概率统计总练习题(6)

c
0.2
7、设随机变量 X 与 Y 相互独立，其中的 X 概率函数为
X
P
2 0.2
3 0.8
而 Y 服从参数为 1 的指数分布，随机变量函数 Z X Y ，
（1）求概率 P(Z 5).
（2）求随机变量 Z 的概率密度函数 f Z ( z).
8、设随机变量 X 与 Y 相互独立，且
1 1 X ~ B(1, ) , Y ~ B(2, ) 2 2
（1）求任取一个零件是合格品的概率；
（2）如果取出的一个零件是次品，求它是由第二台车床 加工的概率。
2、三门高射炮同时独立地向来犯的敌机各发射了一枚炮
弹，它们的命中率分别为0.4，0.5，0.3；若飞机被一枚炮弹 击中，被击落的概率为0.3；若飞机被两枚炮弹击中，被击落 的概率为0.6；若飞机被三枚炮弹击中，则飞机一定被击落。 （1）求该敌机被击落的概率； （2）若已知敌机被击落，求它恰被两枚炮弹击中的概率。
（3）问：X , Y 是否相互独立？为什么？
（4）求概率 P( X Y ).
4、设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合密度函数为
6 2 xy ( x ), 0 x 1且0 y 2 f ( X ,Y ) 7 2 0, 其它
求 （1） X 与 Y 的边缘密度函数；
3、学校某课程的考试，成绩分优秀、合格、不合格三种，
优秀者得3分，合格者得2分，不合格者得1分。假设每批参
加考试的学生中考得优秀、合格、不合格的，各占20%、
60%、20%。现有100位学生参加考试，试用中心极限定理 估计100位学生考试的总分在（180，200]内的概率。 0.4992
4、邮局将邮件成箱包装，每箱的重量是随机的，假设
.
3、已知 P( A) 0.6, P( B) 0.4, P( B | A) 0.2, 则概率
P( B A)
, P( A B)
, P( A | B)
.
4、设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P( AB) 0.25
P( AB) 0.25 ，则 P( A)
, P( B)
3、箱子中有4个白球，6个红球，掷一个均匀的子，掷 出几点就从箱子中取出几个球，问取出的全是白球的概率是
多少？若已知取出的全是白球，问掷出3点的概率是多少？
4、某工厂购置了一批机床，其中车床、钻床、磨床、
刨床的台数之比为9：3：2：1，上述四种机床在使用十个月
后需要修理的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.05，现从这批机 床中随机地抽取了一台， （1）求抽到的这台机床需要修理的概率； （2）若已知这台机床需要修理，求它是车床的概率。
5、一个盒子中有4只黑球和6只红球，在其中不放回地随
机取两次，每次取出一只球， （1）求取到的两只球均为红球的概率； （2）若已知取到的两只球中至少有一只红球，求取到的 两只球均为红球的概率。 6、一个盒子中装有5只乒乓球，其中3只新球。第一次比 赛时随机地取出2只，用后放回，第二次比赛时又随机取出1 只球。 （1）求第二次比赛时取出的球是新球的概率； （2）已知第二次比赛时取出的球是新球，试求第一次比
P( A | B) 0.5 ；定义随机变量 X k , (k 1,2)如下：
若A发生 1, X1 0, 若A不发生 若B发生 1, X2 0, 若B不发生
求（1）( X 1 , X 2 ) 的联合概率函数；
（2） X 1 , X 2 的边缘概率函数；
（3）Y X 1 X 2 的概率函数； （4）cov(X 1 , X 2 ).
1、已知事件 A 与 B 相互独立，P( A) 0.7, P( B) 0.6 则概率 P( A | B) , P( AB) .
2、已知 P( A) 0.7, P( B) 0.6, P( AB) 0.3, 则概率
P( A B)
, P( A B)
, P( B | A)
随机变量 Z X 2 Y 2 ，求
（1） ( X , Z ) 的联合概率函数； （2） Z 的概率函数； （3） E (Z ) 和 ( X , Z ).
9、设随机变量 U 服从区间 [2,2] 上的均匀分布，
1, U 1 1, U 1 Y X 1, U 1 1, U 1 求（1）( X , Y ) 的联合概率函数；
凶犯确实是黑人的概率是多大？
（2）问在这位男子断言凶犯是黑人的情况下，袭击他的 凶犯是白人的概率是多大？
1 、设随机变量 Y 服从参数为1的指数分布 E (1) ，定义 随机变量
0, Y k Xk 1, Y k
k 1,2.
（1）求 ( X 1 , X 2 ) 的联合分布律；
其中 A, B 为常数，求 （1）常数 A, B 的值；
x2 2
, x0 x0
（2）X 的密度函数；
（3）概率 P(1 x 2) ； （4） E( X ), E( X 2 ), D( X ).
4、设随机变量 ( X , Y )服从区域 D {( x, y) : x 2 y 2 9} 上的均匀分布。 （1）求 ( X , Y ) 的联合分布密度函数； （2）分别求 X , Y 的边缘密度函数；
赛时取出的球有一只是新球的概率。
7、一个男子在某城市的一条街道遭到背后袭击和抢劫，
他断言凶犯是黑人。然而，当调查这一案件的警察在可比较 的光照条件下多次重新展现现场情况时，发现受害者正确识 别袭击者肤色的概率只有80%，假定凶犯是本地人，而这个 城市人口中90%是白人，10%是黑人，且假定白人和黑人的 犯罪率相同， （1）问在这位男子断言凶犯是黑人的情况下，袭击他的
2
( X1 X 2 )2 P ( X X )2 ( X X )2 c 0.05 2 3 4 1
2、设 X1 , X 2 ,, X n 是取自总体 X 的简单随机样本，
X 的密度函数为
1 f ( X ; ) e 2
求（1） 的极大似然估计；
| x|
其中 未知， 0.
（2） 的极大似然估计是 的无偏估计吗？如果是，给 出证明；如果不是，请将其修正为 的无偏估计。
3、设 X1 , X 2 ,, X n 是取自总体 X 的简单随机样本，
X 的概率密度函数为
2e 2( x ) , x f ( X ; ) x 0,
（2） Z 的概率密度函数。
6、 设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合密度函数为
1, 0 x 1且0 y 2 x f ( X ,Y ) 其它 0,
求 （1） X 与 Y 的边缘密度函数；
（2） Z 2 X 1 的概率密度函数；
（3） E(2 X Y ) 和 D(2 X Y ) ；
炸，第 i 个小分队命中敌军目标的炮弹数是随机变量 X i，且
X1 , X 2 ,, X100 独立同分布，已知 E( X i ) 2, D( X i ) 4,
i 1,2,100. 求在这100小分队对敌军目标进行了轰炸中命
中目标的炮弹总数在180颗到220颗之间的概率。（要求用中 心极限定理求解）
布，若 P( X 0) 0.6, P( X 1) 0.4 1 1
求 （1）随机变量 Y X1 X 4 的概率函数；
（2）行列式
X1 X3
X2 X4
的概率函数。
6、设随机变量 X , Y 相互独立，它们的联合概率函数为
Y X
1
2
3
1
2 求常数 a, b, c 的值。
a
0.1
0.3
b
4、设 X 的概率函数为
X P
记 Y | X |，求
-2 0.1
-1 0.2
1 0.3
2 0.4
（1）Y 的概率函数； （2） X 与 Y 的协方差； （3）问： X 与 Y 是否不相关？为什么？ （4）问： X 与 Y 是否相互独立？为什么？
5、设随机变量 X1 , X 2 , X 3 , X 4 相互独立且服从相同的分
各箱的重量都服从相同的wk.baidu.com布，其数学期望为50千克，标准
差为5千克，且各箱的重量相互独立。若用最大载重量为5吨 的汽车承运邮件。问：每辆车最多可以装多少箱，才能保证 不超载的概率大于0.9772 ？ （要求用中心极限定理解题。）
5、抛掷一枚均匀的硬币，试用中心极限定理求抛掷
10000次硬币出现正面的次数属于区间 (4950 ,5050 ] 的概 率． 6、掷一颗均匀的骰子100次，记 X 表示第 i 次掷出的 i
.
5、设事件 A , B , C 满足 B A, B C, P( A) 0.8,
P( AC) 0.6, P( A B) 0.5 ，则 P( A B)
P(C | A B) , P( AB | C ) .
,
1、两台车床加工同样的零件，加工产品的比例是第一台 比第二台加工的零件多一倍，第一台车床的次品率为0.04，第 二台车床的次品率为0.02，
（3）问： X , Y 是否相互独立？是否不相关？为什么？ 2、设随机变量 X 的密度函数为
求 （1）随机变量 Y 2 X 1的密度函数； （2）随机变量 Z e X 的密度函数；
e x , x 0 f (X ) 0, 其它
3、设随机变量 X 的分布函数为
A Be f (X ) 0,
（2）Z X Y 的概率函数；
（3）E ( X Y ), D( X Y ), cov(X , Y ).
1、设随机变量 X 的概率密度函数为
3 2 x , 1 x 1 f (X ) 2 其它 0,
（1）求 Y X 2 的概率密度函数； （2）求 E ( X ), E (Y ), E ( XY ).
（2） X , Y 的协方差和相关系数；
1 1 （3） P(| X | , | Y | ). 2 2
5、设随机变量 ( X , Y ) 的概率密度函数为
e ( x y ) , x 0且y 0 f ( X ,Y ) 其它 0,
记 z X Y ；求 （1） E ( Z ), D( Z )；
其中 未知， 0. 求（1） 的极大似然估计； （2） 的极大似然估计是 的无偏估计吗？如果是，给
出证明；如果不是，请将其修正为 的无偏估计。
4、 从刚生产出的一大堆钢珠中随机地抽出9个，测量它
们的直径（单位：mm），并求得其样本均值 x 31.06 ， 样本方差 s 2 0.252，假定钢珠直径 X ~ N ( , 2 ) ，试求 （1） 的置信水平0.95的双侧置信区间； （2） 2 的置信水平0.95的双侧置信区间。
（2）分别求 X 1 , X 2 的边缘分布律。
2、设 X 与 Y 为随机变量，且
3 4 P( X 0 , Y 0) , P( X 0) P(Y 0) 7 7
求（1） P(min{ X , Y } 0) ；（2） P(max{ X , Y } 0)
3、设随机事件 A, B 满足 P( A) 0.25, P( B | A) 0.5
n 1 点数， i 1,2,100. 记 X X i ，试用中心极限定理 100 i 1
计算概率 P 3 X 4 的近似值。


6、
1、设 X1 , X 2 , X 3 , X 4 是取自正态分布 N (0, 2 ) 的简
单随机样本，其中 0.
X1 X 2 求 （1）统计量 Y 服从的分布； X X 4 3 （2）求小于1的常数 C 使得
1 1 （4） P (Y | X ). 2 2
1、工厂里现有同类型车床300台，每台车床发生故障的
概率为0.01，假设每台车床发生故障时，可由一名修理工来 修复。问：工厂修理部门应配备多少名修理工才能保证当车 床发生故障时得不到及时维修的概率不超过0.01？（要求用 中心极限定理求解）
2、在军事演习中先后有100个小分队对敌军目标进行轰