2016-2017年四川省宜宾市高二上学期期末数学试卷(文科)与解析

2016-2017学年四川省宜宾市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0B．∃x0∈R，x03﹣x02+1≥0C．∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞02．（5分）某校640名毕业生学生，现采用系统抽样方法，抽取32人做问卷调查，将640人按1，2，…，640随机编号，则抽取的32人中，编号落入区间[161，380]的人数为（）A．10B．11C．12D．133．（5分）若直线x+2y+1=0与直线ax+y﹣2=0互相垂直，那么a的值等于（）A．﹣2B．﹣C．﹣D．14．（5分）已知双曲线（m＞0）渐近线方程为y=±x，则m的值为（）A．1B．2C．3D．45．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1558石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得381粒内夹谷42粒，则这批米内夹谷约为（）A．146石B．172石C．341石D．1358石6．（5分）如图是甲、乙汽车4S店7个月销售汽车数量（单位：台）的茎叶图，若x是4与6的等差中项，y是2和8的等比中项，设甲店销售汽车的众数是a，乙店销售汽车中位数为b，则a+b的值为（）A．168B．169C．170D．1717．（5分）若集合A={x|2x＞1}，集合B={x|lgx＞0}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知双曲线与抛物线y2=4x的交点为A，B，且直线AB过双曲线与抛物线的公共焦点F，则双曲线的实轴长为（）A．+1B．C．﹣1D．2﹣2 9．（5分）天气预报说，在今后三天中，每天下雨的概率均为0.4，有人用计算机产生0到9之间取整数值的随机数，他用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，产生3个随机数作为一组，产生20组随机数如下：027 556 488 730 113 537 989 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393，以此预测这三天中至少有两天下雨的概率大约是（）A．0.30B．0.33C．0.35D．0.37510．（5分）若点P（a，b）是直线上的点，则（a+1）2+b2的最小值是（）A．3B．C．D．011．（5分）已知点A，B是抛物线y2=4x上的两点，点M（3，2）是线段AB的中点，则|AB|的值为（）A．4B．4C．8D．812．（5分）已知椭圆C：，点M，N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H，使，则离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填在答题卡对应题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．14．（5分）如图古铜钱外圆内方，外圆直径为4cm，中间是边长为1cm的正方形孔，随机地在古铜钱所在圆内任取一点，则该点刚好位于孔中的概率是．15．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，若直线l被圆C截得的弦长最短，则m的值为．16．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），点F1，F2是椭圆的左右焦点，点A是椭圆上的点，△AF1F2的内切圆的圆心为M，若+2+2=0，则椭圆的离心率为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知三角形的三个顶点A（﹣5，0），B（3，﹣3），C（0，2），设BC边中点为M，（Ⅰ）求BC边所在直线的方程；（Ⅱ）求过点M且平行边AC的直线方程．18．（12分）某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（x个周）和市场占有率（y%）的几组相关数据如表：（Ⅰ）根据表中的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）根据上述线性回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个周，该款旗舰机型市场占有率能超过0.40%（最后结果精确到整数）．参考公式：，．19．（12分）已知命题p：实数x满足（x2+1）（x2﹣8x﹣20）≤0，命题q：实数x满足x2﹣2x+（1﹣m2）≤0（m＞0）．若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．20．（12分）某园艺公司种植了一批名贵树苗，为了解树苗的生长情况，从这批树苗中随机地测量了50棵树苗的高度（单位：厘米），并把这些高度列成如下的频数分布表：（Ⅰ）在这批树苗中任取一棵，其高度在80厘米以上的概率大约是多少？这批树苗的平均高度大约是多少？（Ⅱ）为了进一步获得研究资料，标记[40，50）组中的树苗为A，B，[90，100]组中的树苗为C，D，E，F，现从[40，50）组中移出一棵树苗，从[90，100]组中移出两棵树苗，进行试验研究，则[40，50）组的树苗A和[90，100]组的树苗C同时被移出的概率是多少？21．（12分）如图，已知椭圆C：与双曲线有相同的焦点，且椭圆C过点P（2，1），若直线l与直线OP平行且与椭圆C相交于点A，B．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求三角形OAB面积的最大值．22．（12分）已知点M（x，y）是平面直角坐标系中的动点，若A（﹣4，0），B （﹣1，0），且△ABM中|MA|=2|MB|．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程及求△ABM的周长的取值范围；（Ⅱ）直线MB与轨迹C的另一交点为M'，求的取值范围．2016-2017学年四川省宜宾市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3﹣x2+1≤0B．∃x0∈R，x03﹣x02+1≥0C．∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0D．∀x∈R，x3﹣x2+1＞0【解答】解：命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是：∃x0∈R，x﹣x+1＞0，故选：C．2．（5分）某校640名毕业生学生，现采用系统抽样方法，抽取32人做问卷调查，将640人按1，2，…，640随机编号，则抽取的32人中，编号落入区间[161，380]的人数为（）A．10B．11C．12D．13【解答】解：使用系统抽样方法，从640人中抽取32人，即从20人抽取1人．∴从编号161～380共220人中抽取=11人．故选：B．3．（5分）若直线x+2y+1=0与直线ax+y﹣2=0互相垂直，那么a的值等于（）A．﹣2B．﹣C．﹣D．1【解答】解：由于直线x+2y+1=0的斜率存在，且直线x+2y+1=0与直线ax+y﹣2=0互相垂直，则×（﹣a）=﹣1，解得a=﹣2．故选：A．4．（5分）已知双曲线（m＞0）渐近线方程为y=±x，则m的值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：双曲线（m＞0）的渐近线方程为y=±x，由渐近线方程为y=±x，可得=，可得m=3，故选：C．5．（5分）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1558石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得381粒内夹谷42粒，则这批米内夹谷约为（）A．146石B．172石C．341石D．1358石【解答】解：由题意可知：这批米内夹谷约为1558×≈172石，故选：B．6．（5分）如图是甲、乙汽车4S店7个月销售汽车数量（单位：台）的茎叶图，若x是4与6的等差中项，y是2和8的等比中项，设甲店销售汽车的众数是a，乙店销售汽车中位数为b，则a+b的值为（）A．168B．169C．170D．171【解答】解：若x是4与6的等差中项，y是2和8的等比中项，则x=5，y=4，甲数据是：78，79，80，85，85，92，96；故众数a=85，乙数据是：76，81，81，84，91，91，96；故中位数b=84，则a+b=85+84=169，故选：B．7．（5分）若集合A={x|2x＞1}，集合B={x|lgx＞0}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：A={x|2x＞1}={x|x＞0}，B={x|lgx＞0}={x|x＞1}，则B⊊A，即“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，故选：B．8．（5分）已知双曲线与抛物线y2=4x的交点为A，B，且直线AB过双曲线与抛物线的公共焦点F，则双曲线的实轴长为（）A．+1B．C．﹣1D．2﹣2【解答】解：∵与抛物线y2=4x，∴c=1，∵直线AB过两曲线的公共焦点F，∴（1，2）为双曲线上的一个点，∴﹣=1，∵a2+b2=1，∴a=﹣1，∴2a=2﹣2．故选：D．9．（5分）天气预报说，在今后三天中，每天下雨的概率均为0.4，有人用计算机产生0到9之间取整数值的随机数，他用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，产生3个随机数作为一组，产生20组随机数如下：027 556 488 730 113 537 989 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393，以此预测这三天中至少有两天下雨的概率大约是（）A．0.30B．0.33C．0.35D．0.375【解答】解：由题意知模拟三天中至少有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中至少有两天下雨的有：113，191，271，932，812，431，393共7组随机数，∴所求概率为0.35．故选：C．10．（5分）若点P（a，b）是直线上的点，则（a+1）2+b2的最小值是（）A．3B．C．D．0【解答】解：求出M（﹣1，0）到直线的距离d==，∴（a+1）2+b2的最小值=d2=3．故选：A．11．（5分）已知点A，B是抛物线y2=4x上的两点，点M（3，2）是线段AB的中点，则|AB|的值为（）A．4B．4C．8D．8【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=4x1，y22=4x2，由中点坐标公式可知：y1+y2=4，两式相减可得，（y1﹣y2）（y1+y2）=4（x1﹣x2），则直线AB的斜率k，k==1，直线AB的方程为y﹣2=x﹣3即y=x﹣1，联立方程可得，x2﹣6x+1=0，丨AB丨=•，=•=8，故选：C．12．（5分）已知椭圆C：，点M，N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H，使，则离心率e的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：M（﹣a，0），N（a，0）．设H（x0，y0），则=．∴k MH k NH====∈，可得：=e2﹣1∈，∴e∈．故选：A．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填在答题卡对应题中横线上.（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为10．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=﹣12+22﹣32+42的值∵S=﹣12+22﹣32+42=10故答案为：1014．（5分）如图古铜钱外圆内方，外圆直径为4cm，中间是边长为1cm的正方形孔，随机地在古铜钱所在圆内任取一点，则该点刚好位于孔中的概率是．【解答】解：古铜钱外圆内方，外圆直径为4cm，面积为4πcm2，中间是边长为1cm的正方形孔，面积为1cm2，随机地在古铜钱所在圆内任取一点，则该点刚好位于孔中的概率为；故答案为：．15．（5分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，若直线l被圆C截得的弦长最短，则m的值为﹣．【解答】解：直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0 即（x+y﹣4）+m（2x+y ﹣7）=0，过定点M（3，1），由于点M在圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的内部，故直线被圆截得的弦长最短时，CM垂直于直线l，故它们的斜率之积等于﹣1，即=﹣1，解得m=﹣，故答案为：﹣．16．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），点F1，F2是椭圆的左右焦点，点A是椭圆上的点，△AF1F2的内切圆的圆心为M，若+2+2=0，则椭圆的离心率为．【解答】解：设点D是AF2的中点，∵+2+2=0⇒若=﹣2（+）=﹣4，∴三点F1、M、D三点共线，且点M是靠近D的5等分点，△AF1F2与△AMF2的面积比为5：1；如图，有，由+2+2=0，得2，⇒AM：MH=3：2，∴△AF1F2与△AMF1F2的面积比为5：2又∵△AMF2与△AMF1F2的面积比为AF2：F1F2=1：2，AF2：F1F2：AF1=1：2：2，∴2a=3c，椭圆的离心率为．故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知三角形的三个顶点A（﹣5，0），B（3，﹣3），C（0，2），设BC边中点为M，（Ⅰ）求BC边所在直线的方程；（Ⅱ）求过点M且平行边AC的直线方程．【解答】解：（Ⅰ）∵B（3，﹣3），C（0，2），∴k BC==﹣，故直线BC的方程是：y﹣2=﹣x，整理得：5x+3y﹣6=0；（Ⅱ）∵B（3，﹣3），C（0，2），∴BC边中点M（，﹣），而k AC==，故所求直线方程是：y+=（x﹣），整理得：4x﹣10y﹣11=0．18．（12分）某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间（x个周）和市场占有率（y%）的几组相关数据如表：（Ⅰ）根据表中的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）根据上述线性回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个周，该款旗舰机型市场占有率能超过0.40%（最后结果精确到整数）．参考公式：，．【解答】解：（Ⅰ）根据表中数据，计算=×（1+2+3+4+5）=3，=×（0.03+0.06+0.1+0.14+0.17）=0.1；∴==0.036，=0.1﹣0.036×3=﹣0.008，∴x、y的线性回归方程为=0.036x﹣0.008；（Ⅱ）由上面的回归方程可知，上市时间与市场占有率正相关，即上市时间每增加1个月，市场占有率都增加0.036个百分点；由=0.036x﹣0.008＞0.40，解得x＞11.3；所以预计上市12个周时，市场占有率能超过0.40%．19．（12分）已知命题p：实数x满足（x2+1）（x2﹣8x﹣20）≤0，命题q：实数x满足x2﹣2x+（1﹣m2）≤0（m＞0）．若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解答】解：由（x2+1）（x2﹣8x﹣20）≤0得到x2﹣8x﹣20≤0得﹣2≤x≤10，即p：﹣2≤x≤10，由x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），得[x﹣（1﹣m）][x﹣（1+m）]≤0（m＞0），即1﹣m≤x≤1+m，若￢p是￢q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件，则，解得m≥9，即m的取值范围是m≥9．20．（12分）某园艺公司种植了一批名贵树苗，为了解树苗的生长情况，从这批树苗中随机地测量了50棵树苗的高度（单位：厘米），并把这些高度列成如下的频数分布表：（Ⅰ）在这批树苗中任取一棵，其高度在80厘米以上的概率大约是多少？这批树苗的平均高度大约是多少？（Ⅱ）为了进一步获得研究资料，标记[40，50）组中的树苗为A，B，[90，100]组中的树苗为C，D，E，F，现从[40，50）组中移出一棵树苗，从[90，100]组中移出两棵树苗，进行试验研究，则[40，50）组的树苗A和[90，100]组的树苗C同时被移出的概率是多少？【解答】解：（Ⅰ）高度在80厘米以上共17棵，高度在80厘米以上的概率p=，=74.2；（Ⅱ）事件“从[40，50）中移出1棵树苗，事件从[90，100]中移出2棵树苗，”包含的基本事件是=12个，其中满足在[40，50）中和[90，100]中的树苗同时被移出的事件共2个∴其概率p2=．21．（12分）如图，已知椭圆C：与双曲线有相同的焦点，且椭圆C过点P（2，1），若直线l与直线OP平行且与椭圆C相交于点A，B．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）求三角形OAB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）双曲线﹣=1的焦点为（±，0），即椭圆标准方程中c=，a2=b2+c2=b2+6，将P（2，1）代入椭圆方程+=1中，得+=1，解得：b2=2，a2=8，∴椭圆C的标准方程为+=1；（Ⅱ）由直线l平行于OP，且k OP=，设直线l的方程为y=x+m，由，消去y得x2+2mx+2m2﹣4=0；设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣2m，x1+x2=2m2﹣4，由l与椭圆C有不同的两点，则△＞0，即△=4m2﹣4（2m2﹣4）＞0，解得﹣2＜m＜2，且m≠0，又|AB|=•=•=•，点O到直线l的距离为d==，∴△OAB的面积为S=•d•丨AB丨=|m|•=≤=2，当且仅当m2=4﹣m2，即m=±时取等号，此时△OAB的面积最大，且最大值为2．22．（12分）已知点M（x，y）是平面直角坐标系中的动点，若A（﹣4，0），B （﹣1，0），且△ABM中|MA|=2|MB|．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程及求△ABM的周长的取值范围；（Ⅱ）直线MB与轨迹C的另一交点为M'，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），则由题意可得（x+4）2+y2=4（x+1）2+4y2，化简可得x2+y2=4．当M在（﹣2，0）时，|MA|+|MB|=3，M在（2，0）时，|MA|+|MB|=9，∴△ABM的周长的取值范围是（6，12）；（Ⅱ）设直线MB的方程为x=my﹣1，代入x2+y2=4，整理可得（m2+1）y2﹣2my﹣3=0，设M（x1，y1），M′（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=﹣=||=t，则y 1=﹣ty2，联立3个方程可得=（1+），∴＞，解得，∴的取值范围是（，3）．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作yxomax ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。