第五章 优选法
五章 优选法
(optimum seeking method)
1
教学内容与要求
（1）理解一些常用的单因素优选法：来回调试
方法、黄金分割法、分数法、对分法、抛物线
法、分批试验法、逐步提高法；
（2）理解一些常用的双因素优选法：对开法、
平行线法、旋升法、按格上升法、翻筋斗法。
2
什么是优选法？
优选法是根据生产和科研中的不同问题，利用
F1 1, F2 2, Fn Fn 1 Fn 2 , n 3
并且
Fn Fn 1
是连分数
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 , , , , , , , , , , 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
后一个分数的分母等于前一个分数的分子与分母之和， 而分子就是前一个分数的分母．当 n 时，数列中的项 趋向于0.618．
式可以表示为： 第一点＝小＋0.618（大－小） 第二点＝大＋小－第一点
' (5-1)
14 ' (5-2)
a
x2
x1
b
用f(x1)和f(x2)分别表示x1和x2上的试验结果： x2）划去剩下（ x2，b）； b） 划去剩下（a， x1），下一步是在余下的范围内寻 找好点
15Hale Waihona Puke Baidu
1、如果f(x1)比f(x2)好， x1是好点，于是把试验范围（a，
优选法的具体实施步骤
优选法的具体实施步骤
介绍
优选法（也称为决策树）是一种常用的决策分析方法，用于选择最佳方案或方向。它基于一系列的决策规则和条件，根据不同的选择路径，可以帮助我们做出明智的决策。本文将介绍优选法的具体实施步骤，以帮助读者更好地理解和应用该方法。
步骤一：明确决策目标
在开始使用优选法之前，我们首先需要明确决策的目标。这可以是一个具体的
问题、任务或目标，例如选择供应商、确定产品定价、制定市场营销策略等。明确目标是优选法的基础，帮助我们聚焦于决策的核心问题。
步骤二：收集决策信息
在明确决策目标之后，我们需要收集相关的决策信息。这可以包括市场数据、
竞争情报、用户反馈等。收集的信息应该与决策目标密切相关，并具有一定的可信度和可靠性。收集信息的方式可以通过市场调研、数据分析、专家咨询等渠道进行。
收集决策信息的过程中，我们可以使用以下方法来帮助整理和分析数据：•SWOT分析：评估决策中涉及的优势、劣势、机会和威胁。
•PESTEL分析：分析政治、经济、社会、技术、环境和法律等因素对决策的影响。
•市场调研：通过问卷调查、访谈等方式了解用户需求、市场趋势等信息。
•数据分析：使用统计方法和数据模型来分析和预测决策的可能结果。
步骤三：制定决策准则
在收集决策信息之后，我们需要制定决策准则，即决策的评价标准。决策准则
应该与决策目标相一致，并能够量化和比较不同选择的优劣。决策准则可以包括以下因素：
•成本：考虑经济成本、投资回报率等方面的因素。
•风险：评估决策可能带来的风险和不确定性。
•质量：衡量产品或服务的质量、性能、可靠性等方面的因素。
优选法和统筹法
优选法和统筹法
优选法和统筹法是两种常见的决策方法。
优选法是一种基于单一目标的决策方法，它的目的是选择最适合的选项以满足特定的需求。在优选法中，决策者需要列出所有可选的选项，并对每个选项进行评估和比较，然后选择最优的选项。
相比之下，统筹法是一种基于多个目标的决策方法。它通常用于处理复杂的问题，需要考虑多个因素并权衡它们。在统筹法中，决策者需要确定每个因素的重要性，并分配一定的权重，然后对每个选项进行评估和比较。
总的来说，优选法和统筹法都是有效的决策方法，可以根据具体情况选择适合的决策方法。在实际应用中，决策者需要根据自己的需求和情况，选择最适合的决策方法来做出最优的决策。
第5章 优选法
5.2.1 对开法
优选范围： ＜ ＜ ， ＜ ＜ 优选范围： a＜x＜b， c＜y＜d 优选方法： 优选方法：
d P
c+d 2
Q
Q
R c a
a+b 2
a+b 2
b
b
5.2.2 旋升法 （从好点出发法） 从好点出发法）
优选范围： 优选范围： a＜x＜b， c＜y＜d ＜ ＜ ， ＜ ＜ 优选方法： 优选方法：
第5章 优选法 章
优选法：根据生产和科研中的不同问题，利用数学原理， 优选法：根据生产和科研中的不同问题，利用数学原理， 合理地安排试验点，减少试验次数，以求迅速地找到最佳 合理地安排试验点，减少试验次数，以求迅速地找到最佳 的一类科学方法。 点的一类科学方法。 适用于： 适用于： 试验指标与因素间不能用数学形式表达 表达式很复杂
5.1 单因素优选法
基本命题 试验指标f(x)是定义区间 ，b)的单峰函数 是定义区间(a， 的 试验指标 是定义区间 用尽量少的试验次数，来确定 用尽量少的试验次数，来确定f(x)的最大值的近似位置 的
5.1.1 来回调试方法
若f(x1)< f(x2) a x1 若f(x2)< f(x3) x1 x2 b x1 x4 x3 x2 x3 x2 b
长短段的比例 ：
1 n+5 1) λ= ( 2 n +1
第五章 优选法
1 2 N
y ----试验指标 xi ----第i个试验条件
^
3）优化计算 优化(选）试验方法一般分为两类： 分析法：同步试验法 黑箱法：循序试验法
3
§5－2 单因素优选法
如果在试验时，只考虑一个对目标影响最大 的因素，其它因素尽量保持不变，则称为单因素 问题 一般步骤： （1）首先应估计包含最优点的试验范围，如 果用a表示下限，b表示上限，试验范围为[a，b]。 （2）然后将试验结果和因素取值的关系写成 数学表达式，不能写出表达式时，就要确定评定 结果好坏的方法。
' ： 另：公式(5-2),(5-2)还可用折纸的办法得到
11
§5－2 单因素优选法
例5－3 炼某种合金钢，需添加某种化学 元素以增加强度，加入范围是1000－ 2000克，求最佳加入量。
小
1000 1100
大
1900 2000
12
§5－2 单因素优选法
第一步 先在试验范围长度的0.618处做第（1）个试验 x1=a+(b-a)×0.618=1000+(2000-1000)×0.618=1618克 第二步 第（2）个试验点由公式（5－2）’计算 x2=大＋小－第一点=2000+1000-1618=1382克
乳化仍然良好，乳化时间减少1小时，结果 满意，试验停止。
华罗庚的优选法
华罗庚的优选法
华罗庚是中国数学界的一位杰出人物，在他的数学研究领域中，
尤其以代数几何和数论最为著名。华罗庚的优选法是他在数论研究中
所提出的一种求解数值问题的重要方法，该方法可以对数学模型进行
优化，对于解决实际问题具有很大的意义。
一、优选法的概念和发展历程
华罗庚的优选法可以追溯到20世纪40年代初，当时华罗庚在解
决一些数值问题时，发现优化方法对于求解问题非常有效，因此他开
始系统研究这个问题。20世纪50年代初，华罗庚发表了一篇研究文献，详细介绍了优选法的概念和方法。此后，该方法得到广泛应用和发展，并逐渐成为数学和工程领域中求解实际问题的一种重要工具。
优选法是一种以数学模型为基础的优化方法，它的原理是通过对
数学模型的求解，确定最优解，从而对实际问题进行优化。优选法的
基本思想是建立一个数学模型，通过对模型进行求解，找到使得目标
函数最大或最小的参数值，从而优化问题。这个方法被广泛应用于不
同领域的实际问题中，可以帮助人们更好地理解和分析各种现实问题。
二、优选法的应用领域
华罗庚的优选法被广泛应用于数学、物理、生物学、化学、工程、经济学等众多领域。例如，在经济学中，优选法可以用于确定运输成本、最佳定价策略、最佳的资本配置等问题；在气象学中，优选法可
以帮助科学家更准确地预测气候变化和天气预报；在工程学中，优选
法可以被用于优化生产工艺和设计理论，提高生产效率和质量。
三、优选法的特点和优势
相对于其他优化方法，华罗庚的优选法有许多优点。首先，优选
法具有较高的灵活性。它不受特定条件的限制，适用于各种不同的数
优选法文档
优选法
什么是优选法？
优选法是一种决策方法，旨在从多个选项中选择出最佳的
方案或解决方案。它是一种基于评估标准比较和权衡的分析方法，使决策者能够做出理性和明智的决策。优选法广泛应用于各个领域，包括商业决策、项目管理、资源分配等。
为什么需要优选法？
在面临多个选项的决策时，人们常常会感到困惑和不确定。选择一个合适的方案需要考虑多个因素，如成本、效益、可行性等。优选法可以提供一个系统化的方法，帮助人们比较不同选项之间的优劣，从而做出最佳的决策。
优选法的步骤
优选法通常包括以下步骤：
1.确定决策目标：首先需要明确决策的目标，即希望
通过这个决策达到什么样的效果。明确的目标可以帮助决
策者更好地评估选项之间的差异和优劣。
2.制定评估标准：对于每个决策目标，需要确定相应
的评估标准。评估标准应该是可以量化或可操作的，以便
能够进行比较和权衡。
3.收集数据：收集和整理与评估标准相关的数据。数
据可以来自各种来源，包括统计数据、实地调研、专家意
见等。
4.评估选项：应用评估标准对各个选项进行评估和打分。可以使用各种方法，如加权得分、成本效益分析等。
5.权衡和比较：根据评估结果对选项进行权衡和比较。决策者可以根据自己的需求和偏好，确定最终的优选方案。
6.实施和监控：一旦确定了最佳方案，就需要实施并
监控其执行情况。如果情况有变化，可能需要重新评估和
调整。
优选法的应用举例
以下是一些优选法在实际中的应用举例：
商业决策
在商业决策中，优选法可以帮助企业选择最适合的市场营销策略、产品定价、供应链管理等。通过对不同选项的评估和比较，企业可以更好地理解市场需求和竞争环境，并选择最有利可图的方案。
第5章 优选法
在生产过程中，为了取得满意的效果，需要对工 艺参数及相关因素，进行最佳点选择，对最佳点 的选择，有直接用数学的方法，而大量使用的都 是试验方法。试验方法很多，对某一具体问题来 讲，用什么方法才能迅速找到最佳点？这就是， 优选法要解决的问题。
1.间接最优化 2.直接最优化
优选法：根据生产和科研中的不同问题，利用数学原理， 合理地安排试验点，减少试验次数，以求迅速地找到最佳 点的一类科学方法。 适用于：
试验指标与因素间不能用数学形式表达 表达式很复杂
优选法的应用在我国从70年代初开始，首先由我们数学 家华罗庚等推广并大量应用 优选法也叫最优化方法
探究（一）：优选法
b＝2.618或b＝3.
分数法的概念
思考1：在配置某种清洗液时，需要加入某种材料. 经验表明，加入量大于130ml肯定不好.用150ml的 锥形量杯计量加入量，该量杯的量程分为15格， 每格代表10ml，能否用0.618法找出这种材料的最 优加入量？为什么？
不方便，因为用0.618法算出的试点不是10ml的整 数倍，锥形量杯难以精确计量.
每次取存优范围的中点作为试点.
5.1.4 对分法
优选方法：
甲（有电）
ຫໍສະໝຸດ Baidu
A(有电) B (无电) 乙（无电）
特点：
优选法
a
x3
好点
x2
坏点
x1
b
●用对称公式找第三个试验点： 新内分点＝右端点＋左端点－内分点
x3 = a + x1 − x2
＝小＋大－中
●在留下的试验范围内又有两个可以比较， 一个是新的试验点，另一个是原来的好点 的结果。通过试验对比后又可以留下好点， 去掉坏点及所在范围，试验范围又进一步 缩小。随着试验次数的不断增加，试验范 围不断缩小，更逼近最佳点。 ●即“留好点，去坏点，取新点，再对比”
第一次试验：
坏点
好点
a
X2
X1
73.26
b阀门开度
100mm
30mm
56.74
x1 =a + 0.618(b − a ) =30 + 0.618(100 − 30) =73.26
x2 = a + b − x1 = 30 + 100 − 73.26 = 56.74
表5-24
考察标准
第一次试验测试及结果
7 130.3 0 15 130 0
8 130.5 0 16 130 0
蒸汽流 量t/h 阀门卡 涩（次）
试验号 项目
蒸汽流 量t/h 阀门卡 涩（次） 试验 结果 结论
阀门卡涩次数为0，蒸汽流通量平均值为130.2t/h 从跟踪结果可知，试验结果有效，能够满足下道工序生产用汽需求， 接着小组用控制图对蒸汽流量进行控制，从而解决了供汽量达不到额 定值及阀门卡涩的问题。
优选法课件
练习
• 现有10层梯田需要灌溉，需要从山脚用 水泵往上抽水，抽到某一层的水可以灌 溉这层和其以下的所有层。如现有两台 水泵，可以安置在10层梯田中的任一层， 安置后不能移动。 • 如何安置这两台水泵，才能使所有的梯 田被灌溉而且做功最少？你能用合适的 优选法迅速找出其中的最佳点吗？
分数法的最优性
什么是优选法？
• 优选法：根据实际中具体问题，利用数学原理， 合理安排试验点，以求迅速找到最佳点的科学 的试验方法。 • 单因素优选法 • 适用范围：单峰函数 • 1、目标函数y=f(x)是定义在某个范围[a,b]内 的单峰函数(或单谷函数) ； • 2、不知道函数y=f(x)具体表达式，或太复杂。 • 好点，坏点。
优选法工作原理
• 优选法可靠吗？在对两个试验点进行比较，裁去 “坏点”外边的部分，最佳点会不会被丢掉呢？ • 优选法基础：信息定理： • 设函数y=f(x)是[a,b]上的单峰函数(或单谷函 数 ) ， x2<x1 为 试 验 区 间 [ a,b] 上 两 点 ， 即 a≤x2<x1≤b，x*是它的最优点。那么： • ①若f(x1)优于f(x2)，则x*∈(x2,b)； • ②若f(x1)劣于f(x2)，则x*∈(a,x1)； • ③若f(x1)=f(x2)， 则x*∈(x2,x1)。 • 可从几何上加以说明。
• 把实验区间[0,130]分成13等分，分点依次设为 1,2,3,…,12。 • 选第5个分数F5=8/13。 • 第一个试点为8，第二个为5， • 若8好，则去掉[0,5]，剩下[5，13]； • 8已试过，在10处做第3个试验，若还是8好，去掉 [10,13]，剩下[5，10]； • 在7处做第四个试验，若7比8好，去掉[8，10]，剩 下[5，8]； • 在6做第五个试验，如6比7好，则6为最佳点。 • 五次试验后，精度为1/13。
优选法选择最佳工艺参数的方法
优选法选择最佳工艺参数的方法
优选法是一种有效的方法，可用于选择最佳的工艺参数。通过优选法，可以在大量的可能方案中，找到最优的工艺参数组合，以达到最佳的工艺
效果。下面将详细介绍优选法的原理和应用。
优选法的原理：
优选法是一种基于多因素多水平试验的方法。它通过设定不同因素的
不同水平，进行试验，并根据实验结果，分析各因素对结果的影响，以确
定最佳的工艺参数组合。优选法的一般流程如下：
1.确定优选目标：首先要明确优选的目标是什么，例如最大化产量、
最小化成本、最优化产品质量等。
2.确定影响因素：确定可能影响工艺效果的因素，例如温度、压力、
料液比等。
3.设计试验方案：根据因素的不同水平，设计一系列试验。这些试验
可以是全因素试验或部分因素试验，具体取决于实际情况。
4.进行试验：按照试验方案进行实验，记录每组参数的实验结果。
5.数据分析：统计分析试验结果，计算各因素的效应，并确定最佳的
工艺参数组合。
6.验证优选结果：通过验证试验来验证优选结果的有效性。
优选法的应用：
优选法可以应用于各种工业领域，例如化学工程、材料科学、生物工
程等。下面将以化学工程为例，介绍优选法的应用。
化学工程中，常常需要确定最佳的反应条件，以提高产率和产品质量。优选法可以用于找到最佳的反应温度、压力、反应时间等工艺参数。
首先，确定优选目标，如最大化产量。然后，确定影响反应产量的因素，如温度、压力、催化剂用量等。接下来，设计一系列试验，在不同的
温度、压力、催化剂用量下进行反应，并记录产量数据。
通过数据分析，可以计算出各因素的效应，并确定最佳的工艺参数组合。例如，通过分析发现温度对产量的影响最大，压力对产量的影响较小，催化剂用量对产量的影响量最小。因此，最佳的工艺参数组合可能是较高
第5章 优选法2
华罗庚教授-Professor Hua Luo-geng
他对中国应用数学 方法的普及做出了 重大贡献，是利用 应用数学为国民经 济建设服务的先驱 者，提出适合中国 国情的“统筹法”、 “优选法”
5.1 单因素优选法 (Single-factor optimization method )
基本命题
特点：
每次只做1次试验
每次试验区间可以缩小一半
P70 书中实例
适用条件：
要有一个标准（或具体指标） 要预知该因素对指标的影响规律
5.1.5 抛物线法(Parabolic method )
在三个试验点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，分别得试验值y1， y2，y3，根据Lagrange插值法可以得到一个二次函数：
规律
这是公元前六世纪古希腊数学家毕 达哥拉斯所发现，后来古希腊美学家柏 拉图将此称为黄金分割。这其实是一个 数字的比例关系，即把一条线分为两部 分，此时长段与短段之比恰恰等于整条 线与长段之比，其数值比为1.618 : 1或 1 : 0.618，也就是说长段的平方等于全 长与短段的乘积。0.618，以严格的比 例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的 美学价值。
摄影构图
摄影中常用“黄金分割”来构图.
5.1.2 黄金分割法 (The Golden Proportion method)
科学合理的优选法0618法
科学合理的优选法0618法
优选法（0618法）是一种科学合理的决策方法，旨在通过严谨的评
估和比较，选择出最佳的解决方案。本文将详细介绍优选法的基本原理、步骤和应用，帮助读者更好地理解和运用这一方法。
一、优选法的基本原理
优选法是基于决策理论和数学模型的方法，通过对不同方案进行评
估和比较，以确定最佳选择。其基本原理可以归纳为以下几点：
1. 多因素决策：优选法考虑多种因素对决策结果的影响，综合权衡
得出最优解。这些因素可以是定量的，如成本、效益等，也可以是定
性的，如风险、可行性等。
2. 权重分配：为了综合各因素的重要性，需要给予不同因素适当的
权重。这些权重可以通过专家咨询、调查问卷等方式获取，也可以通
过数据分析和模型计算得出。
3. 量化评估：为了进行比较和评估，需要将各因素转化为可比较的
数值。这可以通过设定评分标准、构建模型等方式实现，以确保评估
结果的客观性和可比性。
4. 决策选择：最终根据量化评估结果，选择得分最高的方案作为最
佳选择。这有时可能需要进行风险分析、敏感性分析等辅助决策方法，以进一步减少不确定性。
二、优选法的步骤
优选法的具体步骤可以分为以下几个部分：
1. 确定决策目标：明确决策的目标和要解决的问题是什么，例如降低成本、提高效率等。
2. 确定评价指标：根据决策目标，确定相关的评价指标和对应的权重。评价指标应该具备客观性、可度量性和可比性。
3. 数据收集和处理：收集和整理相关的数据，对数据进行加工、筛选和处理，将其转化为可比较的量化指标。
4. 指标量化和打分：根据评价指标，设定一定的评分标准，对各个方案进行量化评估和打分。
第五章 选择原理与方法
S1 q S1 S2
S2 p S1 S 2
说明：平衡时的基因频率完全决定于两种纯合子的淘 汰率，而与起始基因频率无关。
第三节 数量性状选择原理
一、直接选择 （一）选择差与留种率
1. 选择差（selection
differential）：被选留个
体的平均表型值与侯选群个体平均表型值之差，即
第五章 选择的原理与方法
第一节 选择的概念
一、概念
所谓选择 (Selection)就是选优去劣，即增加某 些类型个体的繁殖机会，减少甚至完全剥夺其它类 型个体的繁殖机会。
二、类型
根据作用于选择的外界因素可将选择分为自然 选择和人工选择两类。
（一）自然选择 (Natural selection) 1. 概念 自然界中，适合环境条件的生物就会保 留下来，不适合的就会被淘汰。 2. 作用 在整个物种起源的过程中，自然选择起 着导向作用，控制着变异发展的方向。 3.类型
2.作用 是品种培育和改良的一种重要的育种手段。
3. 要素 变异、遗传和选择。
─ 变异是形成品种的原材料；
─ 遗传是传递变异的力量；
─ 选择则是保存和积累有利变异的手段。
4. 人工选择的效果
─ 目前使用的大多数家畜品种是经过长期人工选 择而育成的； ─ 在育成的品种中，系统选择某些质量性状可能 育成新品种； ─ 在育成的品种中，选择有益突变也能培育新品 种；
5第五章优选法
P2的上部分，继续做下去，直到找到最佳点。 称为“从好点出发法”。；
一般按各因素对试验结果影响的大小顺序，住住能较快得到满意的结 果。
2020/1/28
试验设计与数据处理
21
2020/1/28
试验设计与数据处理
22
平行线法
试验设计与数据处理
2
单因素优选法
假定f(x)是定义区间(a,b)的单峰函数，f(x) 的表达 式未知，从试验中得出在某一点x0的数值f(x0)。
应用单因素优选法，就是用尽量少的试验次数来 确定f(x)的最大值的近似位置。
f(x)指的是试验结果， 区间(a,b)表示的是试验因 素的取值范围。
2020/1/28
试验设计与数据处理
10
2020/1/28
试验设计与数据处理
11
分批实验法
均分分批试验法 比例分割分批试验法
2020/1ຫໍສະໝຸດ Baidu28
试验设计与数据处理
12
均分分批试验法
2n个实验，把试验范围等分为（2n+1）段，最好 点两侧各取一段，再分为n+1段
2020/1/28
试验设计与数据处理
第五章 优选法
序言
所谓优选法（Optimum seeking method）就是根 据生产和科研中的不同问题，利用数学原理，合 理地安排试验点，减少试验次数，以求迅速地找 到最佳点的一类科学方法。
优选法：选择最佳工艺参数的方法
（二）正交试验法
对于实际问题来讲，往往是 复杂的，影响的因素不止一个，而且也 很难肯定哪个因素是主要的，这种情况 下，单因素优选法就无能为力了，有效 的方法就是正交试验法。 1.它利用一套事先给定的正交表来科学 地选择试验，以较少的试验，通过计算 分析，推断出较好的结论。
正交试验法概念： 因素：对试验的问题有影响，并准备在 试验中进行考察的各种条件，如键合温 度； 水平：各因素（条件）在试验范围内所 取的试验点，如150℃，160 ℃ ； 正交表：是规格化的，能够均衡安排多 因素问题的专用于正交试验的表格。由 于存在许多不同类型的多因素问题，因 此有许多不同的正交表。
第三点 500 736 第二点 882 第一点 1118
第四次在留下部分再找第二点的对称点。 （大-中）+小=第四点 （1118-882）+736=972 即在972克处做第四次试验。比较第二、四 点试验结果，如果第四点好，则丢去 736~882克部分，在留下部分按同样方 736~882 法做下去，很快能找到最佳点。 3 2 4 1
2.为了使实验与上面一样继续下去,就应该使经 过取舍以后的保留的一点，始终处在新范围中 的相应位置。如果丢掉﹝x1，1 ﹞，留下 ﹝0,x1 ﹞则x2在留下的﹝0,x1 ﹞中的位置应该 与x1在﹝0，1 ﹞中的位置一致，实际上已容易 看出：x2/x1=x1/1，得x12=x2， x2 =1-x1 得： x1 ≈ 0.618， x2≈0.382
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
各因素的水平取值范围
因素 HCl (mol/L) T(℃） T（min） 显色剂 （%） 10-70 1-4
水平范围 0.1-1.0
25-85
单纯形的移动是指标最坏点W对去掉最坏点后 的重心进行反射得到R点。（链接）
1 n 1 X P Xi n i 1
N
R P
W
B
单纯形法的不足：
a)移动过程中不能加速，实验次数仍然较多。 b)由于噪声存在，同一实验的不同次测定结果可 能不同，但由于基本单纯形不做重复实验，无 法区分目标值的改变，是由于固有规律引起， 还是由噪声引起，从而可能使单纯形沿错误的 方向移动。 c)运用规则五，是将一最坏值赋以超出允许范围 的顶点而强行使之回到正常范围的行为，并且 舍弃最坏点，若次坏点处的反射点处系统的响 应更差，则有可能使单纯型移不到最优区域， 此时单纯形应被迫停止，并将步长变小，在边 界处重新开始。
C C1 C1 C1 C2 C1/2 C1/2
D D1 D1 D1 D1 D2 D1/2
E E1 E1 E1 E1 E1 E2
c.根据均匀设计表构造初始单纯 形。
A 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 B 2 4 1 3 5 C 3 1 4 2 5 d 4 3 2 1 5
例题
设有一光度分析体系，现需研究A：盐酸 浓度0.1-1.0mol/L,B：温度：25-85℃，C: 反应时间：10-70min，D:显色剂浓度1.04.0对该反应的影响，用上述三种方法分 别构造初始单纯形。
5.3单纯形法
单纯形：在n维空间里，由n+1个顶点构 成的凸多面体。若凸多面体的边长相等， 则为正规单纯形。如：二维空间的单纯形 为三角形，正规单纯形为等边三角形；三 维空间的单纯形为四面体，正规单纯形为 正四面体；n维空间内的单纯形为超四面 体。
单纯形原理
如二因素实验，首先选三个点，并比较其响应 值，响应最差的以W表示；次差的为N；最好的 记为B。P为NB的中心，称为重心。称R为W关 于P点的反射点。这种做法叫反射，将点W去掉， 得到一个新的单纯形BNR，仍按好、次坏、最 坏记为BNW重复操作。可使单纯形移向响应最 大的区域。 P=(N+B)/k k一般取2 R=P+(P-W)×α α 一般取1
No. 1 2
A 0.2 0.8
B 30 38.7
C 15 23.7
D 1.5 1.9
3
4 5
0.3
0.3 0.3
67.0
38.7 38.7
23.7
52.0 23.7
1.9
1.9 3.4
黄金分割法构造初始单纯形
A1 0.1 (1.0 0.1) 0.382 0.4 A2 0.1 (1.0 0.1) 0.618 0.7 A1/ 2 0.55 B1 25 (85 25) 0.382 48 B2 25 (85 25) 0.618 62 B1/ 2 55 C1 33 D1 2.15 C2 47 D2 2.85 C1/ 2 40 D1/ 2 2.5
5.3.3改良单纯形法
若反射点R处系统的响应优于B点处的响 应，则说明反射方向正确，应予扩展，所 以将反射点扩展到E。顶点E的坐标： E=P+2*(P-W)。若E点处的响应优于B点处 的响应，则保留E点，构成一个新单纯形 BNE；若E点处的响应差于B点处的响应， 则扩展失败，仍以BNR为单纯形。
5.1.2黄金分割法（0.618法）
x1、x2的位置取（a，b）的0.618和 0.382处。 例题：钢中加入某种元素能够提高钢的硬 度，1吨钢中该元素的加入量在1000～ 2000g之间，如何通过试验尽快找到最佳 值？
x
1618 1382 1472 1528 ……
硬度y 6.2 7.8 8.0 7.2
y1<y2 时
说明峰不在（a，
x1）范围内再在 （x1，b）内取x3， 对应试验值y3。
y1＝y2时
说明峰在 （x1，x2） 范围内，再 在（x1，x2） 内取x3、x4， 对应试验值 y3、y4。
每次都是比较中间两点对应的y值，舍弃y 值较低的x及其相邻的边界之间的范围，n 次后y达到最优，或三次y值相差不大为止。 但是如何选点x1、x2的位置，才能用最少 的试验次数最快达到最优结果？
P>Q舍弃下半部分
。
P<Q,舍弃左半边
P=Q，只留PQ共同所在象限
如此再找剩下部分的中线，找最佳值，再 比较，舍弃一半……直到P、Q非常接近， 可以认为是同一点。
5.2.3旋升法
5.2.4平行线法
两个因素中，有一个不易调整，将不易调
整的Y分别取0.618和0.382处，找到各自条 件下的x的最佳点P(0.618)、Q(0.382)，比 较P、Q两点对应的Y值，舍弃小值以外的 部分，再取剩余部分的0.618处……
若yCR<yR，则舍弃单纯形BCRN，以次最 坏点N作反射R’，得到新的单纯形 BCRR’。 若yCW<yW，舍弃单纯形BCWN中的顶点 N，由N反射到R’’, 得到新的单纯形 BCwR’’
B CR W 成功收缩 CW N
R R’ 失败收缩 R’’
B
R
CR W
B CW
R
CR N
W
CW
N
5.3.4单纯形迭代的结束
5.3.1初始单纯形的构造
a.给定某一顶点和步长，构造正规初始单 纯形 首先根据化学知识和经验确定初始顶点 x1(x11、x12…x1n)，并对每一个因素选一 步长aj，为保证后继实验中各单纯形边长 相等，这个步长与各因素中的变化范围的 比值应相同。
pj qj
aj n 2 aj
( n 1 n 1) ( n 1 1)
5.1.4抛物线法
先做三次试验x1、x2、x3对应得到y1、y2、 y3，用y＝a0＋a1x＋a2x2，回归得到a0、 a1、a2，求出极值对应的x4，预测y4’，由 x4点试验得y4，再用y1～y4中最大的三个y 重新拟合，求极值，直到y达到要求或y与 预测值基本吻合。
需要注意的问题
某些因素A不能大规模调整时，可以先在 原来的生产条件下在A减小的方向上跨一 小步，看效果，好就继续；不好就反向跨 一小步；遵循先小步再大步再小步的原则， 逐渐接近最优。 多峰情况：做分布较均匀的疏松试验，看 是否多峰，把每个峰都找出来。
(a j为步长）
n 2 x1 (x11 , x12 ,来自百度文库 x1n )
x 2 (x11 p1 , x12 q 2 , x1n q n ) x 3 (x11 q1 , x12 p 2 , x1n q n ) x n (x11 q1 , x12 q 2 , x1n p n )
No. 1 2
A 0.4 0.7
B 48 48
C 33 33
D 2.15 2.15
3
4 5
0.55
0.55 0.55
62
55 55
33
47 40
2.15
2.15 2.85
均匀设计法构造初始单纯形
各因素的五个水平为 A(0.2，0.4，0.6，0.8，1.0) B(30,40,50,60,70) C(20,30,40,50,60) D(1.5,2.0,2.5,3.0,3.5)
可以根据事先给定的条件，若条件已满足， 则结束。如产率已经达到理论极限值，则 可以停止；色谱峰已经分开，可以停止。 若不清楚最优响应是什么，则当迭代中两 次差值达到规定误差时可以停止。
单纯形实例
例题5.1
实例2
设有一光度分析体系，现要研究酸度A、温 度B、反应时间C、显色剂浓度等分析条件 对显色反应的影响，试用单纯形法寻求最 佳条件。终止条件为单纯形最佳点响应值 大于99%。
第五章 优选法
5.1单因素优选法
Y＝f（x），x在（a，b）内求y的极值的 问题。但f（x）形式未知。 5.1.1来回调试法 假定f（x）在（a，b）内仅有一个峰， 取a<x1<x2<b，看试验结果，有三种情况： y1>y2、y1＝y2和y1<y2
y1>y2 时
说明峰不在 （x2，b） 范围内，再 在（a，x2） 内取x3，对 应试验值y3。
若R点的响应优于N点，但差于B点的响 应， yB>yR>yN，则此时既不扩展也不压 缩，以BNR为新单纯形继续寻优。若 yR<yN，此时反射点R不能构成新单纯形， 应该压缩。
若yW<y<yN，则压缩应靠近R点处，此时 压缩点为CR,称为正压缩：CR=P+1/2(PW) 若yR<yW，压缩应靠近W处，压缩点为 CW，称为负压缩。CW=P-1/2(P-W)。若 yCW<yW，称为压缩失败，此时应将单纯 形大幅度缩小。这有可能会使单纯形过 早结束于非最优区域。
5.2多因素优选法
5.2.1单因素轮换法 固定x2、x3……xn，只改变x1，按单因素 寻优法找到x1的最佳值，x1固定在最佳条 件下，改变x2，找x2的最佳……，找到xn 的最佳后，返回来再找x1的最佳…… 直到x1……xn的条件都不再改变。
5.2.2对开法
a<x<b，在(a+b)/2的位置用单因素找最大 值P， c<y<d，在(c+d)/2的位置用单因素 找最大值Q，有三种情况： P>Q,P<Q,P=Q
结果
舍弃1618～2000，再取1000～ 1618的黄金分割点。 舍1000～1382，取1382～1618 舍1528～1618，取1382～1528 ……
5.1.3二分法
当我们做一次试验就能得到下一步试验的 方向时，可以用二分法更快地接近目标。 例：某厂生产溴樟脑，原来按1：1氯仿： 樟脑使樟脑溶解后反应，产品合格，但需 要蒸馏回收溶剂氯苯，才能使产物结晶。 故减少氯仿用量0.5：1,合格；0.25：1合 格；0.13：1合格；0.06：1溶解不完全， 所以用0.13：1投产，大大降低成本，而 且去掉了回收工序，产品自然结晶。
b.黄金分割法构造初始单纯形
前提：知道各因素的范围。首先将各因素 按黄金分割分为两个水平：0.382水平和 0.618水平，计算出A1/2=(A1+A2)/2。按表 构造初始单纯形。
A 1 2 3 4 5 6 A1 A2 A1/2 A1/2 A1/2 A1/2
B B1 B1 B2 B1/2 B1/2 B1/2
构造正规单纯形
设步长取因素水平范围的2/3，则aj＝（0.6，40， 40，2.0） 选初始顶点为（0.2，30，15，1.5）
ai pi ( 5 3) 0.9256ai 4 2 ai qi ( 5 1) 0.2185 ai 4 2
No.2 ( x11 p1 , x12 q2, x13 q3 , x14 q4 ) (0.2 0.9256 0.6,30 0.2185 40, 15 0.2185 40,1.5 0.2185 2) (0.8,38.7,23.7,1.9) No.3 ( x11 q1 , x12 p2, x13 q3 , x14 q4 ) (0.2 0.2185 0.6,30 0.9265 40, 15 0.2185 40,1.5 0.2185 2) (0.3,67,23.7,1.9)
No. 1 2
A 0.2 0.4
B 40 60
C 40 20
D 3.0 2.5
3
4 5
0.6
0.8 1.0
30
50 70
50
30 60
2.0
1.5 3.5
5.3.2单纯形的移动
除初始单纯形外，每次单纯形的移动均是在观察各点 处的响应之后进行。 单纯形的移动是在舍弃系统的最差响应点之后进行， 有时会因此导致单纯形振荡，引入规则三。 新单纯形中若反射点为最坏点，此时将反射点保留， 将次坏点舍弃，取次坏点N 的反射点R构成新单纯形 BNR。 若某一顶点在运用规则二前得以保留，则在保留点处 重复做实验，若保留点真正接近最佳值，重复实验结 果仍较佳；若是由偶然误差引起，则结果可能降下来。 若最佳响应点靠近边界，则单纯形移动中可能超出自 变量范围。 若新的顶点超出允许范围，则将此点赋以最坏的响应 值，强迫此点回到正常范围。