高等教育出版社《高等数学》同济第六版下册第十二章PPTD12_2数项级数及审敛法
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高等数学课件--D12_1常数项级数
1 2
1 2
1 2
2
2
1
1 2
3
1 2
n 1
2n 1 2
n 1
1 2
11
n 1
2 1
1 2
2n 1 2
n 1
1 2
1
1 2
n 1
故 lim Sn 3
n
(3)
n 1
下页
2n 1 2
n
这说明原级数收敛, 其和为 3 .
2012-10-12
作业
P253 1(1), (3) ； 2(2), (3), (4)； 3(2)； 4(1), (3), (5);
2012-10-12 同济版高等数学课件
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*
5(3), (4)
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发散.
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三、级数收敛的必要条件
设收敛级数 证: un S n S n 1
n
则必有
lim u n lim S n lim S n 1 S S 0
n n
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 . 例如, 其一般项为
不趋于0,因此这个级数发散.
引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.
高数同济第六版下高等数学2第十二章答案[1]
![高数同济第六版下高等数学2第十二章答案[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/e4f5b6c633d4b14e85246894.png)
习题12-1 常数项级数的概念和性质
1.根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性： （1）
1111133557(21)(21)
n n +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+.
（2）
1
n ∞
=∑.
解 一般项n u ==
-
=
从而前n 项的部分和
12n n s u u u =+++
1
=
=+
lim lim 11
n n n s →∞→∞
∴==故原级数收敛
2.判定下列级数的收敛性：
（1）23238888(1)9999
n
n n -+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅.
（2）
13++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅.
（3）223311111111()(
)()()23232323n n
++++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅
.
（4）
()
1
31n
n
n n n ∞
=+∑
.
解 级数的一般项()
31n
n n
n u n =
+
13
lim 3lim
011n n
n n u e
n →∞
→∞
==
≠⎛⎫+ ⎪⎝⎭
，∴原级数发散 （5）
111n
n n ∞
=⎛⎫ ⎪⎝⎭
∑. 解 1
l n 1l i m 01l i m l i m 1
0,n n n
n
n
n n e e e n →∞
--
→∞→∞
⎛⎫
====≠∴
⎪⎝⎭
111n
n n ∞
=⎛⎫
⎪⎝⎭
∑发散. 习题12-2 常数项级数的审敛法
1.用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性： （1）
1112536(1)(4)
n n ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅++
.
（2）2
3
sin
sin
sin
sin
2
2
2
2
n
π
π
π
π
+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅
.
（3）
1
1
1n
n a
∞
=+∑(0)a >
.
2.用比值审敛法判定下列级数的收敛性：
高等数学同济第六版教材pdf
高等数学同济第六版教材pdf 高等数学是大学理工科专业中必修的重要课程之一，对于培养学生
的逻辑思维和分析问题的能力具有重要意义。而同济大学的《高等数学》第六版教材在教学界具有很高的声誉和影响力。对于学习这门课
程的学生来说，拥有一本全面且详细的教材十分重要。在这里，我将
介绍并推荐同济第六版教材的PDF版本，帮助大家更好地学习高等数学。
第一部分：教材简介
同济大学的《高等数学》第六版教材由同济大学出版社出版，作者
为王立平等。这本教材共分为上下两册，内容涵盖了高等数学的基础
知识以及一些较为深入的内容。教材的编写风格通俗易懂，逻辑清晰，注重理论与实践相结合。并且，该教材还融入了一些生活中的实际问题，帮助学生将数学理论应用于实际情境中。
第二部分：教材内容概览
《高等数学》第六版教材共包含十章内容，分别是函数与极限、微
分学、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分与柯西公式、
定积分应用、微分方程、无穷级数、向量代数与空间解析几何、多元
函数微分学与多元函数积分学。每章内容都有详细的讲解和大量的习题，帮助学生巩固知识并提高解题能力。
第三部分：PDF版本介绍
同济大学的《高等数学》第六版教材的PDF版本是在线阅读和下载的电子书籍。相比于纸质版教材，PDF版本有以下几个优点：
1. 方便携带：由于PDF版本可以保存在电子设备中，学生可以随时随地进行学习，解决了携带纸质教材的不便。
2. 搜索功能：PDF版本具有搜索功能，可以快速定位特定的知识点
或者习题，提高学习效率。
3. 多媒体支持：PDF版本可以嵌入图片、音频和视频等多媒体元素，使学习过程更加生动有趣。
经典高等数学课件D12-2数项级数及审敛法(1)解剖
复习
★级数的基本概念 un u1 u2 u3 un n1
级数收敛(发散)
lim n
sn
存在(不存在)
un1
n2
★几个重要级数的敛散情况
1.等比级数
aqn
n0
当 当
q q
1时，收敛; 1时，发散.
收敛Leabharlann Baidu 1 a首q公项.比
1
2.调和级数 1 1 1 1 1 是发散的.
2n
n1
23
n
n1 n
★收敛的必要条件: 若级数 u 收敛 lim u 0.
n
n n
n1
1
★基本审敛法
1.由定义：lim n
sn
存在(不存在)
级数收敛(发散);
2.
lim
n
un
0
n1
un
发散.
3.按基本性质
对收敛级数而言：性质2，性质4 对一般级数而言：性质1，性质3
如：(1)若 un发散(收敛)，则 cun (c 0)
是几何级数，
公比
q 1 1, 3
1 所以级数 n1 3n
收敛，
由比较审敛法知：
级数
cos
2n
3n
n1
是收敛的.
13
例5. 试判定级数
n1
1
的敛散性.
★级数的基本概念 un u1 u2 u3 un n1
级数收敛(发散)
lim n
sn
存在(不存在)
un1
n2
★几个重要级数的敛散情况
1.等比级数
aqn
n0
当 当
q q
1时，收敛; 1时，发散.
收敛Leabharlann Baidu 1 a首q公项.比
1
2.调和级数 1 1 1 1 1 是发散的.
2n
n1
23
n
n1 n
★收敛的必要条件: 若级数 u 收敛 lim u 0.
n
n n
n1
1
★基本审敛法
1.由定义：lim n
sn
存在(不存在)
级数收敛(发散);
2.
lim
n
un
0
n1
un
发散.
3.按基本性质
对收敛级数而言：性质2，性质4 对一般级数而言：性质1，性质3
如：(1)若 un发散(收敛)，则 cun (c 0)
是几何级数，
公比
q 1 1, 3
1 所以级数 n1 3n
收敛，
由比较审敛法知：
级数
cos
2n
3n
n1
是收敛的.
13
例5. 试判定级数
n1
1
的敛散性.
高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件
。
微分的几何意义
02
微分在几何上表示函数图像在某一点附近的切线误差的线性部
分。
微分的性质
03
微分具有一些基本的性质，如线性性质、常数倍性质、和差性
质等。
导数在几何中的应用
求切线方程
通过导数，可以求出函数在任意一点的切线方程。
研究函数图像的拐点、极值点和单调性
导数可以用于研究函数的拐点、极值点和单调性，进而分析函数图像的形状和变化趋势。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
在工程学中，微积分被用来解决各种实际问题，例如建筑 设计、机械振动、电路分析等。通过微积分，工程师可以 更好地理解问题的本质并找到解决方案。
经济学
在经济学中，微积分被用来分析边际成本、边际效用、需 求弹性等问题。通过微积分，经济学家可以更准确地预测 经济趋势和制定政策。
02
函数与极限
函数的定义与性质
幂级数的概念与性质
高等数学同济下册教材目录
高等数学同济下册教材目录第一章无穷级数
1.1 数项级数
1.1.1 数项级数的概念
1.1.2 数项级数的性质
1.1.3 极限形式的级数
1.2 幂级数
1.2.1 幂级数的概念
1.2.2 幂级数的收敛域
1.2.3 幂级数的和函数
1.3 函数项级数
1.3.1 函数项级数的概念
1.3.2 函数项级数的一致收敛性
第二章傅里叶级数
2.1 傅里叶级数的定义
2.1.1 周期函数的傅里叶级数
2.1.2 奇偶延拓的傅里叶级数
2.2 傅里叶级数的性质
2.2.1 傅里叶级数的线性性质
2.2.2 傅里叶级数的逐项积分与逐项微分 2.2.3 傅里叶级数的逐项积分和逐项微分 2.3 傅里叶级数的收敛性
2.3.1 傅里叶级数一致收敛的性质
2.3.2 周期函数的傅里叶级数收敛性
2.3.3 局部函数化的傅里叶级数
第三章一元函数积分学
3.1 定积分
3.1.1 定积分的定义
3.1.2 定积分的性质
3.1.3 线性运算与换元积分法
3.2 反常积分
3.2.1 第一类反常积分
3.2.2 第二类反常积分
3.3 微积分基本定理
3.3.1 牛顿-莱布尼茨公式
3.3.2 积分求导法
3.3.3 函数定积分的应用
第四章多元函数微分学
4.1 多元函数的极限与连续
4.1.1 多元函数的极限
4.1.2 多元函数的连续性
4.2 多元函数的偏导数与全微分 4.2.1 多元函数的偏导数
4.2.2 多元函数的全微分
4.3 隐函数与参数方程的偏导数 4.3.1 隐函数的偏导数
4.3.2 参数方程的偏导数
第五章多元函数的积分学
5.1 二重积分
5.1.1 二重积分的概念
高数 同济版 十二章
定理 2：如果 y1 ( x )与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线性 无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1)的通 解.
注. y1 (x), y2 (x)线性无关
y1 ( x) K y2 ( x )
（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:
形如 y P ( x ) y Q( x ) y f ( x ) ( 2)
y py qy f ( x )
二阶常系数非齐次线性方程
根据解的结构定理 , 其通解为
y Y y*
齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解的方法 — 待定系数法 根据 f (x) 的特殊形式 , 的待定形式,
代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
(1)
f ( x ) e Pm ( x ) 型
设所求特解为 比较系数, 得 代入方程 :
1 b0 1 , b1 3
于是所求特解为
例2.
的通解.
解: 本题 2 , 特征方程为 r 2 5 r 6 0 , 其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为
y* x ( b0 x b1 ) e 2 x
1 b0 , b1 1 2
定理 3
设 y * 是 ( 2) 的一个特解, Y 是与(2)对应
的齐次方程(1)的通解, 那么 y Y y * 是二 阶 非齐次线性微分方程(2)的通解.
高等数学课件--D12习题课
2012-10-12
三、幂级数和函数的求法
• 求部分和式极限 • 初等变换法: 分解、套用公式 （在收敛区间内） • 映射变换法
an x
n 0
n
逐项求导或求积分
an x
n 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
难
求和
S (x)
对和函数求积或求导
S ( x)
*
• 数项级数 求和
2012-10-12
直接求和: 直接变换, 求部分和等 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值
二、求幂级数收敛域的方法
• 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R :
R lim an an 1
n
,
或
1 R
lim
n
n
an
(自证)
再讨论 x R 处的敛散性 . 通过换元转化为标准形式 • 非标准形式幂级数 直接用比值法或根值法
练习:
P320 题7. 求下列级数的敛散域:
2012-10-12
1 2 x
n 1 n
1
1
x 2
2 1
1 2
x n n 0 2
n
2012-10-12
1
2
nx 2
,
三、幂级数和函数的求法
• 求部分和式极限 • 初等变换法: 分解、套用公式 （在收敛区间内） • 映射变换法
an x
n 0
n
逐项求导或求积分
an x
n 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
难
求和
S (x)
对和函数求积或求导
S ( x)
*
• 数项级数 求和
2012-10-12
直接求和: 直接变换, 求部分和等 间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值
二、求幂级数收敛域的方法
• 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R :
R lim an an 1
n
,
或
1 R
lim
n
n
an
(自证)
再讨论 x R 处的敛散性 . 通过换元转化为标准形式 • 非标准形式幂级数 直接用比值法或根值法
练习:
P320 题7. 求下列级数的敛散域:
2012-10-12
1 2 x
n 1 n
1
1
x 2
2 1
1 2
x n n 0 2
n
2012-10-12
1
2
nx 2
,
高等数学课件--D12_8一般周期的
第十二章 第八节 一般周期的函数的傅里叶级数
一、周期为2 l 的周期函数的 傅里叶级数 二、傅里叶级数的复数形式
2012-10-12
同济版高等数学课件
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一、周期为2 l 的周期函数的傅里叶级数
周期为 2l 的函数 f (x) 变量代换 z
x l
周期为 2 的函数 F(z)
( n 1) π
2
2E
同济版高等数学课件
2012-10-12
(1 4k ) π
2
, n 2k
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b1
E
0 cos( n 1) t cos( n 1) t d t 2π
π
0 E sin t sin t d t π
l
l
l
f ( x ) cos
f ( x) sin
dx
(n 0 , 1, 2 ,) (n 1, 2 , 3 ,)
nx l
dx
( 在 f (x) 的 连续点处 )
2012-10-12 同济版高等数学课件
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证毕
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说明: 如果 f (x) 为奇函数, 则有 (在 f (x) 的连续点处)
内容小结
1. 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式
一、周期为2 l 的周期函数的 傅里叶级数 二、傅里叶级数的复数形式
2012-10-12
同济版高等数学课件
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一、周期为2 l 的周期函数的傅里叶级数
周期为 2l 的函数 f (x) 变量代换 z
x l
周期为 2 的函数 F(z)
( n 1) π
2
2E
同济版高等数学课件
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(1 4k ) π
2
, n 2k
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b1
E
0 cos( n 1) t cos( n 1) t d t 2π
π
0 E sin t sin t d t π
l
l
l
f ( x ) cos
f ( x) sin
dx
(n 0 , 1, 2 ,) (n 1, 2 , 3 ,)
nx l
dx
( 在 f (x) 的 连续点处 )
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证毕
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说明: 如果 f (x) 为奇函数, 则有 (在 f (x) 的连续点处)
内容小结
1. 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式
(同济大学)高等数学课件D12数列的极限
*3. 柯西极限存在准则(柯西审敛原理) (P55)
数列 极限存在的充要条件是:
0,存在正整数 N , 使当 mN,nN时,
有
xnxm
证: “必要性”.设nl im xna,则
使当
时, 有
xna2, xma2
因此
xnxm
xnaxma
“充分性” 证明从略 .
柯西 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
Leabharlann Baidu
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2. 收敛数列一定有界.
证: 设
取 1, 则 N , 当 nN 时, 有
xn a 1, 从而有
xna a1 a
取
M mx 1 a ,x x 2, ,x N ,1 a
则有
xnM (n 1,2, ).
由此证明收敛数列必有界.
说明: 此性质反过来不一定成立 . 例如,
是数列 的任一子数列 .
若
则 0, N , 当
时, 有
现取正整数 K , 使
于是当 k K时, 有
xN nk N *********************
N
从而有 xnk a , 由此证明 kl imxnk a.
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说明:
由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极
最新(同济大学)高等数学课件D112数项级数及审敛法44231
定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
满足 lim un l, 则有 n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0
(3) 当 l =∞ 证: 据极限定义,
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( l ) v n u n ( l ) v n (nN)
证明提示: nl i m nun,对任意给定的正数
存在 NZ,
nu n 1 1
即
( )n u n ( )n 1 1
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
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说明 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
n
un
1 n n
p
1(n )
例5. 讨论级数
的敛散性 .
解: lim un1 lim(n1)xn x
n un
n n x n1
根据定理4可知:
当 0x1时 ,级数收敛 ;
当x1时,级数发散 ;
当x1时,
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定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设
数, 且 nl i mnun,则
为正项级
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1) 1 ; n1 n
高数(同济第六版)下册无穷级数要点
ϕ ( x) 展开成傅里叶级数， 最后限制 x 在 (−π , π ) 内， 此时 ϕ ( x) ≡ f ( x) ， 这样便得到 f ( x) 的
Pn ( x ) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) +
1 1 f ′′( x0 )( x − x0 )2 + ⋯ + f ( n ) ( x0 )( x − x0 )n 2! n!
近似代替，误差等于余项的绝对值 Rn ( x) 。 � 当 n → ∞, Rn ( x ) → 0 时，则函数 f ( x) 在点 x0 的邻域内能展开成泰勒级数：
注： （1）幂级数的收敛域在发散域内部； （2）幂级数的收敛域为区间；
∞
（3）存在正数 R ，使
∑a x
n n =0
n
在 (− R, R ) 内收敛，且绝对收敛；
（4） R —收敛半径； (− R, R ) 收敛区间；收敛域：收敛区间 (− R, R ) ∪ 收敛端点。 � 收敛半径 R 的求法
∞
f ( n+1) (ξ ) ( x − x0 )n +1 ，这里 ξ 是 x0 与 x 之间的某个值。 (n + 1)!
称（*）式为带有拉格朗日型余项的 n 阶泰勒公式， Rn ( x) 为拉格朗日型余项。 � 当 n = 0, 有 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 ) + f ′(ξ )( x − x0 ) ， ξ 是 x0 与 x 之间的某个值。 即泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广。 � 在点 x0 的邻域内， f ( x) 可以用 n 次多项式
高等数学课件微分方程D12习题课2
2 C 11 ,C 2 1
故所求初值问题的解为
yexex1sin x 2
2019/11/19
高等数学课件
题 目录 上页 下页 返回 结束
二、微分方程的应用
1 . 建立数学模型 — 列微分方程问题 利用物理规律
建立微分方程 ( 共性 ) 利用几何关系 初始条件
确定定解条件 ( 个性 ) 边界条件
2019/11/19
高等数学课件
机动 目录 上页 下页 返回 结束
P327 题4(2) 求解
yay20
yx00,
y x01
提示: 令 yp(x),则方程变为 d p a wenku.baidu.com 2
dx
积分得
1 p
ax C1,
利用
px 0 yx 0 1得C11
再解
提示: f(x ) six n x0 xf(t)d t 0 x tf(t)d t,则
f(x)coxs 0x f (t)dt xf(x)xf(x)
f(x ) sx i n f(x )
问题化为解初值问题: f(x )f(x ) sixn f(0)0, f(0)1
ypdpp210, dy
即
pdp 1 p2
dy y
2019/11/19
高等数学课件
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故所求初值问题的解为
yexex1sin x 2
2019/11/19
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二、微分方程的应用
1 . 建立数学模型 — 列微分方程问题 利用物理规律
建立微分方程 ( 共性 ) 利用几何关系 初始条件
确定定解条件 ( 个性 ) 边界条件
2019/11/19
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P327 题4(2) 求解
yay20
yx00,
y x01
提示: 令 yp(x),则方程变为 d p a wenku.baidu.com 2
dx
积分得
1 p
ax C1,
利用
px 0 yx 0 1得C11
再解
提示: f(x ) six n x0 xf(t)d t 0 x tf(t)d t,则
f(x)coxs 0x f (t)dt xf(x)xf(x)
f(x ) sx i n f(x )
问题化为解初值问题: f(x )f(x ) sixn f(0)0, f(0)1
ypdpp210, dy
即
pdp 1 p2
dy y
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收敛于S , 并估计以部分和 Sn 近
似代替和 S 时所产生的误差 .
解:
n
un n
1 nn
由定理5可知该级数收敛 . 令 rn S S n , 则所求误差为
1 1 0 rn n 1 n2 (n 1) (n 2)
1 1 1 n 1 1 1 n (n 1) n (n 1) n 1
1 n 1 1 lim 1 n e n e
2
n 1
n2 n (1) n 收敛, 因此 e
n2 (1) n n 绝对收敛. e n 1
小结
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*四、绝对收敛级数的性质
绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质. *定理8. 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和. *定理9. ( 绝对收敛级数的乘法 ) 设级数 与
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例5. 讨论级数
解:
的敛散性 .
un1 (n 1) x n lim lim x n1 n u n nx n
根据定理4可知:
当0 x 1 时, ຫໍສະໝຸດ Baidu数收敛 ;
当x 1时, 级数发散 ; 当x 1时,
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*定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设
2
1 根据比较审敛法的极限形式知 ln 1 2 收敛 . n n 1
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定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) un1 , 则 设 为正项级数, 且 lim n u n (1) 当 1 时, 级数收敛 ; (2) 当 1 或 时, 级数发散 .
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1 1 1 n1 1 n 1 1 1) 1 (1) n 1 收敛 2 3 4 u n 1 n (n 1) ! 1 1n 1 10 n 1 1 1 u n n 1 1 1 10 收敛 n n 1 2) 1 (1) n 2! 3! 4! n ! 10! n 1 2 3 4 n 1 n 3) (1) 收敛 10 102 103 104 10n
2. 判别正项级数敛散性的方法与步骤
必要条件 lim u n 0
n
不满足
发 散
满足
un 1 比值审敛法 lim u n n
根值审敛法 lim un
n n
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
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说明 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
n
1 1 ( n ) un n n
p
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
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例6. 证明级数
设对一切
都有
分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
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(1) 若强级数 因此对一切
收敛, 则有 有 也收敛 .
由定理 1 可知, 弱级数 (2) 若弱级数 因此 发散, 则有
这说明强级数
也发散 .
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1 1 1 例1. 讨论 p 级数 1 p p (常数 p > 0) p 2 3 n 的敛散性.
(P263 定理9)
都绝对收敛, 其和分别为 S , , 按任意顺序排列得到的级数
(证明见 P263～P266)
则对所有乘积
也绝对收敛, 其和为 S . (P265 定理10) 说明: 绝对收敛级数有类似有限项和的性质, 但条件收敛级数不具有这两条性质.
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内容小结
1. un 收敛 部分和数列 {S n } 有极限
n 1
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是两个正项级数,
(1) 当 0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l 0 且 vn 收敛时,
也收敛 ;
也发散 .
(3) 当 l 且 vn 发散时,
注: 1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较. 1 2) 特别取 vn p , 对正项级数 un , 可得如下结论 : n
结束
( l ) vn u n ( l ) vn
(1) 当0 < l <∞时, 同时收敛或同时发散 ; (2) 当l = 0时,
(n N )
由定理 2 可知
n 1
vn
由定理2 知
若 vn 收敛 ,
n 1
(3) 当l = ∞时,
即
u n vn
由定理2可知, 若 vn 发散 ,
1 1 时, p p , 故 n x
1 1 1 1 11 1 1 考虑强级数 p 1 11 1 2 p 1 2 (n 1p p n p 1 p的部分和) p 1 3) n (n 1 n 2 1 1 1 n n p1 1 p 1 1 p 1 (k 1) (n 1) k 1 k
收敛
部分和序列
收敛 ,
故有界.
∴部分和数列
收敛 , 从而
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单调递增,
也收敛.
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定理2 (比较审敛法) 设
且存在 对一切 有
是两个正项级数, (常数 k > 0 ), 也收敛 ;
(1) 若强级数 (2) 若弱级数
收敛 , 则弱级数 发散 , 则强级数
也发散 .
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
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定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
满足 lim
un l , 则有 n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义,
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1 n 4 收敛 , n 1
n 1
sin n 收敛 4 n
sin n 因此 绝对收敛 . 4 n 1 n
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(2) 令
n2 n (2) (1) n e n 1
u n 1 lim n u n
(n 1) 2 en1 lim n n2 en
级数, 且 lim n un , 则
n
为正项
证明提示: lim n un , 对任意给定的正数
n
存在 N N ,
n un
即
1
( ) n un ( ) n
1
1 1
n
lim n pun l
0l
p 1, 0 l
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un 发散 un 收敛
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1 例3. 判别级数 sin 的敛散性 . n n 1 1 1 解: lim n sin lim n 1 n n n n
sin 1 ～ n
n
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 N N , 对一切 n N ,
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例2. 证明级数
证: 因为
发散 .
1 n (n 1)
而级数
1 (n 1) 2
1 发散 k 2 k
证: (1) 当 1时,
un1 存在 N N , 当n N 时, 1 un
收敛 , 由比较审敛法可知
un 收敛.
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(2) 当 1 或 时, 必存在 N N , u N 0, 当n N 时 从而
un 1 un un 1 u N
(1) n 1u n 收敛 , 且其和 S u1 , 其余项满足 则级数
n 1
rn u n 1 .
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证: S 2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n 1 u2n )
S 2n u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) (u2n 2 u2n 1 ) u2n
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二 、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2 ,, 则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
1) un un1 ( n 1, 2 , ) ;
2)
n
lim un 0 ,
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
1 而调和级数 发散 , 由比较审敛法可知 p 级数 n 1 n
发散 .
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2) 若 p 1, 因为当
n 1 1 dx p p n 1 n n n 1 1 1 1 p 1 dx p 1 p n 1 x p 1 (n 1) n
u n 2 vn u n
n 1 n 1
un , 2 vn 收敛
n 1
n 1
un 也收敛
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例7. 证明下列级数绝对收敛 : 2 sin n nn (1) 4 ; (2) (1) n . e n 1 n n 1
sin n 1 证: (1) 4,而 4 n n
因此 lim un u N 0 , 所以级数发散.
n
un1 说明: 当 lim 1 时,级数可能收敛也可能发散. n u n 1 un1 ( n 1) p lim lim 1 1 例如, p – 级数 n u n n p
n
但
p 1, 级数收敛 ; p 1, 级数发散 .
是单调递增有界数列, 故 又
n
lim S 2 n 1 lim ( S 2 n u2 n 1 )
n
故级数收敛于S, 且 S u 1 ,
(un 1 un 2 )
rn un 1 un 2 un 1
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1 n
1 根据比较审敛法的极限形式知 sin 发散 . n n 1 1 例4. 判别级数 ln 1 2 的敛散性. ln(1 12 ) ～ n n n 1
1 n2
1 2 1 解: lim n ln 1 2 lim n 2 1 n n n n
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1 1) ; n 1 n
发散
1 2) ; n 1 n !
收敛
n 3) n . n 1 10
收敛
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三、绝对收敛与条件收敛
定义: 对任意项级数
数 若 收敛 , 则称原级
绝对收敛 ；
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 数 条件收敛 .
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及其审敛法
第十二章
三、绝对收敛与条件收敛
*四、绝对收敛级数的性质
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一、正项级数及其审敛法
若 un 0 , 则称 u n 为正项级数 .
n 1
定理 1. 正项级数 有界 . 证: “ “ 又已知 ” 若 ” 有界, 故
n 1 1
例如 ： (1)
n 1
n
为条件收敛 .
n 1
(1)
n 1
n 均为绝对收敛. n 10
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定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 .
证: 设 收敛 , 令
v n 1 ( u n u n ) ( n 1 , 2 , ) 2 显然 vn 0 , 且 vn u n , 根据比较审敛法 vn 收敛,