《不等式的基本性质》导学案2
8.1《不等式的基本性质(2)》导学案
8.1.2不等式的基本性质【学习目标】1.经历探索的过程，掌握不等式的基本性质；2.会运用不等式的基本性质进行简单的不等式变形。
【学习重难点】会运用不等式的基本性质进行简单的不等式变形。
【学习过程】一、课前准备任务一：阅读教材内容，思考并总结本节课学习的主要内容有哪几个，写在下面：任务二：阅读课本86页交流与发现的内容，解决下列问题。
1.什么叫做不等式？2.你能从现实生活中举出几个表示不等关系的不等式吗？二、学习新知任务三：探究不等式基本性质3.甲的年龄为a岁，乙的年龄为b岁，如果甲的年龄比乙大，则用不等式表示a与b的大小关系为；c年后，它们二人谁的年龄大？用不等式表示为；c年前，他们二人谁的年龄大？用不等式表示为。
4.在数轴上，点A与点B分别对应实数a、b，并且点A在点B的右边，请你用不等式表示a、b之间的大小关系为；如果同时将点A、B向右（或向左）沿x轴移动c个单位长度，得到点A′、B′,用不等式表示点A′、B′所对应的数的大小关系为。
5.不等式基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向。
即如果a＞b，那么a±c b±c。
举例说明：。
6.不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向。
即如果a＞b,c＞0,那么ac bc。
举例说明：。
7.不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向。
即如果a＞b,c＜0,那么ac bc。
举例说明：。
任务四：例题学习阅读例题后，独立解答。
三、合作交流问题一：不等式的意义1.表示不等关系的符号（不等号）都有哪几种？2.什么叫做不等式？问题二：不等式的基本性质3.不等式基本性质1：数学语言叙述：；自然语言叙述：；证明：如果a＞b，因为（a+c）－（b+c）＝a－b 0，所以。
4.不等式基本性质2：数学语言叙述：；自然语言叙述：；证明：如果a＞b，c＞0，因为ac－bc＝c(a－b) 0，所以。
高中数学《不等式的基本性质》导学案
1.1不等式的基本性质导学案1.掌握两个实数比较大小的理论依据；2.理解并掌握不等式的性质；3.会利用不等式的基本性质证明不等式和比较大小；【重点、难点】教学重点：不等式的性质；教学难点：不等式性质的应用.二、学习过程【情景创设】1.在必修5中，我们学习了不等式的基本性质，这些性质是我们解不等式及证明不等式或者求一个变量的范围的理论依据；2.在必修5中学到的两个实数比较大小的原理及不等式的基本性质是怎样的？3.这些性质及原理是如何应用的？应用时应注意什么？【导入新课】1．不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。
2. 实数的运算性质与大小顺序的关系： 数轴上右边的点表示的数总 左边的点所表示的数，可知： 0ba b a -⇔> 0ba b a -⇔=0b a b a -⇔<结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
3. 不等式的基本性质：10. 对称性：b a >⇔ ；20. 传递性：⇒>>c b b a , ； 30. 同加性：⇒>b a ；推论：加法法则：⇒>>d c b a , ； 40. 同乘性：⇒>>0,c b a ，⇒<>0,c b a ； 推论1：乘法法则：⇒>>>>0,0d c b a ； 推论2：乘方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ； 推论3：开方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ；推论4：可倒性：⇒>>0b a .☆比较两数大小的一般方法： 与 ．三 、典例分析【例1】 判断下列各题的对错(1)c a ＜c b且c ＞0⇒a ＞b ( )． (2)a ＞b 且c ＞d ⇒ac ＞bd ( )．(3)a ＞b ＞0且c ＞d ＞0⇒a d ＞b c(4)a c 2＞b c2⇒a ＞b ( )． 【例2】 比较下列各组中两个代数式的大小：(1)x 2＋3与3x ；(2)已知a ，b 为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小．分析：我们知道，a －b ＞0a ＞b ，a －b ＜0a ＜b ，因此，若要比较两式的大小，只需作差并与0作比较即可．【例3】已知0,0,a b c >><求证: c c a b>。
北师大版数学八年级下册《2. 不等式的基本性质》教案2
北师大版数学八年级下册《2. 不等式的基本性质》教案2一. 教材分析《2. 不等式的基本性质》是北师大版数学八年级下册的教学内容。
这部分内容主要介绍了不等式的性质，包括不等式的两边同时加减同一个数或式子，不等式的两边同时乘除同一个正数，以及不等式的两边同时乘除同一个负数时，不等号的方向变化。
这些性质是解不等式问题的关键，也是中考的热点。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了不等式的基本概念和简单的解法，对不等式有一定的认识。
但是，对于不等式的性质的理解和运用还不够熟练，需要通过本节课的学习加以巩固。
同时，学生对于数学语言的严谨性还需要进一步的培养。
三. 教学目标1.理解不等式的基本性质，并能熟练运用。
2.培养学生的逻辑思维能力和严谨的数学语言表达能力。
3.培养学生合作学习，积极探究的学习态度。
四. 教学重难点1.教学重点：不等式的基本性质的推导和理解。
2.教学难点：不等式的性质在解不等式时的运用。
五. 教学方法采用问题驱动法，引导学生主动探究不等式的性质，通过小组合作，讨论交流，从而达到理解并熟练掌握不等式的性质。
六. 教学准备1.PPT课件2.教学卡片七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件，展示一组不等式，让学生观察并回答：这些不等式有什么共同的特点？引导学生发现不等式的基本性质。
2.呈现（10分钟）呈现不等式的基本性质，引导学生进行分析，推导，并总结性质。
3.操练（10分钟）学生分组，每组发一套教学卡片，每张卡片上有一个不等式，要求学生用刚才学到的不等式的性质，解出不等式的解集。
4.巩固（10分钟）学生上台展示解题过程，其他学生和老师对其进行评价，指出解题过程中的优点和不足。
5.拓展（10分钟）利用不等式的性质，解决实际问题，如：一道关于分配律的数学题。
6.小结（5分钟）学生总结本节课所学的不等式的性质，以及如何运用这些性质解不等式。
7.家庭作业（5分钟）布置一道不等式的综合练习题，要求学生在课后完成。
不等式的性质(1)(2)
2.1不等式的基本性质1（导学案）组卷人：苏卫国审卷人：刘金涛姓名：学号：一、学习目标：1、学会用两个实数差的符号来规定两个实数大小2、掌握不等式的基本性质，并能加以证明；二、复习旧知：1、a>b是a-b>0的条件；a=b是 a-b=0的条件；a<b是a-b<0的条件。
以上是证明不等式性质的基础。
2、在初中我们学习了以下等式的性质：a=b，b=c⇒a=c；a=b，c=d⇒a+c=b+d；a=b⇒ac=bc。
三、新课导学：1．通过类比等式的性质，得到关于以下不等式的三个结论；请你判断它们是否正确，正确的加以证明；错误的举反例。
结论1 如果a>b，b>c，那么a>c。
结论2 如果a>b，c>d，那么a+c>b+d。
结论3 如果a>b，那么ac>bc。
同学们；结论3是否正确如果不正确，你能改变条件，让它成为正确命题吗？试试看：通过以上结论的推敲请同学们根据课本自己归纳不等式的基本性质性质1性质2性质3性质4你能给它们分别起一个名字吗？试试看。
利用以上性质证明下面结论：性质（5）如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd 。
性质（6）如果a >b >0，那么0ba 11<<。
四、课堂探究例1．判断下列命题的真假。
（1）若a >b ，那么ac >2bc 2。
（2）若ac >2bc 2，那么a >b 。
（3）若a >b ，c >d ，那么a-c >b-d 。
（4）若cda b <，那么ad bc <。
例2．提问：判断以下两个命题的真假：如果是真命题，请加以证明；如果是假命题，请举出反例。
（1）如果a >b ，c >d ，那么ac >bd 。
变式：a >b 0>，c >d 0>，那么ac >bd 。
不等式的基本性质 学案
2.2 不等式的基本性质导学案课题 2.2 不等式的基本性质课型新授课学习目标1.通过探索发现并掌握不等式的三条基本性质;2.会熟练运用不等式的基本性质进行不等式的变形．重点难点会熟练运用不等式的基本性质进行不等式的变形感知探究一、自自主学习阅读课本40、41页，回答下列问题：已知x>y，则x-1________y-1 3x________3y -x________-y二、自自学检测1、下列四个不等式：；；；，一定能推出错误!未找到引用源。
的有错误!未找到引用源。
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2、若错误!未找到引用源。
，则下列各式中一定成立的是错误!未找到引用源。
A. 错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。
C. 错误!未找到引用源。
D. 错误!未找到引用源。
3、若错误!未找到引用源。
，则下列结论：错误!未找到引用源。
；错误!未找到引用源。
；错误!未找到引用源。
；错误!未找到引用源。
；错误!未找到引用源。
其中一定成立的个数是错误!未找到引用源。
A. 1B. 2C. 3D. 4三、合合作探究探究一：如果在不等式的两边都加或都减同一个整式，那么结果会怎样？请举几例试一试，并与同伴交流.完成下列填空：2 < 3；2 × 5 __________3 × 5；2 × __________3 ×；2 × (- 1) _______3 × (- 1)；2 × (- 5) _______3 × (- 5)；2 × ( -) _______3 ×( -)你发现了什么？请再举几例试一试，还有类似的结论吗？与同伴交流．不等式的基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向______．不等式的基本性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向______．探究二：你相信这个结论吗？你能利用不等式的基本性质解释这一结论吗？将下列不等式化成“x > a”或“x < a”的形式：（1）x - 5 > - 1；（2）-2 x > 3．四、当堂检测1、已知a，b，c均为实数，错误!未找到引用源。
不等式的基本性质
不等式的基本性质导学案☆学习目标： 1. 理解并掌握不等式的性质，能灵活运用实数的性质;2 .掌握比较两个实数大小的一般步骤一、课前准备（请在上课之前自主完成）1、实数的运算性质与大小顺序的关系：数轴上右边的点表示的数总 左边的点所表示的数，可知：0b a b a -⇔> 0b a b a -⇔= 0b a b a -⇔<结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的 的符号即可。
2. 不等式的基本性质：10. 对称性：b a >⇔ ；20. 传递性：⇒>>c b b a , ；30. 同加性：⇒>b a ； 推论：同加性：⇒>>d c b a , ； 30. 同乘性：⇒>>0,c b a ，⇒<>0,c b a ；推论1：同乘性：⇒>>>>0,0d c b a ； 推论2：乘方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ； 推论3：开方性：⇒∈>>+N n b a ,0 ；推论4：可倒性：⇒>>0b a .☆比较两数大小的一般方法：比差法与比商法(两正数)b a b a ⇔> 1 b a b a ⇔= 1 ba b a ⇔< 1 二、新课导学☆案例学习： 例1 若3042,1624,x y <<<<则:(1)x y +的取值范围是是__________;(2)23x y -的取值范围是_____________;(3)x y 的取值范围是______________________. 例2 （1）若[]1,3x ∈--，则1x ∈___________; (2)若[]1,3x ∈,则1x ∈____________; (3)若(],1x ∈-∞,则1x ∈____________; (4)若[)2,x ∈+∞,则1x ∈____________; (5)若()0,3x ∈,则1x ∈____________; (6)若()2,3x ∈-,则1x∈___________________. 例3（1）.若0<<b a ，则下列不等关系中不成立的是（ ）A ．b a 11> B ．ab a 11>- C ．b a > D ．22b a > （2）已知a 、b 、c 满足c b a <<，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是（ ） A. ab ac > B. c b a ()-<0 C. cb ab 22< D. ac a c ()->0（3） 对任意实数,,a b c ，在下列命题中，真命题是（ ）A ．""ac bc >是""a b >的必要条件B ．""ac bc =是""a b =的必要条件C ．""ac bc >是""a b >的充分条件D ．""ac bc =是""a b =的充分条件（4） 若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是( )（A ）ba 11<. （B ）22b a >. （C ）1122+>+c b c a .（D ）||||c b c a > （5） 若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于（ ） A ．1b －<x <0或0<x <1a B.－1a <x <1b C.x <-1a 或x >1b D.x <1b －或x >1a例4 ()1若0x y <<，试比较()()22x y x y +-与()()22x y x y -+的大小；()2设0a >，0b >，且a b ≠，试比较a b a b 与b a a b 的大小.例5 若2()f x ax c =-满足4-≤(1)f ≤1-，1-≤(2)f ≤5，求(3)f 的取值范围.三、当堂检测1．判断下列各题是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”（1） 不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变。
不等式的基本性质
a <0 b
D．－a＞－b
6.已知有理数 a、b、c 在数轴上的位置如 图所示，则下列式子正确的是 （ ）
c
b
0
a
A．cb＞ab B．ac＞ab C．cb＜ab D．c＋b＞a＋b 7.2a 与 3a 的大小关系 （ ） A．2a＜3a B．2a＞3a C．2a＝3a D．不能确定 8.a 为有理数，下列给出的结论正确的是( ) 2 2 2 2 A.a ＞0 B.若 a＜0,则 a ＞0 C.若 a＜1,则 a ＜1 D.若 a＞0,则 a ＞a
3.满足－2x＞－12 的非负整数有________________________. 4.如果 m＜n＜0,那么下列结论中错误（ ） A．m－9＜n－9 B．－m＞－n C．
5 7 × ； 4 3
1 1 > n m
）
D．
m >1 n
你从中发 现的数学 规律是什 么？请试 举几例验 证一下.
5．若 a－b＜0，则下列各式中一定正确（ A．a＞b B．ab＞0 C．
(3)若 a＜b,则-1+5a________-1+5b,(4)若 a≥b,则 − 若 ＜ 则
拓展： 拓展 ⑴2＞1＞0， 4＞3＞0， 2×4_3×1； ⑵8＞
练一练： 练一练 1.若 m＜n，比较下列各式的大小： (1)m-3__________n-3；(2)-5m__________-5n； (3) −
学 习 过 程 自主学习： 自主学习： 1.设 a＜b,请用“＞”或“＜”填空. (1)a+5______b+5, (2)a-3______b-3, (3)4a_______4b, (4)-5a_______-5b． 2．将下列不等式化为 x＞a 或 x＜a 的形式： (1)x+2＞3, (2)5y-4≤2． 知识结构：先用文字表示，再用符号表示。并思考注意事项。 知识结构：先用文字表示，再用符号表示。并思考注意事项。 基本性质 1： 基本性质 2： 基本性质 3： 用一用： 用一用： 例 1. 课堂探究部分（先独立完成，再小组讨论完善答案） 课堂探究部分（先独立完成，再小组讨论完善答案） (1)若 a＜b,则 a-3_________b-3,(2)若 a＞b,则 2a__________a+b, 若 ＜ 则 若 ＞ 则
浙教版数学八年级上册3.2《不等式的基本性质》教案
浙教版数学八年级上册3.2《不等式的基本性质》教案一. 教材分析浙教版数学八年级上册3.2《不等式的基本性质》一节，主要让学生掌握不等式的性质，包括不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
这些性质是解不等式问题的关键，为后续学习不等式的解法、不等式的应用等奠定基础。
二. 学情分析学生在七年级已经学习了不等式的概念，掌握了不等式的基本运算，但对于不等式的性质理解不够深入。
通过本节课的学习，学生应能理解并掌握不等式的基本性质，能够运用不等式的性质解决一些实际问题。
三. 教学目标1.知识与技能：掌握不等式的基本性质，能够运用不等式的性质解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、交流、归纳等活动，培养学生的逻辑思维能力和动手操作能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。
四. 教学重难点1.重点：不等式的基本性质。
2.难点：不等式性质的运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法、实践操作法等，引导学生主动探究、合作交流，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2.学具：练习本、笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示生活中的不等式图片，如身高、体重等，引导学生回顾不等式的概念，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师出示不等式，如2x > 3，引导学生观察、思考：不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向是否会改变？不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向是否会改变？不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向是否会改变？3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组选择一个不等式，如3x - 2 > 7，运用不等式的性质进行化简，并解释理由。
不等式的性质(2)doc
环节和导学过程
备注
基础准备：
1、复习不等式的性质：
（(或减去）同一个数(或式子),不等号方向不变。
（2）不等式基本性质2：
如果a＞b，c > 0 ,那么(或)。就是说不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
∴原不等式的解集是。∴原不等式的解集是。
5、解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来。
（1）x＋4＞3；（2）7x＋6≥6x＋3；（3）7x－1≤6x＋1；（4）3－5x < 2（2－3x）.
四、拓展提高
有一个两位数，如果把它的个位数字a和十位数字b对调，那么什么情况下得到的两位数比原来的两位数大？什么情况下得到的两位数比原来的两位数小？什么情况下得到的两位数等于原来的两位数？
3、解一元一次不等式x＋3 < 10
解:移项得x＜10-3（移项的根据是，移项要,不影响不等号的。）
即x＜7
这个不等式的解集在数轴上表示如下：
4、解不等式1－2x＞－3x + 3 7、 解不等式3（1－x）＞2（1－2x）
解:去括号,得，解:去括号,得，
移项,得，移项,得，
合并同类项,得，合并同类项,得，
4、P128T8、T9（做到课本上）
七、作业：
（一）填空题：
1．已知a＜b，用“＜”或“＞”填空：
(1)a＋3____b＋3；(2)a－3____b－3；(3)3a____3b；(4)4－3b__6－3a；
(5) __ ；(6)5a＋2__5b＋2；(7)－2a－1__－2b－1；(8) ____ .
棋盘山中学导学案
科目数学备课教师：备课时间：上课时间：
授课内容
不等式的基本性质导学案
3× ； 3 × (- 5)；
2、已知 x y ，下列不等式一定成立吗？ （1） x 6 y 6 （2） 3x 3 y
3 × (- 1)；2 × (- 5) 3 × (- ).
（2） பைடு நூலகம் x
5 6
总结： 不等式的基本性质 2： 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等 号的方向＿＿＿＿。 （3） 2 x 2 y （4） 2 x 1 2 y 1
靖远七中目标导学案
年级：八年级
科目： 数学
主备人 ： 杨志敏
备案时间： 2014
年 3 月 10
日
互评结果： （优秀
合格
不合格）
互评签字：
编号：
（教师版）
第二章 一元一次不等式与 一元一次不等式组 2．不等式的基本性质 【学习目标】
1. 经历不等式基本性质的探索过程， 初步体会不等 式的基本性质。 2.掌握不等式的基本性质， 并能初步运用不等式的 基本性质将比较简单的不等式转化为 “x＞a” 或 “x ＜a”的形式。
【探
一.不等式的性质一
究】
【当堂训练】
1、练习册第 22 页第 7 题 (在练习册上完成)
【课后作业】
教材 42 页习题 2.2 第 1、2、题
1．用等号或不等号完成下面的填空。 如果 2 < 3； 那么：2 +1
3+1;
2—4
3—4
上面关系式如果用字母表示， ∵a＞b， ∴a±c＞b±c； 或∵a＞b， ∴a±c＜b±c。 不等式的基本性质 1：不等式的两边都加上（或减 去）同一个整式，不等号的方向不变。
【预
一 教材助读
习】
二．不等式的性质二，三。 2. 用等号或不等号完成下面的填空。 如果 2 < 3；那么
1.1不等式的基本性质 导学案
项城市第一初级中学 王宏伟 项城市第一初级中学 王宏伟 不等式的基本性质班级 学号 姓名__________________________◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆装◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆订◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆线◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆不等式的基本性质 导学案2目标1.探索并掌握不等式的基本性质；2.理解不等式与等式性质的联系与区别.重点探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用. 过程一、课前预习：1、我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？等式的基本性质一：在等式的两边都 或（ ）同一个 ，等式仍然成立。
可用符号表示为： 若b a =，则c a ± c b ± 等式的基本性质二：在等式的两边都 同一个 或（ ）同一个 ，等式仍然成立。
可用符号表示为： 若b a =，则c a ⨯ c b ⨯，cacb （0≠c ）2、不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？ 二、探究新知：（一）不等式基本性质的推导1、自主学习：填空：2 ＜3 2 ＜ 3 2 ＜ 32+3 3+3 2×5 3×5 2÷5 3÷5 2+5 3+5 2×21 3×21 2÷21 3÷212+8 3+8 2×（-1） 3×（-1） 2÷（-1） 3÷（-1） 2-3 3-3 2×（-5） 3×（-5） 2÷（-5） 3÷（-5） 2-5 3-52-8 3-82、合作交流：做完上面的填空，你发现了什么？请你再举几例试一试，还有类似的结论吗？与同学交流，归纳上题的结论，我们便得到了不等式的基本性质： 不等式的基本性质一：不等式的两边都 或（ ）同一个 ，不等号的方向不变。
可用符号表示为： 若a ＞b ，则c a ± c b ± 不等式的基本性质二：不等式的两边都 或（ ）同一个 ，不等号的方向 。
《不等式的基本性质》导学案
《不等式的基本性质》导学案学习目标:1．掌握不等式的基本性质；2．经历通过类比．猜测．验证发现不等式基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同．学习重点：不等式的基本性质的应用。
学习难点：不等式的基本性质3的应用学习过程一、知识回顾等式的基本性质：1、等式的两边同时加上（或减去）同一个____，所得的结果仍是____。
2、等式的两边都乘（或除以）同一个____（除数不能为零），所得的结果仍是____。
二、自主探究探究一：1、用“＞”或“＜”填空第一组第二组5_____-3 -4_____-25+2_____-3+2 -4+2_____-2+25-2_____-3-2 -4-2_____-2-2观察两组式子，想一想从上面的变化中你发现了什么？总结归纳得到不等式的性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号的方向。
用字母可以表示为：2、快乐运用：⑴已知a＞b那么a-7_____b-7，a+（m+n）______b+(m+n)⑵已知a+5<b+5,那么a_____b, a-（m+n）______b-(m+n)探究二1、将不等式5＞-3和-4＜-2两边都乘2或除以2，如下：第一组第二组5＞-3 -4＜-25×2_____-3×2 （-4）×2_____-2×25÷2_____-3÷2 （-4）÷2_____-2÷2观察两组式子，想一想从上面的变化中你发现了什么？（注意:不等式的两边同时乘除的是正数还是负数）发现：不等式的两边都 或（ ）同一个 ，不等号的方向所以得到不等式的基本性2：不等式的两边都 或（ ）同一个 ，不等号的方向 。
用字母表示为：探究三：1、将不等式5＞-3和-4＜-2两边都乘-2或除以-2，如下：第一组 第二组5＞-3 -4＜-25×（-2）_____-3×（-2） （-4）×（-2）_____-2×（-2）5÷（-2）_____-3÷（-2） （-4）÷（-2）_____-2÷（-2）观察发现当不等式的两边都乘或除以同一个负数时，不等号会发生怎样的变化？ ，从而得到不等式的基本性3：不等式的两边都 或（ ）同一个 ，不等号的方向 。
不等式的基本性质
学习目标
1．探索并掌握不等式的基本性质；理解不等式与等式性质的联系与区别.
2．通过对比不等式与等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力.
3．通过对不等式性质的探索，培养钻研精神，加强了同学间的合作与交流.
重点难点
重点：不等式的三个基本性质。
难点：不等式性质３的应用。
一、明确目标，自主学习
学习准备
1.不等式的基本性质
不等式性质１：不等式两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向。
不等式性质２：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向。
不等式性质３：不等式两边都乘以（或乘以）同一个负数，不等号的方向。
2、不等式的其他性质：
①对称性：若 ，则 ；若 ，则 ；
②传递性：若 ，且 ，则 ；
（1）a―4b―4；（2）a+ b+ ；（3） ；（4）―2a―2b。
2、利用不等式的性质将下列不等式化为“x＞a”“x＜a”的形式。
（1）10x－1＞9x；（2）2x－1＜0。
3、比较－ 与－ 的大小。
四、拓展延伸
1.比较a与－a的大小
２.有一个两位数，个位数是a，十位数是b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数小于原来的两位数，那么a与b到底谁大，为什么？
（1）x－2＜3（2）6x＜5x－1
（3） x＞5（4）－4x＞3.
提示：一定要根据不等式的基本性质。
例2：比较3a和4a的大小。
分析：注意字母的大小，进行分类讨论。
实践练习：由m＜n，得到ma2＜na2的条件是（）
A、a＞0 B、a＜0 C、a≠0 D、a为任意实数
三、当堂训练，达标测试
1、若a＜b，用“＞”“＜”填空：
不等式的基本性质2、3
二、预习交流
预习教材P134—135，各小组收集预习疑难，讨论释疑。
不等式的基本性质2、3：
用“>”或“<”号填空：
(1)因为3<4，所以3×10_____4×10；3÷2______4÷2．
不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向．
(2)因为12>9，所以12×(－2) ___9×(－2)；12÷(－2) __9÷(－2)
(1) (2)
(3) (4)
四、小结巩固
把不等式化为 或 的形式的理论依据是什么?
五、当堂检测
教材P135练习第1、2题。
补充：不等式具有传递性，即，如果 ， ，那么 。
自留地
不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数．不等号的方向．
用字母表示不等式的性质2、3：
三、展示提升
1．用“>”或”&l_3b．
(2)巳知a>b，则-a________-b．
(3)已知a>b，则-a+2________-b+2．
2．把下列不等式化为 或 的形式。
钱粮湖镇中学导学案
课题：不等式的基本性质2、3
学习目标：
1、在具体情景中，进一步感受不等式是刻画现实世界的有效模型。
2．掌握不等式的性质2、3．并能运用这些性质将不等式进行变形。
重点：不等式的概念和基本性质2、3。
难点：对不等式的基本性质3的理解。
学习程序
学习内容
学习方式、方法
一、课前反馈
用“移项”的方法把下列不等式化为x>a或x<a的形式．
《不等式的基本性质》教案2
《不等式的基本性质》教案2教学目标：1.通过实际问题中的数量关系的分析，体会到现实世界中有各种各样的数量关系的存在，不等关系是其中的一种.2.了解不等式及其概念；会用不等式表示数量之间的不等关系.3.掌握不等式的基本性质，并能利用不等式的基本性质对不等式进行变形.教学重点：不等式的概念和不等式的性质.教学难点：不等式的性质3以及正确分析实际问题中的不等关系并用不等式表示.教学过程：（一）探究性质1．明确定义2.不等式的意义：表示生活中量与量之间不等关系的式子.例题：1.“神七”速度v超过11200米/秒，才能脱离地球引力，飞入太空，怎样表示v和11200之间的关系?3.想一想：（1）如果a＜b，用不等号连接下列各式的两边.①a + 2 b + 2 ②a– 5 b– 5（2）如果2x-8≥3 ，那么2x11.4.小结：不等式性质1：即（二）探究性质1.用不等号填空：①已知5＜8，则5×3 8×3；5×（-3） 8×（-3）②已知 -5＞-8，则-5×3 -8×3；-5×（-3） -8×（-3）归纳：不等式两边同时乘以一个正数，不等号方向 ；不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向 .2.用不等号填空：①已知6＜8，那么6÷2 8÷2；6÷（-2） 8÷（-2）②已知-6＞-8，那么-6÷2 -8÷2；6÷（-2） -8÷（-2）归纳：不等式两边同时除以一个正数，不等号方向 ；不等式两边同时除以一个负数，不等号方向 .（三）例题分析例1.（1）若x +1＞3，则x _____________.根据___________ __. （2）2x ＞－6，则x _____________.根据_______ _____.（3）-3y ≤5，则y .根据 .例2.如果m > n .判断下列不等式是否正确.（1）m +7 < n +7 （ ） （2）m －2 < n －2 （ ）（3）3m < 3n （ ） （4）（ ） 例3.利用不等式的基本性质，将下列各不等式化为“”或“”的形式.（1） （2）（四）课堂练习99n m >x a >x a <546x x <-5621x x -+<+1.用代数式表示：比x 的5倍大1的数不小于x 的与4的差_____________.2.若a >b .下列各不等式中正确的是（ ）A.a -1<b -1B.C.8a <8bD.-a +1<-b -1 3.下列四个命题中，正确的有 .①若a >b ，则a +1>b +1②若a >b ，则a -1>b -1 ③若a >b ，则-2a <-2b④若a >b ，则2a <2b 21b a 8181-<-。
高中数学 第一章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.2 基本不等式(二)导学案 新人教B版选修4
1.2 基本不等式(二)1.理解定理3、定理4，会用两个定理解决函数的最值或值域问题.2.能运用三个正数的平均值不等式解决简单的实际问题.自学导引1.当a 、b 、c ∈R ＋时，a ＋b ＋c3≥3abc 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立，称a ＋b ＋c 3为正数a ，b ，c 的算术平均值，3abc 为正数a 、b 、c 的几何平均值.2.如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n a 1＝a 2＝…＝a n时，等号成立.基础自测1.设a 、b 、c ∈R ，下列各不等式中成立的是( ) A.a 2＋b 2≥2|ab | B.a ＋b ≥2ab C.a 3＋b 3＋c 3≥3abcD.a ＋b ＋c3≥3abc解析 由a 2＋b 2－2|ab |＝|a |2－2|ab |＋|b |2＝(|a |－|b |)2≥0，故选A. 答案 A2.函数y ＝x 2·(1－5x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤15的最大值为( )A.4675 B. 2657 C.4645D.2675解析 由y ＝x 2·(1－5x )＝425·52x ·52x (1－5x ) ≤425⎝⎛⎭⎪⎪⎫52x ＋52x ＋1－5x 33＝4675.答案 A3.已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝1，则a 的最大值是________. 解析 利用不等式求解.因为a ＋b ＋c ＝0，所以b ＋c ＝－a . 因为a 2＋b 2＋c 2＝1，所以－a 2＋1＝b 2＋c 2＝(b ＋c )2－2bc ＝a 2－2bc ， 所以2a 2－1＝2bc ≤b 2＋c 2＝1－a 2， 所以3a 2≤2，所以a 2≤23，所以－63≤a ≤63，所以a max ＝63. 答案63知识点1 利用平均值不等式证明不等式 【例1】 已知a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥92. 证明 a ＋b ＋c ＝1⇒(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )＝2， [(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a≥33（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）·313（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）＝9⇒1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥92. ●反思感悟：认真观察要证的不等式的结构特点，灵活利用已知条件构造出能利用平均值不等式的式子.1.证明(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92(a ，b ，c ∈R ＋).证明 ∵(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a ) ≥33（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ），1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥331a ＋b ·1b ＋c ·1a ＋c ， ∴(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.知识点2 利用平均值不等式求最值【例2】 若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，求ab 的取值范围. 解 方法一：∵a 、b ∈R ＋，且ab ＝a ＋b ＋3≥333ab ， ∴a 3b 3≥81ab .又ab >0，∴a 2b 2≥81. ∴ab ≥9(当且仅当a ＝b 时，取等号). ∴ab 的取值范围是[9，＋∞). 方法二：∵ab －3＝a ＋b ≥2ab ， ∴ab －2ab －3≥0且ab >0，∴ab ≥3，即ab ≥9(当且仅当a ＝b 时取等号) ∴ab 的取值范围是[9，＋∞).●反思感悟：注意平均值不等式应用的条件是三个正数在求最值时，一定要求出等号成立时未知数的值，如果不存在使等号成立的未知数的值，则最值不存在.2.求y ＝sin x cos 2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最大值.解 ∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin x >0，y >0.y 2＝sin 2x cos 4x ＝2sin 2x cos 2x cos 2x2≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2x ＋cos 2x ＋cos 2x 33＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝854＝427.故y ≤427＝239，此时，2sin 2x ＝cos 2x ，tan 2x ＝12， y 有最大值239. 知识点3 平均值不等式的实际应用【例3】 某产品今后四年的市场需求量依次构成数列{a n }，n ＝1，2，3，4，并预测到年需求量第二年比第一年增长的百分率为P 1，第三年比第二年增长的百分率为P 2，第四年比第三年增长的百分率为P 3，且P 1＋P 2＋P 3＝1.给出如下数据： ①27，②25，③13，④12，⑤23， 则其中可能成为这四年间市场需求量的年平均增长率的是( ) A.①② B.①③ C.②③④D.②⑤解析 设这四年间市场年需求量的年平均增长率为x (x >0)，则a 4＝a 1(1＋x )3＝a 1(1＋P 1)(1＋P 2)(1＋P 3)， ∴(1＋x )3＝(1＋P 1)(1＋P 2)(1＋P 3)， ∴(1＋x )3＝(1＋P 1)(1＋P 2)(1＋P 3)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋P 1＋1＋P 2＋1＋P 333＝⎝ ⎛⎭⎪⎫433. ∴1＋x ≤43，即x ≤13，对比所给数据，只有①③满足条件，故选B. 答案 B3.设长方体的体积为1 000 cm 3，则它的表面积的最小值为__________ cm 2. 解析 设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ， 则abc ＝1 000，且a >0，b >0，c >0.∴它的表面积S ＝2(ab ＋bc ＋ca )≥2×33（abc ）2＝600. 当且仅当a ＝b ＝c ＝10 (cm)时取“＝”号. 所以它的表面积S 的最小值为600 cm 2. 答案 600课堂小结利用基本不等式解决实际问题的步骤：(1)理解题意，设出变量，一般设变量时，把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)回答实际问题.随堂演练1.设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A.q ＝r ＜p B.p ＝r ＜q C.q ＝r ＞pD.p ＝r ＞q解析 利用对数的运算性质和对数函数的单调性判断p ，q ，r 之间的相等与不等关系. 因为b >a >0，故a ＋b2<ab .又f (x )＝ln x (x >0)为增函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2>f (ab )，即q >p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p .答案 B2.已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A.最大值54B.最小值54C.最大值1D.最小值1解析 f (x )＝（x －2）2＋12（x －2）＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2）＋1（x －2），又∵x ≥52，x －2≥12，则f (x )≥12·2（x －2）1（x －2）＝1.答案 D3.函数y ＝x 2·(1－3x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13上的最大值是________.解析 由y ＝x 2·(1－3x ) ＝49·32x ·32x (1－3x ) ≤49⎝⎛⎭⎪⎪⎫32x ＋32x ＋1－3x 33＝3243.答案32434.用长为16 cm 的铁丝围成一个矩形，则可围成的矩形的最大面积是________ cm 2. 解析 设矩形长为x cm(0<x <8)，则宽为(8－x ) cm ， 面积S ＝x (8－x ).由于x >0，8－x >0，可得S ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8－x 22＝16，当且仅当x ＝8－x 即x ＝4时，S max ＝16. 所以矩形的最大面积是16 cm 2. 答案 16基础达标1.若x >0，则4x ＋9x2的最小值是( )A.9B.3336C.13D.不存在解析 ∵x >0，∴4x ＋9x 2＝2x ·2x ·9x2≥332x ·2x ·9x2＝3336.答案 B2.设a ，b ，c ∈(0，＋∞)且a ＋b ＋c ＝1，令x ＝⎝⎛⎭⎪⎫1a －1·⎝⎛⎭⎪⎫1b －1⎝⎛⎭⎪⎫1c－1，则x 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，18B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，1 C.[1，8)D.[8，＋∞)解析 ∵x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1＝1－a a ·1－b b ·1－cc＝（b ＋c ）（c ＋a ）（a ＋b ）abc ≥2bc ·2ca ·2ab abc＝8，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴x ≥8. 答案 D3.已知x ，y 都为正数，且1x ＋4y＝1，则xy 有( )A.最小值16B.最大值16C.最小值116D.最大值116解析 ∵x ，y ∈(0，＋∞)且1x ＋4y＝1，∴1＝1x ＋4y ≥24xy＝4xy，∴xy ≥4，∴xy ≥16，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1x ＝4y ，1x ＋4y ＝1，x ，y ∈（0，＋∞），即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8，时取等号，此时(xy )min ＝16. 答案 A4.已知a ，b ，∈R *，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ≥________.解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ＝1＋1＋1＋ac b 2＋a 2bc ＋b 2ac ＋ab c 2＋bc a 2＋c 2ab ≥3＋2ac b 2·b 2ac＋2a 2bc ·bc a 2＋2abc 2＋c 2ab＝9. 答案 95.要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元). 解析 利用均值(基本)不等式解决问题.设该长方体容器的长为x m ，则宽为4xm.又设该容器的造价为y 元，则y ＝20×4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ×10，即y ＝80＋20⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x(x >0).因为x ＋4x≥2x ·4x＝4⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取“＝”，所以y min ＝80＋20×4＝160(元).答案 1606.已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}. (1)求实数a ，b 的值； (2)求at ＋12＋bt 的最大值.解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t＝34－t ＋t ≤[（3）2＋12][（4－t ）2＋（t ）2] ＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t )max ＝4.综合提高7.已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列关系式总成立的是( ) A.V ≥π B.V ≤π C.V ≥18πD.V ≤18π解析 设圆柱的底面半径为r ，高为h ， 则由题意得：4r ＋2h ＝6，即2r ＋h ＝3，于是有V ＝πr 2h ≤π·⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋r ＋h 33＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫333＝π，当且仅当r ＝h 时取等号.答案 B8.如果圆柱的轴截面周长l 为定值，那么圆柱的体积最大值是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 33π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π D.14⎝ ⎛⎭⎪⎫l 43π 解析 l ＝4r ＋2h ，即2r ＋h ＝l2，V ＝πr 2h ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋r ＋h 33π＝⎝ ⎛⎭⎪⎫l 63π.答案 A9.定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy(x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________.解析 先利用新定义写出解析式，再利用重要不等式求最值.因为x ⊗y ＝x 2－y 2xy ，所以(2y )⊗x ＝4y 2－x 22xy .又x >0，y >0，故x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy＝x 2＋2y 22xy ≥22xy 2xy＝2，当且仅当x ＝2y 时，等号成立. 答案210.某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000 v v 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时. 解析 把所给l 值代入，分子分母同除以v ，构造基本不等式的形式求最值. (1)当l ＝6.05时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋121＝76 000v ＋121v＋18≤76 0002v ·121v＋18＝76 00022＋18＝1 900.当且仅当v ＝11米/秒时等号成立，此时车流量最大为1 900辆/时. (2)当l ＝5时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋100＝76 000v ＋100v＋18≤76 0002v ·100v＋18＝76 00020＋18＝2 000.当且仅当v ＝10米/秒时等号成立，此时车流量最大为2 000辆/时，比(1)中的最大车流量增加100辆/时.答案 (1)1 900 (2)10011.如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上且对角线MN 过C 点，已知|AB |＝3米，|AD |＝2米.(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？ (2)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求最小面积；(3)若AN 的长度不少于6米，则当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积.解 设AN 的长为x 米(x >2)，矩形AMPN 的面积为y . ∵|DN ||AN |＝|DC ||AM |，∴|AM |＝3x x －2， ∴S 矩形AMPN ＝|AN |·|AM |＝3x 2x －2(x >2)(1)由S 矩形AMPN >32得3x2x －2>32，∵x >2，∴3x 2－32x ＋64>0，即(3x －8)(x －8)>0，∴2<x <83或x >8，即AN 的长的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83∪(8，＋∞). (2)令y ＝3x 2x －2＝3（x －2）2＋12（x －2）＋12x －2＝3(x －2)＋12x －2＋12≥23（x －2）·12x －2＋12＝24， 当且仅当3(x －2)＝12x －2， 即x ＝4时，y ＝3x2x －2取得最小值，即S 矩形AMPN 取得最小值24平方米.(3)令g (x )＝3x ＋12x(x ≥4)，设x 1>x 2≥4，则g (x 1)－g (x 2)＝3(x 1－x 2)＋12（x 2－x 1）x 1x 2＝3（x 1－x 2）（x 1x 2－4）x 1x 2，∵x 1>x 2≥4，∴x 1－x 2>0，x 1x 2>16，∴g (x 1)－g (x 2)>0，∴g (x )在[4，＋∞)上递增. ∴y ＝3(x －2)＋12x －2＋12在[6，＋∞)上递增. ∴当x ＝6时，y 取得最小值，即S 矩形AMPN 取得最小值27平方米.12.甲、乙两地相距s km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h ，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (km/h)的平方成正比，比例常数为b ，固定部分为a 元.(1)把全程运输成本y 元表示为速度v (km/h)的函数，并指出函数的定义域； (2)为了使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？ 解 (1)因为汽车每小时的运输成本为bv 2＋a (元)， 全程时间为s v (小时)，故y ＝s v(bv 2＋a )，即y ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋bv ，v ∈(0，c ].(2)由于a v＋bv ≥2ab ，当且仅当v ＝ ab时取等号，故 ①若 ab ≤c ，则当v ＝ ab时，y 取最小值. ②若a b >c ，则先证y ＝s ⎝ ⎛⎭⎪⎫a v ＋bv ，v ∈(0，c ]为单调减函数，事实上，当v 1、v 2∈(0，c ]，且v 1<v 2，则y 1－y 2＝s ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a v 1＋bv 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a v 2＋bv 2＝s ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a v 1－a v 2＋（bv 1－bv 2）＝s (v 1－v 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a v 1v 2＝sb (v 1－v 2)·v 1v 2－a bv 1v 2，∵v 1、v 2∈(0，c ]，v 1<v 2， ∴v 1－v 2<0，v 1v 2>0，v 1<ab ，v 2< a b. 进而v 1v 2<a b，从而y 1－y 2>0.故y ＝s ⎝⎛⎭⎪⎫av＋bv ，v ∈(0，c ]为单调减函数， 由此知当v ＝c 时，y 取得最小值.综上可知，若ab≤c，则当v＝ab时，y取得最小值；若ab>c，则当v＝c时，y取得最小值.。
数学教案-不等式和它的基本性质教学设计方案二
数学教案－不等式和它的基本性质教学设计方案(二)一、素质教育目标（一）知识教学点1．使学生理解掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3．2．灵活运用不等式的基本性质进行不等式形．（二）能力训练点培养学生运用类比方法观察、分析、解决问题的能力及归纳总结概括的能力．（三）德育渗透点培养学生积极主动的参与意识和勇敢尝试、探索的精神．（四）美育渗透点通过不等式基本性质的学习，渗透不等式所具有的内在同解变形的数学美，激发学生探究数学美的兴趣与激情，从而陶治学生的数学情操。
二、学法引导1．教学方法：观察法、探究法、尝试指导法、讨论法．2．学生学法：通过观察、分析、讨论，引导学生归纳小结出不等式的三条基本性质，从具体下升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握．三、重点·难点·疑点及解决办法（一）重点掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3．（二）难点正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形．（三）疑点弄不清“不等号方向不变”与“所得结果仍是不等式”之间的关系是学生学习的疑点．（四）解决办法讲清“不等式的基本性质”与“等式的基本性质”之间的区别与联系是教好本节内容的关键．四、课时安排一课时五、教具学具准备投影仪或电脑、自制胶片．六、师生互动活动设计1．通过设计的一组比较大小问题，让学生观察并归纳出不等式的三条基本性质．2．通过教师的讲解及学生的质疑，让学生在与等式性质的对比中更加深入、准确地理解不等式的三条基本性质．3．通过教师的板书及学生的互动练习，体现出以学生为主体，教师为主导的教学模式能更好地对学生实施素质教育．七、教学步骤（－）明确目标本节课主要学习不等式的三条基本性质并能熟练地加以应用．（二）整体感知通过具体的事例观察并归纳出不等式的三条基本性质，再反复比较三条性质的异同，从而寻找出在实际应用某条性质时应注意的使用条件，同时注意将不等式的三条基本性质与等式的基本性质1、2进行比较：相同点为不管是对等式还是不等式，都可以在它的两边同加（或减）同一个数或同一个整式．不同点是对于等式来说，在等式的两边乘以（或除以）同一个正数（或同一个负数）的情况下等式仍然对立．但对于不等式来说，却不一样，在用同一个正数去乘（或除）不等式两边时，不等号方向不变；而在用同一个负数去乘（或除）不等式两边时，不等号要改变方向．这是在不等式变形时应特别注意的地方．（三）教学过程1．创设情境，复习引入什么是等式？等式的基本性质是什么？学生活动：独立思考，指名回答．教师活动：注意强调等式两边都乘以或除以（除数不为0）同一个数，所得结果仍是等式．请同学们继续观察习题：（1）用“＞”或“＜”填空．①7＋3____4＋3 ②7＋（－3）____4＋（－3）③7×3____4×3 ④7×（－3）____4×（－3）（2）上述不等式中哪题的不等号与7＞4一致？学生活动：观察思考，两个（或几个）学生回答问题，由其他学生判断正误．【教法说明】设置上述习题是为了温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备．不等式有哪些基本性质呢？研究时要与等式的性质进行对比，大家知道，等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式（实质是移项法则），请同学们观察①②题，并猜想出不等式的性质．学生活动：观察思考，猜想出不等式的性质．教师活动：及时纠正学生叙述中出现的问题，特别强调指出：“仍是不等式”包括两种情况，说法不确切，一定要改为“不等号的方向不变或者不等号的方向改变．”师生活动：师生共同叙述不等式的性质，同时教师板书．不等式基本性质1 不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．对比等式两边都乘（或除以）同一个数的性质（强调所乘的数可正、可负、也可为0）请大家思考，不等式类似的性质会怎样？学生活动：观察③④题，并将题中的3换成5，－3换成一5，按题的要求再做一遍，并猜想讨论出结论．【教法说明】观察时，引导学生注意不等号的方向，用彩色粉笔标出来，并设疑“原因何在？”两边都乘（或除以）同一个负数呢？0呢？为什么？师生活动：由学生概括总结不等式的其他性质，同时教师板书．不等式基本性质2 不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式基本性质3 不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．师生活动：将不等式－2＜6两边都加上7，－9，两边都乘3，－3试一试，进一步验证上面得出的三条结论．学生活动：看课本第57～58页有关不等式性质的叙述，理解字句并默记．强调：要特别注意不等式基本性质3．实质：不等式的三条基本性质实质上是对不等式两边进行“＋”、“－”、“×”、“÷”四则运算，当进行“＋”、“－”法时，不等号方向不变；当乘（或除以）同一个正数时，不等号方向不变；只有当乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向才改变．不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些区别、联系？学生活动：思考、同桌讨论．归纳：只有乘（或除以）负数时不同，此外都类似．下面尝试用数学式子表示不等式的三条基本性质．①若，则，；②若，且，则，；③若，且，则，．师生活动：学生思考出答案，教师订正，并强调不等式性质3的应用．注意：不等式除了上述性质外，还有以下性质：①若，则．②若，且，则，这些先不要向学生说明． 2．尝试反馈，巩固知识请学生先根据自己的理解，解答下面习题．例1 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成或的形式．（1）（2）（3）（4）学生活动：学生独立思考完成，然后一个（或几个）学生回答结果．教师板书（1）（2）题解题过程．（3）（4）题由学生在练习本上完成，指定两个学生板演，然后师生共同判断板演是否正确．解：（l）根据不等式基本性质1，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变．所以（2）根据不等式基本性质1，两边都减去，得（3）根据不等式基本性质2，两边都乘以2，得（4）根据不等式基本性质3，两边都除以－4得【教法说明】解题时要引导学生与解一元一次方程的思路进行对比，并将原题与或对照，看用哪条性质能达到题目要求，要强调每步的理论依据，尤其要注意不等式基本性质3与基本性质2的区别，解题时书写要规范．例2 设，用“＜”或“＞”填空．（1）（2）（3）学生活动：在练习本上完成例2，由3个学生板演完成后，其他学生判断板演是否正确，最后与书中正确解题格式对照．解：（1）因为，两边都减去3，由不等式性质1，得（2）因为，且2＞0，由不等式性质2，得（3）因为，且－4＜0，由不等式性质3，得教师活动：巡视辅导，了解学生作题的实际情况，及时给予纠正或鼓励．注意问题：例2（3）是根据不等式性质3，不等号方向应改变．这是学生做题时易出错误之处．【教法说明】要让学生明白推理要有依据，以后作类似的练习时，都写出根据，逐步培养学生的逻辑思维能力．3．变式训练，培养能力（1）用“＞”或“＜”在横线上填空，并在题后括号内填写理由．（不等式基本性质1，2，3分别用A、B、C表示．）①∵ ∴ （）②∵ ∴ （）③∵ ∴（）④∵ ∴（）⑤∵ ∴ ⑥∵ ∴ （）学生活动：此练习以学生抢答方式完成，目的是训练学生思维能力，表达能力，烘托学习气氛．答案：① （A）② （B）③ （C）④ （C）⑤ （C）⑥ （A）【教法说明】做此练习题时，应启发学生将所做习题与题中已知条件进行对比，观察它们是应用不等式的哪条性质，是怎样由已知变形得到的．注意应用不等式性质3时，不等号要改变方向．（2）单项选择：①由得到的条件是（）A． B． C． D．②由由得到的条件是（）A． B． C． D．③由得到的条件是（）A． B． C． D．是任意有理数④若，则下列各式中错误的是（）A． B． C． D．师生活动：教师选出答案，学生判断正误并说明理由．答案：①A ②D ③C ④D（3）判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”①∵ ∴ ( ) ②∵ ∴ ( )③∵ ∴ ( ) ④若，则∴，( )学生活动：一名学生说出答案，其他学生判断正误．答案：①√ ②× ③√ ④×【教法说明】以多种形式处理习题可以激发学生学习热情，提高课堂效率；（2）练习第③④题易出错，教师应讲清楚．（四）总结、扩展1．本节重点：（1）掌握不等式的三条基本性质，尤其是性质3．（2）能正确应用性质对不等式进行变形．2．注意事项：（1）要反复对比不等式性质与等式性质的异同点．（2）当不等式两边同乘（或除以）同一个数时，一定要看清是正数还是负数，对于未给定范围的字母，应分情况讨论．3．考点剖析：不等式的基本性质是历届中考中的重要考点，常见题型是选择题和填空题．八、布置作业（一）必做题：P61 A组4，5．（二）选做题：P62 B组1，2，3．参考答案（一）4．（1）（2）（3）（4）5．（1）（2）（3）（4）（5）（6）（二）1．（1）（2）（3）2．（1）（2）（3）（4）3．（1）（2）（3）九、板书设计6。
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不等式的基本性质 学习
目标
1.理解不等式的三个基本性质；
2.会运用不等式的基本性质对不等式进行变形. 学习重
难点 重点:理解不等式的三个基本性质以及进行简单的运用（对不等式进行变形）
难点:如何在具体问题中正确运用不等式的性质
学 习 过 程 学教
记录
【自主预学】:
1、等式基本性质：
（1）若b a =，c b =，则a ，c 之间的关系是 ．
（2）若b a =，c a + c b +；c a - c b -．
2、不等式的基本性质：
（1）已知a ＜b 和b ＜c ，在数轴上如图：则a c ，
由此你可以得到什么结论： ．
（2）已知a ＞b ，你能比较c a +与c b +的大小吗？c a -与c b -呢？
由此你可以得到什么结论： ．
（3）∵-2＜3，则-2×5 3×5； ∵-2＜3，则-2×（-5） 3×（-5） ∵-2＞-4，则-2×5 -4×5； ∵-2＞-4，则-2×（-5） -4×（-5）； 由此你可以得到什么结论： ．
符号表示：
3、填空：
（1）若5+x ＞0,两边同加上5-，得 （依据 ___ ）．
（2）若x 3＞9-,两边同除以3，得 （依据 ）．
（3）若x 61-≤2
1-
,两边同乘以6-，得 （依据 ）．
【课堂导学】:
归纳不等式性质。