层次分析法的计算

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层次分析法(AHP法)计算过程

较矩阵有问题
成对比较的不一致情况
⎡ 1 1/ 2
A
=
⎢ ⎢
2
1
⎢⎣LL
4 L⎤ 7 L⎥⎥
⎥⎦ 不一致
a21 = 2 (C2 :C1) a13 = 4 (C1 :C3)
一致比较
a23 =8(C2 :C3)
允许不一致，但要确定不一致的允许范围
2
考察完全一致的情况 W (= 1) ⇒ w1, w2 ,Lwn 可作为一个排序向量
第二讲层次分析法(AHP法) (Analytic Hierarchy Process) 建模
仰恩大学数学系吴建国作业发布网址：http://math.yeu.edu.cn 在：网站首页 - 学科建设－数学建模中课件到邮箱 yeumcmgg@163.com 中取,密码为 yeumcm
层次分析法（AHP）是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂(T.L.Saaty)于上世纪70年代初，为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。
上述两相邻判断的中值因素i与j比较的判断aij，则因素j与i比较的判断aji=1/aij
目标层
O(选择旅游地)
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食

层次分析法计算权重

层次分析法计算各指标权重

层次分析法又称AHP 构权法(Analytic hierarchy process ，简写为AHP)，是将复杂的评价对象排列为一个有序的递阶层次结构的整体，然后在各个评价项目之间进行两两的比较、判断，计算各个评价项目的相对重要性系数，即权重。AHP 构权法又分为单准则构权法和多准则构权法，在此介绍单准则构权法及具体步骤。

1.确定指标的量化标准。

层次分析法的核心问题是建立一个构造合理且一致的判断矩阵，判断矩阵的合理性受到标度的合理性的影响。所谓标度是指评价者对各个评价指标（或者项目）重要性等级差异的量化概念。确定指标重要性的量化标准常用的方法有：比例标度法和指数标度法。比例标度法是以对事物质的差别的评判标准为基础，一般以5种判别等级表示事物质的差别。当评价分析需要更高的精确度时，可以使用9种判别等级来评价，见下表。

比例标度值体系别（重要性分数

）

取值含义

1~9标度

5/5~9/1标度 9/9~9/1标度与同等重要 1 1 (5/5=) 1 (9/9=) 比较为重要 3 1.5 (6/4=) 1.286 (9/7=) 比更为重要 5 2.33 (7/3=)

1.8 (9/5=) 比强烈重要 7 4 (8/2=) 3 (9/3=) I 比极端重要

9 (9/1=) 9 (9/1=) 介于上述相邻两级之间重要程度的比较

2、4、6、8

1.222 (5.5/4.5=) 1.875 (6.5/3.5=)

3 (7.5/2.5=) 5.67 (8.5/1.5=) 1.125 (9/8=)

层次分析法的计算步骤

8。3。2 层次分析法的计算步骤

一、建立层次结构模型

运用AHP进行系统分析,首先要将所包含的因素分组，每一组作为一个层次，把问题条理化、层次化，构造层次分析的结构模型。这些层次大体上可分为3类

1、最高层：在这一层次中只有一个元素,一般是分析问题的预定目标或理想结果,因此又称目标层；

2、中间层：这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节，它可由若干个层次组成，包括所需要考虑的准则,子准则,因此又称为准则层；

3、最底层:表示为实现目标可供选择的各种措施、决策、方案等，因此又称为措施层或方案层.

层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素,这里要注意，层次之间的支配关系不一定是完全的，即可以有元素（非底层元素）并不支配下一层次的所有元素而只支配其中部分元素.这种自上而下的支配关系所形成的层次结构，我们称之为递阶层次结构.

递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽程度有关，一般可不受限制.为了避免由于支配的元素过多而给两两比较判断带来困难,每层次中各元素所支配的元素一般地不要超过9个,若多于9个时，可将该层次再划分为若干子层。

例如,大学毕业的选择问题，毕业生需要从收入、社会地位及发展机会方面考虑是否留校工作、读研究生、到某公司或当公务员，这些关系可以将其划分为如图8。1所示的层次结构模型。

图8。1

再如,国家综合实力比较的层次结构模型如图6 。2:

图6 。2

图中，最高层表示解决问题的目的，即应用AHP所要达到的目标;中间层表示采用某种措施和政策来实现预定目标所涉及的中间环节,一般又分为策略层、约束层、准则层等;最低层表示解决问题的措施或政策（即方案）.

层次分析法权重计算步骤

层次分析法权重计算步骤：

针对上节中假设的判断矩阵A:

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 2122221

11211 根法的计算步骤如下：

（1）计算判断矩阵A 中每一行元素的乘积：

n i a m ij j t 2,1,1

=∏== （2）计算mi 的n 次方根；

n i i m w =*

（3）对向量()T

n w w w W ****=,,,21 进行归一化处理 ∑=**

=n i i

i i w

w w 1 得到的权重，就是要求解的权重向量，w1 w2 ……wn ，就是每个元素对应的权重值。矩阵一致性的检验方法：

（1）计算一致性指标（consistency index ）

1max --=n n

CI λ

其中最大特征根m ax λ的计算公式为：

()∑==n i i

i w Aw 1max n 1λ

（3）平均一致性CR RI

CI CR = 当CR 小于0.1时，认为判断矩阵A 的一致性可以接受，否则需要对判断矩阵进行一定的修正。

层次分析法

1层次分析法

首先建立了层次结构模型后，其上下层之间元素的隶属关系就被确定了。最后需要对每一个层级的所有指标进行两两对比，确定其相对的重要性。而层次分析通常采用Saaty 标度法来给判断矩阵的元素赋值。如表1-1所示：

表1-1 1~9标度及其含义

1/ij a

1.1层次分析法计算步骤

依据表1-1我们可以得到要素层与各方案层的两两判断矩阵ij

n n

A a ，其

次通过下列步骤进行权重的计算以及一致性检验。

（1）我们利用方根法求评价因素的权重向量近似值，其计算公式如下：

11,(1,2,...,)n

i ij j w a i n =⎛⎫

== ⎪⎝⎭

∏

（2）对上述利用方根法求解的权重向量按照下列公式做归一化处理，得到最终的权重为：

,(1,2,...,)i

i n

k w w i n w

=∑

（3）计算判断矩阵的最大特征值m ax λ。

()max 1

i i

Aw nw λ=∑

（4）一致性检验，由一致性指标：

max 1

CI n λ-=

CI CR =

其中，一致性指标CI 越大，这就意味着矩阵的偏离一致性就越大。反之一致性指标CI 越小，则这就意味着矩阵的偏离一致性就越小。并且当矩阵的阶数n 越大时，其最大特征值max λ也就会越大，这就可能会导致CI 变得更大，也就意味着矩阵的偏离一致性就越大。反之，阶数n 越小，最大特征值max λ就会越小，其一致性指标CI 也就越小，则这就意味着矩阵的偏离一致性就越小。这样的模型并不具有科学性。因此，矩阵的判断过程便釆用了随机一致性指标，即RI 。RI 的大小与判断矩阵的阶数n 有关，具体数据如下表1-2所示：

层次分析法的原理及应用

层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种定量

分析方法，用于解决决策问题，其原理主要基于层次结构和逐级比较的思想。AHP通过将决策问题分解为多个层次，设立目标层、准则层和方案层，并通过对层次中各元素进行两两比较和权重计算，从而得出最优方案。AHP的基本原理如下：

1.定义层次结构：将复杂的决策问题分解为目标、准则和方案三个层次。目标是最终要达到的结果，准则是达到目标所需要满足的条件，方案

是实现准则的具体行动或选择。

2.建立判断矩阵：通过两两比较的方式，将每个准则和方案与其他准

则和方案进行比较，得出相对重要性的判断矩阵。在比较过程中，根据专

家判断，使用1到9的尺度进行评分。例如，如果A相对于B很重要，则

评分为9，如果A和B相等重要，则评分为1

3.计算权重：根据判断矩阵，通过特征向量法或特征值法计算每个准

则和方案的权重。特征向量法是将判断矩阵的每一列的平均值作为权重，

特征值法是通过计算判断矩阵的最大特征值和特征向量得到权重。

4.一致性检验：通过计算判断矩阵的一致性比率和一致性指标，判断

专家意见的一致性。一致性比率越接近0，说明意见越一致，一致性指标

小于0.1时才认为专家意见具有可接受的一致性。

5.综合评价：根据权重和准则的得分，计算每个方案的综合得分，从

而选择出最优方案。

1.投资决策：在投资决策中，可以将投资目标、收益预期、风险、投

资周期等因素作为准则，不同投资方案作为方案，通过层次分析法计算出

最优投资方案。

2.供应商选择：在供应链管理中，可以将供货能力、产品质量、价格

层次分析法的基本原理和步骤

层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP）是一种定量分析

方法，用于多准则决策问题的分析和决策。它的基本原理是将复杂的决策

问题层次化，通过对准则和方案的比较与评价，得出优先级权重，进而得

到最佳方案。

1.确定决策目标：确定决策问题的目标，明确要达到的结果。

2.构建层次结构：将决策问题分解成一个层次结构，包括目标层、准

则层和方案层。目标层表示最终要达到的目标，准则层表示影响目标实现

的准则因素，方案层表示可供选择的决策方案。

3.构建判断矩阵：在准则层和方案层中，两两比较各个准则或方案之

间的重要性或优劣程度。根据专家判断或个人主观意见，使用尺度（1-9）对两两比较进行评分，构建判断矩阵。

4.计算准则权重：根据判断矩阵的评分，使用特征值法或最大特征向

量法计算准则权重。首先对判断矩阵的列向量进行归一化处理，然后计算

归一化后的特征向量，最后将特征向量的元素相加，并按比例得到准则的

权重。

5.一致性检验：通过计算一致性指标和一致性比率来检验判断矩阵的

一致性。一致性指标表示判断矩阵与一致性判断矩阵之间的差异程度，一

致性比率表示判断矩阵的一致性程度。如果一致性指标小于一定阈值，且

一致性比率接近1，则认为判断矩阵具有满足一致性的权重。

6.计算方案权重：将计算得到的准则权重与判断矩阵相乘，计算每个

方案的权重。权重值越大，表示方案的优先级越高。

7.一致性检验：对方案权重进行一致性检验，与准则权重的一致性检

验类似。

8.敏感性分析：通过增加或减少一些因素的权重，分析结果的稳定性

层次分析法的计算步骤

一、定义层次分析法

层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是由梅尔·拉斯

菲尔德（M.L. Saaty）于1977年提出的一种多层结构和多维度的层次分

析方法。它是一种评估决策者面临复杂决策的基于层次结构逻辑的决策分

析方法，可以很轻松地将复杂的主观问题转换为客观的量化问题，从而求

解复杂的决策问题。

二、层次分析法计算流程

（1）决策问题的分类和层次结构的确定

首先，根据决策者的要求，将决策问题确定为一个有层次结构（AHP）和深度（hierarchy）的问题，将决策问题的内容分为n个层次。

（2）建立层次分析矩阵

将决策问题中的n个层次按从上至下的顺序，建立起一个n×n的层

次分析矩阵，称之为层次分析矩阵。

（3）确定层次分析矩阵的元素

在层次分析矩阵中，每一对元素的值都由决策者给出，即根据决策者

的判断，确定每个元素在n个层次层次中的比较的优劣。

（4）计算层次分析矩阵的均值尺度指数

均值尺度指数是由每行元素进行加权求和结果和n相除而得到的。它

表示每个元素在此行的平均相对权重。

（5）分析层次分析矩阵

一旦层次分析矩阵计算完毕。

层次分析法的计算_图文_图文

层次分析法的计算_图文_图文.ppt
4．计算最大特征值
式中AWi表示向量AW的第i个分量。例如
即权系数为
再求最大特征值的近似值
二、迭代法
建立n阶方阵按下列方法求向量迭代序列：
为的n个分量之和可以证明，迭代的维列向量序列记其极限为e，且记
收敛。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
则权系数可取
在具体计算中，当ek与ek-1接近到一定程度时，我们就取e=ek
解：1、明确问题；2、建立层次结构；先构造层
次结构，如下图所示。
购买一台满意的计算机G
目标层
功能强S1
价格低S2
易维护S3 准则层
A
B
C
方案层
对于三个准则（S1，S2，S3）关于目标G的优先顺序，根据讨论，该厂在计算机应用上首先要求功能强，其次要求易维护，再次才是价格低。其判断矩阵如下表所示。
0.1818 0.7272 0.0910
例如
由于e4=e3，迭代经过4次中止，权系数是相应的综合评价公式是
三、和法
1、计算判断矩阵A的每一列归一化
2．按行求和 3．归一化
则Wi为所求特征向量。
4．计算AW 5、计算最大特征值得近似值
式中(AW)i表示向量AW的第i个分量。
例某厂准备购买一台计算机，希望功能强，
价格低，维护容易。现有A、B、C三种机型可供选择。其中A的性能较好，价格一般，维护一般水平；B的性能最好，价格较贵，维护也只需一般水平；C的性能差，但价格便宜，容易维护。试用层次分析法进行决策分析。

层次分析法计算公式

分层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种用来分

析复杂决策问题的技术，它是由美国管理学家Thomas Saaty在1970年末

开发的。AHP是一种从多个不同的角度对复杂的决策问题进行分解，从而

识别出决策问题中的变量之间的关系，并在此基础上建立优先级的方法。

AHP的基本思想是将复杂的决策问题分解为一系列层次的子问题，将

不同层次的子问题用比较的方法进行比较，从而得出解决问题的一系列优

先级次序。AHP的计算步骤包括建立层次结构，建立决策矩阵，确定归一

化向量，确定最终的得分和优先级。

1、建立层次结构：AHP的层次结构是分析复杂决策问题的第一步，

它包括三个层次：根层、中间层和叶节点层。

根层描述决策问题的最高一级，负责概括整个决策问题；中间层描述

决策问题在不同的方面，将整个决策问题划分为多个子问题；叶节点层描

述各个子问题的具体内容，它们不再能进行分解，代表最终要解决的问题。

2、建立决策矩阵：决策矩阵是通过对比法，对各决策因素之间进行

比较并用矩阵来表示的。

决策矩阵由三部分组成：行列式、行列式所在的矩阵的行、列分别表

示不同决策因素之间的相对优劣，即矩阵的每个单元表示一种比较关系；

层次分析法的计算

逐层合成权重
将各层元素相对于上一层元素的权重与上一层元素相对于更高层元素的权重进行合成，得到最终的权重值。
判断一致性
在合成权重的过程中，需要判断各层的一致性，确保权重值的合理性。
总排序的一致性检验
计算一致性指标
通过比较下层元素对上层元素的权重值与根据上层元素权重值计算出的下层元素权重值的一致性程度，计算一致性指标。
层次分析法的计算
目录
• 层次分析法简介 • 建立层次结构模型 • 构造判断矩阵 • 层次单排序 • 层次总排序 • 层次分析法应用案例
01
层次分析法简介
定义与特点
定义
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种定性与定量相结合的多准则决策方法，主要用于解决结构较为复杂、决策准则较多且不易量化的决策问题。
3 层次单排序及一致性检验
将决策问题分解成不同的组成因素，并根据因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同的层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型。
4 层次总排序
将决策问题分解成不同的组成因素，并根据因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同的层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型。
详细描述
资源分配问题通常涉及到如何将有限的资源合理地分配给不同的需求或项目，以满足各种不同的目标和期望。层次分析法可以通过比较不同需求或项目之间的相对重要性，为资源分配提供科学的依据，确保资源得到最有效的利用。

层次分析法原理及计算过程详解

写在前面：

层次分析法是一个很早的决策算法了，它能够处理多目标多准则的决策问题，思维方式却很简单。由于其系统性等优点，后续很多算法都有借鉴，所以这里写一写。

网上关于该方法的讲解很多也很详细，所以本篇都是在前辈的基础上进行整理加工。文章尽量详细，然后加上一些我自己的理解，希望后面看到的人能够读起来更轻松，更容易接受。

注意：文中说的判断矩阵，又称成对比较阵

1.层次分析法概论

1.2什么是决策

1.3 决策分析法原理

2.层次分析法的基本步骤

2.1 层次分析法步骤

2.2 建立层次结构模型

2.3 构造判断矩阵

2.4 计算单层权向量并做一致性检验

2.5 计算组合权向量(层次总排序)并做一致性检验

2.6 层次分析法基本步骤归纳

3. 层次分析法的优缺点

3.1 层次分析法的优点

4.注意事项

5.可应用的领域

6. 完整例子分析

6.1 旅游问题

6.2 干部选择问题

1.层次分析法概论

1.1 什么是层次分析法

层次分析法（The analytic hierarchy process）简称AHP，在20世纪70年代初期由美国匹兹堡大学运筹学家托马斯·塞蒂（T.L. Saaty）在为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”的课题时提出。它是一种应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。

是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。

层次分析法的计算步骤

8、3、2 层次分析法的计算步骤

一、建立层次结构模型

运用AHP进行系统分析,首先要将所包含的因素分组,每一组作为一个层次,把问题条理化、层次化,构造层次分析的结构模型。这些层次大体上可分为3类

1、最高层:在这一层次中只有一个元素,一般就是分析问题的预定目标或理想结果,因此又称目标层;

2、中间层:这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节,它可由若干个层次组成,包括所需要考虑的准则,子准则,因此又称为准则层;

3、最底层:表示为实现目标可供选择的各种措施、决策、方案等,因此又称为措施层或方案层。

层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素,这里要注意,层次之间的支配关系不一定就是完全的,即可以有元素(非底层元素)并不支配下一层次的所有元素而只支配其中部分元素。这种自上而下的支配关系所形成的层次结构,我们称之为递阶层次结构。

递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽程度有关,一般可不受限制。为了避免由于支配的元素过多而给两两比较判断带来困难,每层次中各元素所支配的元素一般地不要超过9个,若多于9个时,可将该层次再划分为若干子层。

例如,大学毕业的选择问题,毕业生需要从收入、社会地位及发展机会方面考虑就是否留校工作、读研究生、到某公司或当公务员,这些关系可以将其划分为如图8、1所示的层次结构模型。

图8、1

再如,国家综合实力比较的层次结构模型如图6 、2:

图6 、2

图中,最高层表示解决问题的目的,即应用AHP所要达到的目标;中间层表示采用某种措施与政策来实现预定目标所涉及的中间环节,一般又分为策略层、约束层、准则层等;最低层表示解决问题的措施或政策(即方案)。

层次分析法的计算步骤

一、建立层次结构模型

运用AHP进行系统分析，首先要将所包含的因素分组，每一组作为一个层次，把问题条理化、层次化，构造层次分析的结构模型。这些层次大体上可分为3类

1、最高层：在这一层次中只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果，因此又称目标层；

2、中间层：这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节，它可由若干个层次组成，包括所需要考虑的准则，子准则，因此又称为准则层；

3、最底层：表示为实现目标可供选择的各种措施、决策、方案等，因此又称为措施层或方案层。

层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素，这里要注意，层次之间的支配关系不一定是完全的，即可以有元素（非底层元素）并不支配下一层次的所有元素而只支配其中部分元素。这种自上而下的支配关系所形成的层次结构，我们称之为递阶层次结构。

递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽程度有关，一般可不受限制。为了避免由于支配的元素过多而给两两比较判断带来困难，每层次中各元素所支配的元素一般地不要超过9个，若多于9个时，可将该层次再划分为若干子层。

例如，大学毕业的选择问题，毕业生需要从收入、社会地位及发展机会方面考虑是否留校工作、读研究生、到某公司或当公务员，这些关系可以将其划分为如图所示的层次结构模型。

图

再如，国家综合实力比较的层次结构模型如图6 .2：

图6 .2

图中，最高层表示解决问题的目的，即应用AHP所要达到的目标；中间层表示采用某种措施和政策来实现预定目标所涉及的中间环节，一般又分为策略层、约束层、准则层等；最低层表示解决问题的措施或政策（即方案）。

层次分析法的计算步骤(可编辑修改word版)

8.3.2 层次分析法的计算步骤

一、建立层次结构模型

运用AHP 进行系统分析，首先要将所包含的因素分组，每一组作为一个层次，把问题条理化、层次化，构造层次分析的结构模型。这些层次大体上可分为3 类

1、最高层：在这一层次中只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果，因此又称目标层；

2、中间层：这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节，它可由若干个层次组成，包括所需要考

虑的准则，子准则，因此又称为准则层；

3、最底层：表示为实现目标可供选择的各种措施、决策、方案等，因此又称为措施层或方案层。

递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽程度有关，一般可不受限制。为了避免由于支配的元素过多而给两两比较判断带来困难，每层次中各元素所支配的元素一般地不要超过9 个，若多于9 个时，可将该层次再划分为若干子层。

例如，大学毕业的选择问题，毕业生需要从收入、社会地位及发展机会方面考虑是否留校工作、读研究生、到某公司或当公务员，这些关系可以将其划分为如图8.1 所示的层次结构模型。

图8.1

再如，国家综合实力比较的层次结构模型如图6 .2：

图 6 .2

图中，最高层表示解决问题的目的，即应用AHP 所要达到的目标；中间层表示采用某种措施和政策来实现预定目标所涉及的中间环节，一般又分为策略层、约束层、准则层等；最低层表示解决问题的措施或政策（即方案）。

层次分析法计算

单排序和一致性检验权重Wi 0.4820521 0.1170162 0.2177916 0.1831402 AWi 2.0705473 0.4781661 0.9386173 0.7670943 AWi/Wi 4.2952774 4.0863252 4.3097037 4.1885638 4.2199675
准则层对于目标层的判断矩阵及单排序和一致性检验客流量道路畅通情况耗油量有乘客打车客流量道路畅通情况耗油量 1 3 4 1/3 1 1/2 1/4 来自百度文库 1 1/2 2 1/2 有乘客打车按行相乘 2 24 1/2 0.083333333 2 1 1 0.5 开n次方 2.2133638 0.5372850 1.0000000 0.8408964 4.5915452
CI=(λ -n)/ （n-1） 0.0733225
CR=CI/RI
0.0820989

层次分析法的计算

层次分析法(AHP法)计算过程

层次分析法计算权重

层次分析法的计算步骤

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层次分析法的原理及应用

层次分析法的基本原理和步骤

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层次分析法原理及计算过程详解

层次分析法的计算步骤

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