数列的概念数列的极限收敛数列的性质
数列极限的概念及定义性质
说明: 常数列的极限等于同一常数.
例1 证明数列
1 4 3 6 5 n (1)n1
2, , , , , , ,
,
23456
n
的极限是1 .
证
对
>
0,
取N
1
+1,
则当n>N 时, 恒有
|xn−1|
n (1)n1 n
1
1 n
?
<
,
故 lim n (1)n1 1.
n
n
n 1
lim 1 ? 0,
注 数列对应着数轴上一个点列.
xn 2 xn1
可看作一动点在数轴上依次取 x1, x2, ···, xn ,···.
x1 x3 x2 x4
xn
三、数列的极限
考察数列 {1 (1)n1 }当n 时的变换趋势
n
1 4 3 6 5 n (1)n1
2, , , , , , ,
,
23456
n
问题1 当 n 无限增大时, xn是否无限接近于某一 确定的数值? 如果是, 如何确定?
n n
lim(1)n 1 ? 0 .
n
n
例2
证明
(1)n
lim
n
(
n
1)2
0.
证 对 > 0,
取N
数列极限的基本概念与性质
数列极限的基本概念与性质数列是数学中的重要概念之一，它由一系列按特定顺序排列的数所组成。数列的极限是研究数列性质的基本概念之一，它描述了数列中数值的趋势和变化规律。本文将介绍数列极限的基本概念和性质，并讨论其在数学和实际问题中的应用。
一、数列极限的基本概念
数列极限是指当数列的项数无限增加时，数列中的数值是否会趋于某一个固定的值。具体而言，对于一个数列{an}，当存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，有|an - a| < ε成立，则称数列{an}收敛于a，记作lim（n→∞）an = a。如果数列不存在这样的实数a，则称数列{an}发散。
二、数列极限的性质
1. 极限的唯一性：如果数列{an}收敛，那么它的极限是唯一的。即如果lim（n→∞）an = a且lim（n→∞）an = b，则a = b。
2. 有界性：收敛的数列是有界的。即如果lim（n→∞）an = a，则存在正数M，使得对于任意的n，有|an| ≤ M成立。
3. 极限的保号性：如果数列{an}收敛于a且a>0，那么从某一项开始，数列{an}的所有后续项都大于0。类似地，如果a<0，则所有后续项都小于0。
4. 收敛数列的性质：如果数列{an}和{bn}分别收敛于a和b，则数列{an + bn}和{an × bn}也收敛，并且它们的极限分别为a + b和a × b。
三、数列极限的应用
数列极限在数学和实际问题中有着广泛的应用。以下列举几个典型的例子：
1. 函数极限：函数极限是数列极限的一种推广。通过将函数的自变量限制在一组无限逼近的数值上，可以研究函数在特定点的极限值。
数列的概念知识点总结
数列的概念知识点总结
一、数列的基本概念
数列是由一组按照一定规律排列的数字组成的序列。数列中的每个数字称为数列的项。数
列中的数字可以是正整数、负整数、小数、分数等。数列通常用{an}或an表示，其中n
表示数列的位置。例如{1, 2, 3, 4, 5, ...}就是一个简单的数列，其中每一项的值依次递增1。
在数列中，通常会出现一些特殊的数列，如等差数列、等比数列等。等差数列是指数列中
任意两个相邻项之间的差等于一个常数d，如{1, 3, 5, 7, 9, ...}就是一个等差数列，其中公差
d=2。等比数列是指数列中任意两个相邻项之间的比等于一个常数r，如{1, 2, 4, 8, 16, ...}就是一个等比数列，其中公比r=2。
二、数列的通项公式
数列的通项公式是指数列中每一项与项号之间的关系式。通过通项公式可以方便地求出数
列中任意一项的值，以及根据数列的规律预测未知的项。对于等差数列和等比数列，其通
项公式分别为an=a1+(n-1)d和an=a1*r^(n-1)，其中an表示数列的第n项，a1表示数列
的首项，d表示等差数列的公差，r表示等比数列的公比。
除了等差数列和等比数列外，还存在其他形式的数列，如递推数列、周期数列、递减数列等。这些数列的特点和规律各不相同，其通项公式也具有不同的形式。
三、数列的性质
数列具有丰富的性质，通过研究数列的性质可以深入理解数列的规律和特点。
1. 数列的有界性
数列可能是有界的，也可能是无界的。如果数列中的项都不超过某一有限的数M，则称该
数列是有上界的，M称为数列的上界。类似地，如果数列中的项都不小于某一有限的数m，则称该数列是有下界的，m称为数列的下界。如果数列同时有上界和下界，则称该数列是
数列极限
x
(2)数列a n = f (n ) 是定义在自然数集上的一个函数 数列 (整标函数). 整标函数).
定义2：给定数列 定义 ：给定数列{an}，如果存在数a， ，
∀ε > 0, ∃N > 0, 当n > N , 有 | a n − a |< ε
lim n n = 1 .
n→ ∞
lim( 2 n + 3 ) 【例4】 】
一般地， 一般地， 对给定的正数 b1 , b2 , ... , bs .
lim b1 + b2 + ... + bs
n n n→ ∞
(
n
)
1 n
= max(b1 , b2 , ... , bs )
ln( e n + x n ) ( x > 0)，求f (x). 【例5】已知 f ( x ) = lim 】 n →∞ n ln(e y + x y ) e y + x y ln x = lim 解法一】 →+∞ 【解法一】ylim y → +∞ y ey + xy
n
【解】 先求
π 1 lim tan + x → +∞ 4 x
x
== e
1∞
π 1 lim x⋅tan + −1 x→+∞ 4 x
第一节 数列极限的定义与性质
（6） {sin n}
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在 Mathematica 中，表格生成函数: Table[f[n] ，{n，min，max}] 表示生成n从min变到max，步长为1的数值表。 Table [f[n]，{n，min，max，step} ] 表示生成n从min 变到max ，步长为 step数值表。 利用ListPlot[ ]和Table[ ]语句作图 （1）输入 语 句，得 到右图
以2为极限，即
2n 1 lim 2 n n
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例2. 求证
1 n2 1 lim 2 = n 2n 7 n 2
n2 1 1 7n 2 2n 2 7 n 2 2n(2n 7)
证明 :首先我们有 显然当 n 6 时
7n 2 8n 4 2 2n(2n 7) 2n n
第一节 数列的极限
一、数列极限的概念 二 、数列极限
1、数列极限的定义
第二章
2、收敛数列的性质
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结束
一 、数列极限的概念
引例. 设有半径为 r 的圆 , 用其内接正 n 边形的面积 逼近圆面积 S . (刘徽割圆术) , 如图所示 , 可知
n
r
当 n 时， An 无限接近某个确定的数。在数学 上称这个确定数即是数列 A1 , A2 ,, An , 的极限。
高等数学第二节数列的极限
(
n2
1
n2
1
2
n2
1
n
)
1.
二、准则Ⅱ(单调有界准则)
1、单调有界数列必有极限.
如果数列 xn满足
单调增加只有两种可能:无限 增大或无限接近于一个定点
x1 x2 xn xn1 M (单调增加有上界)
lim xn a ( M ) 有等号，是广义单调
n
x1 x2
xn xn1 a
xn
1
1 n
0.0003，只要 n
3333.3,
足够大由任意小确定.
1
N2 [3333.3] 3333
0.00029994 0.0003
3334
抽象表达
0,要使 xn 1
1 n
成立，只需 n 1
无限接近
1
不一定是整数，而当n
1
N
时,
n
1
1
1
.
无限增大
无限增大,无限接近的数学语言刻划.
至多N项在 U (a, ) 外问题
cos n
例如：xn
2 ,取 0.25
n
解：x1
0,
x2
1 2
,
x3
0,
x4
1 4
,
x5
0,
0.25 0 0.25
数列的极限概念与收敛性判定
数列的极限概念与收敛性判定数列作为数学中的一种重要概念，在许多领域中有着广泛的应用。
数列的极限概念与收敛性判定是数列研究中的重要内容。本文将围绕
这一主题展开讨论，分析数列的极限概念以及如何判定数列的收敛性，旨在深入理解数列的相关知识。
一、数列的极限概念
数列的极限是指随着自变量趋于无穷大（或无穷小），函数值趋于
某个常数。对于数列{an}来说，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε，都存在正整数N，使得当n大于N时，对应的数列值an与常数a的差的绝对值小于ε，即|an-a|
lim(an)=a。
在数列的极限概念中，数列的极限可以是有限的也可以是无限的。
如果数列的极限存在且为有限数，即满足lim(an)=a，则称数列{an}收
敛于a。如果数列的极限不存在或为无穷大或无穷小，即lim(an)不存
在或为正无穷、负无穷或无穷小，则称数列{an}为发散数列。
二、数列收敛性判定的方法
1. 有界性判定：如果数列{an}存在上界和下界，即存在常数M和m，使得对于任意的n，有m≤an≤M成立，则称数列{an}是有界的。定理称为有界收敛定理：一个数列收敛的充分必要条件是它有界。
2. 单调性判定：如果数列{an}为单调递增数列且有上界，或为单调递减数列且有下界，则数列{an}收敛。单调数列的收敛性可由单调有界原理来推导。
3. 函数逼近法：将数列的极限与函数的极限相联系，利用函数的性质进行判定。例如，若数列{an}收敛于a，则函数f(x)在点a处连续。
4. 递推关系式判定：对于递推数列的情况，通过确定递推关系式，可以利用已知的数学方法判断数列的收敛性。例如，斐波那契数列的极限存在且为无穷。
数列与级数的基本概念和性质
数列与级数的基本概念和性质
数列和级数是数学中重要的概念，它们在各个领域中都有着广泛的应用。本文将介绍数列和级数的基本概念，并讨论它们的性质和特点。
一、数列的基本概念
数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。数列可以用一般形式表示为{an}，其中an表示数列的第n个元素。例如，数列{1，2，3，4，5，……}就是一个自然数列，其中an=n。
数列可以分为有界数列和无界数列。有界数列是指数列中的元素存在上界和下界，即存在一个实数M，使得对于数列中的任意元素an，都有an≤M和an≥-M。无界数列则是指数列中的元素没有上下界。
数列还可以分为等差数列和等比数列。等差数列是指数列中的相邻两个元素之间的差值都相等，而等比数列是指数列中的相邻两个元素之间的比值都相等。
二、数列的性质
1. 数列的极限
数列的极限是指当n趋近于无穷大时，数列的元素趋于的一个常数L。可以用数学符号表示为lim(n→∞) an = L。如果数列的极限存在，则称该数列收敛；如果数列的极限不存在，则称该数列发散。
2. 数列的递推公式
数列的递推公式是指通过前一项或前几项来确定后一项的公式。常见的数列递推公式有等差数列的通项公式和等比数列的通项公式。
3. 数列的求和
数列的求和是指将数列中的所有元素相加得到的结果。对于有界数列，可以通过直接相加的方式求和；对于无界数列，可以通过数列的极限来求和。
三、级数的基本概念
级数是指将数列中的元素进行相加得到的无穷和。级数可以用一般形式表示为∑an，其中an表示数列的第n个元素。例如，级数∑(1/2^n)就是一个等比级数。
数列与级数的基本概念与性质知识点总结
数列与级数的基本概念与性质知识点总结数列和级数是数学中非常重要的概念，广泛应用于各个领域。本文将对数列与级数的基本概念和性质进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这些知识点。
一、数列的基本概念
1. 数列的定义：数列是由一系列按照一定规律排列的实数所组成的序列。通常用 {a_n} 或 {a_1, a_2, a_3, ...} 表示。
2. 公式推导法：通过数列的前几项可以发现规律，进而得到数列的通项公式，从而可以计算数列中任意一项的值。
3. 递推关系式：通过数列中前一项与后一项之间的关系可以得到递推关系式，从而可以计算数列中任意一项的值。
二、数列的性质
1. 数列的有界性：一个数列可以是有界的，即存在上界和下界，也可以是无界的。
2. 数列的单调性：一个数列可以是递增的、递减的或者保持不变。
3. 数列的极限：当数列的项数趋向无穷大时，如果数列的值趋向于某个常数，那么这个常数就是数列的极限。
三、级数的基本概念
1. 级数的定义：级数是由一个数列的项之和组成的数列。通常用S_n 表示，表示前 n 项的和。
2. 部分和数列：级数的部分和组成一个新的数列，通过计算前 n 项的和来求得部分和数列的通项公式。
四、级数的收敛性与发散性
1. 收敛级数：当级数的项数趋向无穷大时，如果部分和数列的极限存在，那么称该级数为收敛级数。
2. 收敛级数的性质：收敛级数的部分和数列必然有界，而且任意两项之间的绝对值之和都可以无限地接近零。
3. 发散级数：当级数的项数趋向无穷大时，如果部分和数列的极限不存在或为无穷大，那么称该级数为发散级数。
§1-2极限的概念一、数列的极限
推论 若在某个去心邻域
N ( xˆ 0 , ) 内， f ( x) 0 (或
f ( x) 0 ,且
lim
x x0
f (x) A
,则
A≥0(或A≤0).
性质1.2.4 (夹逼准则) 若
x N ( xˆ0 , ) (其中 为某个
正常数)时，有
g( x) ≤ h( x) ≤ f ( x)
x
x
存在并且相等。即 lim f ( x) lim f ( x)
x
x
y1
x
例15 由图1-19可知：
lim 1 0； x x
即
lim 1 0 x x
1 lim 0 x x
三、极限的性质
性质1.2.1 (唯一性) 若
则 AB
lim f (x) A,
N ( xˆ 0 , )
在此去心领域内函
如果函数 f(x) 在 x0 点处的极限存在，且极限值为 A. 则函数在 x0 (x≠x0) 点处“附近”的函数f(x)值都集中 A 点处，所以函数在某去 心领域内有界。
性质1.2.3 (保号性) 若 lim f ( x) A 且 A 0 (或 A 0 )， x x0 N ( xˆ0 , ) ，在 N ( xˆ0 , ) 内 f ( x) 0 (或 f ( x) 0 ).
lim g( x) lim h( x) A
数列的概念与性质
数列的概念与性质
数列是数学中常见的一种数学对象，它由一系列按照一定规律排列
的数字所组成。数列的研究是数学中的一个重要分支，不仅应用于数
学领域，也广泛应用于其他科学领域中。本文将介绍数列的概念与性质，以帮助读者更好地理解数列的内涵和应用。
一、数列的概念
数列是指将按照一定规律排列的数字按照一定的次序排成的一个序列。数列中的每一个数字称为数列的项，而数列的次序就是项的位置。数列常用字母表示，如$a_n$表示数列的第$n$个项。
数列可以是无限的，也可以是有限的。无限数列是指数列的项数是
无限多的，有限数列则是指数列的项数是有限多的。数列的概念广泛
运用在数学分析、微积分、代数学、概率论等各个数学学科中。
数列可以有不同的定义方式，最常见的定义方式是递推式。递推式
可以通过给定前几个项，然后根据一定的规律求得后续项，进而确定
整个数列。例如，斐波那契数列就是一个经典的递推数列，它的递推
式为$a_1=1, a_2=1$，而后续项则通过前两项之和来获得。
二、数列的性质
数列有许多重要的性质，下面将介绍其中的几个关键性质：
1. 有界性：数列可以是有界的，也可以是无界的。有界数列是指数
列的所有项都在某个范围内，而无界数列则是指数列的项没有上限或
下限。有界数列通常可以通过确定数列的上下界来证明。
2. 单调性：数列可以是单调递增的，也可以是单调递减的。单调递
增数列是指数列的每一项都比前一项大，而单调递减数列则是指数列
的每一项都比前一项小。单调性通常可以通过比较数列的相邻项的大
小来证明。
3. 极限性：数列的极限是指数列中的项随着项数的增加趋于某一固
一数列的极限
x < 3; x 3.
判断 lim f ( x ) 是否存在。 x3
解： lifm (x )=li(x m 1) = 4
x 3 -
x 3 -
lim f= (lxi) m 2 ( x1) = 5
x 3
x 3
由于
lim f(x )lim f(x)
x 3
x 3
x
x
x
lim f (x)时
xx0
y
几何解释: A
A
A
y=f(x)
o x0 x 0 x0
x
注意 极限是函数的局部性质。
limf(x)=alimf(x)= lim f (x)
xx0
xx0
xx0
例1 设 f ( x ) = { x 1
2x -1
n
观察它们的变化趋势，并总结规律。
总结：可分成两种情形： （1）当n无限增大，通项无限接近某一常数； （2）当n无限增大，通项不趋近任何常数。
注意： （1）在几何上一个数列可看成实数轴上的一
个点列，也可看成实数轴上的一个动点
x3 x1 x2 x4 xn
（2）数列可看成是以自然数为自变量的函数：
xn = f ( n ) .
正 62n1形的面积 A n
A 1,A 2,A 3, ,A n,S
数列的概念和性质是什么
数列的概念和性质是什么
数列是数学中一种重要的概念，它由一系列按照特定规律排列的数
所组成。数列作为数学中的基础概念之一，不仅有着广泛的应用，而
且具有多样的性质和特点。
一、数列的概念
数列是指由一系列按照一定规律排列的有序数所组成的集合。其中，每个数被称为数列的项。数列按照排列顺序可以分为有限数列和无限
数列两种形式。
有限数列是指数列中项的个数有限的情况，用通常用a₁, a₂,
a₃...aₙ表示，其中a₁是数列的首项，aₙ是数列的尾项。有限数列的
项数可以用n表示，称为数列的项数。
无限数列是指数列中项的个数无限的情况。无限数列中的项可以用
a₁, a₂, a₃...表示，其中a₁为数列的首项，a₂为第二项，以此类推。
数列可以用集合的形式表示，即{a₁, a₂, a₃, ...}。数列的项可以是
整数、有理数、实数或复数，根据具体题目的要求来决定。
二、数列的性质
数列具有多样的性质和特点，下面将介绍其中一些重要的性质。
1. 公差性质（等差数列）
若一个数列中任意两个相邻的项之差都是等常数d，则称该数列为
等差数列。这个常数d称为等差数列的公差。
等差数列的性质包括：
（1）第n项：an = a₁ + (n-1)d
（2）前n项和：Sn = (a₁ + an) * n/2
（3）公差与项数的关系：d = (an - a₁) / (n - 1)
2. 比值性质（等比数列）
若一个数列中任意两个相邻的项之比都是等常数q，则称该数列为等比数列。这个常数q称为等比数列的公比。
等比数列的性质包括：
（1）第n项：an = a₁ * q^(n-1)
数列收敛定义
数列收敛定义
数列是数学中非常重要的一个概念，是由一系列有序的数字按照一定的规律排列形成的。数列中的每个数字都是一个项，而数列中的每个项都有一个序号。数列的收敛性是数学中一个重要的概念，本文将详细介绍数列收敛的定义及其相关概念。
一、数列的定义
数列是将一组按照一定规律排列的数字按照规律排列形成的有限或无限项的集合，形如：
$${\{x_n\}}_{n=1}^{\infty} = \{x_1, x_2,
x_3, ..., x_n, ...\}$$
其中 $x_n$ 表示第 $n$ 个项的值，$n$ 表示项数。
二、数列的极限
如果数列 $\{x_n\}$ 存在一个数 $a$，使得当
$n$ 越来越大时，数列中的每一项都越来越接近 $a$，那么我们称 $a$ 是数列 $\{x_n\}$ 的极限，记作：$$\lim_{n\rightarrow\infty}{x_n} = a$$
或者：
$${x_n} \rightarrow a (n\rightarrow \infty)$$
三、收敛数列和发散数列
有极限的数列被称为收敛数列，而没有极限的数列则被称为发散数列。在数学中，我们通常研究的都是收敛数列，因为这类数列的性质更加稳定和可控。而发散数列则相对难以处理。
四、数列收敛的定义
一个数列 $\{x_n\}$ 的极限为 $a$，当且仅当：对于任意给定的正实数 $\epsilon$，都存在一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，$|x_n - a| < \epsilon$ 成立。即：
$${\forall \epsilon > 0}, {\exists N > 0}, {\forall n > N}, |{x_n - a}| < \epsilon$$
数列极限的定义和性质
数列极限的定义和性质
数列是指按照一定规律排列的一系列数，而数列极限是数列理论中的重要概念之一。在本文中，我们将探讨数列极限的定义和性质，并对其应用进行简要介绍。
一、数列极限的定义
在数列中，当它的项逐渐趋于某个值时，我们称这个值为该数列的极限。形式化地说，设有数列{an}，若对于给定的数ϵ（ϵ>0），总存在正整数N，使得当n>N时，数列的每一项an与极限值之差的绝对值|an - A|<ϵ都成立，则称极限A为数列{an}的极限，记为lim(an) = A。
要注意的是，数列的极限并不一定要存在，可能是有限的，也可能是无穷的。
二、数列极限的性质
1. 数列极限的唯一性：若数列{an}的极限存在，那么它是唯一的，即一个数列只能有一个极限。
2. 数列收敛的必要条件：若数列{an}收敛，那么它是有界的。即如果一个数列存在极限，那么它必然是有上下界的。
3. 数列极限的保号性：若数列{an}的极限为A，并且A>0（或
A<0），那么当n充分大时，数列的每一项an也大于0（或小于0）。
4. 收敛数列的四则运算性质：设有两个收敛数列{an}和{bn}，它们的极限分别为A和B，则：
(1) 数列和的极限：lim(an + bn) = A + B
(2) 数列差的极限：lim(an - bn) = A - B
(3) 数列积的极限：lim(an * bn) = A * B
(4) 数列商的极限（假设B≠0）：lim(an / bn) = A / B
5. 数列极限与数列项的关系：若数列{an}的极限为A，则对于任意正整数m，都有：
数列的定义和性质
数列的定义和性质
数学中，数列是由一定规律排列的数所组成的序列。数列是数学中一个重要的概念，它在各个领域中都有广泛的应用。本文将介绍数列的定义、常见类型和基本性质。
一、数列的定义
数列是按照一定的规律排列的数所组成的序列。通常用大写字母表示数列，用小写字母表示数列的通项。如果数列的通项用函数的形式表示，那么就可以写成数列的通项公式。
例如，斐波那契数列就是一个非常经典的数列。斐波那契数列的定义如下：
F[1] = 1，F[2] = 1，
F[n] = F[n-1] + F[n-2]，(n ≥ 3)
在斐波那契数列中，每一项都是前两项的和。
二、常见的数列类型
1. 等差数列
等差数列是一种常见的数列类型。在等差数列中，每一项与前一项的差值都相等。等差数列的通项公式可以表示为：
a[n] = a[1] + (n - 1) * d
其中，a[n]表示数列的第n个项，a[1]表示首项，d表示公差。
2. 等比数列
等比数列是一种每一项与前一项的比值都相等的数列。等比数列的
通项公式可以表示为：
a[n] = a[1] * q^(n-1)
其中，a[n]表示数列的第n个项，a[1]表示首项，q表示公比。
3. 斐波那契数列
斐波那契数列是指从第3项开始，每一项都等于前两项的和。斐波
那契数列通常用F[n]表示，其中F[1] = 1，F[2] = 1。
三、数列的性质
数列具有一些基本的性质，对于数列的研究也基于这些性质。
1. 数列的有界性
如果数列中的项存在上界或下界，那么称该数列是有界的。一个有
界数列可以是上有界、下有界或上下都有界。
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例8 证 对于任意给定的正数 (不妨设0< <1)，由于
三、收敛数列的性质
数列收敛于a的几何意义如下：
当我们把 看成是数轴上的点列时，数列 收敛于a，就是对点a 的任何一
个邻域
，都存在一个序号N，使得点列
的第N个点 以后的
所有点
都在这个邻域之内，即点列中最多除去前N个点外，都聚集在点a
的这个邻域之内，或者说至多有N个点
落在区间
之外.
当我们把数列 看成是n的整标函数，即
其图形是在平面直角坐标系中的二维点列：
数列 收敛于a，就是对于任意给定的正数 (无论其多么
小)，总存在正整数N，当n>N时，二维点 都在直线
与直线
形成的带状域之内，一般来说， 越小( 带宽小)，N越大.
定理2.1(极限的唯一性) 若数列 收敛，则其极限唯一.
且a>b，则存在正整数N，当n>N时，恒有
定理2.3表明两个收敛数列，若它们的极限不相等时，则当n充分大后对应的项 也不相等，且与极限值有相同的大小顺序.
推论1 若
且a>b(或a<b)，则存在正整数N，当n>N时，
证 在定理2.3中取
，即得推论1.
推论2 证 反证法
注Leabharlann Baidu：
证 反证法.设数列 收敛，但极限不唯一，
即 有极限a和b，不妨设a>b.取
.
根据数列极限的定义及{xn}以a为极限可知，存在正整数N1，当 n> N1时，有
又由于 时，有
以b为极限，对上述的
存在正整数N2 ，当
当n>N时，(1)式与(2)式同时成立，这显然是矛盾的.因此，收敛数列的 极限是唯一的.
以
为例来讨论数列极限的含义.
前面已经看到：
当n无限地增大时，xn无限地趋于常数1.
所谓xn无限地趋于1，就是说
可以任意小.
也就是对于任意给定的正数 ， 都可小于 .
而
任意小的前提条件是n充分大.
比如
，欲使
只需n>100.
欲使
只需n>1000. 一般来说，对于任意给定的正数，欲使
这样，就定量地刻画了当 数列极限的精确定义.
定理2.2 (收敛数列的有界性) 收敛数列必有界. 证 设数列 收敛，并且以a为极限.
根据数列极限的定义，对于 ，存在着正整数N，
使得当n>N时，都有
由定理2.2知，无界数列一定是发散的.
注意: 数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件.例如，数列
是有界的，而 却是发散数列.
定理2.3(保序性)
是自左
向右依次排列的点列.表示有界数列的点列全部落在某一区间[－M，M]之内，表示无
界数列的点列，无论区间[－M，M]多么长，总有落在该区间之外的点.
二、数列的极限
我国古代著名的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的论断，就是数列极限 思想的体现.
数列的变化趋势，也可以通过平面直角坐标系上的图形来直观表示.
一、数列的概念
定义 按一定顺序排列起来的无穷多个数
称为数列.通常称 为数列的第一项， 为第二项，一般地，将第n项 称为通项或 一般项.数列可用通项简记为 .
例1 例2 例3
例4 例5
数列 可以理解为正整数n的函数， 因此，又可以称数列为整标函数，其定义域是正整数集.
若有
单调增加的；
单调减少的. 单调增加或单调减少的数列统称为单调数列.
时， 以1为极限的这一事实.下面给出
定义 设有 ，a是常数，如果对于任意给定的正数 ，总存在一个正整数N，使当 n>N时，都有
成立.则称数列 当n趋于无穷大时以a为极限，记作
数列 有极限，也称该数列是收敛的.否则，称数列是发散的.
例6 证
例7 证 当q=0时，等式显然成立.
当0<|q|<1时，对任意给定的正数 (不妨设 <1).
例1、例5中的数列是单调增加的，例2中的数列是单调减少的. 对于数列 ，若存在正数M，使得对于一切的n都有
成立，则称数列 是有界的，否则称 是无界的. 容易验证例2，例3和例4中的数列是有界的；而例1和例5中的数列是无界的.
在几何上，通常用数轴上的点列
来表示数列 .
这种表示法可以显示数列的某些性态.如单调增加的数列
例如
对于
来说，当n越来越大时，没有确定的变化趋势.
当n“充分大”时，
“无限接近于1”;
当n“充分大时”，
“无限接近于0”.
一般来说，如果当n无限地增大时，xn无限地趋向于常数a，则说，当n趋于无穷大 时， 以为a极限，记成
当n越来越大时，它们各自是否都有确定的变化趋 势？如果有，极限是什么？