[i]=log(ty);}for(i=0;i<15;i++){sum_x=sum_x+x[i];sum_x2=sum_x2+x[i]*x[i];sum_y=sum_y+y[i];sum_xy=sum_xy+x[i]*y[i];}D=sum_x2*15-sum_x*sum_x;a=(n*sum_xy-sum_x*sum_y)/D;b=(sum_x2*sum_y-sum_x*sum_xy)/D;A=log(a);B=b;printf("A=%.6f B= %.6f\n");}八实验结果：y=11.343e-1.057/t.。
昆明理工数值分析大作业最小二乘法
昆明理工数值分析大作业最小二乘法最小二乘法（Least Squares Method）是数值分析中的一种重要方法，用于处理数据拟合问题。
在大作业中，我们将通过使用最小二乘法来拟合给定的数据，并解释其原理和应用。
最小二乘法是一种用于找到使得拟合曲线与数据点之间的误差最小化的方法。
使用最小二乘法进行数据拟合的基本思想是，找到一个函数，可以描述数据点的分布，并通过优化算法调整函数的参数，使得函数的拟合曲线与数据点的残差最小。
首先，我们需要确定拟合函数的形式。
在拟合直线的情况下，我们选择一条直线的方程 y = mx + b，其中 m 和 b 是需要衡量和优化的参数。
在更复杂的情况下，比如多项式拟合，拟合函数可以是二次函数、三次函数等。
最小二乘法的关键是定义误差函数或损失函数。
通常，最小二乘法使用残差平方和来作为误差函数。
残差是指拟合曲线与实际数据点之间的垂直距离。
对于一条直线来说，残差可以通过计算每个数据点在垂直方向上的距离来得到。
如果我们有n个数据点，那么残差平方和可以通过以下公式计算：S = Σ(yᵢ - (mxᵢ + b))²其中，(xᵢ,yᵢ)表示第i个数据点的坐标。
我们的目标是找到最佳的参数m和b，使得S最小化。
为了找到最小化残差平方和的解，可以使用最优化算法，如梯度下降法、牛顿法等。
这些算法根据误差函数的梯度（导数）来更新参数的值，直到达到最小化误差的目标。
最小二乘法在实际应用中有广泛的用途。
例如，在回归分析中，可以使用最小二乘法进行线性回归，以确定自变量和因变量之间的关系。
此外，最小二乘法还可以用于曲线拟合、信号处理、图像处理等领域。
在大作业中，你可以选择一个合适的数据集，并使用最小二乘法进行拟合。
你可以尝试不同的拟合函数和最优化算法，比较它们的性能和误差。
此外，你还可以进一步探索最小二乘法的应用领域，并说明其优缺点。
总之，最小二乘法是一种重要的数值分析方法，用于拟合数据并优化参数。
数值分析大作业曲线拟合的最小二乘法
数值分析上机作业实验报告专业：建筑与土木工程姓名：学号：联系电话：课题四 曲线拟合的最小二乘法一、问题提出从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。
在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量 y 与时间t 的拟合曲线。
二、要求1 、用最小二乘法进行曲线拟合；2 、近似解析表达式为()t ϕ=a 1t+a 2t 2+a 3t 33 、打印出拟合函数()t ϕ，并打印出()tj ϕ与()y tj 的误差，j=1,2...，12：4 、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较；5 、* 绘制出曲线拟合图﹡。
三、目的和意义1 、掌握曲线拟合的最小二乘法；2 、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组；3 、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。
四、实验结果：1.用最小二乘法做出的曲线拟合为三次多项式a1= -0.0052 ，a2= 0.2634 ，a3= 0.0178。
()tϕ= (-0.0052) t+ (0.2634) t2 + (0.0178) t3三次多项式的误差平方和=0.2583。
图形为：图形上红线表示拟合曲线，*表示实验所给的点。
源代码为：x=[0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55];y=[0,1.27,2.16,2.86,3.44,3.87,4.15,4.37,4.51,4.58,4.02,4.64]; a1=polyfit(x,y,3) %三次多项式拟合%b1= polyval(a1,x)r1= sum((y-b1).^2) %三次多项式误差平方和%plot(x,y,'*') %用*画出x,y图像%hold onplot(x,b1, 'r') %用红色线画出x,b1图像%（说明本程序调用了MATLAB中的函数polyfit、polyval、plot）2.另外选取几个近似表达式：主要选取6次、9次和12次的拟合表达式。
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最小二乘法数值分析实验报告数学与信息工程学院实课程名称：实验室：实验台号：班级：姓名：实验日期：验报告数值分析2012 年 4 月 13 日数值分析实验报告五最小二乘法一、题目设有如下数据用三次多项式拟合这组数据，并绘出图形二、方法最小二乘法三、程序M文件： syms x f;xx=input(‘请输入插值节点as [x1,x2...]\n’);ff=input(‘请输入插值_ __________________ ___________________ ___________________ ___________________实验一MATLAB在数值分析中的应用插值与拟合是来源于实际、又广泛应用于实际的两种重要方法随着计算机的不断发展及计算水平的不断提高，它们已在国民生产和科学研究等方面扮演着越来越重要的角色下面对插值中分段线性插值、拟合中的最为重要的最小二乘法拟合加以介绍分段线性插值所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近原曲线，这也是计算机绘制图形的基本原理实现分段线性插值不需编制函数程序，MATLAB自身提供了内部函数interp1其主要用法如下：interp1(x,y,xi) 一维插值◆yi=interp1(x,y,xi)对一组点(x,y) 进行插值，计算插值点xi的函数值x为节点向量值，y为对应的节点函数值如果y
为矩阵，则插值对y 的每一列进行，若y 的维数超出x 或xi 的维数，则返回NaN ◆ yi=interp1(y,xi)此格式默认x=1:n ，n为向量y的元素个数值，或等于矩阵y的size(y,1) ◆ yi=interp1(x,y,xi,’method’)method用来指定插值的算法默认为线性算法其值常用的可以是如下的字符串nearest 线性最近项插值linear线性插值spline 三次样条插值贵州师范大学数学与计算机科学学院学生实验报告1. 对函数f(x)?,哪一种曲线拟合较好?为什么?能找出更好的拟合曲线吗?七、总结1、从图像可以看出用lagrange插值函数拟合数据中间拟合的很好，但两边与原函数图象相比波动太大，逼近效果很差，出现所谓的Runge现象2、从图像可以看出用最小二乘法去拟合较少的数据点，曲线拟合比直线拟合得好，高次的会比低次的拟合得好3.一般情形高次插值比低次插值精度高,但是插值次数太高也不一定能提高精度.八、附录1、M文件：function cy=Lagrange(x,y,n,cx)m=length(cx);cy=zeros(1,m);for k=1:n+1t=ones(1,m);for j=1:n+1if j~=kt=t.*(cx-x(j))./(x(k)-x(j));endendcy=cy+y(k).*t ;end>> x=-5::5;>> y=1./(x. +1);>> plot(x,y)>> n=10;>> x0=-5:10/n:5;>> y0=1./(1+x0. );>> cx=-5::5;>> cy=Lagrange(x0,y0,n,cx);>> hold on>> plot(cx,cy)e1 =xxxx大学数值分析实验报告题目：学
院：专业：年级：学生姓名：学号：日期：曲线拟合的最小二乘法xxxx学院xxxxxxx xxxx级xxx xxx 2014年12月24日课题八曲线拟合的最小二乘法一、问题的提出从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘拟合求得拟合曲线在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求出含碳量y与时间t的拟合曲线0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55t(分)y(x10?4)0 二、要求1、用最小二乘法进行曲线的拟合；2、近似表达式为：?(t)?a0?a1t?a2t2?a3t3；?(t)，3、打印出拟合函数：并打印出?(tj)与y(tj)的误差，其中j?1,2,3,?,12；
4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较；
5、*绘制出拟合曲线图；三、目的和意义1、掌握曲线拟合的最小二乘法；2、最小二乘法亦可用于解超定线性方程组；
3、探索拟合函数的选择与拟合进精度间的关系；四、MATLAB2011a简介及算法介绍MATLAB2011a本实验是基于MATLAB2011a软件平台进行程序设计MATLAB2011a是一款将数据结构、程序特性以及图形用户界面完美地结合在一起的一款强大的软件MATLAB的核心是矩阵和数组，在MATLAB2011a中，所有的数据都是以矩阵或数组的形式来表
示和存储的MATLAB2011a提供了常用的矩阵代数运算功能，同时还提供了非常广泛的、灵活的数组运算功能，用于数据集的处理MATLAB的编程特性与其他高级语言类似，同时它还可以与其他语言(如Fortran和C语言)混合编程，进一步扩展了自身的功能这次作业课题，主要采用了MATLAB语言进行程序的编写，误差计算，拟合函数的输出，以及拟合曲线(1)和拟合曲线(2)与原离散数据点在一个图形界面中的现实的显示
最小二乘拟合法在函数的最佳平方逼近中f(x)?C[a,b],如果f(x)只在一组离散的点集?xi,i?0,1,2,3,?,m?上给出，这就是科学实验中经常见到的实验数据?(xi,yi),i?0,1,2,3,?m?的曲线拟合，这里yi?f(xi)(i?0,1,2,3,?,m)，要求一个函数y?S*(x)与所给数据?(xi,yi),i?0,1,2,3,?m?拟合若记误差?i?S(xi)?yi(i?0,1,2,3,?,m),??(?0,?1,?2,?3,??m)T,设?0(x),?1(x),?,?n(x)是*?C[a,b]上线性无关的函数族，在??span??0(x),?1(x),?,?n(x)?中找一个函数S*(x)使误差平方和??这里22[S(xi)?yi]?min?[S*(xi)?yi]2, ()2i*2i?0i?0s(x)??i?0mmmS(x)?a0?0(x)?a1?1(x)?a2?2(x )?a3?3(x)??an?n(x) (n?m). () 这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说，就称为曲线拟合的最小二乘法. 用最小二乘法拟合曲线时，首先要确定S(x)的形式，这不是单
纯的数学问题，还与所研究问题的运动规律及所得到的观测数据(xi,yi)有关；通常要从问题的运动规律或给定的数据描图，确定S(x)的形式，并通过实际计算选出最好的结果——这点将从下面的例题得到说明. S(x)的一般表达式为()式表示的线性形式.若?k(x)是k次多项式，S(x)就是n次多项式为了使问题的提法更有一般性，通常在最小二乘法中都考虑加权平方和2?2??22(xi)[S*(xi)?yi]2. ()i?0m 这里?(x)?0 (i?0,1,2,3,?m)是[a,b]上的权函数它表示不同的点(xi,yi)处的数据比重不同，列如：?(xi)可以表示点(xi,yi)处的重复观测次数用最小二乘法拟合曲线的问题，就是在形如()式的S(x)中求一函数y?S(x),使()式取得最小值它转化为求取多元函数*
I(a0,a1,?an)(xi)[?aj?(xi)?f(xi)]2i?0j?0mn***的极小点(a0,a1,?,an)的问题这与多元函数求极值的必要条件的问题一样，则有：mn?I?2??(xi)[?aj?(xi)?f(xi)]?k(xi)?0
k?0,1,2,?,n. ?aki?0j?0若记(?j,?k)(xi)?j(xi)?k(xi),
()i?0mm(f,?k)(xi)f(xi)?k(xi)?dk,k?0,1,2,3?,n, ()i?0上式可以改写为：?(?j?0mk,?j)aj?dk, k?0,1,2,3?,n, ()线性方程组()称为法方程，可以将其写成：Ga?d其
中??Ta?(a0,a1,?a2),d?(d0,d1,?dn)T,
(0,0)(0,1)(,)(,)11G10(n,0)(n, 1)(0,n)(n,1)
() (?n,?n)?五、课题分析拟合近似表达式：?(t)?a0?a1t?a2t2?a3t3的最高次数为三次，我们知道当拟合多项式的最高次数n?3时，与连续的情形一样，在求解法方程Ga?d的过程中，会出现系数矩阵(格拉姆矩阵)G为病态的问题但是如果?0(x),?1(x),?2(x),?,?n(x)是关于点集?xi?(i?0,1,2,?,m)带权?(xi)(i?0,1,2,?,m)正交的函数族，即：
0,jk,()
(?j,?k)(xi)?j(xi)?k(xi)??i?0?Ak?0,j?k,m则法方程的解为：(f,?k)?(?k,?k)*ak(x)f(x)?iii?0mk(xi),k?0,1,2,?,n ()??(x)?ii?0m2k(xi)这样就能避免求解格拉姆矩阵，也不会在求解线性方程组是就不会出现病态问题现在我们需要根据给定的节点x0,x1,?xm及权函数?(xi)?0,造出带权?(xi)正交的多项式?Pn(x)?.注意n?m，用递推公式表示Pk(x),即：?P0(x)?1,?() ?P1(x)?(x??1)P0(x),?P(x)?(x??)P(x) P(x),k?1,2,3,?,n?1.k?1kkk?1?k?1这里Pk(x)是首项系数为1的k次多项式，根据Pk(x)的正交性，得：m??(xi)xiPk2(xi)??(xPk(x),Pk(x))??k?1?i?0?m?(Pk(x),
Pk(x))2?(x)P(x)?iki?i?0??(xPk,Pk),k?0,1,2,3,?,n?1, () ??(P,P)kk?m??(xi)Pk2(xi)??(Pk,Pk)i?0?,k?1,2,3 ,?,n??k(Pk?1,Pk?1)?(xi)Pk2?1(xi)??i?0?用正交多项式?Pk(x)?的线性组合做最小二乘曲线拟合，只要根据公式()和()逐步求Pk(x)得同时，相应计算出系数(f,Pk)*ak??(Pk,Pk)??(x)f(x)P(x)iikii?0m??(x)Pii?0m, k?0,1,2,?,n，()2k(xi)
*并逐步把ak,Pk(x)累加到S(x)中去，最后就会得到所求的拟合曲线。