层次分析法的计算
层次分析法
来表示一致性.其值越小,一致性越好.
CI 0时,具备完全一致性 .
其中max是A的最大特征值 .
由于CI中含有A的维数n, 一般n越大, A的一 致性越差, 因此A的一致性的要求不能一刀 切, 应随n的增大, 放宽要求。Satty提出, 对 于固定的n, 随机地构造成对比较矩阵, 其中
aii
图1 层次结构模型
第三层
目标层
合理使用学校年度资金
准则层
改善办 学条件
提高办 学水平
教职工物质 文化生活
措施层
书新 馆建
动改 场建
学装 楼修
训引 人进
科加 建强
图 运 教 才培 设学
位增 津加 贴岗
图2 资金分配层次结构图
三 层次分析
层次分析是从对具体问题的了解出发, 建 立层次结构模型, 进行决策分析。
xi与x
贡献程度相同”时
j
xi
xj
3,当认为“
xi比x
的贡献略大”时
j
xi
xj
5,当认为“
xi比x
的贡献大”时
j
xi
xj
7,当认为“
xi比x
的贡献大很多”时
j
xi
xj
9,当认为“xi的贡献大到x
不能
j
与之相提并论”时
xi x j 2n, n 1,2,3,4,当认为xi x j 介于2n 1和2n 1之间时.
（4）定义未知参数 在这种问题中, 运用层次分析法建立表达式 来表达未曾定义过的量。典型的例子是价值 工程, 产品的价值V被定义为
VF C
其中F,C分别为产品的功能系数与成本系数, 它们可以用层次分析来定义。下面是一个 经济学例子。
3.3 层次分析法
是说物体之间的重要性程度满足一致性要求。一般 地，若正互反矩阵 A 满足
aij a jk aik
i, j,， k 1,2,, n
(3.3.4)则称
为完全一致性矩阵，简称为一致性矩阵或一致阵。 A
显然，对于一致性矩阵 A 而言，每列元素对应成比例 ，因而 A 的秩为1。又因为主对角线上的元素均为1 ，因而 A 有唯一的非零特征根为
对于（3.3.2）式中的矩阵 A，计算得到 m ax 5.206， 归一化的特征向量为 w (0.461,0.195,0.091,0.194,0.059)T 。由式（3.3.6）得到 CI 0.0515 ，再在表3.3.2中查出
RI 1.12 ，然后由式（3.3.7）计算
CR 0.0515 1.12 0.0460 0.1 ，故矩阵
断矩阵的随机一致性指标值。
表3.3.2
随机一致性指标值
当 n 1或2时，矩阵 A为一致性矩阵；当 标 RI 作比值，即
n 3时
，将 A 的一致性指标 CI 与它的同阶随机一致性指
CR CI RI .
（3.3.7）
CR称为一致性比率。 CR的值越小，说明判断矩阵 A
的一致性就越好。一般地，当 CR 0.1时，可以认 为 A的不一致性在容许的范围之内，此时 A具有满 意的一致性，利用 A的最大特征值对应的特征向量 对因素进行排序。若 C R 0 .1 ，则需要对判断矩阵 A 进行修正，或者重新构造矩阵 A 。
假设要比较层次结构中某一层 n个因素 C 1 , C 2 , , C n对 上一层次因素O 的影响，对因素 C i 和 C j 进行对比 ，并用 a ij 来表示因素 C i 相对于因素 C j 来说对因素
层次分析法(详细)
1
1/5 1/3 2 6.53
5
1 3 3 20
3
1/3 1 1 7.33
1/2
1/3 1 1 3.83
B
p1 p2
p1
p2
p3
p4
p5
p6
0.16 0.17 0.15 0.20 0.14 0.13 0.16 0.17 0.30 0.20 0.14 0.13
p3
p4 p5 p6
0.16 0.09 0.15 0.25 0.42 0.13
3
1
1
和积法具体计算步骤：
o将判断矩阵的每一列元素作归一 化处理，其元素的一般项为：
bij= bij 1nbij
(i,j=1,2,….n)
B
p1 p2
p1 1 1
p2 1 1
p3 1 2
p4 4 4
p5 1 1
p6 1/2 1/2
p3
p4 p5 p6
1
1/4 1 2 6.25
1/2
1/4 1 2 5.75
层次分析法（AHP）特点： 分析思路清楚，可将系统分析人 员的思维过程系统化、数学化和模 型化； 分析时需要的定量数据不多，但 要求对问题所包含的因素及其关系 具体而明确；
层次分析法（AHP）特点： 这种方法适用于多准则、多目标 的复杂问题的决策分析，广泛用于 物流系统规划与评价、地区经济发 展方案比较、科学技术成果评比、 资源规划和分析以及企业人员素质 测评。
层次分析法（AHP）具体步骤： 建立两两比较的判断矩阵 判断矩阵表示针对上一层次 某单元（元素），本层次与它有关 单元之间相对重要性的比较。一般 取如下形式：
Cs
p1 b11 b21 … … bn1
层次分析法的计算步骤
层次分析法的计算步骤
一、定义层次分析法
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是由梅尔·拉斯
菲尔德（M.L. Saaty）于1977年提出的一种多层结构和多维度的层次分
析方法。
它是一种评估决策者面临复杂决策的基于层次结构逻辑的决策分
析方法，可以很轻松地将复杂的主观问题转换为客观的量化问题，从而求
解复杂的决策问题。
二、层次分析法计算流程
（1）决策问题的分类和层次结构的确定
首先，根据决策者的要求，将决策问题确定为一个有层次结构（AHP）和深度（hierarchy）的问题，将决策问题的内容分为n个层次。
（2）建立层次分析矩阵
将决策问题中的n个层次按从上至下的顺序，建立起一个n×n的层
次分析矩阵，称之为层次分析矩阵。
（3）确定层次分析矩阵的元素
在层次分析矩阵中，每一对元素的值都由决策者给出，即根据决策者
的判断，确定每个元素在n个层次层次中的比较的优劣。
（4）计算层次分析矩阵的均值尺度指数
均值尺度指数是由每行元素进行加权求和结果和n相除而得到的。
它
表示每个元素在此行的平均相对权重。
（5）分析层次分析矩阵
一旦层次分析矩阵计算完毕。
层次分析法
层次分析法
层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种用于多因素决策和评估的定量方法。
它由美国运筹学家托斯·L·赛蒂（Thomas L. Saaty）在1970年代提出，并成为了一种广泛应用的决策支持工具。
层次分析法通过将一个复杂的决策问题分解为多个层次和因素，然后利用专家的主观判断，对这些层次和因素进行两两比较和权重分配，最终得出最优选择的方法。
下面是层次分析法的基本步骤：
建立层次结构：确定决策问题的目标和准则，并将其拆分为若干层次，形成一个层次结构。
两两比较：对每个层次的元素进行两两比较，确定它们之间的相对重要性。
比较可以使用数字尺度，通常是一个1到9的比较矩阵，其中1表示相同重要性，9表示极端重要性差异。
构建判断矩阵：将两两比较的结果整理成一个判断矩阵，其中矩阵的元素表示各个元素之间的相对重要性。
计算权重：根据判断矩阵计算权重向量，表示各个元素相对于其上一层次的重要性，通常使用特征向量法进行计算。
一致性检验：对判断矩阵的一致性进行检验，确保专家的判断具有合理的一致性。
综合评价：利用权重向量和层次结构中的数据，进行综合评估和决策选择。
层次分析法在许多领域都有广泛应用，包括工程、管理、市场营销、投资决策等。
它能够帮助决策者在复杂的决策问题中进行系统化的分析和评估，从而提供科学的决策支持。
（完整版）层次分析法的计算步骤
（完整版）层次分析法的计算步骤8.3.2 层次分析法的计算步骤⼀、建⽴层次结构模型运⽤AHP进⾏系统分析，⾸先要将所包含的因素分组，每⼀组作为⼀个层次，把问题条理化、层次化，构造层次分析的结构模型。
这些层次⼤体上可分为3类1、最⾼层：在这⼀层次中只有⼀个元素，⼀般是分析问题的预定⽬标或理想结果，因此⼜称⽬标层；2、中间层：这⼀层次包括了为实现⽬标所涉及的中间环节，它可由若⼲个层次组成，包括所需要考虑的准则，⼦准则，因此⼜称为准则层；3、最底层：表⽰为实现⽬标可供选择的各种措施、决策、⽅案等，因此⼜称为措施层或⽅案层。
层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素，这⾥要注意，层次之间的⽀配关系不⼀定是完全的，即可以有元素（⾮底层元素）并不⽀配下⼀层次的所有元素⽽只⽀配其中部分元素。
这种⾃上⽽下的⽀配关系所形成的层次结构，我们称之为递阶层次结构。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽程度有关，⼀般可不受限制。
为了避免由于⽀配的元素过多⽽给两两⽐较判断带来困难，每层次中各元素所⽀配的元素⼀般地不要超过9个，若多于9个时，可将该层次再划分为若⼲⼦层。
例如，⼤学毕业的选择问题，毕业⽣需要从收⼊、社会地位及发展机会⽅⾯考虑是否留校⼯作、读研究⽣、到某公司或当公务员，这些关系可以将其划分为如图8.1所⽰的层次结构模型。
图8.1再如，国家综合实⼒⽐较的层次结构模型如图6 .2：图6 .2图中，最⾼层表⽰解决问题的⽬的，即应⽤AHP所要达到的⽬标；中间层表⽰采⽤某种措施和政策来实现预定⽬标所涉及的中间环节，⼀般⼜分为策略层、约束层、准则层等；最低层表⽰解决问题的措施或政策（即⽅案）。
然后，⽤连线表明上⼀层因素与下⼀层的联系。
如果某个因素与下⼀层所有因素均有联系，那么称这个因素与下⼀层存在完全层次关系。
有时存在不完全层次关系，即某个因素只与下⼀层次的部分因素有联系。
层次之间可以建⽴⼦层次。
⼦层次从属于主层次的某个因素。
层次分析法计算公式
层次分析法计算公式
分层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是一种用来分
析复杂决策问题的技术，它是由美国管理学家Thomas Saaty在1970年末
开发的。
AHP是一种从多个不同的角度对复杂的决策问题进行分解，从而
识别出决策问题中的变量之间的关系，并在此基础上建立优先级的方法。
AHP的基本思想是将复杂的决策问题分解为一系列层次的子问题，将
不同层次的子问题用比较的方法进行比较，从而得出解决问题的一系列优
先级次序。
AHP的计算步骤包括建立层次结构，建立决策矩阵，确定归一
化向量，确定最终的得分和优先级。
1、建立层次结构：AHP的层次结构是分析复杂决策问题的第一步，
它包括三个层次：根层、中间层和叶节点层。
根层描述决策问题的最高一级，负责概括整个决策问题；中间层描述
决策问题在不同的方面，将整个决策问题划分为多个子问题；叶节点层描
述各个子问题的具体内容，它们不再能进行分解，代表最终要解决的问题。
2、建立决策矩阵：决策矩阵是通过对比法，对各决策因素之间进行
比较并用矩阵来表示的。
决策矩阵由三部分组成：行列式、行列式所在的矩阵的行、列分别表
示不同决策因素之间的相对优劣，即矩阵的每个单元表示一种比较关系；。
层次分析法的计算_图文_图文
它们对于元素
的层次单排序权值分别为
（当 与 无关系时， ）。此时B层次总 排序权值如表二给出。
层次 A1 A2 ……
a1 a2 ……
B1
b11 b12 ……
B2
b21 b22 ……
┋
┋
┋
Bn
bn1 bn2 ……
注
：
Am B层次总排 am 序权重
b1m
w1
b2m
w2
┋
┋
bnm
wn
同样，三个方案对于各个准则的判断矩阵 以及运算所得的结果见三、四、五、六。
0.1818 0.7272 0.0910
表三
A
B
CW
A1
1/4
B4
1
C 1/2 1/8
2 0.1818 8 0.7272 1 0.0910
对准则 （功能强）来说： 即认为判断矩阵具有满意的一致性。
表四
A
B
CW
对准则 （价格低）来说：
A
1
4
1/3 0.2559
B
1/4
1
1/8 0.0733
即C认为判断3矩阵具有8满意的一1 致性0.。6708
解：1、明确问题；2、建立层次结构；先构造层
次结构，如下图所示。
购买一台满意的计算机G
目标层
功能强S1
价格低S2
易维护S3 准则层
A
B
C
方案层
对于三个准则（S1，S2，S3）关于 目标G的优先顺序，根据讨论，该厂在计算 机应用上首先要求功能强，其次要求易维 护，再次才是价格低。其判断矩阵如下表 所示。
例如
由于e4=e3，迭代经过4次中止，权矩阵A的每一列归一化
层次分析法
层次分析法的计算方法一、和积法为简化计算，可采用近似方法——和积法计算，它使得我们可以使用小型计算器在保证足够精确度的条件下运用AHP。
其具体计算步骤如下：（1）将判断矩阵每一列正规化。
， i，j =1，2，…，n （7.3.2）ij =（2）每一列经规划后的判断矩阵按行相加。
I = ， j = 1，2，…，n （7.3.3）（3）对向量 = T（1）正规化。
W = ， i =1，2，…，n （7.3.4）所得到的 W = T即为所求特征向量。
（4）计算判断距阵最大特征根。
= （7.3.5）式中，（AW）i为向量AW的第i 个分量。
二、方根法为简化计算，AHP也采用另一种近似方法——方根法计算，其步骤为：（1）B的元素按行相乘。
u ij =（2）所得的乘积分别开n次方。
u i =(3)将方根向量正规化，即得特征向量W的第i个分量。
W i =（4）计算判断矩阵最大特征根。
=式中，（AW）i为向量AW的第i 个分量。
例7.1用和积计算下述判断矩阵的最大特征根及对应的特征向量。
判断矩阵列于表7-4。
表7—4解（1）按上述和积的计算步骤，得到按正规化后的判断矩阵为（2）按上述步骤，按行相加，得= = 0.111+0.130+0.077 = 0.318 12 =0.556+0.652+0.692=1.9003 =0.333+0.217+0.231=0.781（3）将向量W=[0.318，1.900，0.781]T正规化，得= 0.318+1.900+0.781=2.999= = = 0.106W1== 0.634W2= =0.260W3则所求特征向量W=[0.106，0.634，0.260]T（4）计算判断矩阵的最大特征根AW =(AW)1 = 1×0.106+×0.634+×0.260=0.319 (AW)2= 5×0.106+1×0.634+3×0.260=1.944(AW)3= 3×0.106+1×0.634+1×0.260=0.789+= = +=++=3.040。
层次分析法的计算
最小二乘法
总结词
该方法通过最小化误差平方和来求解元素的权重。
详细描述
最小二乘法是一种数学优化技术，用于求解线性方程组。在层次分析法中，最小 二乘法通过最小化误差平方和来求解元素的权重。首先，构建一个判断矩阵，然 后利用最小二乘法求解该矩阵的解，得到各元素的权重。
和积法
总结词
该方法通过将判断矩阵的元素相加并归一化来求解元素的权 重。
判断一致性是否满足要求
根据一致性指标的大小，判断总排序的一致性是否满足要求，如果不满足则需要进行调整。
层次总排序的计算步骤
构建层次结构模型
将问题分解为不同的层次，明确各层次之 间的关系。
检验一致性
对层次总排序权重的一致性进行检验，确 保权重的合理性。
构造判断矩阵
根据专家打分或数据，构造各层次的判断 矩阵。
3 层次单排序及一致性检验
将决策问题分解成不同的组成因素，并根据因素间的相 互关联影响以及隶属关系将因素按不同的层次聚集组合 ，形成一个多层次的分析结构模型。
4 层次总排序
将决策问题分解成不同的组成因素，并根据因素间的相 互关联影响以及隶属关系将因素按不同的层次聚集组合 ，形成一个多层次的分析结构模型。
特点
简单实用，对数据要求不高，能够处理多目标、多准则、多时期等的复杂决策问题，特别适合于人的主观判断 起重要作用的决策。
应用领域
01
02
03
资源分配
在资源有限的情况下，如 何合多个备选方案中，如何 选择最优方案。
冲突分析
分析不同利益相关者之间 的冲突，并寻求解决方案。
详细描述
和积法是一种简单而常用的层次分析法计算方法。首先，构 建一个判断矩阵，然后将判断矩阵的每一列归一化，再将归 一化后的列相加得到一个总和向量，最后将总和向量归一化 即可得到各元素的权重。
层次分析法
1层次分析法首先建立了层次结构模型后，其上下层之间元素的隶属关系就被确定了。
最后需要对每一个层级的所有指标进行两两对比，确定其相对的重要性。
而层次分析通常采用Saaty 标度法来给判断矩阵的元素赋值。
如表1-1所示：表1-1 1~9标度及其含义1.1层次分析法计算步骤依据表1-1我们可以得到要素层与各方案层的两两判断矩阵()ij n nA a ´=，其次通过下列步骤进行权重的计算以及一致性检验。
（1）我们利用方根法求评价因素的权重向量近似值，其计算公式如下：11,(1,2,...,)nni ij j w a i n =⎛⎫== ⎪⎝⎭∏（2）对上述利用方根法求解的权重向量按照下列公式做归一化处理，得到最终的权重为：'1,(1,2,...,)ii nik w w i n w===∑（3）计算判断矩阵的最大特征值m ax λ。
()max 1=nii iAw nw λ=∑（4）一致性检验，由一致性指标：max 1nCI n λ-=-RICI CR =其中，一致性指标CI 越大，这就意味着矩阵的偏离一致性就越大。
反之一致性指标CI 越小，则这就意味着矩阵的偏离一致性就越小。
并且当矩阵的阶数n 越大时，其最大特征值max λ也就会越大，这就可能会导致CI 变得更大，也就意味着矩阵的偏离一致性就越大。
反之，阶数n 越小，最大特征值max λ就会越小，其一致性指标CI 也就越小，则这就意味着矩阵的偏离一致性就越小。
这样的模型并不具有科学性。
因此，矩阵的判断过程便釆用了随机一致性指标，即RI 。
RI 的大小与判断矩阵的阶数n 有关，具体数据如下表1-2所示：表1-2 RI 随机一致性指标若CR<0.1则说明一次性检验通过，则其对应的特征向量可作为权向量。
1.2指标权重的确定依据前面介绍的层次分析法，对所建立的指标体系中准则层和指标层权重进行计算。
1.2.1准则层指标权重确定收集专家对评价目标下的准则层指标的基础性的数据，汇总如下表1-3所示，该数据也就是准则层七个指标的判断矩阵。
层次分析法原理及计算过程详解
层次分析法原理及计算过程详解写在前面：层次分析法是一个很早的决策算法了，它能够处理多目标多准则的决策问题，思维方式却很简单。
由于其系统性等优点，后续很多算法都有借鉴，所以这里写一写。
网上关于该方法的讲解很多也很详细，所以本篇都是在前辈的基础上进行整理加工。
文章尽量详细，然后加上一些我自己的理解，希望后面看到的人能够读起来更轻松，更容易接受。
注意：文中说的判断矩阵，又称成对比较阵目录：1.层次分析法概论1.2什么是决策1.3 决策分析法原理2.层次分析法的基本步骤2.1 层次分析法步骤2.2 建立层次结构模型2.3 构造判断矩阵2.4 计算单层权向量并做一致性检验2.5 计算组合权向量(层次总排序)并做一致性检验2.6 层次分析法基本步骤归纳3. 层次分析法的优缺点3.1 层次分析法的优点4.注意事项5.可应用的领域6. 完整例子分析6.1 旅游问题6.2 干部选择问题1.层次分析法概论1.1 什么是层次分析法层次分析法（The analytic hierarchy process）简称AHP，在20世纪70年代初期由美国匹兹堡大学运筹学家托马斯·塞蒂（T.L. Saaty）在为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”的课题时提出。
它是一种应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。
是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。
是对社会、经济以及管理领域的问题进行系统分析时，面临的经常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂系统。
层次分析法则为研究这类复杂的系统，提供了一种新的、简洁的、实用的决策方法。
是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。
该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。
9.2层次分析法的求解步骤
(3) (2)
其中W(p)是由第p层对第p-1
层权向量组成的矩阵
对于实际问题中不一致(但在允许范围内)的 成对比较阵A，我们可用对应于最大特征根
的特征向量作为权向量w ，即
Aw w
实际问题中，我们先进行一致性检验，判 断不一致是否在允许范围内
层次分析法的求解步骤
一致性检验 对A确定不一致的允许范围
已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n
结论：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致阵
2
B 2
3
1
1/ 3
1/5 1/ 2 1
8 3 1
…B n
最大特征根 1
权向量
w (3) 1
2
w (3) 2
… n
… wn(3)
层次分析法的求解步骤
组合权向量 k1
第3层对第2层的计算结
果
2
3
4
5
0.595
w(3) 0.277 k 0.129
k
3.005
方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+ …=0.300 方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T
层次分析法的求解步骤
组合 权向量
第2层对第1层的权向量
w(2) (w(2) , , w(2) )T
1
n
第1层O 第2层C1,…Cn
第3层对第2层各元素的权向量
CIk 0.003
0.082 0.236 0.682
3.002
0.001
0.429 0.429 0.142
3
0
0.633 0.193 0.175
层次分析法的计算步骤
层次分析法的计算步骤一、建立层次结构模型运用AHP进行系统分析，首先要将所包含的因素分组，每一组作为一个层次，把问题条理化、层次化，构造层次分析的结构模型。
这些层次大体上可分为3类1、最高层：在这一层次中只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果，因此又称目标层；2、中间层：这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节，它可由若干个层次组成，包括所需要考虑的准则，子准则，因此又称为准则层；3、最底层：表示为实现目标可供选择的各种措施、决策、方案等，因此又称为措施层或方案层。
层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素，这里要注意，层次之间的支配关系不一定是完全的，即可以有元素（非底层元素）并不支配下一层次的所有元素而只支配其中部分元素。
这种自上而下的支配关系所形成的层次结构，我们称之为递阶层次结构。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽程度有关，一般可不受限制。
为了避免由于支配的元素过多而给两两比较判断带来困难，每层次中各元素所支配的元素一般地不要超过9个，若多于9个时，可将该层次再划分为若干子层。
例如，大学毕业的选择问题，毕业生需要从收入、社会地位及发展机会方面考虑是否留校工作、读研究生、到某公司或当公务员，这些关系可以将其划分为如图所示的层次结构模型。
图再如，国家综合实力比较的层次结构模型如图6 .2：图6 .2图中，最高层表示解决问题的目的，即应用AHP所要达到的目标；中间层表示采用某种措施和政策来实现预定目标所涉及的中间环节，一般又分为策略层、约束层、准则层等；最低层表示解决问题的措施或政策（即方案）。
然后，用连线表明上一层因素与下一层的联系。
如果某个因素与下一层所有因素均有联系，那么称这个因素与下一层存在完全层次关系。
有时存在不完全层次关系，即某个因素只与下一层次的部分因素有联系。
层次之间可以建立子层次。
子层次从属于主层次的某个因素。
它的因素与下一层次的因素有联系，但不形成独立层次，层次结构模型往往有结构模型表示。
层次分析法确定评价指标权重及计算
层次分析法确定评价指标权重及计算一、本文概述层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种多准则决策分析方法，由美国运筹学家萨蒂（T.L.Saaty）教授于20世纪70年代初期提出。
这种方法通过将复杂问题分解为若干层次和若干因素，在各因素之间进行简单的比较和计算，得出不同方案的权重，从而为决策者提供定量化的决策依据。
本文旨在详细阐述层次分析法在确定评价指标权重及计算过程中的应用，包括其基本原理、步骤、优缺点以及在实际问题中的案例分析。
通过本文的阐述，读者可以更好地理解和掌握层次分析法的核心思想和应用方法，为解决复杂的多准则决策问题提供有力的工具。
二、层次分析法的基本原理层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）是一种定性与定量相结合的决策分析方法，由美国运筹学家T.L.Saaty教授于20世纪70年代初提出。
这种方法通过将复杂问题分解为若干层次和若干因素，在各因素之间进行简单的比较和计算，得出不同方案的权重，从而为决策者提供科学、合理的决策依据。
建立层次结构模型：将问题分解为不同的层次，包括目标层、准则层和方案层。
目标层是决策问题的最终目标或理想结果；准则层是实现目标所需考虑的各种准则或因素；方案层是实现目标的具体方案或措施。
构造判断矩阵：通过比较同一层次中各因素对于上一层次中某一准则的重要性，构造判断矩阵。
判断矩阵的元素通常采用1-9标度法赋值，表示各因素之间的相对重要性。
计算权重向量：通过求解判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，得到各因素对于上一层次准则的权重向量。
常用的求解方法有和积法和方根法。
一致性检验：为保证判断矩阵的一致性和合理性，需要进行一致性检验。
一致性检验的指标为一致性比例CR，当CR小于1时，认为判断矩阵的一致性可以接受；否则，需要重新调整判断矩阵的元素值。
通过层次分析法，我们可以将复杂的决策问题分解为若干层次和因素，通过定性与定量相结合的分析方法，得出不同方案的权重，从而为决策者提供科学、合理的决策依据。
层次分析法的计算步骤(可编辑修改word版)
8.3.2 层次分析法的计算步骤一、建立层次结构模型运用AHP 进行系统分析，首先要将所包含的因素分组，每一组作为一个层次，把问题条理化、层次化，构造层次分析的结构模型。
这些层次大体上可分为3 类1、最高层：在这一层次中只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果，因此又称目标层；2、中间层：这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节，它可由若干个层次组成，包括所需要考虑的准则，子准则，因此又称为准则层；3、最底层：表示为实现目标可供选择的各种措施、决策、方案等，因此又称为措施层或方案层。
层次分析结构中各项称为此结构模型中的元素，这里要注意，层次之间的支配关系不一定是完全的，即可以有元素（非底层元素）并不支配下一层次的所有元素而只支配其中部分元素。
这种自上而下的支配关系所形成的层次结构，我们称之为递阶层次结构。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及分析的详尽程度有关，一般可不受限制。
为了避免由于支配的元素过多而给两两比较判断带来困难，每层次中各元素所支配的元素一般地不要超过9 个，若多于9 个时，可将该层次再划分为若干子层。
例如，大学毕业的选择问题，毕业生需要从收入、社会地位及发展机会方面考虑是否留校工作、读研究生、到某公司或当公务员，这些关系可以将其划分为如图8.1 所示的层次结构模型。
图8.1再如，国家综合实力比较的层次结构模型如图6 .2：图 6 .2图中，最高层表示解决问题的目的，即应用AHP 所要达到的目标；中间层表示采用某种措施和政策来实现预定目标所涉及的中间环节，一般又分为策略层、约束层、准则层等；最低层表示解决问题的措施或政策（即方案）。
然后，用连线表明上一层因素与下一层的联系。
如果某个因素与下一层所有因素均有联系，那么称这个因素与下一层存在完全层次关系。
有时存在不完全层次关系，即某个因素只与下一层次的部分因素有联系。
层次之间可以建立子层次。
子层次从属于主层次的某个因素。
它的因素与下一层次的因素有联系，但不形成独立层次，层次结构模型往往有结构模型表示。
层次分析法AHP
层次分析法一、层次分析法简介美国运筹学家Saaty于20世纪70年代初提出了著名的层次分析法(Analytic Hierarchy Process简称AHP)。
层次分析法就是将与决策有关的元素分解成目标、准则、方案等层次,在此基础之上进行定性与定量分析的决策方法。
该方法具有系统、灵活、简洁的优点。
运用层次分析法建模来解决实际问题,可按如下五个步骤:步骤l 定义问题,确定目标步骤2从最高层(目标层),通过中间层(准则层)到最低层(方案层)构成一个层次结构模型步骤3 两两比较打分,确定下层对上层的分数准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同,在决策者的心目中,它们各占有一定的比例。
引用数字1-9及其倒数作为标度来定义判断矩阵(见表1)。
表1 判断矩阵标度定义标度含义含义l 表示两个因素相比,具有相同重要性3 表示两个因素相比,前者比后者稍重要5 表示两个因素相比,前者比后者明显重要7 表示两个因素相比,前者比后者强烈重要9 表示两个因素相比,前者比后者极端重要2,4,6,8 表示上述相邻判断的中间值倒数若因素i与因素j的重要性之比为,那么因素j与因素i重要性之比为步骤4 层次合成计算步骤5一致性检验1)计算一致性指标CI(consmtency index)其中,为判断矩阵的最大特征值。
2)查找一致性指标RI(见表2)表2 平均随机一致性指标n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 RI 0 O O、52 0.89 1.12 1、24 1、36 1、41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.583)计算一致性比例CR(consistency ratio)当CR<0、10时,认为通过了一次性检验,否则应作适当修正。
二、层次分析法权重向量W计算方法层次分析法有四种计算方法求权重:算术平均法、几何平均法、特征向量法、最小二乘法。
1、算术平均法(求与法)由于判断矩阵A中的每一列都近似地反映了权值的分配情形,故可采用全部列向量的算术平均值来估计权向量。
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n i 1
( AW )i nWi
.
式中AWi表示向量AW的第i个分量。
例如
1 5
1/ 5 1
1/ 3
3
每行之乘积
1
1 5
1 3
0.7
51 3 15
3 1/ 3 1
3
11
1
3
0.412
0.105
球Mi的三次方根
2.466
标准化
0.637
,
1
0.258
即权系数为
W (0.105, 0.637, 0.258)T
.
式中(AW)i表示向量AW的第i个分量。
例 某厂准备购买一台计算机，希望功能强，
价格低，维护容易。现有A、B、C三种机型可供 选择。其中A的性能较好，价格一般，维护一般 水平；B的性能最好，价格较贵，维护也只需一 般水平；C的性能差，但价格便宜，容易维护。 试用层次分析法进行决策分析。
解：1、明确问题；2、建立层次结构；先构造层
4、层次单排序及其一致性检验（用方 根法计算这三个准则关于目标的排序权值）
M1 15, M 2 0.667, M3 1
w1 3 15 2.446, w2 3 0.667 0.405, w3 3 1 1
标准化：
2.446
2.446
W1 2.446 0.405 1 3.871 0.637
在具体计算中，当ek与ek-1接近到一定程度时， 我们就取e=ek
例如
1 1 1/ 5 1/ 3 A 1 1 1/ 3 , e0 1/ 3
5 3 1 1/ 3
1 1 1/ 5 1/ 3 0.733 e '1 Ae0 1 1 1/ 3 1/ 3 0.778 , e '1 0.733 0.778 3 4.511
1.936 3 0.637
0.318 0.785 3 0.105 3 0.258
1.936 0.318 0.785 3.0385 1.911 0.315 0.774
判断矩阵的一致性指标CI为
CI max n 3.0385 3 0.0192,
5 3 1 0.665 1.991
0.467 0.155
e2
e '2 e '2
1 3.014
0.565 1.991
0.184 0.661
1 1 1/ 5 0.155 0.471 e '3 Ae2 1 1 1/ 3 0.184 0.559 , e '3 0.471 0.559 1.988 3.018
0.105
1 1/ 5 1/ 3 0.105 0.318
W
0.637
.AW
5
1
3
0.637
1.936
0.258
3 1/ 3 1 0.258 0.785
再求最大)i nWi
0.318 3 0.105
1.936 3 0.637
0.785 3 0.258
5 3 1 1/ 3 3
0.733 0.162
e1
e '1 e '1
1 4.511
0.778
0.172
3 0.665
1 1 1/ 5 0.162 0.467 e '2 Ae1 1 1 1/ 3 0.172 0.565 , e '2 0.467 0.565 1.991 3.014
W2
0.405 2.446 0.405
1
0.105
W3
2.446
1 0.405 1
0.258.
则 Wi 为所求特征向量。
计算最大特征值
max
n i 1
( AW )i nWi
.
式中 ( AW )i 表示向量AW的第i个分量。
一致检验结果为
0.637
1 5 3 0.637
W 0.105.AW 1/ 5
1
1/
3
0.105
0.258
1/ 3 3 1 0.258
1 0.637+5 0.105+3 0.258 1.936 1/5 0.637+1 0.105+1/3 0.258 0.318 1/3 0.637+3 0.105+1 0.258 0.785
max
3 i 1
( AW )i nWi
3.037
二、迭代法
建立n阶方阵 A (aij )nn. 按下列方法求向量迭代序列：
1
n
1
e0
n
M
1
n n1.
e 'k 为 Aek1 的n个分量之和
可以证明，迭代的维列向量序列 {ek } 收敛。
记其极限为e，且记
1
e
2
M
n
n1.
则权系数可取
i i ,i 1, 2,L , n
5 3 1 0.661 1.988
0.471 0.156
e3
e '3 e '3
1 3.018
0.559
0.185
1.988 0.659
1 1 1/ 5 0.156 0.473 e '4 Ae3 1 1 1/ 3 0.185 0.561 , e '4 0.473 0.5611.994 3.028
次结构，如下图所示。
购买一台满意的计算机G
目标层
功能强S1
价格低S2
易维护S3 准则层
A
B
C
方案层
对于三个准则（S1，S2，S3）关于 目标G的优先顺序，根据讨论，该厂在计算 机应用上首先要求功能强，其次要求易维 护，再次才是价格低。其判断矩阵如下表 所示。
3、构造判断矩阵
表一
G S1 S2 S3 S1 1 5 3 S2 1/5 1 1/3 S3 1/3 3 1
一、最大特征值和特征向量的近似计算（方根法）
计算的主要步骤：
1、计算判断矩阵A的每一行元素乘积
n
Mi aij ,i 1, 2,L , n. j 1
2．计算Mi的n次方根
Wi n Mi . 3．若 W i 标准化为
Wi
Wi
n
,
W j
j 1
则 Wi 为所求特征向量。
4．计算最大特征值
max
三、和法
1、计算判断矩阵A的每一列归一化
n
ij aij / aij i 1 n
2．按行求和 wi ij j 1
n
3．归一化 Wi wi / wi i 1
W (w1, w2 ,L , wn )T
则Wi为所求特征向量。
4．计算AW
5、计算最大特征值得近似值
max
n i 1
( AW )i nWi
5 3 1 0.659 1.994
0.473 0.156
e4
e '4 e '4
1 3.028
0.561 1.994
0.185 0.659
由于e4=e3，迭代经过4次中止，权系数是
1 0.156,2 0.185,3 0.659.
相应的综合评价公式是
y 0.156x1 0.185x2 0.659x3