初三数学讲义
初三数学旋转相似讲义
专题：旋转相似
模型：手拉手相似模型，旋转相似成双对。
条件：CD∥AB（本质即为△OCD∽△OAB），将△OCD绕点O旋转到图1和图2的位置。
结论：⑴、△OCD∽△OAB △OAC∽△OBD。即连接对应点所得的一对新三角形相似。
⑵、延长AC交BD于点E，则∠AEB=∠BOA（用蝴蝶形图证明）（能得到点A、O、E、B四点共圆）
模型特例：共直角顶点的直角三角形相似
当∠AOB=∠COD=90°时，除
⑴、△OCD ∽△OAB ⇔ △OAC ∽△OBD
⑵、延长AC 交BD 于点E ，则∠AEB=∠BOA=90°（用蝴蝶形图证明） 外，还有结论 ⑶、
OAB OCD OA
OB
OC OD AC BD ∠=∠===tan tan ⑷、因为AC ⊥BD 于点E ，那么，若连AD 、BC ，则四边形ABCD 对角线互相垂直，则 ①BD AC S ABCD ⋅=
2
1
四边形 ②2
2
2
2
CD AB BC AD +=+
D
B
B C
例题讲解
例1.已知△ABC 与△DEF 都是等腰三角形，AB 、EF 的中点均为O ，且顶角∠ACB=∠EDF. （1）如图1，若∠ACB=900
,探究BF 与CD 间的数量关系； （2）如图2，若tan ∠ACB=
4
3
，求BF CD 的值；
（3）如图3，若△ABC 中AC=BC=a ，将△DEF 绕点O 旋转，设直线CD 与直线BF 交于点H ，则BCH S ∆最大值为__________（用含a 的式子表示）。 分析：
（1）连OC ，OD ，△OBF ≌ △OCD ，BF=CD
（2）构造手拉手旋转相似。可证△OBC ∽ △OFD, △ODC ∽ △OFB
人教版九年级数学解一元二次方程讲义(含解析)
第2讲解一元二次方程
∣⅛∣知识定位
讲解用时：3分钟
A、适用范围：人教版初三，基础偏上
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们要主要学习一元二次方程的求解，重点掌握直接开平方法、因式分解法、配方法以及公式法解一元二次方程，本节的重点是能够根据不同的方程特征选择合适的解法，难点是- 元二次方程与其他知识点的结合考查，希望同学们认真学习，熟练使用各种解法, 为后面一元二次方程的应用奠定良好基础。
特殊的一元二次方程的解法
特殊的一元二次方程的解法主要有两种即直接开平方和因式分解：
（1）解一元二次方程——直接开平方法
形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程。
如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±Jp ；
如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0的形式，那么nx+m=± Jp .
注意：
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数；
①降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程；
①方法是根据平方根的意义开平方.
(2)解一元二次方程——因式分解法
通过将一元二次方程因式分解成(X-P) (x-q) =O的形式，进而将一元二次方程的求解过程转化成求解两个一元一次方程的方法叫因式分解法。
因式分解法的一般步骤：
①移项，将方程右边化为零；
②将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积；
③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；分别解这两个一元一
次方程，它们的解就是原方程的解•
一般的一元二次方程的解法
■ 9HrIB≡WI9≡HB99VWBS SWB9*mBBWaB9⅞-nB≡nB≡9HB9SVWB9*HraB≡PnB≡WI99T,VB9SVWB9S l HB!l'(VaB≡'1
初三数学知识梳理讲义
初三数学讲义
第一讲将军饮马之线段和最小值问题
领跑一线考点定位
知识点一轴对称性质
成轴对称的两个图形全等，其对应边相等，对应角相等.
知识点二“将军饮马”
解决线段最值问题的实质是利用轴对称性质“化折为直”，转化为两点之间线段最短或者点到直线垂线段最短.
将军饮马基础模型
如图，在直线异侧两个点A 和B ，在直线上求一点P ，使得PA+PB 最短.
做法：1.找出定点和动点
2.找河（即动点出现两次点所在直线或线段）
3.做对称（做定点的对称点）
4.连线计算
典例分析
例1（2016 某一中滨河分校模拟）
如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）
A．BC B．CE C．AD D．AC
思路点拨：因为AB=AC得△ABC为等腰三角形，根据等腰
三角形“三线合一”，AD为底边中线，也为BC边上的高线，
易得点B、点C关于AD对称.若求BP+EP最小，即求PE+PC
最小值，再根据三角形三边关系得PE+PC最小值，即求线段
CE的长度.
解析：如图，连接PC，
△AB＝AC，AD为中线，
△点B、点C关于AD对称
△PB＝PC，
△PB+PE＝PC+PE，
在△CPE中，PC+PE≥CE
△PE+PC最小值为CE长度，
△PB+PE最小值为CE长度，
故选B.
例2（2015陕西）
如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD△BC，CD△BC，△ABC＝60°，AD＝8，
BC＝12．如图，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，
请你求出△BNC周长的最小值.
初三数学-二次函数讲义-详细
二次函数
一、二次函数的解析式
1. 二次函数解析式有三种：
(1)一般式：y ax bx c a =++≠2
0()
(2)顶点式：()y a x h k =-+2
顶点为()
h k ，
(3)交点式：()()y a x x x x =--12 ()()x x 12
0，，是图象与x 轴交点坐标。
2.根据不同的条件，运用不同的解析式形式求二次函数的解析式. 二、二次函数与一元二次方程
1. 二次函数()2
0y ax bx c a =++≠与一元二次方程()2
00ax bx c a ++=≠的关系。
一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2
y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊
情况。
2.图像与x 轴的交点个数：
①当240b ac ∆=->时，图像与x 轴交于两点()()()1212,0,,0A x B x x x ≠，其中12,x x 是一元二次方程()2
00ax bx c a ++=≠的两根；
②当0∆=时，图像与x 轴只有一个交点； ③当0∆<时，图像与x 轴没有交点。
1’ 当0a >时，图像落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y > 2’ 当0a <时，图像落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <。
板块一 二次函数解析式 1.(1)把函数232
12
++=
x x y 化成它的顶点式的形式为_______________________； (2)把函数6422++-=x x y 化成它的交点式形式为____________________________； (3)把函数()2
人教版初三数学上册 弧、弦、圆心角、圆周角 讲义
弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系
解题技巧：
1、顶点在圆心的角叫圆心角，顶点在圆周上的角叫圆周角
2、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等
（知道一组相等，就可以推出其它三组相等）
3、圆周角定理：同弧所对圆周角是圆心角的一半
4、直径所对圆周角等于90°，90°的圆周角所对的弦是直径
例1、下列说法正确的是_________________
①相等的圆周角所对的弧相等②相等的弦所对的弧相等③等弦对等弧④等弧对等弦
例2、如图，点A、B、C在⊙O上，OC、OB是半径，∠COB=100°，则∠A的度数等于（）
A、20°
B、40°
C、50°
D、100°
例3、如图所示，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（）
A、30°
B、45°
C、60°
D、75°
例4、如图，AB是⊙O的直径，BD=BC，∠A=25°，则∠BOD的度数为（）
A、12.5°
B、30°
C、40°
D、50°
例5、如图所示，AB是⊙的直径，AC=CD=BD，E是⊙O上一点，连接CE、DE，则∠CED的度数为（）
A、25°
B、30°
C、40°
D、60°
例6、如图，⊙O的直径是AB，∠C=35°，则∠DAB的度数是（）
A、60°
B、55°
C、50°
D、45°
例7、如图，经过原点的⊙P与x轴，y轴分别交于A（3，0）、B（0,4）两点，点C是OB上一点，且BC=2，则AC=____
1、如图，AB和CD都是⊙O的直径，∠AOC=52°，则∠C的度数是（）
A、22°
B、26°
C、38°
D、48°
初三数学圆周角与圆心角的关系讲义
初三数学圆周角与圆心角的关系讲义
学科教师辅导讲义
体系搭建
一、知识梳理
圆．
（五）三角形的外接圆
1、外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
2、外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
注意：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；
直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；
钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个
而一个圆的内接三角形却有无数个．
考点一：圆周角的定义与圆周角定理
例1、请用科学的方法证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
例2、如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C=25°，则∠BOD的度数是
（）
A．25°B．30°C．40°D．50°
例3、如图将⊙O沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，∠APB的度数（）A．45°B．30°
C．75°D．60°
例4、如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且
1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（）
A．60°B．120°
C．60°或120°D．30°或150°
考点二：圆周角定理的推论
例1、如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上
一点，则∠ACB=（）
A．80°B．90°
C．100°D．无法确定
例2、如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且=．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．
北师版初三数学上册秋季班讲义(最新版;可直接打印)
第1讲特殊的平行四边形
⎧⎪⎨⎪⎩矩形
特殊的平行四边形菱形
正方形
知识点1：矩形
1.矩形的性质：
（1）矩形具备平行四边形的所有性质；
（2）矩形的四个角都是直角；
（3）矩形的对角线平分且相等
（4）矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；它也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
2.矩形的判定定理：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）对角线相等的平行四边形是矩形
（3）有三个角是直角的四边形是矩形
【典例】
1.矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠AOB=60°，AC=10．
（1）求矩形较短边的长．（2）矩形较长边的长．（3
）矩形的面积．
【方法总结】
本题主要考察矩形对角线的性质——相等且互相平分、矩形的四个角都是直角。（1）矩形对角线与一边组成的三角形是等腰三角形，根据有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形即可得出结论；（2）在上一问的基础上通过勾股定理即可求出长边；（3）直接对公式的应用。
2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，DF⊥AC于F点，若∠ADF=3∠FDC，则∠DEC的度数是____
【方法总结】
本题主要考查了矩形的性质——四个角都是直角、对角线相等．本题要求两条对角线的较小的夹角∠DEC，利用矩形的对角线相等以及等腰三角形的性质，先求出∠DCE即对角线与短边的夹角即可得出结论；求∠DCE需要将其放到直角三角形中求出与其互余的锐角，综合已知条件：两互余且有倍数关系．解这种类型题需要将已知与所求相结合，引入方程思想可以将解题过程简化．
3.已知，如图，△ABC中，CE、CF分别是∠ACB和它的邻补角∠ACD的平分线，AE⊥CE 于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．
初三数学寒假讲义 第1讲.三角形 教师版
1中考第一轮复习
三角形
中考大纲剖析
本讲结构
1
2
一、等腰三角形
二、直角三角形
1．直角三角形的边角关系．
①．直角三角形的两锐角互余． ②．三边满足勾股定理． ③．边角间满足锐角三角函数．
2．特殊直角三角形
知识导航
3
三.尺规构造等腰三角形和直角三角形
四.全等三角形
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
全等三角形的判定：⑴SSS；⑵SAS；⑶ASA；⑷AAS；⑸HL．
在证明图形的线或角关系时，通常需要将全等与图形变换（旋转、平移、轴对称等）相结合.
五.相似三角形
相似三角形的性质：
⑴相似三角形的对应角相等，对应边成比例，其比值称为相似比．
3
4
⑵ 相似三角形对应高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 相似三角形的判定：
⑴ 平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似； ⑵ 两角对应相等，两三角形相似；
⑶ 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ⑷ 三边对应成比例，两三角形相似． 相似三角形的基本模型：
(1)E
D
C B
A
(3)E
D C
B
A
(4)
D C
B
A
D
C
B
A
(6)
E
D
C
B
A
(2)E
D
C
B
A
(5)
E
D
C
B
A
（10）
（9）
（8）
A B
D
E
A
B
C D
E
E
D
B
A
【编写思路】由于三角形的知识点非常多，本讲只针对三角形中的重要考点来编写的，侧重于等腰三角形、直角三角形、全等三角形和相似三角形，由于相似三角形在中考中考察的分值较少，而且简单，所以本讲也只是针对相似中的重要模型进行复习，不对学生做太高要求.
另外，我们在每一讲中，针对当前考试的热点和难点，设计一种“系列探究”， 使得每一讲有一个复习亮点，为我们第一轮复习锦上添花.本讲的探究是：由“直角三角形斜边中线”引发的“几何最值问题”.
苏科版初三数学九年级上册第二章：垂径定理与圆周角定理复习讲义
初三数学辅导讲义
学习目标 1.2.3.⎧⎪
⎨⎪⎩
理解垂径定理，并能熟练证明其相关推论；掌握常见辅助线的作法，并能运用垂径定理解题；掌握圆周角定理的证明及其推论，并能熟练运用。
知 识 梳 理
一、 本章思
维导图
二、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
三、圆中角的性质
圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫圆周角，两个条件缺一不可．
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对弧所对的圆心角的一半．
推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．（2）半圆（或直径）所对的圆周角是一直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
热身训练
1、过圆内一点A可以作出圆的最长弦有（）
A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或无数条
2、A、B是半径为5cm的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是（）
A．AB＞0 B．0＜AB＜5 C．0＜AB＜10 D． D．0＜AB≤10
3、下列说法：①直径不是弦；②等圆的半径相等；③弧有优弧和劣弧两种；
④等弧只能存在于同圆或等圆中．其中，正确的说法有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.
初三数学同步讲义(九年级下册)
A
B
C
相似
一．图形的相似
1.相似图形的定义
我们把具有相同形状的图形称为相似图形。 理解概念时应注意以下几点：
① 相似图形是指形状相同、大小不一定相同的两个图形； ② 相似的图形不仅指平面图形，也可以是立体图形； ③ 全等是相似的特殊情况； ④ 图形的拉伸和压缩不是相似。
2.成比例线段
（1）两条线段的比
在同一长度单位下，量得的两条线段的长度的比值就叫做这两条线段的比。 （2）成比例线段
对于四条线段,d c b a 、、、如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即
d
c b a =()
d c b a ::=或，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时也称这四条线段成比例。
即：两条线段的比等于另外两条线段的比。
若线段d c b a 、、、成比例，即d c b a ::=，那么其内项乘积等于外项乘积，即,c b d a ⋅=⋅其他的比例性质也都适用。
如果
,c
b
b a =那么b 叫做
c a 、的比例中项，也可以写成.2ac b = （3）黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段,AC CB ()AC CB >，若
AC
CB
AB AC =
， 则称线段被点C 黄金分割，
618.02
15≈－＝AB AC . （4）比例性质： ① 若
d
c
b a =，则b
c a
d =，反之也成立； ② 若
a c
b d =，则a b
c d
b d ±±=
； ③ 若(0)a c m b d n b d n ===+++≠L L ，则a c m a b d n b
+++=+++L L
二．相似三角形
1．相似三角形的定义及表示
九年级数学上册二次函数讲义
初三数学 二次函数讲义
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，
，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，
可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．
⑵ a b c ，
，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2
y a x h =-的性质：
左加右减。
4. ()2
y a x h k =-+的性质：
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2
y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：
【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：
⑴c bx ax y ++=2
沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2
变成
m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）
初三数学-二次函数讲义-详细
二次函数
一、二次函数的解析式
1. 二次函数解析式有三种：
(1) 一般式：y 二ax2 bx c (a = 0)
2
(2) 顶点式：y二ax-hi亠k 顶点为h, k
(3)交点式：y = a x — x1x — x2咅，0 x?，0是图象与x轴交点坐标。
2. 根据不同的条件，运用不同的解析式形式求二次函数的解析式
二、二次函数与一元二次方程
_ 2 2
1. 二次函数y = ax bx c ^^0与一元二次方程ax • bx • c = 0 a = 0的关系。
一元二次方程ax bx 0是二次函数y二ax bx c当函数值y = 0时的特殊
情况。
2. 图像与x轴的交点个数：
①当厶二b2 -4ac 0时，图像与x轴交于两点A x1,0 ,B x2,0 x<^ x2，其中^,x2
是一元二次方程ax ■ bx ■ c = 0 a = 0的两根；
②当厶=0时，图像与x轴只有一个交点；
③当■ = ：：0时，图像与x轴没有交点。
1 '当a 0时，图像落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y -0
2 '当a :: 0时，图像落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y ：：：0。板块一二次函
数解析式
1
1. (1)把函数丫=丄x2+3x+2化成它的顶点式的形式为______________________________ ；
2
⑵把函数y = Jx2+4x +6化成它的交点式形式为___________________________________ ；
2
⑶把函数y =3(x-2 )+4化为它的一般式的形式为_________________________________ ；
初三数学第一课1教学讲义
同步单元练习
五、初三数学学习方法：
1、编织知识网络 2、挑战特色例题 3、学会积累错题、典型题
改错本的使用格式
时间、题目来源 错题
考查知识点：
正确解ห้องสมุดไป่ตู้：
错误原因分析：
改错本的使用格式
8月20日、课前测试
已知关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a21=0有一根为0，则a的值为_____ a=±1
初三数学第一课
一、初三数学内容
上册： 第一章 特殊的平行四边形
第二章 一元二次方程
第三章 概率的进一步认识
第四章 图形的相似 第五章 投影与视图 第六章 反比例函数
二、初三教学内容的初步安排：
初三上学期 完成九年级上、下册书的教学
初三下学期(时间短） 进入全面的中考复习
三、教辅材料的使用：
作业A、B本
考查知识点有： 一元二次方程的定义 方程的根的定义 错误原因分析： 一元二次方程的定义 没有理解 改正： 根据题意得： a-1≠0且a2-1=0 解得：a=-1
几项特殊装备（明天小组长检查）：
1、草稿本
2、错题本
3、红笔
初三数学阿氏圆与胡不归最值模型讲义
阿氏圆与胡不归双线段最值模型
一、学习目标
1、掌握阿氏圆知识点是构造母子型相似
2、2、理解胡不归双线段模型与最值问题的解决策略
二、知识梳理 1、阿氏圆
“阿氏圆”模型核心知识点是构造母子型相似，构造△PAB ∽△CAP 推出 PA 2
= PC PB •，即：半径的平方=原有线段⨯ 构造线段。
2、胡不归
胡不归模型问题解题步骤如下； 1、将所求线段和改写为“PA+a b PB ”的形式（a b <1），若a
b
>1，提取系数，转化为小于1的形式解决。
2、在PB 的一侧，PA 的异侧，构造一个角度α，使得sin α=a
b
3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题
三、模型展示
1、如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．
（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是△BAC 的角平分线，则
AB DB
AC DC
=
．
证明：ABD ACD
S BD S
CD =
，ABD ACD
S AB DE AB S
AC DF AC ⨯=
=⨯，即AB DB
AC DC
=
（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则
AB DB
AC DC
=
．
证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD△△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分△BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DB
AC DC
=
．
接下来开始证明步骤：
如图，PA ：PB=k ，作△APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PA
初三数学讲义圆
初三数学讲义圆 Written by Peter at 2021 in January
初三数学讲义（10）（圆）
知识梳理：
1.圆定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合
2. 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
（不
能直接用）即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD
3. 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；
③OC OF =；④ 弧BA =弧BD
4. 圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
B
D
即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ 圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相
等的圆周角所对的弧是等弧；
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角
初三数学讲义
初三数学总复习
代数部分
第一章：实数
基础知识点：
一、实数的分类：
⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成q
p 的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。
2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。
3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。
二、实数中的几个概念
1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
（1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数⇔a+b=0
2、倒数：
（1）实数a （a ≠0）的倒数是a
1；（2）a 和b 互为倒数⇔1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值：
（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：
⎪⎩⎪⎨⎧-==0
,0,
00, a a a a a a （2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。
4、n 次方根
（1）平方根，算术平方根：设a ≥0，称a ±叫a 的平方根，a 叫a 的算术平方根。
（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
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初三数学讲义（10）（圆） 知识梳理：
1.圆定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合
2. 垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。（不能
直接用）即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD
3. 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；
③OC OF =；④ 弧BA =弧BD
4. 圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠
B
D
圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。 5. 圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
6. 切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。7、切线长定理
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵PA 、PB 是的两条切线
∴PA PB = PO 平分BPA ∠
B
A
基本问题：
1.如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于?（??）?（A ） 15?（B ） 30??（C ） 45?（D ） 60
A
B C O
D
1题 2题
2. 等腰△ABC 的顶角A ＝120°，腰AB ＝AC ＝10，△ABC 的外接圆半径等于（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5
3. 已知P 为⊙O 内一点，且OP ＝3cm ，如果⊙O 的半径是4cm ，那么过P 点的最短弦等于（ ）A. 2cm
B. 3cm
C.
7cm
D. 27cm
4. 下列判断正确的是（ ）
①平分弦的直径垂直于弦；②平分弦的直线也平分弦所对的两条弧 ③弦的中垂线必定平分弦所对的两条弧；④平分一条弧的直线必定平分这条弧所对的弦 5. 圆的半径等于4cm ，圆内一条弦长43cm ，则弦的中点与弦所对弧的中点的
距离等于_____________；
6. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则sin CBE ＝ （ ）A.
63. B. 23. C. 1
3
. D. 1010.
6题 7题
7. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝
90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于?（??）（A ）54?（B ）45?（C ）43（D ）6
5
A
F
B
E
C
D
8. 如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 的延长线交于点E ，若DE=OB ， ∠AOC=84°，则∠E 等于( )
° ° ° ° 拓展问题：
9.如图，AB 是半圆的直径，点C 平分⌒AB
，点D 平分⌒AC ，DB 、CA 交于点E ，则=BE
DE ______.
9题 10题 10. 如图，在?ABC 中，?C=90?，D 、E 分别是BC 上的两个三等分点，以D 为圆心的圆过点E ，且交AB 于点F ，此时CF 恰好与⊙D 相切于点F. 如果AC=
24
5
，那么⊙D 的半径=__________. 11. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，DP 交AC 于点Q ，若QP=QO ，则
QA
QC
的值为 ．
12. 如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠BAC=60°，H 为边AC 、AB 上的高BD 、CE 的交点，在BD 上取点M ，使BM=CH ． (1) 求证：∠BOC=∠BHC ； (2) 求证：△BOM ≌△COH ； (3) 求OH
MH
的值
E
综合问题
13.如图，△ABC 中，以BC 为直径的圆交AB 于点D ，∠ACD =∠A BC ．（1）求证：CA 是圆的切线；（2）若点E 是BC 上一点，已知BE =6，tan ∠ABC =
32，tan ∠AEC =3
5
，求圆的直径．
14. 如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径,点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD PA ，垂足为D .(1) 求证：CD 为⊙O 的切线；
(2) 若DC +DA =6，⊙O 的直径为10，求AB 的长度.
15. 如图，BD 为⊙O 的直径，AB =AC ，AD 交B C 于点E ，AE =2，ED =4，
(1)求证：△ABE ∽△ADB ；(2)求AB 的长；
(3)延长DB 到F ，使得BF =BO ，连接FA ，试判断直线FA 与⊙O 的位置关系，并说明理由．
D
O
E B
A E
D