冲激偶性质证明
冲激信号δ(t)的三种定义与有关性质的简单讨论
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞··，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。
通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值图1-2均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。
有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→)(lim )(kt Sa kt k πδ （1-2）对式（1-2）作如下说明：Sa(t)是抽样信号，表达式为ttt a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡； 并且是一个偶函数，当t=±π,±2π, ·，sint=0，从而Sa(t)=0，是其(a)τ逐渐减小的脉冲函数(b)冲激信号图1-1图 1-3零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。
冲激函数抽样性质证明
冲激函数抽样性质证明冲激函数（impulse function）是一种特殊的函数，通常用符号δ(t)表示。
它在t = 0时的值为无穷大，其他时刻的值都为零。
冲激函数在信号和系统理论中有着重要的应用，特别是在连续时间信号中的抽样过程中。
冲激函数的抽样性质可以通过对其进行合理的数学表示和推导来进行证明。
下面我们将介绍一种常见的方法，拉普拉斯变换证明冲激函数的抽样性质。
首先，我们定义一个信号x(t)和它的拉普拉斯变换X(s)：x(t) = ∫[0,∞) X(s) e^(st) ds假设x(t)是一个冲击响应函数，即x(t)在t=0时取值为无穷大，其他时刻取值为零。
那么我们可以将x(t)表示为冲激函数δ(t)的线性组合：x(t)=a*δ(t)其中，a是一个常数。
我们希望证明这个冲激函数的抽样性质。
现在我们将x(t)的拉普拉斯变换带入到等式中：X(s) = ∫[0,∞) (a * δ(t)) e^(st) dt由于δ(t)在t=0时的值为无穷大，其他时刻的值都为零，所以上式可以简化为：X(s) = a * ∫[0,∞) δ(t) e^(st) dt为了进一步简化计算，我们可以利用一个性质：对于任意的函数f(t)，有：∫[0,∞) f(t) δ(t) dt = f(0)将这个性质应用到上述等式中，我们可以得到：X(s)=a*e^(s*0)=a所以，我们得到了x(t)的拉普拉斯变换X(s)。
从这个等式可以看出，x(t)的拉普拉斯变换是一个常数，即与s无关。
根据拉普拉斯反变换的性质，我们知道a的拉普拉斯反变换是一个冲激函数δ(t)的线性组合，即：a = ∫[-∞,∞) X(s) e^(-st) ds将X(s)代入到上式中，我们可以得到：a = ∫[-∞,∞) a e^(-st) ds进行积分运算，可以得到：a = a * ∫[-∞,∞) e^(-st) ds积分运算得到的结果是一个常数，所以可以在等式两侧消去共同的常数a：1 = ∫[-∞,∞) e^(-st) ds这个等式的左侧是一个常数，不依赖于t。
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。
通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在图1-2箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。
有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→)(lim )(kt Sa kt k πδ （1-2）对式（1-2）作如下说明：Θ Sa(t)是抽样信号，表达式为ttt a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡；并且是一个偶函数，当t=±π,±2π, ···，sint=0，从而Sa(t)=0，是其零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。
冲激函数抽样性质证明
0
0
即 ( t ) f ( t ) d t f ( 0 )
冲激函数奇偶性证明
•由抽样性证明奇偶性。
•由定义1，矩形脉冲本身是偶函数，故极限也是偶函数。 证明奇偶性时，主要考察此函数的作用，即和其他函数 共同作用的结果。
( t ) f ( t ) d t f ( 0 )
（6）卷积性质 f t t f t
(t)
(t t0 )
时移的冲激函数
(1 )
(1 )
t
o
o
t0
t
若面积为k，则强度为k。 三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数 取0极限，都可以认为是冲激函数。
冲激函数的性质
t 函 为 了 信 号 分 析 的 需 要 ， 人 们 构 造 了 数 ， 它 属 于 广 t 而 t 可 义 函 数 。 就 时 间 言 ， 以 当 作 时 域 连 续 信 号 处
( )f( ) d( ) ( t)f(t)d t
( ) f ( ) d f ( 0 )
t
又因为 ( t ) 只在 t 0 有值 ，故 ( t ) ( t )
K
O
t
二．单位阶跃信号
1. 定义
0 u ( t) 1
u(t) 1 t 0 1 0 点无定义或 t 0 2 O
2. 有延迟的单位阶跃信号 0 t t 0 u ( t t ) , t 0 0 0 1 t t 0
0 u ( t t ) 0 1
t
冲激函数的特解
冲激函数的特解冲激函数是一种理想化的数学函数，通常用符号δ(t)表示。
它在数学和工程领域中有着重要的应用，特别是在线性系统的特解求解中。
本文将围绕冲激函数的特解展开详细的讨论，包括定义、性质、应用等方面。
下面将详细介绍冲激函数及其特解。
一、冲激函数的定义和性质冲激函数δ(t)的定义如下：δ(t) = 0, t ≠ 0∫[a, b]δ(t)dt = 1, 如果a < 0 < bδ(t)在t = 0处的值为无穷大，但是在其他位置上它的值都为零。
冲激函数是一个奇函数，即δ(t) = -δ(-t)。
这意味着冲激函数在关于原点的对称性。
冲激函数的多种性质使其在实际应用中具有重要作用。
下面列举了几个冲激函数的重要性质：1. 单位冲激函数：单位冲激函数，记作δ(t - t0)，表示在t = t0时的冲激信号。
它在t = t0的值为无穷大，其他位置的值都为零。
单位冲激函数可以用于表示系统的初始条件或者输入信号的特定时刻。
2. 单位面积冲激函数：单位面积冲激函数即∫[−∞,+∞]δ(t−t0)dt=1，表示在t = t0时的冲激信号，且在t = t0时的幅度为1。
单位面积冲激函数在信号处理和系统特解求解中应用广泛。
3. 平移性质：冲激函数在时间轴上的平移不会改变其特性。
例如，δ(t - t0)表示在t = t0时的冲激信号，而δ(t - t1)表示在t =t1时的冲激信号，其中t1 ≠ t0。
这两个冲激函数具有相同的特性，只是位置不同。
4. 放大性质：冲激函数可以进行缩放和放大操作。
例如，若对单位冲激函数δ(t)乘以一个常数A，则得到幅度为A的冲激信号。
以上是冲激函数的一些基本定义和性质，这些性质使得冲激函数成为一种非常实用的数学工具。
二、冲激函数的特解求解冲激函数在线性系统中的特解求解中起着重要作用。
在线性时不变系统中，线性微分方程的简化方法之一就是利用冲激函数进行特解求解。
特解是微分方程的一个解，可以满足特定的初始条件。
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。
通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在图1-2箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。
有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→)(lim )(kt Sa kt k πδ （1-2）对式（1-2）作如下说明：Θ Sa(t)是抽样信号，表达式为ttt a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡；并且是一个偶函数，当t=±π,±2π···，sint=0，从而Sa(t)=0，是其零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。
阶跃信号和冲激信号
t0 O
t
宗量>0 函数值为1 宗量<0 函数值为0
3．用单位阶跃信号描述其他信号
门函数：也称窗函数
ftutut
2 2
其他函数只要用门函数处理(乘以 门函数)，就只剩下门内的部分。
符号函数：(Signum)
f t
1
Gτ t
O
2
t
2
sgn t
sgtn )( 11
t0 t0
O
t
st ) g u ( t ) n u ( t ) 2 ( u ( t ) 1 u(t)1[sgt)n 1(] 2
一．单位斜变信号
1． 定义
0 t0 R(t)t t0
2．有延迟的单位斜变信号
0 R (tt0) tt0
tt0 tt0
由宗量t -t0=0 可知起始点为 t 0 3．三角形脉冲
f(t) K R(t)
0
0t
其它
R(t) 1
O1
t
R(t t0 ) 1
O t0 t0 1 t
f (t) K
O
t
二．单位阶跃信号
四.总结： R(t)，u(t)， (t) 之间的关系R(t )来自u(t )1 1
t
O1
O
R(t) 求 ↓↑积
u(t) 导 ↓↑分
(t)
(t)
(1)
t
t
O
(-<t< )
冲激函数的性质总结
（1）抽样性
f(t)(t) f(0 )(t)
（5）冲激偶
( t) (t)
f (t)(t)dtf(0)
(t)dt0
（2）奇偶性
(t)(t)
t (t)dt(t)
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。
通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ1，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）冲击信号的波形就如1-1(b)所示.δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击图1-2强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。
有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∞→)(lim )(kt Sa kt k πδ （1-2）对式（1-2）作如下说明：Sa(t)是抽样信号，表达式为ttt a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡；并且是一个偶函数，当t=±π,±2π···，sint=0，从而Sa(t)=0，是其零点． 把原点两侧两个第一个零点之间的曲线部分称为“主瓣”， 其余的衰减部分称为“旁瓣”。
冲激函数抽样性质证明共21页文档
2 2
其他函数只要用门函数处理(乘以 门函数)，就只剩下门内的部分。
f t
1
Gτ t
O
2
t
2
符号函数：(Signum)
sgn t
1
t0
sgnt)(1 t0
O
st ) g u ( n t ) u ( ( t ) 2 u ( t ) 1 jh u(t)12[sgtn)(1] jh
f(t)(t)f(0)(t)
(t)(t)
f(t)(t)dtf(0)
(t)dt 0
（2）奇偶性
(t)(t)
t (t)dt(t)
（3）比例性
f(t)(t)dtf(0)
(at) 1 t
a
f ( t)( t) f ( 0 )( t) f ( 0 )( t)
（4）微积分性质
（6）卷积性质
理 ， 因 为 它 符 合 时 域 连 续 信 号 运 算 的 某 些 规 则 。 但 由 于
t是 一 个 广 义 函 数 ， 它 有 一 些 特 殊 的 性 质 。
1．抽样性 2．奇偶性 3．冲激偶 4．标度变换
jh
jh
X
1. 抽样性(筛选性)
如果f(t)在t = 0处连续，且处处有界，则有
(t)f(t)f(0 )(t)
时移的冲激函数
(1 )
o
t
o
t0
t
若面积为k，则强度为k。
三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数
取0极限，都可以认为是jh冲激函数。
jh
X
冲激函数的性质
第 13
页
为 了 信 号 分 析 的 需 要 ， 人 们 构 造 了 t 函 数 ， 它 属 于 广 义 函 数 。 就 时 间 t 而 言 ， t 可 以 当 作 时 域 连 续 信 号 处
1-3冲激信号性质重点
4.应用 (t)和 (t)的抽样性计算
4 t2 (1 t)dt 4
et sin t (t 1)dt
0
2
X
第
复合函数形式的冲激信号（了解）
8
页
形式 : f (t)
设f (t) 0有n个互不相等的实根ti (i 1,2, n)
则:
n
f (t)
f (t) (t)d t f (0)
(t)d t 0
（2）奇偶性 (t) (t)
t
(t)d t (t)
（3）尺度变换
(at) 1 t
f (t) (t)d t f (0)
a （4）微积分性质
ti 1
f
1 (ti )
(t
ti )
说明 : f (t)表明在位于各个ti处,
有强度为 1 的n个冲激信号组成的序列 f (ti )
例题 计算： (9t 2 1)
(4t 2 1)dt
X
第
总结： r(t), (t), (t), (t)之间的关系
9
页
j t
3) f (t) e 2 (t)
4) f (t) [cos(2t )]2
3
5)
f
(t )
cos t sin t
t 0 t 0
2 : 判断信号是功率信号还是能量信号?因果性如何?
1) f (t) 5cos8t
2) f (t) 8e2t (t)
3
2 1
2 (t) sin 2t dt
t
－1 0
冲激函数及其性质
可以使用`title`和`xlabel`等函数为图形添加标题和坐标轴标签，以便更好地描述图 形。
计算卷积结果并展示图形
在MATLAB中，可以使用`conv` 函数计算两个序列的卷积结果。
将冲激信号与另一个信号进行卷 积运算，可以得到卷积后的结果
2023
PART 02
冲激函数性质分析
REPORTING
筛选性质
筛选性质定义
01
冲激函数具有筛选性质，即与任何函数相乘的结果都等于该函
数在冲激点的取值。
数学表达式
02
对于任意函数f(t)，有f(t)*δ(t) = f(0)*δ(t)。
应用举例
03
在信号处理中，冲激函数可用于从复杂信号中提取特定时刻的
2023
冲激函数及其性质
https://
REPORTING
2023
目录
• 冲激函数基本概念 • 冲激函数性质分析 • 与其他函数关系探讨 • 在信号处理中应用举例 • MATLAB仿真实现冲激函数 • 总结回顾与拓展延伸
2023
PART 01
冲激函数基本概念
REPORTING
连续信号处理
在连续信号处理中，冲激函数可以表示为连续函 数的形式，通过求解冲激响应可以得到系统的输 出信号。
频域分析辅助工具
傅里叶变换
冲激函数在频域分析中具有重要的地位。通过傅里叶变换， 可以将时域信号转换为频域信号，进而分析信号的频谱特 性。
频域滤波器设计
利用冲激函数的频域特性，可以设计各种频域滤波器，实 现对信号频率成分的选择性过滤和处理。
线性叠加原理
单位冲激信号是偶函数
单位冲激信号是偶函数
单位冲激信号是一种特殊的函数，它的输入和输出都是完全一致的，且唯一的特点是它的一半周期是正弦函数，另一半周期是余弦函数。
它是一种非常有用的信号，它可以用来建
立复杂的信号，并可以被应用到离散系统中去。
单位冲激信号的由来和发展，始于19世纪50年代，当时为了表示可以改变频率的波形，科学家们想出了这种简单的函数，这种函数也就是现在的单位冲激信号。
单位冲激信号的
形式可以以多种不同的方式来表达，比如余弦函数和正弦函数。
单位冲激信号有许多实际应用，比如用它来建立脉冲宽度调制相位移动或正弦信号，用它来建立示波器上的波形和频率，或者用它来建立多尺度脉冲宽度调制甚至滤波器等等。
单位冲激信号也可以用于对离散时滞系统进行信号分析。
单位冲激信号的脉冲宽度是不变的，因此可以更容易地分析系统的响应特性。
在电路系统中，单位冲激信号还可以用来测
量电路中电压和电流的不同参数值。
单位冲激信号也可以用于电脑编程。
在某些编程语言中，单位冲激信号可以用来表示定性输入和输出，这样就可以定义系统的输入输出关系。
总之，单位冲激信号在计算机和电子领域都具有重要的技术意义，它不仅可以用来表达复杂的信号，还能用在离散信号处理系统中。
Z1.10 冲激函数的尺度变化
(3) (t3 5) ( t )dt
2
t
(4) (2 x) (x)dx
第一章 信号与系统概述
4
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
1.2 基本信号
解： (1)
sin(2t) (t)dt
0
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
1.2 基本信号
第一章 信号与系统概述
Z1.10 冲激函数的尺度变化
1. δ(at) 的定义
（n at）
|
1 a
|
1 an
n
(t
)
特例： 证明：
(at) 1 (t)
|a|
若a 0,则a a,令x at,则上式可写为
掌握冲激函数和冲激偶函数的奇偶性12基本信号第一章信号与系统概述xidianuniversityicie
1.2 基本信号
知识点Z1.10
第一章 信号与系统概述
冲激函数的尺度变化
主要内容：
1. δ(at)的定义 2.冲激函数和冲激偶函数的奇偶性
基本要求：
1.掌握冲激函数尺度和时移的重要公式 2.掌握冲激函数和冲激偶函数的奇偶性
(t 2)2 '(t) d t
d [(t dt
2)2 ]
t0
2(t
2)
t0
4
2
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
1.2 基本信号 例2 已知 f(t)，画出g(t) = f ’(t)和 g(2t)。