中点模型的构造问题小结精编

ED CB A FA BCE G 典型中点构造题型一：三角形中位线三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段；定理：三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半． 如图：若DE 为ABC △的中位线,则DE BC ∥，且12DE BC = 三角形中位线中隐含的重要性质： ①一个三角形有三条中位线．②三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形．③三角形的三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形．④三角形的三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半，其面积为原三角形面积的四分之一．如图：EF 、GE 、GF 是ABC △的三条中位线，则有①AEG EBF GFC FGE △≌△≌△≌△②AEFG EBFG EFCG S S S ==平行四边形平行四边形平行四边形③12EFG ABC C C =△△，14EFG ABC S S =△△E D C B AF E D C B A 【引例】 如图，已知ABC △，D E 、分别是AB AC 、的中点，求证：DE BC ∥且12DE BC =．【解析】 延长DE 到点F ，使EF=DE ，连接FC ，DC ，AF ．∵AE=EC∴四边形ADCF 是平行四边形∴CF//DA 且CF=DA ， CF //BD 且CF=BD ∴四边形DBCF 是平行四边形 ∴DF //BC 且DF=BC又12=DE DF∴DE //BC ，且12=DE BC【例1】 已知四边形ABCD 是梯形，AD BC ∥．⑴ 如图1，E 、F 是AB 、CD 的中点．求证：EF AD BC ∥∥且1()2EF AD BC =+．⑵ 如图2，E 、F 是BD 、AC 的中点．试写出EF 与AD 、BC 之间的关系．⑶ 如图3，若梯形满足90B C ∠+∠=︒．E 、F 是AD 、BC 的中点．试写出EF 与AD 、BC 之间的数量关系图1F E DCBA A BCD E F图2图3F EDCBA【例2】 ⑴四边形ABCD 中， E 、F 分别为AB 、CD 的中点，求证：①()12EF AC BD <+；②()12EF AD BC ≤+ ⑵四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，求证：()22214EF BD AC =+． ABCDEFAEBCF D备用图FEDC BA题型二：中点四边形定义：顺次连接一个四边形四边中点所得四边形称为中点四边形．中点四边形题型的思路是将四边形转化为三角形，构造三角形中位线进行证明．而探索中点四边形为特殊的平行四边形取决于原四边形的两条对角线是否相等或垂直． 中点四边形：对角线+中位线⑴顺次连结平行四边形各边中点所构成的四边形是 ； 顺次连结矩形各边中点所构成的四边形是 ； 顺次连结菱形各边中点所构成的四边形是 ； 顺次连结直角梯形各边中点所构成的四边形是 ； 顺次连结等腰梯形各边中点所构成的四边形是 ； ⑵顺次连结任意四边形各边中点所构成的四边形是 ；⑶顺次连结对角线相等的四边形的各边中点所构成的四边形是 ； ⑷顺次连结对角线互相垂直的四边形的各边中点所构成的四边形是 ． 【引例】 如图，四边形ABCD 中，E F G H 、、、分别是AB BC CD DA 、、、的中点． 求证：四边形EFGH 为平行四边形．HGF E DCBAHGFEDCB A【解析】 如图，连接，AC∵E F G H ，，，分别是AB BC CD DA ，，，的中点． ∴HG 、EF 是△DAC 和△BCA 的中位线∴HG AC EF ∥∥，12HG EF AC ==∴可得HG//EF 且HG=EF ，∴四边形EFGH 为平行四边形．【例3】 已知：如图1， 在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且CE DF =，AF 、DE 交于点G ，则可得结论：① AF DE =；②AF DE ⊥．（不需要证明） ⑴如图2，若点E 、F 分别在正方形ABCD 的边CB 、DC 的延长线上，且CE DF =，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； ⑵如图3，在⑴的基础上，连接AE 和EF ，若点M 、N 、P 、Q 分别为AE 、EF 、FD 、AD 的中点，试判断四边形MNPQ 的形状，并证明你的结论．图3图2图1QP N M AFBEGDCA FBEG DC AF BE GD CFEDCBA 图2图1BEM CD AMECBA题型三：直角三角形斜边中线 直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半若AD 为Rt ABC △斜边上的中线，则12AD BC =相关结论如上图，⑴AD BD DC ==； ⑵ABD ACD ，△△为等腰三角形 ⑶22ADB C ADC B ∠=∠∠=∠， 相关模型在由两个直角三角形组成的图中，M 为公共边的中点，总有结论：2AM MD AMD ABD =∠=∠，【引例】 在△ABC 中，CD ⊥AB 交AB 于D ，BE ⊥AC 交AC 于E ， F 为BC 的中点，连DF 、EF 、 DE ，请判定△DEF 的形状【解析】 ∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC∴△DBC 和△EBC 是直角三角形 ∵F 是斜边BC 的中点∴12==DF EF BC ∴△DEF 是等腰三角形．【例4】 ⑴ 锐角ABC △中，18BC =，若BD AC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，F 、G 分别为BC 、DE 的中点，若10ED =，则FG 的长为 ．⑵ 如图，四边形ABCD 中， 90=∠ADC ，取AC 中点O ，BC 中点E ，连接OD 、OE 、DE ，20∠=∠=︒CAD CAB ，则∠DOE =【例5】 已知：在ABC △中，90ABC ∠=︒，点E 在直线AB 上，ED 与直线AC垂直，垂足为D ，且点M 为EC 中点，连接BM 、DM ．⑴ 如图1，若点E 在线段AB 上，探究线段BM 与DM 及BM D ∠与BCD ∠所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；⑵ 如图2，若点E 在BA 延长线上，你⑴中的结论是否发生变化？写出你的猜想并证明；MMABCDA B C DOED C BAP N MFE D CBA 【例6】 在△ABC 中，D 为AB 的中点，分别延长CA ，CB 到点E ，F ，使DE =DF ；过E ，F 分别作CA ，CB 的垂线，相交于P ．M 、N 是AP 、BP 的中点，分别连接EM 、DM 和DN 、FN ，求证：⑴△DEM ≌△FDN ； ⑵∠P AE =∠PBF ．【例7】 我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：⑴写出一个你所学过的特殊四边形中是等邻角四边形的图形的名称；⑵如图1，△ABC 中，AB =AC ，点D 在BC 上，且CD =CA ，点E 、F 分别为BC 、AD 的中点，连接EF 并延长交AB 于点G ．求证：四边形AGEC 是等邻角四边形．⑶如图2，若点D 在△ABC 的内部，其他条件不变，EF 与CD 交于点H ，图中是否存在等邻角四边形?图 2图 1ABCDE F GGFE D CBAM C DE B A题型一 三角形中位线 巩固练习【练习1】已知：如图，平行四边形ABCD 中，∠BDC 的平分线DE 交直线AB 于E ．取DE 中点M 并连接CM 、BM ．⑴直接写出线段BM 和DE 的位置关系．⑵若BD=2DC ，则△DCM 的形状是_____________．证明你的结论．【练习2】已知：如图所示，在ABC △中，D 、G 分别为AB 、AC 上的点，且BD CG =，M 、N分别是BG 、CD 的中点，过MN 的直线交AB 于点P ，交AC 于点Q ， 求证：AP AQ =．Q P NMG D CBAC′B′A′G FE C BA F E D CB A 【练习3】如图l ，在四边形ABCD 中，AB CD =，E F、分别是BC AD 、的中点，连接EF 并延长，分别与BA CD 、的延长线交于点M N 、，则BME CNE∠=∠（不需证明）． （温馨提示：在图1中，连接BD ，取BD 的中点H ，连接HE HF 、，根据三角形中位线定理，可证得HE HF =，从而HFE HEF ∠=∠，再利用平行线的性质，可证得BME CNE ∠=∠）问题：如图2，在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O ，AB CD =，E F 、分别是BC 、AD 的中点，连接EF ，分别交DC AB 、于点M N 、，判断OMN △的形状，并证明．图图2图1GF E DBANM O FE DC BAH N M F E DCBA题型二 中点四边形 巩固练习【练习4】△ABC 的周长为64，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，A '、B '、C '分别为EF 、EG 、GF 的中点，A B C '''△的周长为 ．如果△ABC 、△EFG 、A B C '''△分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n 个三角形的周长是 ．题型三 直角三角形斜边中线 巩固练习【练习5】如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．。