函数及数列极限定义

例: 可列无穷集 A a1 , a2 , , an ,
自然数集 N 0 , 1 , 2 , , n ,
描述法 A x x 所具有的特征
整数集合 Z x x N 或 x N
例:
有理数集
Q
p q
p Z , q N , p 与 q 互质
实数集合 R x x 为有理数或无理数
y R( f ) f 1 x D.
记作 f 1 : R( f ) D 或 x f 1( y) , y R( f )
习惯上 f 的反函数记成 y f 1( x) , x R( f )
与其反函数
的图形关于直线
对称 .
例7. 函数 y arcsin x 是
y
sin
x,
x
[
2
,
2
]
的反函数.
复合函数
设 y f (u), u E , u (x), x D 则由 y f (u) 与 u ( x) 复合而成的复合函数.
记作 y f [ ( x)] , x D
其中 x 称为自变量, y 称为因变量, u 称为中间变量..
狄里克雷( dirichlet ) 函数
1, x 为有理数 0, x 为无理数
y
1
o
x
1
取整函数
y [x] , x ,
当
时
y
2 1o 1 2 3 4 x
一般有 x x x 1
[3.15] [3.15] [ 5]
[7]
反函数
设 y f ( x) , x D. f 的反函数
D 上的函数 ,记为
y f (x), x D
• D称为函数的定义域, 记作 D( f ) , y • f (D)称为函数的值域, 记作 R( f ) . y
•函数图形: 曲线 y f ( x)
C (x , y) y f (x) , x D
ax bx ( D [a,b])
函数的二要素— 定义域 , 对应规则 .
y cos x, x [0, ] 的反函数
y
y
1 0
1x
1 0
1
x
y cos x
例7. y arctanx, x (, )
y
2
y
ta的n x反, x函 (数 2
,
2
)
0
x
y tan x
2
y
2
2
0
2
x
2
反三角函数
y arcsin x, x [1, 1]
值域
:
[
2
,
2
wk.baidu.com
]
y arccos x, x [1, 1]
0
U (x0, ) (x0, x0 )
映射
定义1 设 A, B 是两个非空集合, 若存在一个对应
规则 f ,使得 x A, 有唯一确定的 y B 与之对应,
则称 f 为从 A 到 B 的映射,记作
f : A B. 或 f : x y
•元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像, 记作 y f ( x).
值域：[0, ]
y arctan x, x (,)
值域：(
2
,
2
)
y arc cot x, x (,)
值域：(0, )
P.367 附录I
y
sin x, x [
的反函数
2
,
2
]
y cos x, x [0, ] 的反函数
y tan x, x
的反函数
(
2
,
2
)
y cot x, x (0, ) 的反函数
函数的表示方法: 解析法, 图象法, 表格法.
例4. (1) y x 1 的定义域 D( f ) , (2) y x2 1 的定义域 D( f ) , 1 (1, )
x 1
例5.
的定义域
例6. 绝对值函数 分段函数
定义域 R.
分段函数举例:
符号函数
y sgn x
当x> 0
当x= 0 当x< 0
x D f y f (D) y y f (x), x D
函数也可简记为 y y( x) , 这样 y 既代表对应规则
又代表因变量.
定义域:使函数在数学上有意义的自变量取值的全体.
函数值:当x在D上每取一个值 x0 时, 所对应的值 y0 称为函数 f 在 x x0处的函数值, 记作 f (x0 ) ,或 y x x0
﹁
开区间 ( a , b ) x a x b
区
闭区间 [ a , b ] x a x b
间
﹂
半开区间
无穷区间
「邻 域」
点 x0 的 邻域
(
x0
x0
)
x0
( x0 , ) x0 , x0
x x0
其中 x0 为邻域的中心， 0为邻域的半径.
若不需要指明半径 时，记作 Ux0
c))
例2. 点 P A
(点集) (点集)
向y轴投影点 Q B
例3. 如图 x [0 , ), 对应阴影部分
的面积 S [0 , ),
之间定义了一种映射. S S ( x) x et dt 0
S x
A (数集或点集)
f
R (实数集)
f :定义在 A上的函数
函数
定义2. 设数集 D R , 则称映射 f : D R 为定义在
y y f 1(x)
Q(b, a)
yx y f (x)
P(a,b)
o
x
例7. y arcsin x, x [1, 1]
y
2
y
sin x, x
的反函数
[
2
,
2
]
y
2
1
0
1x
2
1
0
1 2
x
2
2
y y sin x, x (,)
1
2
2
2
1
2
x
例7. y arccos x, x [1, 1]
§1 函 数
§1.1 函数的概念 §1.2 具有某些特性的函数
§1.1 函数的概念
常量与变量 －定点与动点.
映射
函数－曲线
数集（点集）
2
y f (x), x D
1
3
反函数 复合函数
4
5
邻域
初等函数
分段函数
数集的表示法
列举法 按某种方式列出数集中的全体元素 .
有限数集 A a1 , a2 , , an
称为 x0 的某邻域.
: delta
「邻 域」
点x0 的 空心邻域
(
x0
x0
0
( x0, )
0 x x0
)
x0
0
Ux0
点 x0的左邻域
U (x0, ) (x0 , x0]
0
U (x0, ) (x0 , x0)
点x0 的右邻域
U (x0, ) [x0, x0 )
•元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . •集合 A 称为映射 f 的定义域 .
• B 的子集 f ( x) x A f ( A) 称为 f 的 值域 .
映射的三要素— 定义域 , 对应规则 , 值域 .
f :AB
A
f
B
例1.
海伦公式
S
p(
p
a)(
p
b)(
p
c
)
(
p
1 2
(a
b