在点电荷电场中球形导体表面感应电荷的分布
在点电荷电场中球形导体表面感应电荷的分布
在点电荷电场中球形导体表⾯感应电荷的分布点电荷电场中球形导体表⾯感应电荷的分布姜树青（浙江省平湖中学，浙江平湖 314200）摘要：在点电荷形成的电场中，导体处于静电平衡时，由于静电感应，其表⾯有感应电荷分布．本⽂拟对球形导体表⾯感应电荷的分布及相关问题作出定量探讨．关键词：感应电荷⾯密度最近点最远点界⼼⾓切⼼⾓⾓差 1 问题的提出如右图1所⽰，导体球半径为R ，点电荷与球⼼相距为r （r ＞R ），整个装置置于真空中．试讨论在电键k 接通和断开两种情况下，导体球表⾯感应电荷的分布规律． 2 求解和讨论 2.1电键k 接通情形2.1.1导体球表⾯感应电荷分布的定量表达式我们知道，导体球外部空间的电场是由点电荷Q 和球⾯感应电荷共同叠加形成的．依据电像理论，球⾯感应电荷对外部空间的电场贡献，可由点电荷Q 的像点电荷q ′等效替代． q ′位于Q 与导体球⼼O 连线上，距球⼼为r ′．这⾥ q ′和r ′之值为：画出点电荷r 为正、负电性两种情形球⾯某点P 的合电场E P 如图2甲、⼄所⽰．图中E P ⽅向总与球⾯垂直，当Q 为正电性时，E P ⽅向沿径向指向球⼼；当Q 为负电性时，E P ⽅向沿径向指向球外．只要R 和r 相同，点电荷Q 正、负两种情形对应的E P ⼤⼩相等．设θ为OQ 和OP 所夹的⾓，仅⽤初等数学知识就能求出Q和．Q 2rR－q r R r ='='，q ′在P 点产⽣的合场强E P 的⼤⼩（推导过程从略）：于是P 点感应电荷⾯密度σP 为表达式中前⾯的“－”号表⽰感应电荷的电性与Q 相反．由上式可知，在Q 、R 及r 都确定下，球⾯上感应电荷的⾯密度σ只与θ有关．在θ于范围0～2π以内，σ总与Q 符号相反，即整个导体球⾯上都分布着与Q 电性相反的感应电荷，且感应电荷的分布关于Q 与球⼼O 的连线对称．|σ|—θ关系如图3所⽰．我们知道，导体球接地时，整个球体电势视为0，设整个球⾯感应电荷的总量为q 总感，由电磁学知识易得q 总感之值：kQ/r + k q 总感 /R = 0，即q 总感=－R Q / r ．（2）⼀个⾃然要提出的疑问是：按上述（1）式分布的球⾯感应电荷，整个球⾯感应电荷的总量是否也收敛到（2）式的结果呢？对（1）式作球⾯积分：，）（）（32222P cos 2Q θR r －R r k R －R r －E +?=）（）（）（1cos 2Q4432222P P ．R r －R r R－R r －kE θππσ+?==．Q 224Q ]cos 21[24Q cos 2sin 4Q sin 222202122220232220220220R R r r R r R rR R r rRR r R d rR R r d R r R d d R s d q -=-?--=-+---=-+--===-）（）（）（）（）（）（总感ππθππθθθ?πθθσσπππππ可见，两种⽅法所得结果⼀致．2.1.2球⾯最近点感应电荷的⾯密度σ近如图2中，球⾯上距Q 最近点M ，以下简称最近点．令（1）式中θ= 0，得到球⾯最近点感应电荷的⾯密度设想Q 距球⼼的距离发⽣变化：r →R 时，|σ近|→∞，即当点电荷Q 由远及近以⾄充分接近球⾯时，理论上球⾯最近点感应电荷⾯密度的绝对值逐渐增⼤并趋于⽆穷⼤；r →∞时，|σ近|→0．画出|σ近|— r 关系如图4所⽰． 2.1.3球⾯最远点感应电荷的⾯密度σ远如图2中，球⾯上距Q 最远点N ，以下简称最远点．令（1）式中θ=π，得到球⾯最远点感应电荷的⾯密度画出|σ远|— r 关系如图5所⽰．在r →R 和r →∞两种极端情况下，均有 |σ远|→0，故适当取r 值，|σ远|可取极⼤值．极值点的位置在何处？把（4）式变形为可知：当（r －R ）= 4R 2 /（r －R ），即r = 3R 时， |σ远|取极⼤值（另⼀根r =－ R 舍弃），此时σ远为如果设想把－Q 的电量全部导⼊⼀半径为R 的中性绝缘导体球，则当－Q 在导体球⾯上均匀分布后，电荷的⾯密度为σ′= －Q /4πR 2．显）（）（）（近34Q 2．R r R R r -+-=πσ）（）（）（远44Q2．R r R R r +--=πσ．R πR r R R r R r 232m a x 32Q ]4Q [-=+--==）（）（远πσ，）（）（）（）（远]44[14422R R r RR r R Q R r R Q R r +-+-?-=+--=ππσ然，上述最远点处的感应电荷⾯密度σ远max 也才是σ′的1/8．可见最远点处感应电荷分布得较“稀疏”．2.1.4感应电荷⾯密度之⽐σ近/σ远及其随r 的变化球⾯最近点和最远点感应电荷⾯密度的⽐值为由（5）式可以看出，当点电荷Q 与球⼼距离r 在区间（R ，∞）内逐渐增⼤时，σ近/σ远从⽆穷⼤逐渐衰减并趋于1．这表明当点电荷Q 与导体球逐渐远离时，σ近和σ远⼀⽅⾯均渐减⼩且趋于0，另⼀⽅⾯球⾯感应电荷的分布也渐趋均匀．画出σ近/σ远 —— r 关系如图6所⽰．表1列出由（5）式求出的⼏个r 值所对应的σ近/σ远之值，以便⽐较．2.1.5右半球⾯感应电量q 远半占整个球⾯感应总电量q 总感的百分⽐在图1中，我们把导体球⾯分成靠近Q ⼀侧的左半球⾯和远离Q ⼀侧的右半球⾯，感应电量分别记为q 近半和q 远半．右半球⾯的电量 q 远半为）（）（）（）（）（）（远近521]Q 4[4Q 322．Rr R R r R r R R r πR R r -+=-+-?-+-=πσσ．Rr R r rR r r R r R R r R R r d r R R r R R r d r d s d q ）（）（）（）（）（）（（右半球⾯）远半+-+?--=-+-?--=-+?--=?==-112Q ]cos 2[2Q ]cos 2sin 4Q [2sin 2222221222222322222022πππππθθθθππθθσ?σ可以证明，在r →R 下，上述q 远半→0．前已讨论，当r →R 时，最远点|σ远|→0，最近点|σ近|→∞；⽽由球⾯感应总电量 q 总感=－R Q / r 知，当r →R 时，q 总感→－Q ．如果我们把上述变化综合起来考查，展现在眼前的是这样⼀幅物理图景：随着点电荷Q 逐渐向导体表⾯移近，整个球⾯感应电荷的总量逐渐增⼤并趋于－Q ，感应电荷的分布也逐渐向左半球⾯聚拢，最终感应电荷⼏乎全部地聚集于最近点处．这是不难理解的，因为当r→R 时，点电荷Q ⾮常接近导体球⾯，对点电荷Q ⽽⾔，球⾯则相当于“⽆穷⼤的平⾯”了，它发出的电场线将⼏乎全部地终⽌于球⾯上最近点附近很⼩的⾯积区域内．右半球⾯感应电量q 远半与整个球⾯感应总电量q 总感之⽐为表2列出由（6）求得的⼏个r 值下的q 远半/q 总感百分⽐之值，供读者⽐较．由上表可直观地看到，随着点电荷Q 逐渐向导体球靠近，导体球远离点电荷Q ⼀侧的半球⾯所带电量q 远半占整个导体球⾯感应总电量q 总感的百分⽐越来越⼩，或者说导体球⾯感应电荷的分布重⼼逐渐向靠近点电荷Q ⼀侧移动，⽽当点电荷Q 逐渐远离导体球时，远离点电荷Q ⼀侧的半球⾯所带电量q 远半占整个导体球⾯感应总电量 q 总感的百分⽐越来越趋近于50％． 2.2电键k 断开情形当k 断开时，根据电像理论，导体球表⾯电荷在球外空间的电场贡献可由两个像电荷q ′、q ″共同等效替代：q ′和“2.1电键k 接）（）（）（）（总感远半6112Q 112Q 22222222．R r Rr R R r r R R r R r r R r q q +-+?-=-+-+?--=通情形”完全相同，⽽q ″置于球⼼，电量为导体球带电量与q ′之差．以下本⽂只对整个导体为电中性情形作出讨论．2.2.1整个导体球为电中性情形下，表⾯感应电荷分布的定量表达式此时球外空间的电场由点电荷Q 及两个像电荷q ′、q ″共同产⽣，q ′=－q ″=－R Q / r ．三者在球⾯外侧附近的合场强E ⽅向沿法线，⼤⼩为于是球⾯某点P 感应电荷⾯密度表达为2.2.2中性导体球⾯上感应电荷的界⼼⾓右图7为中性导体球在点电荷电场中的剖⾯图，A 1 、A 2为圆周上正、负感应电荷的分界点（图中以正点电荷Q 为例画出）．我们定义，分界点A 1 、A 2和圆⼼O 的连线所夹靠近点电荷Q ⼀侧的⾓∠A 1O A 2叫界⼼⾓，⽤α表⽰．在分界点处，感应电荷⾯密度必为0，故令（7）式σ= 0，得到这⾥θ1、θ2分别对应图7中A 1 和A 2两分界点．于是界⼼⾓为可以证明，（8）式在r →R 和r →∞下，分别有α→0和α→π，表明随着点电荷Q 接近中性绝缘导体球，与Q 异性的感应电荷只分布在球⾯上很⼩⽐例的⾯积区域内；⽽当Q 远离中性绝缘导体球并趋向⽆穷远时，球⾯上正、负感应电荷的分布均渐趋占据半个球⾯． 2.2.3中性导体球⾯感应电荷的界⼼⾓和切⼼⾓的关系）（）（）（）（R r k R r －R r k R －R r －r q k R r －R r k R －R r －E Qcos 2Q cos 2Q 32222232222++?="++?=θθ）（）（）（74πQ cos 2Q 432222．rR R r －R r R －R r －++?=θπσ，）（r R R r r r R 2arccos θ32222221--+=．rR R r r r R 2arccos 2θ32222222）（--+-=π）（）（82arccos 22θα32222221．rR R r r r R --+==过点电荷Q 向导体球做切线，剖⾯如图8所⽰．其中B 1、B 2为两个切点．为叙述⽅便，把切点B 1、B 2和圆⼼O 的连线所夹靠近点电荷Q ⼀侧的⾓∠B 1O B 2叫切⼼⾓，⽤β表⽰，有有⼈从“想当然”出发，错误地认为导体球感应电荷的界⼼⾓α等于切⼼⾓β．以下我们⽤反证法证明，只有在r →R 和r →∞两种极端情况下⼆者相等外，其它情况下并不相等．令r /R =m ，α和β可简化为假设α≤ β．有亦即两边同时⽴⽅并整理，得到因r ＞R ，必有r /R =m ＞1，故上⾯不等式不成⽴！结论：只要满⾜条件∞＞r ＞R ，必有α＞β，即导体球感应电荷的界⼼⾓α总⼤于切⼼⾓β． 2.2.4⾓差及其极值把界⼼⾓α与切⼼⾓β之差叫⾓差，⽤γ表⽰．有我们的问题是：那种错误地认为导体球感应电荷的界⼼⾓α等于切⼼．rRarccos 2β=．m1arccos 2β2m 1m 2m m 1m arccos 2α33=+--+=，m12m 1m 2m m 1m 33≥+--+1m m 1m 2m m 233-≤+-01m 22≤-）（）（），（9m 1arccos 2m 1m 2m m 1m arccos 2β－αγ33－+--+==⾓β的观点，产⽣的偏差最⼤能达到多少？换⾔之，⾓差γ的最⼤值γmax是多少？（9）式是复杂函数，我们借助电⼦计算机，⽣成γ—m关系如图9所⽰，采⽤逼近法求近似值，得到如下结果：m0≈1.07048，γmax≈0.314131弧度≈18°．即：当点电荷Q离球⼼的距离约为球半径的1.07048倍（见图10）时，界⼼⾓α与切⼼⾓β相差最⼤约为18°（⾓差的⼀半即半⾓差γ/2，最⼤约为9°，见图10中阴影部分）．。
于静电平衡中导体感应电荷分布的问题
于静电平衡中导体感应电荷分布的问题
在静电平衡中，导体表面的电荷分布是不均匀的。
当一个带电体靠近无电荷的导体时，导体的电子将被带电体的电场所吸引，而离子则会被排斥到远离带电体的地方。
这样就会在导体的表面形成一个电荷分布，使得导体内部的电场为零。
这个过程称为电荷感应。
具体来说，如果带电体带有正电荷，导体表面靠近带电体的一侧会积累负电荷，而远离带电体的一侧则会积累正电荷。
这样导体的内部电场被这个分布的电荷所抵消，导体内部处于电场为零的静电平衡状态。
导体表面电荷分布的强度取决于带电体的电荷量和距离。
当带电体与导体足够靠近时，电荷分布将较为密集，而当距离增加时，电荷分布将逐渐变得稀疏。
总的来说，在静电平衡中，导体感应电荷分布的目的是实现导体内部电场为零，以达到稳定静电平衡的状态。
静电学复习(北邮)
Q 40 R2 q 40 R1 0
+
+ + +
+
+ R2 + +
R1
+
20、厚度为d的均匀带电无限大平板，电荷体密 度为，求板内、外场强。 1 解： SE dS qi S 0 i 1 板外一点： S x E dS 2 E dS qi
C B
A
C)EA> EB> EC UA< UB<UC
D)EA< EB<EC UA> UB>UC
3 真空中一立方体形的高斯面,边长a＝0.1 m， 位于图中所示位置．已知空间的场强分布为： Ex=bx , Ey=0 , Ez=0．常量b＝1000 N/(C· m)． 试求通过该高斯面的电通量．
解： 通过平面S1的电通量: 1 = -E1 S1= -b a3 通过平面S2的电通量: 2 = E2 S2 = 2b a3 总电通量:
2 2
3)上述两种情况下,电容器系统总电能之比是 多少? 1 2 C串U C串 W1 2 W2 1 C U 2 C并 并 2
C1C2 C1C2 2 C1 C2 2 C1 C2 (C1 C2 ) 9
A 微分关系： E gradU
U A E dl
B
U U U gradU x i y j z
k
五、高斯定理可以应用的情况： 1、球面对称；
E q 40 r
2
2、圆柱面对称
E 2 r
) 0 (
6 0 R
O l
A
- - -
点电荷电场中导体球面上的感应电荷分布
点电荷电场中导体球面上的感应电荷分布
关于点电荷电场中导体球面上的感应电荷分布，通过观察我们可以发现，当放在一个场中时，导体球体上的感应电荷分布是经过一定的分布规律的，主要表现在其外部与它的位置有关，这是因为电场的数量与强度本身是一定的。
首先，点电荷电场中的感应电荷分布在外部的分布保持的对称性是最重要的，即对于导体球体来说，其外部的感应电荷以某种以中心为，可以分成几部分进行分析，相互之间有一定的规律。
根据电磁学定律，外部感应电荷强度和电荷集中于球体内部的强度成正比，这也就意味着在一个给定的电荷电场中，外部感应电荷强度是一定的，而且与位置有关，电荷的场强度也是一定的。
此外，点电荷电场中的感应电荷分布还有另一个重要的特性，即它的分布具有分步趨近性，这表明当电荷在空间中运动时，它的感应电荷将以分步趨近形式逐渐衰减，大小与距离有关，这也就有助于说明电荷在感应电荷分布过程中对空间附近电势场的影响。
而且，由于导体球体表面上的电荷数量是一定的（根据电磁学定律要求），所以在点电荷电场中，感应电荷的分布也是一定的。
所以，我们很容易得出这样的结论，即在点电荷电场中，导体球面上的感应电荷分布以外部与它的位置有关，但是强度是固定的，并且有一定的对称性，而且它的分布具有分步趨近性。
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3-6一架以 2 m s 解 0Δ-='v m t FN 1055.252⨯=='lm F v 鸟对飞机的平均冲力为 N 1055.25⨯-='-=F F3-7 质量为m 的物体,由水平面上点O 分析 3-8 Fx=30+4t 的合外力解 1 由分析知()s N 68230d 4302220⋅=+=+=⎰t t t t I 2 由I ＝300 ＝30t ＋2t 2 ,解此方程可得 t ＝6．86 s 另一解不合题意已舍去3 由动量定理,有 I ＝m v 2- m v 1由2可知t ＝6．86 s 时I ＝300 N ·s ,将I 、m 及v 1代入可得 112s m 40-⋅=+=mm I v v3-9 高空作业 51kg 的人3-10质量为m 的小球,在力F= - kx 作用下运动ωkA t t ωkA t kx t F I ωt t t t -=-=-==⎰⎰⎰2/π02121d cos d d 即()ωkA m -=v Δ3-11 在水平地面上,有一横截面S= 2()A B t S ρtv v v -==ΔΔIF , N 105.2232⨯-=-=-='v S ρF F 3-12 爆炸后 ,hgx t x x 21010==v 21121gt t h y --=v ;12121t gth -=v x x m m 2021v v = y m m 2121210v v +-=落地时,y 2 ＝0,由式5、6可解得第二块碎片落地点的水平位置 x 2 ＝500 m 3-13 A,B 两船在平静的湖面上平行逆行航行 B 船以 解()A A B A A m m m m v v v '=+- 1 ()''=+-B B A B B m m m m v v v 23-14 质量为m 丶的人手里拿着质量为m 的物体 解 取如图所示坐标．把人与物视为一系统,当人跳跃到最高点处,在向左抛物的过程中,满足动量守恒,故有u m m m α'++=cos 00v v 人的水平速率的增量为u mm mα'+=-=cos Δ0v v v 而人从最高点到地面的运动时间为 gαt sin 0v =所以,人跳跃后增加的距离()g m m αm t x '+==sin ΔΔ0v v3-15 一质量均匀柔软的绳竖直的悬挂着0N =-+F F yg l m1 y lmt F d 0d v -=' 2 而 F F '-= 3 3-16 设在地球表面附近,一初质量为 10 5解 1 以火箭发射处为原点,竖直向上为正方向．该火箭在重力场中的动力学方程为ma mg tmu=-d d 1 2 t m mg t m u d d d d v=- 分离变量后积分,有 ⎰⎰⎰-=t m m t g m m u 0d d d 00v v v3-17 质量为m 的质点在外力F 的作用下沿Ox 轴运动,已知 t=0时质点位于原点 解 2d 0000L F x x LF F W L=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰;mLF 0=v 3-18 如图 一绳索 5N 3-19 一物体在介质x=ct 3解 23d d ct tx==v ;3/43/242299x kc t kc k F ===v3-20 一人从 m 深的井中提水解 水桶在匀速上提过程中,a ＝0,拉力与水桶重力平衡,有 F ＋P ＝0在图示所取坐标下,水桶重力随位置的变化关系为P ＝mg -αgy 3-21 一质量为的小球 的细绳 解 1()J 53.0cos 1Δ=-==θmgl h P W P ;s F d T T ⋅=⎰W2 J 53.0k k ==E E 小球在最低位置的速率为 1PKs m 30.222-⋅===mW m Ev 3l m P F 2T v =- N 49.22T =+=lm mg F v3-22 一质量为m 的质点,系在细绳的一段,绳的另一端解 1 2202k 0k 832121v v v m m m E E W -=-=-= 1 2 由于摩擦力是一恒力,且F ｆ ＝μmg ,故有mg μr πs F W 2180cos of -== 2rg πμ16320v = 3 34k0==W E n 圈3-23 如图所示,A 和B 两块板用一轻弹簧F 1 ＝P 1 ＋F 2221212121mgy ky mgy ky +=-;F 1 -F 2 ＝2P 1 F ＝P 1 ＋F 2 当A 板跳到N 点时,B 板刚被提起,此时弹性力F ′2 ＝P 2 ,且F 2 ＝F ′2 ．由式3可得F ＝P 1 ＋P 2 ＝m 1 ＋m 2 g3-24有一自动卸货矿车W ｆ ＝ ＋′gl ＋x 1W ｆ ＝-m -m ′ gl ＋x sin α 2 3-25 分铁锤敲入钉子木板 -2 解⎰⎰+=xx x x x kx x kx Δ000d d Δx ＝ ×10 -2m3-26 m 的地球卫星, 3Re 解()E 22E E 33R m R m m G v = 则 E E 2K 621R m m G m E ==v 2 E E P 3R mm G E -=3 EE E E E E P K 636R mm G R m m G R m m G E E E -=-=+=3-27 天文观测台 冰块解 由系统的机械能守恒,有R m F θmgR 2N cos v =- o θ2.4832arccos ==;32cos RgθgR ==v v 的方向与重力P 方向的夹角为 α＝90°-θ ＝°3-28 m= kg A 时 解 rm mg c 2v= 1()()22213Δ21c m r mg l k v += 2 由式1、2 可得 ()12m N 366Δ7-⋅==l mgr k 3-29 质量为m, 速度为v 的钢球 m 丶的靶． 解 ()1v v m m m '+= 1()20212212121kx m m m +'+=v v 2()v m m k m m x '+'=03-30 质量为m 的弹丸,穿过v v v ''+=m m m 21 l m g m h2v ''=' 2 221221hm gl m m v v ''+'='' 3glm m 52'=v 3-31 一个电子和一个3-32 质量为 x 10 -23kgαm βm m A B A cos cos 221v v v '+= 1αm βmA B sin sin 20v v '-= 2 222212m 2121A B A m v v v '+⎪⎭⎫ ⎝⎛= 3()1722s m 1069.42-⋅⨯='-=A A B v v v3-33 如图 质量为m 丶的物块 低端A 处解 在子弹与物块的撞击过程中,在沿斜面的方向上,根据动量守恒有()10cos v m m αmv '+= 1()αh αg m m μsin cos '+- ()()()21222121v v m m gh m m m m '+-'++'+= 2()1cot 2cos 202+-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+=αμgh αm m m v v 3-34 如图 一质量为m 的小球 内壁半球形 3-35 打桩 m=10t解 1 在锤击桩之前,由于桩的自重而下沉,这时,取桩和地球为系统,根据系统的功能原理,有⎰='1h 01d 4h hK S gh m 1m 88.821='=KS gm h 2 ()v v m m m +'=0 2()()220h h h 21S 4d -211gh m m m m Kh +'-+'-=⎰+v v 3 h 2 ＝ m ;v v ''+'-=m h g m m 20 ()23h 021d h m 354-3v ''-'-=+⎰m gh m h S 5h 3 ＝ m3-36 一系统0332211=++x x x m m m v v v ;0332211=++y y y m m m v v v则 ()()j i 113s m 0.2s m 8.2--⋅-⋅-=v 3-37 如图 m1 = kg m2 = AB 小球m 5.1202120=+=x m m m x c ;m 9.1102110=+=y m m m y c ()t m m F m m t F x x tx2112101 ,d d +=+=⎰⎰v v v 3 ()t m m F m m t F y y ty2122101 ,d d +=+=⎰⎰v v v 4 t m m F y ty y c d d 0212cc0⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=;()22212019.09.12t t m m Fy y c c +=++= 2()()()j i F F P P t t t t0.60.8d Δ021-=+==⎰4-6 一汽车 12s 3 r min 解()200s rad 1.13π2-⋅=-=-=t n n t ωωα ;()0020π221n n t ωωt αt ωθ-=-=+=4-7 某种电动机启动后 ;s()22//0s rad e 5.4e d d ---⋅===t τt τωt ωα;()rad 9.36d 1d /60060=-==-⎰⎰t e ωt ωθτt 则t ＝ s 时电动机转过的圈数87.5π2/==θN 圈4-8 水分子 θd m J H A A 22sin 2='θd m J H B B 22cos 2='此二式相加,可得22d m J J H B B A A =+''则 m 1059.9211-''⨯=+=HB B A A m J J d由二式相比,可得 θJ J B B A A 2tan /='' 则 o 3.521.141.93arctan arctan===''B B A A J J θ 4-9 一飞轮 30cm cm4-10 如图 圆盘的质量为m 半径为R22/3222/2203215d 2 d π2πd mR r r R m r r R mr m r J R R RR ====⎰⎰⎰ 2 ;22222032392ππ3215mR R R R m m mR J =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+='4-11 用落体观察法测定飞轮的转动惯量 4-12 一燃气轮机 m2解1 在匀变速转动中,角加速度tωωα0-=,由转动定律αJ M =,可得飞轮所经历的时间4-13 如图 m1 = 16kg 圆柱体A解 1αr m αJ r F T 2121== ;a m F g m F P T T 222='-='-21222m m g m a += ;m 45.222121222=+==m m gt m at s2 ()N 2.3922121=+=-=g m m m m a g m F T 4-14 m1 m2 A B 组合轮两端()αJ J r F R F T T 2121+=- 11T T F F =',22T T F F ='解上述方程组,可得gR r m R m J J r m R m a 222121211+++-=;gr r m R m J J rm R m a 222121212+++-=g m r m R m J J Rr m r m J J F T 1222121221211++++++=;g m rm R m J J Rr m R m J J F T 2222121121212++++++= 4-15 如图所示装置,定滑轮半径rαr a a ==21 αJ r F r F T T ='-'12 11T T F F =',22T T F F =' 4-16 飞轮 60kg()0121='-+l F l l F Nd μF l ll d μF d F M N 121f 2212+=== 1 4-17 一半径为R,质量为m 的匀质圆盘;; 停止 4-18 如图 通风机J ωC t ωα-==d d 1t JCωωt ωωd d 00⎰⎰-=J Ct e ωω/0-= 22ln CJt =24-19 如图 一长 2l 的细棒AB解()αe ωml mr ωJ L t 2022sin 122--===2 ()[]αe ωml tt L M t 202sin 12d dd d --==te αωml -=202sin 2 ;αωml M 202sin 2= 4-20 m 丶 半径R 的圆盘 裂开 解 1 R ω=0v4-21 光滑水平 木杆 m1= L=40cm解 根据角动量守恒定理()ωJ J ωJ '+=212;()1212212s 1.2936-=+=+='m m m J J ωJ ωv4-22 r1 r2 薄伞形轮 4-23 的 小孩R ωωωωv +=+=010;()010100=++ωωJ ωJ 122020s 1052.9--⨯-=+-=RmR J mR ωv4-24 一转台 砂粒 Q =2t 解 在时间0→10 s 内落至台面的砂粒的质量为kg 10.0Qd s 100==⎰t m ;()ωmr J ωJ 2000+= ;112000s π80.0-=+=J mrJ ωJ ω 4-25 为使运行中的飞船4-26 m 的蜘蛛解 1 ()b a ωJ J ωJ 100+=a a b ωmm m ωJ J J ω2100+''=+=2 即22mr J =.在此过程中,由系统角动量守恒,有()c a ωJ J ωJ 100+=4-27 的均匀细棒解 1 由刚体的角动量定理得 28388Δ31arccos o 222'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=gl m t F θ 4-28 第一颗人造卫星 5 2211v v mr mr = 12221212121r Gmm m r Gmm m EE -=-v v 2()1321121s m 1011.8-⋅⨯=+=r r r r Gm E v ;131212s m 1031.6-⋅⨯==v v r r4-29 地球对自传解 1 地球的质量m Ｅ ＝ ×1024 kg,半径R ＝ ×106 m,所以,地球自转的动能2 对式T ωπ2=两边微分,可得T Tωd π2d 2-= T ωT T ωΔπ2Δπ2Δ22-=-= T E ωT J ωωωJ E K K ΔπΔπ2ΔΔ3-=-== 2式中n 为一年中的天数n ＝365,ΔT 为一天中周期的增加量.4-30 如图 一质量为m 的小球由一绳索 ;;; 新的角速度 解 1200mr J =和20141mr J =,则00014ωωJ J ω==2 2020200211232121ωmr ωJ ωJ W =-=4-31 质量 解 1 棒绕端点的转动惯量231ml J =由转动定律M ＝Jα可得棒在θ 位置时的角加速度为()lθg J θM α2cos 3==;2s 418-=.α 由于θωωt ωαd d d d ==,⎰⎰=o 6000d d θαωωω ;1600s 98.7sin 3o -==l θg ω 2J 98.021==mgl E K3 由于该动能也就是转动动能,即221ωJ E K =,1s 57.832-==='l g J E ωK 4-32 如图 A B 两飞轮 J1 = kg;M解 1 取两飞轮为系统,根据系统的角动量守恒,有2 ()J 1032.12121Δ42112221⨯-=-+=ωJ ωJ J E 4-34 如图 OO 丶自由转动解()B ωmR J ωJ 2000+= 1()2220200212121BB m ωmR J mgR ωJ v ++=+ 22000mR J ωJ ωB +=2022002mRJ RωJ gR B ++=v 0ωωC = ;gR C 4=v 4-35 为使运行中飞船停止绕其中心轴转动 ,一种可能方案有()()2222122121ωl R m ωJ J '+=+ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+=141m m R l 4-37 一长为L, 质量为m 的均匀细棒,在光滑的;;绕质心ωJ ωJ t F-'=-Δ21;ωωml J J ω41412=+='2 22223212121ωml ωJ ωJ E ΔK -=-''=4-38 如图 细绳 大木轴 解 设木轴所受静摩擦力F f 如图所示,则有F mR J R R θR a C C 212121cos ++= ;F mR J R θR R a αC C 21211cos ++== 5-6 1964 年,盖尔曼等人 解 由于夸克可视为经典点电荷,由库仑定律F 与径向单位矢量e r 方向相同表明它们之间为斥力. 5-7 质量为m , 电荷为-e 的电子由此出发命题可证.证 由上述分析可得电子的动能为r e εm E K 202π8121==v ;3022π4mrεe ω=;432022232π4me E εωK ==v 5-8 在氯化铯 1 由对称性,每条对角线上的一对铯离子与氯离子间的作用合力为零,故F 1 ＝0.2 除了有缺陷的那条对角线外,其它铯离子与氯离子的作用合力为零,所以氯离子所受的合力F 2 的值为5-9 若电荷均匀地分布在长为L 的细棒 , 求证 证 1 延长线上一点P 的电场强度⎰'=Lr πεqE 202d ,利用几何关系 r ′＝r －x 统一积分变量,则()220022204π12/12/1π4d π41L r QεL r L r L εQ x r L x Q εE L/-L/P -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=-=⎰电场强度的方向沿x 轴.2, E rεqαE Ld π4d sin 20⎰'= 利用几何关系 sin α＝r /r ′,22x r r +=' 统一积分变量,则5-10 一半径为R 的半球壳,均匀的带有电荷, 解由于平行细圆环在点O 激发的电场强度方向相同,利用几何关系θR x cos =,θR r sin =统一积分变量,有 5-11 水分子H2O解1 水分子的电偶极矩θer θP P cos 2cos 200==在电偶极矩延长线上 5-13 如图为电四级子解 由点电荷电场公式,得()()k k k E 42022220222206π4...321...32112π4/11/1112π4z qd εq z d z d z d z d z z εq z d z d z z εq =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+++++-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=; 5-14 设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面对称轴平行 5-15 如图 边长为a 的立方体,其表面同理 ()[]()2121AOEF d a E dS E E -=-⋅+=⋅=⎰⎰i j i S E Φ 5-16 分析 地球周围的大气犹如;;5-17 设在半径为R 的球体内 ,其电荷为对称分布球体内0≤r ≤R()40022πd π41π4r εk r r kr εr r E r==⎰ ,()r εkr r e E 024=球体外r ＞R()40022πd π41π4r εk r r kr εr r E R==⎰,()r εkR r e E 024=5-18 如图 , 一无限大均匀带电薄平板n εσe E 012=;nr x xεσe E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=220212 ,n rx x εσe E E E 220212+=+=在圆孔中心处x ＝0,则 E ＝0 在距离圆孔较远时x ＞＞r ,则5-19 如图, 在电荷体密度p 的均匀带电球体证 带电球体内部一点的电场强度为r E 03ερ=r E 013ερ=,2023r E ερ-= ()210213r r E E E -=+=ερ;a E 03ερ=5-20 一个内外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳,总电荷为Q1解 取半径为r 的同心球面为高斯面,由上述分析 r ＜R 1 ,该高斯面内无电荷,0=∑q ,故01=ER 1 ＜r ＜R 2 ,高斯面内电荷()31323131R R R r Q q --=∑故 ()()23132031312π4rR R εR r Q E --= R 2 ＜r ＜R 3 ,高斯面内电荷为Q 1 ,故 r ＞R 3 ,高斯面内电荷为Q 1 ＋Q 2 ,故5-21 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面解 ∑=⋅0/π2εq rL E r ＜R 1 , 0=∑q 01=E 在带电面附近,电场强度大小不连续,电场强度有一跃变 R 1 ＜r ＜R 2 ,L λq =∑rελE 02π2=r ＞R 2, 0=∑q 03=E 5-22 如图 ,有三个点电荷Q1Q2Q3解 在任一点电荷所受合力均为零时Q Q 412-=,并由电势5-23 已知均匀带电直线附近的1 ,12012ln π2d 21r r ελU r r =⋅=⎰r E 2 不能.严格地讲,电场强度r e rελE 0π2=只适用于无限长的均匀带电直线,而此时电荷分布在无限空间,r →∞处的电势应与直线上的电势相等. 5-24 水分子电偶极矩解 由点电荷电势的叠加1 若o 0=θ V 1023.2π4320P -⨯==rεpV 2 若o45=θ V 1058.1π445cos 320o P -⨯==r εp V 3 若o90=θ 0π490cos 20oP ==r εp V5-25 一个球形雨滴半径当两个球形雨滴合并为一个较大雨滴后,雨滴半径1322R R =,带有电量q 2 ＝2q 1 ,雨滴表面电势5-26 电荷面密度分别为;;;两块无限大解 ()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<--<=a x a x a εσa x0 2 00i E ()a x a x εσV x <<--=⋅=⎰ d 00l E()a x a εσV -<=⋅+⋅=⎰⎰- d d 0a -axl E l E ;()a x a εσV >-=⋅+⋅=⎰⎰ d d 00a -a x l E l E 5-27 两个同心球面的半径分别为R1 R2 , 各自带有解 1 由各球面电势的叠加计算电势分布.若该点位于两个球面内,即r ≤R 1 ,则2021011π4π4R εQ R εQ V +=若该点位于两个球面之间,即R 1 ≤r ≤R 2 ,则 202012π4π4R εQ r εQ V +=若该点位于两个球面之外,即r ≥R 2 ,则rεQ Q V 0213π4+= 2 ; ()2011012112π4π42R εQ R εQ V V U R r -=-== 5-28 一半径为R 的无限长带电细棒,其内部的电荷均匀分布当r ≤R 时02/ππ2ερl r rl E =⋅ ()02εr ρr E = 当r ≥R 时02/ππ2ερl R rl E =⋅ ()rεR ρr E 022=当r ≤R 时()()22004d 2r R ερr εr ρr V R r-==⎰当r ≥R 时()rR εR ρr r εR ρr V R r ln 2d 20202==⎰5-29 一圆盘半径R= 10 -2解 1 带电圆环激发的电势220d π2π41d x r r r σεV +=()x x Rεσxr r r εσV R-+=+=⎰22222d 2 12 轴线上任一点的电场强度为i i E ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-=22012d d x R xεσx V 2 电场强度方向沿x 轴方向.3 将场点至盘心的距离x ＝ cm 分别代入式1和式2,得当x ＞＞R 时,圆盘也可以视为点电荷,其电荷为C 1065.5π82-⨯==σR q .依照点电荷电场中电势和电场强度的计算公式,有 5-30 两根同长的圆柱面 R1= 10 -2 m R2=解得 1812120m C 101.2ln/π2--⋅⨯==R R U ελ2 解得两圆柱面之间r ＝ 处的电场强度 5-31 轻原子核结合成为较重原子核解 1 两个质子相接触时势能最大,根据能量守恒由20K021v m E =可估算出质子初始速率17k 00s m 102.1/2-⋅⨯==m E v 该速度已达到光速的4％.2.kT E E 23K K0== K 106.5329K0⨯≈=kE T 5-32 在一次典型的闪电中Kg 1098.8Δ4⨯===LqUL E m 即可融化约 90 吨冰. 2 一个家庭一年消耗的能量为5-33 两个半径为R 的圆环分别带等量异电荷 正负q解 1 由带电圆环电势的叠加,两环圆心连线的x 轴上的电势为2 当R x l x >>>>,时,化简整理得在R x >>时带电圆环等效于一对带等量异号的点电荷,即电偶极子.上式就是电偶极子延长线上一点的电势.5-34 如图 , 在Oxy 平面上倒扣着半径为R 的半球面,假设将半球面扩展为带有相同电荷面密度σ的一个完整球面,此时在A 、B 两点的电势分别为5-35 在玻尔的氢原子模型中,电子 10-10解 1 电子在玻尔轨道上作圆周运动时,它的电势能为2 电子在玻尔轨道上运动时,静电力提供电子作圆周运动所需的向心力,即()r m r εe /π4/2202v =.此时,电子的动能为电子的电离能等于外界把电子从原子中拉出来需要的最低能量 6-6 不带电的导体球A 含有两个 ; ()20π4rεq q q F d c b d +=点电荷q d 与导体球A 外表面感应电荷在球形空腔内激发的电场为零,点电 荷q b 、q c 处于球形空腔的中心,空腔内表面感应电荷均匀分布,点电荷q b 、q c 受到的作用力为零.6-7 一真空二极管,其主要构件是是一个半;;R1=解 1 电子到达阳极时,势能的减少量为 26-8 一导体球半径为R1,外罩一半径为R2r ＜R １时, ()01=r E R １＜r ＜R 2 时,()202π4r εqr E = r ＞R 2 时, ()202π4r εqQ r E += r ＜R １时, R １＜r ＜R 2 时, r ＞R 2 时,也可以从球面电势的叠加求电势的分布．在导体球内r ＜R １20101π4π4R εQR εq V += 在导体球和球壳之间R １＜r ＜R 2 2002π4π4R εQ r εq V +=在球壳外r ＞R 2 r εQ q V 03π4+= ;102001π4π4R εQR εq V V +== 102001π4π4R εQR εq V V +== 代入电场、电势的分布得 r ＜R １时, 01=E ；01V V = R １＜r ＜R 2 时,22012012π4rR εQ R r V R E -=；r R εQR r r V R V 201012π4)(--= r ＞R 2 时,6-9 如图 ,在一半径为R1 = cm 的金属球 A 外面 套 解V 106.5π4π4π43302010⨯=-+-+=R εQ Q R εQ R εq V A A A A A V 105.4π4330⨯=+=R εQ Q V BA B 2 将球壳B 接地后断开,再把球A 接地,设球A 带电q A ,球A 和球壳B 的电势为 6-10 两块带电量分别为Q1,Q2的导体平板平行证明 １ 设两块导体平板表面的电荷面密度分别为σ１、σ2、σ3、σ4 ,取如图ｂ所示的圆柱面为高斯面,高斯面由侧面S １和两个端面S 2、S 3构成,由分析可知得 0,0ΔΔ3232=+=+=∑σσS σS σq相向的两面电荷面密度大小相等符号相反．2 由电场的叠加原理,取水平向右为参考正方向,导体内P 点的电场强度为 6-11 将带电量为Q 的导体板A 从远处移至不带电的导体板B 附件解 １ 如图ｂ所示,依照题意和导体板达到静电平衡时的电荷分布规律可得()Q S σσ=+21 ;()Q S σσ=+43;041=-σσ;032=+σσSQσσσσ24321==-==两导体板间电场强度为S εQ E 02=；方向为A 指向B ．两导体板间的电势差为 SεQd U AB 02=2 如图c 所示,导体板B 接地后电势为零． 两导体板间电场强度为S εQ E 0='；方向为A 指向B ． SεQdU AB0=' 6-12 如图 Q>0, 内半径为a, 外半径b6-13 如图, 在真空中将半径为R 的金属球接地,在与球心 6-14 地球和电离层可当做一个球形电容器 6-15 两线输电线的线径代入数据 F 1052.512-⨯=C 6-16 电容式计算机键盘解 按下按键时电容的变化量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0011Δd d S εC ;mm 152.0ΔΔΔ00min20min =+=-=S εC d Cd d d d6-17 盖革-米勒管 可用解 1 由上述分析,利用高斯定理可得L λεrL E 01π2=⋅,则两极间的电场强度 2 当611 2.010V m E -=⨯⋅ ,R 1 ＝ mm,R 2 ＝ mm 时,6-18 解 1 查表可知二氧化钛的相对电容率εr ＝173,故充满此介质的平板电容器的电容2 C 1084.18-⨯==CU Q 2-80m C 1084.1⋅⨯==-SQσ 31-5m V 102.1⋅⨯==dUE 6-19 如图 , 半径R= 的导体球带有电荷 Q = -8C解 1 取半径为r 的同心球面为高斯面,由高斯定理得r ＜R 0π421=⋅r D 01=D ；01=E R ＜r ＜R ＋d Q r D =⋅22π422π4r Q D =；202π4r εεQ E r=r ＞R ＋d Q r D =⋅23π4;23π4r Q D =；203π4r εεQE r =r 1 ＝5 cm,该点在导体球内,则01=r D ；01=r Er 2 ＝15 cm,该点在介质层内,εｒ ＝,则2822m C 105.3π42--⋅⨯==r Q D r ；12220m V 100.8π42-⋅⨯==r εεQ E r r r 3 ＝25 cm,该点在空气层内,空气中ε≈ε0 ,则2823m C 103.1π43--⋅⨯==r Q D r ；12220m V 104.1π43-⋅⨯==r εQ E r 2 取无穷远处电势为零,由电势与电场强度的积分关系得 r 3 ＝25 cm,V 360π4d 0r 331==⋅=⎰∞rεQV r E r 2 ＝15 cm, ()()V480π4π4π4d d 0020r 3222=+++-=⋅+⋅=⎰⎰+∞+d R εQd R εεQ r εεQ V r r dR dR rE r E r 1 ＝5 cm,()()V540π4π4π4d d 000321=+++-=⋅+⋅=⎰⎰+∞+d R εQd R εεQ R εεQ V r r dR RdR rE r E3 均匀介质的极化电荷分布在介质界面上,因空气的电容率ε ＝ε0 ,极化电荷可忽略．故在介质外表面； 6-20 人体的某些细胞壁两侧解 1细胞壁内的电场强度V /m 108.960⨯==rεεσE ；方向指向细胞外． 2 细胞壁两表面间的电势差V 101.52-⨯==Ed U ． 6-21 有一个平板电容器 = 10-5 C;M-2解 250m C 105.4Δ--⋅⨯===σSQD 16r 0m V 105.2-⋅⨯==εεDE D 、P 、E 方向相同,均由正极板指向负极板图中垂直向下．6-22 在一个半径为R1的长直导线外套有氯解 由介质中的高斯定理,有⎰=⋅=⋅L λrL D d π2S D ;r rλe D π2=r r r εελεεe D E 00π2==;r r rλε-εe E -D P π2110⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛== 6-23 如图 , 球形电极浮在相对电容率 = 的油槽中解 R εC 01π2= ;R εεC r 02π2=6-24 如图 , 由两块相距为 mm 的 薄金属板A,B 构成的空气平板电容器解 1 13232123C C C C C C C C ++⋅=+=32122d d d ==且,故1322C C C == ,因此A 、B 间的总电容12C C =2 若电容器的一个引脚不慎与金属屏蔽盒相碰,相当于C2 或者C3 极板短接,其电容为零,则总电容6-25 如图 , 在点A 和点B 之间有五个电容器 解 1 由电容器的串、并联,有求得等效电容C AB ＝4 μF．2 由于AB DB CD AC Q Q Q Q ===,得V 4==AB ACABAC U C C U 6-26 如图,有一空气电热板级板面积S ,间距d 解 12 插入电介质后,电容器的电容C 1 为()()δd εδS εεδS εεQ δd SεQ Q C r r r -+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=0001/ ;()δd εδSU εεU C C r r -+==011 ()δd εδU S εεQ E r r -+=='011;()δd εδUεS εQ E r r -+==0113 插入导体达到静电平衡后,导体为等势体,其电容和极板上的电荷分别为导体中电场强度 02='E δd UE -=2 6-27 为了实时检测纺织品6-28 利用电容传感器测量油料液面高度证 由分析知,导体A 、C 构成一组柱形电容器,它们的电容分别为d D L εαln π20=；()dD L εεβr ln π20-= UX βaU CU Q +== 6-29 有一电容为 uF 的平行平板电容器解 1 V 190max ==d E U b2J 1003.92132max -⨯=CU W e6-30 半径为的长直导线,解 1 导线表面最大电荷面密度 250max m C 1066.2--⋅⨯==b E εσ 2 由上述分析得b E R ελ10max π2=,此时导线与圆筒之间各点的电场强度为()1210π2R r R rRr ελE m <<==0=E 其他 6-31 一空气平板电容器,空气厚解 ()16m V 102.3-⋅⨯=+-=δδd εVεE r r此时,因b E E > ,空气层被击穿,击穿后40 kV 电压全部加在玻璃板两侧,此时玻璃板内的电场强度由于玻璃的击穿电场强度'110V m b E M -=⋅,b E E '> ,故玻璃也将相继被击穿,电容器完全被击穿．6-32 某介质的相对电容率 er=解 16m V 1018-⋅⨯=≤b E E m 1022.2/4-⨯==b m E U d要制作电容为 μF 的平板电容器,其极板面积 210m 42.0==εεCdS 6-33 一平行板空气电容器,极板面积S,极板间距d, 充电解 1 20220221S εQ E εw e == Sεd Q V w W e e 022ΔΔ== 2 两导体极板带等量异号电荷,外力F 将其缓缓拉开时,应有F ＝－F e ,则外力所作的功为7-6 北京正负电子对撞机 7-7 已知铜的摩尔质量解 1M ρN n A /= 14s m 1046.4//--⋅⨯===e ρN M j ne j A m m d v 2 室温下T ＝300 Ｋ电子热运动的平均速率与电子漂移速率之比为 7-8 有两个同轴导体圆柱面,它们的长度均为20m解 由分析可知,在半径r ＝ mm 的圆柱面上的电流密度 7-9 已知地球北极磁场磁感应强度B 的大小为 T解 设赤道电流为I,则由教材第7 －4 节例2 知,圆电流轴线上北极点的磁感强度 7-10 如图,有两根导线沿半径方向接到铁环 7-11 如图 几种截流导线在平面内分布解 ａRIμB 800=B 0 的方向垂直纸面向外． ｂ 将载流导线看作圆电流和长直电流,由叠加原理可得RIμR I μB π22000-=B 0 的方向垂直纸面向里． c 将载流导线看作1/2 圆电流和两段半无限长直电流,由叠加原理可得RIμR I μR I μR I μR I μB 4π24π4π4000000+=++=B 0 的方向垂直纸面向外． 7-12 截流导线形状如图, 球O 点 ;; B7-13 如图, 一个半径为R 的无限长半球圆柱面导体,解 根据分析,由于长直细线中的电流R l I I π/d d =,它在轴线上一点激发的磁感强度的大小为RIμB B x 20π== B 的方向指向Ox 轴负向． 7-14 分实验室常用所谓亥姆霍兹线圈由 0d d =xB, 解得 x ＝0 由0d d 022==x x B ,解得 d ＝R① 将磁感强度B 在两线圈中点附近用泰勒级数展开,则若x ＜＜1；且()0d 0d =xB ；()0d 0d 22=x B ．则磁感强度Bx 在中点O 附近近似为常量,场为均匀场．这表明在d ＝R 时,中点x ＝0附近区域的磁场可视为均匀磁场． 7-15 如图,截流长直导线的电流为L,求通过矩形面积的磁通量 7-16 已知 10mm2 裸铜线;; 50A在导线内r ＜R , 2222πππR r r R I I ==∑,因而202πRIr μB =在导线外r ＞R ,I I =∑,因而rIμB 2π0=2 在导线表面磁感强度连续,由I ＝50 A,m 1078.1π/3-⨯==s R ,得 7-17 有一同轴电缆, 其尺寸如图解 由上述分析得r ＜R 1 22101ππ12πr R μr B =⋅ 21012πR Ir μB =R 1 ＜r ＜R 2 I μr B 022π=⋅ rI μB 2π02= R 2 ＜r ＜R 3r ＞R 3 ()02π04=-=⋅I I μr B 04=B7-18 如图,N 匝线圈均匀密绕;;中空骨架上∑=⋅I μr B 02π r ＜R 1 02π1=⋅r B01=B R 2 ＞r ＞R 1 NI μr B 022π=⋅ rNIμB 2π02=r ＞R 2 02π3=⋅r B 03=B RNIμB 2π0≈7-19 电流I 均匀的流过半径为R 的圆形长直导线 7-20 设 电流均匀流过无限大导电平面 7-21 设有两无限大平行载流平面 ,解 1 取垂直于纸面向里为x 轴正向,合磁场为 2 两导体载流平面之外,合磁场的磁感强度 7-22 已知地面上空 B= -4解 1 依照B F ⋅=v q L 可知洛伦兹力L F 的方向为B ⊥v 的方向,如图所示． 2N 102.316-⨯==B F v q L N 1064.116-⨯==g m G p因而,有101095.1/⨯=G F L ,即质子所受的洛伦兹力远大于重力． 7-23 在一个显像管的电子 4 eV 解 1 B F ⨯=v q电子带负电,q ＜0,因而可以判断电子束将偏向东侧．2m 71.62===eBmE eB m R k v 由题知cm 20=y ,并由图中的几何关系可得电子束偏向东侧的距离m 1098.2Δ322-⨯=--=y R R x 即显示屏上的图像将整体向东平移近3 mm ．这种平移并不会影响整幅图像的质量．7-24 试证明霍尔电场强度与恒流强度之比j E ρC = ;B E ⨯-=v H ; v ne =jnev ρρC ==j E ;;B E ⨯-=v H ; B/ne ρB/ρ/ρB/ρ/E E C H ===v v v / 7-25 霍尔效应 测量血流的速度7-26 磁力可以用来输送导电液体 1JBl S IBl S F p ===Δ 2 26A/m 1038.3Δ⨯==Blp J 7-27 带电粒子在过饱和液体中运动 半径7-28 从太阳射来的速率 10 7解 由带电粒子在磁场中运动的回转半径高层范艾伦辐射带中的回转半径 m 101.1311⨯==eB m R v ;m 2322==eB m R v 7-29 如图, 一根长直导线载有电流I1 = 30A I2=20Adl I I μF π22103=; ()N 1028.1π2π2321021043-⨯=+-=-=b d l I I μd l I I μF F F 合力的方向朝左,指向直导线．7-30 一直流变电站电压500kv解 1 d I μBI F B π220== ;dεU C λE F E 022π2== 由0=+E B f f 可得 2 输出功率7-31 将一电流均匀分布的无限大...B0依照右手定则可知磁场力的方向为水平指向左侧．7-32 在直径为的刚棒上解 1 因为所有电子的磁矩方向相同,则圆盘的磁矩27m A 1056.1⋅⨯==-e μN m2 由磁矩的定义,可得圆盘边缘等效电流A 100.2/3-⨯==S m I 7-33 在氢原子中,L=h/2π7-34 如图 ,半径为R 的圆片均匀带电,电荷面密度解 由上述分析可知,轴线上x 处的磁感强度大小为7-35 如图 一根长直同轴电缆, 内外解 1 取与电缆轴同心的圆为积分路径,根据磁介质中的安培环路定理,有 ∑=f I r H π2 对r ＜R 1 221ππr R I I f =∑ 2112πR Ir H = 01=M ,21012πR Ir μB = 对R 2 ＞r ＞R 1 I I f =∑ rI H 2π2= 填充的磁介质相对磁导率为μr ,有()r I μM r 2π12-=,rI μμB r 2π02= 对R 3 ＞r ＞R 2 03=M , 对r ＞R 3 0=-=∑I I I f 04=H ,04=M ,04=B 2 由r M I s 2π⋅=,磁介质内、外表面磁化电流的大小为7-36 设长L= ,截面积S= 2解 1 A N M SL ρN 0= ;2000m A 85.7-⋅===m N M SL ρNm m A 2 维持铁棒与磁场正交所需力矩等于该位置上磁矩所受的磁力矩 7-37 在实验室,为了测试;;平均周长分析 根据右手定则,磁感线与电流相互环连,磁场沿环型螺线管分布,当 环形螺线管中通以电流I 时,由安培环路定理得磁介质内部的磁场强度为 由题意可知,环内部的磁感强度S ΦB /=,而H μμB r 0=,故有解 磁介质内部的磁场强度和磁感强度分别为L NI /和S Φ/,因而。
球体内外的电势分布
球体内外的电势分布
电势是描述电场中电荷状态的物理量，它在球体内外的分布对
于理解电场和电荷分布具有重要意义。
在球体内外的电势分布中，
我们可以观察到一些有趣的现象和规律。
首先，让我们来看球体外部的电势分布。
根据库仑定律，球体
外部的电势分布与距离球心的距离成反比，即电势随着距离的增加
而减小。
这符合我们对电场的直观认识，即离电荷越远，电势越小。
接着，我们来看球体内部的电势分布。
根据高斯定律，球体内
部的电势分布是均匀的，与距离球心的距离无关。
这意味着在球体
内部任意一点的电势是相同的，这是因为球体内部的电荷分布是均
匀的，所以在任何一点的电势都是相同的。
另外，我们还可以利用球体内外的电势分布来求解一些实际问题。
比如，如果我们知道了球体上的电荷分布，我们就可以利用球
体外部的电势分布来计算球体表面上的电势分布；如果我们知道了
球体内部的电势分布，我们就可以利用球体内部的电势分布来计算
球体内部的电场分布。
总之，球体内外的电势分布是电场和电荷分布的重要性质，它不仅能帮助我们理解电场和电荷的行为，还可以帮助我们解决一些实际问题。
通过深入研究和理解球体内外的电势分布，我们可以更好地掌握电场理论，并应用于实际工程和科学问题中。
导体表面上的电荷分布情况
03
影响导体表面电荷分布的 因素
外部电场对电荷分布的影响
01
02
03
静电感应
当导体处于外部电场中时， 导体表面的电荷会感应出 与外部电场相反的电荷， 形成静电感应现象。
电极化
导体内部的自由电荷在外 部电场的作用下重新排列， 形成电极化现象。
电场线分布
导体表面的电荷分布会受 到外部电场线的影响，电 场线越密集的区域，电荷 密度越高。
应用场景
在研究导体表面电荷分布时，电荷守 恒定律是重要的基础。通过测量导体 表面的电荷分布，可以推算出导体内 部电荷的分布情况。
电场与电势
电场
电场是由电荷产生的空间中的力场，它对放入其中的电荷施加作用力。在静电 平衡状态下，导体表面附近的电场方向垂直于导体表面。
电势
电势是一个标量，表示电场中某一点电荷所具有的势能。在静电平衡状态下， 导体表面的电势与导体内部电势相等，且等于外部电场中该点的电势。
测量仪等。
电容法
总结词
电容法是通过测量导体电容的变化来推断导 体表面电荷分布的一种方法。
详细描述
电容法的基本原理是电容器的电容与电极间 的距离和相对面积有关。当导体表面电荷分 布发生变化时，电容器的电容也会相应地发 生变化。通过测量电容的变化，可以推断出 导体表面电荷的分布情况。这种方法需要使 用高精度的电容测量仪器，如电容计等。
04
导体表面电荷分布的应用
电容器
01
电容器是利用导体表面 电荷分布来存储电场能 量的电子元件。
02
电容器由两个平行、相 对的导电板组成，称为 电极。
03
电荷分布在电极表面， 形成等量异号的电荷， 产生电场。
04
电容器的电容取决于电 极面积、电极间距和介 电常数。
导体面上感应电荷分布
1
Q 40 R
等效电荷一般是一个点电荷组或 一个带电体系，而不一定就是一 个点电荷。
（5）若导体球不接地，且带上自由电荷 Q0 ，导体上总电 荷为 Q ，此时要保持导体为等势体，Q 也应均匀分布在 0 0 球面上。
2
Q
40 R
40 R
Q0
（6）导体球不接地而带自由电荷 Q0 时 Q 所受到的 作用力可以看作 Q0 与 Q 及位于球心处的等效电荷 Q 的作用力之和。
2 Q Q 1 Q F e e e 2 z 2 z 2 z 40 (2a) 40 r 160 a
2. 真空中有一半径R0的接地导体球，距球心 a > R0 处有一点电荷 Q，求空间各点电势。 解：（1）分析： 因导体球接地故球的电 势为零。根据镜象法原 则假想电荷应在球内。 因空间只有两个点电荷， 场应具有轴对称，故假 想电荷应在线上，即极 轴上。
O
x
-Q（a, -b, 0）
（-a, -b, 0） Q
（2）电势分布 Q 1 1 [ 4 0 ( x a) 2 ( y b) 2 z 2 ( x a ) 2 ( y b) 2 z 2
x 0 ] 2 2 2 2 2 2 y 0 ( x a ) ( y b) z ( x a ) ( y b) z （3）若两平面夹角 S2 2 Q 放在 0 ( ) 处 Q 1 1
用镜象 法求解 的条 件是什么？
0
S1
n
象电荷数
2n 1
4. 在接地的导体平面上有半经为a的半球凸部，半 球的球心在导体平面上，一点电荷q位于系统的对 称轴上，并于平面相距为b(b>a),求电势分布． 解：
第二章-静电场与导体
第二章静电场与导体教学目的要求：1、深入理解并掌握导体的静电平衡条件及静电平衡时导体的基本性质，加深对高斯定理和环路定理的理解，结合应用电场线这一工具，会讨论静电平衡的若干现象，会结合静电平衡条件去理解静电感应、静电屏蔽等现象，并会利用前章的知识求解电场中有导体存在时的场强和电势分布。
2、确理解电容的概念，并能计算几种特殊形式的电容器的电容值。
3、进一步领会静电能的概念、会计算一些特殊带电导体的静电能。
4、深刻理解电场能量的概念，会计算电场能。
教学重点：1、静电场中的导体2、电容和电容器教学难点：1、静电场的唯一定理§2.1 静电场中的导体§2.2 电容和电容器§2.3 静电场的能量§2.1 静电场中的导体1、导体的特征功函数（1）金属导体的特征金属可以看作固定在晶格点阵上的正离子（实际上在作微小振动）和不规则运动的自由电子的集合。
①大量自由电子的运动与理想气体中分子的运动相同，服从经典的统计规律。
②自由电子在电场作用下将作定向运动，从而形成金属中的电流。
③自由电子的平均速率远大与定向运动速率。
（2）功函数金属表面存在一种阻止自由电子从金属逸出的作用，电子欲从金属内部逸出到外部，就要克服阻力作功。
一个电子从金属内部跑到金属外部必须作的最小功称为逸出功，亦称功函数。
2、导体的静电平衡条件（1）什么是静电感应？当某种原因（带电或置于电场中）使导体内部存在电场时，自由电子受到电场力的作用而作定向运动，使导体一侧因电子的聚集而出现负电荷布另一侧因缺少电子而有正电荷分布，这就是静电感应，分布在导体上的电荷便是感应电荷。
（2）静电平衡状态当感应电荷在导体内产生的场与外场完全抵消时，电子的定向运动终止，导体处于静电平衡状态。
（3）静电平衡条件所有场源包括导体上的电荷共同产生的电场的合场强在导体内部处处为零。
静电平衡时：①导体是等势体。
②导体外表面附近的电场强度与导体表面垂直。
一空腔导体球壳外有一点电荷,求感应电荷产生的电场
一空腔导体球壳外有一点电荷,求感应电荷产生的电场电场是物理学中一个重要的概念，它描述了空间中存在电荷时的力场分布情况。
在电荷存在的周围，将会形成电场，而这个电场是由电荷的属性决定的。
今天，我们来研究一下在一空腔导体球壳外有一点电荷时，会产生的感应电荷和电场分布。
首先，我们要了解一下导体的特性。
导体是一类自由电子较多的物质，当导体处于静电平衡时，导体内部的电荷分布是均匀的。
这是因为电荷在导体内能自由运动，它们会互相排斥，并且静电力会将它们推向导体表面。
由于电场强度在导体内部为零，所以电场力会将电荷集中在导体表面。
在我们的问题中，导体是一个球壳，而球壳的内部是空腔。
我们在球壳外部放置了一点电荷。
当电荷靠近球壳时，球壳的内部会受到电荷的影响，会产生感应电荷。
这些感应电荷会聚集在球壳的内部面上，而导体内部和外部的电荷则保持零，达到了静电平衡。
为了更好地理解感应电荷产生的电场分布，我们可以通过考虑高斯面上的电通量来近似求解。
假设我们在球壳的外部选择一个球形高斯面，其半径与球壳的半径相等。
由于感应电荷只存在于导体内部，所以这个高斯面内部的电通量为零。
而在球壳内部，由于高斯面的曲面积分是电通量的定义，所以它等于感应电荷的代数和除以真空介电常数。
因为球壳是一个导体，所以感应电荷等于外部点电荷对球壳内表面的作用积分，即感应电荷等于外部点电荷与球壳内表面上的电荷的距离标量积的累积。
通过求解这个积分，我们可以得到球壳内部的感应电荷的大小，进而得到通过高斯面的电通量。
根据高斯定律的推导，我们知道电通量和电场强度是成正比的，所以可以根据电通量的结果来确定电场强度的分布情况。
综上所述，当一空腔导体球壳外有一点电荷时，会产生感应电荷在球壳内部表面的分布，同时也会产生电场。
通过高斯面的分析，我们可以求解感应电荷产生的电场分布情况，从而更好地理解电场的性质。
这对于我们研究电场的特性和应用场景都有很大的指导意义。
希望通过本文的介绍，你能对电场与感应电荷有更深入的认识。
大学物理 第6章 静电场中的导体和电介质(小结)
Q Q
静电能：
We A
Vdq
0
4
0
qdq
0
R
Q
2
8 0 R
当Q不变时，使R增大到R’=2R时，We’=We / 2 ；可见， 当R增大时，静电能减小，说明电场力对外作正功， 即帮助汽泡增大；从受力情况看，肥皂泡上每个电荷 元都受到其他电荷的电场力作用，力的方向沿半径向 外，半径增大时，电场力作正功，电场能减小。
4 0 r 4 0 r r 为该点到球心的距离. （2）球内（无论是空心与实心）的场强E=0， （内无电荷）；电势不为零，等于球面上的电势。 （3）求E和V时，要将形成场的所有电荷都考虑 到，然后求矢量（E）和或代数和（V）。
2
E
及
V
例题5 有一带正电的肥皂泡，吹大到使它的半径为原 来的2 倍，问静电能有什么变化？电荷的存在对吹泡 有帮助还是有妨碍？
解（1）设q2 、 q3为外球壳内、外 层所带电荷。 由高斯定理可得：
R2 R1 D C B A 0
R3
q 2 q1
2 3
10
8
C
q2 q3 q
q3 4 3 10
8
q1
C
q2
q3
（2）各点的场强和电势 B点： q1 由高斯定理得： E B 2 4 0 rB
VB
q1 4 0 rB
q1 4 0 rB
q2 4 0 rB
q2 4 0 R 2
q3 4 0 rB
q3 4 0 R 3
导体中的电场分布与电势
导体中的电场分布与电势导体是指能够将电子自由流动的物质。
在导体中，电场的分布与电势的变化是基本的物理现象，对于电场的分布和电势的理解有助于我们更好地理解电磁现象。
首先，让我们来了解一下什么是电场。
电场是描述空间中某一点受到的电力作用的物理量。
导体中的电场主要受到导体表面的限制。
由于导体的特殊性质，其内部的电场强度为零。
这是因为在导体内部，自由电子可以自由移动，从而外加电场对于内部自由电子的力会迅速平衡，使得电场强度为零。
因此，在导体中，电场主要分布在导体表面。
导体内部的电场分布与导体表面的形状密切相关。
考虑一个球形导体，当导体带电时，电荷会分布在导体表面上。
由于导体表面是一个等势面，也就是说，导体表面上的任意两点之间没有电势差，这意味着导体表面上的电势处处相等。
导体表面上的电势是由导体内部带来的电荷分布决定的。
在导体内部，电荷分布会随着导体的形状和尺寸而变化。
通过电场和电势公式，我们可以推导出导体表面上的电势分布。
对于球形导体，如果质点在球心，根据库仑定律，电势符合反比例关系。
这意味着导体表面上的电势随着距离球心的距离增加而减小。
除了形状和尺寸，导体的一些特殊性质也会影响导体内部和表面的电势分布。
例如，如果导体的形状并非规则的球形，导体表面上的电势分布将更为复杂。
此外，导体的导电能力也会对电势分布产生影响。
较好的导电体将更容易在表面上平均分布电荷，从而使电势更均匀。
在导体表面上，电场强度垂直于导体表面。
这是因为电场是电势的负梯度。
在导体表面上，由于电势相等，电势梯度为零，因此电场强度垂直于导体表面。
导体中的电场分布与电势的变化是导体中电荷分布和导体性质的结果。
了解这些现象有助于我们理解导体中的电磁现象，例如电磁感应和电子流动。
此外，对于电场和电势的理解还有助于我们更好地应用电场和电势的原理，例如用导体制作电势计和电容器。
综上所述，导体中的电场分布与电势的变化是导体形状、尺寸和导体特性的结果。
导体内部的电势分布为零，主要电场分布在导体表面上。
高中物理竞赛习题专题之《电磁场典型必练例题》(Word版包含答案详解》
高中物理竞赛习题之电磁场经典例题一、选择题1. 如图所示将一个电量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d ，参见附图。
设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有（ ）（A ）dεq V E 0π4,0==（B ）dεq V d εq E 020π4,π4== （C ）0,0==V E（D ）Rεq V d εq E 020π4,π4== 解析： 达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零。
点电荷q 在导体球表面感应等量异号的感应电荷±q′，导体球表面的感应电荷±q′在球心O 点激发的电势为零，O 点的电势等于点电荷q 在该处激发的电势。
因而正确答案为（A ）。
2、在图（ａ）和（ｂ）中各有一半径相同的圆形回路L1 、L2 ，圆周内有电流I1 、I2 ，其分布相同，且均在真空中，但在（ｂ）图中L2 回路外有电流I3 ，P 1 、P 2 为两圆形回路上的对应点，则（ ）（A ） ⎰⎰⋅=⋅21L L d d l B l B ，21P P B B = （B ） ⎰⎰⋅≠⋅21L L d d l B l B ，21P P B B = （C ） ⎰⎰⋅=⋅21L L d d l B l B ，21P P B B ≠ （D ） ⎰⎰⋅≠⋅21L L d d l B l B ，21P P B B ≠ 解析：由磁场中的安培环路定律，积分回路外的电流不会影响磁感强度沿回路的积分；但同样会改变回路上各点的磁场分布．因而正确答案为（C ）．3、对位移电流，下述四种说法中哪一种说法是正确的是（ ）（A ） 位移电流的实质是变化的电场（B ） 位移电流和传导电流一样是定向运动的电荷（C ） 位移电流服从传导电流遵循的所有定律（D ） 位移电流的磁效应不服从安培环路定理解析：位移电流的实质是变化的电场．变化的电场激发磁场，在这一点位移电流等效于传导电流，但是位移电流不是走向运动的电荷，也就不服从焦耳热效应、安培力等定律．因而正确答案为（A ）．4.将形状完全相同的铜环和木环静止放置在交变磁场中，并假设通过两环面的磁通量随时间的变化率相等，不计自感时则（ ）（A ） 铜环中有感应电流，木环中无感应电流（B ） 铜环中有感应电流，木环中有感应电流（C ） 铜环中感应电动势大，木环中感应电动势小（D ） 铜环中感应电动势小，木环中感应电动势大分析与解 根据法拉第电磁感应定律，铜环、木环中的感应电场大小相等，但在木环中不会形成电流．因而正确答案为（A ）．二、计算题5、如图所示，有三个点电荷Q 1 、Q 2 、Q 3 沿一条直线等间距分布且Q 1 ＝Q 3 ＝Q .已知其中任一点电荷所受合力均为零，求在固定Q 1 、Q 3 的情况下，将Q 2从点O 移到无穷远处外力所作的功.解析：由库仑力的定义，根据Q 1 、Q 3 所受合力为零可求得Q 2 .外力作功W ′应等于电场力作功W 的负值，即W ′＝－W .求电场力作功的方法有两种：(1)根据功的定义，电场力作的功为l E d 02⎰∞=Q W 其中E 是点电荷Q 1 、Q 3 产生的合电场强度.(2) 根据电场力作功与电势能差的关系，有()0202V Q V V Q W =-=∞其中V 0 是Q 1 、Q 3 在点O 产生的电势(取无穷远处为零电势).解1 由题意Q 1 所受的合力为零()02π4π420312021=+d εQ Q d εQ Q 解得 Q Q Q 414132-=-=由点电荷电场的叠加，Q 1 、Q 3 激发的电场在y 轴上任意一点的电场强度为 ()2/322031π2y d εQ E E E yy y +=+=将Q 2 从点O 沿y 轴移到无穷远处，(沿其他路径所作的功相同，请想一想为什么？)外力所作的功为()d εQ y y d εQ Q Q W y 022/3220002π8d π241d =+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⋅-='⎰⎰∞∞l E 解2 与解1相同，在任一点电荷所受合力均为零时Q Q 412-=，并由电势的叠加得Q 1 、Q 3 在点O 的电势dεQ d εQ d εQ V 003010π2π4π4=+= 将Q 2 从点O 推到无穷远处的过程中，外力作功dεQ V Q W 0202π8=-=' 比较上述两种方法，显然用功与电势能变化的关系来求解较为简洁.这是因为在许多实际问题中直接求电场分布困难较大，而求电势分布要简单得多.6、在一半径为R １ ＝6.0 cm 的金属球A 外面套有一个同心的金属球壳B ．已知球壳B 的内、外半径分别为R 2＝8.0 cm ，R 3 ＝10.0 cm ．设球A 带有总电荷Q A ＝3.0 ×10－８C ，球壳B 带有总电荷Q B ＝2.0×10－８C ．（１） 求球壳B 内、外表面上所带的电荷以及球A 和球壳B 的电势；（2） 将球壳B 接地然后断开，再把金属球A 接地，求金属球A 和球壳B 内、外表面上所带的电荷以及球A 和球壳B 的电势．解析：（１） 根据静电感应和静电平衡时导体表面电荷分布的规律，电荷Q A 均匀分布在球A 表面，球壳B 内表面带电荷－Q A ，外表面带电荷Q B ＋Q A ，电荷在导体表面均匀分布［图（ａ）］，由带电球面电势的叠加可求得球A 和球壳B 的电势．（2） 导体接地，表明导体与大地等电势（大地电势通常取为零）．球壳B 接地后，外表面的电荷与从大地流入的负电荷中和，球壳内表面带电－Q A ［图（ｂ）］．断开球壳B 的接地后，再将球A 接地，此时球A 的电势为零．电势的变化必将引起电荷的重新分布，以保持导体的静电平衡．不失一般性可设此时球A 带电q A ，根据静电平衡时导体上电荷的分布规律，可知球壳B 内表面感应－q A ，外表面带电q A －Q A ［图（c ）］．此时球A 的电势可表示为0π4π4π4302010=-+-+=R εQ q R εq R εq V A A A A A 由V A ＝0 可解出球A 所带的电荷q A ，再由带电球面电势的叠加，可求出球A 和球壳B 的电势．解 （１） 由分析可知，球A 的外表面带电3.0 ×10－８C ，球壳B 内表面带电－3.0 ×10－８C ，外表面带电5.0 ×10－８C ．由电势的叠加，球A 和球壳B 的电势分别为V 106.5π4π4π43302010⨯=-+-+=R εQ Q R εQ R εq V A A A A A V 105.4π4330⨯=+=R εQ Q V B A B （2） 将球壳B 接地后断开，再把球A 接地，设球A 带电q A ，球A 和球壳B 的电势为0π4π4π4302010=+-+-+=R εq Q R εq R εq V A A A A A 30π4R εq Q V A A B +-= 解得C 1012.2831322121-⨯=-+=R R R R R R Q R R q A A 即球A 外表面带电2.12 ×10－８C ，由分析可推得球壳B 内表面带电－2.12 ×10－８C ，外表面带电-0.9 ×10－８C ．另外球A 和球壳B 的电势分别为0A V =27.2910V B V =-⨯导体的接地使各导体的电势分布发生变化，打破了原有的静电平衡，导体表面的电荷将重新分布，以建立新的静电平衡．7、如图所示球形金属腔带电量为Q ＞0，内半径为ɑ，外半径为b ，腔内距球心O 为r 处有一点电荷q ，求球心的电势．解析：导体球达到静电平衡时，内表面感应电荷－q ，外表面感应电荷q ；内表面感应电荷不均匀分布，外表面感应电荷均匀分布．球心O 点的电势由点电荷q 、导体表面的感应电荷共同决定．在带电面上任意取一电荷元，电荷元在球心产生的电势Rεq V 0π4d d = 由于R 为常量，因而无论球面电荷如何分布，半径为R 的带电球面在球心产生的电势为R εq R εq V s 00π4π4d ==⎰⎰由电势的叠加可以求得球心的电势． 解 导体球内表面感应电荷－q ，外表面感应电荷q ；依照分析，球心的电势为bεQ q a εq r εq V 000π4π4π4++-= 8、有一个空气平板电容器，极板面积为S ，间距为d ．现将该电容器接在端电压为U 的电源上充电，当（1） 充足电后；（2） 然后平行插入一块面积相同、厚度为δ（δ ＜d ）、相对电容率为εｒ 的电介质板；（3） 将上述电介质换为同样大小的导体板．分别求电容器的电容C ，极板上的电荷Q 和极板间的电场强度E ．解析：电源对电容器充电，电容器极板间的电势差等于电源端电压U ．插入电介质后，由于介质界面出现极化电荷，极化电荷在介质中激发的电场与原电容器极板上自由电荷激发的电场方向相反，介质内的电场减弱．由于极板间的距离d 不变，因而与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷，以维持电势差不变，并有()δSεεQ δd S εQ U r 00+-= 相类似的原因，在平板电容器极板之间，若平行地插入一块导体板，由于极板上的自由电荷和插入导体板上的感应电荷在导体板内激发的电场相互抵消，与电源相接的导体极板将会从电源获得电荷，使间隙中的电场E 增强，以维持两极板间的电势差不变，并有()δd SεQ U -=0 综上所述，接上电源的平板电容器，插入介质或导体后，极板上的自由电荷均会增加，而电势差保持不变．解 （1） 空气平板电容器的电容dS εC 00= 充电后，极板上的电荷和极板间的电场强度为U dS εQ 00= d U E /0=（2） 插入电介质后，电容器的电容C 1 为()()δd εδS εεδS εεQ δd S εQ Q C r r r -+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=0001/ 故有()δd εδSU εεU C C r r -+==011 介质内电场强度 ()δd εδU S εεQ E r r -+=='011 空气中电场强度 ()δd εδU εS εQ E r r -+==011 （3） 插入导体达到静电平衡后，导体为等势体，其电容和极板上的电荷分别为δd S εC -=02 U δd S εQ -=02 导体中电场强度 02='E 空气中电场强度δd U E -=2 无论是插入介质还是插入导体，由于电容器的导体极板与电源相连，在维持电势差不变的同时都从电源获得了电荷，自由电荷分布的变化同样使得介质内的电场强度不再等于E 0/εｒ．9、如图所示，有两根导线沿半径方向接触铁环的a 、b 两点，并与很远处的电源相接。
点电荷电场中导体球面上的感应电荷分布
点电荷电场中导体球面上的感应电荷分布本文将介绍一种在点电荷电场中导体球面上的感应电荷分布。
电荷分布是本文主要讨论的话题，因为它是由电荷的分布和排列组成的。
在这里，我们主要讨论点电荷电场中的感应电荷分布，我们将介绍这种电荷分布的各种特性，以及它在电学和物理学中的应用。
必须指出的是，这种电荷分布产生的电场可以表示为点电荷的向量场。
首先介绍的是点电荷的概念。
点电荷是一种球形的荷电粒子，它在电动势面上具有定向的电荷。
在点电荷电场中，可以考虑一个点电荷位于某一位置，而另一点电荷位于另一位置，这样我们就可以用点电荷模型来描述一个点电荷分布的电场。
接下来，我们将讨论导体球面上感应电荷分布的情况。
在这种情况下，这个感应电荷被认为是“感应电荷”，因为它们受到电场的影响，而不是因为它们自身的电场。
感应电荷的分布可以通过量化的方法得到，即将感应电荷的分布表示为一系列点电荷分布的结果。
对于导体球面上的感应电荷分布，一个点电荷分布数值求解器可以实现，它可以用于求解球面上的电荷分布，以及其他类型的电荷分布。
量化的方法是通过精确的数值求解获得的，并通过用于解决物理问题的数值模拟软件完成。
此外，由于点电荷电场中的感应电荷可以描述为一系列点电荷的结果，所以可以将这种电荷分布的结果用于电学中的分析问题。
例如，可以利用点电荷电场中的感应电荷分布来求解电场和电流的分布，从而求解电子学中的问题。
此外，由于在点电荷电场中点电荷本身可以产生电场，因此可以将这种电荷分布的结果用于物理学中的问题，例如力学和流体力学问题的求解。
最后，介绍一种点电荷电场中的感应电荷分布的计算方法，即采用多重采样技术。
这种技术使用多个点电荷模拟点电荷电场，从而使得采样计算更为精确。
在这种情况下，可以针对点电荷分布中不同点电荷的采样结果，采用多重采样技术来求解感应电荷分布的结果。
采用这种技术可以得到更准确的计算结果，比一般的数值求解更准确。
总之，本文讨论的是点电荷电场中的感应电荷分布，并简要介绍了该问题的背景知识、理论分析以及求解手段。
大学物理第六章课后习题答案
第六章 静电场中的导体与电介质 6 －1 将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将（ ）（A ） 升高 （B ） 降低 （C ） 不会发生变化 （D ） 无法确定 分析与解 不带电的导体B 相对无穷远处为零电势。
由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B 附近时，在导体B 的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A ）。
6 －2 将一带负电的物体M 靠近一不带电的导体N ，在N 的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷。
若将导体N 的左端接地（如图所示），则（ ）（A ） N 上的负电荷入地 （B ）N 上的正电荷入地（C ） N 上的所有电荷入地 （D ）N 上所有的感应电荷入地分析与解 导体N 接地表明导体N 为零电势，即与无穷远处等电势，这与导体N 在哪一端接地无关。
因而正确答案为（A ）。
6 －3 如图所示将一个电量为q 的点电荷放在一个半径为R 的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d ，参见附图。
设无穷远处为零电势，则在导体球球心O 点有（ ）（A ）d εq V E 0π4,0== （B ）dεq V d εq E 020π4,π4== （C ）0,0==V E（D ）R εq V d εq E 020π4,π4==分析与解 达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零。
点电荷q 在导 体球表面感应等量异号的感应电荷±q′，导体球表面的感应电荷±q′在球心O 点激发的电势为零，O 点的电势等于点电荷q 在该处激发的电势。
因而正确答案为（A ）。
6 －4 根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和。
下列推论正确的是( )（A ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内一定没有自由电荷（B ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内电荷的代数和一定等于零（C ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷（D ） 介质中的高斯定律表明电位移矢量仅仅与自由电荷的分布有关 （E ） 介质中的电位移矢量与自由电荷和极化电荷的分布有关分析与解 电位移矢量沿任意一个闭合曲面的通量积分等于零，表明曲面 内自由电荷的代数和等于零；由于电介质会改变自由电荷的空间分布，介质中的电位移矢量与自由电荷与位移电荷的分布有关。
静电场填空题答案
静电场填空题（参考答案）1．在正q 的电场中，把一个试探电荷q 0由a 点移到b 点如图如示，电场力作的功（ 0011()4a bqqr r πε-- ）2．导体静电平衡的特征是（ ），必要条件是（ ）。
3．E r 和U 的积分关系是（u E dl =•⎰v v ），微分关系是（u E n n∂=-∂v v ）。
4．把一个均匀带电Q 的球形肥皂泡由半径为r 1吹到r 2 ,则半径为r (r 1<r<r 2)的高斯面上任一点场强大小由（204Q r πε）变为（0）。
5．真空中有一半径为R ，所带电量为Q 的均匀带电球面。
若在球面上挖去一小块带电面△S ，则球心处场强E=（220144QE S R R πεπ=∆）。
6．正方形边长为a ，体心有一点电荷q ，则通过每个面的电通量为（6εq ）。
7．两个点电荷2q 和q ，相距l ，将第三个点电荷放在（（1+2）l ）处所受合力为零。
8．一均匀带电为Q 的平面圆线圈，其半径为R ，该线圈圆中心点的电场强度为（0）。
9．将一个点电荷q 放在一个边长为a 的立方体的一个角点上，则通过该立方体六个面的总的电通量为（8q ）。
10. 如图所示，四个等量的点电荷距原点的距离均为a ，则原点O 处的电场强度为（0），若参考点选在无限远处，电势为（aq 0πε）。
r r ρob a ab11．已知两同号点电荷21,q q 之和为Q ，则当=1q（2Q ）和=2q（2Q）时，相互作用力最大。
12．真空中，一均匀带电半径为R 细圆环，电荷线密度为λ，则其圆心处的电场强度0E =(0)，电势0U =(2λε)。
（选无穷远处电势为零）13. 在空间有一非均匀电场，其电场线分布如图所示．在电场中作一半径为R 的闭合球面S ，已知通过球面上某一面元S ∆的电场强度通量为e ΦΔ，则通过该球面其余部分的电场强度通量为（-e ΦΔ）。
14. 在点电荷+q 和-q 的静电场中，作出如图所示的三个闭合曲面S 1、S 2、S 3，则通过这些闭合曲面的电场强度通量分别是：Φ1=（0qε）；Φ2=（0）；Φ3=（qε-）。
电磁学复习
填空题1、在正q的电场中，把一个试探电荷由a点移到b点如图如示，电场力作的功（）2、一无限长均匀带电直线（线电荷密度为）与另一长为L，线电荷密度为的均匀带电直线AB共面，且互相垂直，设A端到无限长均匀带电线的距离为，带电线AB所受的静电力为（）。
3、导体在静电场中达到静电平衡的条件是（）。
4、电流的稳恒条件的数学表达式是（）。
5、一长螺线管通有电流I，若导线均匀密绕，则螺线管中部的磁感应强度为（）端面处的磁感应强度约为（）6、设想存在一个区域很大的均匀磁场，一金属板以恒定的速度V在磁场中运动，板面与磁场垂直。
（1）金属板中（）感应电流。
磁场对金属板的运动（）阻尼作用。
（2）金属板中（）电动势。
（3）若用一导线连接金属两端，导线中（）电流。
〔括号内填“无”或“有”〕7、若先把均匀介质充满平行板电容器，（极板面积为S，极反间距为L，板间介电常数为）然后使电容器充电至电压U。
在这个过程中，电场能量的增量是（）。
8、一无限长的载流圆柱体浸在无限大的各向同性的均匀线性的相对磁导率的的磁介质中，则介质中的磁感应强度与真空中的磁感强度之比是（）。
9、电偶极子在外电场中的能量（）。
10、R，L，C串联接到一交流电机上，若发电机的频率增加，将会使感抗（）。
11、一无限长均匀带电直线，电荷线密度为，则离这带电线的距离分别为和的两点之间的电势差是（）。
12、在一电中性的金属球内，挖一任意形状的空腔，腔内绝缘地放一电量为q的点电荷，如图所示，球外离开球心为r处的P点的场强（）。
13、在金属球壳外距球心O为d处置一点电荷q，球心O处电势（）。
14、有三个一段含源电路如图所示，在图（a）中=( )。
在图（b）中=( )。
在图（C）中=( )。
15、载流导线形状如图所示，(虚线表示通向无穷远的直导线)O处的磁感应强度的大小为（）16、在磁感应强度为的水平方向均匀磁场中，一段质量为ｍ，长为Ｌ的载流直导线沿竖直方向从静止自由滑落，其所载电流为Ｉ，滑动中导线与正交，且保持水平。
导体上电荷的分布
例1：如图所示接地金属球A的半径为R，球外点电 荷的电量为Q，到球心的距离为r，该点电荷的电场 在球心的场强等于多少？
R Q A 感应点荷无关，所以E0 k 2 , E oE
r 方向沿QO指向O
注意：E0、E ′和E合的区别,E0 由外电场决定，E ′ =E0，E合=0
解:点电荷Q产生的场强与
尖端放电的原理有何应用？
避雷针是利用尖端放电避免雷击的一种设施
四、静电屏蔽
思考:空心导体壳内的验电器箔片会张开吗?
不会 因为导体壳 内部合场强为零.
+
--
+ + + + + +
静电屏蔽:静电平衡时,空心导体壳可保护其 内部区域不受外电场影响 的现象.
思考:用金属网罩将验电器罩住,会怎样呢?
+
思考:用金属网罩将验电器罩住,会怎样呢?
Q
r
E是点电荷Q产生的电 场（即外电场），E′是 感应电荷产生的电场 （附加场），E合是两 个电场叠加后的合电场
二、导体上电荷的分布 法拉第圆筒实验:
2 1
用两个带有绝缘手柄的金 属小球分别接触带有电荷 的金属圆筒的内壁和外壁.
1
法拉第圆筒实验:
2
和外壁接触的小球使验电 器箔片张开,表明金属筒外 壁有电荷分布.
+
该现象表明金属网罩也能起到静电屏蔽作用.
类似事例:通讯电缆外包金属层,电学仪器外套金属罩.
思考:电力工作人员有时需要带电作业，怎样才能保
证他们的生命安全？
全身穿戴金属丝网制成的衣，帽，鞋，手套等。
对静电屏蔽的理解
1．现象：一个金属导体壳(网罩)能把壳外电场遮 住，使壳内部不受外电场影响，这种现象叫静电屏蔽. 2．原理：静电屏蔽的原理是静电感应与静电平衡 . 3．两种情况 (1)金属壳内部不受外部影响
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点电荷电场中球形导体表面感应电荷的分布姜树青（浙江省平湖中学，浙江 平湖 314200）摘要：在点电荷形成的电场中，导体处于静电平衡时，由于静电感应，其表面有感应电荷分布．本文拟对球形导体表面感应电荷的分布及相关问题作出定量探讨． 关键词：感应电荷面密度 最近点 最远点 界心角 切心角 角差 1 问题的提出如右图1所示，导体球半径为R ，点电荷与球心相距为r （r ＞R ），整个装置置于真空中．试讨论在电键k 接通和断开两种情况下，导体球表面感应电荷的分布规律． 2 求解和讨论 2.1电键k 接通情形2.1.1导体球表面感应电荷分布的定量表达式我们知道，导体球外部空间的电场是由点电荷Q 和球面感应电荷共同叠加形成的．依据电像理论，球面感应电荷对外部空间的电场贡献，可由点电荷Q 的像点电荷q ′等效替代． q ′位于Q 与导体球心O 连线上，距球心为r ′．这里 q ′和r ′之值为：画出点电荷r 为正、负电性两种情形球面某点P 的合电场E P 如图2甲、乙所示．图中E P 方向总与球面垂直，当Q 为正电性时，E P 方向沿径向指向球心；当Q 为负电性时，E P 方向沿径向指向球外．只要R 和r 相同，点电荷Q 正、负两种情形对应的E P 大小相等．设θ为OQ 和OP 所夹的角， 仅用初等数学知识就能求出Q 和．Q2rR－q r R r ='='，q ′在P 点产生的合场强E P 的大小（推导过程从略）：于是P 点感应电荷面密度σP 为表达式中前面的“－”号表示感应电荷的电性与Q 相反．由上式可知，在Q 、R 及r 都确定下，球面上感应电荷的面密度σ只与θ有关．在θ于范围0～2π以内，σ总与Q 符号相反，即整个导体球面上都分布着与Q 电性相反的感应电荷，且感应电荷的分布关于Q 与球心O 的连线对称．|σ|—θ关系如图3所示． 我们知道，导体球接地时，整个球体电势视为0，设整个球面感应电荷的总量为q 总感，由电磁学知识易得q 总感之值：kQ/r + k q 总感 /R = 0，即q 总感=－R Q / r ． （2）一个自然要提出的疑问是：按上述（1）式分布的球面感应电荷，整个球面感应电荷的总量是否也收敛到（2）式的结果呢？对（1）式作球面积分：，）（）（32222P cos 2Q θR r －R r k R －R r －E +⋅=）（）（）（1cos 2Q4432222P P ．R r －R r R－R r －kE θππσ+⋅==．Q 224Q ]cos 21[24Q cos 2sin 4Q sin 222202122220232220220220R R r r R r R rR R r rRR r R d rR R r d R r R d d R s d q -=-⋅⋅--=-+⋅-⋅⋅--=-+--===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰）（）（）（）（）（）（总感ππθππθθθϕπθϕθσσπππππ可见，两种方法所得结果一致．2.1.2球面最近点感应电荷的面密度σ近如图2中，球面上距Q 最近点M ，以下简称最近点．令（1）式中θ= 0，得到球面最近点感应电荷的面密度设想Q 距球心的距离发生变化：r →R 时，|σ近|→∞，即当点电荷Q 由远及近以至充分接近球面时，理论上球面最近点感应电荷面密度的绝对值逐渐增大并趋于无穷大；r →∞时，|σ近|→0．画出|σ近|— r 关系如图4所示． 2.1.3球面最远点感应电荷的面密度σ远如图2中，球面上距Q 最远点N ，以下简称最远点．令（1）式中θ=π，得到球面最远点感应电荷的面密度画出|σ远|— r 关系如图5所示．在r →R 和r →∞两种极端情况下，均有 |σ远|→0，故适当取r 值，|σ远|可取极大值．极值点的位置在何处？把（4）式变形为可知：当（r －R ）= 4R 2 /（r －R ），即r = 3R 时， |σ远|取极大值（另一根r =－ R 舍弃），此时σ远为如果设想把－Q 的电量全部导入一半径为R 的中性绝缘导体球，则当－Q 在导体球面上均匀分布后，电荷的面密度为σ′= －Q /4πR 2．显）（）（）（近34Q 2．R r R R r -+-=πσ）（）（）（远44Q2．R r R R r +--=πσ．RπR r R R r R r 232max 32Q ]4Q [-=+--==）（）（远πσ，）（）（）（）（远]44[14422R R r RR r R Q R r R Q R r +-+-⋅-=+--=ππσ然，上述最远点处的感应电荷面密度σ远max 也才是σ′的1/8．可见最远点处感应电荷分布得较“稀疏”．2.1.4感应电荷面密度之比σ近/σ远及其随r 的变化球面最近点和最远点感应电荷面密度的比值为由（5）式可以看出，当点电荷Q 与球心距离r 在区间（R ，∞）内逐渐增大时，σ近/σ远从无穷大逐渐衰减并趋于1．这表明当点电荷Q 与导体球逐渐远离时，σ近和σ远一方面均渐减小且趋于0，另一方面球面感应电荷的分布也渐趋均匀．画出σ近/σ远 —— r 关系如图6所示．表1列出由（5）式求出的几个r 值所对应的σ近/σ远之值，以便比较．r 100 R 10.0 R 3.00 R 2.00 R 1.50 R 1.10 R 1.01 R σ近/σ远 1.062 1.826 8.000 27.00 125.0 9261 8.121×106 2.1.5右半球面感应电量q 远半占整个球面感应总电量q 总感的百分比 在图1中，我们把导体球面分成靠近Q 一侧的左半球面和远离Q 一侧的右半球面，感应电量分别记为q 近半和q 远半．右半球面的电量 q 远半为）（）（）（）（）（）（远近521]Q 4[4Q 322．Rr R R r R r R R r πR R r -+=-+-⋅-+-=πσσ．Rr R r rR r r R r R R r R R r d r R R r R R r d r d s d q ）（）（）（）（）（）（（右半球面）远半+-+⋅--=-+-⋅--=-+⋅--=⋅==-⎰⎰⎰⎰⎰112Q ]cos 2[2Q ]cos 2sin 4Q [2sin 2222221222222322222022πππππππθθθθππθθσϕσ可以证明，在r →R 下，上述q 远半→0．前已讨论，当r →R 时，最远点|σ远|→0，最近点|σ近|→∞；而由球面感应总电量 q 总感=－R Q / r 知，当r →R 时，q 总感→－Q ．如果我们把上述变化综合起来考查，展现在眼前的是这样一幅物理图景：随着点电荷Q 逐渐向导体表面移近，整个球面感应电荷的总量逐渐增大并趋于－Q ，感应电荷的分布也逐渐向左半球面聚拢，最终感应电荷几乎全部地聚集于最近点处．这是不难理解的，因为当r →R 时，点电荷Q 非常接近导体球面，对点电荷Q 而言，球面则相当于“无穷大的平面”了，它发出的电场线将几乎全部地终止于球面上最近点附近很小的面积区域内．右半球面感应电量q 远半与整个球面感应总电量q 总感之比为表2列出由（6）求得的几个r 值下的q 远半/q 总感 百分比之值，供读者比较．由上表可直观地看到，随着点电荷Q 逐渐向导体球靠近，导体球远离点电荷Q 一侧的半球面所带电量q 远半占整个导体球面感应总电量q 总感的百分比越来越小，或者说导体球面感应电荷的分布重心逐渐向靠近点电荷Q 一侧移动，而当点电荷Q 逐渐远离导体球时，远离点电荷Q 一侧的半球面所带电量q 远半占整个导体球面感应总电量 q 总感的百分比越来越趋近于50％． 2.2电键k 断开情形当k 断开时，根据电像理论，导体球表面电荷在球外空间的电场贡献可由两个像电荷q ′、q ″共同等效替代：q ′和“2.1电键k 接）（）（）（）（总感远半6112Q 112Q 22222222．R r Rr R R r r R R r R r r R r q q +-+⋅-=-+-+⋅--=通情形”完全相同，而q ″置于球心，电量为导体球带电量与q ′之差．以下本文只对整个导体为电中性情形作出讨论．2.2.1整个导体球为电中性情形下，表面感应电荷分布的定量表达式此时球外空间的电场由点电荷Q 及两个像电荷q ′、q ″共同产生，q ′=－q ″=－R Q / r ．三者在球面外侧附近的合场强E 方向沿法线，大小为于是球面某点P 感应电荷面密度表达为2.2.2中性导体球面上感应电荷的界心角右图7为中性导体球在点电荷电场中的剖面图，A 1 、A 2为圆周上正、负感应电荷的分界点（图中以正点电荷Q 为例画出）．我们定义，分界点A 1 、A 2和圆心O 的连线所夹靠近点电荷Q 一侧的角∠A 1O A 2叫界心角，用α表示．在分界点处，感应电荷面密度必为0，故令（7）式σ= 0，得到这里θ1、θ2分别对应图7中A 1 和A 2两分界点．于是界心角为可以证明，（8）式在r →R 和r →∞下，分别有α→0和α→π，表明随着点电荷Q 接近中性绝缘导体球，与Q 异性的感应电荷只分布在球面上很小比例的面积区域内；而当Q 远离中性绝缘导体球并趋向无穷远时，球面上正、负感应电荷的分布均渐趋占据半个球面． 2.2.3中性导体球面感应电荷的界心角和切心角的关系，）（）（）（）（R r k R r －R r k R －R r －r q k R r －R r k R －R r －E Qcos 2Q cos 2Q 32222232222++⋅="++⋅=θθ）（）（）（74πQcos 2Q 432222．rR R r －R r R －R r －++⋅=θπσ，）（r R R r r r R 2arccos θ32222221--+=．rR R r r r R 2arccos 2θ32222222）（--+-=π）（）（82arccos 22θα32222221．rR R r r r R --+==过点电荷Q 向导体球做切线，剖面如图8所示．其中B 1、B 2为两个切点．为叙述方便，把切点B 1、B 2和圆心O 的连线所夹靠近点电荷Q 一侧的角∠B 1O B 2叫切心角，用β表示，有有人从“想当然”出发，错误地认为导体球感应电荷的界心角α等于切心角β．以下我们用反证法证明，只有在r →R 和r →∞两种极端情况下二者相等外，其它情况下并不相等．令r /R =m ，α和β可简化为假设α≤ β． 有亦即两边同时立方并整理，得到因r ＞R ，必有r /R =m ＞1，故上面不等式不成立！结论：只要满足条件∞＞r ＞R ，必有α＞β，即导体球感应电荷的界心角α总大于切心角β． 2.2.4角差及其极值把界心角α与切心角β之差叫角差，用γ表示．有我们的问题是：那种错误地认为导体球感应电荷的界心角α等于切心．rRarccos 2β=．m1arccos 2β2m 1m 2m m 1m arccos 2α33=+--+=，m12m 1m 2m m 1m 33≥+--+1m m 1m 2m m 233-≤+-01m 22≤-）（）（），（9m1arccos 2m 1m 2m m 1m arccos 2β－αγ33－+--+==角β的观点，产生的偏差最大能达到多少？换言之，角差γ的最大值γmax是多少？（9）式是复杂函数，我们借助电子计算机，生成γ—m关系如图9所示，采用逼近法求近似值，得到如下结果：m0≈1.07048，γmax≈0.314131弧度≈18°．即：当点电荷Q离球心的距离约为球半径的1.07048倍（见图10）时，界心角α与切心角β相差最大约为18°（角差的一半即半角差γ/2，最大约为9°，见图10中阴影部分）．。