高二人教版数学选修2-2课件：2.2.1 综合法与分析法

方法二 (综合法) 因为△ABC 三个内角 A，B，C 成等差数列，所以 B＝60°. 由余弦定理，得 b2＝c2＋a2－2accos 60°， 即 c2＋a2＝ac＋b2， 两边同时加(ab＋bc)，得 c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 两边同时除以(a＋b)(b＋c)，a＋c b＋b＋a c＝1， 所以a＋c b＋1＋b＋a c＋1＝3， 即a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c， 所以(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
证明：由 tan(α＋β)＝2tan
α，得csoins（ （αα＋ ＋ββ） ）＝2csoisn
α α，
即 sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.
要证 3sin β＝sin(2α＋β)，
即证 3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，
即证 3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α]＝sin(α＋β)cos α＋ cos(α＋β)sin α，化简得 sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.
P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q
►变式训练 1．已知a，b，c为不全相等的实数，求证：a4＋b4＋c4>abc(a＋b＋c)． 证明：因为a4＋b4≥2a2b2，b4＋c4≥2b2c2，c4＋a4≥2a2c2，又a，b，c不全相等，所以上面三式 中至少有一个式子不能取“＝”号，所以a4＋b4＋c4>a2b2＋b2c2＋c2a2.① 因为a2c2＋b2c2≥2abc2，同理a2b2＋a2c2≥2a2bc，b2c2＋b2a2≥2ab2c， 所以a2b2＋b2c2＋c2a2>abc2＋a2bc＋ab2c.② 由①②得a4＋b4＋c4>abc(a＋b＋c)
a（a－1） ，
所以 a＋1－ a＜ a－1－ a－2 .
题型三 综合法与分析法的综合应用
△ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，且角 A，B，C 的对 边分别为 a，b，c，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
证明：方法一 (分析综合法) 要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1 成立， 即证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c成立，
即a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3，化简得a＋c b＋b＋a c＝1， 又需证 c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)， 即 c2＋a2＝b2＋ac. 又△ABC 的三个内角 A，B，C 成等数列，所以 B＝60°. 由余弦定理，得 cos B＝a2＋2ca2c－b2＝21. 所以 a2＋c2－b2＝ac，所以原命题成立．
即要证sin cos
αα·csions
β β＝16，
即要证 tan αtan β＝16，
而 tan αtan β＝16 已知，所以结论正确．
【易错剖析】分析法证明数学命题时，是从结论出发，寻找使结
论成立的充分条件，一定要恰当地用好“要证明”、“只需证明”，
“即证”等词语．否则会出现下面的错解：
∵a∥b，且 a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)；
1 ab>0.
∴(a＋b)1a＋b1≥4.
又 a＋b＝1，∴1a＋1b≥4.
证法三 ∵a，b∈R＋，
∴a1＋1b＝a＋a b＋a＋b b＝1＋ab＋ab＋1≥2＋2
a＝b 时，取“＝”号．
ab·ba＝4，当且仅当
规律方法： 综合法是中学数学证明中最常用的方法．综合法是从已知到未 知、从题设条件到结论的逻辑推理方法． 综合法是一种由因导果的证明方法． 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要 证明的结论，则综合法用框图表示为：
规律方法：分析综合法的特点及证明思路 (1)根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中 间结论P.若由P可以推出Q成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称之为分 析综合法，或称“两头凑法”． (2)分析综合法充分表明分析与综合之间互为前提、互相渗透、互相转化的的辩证统一关系，分析 的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点
∴(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β，
即 sin αsin β＝16cos αcos β，
∴sin cos
αα·csions
β β＝16，
∴tan αtan β＝16，即结论正确．
规律方法： 分析法是从未知到已知、从结论到条件的逻辑推理方法． 分析法是一种执果索因的证明方法． 用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要 证明的结论，则分析法用框图表示为：
得到一个 Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→ 明显成立
的结论
►变式训练
2．当 a≥2 时，求证： a＋1－ a＜ aFra Baidu bibliotek1－ a－2. 分析：条件和结论的联系不明确，考虑用分析法证明．
(3)综合法和分析法常常交叉使用．其证明模式可用框图表示如 下：
Pn⇒P′
P⇒P1 ―→ P1⇒P2 ―→…―→ ⇓
… Q2⇒Q1 Q1⇒Q
Q′⇒Qm
其中 P 表示已知条件、定义、定理、公理等，Q 表示要证明的
结论．
►变式训练
3．若 tan(α＋β)＝2tan α，求证：3sin β＝sin(2α＋β)．
证明：要证 a＋1－ a＜ a－1－ a－2 ，
只需证 a＋1＋ a－2＜ a＋ a－1 ，
只需证( a＋1＋ a－2)2<( a＋ a－1)2，
只 需 证 a ＋ 1 ＋ a － 2 ＋ 2 （a＋1）（a－2） ＜ a ＋ a － 1 ＋
2 a（a－1），只需证 （a＋1）（a－2）< 只需证(a＋1)(a－2)＜a(a－1)， 只需证 a2－a－2＜a2－a， 只需证－2＜0，显然成立，
题型二 分析法的应用
如图，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，过点A作SB的垂线，垂足为点E；过点E作SC的垂线，垂足 为F.求证：AF⊥SC.
证明：要证AF⊥SC，而EF⊥SC， 故只需证SC⊥平面AEF，只需证AE⊥SC，而AE⊥SB， 只需证AE⊥BC，而AB⊥BC， 故只需证BC⊥平面SAB，只需证BC⊥SA. 由SA⊥平面ABC可知，SA⊥BC，即上式成立． 所以AF⊥SC成立．
2．2.1 综合法与分析法
研题型 学方法
题型一 综合法的应用
已知 a，b 是正数，且 a＋b＝1，求证：a1＋1b≥4. 证明：证法一 ∵a，b∈R＋且 a＋b＝1， ∴a＋b≥2 ab.∴ ab≤21. ∴1a＋1b＝a＋ abb＝a1b≥4.
证法二 ∵a，b∈R＋，
∴a＋b≥2 ab>0.1a＋1b≥2
所以，命题成立．
析疑难 提能力
因逻辑混乱而致误.
【典例】 设向量 a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)， 若 tan αtan β＝16，求证：a∥b.
解析：(分析法)：要证明 a∥b，
而 a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)； ∴即要证明(4cos α)·(4cos β)＝sin αsin β， 即要证 sin αsin β＝16cos αcos β，