学而思寒假七年级尖子班讲义第1讲平行线四大模型(1)教学文稿

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学而思寒假七年级尖子班讲义第讲平面直角坐标系

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3 平面坐标系

知识目标

目标一理解有序数对、有序数对、点的坐标的概念

目标二掌握象限、坐标轴、坐标轴夹角平分线的点的坐标特征目标三灵活运用点和线的平移变换。点的对称变换求坐标

模块一平面直角坐标系的相关概念知识导航

1有序数对

有顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作（a,b),利用有序数对可以可以很准确的表示出一个位置。 2平面直角坐标系

3、点的坐标

平面内的点可以用一个有序数对表示，这个有序数对就叫做点的坐标。对于平面内任意一点，过该点分别向横轴、纵轴作垂线，垂足在横轴、纵轴上对应的数分别叫做该点横坐标、纵坐标。

在平面内两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角

坐标系、水平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向：

竖直的数轴称为y 轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴

的交点为平面坐标系的原点。

如左图，建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成了Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个部分,每个部分称为象限，分别

叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的

点不属于任何象限。

Ⅰ 第一象限 Ⅳ

第四象限

Ⅲ

第三象限 Ⅱ 第二象限原点

如图，点p 为坐标平面内一点，过点p 作x 轴

的垂线，垂足M 在x 轴上对应点的数是-2，则-2就是p 的横坐标；过点p 作y 轴的垂线，垂足N 在y 轴上对应的数为3，则3为点p 的纵坐标，点p 就可以用有序数对（-2，-3）来表示，记作p （-2,3）。

由坐标确定点的方法：要确定由坐标（a,b)所表示的点p 的位置，先在x 轴上找到表示a 的点，过这点作x 轴的垂线；再在y 轴上找到表示b 的点，过这点作y 轴的垂线，两条垂线的交点p 即为所求的位置。

初中数学-春季班-人教版-初一(学生版) 第2讲平行线--尖子班

第2讲平行线

知识点1 平行公理及推论

1. 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.

直线a与直线b不相交时，直线a与b互相平行，记作a∥b.

2. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.

平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 【典例】

例1 （2020春•焦作期末）下列说法中正确的个数有()

①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；

③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

④两条直线相交，对顶角相等．

A．1个B．2个C．3个D．4个

【方法总结】

本题主要考查了平行公理，垂线的性质以及垂线段的性质，对顶角的性质，解题时注意：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

【随堂练习】

1．（2019春•邱县期末）下列语句：

①不相交的两条直线叫平行线

②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行

③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行

④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行

⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行

正确的个数是()

A．1B．2C．3D．4

2．（2019春•余姚市期末）已知在同一平面内有三条不同的直线a，b，c，下列说法错误的是()

A．如果//

b a，//

b c

c a，那么//

⊥B．如果//

a b，a c

⊥，那么b c

C．如果b a

⊥，c a

b c

⊥，那么//

⊥D．如果b a

⊥，c a

⊥，那么b c

知识点2 平行线的判定

学而思寒假七年级尖子班讲义第3讲平面直角坐标系

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3 平面坐标系

知识目标

目标一理解有序数对、有序数对、点的坐标的概念

目标二掌握象限、坐标轴、坐标轴夹角平分线的点的坐标特征

目标三灵活运用点和线的平移变换。点的对称变换求坐标模块一平面直角坐标系的相关概念知识导航

1有序数对

有顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作（a,b),利用有序数对可以可以很准确的表示出一个位置。 2平面直角坐标系在平面内两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系、水平的数轴称为x 轴或横轴，

习惯上取向右为正方向：竖直的数轴称为y 轴或纵轴，取向上方

Ⅰ 第一Ⅳ 第四

Ⅲ 第三Ⅱ 第二原

3、点的坐标

如图，点p为坐标平面

内一点，过点p作x轴

的垂线，垂足M在x轴

上对应点的数是-2，则

由坐标确定点的方法：要确定由坐标（a,b)所表示的点p的位置，先在x轴上找到表示a的点，过这点作x轴的垂线；再在y轴上找到表示b的点，

巩固练习点的坐标

(1)在图1的平面直角坐标系中描出下列个点：

A(3，4),B(-2，3),C(-5，-2),D(4，-1),E(1，0),F(0，3),G(-2，0),H(0，-4).

(2)写出图2中点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 的坐标。

(word完整版)学而思寒假七年级尖子班讲义第1讲平行线四大模型(1)

Contents

第1讲平行线四大模型 (1)

第2讲实数三大概念 (17)

第3讲平面直角坐标系 (33)

第4讲坐标系与面积初步 (51)

第5讲二元—次方程组进阶 (67)

第6讲含参不等式（组） (79)

1平行线四大模型

知识目标

目标一熟练掌握平行线四大模型的证明

目标二熟练掌握平行线四大模型的应用

目标三掌握辅助线的构造方法，熟悉平行线四大模型的构造

秋季回顾平行线的判定与性质

l、平行线的判定

根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直线平行，但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行，这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行．

判定方法l：

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．

简称：同位角相等，两直线平行．

判定方法2：

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．

简称：内错角相等，两直线平行，

判定方法3：

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．

简称：同旁内角互补，两直线平行，

如上图：

若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；

若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；

若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．

另有平行公理推论也能证明两直线平行：

平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

2、平行线的性质

利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果已知两条直线平行，当它们被第三条直线所截，得到的同位角、内错角、同

学而思寒假七年级尖子班讲义第讲平行线四大模型

Contents

第讲平行线四大模型.....................................................................11 第讲实数三大概念........................................................................172 第讲平面直角坐标系.....................................................................333 第讲坐标系与面积初步..................................................................514 第讲二元—次方程组进阶...............................................................675 第讲含参不等式（组） (796)

平行线四大模型1

知识目标

目标一熟练掌握平行线四大模型的证明

目标二熟练掌握平行线四大模型的应用

目标三掌握辅助线的构造方法，熟悉平行线四大模型的构造

秋季回顾平行线的判定与性质

l、平行线的判定

判定方法l：

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．

专题1.11 《平行线》几何模型1(知识讲解)七年级数学下册基础知识专项讲练(浙教版)

专题1.11 《平行线》几何模型1（知识讲解）

几何模型1：M 型模型（也称“猪蹄模型”）

图一

//=MA NC A B ⇒∠∠+∠条件：ABC ////PQ =,==MA NC A C C A C

∴∠∠∠∠∴∠∠+∠证明：过点B 作PQ//MA.

，

ABQ BQ ，ABC

几何模型2：铅笔头模型

图二

0//==360MA NC A B ⇒∠+∠∠条件：ABC

000

////P ////PQ ,180,180360MA NC B

MA NC A C C A C

∴∠

∠

∠∠

=∴∠+∠+∠=证明：过点B 作BP//MA.则，

ABP+BP+，ABC

几何模型3：鸡翅模型

图三

//-=MA NC A B ⇒∠∠∠条件：C

////PQ ////PQ ,,,

MA NC MA NC A C C B CBQ A C B

∴∠∠∠∠∴∠=∠∠∴∠-∠=∠证明：过点B 作PQ//MA.则，

ABQ=BQ=，ABQ-

几何模型4：折鸡翅模型

图四

//MA NC A B ⇒∠=∠+∠条件：C ////PQ ////PQ ,,,

MA NC MA NC A C C ABC CBQ A ACB C

∴∠∠∠∠∴∠=∠∠∴∠==∠+∠证明：过点B 作PQ//MA.则，

ABQ=BQ=，ABQ-

几何模型5：多个M 型模型

12121//......n n MA NB P P

Q Q Q B -⇒∠+∠++∠=∠+∠+∠++∠条件：证明思路参考几何模型1

几何模型6：多个铅笔头模型

12121//......n n MA NB P P P A Q Q Q B -⇒∠+∠++∠=∠+∠+∠++∠条件：证明思路参考几何模型2

(完整版)专题四平行线模型归纳

专题四平行线模型归纳基本模型归纳：

基本模型的运用：

基础过关：

1.将两张矩形纸片如图所示摆放，使其中一张矩形纸片的一个顶点恰好落在另一张矩形纸

片的一边上，求∠1+∠2的度数。

2. 如图，直线a//b ，求∠A 的度数。

3. 如图，已知AB//CD,∠1=100°，∠2=120°，求∠3的度数。

4. 如图，已知AB//CD,∠ABC=80°，∠CDE=140°，求∠BCD 的度数。

5. 如图，已知l//m ，∠1=115°，∠2=95°，求∠3的度数。

6. 如图，已知直线AB//CD ，∠C=115°，∠A=25°，求∠E 的度数。

7. 如图，已知FC//AB//DE ，∠1：∠D:∠B=2：3：4，求∠1，∠D ，∠B 的度数。

8. 如图，已知∠BFM=∠1+∠2，求证：AB//CD 。

能力提升

1.已知AB//CD,∠AEC=90°。

（1）如图1，当CE 平分∠ACD 时，求证：AE 平分∠BAC

（2）如图2，移动直角顶点E ，使∠MCE=∠ECD,求证：2∠BAE=∠MCG

2.如图，已知CD//EF ，∠

1+∠2=∠ABC ，求证：AB//GF 。

3.如图已知AB//CD ，∠ABE 和∠CDE 的平分线相交于F ，∠E=140°，求∠BFD 的度数。

C E

4.如图，直线AB//CD,∠1=30°，∠2=90°，∠3=30°，∠4=50°求∠5的度数。

521D

5.如图，已知AD//CE ，∠BCF=∠BCG ，CF 与∠BAH 的平分线交于点F ，若∠F 的余角等于2∠B 的补角，求∠BAH 的度数。

(完整版)平行线知识点+四大模型

平行线四大模型

平行线的判定与性质

l、平行线的判定

判定方法l：

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．

简称：同位角相等，两直线平行．

判定方法2：

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．

简称：内错角相等，两直线平行，

判定方法3：

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．

简称：同旁内角互补，两直线平行，

如上图：

若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；

若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；

若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．

另有平行公理推论也能证明两直线平行：

平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

2、平行线的性质

旁内角也有相应的数量关系，这就是平行线的性质．

性质1：

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．

简称：两直线平行，同位角相等

性质2：

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.

简称：两直线平行，内错角相等

性质3：

两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．

简称：两直线平行，同旁内角互补

学而思七年级数学下1-10讲

第一讲、整式

第二讲同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方第三讲同底数幂的除法与整式的乘除

第四讲整式的除法

第五讲平方差公式

第六讲完全平方公式

第七讲、整式的除法

第八讲测试

第九讲中考经典

第十讲平行线与相交线余角与补角

第一讲、整式

知识要点：

1、单项式的意义：数与字母的乘积的代数式叫做单项式。（单独的一个数或字

母也是单项式） 2b 与 2

的区别

2、单项式中的数字因数叫做叫做这个单项式的系数

3、单项式中所有字母的指数和叫做叫做这个单项式的次数。

4、几个单项式的和叫做多项式

5、组成多项式的每一个单项式叫做多项式的项

6、多项式里此数目最高的项的次数，就是这个多项式的次数。

7、整式的意义：单项式和多项式统称为整式。（分母中含有字母的代数式不是整式）

8、整式的加减：求几个整式的和或差的运算，运算结果仍是整式

9、整式加减的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项10、整体代入法：

11、整式的运算对数的运算的指导性作用：例1、填空题：

（1）单项式21

x -的系数是，次数是；

（2）单项式222

a b c

-的系数是，次数是；

（3）单项式 2

x y z π的系数是，次数是；

例2、填空：

（1）多项式

x +是次项式，最高次项是，常数项是。

（2）多项式43923101

232

x y x x y -++是次项式，最高次项的系

数是，常数项是。

例3 、已知多项式421

331534

a x y x

y x y +--+

（1）求多项式中各项的系数与次数。

（2）若多项式是8次三项式，求a 的值

例4、（1）25ax -与24x a -的差是（2）与2421x x ++的差是24x

学而思初一数学春季班第1讲-目标中考满分班-教师版

函数1级

平面直角坐标系认识初步

函数2级

平面直角坐标系中的变换

函数3级

函数初步

暑期班

第二讲春季班

第二讲

卡帅奇梦记

漫画释义

满分晋级阶梯

平面直角坐标系

认识初步

编写思路：

一：让学生认识平面直角坐标系，让学生自己动手找点、描点，体会坐标与点的一一对应关系。二：让学生认识并且理解坐标系中特殊直线的表示方法。

三：让学生充分体会点的坐标（数字）与距离（线段长度）之间的关系。

平面直角坐标系是数形结合最重要的工具，它将坐标与几何图形紧密的结合在一起。在这讲中，老师一定要向学生传达这个意识，由数到形、由形到数的转化。

定义

示例剖析

有序数对：有顺序的两个数a 与b 组成的数对叫做有序数对，记作(),a b ．利用有序数对，可以准确地表示出平面内一个点的位置．

()1,2与()2,1是两个不同的有序数

对.

思路导航

知识互联网

题型一：平面直角坐标系的基本概念

平面直角坐标系定义：平面直角坐标系是由两条互相垂直的数轴组成，且两轴的交点是原点，同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同．

注意数轴有三个要素——原点、正方向和单位长度．我们规定水平的数轴叫做横轴，取向右为正方向；另一数轴叫纵轴，取向上为正方向．

点的坐标：如右图，由点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足A 在x 轴上的坐标是a ，垂足B 在y 轴上的坐标是b ，则点P 的坐标为()a b ，．点的坐标是一对有序数对，横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来．

象限和轴：

横轴（x 轴）上的点()x y ，的坐标满足：0y =；纵轴（y 轴）上的点()x y ，的坐标满足：0x =；

专题平行线四大模型(知识解读)-中考数学(全国通用)

专题03 平行线四大模型（知识解读）

【专题说明】

历年中考考试中，有不少题目都考查了平行线的性质及应用，现汲取四大模型，供同学们赏析，希望能到达指导学习之目的。

【方法技巧】

模型一“铅笔”模型

点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型

结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°

结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.

模型二“猪蹄”模型（M模型）

点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型

结论1：若

结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.

模型三“臭脚”模型

点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型

结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；

结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.

模型四“骨折”模型

点P在EF左侧，在AB、CD外部

“骨折”模型

结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；

结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.

【典例分析】

【模型1 “铅笔”模型】

【典例1】如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（）

A．360°B．300°C．270°D．180°

【变式1-1】把一块等腰直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若∠1＝32°，则∠2的度数为（）

A．20°B．18°C．15°D．13°

【典例2】问题情境：

（1）如图1，AB∥CD，∠BAP＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度数．