均值不等式的应用习题答案
3-2-1《均值不等式》含答案
基 础 巩 固
一、选择题
1．若a 、b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2ab
D.b a ＋a b ≥2
[答案] D
[解析] ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误． 对于B 、C ，当a <0，b <0时，明显错误． 对于D ，∵ab >0，∴b a ＋a
b ≥2
b a ·a b ＝2.
2．设0
2 B ．a
2
2 D.ab
2
[答案] B
[解析] ∵0
2
A 、C 错误；ab －a ＝a (b －a )>0，即ab >a ，故选B. 3．设x 、y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值为( ) A ．10
B ．6 3
C ．4 6
D ．18 3
[答案] D
[解析] x ＋y ＝5,3x ＋3y ≥23x ·3y ＝23x ＋y ＝235＝18 3. 4．已知正项等差数列{a n }中，a 5＋a 16＝10则a 5a 16的最大值为( )
A ．100
B ．75
C ．50
D ．25
[答案] D
[解析] ∵a 5>0，a 16>0，a 5＋a 16＝10， ∴a 5·a 16≤(a 5＋a 162)2＝(102)2＝25， 当且仅当a 5＝a 16＝5时，等号成立．
5．(2012～2013学年度湖南师大附中高二期中测试)设a ＞0，b ＞0，若3是3a
与3b
的等比中项，则1a ＋1
b 的最小值为( )
A ．8
B ．4
C ．1 D.14
[答案] B
[解析] 根据题意得3a ·3b ＝3，∴a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥4. 当a ＝b ＝1
高中数学《均值不等式及其应用》针对练习及答案
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
1.4.2 均值不等式及其应用（针对练习）
针对练习
针对练习一 均值不等式的内容及辨析
1．
,a b R ∈，下列不等式始终成立的是 A ．()2
2
21a b a b +>-- B ．2
2a b a b
+≥
C ． 2
a b
+≥D ．2
2a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
2．若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）
A ．2
a b
a b +>>>B ．2
a b
a b +>>
C ．2a b
a b +>>> D ．2
a b
a b +>>
>
3．下列不等式中正确的是（ ） A ．224a b ab +≥ B ．4
4a a
+≥
C ．22
1242a a ++
≥+ D ．224
4a a
+≥
4．下图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，我们新教材中利用该图作为“（ ）”的几何解释．
A ．如果a b >，b c >，那么a c >
B ．如果0a b >>，那么22a b >
C ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当 a b =时等号成立
D ．如果a b >，0c >那么ac bc >
5．若,a b R +∈，则下列关系正确的是（ ）
A
．2
112a b a b
+≤≤
+
B
．2
1
12a b
a b
+≤≤
+
C
2
112a b
a b
+≤≤≤+
D
2
112a b a b
+≤≤+
针对练习二 均值不等式的简单应用
6．设正实数,x y 满足21x y +=，则xy 的最大值为（ ） A ．1
2 B ．14
C ．18
D ．
116
7．已知0m >，0n >
均值不等式练习题及答案解析
均值不等式练习题及答案解析
一．均值不等式
1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab
2. 若a,b?R*，则
a?b2
?
*
?
a?b2
22
a?b时取“=”）
ab 若a,b?R，则a?b?2
2
ab
a?b?若a,b?R，则ab??） ?? ?
2
a?b2
注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”
均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域
y＝3x解：y＝3x＋
11
y＝x＋xx
1
3x ＝∴值域为[，+∞）
2x
1
x· ＝2； x
1
x· =－2
x
1
≥22x1
当x＞0时，y＝x＋≥x
11
当x＜0时， y＝x＋= －≤－2
xx
∴值域为
解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?
54
，求函数y
?4x?2?
14x?5
的最大值。
1
解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又?x?
54
,?5?4x?0，?y?4x?2?
1
4x?5
不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项，
???2?3?1 ??3?
1?
???5?4x?
4x?55?4x?
当且仅当5?4x?
15?4x
，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数
例1. 当时，求y?x的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x??8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。
均值不等式练习题及答案解析
均值不等式练习题及答案解析
一．均值不等式
1.若a,b?R，则a2?b2?2ab 若a,b?R，则ab
2. 若a,b?R*，则
a?b2
?
*
?
a?b2
22
a?b时取“=”）
ab 若a,b?R，则a?b?2
2
ab
a?b?若a,b?R，则ab??） ?? ?
2
a?b2
注：当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．求最值的条件“一正，二定，三取等”
均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域
y＝3x解：y＝3x＋
11
y＝x＋xx
1
3x ＝∴值域为[，+∞）
2x
1
x· ＝2； x
1
x· =－2
x
1
≥22x1
当x＞0时，y＝x＋≥x
11
当x＜0时， y＝x＋= －≤－2
xx
∴值域为
解题技巧：技巧一：凑项例1：已知x?
54
，求函数y
?4x?2?
14x?5
的最大值。
1
解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又?x?
54
,?5?4x?0，?y?4x?2?
1
4x?5
不是常数，所以对4x?2要进行拆、凑项，
???2?3?1 ??3?
1?
???5?4x?
4x?55?4x?
当且仅当5?4x?
15?4x
，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，ymax?1。
评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数
例1. 当时，求y?x的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x??8为定值，故只需将y?x凑上一个系数即可。
均值不等式练习题及答案
均值不等式练习题及答案
均值不等式练习题及答案
均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。尤其要注意它的使用条件。
a2?b21. 若a,b?R，则a?b?2ab 若a,b?R，则ab? 22 2. 若a,b?R，则
时取“=”） *a?b?ab
2若a,b?R，则a?b?*2ab 2?*
a?ba2?b2
ab??3. 均值不等式链：若a、b都是正数，则，当且仅当a?b22?ab2
时等号成立。
平均数）
一、基本技巧
技巧1：凑项
例已知x?
技巧2：分离配凑4，求函数y?4x?2?1的最大值。x?5 x2?7x?10的值域。例求y?x?1
技巧3：利用函数单调性
例
求函数y?2的值域。
技巧4：整体代换
例已知x?0,y?0，且
19??1，求x?y的最小值。 xy
典型例题
1. 若正实数X，Y 满足2X+Y+6=XY ，则XY 的最小值是
a?b?22. 已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值cd
是
A.0
B.1
C.
D.
23. 若不等式x+ax+4≥0对一切x∈平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则2+1的最小值是ab
A.1
B.
C.4
D.3+22
5. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y的最小值是 .
6. 已知x,y?R?，且满足xy??1，则xy的最大值为34 ab11?的最小值为 ab
1A B C 1 D 7. 设a?0,b?
0.3与3的等比中项，则
(完整版)均值不等式专题20道-带答案
均值不等式专题3
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．若则的最小值是__________．
2．若,且则的最大值为______________.
3．已知，且，则的最小值为______．
4．已知正数满足，则的最小值是_______.
5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．
6．设正实数满足，则的最小值为________
7．已知，且，则的最小值是________
8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______
9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．
10．已知，，且，则的最小值为__________．
11．若正数x，y满足，则的最小值是______．
12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______．
14．若，则的最小值为________.
15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．
16．已知，且，则的最小值为______．
17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____．
19．已知正实数，满足，则的最大值为______.
20．已知，，则的最小值为____．
参考答案
1．
【解析】
【分析】
根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】
则，即
由题意知，则，
则
当且仅当，即时取等号
均值不等式的应用练习题
均值不等式的应用练习题
一、选择题：
1.若0<a<b,且a+b=1，则下列四个数中最大的是（ ） A.21 B.a 22b + C.2ab D.a
2.a,b 是正数，则
2b a +，ab ，b
a a
b +2三个数的大小顺序是 （ ） A.b a ab ab b a +≤≤+22 B.b
a a
b b a ab +≤+≤22 C.22b a ab b a ab +≤≤+ D.22b a b a ab ab +≤+≤ 3．若x>0,y>0,且x+y 4≤，则下列不等式中恒成立的是 （ ） A.411≤+y x B.111≥+y x C.2≥xy D.11≥xy
4．a,b ∈R,且a+b=3则2a +2b 的最小值是 （ ）
A.6
B.42
C.22
D. 26
5．下列判断正确的是 （ ）
A. 函数y=x+）（01≠x x 最小值为2
B.函数y=sinx+))2
,0((sin 1π∈x x 最小值为4
C.函数y=3x+21x （x>0）的最小值为3349
D.函数y=2
322++x x 的最小值为2
6.已知a>0,b>0且a+b=1,则（
112-a ）（112
-b ）的最小值是 （ ） A.6 B.7 C.8 D.9
二.填空题：
7.已知x 0≠当x= 时x 2281x +的值最小，最小值为 8．函数y=2
2433x x x ++的最小值是
9.函数y=1
33224+++x x x 的最小值是
10.函数y=x （1-x 2）（0<x<1）的最大值是
11.sin 4xcos 2x 的最大值是 ，此时sinx= cosx=
均值不等式 含答案
课时做业15均值没有等式之阳早格格创做时间：45分钟谦分：100分
课堂锻炼
1．已知5
x
＋3
y
＝1(x>0，y>0)，则xy的最小值是()
A．15B．6 C．60 D．1
【问案】C
【剖析】∵5
x ＋3
y
＝1≥215
xy
，
∴xy≥60，
当且仅当3x＝5y时与等号．
2．函数f(x)＝x＋4
x
＋3正在(－∞，－2]上()
A．无最大值，有最小值7
B．无最大值，有最小值－1
C．有最大值7，有最小值－1 D．有最大值－1，无最小值
【问案】D
【剖析】∵x≤－2，∴f(x)＝x＋4
x
＋3
＝－⎣
⎢
⎡⎦
⎥⎤
－x
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋3≤－2－x
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－4x ＋3 ＝－1，当且仅当－x ＝－4
x ，即x ＝－2时，与等号，
∴f (x )有最大值－1，无最小值．
3．已知二个正真数x ，y 谦脚x ＋y ＝4，则使没有等式1x ＋4
y
≥m 恒创造的真数m 的与值范畴是____________． 【问案】⎝ ⎛⎦
⎥⎤
－∞，94
【剖析】1x ＋4y ＝⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝54＋y 4x ＋x y ≥54＋214＝9
4
. 4．供函数y ＝x2＋7x ＋10
x ＋1
(x >－1)的最小值．
【分解】 对付于原题中的函数，可把x ＋1瞅成一个完全，而后将函数用x ＋1去表示，那样转移一下表白形式，不妨表露其内正在的形式特性，进而能用均值定理去处理．
【剖析】果为x >－1， 所以x ＋1>0.
所以y ＝x2＋7x ＋10
x ＋1
＝
x ＋1
2
＋5x ＋1＋4
专题17 均值不等式及其应用(解析版)
提升训练2.7 均值不等式及其应用
一、选择题
1．已知x ＞0，函数9
y x x
=+的最小值是（ ） A ．2 B ．4
C ．6
D ．8
【答案】C 【解析】 ∵x ＞0，
∴函数96y x x =+
≥=，当且仅当x=3时取等号， ∴y 的最小值是6． 故选：C ．
2．已知1(0,4
x ∈,则(14)x x -取最大值时x 的值是( ) A ．
14
B ．
16
C ．
18
D ．
110
【答案】C 【解析】
因为1(0,)4
x ∈，所以40,140x x >->，
所以2
114141
(14)=4(14)44216
x x x x x x +-⎛⎫-⋅-≤= ⎪
⎝⎭， 当且仅当414x x =-时，即1
8
x =，等号成立. 故答案选C .
3．()2
301x x y x x
++=>+的最小值是( )
A ．
B ．1
C ．1
D ．2
【答案】B 【解析】
1,10x x >-∴+>，
2
31x x y x
++∴==
+3311111x x x x +=++-++…， 当且仅当
3
11x x
=++
，即1x =时等号成立， 所以()2
301x x y x x
++=>+
的最小值是1-，故选B.
4．已知a ，b 都为正实数，21a b +=，则ab 的最大值是( ) A ．
29
B ．
18
C ．
14
D ．
12
【答案】B 【解析】
因为a ，b 都为正实数，21a b +=，
所以2
2121
2228
ab a b ab +⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭，
当且仅当2a b =，即11,42a b ==时，ab 取最大值1
均值不等式的应用
x 5x 4 y 60° ( x 0) 的最大值 求函数 北偏东 45° ，B 点北偏西 的 D 点有一艘轮船 x
发出求救信号，位于 B 点南偏西 60° 且与 B 点相
变式 2 ： 距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航 1 D 点需要多长时间？ 行速度为 30 海里/时，该救援船到达 求函数y x ( x 3)的最小值 x 3
行速度为 30 海里/时，该救援船到达 D 点需要多长时间？
1 9 9 解： 2 A点 相距 5(3 ＋ 3) 海里的两个观测点．现位于 x y xy
北偏东 45° ，B 点北偏西 60° 的 D 点有一艘轮船
例 2： 如图， A，B 是海面上位于东西方向
6 xy
6 即 1 B 点南偏西 60° xy 6 发出求救信号，位于 且与 B 点相 xy
相距 5(3＋ 3)海里的两个观测点．现位于 A 点
作业3：
如图，A，B 是海面上位于东西方向
x 3
北偏东 45° ，B 点北偏西 60° 的 D 点有一艘轮船
已知函数y a
2(a 0, 且a 1)的图像
恒过A点，且点A在直线m x ny 1 0上 发出求救信号，位于 B 点南偏西 60° 且与 B 点相 1 3 （ m 3 0, n C 点的救援船立即前往营救，其航 0），则 的最小值是____. 距 20 海里的 m n
均值不等式的应用(习题 标准答案)
均值不等式应用
一．均值不等式
1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则2
2
2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）
2. (1)若*,R b a ∈，则
ab b a ≥+2
(2)若*
,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”
） (3)若*
,R b a ∈，则2
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +
≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则1
2x x
+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a
b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则
22-2a b a b a b
b a b a b a
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”
） 4.若R b a ∈,，则2
)2(2
22b a b a +≤
+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的
积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值
例1：求下列函数的值域
（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1
均值不等式 含答案(训练习题)
课时作业15 均值不等式
时间：45分钟 满分：100分
课堂训练
1．已知5x ＋3
y ＝1(x >0，y >0)，则xy 的最小值是( ) A ．15 B ．6 C ．60 D ．1
【答案】 C
【解析】 ∵5x ＋3
y ＝1≥215xy ，
∴xy ≥60，
当且仅当3x ＝5y 时取等号．
2．函数f (x )＝x ＋4
x ＋3在(－∞，－2]上( ) A ．无最大值，有最小值7 B ．无最大值，有最小值－1 C ．有最大值7，有最小值－1 D ．有最大值－1，无最小值 【答案】 D
【解析】 ∵x ≤－2，∴f (x )＝x ＋4
x ＋3
＝－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤(－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋3≤－2(－x )⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－4x ＋3
＝－1，当且仅当－x ＝－4
x ，即x ＝－2时，取等号， ∴f (x )有最大值－1，无最小值．
3．已知两个正实数x ，y 满足x ＋y ＝4，则使不等式1x ＋4
y ≥m 恒成立的实数m 的取值范围是____________．
【答案】 ⎝ ⎛
⎦
⎥⎤－∞，94
【解析】 1x ＋4y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝54＋y 4x ＋x y ≥5
4＋214＝94.
4．求函数y ＝x 2＋7x ＋10
x ＋1
(x >－1)的最小值．
【分析】 对于本题中的函数，可把x ＋1看成一个整体，然后将函数用x ＋1来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的形式特点，从而能用均值定理来处理．
【解析】 因为x >－1， 所以x ＋1>0.
所以y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4
均值不等式练习题及答案
均值不等式练习题及答案
均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。尤其要注意它的使用条件。
a2?b21. 若a,b?R，则a?b?2ab 若a,b?R，则ab? 22
2. 若a,b?R，则
时取“=”）*a?b?ab
2若a,b?R，则a?b?*2ab ???2?*
a?ba2?b2
?ab??3. 均值不等式链：若a、b都是正数，则，当且仅当a?b22?ab2
时等号成立。
平均数）
一、基本技巧
技巧1：凑项
例已知x?
技巧2：分离配凑4，求函数y?4x?2?1的最大值。x?5 x2?7x?10的值域。例求y?x?1
技巧3：利用函数单调性
例
求函数y?2的值域。
技巧4：整体代换
例已知x?0,y?0，且
19??1，求x?y的最小值。xy
典型例题
1. 若正实数X，Y 满足2X+Y+6=XY ，则XY 的最小值是
?a?b?22. 已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则的最小值cd
是
A.0
B.1
C.
D.
23. 若不等式x+ax+4≥0对一切x∈平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则2+1的最小值是ab
A.1
B.
C.4
D.3+22
5. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y的最小值是 .
6. 已知x,y?R?，且满足xy??1，则xy的最大值为34
ab11?的最小值为ab
1A B C 1 D 7. 设a?0,b?
0.3与3的等比中项，则
8. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 A.428B. C.D.65
均值不等式答案
均值不等式答案
1.答案：B
2.答案：A
3.解析：选D.y＝3(x2＋
2
x2＋1
)＝3(x2＋1＋
2
x2＋1
－1)≥3(22－1)＝62－3.
4.解析：选A.m2＋n2≥2mn＝200，当且仅当m＝n时等号成立．
5.解析：选C.∵x、y均为正数，
∴xy＝8x＋2y≥28x·2y＝8xy，
当且仅当8x＝2y时等号成立．
∴xy≥64.
6.
考点：基本不等式在最值问题中的应用。713171
专题：计算题。
分析：
将x+3y=5xy转化成=1，然后根据3x+4y=（）（3x+4y），展开后利用基本不等式可求出3x+4y的最小值．
解答：解：∵正数x，y满足x+3y=5xy，
∴=1
∴3x+4y=（）（3x+4y）=+++≥+2=5
当且仅当=时取等号
∴3x+4y≥5
即3x+4y的最小值是5
故选C
点评：本题主要考查了基本不等式在求解函数的值域中的应用，解答本题的关键是由已知变形，然后进行“1”的代换，属于基础题．
7.
考点：基本不等式在最值问题中的应用。713171
分析：函数中含有整式和分式的乘积，展开出现和的部分，而积为定值，利用基本不等式求最值
解答：解：x，y为正数，
（x+y）（）≥≥1+4+2=9
当且仅当时取得“=”
∴最小值为9
故选项为B．
8.B
9.C
10.B
11.B
12.A
13.解析：选D.从基本不等式成立的条件考虑．
①∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴b a ，a b
∈(0，＋∞)，符合基本不等式的条件，故①的推导过程正确； ②虽然x ，y ∈(0，＋∞)，但当x ∈(0,1)时，lg x 是负数，y ∈(0,1)时，lg y 是负数，∴②的推导过程是错误的；
均值不等式练习题及答案
均值不等式练习题及答案
均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。尤其要注意它的使用条件。
a2?b21. 若a,b?R，则a?b?2ab 若a,b?R，则ab? 22
2. 若a,b?R，则
时取“=”）*a?b?ab
2若a,b?R，则a?b?*2ab ???2?*
a?ba2?b2
?ab??3. 均值不等式链：若a、b都是正数，则，当且仅当a?b22?ab2
时等号成立。
平均数）
一、基本技巧
技巧1：凑项
例已知x?
技巧2：分离配凑4，求函数y?4x?2?1的最大值。x?5 x2?7x?10的值域。例求y?x?1
技巧3：利用函数单调性
例
求函数y?2的值域。
技巧4：整体代换
例已知x?0,y?0，且
19??1，求x?y的最小值。xy
典型例题
1. 若正实数X，Y 满足2X+Y+6=XY ，则XY 的最小值是
?a?b?22. 已知x＞0,y＞0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则的最小值cd
是
A.0
B.1
C.
D.
23. 若不等式x+ax+4≥0对一切x∈平分圆x2+y2-2x-4y-6=0，则2+1的最小值是ab
A.1
B.
C.4
D.3+22
5. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y的最小值是 .
6. 已知x,y?R?，且满足xy??1，则xy的最大值为34
ab11?的最小值为ab
1A B C 1 D 7. 设a?0,b?
0.3与3的等比中项，则
8. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 A.428B. C.D.65
均值不等式及其应用练习题含答案
均值不等式及其应用练习题（1）
1. 如果二次函数y=ax2+bx+1的图象的对称轴是x=1，并且通过点A(−1, 7)，则()
A.a=2，b=4
B.a=2，b=−4
C.a=−2，b=4
D.a=−2，b=−4
2. 在下列函数中，最小值是2的是()
A.y=x
2+2
x
B.y=√x2+2
√x2+2
C.y=7x+7−x
D.y=
x2+8
x
(x>0)
3. 下列不等式中，正确的是( )
A.a+4
a ≥4 B.a2+b2≥4a
b C.√ab≥a+b
2
D.x2+3
x2
≥2√3
4. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学
家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现
证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC=a，BC= b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．则该图形可以完成的所有的无字证明为( )
A.a+b
2
≥√ab(a>0, b>0) B.a2+b2≥2ab(a>0, b>0)
C.√ab≥21
a +1
b
(a>0, b>0) D.a2+b2
2
≥a+b
2
(a≥0, b>0)
5. 若0
A. B.e x>e x−y C.x nlog y x
6. 下列函数中，最小值是2的是（ ） A.y =
a 2−2a+2a−1
(a >1) B.y =√x 2+2√x 2+2
C.y =x 2+1x
2
D.y =x
2
+2
x
7. 若2x +4y =4，则x +2y 的最大值是________．
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均值不等式应用
一．均值不等式
1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22
2
≥+ (2)若R b a ∈,，则2
2
2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）
2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2
(2)若*
,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”
） (3)若*
,R b a ∈，则2
2⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +
≥ (当且仅当1x =时取
“=”）;若0x <，则1
2x x
+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则
22-2a b a b a b
b a b a b a
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”
） 4.若R b a ∈,，则2
)2(2
22b a b a +≤
+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的
积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”
(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值
例1：求下列函数的值域
（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1
x
解：（1）y ＝3x 2＋1
2x
2 ≥2
3x 2·1
2x
2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）
（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1
x
≥2
x ·1
x
＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1
x ）≤－2
x ·1
x
=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5
4x <
，求函数14245
y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1
(42)
45
x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝
⎭231≤-+=
当且仅当1
5454x x
-=
-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。
当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：设2
3
0<
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭
⎫
⎝⎛∈=
23,043x 时等号成立。 技巧三： 分离
例3. 求2710
(1)1
x x y x x ++=
>-+的值域。 解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分离。
当
,即
时,4
21)591
y x x ≥+⨯
+=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。 技巧四：换元
解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在分离求最值。
22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t
-+-++==++）
当,即t=时,4
59y t t
≥⨯=（当t=2即x ＝1时取“＝”号）。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最
值。即化为()(0,0)()
A
y mg x B A B g x =++>>，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a
f x x x
=+的单调性。
例：求函数22
4
y x =
+的值域。
2
4(2)x t t +=≥，则2
24
y x =
+221
4(2)4
x t t t x =+=+≥+
因1
0,1t t t >⋅=，但1t t
=解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。 因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52
y ≥。