构造对偶式
构造对偶式巧解竞赛题
为一
（ ２ ０ １ ２年全 国高 中数 学联 赛试题 ） 分析 题 目的条 件 和 结 论涉 及余 弦和正切运算 ， 化 简较 为 复杂 ， 故 从 整 体 上 思
考， 将ａ ｃ ｏ ｓ Ｂ— ｂ ｃ ｏ ｓ Ａ＝ ÷ｃ 视
Ｊ
从而
图１
Ａ ≥÷．
为一个 整体 ， 构 造 其 和差 对 偶式 ａ ｃ ｏ ｓ Ｂ ＋ｂ ｃ ｏ ｓ Ａ， 再 考 察
妙获 解．
ａ ｃ ｏ ｓ Ｂ — ｂ ｃ ｏ ｓ Ａ ÷ｃ ， ａ ｃ ｏ ｓ Ｂ ＋ ｂ ｃ ｏ ｓ Ａ ＝ ｃ ，
解得
从 向
ｒ ｆ —
ｃ ｏ ｓ Ａ＝ １ 。 ｃ 。 ｓ Ｂ： ４ ｃ６ ｃ，
，
ｔ ａ ｎ Ａ ｓ ｉ ｎ Ａ ｃ ｏ ｓ Ｂ ａ ｃ ｏ ｓ Ｂ ＿４ ．
√４— ２， ／ ｓ ｓ ｉ ｎ ｘ＝１ ＋ｍ，
将 ２个式 子 进行 和差 运算 ， 得
√ｌ ０—４ √ ３ ｓ ｉ ｎ 一 ６ ｃ ｏ ｓ ｘ＝１一 ， 孔 ，
从 而 ２ ｉ ｎ ｘ＝一ｍ 一 ２ ｍ＋３ ，
６Ｃ Ｏ Ｓ Ｘ＝ｍ ＋６ｍ ＋３．
＋
４
藕
口１
，
的值
同 时 …＝ ａ 蓑 １ ＋ 口 ， ＋ ａ 蓑 ， ＋ ａ ・ ｊ ＋ ａ 篙 十 ａ ．
由 基 本 不 等 式 ａ ÷ 十 譬 Ｄ ≥ （ 。 ＋ ６ ） ， 得
Ａ＋ ≥ （ ｎ ＋口 ）＋ （ ｎ ＋ａ ３ ）＋… ＋ （ 口 ＋ｎ ）＝１ ，
Ａ ＝Ｃ Ｏ Ｓ １ ０。＋Ｃ Ｏ Ｓ ５ ０。一ｓ ｉ ｎ ４ ０。 ｓ ｉ ｎ ８ ０。．
Ｂ ＝ｓ ｉ ｎ １ ０。＋ ｓ ｉ ｎ ５ ０。一 ｃ ｏ ｓ ４ ０。 ｃ ｏ ｓ ８ ０。．
构造对偶式
构造对偶式
构造对偶式，又称构造双对称式，是一种以空间为基础的设计方法，可以帮助创作者合理、有序地表达在情感上有价值的创作。
构造对偶式的灵感来源于日本设计师、建筑师、学者吉田满所著的《三维空间设计》，其中提出的三维空间视野被应用到设计领域，催生了构造对偶式，也被世界各地的设计师、建筑师所需要。
构造对偶式的视野，是从三个维度出发的，也就是三个面，比如说前面、后面、顶部和底部。
在视觉上，它能够给观察者以一种空间性的视觉感受，构造出一种双重空间分化、色彩对比显著的构图，从而丰富设计的表现形式。
同时，它也可以帮助设计师通过引入交互性的原则把设计的视觉内容完美呈现出来。
构造对偶式的基本原则是：以空间为基础，创造出有序的、有价值的设计。
这也是为什么构造对偶式如此受到欢迎的原因。
这一设计方法把色彩空间、形式和任意设计元素综合在一块融汇贯通，以达到有序的视觉效果，而且这一视觉融合效果能够跨越视觉领域，展开对任意两个以上元素之间的色彩空间表达。
比如颜色、形状、纹理等，可以在一定的空间构图中完成有效的表达。
其复杂的构图也为设计师提供了更多的灵活性和表达力，从而让设计具有更强烈的情感感受。
设计师在运用构造对偶式设计时，也需要注意一些事项，比如前后对比性、空间安排、构图关联之间的相互配合、不同色彩空间之间的衔接等要素，这些都有助于完美展现这种设计方法的价值。
构造对偶式是设计中必不可少的一种视觉元素，它可以帮助设计师更有效地
传达出情感，激发人们对设计的认可与共鸣，给观众带来强烈的视觉冲击力。
构造对偶式
构造对偶式对偶式是一种重要的数学工具，被广泛应用于许多数学问题的解答中。
其本质是将多个数学问题分解成一个等价的“对偶问题”，在求解对偶问题的过程中，更容易把握全局性的有用信息，随后可以利用这些信息，更有效地找出原有问题的解答。
构造对偶式，也就是将原有复杂问题转换为一个对偶问题，这是一种基本的数学方法。
换言之，就是把目标函数中的目标变量的函数值变成函数的极大或极小值，从而获得意义清楚、应用范围较广的独立极值问题。
以最优化问题为例，将原有问题转换为对偶问题的基本步骤如下：（1）构造拉格朗日函数：根据原有最优化问题，构造目标函数以及约束函数；（2）构建拉格朗日对偶函数：将原有最优化问题中的目标变量变换成拉格朗日乘子，将原有目标函数拉格朗日乘子四则运算后，消除原有目标变量，重组拉格朗日乘子，得到拉格朗日对偶函数；（3）处理拉格朗日对偶函数：将原有约束函数替换成拉格朗日乘子，然后将拉格朗日对偶函数的拉格朗日乘子进行四则运算，消除拉格朗日乘子，得到新的拉格朗日对偶函数；（4）解拉格朗日对偶函数：设定拉格朗日乘子的取值范围，然后用方程的解法求解拉格朗日对偶函数；（5）拆解拉格朗日函数：将原有目标函数中的拉格朗日乘子重新带入，将拉格朗日乘子拆解，求得原有问题的最优解。
构造对偶式在当今数学领域中占有重要位置，它可以将复杂的约束优化问题转换成一个简单的求解的问题，从而减少解决复杂优化问题的困难，并有助于求解规模大、精度要求高以及约束多的优化问题。
由于构造对偶式把复杂优化问题分解成一系列相互连接的子问题，这些子问题本身都是相对容易求解的，因此构造对偶式有助于解决多变量函数最优化问题。
此外，构造对偶式还可以有效地求解非凸优化问题，即在优化函数具有显著非凸特征时，能够高效地得出较优解。
总而言之，构造对偶式是一种十分重要的数学工具，可以有效求解多变量函数最优化问题，以及非凸优化问题，是许多应用层面的数学设计中经常用到的好方法。
求函数式的对偶式。
求函数式的对偶式。
函数式对偶式是一种重要的数学概念，它可以被用来解决不同类型的优化问题，这种概念也经常出现在控制理论、运筹学、统计学等应用程序中，因此，它们的理解和应用是一个重要的任务。
函数式对偶式可以定义为两个函数的函数，它们分别称为原函数和对偶函数。
原函数是一个给定变量的实值函数，可以使用最小化或最大化。
对偶函数是一个包含一系列不同变量的函数，可以用来表达原函数的最小值，或者解释原函数的极值的原因。
一般来说，函数式对偶式的构建主要有三个步骤：
第一，确定原函数。
构建原函数需要考虑函数的定义域、函数的取值范围，以及函数的极值的类型（最大值或最小值）。
第二，确定对偶函数。
该函数需要满足原函数关于变量的一系列多项式约束条件，以及关于一阶导数和二阶导数约束条件等。
第三，求解函数式对偶式。
在求解函数式对偶式之前，必须先将原函数和对偶函数进行有关求导运算，推出有关关系式，这样才能求得原函数的极值，也可以求得解决实际问题的更加精确的最优解。
函数式对偶式的概念是一个抽象的概念，但它的应用确实十分广泛，能够有效解决不同类型的复杂问题，从而可以有效支持企业和机构的发展目标。
构造对偶式的八种途径
构造对偶式的八种途径在数学解题过程中,合理地构造形式相似，具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和,差,积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果。
一． 和差对偶对于表达式()()u x v x ±，我们可构造表达式()()u x v x m 作为它的对偶关系式。
例１若02πθ<<，且3sin 4cos 5θθ+=，求tan θ的值。
解析：构造对偶式：3sin 4cos y θθ-=则3sin 4cos 5,3sin 4cos y θθθθ+=⎧⎨-=⎩得5sin 65cos 8y y θθ+⎧=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩再由22sincos 1θθ+=，得：73,tan 54y θ=-∴=。
点评：这种构造对偶式的方法灵巧，富有创意，有助于培养学生的创新思维和创造能力。
例２已知：,,,a b c d R ∈，且22221a b c d +++≤，求证：444444()()()()()()6a b a c a d b c b d c d +++++++++++≤。
解： 则有：又0N ≥，故6M ≤，即原不等式成立。
10=a =，再由原方程联立可解得：那么22(1)(2)+得：221242(100),(3)2x a +=+ 22(1)(2)-得：1610x a =，即85x a =，代入（３）中得：22164242(100)225x x +=+，整理得：29425x =， 解得：103x =±。
二． 互倒对偶互倒对偶是指针对式子的结构，通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式的方法。
例４若,,(0,1)x y z ∈，求证：1113111x y y z z x++≥-+-+-+。
解：设111111M x y y z z x=++-+-+-+,构造对偶式：(1)(1)(1)N x y y z z x =-++-++-+，则1111(1)(1)(1)11112226M N x y y z z x x y y z z x y z+=+-+++-+++-++-+-+-+-+≥++=而3N =，故3M ≥，即1113111x y y z z x++≥-+-+-+。
构造对偶式
构造对偶式
构造对偶式，也称为非抽象设计，是一种新型的设计方法，它通过引入抽象和解释来形成解决方案，并在此基础上构建出高层次的设计思想。
在这种设计方式中，设计者将使用它们的思想来设计一个抽象的架构或模型，而程序员则使用该模型的概念来构建具体的软件解决方案。
构造对偶式的基本原理是将抽象的设计和具体实现分离开来，以形成单独的模型，抽象模型使程序员能够更好地理解系统，同时也将设计过程和实现过程加以区分。
因此，使用构造对偶式，设计者可以更好地构建出抽象模型，而程序员则可以根据此模型来实现具体的解决方案。
构造对偶式已经广泛应用于自动化技术、机器学习、数据科学等多领域的开发中。
它有效地将问题抽象为可视化形式，从而让开发者能够更好地理解和解决问题。
此外，构造对偶式能够有效地实现并行开发，这使得多个开发者可以有效分工协作，从而大大提升了开发效率。
构造对偶式具有许多优势，但也有一些限制和缺点。
首先，构建对偶式可能需要较多的时间和精力，设计者需要仔细构建出抽象模型，而程序员则要根据抽象模型来生成具体的解决方案，这可能会消耗大量时间。
其次，构建对偶式需要高质量的文档，如果文档不够清楚，程序员将无法正确理解和实现设计者的思想。
另外，抽象模型的可视化也可能降低开发效率，因此需要设计者和程序员结合经验进行实践
验证，做到有效把控时间和质量，从而发挥构造对偶式的最大价值。
构造对偶式是一种新型的设计方法，它具有优势和局限性，但其中所包含的抽象结构为程序员提供了一种可视化的解决方案，有效使开发者在实现过程中更好地理解复杂的问题，同时还可以有效地实现并行开发。
因此，构造对偶式的实践可以大大提高开发的效率，为软件开发带来巨大的便利。
应用“构造法”解题例析
应用“构造法”巧解数学问题例析河北省隆化县职业中学 曹瑞民（068150）构造法是初中数学的一种重要的数学方法，利用构造法可以巧妙的解决数学中的很多难题。
一、构造矛盾，巧证几何题例1、 求证：两条角平分线相等的三角形是等腰三角形。
证明：如图1，已知∆ABC ，BD 、CE 分别是ACB ABC ∠∠,的平分线。
BD=CE ，要证AB=AC 。
假设AB ,AC ≠不妨设AB>AC,则有ACB ∠>ABC ∠ A因而ACE ∠>ABD ∠构造ECF ∠=ABD ∠. F设CF 分别交AB 、BD 于G ，则CEF BFG ∆≈∆。
E G D 即BF ：CF=BG ：CE但BF>CF ∴BG>CE B C BD>BG ∴ BD>CE (图1)这显然与已知BD=CE 相矛盾，故AB ≠AC 的假设不成立，而必有AB=AC 。
二、构造对偶式，巧求非对称式的值例2、设x 21x 是方程x 2＋5x ＋2=0的两根，不解方程；求21x x 的值。
分析：21x x 是非对称式，构造其对偶式12x x （即将21x x 中的2,1x x 互换位置）以后，组合成对称式再进行运算。
22124)5(2)(11,221212212122211221=--=-+=+=+∴==x x x x x x x x x x y y y x x y x x 则解：设即2y 2－21y ＋2=0,解之得 4175212,1±=y 三、构造方程，巧解几何最值问题例2、 如图2，平行四边形MNPQ 的一边在ABC ∆的边BC 上， A 另两个顶点分别在AB ，AC 上。
M H N 求证：平行四边形MNPQ 的面积的最大值为ABC ∆面积的一半。
分析：题设中出现两个相关图形——平行四边形，三角形；结论是证明面积最值问题，面积问题自然联想到作高AG ， 与两个图形面积有关的元素有四个：MN 、HG 、BC 、AG 。
构造“对偶式”,巧解数学问题-解析版
构造“对偶式”，巧解数学问题在解答某些数学问题时，针对已知式M 的结构特征，构造一个或几个与之相关联的式子N ，使M 与N 经过相加、相减、相乘、相除等运算之后，所需解答的问题得到合理的转化和解决。
这种解题方法称之为构造“对偶式”解题，是一种极其巧妙的解题方法。
通过构造对偶式可以巧妙地解决多项式求值、恒等式证明、求函数的最值、解方程(组以及求解析式等，当然难点在于如何构造解题所需要的“对偶式”。
典型例题1求证:2sin 4x +3sin 2x cos 2x +5cos 4x ≤5。
【分析】本例是三角不等式的证明，运用一般的方法证明是困难的，若能运用对称的方法，构造对偶式，则比较容易证明【解析】【证明】设A =2sin 4x +3sin 2x cos 2x +5cos 4x ，B =2cos 4x +3cos 2x sin 2x +5sin 4x ，则 A +B =7sin 4x +cos 4x +6sin 2x cos 2x =7sin 2x +cos 2x 2-8sin 2x cos 2x=7-2sin 22x =5+2cos 22x ，①A -B =3cos 4x -sin 4x =3cos2x ，②①+②，得 2A =5+2cos 22x +3cos2x =5+2cos2x +342-916 ≤5+21+34 2-916=10所以A ≤5，命题得证2已知α，β是方程x 2-7x +8=0的两根，且α>β，不解方程，求2α+3β2的值。
【分析】 若要不解方程求2α+3β2的值, 因为2α+3β2是非对称式, 无法化为αβ及α+β的形式,所以需要构造2α+3β2相应的对偶式2β+3α2，两者结合就可以化为αβ及α+β的形式，然后运用韦达定理,从而求出2α+3β2的值.【解析】设A =2α+3β2，构造对偶式B =2β+3α2。
∵α，β是方程x 2-7x +8=0的两根，∴α+β=7，αβ=8。
例说对偶式
例说“对偶式”的运用著名数学家、哲学家罗素说过：“数学如果正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至上的美”．数学的世界，是一个充满了美的世界．数的美、式的美、形的美……，在那里我们可以感受到和谐、比例、整体和对称，感受到布局的合理，结构的严谨，关系的和谐以及形式的简洁．正是对这种神奇的数学美的追求，促使了很多数学家一生都在孜孜不倦地钻研数学，并享受这种精神上的快乐．对偶式是指与原数学式子结构对称，或结构相似，或结构相近的数学式子．根据原数学式子的结构，构造一个对偶式，与原数学式子进行配对，共同参与运算或变换，使问题得以巧妙地解决，这种解题方法我们称之为“对偶式法”．构造“对偶式”有以下一些途径． 1. 和差对偶对于数学式子)()(x v x u ±，我们可以构造)()(x v x u μ作为它的对偶式．例1. 1 求值：54cos 52cosππ+． 解 设54cos 52cos ππ+=M ，54cos 52cos ππ-=N ．则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅58cos 12154cos 12154cos 52cos 22ππππN M ，1421cos cos 2552N ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭． ∵ 0≠N ，∴ 21-=M ． 例1.2 已知5cos 4sin 3=+θθ⎪⎭⎫⎝⎛<<20πθ，求θtan 的值． 解 设t =-θθcos 4sin 3，则由⎩⎨⎧=-=+t θθθθcos 4sin 35cos 4sin 3⎪⎩⎪⎨⎧-=+=⇒85cos 65sin t t θθ 再代入：1cos sin 22=+θθ，得57-=t ，∴ 43tan =θ．例1.3 解方程：1021821822=+-+++x x x x ． 解 设t x x x x =+--++21821822．则由⎪⎩⎪⎨⎧=+--++=+-+++，，t x x x x x x x x 218218102182182222⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=++⇒②①,210218,21021822t x x t x x 22②①+得：()③,1002142222t x +=+22②①-得：t x 1016=，x t 58=⇒， 代入③得：⎪⎭⎫⎝⎛+=+22256410021422x x ， 解得：310±=x ． 例1.4 已知)(12222R d c b a d c b a ∈≤+++、、、，求证：()()()()()()6444444≤+++++++++++d c d b c b d a c a b a ．证 设()()()()()()444444d c d b c b d a c a b a M +++++++++++=，()()()()()()444444d c d b c b d a c a b a N +++++++++++=．则，N M +()22222222222244442222226d c d b c b d a c a b a d c b a +++++++++=，()6622222≤+++=d c b a ．∵ 0≥N ，∴ 6≤M ． 例1.5 设x ＞0，求证：x ＋x1－11++xx ≤2－3． 证明：设A =x ＋x1－11++x x ，构造A 的辅助对偶式：B =x ＋x1＋11++x x ， 则有A·B= 1且B≥2＋3，从而1 =A·B≥(2＋3)A ， 因此由A ＞0即可得A≤2－3， 即不等式x ＋x1－11++xx ≤2－3成立． 例1.6 设a ＞0，b ＞0，a ＋b = 1，求证：12+a ＋12+b ≤22．证明：设A =12+a ＋12+b ，构造A 的辅助对偶式：B =12+a －12+b ， 则有A 2≤A 2＋B 2= 4(a ＋b)＋4 = 8， ∴A≤22，即12+a ＋12+b ≤22． 例1.7 求证：*n N ∀∈，()2+1n都能写成()1*m m m N +-∈的形式．解 若()2+1na b =+，则()2-1na b =-，其中,*a b N ∈．两式相乘，得()()()()2+12-11nna ba b +-==．因此，如果令()*a m m N =∈，则必有1b m =-．（注：亦可以用数学归纳法证明）2. 互为倒数对偶例2.1 若)1,0(∈z y x 、、，求证：3111111≥+-++-++-xz z y y x ．证 设，)1()1()1(x z z y y x N +-++-++-=， 则，N M +)1(11)1(11)1(11x z xz z y z y y x y x +-++-++-++-++-++-=，6222=++≥．∵ 3=N ，∴ 3≥M ．例2.2 设n a a a ,,,21⋯为互不相等的正整数，求证：nn a a a a n 13121132223221+⋯+++≥+⋯+++． 证 设22322132na a a a M n +⋯+++=，n a a a a N 1111321+⋯+++=． ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n a n a a a a a a a N M 113121232322211， ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯+++≥n 1312112．∵ n a a a ,,,21⋯为互不相等的正整数， ∴ n N 131211+⋯+++≤，∴ nM 131211+⋯+++≥． 例2.3 若),0()0,(+∞-∞∈∀Y x ，有012)(=+⎪⎭⎫⎝⎛+x x f x f ．求)(x f 的解析式．解 以x 1置换012)(=+⎪⎭⎫⎝⎛+x x f x f ，①中的x ，得： ()012)1(=++xx f x f ，② ①－②×2，得：()xx x f x x f x x f 32)(024)(2-=⇒=--+．3. 共轭对偶利用共轭根式或共轭复数构造对偶式． 例3.1 解方程：)(313C z i z i z z ∈+=-⋅． 解 由)(313C z i z i z z ∈+=-⋅，①⇒i iz z z 313-=+⋅， ②①－②，得：2--=z z ，代入②，得：0)31)(1(313)2(=-++⇒-=+--i z z i iz z z ， ∴ 1-=z 或i z 31+-=．例3.2 已知)(1C z z ∈=，且1±≠z ，求证11+-z z 为纯虚数． 证 设11+-=z z M ，则1111-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=z z z z M ．于是， ()1011112===-+++-=+z z z z z z z N M Θ， ∵ 1±≠z ，∴ 011≠+-z z ， ∴11+-z z 为纯虚数．4. 倒序对偶例4.1 求和nn n n n nC C C C S +⋯+++=32132．解 由已知，得：nn n n n n nC C C C C S +⋯++++=32103210，① 且有，0210)2()1(n n n n n n n C C n C n nC S +⋯+-+-+=--， ②∵ *)*,,0(N n N k n k C C kn n k n ∈∈≤≤=-，∴①、②两式相加，得：()n nn n n n n n C C C C C n S 223210⋅=+⋯++++=，∴ 12-⋅=n n S ．例 4.2 设{}n a 为正向等比数列，且n a a a S +⋯++=21，n n a a a T ⋅⋯⋅⋅=21．试用T S 、表示na a a Q 11121+⋯++=． 解 由()()()()nn n n n n a a a a a a a a T a a a T 11121221=⋅⋯⋅=⇒⋅⋯⋅⋅=-，∴ ()21nn a a T =．① 由na a a Q 11121+⋯++=，1112121111211111112a a a a a a a a a a a a a a a a a a Q n n n n n n nn n ++⋯++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋯+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⇒---， nn n n n a a Sa a a a a a a a 1111212=+⋯++=-，∴na a SQ 1=．② 由①、②，得：nn nT S TS a a S Q 221-⋅===． 例4.3 （2006年全国高考）函数191()n f x x n ==-∑的最小值为（ ）A ．190B ．171C ．90D ．45解 ()1219f x x x x =-+-+⋅⋅⋅+-， 倒序得：()19181f x x x x =-+-+⋅⋅⋅+-，相加得：()()()2()119218191f x x x x x x x =-+-+-+-+⋅⋅⋅+-+- 因为，11918x x -+-≥，21816x x -+-≥，……9112x x -+-≥， 10100x x -+-≥，所以，2()(1816142)2f x ≥+++⋅⋅⋅+⨯， 故有，()90f x ≥，等号在10x =时取到．5. 定值对偶例5.1 已知221)(x x x f +=，设)4()3()2()1(213141f f f f f f f S ++++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=，则=S ．解 因为111111111)(2222222=+++=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x x x x x f x f 所以，⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)2()1(2)2(21)3(31)4(412f f f f f f f f f S⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++41)4(31)3(f f f f ，所以，72=S ，27=S ．6. 奇偶数对偶 例6.1 求证：1212124321-<-⋅⋯⋅⋅n n n （*N n ∈）． 证 设n n M 2124321-⋅⋯⋅⋅=，1225432+⋅⋯⋅⋅=n n N ．则N M <<0， 所以，1212+=<n MN M ，故121-<n M ． 例6.2 求证：3132311411)11(+>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋯⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n （*N n ∈）． 证 因为，231345122311411)11(--⋅⋯⋅⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋯⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n ， 所以，设23134512--⋅⋯⋅⋅=n n M ，1335623-⋅⋯⋅⋅=n n N ，n n P 3136734+⋅⋯⋅⋅=．因为，0>>>P N M ，所以，1331367341335623231345123+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋯⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋯⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅⋯⋅⋅=>n n n n n n n MNP M ，所以，313+>n M ．7. 对称对偶对称代数式分绝对对称和轮换对称两种．例7.1 已知1>a ，1>b ，求证：81122≥-+-a b b a ． 证 设1122-+-=a b b a M ，1122-+-=a a b b N ，则 0)1)(1())((1122222≥---+=--+--=-b a b a b a a a b b b a N M ，即，N M ≥． 而，81111114111111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=-+++-++=a a b b a a b b N ， 当且仅当2==b a 时，等式成立．所以，8≥≥N M ，故8≥M ．例7.2 已知),,2,1(0n i a i ⋯=>，且121=+⋯++n a a a ，求证：2121a a a +＋3222a a a +＋…＋12a a a n n +≥21．证 设M =2121a a a +＋3222a a a +＋…＋12a a a n n +，N =2122a a a +＋3223a a a +＋…＋n n n a a a +-12＋121a a a n +， ∵=-N M 212221a a a a +-＋322322a a a a +-＋…＋n n n n a a a a +---1221＋1212a a a a n n +-，()()()()113221a a a a a a a a n n n -+-+⋯+-+-=-， ()()02121=+⋯++-+⋯++=n n a a a a a a ．∴ N M =， 当注意到222)(21b a b a +≥+时，有： =+N M 212221a a a a ++＋322322a a a a ++＋…＋n n n n a a a a ++--1221＋1212a a a a n n ++， ()()()()11322121212121a a a a a a a a n n n ++++⋅⋅⋅++++≥-，121=+⋅⋅⋅++≥n a a a ．∴12≥M ，即21≥M ． 故2121a a a +＋3222a a a +＋…＋12a a a n n +≥21．别证1 因为，)(22)(22j i i ji i i j i j i i a a a a a a a a a a a a +-⋅≥+⇒⋅≥+++λλλλ，所以，λλλλ222211112-=-≥+∑∑∑===+ni i n i i ni i i i a a a a a ，而21212222+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-λλλ，所以取41=λ，此时2122=-λλ，从而命题得证．别证2 所证不等式可以变行为：02441232222121≤⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋯++++-a a a a a a a a a n n ． 于是，联想到二次函数的判别式．根据二次项系数构造二次函数：22)(1121211+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=∑∑=+=++x x a a a a a x a a a x f n i i i ini i i i i i ． 因为0)(≥x f ，所以0≤∆，即02441232222121≤⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋯++++-a a a a a a a a a n n 2121a a a +⇔＋3222a a a +＋…＋12a a a n n +≥21． 别证3 由柯西不等式得：()()212212211212132222121=+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++≥++++⋅⋅⋅++++--n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a ， 当且仅当n a a a =⋅⋅⋅==21时，等式成立．例7.3 设1x 、2x 是方程032=-+x x 的两个不等实数根，求证：01942231=+-x x ．证 设1942231+-=x x M ，1942132+-=x x N ，由根与系数关系知：121-=+x x ，321-=x x ．∴ ()()()()3841941942221323121322231++-+=+-++-=+x x x x x x x x N M ，()()()()()38243212212122121+-+--++=x x x x x x x x x x ，038)61(4)91(=++-+-=，()()()()22213231213222314194194x x x x x x x x N M -+-=+--+-=-， ()()212122212144x x x x x x x x ++++-=，()()()()21212212142x x x x x x x x ++-+-=()()043121=-+-=x x ．所以，0==N M ．别证 因为1x 、2x 是方程032=-+x x 的两个不等实数根，所以121-=+x x ，并且03121=-+x x ，03222=-+x x ，所以，1213x x -=，2223x x -=．于是，有()()1941231934319422112112231++--=+---=+-x x x x x x x x ，()()04444743321211=-=++=++--=x x x x x ．例7.4 设c b a 、、都是正实数，求证：3223223223cb a a cac c c bc b b b ab a a ++≥++++++++．证 设223223223a ca c c c bc b b b ab a a M ++++++++=， 223223223a ca c a c bc b c b ab a b N ++++++++=，则 0=-N M ，即N M =．又 222222222222)()()(a ca c a ca c a c c bc b c bc b c b b ab a b ab a b a N M +++-+++++-+++++-+=+, 易证，31,31,31222222222222≥+++-≥+++-≥+++-a ca c a ca c c bc b c bc b b ab a b ab a ， 所以，)(32c b a N M ++≥+，故3c b a M ++≥．8. 互余对偶三角函数中，正弦函数和余弦函数、正切函数和余切函数、正割函数和余割函数称为互余函数．利用互余函数构造对偶式．例8.1 解方程：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=++2,013cos 2cos cos 222πx x x x ． 解 设x x x M 3cos 2cos cos 222++=，x x x N 3sin 2sin sin 222++=，则3=+N M ，①13cos 23cos cos 26cos 4cos 2cos 2-+=++=-x x x x x x N M ，13cos 2cos cos 41)3cos (cos 3cos 2-=-+=x x x x x x ，∴ 13cos 2cos cos 4-=-x x x N M ，②由①+②，得：13cos 2cos cos 2+=x x x M ， 又13cos 2cos cos 222=++=x x x M ，∴ 03cos 2cos cos =x x x ，∴ 0cos =x ，或02cos =x ，或03cos =x ∵ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ∴ 6π=x ，或4π=x ，或2π=x ． 例8.2 求︒︒+︒+︒40cos 10sin 40cos 10sin 2222的值． 解1 设︒︒+︒+︒=40cos 10sin 40cos 10sin 2222M ，︒︒+︒+︒=40sin 10cos 40sin 10cos 2222N ，则，︒+=+50sin 2N M ，︒--=-︒︒-=︒-︒-︒=-50sin 212130sin 50sin 230sin 20cos 80cos N M ， 两式相加，得：232=M ，所以，43=M ．解2 设︒︒+︒+︒=40cos 10sin 40cos 10sin 2222M ，︒︒-︒+︒=40sin 10cos 40sin 10cos 2222N ，则，2330sin 2=︒-+=+）（N M ， 050sin 30sin 50sin 250sin 20cos 80cos =︒+︒︒-=︒+︒-︒=-N M ，故，43==N M ．别解 利用余弦定理，有︒︒+︒+︒40cos 10sin 40cos 10sin 2222︒︒︒-︒+︒=120cos 50sin 10sin 250sin 10sin 2222，43120sin 2=︒=．例8.3 化简：)cos(cos cos 2cos cos 22βαβαβα+-+． 解 设)cos(cos cos 2cos cos 22βαβαβα+-+=M ，)cos(sin sin 2sin sin 22βαβαβα+++=N ，所以，)(cos 222βα+-=+N M ，)cos()cos(22cos 2cos βαβαβα-+-+=-N M ，0)cos()cos(2)cos()cos(2=-+--+=βαβαβαβα．故，)(sin )(cos 122βαβα+=+-==N M ．例8.4 求︒︒︒70sin 50sin 10sin 的值．解 设︒︒︒=70sin 50sin 10sin M ，︒︒︒=70cos 50cos 10cos N ，则()()()︒︒︒︒︒︒=⋅70cos 70sin 50cos 50sin 10cos 10sin N M ，︒︒︒=140sin 100sin 20sin 81︒︒︒=70cos 50cos 10cos 81N 81=．因为，0≠N ，所以，81=M ．别解 利用三倍角公式，有()81103sin 4170sin 50sin 10sin =︒⨯=︒︒︒．例8.5 化简：αααα3sin sin 3cos cos 33⋅+⋅． 解 设αααα3sin sin 3cos cos 33⋅+⋅=M ，αααααα3sin sin cos 3cos cos sin 22⋅⋅+⋅⋅=N ，则，ααααα2cos 3sin sin 3cos cos =⋅+⋅=+N M ，αααααα3sin sin 2cos 3cos cos 2cos ⋅⋅-⋅⋅=-N M ，αα4cos 2cos ⋅=两式相加，得：ααααα2cos 22cos 2cos 2)4cos 1(2cos 232=⋅=+=M ，所以，α2cos 3=M ．例8.6 求证：5cos 5cos sin 3sin 24224≤+⋅+αααα． 证 设αααα4224cos 5cos sin 3sin 2+⋅+=M ，αααα4224sin 5sin cos 3cos 2+⋅+=N ，则，()()αααααααα22222244cos sin 8cos sin 7cos sin 6cos sin 7⋅-+=⋅++=+N M ，αα2cos 252sin 2722+=-=，()()ααααα2cos 3cos sin 3sin cos 32244=-=-=-N M ，相加，得：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=169432cos 252cos 32cos 25222αααM 10169431252=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤．所以，5≤M ．练习1. 若π=++C B A ，化简：C B A C B A cos cos cos 2cos cos cos 222+++．2. 化简：)120(cos )120(cos cos 222︒-+︒++θθθ． 3. 在ABC ∆中，求证：A CBC B cos sin sin 2sin sin 22-+， A C B C B cos cos cos 2cos cos 22-+=， A 2sin =．4. 求22sin 20cos 803sin 20cos80++oooo的值． 5. 求22cos 10cos 50sin 40sin80+-oooo的值．6. 求cos 40cos80cos80cos8160cos160cos 240++oooooo的值． 7. 证明：223sin cos sin cos 4αβαβ+-=，其中30βα-=o． 8. 求cos 7π＋cos 37π＋cos 57π的值． 9. 求234567coscoscoscoscoscoscos15151515151515πππππππ的值．10. 求函数sin cos 6y x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小值． 11. 求23coscoscos 775πππ-+的值．（第5届ＩＭＯ试题）12. 若a ，b 均为正实数，且1110a b a b --=+，则33b a a b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．13. 求证：),,(2222+∈++≥+++++R c b a cb a ac c c b b b a a ． 14. 设1a ，2a ，…，n a ；1b ，2b ，…，n b 都是正数，且∑∑===ni in i ib a 11。
构造对偶式
构造对偶式
构造对偶式，也称为构造对偶，是把对象与其表示形式、描述符或行为进行抽象的设计模式。
它的实质是将对象抽象成一套对象-概念-实现的三元组。
它能帮助解决给定复杂应用程序的特定结构问题，从而提高应用程序的质量和可维护性。
构造对偶式的核心思想是将复杂的对象抽象为一个对象-概念-
实现的三元组，每一个元素可以被独立地分析和设计，而不会影响其他元素。
这样就能够实现最小内存消耗和最高效率的构建，在构建过程中可以更有灵活性和稳定性，以达到最高性能。
构造对偶式的三元组是“对象”、“概念”和“实现”。
“对象”指的是耦合的对象，它是一个对象的抽象；“概念”指的是耦合的概念，它是一系列抽象概念；“实现”指的是耦合的实现，它是具体的实现过程。
构造对偶式可以极大地提高程序的抽象能力，它被广泛应用在数据库，计算机网络，操作系统，图形处理和仿真等领域。
构造对偶式同时也可以用在物理数学中，可以通过三元组的关系，在实现过程中调整物理参数，从而实现想要的结果。
此外，构造对偶式还可以用于处理混合架构系统，比如使用多种编程语言构建一个应用程序，可以使用构造对偶式将不同的部分抽象出来，从而实现良好的模块化，大大减少了开发的复杂性，提高了程序的可读性和可维护性，缩短了程序的开发时间。
总之，构造对偶式是一种非常有效的程序设计模式。
它可以极大
地改善程序的可维护性，并且有助于避免一些常见的代码错误。
构造对偶式实际上是一种抽象和耦合的设计模式，可以用来组织和把握复杂的系统中的复杂对象。
正是由于其复杂性和可维护性，构造对偶式得到了广泛的应用，成为当今程序设计的重要工具之一。
构造对偶式证明不等式
所
≥
彗
一． 一
Ａ≥ ÷ ．
Ｂ ＋ Ａ ≥ Ｂ 一 ２．
从而得 （ 如＋Ａ ＋Ａ ） ≥婴（ ＋Ａ 一２ ）
鼓 原 不 等式 成 立 ． 例 ８ 巳 知 Ｉｚ ， ， ∈ Ｒ＋， Ｉ ， ２… 且 ＋ ２ ＋ … ＋ 一 】 求 证 ．
维普资讯
中 学 数 学
２０ 年 第 ５ ０２ 期
ｌ 与技巧《
噩 两
构 造 对 偶 式 证 明 不 等 式
５ ８１ 广 东省 中山市北 大学 园小榄 中学 ２４５ 许 少 华
不 等 式 的 证 明 方 法 很 多 ， 里 介 绍 构 造 这 对 偶 武证 明不 等 式 ， 许在 诸 多证 明 方 法 中 也 它 别 开 生 面 、 具 味 ” 给 人 一 种 赏 心 悦 目 独 风 ，
禹 ＋ ＋．禹 ≥ ． ． ． ＋
（ 数 学 通 报 》问题 ８ ５ 《 ４）
证 明
一
南
Ｂ ＝
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ｓｌ ‘， ｎ
＜ 一 南 ＜志
故原不 等式成立．
。
同 理
Ａ ＋ Ｃ ≥ ３ ．
那 么 ２ ＋ （ ＋ ｃ） ６ Ａ Ｂ ≥
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例 求 ：＋） ＋ ） ・ ２ 证（ １１ ｛ …・ １ （
（ １＋ ｉ ） 酾 ＞ ・
故 原 不 等 式成 立． 例 ４ 已 知 ｚ Ｙ， ∈ Ｒ＋ 试 证 ： ．
由于 Ｔ ＞ ３＿ ４ ２＿ ＞ｉ
３ｎ
一
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… ，
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巧构对偶简化运算
孙志东（浙江省杭州市英特外国语学校 ３１１１２１）孙志东理学硕士，杭州英特外国语学校高级教师，现任教高中中澳班数学课兼备课组长，担任校学生处主任助理。
数学中的对偶原理，是指对于一个已知数或代数式，引进一个与之对应的有某种对偶关系的代数式，然后一起参与运算，从而使问题变得简单．笔者通过研究找到了这种构造对偶在求值或在解方程中的应用．１．利用分母有理化，构造对偶关系例１ ｘ，ｙ都是实数，且（ｘ＋ｘ２＋槡１）（ｙ＋ｙ２ ＋槡１）＝１，则ｘ＋ｙ＝．分析 已知条件中含有两个结构一样的代数式，并且发现（ｘ２ ＋槡１＋１）（ｘ２ ＋槡１－ｘ）＝１，从而可以考虑两次分母有理化，再把新得的两个式子相加，问题就获解了．解 由于ｘ＋ｘ２ ＋槡１＝１ｙ２ ＋槡１＋ｙ＝ｙ２ ＋槡１－ｙ，所以ｘ＋ｙ＝ｙ２ ＋槡１－ｘ２ ＋槡１．①同理ｙ＋ｙ２ ＋槡１＝ｘ２ ＋槡１－ｘ，从而得到ｘ＋ｙ＝ｘ２ ＋槡１－ｙ２ ＋槡１．②①＋②，得ｘ＋ｙ＝０．例２ 已知实数ｘ，ｙ满足（ｘ－ｘ２ －槡２０１８）（ｙ－ｙ２ －槡２０１８）＝２０１８，则３ｘ２－２ｙ２＋３ｘ－３ｙ－２０１７＝（ ）（Ａ）－２０１８． （Ｂ）２０１８．（Ｃ）－１．（Ｄ）１．分析 可以采用例１的思路，寻找ｘ，ｙ的关系．解 由已知得ｘ－ｘ２ －槡２０１８＝ｙ＋ｙ２ －槡２０１８，ｙ－ｙ２ －槡２０１８＝ｘ＋ｘ２ －槡２０１８，两式相减得２（ｘ－ｙ）＝０，这样ｘ＝ｙ．代入上式中的任一个可得ｘ２＝ｙ２＝２０１８．所以 ３ｘ２－２ｙ２＋３ｘ－３ｙ－２０１７＝３×２０１８－２×２０１８－２０１７＝１．２．利用整体法换元，再局部构造对偶式例３ 已知实数ｘ，ｙ满足（ａ＋ａ２ ＋槡１）（ｂ＋ｂ２ ＋槡４）＝９，求ａ ｂ２ ＋槡４＋ｂ ａ２ ＋槡１的值分析 虽然同例１与例２含有类似的代数结构，但是前述的采用分母有理化的方法却行不通，需要另谋思路．考虑所求的式子结构在已知条件的展开中有类似的结构，不妨尝试整体换元的思路．解 由已知条件展开得ａｂ＋ａ２ ＋槡１ ｂ２ ＋槡４＋ａ ｂ２ ＋槡４＋ｂ ａ２ ＋槡１＝９，不妨设ａ ｂ２ ＋槡４＋ｂ ａ２ ＋槡１＝ｘ，ａｂ＋ａ２ ＋槡１ ｂ２ ＋槡４＝ｙ，则ｘ＋ｙ＝９，①又 ａ＋ａ２ ＋槡１＝９４（ｂ２ ＋槡４－ｂ），②且 ｂ＋ｂ２ ＋槡４＝９（ａ２ ＋槡１－ａ），③②×③，得９＝８１４（ｙ－ｘ），即ｘ－ｙ＝－４９，④联立①与④，解得 ｘ＝７７１８．所以 ａ ｂ２ ＋槡４＋ｂ ａ２ ＋槡１＝７７１８．·９２·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版例４ 比（槡６ ＋槡５）６大的最小整数是多少分析 直接展开计算会特别复杂，不妨考虑构造其对偶式．解 设ａ＝槡６ ＋槡５，ｂ ＝槡６ －槡５，则ａ＋ｂ ＝槡２ ６，ａｂ＝１，所以ａ２＋ｂ２＝２２，ａ３＋ｂ３＝（ａ＋ｂ）（ａ２－ａｂ＋ｂ２）＝槡４２ ６，从而ａ６＋ｂ６＝（ａ３＋ｂ３）２－２ａ３ｂ３＝１０５８２，即（槡６ ＋槡５）６＋（槡６ －槡５）６＝１０５８２，由于０＜（槡６ －槡５）６＜１，所以１０５８１＜（槡６ ＋槡５）６＜１０５８２，所以比（槡６ ＋槡５）６大的最小整数是１０５８２．３．构造对偶式解方程例５ 解方程：ｘ＝ｘ－１ｘ槡＋１－１ｘ槡．分析 由于已知方程的右边是两个根式的和，所以可以构造两个根式差的对偶式．解 令ｙ＝ｘ－１ｘ槡－１－１ｘ槡①则原方程与①相加，得ｘ＋ｙ＝２ ｘ－１ｘ槡，②原方程与①相乘，得ｘｙ＝ｘ－１，由于ｘ≠０，所以ｙ＝１－１ｘ．③把③代入②，得ｘ－１ｘ＋１＝２ ｘ－１ｘ槡，配方得ｘ－１ｘ槡－１（）２＝０，从而ｘ－１ｘ＝１，解得ｘ＝１±槡５２．因为ｘ＞０，所以ｘ＝１ ＋槡５２．经检验ｘ＝１ ＋槡５２是原方程的根．例６ 解方程：２ｘ２ －槡１＋ｘ２－３ｘ －槡２＝２ｘ２＋２ｘ ＋槡３＋ｘ２－ｘ ＋槡２．分析 已知方程含有四个根式，不宜直接解方程，可以从构造对偶的角度考虑．解 记ｐ＝２ｘ２ －槡１－２ｘ２＋２ｘ ＋槡３＝ｘ２－ｘ ＋槡２－ｘ２－３ｘ －槡２，设ｍ＝２ｘ２ －槡１＋２ｘ２＋２ｘ ＋槡３，ｎ＝ｘ２－ｘ ＋槡２＋ｘ２－３ｘ －槡２，则ｍ＞０，ｎ＞０，ｍｐ＝－（２ｘ＋４），ｎｐ＝２ｘ＋４，从而ｍｐ＋ｎｐ＝０，这样ｐ（ｍ＋ｎ）＝０，所以ｐ＝０，从而ｍｐ＝２ｘ＋４＝０，所以ｘ＝－２．练习 １．非零实数ｘ，ｙ满足（ｘ２ ＋槡２０１８－ｘ）（ｙ２ ＋槡２０１８－ｙ）＝２０１８，求１００１０ｘ·１０２０ｙ的值．２．已知ｘ－ｙ＝６，ｘ２－ｘ槡ｙ＋ｘｙ－ｙ槡２＝９，求ｘ２－ｘ槡ｙ－ｘｙ－ｙ槡２的值．３．已知７ｘ２＋９ｘ ＋槡１３－７ｘ２－５ｘ ＋槡１３＝７ｘ，求ｘ的值．４．已知实数ａ，ｂ满足ａ１－ｂ槡２＋ｂ １－ａ槡２＝１，求ａ与ｂ之间的关系式．答案 １．１． ２．４．３．ｘ＝１２７．４．ａ２＋ｂ２＝１．·０３·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期。
均值不等式八种技巧
运用均值不等式的八类拼凑技巧一、 拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。
例１ 已知01x <<，求函数321y x x x =--++的最大值。
解：()()()()()()222111111y xx x x x x x =-+++=+-=+-()()311111322241422327x x x x x x ++⎛⎫++- ⎪++=•••-≤=⎪ ⎪⎝⎭。
当且仅当112x x +=-，即13x =时，上式取“=”。
故max 3227y =。
评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。
例2求函数)01y x x =<<的最大值。
解：y ==。
因()()32222221122122327x x x x x x ⎛⎫++- ⎪••-≤=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当()2212x x=-，即3x =时，上式取“=”。
故max 9y =。
评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。
例3 已知02x <<，求函数()264y x x =-的最大值。
解：()()()222222236418244y xx x x x =-=⨯--()()3222324418818327x x x ⎡⎤+-+-⨯⎢⎥≤=⎢⎥⎣⎦。
当且仅当()2224x x=-，即x ==”。
故max3218827y ⨯=，又max 0,3y y >=。
二、 拼凑定积通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件例4 设1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值。
解：()())14114415159111x x y x x x x ++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦==+++≥+=+++。
推荐-例说怎样构造对偶式解题 精品
例说怎样构造对偶式解题510180 广州市育才中学数学科 邓军民构造对偶式的技巧就是根据题中某式A 的结构特征,构造A 的对偶式B,利用A 与B 之间的运算(主要是加﹑减﹑乘)求得A ﹑B 的两种关系式,再通过适当变换,达到解题的目的. 常见的对偶式有a+b 与a b ; ab 与 ; sinx 与cosx ; tanx 与cotx ; 与 等.下面我们以两道典型例题来说明这种技巧的具体应用.例1 计算下列各式的值.(1) sin 2200+cos 2800+√ sin200cos800(2) sin100sin500sin700解 (1) 设A= sin 2200+cos 2800+√ sin200cos800 ,构造其对偶式B= cos 2200+ sin 2800－√ cos200sin800 ,则有:A+B=2－√ sin600 = A －B=cos1600－cos400+√sin1000=0两式相加得A=B= . (2) 令M=sin100sin500sin700 , 构造其对偶式N=con100cos500cos700 则有M ·N= sin100 con100 sin500 cos500 sin700 cos700= sin200 sin1000 sin1400=0 cos500 cos700= N∵N ≠0 ∴M= 例2 (1994年第24届全俄数学竞赛题)设 x i ＞0 ( i=1 , 2 ,…, n )且 x i =1 , 求证:+ + + ≥ 证明 令A= + + + 3 ab b na+b a n a+b 3 3 3 1 23 14 1 8 1 81 8 1 8ｉ＝1 nx 12 x 1+x 2 x 22 x 2+x 3x n 2 x n +x 1 …1 2x 12 x 1+x 2 x 22 x 2+x 3… x n 2x n +x 1－构造其对偶式 B= + + + 由平均不等式 x 12+x 22≥ 可得: A+B= + + + ≥ (x 1+x 2) + (x 2+x 3) + + (x n +x 1)=1 ○1 又A －B= + + + =( x 1－x 2) +(x 2－x 3) + + (x n －x 1)=0 ○2○1+○2得: 2A ≥1 ∴A ≥ , 命题得证.x 22 12 x 32 x 2+x 3 … x 12 x n +x 1 (x 1+ x 2)2 2 x 12+ x 22 x 1+ x 2 x 22+ x 32 x 2+ x 3 … x n 2+ x 12 x n + x 1 1 2 1 2 …1 2 x 12－x 22 x 1+ x 2 x 22－x 32x 2+ x 3 … x n 2－x 12x n + x 1…1 2。
逻辑函数对偶式的求法
逻辑函数对偶式的求法1.引言1.1 概述逻辑函数是数学中重要的概念，它描述了输入和输出之间的关系。
在逻辑电路设计、布尔代数和计算机科学等领域中，逻辑函数被广泛应用。
本文旨在讨论逻辑函数的一个重要的求解方法——对偶式。
对偶式是指通过改变逻辑函数的输入变量和结果的真值，得到的一个新的函数。
它在逻辑设计和优化中具有重要的意义，可以帮助我们简化逻辑电路的复杂性和提高系统的性能。
在本文中，我们将首先介绍逻辑函数的定义和性质，包括函数的输入和输出变量，真值表和逻辑表达式等基本概念。
然后，我们将详细讨论逻辑函数对偶式的定义和作用，以及相关的求解方法。
通过具体的例子和推导过程，我们将帮助读者理解如何通过对偶式来简化逻辑函数和提高逻辑电路的性能。
本文的目的是帮助读者掌握逻辑函数对偶式的求解方法，从而在逻辑电路设计和优化中能够灵活应用。
通过深入理解逻辑函数和对偶式的相关概念和原理，读者将能够更好地理解和应用逻辑电路设计中的技术，提高系统的性能和效率。
在下一节的正文中，我们将介绍逻辑函数的定义和性质，为后续讨论逻辑函数对偶式的方法做准备。
请继续阅读下一节。
1.2 文章结构本篇文章主要包括引言、正文和结论三个部分。
首先，引言部分将对文章的主题进行概述，介绍逻辑函数对偶式的背景和意义，并阐述文章的目的，即探讨逻辑函数对偶式的求法。
接下来，正文部分将分为两个小节展开讨论。
首先，我们将介绍逻辑函数的定义和性质，包括逻辑函数的基本概念、逻辑运算和逻辑函数的性质，为读者提供必要的基础知识。
其次，我们将探讨逻辑函数的真值表和逻辑表达式，介绍它们的作用和应用，并给出一些实际例子进行解析。
通过对逻辑函数的真值表和逻辑表达式的分析，读者可以更好地理解逻辑函数的运算规律和逻辑关系。
最后，结论部分将对逻辑函数对偶式的定义和作用进行解释，并介绍一些求解逻辑函数对偶式的方法。
我们将通过详细的步骤和示例演示如何将给定的逻辑函数转化为对偶式，并给出一些注意事项和技巧。
构造对偶式的八种途径
siz~I56cos v - - yI 8再由 sin? v cos^ -1，得: tan二 10 a 2 ,(1)x 2 -8x 2110 -a 2构造对偶式的八种途径在数学解题过程中，合理地构造形式相似， 具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和，差，积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果。
一. 和差对偶对于表达式u(x) _v(x)，我们可构造表达式 u(x)二v(x)作为它的对偶关系式。
例1若 0 :::n，且 3sin v - 4cos v - 5，求 tanv 的值。
2 解析：构造对偶式： 3sin v - 4cos v - y则3si"收…5,得3sin v -4cos )- y点评：这种构造对偶式的方法灵巧，富有创意，有助于培养学生的创新思维和创造能力。
例2已知： a, b, c, d R ，且 a 2 3 b 2c 2d 2 乞 1,求证：(a b)4 (a c)4 (a d)4 (b c)4 (b d)4 (c d)4 _ 6。
解：设M = (a b)4 (a c)4 (a d)4 (b c)4 (b d)4 (c d)4,构造对偶式4 4 4444N=(a-b) (a-c) (a-d) (b-c) (b-d) (c-d)则有：M N= 6(a 4 b 4 c 4 d 4 2a 2 b 2 2a 2c 2 2a 2 d 2 2b 2c 2 2b 2d 2 2c 2 d 2)-6(a 2b 2c 2d 2)2 岂6又N _0，故M _6，即原不等式成立。
例 3 解方程：.x 2 8x 2 V x^8x 21 =1021 n2x 242(100 a 2) ,(3) 28x 21解：构造对偶式：.x2 8x 21 - x28x • 21 - a，再由原方程联立可解得:那么(1)2(2)2得:解：设M 二 构造对偶式:-(1_z x)--1 -z x 1 -y z_3。
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构造对偶式的八种途径在数学解题过程中,合理地构造形式相似，具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和,差,积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果。
一． 和差对偶对于表达式()()u x v x ±，我们可构造表达式()()u x v x 作为它的对偶关系式。
例１若02πθ<<，且3sin 4cos 5θθ+=，求tan θ的值。
解析：构造对偶式：3sin 4cos y θθ-=则3sin 4cos 5,3sin 4cos y θθθθ+=⎧⎨-=⎩得5sin 65cos 8y y θθ+⎧=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩再由22sincos 1θθ+=，得：73,tan 54y θ=-∴=。
点评：这种构造对偶式的方法灵巧，富有创意，有助于培养学生的创新思维和创造能力。
例２已知：,,,a b c d R ∈，且22221a b c d +++≤，求证：444444()()()()()()6a b a c a d b c b d c d +++++++++++≤。
解：444444444444()()()()()():()()()()()()M a b a c a d b c b d c d N a b a c a d b c b d c d =+++++++++++=-+-+-+-+-+-设,构造对偶式则有：4444222222222222222226(222222)6()6M Na b c d a b a c a d b c b d c d a b c d +=+++++++++=+++≤ 又0N ≥，故6M ≤，即原不等式成立。
10=a =，再由原方程联立可解得：10,(1)210,(2)2a a +=-= 那么22(1)(2)+得：221242(100),(3)2x a +=+22(1)(2)-得：1610x a =，即85x a =， 代入（３）中得：22164242(100)225x x +=+，整理得：29425x =， 解得：103x =±。
二． 互倒对偶互倒对偶是指针对式子的结构，通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式的方法。
例４若,,(0,1)x y z ∈，求证：1113111x y y z z x++≥-+-+-+。
解：设111111M x y y z z x=++-+-+-+,构造对偶式：(1)(1)(1)N x y y z z x =-++-++-+，则1111(1)(1)(1)11112226M N x y y z z x x y y z z x y z+=+-+++-+++-++-+-+-+-+≥++=而3N =，故3M ≥，即1113111x y y z z x++≥-+-+-+。
例５设123,,,,n a a a a 为互不相等的正整数，求证：32122211112323n a a a a nn++++≥+++。
解：设Ｍ＝32122223n a a a a n ++++，构造对偶式：12111nN a a a =+++ 则212212111111()()()1232n n a a M N a a a a nn+=++++++≥+++又123,,,,n a a a a 为互不相等的正整数，所以111123N n≤+++，因此111123M n≥+++。
点评：解题时巧妙构思，对其构造了“意料之中”的对偶式，化新为旧，等价转化，完成对难点的突破，以达化解问题这目的。
例６已知对任意(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞总有1()2()0f x f x x++=，求函数()y f x =的解析式。
解析：因1()2()0f x f x x++= ①用1x 替代上式中的x ，构造对偶式：11()2()0f f x x x++= ② 由①－②×２得：12()4()0f x x f x x+--=故22()3x xf x x-=。
三． 共轭对偶共轭对偶是反映利用共轭根式或共轭复数来构造对偶式的方法。
例７已知z c ∈，解方程：313z z iz i ⋅-=+。
解析：由313z z iz i ⋅-=+ ① 构造对偶式：313z z iz i ⋅+=- ② 由①－②得2z z =--，代入②得(1)(13)0z z i ++-=， 故1z =-或13z i =-+。
例８若z c ∈，已知1z =且1z ≠±，证明：11z z -+为纯虚数。
解：设Ｍ＝11z z -+，则11()11z z M z z --==++，构造对偶式：Ｎ＝11z z -+ 则Ｍ＋Ｎ＝11z z -+＋11z z -+＝０（因为21z z z ⋅==） 又101z z -≠+（因为1z ≠±） ∴11z z -+为纯虚数。
例９已知：0,0a b >>，且1a b +=≤+∵2224()48M M N a b ≤+=++=∴M ≤，即原不等式成立。
四． 倒序对偶倒序对偶是指针对式子的结构，通过和式或积式进行倒序构造对偶式的方法。
例１０求和：12341234nn n n n n S C C C C nC =+++++解析：观察和式联想到*,0,k n k n n C C k n n N -=≤≤∈，故首先在和式右边添上一项00n C ⋅，则012012nn n n n S C C C nC =⋅++++ ①构造对偶式： 012(1)(2)0n n n n S nC n C n C C =+-+-+ ②即②亦为： 012012nn n n n S C C C nC =⋅++++ ③由①＋③得：011n nn n n n nC nC nC nC -++++∴0110112()n n n nn n n n n n n n S nC nC nC nC n C C C C --=++++=++++∴22nS n =⋅ ∴2nS n =⋅点评：利用现成的对偶式，使问题本身变得简单，便易，如此处理，可谓“胜似闲庭信步”，岂不妙哉！例１１正项等比数列{}n a 中，123123,n n T a a a a S a a a a =⋅⋅⋅⋅=++++试用Ｓ，Ｔ表示12111nQ a a a =+++。
∵∴ 解析：传统解法都用1,a q 表示Ｓ，Ｔ及Ｑ，然后通过1a 和q 找到Ｓ，Ｔ，Ｑ的等量关系，这种解法虽思路正确，但运算繁琐，加之在用等比数列求和公式时还要讨论1q =和1q ≠两种情形，如此解题会陷入漫漫无期的运算之中，很少有人能够到达终点。
其实，观察和式子与积式特征不妨采取“本末倒置”构造倒序对偶序式一试。
由题意知：123n T a a a a =⋅⋅⋅⋅ ①构造倒序对偶式：121n n n T a a a a --=⋅⋅⋅⋅ ②由①×②得：2212111()()()()n n n n T a a a a a a a a -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅，即21()n n T a a =⋅再来看： 12111n Q a a a =+++③ 构造倒序对偶式：11111n n Q a a a -=+++④ 即③＋④得：12211111112()()()n n n Q a a a a a a -=++++++，即122112212n n n n n n a a a a a a Q a a a a a a --+++=+++⋅⋅⋅。
由等比数列性质可知，右边的分母均为1n a a ⋅，故12111()()()2n n n na a a a a a Q a a -++++++=⋅即122n S Q a a =，∴1nSQ a a = 又21nn a a T = ∴2nS Q T==。
五． 定值对偶定值对偶是指能利用和，差，积，商等运算产生定值，并借此构造出对偶式的方法。
例１２已知函数22()1x f x x =+。
111()()()(1)(2)(3)(4)432f f f f f f f ++++++，则Ｓ＝ 。
解析：22222221()11()()111111()x x x f x f x x x x x+=+=+=++++ 发现定值：1()()1f x f x+=。
那么111()()()(1)(2)(3)(4)432S f f f f f f f =++++++ ①构造对偶式：111(4)(3)(2)(1)()()()234S f f f f f f f =++++++ ②由①＋②得：1112[()(4)][()(3)][()(2)]2(1)432111[(2)()][(3)()][(4)()]234S f f f f f f f f f f f f f=++++++++++++∴２Ｓ＝７，即72S =。
六． 奇偶数对偶奇偶数对偶指利用整数的分类中奇数与偶数的对称性构造对偶式的方法。
例１３求证：135212462n n-⨯⨯⨯<。
解：设135212462n M n -=⨯⨯⨯，构造对偶式：246235721nN n =⨯⨯⨯+。
由于1234212,,,,2345221n n n n -<<<+因此MN <，从而2121M M N n <⋅=+故M <例１４求证：11(11)(1)(1)432n +++>-证明：待证不等式的左边为：112531(11)(1)(1)4321432n n n -+++=⨯⨯⨯--。
令：25311432n M n -=⨯⨯⨯-构造两个对偶式：3634731,2531363n n N P n n+=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯- ∵23456731331,,12345632313n n n n n n-+>>>>>>-- ∴325313634731()()()1432253136331M M N P n nn n n nn >⋅⋅-+=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯--=+ ∴M >故原不等式成立。
七． 轮换对偶轮换对偶是指针对式子的结构，通过轮换字母而构造对偶式的方法。
例１５求证：对任意实数.1,1a b >>，都有22811a b b a +≥--不等式成立。
证明：设2211a b M b a =+--构造对偶式2211b a N b a =+--， 则22222()()011(1)(1)a b b a a b a b M N b a b a --+--=+=≥----，即M N ≥ 而1111114(1)(1)42281111N b a b a b a b a =+++++=+-++-+≥++=----， ∴8M N ≥≥，即8M ≥。
当且仅当2a b ==时等号成立。