初三数学讲义
初三数学知识梳理讲义
初三数学讲义第一讲将军饮马之线段和最小值问题领跑一线考点定位知识点一轴对称性质成轴对称的两个图形全等，其对应边相等，对应角相等.知识点二“将军饮马”解决线段最值问题的实质是利用轴对称性质“化折为直”，转化为两点之间线段最短或者点到直线垂线段最短.将军饮马基础模型如图，在直线异侧两个点A 和B ，在直线上求一点P ，使得PA+PB 最短.做法：1.找出定点和动点2.找河（即动点出现两次点所在直线或线段）3.做对称（做定点的对称点）4.连线计算典例分析例1（2016 某一中滨河分校模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）A．BC B．CE C．AD D．AC思路点拨：因为AB=AC得△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”，AD为底边中线，也为BC边上的高线，易得点B、点C关于AD对称.若求BP+EP最小，即求PE+PC最小值，再根据三角形三边关系得PE+PC最小值，即求线段CE的长度.解析：如图，连接PC，△AB＝AC，AD为中线，△点B、点C关于AD对称△PB＝PC，△PB+PE＝PC+PE，在△CPE中，PC+PE≥CE△PE+PC最小值为CE长度，△PB+PE最小值为CE长度，故选B.例2（2015陕西）如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD△BC，CD△BC，△ABC＝60°，AD＝8，BC＝12．如图，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值.思路点拨：作点C关于直线AD的对称点C′，连接C′N，C′D，C′B交AD于点N′，连接CN′，则BN+NC＝BN+NC′，BC′＝BN′+C′N′，△BN+NC′≥BC′，则可得到△BNC周长的最小值，即BN+NC′+BC＝BC′+BC.解析：过点A作AE△BC于E，如图所示：△AD△BC，AE△BC，△ABC＝60°，△CE＝AD＝8，△BE＝4，AE＝BE•3＝43△CC′＝2CD＝2AE＝83△BC＝12，△BC22421′BC CC+=△△BNC周长的最小值为421+12.实战演练1.如图，菱形ABCD中，AB＝2，△BAD＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．2.如图，正方形ABCD中，AB＝4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为．3.如图，菱形ABCD的边长为6，M、N分别是边BC、CD上的点，且MC=2MB，ND=2NC，点P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值是________．4.如图，正方形ABCD的面积为18,△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，求PD + PE的最小值.5.如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD是△BAC的角平分线，E是AD上的动点，F 是AB边上的动点，则BE+EF的最小值为．6.如图，正方形ABCD的边长是2，△DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．7.如图，在锐角△ABC中，AB＝√2，△BAC＝45°，△BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．8.如图，直线l外有一点D，D到l的距离为3，让腰长为2的等腰直角三角板ABC的腰AB 在直线l上滑动，则AD+DC的最小值为.9.如图,在菱形ABCD中,AB=10,∠ABC=60°,E为BC上一动点, P为BD上一动点,则PE+PC最小值为_______.10.如图，矩形ABCD中，AD＝3，∠CAB＝30°，点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD 上的动点，则AQ+QP的最小值是_______.第二讲 折叠求长度问题知识点一折叠是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 解题步骤知识点二1. 找对应边、对应角2. 设未知数（一般设所求边或其对应相等边）3. 利用勾股定理列方程4. 计算典例分析例1.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，点E 在BC 边上，将△DCE 沿DE 折叠，使点C 恰好落在对角线BD 上的点F 处，求DE 的长．解：△四边形ABCD 为矩形，△AB ＝CD ，AD ＝BC ，△DCB ＝90°，△AB ＝CD ＝6，AD ＝BC ＝8，在Rt△BCD 中，BD ＝222286AC AB +=+＝10，由于折叠△DFE ＝△DCB ＝90°，DF ＝DC ＝6，EF ＝EC ，△△BFE ＝180°−△DFE ＝90°，设EC ＝x ，则BE ＝8−x ，在Rt△BEF 中，由勾股定理得：BE2＝EF 2＋BF 2，△（8−x ）2＝x 2＋42，解得：x ＝3，即：EC ＝3，在Rt△DEC 中，由勾股定理得：DE 2＝CE 2＋DC 2，△DE ＝5363DC CE 2222=+=+例2.如图，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上．若AB ＝6，BC ＝9，求BF 的长．解：△将长方形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C′上△BC'＝21AB ＝3，CF ＝C'F 在Rt△BC'F 中，C'F 2＝BF 2＋C'B 2，△CF 2＝（9−CF ）2＋9△CF ＝5△BF ＝41.如图，在正方形ABCD 中，AC 为对角线，点E 在AB 边上，EF △AC 于点F ，连接EC ，AF ＝3，△EFC 的周长为12，则EC 的长为（ ）A ．B ．3C ．5D ．62.（2017秋•长岭县月考）如图，正方形ABCD 中，AC 是对角线，AE 平分△BAC ，EF △AC 于点F ，求证：BE ＝CF ．3.（2016春•潮南区期末）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；（2）若AB＝3，AD＝4，求线段GC的长．4.已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）5.如图，将平行四边形ABCD沿EF对折，使点A落在点C处，若△A＝60°，AD＝6，AB＝12，则AE的长为．6.如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，且AC＝8，BC＝6．点P是边AC上一动点，以直线BP为轴把△ABP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP 的长是．7.如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，BE与DC相交于G点，且OE＝OD．（1）求证：AP＝DG；（2）求AP的长度．8.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF分别与AB、DC交于点E和点F，点B的对应点为B′．（1）证明：AE＝CF；（2）若AD＝12，DC＝18，求DF的长．9．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，将纸片沿AD折叠，直角边AC恰好落在斜边上，且与AE重合，求△BDE的面积．10．如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，EC交AD于F．（1）求证：△AFE△△CFD；（2）若AB＝3，BC＝6，求图中阴影部分的面积．第三讲菱形知识点：菱形定义：有一组临边相等的平行四边形叫做菱形。
初中数学九年级讲义
二次方程一般式．
5．已知关于 x 的方程 x2 x 2a 4 0 的一个根是-1，则 a 的值是（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2
【答案】D
【分析】
把 x 1 代入方程 x2 x 2a 4 0 得11 2a 4 0 ，然后解关于 a 的方程．
【详解】
解：把 x 1 代入方程 x2 x 2a 4 0 ，得：11 2a 4 0 ，解得： a 2 ．
知识精讲
知识点 01 一元二次方程的有关概念
1．一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 【知识拓展】
识别一元二次方程抓住三个条件： （1）整式方程； （2）含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是 2. 不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2．一元二次方程的一般形式：
(2)在求各项系数时，要把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时，注意不要漏掉前面 系数的符号. 3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 【知识拓展】 如果已知一元二次方程的根，一般做法是将根代入，再根据题目含义进行下一步解答。 4.一元二次方程根的重要结论
①形如关于 x 的一元二次方程 x2 = a ，可直接开平方求解
若a>0
若 a=0 若a<0
则 x = ± a ；表示为 x1 = a , x2 = - a 则 x=O 表示为 x1 = x2 = 0
方程有两个不等实数根 方程有两个相等的实数根
则方程无实数根
②形如关于 x 的一元二次方程 (ax + n)2 = m(a 0, m 0) ，可直接开平方求解，两根是
初三数学暑期标准课讲义(教师版)
目录入门检测:1.一次函数21y x =-的图象与x 轴的交点坐标为 ，与y 轴的交点坐标为 ．<2分钟>【答案】(1,02)，(0,1-)2. 已知一次函数y=kx+b ，y 随着x 的增大而减小，且kb ＞0，则这个函数的大致图象是( )<2分钟>A ．B ．C ．D ．【答案】B3. 将正比例函数y=3x 的图象向下平移4个单位长度后，所得函数图象的解析式为（ ）． <2分钟>A ．34y x =+B ．34y x =-C ．3(4)y x =+D ． 3(4)y x =-【答案】B4. 如图，直线AB 与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，－2）. （1）求直线AB 的解析式；（2）若点C 是第一象限内的直线上的一个点，且△BOC 的面积为2，求点C 的坐标. <5分钟>【答案】解：（1）设直线AB 的解析式为)0(≠+=k b kx y , ∵直线AB 经过点A （1，0），点B （0，－2），∴0,2,k b b +=⎧⎨=-⎩解得2,2.k b =⎧⎨=-⎩∴直线AB 的解析式为22-=x y .(2) ∵△BOC 的面积为2，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ，∴CD=2.又∵点C 在第一象限内，∴点C 的横坐标是2. 代入22-=x y ，得到点C 的纵坐标是2. ∴点C 的坐标是（2，2）.5. 已知等腰三角形周长为12，其底边长为y ，腰长为x. （1）写出y 关于x 的函数解析式及自变量x 的取值范围；（2）在给出的平面直角坐标系中，画出（1）中函数的图象. <5分钟>【答案】解：(1)依题意212y x +=，212y x ∴=-+.x ，y 是三角形的边，故有002x y x y >⎧⎪>⎨⎪>⎩，将212y x =-+代入，解不等式组得36x <<.(2)-2 -1 -7-6 -5-4-3 -3 -4 -5 -6 -7 12 3 4 5 6 7-1 -2 76 5 4 3 2 1 o yx-2-1-7-6-5-4-3-3-4-5-6-71234567-1-27654321oyx第一讲 二次函数的概念与解析式1.1二次函数的定义及图像 二次函数的定义一般地，形如2(,,0)y axbx c a b c a =++≠是常数，的函数，叫做二次函数，其中，x 是自变量，,,a b c 分别是二次项系数、一次项系数、常数项．【例1】已知函数y=（m+2）x 2m m+是关于x 的二次函数，则满足条件的m 值为______．【答案】m=1【练习1.1】若y=（m －3）232m m x -+是二次函数，求m 的值．【答案】m=0【例2】若y=（k －3）22k x -+x 2－x+1是二次函数，求常数k 的值．【答案】分情况讨论：当k －3=0，即k=3时，y=x 2－x+1是二次函数；当k 2－2=2且k －3+1≠0，即k=－2时，y=－4x 2－x+1是二次函数；当k 2－2=1时，即k=±3时，y=x 2+（3－4）x+1，或y=x 2－（3+4）x+1均是二次函数，还有k 2－2=0时综合上知k=3或－2或±3或±2【练习2.1】若y=（k －2）22k x -+4x 2－x+1是二次函数，求常数k 的值．【答案】21.2 二次函数的性质 与a 有关的性质一函数形式：2(0)y ax a =≠开口：0a >，开口向上；0a <,开口向下.a 相同⇔抛物线的形状大小相同.a越大开口越小，a越小开口越大.对称轴：y 轴（0x =）顶点：原点（0,0）【例3】二次函数y ＝ax 2的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内．(1)y ＝2x 2如图( ) ； (2)221x y =如图( )； (3)y ＝－x 2如图( )； (4)231x y -=如图( )；(5)291x y =如图( )；(6)291x y -=如图( )．【答案】(1)D ，(2)C ，(3)A ，(4)B ，(5)F ，(6)E ．【练习3.1】若函数y ＝226a a ax －－是二次函数且图象开口向上，则a ＝( ) A ．－2 B ．4 C ．4或－2 D ．4或3【答案】B⏹ 与a 有关的性质二【例4】已知a<－1，点（a －1，y 1），（a ，y 2），（a+1，y 3）都在函数y=x 2的图象上，则（） A ．y 1<y 2<y 3 B ．y 1<y 3<y 2 C ．y 3<y 2<y 1 D ．y 2<y 1<y 3【答案】C【练习4.1】若二次函数223y x =-的图象上有两个点(3,)A m -、(2,)B n ，则m ___n （填“<”或“=”或“>”）【答案】>⏹ 与a 、b 有关的性质对称轴在y 轴左侧，,a b 同号；对称轴在y 轴右侧，,a b 异号.（左同右异） 对称轴在y 轴上，b=0.【例5】判断下列二次函数的对称轴的位置 (1)y ＝x 2＋6x ＋10 (2)y ＝3x 2－2x (3)y ＝100－5x 2 (4)y ＝(x －2)(2x ＋1)(5)y ＝ax 2－6bx ＋10（a<0,b<0）【答案】左，右，0，右，右【练习5.1】已知二次函数2y ax bx c =++ (a ≠0）的图象如右图所示，则下列结论：①a 、b 同号；②当x =1和x =3时，函数值相等；③4a +b =0；④当y =－2时，x 的值只能取0．其中正确的个数是（）A ．l 个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B与c 有关的性质抛物线与y 轴正半轴相交，0c >；负半轴相交，0c <.抛物线经过原点，c=0【例6】判断下列二次函数与y 轴的交点的位置 (1)y ＝2x 2＋3x ＋10 (2)y ＝－3x 2－2x －3 (3)y ＝100x －5x 2(4)y ＝(x －3)(2x ＋1) (5)y ＝x 2－6x ＋a 2+2a+3【答案】正，负，原点，负，正.【练习6.2】已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列结论：①abc>0；②a+b+c>0；③a-b+c<0；其中正确的结论有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C1.3二次函数的解析式的求法一般式【例7】已知抛物线c bx x y ++=2经过点（1，-4）和（-1，2）.求抛物线解析式.【答案】解：设抛物线解析式为：由题意知：⎩⎨⎧=--=+15b c b c解得：⎩⎨⎧-=-=32b c∴抛物线解析式为232--=x x y【练习7.1】已知：如图，二次函数22y axbx =+-的图象经过A 、B 两点，求出这个二次函数解析式.【答案】解：（1）由图可知A （－1，－1），B （1，1） 依题意，得21,21a b a b --=-⎧⎨+-=⎩解得2,1.a b =⎧⎨=⎩∴ y ＝2x 2＋x －2．顶点式【例8】以直线1x =为对称轴的抛物线过点A （3，0）和点B(0，3)，求此抛物线的解析式.【答案】解：设抛物线的解析式为2(1)y a x b =-+， 抛物线过点A （3，0）和B(0，3). ∴40,3.a b a b +=⎧⎨+=⎩解得1,4.a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为223y x x =-++.【练习8.1】已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，－2），求这个二次函数的关系式．【答案】解：设这个二次函数的关系式为2)1(2--=x ay得：2)10(02--=a 解得：2=a∴这个二次函数的关系式是2)1(22--=x y ， 即224.y x x =-双根式【例9】已知抛物线与x 轴相交于两点A(1，0)，B(-3，0)，与y 轴相交于点C(0，3)． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)如果点3,2D m ⎛⎫⎪⎝⎭是抛物线上的一点，求△ABD 的面积．【答案】解：(1) ∵抛物线与y 轴相交于点C(0，3),∴设抛物线的解析式为23y ax bx =++. ∵抛物线与x 轴相交于两点(1,0),(3,0)A B -， ∴30,9330.a b a b ++=⎧⎨-+=⎩解得：1,2.a b =-⎧⎨=-⎩ ∴抛物线的函数表达式为：232y x x =-+-. （2）∵点3(,)2D m 是抛物线上一点，∴2(23339)224m =-⨯+=--. ∴119942242ABD D S AB y ∆==⨯⨯=.【练习9.1】已知抛物线过点A (2,0),B (－1,0),与y 轴交于点C ,且OC ＝2.则这条抛物线的解析式是（ ）A.22y x x =--B.22y x x =-++C.22y x x =--或22y x x =-++D.22y x x =---或22y x x =++【答案】C1.4二次函数与图形变换 ⏹ 平移【例10】将函数234y x x =+-向左平移3个单位，向下平移2个单位后的解析式为．【答案】276y x x =++【练习10.1】将抛物线25y x =先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（ ） A ．25(2)3y x =++B ．25(2)3y x =-+C ．25(2)3y x =--D ．25(2)3y x =+-【答案】A【练习10.2】把抛物线y ＝－x 2＋4x －3先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则变换后的抛物线解析式是( ) A ．y ＝－(x ＋3)2－2 B ．y ＝－(x ＋1)2－1 C ．y ＝－x 2＋x －5D ．前三个答案都不正确【答案】B⏹ 对称【例11】抛物线234y x x =+-关于x 轴对称的图像解析式为，关于y 轴对称的图像解析式为，关于原点对称的图像解析式为.【答案】234y x x =--+；234y x x =--；234y x x =-++【练习11.1】某抛物线先沿x 轴翻折，再沿y 轴翻折得到新的解析式为223y x x =+，则原抛物线解析式为.【答案】223y x x =-+ 旋转【例12】填空(1)将抛物线21y x =+绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为. (2)将抛物线223y x x =++绕点（1,1）旋转180°，则旋转后的抛物线解析式为.【答案】（1）21y x =--（2）269y x x =-+-【练习12.1】将抛物线 224=+y x 绕原点O 旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）A ． 22=-y xB ． 224=-+y xC ． 224=--y xD ． 224=-y x【答案】C课后作业:1. 把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（ ） A ．()231y x =+- B ．()233y x =++ C ．()231y x =-- D ．()233y x =-+【答案】C2.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论中错误．．的是（ ） A ．函数有最小值 B ．当－1 <x < 2时，0y > C ．0a b c ++< D ．当12x <，y 随x 的增大而减小【答案】B3.已知抛物线y =x 2－4x +5，求出它的对称轴和顶点坐标.【答案】解：y =x 2－4x +5 = x 2－4x +4+1 =(x －2)2+1.∴抛物线的对称轴为x =2.顶点坐标为（2，1）.4. 抛物线22y x =平移后经过点(0,3)A ，(2,3)B ，求平移后的抛物线的表达式．【答案】解：设平移后抛物线的表达式为22y x bx c =++．∵平移后的抛物线经过点(0,3)A ，(2,3)B ，∴3,382.c b c =⎧⎨=++⎩解得4,3.b c =-⎧⎨=⎩所以平移后抛物线的表达式为2243y x x =-+．解二：∵平移后的抛物线经过点(0,3)A ，(2,3)B ， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线1x =. ∴设平移后抛物线的表达式为()221y x k=-+．∴()23221k=⨯-+．∴1k =．所以平移后抛物线的表达式为()2211y x =-+．5.已知：二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠中的x y ，满足下表：（1）的值为 ； （2）若1()A p y ，，2(1)B p y +，两点都在该函数的图象上，且0p <，试比较1y 与2y的大小.【答案】解：（1）m = 0 . （2）0p <，11p p ∴<+<，又因为抛物开口向上，对称轴为1x =， ∴12y y >.6.已知直线y=mx+n 经过抛物线y=ax2+bx+c 的顶点P(1，7)，与抛物线的另一个交点为M （0，6），求直线和抛物线的解析式【答案】解：（1）∵ 直线y mx n =+经过点P （1，7）、M （0，6），∴7,6.m n n +=⎧⎨=⎩解得 1,6.m n =⎧⎨=⎩∴ 直线的解析式为6y x =+． ∵ 抛物线2y ax bx c=++的顶点为P （1，7），∴ 2(1)7y a x =-+．∵ 抛物线经过点M （0，6）， ∴2(01)76a -+=．解得1a =-．∴ 抛物线的解析式为226y x x =-++．7.抛物线2y x bx c =++（b ，c 均为常数）与x 轴交于(1,0),A B 两点，与y 轴交于点(0,3)C ．．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）若P 是抛物线上一点，且点P 到抛物线的对称轴的距离为3，请直接写出点P 的坐标．【答案】解:(1) ∵抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点(0,3)C , ∴c=3 .∴23y x bx =++.又∵抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点(1,0)A , ∴b=-4 .∴243y x x =-+. （2）点P 的坐标为(5,8)或(1,8)-．入门检测:1. 下列各式中，y 是x 的二次函数的个数为( )①y ＝2x 2＋2x ＋5；②y ＝－5＋8x －x 2；③y ＝(3x ＋2)(4x －3)－12x 2；④y ＝ax 2＋bx ＋c ；⑤y ＝mx 2＋x ；⑥y ＝bx 2＋1(b 为常数，b ≠0)．<1分钟>A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A2. 已知二次函数,2c bx ax y ++=且0,0>+-<c b a a ，则一定有（）<2分钟> A ．042>-ac b B ．042=-ac b C ．042<-ac b D ．042≤-ac b【答案】A3．在同一直角坐标系中，一次函数y =ax +c 和二次函数y =ax 2+c 的图象为( ) <2分钟>【答案】B4. 抛物线2y x bx c =++图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为223y x x =--，则b 、c 的值为（）<2分钟> A .b ＝2，c ＝2 B.b ＝2，c ＝0 C .b ＝－2，c ＝－1 D.b ＝－3，c ＝2 【答案】B5．将抛物线221216y x x =-+绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）．<2分钟> A ．221216y x x =--+ B ．221216y x x =-+- C ．221219y x x =-+- D ．221220y x x =-+-【答案】D6．抛物线2y x bx c =-++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x… 2-1-0 1 2 … y…4664…从上表可知，下列说法正确的个数是（）<4分钟>①抛物线与x 轴的一个交点为(20)-，②抛物线与y 轴的交点为(06)， ③抛物线的对称轴是：1x = ④在对称轴左侧y 随x 增大而增大 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C7．若二次函数52++=bx x y 配方后为k x y +-=2)2(则b 、k 的值分别为（）<1分钟> A ．0，5 B ．0，1 C ．—4，5 D ．—4，1 【答案】D8．由二次函数y ＝－x 2＋2x 可知（）<2分钟>A ．其图象的开口向上B ．其图象的对称轴为x ＝1C ．其最大值为－1D ．其图象的顶点坐标为（－1，1） 【答案】B。
九年级人教版数学讲义
九年级人教版数学讲义你好！欢迎使用九年级人教版数学讲义。
下面我将详细介绍该讲义的主要内容。
一、目录九年级人教版数学讲义主要包括以下内容：第一章：实数与数轴第二章：一次函数第三章：三角形第四章：四边形第五章：圆第六章：统计初步第七章：数学思想方法二、主要内容1. 实数与数轴：本章主要介绍实数的概念和性质，以及数轴的表示方法和基本性质。
通过本章的学习，学生可以更好地理解实数与数轴上的点之间的对应关系。
2. 一次函数：本章主要介绍一次函数的概念、性质和图像，以及一次函数在生活中的应用。
通过本章的学习，学生可以掌握一次函数的基本思想和解题方法。
3. 三角形：本章主要介绍三角形的边角关系、三角形的分类（等腰三角形、直角三角形、一般三角形）、三角形的稳定性在实际中的应用等。
通过本章的学习，学生可以掌握三角形的基本性质和解题方法。
4. 四边形：本章主要介绍平行四边形、矩形、菱形、正方形等基本概念和性质，以及它们在实际中的应用。
通过本章的学习，学生可以掌握四边形的基本性质和解题方法。
5. 圆：本章主要介绍圆的基本概念、性质和定理，以及圆在实际中的应用。
通过本章的学习，学生可以掌握圆的性质和解题方法，并提高空间想象能力。
6. 统计初步：本章主要介绍数据的收集、整理、描述和分析方法，以及统计在生活中的应用。
通过本章的学习，学生可以掌握统计的基本思想和解题方法。
7. 数学思想方法：本章主要介绍数学思想和方法，如函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等，以及这些思想和方法在解题中的应用。
通过本章的学习，学生可以提高数学思维能力和解题能力。
三、作业与练习九年级人教版数学讲义提供了大量的作业与练习，包括选择题、填空题、解答题等，旨在帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
学生可以通过完成这些作业与练习，加深对所学内容的理解，并提高应用所学知识解决实际问题的能力。
四、教学建议教师在教学过程中，可以根据学生的实际情况和教材内容，适当调整教学进度和难度，注重培养学生的数学思维能力和解题能力。
九年级数学知识点讲义
九年级数学知识点讲义一、整式与分式1. 整式的定义与性质定义：由常数和代数式通过加、减、乘运算组成的代数式称为整式。
性质：整式的加法、减法、乘法仍为整式。
2. 分式的定义与性质定义：形如a/b的表达式称为分式，其中a、b为整式，且b≠0。
性质：分式的乘法、除法仍为分式，分式可以约分。
二、方程与不等式1. 一元一次方程- 定义：形如ax+b=0的方程称为一元一次方程，其中a、b为已知数，x为未知数。
- 解方程的方法：同解法、异解法等。
2. 一元一次不等式- 定义：形如ax+b>0的不等式称为一元一次不等式，其中a、b为已知数，x为未知数。
- 解不等式的方法：解集的表示、图解法等。
3. 二元一次方程组- 定义：由两个未知数的一元一次方程组成的方程组称为二元一次方程组。
- 解二元一次方程组的方法：代入法、消元法等。
三、平面图形与空间图形1. 平面图形的分类与性质- 分类：点、线、线段、射线、角、多边形等。
- 性质：点是没有长度、面积和体积的；线段是有一定长度的，且有起点和终点；角是由两条射线共同确定的。
2. 平面图形的面积与周长- 面积：正方形、长方形、三角形、圆等的面积计算公式。
- 周长：正方形、长方形、三角形、圆等的周长计算公式。
3. 空间图形的分类与性质- 分类：点、线、面、体等。
- 性质：点是空间中没有长度、面积和体积的；线是有一维长度的；面是有二维面积的；体是有三维体积的。
四、函数与图像1. 函数的定义与性质- 定义：输入一个或多个数值，输出唯一一个数值的对应关系称为函数。
- 性质：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等。
2. 平移、伸缩与反转变换- 平移：函数图像在横轴或纵轴方向上移动。
- 伸缩：函数图像在横轴或纵轴方向上拉伸或压缩。
- 反转：函数图像关于横轴或纵轴进行翻转。
3. 常见函数的图像与性质- 一次函数：y=ax+b，图像为直线。
- 二次函数：y=ax^2+bx+c，图像为抛物线。
九年级数学精讲班讲义
九年级数学精讲班讲义一、一元二次方程。
1. 定义。
- 一般形式：ax^2+bx + c = 0(a≠0)。
- 举例：x^2+2x - 3 = 0，这里a = 1，b = 2，c=- 3。
2. 解法。
- 直接开平方法。
- 对于方程x^2=k(k≥slant0)，解得x=±√(k)。
- 例如：(x - 1)^2=4，则x - 1=±2，x = 1±2，即x = 3或x=-1。
- 配方法。
- 步骤：先将二次项系数化为1，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程化为(x + m)^2=n的形式再求解。
- 例如：x^2+4x - 1 = 0，x^2+4x = 1，x^2+4x + 4 = 1+4，(x + 2)^2=5，x=-2±√(5)。
- 公式法。
- 求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。
- 对于方程2x^2-3x - 1 = 0，a = 2，b=-3，c = - 1，代入公式可得x=frac{3±√((-3)^2)-4×2×(-1)}{2×2}=(3±√(17))/(4)。
- 因式分解法。
- 把方程化为(mx + n)(px + q)=0的形式，则mx + n = 0或px + q = 0。
- 例如：x^2-3x + 2 = 0，分解为(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2。
3. 根的判别式Δ=b^2-4ac- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。
- 当Δ<0时，方程没有实数根。
- 例如：对于方程x^2-2x + 1 = 0，Δ=(-2)^2-4×1×1 = 0，方程有两个相等的实数根x = 1；对于方程x^2+1 = 0，Δ = 0 - 4×1×1=-4<0，方程没有实数根。
初三数学讲义
第一讲 相似图形一、图形的相似1、相似图形、相似多边形的定义：形状相同的图形叫做相似图形（本质特征---形状相同。
图形的相似可以看成一个图形的放大或缩小。
）2、比例的基本性质 若dc b a =，则ad=bc.(黄金分割点：把一条线段分割成两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
其比值是（15-）：2≈0.618，由于按此比例设计的造型最能引起人的美感，因此称为黄金分割)典型例题：例1、美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm例2、如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN ，矩形DMNC 与矩形ABCD 相似，已知AB=4．(1)求AD 的长．(2)求矩形DMNC 与矩形ABCD 的相似比．例3、如图，一块长3m 、宽1.5m 的矩形黑板ABCD 如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5cm ．边框的内边缘所成的矩形ABCD 与边框的外边缘所成的矩形EFGH 相似吗？为什么？思考：若将例3中问题一般化，设矩形ABCD 的一组邻边长分别是a,b ，边框宽为x ，那么满足什么条件可以使得两矩形相似呢？例4、买西瓜为什么挑大个？思驰是一个好奇心很强的女孩，凡事都喜欢问个为什么．一天，思驰跟爸爸上街买西瓜．见爸爸选中的全是大个西瓜，她的小脑袋瓜又转开了：买西瓜为什么挑大个？“你这个沈老师的得意门生，能用学过的数学知识解决吗？”例5、猜想性质：棱长为1的正方体的体积V1=1，棱长为2的正方体的体积V2=8，棱长为3的正方体的体积V3=27，…，由此可得：)32()31()21(332331321278,271,81======V V V V V V ，…，由此猜想立体相似具有下列性质：立体相似图形的体积之比等于对应线段之比的______； 问题解决：星期天，小强帮妈妈去超市买鱼，正赶上超市促销．超市里有一种“竹荚鱼”个个都长得非常相似，现有大小两种不同的价钱，如图所示，鱼长10cm 的每条1元，鱼长13cm 的每条1.5元．买哪种鱼合算呢小强数学成绩非常棒，只见他稍做思考，立即做出了合理的决定．你知道小强买的是哪种鱼？为什么呢？专项训练：1、已知23=y x ，那么下列等式中，不一定正确的是（ ） A ．32=x y B ．2x=3y C ．25=+y y x D ．4522=++y x 2、如图所示，一张矩形纸片ABCD 的长AB=acm ，宽BC=bcm ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，这张纸片沿直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ：b 等于（ ） A.2:1 B.1:2 C.3:1 D.1:33、下列四组图形中，一定相似的是（ ）A.正方形与矩形B.正方形与菱形C.菱形与菱形D.正五边形与正五边形4、已知矩形ABCD 中，AB ＝1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD ＝（ ） A.215- B.215+ C.3 D.25、如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F 两点分别在AB ，DC 上，若AE ＝4，EB ＝6，DF ＝2，FC ＝3，且梯形AEFD 与梯形EBCF 相似，则AD 与BC 的长度比为（ ）A.1:2B.2:3C.2:5D.4:96、如图：矩形ABCD 的长AB=30，宽BC=20．（1）如图（1）若沿矩形ABCD 四周有宽为1的环形区域，图中所形成的两个矩形ABCD 与A ′B ′C ′D ′相似吗？请说明理由；（2）如图（2），x 为多少时，图中的两个矩形ABCD 与A ′B ′C ′D ′相似？二、相似三角形的判定1、判定方法：（只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边的比相等”就可以得到三角形相似的判定定理）（1）定义法：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形相似。
九年级数学上册二次函数讲义
初三数学 二次函数讲义一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c=+的性质： 上加下减。
()2x h -4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；0a >二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y 1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
九年级数学专题讲座
九年级数学专题讲座一、函数专题1. 一次函数知识点回顾一次函数的表达式为公式（公式，公式为常数，公式）。
当公式时，函数为正比例函数公式。
一次函数的图象是一条直线，公式决定直线的倾斜程度（公式，直线从左到右上升；公式，直线从左到右下降），公式决定直线与公式轴的交点（公式）。
题目解析例：已知一次函数公式，求它的图象与公式轴、公式轴的交点坐标。
解：当公式时，公式，解得公式，所以与公式轴交点坐标为公式。
当公式时，公式，所以与公式轴交点坐标为公式。
2. 二次函数知识点回顾二次函数的表达式一般式为公式（公式，公式，公式为常数，公式）。
顶点式为公式（公式为顶点坐标）。
二次函数图象是抛物线，公式决定抛物线的开口方向（公式开口向上；公式开口向下），对称轴为公式（一般式）或公式（顶点式）。
题目解析例：求二次函数公式的顶点坐标和对称轴。
解：对于二次函数公式，其中公式，公式，公式。
对称轴公式。
把公式代入函数得公式，所以顶点坐标为公式。
3. 反比例函数知识点回顾反比例函数表达式为公式（公式为常数，公式）。
图象是双曲线。
当公式时，双曲线在一、三象限；当公式时，双曲线在二、四象限。
题目解析例：已知反比例函数公式，求当公式时公式的值，以及当公式时公式的值。
解：当公式时，公式。
当公式时，公式，解得公式。
二、几何专题1. 三角形知识点回顾三角形内角和为公式。
三角形的分类：按角分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；按边分为等边三角形、等腰三角形、不等边三角形。
相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。
题目解析例：在公式中，公式，公式，求公式的度数。
解：因为三角形内角和为公式，所以公式。
例：已知公式和公式，公式，公式，判断这两个三角形是否相似。
解：因为在公式和公式中，公式，公式，两角分别相等，所以公式。
2. 四边形知识点回顾平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。
初三数学讲义
例17.2007年我市某县筹备20周年县庆，园林 部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950 盆乙种花卉搭配两种园艺造型共50个摆放在迎 宾大道两侧，已知搭配一个种造型需甲种花卉 80盆，乙种花卉40盆，搭配一个种造型需甲 种花卉50盆，乙种花卉90盆． （1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了 这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的 搭配方案有几种？请你帮助设计出来． （2）若搭配一个种造型的成本是800元，搭 配一个种造型的成本是960元，试说明（1） 中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？
例9. 图1是水滴进玻璃容器的示意图（滴水速度不变），图2
是容器中水高度随滴水时间变化的图像.
给出下列对应：（1）：（a）—（e） （2）：（b）—（f） （3）：（c）—（h） （4）：（d）—（g） 其中正确的是【 】 （A）（1）和（2） （B）（2）和（3） （C）（1）和（3） （D）（3）和（4）
（1）请你解答问题Ⅰ； （2）在解完问题Ⅱ后的全班交流中，有位同 学发现扇 1 形面积公式Ｓ扇形＝ 2 lR类似于三角形 面积公式；类比梯形面积公式，他猜想花 1 坛的面积S =（l1 + l2）d.他的猜想正确 2 吗？如果正确，写出推导过程；如果不正 确，请说明理由 .
4.考查知识间的联系
7.综合性问题：
例18.在平面直角坐标系内，函数 经过点A（1,4）、点B（a,b）其中a＞1.过点A 作x轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的垂线， 垂足为D，连接AD,DC,CB. （1）若△ABD的面积为4， 求点B的坐标； （2）求证：DC∥AB; （3）当AD=BC时，求直线AB的解析式.
例7.（2006太原）在学习扇形的面积公式时，同学们 nR 2 推得Ｓ扇形＝ 360 ，并通过比较扇形面积公式与弧 长公式l ＝ nR ，得出扇形面积的另一种计算方法Ｓ 180 1 扇形＝ 2 lR ． 接着老师让同学们解决两个问题： 问题Ⅰ.求弧长为4π，圆心角为120°的扇形面积. 问题Ⅱ.某小区设计的花坛形状如图中的阴影部分， 已知AB和CD所在圆心都是点O，AB的长为l1， CD的长为l2，AC=BD=d，求花坛的面积.
初三数学讲义
初三数学讲义几何初步一．课前练一练二．教学内容（一）教纲要求1、线段的定义、中点。
2、线段的比较、度量3、线段公理。
4、直线公理，垂线性质5、对顶角的性质。
6、平行线的性质、判定7、射线的定义。
8、射线的性质9、等角的余角(补角)相等、对顶角相等10、垂线、垂线段等概念、垂线段最短的性质11、用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线12、线段的垂直平分线及其性质13、探索平行线性质14、用三角尺和直尺过已知直线外一点作这直线的平行线15、度量两平行线间的距离（二）基础知识1. 两点确定一条直线，两点之间线段最短._______________叫两点间距离.2. 1周角＝__________平角＝_____________直角＝____________．3. 如果两个角的和等于90度，就说这两个角互余，同角或等角的余角相等；如果_____________________互为补角，__________________的补角相等.4. ___________________________________叫对顶角，对顶角___________.5. 过直线外一点心___________条直线与这条直线平行.6. 平行线的性质：两直线平行，_________相等，________相等，________互补.7. 平行线的判定：________相等,或______相等,或______互补，两直线平行.8. 平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直.（三）例题1．下图中，∠1和∠2是同位角的是2．一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数，则这个三角形的周长为（）A．10 B．12 C．14 D．163． 一个三角形的三个外角中，钝角的个数最少为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个4． 一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐弯的角度可以是（ ）A ．第一次向右拐40°，第二次向左拐140°B ．第一次向左拐40°，第二次向右拐40°C ．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°D ．第一次向右拐40°，第二次向右拐40°5． 如图（2）所示，1l ∥2l ，AB ⊥1l ，∠ABC=130°，那么∠α的度数为（ ） A ．60° B ．50° C ．40° D ．30°6． 适合C B A ∠=∠=∠3121的△ABC 是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定7． 一个n 边形的内角和等于它外角和的5倍，则边数n 等于（ ） A ．24 B ．12 C ．8 D ．6 8．如图,AD=12DB, E 是BC 的中点,BE=15AC=2cm,线段DE 的长,求线段DE 的长.9．(08益阳) 如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝12cm ，∠ABC ＝80°，BD 是∠ABC 的平分线，DE ∥BC ．(1) 求∠EDB 的度数； (2) 求DE 的长．EDBA图（2）21l l αCBA一、 教学练习1. 于直线AB ，线段CD ，射线EF ，在下列各图中能相交的是（ ）2. 如果1∠与2∠互补，2∠与3∠互余，则1∠与3∠的关系是（ ）A 、1∠=3∠B 、31801∠-︒=∠C 、3901∠+︒=∠D 、以上都不对3. P 为直线l 外一点，C B A 、、为l 上三点，且l PB ⊥，那么（ ）A 、PC PB PA 、、三条线段中PB 最短 B 、线段PB 叫做点P 到直线l 的距离C 、线段AB 是点A 到PB 的距离D 、线段AC 的长度是点A 到PC 的距离4. 如图，115︒∠=,90AOC ︒∠=,点B 、O 、D 在同一直线上，则2∠的度数为（ ）A 、75︒B 、15︒C 、105︒D 、165︒5. 在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40度方向，那么这艘船位于这个灯塔的（ ）A 、南偏西50度方向B 、南偏西40度方向C 、北偏东50度方向D 、北偏东40度方向（2） 作图并分析1、⑴在图上过A 点画出直线BC 、直线AC 的垂线；⑵在图上过B 点画出直线AC 的垂线，过C 点画出直线AB 的垂线。
初三数学讲义
初三数学总复习代数部分第一章：实数基础知识点：一、实数的分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成qp 的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。
2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。
3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。
二、实数中的几个概念1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
（1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数⇔a+b=02、倒数：（1）实数a （a ≠0）的倒数是a1；（2）a 和b 互为倒数⇔1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值：（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：⎪⎩⎪⎨⎧-==0,0,00, a a a a a a （2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。
4、n 次方根（1）平方根，算术平方根：设a ≥0，称a ±叫a 的平方根，a 叫a 的算术平方根。
（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
（3）立方根：3a 叫实数a 的立方根。
（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。
三、实数与数轴1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。
原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。
2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。
初三数学课堂讲义---相似
初三数学课堂讲义---相似学校 姓名Ⅰ.知识归纳1．几个重要概念与性质①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
②比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即ba ＝dc ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段。
2．比例的有关性质①比例的基本性质：如果d c b a =，那么ad=bc 。
如果ad=bc （a ，b ，c ，d 都不等于0），那么d c b a =。
②合比性质：如果d c b a =，那么d dc b b a ±=±。
③等比性质：如果d c b a ==∙∙∙=n m (b+d+∙∙∙+n ≠0)，那么ban d b m c a =+∙∙∙+++∙∙∙++ ④b 是线段a 、d 的比例中项，则b 2＝ad. 3．相似三角形的性质与判定：名称性质判定相似三角形①相似三角形对应角．．．相等； ②相似三角形对应线段．．．．（边、高、中线、角平分线）成比例；③相似三角形周长的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。
①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
②两角对应相等的两个三角形相似； ③三边对应成比例的两个三角形相似； ④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
多边形相似 相似多边形周长的比等于相似比；面积比等于相似比的平方对应角相等，对应边成比例的两个多边形相似补充：射影定理射影定理 直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图（１）：Ｒt △ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD ２＝ＢＤ•AD 、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。
（尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。
）图1ABCDEAD 图3E BCF GⅡ.典例剖析例1① 在比例尺是1：38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm ，则它的实际长度约为______Km 。
新入九年级数学教程讲义(九年级全册共34个课时)
新入九年级数学教程讲义(九年级全册共34个课时)1. 引言本教程讲义旨在为新入九年级的学生提供一份全面而简洁的数学研究指南。
通过系统性地研究本讲义的内容，学生将能够巩固和扩展他们在八年级学到的数学知识，并为进一步的研究打下坚实的基础。
2. 课时安排本教程共分为34个课时，每个课时涵盖了九年级数学的核心概念和重要技巧。
以下是每个课时的简要概述：- 课时1-4：代数运算及多项式- 课时5-8：线性方程及不等式- 课时9-12：函数与方程组- 课时13-16：平面几何基础- 课时17-20：平面几何进阶- 课时21-24：立体几何基础- 课时25-28：立体几何进阶- 课时29-32：概率与统计- 课时33-34：三角函数入门3. 研究目标通过研究本教程的内容，学生将能够达到以下目标：- 掌握基本的代数运算及多项式求解技巧- 理解线性方程及不等式的概念和解法- 学会函数与方程组的运用和解决- 掌握平面几何基础的知识和技巧- 进一步研究平面几何的高级概念和方法- 理解立体几何基础概念和计算技巧- 进一步研究立体几何的高级概念和解题方法- 掌握基本的概率与统计知识和计算技巧- 入门研究三角函数的基本概念和计算方法4. 研究资源为了更好地掌握本教程的内容，学生可以参考以下研究资源：- 本教程讲义：详细记录了每个课时的核心知识点和解题方法- 数学课本：作为补充材料，用于进一步巩固和扩展所学的数学知识- 题集：提供大量练题和解答，让学生能够熟练掌握所学内容- 在线研究平台：提供互动研究和辅导功能，帮助学生更好地理解和应用所学知识5. 总结通过认真研究本教程讲义，并结合其他研究资源的使用，学生将能够全面而系统地研究九年级数学课程。
希望本教程能够成为学生们研究数学的有力工具，帮助他们在数学领域取得优秀的成绩和进一步的发展。
初三数学讲义
初三数学讲义第一章：整数整数是数学中的基本概念之一，它包括正整数、负整数和零。
正整数是大于零的整数，负整数是小于零的整数，零是不大于也不小于零的整数。
我们可以通过数轴来表示整数，数轴上的每个点对应一个唯一的整数。
第二章：有理数有理数是整数和分数的统称，包括正有理数、负有理数和零。
有理数可以用分数的形式表示，其中分子和分母都是整数，并且分母不能为零。
有理数的加法、减法、乘法和除法运算规则与整数类似，我们可以通过运算法则来进行计算。
第三章：代数式代数式是由数、字母和运算符号组成的式子，它可以表示数与数之间的关系。
代数式中的字母代表未知数，可以根据具体情况进行求解。
代数式可以进行加法、减法、乘法和除法运算，也可以进行化简和展开等操作。
第四章：方程与不等式方程是含有未知数的等式，它表示两个代数式之间的相等关系。
方程的解是使得方程成立的未知数的值，可以通过变量的代入和化简来求解。
不等式是含有不等关系的代数式，通过不等式可以表示数的大小关系。
不等式的解是使得不等式成立的数的取值范围。
第五章：函数函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的值对应到一个因变量的值。
函数可以用图像、表格或公式来表示，通过函数可以描述数的变化规律。
函数包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等多种类型，每种类型函数都有其特定的性质和应用。
第六章：几何与图形几何是研究空间和图形性质的数学分支，它包括平面几何和立体几何两个方面。
平面几何研究二维图形，如点、线、面和多边形等；立体几何研究三维图形，如立方体、圆柱体、球体和锥体等。
通过几何可以研究图形的性质、相似关系、投影和旋转等问题。
第七章：统计与概率统计是研究数据收集、整理、分析和解释的学科，通过统计可以获取数据的规律和趋势。
概率是研究随机事件发生可能性的学科，通过概率可以预测事件发生的可能性。
统计与概率常常结合在一起应用，可以进行统计推断和概率计算，用来解决实际问题。
第八章：数学思维与方法数学思维是指运用数学知识和方法进行问题分析和解决的思维方式。
九年级(上册)数学讲义全
九年级(上册)数学讲义全
目录
1. 第一单元：数与式
2. 第二单元：一元一次方程与一元二次方程
3. 第三单元：图形与运动
4. 第四单元：图形的计算
5. 第五单元：统计与概率
第一单元：数与式
本单元主要介绍数与式的基本概念和运算方法。
学生将研究整数、有理数、实数等数的性质及运算法则，了解数与式在数学中的重要性。
第二单元：一元一次方程与一元二次方程
本单元重点研究一元一次方程和一元二次方程的解法和应用。
学生将掌握解一元一次方程的几何意义和解一元二次方程的方法，培养解实际问题的能力。
第三单元：图形与运动
本单元以平面图形和立体图形为主题，介绍图形的基本性质和
运动的概念。
学生将研究图形的特征、分类以及图形间的运动变化，提升几何思维能力。
第四单元：图形的计算
本单元主要介绍图形的计算方法。
学生将研究图形的面积、周长、体积等计算公式，掌握应用这些公式解决实际问题的技巧。
第五单元：统计与概率
本单元重点介绍统计与概率的基本概念和统计分析方法。
学生
将研究数据的收集、整理、描述和分析，了解概率的计算方法和应
用场景。
以上是九年级(上册)数学讲义的内容概要，通过学习这些知识，学生将能够全面提高数学素养，为进一步学习数学打下坚实的基础。
人教版初中数学同步讲义九年级上册第01讲 二次函数(解析版)
第01讲二次函数课程标准学习目标①二次函数的定义②2ax y =的图像与性质③2ax y =的平移与一般形式的平移1.掌握二次函数概念，能够通过二次函数的概念解决相关题目。
2.掌握2ax y =型二次函数的图像与性质，能够熟练解决有关题目。
3.掌握二次函数2ax y =与c bx ax y ++=2的平移，并能够通过平移规律解决相关题目。
知识点01二次函数的定义1.二次函数的定义：一般地，形如()02≠++=a c bx ax y 的函数叫做二次函数。
其中：x 是自变量，a 是函数解析式的二次项系数；b 是函数解析式一次项系数；c 是函数解析式的常数项。
()02≠++=a c bx ax y 又是二次函数的一般形式。
判断二次函数时，把二次函数化为一般形式，右边一定要是整式，最高次数是2且二次项系数不等于0。
题型考点：①判断二次函数关系。
②根据二次函数定义求值。
【即学即练1】1．如图，正方形ABCD和⊙O的周长之和为20cm，设圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，阴影部分的面积为Scm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（）A．一次函数关系，一次函数关系B．一次函数关系，二次函数关系C．二次函数关系，二次函数关系D．二次函数关系，一次函数关系【解答】解：由题意得，4y+2πx＝20，∴2y+πx＝10，∴y＝，即y与x是一次函数关系，∵S＝y2﹣πx2，即满足二次函数关系，故选：B．【即学即练2】2．下列函数中，是二次函数的是（）A．B．C．y＝2x2﹣2x+2D．y＝2x+2【解答】解；A．，关系式不是整式，故不是二次函数；B．，关系式不是整式，故不是二次函数；C．y＝2x2﹣2x+2，自变量的次数是2，且二次项的系数不为零，故是二次函数；D．y＝2x+2，自变量的次数不是2，是一次函数，不是二次函数；故选：C．【即学即练3】3．已知y＝m x|m﹣2|+2mx+1是y关于x的二次函数，则m的值为（）A．0B．1C．4D．0或4【解答】解：由题意得：|m﹣2|＝2，且m≠0，解得：m＝4，故选：C ．知识点02二次函数2ax y =的图像1.二次函数的图像：二次函数的图像是一条抛物线，有开口方向，顶点，对称轴。
初三数学基础知识讲义
初三数学基础知识讲义第一讲：数与式一、重点知识回顾1．实数分类(无理数)三个非负数 有效数字及科学记数法2．相反数 绝对值 倒数3．算术平方根 乘法公式 因式分解二、难点问题致疑非负数性质的应用；绝对值的化简；算术平方根的计算．三、例题分析：例1：在数轴上表示a 、b 、c 三个数的点的位置如图所示：化简：|c b ||c a ||b a |+--+-．分析：由图形可知：a>0，b<0，c<0得出：a －b>0，a －c>0，b ＋c<0．因此：原式)c b ()c a ()b a (++-+-==2a ．归纳：见数轴，首先确定a 、b 、c 的符号由此判断出a －b ，a －c ，b ＋c 的正负根据)0a (a |a |≥=，)0a (a |a |＜-=去掉绝对值符号．强化练习：1．当－1＜x ＜2时，化简22)2()1(-++x x ＝32．当a ＜0时，化简||2a a -a 2-=例2：7.3896精确到0.01的近似值为＿＿＿＿．保留四个有效数字的近似值为＿＿＿＿．分析：一个数的近似值精确到0.01，就要对千分位的数字进行四舍五入，结果为7.39有效数字的概念是指一个数字从左边第一个不是零的数字起到某一位数字起，所有数字称为有效数字．结果为7.390．归纳：这类问题的解决，关键要弄清概念．强化练习：(2007．淮安)温家宝总理在2007年政府工作报告中指出，今年全国财政安排农村义务教育经费2235亿元，将2235亿元用科学记数法表示为＿＿＿＿．310235.2⨯例3：已知：实数x 、y 满足0|2y 2x |1y 3x 2=+-+--则2x －34y ＋425算术平方根是________． 分析：∵0a ≥，|b |≥0．∴1y 3x 2--和|2y 2x |+-都是※※数． 又∵0|b |a =+，∴得出a=b=0．由此⎩⎨⎧=+-=--02y 2x 01y 3x 2解得⎩⎨⎧==3y 4x 代入原式=22433442=+⨯-⨯．22归纳：非负数，在实数中是一重要概念，常见的非负数有三个，|a|≥0，2b ≥0，c ≥0．应用非负数的性质时，通常需要进行配方、变形，这里提醒考生注意．强化练习：1．若|a －b ＋1|与4b 2a ++互为相反数，求2008)b a (-的值．(1)2．△ABC 的三边长分别为a ，b ，c 且a ，b 满足04b 4b 1a 2=+-+-．求c 的取值范围．(1＜c ＜3)3．已知2x 44x y +-+-=．求3xy 的值．(24) 例4：已知：2008y1x 1=-．求y x y 2y x +-⨯+-的值． 分析：此类题从应两方面入手． 从已知加以变形2008x yx y =-．∴xy 2008x y =-． 另一方面从所求代数式入手，原式=x y y 2)x y (-⨯+-- 再将上面结果整体代入：原式10041003x y 2008x y 2x y 2008-=+-= 归纳：这类化简题目很多，常见方法是进行恒等变形，整体代入，变形的技巧是代数式的各种法则的应用．强化练习：1．如果3a 1a =+，则=+22a1a _______(7) 2．已知：01b a 2=-+，求)b a (1b a a )b a (22-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++-的值 (1)3．(2007．天津)已知：x ＋y=7．xy=12．当x ＜y 时，计算y 1x 1-的值． (2007·济南) 4．已知：21x 6=-，2y y 2=-．化简 )754()755(22x xy y x x xy y x -+--+ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2141或 ⎪⎭⎫ ⎝⎛21 例5：计算1121=－，3122=－，7123=－，15124=－，31125=－．……归纳各计算结果中28个位数字规律，猜测122008- 28个位数字是______．分析：对找规律的题目，关键在于认真观察题目所给已知条件，尽可能多的把过程写出来，并按顺序加以排列，发现每隔4个数，结果中的个位数字相同，抓住这个特色，用2008÷4=502，余数为0，说明22008－1的个数字为5．归纳：找规律的题目，最重要的是观察题目特色，对较复杂的题目，需要展示变化过程排序． 强化练习：1．(2007．山东)根据以下10个乘积，回答问题．11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．(1)将以上各乘积分别写成一个“22－○ ”的形式，并写出其中一个的思考过程．(2)将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来．(3)试由(1)(2)猜想一个一般性的结论(不要求证明)． 402211=+==+=+n n b a b a b an n b a b a b a b a -≥-≥-≥- 332211n n b a b a b a b a ≤≤≤≤ 3322112．(2006·北京)用“”定义新运算，对于任意实数a 、b ，都有a b=1b 2+，例如74=24＋1=17．那么53=__10__，当以为实数时． m (m 2)=________． (26)3．有一个数位转换器，原理如图当输入的x 为64时，输出的是_______)22(输入x 算术平方根输入y是有理数 是无理数例6：计算：221145cos )3.14(-⎪⎭⎫ ⎝⎛--︒+︒-π 分析：掌握各个概念0a =1(a≠0)．2245cos =︒． 0122＜-，422122==⎪⎭⎫ ⎝⎛-． 代入：原式22242211--=--+=． 强化练习：1．01)31()32(12+-+- )333(+=) 2．已知m=－2，求3m 29m 63m m 2-÷--+的值．(－5) 3．已知12x -=，12y +=，求xy y x +的值．(6) (一)、例7：已知：a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数． 求b a cd b a b a +-+-2222的值． 分析： a －b 互为相反数，∴0b a =+．∴22b a =，1ba -=． 又c 、d 互为倒数，∴1cd =．因式原式=2)1(10-=-+-．强化练习：1．已知：x 、y 是实数，且2)1y x (-+与4y x 2+-互为相反数．求x y 的负倒数． (－2) 2．已知m 是满足3-＜a ＜6的所有实数a 的和．N 是满足不等式2237x －≤的最大整数解．求m ＋N 的平方根． (±2)．3．13．甲、乙两人两次同时在同一粮店购买粮食(假设两次购买粮食的单价不同)，甲每次买100kg ，乙每次购买粮食用去100元．设甲、乙两人第一次购买粮食的单价为x 元/kg ，第二次单价为y 元/kg ．(1)用含x 、y 的代数式表示甲两次购买粮食共需付款_____元，乙两次共购买______kg 粮食．(2)若甲两次购买粮食的平均单价为每千克1Q 元，乙两次购粮的平均单价为每千克2Q 元，则1Q =_______，则2Q =______．(3)若规定谁两次购粮的平均价格低，谁的购粮方式就更合算，请你判断甲、乙两个的购粮方式哪一个更合算些，并说明理由．答案: (1))y 100x 100(+ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y 100x 100 (2)29x Q 1+=，y x 2x y Q 2+= (3)0Q Q 21＞- ∴二次购粮方式全合并．(二)、练习4：有一道题“先化简、再求值”．4x 14x x 42x 2x 22-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-，其中3x -=．小玲做题时把“3x -=”错抄成了“3x =”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事?提示：化简得4x 2+，无论3x =或3-结果都一样． 练习5：课堂上，李老师给出大家这样一道题，当x=3，225-，37+时． 求代数式1x 2x 21x 1x 2x 22+-÷-+-的值． 小明一看“太复杂了，怎么弄呢?”．你能帮助小明解决这个问题吗?请你写出具体过程． 提示：化简得21，与x 无关． (三)、例8：阅读下列材料并解决有关问题：我们知道⎪⎩⎪⎨⎧-==)0()0(0)0(||＜＞x x x x x x 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x ＋1|+|x －2|时，可令x ＋1=0和x －2=0，分别求得x=－1，x=2(称－1，2分别为|x ＋1|与|x －2|的零点值)．在实数范围内，零点值x=－1和x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：(1)x ＜－1；(2)－1≤x ＜2；(3)x ≥2．从而化简代数式|x ＋1|+|x －2|可分以下3种情况：(1)当x ＜－1时，原式=－(x ＋1)－(x －2)=－2x ＋1；(2)当－1≤x ＜2时，原式=x ＋1－(x －2)=3；(3)当x ≥2时，原式=x ＋1＋x －2=2x －1．综上讨论，原式=⎪⎩⎪⎨⎧---+-.)2x (1x 2)2x 1(3)1x (1x 2≥，＜≤，＜通过以上阅读，请你解决以下问题：(1)分别求出|x ＋2|和|x －4|的零点值；(2)化简代数式|x ＋2|+|x －4|．提示：(1)求|x ＋2|和|x －4|的零点值．x=－2和x=4．(2)化简|x ＋2|+|x －4|当x ＜－2时，原式=－(x ＋2)－(x －4)=2－2x当－2≤x ＜4时，原式=(x ＋2)－(x －4)=6当x ≥4时，原式=(x ＋2)＋(x －4)=2x －2．概括：遇到几个绝对值的和的化简，应按照上例所说，取零点，分段化简，这是解这类题的基本方法．强化练习：1．化简：|x －1|－|2x ＋6|提示： 当x ＜－3时，原式=x+7当－3≤x ＜1时，原式=-3x-5当x ≥1时，原式=-x-72．观察下列各式及其验证过程：322322+=． 验证：322122)12(2122223232222233+=-+-=-+-==． 833833+=． 验证：833133)13(3133)33(8383322233+=-+-=-+-==． (1)按照上述两等式及其验证过程的基本思路猜想1544的变形结果，并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用n(n 为自然数，且n ≥2)表示的等式，并给予证明． 提示：(1)15441544+=(验证：略) (2)1n n n 1n n n22-+=-．(证明略)第二讲：方程(组)及不等式(组)一、重点知识回顾：1．方程、方程解的概念．2．一元二次方程的四种解法及根的判别式．3．分式方程及增根的判断．4．不等式性质(3)的应用．5．列方程(组)、不等式(组)解应用题．二、难点问题致疑1．方程解的应用．2．增根的判断．3、解应用题．三、例题分析：例1：(2007·兰州)已知关于x 的方程mx ＋2=2(m －x)的解满足0121x =--．求m 值． 分析：方程的解满足方程．由0121x =--，求出x 的值．21x 23x 21-==，，代入原方程，求出10m 1=，52m 2= 强化练习：1、(2007·青海)已知二元一次方程组⎩⎨⎧=-=-.3n m 4n 2m 则m ＋n=_____(－1) 2、(2007·杭州)专项P16=10．(略)3、若⎩⎨⎧=-=3y 2x 且方程3x －3y=m 和5x ＋y=n 的公共解．求n 3m 2-的值．(246) 例2：如图，是一个正方体的展开图，标注字母“a ”的面是正方体的正面．如正方体相对的两个面上的代数式的值相等．求x 、y 的值．分析：首先要弄清正方体的展开图中哪两个面是相对的面．再根据题意相对两个面的代数式的值相等．列出方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+=5x 2y x 51y 3a 解为⎩⎨⎧==1y 3x 强化练习：1．一副三角板按如图方式摆放，且∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1=x °， ∠2=y °，则可得到方程组为( D )A ．⎩⎨⎧=+-=180y x 50y xB ．⎩⎨⎧=++=180y x 50y xC ．⎩⎨⎧=+-=90y x 50y xD ．⎩⎨⎧=++=90y x 50y x 2、如下图所示，在3×3的方格内，填写了一些代数式和数．(1)图①中各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出x 、y 的值；(2)把满足①的其他6个数填入图②中的方格内．提示: 2x+3+2=2+(-3)+4y=2x+y+4y ⎩⎨⎧=-=1y 1x3、(2007·北京)在五环图案内，分别填写五个数a ，b ，c ，d ，e ，如图，，其中a ，b ，c ，是三个连续偶数(a<b)，d ，e 是两个连续奇数(d ＜e)，且满足a ＋b ＋c=d ＋e ，例如．请你在0到20之间选择另一组符合条件的数填入下图： ． 答案:结果不唯一,可以是6,8,10,11,13 ; 还可以是10,12,14,17,19.例3：已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧--6m x 2m 21x 31＜＜的解集为3m 6x +＜，求m 的取值范围．分析：不等式组的解集是不等式组中每个不等式解集的公共部分，解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧++2m3x 3m 6x ＜＜，∵解集为3m 6x +＜，如图，∴6m ＋3≤3＋2m ，解得：m ≤0．值得注意的是：2336m m +=+，也是m 范围中的值． 强化练习：1．已知关于x 的不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集为x ＜1．求a 的取值范围．(a ＜－1)．2．不等式组⎩⎨⎧-+1x 42x 3a x ＜＞的解集为x ＞3，求a 的取值范围．(a ＜3)．3．关于x 的不等式组⎩⎨⎧---0a x 1x 25＞≥无解．求a 的取值范围．(a ＞3) 例4：某校初三(2)班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元，捐款情况如下表：表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．若设捐款2元的有x 名同学，捐款3元的有y 名同学，根据题意，可得方程组( )A ．⎩⎨⎧=+=+66y 3x 227y x B ．⎩⎨⎧=+=+100y 3x 227y x C ．⎩⎨⎧=+=+66y 2x 327y x D ．⎩⎨⎧=+=+100y 2x 327y x 分析：列方程解应用题，最重要的了解题意，寻找相等的系列方程，题目中给出两个已知条件．一是学生总数为40人，二是40人共捐款100元．其它条件在一被墨水污染看不清楚的表格中，分析其中条件发现：捐一元钱的人数是6人，捐4元钱的有7人，那么可没捐2元钱的人数为x ，捐3元钱的人数为y 人．则总人数40=6＋x ＋y ＋7，总钱数100=1×6＋2x ＋3y ＋4×7．化简得⎩⎨⎧=+=+66y 3x 227y x 此题可解． 概括：解应用题过程中，若遇到的问题比较复杂，一般可采取列代数式，列表和图示法进行分析，只要把题目中的已知是未知量及隐含在题目中的相等关系找出来，应用题就不难解决了．强化练习：1．2006年“五·一”节，小华、小颖、小明相约到“心连心”超市调查“农夫山泉”矿泉水的日销售情况．图2-3-1是调查后三位同学进行交流的情景．请你根据上述对话，解答下列问题：(1)该超市的每瓶“农夫山泉”矿泉水的标价为多少元；(2)该超市今天销售了多少瓶“农夫山泉”矿泉水．(温馨提示：利润=售价－进价 利润率= 进价利润100%) 解: 设每瓶矿泉水的标价为x, 根据对话易得: 80%x-1=20%*1解得x=1.5(元) 售价=80%*1.5=1.2(元) ,则共销售了360/1.2=300(瓶).2．右图是一个数表，现用一个矩形在数表中任意框出4个数，则(1)a ，c 的关系是：_______，(2)当a ＋b ＋c ＋d=32时，a=_______．(c=a ＋5，a=5)例5：某学校计划组织385名师生租车去旅游，现知道出租公司有42座和60座两种客车，42座客车的租金为每辆320元，60座客车的租金为每辆460元。
初三数学学生辅导讲义
初三数学学生辅导讲义一、 知识要点：1．把b a 的值叫做线段b a ,的比，若d cb a =，则称线段dc b a ,,,成比例线段。
2．bc ad d c b a dcb a =⇔=⇔=::，其中dc b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例项，d a ,称为外项，c b ,称为内项；外项的积等于内项的积。
3．n1=实际距离图上距离，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位4．比例性质：①基本性质：bc ad d c b a =⇔=；②反比性质：c d a b d c b a =⇔=； ③更比性质：ab c a d c b a =⇔=； ④合比性质：d bc b b ad c b a ±=±⇔=；⑤等比性质：n n b a b a b a b a === 332211，则112121b ab b b a a a n n =+++++ 5．比例中项：若ac b =2，则称b 是ac 的比例中项6．若点P 分线段AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则称点P 是线段AB的黄金分割点； 7．215,215--==较长线段较短线段整条线段较长线段叫做黄金比值。
二、 例题分析：例1．下列各组中的四条线段成比例的是( )A.a =2，b =3，c =2，d =3B.a =4，b =6，c =5，d =10C.a =2，b =5，c =23，d =15D.a =2，b =3，c =4，d =1例2. 已知线段a 、b 、c 、d 满足ab =cd ，把它改写成比例式，错误的是( )A.a ∶d =c ∶bB.a ∶b =c ∶dC.d ∶a =b ∶cD.a ∶c =d ∶b 例3. 若a =2,b =3,c =33,则a 、b 、c 的第四比例项d 为________ 例4. 若ac =bd ，则下列各式一定成立的是( )A.dc b a =B.c c b d d a +=+C.c dba =22 D.dacd ab = 例5. 已知dcb a =,则下列式子中正确的是（ ） A. a ∶b =c 2∶d 2B. a ∶d =c ∶bC. a ∶b =（a +c ）∶（b +d ）D. a ∶b =（a －d ）∶（b －d ） 例6．已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ，求c b a 23-+的值。
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初三数学讲义（10）（圆） 知识梳理：1.圆定义：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合2. 垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
（不能直接用）即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD3. 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD4. 圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠BD圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
5. 圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
6. 切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
7、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵PA 、PB 是的两条切线∴PA PB = PO 平分BPA ∠BA基本问题：1.如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于?（??）?（A ） 15?（B ） 30??（C ） 45?（D ） 60AB C OD1题 2题2. 等腰△ABC 的顶角A ＝120°，腰AB ＝AC ＝10，△ABC 的外接圆半径等于（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 53. 已知P 为⊙O 内一点，且OP ＝3cm ，如果⊙O 的半径是4cm ，那么过P 点的最短弦等于（ ）A. 2cmB. 3cmC.7cmD. 27cm4. 下列判断正确的是（ ）①平分弦的直径垂直于弦；②平分弦的直线也平分弦所对的两条弧 ③弦的中垂线必定平分弦所对的两条弧；④平分一条弧的直线必定平分这条弧所对的弦 5. 圆的半径等于4cm ，圆内一条弦长43cm ，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于_____________；6. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则sin CBE ＝ （ ）A.63. B. 23. C. 13. D. 1010.6题 7题7. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于?（??）（A ）54?（B ）45?（C ）43（D ）65AFBECD8. 如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 的延长线交于点E ，若DE=OB ， ∠AOC=84°，则∠E 等于( )° ° ° ° 拓展问题：9.如图，AB 是半圆的直径，点C 平分⌒AB，点D 平分⌒AC ，DB 、CA 交于点E ，则=BEDE ______.9题 10题 10. 如图，在?ABC 中，?C=90?，D 、E 分别是BC 上的两个三等分点，以D 为圆心的圆过点E ，且交AB 于点F ，此时CF 恰好与⊙D 相切于点F. 如果AC=245，那么⊙D 的半径=__________. 11. 如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点P 在劣弧AB 上，连结DP ，DP 交AC 于点Q ，若QP=QO ，则QAQC的值为 ．12. 如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，∠BAC=60°，H 为边AC 、AB 上的高BD 、CE 的交点，在BD 上取点M ，使BM=CH ． (1) 求证：∠BOC=∠BHC ； (2) 求证：△BOM ≌△COH ； (3) 求OHMH的值E综合问题13.如图，△ABC 中，以BC 为直径的圆交AB 于点D ，∠ACD =∠A BC ．（1）求证：CA 是圆的切线；（2）若点E 是BC 上一点，已知BE =6，tan ∠ABC =32，tan ∠AEC =35，求圆的直径．14. 如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径,点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD PA ，垂足为D .(1) 求证：CD 为⊙O 的切线；(2) 若DC +DA =6，⊙O 的直径为10，求AB 的长度.15. 如图，BD 为⊙O 的直径，AB =AC ，AD 交B C 于点E ，AE =2，ED =4，(1)求证：△ABE ∽△ADB ；(2)求AB 的长；(3)延长DB 到F ，使得BF =BO ，连接FA ，试判断直线FA 与⊙O 的位置关系，并说明理由．DOE BA ED16. 如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；（3）若BC=6，tan∠F=12，求cos∠ACB的值和线段PE的长．17.如图，已知⊙M与x轴交于A、D两点，与y轴正半轴交于B点，C是⊙M上一点，且A（-2，0），B（0，4），AB=BC。
（1）求M的坐标；（2）求四边形ABCD的面积；（3）过C点作弦CF交BD于E点,当BC=BE时，求CF的长度.课后作业1.如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧AmB上的一点，则tan APB的值是【】A．1 B．22C．33D．32. 如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为【】A．3 B．4 C．32D．243. 如下图OA=OB=OC且∠ACB=30°，则∠AOB的大小是【】°°°°4. 如图，AB是⊙O的直径，C．D是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于【】A40°B． 50°C．60°D．70°5. 如图，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，则【】A .EF>AE+BF B. EF<AE+BF =AE+BF ≤AE+BF6. 如图，已知AB为⊙O的直径，AD切⊙O于点A, EC CB，则下列结论中一定正确的有（）个.(1)BA⊥DA (2)OC∥AE (3)∠COE=2∠CAE (4)OD⊥AC7. 如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，点M在PB上，且OM∥AP，MN⊥AP，垂足为N．（1）求证：OM=AN；（2）若⊙O的半径R=3，PA=9，求OM的长．8. 如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O 于点F，且CE=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=513，求⊙O的半径．9. 如图，在平面直角坐标系中，ABC △的边AB 在x 轴上，且OA OB >，以AB 为直径的圆过点C ．若点C 的坐标为(02)，，5AB =，A 、B 两点的横坐标A x ，B x 是关于x 的方程2(2)10x m x n -++-=的两根． （1）求m 、n 的值；（2）若ACB ∠平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，试求直线l 对应的一次函数解析式； （3）过点D 任作一直线l '分别交射线CA 、CB （点C 除外）于点M 、N ．则11CM CN+的是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．作业答案：;；；；；；；8.48305，；9. 解：（1）5m =-，3n =-．32y x =+．（3）过点D 作DE AC ⊥于E ，DF CN ⊥于F ． CD 为ACB ∠的平分线，DE DF ∴=． 由MDE MNC △∽△，有DE MD CN MN =由DNF MNC △∽△，有DF DNCM MN=1DE DF MD DNCN CM MN MN∴+=+=，即111CM CN DE +=='图（3）l '。