求解二次规划问题
c++ osqp例子
c++ osqp例子
以下是一个使用C++和OSQP库求解二次规划问题的例子：
1. 安装OSQP库并在C++代码中包含osqp头文件：#include "osqp.h"
2. 创建二次规划问题的数据。
例如，考虑以下二次规划问题：
min 0.5*x^2 + 2*y
s.t. x + y <= 3
x, y >= 0
在这个例子中，目标函数是一个二次函数，约束条件是线性的。
你可以根据实际问题修改目标函数和约束条件。
要使用OSQP库求解这个问题，你需要创建一个OSQP问题对象，并将目标函数和约束条件传递给它。
然后，调用OSQP的求解函数求解问题。
最后，你可以检查求解结果，以确定问题是否有解以及解的质量如何。
请注意，这只是一个简单的例子，实际问题可能会更加复杂。
你可能需要根据问题的具体情况进行适当的修改和调整。
有关OSQP库的更详细信息和其他示例，请参考OSQP的官方文档或其他相关资源。
qp算法的c语言实现
qp算法的c语言实现简介qp算法（Quadratic Programming Algorithm）是一种用于求解二次规划问题的优化算法。
二次规划问题是指目标函数为二次型，约束条件为线性等式或不等式的优化问题。
qp算法通过迭代寻找目标函数的极小值点，以及满足约束条件的最优解。
在本文中，我们将介绍如何使用C语言来实现qp算法，并提供一个简单的示例来说明其使用方法。
算法原理qp算法通过将二次规划问题转化为一系列线性规划子问题来求解。
具体而言，它将原始问题转化为一个等价的对偶问题，并利用对偶问题中的特性来进行求解。
qp算法基于拉格朗日乘子法和KKT条件（Karush-Kuhn-Tucker conditions）。
拉格朗日乘子法通过引入拉格朗日乘子来构建一个增广拉格朗日函数，将原始问题转化为一个无约束优化问题。
KKT条件则是指在最优解处，原始问题和对偶问题满足一系列约束条件。
qp算法主要分为两个阶段：预处理阶段和迭代阶段。
预处理阶段主要用于计算一些必要的矩阵和向量，并进行一些初始化操作。
迭代阶段则是通过不断更新变量来逐步接近最优解。
C语言实现下面我们将介绍如何使用C语言来实现qp算法。
首先，我们需要定义一些必要的数据结构和变量。
#include <stdio.h>#include <stdlib.h>typedef struct {double *H; // Hessian矩阵double *f; // 线性项double *A; // 不等式约束系数矩阵double *b; // 不等式约束常数向量int n; // 变量个数int m; // 不等式约束个数} QPProblem;typedef struct {double *x; // 最优解向量double obj; // 目标函数值} QPSolution;在定义了必要的数据结构后，我们可以开始实现qp算法的各个函数。
求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法
求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法——最优化方法课程实验报告学院：数学与统计学院班级：硕2041班姓名：王彭学号：3112054028指导教师：阮小娥同组人：钱东东求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法摘要二次规划师非线性优化中的一种特殊情形，它的目标函数是二次实函数，约束函数都是线性函数。
由于二次规划比较简单，便于求解（仅次于线性规划），并且一些非线性优化问题可以转化为求解一些列的二次规划问题，因此二次规划的求解方法较早引起人们的重视，称为求解非线性优化的一个重要途径。
二次规划的算法较多，本文仅介绍求解等式约束凸二尺规划的拉格朗日方法以及求解一般约束凸二次规划的有效集方法。
关键字：二次规划，拉格朗日方法，有效集方法。
- 1 -《最优化方法》课程实验报告- 2 - 【目录】摘要........................................................................................................................... - 1 -1 等式约束凸二次规划的解法............................................................................... - 3 -1.1 问题描述.................................................................................................... - 3 -1.2 拉格朗日方法求解等式约束二次规划问题............................................ - 3 -1.2.1 拉格朗日方法的推导...................................................................... - 3 -1.2.2 拉格朗日方法的应用...................................................................... - 4 -2 一般凸二次规划问题的解法............................................................................... - 5 -2.1 问题描述.................................................................................................... - 5 -2.2 有效集法求解一般凸二次规划问题........................................................ - 6 -2.2.1 有效集方法的理论推导.................................................................. - 6 -2.2.2 有效集方法的算法步骤.................................................................. - 9 -2.2.3 有效集方法的应用........................................................................ - 10 -3 总结与体会......................................................................................................... - 11 -4 附录..................................................................................................................... - 11 -4.1 拉格朗日方法的matlab程序................................................................. - 11 -4.2 有效集方法的Matlab程序 .................................................................... - 11 -求解二次规划问题的拉格朗日及有效集方法- 3 -1 等式约束凸二次规划的解法1.1 问题描述我们考虑如下的二次规划问题⎪⎩⎪⎨⎧=+b Ax t s x c Hx x T T ..,21min (1.1) 其中n n R H ⨯∈对称正定，n m R A ⨯∈行满秩，n R x c,∈，m R b ∈。
裘布依公式范文
裘布依公式范文裘布依公式（also known as Juebu Yi formula）是一个用来解决二次多项式最优化问题的公式。
它最早由英国数学家艾伦·喬治·裘布依（Alan George Joubert）在1911年提出，得到了广泛的应用和研究。
裘布依公式在工程、经济学和运筹学等领域都有重要的应用。
x = \frac{-b ± \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]其中，a、b和c都是常数，且$a \neq 0$。
这是一个二次方程的解析解，可以得到方程的根x。
裘布依公式基于这个二次方程的特点，对于给定的a、b和c，可以通过计算出根的值来解决相应的最优化问题。
\underset{x}{\text{minimize}} \quad \frac{1}{2} x^TAx + bx \]其中，A是一个对称矩阵，x是一个向量，b是一个常数。
约束条件可以表示为：\begin{align*}Ax &\geq b \\Cx&=d\\Fx &\leq g\end{align*}\]其中，C和F是矩阵，d和g是向量。
裘布依公式可以用来求解这个二次规划问题的最优解。
具体来说，裘布依公式可以通过将二次规划问题转化为一个等价的线性规划问题来解决。
线性规划问题是一个目标函数为线性函数，约束条件为线性函数的最优化问题。
通过裘布依公式，可以将二次规划问题转化为一个等价的线性规划问题，然后利用线性规划的常规方法来求解最优解。
裘布依公式的应用不仅限于二次规划问题。
在经济学中，裘布依公式可以用来求解最大化利润的方程，最小化成本的方程等。
在工程学中，裘布依公式可以应用于优化问题的设计和优化，如最优化控制问题、最优化参数估计问题等。
总之，裘布依公式是一个重要的数学工具，可以用来解决二次多项式最优化问题。
它的应用广泛，并且不仅限于二次规划问题，还可以推广到更高次的多项式。
裘布依公式为解决最优化问题提供了一种有效的方法和工具。
二次规划基本介绍
二次规划基本介绍二次规划（Quadratic Programming，简称QP）是数学规划的一种特殊形式，它的目标函数是二次函数，约束条件是线性函数。
在实际应用中，二次规划被广泛应用于经济学、运筹学、工程学等领域，具有重要的理论和实际意义。
二次规划的一般形式可以表示为：$$\begin{aligned}\min_{x} \quad & \frac{1}{2} x^T Q x + c^T x \\\text{s.t.} \quad & Ax \ge b \\&Cx=d\end{aligned}$$其中，$x$是优化变量，$Q$是一个对称正定的矩阵，$c$、$b$、$d$都是列向量，$A$、$C$是约束矩阵。
在约束条件中，$Ax \ge b$表示一组不等式约束，$Cx = d$表示一组等式约束。
二次规划的优化目标是寻找满足约束条件的$x$，使得目标函数最小。
目标函数由两部分组成，一部分是二次项，一部分是线性项，其中$Q$是二次项的系数矩阵，$c$是线性项的系数向量。
由于$Q$是一个对称正定矩阵，所以二次项是凸的，使得问题具有良好的性质。
二次规划的解法有多种方法，以下介绍其中两种常用的方法：内点法和激活集方法。
内点法是一种迭代求解二次规划问题的方法。
它通过将二次规划问题转化为一系列等价的线性规划问题来求解。
在每一次迭代中，内点法通过将问题的方向限制在可行域的内部，逐渐逼近最优解。
使用内点法求解二次规划问题的一个优点是，可以在多项式时间内找到最优解，尤其适用于大规模的问题。
激活集方法是一种基于约束的求解方法。
它通过不断修改约束条件，从而求解二次规划问题。
在每一次迭代中，激活集方法选取一个子集，称为“激活集”，包含满足等式约束、不等式约束等的约束条件。
然后通过解析方法或数值方法求解这个子问题，得到对应的最优解。
该方法的优点是，可以很好地处理不等式约束和等式约束，并且收敛性良好。
除了内点法和激活集方法，还有其他的求解方法，如：序列二次规划、信赖域算法、光滑方法等。
MATLABquadprog函数求解二次规划问题
MATLABquadprog函数求解⼆次规划问题【例】求如下⼆次规划问题。
【分析】⾸先应该把⽬标函数表⽰成如下矩阵形式：这⾥要细说⼀下如何写成矩阵形式。
⾸先，向量x是很容易写出的，因为f(x)包含两个变量x1和x2，因此其次，向量f只与两个变量x1和x2的⼀次项有关，所以f T x=-2x1-6x2，因此最后，矩阵H只与两个变量x1和x2的⼆次项有关，所以，这⾥要注意的是不同于⼆次型，这⾥有个系数1/2，所以矩阵H的元素是⼆次型中的矩阵元素⼤⼩的两倍。
给出⼀个规律：设矩阵H第i⾏第j列的元素⼤⼩为H(i,j)，⼆次项x i x j的系数为a(i,j)，则本例中，，这是由于x1的平⽅项（即x1x1）系数为1/2，所以第1⾏第1列的元素为1=2*(1/2)，x2的平⽅项（即x2x2）系数为1，所以第2⾏第2列的元素为2=2*1，x1x2项（即x2x1）的系数为-1，所以第1⾏第2列和第2⾏第1列的元素均为-1。
⽬标函数搞定之后，下⾯来看约束条件部分，约束条件应该写成如下形式：本例中约束条件只有不等式约束，因此A eq和b eq为空，对于A和b很容易就可以得出来：⽽约束条件中对变量x1和x2只给出下限，没有给上限，因此ub为空，得到了所有的参数，将参数输⼊MATLAB，编程如下：（代码是直接在Command Window中⼀⾏⼀⾏录⼊的，所以每⾏前⾯有符号“>>”）>> H = [1 -1; -12];>> f = [-2; -6];>> A = [11; -12; 21];>> b = [2; 2; 3];>> lb = [0; 0];>> [x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[],[],lb)输出以下结果：Warning: Large-scale algorithm does not currently solve this problem formulation,using medium-scale algorithm instead.> In quadprog at 291Optimization terminated.x =0.66671.3333fval =-8.2222exitflag =1output =iterations: 3constrviolation: 0algorithm: 'medium-scale: active-set'firstorderopt: []cgiterations: []message: 'Optimization terminated.'lambda =lower: [2x1 double]upper: [2x1 double]eqlin: [0x1double]ineqlin: [3x1 double]参考⽂献：【1】孙⽂瑜, 徐成贤,朱德通.最优化⽅法(第⼆版)[M]. 北京:⾼等教育出版社, 2010.【2】龚纯，王正林. 精通MATLAB最优化计算[M].北京: 电⼦⼯业出版社,2009.【3】lnsunqingshen, 464518439., 百度知道，2011-06-20.【4】李明强.⼏类特殊凸⼆次规划问题的求解算法研究[D].⼭东科技⼤学,2013 .【5】于绍慧.边界约束凸⼆次规划的求解[D].南京航空航天⼤学,2005.。
quadprog函数的介绍和应用
二次规划问题1.二次规划及其基本思想二次规划问题是最简单的非线性规划问题，它是指约束为线性，目标函数为二次函数的优化问题，这类优化问题在非线性规划中研究得最早，也研究得最成熟。
二次规划迭代法的基本思想是把一般的非线性规划问题转化为一系列二次规划问题进行求解，并使得迭代点能逐渐向最优点逼近，最后得到最优解。
如果某非线性规划的目标函数为自变量的二次函数，约束条件全是线性函数，就称这样规划为二次规划。
其数学模型为：2.二次规划问题的数学模型⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=≤+ubx lb beq x Aeq bAx t s x f Hx x TT x ·..21min ，式中，H ，A 和Aeq 为矩阵；f,b, beq, lb, ub, 和x 为向量。
3.QuadProg 函数quadprog 函数可以求解二次规划问题。
quadprog 函数的几种调用格式：•x=quadprog(H,f,A,b)这个函数的功能是：用来解最简单，最常用的模型：x f Hx x T T +21Subject tobAx ≤•x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)仍然求解上面的问题，但添加了等式约束条件Aeq*x=beq。
•x=quadprog(H,f,A,b,lb,ub,)定义设计变量的下届Ib和上界ub,使得lb<=x<=ub。
•x=quadprog(H,f,A,b,lb,ub,x0)功能同上，并设置初值x0。
•x=quadprog(H,f,A,b,lb,ub,x0,options)根据options参数指定的优化参数进行最小化。
以上通用格式为x=quadprog(problem)√problem 结构字段说明字段说明字段说明H二次规划中的二次项矩阵lb自变量下界约束f二次规划中的一次项向量ub自变量上界约束Aineq线性不等约束的系数矩阵x0初始点bineq线性不等约束的右端向量solver求解器，为“quadprog”Aeq线性等式约束的系数矩阵options options结构beq线性等式约束的右端向量•[x,fvaI]=quadprog(H,f,A,b)这个函数的功能是，返回解x 处的目标函数值，即二次规划的极值fval=•[x,fvaI,exitfIag]=quadprog(H,f,A,b)返回exitfIag 参数，描述计算的退出条件。
二次规划资料
向。
内点法的改进
• 修正内点法：引入正则化项，提高内点法的稳定性和收敛性。
• 梯度投影法：利用梯度的投影性质，简化内点法的计算。
• 并行内点法：利用多核处理器并行计算，提高计算速度。
修正牛顿法
修正牛顿法原理
• 基本思想：引入正则化项，使得海森矩阵具有更好的条件数。
• 更新公式：^(k+1) = ^k - ^(-1)^k - ^(-1)，其中为步长因子。
• 敏感性分析图：绘制模型结构与最优解的关系图，直观
的可行域，从而影响最优解的值和位置。
展示模型结构变化对最优解的影响。
06
二次规划问题的拓展与推广
多目标二次规划问题
多目标二次规划问题
• 定义：多目标二次规划问题是一类求解多个目标函数的二次规划问题，目标函数
之间可能存在冲突或权衡。
• 决策变量：多目标二次规划问题需要求解一组决策变量的最优值。
非线性二次规划问题
• 定义：非线性二次规划问题是一类目标函数或约束条件为非线性函数的二次规划
问题。
• 决策变量：非线性二次规划问题需要求解一组决策变量的最优值。
• 目标函数：非线性二次规划问题的目标函数是一个非线性二次多项式函数，通常
表示为最小化形式。
非线性二次规划问题的求解方法
• 转化为线性问题：通过变量替换或线性化方法，将非线性二次规划问题转化为线性
参数变化对最优解的影响
敏感性分析的方法
• 目标函数系数变化：目标函数系数的变化会影响最优解
• 参数扫描：遍历参数取值范围，观察最优解的变化情况。
的值和位置。
• 敏感性分析图：绘制参数与最优解的关系图，直观展示
• 约束条件变化：约束条件的变化会影响最优解的可行域，
二次规划问题的一个解法及几点注记
二次规划问题的一个解法及几点注记二次规划问题是指在线性规划模型中，目标函数和约束条件均为二次函数的问题。
常见的解法有坐标下降法和半正定性法。
下面是关于二次规划问题的一个解法（坐标下降法）及几点注记。
解法：坐标下降法是一种求解二次规划问题的迭代算法。
基本思路是不断地求解当前点的搜索方向，然后在这个方向上移动，直到找到最优解为止。
具体步骤如下：1.设定初始点 x0，并求出当前点的目标函数值 f(x0)。
2.求解当前点 x0 的搜索方向 d0。
3.设定步长 t，求出下一个点 x1 = x0 + t * d0。
4.求出下一个点 x1 的目标函数值 f(x1)，并与当前点 x0的目标函数值 f(x0) 进行比较。
5.若 f(x1) < f(x0)，则接下来以 x1 为当前点，重复步骤 2-5；若 f(x1) ≥ f(x0)，则退出迭代。
注记：1.坐标下降法的关键在于如何求解当前点的搜索方向d0。
一般来说，当前点的搜索方向 d0应该是当前点的二次梯二次规划问题的一个解法及几点注记：继续上文：注记：1.坐标下降法的关键在于如何求解当前点的搜索方向d0。
一般来说，当前点的搜索方向 d0应该是当前点的二次梯度的负方向，即 d0 = -∇2f(x0)。
2.坐标下降法的收敛速度取决于步长 t的取值。
常用的方法有常数步长法和自适应步长法。
常数步长法是指固定步长t，而自适应步长法是指根据当前点的目标函数值变化情况来调整步长 t。
3.坐标下降法的收敛性是指随着迭代次数的增加，目标函数的值会逐渐降低。
但是，坐标下降法并不能保证收敛到全局最优解，只能保证收敛到局部最优解。
4.坐标下降法的迭代次数一般较多，但是每次迭代的计算量较小，因此坐标下降法适用于线性规划问题规模较大的情况。
希望这些内容能为你的学习提供帮助！。
序列二次规划算法
序列二次规划算法SQP算法的主要思想是通过逐步逼近的方式，将原问题转化为一系列的线性规划子问题。
每次迭代时，SQP算法都会求解一个局部的线性规划子问题，并将子问题的解作为迭代点。
然后，算法根据子问题的解进行更新，直到找到全局的最优解。
SQP算法的一般步骤如下：1.初始化变量：选取一个合适的初始点作为初始解。
2.解决线性规划子问题：根据当前的迭代点，构建一个线性规划子问题，求解得到迭代点的更新方向。
3.更新迭代点：根据更新方向和步长的选择策略，更新迭代点，并计算目标函数的值和约束条件的违反程度。
4.判断终止条件：检查目标函数的值和约束条件的违反程度是否满足停止准则，如果满足，则终止算法；否则，返回步骤2继续迭代。
在SQP算法中，线性规划子问题的构造是核心步骤之一、线性规划子问题的目标是最小化一个近似函数，这个近似函数由当前的迭代点的下降方向和目标函数的近似二次项组成，并添加了一些松弛变量以处理约束条件。
SQP算法的优点是能够处理具有非线性约束和二次约束的问题。
由于每次迭代时都解决一个线性规划子问题，所以算法收敛速度较快，尤其是在问题的约束条件属于线性和凸的情况下。
然而，SQP算法也存在一些局限性。
首先，算法对初始解的依赖性较高，不同的初始解可能会导致不同的收敛结果。
其次，算法对约束条件的可行性要求较高，对于存在强约束条件的问题，算法可能难以找到可行解。
为了克服这些局限性，研究人员提出了一些改进的SQP算法。
例如，引入了信赖域方法来解决不可行问题；采用了变尺度策略来解决初始解选择问题；引入了正则化技术来处理约束条件的松弛。
总之，序列二次规划算法是一种求解二次规划问题的有效方法。
它通过逐步逼近的方式，在每次迭代中求解一个线性规划子问题，并根据子问题的解进行更新，最终找到全局最优解。
然而，算法在一些特定情况下可能存在局限性，需要结合其他方法进行改进。
二次规划问题
二次规划问题二次规划（Quadratic Programming，QP）是指在一定约束条件下，优化一个二次目标函数的数学问题。
它是数学规划（Mathematical Programming）中的一种重要分支，广泛应用于工程、经济、金融等领域。
二次规划问题的一般形式如下：minimize f(x) = (1/2)*x^T*Q*x + c^T*xsubject to: Ax ≤ bAx = blx ≤ x ≤ ux其中，x 是一个 n 维向量，Q 是一个 n×n 矩阵，c 是一个 n 维向量，A 是一个 m×n 矩阵，b 是一个 m 维向量，lx 和 ux 分别是 x 的下界和上界。
二次规划问题具有以下特点：1. 目标函数是一个二次函数，有一个二次项、一个一次项和一个常数项。
2. 约束条件是线性的，可以是等式约束或者不等式约束。
3. 决策变量是一个向量，需要满足一定的边界条件。
解决二次规划问题有多种方法，常用的有凸优化、KKT 条件和梯度法等。
在工程领域，二次规划问题经常出现在优化设计、控制系统和信号处理等方面。
例如，在机械设计中，可以使用二次规划问题来优化零件的尺寸和形状，以实现最小体积和质量。
在控制系统中，可以使用二次规划问题来设计最优控制器的参数，以实现系统的最佳响应和稳定性。
在信号处理中，可以使用二次规划问题来估计信号的频率、幅度和相位，以实现最佳的信号采样和重构。
总之，二次规划问题是一种重要的数学工具，能够解决许多实际问题。
通过优化目标函数，可以得到满足约束条件的最优解，提高系统的性能和效益。
随着计算机技术的发展和数学优化算法的改进，二次规划问题的求解越来越高效和可靠，为工程、经济和金融领域的决策提供了有力支持。
cvxopt库中的solvers.qp数学原理
cvxopt库中的solvers.qp数学原理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：cvxopt是一个用于凸优化的Python库，其solvers模块中的qp 函数是用于求解二次规划问题的。
在实际的数学优化问题中，二次规划问题是一类常见且重要的问题，其形式可以表示为：minimize 0.5 * x^T P x + q^T xsubject to Gx <= hAx = b其中，P是一个对称半正定矩阵，q是一个列向量，G和A是矩阵，h和b分别是满足不等式约束和等式约束的列向量。
在cvxopt的qp函数中，采用的是一种称为内点方法的求解算法。
内点方法是一种高效的求解凸优化问题的方法，其基本思想是通过引入松弛变量来将原始问题转化为等价的可行性问题，然后利用迭代的方式逼近最优解。
在每一步迭代中，将原始问题转化为一系列的线性规划子问题，并利用牛顿方法求解这些线性规划子问题。
通过不断迭代，最终达到原始问题的最优解。
具体来说，cvxopt的qp函数首先将原始二次规划问题表示为标准形式：minimize 0.5 * x^T P x + q^T xsubject to Gx <= hAx = b然后，使用内点方法逐步逼近最优解。
在每一步迭代中，首先构造一个Karush-Kuhn-Tucker（KKT）系统，包括原始问题和拉格朗日乘子的一阶和二阶导数关系。
然后，利用牛顿方法来解这个KKT系统，得到更新的解向量和拉格朗日乘子。
通过不断迭代以上步骤，最终收敛到原始问题的最优解。
需要注意的是，在求解过程中，cvxopt的qp函数会处理约束条件的线性等式和不等式，以及对不等式约束使用Slack变量进行松弛处理。
同时，还要注意到内点方法的迭代次数和收敛性与问题的复杂度有关，对于大规模的问题可能需要更多的迭代次数来求解。
总的来说，cvxopt库中的solvers模块提供了一个强大而高效的二次规划求解工具，采用了内点方法来求解问题。
matlab中quadprog函数
matlab中quadprog函数Matlab中quadprog函数概述：quadprog是Matlab中的一个优化函数，它可以用于求解二次规划问题。
二次规划问题是指目标函数为二次函数，约束条件为线性等式和不等式的最优化问题。
该函数可以求解凸二次规划和非凸二次规划。
使用方法：quadprog的使用方法如下：x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)其中，H是目标函数的Hessian矩阵，f是目标函数的一次项系数，A 和b是不等式约束条件，Aeq和beq是等式约束条件，lb和ub分别是变量的下界和上界。
x0是变量的初值，options是优化选项。
返回值x为求解得到的最优解。
参数说明：H：Hessian矩阵f：目标函数一次项系数A：不等式约束矩阵b：不等式约束向量Aeq：等式约束矩阵beq：等式约束向量lb：变量下界向量ub：变量上界向量x0：变量初值向量options：优化选项结构体，包含了很多可选参数。
优化选项：在调用quadprog时可以设置多个可选参数来控制算法行为。
以下列出了常用的选项及其含义：Algorithm - 选择算法Display - 显示详细信息MaxIter - 最大迭代次数TolX - 变量停止容差TolFun - 目标函数值停止容差TolCon - 约束条件停止容差OutputFcn - 输出函数句柄使用示例：下面是一个使用quadprog的简单示例：H = [1, 0.5; 0.5, 1];f = [-1; -2];A = [-1, 0; 0, -1];b = [-2; -3];Aeq = [1, 1];beq = [2];lb = [0; 0];ub = [];x0 = [];x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)结果为：x =1.00001.0000说明在约束条件下，目标函数取得最小值时，变量的取值为(1,1)。
quadprog函数的介绍和应用
二次规划问题1.二次规划及其基本思想二次规划问题是最简单的非线性规划问题，它是指约束为线性，目标函数为二次函数的优化问题，这类优化问题在非线性规划中研究得最早，也研究得最成熟。
二次规划迭代法的基本思想是把一般的非线性规划问题转化为一系列二次规划问题进行求解，并使得迭代点能逐渐向最优点逼近，最后得到最优解。
如果某非线性规划的目标函数为自变量的二次函数，约束条件全是线性函数，就称这样规划为二次规划。
其数学模型为：2.二次规划问题的数学模型⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=≤+ubx lb beq x Aeq bAx t s x f Hx x TT x ·..21min ，式中，H ，A 和Aeq 为矩阵；f,b, beq, lb, ub, 和x 为向量。
3.QuadProg 函数quadprog 函数可以求解二次规划问题。
quadprog 函数的几种调用格式：•x=quadprog(H,f,A,b)这个函数的功能是：用来解最简单，最常用的模型：x f Hx x T T +21Subject tobAx ≤•x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)仍然求解上面的问题，但添加了等式约束条件Aeq*x=beq。
•x=quadprog(H,f,A,b,lb,ub,)定义设计变量的下届Ib和上界ub,使得lb<=x<=ub。
•x=quadprog(H,f,A,b,lb,ub,x0)功能同上，并设置初值x0。
•x=quadprog(H,f,A,b,lb,ub,x0,options)根据options参数指定的优化参数进行最小化。
以上通用格式为x=quadprog(problem)√problem 结构字段说明字段说明字段说明H二次规划中的二次项矩阵lb自变量下界约束f二次规划中的一次项向量ub自变量上界约束Aineq线性不等约束的系数矩阵x0初始点bineq线性不等约束的右端向量solver求解器，为“quadprog”Aeq线性等式约束的系数矩阵options options结构beq线性等式约束的右端向量•[x,fvaI]=quadprog(H,f,A,b)这个函数的功能是，返回解x 处的目标函数值，即二次规划的极值fval=•[x,fvaI,exitfIag]=quadprog(H,f,A,b)返回exitfIag 参数，描述计算的退出条件。
序列二次规划算法
Q(x, Δx) = f(x) + ∇f(x)^TΔx + 0.5Δx^T∇^2f(x)Δx + λ_0^Tg(x) + ∑μ_0ihi(x) + 0.5∑μ_0igi(x)^2
序列二次规划算法
序列二次规划（Sequential Quadratic Programming，SQP）算法是一种求解具有二次约束条件的优化问题的方法。该算法结合了牛顿法和线性规划的思想，通过迭代的方式逐步优化目标函数，直至满足约束条件。
SQP算法的基本思想是将原问题转化为一系列的二次规划子问题，然后通过求解这些子问题来逐步逼近原问题的最优解。具体来说，SQP算法的每一步都通过构造一个二次近似模型来近似原问题，然后求解该模型的最优解，并将该最优解作为下一步迭代的初始解。这样，通过不ຫໍສະໝຸດ 迭代优化，可以逐步靠近原问题的最优解。
接下来，SQP算法将根据引入的步长因子α，计算出新的迭代点x_k+1：
x_k+1=x_k+αΔx*
然后，算法将检查x_k+1是否满足约束条件g(x)≤0和h(x)=0，如果满足，则表示已找到最优解；如果不满足，则将继续迭代。为了提高算法的收敛速度，可以采用牛顿法来求解子问题，即通过计算Q(x,Δx)的一阶导数和二阶导数来优化计算过程。
除了求解子问题，SQP算法还需要更新拉格朗日乘子和松弛变量。在每一步迭代中，算法将通过以下公式更新其值：
λk+1=λk+αμk*g(x_k+1)
求解二次规划问题
实验2求解二次规划问题LINDO 可以求解二次规划（QP ）问题。
例如：⎪⎩⎪⎨⎧<=+>++-+=7.011.19.02.1..4.03min 22y y x y x t s yxy y x f由LAGRANGE 乘子法，得()()()7.011.19.02.14.0322-+-++-+-+-+y C y x B y x A y xy y x ，分别对x 、y 求偏导，得到两个约束条件：4.09.0202.16->++-->+--C B A x y B A y x在LINDO 中输入下列命令： MIN X+Y+A+B+C ST6X-Y-1.2A+B>02Y-X-0.9A+B+C>-0.4 1.2X+0.9Y>1.1 X+Y=1 Y<0.7 END QCP 4注释：MIN X+Y+A+B+C 一句只代表变量的出场顺序；QCP 4 一句代表前4行不是原问题真正的约束，原问题真正的约束从第5行开始。
LINDO 运行后输出以下结果：STATUS OPTIMALQP OPTIMUM FOUND AT STEP 7OBJECTIVE FUNCTION V ALUE1) 1.355556V ARIABLE V ALUE REDUCED COST X 0.666667 0.000000 Y 0.333333 0.000000A 10.888889 0.000000B 9.400000 0.000000C 0.000000 0.366667ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 0.000000 -0.6666673) 0.000000 -0.3333334) 0.000000 -10.8888895) 0.000000 9.4000006) 0.366667 0.000000NO. ITERATIONS= 7这个结果说明：LINDO求解此二次规划问题（QP）共用7步迭代得到最优解fmin = 1.355556，X = 0.666667，Y = 0.333333。
python solvers.qp原理
python solvers.qp原理
Python中的solvers.qp是用于解决二次规划问题的函数。
二次规划问题是一个在数学优化领域中常见的问题类型，其目标是最小化一个二次函数，同时满足一系列线性约束条件。
二次规划问题可以表示为以下形式：
minimize: 0.5 * x' * P * x + q' * x
subject to: A * x <= b
Aeq * x = beq
lb <= x <= ub
其中，P是半正定矩阵，q是列向量，A和Aeq是约束条件的系数矩阵，b 和beq是约束条件的右端值，lb和ub是变量的上下界。
solvers.qp函数使用的是内点法（Interior Point Method）来求解二次规划问题。
内点法是一种迭代算法，通过不断迭代来逼近最优解。
在每次迭代中，算法首先通过线性规划来求解一个子问题，然后根据子问题的解来更新变量的值。
通过不断迭代，算法最终可以找到一个满足所有约束条件的解，该解即为问题的最优解。
使用solvers.qp函数可以方便地解决各种二次规划问题，例如线性回归问题、支持向量机问题等。
二次规划求解方法探讨
二次规划求解方法探讨李骥昭1 刘义山2(1.平顶山工业职业技术学院文化教育部1 河南 平顶山 467001; 2.平顶山工业职业技术学院文化教育部2 河南 平顶山 467001)摘要：文章推广与应用了二次非线性规划模型的基础理论及算法。
在线性规划模型中，活动对目标函数的贡献与活动水平成比例关系，因而目标函数是决策变量的线性函数，而在实际问题中，往往遇到活动对目标函数的贡献与活动水平不成比例关系的情形，即目标函数不是决策变量的线性函数，而是二次非线性函数，我们可以利用K-T 条件并转化为等价求解相应的线性规划问题。
经过分析可以得到结论，目标函数变成了线性函数，但约束函数中有一个非线性函数，这时问题仍然是非线性的。
应用Excel 规划求解工具解这个模型后我们知道如果投资者愿意承担多一点的风险，就可以获得更大的收益。
关键词：非线性规划，线性规划，目标函数，决策变量，模型 中图分类：O226 文献标识：A 0 引言非线性规划是运筹学的一个重要分支，它在管理科学、系统控制等诸多领域有广泛应用。
非线性规划的任一算法都不能仅仅考察可行域极点的目标函数值来寻优。
非线性规划的最优点可能在其可行域的任一点达到，即最优解可能在极点，或边介点或内点达到。
在非线性规划问题中，其变量取值受到多个约束条件的限制，对其求解，一方面要使目标函数每次选代要逐次下降，且还要保持解的可行性。
这就给寻找最优解带来更大的困难。
为使求解能较顺利进行，一般采用将约束条件转化为无约束条件，化为较简单问题来处理[1]。
1 预备知识1.1 相关概念,相关定理 若0x 使得()00>xg j 则称此约束条件是0x的不起作用约束；起作用约束：若0x 使得()00=xg j ，则称此约束条件是0x 的起作用约束[2]。
可行方向：若(){}0,,,,2,10|00>∈∃=≥=∈λnj E P L j x g x R x 的实数，使得[]0,0λλ∈，均有R P x ∈+λ0，则称方向P 是0x 的一个可行方向；当()P J j P xg Tj ,00∈>∇必为0x 的一个可行方向；下降方向：若0,00>∈∃∈λn E P R x 使得[]0,0λλ∈均有()()00x f P x f <+λ，则称P 为0x 的一个下降方向。
二次规划问题
二次规划问题二次规划问题（quadratic programming）的标准形式为：sub.to其中，H、A、Aeq为矩阵，f、b、beq、lb、ub、x为向量其它形式的二次规划问题都可转化为标准形式。
MATLAB5.x版中的qp函数已被6.0版中的函数quadprog取代。
函数 quadprog格式 x = quadprog(H,f,A,b) %其中H,f,A,b为标准形中的参数，x为目标函数的最小值。
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) %Aeq,beq满足等约束条件。
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) % lb,ub分别为解x的下界与上界。
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %x0为设置的初值x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options为指定的优化参数[x,fval] = quadprog(…) %fval为目标函数最优值[x,fval,exitfla g] = quadprog(…) % exitflag与线性规划中参数意义相同[x,fval,exitflag,output] = quadprog(…) % output与线性规划中参数意义相同[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(…) % lambda与线性规划中参数意义相同例5-8 求解下面二次规划问题sub.to解：则，，在MA TLAB中实现如下：>>H = [1 -1; -1 2] ;>>f = [-2; -6];>>A = [1 1; -1 2; 2 1];>>b = [2; 2; 3];>>lb = zeros(2,1);>>[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[ ],[ ],lb)结果为：x = %最优解0.66671.3333fval = %最优值-8.2222exitflag = %收敛1output =iterations: 3algorithm: 'medium-scale: active-set'firstorderopt: [ ]cgiterations: [ ]lambda =lower: [2x1 double]upper: [2x1 double]eqlin: [0x1 double]ineqlin: [3x1 double]>> lambda.ineqlinans =3.11110.4444>> lambda.lowerans =说明第1、2个约束条件有效，其余无效。
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实验2求解二次规划问题LINDO 可以求解二次规划（QP ）问题。
例如：⎪⎩⎪⎨⎧<=+>++-+=7.011.19.02.1..4.03min 22y y x y x t s yxy y x f由LAGRANGE 乘子法，得()()()7.011.19.02.14.0322-+-++-+-+-+y C y x B y x A y xy y x ，分别对x 、y 求偏导，得到两个约束条件：4.09.0202.16->++-->+--C B A x y B A y x在LINDO 中输入下列命令： MIN X+Y+A+B+C ST6X-Y-1.2A+B>02Y-X-0.9A+B+C>-0.4 1.2X+0.9Y>1.1 X+Y=1 Y<0.7 END QCP 4注释：MIN X+Y+A+B+C 一句只代表变量的出场顺序；QCP 4 一句代表前4行不是原问题真正的约束，原问题真正的约束从第5行开始。
LINDO 运行后输出以下结果：STATUS OPTIMALQP OPTIMUM FOUND AT STEP 7OBJECTIVE FUNCTION V ALUE1) 1.355556V ARIABLE V ALUE REDUCED COST X 0.666667 0.000000 Y 0.333333 0.000000A 10.888889 0.000000B 9.400000 0.000000C 0.000000 0.366667ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 0.000000 -0.6666673) 0.000000 -0.3333334) 0.000000 -10.8888895) 0.000000 9.4000006) 0.366667 0.000000NO. ITERATIONS= 7这个结果说明：LINDO求解此二次规划问题（QP）共用7步迭代得到最优解fmin = 1.355556，X = 0.666667，Y = 0.333333。
第5个松弛变量取值0.366667，其它松弛变量都取0值，即，这个最优解使得前4个约束条件都取等号；其对偶问题的最优解（影子价格）DUAL PRICES为Y1 = -0.666667，Y2 = -0.333333，Y3 = -10.888889，Y4 = 9.4，Y5 = 0。
农户生产的优化模型本文内容取自生产实践，豫东一个普通农户，该农户所在地区的农业生产条件、气候状况属于中等。
下列各变量的假设均建立在农村一般农业生产条件、气候状况之上。
假设（面积单位：亩）：X1 = 用于完成上缴国家任务的小麦一年总种植面积X2 = 用于生产、生活的小麦一年总种植面积X3 =用于生产、生活的油菜一年总种植面积X4 =用于生产、生活的红薯一年总种植面积X5 =用于完成上缴国家任务的棉花一年总种植面积X6 =用于生产、生活的棉花一年总种植面积X7 =用于完成上缴国家任务的玉米一年总种植面积X8 =用于生产、生活的玉米一年总种植面积X9 =用于生产、生活的芝麻一年总种植面积X10 =用于生产、生活的花生一年总种植面积X11 =用于生产、生活的大豆一年总种植面积X12 =用于生产、生活的西瓜一年总种植面积X13 =用于生产、生活的番茄一年总种植面积X14 =用于生产、生活的白菜一年总种植面积X15 =用于生产、生活的辣椒一年总种植面积X16 =用于生产、生活的茄子一年总种植面积X17 =用于生产、生活的豆角一年总种植面积X18 =用于生产、生活的萝卜一年总种植面积F ( X1，X2，。
，X18 ) = 该农户一年总的纯收入根据上表情况，得到：小麦：600X1≥780，600X2≥4380，4月底收获后再种其它作物，有X1 + X2+X3 =利润 0.35（600X 1-780）+ 0.32*780 - 75X 1 = 135X 1-30； 0.35（600X 2-4380）- 75X 2 = 135X 2-1533；油菜：200X 3 ≥30，利润 200X 3 –30 –50X 3；= 150 X 1-30；红薯：2000 X 4 ≥600+1500，利润 0.19（2000X 4 –2100）– 80X 4 = 300 X 4-399； 棉花：100X 5≥300，10%*100X 6≥12，利润 2.95*100X 5-80X 5-80X 6 = 215 X 5-80 X 6 ； 玉米：700X 7≥600，700X 8≥2600，利润 0.27（700X 7-600）+0.22*600-36X 7 = 153X 7 –30, 0.27（700X 8-600）-36X 8 = 153X 8 –702,芝麻：40%*120X 9≥6，利润 2（120X 9-6/0.4）- 20X 9 = 220 X 9-30； 花生：利润 0.90*300X 10 - 20X 10 = 250X 10 ； 大豆：利润 0.90*150X 11 - 10X 11 = 125X 11 ； 西瓜：利润 0.12*3500X 12 - 100X 12 = 320X 12 ； 番茄：利润 0.08*10000X 13 - 120X 13 = 680X 13 ； 白菜：利润 0.05*10000X 14 - 120X 14 = 380X 14 ； 辣椒：利润 5*200X 15 - 90X 15 = 910X 12 ；茄子：利润 0.06*10000X 16 - 100X 16 = 500X 12 ； 豆角：利润 0.20*6250X 17 - 120X 17 = 1130X 17 ； 萝卜：利润 0.05*10000X 18 - 50X 18 = 450X 18 ；得到模型如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥==++≥==≥≥≥≥≥≥-++++++++++++-++++=∑=0,12,12321,819,7268,767,12610,35,21420,3320,438260,78160..4.2015184501711301650015910143801368012320111251025092208153715368052154300315021351135max 184xj xj x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x x x x x x x x x x x f j在LINDO 中送入以下命令：MAX 135X1+135X2+150X3+300X4+215X5-80X6+153X7+153X8+220X9+250X10+125X11+320X12+680X13+380X14+910X15+500X16+1130X17+450X18 ST60X1>78 60X2>438 20X3>3 20X4>21 X5>37X7>67X8>268X9<1X1+X2+X3=12X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X16+X17+X18=12 END得到结果：LP OPTIMUM FOUND AT STEP 8OBJECTIVE FUNCTION V ALUE1) 7148.214V ARIABLE V ALUE REDUCED COSTX1 1.300000 0.000000X2 7.300000 0.000000X3 3.400000 0.000000X4 1.050000 0.000000X5 3.000000 0.000000X6 0.000000 1210.000000X7 0.857143 0.000000X8 3.714286 0.000000X9 0.000000 910.000000X10 0.000000 880.000000X11 0.000000 1005.000000X12 0.000000 810.000000X13 0.000000 450.000000X14 0.000000 750.000000X15 0.000000 220.000000X16 0.000000 630.000000X17 3.378572 0.000000X18 0.000000 680.000000ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2) 0.000000 -0.2500003) 0.000000 -0.2500004) 65.000000 0.0000005) 0.000000 -41.5000006) 0.000000 -915.0000007) 1.200000 0.0000008) 0.000000 -139.5714269) 0.000000 -139.57142610) 1.000000 0.00000011) 0.000000 150.00000012) 0.000000 1130.000000NO. ITERATIONS= 8RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGESV ARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLECOEF INCREASE DECREASE X1 135.000000 14.999999 INFINITYX2 135.000000 14.999999 INFINITYX3 150.000000 INFINITY 14.999999X4 300.000000 830.000000 INFINITYX5 215.000000 915.000000 INFINITYX6 -80.000000 1210.000000 INFINITYX7 153.000000 976.999939 INFINITYX8 153.000000 976.999939 INFINITYX9 220.000000 910.000000 INFINITYX10 250.000000 880.000000 INFINITYX11 125.000000 1005.000000 INFINITYX12 320.000000 810.000000 INFINITYX13 680.000000 450.000000 INFINITYX14 380.000000 750.000000 INFINITYX15 910.000000 220.000000 INFINITYX16 500.000000 630.000000 INFINITYX17 1130.000000 INFINITY 220.000000X18 450.000000 680.000000 INFINITYRIGHTHAND SIDE RANGESROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLERHS INCREASE DECREASE2 78.000000 195.000000 77.9999923 438.000000 195.000000 438.0000004 3.000000 65.000000 INFINITY5 21.000000 67.571426 20.9999986 3.000000 3.378572 3.0000007 1.200000 INFINITY 1.2000008 6.000000 23.650000 6.0000009 26.000000 23.650000 25.99999810 1.000000 INFINITY 1.00000011 12.000000 INFINITY 3.25000012 12.000000 INFINITY 3.378572 最后得到F MAX = 7148.214 – 2015.4 = 5132.814（元）。