冲激偶性质证明
【最新精选】冲激偶函数
三、单位冲激偶信号
冲激函数)(t δ的导数定义为（单位）冲激偶函数，用)(t δ'或)()1(t δ表示。
t t t d )
(d )(δδ=' （1.3-16）
式（1.3-16）可从极限的角度理解，)(ˆlim )(0t t δδτ'='→，由图1.3-6，)(ˆ
t δ的导数)(ˆt δ'如图1.3-11(a)所示，用公式表示为
)2(1)2(1)(ˆτδττδτδ--+='t t t
当0→τ时，)(ˆt δ'由两个在时间上无限靠近，而强度趋于无限大的冲激构成。
故称它为冲激偶函数，用图1.3-11(b)表示。
（a ） （b ）
图1.3-11 冲激偶函数
设)(t x 为常规函数，其导数)(t x '在0t t =处连续，则积分
()
()t t t t x t t t t x t t t x t t t x t t t t x d )()(d )()()(d )(d )()(00000-'-=-'-
-=-=-'⎰⎰⎰⎰∞
∞-∞∞-∞∞-∞
∞-∞
∞-δδδδδ
利用冲激函数的抽样性质，从上式得
)(d )()(00t x t t t t x '-=-'⎰∞
∞-δ
（1.3-17）
该式称为)(t δ'的抽样性质。
采用对)()(t t x δ分步求导的方法，或利用式（1.3-17），还可得
)()0()()0()()(t x t x t t x δδδ'-'=' （1.3-18）
注意)()0()()(t x t t x δδ'≠' 。再来考虑)(t δ'的对称性。
t ττt -==-'τδδd )
(d )(
冲激信号δ(t)的三种定义与有关性质的简单讨论
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质
的简单讨论
信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224
有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞··，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.
冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：
定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ
1
，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）
冲击信号的波形就如1-1(b)所示.
δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值
图
1-2
均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。有
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=∞
→)(lim )(kt Sa k
t k πδ （1-2）
对式（1-2）作如下说明：
Sa(t)是抽样信号，表达式为
t
t
t a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡； 并且是一个偶函数，当t=±π,±2π, ·，sint=0，从而Sa(t)=0，是其
冲激函数抽样性质证明
t
u( t t 0 )
1
O
1
t t 0 , t 0 0 t t 0
0
t0 u(t t0 )
t
由宗量 t O t t 0 可 t 知 t , 即 时 0 0 ，函数有断点，跳变点 间为 t0 时 宗量>0 函数值为1 宗量<0 函数值为0
t
3．用单位阶跃信号描述其他信号
冲激函数奇偶性证明
•由抽样性证明奇偶性。
•由定义1，矩形脉冲本身是偶函数，故极限也是偶函数。 证明奇偶性时，主要考察此函数的作用，即和其他函数 共同作用的结果。
( t ) f ( t ) d t f ( 0 )
( )f( ) d( ) ( t)f(t)d t
t0
f (t)
t0 1 t
K
O
t
二．单位阶跃信号
1. 定义
0 u ( t) 1
u(t) 1 t 0 1 0 点无定义或 t 0 2 O
2. 有延迟的单位阶跃信号 0 t t 0 u ( t t ) , t 0 0 0 1 t t 0
0 u ( t t ) 0 1
( t) d t ( t) d t
0
0
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性
质的简单讨论
信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224
有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.
冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：
定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ
1
，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）
冲击信号的波形就如1-1(b)所示.
δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在
图
1-2
箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。有
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡
=
∞
→
)(lim )(kt Sa k
t k πδ （1-2）
对式（1-2）作如下说明：
Θ Sa(t)是抽样信号，表达式为
t
t
t a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡；
冲激函数抽样性质证明
冲激函数抽样性质证明
冲激函数（impulse function）是一种特殊的函数，通常用符号
δ(t)表示。它在t = 0时的值为无穷大，其他时刻的值都为零。冲激函
数在信号和系统理论中有着重要的应用，特别是在连续时间信号中的抽样
过程中。
冲激函数的抽样性质可以通过对其进行合理的数学表示和推导来进行
证明。下面我们将介绍一种常见的方法，拉普拉斯变换证明冲激函数的抽
样性质。
首先，我们定义一个信号x(t)和它的拉普拉斯变换X(s)：
x(t) = ∫[0,∞) X(s) e^(st) ds
假设x(t)是一个冲击响应函数，即x(t)在t=0时取值为无穷大，其
他时刻取值为零。那么我们可以将x(t)表示为冲激函数δ(t)的线性组合：x(t)=a*δ(t)
其中，a是一个常数。我们希望证明这个冲激函数的抽样性质。
现在我们将x(t)的拉普拉斯变换带入到等式中：
X(s) = ∫[0,∞) (a * δ(t)) e^(st) dt
由于δ(t)在t=0时的值为无穷大，其他时刻的值都为零，所以上式
可以简化为：
X(s) = a * ∫[0,∞) δ(t) e^(st) dt
为了进一步简化计算，我们可以利用一个性质：对于任意的函数
f(t)，有：
∫[0,∞) f(t) δ(t) dt = f(0)
将这个性质应用到上述等式中，我们可以得到：
X(s)=a*e^(s*0)=a
所以，我们得到了x(t)的拉普拉斯变换X(s)。从这个等式可以看出，x(t)的拉普拉斯变换是一个常数，即与s无关。
根据拉普拉斯反变换的性质，我们知道a的拉普拉斯反变换是一个冲
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性
质的简单讨论
信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224
有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.
冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：
定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ
1
，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）
冲击信号的波形就如1-1(b)所示.
δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在
图
1-2
箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。有
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=∞
→)(lim )(kt Sa k
t k πδ （1-2）
对式（1-2）作如下说明：
Θ Sa(t)是抽样信号，表达式为
t
t
t a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡；
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性
质的简单讨论
信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224
有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.
冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：
定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ
1
，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）
冲击信号的波形就如1-1(b)所示.
δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击
图
1-2
强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。有
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=∞
→)(lim )(kt Sa k
t k πδ （1-2）
对式（1-2）作如下说明：
Sa(t)是抽样信号，表达式为
t
t
t a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡；
冲激偶性质证明
冲激偶性质证明
利用分部积分运算
∫
δ ′ (t ) f (t )dt −∞
−∞
+∞
∞ ∞ = f (t )δ (t ) − ∫ f ′ (t )δ (t )dt − ∞ −∞ = − f ′ (0)
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冲激函数抽样性质证明共21页文档
f(t)(t)f(0)(t)
(t)(t)
f(t)(t)dtf(0)
(t)dt 0
（2）奇偶性
(t)(t)
t (t)dt(t)
（3）比例性
f(t)(t)dtf(0)
(at) 1 t
a
f ( t)( t) f ( 0 )( t) f ( 0 )( t)
（4）微积分性质
（6）卷积性质
0
0
即(t)f(t)dtf(0)
jh
jh
X
第 3
页
jh
jh
X
北京邮电大学电子工程学院 2003.1
第 5
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第 6
页
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二．单位阶跃信号
第 7
页
1. 定义
u(t)
u(t)01
t0
0点
无
定1义
1
或
t0
2
O
t
2. 有延迟的单位阶跃信号
u(t t0 )
0 u(tt0) 1
p(t )
1
0
O
2
2
面积1；脉宽↓； 脉冲高度↑；
则窄脉冲集中于 t=0 处。
★面积为1
三个特点： ★宽度为0
★
幅 度 无 0
穷 jh jh
冲激函数及其性质
在连续信号处理中，冲激函数可以表示为连续函 数的形式，通过求解冲激响应可以得到系统的输 出信号。
wk.baidu.com
频域分析辅助工具
傅里叶变换
冲激函数在频域分析中具有重要的地位。通过傅里叶变换， 可以将时域信号转换为频域信号，进而分析信号的频谱特 性。
频域滤波器设计
利用冲激函数的频域特性，可以设计各种频域滤波器，实 现对信号频率成分的选择性过滤和处理。
2023
冲激函数及其性质
https://wenku.baidu.com
REPORTING
2023
目录
• 冲激函数基本概念 • 冲激函数性质分析 • 与其他函数关系探讨 • 在信号处理中应用举例 • MATLAB仿真实现冲激函数 • 总结回顾与拓展延伸
2023
PART 01
冲激函数基本概念
REPORTING
定义与表达式
定义
冲激函数，又称狄拉克δ函数，是一种特殊的函数，描述了在某一瞬间发生的 瞬间作用或冲击现象。
表达式
冲激函数通常表示为δ(t)，在t=0时取值为无穷大，而在t≠0时取值为0。其积分 为1，即∫δ(t)dt=1。
图形表示与特点
图形表示
冲激函数的图形表现为在t=0处的一个尖锐的脉冲，高度为无穷大，宽度为无穷 小，面积为1。
序列。
使用`plot`函数将卷积结果绘制 成波形图，可以观察卷积后信号
冲激偶积分证明
利用分部积分运算
( t ) f ( t )dt
f ( t ) ( t )
f ( t ) ( t )dt
f ( 0)
■Fra Baidu bibliotek
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(完整版)冲激偶函数
三、单位冲激偶信号
冲激函数)(t δ的导数定义为（单位）冲激偶函数，用)(t δ'或)()1(t δ表示。
t t t d )
(d )(δδ=
' （1.3-16）
式（1.3-16）可从极限的角度理解，)(ˆlim )(0t t δδτ'='→，由图1.3-6，)(ˆ
t δ的导数)(ˆt δ'如图1.3-11(a)所示，用公式表示为
)2(1)2(1)(ˆτδττδτδ--+='t t t
当0→τ时，)(ˆ
t δ'由两个在时间上无限靠近，而强度趋于无限大的冲激构成。故称它为冲激偶函数，用图1.3-11(b)表示。
（a ） （b ）
图1.3-11 冲激偶函数
设)(t x 为常规函数，其导数)(t x '在0t t =处连续，则积分
()
()t t t t x t t t t x t t t x t t t x t t t t x d )()(d )()()(d )(d )()(00000-'-=-'-
-=-=-'⎰⎰⎰⎰∞
∞-∞∞-∞∞-∞
∞-∞
∞-δδδδδ
利用冲激函数的抽样性质，从上式得
)(d )()(00t x t t t t x '-=-'⎰∞
∞-δ
（1.3-17）
该式称为)(t δ'的抽样性质。
采用对)()(t t x δ分步求导的方法，或利用式（1.3-17），还可得
)()0()()0()()(t x t x t t x δδδ'-'=' （1.3-18）
注意)()0()()(t x t t x δδ'≠' 。再来考虑)(t δ'的对称性。
t ττt -==-'τδδd )
(d )(
冲激信号δ(t)的三种定义与有关性质的简单讨论
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质
的简单讨论
信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224
有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞··，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.
冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：
定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ
1
，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）
冲击信号的波形就如1-1(b)所示.
δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值
图
1-2
均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。有
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=∞
→)(lim )(kt Sa k
t k πδ （1-2）
对式（1-2）作如下说明：
Sa(t)是抽样信号，表达式为
t
t
t a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡； 并且是一个偶函数，当t=±π,±2π, ·，sint=0，从而Sa(t)=0，是其
2020年冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论
作者：非成败
作品编号：92032155GZ5702241547853215475102 时间：2020.12.13
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性
质的简单讨论
信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224
有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.
冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：
定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ
1
，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）
冲击信号的波形就如1-1(b)所示.
δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A则表示一个冲击强度为E倍单位值得函数δ，描述为A=Eδ(t)，图形表示时，在箭头旁边注上E。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。有
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
=
∞
→
)
(
lim
)(kt
Sa
k
t
k
π
δ（1-2）
对式（1-2）作如下说明：
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性质的简单讨论解析
冲激信号δ(t)的三种定义与相关性
质的简单讨论
信息科学与工程学院1132班 樊列龙 学号：0909113224
有一些物理现象，如理学中的爆炸、冲击、碰撞······，电学中的放电、闪电雷击等，它们都有共同特点： ① 持续时间短. ② 取值极大.
冲击函数（或冲击信号）就是对这些物理现象的科学抽象与描述。通常用δ(t)表示冲激信号，它是一个具有有限面积的窄而高的尖峰信号，它也可以被称作δ函数或狄拉克（Dirac ）函数，在信号领域中占有非常重要的地位. 由于冲激函数的特殊性，现给出其两种不严格的定义如下：
定义一：用脉冲函数极限定义冲激信号. 如图1-1(a)的矩形脉冲，宽为τ，高为τ
1
，其面积为A.当A=1称之为单位冲激信号. 现保持脉冲面积不变，逐渐减小τ，则脉冲的幅度逐渐增大，当0→τ时，矩形脉冲的极限成为单位冲激函数，即：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=→221lim )(0τετετδτt t t （1-1）
冲击信号的波形就如1-1(b)所示.
δ(t)只表示在t=0点有“冲激”，在t=0点以外的各处函数值均为0，其冲激强度（冲激面积）为1，若为A 则表示一个冲击强度为E 倍单位值得函数δ，描述为A=E δ(t)，图形表示时，在
箭头旁边注上E 。
也可以用抽样函数的极限来定义δ(t)。有
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=∞
→)(lim )(kt Sa k
t k πδ （1-2）
对式（1-2）作如下说明：
Sa(t)是抽样信号，表达式为
t
t
t a sin )(S = （1-3） 其波形如图1-2所示，Sa(t)∝1/t, 1/t 随t 的增大而减小，sint 是周 期振荡的，因而Sa(t)呈衰减振荡；