第5讲 坐标系中的全等(一)—尖子班
第5讲四边形最值问题-尖子班
【例1】（1）如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为（）A ．6B ．32C ．3D ．62（2）如图所示，在Rt △ABC 中，已知∠B=90°，AB=6，BC=8，D ，E ，F 分别是三边AB ，BC ，CA 上的点，则DE+EF+FD 的最小值为.（3）如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE =120°,∠B =∠E =90°，AB =BC ，AE =DE ，在直线BC ，DE 上分别找一点M ,N ，使得△AMN 的周长最小时，则∠AMN +∠ANM 的度数为.四边形最值问题模块一两点之间，线段最短【例1】（1）如图，菱形ABCD 中，AB ＝4，∠A ＝120°，点M 、N 、P 分别为线段AB 、AD 、BD 上的任意一点，则PM ＋PN 的最小值为________.（2）以边长为2的正方形的中心O 为端点，引用两条垂直的射线，分别与正方形的边交于A ，B 两点，则线段AB 的最小值为.（3）如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°,AB=3，BC=4，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有平行四边形ADCE 中，DE 最小的值是（）.A.2B.3C.4D.5（4）如图在∆ABC 中，AB=3,AC=4,BC=5,P 是BC 边上的一动点,PE 垂直于AB 于E 点,PF 垂直于AC 于点F,M 是EF 的中点,则AM 的最小值为.模块二点到直线的距离，垂线段最短【例1】（1）如图,正方形ABCD 中,AB=8,O 为AB 的中点,P 为正方形ABCD 外一点,且AP ⊥CP,则线段的OP 最大值为.（2）如图，已知菱形ABCD 中，BC=10，∠BCD=60°两顶点B 、D 分别在平面直角坐标系的y 轴、x 轴的正半轴上滑动，连接OA ，则OA 的长的最小值是.【巩固】如图，正方形ABCD 中，E 、F 是AD 上两个动点，且AE DF ，连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ，若正方形的边长为2，求DH的最小值．模块三三角形三边关系，两边之和>第三边>两边之差最值问题：OA 与OB 共用顶点O ，固定OA 将OB 绕点O 旋转过程中的，会出现AB 的最大值与最小值，如图．【例1】（1）如图所示，ABD ∆是等边三角形，在ABC ∆中，BC a =，CA b =，问：当ACB∠为何值时，C 、D 两点的距离最大？最大值是多少？DCBA （2）已知：2PA =，4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB的两侧．①如图，当45APB ∠=︒时，求AB 及PD 的长；②当APB ∠变化，且其它条件不变时，求PD 的最大值及相应APB ∠的大小．【例2】如图1，已知ABC ∆是等腰直角三角形，︒=∠90BAC ,点D 是BC 的中点．作正方形DEFG ，使点A 、C 分别在DG 和DE 上，连接AE ，BG ．（1）试猜想线段BG 和AE 的数量关系是________________；（2）将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转)3600(︒≤<︒αα，①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；②若4==DE BC ，当AE 取最大值时，求AF 的值．费马点与旋转☞考点说明：到三个定点的三条线段之和最小，夹角都为120°．旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题结论：（1）平面内一点P 到△ABC 三顶点的之和为PA PB PC ++，当点P 为费马点时，距离之和最小．特殊三角形中：(2)．三内角皆小于120°的三角形，分别以AB ,BC ,CA 为边，向三角形外侧做正三角形1ABC 1ACB ,1BCA ,然后连接1AA ,1BB ,1CC ,则三线交于一点P ,则点P 就是所求的费马点．(3)．若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求的费马点．(4)当ABC ∆为等边三角形时,此时内心与费马点重合下面简单说明如何找点P 使它到ABC ∆三个顶点的距离之和PA PB PC ++最小？这就是所谓的费尔马问题．解析：如图1，把APC ∆绕A 点逆时针旋转60°得到△AP ′C ′，连接PP ′．则△APP ′为等边三角形，AP =PP ′，P ′C ′=PC ，所以PA PB PC ++=PP ′+PB +P ′C ′．点C ′可看成是线段AC 绕A 点逆时针旋转60°而得的定点，BC ′为定长，所以当B 、P 、P ′、C ′四点在同一直线上时，PA PB PC ++最小．这时∠BPA =180°-∠APP ′=180°-60°=120°，∠APC =∠A P ′C ′=180°-∠AP ′P =180°-60°=120°，∠BPC =360°-∠BPA -∠APC =360°-120°-120°=120°因此，当ABC ∆的每一个内角都小于120°时，所求的点P 对三角形每边的张角都是120°，可在AB 、BC 边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P 点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P 点就是钝角的顶点．费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．【例1】阅读下列材料对于任意的ABC ∆，若三角形内或三角形上有一点P ，若PA PB PC ++有最小值，则取到最小值时，点P 为该三角形的费马点．①若三角形内有一个内角大于或等于120︒，这个内角的顶点就是费马点②若三角形内角均小于120︒，则满足条件120APB BPC APC ∠=∠=∠=︒时，点P 既为费马点.解决问题：(1)如图，ABC∆、ACE∆，∆中，三个内角均小于120︒，分别以AB、AC为边向外作等边ABD连接CD、BE交于点P，证明：点P为ABC++=∠=∠=∠=︒)且PA PB PC CD ∆的费马点．(即证明120APB BPC APC++>++(2)如图，点Q为三角形内部异于点P的一点，证明：QA QC QB PA PB PC(3)若30BC=，直接写出PA PB PC++的最小值AB=，4ABC∠=︒，3【例2】小华遇到这样一个问题，如图1,△ABC中，∠ACB=30º，BC=6，AC=5，在△ABC 内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC绕点C顺时针旋转60º，得到△EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．（1）请你写出图2中，PA+PB+PC的最小值为________；（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：①如图3，菱形ABCD中，∠ABC=60º，在菱形ABCD内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD 的边长为4，请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长．图1图2图3【例3】如图，四边形ABCD 是正方形，ABE ∆是等边三角形，M 为对角线BD 上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60︒得到BN ，连接AM 、CM 、EN ．⑴求证：AMB ENB∆∆≌⑵①当M 点在何处时，AM CM +的值最小；②当M 点在何处时，AM BM CM ++的值最小，并说明理由；⑶当AM BM CM ++的最小值为31+时，求正方形的边长．【巩固】A 、B 、C 、D 四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，现在要设立P 、Q 两个交通枢纽，并建设公路连接AP 、BP 、PQ 、QC 、QD ，使个城市之间都有公路相通，并使整个公路系统的总长为最小，则这个公路系统应当如何修建？【例4】（1）已知：ABC ∆中，120A ∠︒≥，P 是不与A 重合的定点，求证PA PB PC AB AC ++>+．P CBA（2）如图所示，在四边形ABCD中，AB BC∠=︒，P为四边形ABCD内部一点，ABC=,60++≥．∠=︒，证明：PA PD PC BD120APDAP DBC【题1】如图，∠MON=90°，正方形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上运动，当正方.形的边长为2时，OD的最大值为CE=，点M、N在对角线AC 上运动，且2周长的最小值．MN=，连接BM、EN．求四边形BMNE【题4】如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60︒，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足AE+CF=2，连接BD，当∆BEF的面积取得最小值时，试判断此时EF与BD的位置关系。
学而思寒假七年级尖子班讲义第讲平面直角坐标系
领先中考培优课程M A T H E M A T I C S3 平面坐标系知识目标目标一理解有序数对、有序数对、点的坐标的概念目标二掌握象限、坐标轴、坐标轴夹角平分线的点的坐标特征目标三灵活运用点和线的平移变换。
点的对称变换求坐标模块一 平面直角坐标系的相关概念 知识导航1有序数对有顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作（a,b),利用有序数对可以可以很准确的表示出一个位置。
2平面直角坐标系3、点的坐标平面内的点可以用一个有序数对表示，这个有序数对就叫做点的坐标。
对于平面内任意一点，过该点分别向横轴、纵轴作垂线，垂足在横轴、纵轴上对应的数分别叫做该点横坐标、纵坐标。
在平面内两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系、水平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向：竖直的数轴称为y 轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面坐标系的原点。
如左图，建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成了Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个部分,每个部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
坐标轴上的点不属于任何象限。
Ⅰ 第一象限 Ⅳ第四象限Ⅲ第三象限 Ⅱ 第二象限 原点如图，点p 为坐标平面内一点，过点p 作x 轴的垂线，垂足M 在x 轴上对应点的数是-2，则-2就是p 的横坐标；过点p 作y 轴的垂线，垂足N 在y 轴上对应的数为3，则3为点p 的纵坐标，点p 就可以用有序数对（-2，-3）来表示，记作p （-2,3）。
由坐标确定点的方法：要确定由坐标（a,b)所表示的点p 的位置，先在x 轴上找到表示a 的点，过这点作x 轴的垂线；再在y 轴上找到表示b 的点，过这点作y 轴的垂线，两条垂线的交点p 即为所求的位置。
由点求坐标的方法：先由已知点p 分别向x 轴和y 轴作垂线，设垂足分别为A 和B ，再求出A 在x 轴上的坐标a 和B 在轴上的坐标b ，则点p 的坐标为（a,b)巩固练习 点的坐标(1)在图1的平面直角坐标系中描出下列个点：A(3，4),B(-2，3),C(-5，-2),D(4，-1),E(1，0),F(0，3),G(-2，0),H(0，-4). (2)写出图2中点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 的坐标。
坐标规律知识点总结
坐标规律知识点总结一、直角坐标系直角坐标系是平面几何中最常用的坐标系，它是由两条互相垂直的坐标轴组成的。
一般来说，我们约定横轴为 x 轴，竖轴为 y 轴，它们的交点作为原点 O，两者的单位长度分别为1。
我们以原点为中心，向右为 x 轴正方向，向上为 y 轴正方向，建立直角坐标系。
在直角坐标系中，任意一点 P 的坐标可用有序偶数 (x, y) 表示。
其中，x 为横坐标，y 为纵坐标。
对于直角坐标系，有以下一些重要知识点：1. 点的对称性：关于 x 轴、y 轴和原点的对称性，可以用来求解坐标对称点的坐标。
2. 距离公式：在直角坐标系中，两点之间的距离公式为d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)。
3. 中点坐标：在直角坐标系中，可以根据两点的坐标求出其中点坐标，即((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)。
4. 直线方程：在直角坐标系中，通过两点的坐标，可以确定一条直线的方程，通常以 y = kx + b 或 Ax + By + C = 0 的形式表示。
二、极坐标系极坐标系是另一种常用的坐标系，它是由极轴和极角组成的。
极轴通常是 x 轴，极角通常用θ 表示，它是与极轴的顺时针夹角。
在极坐标系中，任意一点 P 的坐标由有序偶数(r, θ) 表示。
其中，r 为极径，表示点 P 到极点 O 的距离，θ 为极角，表示点 P 在极坐标系中的方向。
对于极坐标系，也有一些重要的知识点：1. 坐标变换：极坐标系和直角坐标系是可以相互转换的，需要用到的公式为x = r*cos(θ) 和y = r*sin(θ)。
2. 极坐标系中的直线方程：在极坐标系中，直线的方程通常以r = f(θ) 的形式表示，其中f(θ) 为一个函数。
3. 极坐标系中的距离公式：两点间的距离公式为d = √(r₁² + r₂² - 2*r₁*r₂*cos(θ₂-θ₁))。
三、空间直角坐标系空间直角坐标系是直角坐标系的延伸，它是由三条相互垂直的坐标轴组成的。
七年级坐标系知识点
七年级坐标系知识点七年级数学课程中，坐标系是一个非常重要的知识点。
它是引导学生建立空间概念，掌握几何、代数、函数等领域的重要基础。
坐标系是一种描述方位和位置关系的系统，通过它可以非常精确地表示出点的位置。
下面我们来介绍一下七年级坐标系的知识点。
一、笛卡尔坐标系笛卡尔坐标系，又称直角坐标系，是由法国数学家笛卡尔在17世纪创立的，它由两个互相垂直的数轴组成，称为x轴和y轴。
坐标系的原点是两个数轴的交点，可以用一个有序数对(x,y)来表示平面上的点P，这个有序数对就叫作点P的坐标。
二、平面直角坐标系平面直角坐标系简称平面坐标系，它是笛卡尔坐标系在平面上的具体实现。
在平面坐标系中，过原点的两条互相垂直的数轴分别称作x轴和y轴，坐标系的每一个点P都可以用一对有序数(x,y)来表示。
其中，x轴的正方向一般向右，y轴的正方向一般向上。
三、直角坐标系的象限由于平面坐标系可以取任意位置，因此有时需要给出数轴的正负方向和数轴交点位置关系的规定。
平面坐标系按照反时针方向分成四个象限，如图所示：+y|2| 1|--3| 4|---0----------+x其中，第一象限中的数对满足x>0，y>0；第二象限中的数对满足x<0，y>0；第三象限中的数对满足x<0，y<0；第四象限中的数对满足x>0，y<0。
象限的正负号依据标准规定而定，也有一些特殊的坐标系象限规定。
四、图形在坐标系中的表示方法平面坐标系直接地表现出二位空间，因此可以用坐标系表示各种平面图形，这需要结合各种表示运算方法。
基本的图形有点、线、圆、椭圆、双曲线和抛物线等，每种图形的表示方法略有不同。
五、坐标系上的代数问题坐标系还可以用来解决代数问题。
比如给定两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，求这两个点之间的距离AB，可以应用勾股定理得出。
对于函数问题，可以利用坐标系中的函数图像进行分析和解决。
比如给定一条线段，可以根据坐标系中这条线段的两个端点得出它的方程和斜率，从而进行数学分析。
第6讲 坐标系中的全等(二)—尖子班
【例1】如图①，A （O ，-1），A 、C 关于x 轴对称，AB=2，EF ∥BC ，交AB 的延长线于E 点，交y 轴于F 点． (1)求∠AEF ；(2)如图②，将△AEF 绕A 点顺时针旋转交BC 延长线于D 点，当D(m ，2)时，问AM+DH大小是否变化并证明．图① 图②【巩固】如图，已知在平面直角坐标系中，OA=OB=OC=2，点P 从C 点出发沿y 轴正方向以1个单位／秒的速度向上运动，连接PA 、PB ，D 为AC 的中点．(1)设点P 运动的时间为t 秒，问：当t 为何值时，DP 与DB 垂直且相等； (2)若PA=AB ，在第一象限内有一动点Q ，连QA 、QB 、QP ，且∠PQA=60°，问：当Q 在第一象限内运动时，∠APQ+∠ABQ 的度数和是否会发生改变？若不改变，请说明理由并求这个不变的值.图① 图②坐标系中的全等综合【变式】如图，已知B （-1，O ），D(O ，2)，经过点C(3，0)的直线EC 交直线BD 于A ，交y 轴于E ，使AD=AE ． (1)求证：AB=AC ；(2)△ABC 沿x 轴方向平行移动时，AB 交y 轴于D ，直线DF 交AC 延长线于F ，交x轴于G 且BD=CF ，求证：OG 长度不变．图① 图②【例2】如图1，已知点A （a ，0），点B （0，b ），且a 、b 满足44=-+-b a （1）求A 、B 两点的坐标； （2）若点C 是第一象限内一点，且∠OCB=45°，过点A 作AD ⊥OC 于点F ，求证：FA=FC ； （3）如图2，若点D 的坐标为（0，1），过点A 作AE ⊥AD ，且AE=AD ，连接BE 交x 轴于点G ，求G 点的坐标．【巩固】如图，直角坐标系中，A(O，4)，B(4，O)，点M、N分别在y轴和x轴上，N点在B点右侧，且AM=BN．(1)求S△AOB；(2)如图①，若点M在AO上，求证：CM=CN；(3)如图②，若点M在y轴负半轴上，(2)中的结论是否成立，请说明理由．图①图②【变式】在平面直角坐标系xoy 中，Rt △AOB 如图所示，A(a ，b)，OB=c ，满足222216640a b c ab c ++--+=（1）求A ，B 两点坐标；（2）C 为x 轴正半轴上一动点，以AC 为直角边作等腰Rt △ACD,如图所示，连接OD,求∠AOD 的度数。
六年级 寒假班第5讲 经济问题
六年级尖子班第5 讲经济问题1、某商品的进价是1509 元，按商品的标价9 折出售时，利润率是20%，求商品的标价是多少元？【解析】2012 元设商品的标价为x元。
0.9x1509120% ，解得x20122、（2012 某高新一中5.26）某种家用电器的进价为800 元，出售的价格为1200 元，后来由于该电器积压，为了促销，商店准备打折销售，但要保证利润不低于5%，则至多可以打几折？【解析】78005% 800 840（元）840 1200 70%3、某商品按20%利润定价，然后8.8 折卖出，共获得利润84 元。
这种商品的成本是多少元？【解析】150080 (1.20.881) 1500（元）4、一家商店将某种服装成本价提高40%后标价；又以8折（标价的80%）优惠卖出，结果每件获利45 元，这种服装每件成本多少元？【解析】375 元设这种服装成本价为x元，则标价为x140% 1.4x，解得x375。
5、一件商品，按定价的80%出售能赚180 元，按定价的70%售就得赔120 元。
这件商品进价为多少元？【解析】2220 元180 120÷80% 70%3000（元）300080% 180 2220（元）6、（2014 年某高新一中5•31）一辆小汽车，分期付款要比定价多付10%，若现金一次性付款能打九五折，张叔叔算了一下，两种付款方式有18000 元的差价。
你帮张叔叔计算这辆小汽车的定价是多少元？【解析】12000018000 10% 5% 120000元7、甲乙两种商品的单价和为100 元，因季节变化，甲商品降价10%，乙商品提价5%，调价后，甲乙两种商品的单价之和比原单价之和提高了2%，求甲乙两种商品原来的单价分别是多少？【解析】20 元和80 元设甲种商品原来的单价分别为x元，乙种商品原来单价为100 x元，根据题意有：0.9x 1.05100 x102，x20，100 20 80（元）。
几何知识 全等
全等
如果一个图形可以用以旋转、轴反射和/或平移的方式来变成另一个图形，这两个图形便是全等的：
旋转转！
轴反射翻转！
平移滑动！
经过以上的变换（旋转、轴反射或平移）后，
图形的大小、面积、角和或线长都保持不变。
例子：
全等（旋转和平移）
全等
（轴反射和平移）
全等
（轴反射、旋转和平移）
全等还是近似？
两个全等图形的大小是要相等的。
如果一个图形需要改变大小才能和另一个图形一模一样，这两个图形便是近似的。
如果我们……图形便是……
……只需要旋转、轴反射和/或平移全等
……也需要改变大小近似
全等？为什么不干脆叫 "相等" 就算了？可能图形只是重叠时才真正是 "相等" 的。
全等英语是"Congruent"。
字源自拉丁语 congruere，就是 "同意" 的意思。
就是说，图形互相 "同意"。
学而思寒假八年级尖子班讲义第5讲函数基本概念
数学故事抛硬币的概率硬币除了可以买东西，也可以用来解决各种争端．据说，遇到不可调解的分歧的时候，为了作出决定，人们的首选是猜拳，其次是抛硬币．足球场上开球方的决定，习惯上也用硬币决定的．然而，硬币正反不一样！如果硬币两面是完全一样的，显然掷出正面或者反面的可能性是均等的．我们常说，正反面出现的概率都是0.5．那么，这里的“概率”是什么意思呢？如果我们不停地投掷硬币，并记录下每次的结果，我们会发现正面出现的数量大约是全部的一半．投掷的次数越多，“出现正面”所占的比例就越接近0.5．这就是概率的含义：如果在许多次独立的试验中，某个特定的事件发生的比例会逐渐趋近一个特定的数值，那么这个数值就被称为这个特定事件的概率．我们可能觉得掷硬币时，正反面出现的概率是一样的，其实不然．由于设计的原因，硬币正反面的花纹是不一样的，从而也导致了重心与中心的微小偏差．以人民币一元硬币来说，正面是代表面额的1字，反面是菊花，重心稍微偏向反面；欧元就更麻烦了，不同的铸币厂会铸出不同的背面花纹，重心偏向也因这些花纹而异．由于重心有偏向，所以掷硬币时，正反面出现的概率也会有些偏差．幸好花纹导致的概率偏差非常非常小，在日常生活中往往可以忽略不计．尽管可以忽略不计，但有没有办法修正这个偏差昵？换句话说，能不能找到一个方法，让有偏差的硬币产生无偏差的结果呢？假设某枚硬币掷出正面的概率是p，我们用以下的方法产生抛硬币的结果：掷两次硬币，如果两次的结果相反的话，取后掷出的为结果；否则重新掷两次．更具体地说，如果结果是“反正”的话，那就当作掷出了正面，如果是“正反”的话，那就当作反面，如果是“正正”或者“反反”的话，那就重新再来．这样的话，在一次尝试中，结果为正面和反面的概率都是p(1－p)，结果是完全公平的．正反抵消不容易掷100次硬币，正面和反面相差多少次昵？1000次昵？10000次呢？现实中的硬币，掷出正反面的概率略有偏差，但差别之小可以看作相同．你可能会觉得，掷出正面和反面的数目有很大概率是相等的．但事实如何？虽然根据概率论中的大数定律，正反面出现次数的比应该很接近1，但这不代表正反面数目刚好抵消的概率很大．打个不太恰当的比方，地铁相对来说是很准时的，但是要它一天提前或者延误的时间刚好抵消的话，还是相当困难的．尽管得到正面和反面的概率相同，但是要它们恰好相互抵消，这也需要一点运气．稍稍用点数学知识可以知道，掷2n交硬币，恰好有n次正面n次反面的概率大概是l/nπ．当n越来越大，这个概率越来越趋近0．也就是说，虽然正反面出现的概率相同，但是它们恰好相等的概率会随着硬币的总次数变低，最后越来越接近0．所以说，在表达数学问题时，一定要用精确的语言．意思上一点点微小的变动，也会产生截然不同的结果．我们说投掷硬时出现正面的概率是0.5，说的是在许许多多次投掷后，结果中正面所占的比例会非常接近0.5，投掷次数越多，比例越接近0.5．但这并不是说比例会非常凑巧地稳稳停在0.5．实际上，在很多情况下，这个比例会不停地在0.5周围浮动，但浮动的幅度会越来越小，也会越来越靠近0.5．某几次投掷之后正面恰好一半，这种情况发生的机会反而很小．领先中考培优课程5函数基本概念知识目标模块一函数的基本概念题型一函数的概念知识导航“万物皆变”——行星在宇宙中的位置随时间而变化，气温随海拔而变化，树高随树龄而变化……生活中，这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在．思考下面几个具体的例子：⑴电影票的售价为10元/张，第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各是多少元？设一场电影售出x张票，票房收入为y元，y 的值随x的变化而变化吗？⑵某地的手机通话费为0.2元/min，小明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为tmin，话费卡中的余额为w元．w的值随t的变化而变化吗？⑶水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，圆面积为S，圆周率为π．S的值r 的变化而变化吗？我们引入下列概念：概念一：变量与常量变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量在⑴中，可以发现：x和y是两个变量，每当x取定一个值时，y就有唯一确定的值与其对应．例如，若x＝150，则y＝1500；若x＝205，则y＝2050；若x＝310，则y＝3100．在⑵中，可以发现：w和t是两个变量，每当t取定一个值时，w就有唯一确定的值与其对应．它们的关系式为w＝30－0.2t．据此可以算出t分别为50，100，120时，w分别为20，10，6．在⑶中，可以发现：r和S是两个变量，每当r取定一个值时，S就有唯一确定的值与之对应．它们的关系为S＝πr2．据此可以算出r分别为10cm，20cm，30cm时，S分别为100πcm2，400πcm2，900πcm2．我们引入下列概念：概念二：函数一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数，如果当x＝a时y ＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．特别的，自变量的取值范围是考试的重点，不仅仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义．概念三：解析式像w＝30－0.2t，S＝πr2这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式．例11．下列变量之间，不是函数关系的是( )A ．长方形的长一定，其面积与宽B ．正方形的面积与周长C ．等腰三角形的面枳与底边的长D ．圆的面积与直径的长 2．下列关系中，能表示y 是x 的函数的有①y ＝2x ； ②y ＝x 2； ③y 2＝x ； ④y ＝|x |； ⑤|y |＝x ；⑥y ＝1x ．3．(2013年武汉二中八下期末)若函数y ＝x ＋8在实数范围内有意义，则x 的取值范围是__________． 4．(2013年武昌区八上期末)某养鸡专业户计划用一段长为35米的竹篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场地，如图所示，墙长为20米，BC 边有一个宽为1米的木门(木门用其它材料做不占用竹篱笆)，设养鸡场AB 边的长为x 米，BC 边的长为y 米，BC 的长度不小于10米且不超过墙长，求y 关于x 的函数解析式及x 的取值范围练1．下列关系中，y 不是x 的函数的是( )．A ．y ＝x ＋1B ．y ＝2xC ．y ＝xD ．|y |＝x 2．函数y ＝x －3x+1的自变量x 的取值范围是_________． 3．已知一个长方形的周长为20cm ，设长方形的一条边长为x ，面积为y ，则y 与x 的函数关系为___________(写出x 的取值范围)．题型二 函数的图象有些问题中的函数关系很难列式子表示，但是可以用图象来直观反映，例如用心电图表示心脏部位的生物电流与时间的关系．即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示，那么会使函数关系更直观．函数图像：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．问题探究：画出函数y ＝x ＋1的图象．第一步：列表，在表格中给出一些自变量的值及其对应的函数值．第二步：描点，在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描墙AB CD出表格中数值对应的各点．第三步：连线，按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来．练习：⑴画出函数y＝x2的图象．⑵画出函数y＝|x－1|的图象．例2⑴(2013年研口区八下期末)下列各曲线中，不表示y是x的函数关系的是( )⑵如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面图像中，能大致表示水的最大深度h 与时间t 之间的关系的是( )例3甲、乙两车从A 城出发前往B 城，在整个行程中，汽车离开A 城的距离y 与时刻t 的对应关系如图所示．⑴A ，B 两城相距多远？⑵哪辆车先出发？哪辆车先到B 城？ ⑶甲、乙两车的平均速度分别为多少？练(2012年江岸区八下期末)如图，李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y (千米)与行进时间t (小时)的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是()例4(2015年武汉中考)如图所示，购买一种苹果，所付款金额y (元)与购买量x (千克)之间的函数图象由线段OA 和射线AB 组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省________元．)))))A练(2011年武汉中考)一个装有进水管和出水管的容器，从某一时刻起只打开进水管进水，经过一段时间，再打开出水管放水，至12分钟时，关停进水管．在打开进水管到关停进水管这段时间内，容器内的水量y (单位：升)与时间x (单位：分钟)之间的函数关系如图所示，关停进水管后，经过_________分钟，容器中的水恰好放完．拓(2012年武汉中考)甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y (米)与乙出发的时间t (秒)之间的关系如图所示，给出以下结论；①a ＝8；②b ＝92；③c ＝123．其中正确的是__________．函数的三种表示方法：⑴列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律．⑵解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示．⑶图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系．模块二 一次函数))秒) A题型一 正比例函数 知识导航 一、定义；一般地，形如y ＝kx (k 为常数，k ≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数． 二、图像和性质 问题探究：在同一坐标系中画出下列正比例函数的图象． ⑴y ＝2x ；⑵y ＝13x ；⑶y ＝－1.5x ；⑷y ＝－4x .由图象可以发现下列规律：⑴四个函数都是经过______的直线．⑵y ＝2x 和y ＝13x 的图象经过第____________象限，从左到右______．(“上升”或“下降”)；y ＝－1.5x 和y ＝－4x 的图象经过第____________象限，从左到右______．(“上升”或“下降”)． 归纳总结：⑴正比例函数的图像是一条经过原点的直线，我们称它为直线y ＝kx (k ≠0)⑵当k >0时，直线y ＝kx 经过第三、第一象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大； 当k <0时，直线y ＝kx 经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 却减小． ⑶由于两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象，一般地，过原点和点(1，k )(k 为常数，k ≠0)的直线，即正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图像． 例5用你认为最简单的方法画出下列函数的图象． ⑴y ＝32x ；⑵y ＝－3x ；⑶y ＝|x |.A练⑴下列函数中，一定是正比例函数的是( )A ．y ＝3x 2B ．y ＝－4xC ．3x ＋y ＝1D ．y ＝1x⑵下面给出的几个函数关系中，成正比例函数关系的是( )A ．正方体的体积与棱长B ．正方形的周长与边长C ．长方形的面积一定，它的长和宽D ．圆的面积和它的半径 ⑶关于函数y ＝x ＋5m －3是正比例函数，则m ＝_________．⑷正比例函数y ＝(3－m )x (脚为常数)，若y 随着x 的增大而增大，则m 的取值范围是____．题型二 一次函数 知识导航 一、定义一般地，形如y ＝kx ＋b (k ≠0，k ，b 为常数)的函数，叫做一次函数． 注意：⑴k ≠0；⑵当b ＝0时，y ＝kx ，y 叫x 的正比例函数，故正比例函数是一种特殊的一次函数． 二、图像和性质问题探究一：一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)和正比例函数y ＝kx (k ≠0)之间的关系． 在同一坐标系中画出函数y ＝－6x 和y ＝－6x ＋5的图象由图象可以发现下列规律：⑴这两个函数的图象形状都是_______，并且倾斜程度_____________．⑵函数y ＝－6x 象经过原点，函数y ＝－6x ＋5的图象与y 轴交于点_________．即它可以看作由直线y ＝－6x 向______平移________个单位长度而得到． 归纳总结：一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象可以由直线y ＝kx 平移|b |个单位长度得到(当b >0时，向上平移；当b <0时，向下平移)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象也是一条直线，称之为直线y ＝kx ＋b问题探究二：一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的性质 在同一坐标系中画出下列函数的图象．⑴y ＝x ＋1；⑵y ＝－x ＋1；⑶y ＝2x ＋1；⑷y ＝－2x ＋1归纳总结：⑴当k >0时，直线y ＝kx＋b 从左向右上升，y 随x 的增大而增大 ⑵当k <0时，直线y ＝kx ＋b 从左向右下降，y 随x 的增大而减小我们先通过观察发现图象(形)的规律，再根据这些规律得出关于数值大小的性质，这种数形结合的研究方法在数学学习中很重要． 三、图像和性质的深入探究⑴k 表示直线的倾斜程度，也即直线的斜率，如果两条直线(不重合)斜率相等，那么这两条直线平行．⑵b 表示直线与y 轴交点的纵坐标，也即直线在y 轴上的截距． ⑶k 、b 对一次函数y ＝kx ＋b 图像的控制例6⑴当m 为何值时，函数y ＝－(m －2)x m 2－3＋(m －4)是关于x 的一次函数？ ⑵(2016年武昌区八下期末)若一次函数y ＝(m －3)x ＋5的函数值y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是_______． ⑶(2015年武汉二中八下期末)已知一次函数y ＝(m ＋4)x ＋2m －1的图象与y 轴交点在x 轴下方且y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是________． 练⑴当m 为何值时，函数y ＝(m ＋2)x |m |－1＋m －2是一次函数？ ⑵(2015年江汉区八下期末)点(3，y 1)，(1，y 2)在直线y ＝2x ＋1上，则y 1与y 2的大小关系为________． 例7⑴(2015年武昌区八下期末)一次函数y ＝kx －k (k <0)的图像大致是( )⑵(2014年江汉区八下期末)已知正比例函数y ＝kx (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数y ＝－x －k 的图象大致是( )练⑴若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a <b <c ，则函数y ＝cx ＋a 的图像可能是( )⑵直线y ＝mx ＋n 如图所示，化简：|m －n |－m 2．拓(2015年青山区八下期末)已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过一、二、四象限，则直线y ＝bx －k 的图象可能是( )例8⑴已知一次函数y ＝(m －3)x ＋2m －1的图象经过一、二、四象限，求m 的取值范围． ⑵已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象不经过第三象限，求k 、b 的取值范围练(2014年武汉二中八下期末)已知一次函数y ＝(m －4)x ＋2m ＋1的图象不过第三象限，求m 的取值范围．[课后作业]第5讲函数基本概念1．【2014二中期末】下列函数中，( )是一次函数。
学而思寒假七年级尖子班讲义第1讲平行线四大模型(1)
目录Contents第1讲平行线四大模型 (1)第2讲实数三大概念 (17)第3讲平面直角坐标系 (33)第4讲坐标系与面积初步 (51)第5讲二元一次方程组进阶 (67)第6讲含参不等式（组） (79)第 1 页共11 页平行线四大模型知识目标目标一熟练掌握平行线四大模型的证明目标二熟练掌握平行线四大模型的应用目标三掌握辅助线的构造方法，熟悉平行线四大模型的构造秋季回顾平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行.判定方法I:两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简称：同位角相等，两直线平行.判定方法2:两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3:两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠ 1 = ∠ 2,贝U AB// CD （同位角相等，两直线平行）；若已知∠仁∠3,则AB/ CD （内错角相等，两直线平行）;若已知∠ 1+ ∠ 4= 180 °,则AB // CD （同旁内角互补，两直线平行）. 另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.2、平行线的性质禾U用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行.反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质.性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等∙简称：两直线平行，同位角相等性质2:两条平行线被第三条直线所截，内错角相等简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简称：两直线平行，同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型结论2 :若∠ P+ ∠ AEP+∠ PFC= 360°,贝U AB // CD.结论2 :若∠ P= ∠ AEP+∠ CFP ,贝U AB // CD.结论1 :若AB // CD ,则∠ P=∠ AEP- ∠ CFP 或∠ P= ∠ CFP-∠ AEP ; 结论2 :若∠ P= ∠ AEP- ∠ CFP 或∠ P= ∠ CFP- ∠ AEP,贝U AB // CD.模型四“骨折”模型PA----------- —B AΓ7--- 巴/-D C__ IC F点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1 :若AB // CD ,则∠ P=∠ CFP- ∠ AEP 或∠ P= ∠ AEP- ∠ CFP ; 结论2 :若∠ P= ∠ CFP- ∠ AEP 或∠ P= ∠ AEP- ∠ CFP ,贝U AB // CD.巩固练习平行线四大模型证明(1) 已知AE // CF ,求证∠ P +∠ AEP + ∠ PFC = 360(2) 已知∠ P= ∠ AEP+ ∠ CFP ,求证AE // CF .(3) 已知AE // CF ,求证∠ P= ∠ AEP- ∠ CFP.(4) 已知∠ P= ∠ CFP -∠ AEP ,求证AE //CF .三模块一平行线四大模型应用例1(1)如图，a // b, M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠(1) 如图所示，AB// CD , ∠ E=37°,∠ C= 20 °,则∠ EAB的度数为(2) (七一中学2015-2016七下3月月考)如图，AB // CD, ∠ B=30°,∠ O= ∠ C.则∠ C= ___________(2)如图，AB // CD ,且∠ A=25°,∠C=45 °,则∠ E的度数是(3)如图，已知AB// DE,(4)如图，射线AC// BD ,D第5页共11页例2如图，已知AB // DE , BF、DF分别平分∠ ABC、/ CDE ,求∠ C、∠ F的关系.如图，已知AB // DE , ∠ FBC = 1∠ ABF , ∠ FDC = 1∠ FDE.n n(1)若n=2,直接写出∠ C∠ F的关系_________________________ ;⑵若n=3,试探宄∠ C、/ F的关系；(3) ______________________________________ 直接写出∠ C∠ F的关系 (用含n的等式表示)BE 平分∠ ABC, DE 平分∠ ADC .求证：∠ E= 2 ( ∠ A+ ∠ C).BF、DF分别平分∠ ABC、/ CDE ,求∠ C∠ F的关系.3C 如图，已知AB // CD ,如图，己知AB // DE ,例4如图，∠ 3== ∠ 1+ ∠ 2,求证：∠ A+∠ B+ ∠ C+∠ D= 180AB⊥ BC, AE 平分∠ BAD 交BC于E, AE丄DE , ∠ 1+ ∠ 2= 90° ,M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠ EAM和∠ EDN的平分线相交于点F则∠ F的度数为（）.A. 120°B.135°C.145°模块二平行线四大模型构造例5如图，直线AB // CD , ∠ EFA= 30 °,∠ FGH = 90 ∠GHM = _____________ .（武昌七校2015-2016七下期中）如图,练如图，直线AB // CD , ∠ EFG =100 °,∠ FGH =140 °,则∠ AEF+ ∠ CHG= ____________例6已知∠ B =25 °,∠ BCD=45°,∠ CDE =30 °,∠ E=IO°,求证：AB // EF .练已知AB // EF ,求∠ I- ∠ 2+∠ 3+ ∠ 4 的度数.(1)如图(I),已知MA i// NA n,探索∠ A i、/ Aa …、∠ A n,∠ B i、/ B2…/B n-I 之间的关系.⑵如图⑵，己知MA i// NA4,探索∠ A i、/ A?、/ A3、/ A4,∠ B i、/ B2之间的关系. ⑶如图⑶，已知MA i// NA n,探索∠ A i、/ A2、…、/ A n之间的关系.如图所示，两直线AB // CD平行，求/ i+ / 2+ / 3+ / 4+ / 5+ / 6.第8页共ii页挑战压轴题(粮道街2015—2016七下期中)如图1 ,直线AB// CD , P是截线MN上的一点,(1) 若∠ EFB=55 °,∠ EDP= 30(2) 当点P在线段EF上运动时，求出定值；若不是，说明其范围；(3) 当点P在线段EF的延长线上运动时，∠MN与CD、AB分别交于,求∠ MPD的度数；∠ CPD与∠ ABP的平分线交于Q,问：CDP与∠ ABP的平分线交于E、F .Q是否为定值？若是定值，请.DPBQ,问父的值足否定值，请ZDPB第一讲平行线四大模型（课后作业）1.如图，AB // CD // EF , EH 丄CD 于H,则∠ BAC+ ∠ ACE + ∠ CEH 等于(A. 2: 1B. 3: 1C. 4: 3 D . 3: 23.如图3 ,己知AE/ BD , ∠ 1=130 ° ,∠ 2=30 °,则∠ C=________________4.如图，已知直线AB // CD, ∠ C =115 °,∠ A= 25 °,则∠ E= ______________5•如阁所示，AB/ CD, ∠ I=I 10° ,∠ 2=120°,则∠ α= ____________ .6.如图所示，AB/ DF , ∠ D =116 °,∠ DCB=93° ,则∠ B= ______________A.180°B.270°2.(武昌七校2015-2016七下期中)2若AB // CD , ∠ CDF = —∠CDE ,C.360°D.450°2∠ ABF= ∠ABE,3).三£则∠ E:∠ F=( ).3第11页共11页a 上，a// b. ∠ 仁50°,∠ 2 =60 °,则∠ 3 的度数为. & 如图，AB // CD , EP⊥ FP,已知∠ 仁30 °,∠ 2=20 °.则∠ F的度数为9.如图，若AB // CD , ∠ BEF=70 °,求∠ B+ ∠ F+ ∠ C 的度数.10.已知，直线AB// CD.(1)如图I,∠ A、/ C、/ AEC之间有什么关系？请说明理由;Sl(2)如图2,∠ AEF、/ EFC、/ FCD之间有什么关系？请说明理由;⑶如图3,∠ A∠ E∠ F、/ G、/ H、7.如图，将三角尺的直角顶点放在直线第12页共11页。
第5讲 有理数的混合运算--尖子班
第5讲 有理数的混合运算⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩常规计算计算规律型有理数的混合运算实际应用应用流程图新定义知识点1 常规计算有理数混合运算的运算顺序： 1、 先乘方，再乘除，最后加减； 2、 同级运算，从左到右进行；3、 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行.【典例】1.计算：（1）（﹣1）3﹣×[2﹣（﹣3）2]；（2）﹣22+|5﹣8|+24÷（﹣3）×； （3）×（﹣2）3÷（﹣2）2﹣2×|（﹣1）2017×+1|.【方法总结】根据有理数的混合运算顺序和运算法则计算即可．本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的顺序和法则是解题的关键． 注意：绝对值符号有括号的作用.【随堂练习】1．（2017秋•罗平县期末）计算 （1）[1﹣（﹣+）×24]÷（﹣5）；（2）﹣12018+|2﹣11|×（﹣）2﹣（﹣2）÷2．（2017秋•江阴市期末）计算：（1）（+）+（﹣）﹣|﹣3|（2）﹣22+3×（﹣1）2017﹣9÷（﹣3）3．（2017秋•滨海新区期末）计算：（Ⅰ）4×（）×5；（Ⅱ）2﹣23÷|﹣2|×（﹣7+5）4．（2017秋•鄂城区期末）计算：（1）×（﹣9）﹣36×（）（2）（）×（﹣6）+（﹣）2÷（﹣）3知识点2 运算律、规律计算有理数的混合运算中，常用的运算律有：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律、加法对乘法的分配律.【典例】1.计算：（1）﹣14﹣（﹣+）×24；（2）×（﹣5）+（﹣）×9﹣×8；（3）|4﹣4|+（）﹣（+5）．【方法总结】本题主要考察了有理数混合运算的运算顺序和分配律的使用，（1）和（3）是乘法分配律的正用，（2）是乘法分配律的逆用，熟练掌握运算律的使用是解本题的关键．2.探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，并解答问题．1+3=4=22;1+3+5=9=32;1+3+5+7=16=42;1+3+5+7+9=25=52;（1）试猜想1+3+5+7+9+…+19=_________;（2）试猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）=_________；（3）请用上述规律计算：1001+1003+1005+…+2015+2017.【方法总结】通过观察不难发现，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数的和的一半的平方，根据此规律可解答（1）（2）两题；用从1开始到2011的和减去从1开始到999的和，然后列式进行计算即可得第（3）题的答案．本题是对数字变化规律的考查，观察出平方的底数与等式左边首尾两个奇数的关系是解题的关键，也是本题的难点．【随堂练习】1．（2018•合肥模拟）阅读材料：求31+32+33+34+35+36的值解：设S=31+32+33+34+35+36①则3S=32+33+34+35+36+37②用②﹣①得，3S﹣S=（32+33+34+35+36+37）﹣（31+32+33+34+35+36）=37﹣3∴2S=37﹣3，即S=∴31+32+33+34+35+36=以上方法我们成为“错位相减法”，请利用上述材料，解决下列问题：（一）棋盘摆米这是一个很著名的故事：阿基米德与国王下棋，国王输了，国王问阿基米德要什么奖赏？阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按这个方法放满整个棋盘就行”国王以为要不了多少粮食，就随口答应了，结果国王输了（1）国际象棋共有64个格子，则在第64格中应放_____粒米（用幂表示）（2）设国王输给阿基米德的米粒数为S，求S（二）拓广应用：1．计算：+++…+（仿照材料写出求解过程）2．计算：+++…+=________（直接写出结果）3．（2017秋•宿州期末）观察下列计算，，，……（1）第5 个式子是_________；（2）第n 个式子是_________；（3）从计算结果中找规律，利用规律计算3．（2017秋•娄星区期末）观察下列等式：=1﹣，=﹣，=﹣．可得：++=1﹣+﹣+﹣=1﹣=（1）猜想并写出：=_____﹣_______．（2）利用上述猜想计算：+++…+．（3）探究并计算：+++…+．知识点3 求代数式的值重要结论：互为相反数的两数和为0，相反数等于自身的数是0；互为倒数的两数积为1，倒数等于自身的数有-1,1，倒数等于自身的自然数是1；最大的负整数是-1，最小的正整数是1，绝对值最小的有理数是0；【典例】1.已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数．试求x2+（a+b+cd）x+（a+b）2017+（﹣cd）2017﹣m2017的值．【方法总结】首先根据a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是最大的负整数，m是绝对值最小的数，可得：a+b=0，cd=1，x=﹣1，m=0；然后代入代数式计算即可．此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算顺序和运算法则.【随堂练习】1．（2017秋•虎林市校级期中）已知a、b互为相反数且a≠0，c，d互为倒数，m 的绝对值是最小的正整数，求m2﹣﹣cd的值．2．（2017秋•泗阳县期中）已知a、b互为倒数，x、y互为相反数，m是平方后得16的数．求代数式（ab）2017﹣﹣m3的值．知识点4 实际应用利用有理数混合运算解决实际问题的一般步骤：1. 审：审清题意,找出数量关系；2. 列：根据所找的数量关系列出算式；3. 算：根据运算法则计算出算式的结果；4. 答：给出题目要求的答案.【典例】1.小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具140个，平均每天生产20个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：（1）根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具__________个；（2）根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具__________个；（3）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元；少生产一个则倒扣3元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？（4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由．【方法总结】（1）根据记录可知，小明妈妈星期三生产玩具20﹣4=16（个）；（2）先分别把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，再加上计划生产量即可；（3）先计算每天的工资，再相加即可求解；（4）先计算超额完成了几个玩具，然后再计算工资．本题考查了正数与负数、有理数加减混合运算，读懂表格数据、根据题意准确列式是解题的关键．【随堂练习】1．（2017秋•无锡期中）小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具140个，平均每天生产20个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是小明妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：（1）根据记录的数据可知小明妈妈星期三生产玩具个；（2）根据记录的数据可知小明妈妈本周实际生产玩具个；（3）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资5元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖3元；少生产一个则倒扣3元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？（4）若将上面第（3）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由．2．（2017秋•简阳市期中）“十•一”黄金周期间，武汉东湖风景区在7天假期中每天旅游人数变化如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前天少）（1）若9月30日的旅客人数为4.2万人，则10月4日的旅客人数为___万人；（2）七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多_____万人（3）如果每万人带来的经济收入约为100万元，则黄金周七天的旅游总收入约为多少万元？3．（2017秋•天宁区校级月考）气象统计资料表明，某一地区当高度每增加100米，气温就降低大约0.6℃．（1）若测得该地区某山在山脚的气温是2℃，则距离山脚有600米高的山腰气温是____℃．（2）在一次社会实践中，小明和小林欲考证该地区某山顶的海拔高度．他俩进行实地测量，小明在山下一海拔高度为11米的小山坡上测得气温为24℃，小林在最高位置测得气温为14.4℃．根据测量的数据，请你列式计算该山顶的海拔高度．知识点5 流程图计算初中阶段的流程图一般由方框和带箭头的线（直线和折线）组成.方框里是逻辑运算，箭头表示进行运算的顺序.箭头指向某个方框说明需要将上一步的结果进行方框里的逻辑运算.【典例】1.如图，是一个简单的数值计算程序，当输入的值为5，则输出的结果为________.【方法总结】此题主要考查了流程图的计算，解题的关键在于弄懂流程图每一步是做什么运算.注意：流程图的每个逻辑运算都是独立的，一定要按箭头方向一步一步计算.将流程图转化为算式的时候，应该加括号的地方要补上括号，不要弄错运算顺序.【随堂练习】1．（2017秋•港闸区期末）如图，按下列程序进行计算，经过三次输入，最后输．出的数是12，则最初输入的数是_____．2．按如图程序计算：输入x=2，则输出的答案是______3．（2017秋•安徽月考）按照如图所示的操作步骤，若输入值为﹣3，则输出的值为_____．3.（2017秋•台州期中）如图所示的运算程序中，用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）（1）①如图1，当输入数x=﹣4时，输出数y=____；②如图2，第一个运算框“”内，应填____；第二个运算框“”内，应填___；（2）①如图3，当输入数x=﹣2时，输出数y=___；②如图4，当输出的值y=26，则输入的值x=____．；（3）某市为鼓励居民节约用电，决定对居民用电实行“阶梯价”：当每户每月用电量不超过190度时（含100度），以0.5元/度的价格收费；当每户每月用电量超过100度时，其中100度以0.5元/度的价格收费，超过部分以0.8元/度的价格收费．请设计出一个如题中的“计算框图”，使得输入数为用电量x（度），输出数为电费y（元）知识点6 新定义定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算.解定义新运算问题，关键是要正确地理解新定义运算的算式含义，然后严格按照新定义运算的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算.【典例】1.阅读下列内容，并完成相关问题：小明说：“我定义了一种新的运算，叫❈（加乘）运算．”然后他写出了一些按照❈（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：（+4）❈（+2）=+6；（﹣4）❈（﹣3）=+7；（﹣5）❈（+3）=﹣8；（+6）❈（﹣7）=﹣13；（+8）❈0=8；0❈（﹣9）=9．小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的❈（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？（1）归纳❈（加乘）运算的运算法则：两数进行❈（加乘）运算时，____________________________________．特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，_________________．（2）计算：[（﹣2）❈（+3）]❈[（﹣12）❈0]（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）（3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在❈（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可）”【方法总结】（1）根据题目给出的❈（加乘）运算的算式，结合之前所学的加减乘除四则运算的运算法则，即可归纳出❈（加乘）运算的运算法．（2）根据（1）中总结出的❈（加乘）运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，即可求出[（﹣2）❈（+3）]❈[（﹣12）❈0]的值．（3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的❈（加乘）运算中还适用，任取两个数a，b，通过计算说明a❈b= b❈a（或任取三个数a，b，c，通过计算说明a❈b❈c= a❈（b❈c））即可．此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算顺序并注意运算定律的应用．【随堂练习】1．（2017秋•余姚市期末）给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，依此类推，第n个数记为a n（n为正整数），如下面这列数2，4，6，8，10中，a1=2，a2=4，a3=6，a4=8，a5=10．规定运算sum（a1：a n）=a1+a2+a3+…+a n．即从这列数的第一个数开始依次加到第n个数，如在上面的一列数中，sum（a1：a3）=2+4+6=12．（1）已知一列数1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，﹣8，9，﹣10，则a3=___，sum （a1：a10）=_____．（2）已知这列数1，﹣2，3，﹣4，5，﹣6，7，﹣8，9，﹣10，…，按照规律可以无限写下去，则a2018=____，sum（a1：a2018）=______．（3）在（2）的条件下否存在正整数n使等式|sum（a1：a n）|=50成立？如果有，写出n的值，如果没有，说明理由．2．（2017秋•朝阳区期末）对于任意有理数a，b，定义运算：a⊙b=a（a+b）﹣1，等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如，2⊙5=2×（2+5）﹣1=13；（﹣3）⊙（﹣5）=﹣3×（﹣3﹣5）﹣1=23．（1）求（﹣2）⊙3的值；（2）对于任意有理数m，n，请你重新定义一种运算“⊕”，使得5⊕3=20，写出你定义的运算：m⊕n=______（用含m，n的式子表示）．综合集训1.如图是一个数值转换机的示意图，若输入x的值为2，输入y的值为﹣2，则输出的结果为__________．2.如图，这是一个运算的流程图，输入正整数x的值，按流程图进行操作并输出y的值．例如，若输入x=10，则输出y=5．若输出y=3，则输入的x的值为___________．3.若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则m﹣cd+值为_________.4.计算：（1）﹣|﹣7+1|+3﹣2÷（﹣）；（2）（）÷（﹣）×；（3）﹣14﹣（1﹣0.5）÷×[2﹣（﹣3）2]；（4）.5.阅读下面的文字，完成后面的问题，我们知道：=1﹣，=﹣，=﹣，=﹣，……那么：（1）=；（2）用含有n（n为正整数）的式子表示你发现的规律；（3）计算：+++……．6.观察下列各式：13=12；13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102；…（1）请写出第5条等式；（2）说出等式左边各个幂的底数与右边幂的底数之间有什么关系？（3）利用上述规律，计算13+23+33+43+…+1003的值．7.为了保护环境节约水资源，我市按照居民家庭年用水量实行阶梯水价，水价分档递增．居民用户按照以下的标准执行：第一阶梯上限180立方米，水费价格为5元/每立方米；第二阶梯为181﹣260立方米之间，水费价格7元/每立方米；第三阶梯为260立方米以上用水量，水价为9元/每立方米．如表所示：根据以上材料解决问题：若小明家在2017年共用水200立方米，准备1000元的水费够用吗？说明理由．8.【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地， 把n a a a a a ÷÷÷÷个相除（a≠0）记作a ⓝ，读作“a 的圈 n 次方”．【初步探究】（1）直接写出计算结果：2③= ，（﹣）⑤= ；（2）关于除方，下列说法错误的是 ，【选项A 】任何非零数的圈2次方都等于1； 【选项B 】对于任何正整数n ，1ⓝ=1； 【选项C 】3④=4③；【选项D 】负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． （﹣3）④=_____________； 5⑥=_________；（﹣）⑩=_________________．（2）想一想：将一个非零有理数a 的圈n 次方写成幂的形式等于_____________________； （3）算一算：122÷（﹣ ）④×（﹣2）⑤﹣（﹣）⑥÷33．。
学而思初二数学暑假班第5讲.复杂乘法公式及整式除法.尖子班.教师版
吃不吃亏？漫画释义满分晋级5复杂乘法公式 及整式除法代数式5级 基本乘法 公式及应用 代数式6级 复杂乘法公式 及整式除法 代数式7级 因式分解的概念 和基本方法春季班 第十二讲暑期班 第五讲暑期班 第六讲公 式推导过程三项完全平方公式：()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++()2222222a b c a b c ab ac bc --=++--+222()()()a b b c c a +++++ 222222222a b c ab bc ca =+++++()()()()22222222222222222a b c a b c a b a b c c a ab b ac bc ca b c ab ac bc++=++⎡⎤⎣⎦=++++=+++++=+++++立方和公式的逆用：2233()()a b a ab b a b +-+=+ 立方差公式的逆用：2233()()a b a ab b a b -++=- ()()22a b a ab b +-+322223a a b ab a b ab b =-++-+ 33a b =+和的完全立方公式：33223()33a b a a b ab b +=+++ 差的完全立方公式33223()33a b a a b ab b -=-+-3()a b +=2()()a b a b ++ 22()(2)a b a ab b =+++32222322a a b ab a b ab b =+++++ 322333a a b ab b =+++易错点：公式在运用过程中注意每一项的符号特征.模块一 复杂乘法公式知识导航知识互联网【例1】 利用三项完全平方公式计算：⑴ 2(3)x y ++=；⑵ 2122x y z ⎛⎫--= ⎪⎝⎭ .【解析】 ⑴ 2(3)x y ++=222322323x y x y y x +++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅229266x y xy y x =+++++ 222669x xy y x y =+++++⑵ 22214424x y z xy yz zx ++-+-.【例2】 利用立方和（差）公式的逆用填空：⑴ 2(2)(24)x x x +-+= ；⑵ 33(25)()8125a b a b +=+；⑶ 2(21)(421)x x x -++= ；⑷ 3311()32278a b a b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭； ⑸ ()()()4222416x x x x -+++= .【解析】 ⑴ 2(2)(24)x x x +-+=22(2)(22)x x x +-⋅+332x =+=38x +⑵ 2241025a ab b -+⑶ 2(21)(421)x x x -++= 22(21)[(2)(2)11]x x x -+⋅+33(2)1x =-381x =- ⑷ 22223322964a a b b a ab b ⎛⎫⎛⎫+⋅+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑸ ()()()4222416x x x x -+++()()2424416x x x =-++()3236464x x =-=-【点评】 先弄清题目是用立方和公式还是用立方差公式计算，再弄清题目中哪个数或式是a ，哪个数或式是b ，最后再代入公式计算. 1．注意对公式的理解和记忆⑴ 项数特征：两项乘三项→积为二项；⑵ 符号特征：二项的因式若两项都为+，则三项的因式符号为+，-，+，积的符号与二项因式的符号相同，二项的因式符号若为+，-，则三项的因式符号为+，+，+，积的符号与二项因式的符号相同，即是说公式在各种条件都相符的情况下，所得的积是两数的“立方和”还是两数的“立方差”，主要看乘积中第一个乘式是“两数和”，还是“两数差”.2．公式中的字母a b 、仍代表任意数或代数式.【例3】 利用完全立方公式计算：夯实基础⑴ 3(2)x + ⑵ 3(32)x y + ⑶ 3(45)a b -【解析】 ⑴ 3(2)x +322332322x x x =+⋅⋅+⋅⋅+326128x x x =+++⑵ 3(32)x y +3223(3)3(3)(2)3(3)(2)(2)x x y x y y =+++32232754368x x y xy y =+++⑶ 3(45)a b -3223(4)3(4)(5)3(4)(5)(5)a a b a b b =-+-322364240300125a a b ab b =-+-【例4】 ⑴ 已知3a b +=且2ab =，则33a b +的值为 .⑵ 已知1a b -=-且225a b +=，则33a b -的值为 . ⑶ 已知：1x y +=，则333x y xy ++= ． 【解析】 ⑴ 法一：()()3322a b a b a ab b +=+-+()()()22333329a b a b ab ⎡⎤=++-⎣⎦=⨯-⨯= 法二：由()3322333()333a b a a b ab b a b ab a b +=+++=+++ 得()3333()a b a b ab a b +=+-+ 333239=-⨯⨯= ⑵ 由()2222a b a b ab -=+-，得()25122ab --==法一：()()3322a b a b a ab b -=-++ ()1527=-⨯+=-法二：由()3322333()333a b a a b ab b a b ab a b -=-+-=--- 得()3333()a b a b ab a b -=-+- ()3(1)3217=-+⨯⨯-=-⑶ 法一：原式()2222()33x y x xy y xy x xy y xy =+-++=-++ ()22221x xy y x y =++=+=法二：()3332233333()x y x y x y xy x y xy x y +=+++=+++∵1x y +=，∴3331x y xy ++=.【点评】 本题为能力提升题，旨在让学生熟练掌握立方和（差）公式与和（差）的完全立方公式以及它们的联系和区别. 难点在于符号的变化.能力提升【探究对象】复杂乘法公式及其应用的探究【探究目的】熟练运用基本乘法公式后，以此为基础对更复杂乘法公式的探究 建议教师：先让学生自己推导乘法公式的展开式，最后教师再总结结论.【探究1】 推导()2a b +、2()a b c ++、2()a b c d +++的公式，比较2()a b +、2()a b c ++、2()a b c d +++的公式，并探索规律.【解析】 222()2a b a b ab +=++2222()222a b c a b c ab bc ca ++=+++++ 222()()2()()()a b c d a b a b c d c d +++=++++++2222222222a b c d ab ac ad bc bd cd =+++++++++观察上述三个公式，可发现如下规律：一、项数：设字母（或者说元）的个数为n ，则公式的展开式的项数为(1)122n n n ++++=L ； 二、次数：每个公式的展开式中的每一项的次数均为2； 三、系数：每个公式中每个字母的二次项的系数为1，其余均为2. 根据上述规律，可写出任意个字母的完全平方公式.【备选例题】利用例题得出的规律推导2()a b c d ++-、2()a b c d e ++++的展开式。
平面直角坐标系中的全等三角形
平面直角坐标系中的全等三角形一、典例精析例1如图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,A(3,0)B(2,2), 以O,A,C 为顶点的三角形与△OAB 全等(C,B 不重合),则满足 条件的C 的坐标可以是 。
例2在平面直角坐标系中，已知点A(4,0),B(0,3)，若有一个直角三角形与Rt △ABO 全等，且它们有一条公共边，请写出这个三角形未知顶点的坐标（要有过程）例3如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt △AOB 的斜边OB 在x 轴上，直线 43-=x y 经过等腰Rt △AOB 的直角顶点A ，交y 轴于C 点，双曲线 也经过A 点．(1) 求点A的坐标和k 的值；(2)若点P 为x 轴上一动点．在双曲线上是否存在一点Q ，使得△P A 是 点A 为直角顶点的等腰三角形．若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．二、课堂练习1．如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线l 1、l 2、l 3、l 4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h 1、h 2、h 3（h 1＞0，h 2＞0，h 3＞0）．A●●B O ●AB O PC yxAB O P yx 备用图 x k y =（1）求证：h 1＝h 3；（2）设正方形ABCD 的面积为S ，求证：S ＝(h 1＋h 2)2＋h 12；（3）若 32h 1＋h 2＝1，当h 1变化时，说明正方形ABCD 的面积为S 随h 1的变化情况．2．定义：对于抛物线y=ax2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），若b2=ac ，则称该抛物线为黄金抛物线．例如：y=2x2-2x+2是黄金抛物线．（1）请再写出一个与上例不同的黄金抛物线的解析式；（2）若抛物线y=ax2+bx+c （a 、b 、c 是常数，a ≠0）是黄金抛物线，请探究该黄金抛物线与x 轴的公共点个数的情况（要求说明理由）；（3）将（2）中的黄金抛物线沿对称轴向下平移3个单位 ①直接写出平移后的新抛物线的解析式；②设①中的新抛物线与y 轴交于点A ，对称轴与x 轴交于点B ，动点Q 在对称轴上，问新抛物线上是否存在点P ，使以点P 、Q 、B 为顶点的三角形与△AOB 全等？若存在，直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由图中画出新抛物线的示意图计三、课外作业1、如图，平面直角坐标系中，OB 在x 轴上， ∠ABO ＝90°点A 的坐标为(1，2)． ADBh 1 h 2 h 3l 1 l 2 l 3 l 4O BAyx将△AOB 绕点A 逆时针旋转90°，点O 的对应点 C 恰好落在双曲线y ＝ kx(x ＞0)上，则k ＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．62．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A （0，2），点C （-1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax-2经过点B ． （1）求点B 的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3． 在平面直角坐标系XOY 中，直线1l 过点()0,1A 且与y 轴平行，直线2l 过点()2,0B 且与x轴平行，直线1l 与直线2l 相交于点P 。
小学四年级 语文 讲义 26 第5讲.尖子班.学生版
第5讲体会如何表情达意——发现身边的美好1．阅读描写“美好”的文章，可以是亲情类的，也可以是爱心类的。
2．体会作者表达情感的方式。
3．要善于发现身边的美好，养成随时记录美好的好习惯。
填身体部位，组成语。
( )明( )快( )有成竹赤( )空( )画龙点( )愁( )苦( ) ( )直( )快( )开( )笑画蛇添( )摇( )晃( ) ( )舞( )蹈咬( )切( ) ( )清( )秀提( )吊( ) 掩( )盗铃油( )滑( )能力提高训练(一) 蚂蚁与将军那是公元l4世纪一只普普通通的蚂蚁。
一位将军被强大的敌人打败了。
他的军队溃不成军，将军也被迫躺进一个废弃不用的马槽里躲避敌人的搜捕。
我们说的那只蚂蚁恰好也在马槽里忙自已的营生。
它在努力地找着一粒玉米，试图爬上一堵垂直的“墙”。
蚂蚁当然不会知道将军的一些事情，但将军的目光和心智却被它吸引了。
那粒玉米的重量不知是蚂蚁体重的多少倍，也许不亚于人去托起一头大象吧?第一次，玉米粒被它稍稍顶起，很快又掉下来。
蚂蚁似乎连一丝的犹豫也没有，接着就开始了再次的努力。
将军屏神静气注视蚂蚁的一切。
二次，三次，四次……将军默默地数到了第69次，每次玉米粒都被蚂蚁顶上去，最后又掉了下来。
将军想，蚂蚁不可能成功了，69次的失败就是证明。
就在这时，奇迹出现了。
蚂蚁在尝试第70次的时候终于把那粒玉米推过了“墙头”。
从这只蚂蚁身上，将军找回了失落的信心。
后来，他重整部队，把敌人打得落花流水。
他的帝国版图从黑海之滨一直伸展到恒河。
这位将军就是l4世纪的蒙古皇帝莫卧儿。
在没有失败的日子，诸如“失败是成功之母”一类的哲语箴言，我们言之于口，不亚于哲学家的冷静和锐敏。
一旦走进失败的泥潭，虽然也讲百折不挠，也说愈挫愈奋，又有几人在一件事情上尝试69次，在第70次走向成功呢?在失败来临的时候，又有几人不被沮丧和绝望的情绪笼罩呢?人类告别蛮荒，进化为地球的主人，而成为万物之灵，曾在万物的身上汲取智慧。
学而思初二数学秋季班第5讲.因式分解的常用方法及应用.尖子班.学生版
1初二秋季·第5讲·尖子班·学生版小人物与大人物满分晋级漫画释义5因式分解的 常用方法及应用代数式11级因式分解的高端方法及恒等变形代数式10级因式分解的常用方法及应用 代数式7级 因式分解的 概念和基本方法2初二秋季·第5讲·尖子班·学生版暑期因式分解知识回顾： 1、定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做因式分解，又叫分解因式．2、提公因式法：公因式：多项式各项公共的因式．用提公因式法进行因式分解要注意下面几点： ⑴ 公因式要提尽；⑵ 将公因式提到括号外时，留在括号内的多项式的首项为正. 3、公式法把乘法公式反过来，就可以利用公式将某些多项式写成因式的积的形式，即进行因式分解． 平方差公式：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．完全平方公式：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．例如：对下列各式因式分解：⑴22129abc a b -= .⑵2(3)(3)x x +-+= .⑶32x xy -=___________． ⑷227183x x ++= .在因式分解的时候，不能采用提公因式法和公式法的时候，可以思考一下是否可以采用分组分解法.基础知识示例剖析思路导航知识互联网题型一：因式分解——分组分解法3初二秋季·第5讲·尖子班·学生版如果整式没有公因式可以提取，也无法直接用公式分解，则需要分组分解. 分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.分组分解法的基本步骤： 1、将原式适当分组；2、讲分组后的式子分解因式，或“提”或“代”；3、将经过处理过的式子在分解因式，或“提”或“代”.例如：()()()()ax by bx ayax bx ay by x a b y a b a b x y --+=-+-=-+-=-+重新分组提取公因式再提取公因式注意事项：降幂排序 首项为正拆开重组 瞄准方法【引例】 分解因式⑴22114x xy y -+- ⑵22a a b b +--【解析】 ⑴原式=22211111=1114222x xy y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+---=-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()122224x y x y =-+-- ⑵原式=()()()()()()()22=1a b a b a b a b a b a b a b -+-+-+-=-++【例1】 ⑴下列多项式已经进行了分组，能接下去分解因式的有（ ）①()321m m m +--； ②()222496b a ac c -+-+；例题精讲典题精练4初二秋季·第5讲·尖子班·学生版③()()256152x y x xy +++； ④()()22x y mx my -++； A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ⑵因式分解：221448x y xy --+，正确的分组是（ ）A. ()()22148x xy y -+-B. ()22144x y xy --+ C. ()()221844xy x y +-+ D. ()221448x y xy -+- ⑶将多项式222221x xy y x y ++--+分解因式，正确的是（ ）A. ()2x y + B. ()21x y +- C. ()21x y ++ D. ()21x y -- ⑷将多项式3222a a b ab a ++-分解因式，正确的是（ ）A. ()()21a ab a a b ++++ B. ()()11a a b a b +++- C. ()2221a a ab b ++- D. ()()22a ab a a ab a +++-【例2】 分解下列因式⑴1xy x y --+ ⑵22221a b a b --+⑶251539a m am abm bm -+- ⑷2221a b ab +--⑸222221a ab b c c -+--- ⑹3254222x x x x x --++-5初二秋季·第5讲·尖子班·学生版【例3】 分解因式⑴()()x x z y y z +-+ ⑵3322()()ax y b by bx a y +++⑶2222()()ab c d a d cd ---十字相乘法是二次三项式因式分解的重要方法．一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++.若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解.建议：十字相乘法只适用于二次三项式的因式分解，有些多项式为了能用十字相乘法分解，一般需经过下面两个步骤：⑴将多项式按某一个字母降幂排列，将这个多项式看成是关于这个字母的二次三项式； ⑵若系数为分数，设法提出一个为分数的公因数，使括号内的多项式成为整系数，再利用十思路导航题型二：因式分解——十字相乘法6初二秋季·第5讲·尖子班·学生版字相乘法分解．这个方法的要领可以概括成16个字“头尾分解，交叉相乘，求和凑中，试验筛选”．【引例】 分解下列因式⑴256x x ++ ⑵256x x -+ ⑶256x x +- ⑷256x x --【解析】 ⑴(2)(3)x x ++ ⑵(2)(3)x x --；⑶(6)(1)x x +-； ⑷(6)(1)x x -+【例4】 分解因式：⑴2710x x ++ ⑵221024x xy y --⑶421336x x -+ ⑷221x x -- 例题精讲典题精练x 2x 3x -2 x -3 x 6x -1x -6x 17初二秋季·第5讲·尖子班·学生版⑸22232x xy y -- ⑹22121115x xy y --选主元法：在对含有多个未知数的代数式进行因式分解时，可以选其中的某一个未知数为主元，把其他未知数看成是字母系数进行因式分解．【例5】 请用十字相乘的方法将下列各式因式分解：⑴()21x b x b -++ ⑵()2233kx k x k +-+-⑶22344883x xy y x y +-+-- ⑷(6114)(31)2a a b b b +++-- 典题精练思路导航8初二秋季·第5讲·尖子班·学生版【例6】 在日常生活中如取款、上网都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是：如对于多项式44x y -因式分解的结果是()()()22x y x y x y -++，若取9x =，9y =，则各个因式的值是：0x y -=，18x y +=，22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式324x xy -，取2x =，2y =时，用上述方法产生的密码是：_______________（写出一种情况即可）．【例7】 如图，试用图中的三张正方形纸片和三张矩形纸片拼成一个较大的矩形，请你画出拼后的大矩形（注明边长），并将这个拼图表示为一个因式分解的式子.aa b b bb b a b a ba典题精练题型三：因式分解的应用【例8】如图，正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等，13，9，3的对面的数分别为a，b，c，求222a b c ab bc ac++---的值.13 939 初二秋季·第5讲·尖子班·学生版10 初二秋季·第5讲·尖子班·学生版训练1. 分解因式：⑴ ()()112x x y y xy -++-；⑵ ()22331x x x x +++-．⑶22222()()abx a b x a b -+--； ⑷222(1)mx m m x m m -++++．训练2. 分解因式：⑴2228146x xy y x y -----．⑵222382214x y z xy xz yz --+++训练3. 已知三个连续奇数的平方和为251，求这三个奇数．训练4. 已知ABC △三边a 、b 、c ，满足条件2222220a c a b ab b c c b ac -+-+-=，试判断ABC △的形状，并说明理由．思维拓展训练(选讲)11初二秋季·第5讲·尖子班·学生版题型一 因式分解——分组分解法 巩固练习【练习1】 分解因式：()()2222ab c d cd a b +++.题型二 因式分解——十字相乘 巩固练习【练习2】 分解因式：⑴2216312m mn n --； ⑵1126724n n n x x y x y +---．【练习3】 多项式212x px ++可分解为两个一次因式的积，整数p 的值是 （写出所有情况）.【练习4】 若多项式2x x m -+在整数范围内能分解因式，把你发现字母m 的取值规律用含字母n（n 为正整数）的式子表示为 ．题型三 因式分解的应用 巩固练习【练习5】 一个矩形的面积为32a ab a -+，宽为a ，则矩形的长为_________. 复习巩固初二秋季·第5讲·尖子班·学生版第十五种品格：创新创造力的价值前几年，有人卖一块铜，喊价竟然高达28万美元。
七年级下册数学全等知识点
七年级下册数学全等知识点全等是数学中的一个重要概念，指的是两个或多个形状在形状和大小上完全相同的情况。
在七年级下册数学课程中，全等作为一个基本的概念，是我们必须要学会的。
下面我们将介绍七年级下册数学全等知识点。
一、全等图形的定义全等图形是指在形状和大小上完全相同的两个或多个图形，其符号为“≌”。
例如：两个圆的直径相等则两个圆是全等的，双倍长方形也是全等的。
二、判定全等的方法1、SAS法：当两个三角形中的一条边及两条不同边的夹角分别相等时，两个三角形全等。
2、SSS法：当两个三角形中的三条边分别相等时，两个三角形全等。
3、ASA法：当两个三角形中的两个角及它们所夹边分别相等时，两个三角形全等。
4、AAS法：当两个三角形中的两个相对角及夹在它们之间的一条边分别相等时，两个三角形全等。
例如：根据ASA法，若一个三角形的两边和一个夹角分别等于另一个三角形的相应边和夹角，则这两个三角形全等。
三、全等的性质1、全等的图形，它们的周长和面积相等。
2、全等的图形，它们的任何一条边、对应角、对应角的对边均相等。
例如：在以下的两个图形中，若AB=CD，则角A=角C，角B=角D，且AC=BD。
四、全等三角形的应用全等三角形有很多应用。
其中最常见的是问题解决中的利用。
例如：在以下的两个图形中，若AC=AD，且AB=BC，则角CBA=角DCA，且AC=BD。
根据全等三角形的性质，我们可以得到三角形的对应角，从而推断出第二个三角形的其他对应边和角的所对应值。
以上就是七年级下册数学全等知识点的全部内容。
作为学生，要掌握好全等的概念、判定全等的方法和全等的性质等知识点。
只有通过认真演算、不断练习，才能真正理解全等的含义，提升自己的数学水平。
第5讲 相交线--尖子班
第5讲相交线知识点1 直线交点个数1. 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交，相对的，我们称这两条直线为相交线．【典例】1.观察下列平面图形：第一个图2条直线相交，最多有1个交点；第二个图3条直线相交最多有3个交点；第三个图4条直线相交；最多有6个交点，…，像这样，则30条直线相交，最多交点的个数是_____________.【方法总结】根据2条，3条，4条直线相交时最多的交点个数发现规律，根据规律，写出n条相交线交点最多的个数的表达式：1+2+3+4+5+…+（n﹣1），因为1+2+3+4+5+…+（n﹣1）=n(n−1)2，所以n条相交线交点最多的个数为n(n−1)2，令n=30即可求出答案.【随堂练习】1．在平面内，若两条直线的最多交点数记为a1，三条直线的最多交点数记为a2，四条直线的最多交点数记为a3，…，依此类推，则1a1+1a2+1a3+⋯+1a2013=．2．平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点？它们最多能把平面分成多少个部分？知识点2 邻补角与对顶角邻补角1. 邻补角：两个角有一条公共边，他们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角.2. 邻补角的模型：∠1和∠3是邻补角，∠1和∠4是邻补角，∠2和∠3是邻补角，∠2和∠4是邻补角，特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.3. 邻补角的性质：两个角的和为180°.对顶角1. 对顶角的模型：∠1和∠2是对顶角，∠3和∠4是对顶角.特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③每个角的两边互为另一个角的反向延长线.2. 对顶角的性质：对顶角相等.【典例】1.如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分．（1）直接写出图中∠AOC的对顶角：__________，∠EOB的邻补角：______________; （2）若∠AOC=70°且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．【方法总结】（1）根据对顶角和邻补角的定义直接写出即可；（2）根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：∠EOD=2：3求出∠BOE的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数．本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，牢记“对顶角相等”和“互为邻补角的两个角的和等于180°”是解题的关键．【随堂练习】1．如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两个角，且∠AOE=23∠EOC（1）求∠AOE的度数；（2）将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．①如图2，当OF平分∠BOE时，求∠DOF的度数；②若∠AOF＝120°时，直接写出α的度数．2．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．（1）求∠BOD的度数；（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．知识点3 垂线垂线1. 两直线相交所形成的角中，当有一个角等于90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，他们的交点叫做垂足.2. 垂直的模型：说法：①直线a是直线b的垂线（或直线b是直线a的垂线），垂足为O.②直线a垂直于直线b于点O（或直线b垂直于直线a于点O）.结论：两垂直直线形成的四个角都是直角，均为90°.3. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.垂线段1. 过直线外一点作直线的垂线，以这个点和垂足为端点的线段叫做这个点到直线的垂线段.2. 垂线段模型：线段AB是点A到直线a的垂线段.3. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简单说成：垂线段最短.4. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.注意：距离是长度，不是线段.【典例】1.如图，点O在直线AB上，点M，N在直线AB外，若MO⊥AB，NO⊥AB，垂足均为O，则可得点N在直线MO上，其理由是______________.2.如图，直线AB与CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD.（1）①图中与∠AOF互余的角是___________；②与∠COE互补的角是___________．（把符合条件的角都写出来）小6°，求∠BOD的度数．（2）如果∠AOC比∠EOF的15【方法总结】结论：在同一平面内，已知直线AB，若MO⊥AB，NO⊥AB且垂足为O，则M，O，N 在同一条直线上.方法：求一个角的度数时，若涉及多个有关联的未知角，用方程的思想解题比较简单明了.设所求角度数为x，用x表示出题目中有关联的各个角，根据等量关系列出方程，解方程，进而求得答案.3.如图，AC⊥CB于C，CD⊥AB于D，下列关系中一定成立的是_________（填序号）（1）AD＞CD；（2）CD＞BD；（3）BC＞BD；（4）AC＞AD.4.如图，BC⊥AC，BC=3，AC=4，AB=5，则点C到线段AB的距离是________．【方法总结】注意：垂线段是一条线段，距离是长度，即一个有长度单位的一个数值.点到直线的距离即垂线段的长度.一定要分清两者的联系与区别.，即直角顶结论：已知直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则斜边上的高为a·bc点到斜边的距离.【随堂练习】1．如图，OA⊥OB，引射线OC（点C在∠AOB外），OD平分∠BOC，OE平分∠AOD．（1）若∠BOC＝40°，请依题意补全图，并求∠BOE的度数；（2）若∠BOC＝α（0°＜α＜90°），请直接写出∠BOE的度数（用含α的代数式表示）．2．根据要求画图，并回答问题．已知：直线AB，CD相交于点O，且OE⊥AB．（1）过点O画直线MN⊥CD；（2）若点F是（1）中所画直线MN上任意一点（O点除外），若∠AOC＝35°，求∠EOF的度数．知识点4 同位角、内错角、同旁内角模型：1. 同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角分别在两直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．如∠1与∠8，∠2与∠5.2. 内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角．如∠1与∠6，∠4与∠5.3. 同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同一旁，则这样一对角叫做同旁内角．如∠1与∠5，∠4与∠6.4. 三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U” 形.【典例】1.如图，与∠α构成同旁内角的角有________个.2.如图，用数字标出的八个角中，同位角、内错角、同旁内角分别有哪些？请把它们全部写出来．【方法总结】判断一对角是不是同位角、内错角或同旁内角有两种方法：①按定义判断，找到截线（两个角的公共边所在的直线）与被截线，判断两个角的位置关系；②按两个角构成的形状判断，若构成“F”形，则为同位角；若构成“Z”形，则为内错角；若构成“U”形，则为同旁内角.数角的对数的时候，要认真仔细，做到不重不漏.【随堂练习】1．已知：如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角．跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从起始位置∠1跳到终点位置∠3写出其中两种不同路径，路径1：∠1﹣同旁内角→∠9﹣内错角→∠3．路径2：∠1一内错角→∠12一内错角→∠6﹣同位角→∠10﹣同旁内角→∠3．试一试：（1）从起始∠1跳到终点角∠8；（2）从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点∠8？2．如图所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．（1）请指出与∠1是同旁内角的有哪些角？请指出与∠2是内错角的有哪些角？（2）若∠1＝115°，测得∠BOM＝145°，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由．综合运用1.如图，2条直线两两相交最多能有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有_________个交点，…，n条直线两两相交最多能有___________个交点（用含有n的代数式表示）2.如图所示，直线AB，CD相交于点O，∠AOF=∠DOE．（1）图中的对顶角有___对，它们是_____________________；（2）∠COB的邻补角是___________，∠COE的补角是___________；（3）若∠AOC=70°，∠DOE=32°，那么∠BOE=_____，∠DOF=______．3.如图所示，某自来水厂计划把河流AB中的水引到蓄水池C中，问从河岸AB的何处开渠，才能使所开的渠道最短？画图表示，并说明设计的理由．4.作图并写出结论：如图，点P是∠AOB的边OA上一点，请过点P画出OA，OB的垂线，分别交BO 的延长线于M、N，线段_______的长表示点P到直线BO的距离；线段_____的长表示点M到直线AO的距离；线段ON的长表示点O到直线______的距离；点P到直线OA的距离为______．5.如图，点A表示小雨家，点B表示小樱家，点C表示小丽家，她们三家恰好组成一个直角三角形，其中AC⊥BC，AC=900米，BC=1200米，AB=1500米．（1）试说出小雨家到街道BC的距离以及小樱家到街道AC的距离．（2）画出表示小丽家到街道AB距离的线段．6.如图，已知直线a，b被直线c，d所截，直线a，c，d相交于点O，按要求完成下列各小题．（1）在图中的∠1～∠9这9个角中，同位角共有多少对？请你全部写出来；（2）∠4和∠5是什么位置关系的角？∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同吗？7.如图，∠1和∠4，∠2和∠5，∠3和∠5，∠3和∠4分别是哪两条直线被哪一条直线多截成的？它们各是什么角？8.如图所示，a、b两条直线交于一点，生成∠9，探索∠9与原有角的位置关系．（1）直线b、c被直线a所截，∠9与∠4是_______．（2）∠9与∠5是直线_______被直线_______所截形成的_______．（3）图中共有几对同旁内角？9.已知直线AB和CD相交于O点，CO⊥OE，OF平分∠AOE，∠COF=34°，求∠BOD的度数．。
（完整版）小学五年级语文讲义1第1讲.尖子班.教师版
（完整版）⼩学五年级语⽂讲义1第1讲.尖⼦班.教师版童年是纯真的，童年是⾦⾊的，童年是多梦的。
⼀张糖纸、⼀次争执、⼀句话语……看似平常，却饱含着我们的快乐、梦想和追求。
学习本讲内容，感受⽂章的中⼼；通过对重点词语、句⼦的理解、品味，感受作者所表达的感情。
[成语万花筒]1．请在下⾯括号内填上适当的数字，使每个成语完整⽆误。
试⼀试，你准⾏。
（）劳永逸（）⾯三⼑（）顾茅庐（）⾯楚歌（）光⼗⾊（）亲不认（）零⼋落（）⾯玲珑（）⽜⼀⽑（）万⽕急（）⽆聊赖（）篇⼀律（）马齐喑【参考答案】依次填⼊：⼀、⼆、三、四、五、六、七、⼋、九、⼗、百、千、万2．填数词组成语。
（）穷（）⽩（）⽇（）⾥（）全（）美（）⽬（）⾏（）落（）丈（）⼼（）意（）上（）下（）头（）臂（）死（）⽣（）⽄（）两（）⼭（）⽔（）⾔（）语【参考答案】⼀穷⼆⽩⼀⽇千⾥⼗全⼗美⼀⽬⼗⾏⼀落千丈三⼼⼆意七上⼋下三头六臂九死⼀⽣半⽄⼋两千⼭万⽔千⾔万语第1讲我们的童年（上）讲义使⽤参考[快乐热⾝]环节重点在积累成语，建议教师在授课的时候可以花⼏分钟的时间帮助学⽣积累。
[读⽂章试⾝⼿]环节选⽤了三篇关于童年的⽂章。
《餐桌上的谜底》中，作者的童年虽然尝过了酸甜苦辣，却也得到了⼈⽣启⽰；《会飞的蒲公英》写了⼀个⼤⼭⾥的孩⼦在母亲的教导下梦想成真的故事；《⼀千张糖纸》回忆童年往事，讲述了⼀个关于“诺⾔”“童⼼”的故事，有⼀定难度，教师要注意通过提问的⽅式引导学⽣讨论、理解⽂章的中⼼及作者要表达的情感。
每篇⽂章后都有[教学思路导引]这个环节，教师参考这些内容，也可以补充其他相关问题。
在授课中，建议先让学⽣阅读⽂章，教师提出⼀系列问题，引导学⽣分析讨论。
教师在学⽣讨论中进⼀步引导，帮助学⽣得出结论，最后再让学⽣做⽂章后的习题，教师讲解⽅法，订正答案。
（⼀）餐桌上的谜底⼩时候，每晚⼊⿊的时候，我总要瞧准时机，站在⾃家门⼝，闻对门邻居餐桌飘出的⾁⾹。
那时，我家半个⽉才吃⼀次⾁，我实在是太馋了。
学而思寒假七年级尖子班讲义第讲平面直角坐标系
领先中考培优课程M A T H E M A T I C S3 平面坐标系知识目标目标一理解有序数对、有序数对、点的坐标的概念目标二掌握象限、坐标轴、坐标轴夹角平分线的点的坐标特征目标三灵活运用点和线的平移变换。
点的对称变换求坐标模块一 平面直角坐标系的相关概念 知识导航1有序数对有顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作（a,b),利用有序数对可以可以很准确的表示出一个位置。
2平面直角坐标系3、点的坐标平面内的点可以用一个有序数对表示，这个有序数对就叫做点的坐标。
对于平面内任意一点，过该点分别向横轴、纵轴作垂线，垂足在横轴、纵轴上对应的数分别叫做该点横坐标、纵坐标。
在平面内两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系、水平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向：竖直的数轴称为y 轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴的交点为平面坐标系的原点。
如左图，建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成了Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个部分,每个部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
坐标轴上的点不属于任何象限。
Ⅰ 第一象限 Ⅳ第四象限Ⅲ第三象限 Ⅱ 第二象限 原点如图，点p 为坐标平面内一点，过点p 作x 轴的垂线，垂足M 在x 轴上对应点的数是-2，则-2就是p 的横坐标；过点p 作y 轴的垂线，垂足N 在y 轴上对应的数为3，则3为点p 的纵坐标，点p 就可以用有序数对（-2，-3）来表示，记作p （-2,3）。
由坐标确定点的方法：要确定由坐标（a,b)所表示的点p 的位置，先在x 轴上找到表示a 的点，过这点作x 轴的垂线；再在y 轴上找到表示b 的点，过这点作y 轴的垂线，两条垂线的交点p 即为所求的位置。
由点求坐标的方法：先由已知点p 分别向x 轴和y 轴作垂线，设垂足分别为A 和B ，再求出A 在x 轴上的坐标a 和B 在轴上的坐标b ，则点p 的坐标为（a,b)巩固练习 点的坐标(1)在图1的平面直角坐标系中描出下列个点：A(3，4),B(-2，3),C(-5，-2),D(4，-1),E(1，0),F(0，3),G(-2，0),H(0，-4). (2)写出图2中点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 的坐标。
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八年级数学
成长手册
【例1】（1）已知OA=OB ，AD ⊥BC ，求证：∠ADO 为定值
.
（2）已知OA=OB=OC ，AE ⊥CE ，求证：∠AEB 的值为定值
.
【巩固】已知OA=OB=OC ，AP=BQ.求证：∠PMO 为定值
.
坐标系中的全等三角形（一）
（2）已知OA=OB=OC ，D 为BC 中点，BE ⊥AD.求证：∠ADB=∠CDE.
【变式】已知OA=OB ，OD ⊥BD ，AE ⊥BC ，OD ⊥OF.求证：∠BDF 为定值.
【例2】（1）已知OA=OB ，AD 平分∠OAB ，AE ⊥BE.求证：BE=
1
2
AD.
（2）已知OA=OB=5，PB⊥PC，PB=PC，连接CA交y轴与点M.求证：OM的长为定值.
【巩固】（1）已知OA=OB=5，PA=PC，CD⊥OB.求证：PD的长为定值.
（2）已知OA=OB=OC，AE=BF，FG⊥AB，AB=5，求证：PG的长为定值.
【变式】已知AB=BC ，AB ⊥BC ，OB=DB ，OB ⊥BD ，OA=5.求证：PB 的长为定值.
【例3】已知OA=OB=OC ，AD=CE ，DG ⊥OA ，求证：
GF
AC
为定值.
【巩固】已知OA=OB,AC=BC,CD ⊥CE.求证：
OD OE
OC
为定值.
【例4】已知点B （-4,0）和点B 关于原点对称的点C ，点A 是第四象限的一个动点，△ABC 的角平分AD 交y 轴与D,过点D 作DG ⊥AB 与点A ，DH ⊥与AC 交AC 延长线与点H. （1）求点C 的坐标；
（2）点A 在第四象限运动时，线段BG 、CH 是否有某种确定关系，判断并证明； （3）点A 在第四象限时，下列结论：①AB AC BG +的值不变；②AB AC
BG
-的值不变，其
中只有一个是正确的，请选择并求其值.
【巩固】如图所示，将等腰直角三角形放入直角坐标系中，∠AOB=90°，A （0,4）.
（1）点M 、N 分别从O 、B 出发以每秒1个单位的速度向终点B 、O 运动，过N 作NP ⊥OB 交AB 与P ，连线MP ，已知动点运动了x 秒，求点P 的坐标；
（2）在（1）的条件下，是否存在一时刻使△PBM 为等腰三角形？若存在，请求出P 、M 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）P 在AB 上运动，做PM ⊥AB 与P ，Q 为OM 中点，过O 点作OC ⊥x 轴交AB 与点C ，现给出下列两个结论：①PC
AB
为定值；②PC CQ 为定值，期中有且只有一个结论是正确的，
请判断并证明求值.
【例5】如图所示，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，点A、B分别在坐标轴上，
（1）若C点的横坐标为5时，求B点的坐标；
（2）当等腰Rt△ABC在运动过程中，位置如图所示，BC交x轴与M，AC交y轴与N，若x轴恰好平分BC，连结MN，求证：∠AMB=∠NMC；
（3）点C恰好在x轴上时，若AB=4，E为x轴正半轴上一个动点，F为y轴正半轴上一动点，当AE=BF时，连接EF交AB延长线与P，过F作FG⊥AB于G，问当E在x轴正半轴上运动时，下列两个结论：①BP的长为定值；②PG的长为定值；其中只有一个结论还是正确的，请选择正确的结论，并求其值.
【2016-2017武昌区C 组联盟期中】在平面直角坐标系中，OA=OB ，P A ⊥PB. （1）如图1，当P 在第一象限时，求证：OP 平分∠BPA. （2）如图2，当P 在第四象限时，直接写出∠OP A 的度数.
x
y O
P
B
A
x
y Q
O
P
B
A
图1
图2
【题1】已知OA=OB ，BD ⊥OD ，PD=BD.求证：∠APO 为定值.
【题2】已知OA=OB=5，PD ⊥AB ，M 为OD 的中点，MN ∥AC.求证：PN 的长为定值.
【题3】已知OA=OB ，AP ⊥BP.求证：
PA PB
PO
为定值.
【题4】已知OA=OB=OC ，AD 平分∠BAC ，MN ∥AC.求证：BD=CN.
【题5】如图，在平面直角坐标系中，△AOB 为等腰直角三角形，A （4，4）
（1）若C 为x 轴正半轴上一动点，以AC 为直角边作等腰直角△ACD ，∠ACD=90°连OD ，求∠AOD 的度数；
A
O
D
y
x
B
C
（2）过点A 作y 轴的垂线交y 轴于E ，F 为x 轴负半轴上一点，G 在EF 的延长线上，以EG 为直角边作等腰Rt △EGH ，过A 作x 轴垂线交EH 于点M ，连FM ，等式OF
FM
AM =1是否成立？若成立，请证明：
若不成立，说明理由.
A
O
G
y
x
F
M H E
【题6】已知: 在平面直角坐标系中，放入一块等腰直角三角板ABC ，∠BAC =90°，AB =AC ，A 点的坐标为（0，2），B 点的坐标为（4，0）. ⑴求C 点的坐标；
⑵D 为△ABC 内一点（AD >2），连AD ，并以AD 为边作等腰直角三角形ADE ，∠DAE =90°，AD =AE ，连CD 、BE .试判断线段CD 、BE 的位置及数量关系，并给出你的证明. ⑶旋转△ADE ，使D 点刚好落在x 轴的负半轴，连CE 交y 轴于M . 求证：①EM =CM ；②BD =2AM .
O y
A
B C
x
O
y
A
B C
D
E
x
O y
A
B
C
D E
M x。