4。4高斯型求积公式

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高斯求积公式的构造

高斯求积公式的构造

1
1
1
-1v(x)Ln(x)dx
v(x)u(n)(x)dx
-1
v(x)du(n 1)(x)
-1
1
v(x)u(n 1)(x) x 1 v(x)u(n 1)(x) x 1
u(n 1)(x)v(x)dx
-1
1
v (1 )u (n1 )(1 ) u (n1 )(x )v(x )d x
-1
1
v (1 )u (n1 )(1 ) v(1 )u (n2 )(1 ) u (n2 )(x )v(x )d x
1
51
8
51
f(x)dx f( 15) f(0) f( 15),
1
95
9
95
50.55,8 56 0.88,c8o9 1 s(1)5co1s1()50.714
9
9
5
5
1
c x o 0 . 5 d 0 s . 7 5 x 0 . 8 1 5 0 . 5 8 4 6 0 . 7 5 8 7 1 . 6 1 5 9
在 [ a , b ] 上 正 交
充分性:如果w(x)与任意次数不超过n-1的多项式正交,则其 零点必为Guass点
设 f ( x ) 为 任 2 n 1 次 意 ,的 次
用 n ( x ) 除 f ( x ) 得
高斯求积定理
f ( x ) q ( x ) n ( x ) r ( x )
I sin 4
4
(1
0 . 573503
)
4
sin
4
( 1 . 573503
)
0 .9984725
例题2
若用n=3的Gauss-Legendre公式,则
I 0 . 5 5 f ( 0 . 7 5 ) 7 5 0 . 8 4 5 8 f ( 0 5 ) 5 8 9 0 . 5 5 f ( 0 . 7 5 ) 7 5 4 5 5 5

高斯求积公式

高斯求积公式

定理4 求积公式(2.2)是Gauss型的 Gauss点a<x0<…<xn <b
是[a,b]上关于权 ( x)的n+1次正交多项式的根。
分析:“充分性”即是引理1的结论。以下只证必要性
“必要性”,即Gauss点作为节点正是n+1次正交多项式的根。
只需证 n1(x) 关于( x) 正交。 证明:取2n 1次多项式f ( x) n1( x)q( x) ( x x0 ) ( x xn )q( x),
q( x)为次数 n的多项式。
则有
b
Gauss点 的 定 义
a ( x)n1( x)q( x)dx
n
Akn1 ( xk )q( xk ) 0,
k 0
由于左端等于0,即( n1 ( x),q( x)) 0,
n1 ( x)在a, b上关于权 ( x)是n 1次正交多项式,
则 x(k k 0,1, ,n)是n 1次正交多项式 n1( x)的根。
max
a
a
2、收敛性 引理2 对于有限闭区间[a, b] 上的任何连续函数 f ( x)有
lim R[ f ] 0
(2.4)
n
证明 : [a, b] 上的连续函数 f ( x) 可以用代数多项式一致逼近,
对任意给定的
max |
a xb
f
0,
(x
存在某个多项式
) qm ( x) | b
2 (
qm (x x)dx

b
a ( x)H2n1( x)dx
n
Ak H 2n1( xk )
k0
b
n
Ak f ( xk ) (
k0
b
( x) f ( x)dx I( f ))

高斯求积公式

高斯求积公式
(k = 0,1 ⋯ n), 使(5.1)具有 2n +1次代数精度. , ,
定义4 定义4
如果求积公式(5.1)具有 2n +1次代数精度,
则称其节点 xk (k = 0,1 ⋯, n) 为高斯点 高斯点,相应公式(5.1)称 高斯点 , 为高斯求积公式 高斯求积公式. 高斯求积公式
3
根据定义要使(5.1)具有 2n +1次代数精度,只要对
充分性. 对于 ∀f (x) ∈H2n+1, 用 ωn+1(x) 除 f (x) , , 记商为 P(x),余式为 q(x) 即 f (x) = P(x)ωn+1(x) + q(x) , 其中 P(x),q(x)∈Hn. 由(5.5)可得

b
a
f (x)ρ(x)dx = ∫ q(x)ρ(x)dx.
b a
18
令它对 f (x) =1, x 都准确成立,有
A + A = 2; 0 1 A − 1 + A 1 = 0. 1 0 3 3
由此解出 A = A =1, 从而得到两点高斯-勒让德求积公式 0 1

1
1 −
f (x)dx ≈ f (−
1 1 ) + f (− ). 3 3
b n→ ∞ k =0 a n
16
4.5.2
高斯高斯-勒让德求积公式
在高斯求积公式(5.1)中,若取权函数 ρ(x) =1, 区间为
[−11 则得公式 , ],
n

1
−1
f (x)dx ≈ ∑A f (xk ). k
k =0
(5.9)
由于勒让德多项式是区间 [−11]上的正交多项式,因此, , 勒让德多项式 P 1(x) 的零点就是求积公式(5.9)的高斯点. n+ 形如(5.9)的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式. 高斯-勒让ρ(x) ≥ 0, 由积分中值定理得(5.1)的余项为

gauss型求积公式

gauss型求积公式

gauss型求积公式一、Gauss型求积公式的基本概念。

1. 定义。

- 在数值积分中,Gauss型求积公式是一种高精度的求积公式。

对于积分∫_a^bf(x)ρ(x)dx(其中ρ(x)为权函数),Gauss型求积公式的形式为∫_a^bf(x)ρ(x)dx≈∑_i = 1^nA_if(x_i)。

这里x_i称为求积节点,A_i称为求积系数,n为求积公式的节点个数。

2. 特点。

- 高精度:Gauss型求积公式具有很高的代数精度。

对于n个节点的Gauss型求积公式,其代数精度为2n - 1。

这意味着对于次数不超过2n-1的多项式f(x),该求积公式能精确成立,即∫_a^bP_m(x)ρ(x)dx=∑_i = 1^nA_iP_m(x_i),其中m≤slant2n - 1,P_m(x)是m次多项式。

- 节点分布:Gauss型求积公式的节点x_i不是等距分布的。

这些节点是关于权函数ρ(x)正交的多项式的零点。

例如,当ρ(x) = 1,[a,b]=[- 1,1]时,对应的正交多项式是勒让德多项式P_n(x),Gauss型求积公式的节点就是勒让德多项式的零点。

二、求积节点与求积系数。

1. 求积节点的确定。

- 以勒让德 - Gauss求积公式为例(ρ(x)=1,[a,b]=[-1,1]),求积节点x_i是勒让德多项式P_n(x)的零点。

勒让德多项式P_n(x)可以通过递推公式(n + 1)P_n +1(x)=(2n + 1)xP_n(x)-nP_n - 1(x),P_0(x)=1,P_1(x)=x来计算。

通过求解P_n(x)=0得到求积节点x_i。

2. 求积系数的计算。

- 求积系数A_i可以通过多种方法计算。

一种常见的方法是利用正交性条件。

对于勒让德 - Gauss求积公式,求积系数A_i可以通过公式A_i=(2)/((1 -x_i)^2)[P_{n'(x_i)]^2}计算,其中P_n'(x)是勒让德多项式P_n(x)的导数。

4点高斯数值积分公式

4点高斯数值积分公式

4点高斯数值积分公式概述:高斯数值积分是一种常用的数值积分方法,通过将被积函数在积分区间内进行适当的插值,然后对插值函数进行积分来近似计算定积分的值。

其中,4点高斯数值积分公式是高斯数值积分的一种常见形式。

本文将介绍4点高斯数值积分公式的原理、计算方法以及应用。

1. 原理:高斯数值积分公式是基于插值多项式的思想,通过在积分区间内选取一组特定的插值节点,构造一个与被积函数近似的插值函数,然后对插值函数进行积分来近似计算定积分的值。

2. 4点高斯数值积分公式的计算方法:4点高斯数值积分公式是通过选取4个特定的插值节点来进行数值积分的方法。

选取节点的方法是通过对区间[-1, 1]上的Legendre 多项式进行求解,得到多项式的根,并将这些根映射到积分区间[a, b]上。

具体计算方法如下:步骤1:确定积分区间[a, b]和被积函数f(x)。

步骤2:通过求解Legendre多项式的根,得到4个插值节点x1, x2, x3, x4。

步骤3:将插值节点映射到积分区间[a, b]上,得到实际的插值节点a1, a2, a3, a4。

步骤4:计算插值节点处的权重系数w1, w2, w3, w4。

步骤5:计算数值积分的近似值I ≈ w1f(a1) + w2f(a2) + w3f(a3) + w4f(a4)。

3. 4点高斯数值积分公式的应用:4点高斯数值积分公式在实际问题中有广泛的应用,特别是对于无法直接求解的复杂函数定积分而言,可以通过高斯数值积分来近似计算。

例如,在物理学中,许多物理量的计算需要进行积分。

通过使用高斯数值积分公式,可以将积分转化为对被积函数在特定插值节点上取值的加权求和,从而得到近似的积分结果。

在金融学中,对于期权定价等问题,也可以利用高斯数值积分公式来进行近似计算。

通过将期权的支付函数表示为被积函数,然后使用高斯数值积分公式来计算期权的价值。

4. 总结:4点高斯数值积分公式是一种常用的数值积分方法,通过选取4个特定的插值节点和权重系数,在积分区间内对被积函数进行插值和积分,从而近似计算定积分的值。

数值分析4。4高斯型求积公式

数值分析4。4高斯型求积公式
1 n ik
2 或可证得 Ak 1 xk2 [ Pn1 ( xk )]2
, k 0,1,
,n
高斯-勒让德求积公式的余项为
22n3[(n 1)!]4 (2 n 2) R[ f ] f ( ), (1,1) 3 (2n 3)[(2n 2)!]
华长生制作
此定积分的精确值为 I=e-2=0.718281828,得n=1时的误差为 0.0063340054, n=2时的误差为0.000030049。
华长生制作 17
2.高斯-切比雪夫求积公式
在区间[-1,1]上取权函数 x
多项式。n+1次Chebyshev多项式
1 1 x2
的正交多项式是Chebyshev正交
i 2 ,3 , , n
Ax b 4.4 高斯型求积公式
在Newton-Cotes求积公式中,节点是等距的, 从而限制了求积公式的代数精度.下面的讨 论将取消这个限制条件,使求积公式的代数 精度尽可能高.首先以简单情形论证这样做 是可行的,然后给出概念和一般理论。
华长生制作
2
例 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽 1 量高。

b
a
x f x dx a x Qx dx
b
由于是插值型求积,它对于Q(x)能准确立即
华长生制作 8

x Q x dx A Q x
b a k 0 k k
n
注意到 n1 xk 0 知
Qxk f xk
推论
n+1次正交多项式的零点是n+1点Gauss公式的Gauss点

利用正交多项式得出Guass点 x0 , x 1 , xn

常用高斯积分公式

常用高斯积分公式

常用高斯积分公式高斯积分公式在数学领域中可是个相当重要的“宝贝”!咱先来说说高斯积分公式到底是啥。

简单来讲,高斯积分公式就是用来计算一些复杂积分的神奇工具。

比如说,对于形如∫e^(-x^2)dx 这样的积分,用普通方法可能会让你头疼不已,但高斯积分公式就能轻松搞定。

还记得我当年读书的时候,有一次做数学作业,遇到了一个特别复杂的积分题。

我盯着那道题,抓耳挠腮了半天,感觉头发都要被我薅掉了一大把。

各种常规方法都试了个遍,可就是算不出来。

就在我几乎要放弃的时候,突然想到了老师讲过的高斯积分公式。

我赶紧把相关的知识点在脑海里过了一遍,然后小心翼翼地按照公式一步一步地推导计算。

那过程可真是紧张又刺激,每一步我都提心吊胆,生怕出错。

当我终于算出答案的时候,那种成就感简直爆棚!就好像在黑暗中摸索了好久,突然看到了一束亮光。

在数学的世界里,高斯积分公式就像是一把万能钥匙,能打开很多看似紧闭的知识大门。

它在概率论、数理统计、物理学等众多领域都有着广泛的应用。

比如说在概率论中,计算正态分布的概率密度函数的积分时,高斯积分公式就能大显身手。

正态分布在我们的生活中可是无处不在的,像学生的考试成绩分布、人的身高体重分布等等,很多都近似于正态分布。

在物理学中,求解一些电场、磁场相关的积分问题时,高斯积分公式也能发挥重要作用。

想象一下,科学家们在研究微观粒子的运动时,通过高斯积分公式就能更准确地描述和预测粒子的行为,这多厉害呀!再说说高斯积分公式的推导过程。

这可不是一件轻松的事儿,需要用到不少高深的数学知识和巧妙的方法。

但正是因为它的推导不容易,才更显得它的珍贵和神奇。

对于咱们学习数学的人来说,掌握高斯积分公式不仅能帮助我们解决难题,还能让我们感受到数学的魅力和力量。

总之,高斯积分公式虽然有点复杂,但只要咱们用心去学,去运用,就能发现它的妙处,让它成为我们探索数学世界的有力武器!就像我当年攻克那道难题一样,只要不放弃,高斯积分公式总会给我们带来惊喜。

高斯(Gauss)求积公式

高斯(Gauss)求积公式

数值分析
(2)利用正交多项式构造高斯求积公式 )
为正交多项式序列, 设Pn(x),n=0,1,2,…,为正交多项式序列, Pn(x) 为正交多项式序列 具有如下性质: 具有如下性质: 1)对每一个 ,Pn(x)是 n 次多项式。 n=0,1,… )对每一个n 是 次多项式。 2) 正交性 b ρ( x)P ( x)P ( x)dx = 0,(i ≠ j) ) 正交性) (正交性

1
1
f ( x)dx ≈ f (0.5773502692) + f (0.5773502692)
n=2

1
1
f ( x)dx ≈ 0.555555556 f (0.7745966692)
+0.888888889 f (0) + 0.555555556 f (0.7745966692)
数值分析
数值分析
例: 运用三点高斯-勒让德求积公式与辛卜生求积 公式计算积分∫ x + 1.5dx 1 解:由三点高斯-勒让德求积公式有
1

1
1
x + 1.5dx
≈ 0.555556( 0.725403 + 2.274596) + 0.888889 1.5 = 2.399709 由三点辛卜生求积公式有 1 1 ∫1 x + 1.5dx ≈ 3 ( 0.5 + 4 1.5 + 2.5) = 2.395742
b k=0 k=0
b b
n
n
由性质3) 由性质 )及(4)式,有 式
ρ( x) f ( x)dx = ∫a ρ( x)q( x)P +1( x)dx + ∫a ρ( x)r( x)dx n a

高斯速算法公式

高斯速算法公式

高斯速算法公式
高斯速算法公式是一种快速算术技巧,可以在短时间内完成复杂的计算。

该公式由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯于18世纪末发明,被广泛应用于数学、物理、工程等领域。

高斯速算法公式的核心思想是将复杂的计算分解为简单的步骤,然后利用数学规律进行快速计算。

具体来说,高斯速算法公式包括以下几个常用公式:
1. 两数之积法:设要计算的两个数为a和b,将a和b分别加上(或减去)一个相同的数c,使得a+c和b-c均为整数的平方数,然后将a+c和b-c的平方数相减即为所求的积。

2. 平方差法:设要计算的两个数为a和b,将它们的平均数记为m,则a和b的平方差可表示为(m+(a-m))^2 - (m+(b-m))^2,化简后得到(a+b)(a-b)。

3. 三角形法则:对于一个三角形,若知道任意两边的长度和它们夹角的正弦值,则可以通过正弦定理求出第三边的长度。

4. 除法求余法:设要计算的除数为a,被除数为b,将a和b 分别除以一个相同的数c,得到商和余数,则a/b可表示为(c×商+余数)/c。

以上四个公式是高斯速算法中常用的公式,可以极大地提高计算效率。

此外,还有其他一些公式,例如完全平方数的求法、立方差公式等,都可以应用于高斯速算法中。

- 1 -。

高斯型求积公式代数精度

高斯型求积公式代数精度

高斯型求积公式代数精度好的,以下是为您生成的关于“高斯型求积公式代数精度”的文章:在数学的奇妙世界里,求积公式就像是一把神奇的钥匙,能帮助我们打开计算各种复杂图形面积或积分的大门。

而高斯型求积公式,那更是这把钥匙中的精品。

咱们先来聊聊啥是代数精度。

简单说,代数精度就是衡量一个求积公式在计算多项式积分时的准确程度。

比如说,一个求积公式能准确计算一次多项式的积分,那它的代数精度至少是 1;要是能准确计算二次多项式的积分,代数精度就至少是 2 啦。

那高斯型求积公式为啥这么牛呢?这就得从它的构造说起了。

它可不是随便弄出来的,而是经过了一番精心设计。

就好像建筑师盖房子,每一块砖头的位置都是精心计算好的。

还记得我读大学那会,有一次老师在课堂上讲高斯型求积公式。

那是一个阳光明媚的上午,教室里的窗户大开着,微风轻轻吹进来。

我一开始也是听得云里雾里的,心里想着:“这啥呀,咋这么复杂!”可老师不慌不忙,在黑板上一步一步地推导,边写边解释。

我瞪大眼睛盯着黑板,努力跟上老师的节奏。

老师说:“同学们,这高斯型求积公式就像是一个精密的仪器,只要你们掌握了它的原理和构造方法,就能在积分计算的海洋里畅游。

”我当时心里就憋着一股劲,非要把它弄明白不可。

经过反复琢磨和做练习题,我渐渐发现了高斯型求积公式的妙处。

它的节点选择可不是随便定的,而是有特殊的规律。

这些节点就像是一个个精准的坐标,让求积的结果更加准确。

而且啊,高斯型求积公式的代数精度特别高。

一般的求积公式可能在计算高次多项式积分时就开始出现偏差,可高斯型求积公式却能在相当高的次数内保持准确性。

这就好比普通的尺子只能测量较短的距离,而高斯型求积公式就像是一把超级长的尺子,能测量很长很长的距离还保持精准。

比如说,在计算一些复杂的曲线围成的面积时,用普通的求积公式可能会有较大的误差,可要是用上高斯型求积公式,那结果就会让人眼前一亮。

再想想实际生活中的应用,比如在工程计算中,要计算某个不规则物体的质量或者重心位置,这时候高斯型求积公式就能大显身手啦。

数值分析10_4。4高斯型求积公式

数值分析10_4。4高斯型求积公式

Px
x
n1
Q( x)
其中P(x)和Q(x)都是次数不超过n的多项式,于是有
b
a
x
f
xdx
b
a
x Qx dx
由于是插值型求积,它对于Q(x)能准确立即
华长生制作
8

b
a
x
Q
x
dx
n
Ak
Q
xk
k 0
注意到 n1xk 0 知 Qxk f xk ,从而有
b
a
x f
x dx
n
Ak
f
xk
k 0
Gauss-Chebyshev求积公式为
1
1
1 1 x2
f
xdx
3
f
3 2
f 0
f
3 2
,
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19
例 计算积分
1 2 x dx
1 1 x 2
解 选用n=2的Gauss-Chebyshev求积公式计算,这时 f x 2 x
于是有
1 1
2 x 1 x2
dx
3
2 3 2
2
2
3 2
多项式。n+1次Chebyshev多项式
Tn1x cos[(n 1) arccos x]
的零点为
xk
cos 2k 1 , k
2n 2
0,1,
, n.
以此为Gauss点,利用Chebyshev多项式的性质可得相应的求积系数 为
1
Ak 1
1 1
x2
lk xdx
,k
n 1
0,1,
n.
其中 lk x 是关于Gauss点的Lagrange插值基函数.从而有Gauss-

高斯(Gauss)求积公式

高斯(Gauss)求积公式
k 0
n
b
a
x xi ( x ) dx i 0 xk xi
n ik
是Guass型求积公式。
证明:只要证明求积公式的代数精确度为2n+1,即对 任意一个次数≤2n+1的多项式求积公式都精确成立。 设 f(x)为任意一个次数≤2n+1的多项式,则有 f(x)=q(x)Pn+1(x)+r(x),满足 f(xk)=r(xk) 这里, Pn+1(x)是 n+1次正交多项式, q(x)、r(x)均是 次数≤n的多项式。
计算物理
(2)利用正交多项式构造高斯求积公式
设Pn(x),n=0,1,2,…,为正交多项式序列, Pn(x) 具有如下性质: 1)对每一个n ,Pn(x)是 n 次多项式。 n=0,1,… b 2) (正交性) ( x ) P ( x ) P ( x )dx 0,(i j )

a
i
j
3)对任意一个次数≤n-1的多项式P(x),有
0
计算物理
计算物理
以 2 ( x )的零点x0
2 5
, x1
2 5
作为高斯点。
两点高斯公式 n 1, 应 有3次 代 数 精 度 , 求 积 公 形 式如

1
1
(1 x 2 ) f ( x )dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 )
将f ( x ) 1, x依 次 代 入 上 式 两 端 , 其 令成 为 等 式 。
计算物理计算物理例 Nhomakorabea对积分 f ( x )dx, 试利用n 3的四点Gauss Legendre
0
1
求积公式构造Gauss型求积公式。即确定x0 , x1 , x2 , x3和 A0 , A1 , A2 , A3使

第四节 高斯Gauss求积公式讲解

第四节 高斯Gauss求积公式讲解

1
? F (t )dt ?1
?
A0F (t0) ?
A1F (t1 ) ?
A2F (t2 ) ?
? 0.888888889 f (0) ? 0.555555556 f (0.7745966692)
数值分析
数值分析
例: 运用三点高斯-勒让德求积公式与辛卜生求积
? 公式计算积分1 x ? 1.5dx ?1
解 :由三点高斯-勒让德求积公式有
1
? x ? 1.5dx ?1
? 0.555556( 0.725403? 2.274596)? 0.888889 1.5
(高斯点),
2.用高斯点 x 0 , x 1 ,? x n 对 f ( x )作 Lagrange 插值多项式
n
? f ( x ) ? li ( x ) f ( x i )
i? 0
? ? ? 代入积分式
b
b
n
? ( x ) f ( x )dx ? ? ( x )(
a
a
li ( x ) f ( x i ))dx
解:先作变量代换
x
?
1 (a
?
b) ?
1 (b ?
a)t
?
1 (1 ?
t ),
2
2
2
dx ? 1 dt 2
? ? ? 于是
1
1
f ( x )dx ?
11
?1
f ( (1 ? t ))dt ?
1
F (t )dt
0
2 ?1 2
2 ?1
? 对积分 1 F (t )dt用四点 Gauss ? Legendre 求积公式 ?1
? 0 ( x ), ? 1 ( x ), ? 2 ( x ).

高斯求积公式.ppt

高斯求积公式.ppt

Tn(x)=cos(narccos(x))
xk
cos
(2k 1)
2n
, Ak
n
3.Gauss - Laguerre 求积公式
ex f (x)dx
0
n
Ak f (xk )
(3)
k 1
4 .Gauss - Hermite 求积公式
e
x
2
f
( x)dx
n
Ak f ( xk )
k 1
(4)
例题:分别用不同方法计算如下积分,并做比较
[ 如果事先已选定[a ,b]中求积节点xk如下ax1 …x nb,上式成为n个未知 数 A1、...An的n元线性方程组,此时要r=n 时方程组有唯一解]
事实上,取 2n次多项式g(x)=(x-x1)2(x-x2)2….(x-xn)2 代入求积公式,有
左=
b
(x)g(x)dx o
a
右=
n
Ak g( xk )=0
A1 + A2 + …… + An =∫ab1dx.= b-a x1 A1 + x2 A2+ …… +xn An =∫abxdx.= (b2-a 2)/2
......
x1 rA1 + x2 rA2+ …… +xn rAn =∫abxr dxr =(br+1-a r+1)/ (r+1)
上式共有 r 个 等式,2n个待定系数(变元),要想如上方程组有唯一解,应有方 程组中方程的个数等于变元的个数,即 r=2n,这样求出的解答应的求积公式的代 数精度至少是2n-1,下面证明代数精度只能是2n-1.
定理: 若f(2n)(x)在[a,b]上连续,则高斯求积公式的余项为

高斯Gauss求积公式.ppt

高斯Gauss求积公式.ppt

i0
1
2
ti 0.861136 0.339981 0.339981
Ai 0.347855
0.652145 0.652145
xi 0.069432
0.330009
0.669991
Ai 0.173927
0.326073 0.326073
于是
1
f ( x)dx 0.173927 f (0.069432)
(r+1)
数值分析
数值分析
上式共有 r +1个 等式,2n+2个待定系数(变元),要想如 上方程组有唯一解,应有方程的个数等于变元的个数, 即 r+1=2n+2, 这样导出求积公式的代数精度至少是 2 n+1,下面证明代数精度只能是2n+1.
事实上,取 2n+2次多项式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2….(x-
f(x)=q(x)Pn+1(x)+r(x),满足 f(xk)=r(xk)
这里, Pn+1(x)是 n+1次正交多项式, q(x)、r(x)均是
次数≤n的多项式。
b
b
b
(x) f (x)dx a
a ( x)q( x)Pn1( x)dx
( x)r( x)dx
a
数值分析
数值分析
由于n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低
k0
达到最高代数精度2n+1的求积公式称为Guass求积公式。
Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为 Guass系数.
因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有 结论: n+1个节点的插值型求积公式的代数精度 d
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=
A
1
=1
于是得到求积公式
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1 −1
f
( x )dx
≈ f −
1 + f 3
1 3
3
它有3次代数精度, 它有 次代数精度,而以两个端点为节点的梯形公式只有 次代数精度 1次代数精度。 次代数精度。 次代数精度 一般地, 一般地,考虑带权求积公式
I =

1
0
x 2 e x dx
解 由于区间为[0,1],所以先作变量替换 由于区间为 所以先作变量替换x=(1+t)/2,得 得 所以先作变量替换 2 1 1 1 2 x I = ∫ x e dx = ∫ (t +1 e(1+t ) / 2dt ) 0 8 −1 2 对于n=1,由两点 由两点Gauss-Legendre公式有 令 由两点 公式有 f (t ) = (1 + t ) e (1+t )/ 2 对于

b a
ρ
( x )l k ( x )dx
, k = 0 ,1 , L n
是关于Gauss点的 点的Lagrange插值基函数。 插值基函数。 其中 l k ( x ) 是关于 点的 插值基函数
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定理2 定理 高斯型求积公式总是稳定的。 证明 只需证明高斯系数全为正即可。由 于插值公式对次数不超过2n+1的多项式精 f ( x ) = lk2 ( x), 其中lk ( x ) 是n次拉格 确成立,若取 朗日插值基函数,有
1 P3 ( x ) = ( 5 x 2 − 3 x ), 当n=2时,三次 时 三次Legendre多项式 多项式 2
零点为 x 0
= −
15 , x1 = 0 , 5
x
2
=
15 5
,以此为Gauss点,可构造出具有 以此为 点
五次代数精度的3点 五次代数精度的 点Gauss-Legendre求积公式 求积公式
n +1
k=0
但 ω n +1 (x k ) = 0, (k = 0,1, 2 L n ) 故结论成立。
再证充分性。设f(x)是任意个次数不超过 是任意个次数不超过2n+1的多项式,用ω n + 1 ( x ) 的多项式, 再证充分性。 是任意个次数不超过 的多项式 ),记商为 ),余式为 除f(x),记商为 (x),余式为 ( ),记商为P( ),余式为Q(x),即 f ,
对于一般区间[a, 上的求积 如果用Gauss-Legendre求积公式,那么 上的求积, 求积公式, 对于一般区间 ,b]上的求积,如果用 求积公式 必须作变量替换
x
1 1 x = (a +b) + (b −a)t 2 2
使 x ∈
[a , b ] 时,t ∈ [− 1,1]
,并有

b
a
f ( x)dx =

1
− 1
f ( x)dx ≈
5 9
15 8 5 + f (0) + f − 5 9 9
15 f 5 .
15
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Ak Guass-Legendre求积公式中的 求积公式中的Gauss点和求积系数见书上表 。 点和求积系数见书上表4-4。 求积公式中的 点和求积系数见书上表 k
f (2 n + 2) (ζ ) b 2 ρ ( x )ωn +1 ( x ) dx , ζ ∈ (a, b) R[ f ] = (2n + 2)! ∫a
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12
由前面的讨论知,正交多项式的零点就是高斯点, 由前面的讨论知,正交多项式的零点就是高斯点,因此取不同的正交多项式就得到不同 的高斯型求积公式。 的高斯型求积公式。
1 1 1 I ≈ f (− )+ f = 0.71194774 8 3 3
对于n=2,由三点 对于 由三点Gauss-Legendre公式有 公式有 由三点
1 5 15 8 5 15 − + f (0) + f I ≈ f 9 5 = 0.718251799 8 9 5 9
1 b − a 1 1 f (a +b) + (a −b)tdt − 2 ∫ 1 2 2
对于上式右边的积分可以应用Guss-Legendre求积公式。 求积公式。 对于上式右边的积分可以应用 求积公式
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16

求积公式(n=1,2)计算积分 用Gauss-Legendre求积公式 求积公式 计算积分
系数
( x − xi ) dx , Ak = ∫ ∏ −1 i = 0 ( xk − xi )
1 n i≠k
2 或可证得 Ak = (1 − xk2 )[ Pn′+1 ( xk )]2
, k = 0,1,L , n
高斯-勒让德求积公式的余项为
22 n +3 [(n + 1)!]4 R[ f ] = f (2 n + 2) (ζ ) , ζ ∈ (−1,1) (2n + 3)[(2n + 2)!]3
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由插值余项
R[ f ] = ∫
b a
f ( n +1) (ξ ) ρ ( x) ωn +1 ( x)dx (n + 1)!
知插值型求积公式的代数精度不可能低于n,另一方 面,若取 n
2 f ( x ) = ωn +1 ( x ) = ∏ ( x − xi ) i =0 2
则有截断误差
其中
个待定参数, 为2n+2个待定参数,适当选择这些参 个待定参数
次代数精度。 数,有可能使求积公式具有2n+1次代数精度。 有可能使求积公式具有 次代数精度
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4
如果上述求积公式具有2n+1次代数精度,则 次代数精度, 定义 如果上述求积公式具有 次代数精度 称该公式高斯型求积公式,称 称该公式高斯型求积公式, 其 高斯型求积公式 节点为高斯点 高斯点, 称为高斯系数 高斯系数。 节点为高斯点,系数 Ak 称为高斯系数。
k
(k
=
0 ,1 , L
n)华长生制作 Nhomakorabea9
由于n+1次正交多项式与比它次数低的任意多项式正交,并且n+1次 次正交多项式与比它次数低的任意多项式正交,并且 由于 次正交多项式与比它次数低的任意多项式正交 次 正交多项式恰好有n+1各互异的实的单根,我们有下面的推论。 各互异的实的单根,我们有下面的推论。 正交多项式恰好有 各互异的实的单根
以n+1次Legendre多项式的零点 xk ( k = 0,1,L , n ) 为Gauss点的求积公式为 次 多项式的零点 点的求积公式为

1
− 1
f ( x)dx ≈ ∑A f ( xk ) k
k=0
n
称之为Gauss-Legendre求积公式。其中 求积公式。 称之为 求积公式
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推论
n+1次正交多项式的零点是 次正交多项式的零点是n+1点Gauss公式的 公式的Gauss点 次正交多项式的零点是 点 公式的 点
0

利用正交多项式得出Guass点 x 点 利用正交多项式得出
, x
1
, L
x
n
后,利用插值原理可得Gauss公式的求积系数为 利用插值原理可得 公式的求积系数为
Ak =
( x ) = P (x

n+1
(x ) +
Q(x)
其中P(x)和Q(x)都是次数不超过 的多项式,于是有 和 都是次数不超过n的多项式 其中 都是次数不超过 的多项式,

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b
a
( ρ( x) f ( x)dx = ∫ ρ( x)Q x)dx a
b
由于是插值型求积,它对于 由于是插值型求积,它对于Q(x)能准确立即 能准确立即
此定积分的精确值为 I=e-2=0.718281828,得n=1时的误差为 得 时的误差为 0.0063340054, n=2时的误差为 时的误差为0.000030049。 时的误差为 。
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2
确定下列求积公式中的待定参数, 例 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽 1 量高。 量高。
−1
∫ f ( x)dx ≈ A
+
0
f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
按代数精度的概念, 解 按代数精度的概念,分别令 f ( x ) = 1 , x , x 2 , x 3 时 上式左边与右边分别相等, 上式左边与右边分别相等,有
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多项式x的零点为 当n=0时,一次 时 一次Legendre多项式 的零点为 , Ak 为2; 多项式 的零点为0, ; 当n=1时,二次 时 二次Legendre多项式 多项式
=− 1 1 , x1 = 3 3
P 2 (x ) =
1 (3 x 2
2
− 1 ),
零点为 x 0
, Ak 为1(k=0,1) ; (
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先证必要性.设 是任意次数不超过n的多项式 证. 先证必要性 设P(x)是任意次数不超过 的多项式 则 P( x) 是任意次数不超过 的多项式,则
ω (x )
n +1
的次数不超过 2n+1。因此 如果 x 0 , x1 , L x n 是Gauss点,则求积公 。因此,如果 点 式对于 P ( x )ω 是准确成立的, ( x ) 是准确成立的,即有 n b k ∫ ρ( x)P(x)ωn+1(x)dx = ∑A P( xk )ωn+1( xk ) a
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