构造对偶式

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对偶式的知识点总结

偶对式是一种修辞手法，它通过将信息对称地呈现在观众面前，以便更加突出和强调这些信息。在写作中，使用对偶式可以使文章更加生动、有趣，让读者更容易记住和理解文章的内容。下面我们将对对偶式的知识点进行总结。

一、什么是对偶式

对偶式是修辞学中的一种修辞手法，通过对称地呈现信息以达到更好的效果。对偶式可以出现在句子、段落甚至整篇文章中。通常情况下，对偶式会使用对称的词语、短语或句子来进行呈现，以便更好地吸引读者的注意力。

二、对偶式的类型

1. 词语对偶

词语对偶是指在句子中使用对称的词语或短语，以增强语言的鲜明和生动性。这种对偶形式常用于修辞和修饰，通过对称的语言形式使得句子更加生动有趣。

2. 句子对偶

句子对偶是指在文章中使用对称的句子结构，以便更好地强调信息。这种对偶形式可以让文章更具有节奏感和鲜明性，更容易让读者记住和理解文章的内容。

3. 段落对偶

段落对偶是指在文章的段落结构中使用对称的句子或段落，以突出文章中的重要信息。这种对偶形式可以让文章更加生动有趣，更容易让读者理解和记住文章的内容。

4. 整篇文章对偶

整篇文章对偶是指在整个文章结构中使用对称的段落或句子，以突出文章的主题和重要信息。这种对偶形式可以增强文章的整体感觉，让文章更加有条理和易于理解。

三、对偶式的作用

1. 突出信息

对偶式通过对称地呈现信息，可以更好地突出文章中的重要信息，让读者更容易注意和理解这些信息。

2. 增加趣味性

对偶式常常可以使文章更加生动有趣，通过对称的语言形式吸引读者的注意力，让读者更愿意继续阅读下去。

构造对偶式

构造对偶式是一种新型的思维方式，它能够激发人们的思想，并将他们带入到一个不同的思考模式。这种思维方式主要根据隐喻、推理、情境分析和战略思维这些基本的思维模式，来进行讨论和分析问题，以确定出解决问题的最佳方案。

对偶式思维的基本概念是，在处理一个复杂的问题时，了解其上下文，并考虑所有可能的解决办法，以此来推断出最佳的结果。因此，可以说，构造对偶式思维的目的是在现有的信息和知识中，找到一种最有效的发现问题、解决问题和创造新方案的方式。

构造对偶式思维要求人们从客观角度考虑和分析问题。这意味着，在分析时，人们不能受到个人喜好、感情或价值观等影响，而应丝毫不忘记特定的目标。这种思维方式还要求从不同的视角去看待同一个问题，以便发现最有效的方案。因此，使用这种思维方式的人，可以在尽可能多的步骤和步骤之间，寻求出最佳解决方案。

构造对偶式思维也可以根据客观环境和个人观点，进行整体性分析。这里，人们需要全面考虑和审查所有可能的解决办法，以及他们之间的关系，以便根据这些信息，来求出最佳的解决办法。

此外，构造对偶式思维还能够更好地探寻深层次的分析内容，从而帮助人们更好地理解问题的根本原因，以及背后的更大的意义。通过这种思维方式，人们可以更加全面地理解自己所处境况，并在此基础上，提出更好的解决方案。

构造对偶式思维是一种在处理现实问题时，通过客观视角去思考，

并找到最佳解决办法的有效方式。在实际中，对偶式思维的实施可以提高解决问题的效率，同时为人们提供一种更加有效发现问题、解决问题和创造新方案的方式，被认为是一种极具效果的思维方式。

能力提升---构造对偶式(生)

专题------构造对偶式

在数学解题过程中,合理地构造形式相似，具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和,差,积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果。下面通过实例来谈谈构造对偶式的几种途径。例１若02πθ<<

，且3sin 4cos 5θθ+=，求tan θ的值。

例２已知：,,,a b c d R ∈，且22221a b c d +++≤，

求证：444444()()()()()()6a b a c a d b c b d c d +++++++++++≤

10+

例４若,,(0,1)x y z ∈，求证：

1113111x y y z z x ++≥-+-+-+。

例５设123,,,

,n a a a a 为互不相等的正整数，求证：32122211112323n a a a a n n +

+++≥+++。

例６已知对任意(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞总有1()2()0f x f x x

++=，求函数()y f x =的解析式。

例7已知：0,0a b >>，且1a b +=+≤

例9.正项等比数列{}n a 中，123123,n n T a a a a S a a a a =⋅⋅⋅⋅=++++试用Ｓ，Ｔ表示12111n

Q a a a =

+++。

例10.已知函数2

2()1x f x x =+。111()()()(1)(2)(3)(4)432f f f f f f f ++++++，则Ｓ＝。

例

11.求证：

135212462n n -⨯⨯

⨯<。

例12.求证：11(11)(1)

构造对偶式

对偶式是一种重要的数学工具，被广泛应用于许多数学问题的解答中。其本质是将多个数学问题分解成一个等价的“对偶问题”，在

求解对偶问题的过程中，更容易把握全局性的有用信息，随后可以利用这些信息，更有效地找出原有问题的解答。

构造对偶式，也就是将原有复杂问题转换为一个对偶问题，这是一种基本的数学方法。换言之，就是把目标函数中的目标变量的函数值变成函数的极大或极小值，从而获得意义清楚、应用范围较广的独立极值问题。

以最优化问题为例，将原有问题转换为对偶问题的基本步骤如下：（1）构造拉格朗日函数：根据原有最优化问题，构造目标函数

以及约束函数；

（2）构建拉格朗日对偶函数：将原有最优化问题中的目标变量

变换成拉格朗日乘子，将原有目标函数拉格朗日乘子四则运算后，消除原有目标变量，重组拉格朗日乘子，得到拉格朗日对偶函数；

（3）处理拉格朗日对偶函数：将原有约束函数替换成拉格朗日

乘子，然后将拉格朗日对偶函数的拉格朗日乘子进行四则运算，消除拉格朗日乘子，得到新的拉格朗日对偶函数；

（4）解拉格朗日对偶函数：设定拉格朗日乘子的取值范围，然

后用方程的解法求解拉格朗日对偶函数；

（5）拆解拉格朗日函数：将原有目标函数中的拉格朗日乘子重

新带入，将拉格朗日乘子拆解，求得原有问题的最优解。

构造对偶式在当今数学领域中占有重要位置，它可以将复杂的约束优化问题转换成一个简单的求解的问题，从而减少解决复杂优化问题的困难，并有助于求解规模大、精度要求高以及约束多的优化问题。

由于构造对偶式把复杂优化问题分解成一系列相互连接的子问题，这些子问题本身都是相对容易求解的，因此构造对偶式有助于解决多变量函数最优化问题。

二项式定理中的“对偶式”

在三角函数的化简求值中，有下列一类数学问题，如果巧妙地构造互余型对偶式，可以使得问题的求解化繁为简，出奇制胜，意想不到。同理，在数学的其他分支（特别是二项式）中，如果巧妙的构造二项式类型的对偶式，也可以简便快捷解题过程，起到事半功倍之功效。下面通过有限的几个客观数学实例，抛砖引玉，以飨读者。

【三角对偶式回归】

（感悟）构造三角型对偶式（角度不变，名称互余）后，本题巧妙地回避了诱导公式与和差角公式，只是完成小学级别的加减乘除运算。

（感悟）构造三角型对偶式（角度不变，名称互余）后，本题巧妙地回避了积化和差与诱导公式

，只是进行简单的加减乘除运算和初步的诱导公式。

此题有多种解法（正余弦定理就是上上之策），今给出构造三角互余型对偶式的简洁解法如下：

（感悟）构造三角型对偶式（角度不变，名称互余）后，巧妙回避了和差化积公式，倍角公式，诱导公式，快捷的完成本题求解。

以上的“三角互余型对偶式”是三角函数求值中的常见方法，具体方法是：先构造出与要求解的问题A结构完成一致（角度相应不变化），但三角名称互余的对偶式B，然后通过A与B之间的内在关联（加减乘除）关系，求得A的三角函数值。

【二项对偶式探究】

下面是“二项型对偶式”在数学其他分支（二项式展开）中的具有灵活应用的亲身体会：

（感悟）本题是一个著名的不等式（是初级次幂均值不等式的推广），有许多不同的巧妙求解方法，但在此，我们创造性的给出“二项型对偶式”的巧妙解题方法。

（感悟）本题是一道传统典型的二项式计算题目，变量赋值是完成二项式一般系数和的常用方法，但是这里，却巧妙的通过构造二项

构造对偶式

构造对偶式是计算机科学课程中的一个重要内容，在许多领域中都有广泛的应用，比如编译器设计、算法设计、数据库技术、软件服务等等。

构造对偶式是一种表示算法的方法，它可以使算法改进实现，并发现算法中的问题。构造对偶式的目的是为了更好地理解算法，以便找到更有效率的实现方式。

构造对偶式的基本原理是，通过将一个算法的某些特性映射成另一个表达式，从而使算法的表示更加清晰、容易理解。不同的构造对偶式的表达式可以表达出算法的不同方面，比如算法的时间复杂度、空间复杂度等等，从而帮助开发者更好地理解算法的实现。

构造对偶式的一个重要应用是程序优化。构造对偶式可以用来发现某些算法中可以进行优化的部分，比如循环，算法中每一次操作的复杂度，以及算法中可以做一些改进的地方等等。通过构造对偶式，可以更好地分析和理解算法，从而找到有效的优化策略。

此外，构造对偶式还可以帮助开发者发现某些算法中可能存在的问题。例如，某个算法的空间复杂度可能会出现问题，而构造对偶式可以帮助发现这些问题，并给出一些有效的修复方案。

总之，构造对偶式是一种有效的表示算法的工具，它有助于我们更好地理解算法，并从中发现实现机会。构造对偶式在计算机科学课程中的应用非常广泛，是一个重要的内容。正确地使用构造对偶式对算法的改进和优化有着重要的意义，有助于计算机应用的发展与改进。

构造对偶式的八种途径

在数学解题过程中,合理地构造形式相似，具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和,差,积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果。

一．和差对偶

对于表达式()()u x v x ±，我们可构造表达式()()u x v x m 作为它的对偶关系式。例１若02

πθ<<

，且3sin 4cos 5θθ+=，求tan θ的值。

解析：构造对偶式：3sin 4cos y θθ-=

则3sin 4cos 5,3sin 4cos y θθθθ+=⎧⎨-=⎩得5sin 6

5cos 8y y θθ+⎧

=⎪⎪∴⎨

-⎪=

⎪⎩

再由2

2sin

cos 1θθ+=，得：7

3,tan 54

y θ=-∴=。

点评：这种构造对偶式的方法灵巧，富有创意，有助于培养学生的创新思维和创造能力。例２已知：,,,a b c d R ∈，且2222

1a b c d +++≤，

求证：4

()()()()()()6a b a c a d b c b d c d +++++++++++≤。解：则有：

又0N ≥，故6M ≤，即原不等式成立。

10=

a =，再由原方程联立可解得：

那么2

(1)(2)+得：2

242(100),(3)2

x a +=

+ 22

(1)(2)-得：1610x a =，即85

x a =，

代入（３）中得：2

2164242(100)225

x x +=+，

整理得：29425x =，解得：103

x =±。二．互倒对偶

互倒对偶是指针对式子的结构，通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式的方法。例４若,,(0,1)x y z ∈，求证：

构造“对偶式”,巧解数学问题-解析版

构造“对偶式”，巧解数学问题

在解答某些数学问题时，针对已知式M 的结构特征，构造一个或几个与之相关联的式子N ，使M 与N 经过相加、相减、相乘、相除等运算之后，所需解答的问题得到合理的转化和解决。这种解题方法称之为构造“对偶式”解题，是一种极其巧妙的解题方法。

通过构造对偶式可以巧妙地解决多项式求值、恒等式证明、求函数的最值、解方程(组以及求解析式等，当然难点在于如何构造解题所需要的“对偶式”。典型例题

1求证:2sin 4x +3sin 2x cos 2x +5cos 4x ≤5。

【分析】

本例是三角不等式的证明，运用一般的方法证明是困难的，若能运用对称的方法，构造对偶式，则比较容易证明

【解析】

【证明】

设A =2sin 4x +3sin 2x cos 2x +5cos 4x ，B =2cos 4x +3cos 2x sin 2x +5sin 4x ，

则 A +B =7sin 4x +cos 4x +6sin 2x cos 2x =7sin 2x +cos 2x 2-8sin 2x cos 2x

=7-2sin 22x =5+2cos 22x ，①

A -

B =3cos 4x -sin 4x =3cos2x ，②

①+②，得 2A =5+2cos 22x +3cos2x =5+2cos2x +34

2-916 ≤5+21+34 2-916

=10所以A ≤5，命题得证2已知α，

β是方程x 2-7x +8=0的两根，且α>β，不解方程，求2α+3β2的值。【分析】若要不解方程求2α+3β2的值, 因为2α+3β2是非对称式, 无法化为αβ及α+β的形式,所以需要构造2α+3β2相应的对偶式2β

高中数学对偶式

摘要：

1.高中数学对偶式的基本概念

2.对偶式的性质与应用

3.求解对偶式的方法与技巧

4.高中数学中对偶式的实际应用案例

5.总结与展望

正文：

一、高中数学对偶式的基本概念

高中数学中的对偶式，是指两个表达式，在变量、次数、项数相同的情况下，各项的系数互为相反数。简单来说，对偶式就是两个多项式，一个各项系数为正，另一个各项系数为负。它们在图形上表示的是同一条直线，只是方向相反。

二、对偶式的性质与应用

1.对偶式的性质

对偶式具有以下性质：

（1）若两个多项式是对偶式，则它们的和、差、积、商仍是对偶式。

（2）若两个多项式是对偶式，则它们的公共因子也是对偶式。

2.对偶式的应用

在高中数学中，对偶式主要应用于以下几个方面：

（1）求解方程：利用对偶式的性质，将原方程转化为易于求解的形式。

（2）化简表达式：通过对偶式，将复杂的表达式化简为简单的形式。

（3）证明题目：利用对偶式证明一些数学命题。

三、求解对偶式的方法与技巧

1.观察法：通过观察多项式的系数，判断是否为对偶式。

2.替换法：将多项式中的某一项替换为它的相反数，判断是否满足对偶式的条件。

3.因式分解法：对多项式进行因式分解，判断各项系数是否互为相反数。

四、高中数学中对偶式的实际应用案例

案例1：求解方程组

已知方程组：

x + y = 5

x - y = 1

将两个方程相加，得到：

2x = 6

解得x = 3，将x 带入其中一个方程，求得y = 2。

案例2：化简表达式

原式= (x + 1) / (x - 1) - (x - 1) / (x + 1)

将原式化简为：

巧构对偶式__妙解数学题

巧构对偶式!妙解数学题

"重庆市璧山中学!杨帆

对偶!在语文中是一种修辞手法!如岳飞"满江

红#中的诗句'三十功名尘与土!八千里路云和月(就

是对偶句!殊不知!数学中也有对偶!处处可见给人以

美感的对偶关系!有加便有减!有乘便有除!有几何就

有代数!诸如此类!无不体现出数学中的对偶关系!然

而!本文要讲的是另外一种对偶!一种隐藏在解题过

程中的对偶式!要求解题者为了便于解题有意识去发

现去构造的对偶式!这样的对偶式该如何构造呢+本

文举例说明!

!和差对偶水到渠成

和与差是一种对偶关系!如果我们遇到表达式

O)&*L P)&*!那么可尝试构造表达式O)&*=P)&*来

作为它的对偶关系式!利用这种关系来解题!可谓棋

高一招!

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)7"8*&*)7"C*&*)H"8*&*)H"C*&*)8"C*&!

于是D*E$+)7&*H&*8&*C&*!7!H!*!7!8!*

构造对偶式

构造对偶式，也称为构造对偶，是把对象与其表示形式、描述符或行为进行抽象的设计模式。它的实质是将对象抽象成一套对象-概念-实现的三元组。它能帮助解决给定复杂应用程序的特定结构问题，从而提高应用程序的质量和可维护性。

构造对偶式的核心思想是将复杂的对象抽象为一个对象-概念-

实现的三元组，每一个元素可以被独立地分析和设计，而不会影响其他元素。这样就能够实现最小内存消耗和最高效率的构建，在构建过程中可以更有灵活性和稳定性，以达到最高性能。

构造对偶式的三元组是“对象”、“概念”和“实现”。“对象”指的是耦合的对象，它是一个对象的抽象；“概念”指的是耦合的概念，它是一系列抽象概念；“实现”指的是耦合的实现，它是具体的实现过程。

构造对偶式可以极大地提高程序的抽象能力，它被广泛应用在数据库，计算机网络，操作系统，图形处理和仿真等领域。构造对偶式同时也可以用在物理数学中，可以通过三元组的关系，在实现过程中调整物理参数，从而实现想要的结果。

此外，构造对偶式还可以用于处理混合架构系统，比如使用多种编程语言构建一个应用程序，可以使用构造对偶式将不同的部分抽象出来，从而实现良好的模块化，大大减少了开发的复杂性，提高了程序的可读性和可维护性，缩短了程序的开发时间。

总之，构造对偶式是一种非常有效的程序设计模式。它可以极大

地改善程序的可维护性，并且有助于避免一些常见的代码错误。构造对偶式实际上是一种抽象和耦合的设计模式，可以用来组织和把握复杂的系统中的复杂对象。正是由于其复杂性和可维护性，构造对偶式得到了广泛的应用，成为当今程序设计的重要工具之一。

三角中对偶式的常规解法

何为对偶式：在三角学上，如果把某个三角式中的角的位置转化为同角互余的弦值，那么得到的式子叫原式的对偶式。这两个式子互为对偶式。在化简求值或证明一些三角问题时。如果能灵活的运用对偶的数学思想，合理的构造出对偶式，并对原式和对偶式进行和、差或积的计算，则可以使问题得到巧妙的解决。

例1化简cos72°cos36°

方法一：

原式=2sin36°cos36°cos72°2sin36°=2sin72°cos72°4sin36°

=sin144°4sin36°=14

方法二：

令x=cos72°cos36°

y=sin72°cos36°xy

=sin36°cos36°sin72°cos72°

xy=14sin72°sin144°把y=sin72°sin36°

Qxsin72°sin36°=14sin72°sin144°x=14

∴cos72°cos36°=14

例2：求cosπ15cos2π15cos3π15cos4π15cos5π15cos6π15cos7π15的值。

方法一：cos5π15=cosπ3=12

cosπ15cos2π15cos4π15cos7π15

=-cosπ15cos2π15cos4π15cos8π15

=-124sinπ152sinπ15cosπ15cos2π15cos4π15cos8π15

=-sin16π1524sinπ15=124

cos3π15cos6π15=cosπ5cos2π5

=22sinπ5cosπ5cos2π522sinπ5=sin4π524sinπ5=122

∴原式＝124·12·122＝1128

巧造对偶式妙解三角题

对某些三角问题，解法固然很多，但若能根据已知式构造出一个与其成对偶关系的式子，再联立变形，则可快捷获解。

例1 求cos 12°cos 24°cos 48°cos 96°的值。

解：设原式= cos 12°cos 24°cos 48°cos 96°= A ，

其对偶式为：sin 12°sin 24°sin 48°sin 96° = B ，

则A ×B = cos 12°cos 24°cos 48°cos 96°sin 12°sin 24°sin 48°sin 96° =

sin 24°·

sin 48°·12

sin 96°·12

sin 192°

= -116sin 12°sin 24°sin 48°sin 96° = -

B ，

∴原式= A = -

16。

例2 求5

4cos 5

2cos

ππ+的值。

解：设原式=54cos 52cos

ππ+ = A ，其对偶式为：5

4cos

2cos ππ-= B ，

有A ×B =5

4cos 5

2cos

ππ-=）（）（5

8cos 12154cos

121

+-+ =B 2

2cos

4cos

=-）（ππ

。，2

0-=∴≠A B

例3 求sin 220°+cos 250°+ sin 20°cos 50°的值。（95年高考题）

解：设原式= sin 220°+cos 250°+ sin 20°cos 50° = A ，

其对偶式为：cos 220°+sin 250°+ cos 20°sin 50° = B ，

A +

B =(cos 2200+sin 2200)+(cos 2500+sin 2500)+(sin 200cos 500+cos 200sin 500) =2+sin 700

构造对偶式

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