线段的垂直平分线典型例题

合集下载

线段的垂直平分线典型例题

典型例题

例1．如图，已知：在ABC ∆中，︒=∠90C ，︒=∠30A ，BD 平分ABC ∠交AC 于D .

求证：D 在AB 的垂直平分线上.

分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D 在AB 的垂直平分线上，只需证明DA BD =即可.

证明：∵︒=∠90C ，︒=∠30A （已知），

∴ ︒=∠60ABC （∆Rt 的两个锐角互余）

又∵BD 平分ABC ∠（已知）

∴ A ABC DBA ∠=︒=∠=∠302

1. ∴AD BD =（等角对等边）

∴D 在AB 的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.

例2．如图，已知：在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠120BAC ，AB 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于F 。

求证：BF CF 2=。

分析：由于︒=∠120BAC ，AC AB =，可得︒=∠=∠30C B ，又因为EF 垂直平分AB ，连结AF ，可得BF AF =. 要证BF CF 2=，只需证AF CF 2=，即证︒=∠90FAC 就可以了.

证明：连结AF ，

∵EF 垂直平分AB （已知）

∴FB FA =（线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等）

∴B FAB ∠=∠（等边对等角）

∵AC AB =（已知），

∴C B ∠=∠（等边对等角）

又∵︒=∠120BAC （已知），

∴︒=∠=∠30C B （三角形内角和定理）

∴︒=∠30BAF

∴︒=∠90FAC

∴FA FC 2=（直角三角形中，︒30角所对的直角边等于斜边的一半）

∴FB FC 2=

线段的垂直平分线学习材料

线段的垂直平分线

知识要点

1、线段的垂直平分线的性质定理：

线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．

2、线段的垂直平分线的性质定理的逆定理：

和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

3、线段的垂直平分线的第二定义：

线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合．

把上面的性质定理，画出图形，并用证明的方式表示出来。

典型例题

例1 证明：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．

已知：如图3-62，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC＝CB．点

P在MN上．求证：PA=PB．

例2 已知：如图3-63，△ABC中，边AB、BC的垂直平

分线相交于点P．求证：PA＝PB＝PC．

例题答案

例1 证明: ∵MN⊥AB(已知)，

∴∠PCA=∠PCB(垂直定义).

在△PCA和△PCB中，

AC=CB(已知)，

∠PCA=∠PCB(已证)，

PC=PC(公共边)，

∴△PCA≌△PCB(SAS).

∴PA=PB(全等三角形的对应边相等).

例2 证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上（已知），

∴PA=PB（线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点距离相等）．

同理PB=PC．

∴PA＝PB＝PC．

练习

一、填空题

1．线段的垂直平分线可以看作是________________的集合。

2．如果MN是线段AB的垂直平分线，垂足为P，那么________⊥________，

__________=_________，设点Q在MN上，则QA=_________，如果CA=CB，那么点C在_________上。

线段的垂直平分线与角平分线

【知识框架】

1、线段垂直平分线的性质

（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

定理的数学表示：如图1，∵ CD ⊥AB ，且AD ＝BD

∴ AC ＝BC.

定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称. 2、线段垂直平分线的判定定理：

到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，∵ AC ＝BC

∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上.

定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上. 3、关于线段垂直平分线性质定理的推论（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：

三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等. 性质的作用：证明三角形内的线段相等.

（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：

若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；

若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。 4、角平分线的性质定理：

角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

图1

图2

图4

定理的数学表示：如图4，

∵ OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，且CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D ， ∴ CF ＝DF. 定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线. 5、角平分线性质定理的逆定理：

线段垂直平分线知识点+经典例题

第三讲线段的垂直平分线

【要点梳理】

要点一、线段的垂直平分线

1.定义

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．

2.线段垂直平分线的做法

求作线段AB 的垂直平分线.

作法：

（1）分别以点A ，B 为圆心，以大于

AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点；

（2）作直线CD ，CD 即为所求直线．

要点诠释：

(1)作弧时的半径必须大于AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了．

(2)线段的垂直平分线的实质是一条直线.

要点二、线段的垂直平分线定理

线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．

要点诠释：

线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．

要点三、线段的垂直平分线逆定理

线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．要点诠释：

到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．

要点四、三角形的外心

三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.

要点诠释:

1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.

2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.

垂直平分线和角平分线典型题

线段的垂直平分线与角平分线(1)

知识要点详解

1、线段垂直平分线的性质

（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点

的距离相等.

定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.

定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.

2、线段垂直平分线性质定理的逆定理

（1）线段垂直平分线的逆定理：

到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.

定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.

3、关于三角形三边垂直平分线的定理

（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：

三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.

定理的作用：证明三角形内的线段相等.

（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：

图1

图2

若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.

垂直平分线与角平分线典型题练习题

线段的垂直平分线与角平分线〔1〕

经典例题：

例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，那么AC 的长等于〔〕 A ．6cm B ．8cm

C ．10cm

D ．12cm

针对性练习：

：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点 E ，若是△EBC 的周长是24cm ，那么BC= 2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若是BC=8cm ，那么△EBC 的周长

是

3）如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若是∠A=28 度，那么∠EBC 是

例2. ： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。

针对性练习：

：在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC,求证：点O 在BC 的垂直平分线.

例3. 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC 的底角∠B 的大小为_______________。针对性练习：

1. 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为40°，那么底角B 的大小为________________。

例4、如图8，AD 是△ABC 的BC 边上的高，且∠C ＝2∠B ，

求证：BD ＝AC ＋CD.

O B A C N

课堂练习：

1.如图，AC =AD ，BC =BD ，那么〔〕垂直平分AD 垂直平分CD 平分∠ACB

垂直平分线与角平分线典型题[1]

线段的垂直平分线与角平分线(1)

知识要点详解

1、线段垂直平分线的性质

（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点

的距离相等.

定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.

定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.

2、线段垂直平分线性质定理的逆定理

（1）线段垂直平分线的逆定理：

到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.

定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.

3、关于三角形三边垂直平分线的定理

（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：

三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.

定理的作用：证明三角形内的线段相等.

（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：

线段垂直平分线知识点+经典例题

第三讲线段的垂直平分线

【要点梳理】

要点一、线段的垂直平分线

1.定义

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．

2.线段垂直平分线的做法

求作线段AB 的垂直平分线.

作法：

（1）分别以点A ，B 为圆心，以大于

AB 的长为半径作弧，两弧相交于C ，D 两点；

（2）作直线CD ，CD 即为所求直线．

要点诠释：

(1)作弧时的半径必须大于AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了．

(2)线段的垂直平分线的实质是一条直线.

要点二、线段的垂直平分线定理

线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．

要点诠释：

要点三、线段的垂直平分线逆定理

线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．要点诠释：

到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．

要点四、三角形的外心

三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.

要点诠释:

1.三角形三条边的垂直平分线必交于一点（三线共点），该点即为三角形外接圆的圆心.

2.锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形外部；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合.

线段的垂直平分线与角平分线综合压轴题五种模型全攻略(解析版)--初中数学

线段的垂直平分线与角平分线综合压轴题五种模型全攻略

【考点导航】

【典型例题】

【考点一利用线段垂直平分线的性质求解】

【考点二线段垂直平分线的判定】

【考点三利用角平分线的性质求解】

【考点四角平分线的判定】

【考点五线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】

【过关检测】

【典型例题】

【考点一利用线段垂直平分线的性质求解】

1(2023春·江苏淮安·七年级校考阶段练习)如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB、AC于E，D，连接EC，则∠BEC=．

【答案】72°/72度

【分析】先根据垂线平分线的定义得到AD=CD，ED⊥AC，进而证明△ADE≌△CDE得到∠DCE =∠A=36°，则由三角形外角的性质可得∠BEC=∠A+∠ACE=72°．

【详解】解：∵AC的垂直平分线交AB、AC于E，D，

∴AD=CD，ED⊥AC，

∴∠ADE=∠CDE=90°，

又∵ED=ED，

∴△ADE≌△CDE SAS

，

∴∠DCE=∠A=36°，

∴∠BEC=∠A+∠ACE=72°，

故答案为：72°．

【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，全等三角形的性质与判断，线段垂直平分线的定义，正确推出∠DCE=∠A=36°是解题的关键．

【变式训练】

1(2023·江苏·八年级假期作业)三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的()

A.三条角平分线的交点

B.三边中线的交点

C.三边上高所在直线的交点

D.三边的垂直平分线的交点

《线段的垂直平分线》典型例题

典型例题

例1.如图，已知：在ABC ∆中,︒=∠90C ，︒=∠30A ,BD 平分ABC ∠交AC 于

D .

求证：D 在A Ｂ的垂直平分线上．

分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证Ｄ在AB 的垂直平分线上，只需证明DA BD =即可.

证明：∵︒=∠90C ,︒=∠30A （已知),

∴ ︒=∠60ABC （∆Rt 的两个锐角互余）

又∵BD 平分ABC ∠(已知）

∴ A ABC DBA ∠=︒=∠=∠302

1． ∴AD BD =(等角对等边)

∴D 在AB 的垂直平分线上(和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上）.

例２．如图，已知:在ABC ∆中,AC AB =,︒=∠120BAC ，ＡB 的垂直平分线交ＡＢ于Ｅ,交BC 于F 。

求证:BF CF 2=。

分析:由于︒=∠120BAC ，AC AB =，可得︒=∠=∠30C B ，又因为EF 垂直平分AB ，连结ＡF ,可得BF AF =. 要证BF CF 2=,只需证AF CF 2=,即证︒=∠90FAC 就可以了.

证明:连结A Ｆ,

∵E Ｆ垂直平分AB （已知)

∴FB FA =（线段垂直平分线上的点和这条线段两端点的距离相等) ∴B FAB ∠=∠(等边对等角）

∵AC AB =（已知），

∴C B ∠=∠（等边对等角）

又∵︒=∠120BAC (已知)，

∴︒=∠=∠30C B (三角形内角和定理)

∴︒=∠30BAF

∴︒=∠90FAC

∴FA FC 2=（直角三角形中，︒30角所对的直角边等于斜边的一半) ∴FB FC 2=

垂直平分线与角平分线典型题练习题

线段的垂直平分线与角平分线（1）之邯郸勺丸创作

经典例题：

例1 如图1,在△ABC 中,BC ＝8cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D,

交边AC 于点E,△BCE 的周长等于18cm,则AC 的长等于（

A ．6cm

B ．8cm

C ．10cm

D ．12cm 针对性练习：

已知：1)如图,AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D,交AC

于点E,如果△EBC 的周长是24cm,那么BC=

2) 如图,AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D,交

AC 于点E,如果BC=8cm,那么△EBC 的周长是

3）如图,AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D,交AC 于点

E,如果∠A=28 度,那么∠EBC 是

例2. 已知： AB=AC,DB=DC,E 是AD 上一点,求证：BE=CE.

针对性练习：

已知：在△ABC 中,ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC,求证：点O 在BC

的垂直平分线.

例3. 在△ABC 中,AB=AC,AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°,△ABC 的底角∠B 的大小为_______________.

针对性练习：

1. 在△ABC 中,AB=AC,AB 的垂直平分线与AC 所在直 O

B A

N B

线相交所得的锐角为40°,则底角B的大小为________________.

例4、如图8,已知AD是△ABC的BC边上的高,且∠C＝2∠B,

求证：BD＝AC＋CD.

课堂练习：

1.如图,AC=AD,BC=BD,则（）

A.CD垂直平分AD

(完整版)垂直平分线与角平分线典型题

线段的垂直平分线与角平分线(1)

知识要点详解

1、线段垂直平分线的性质

（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点

的距离相等.

定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.

定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.

2、线段垂直平分线性质定理的逆定理

（1）线段垂直平分线的逆定理：

到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.

定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上

3、关于三角形三边垂直平分线的定理

（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：

三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.

定理的作用：证明三角形内的线段相等.

（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：

图1

图2

垂直平分线与角平分线典型题

线段的垂直平分线与角平分线(1)

知识要点详解

1、线段垂直平分线的性质

（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线

上的点到这条线段两个端点的距离相等.

定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.

定理的作用：证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称.

2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：

到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.

定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上

3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：

三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

图1

图2

定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k分别是△ABC 三边AB、BC、CA的垂直平分线，则直线,,i j k相交于一点O，且OA＝OB＝OC.

定理的作用：证明三角形内的线段相等.

（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：

若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外

部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角

形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边

垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形

垂直平分线例题

线段的垂直平分线---知识讲解(提高)

【学习目标】

1.掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．

2.会证明三角形的三条中垂线必交于一点.掌握三角形的外心性质定理.

3.已知底边和底边上的高，求作等腰三角形.

4.能运用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题及实际问题．

【要点梳理】

要点一、线段的垂直平分线

1.定义

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．

2.线段垂直平分线的做法

求作线段AB 的垂直平分线.

作法：

（1）分别以点A，B 为圆心，以大于

21AB 的长为半径作弧，两弧相交于C，D 两点；（2）作直线CD，CD 即为所求直线．

要点诠释：(1)作弧时的半径必须大于2

1AB 的长，否则就不能得到两弧的交点了．(2)线段的垂直平分线的实质是一条直线.

要点二、线段的垂直平分线定理

线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．要点诠释：

要点三、线段的垂直平分线逆定理

线段的垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．要点诠释：

到线段两个端点距离相等的所有点组成了线段的垂直平分线.线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点的距离相等的所有点的集合．

垂直平分线与角平分线典型题练习题

线段的垂直平分线与角平分线（1）之蔡仲巾千创作

经典例题：

例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边

AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（

A ．6cm

B ．8cm

C ．10cm

D ．12cm 针对性练习：

已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，

如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC=

2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于

点E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是

3）

如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28 度，那么∠EBC 是

例2. 已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。针对性练习：

已知：在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC,求证：点O 在BC 的垂直平分线.

例3. 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC 的底角∠B 的大小为_______________。

针对性练习：

1. 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为40°，则底角B 的大小为________________。

例4、如图8，已知AD 是△ABC 的BC 边上的高，且∠C ＝2∠B，

O B

F E

求证：BD ＝AC ＋CD.

课堂练习：