高级微观经济学：偏好与效用
北京大学微观经济学 3、偏好与效用
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Andreea CHIRITESCU
Eastern Illinois University
偏好和效用
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Andreea CHIRITESCU
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Eastern Illinois University
•完备性
–如果A 和B 是任意两种情况，理性人总能准确表达下列三种可能性之一准确表达下列三种可能性之
:
•A 优于B
•B 优于A
•B A 和B 具有同样的吸引力
•传递性
–如果个人表示“A 优于B ”以及“B 优于”，那么他一定会认为“”C ，那么他定会认为A 优于C
–说明个人的选择具有内在一致性
•连续性
–如果个人表示“A 优于B ”，那么充分接的情况也一定优于近A 的情况也定优于B
–用来分析个人对收入或价格发生相对较小变化的反应
•假设: 完备性、传递性和连续性
–人们可以规范的将所有可能的情况按照偏好程度由小到大进行排序
•经济学家称这种排序为效用
–如果一个人在A 和B 两种情况中偏好A
–那么就可以说A 的效用比B 的效用大:
U(A) > U(B)
•效用
–个人的偏好顺序可以用下列效用函数来表,x ,...,x 示U(x 1, x 2, . . . , x n )
•其中x 1, x 2,…, x n 是个人在某一时点上可能消费的n n 商种品的数量
•这个函数只有在保序变换时是唯一的
•效用排序在本质上是序数的
–记录人们对商品束的相对喜爱程度
尼科尔森微观经济理论_基本原理与扩展(第9版)课后习题详解(第3章 偏好与效用)
尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版）
第2篇 选择与需求 第3章 偏好与效用
课后习题详解
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1．画出下列效用函数的无差异曲线，并判断它们是否是凸状的（即边际替代率MRS 是否随着x 的增加而递减）。
（1）(),3U x y x y =+ （2）(),U x y x y =⋅ （3）(),U x y x y =+ （4）()22,U x y x y =- （5）(),xy
U x y x y
=
+ 答：（1）无差异曲线如图3-7所示，为一组直线。边际替代率为：/3/13x y MRS f f ===，为一常数，因而无差异曲线不是凸状的。
图3-7 完全替代型的无差异曲线
（2）无差异曲线如图3-8所示，为性状良好的无差异曲线。边际替代率为：
()()
0.5
0.5
0.5///0.5/x y y x MRS f f y x y x -==
=，随着x 的递增，MRS 将递减，因而有凸的无差异曲线。
图3-8 凸状的无差异曲线
（3）无差异曲线如图3-9所示。边际替代率为：0.5/0.5x y MRS f f x -==，因而边际替代率递减，无差异曲线是凸状的，此为拟线性偏好的效用函数。
微观经济学消费者理论：偏好、效用、收入约束、无差异曲线、弹性
3、数学推导
绪论：
西方经济学.马克思主义政治经济学
西方经济学
脉络：
一、古典经济学
1)亚当斯密：
对人的研究“长针是利己，短针是利他”“守夜人”“看不见的手”
“劳动价值论”
“人的基本道德伦理观”《道德情操论》
2)大卫李嘉图：
“比较优势理论”外生决定论
“边际报酬递减规律”
3)李斯特：《经济成长的阶段》反对李嘉图的“自由贸易”
1)收入
2)其他商品的价格
3)通胀的预期
4、弹性的概念
1)需求价格弹性
2)需求收入弹性
3)交叉需求弹性
5、弹性之间的关系
（1）、斯拉斯基方程
两边同乘以
（其中 是马歇尔需求函数与希克斯需求函数的焦点；
是X的消费额占总收入的支出份额）
（2）、预算约束
，求全微分
设X,Y的价格不变，考虑收入的变化，两边同除以dI
范里安《微观经济学：现代观点》上海三联书店
樊纲《公有制宏观经济理论大纲》上海三联书店
卢现祥《西方新制度经济学》
青木昌彦《比较制度分析》中国经济出版社
四、扩展
1、特殊偏好：
1)习惯： ， （产业集群），
2)利他：
1 利他
2 利己、嫉妒
2、替代弹性： 反应无差别曲线的曲度，平滑程度
尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》(第9版)课后习题详解(第3章--偏好与效用)
尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版）
第2篇选择与需求 第3章偏好与效用
课后习题详解
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1．画出下列效用函数的无差异曲线，并判断它们是否是凸状的（即边际替代率MRS 是否随着x 的增加而递减）。
（1）(),3U x y x y =+ （2）(),U x y x y =⋅ （3）(),U x y x y =+ （4）()22,U x y x y =- （5）(),xy
U x y x y
=
+ 答：（1）无差异曲线如图3-7所示，为一组直线。边际替代率为：/3/13x y MRS f f ===，为一常数，因而无差异曲线不是凸状的。
图3-7 完全替代型的无差异曲线
（2）无差异曲线如图3-8所示，为性状良好的无差异曲线。边际替代率为：
()()
0.5
0.5
0.5///0.5/x y y x MRS f f y x y x -==
=，随着x 的递增，MRS 将递减，因而有凸的无差异曲线。
图3-8 凸状的无差异曲线
（3）无差异曲线如图3-9所示。边际替代率为：0.5/0.5x y MRS f f x -==，因而边际替代率递减，无差异曲线是凸状的，此为拟线性偏好的效用函数。
03 偏好与效用
公理1 完备性）和公理2 传递性） 公理 1（ 完备性 ）和公理2（传递性 ） 形成了微观经 济学中的理性 一个有理性的当事人能够做出选择， 理性。 济学中的理性。一个有理性的当事人能够做出选择， 而且他做出的选择是一致的（有序的） 而且他做出的选择是一致的（有序的）。
10
Preference Relation
z
y
x
与无满足性相关联的概念还有：子集中有满足、子集中无 满足、局部无满足。下面进行说明。
13
Preference Relation
(三) 关于偏好的假设
1. 偏好的无满足性
(1) 子集中有满足
子集中的满足消费：设 W ⊆ X 且 子集中的满足消费 w∈W。w 称为是子集 中的满足 子集W 子集 消费，是指 (∀x∈W )( x p w)。 消费 子集中有满足：设 W ⊆ X 。如果 子集中有满足 存在 w ∈W 使得 w 是子集 W 中的 满足消费，则称消费者在子集 在子集W 在子集 中有满足。 中有满足 X
9
公理2 公理2 传递性 对于属于 X 集的任何三个元素 x1、x2 和 x3， 如果 x1 ≿ x2且 x2 ≿ x3，则 x1 ≿ x3 。
含义：该公理表明消费者的选择是一致的， 含义：该公理表明消费者的选择是一致的，各种选 择之间不会出现循环， 择之间不会出现循环，从而保证了消费者选择能够避免 自相矛盾的逻辑困境。这是一个很强的假设。 自相矛盾的逻辑困境。这是一个很强的假设。
平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(偏好、效用与消费者的基本问题)【圣才出品】
全互补品，如果用 c 和 s 分别表示她消费的咖啡的数量（以杯为单位）和糖的数量（以汤匙
3．下列说法对吗？为什么？
若某个消费者的偏好可以由效用函数 u x1, x2 10 x12 2x1x2 x22 50 来描述，那么对此
消费者而言，商品 1 和商品 2 是完全替代的。
答：此说法正确。
由题意知： MU1 20x1 20x2 ， MU2 20x1 20x2 ，则商品 1 对亍商品 2 的边际替代率
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（2）请给出一个效用函数形式，但该形式丌具备边际效用递减的性质。
答：（1）将 u
关亍 x1 和 x2
分别求二阶偏导数得
2u x12
1 2x12
0
，
2u x22
1 2x22
0 ，所以 x1
不 x2 的边际效用都递减。
（2）如效用函数 u x1, x2 x12 x22 ，它关亍 x1 不 x2 的二阶偏导数恒大亍零，所以 x1 不 x2
lim u
x1, x2
lim exp
ln u x1, x2
lim
ln exp
1 x1
2 x2
exp lim
1 x1 ln x1 1 x1
2 x2 2 x2
高级微观经济学(消费理论)
预算线的斜率：
无差异曲线的斜率：
解得马歇尔需求函数
2、假设效用函数 连续可导，可以用拉格朗日方法求消费者问题的解：
（1）、根据偏好关系的严格单调性定理，约束条件必然为
：预算平衡性定理
构造拉格朗日函数：
一阶条件：
二阶条件：加边海赛矩阵为负半定
解得马歇尔需求函数
（2）、不等约束条件下的极值Kuhn－Tucker定理：
支出函数 为：
两元空间支出最小化：
希克斯需求函数（补偿需求函数，或实际收入不变的需求函数）：效用函数 严格单调递增，所以有唯一的无差异曲线与 相对应，因此可以把所要实现的效用水平 写作 。
可以写为：
支出函数可以表述为在给定价格 下，实现消费束 所带来的效用，所需的最小支出。实际购买力用商品数量表示，所以支出函数又可以表述为在给定价格 下，实现实际购买力 所带来的效用，所需的最小支出。因此，希克斯需求函数又可以称为“实际购买力固定的需求函数”。
消费方案 ：
商品：
1)商品数量无限可分： ，商品数量是连续的。
2)商品数量非负：
3)商品种类为：
消费方案（选择方案，消费束）：
特征：
1、非空集( ,否则没有研究意义)
2、X闭集（连续性）
3、凸集
4、包含原点： （消费者可以选择不消费，这也是选择集合的下限）
第四章 消费偏好与消费者均衡
专栏4—1：效用理论及其发展
在效用理论的发展过程中, 出现过三次有重要意义的 重心转移, 即:从质的分析向量的分析转移, 从基数效用论 向序数效用论的转移, 从个量分析向总量分析的转移。 1、效用理论从质的分析向量的分析转移
经济理论要成为科学, 必须首先形成对该领域基本范 畴的合理抽象。从17 世纪开始, 英国、法国、意大利、德 国的经济学家就开始不断地探索效用的质的规定性。人的 需要和欲望, 历来是许多经济学家思想的发端。英国功利 主义哲学家边沁认为: 追求幸福是人的天性, 每个有理性 的人都为自身谋求最大幸福是人性的某种规定性。边沁的 这一功利原理和自利原理, 为西方效用理论奠定了哲学基 础。其后,经济学家从不同的角度定义效用: 加里安尼在他 的著作《商业与管理》中, 从物品的稀缺性论述效用, 他认 为效用随物品的稀缺性而变化, 稀缺的物品往往具有最大 的效用;萨伊从人的需求来分析效用, 指出物品满足人们需 要的内在力量叫效用,人力创造的不是物质而是效用;
2、边际效用递减规律
表4.1所示，随着消费者对食品的消费量的增加， 边际效用是在减少的，我们可以将表4.1转化为图形的 形式（如图4.1所示）。
图4.1表明，随着食品消费量的增加，总效用曲线向 右上方倾斜，边际效用曲线是向右下方倾斜的。边际效用 向右下方倾斜，一般被称为边际效用递减规律。边际效用 递减规律指的是在消费者对其它商品消费量不变的条件下， 消费者从连续消费某一商品中所获得的满足程度随着这种 商品消费量的增加而递减。
尼科尔森《微观经济理论—基本原理与扩展》(第11版)笔记和课后习题详解-偏好与效用【圣才出品】
2．效用及其表示方法 （1）效用的含义 效用是指消费者消费或拥有一定数量的某种商品时所获得的满足程度。一种商品给消费 者所带来的效用不同于该商品的使用价值，它是消费者对所消费商品给予的主观评价，不同 的消费者在相同的时间、地点消费相同数量的商品组合可以分别获得不同的效用，即使同一 消费者在不同的时期、不同的地点消费同样数量的商品组合也可获得不同的满足程度。效用
①消费商品的效用
在单一时点上，在 n 种消费品 x1，x2，...，xn 中，考虑个人的选择问题。将假定个人对
这些消费品的偏好序可以用下列效用函数来表示效用＝U（x1，x2，...xn；其他事物）
这里 x 表示可能选择商品的数量，其他事物表示消费者的福利还来自其他许多方面。
②效用函数的参数
当讨论个人从真实财富（W）中获得的效用时有：效用＝U（W）。财富带来的效用，是
源于个人将其用于购买效用最大的消费品。
当讨论个人的劳动—闲暇选择时有：效用＝U（c，h），其中 c 表示消费，h 表示在一段
给定时间内的非工作时间（即闲暇）。
当讨论在不同时段内个人的消费决策问题时有：效用＝U（c1，c2），其中 c1 表示在现时
段的消费，c2 表示在下一时段的消费。
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高级微观经济学- 偏好与效用
(二) 完全性公理的意义
完全性公理是说任何两种消费方案都可以比较。 完全性公理意味着消费者的信息完全性。
完全性公理是完全竞争市场的必然产物。
(三) 传递性公理的意义
为了看出传递性公理的意义，我们给出一个不服从传递性公理 将导致富翁变穷人的例子。事例：张三是穷人，李四是富翁；张三 只有一个苹果，而李四不但有一个桃子，还有一个梨子；但李四的 偏好不传递，他认为，桃比苹果好，苹果比梨好，梨比桃好。 (1) 张三提出用苹果换梨子，并要求李四 找一分钱。仅花一分钱就能换来更大 的满足，李四不会不答应，成交！ (2) 张三提出用梨子换桃子，并要求李四 找一分钱，李四还会答应，成交！ (3) 张三提出用桃子换苹果，并要求李四 找一分钱，李四依然同意，成交！
co X
X
o
凸化处理不会产生实质性的影响。
电视机
x
(四) 消费集合的形状
X
X X X X
is nonempt y X Φ & 0 X : is closed : X cl X X X is convex: X co X is lowerly bounded : (xX )(x )
if xn X (n 1,2,) & lim xn x then x X
n
d) 若一种消费活动 yR 不被 允许，则与 y 差不多的消费 活动都是不允许的。
高级微观经济学第五讲(效用最大化UMP)
第五讲、效用最大化UMP
主要内容：(pp1-32) 1、 Introduction:
()
max .x
n u x s tx B X +
∈⊆⊆
consumption set, feasible set, preference and utility, and behavioral assumption
2、 contents:
消费者的偏好与预算集，消费者均衡的特征，由效用函数推导需求函数，间接效用函数及其性质。
第一节、budget constraint and feasible set
一、定义definitions 1、 商品 goods ，
economic goods 和free goods
度量：离散还是连续，infinitely divisible, i x +∈ 同质还是差异产品,different goods, 2、商品空间goods space
consumption bundle or plan ()12,,...n
n x x x +=∈x nonnegative orthant
3、消费集consumption set or choice set
set of all alternative consumption plans which is conceivable and feasible given the technological and institutional situation.(without consideration of economic realities)
作业2_偏好与效用
作业2——偏好与效用
中级微观经济学（Ｂ） 2013年秋
１．假设消费者的可选集为{,,,}A B C D ，请问对于“A 和B 至少一样好”这种表述中的“至少一样好”这一关系，完备性和传递性是否满足？
2．假设某消费者所面临的两种物品都是厌恶品，但是相对于端点消费束来说，平均消费束要好一些（更受欢迎）。请画出这种情况下的无差异曲线。
3．假设对于某消费者来说，香肠是喜好品，而鲤鱼是厌恶品，假设平均消费束比端点消费束更受偏好，请画出无差异曲线（以鲤鱼的数量为横轴）。
4．假设某消费者的效用函数1212(,)a b u x x x x =（其中0a >且0b >）
。 （1）请分别求1x 和2x 的边际效用。
（2）请计算边际替代率1,2MRS ，并检验边际替代率是否递减。
（3）该效用函数能否用1212(,)ln ln u x x a x b x =+来表示，为什么？
（4）该效用函数能否用11212(,)u x x x x αα-=（其中01α<<）来表示，为什么？
5．消费者的效用函数为1212min(2,2)u x x x x =++。
（1）请画出其无差异曲线。
（2）当15x =，21x =时，消费者愿意用多少1x 去交换一单位2x ？
当12x =，25x =时，消费者愿意用多少1x 去交换一单位2x ？
当15x =，25x =时，消费者愿意用多少1x 去交换一单位2x ？
[VIP专享]平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第1讲 偏好、效用与消费者的基本问题)
![[VIP专享]平新乔《微观经济学十八讲》课后习题详解(第1讲 偏好、效用与消费者的基本问题)](https://img.taocdn.com/s3/m/f4abead3cf84b9d529ea7a4e.png)
lim
2
x2 x1
ln
x1
1) B2Ak+22+12=+15+c51mc+=5m=2c111++m+12+21+++2=12=2+1+2+1+2+2+22+32k+1+2
2
x2 x1
1 1
ln
x1
exp ln
x1
x1
88.8918÷.12990.÷1=4214÷3922=.0034=1÷15251371=8.535.78208÷.0232173c0*0÷1=m920.30392.2c=1÷203m=2÷1202.52=3535=42314)c*5232m40341*.31252=3.*1.153.5*03134.2*920522..104455=+21*3*50202.2.0285.4850.13*50+5c8*125*12m0.2+050.+0*014.852*0051000+0+/038.T+0÷+=55*+1011+010+91÷0145405*00010200+5+0+080+40*04+***115.103910*-%*C%6(+÷*M==5M÷5)0*3*0(31÷3110**5*+*÷414.m2371e=%7)8n08%.=s8.5=77.93cc60.mc*m4*m13,101w9.9o.k24mc-.cem5nm2csp2665m*9..03-4.50c60*5.pc3m85,9cm0.5g.i50mr0l-.p.s85p/6c50bc.0om7m.yp.cs6pc5m+;c0m..m7.ckm; 1+1k+12+1+k2234=1c+m1++4+4+2
高级微观经济学L2
效用最大化
效用最大化模型（UMP） u x max x
s.t. x B p , w
求解：拉格朗日函数
u x w pT x
S .O .C .
二阶条件
在凸偏好（即拟凹效用函数）假设 下，二阶条件自然成立，故一阶条 件是UMP的充要条件。
好关系 是理性的。反之，一般不成立。 定理2.3：效用函数存在性定理（Debreu,1954） 设 是消费集 X 上的偏好关系。若 满足理性和连续 性，那么必存在一个连续的实值函数 u : X 代表偏 好关系 。 定理2.4：效用函数存在性定理 设 是消费集 X 上的偏好关系。若 满足理性， X 中只有有限个或可数个元素，那么必存在一个实值函 数 u : X 代表偏好关系 。
the figure
8
从偏好到效用
定理2.1：设
系，则有
是定义在消费集 X 上的偏好关
严格单调性单调性 单调性局部非饱和性 弱单调性、传递性和局部非饱和性单调性
9
从偏好到效用
公理性假设之四：凸性（convexity）
定义2.9：设 x, y, z X, 0 1 。若 x y, y z 时，
see the figure
15
a1 x1 a2 x2 上。
微观经济学：效用
——门格尔
效用的绝对值不能测量。
——帕累托
对于构造需求函数而言，核心问题是消费 品之间的选择，因此可以通过观察人们的 主观偏好特征来排列商品的效用等级。
而基数效用的特征（便于加总、求和）对 此则完全是多余的。
序数效用就可以胜任。
效用函数的单调变换
如果 u( x1, x2 )是一个代表某一偏好的效用函数，
且 f (•)是一个递增的函数，那么 f (u(x1, x2 ))
代表了同样的偏好关系。
因为：u( x1, x2 ) u( y1, y2 ) 当且仅当
f (u(x1, x2 )) f (u( y1, y2 ))
根据效用函数的定义， f (u(x1, x2 )) 也是代表了 该偏好的效用函数。
效用函数不是唯一的
一般存在着多种为消费束排序的方法。因
此，对于一个效用关系而言，效用函数 不唯一。
假定U(x1,x2) = x1x2 代表一种效用关系。 考虑消费束 (4,1),（2,3) 和(2,2)。
U(2,3) = 6 > U(4,1) = U(2,2) = 4;
即 (2,3) > (4,1) ~ (2,2)。
序数效用
序数：第一、第二、第三…… 只表示顺序、等级，本身的数字量是没有 任何意义的。
第四讲 效用函数的性质及最大化问题
关系吗？ (vi)CD 效用函数的推扩：多物品情形
4.4.2 CES UF (constant elasticity of substitution) (i)形式：
u
=
k[δ
xρ 1
+
(1− δ
)
xρ 2
]1/ ρ
其中， 0 ≠ ρ < 1 ，k>0, 0 < δ < 1
(ii) 我们使用较为简单的情况来考察：
x≥ y和x≥x 则对于 a ∈[0,1]有：
ax + (1− a) yfx
再根据效用函数的定义，可得：
u(ax + (1− a) y) ≥ u(x) （即为拟凹的定义形式） 同样的，对于 y ≥ x 的情况也有相应的结论。
所以得证。
4.1.3 当且仅当偏好关系是位似的，对应的效用函数满足一次齐次。 相关内容：位似的偏好关系(?，补充说明，见本讲附录 1)，一次齐次。 证明见：MWG EXE 3.C.5（i）
∂u(x) ∂ xi
1
高级微观经济学
东北师范大学经济学院
偏好关系的严格单调性对 MUi 的要求：MUi>0
4.2.2 两种物品的边际替代率 MRSij （两种物品边际效用之间的关系）
MRS12
=
−
dx 2
dx1
又由