高等数学纸质作业1答案
高等数学一(1)完整答案
（6）令 ，则
原式=
（7）令 ，则
原式=
（8）令 ，则
原式=
（9）原式=
（10）原式=
（11）原式=
（12）原式=
（13）原式=
（14）令 ，则 ，
原式=
（15）令 ，则
原式=
（16）原式=
（17）原式=
（18）原式=
2、（1）原式=
（2）原式=0（因为 在 上为奇函数）
（3）原式=0（因为 在 上为奇函数）
原式= 发散
，而事实上 矛盾
方程 只有正根。
5.解： 为一元三次方程， 为一元二次方程，
故只有两个实根。
又
由罗尔定理知，两实根区间分别为 。
习题3-2
1.（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
（5）原式
（6）原式
（7）原式
（8）原式
（9）原式
（10）原式
（11）原式
（12）原式
2.解：
3.解：
若用洛必达法则，则无限循环，即
（4）原式=
3、（1）证明：令 ，则
所以
（2）证明：令 ，则 ，
所以
（3）证明：令 ，则 ，
所以
6、（1）原式=
（4）原式=
（6）原式=
（8）令 ，则原式=
（9）原式=
（10）原式=
习题5—4
1、（1）
（3） ，发散
2、（1） 为函数 的无穷间断点，所以原式= 发散
（3） 为函数 的无穷间断点，所以
故 ，
，得唯一驻点： 。
当 ， 时，圆柱体积最大。
15.解：设生产 台，利润最大。
则目标函数为
高等数学(1)(高起专)
(A)[2019年春季] 姓名学号学习中心 专业 年级 考试时间 高等数学(1)(高起专)阶段性作业1 总分： 100 分 得分： 6 分一、单选题 1. 若函数 ，则 。
(6分) (A) 0 (B) (C) 1 (D) 不存在参考答案：D 您的回答：D 正确 2. 下列变量中，是无穷小量的为 。
(6分) (A) (B) (C) (D) 参考答案：D 3. 当 时，2x+x 2sin 是x 的 。
(6分) (A) 等价无穷小 (B) 同阶但不等价的无穷小 (C) 高阶无穷小 (D) 低阶无穷小参考答案：B 4. f(x)在x 0处左:右极限存在并相等是f(x)在x 0处连续的 。
(5分) (A) 充分条件 (B) 必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 前三者均不对参考答案：B 5. 设函数 在 处可导， ，则当 时，必有 。
(6分) (A) 是 的等价无穷小； (B) 是 的高阶无穷小； (C) 是比 高阶的无穷小； (D) 是 的同阶无穷小； 参考答案：C 6. 函数y= (a>0,a≠1)是 。
(6分)(A) 奇 函数 (B) 非奇非偶函数 (C) 偶 函数 (D) 奇偶性取决于a 的取值参考答案：C 7. 下列函数中,奇函数是 。
(5分) (A) (B) (C) (D)参考答案：B 8. = 。
(5分) (B) (C) 3 (D) 1参考答案：B 9. 下列极限正确的是 。
(5分) (A) (B) (C) (D)参考答案：A 10. 当 时,下列哪个是 的高阶无穷小? 。
(5分) (A) (B) (C) (D)参考答案：B 11. 设f(x)= 则x=1为f(x)的 参考答案：C 跳跃间断点 。
(5分).设(A) 是的高阶无穷小是的等价无穷小12. 设f(x)= , 则= 。
(5分)(A) 1 (B) 2 (C) -1(D) 不存在参考答案：A13参考答案：D ，则当时。
(5分)(A) 是的低阶无穷小(D) 与是同阶但非等价无穷小14. ）＝。
高等数学1试卷(附答案)
一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）1． 由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是π。
2． 设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =，则2y dy dx x=-。
3． 函数2sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2441()3x x o x -+。
4．11dx =⎰。
5． 函数x x y cos 2+=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上的最大值为6π+。
6． 222222lim 12n nn n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭L =4π。
二、选择题（共7小题，每小题3分，共21分）1. 设21cos sin ,0()1,0x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩，则0x =是()f x 的 D 。
A ．可去间断点 B ．跳跃间断点 C ．振荡间断点 D ．连续点2. 设()232x x f x =+-，则当0x →时，下列结论正确的是 B 。
A ．是等价无穷小与x x f )(B ．同阶但非等价无穷小与x x f )(C ．高阶的无穷小是比x x f )(D ．低阶的无穷小是比x x f )(暨南大学《高等数学I 》试卷A 考生姓名： 学号：3.1+∞=⎰C 。
A ．不存在B ．0C ．2πD ．π4. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0lim ()1x f x →''=-，则下列叙述正确的是 A 。
A ．(0)f 是()f x 的极大值B ．(0)f 是()f x 的极小值C ．(0)f 不是()f x 的极值D ．(0)f 是()f x 的最小值5.曲线2xy d t π-=⎰的全长为 D 。
A ．1B ．2C ．3D ．46. 当,a b 为何值时，点( 1, 3 )为曲线32y ax bx =+的拐点？ A 。
A ．32a =-，92b = B. 32a =，92b =- C ．32a =-，92b =- D. 32a =，92b = 7. 曲线2xy x -=⋅的凸区间为 D 。
《高等数学(一)》练习题参考答案
《高等数学（一）》练习题一参考答案一、是非题1——5对 错 对 错 错 2——6对 对 对 对 错 11——15错 对 对 错 对 16——20 错 对 错 错 错 21——25错 对 错 对 错 26——30 对 对 对 错 错二、选择题1——5 A B B B D 6——10 C A B A B 11——15 B D D D A 16——20 B B A B B 21——25 D B D B B 三、填空题1、2x； 2、充分； 3、1； 4、0； 5、2y x =-622x e --； 7、必要； 8、12-； 9、)1(21+=x y ； 10、0,1,2y x ==-11、1； 12、21dx x+； 13、2； 14、32y x =-； 15、充分性条件.16、22xxe； 17、dx ； 18、x = 19、1(1)2y x =-； 20、216x x+.21、6e -； 22、1y =； 23、11e --； 24、23； 25、cos 2x dx .三、解答题1、00021limlimlim.4x x x x→→→===2、因为函数()f x 在点0x =连续，故其左右极限都应存在且相等，即由20lim ()lim (1)2xx x f x e--→→=+=，sin 22sin 22lim ()lim lim 2x x x x x f x ax axa+++→→→===，推得 221a a=⇒=. 3、 /////2312()1,()(1)2f x f x f xx=+=-⇒=-.4、因为(2)3f '=，而由定义可知2()(2)(2)lim2x f x f f x →-'=-，故所求极限2()(2)lim32x f x f x →-=-。
5、由243lim ()21x x ax b x →+∞+++=-，而2224343()(1)lim ()lim11(4)()3lim21x x x x x ax b x ax b x x a x b a x b x →+∞→+∞→+∞++++-++=--++--+==-存在，于是必有40,2a b a +=-=，可解得常数,a b 的值分别为-4，-2。
高等数学作业1参考答案
作业一一、填空题：1．23e - 2．253．充要 4．2(34)x + 5．(0,)+∞ 二、选择题：1．B 2．D 3．B 4．B 5．B三、按要求计算：1．求.21lim 222⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→n n n n n 解 本题考虑无穷多个无穷小之和.先变形再求极限.211121lim )1(21lim 21lim 21lim 22222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n n2．求函数)1(sin 2x e y -=的导数.解法一 设中间变量, 令.1,sin ,,2x w w v v u e y u -====于是x w v u x w v u y y '⋅'⋅'⋅'=')1()(sin )()(2'-⋅'⋅'⋅'=x w v e u )1(cos 2-⋅⋅⋅=w v e u)1cos()1sin(2)1(sin 2x x e x --⋅-=-.)1(2sin )1(sin 2x e x -⋅--=解法二 不设中间变量.)1()1cos()1sin(2)1(sin2-⋅-⋅-⋅='-x x e y x .)1(2sin )1(sin 2x e x -⋅--=3．求不定积分⎰+dx x x 241. 解 ⎰+dx x x 241⎰++-=dx x x 24111⎰+-+=dx x x x 2221)1)(1(dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=22111 ⎰⎰⎰++-=dx x dx dx x 22111.arctan 33C x x x ++-=4.求定积分⎰--3/2/2cos 1ππdx x . 解 dx x ⎰--3/2/2cos 1ππdx x ⎰-=3/2/2sin ππdx x ⎰-=3/2/|sin |ππdx x xdx ⎰⎰+-=-3/002/sin sin ππ 3/002/cos cos ππx x -=-.23= 5．求微分方程xy dxdy 2=的通解.解 分离变量得xdx y dy 2=两端积分得⎰⎰=xdx y dy 2 ⇒ 12||ln C x y += 从而2211+=±=±⋅x C C x y e e e ,记,1C e C ±=则得到题设方程的通解 .2x Ce y = 四、证明方程01423=+-x x 在区间(0, 1)内至少有一个根. 证明: 令,14)(23++=x x x f 则)(x f 在]1,0[上连续 .又,01)0(>=f ,02)1(<-=f 由零点定理 , ,)1,0(∈∃ξ使,0)(=ξf 即.01423=+-ξξ ∴方程01423=+-x x 在)1,0(内至少有一个实根.ξ五 、解：抛物线21x y =+与直线x y +=1 的交点⎩⎨⎧+==+x y x y 112，解得交点：（-1,0）；（2,3） 则：S=29)22131()11(2123212=++-=+-+--⎰x x x dx x x。
高等数学1教材 答案
高等数学1教材答案高等数学1是大学数学专业的必修课程之一，它为学生提供了进一步拓展和深入理解数学概念的机会。
本文将提供高等数学1教材的答案，帮助学生巩固所学知识，并提高解题能力。
一、导数与微分1. 求函数f(x)=2x^3-5x^2+3x的导数。
解: f'(x)=6x^2-10x+32. 求函数f(x)=x^4-2x^3+4x的二阶导数。
解: f''(x)=12x^2-12x+4二、极值与最值1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+9x的极值点。
解: 首先求导数 f'(x)=3x^2-12x+9，令导数为0并解方程得到x=1。
将x=1代入原函数，得到f(1)=4。
所以极小值点为(1,4)。
2. 求函数f(x)=3x^4-8x^3+12x的最大值。
解: 首先求导数 f'(x)=12x^3-24x^2+12，令导数为0并解方程得到x=1。
将x=1代入原函数，得到f(1)=7。
所以最大值为7。
三、定积分与不定积分1. 求函数f(x)=2x的不定积分。
解: F(x)=x^2+C，其中C为常数。
2. 求函数f(x)=x^2在区间[0,2]上的定积分。
解: ∫[0,2] x^2 dx = [1/3*x^3]0~2 = 8/3。
四、曲线的参数方程1. 给定曲线的参数方程为x=cos(t)，y=sin(t)，求曲线上的切线方程。
解: 首先求导数 dx/dt=-sin(t) 和 dy/dt=cos(t)。
然后利用导数求切线方程y-y0=(dy/dx)(x-x0)，代入导数值和曲线上一点的坐标(cos(t0),sin(t0))，得到切线方程 y-sin(t0)=cot(t0)(x-cos(t0))。
五、级数求和1. 求级数∑(n=1 to ∞) 2^n的和。
解: 由等比数列求和公式，级数的和为 S=a/(1-r)，其中a为首项，r为公比。
所以∑(n=1 to ∞) 2^n的和为 2/(1-2) = -2。
高等数学(一)答案解析
高等数学（一）答案解析一、单项选择题1.当x →0时，以下函数是无穷小量的是 A.x eB.()ln 2x +C.sin xD.cos x【解析】0limsin 0x x →=【考点】无穷小的定义；等价无穷小 【答案】C2.平面2348x y z -+=与直线12234x y z-+==-的位置关系是 A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.直线在平面上【解析】直线的方向向量（2，-3，4）和平面的法向量一致，故垂直直线过（1，-2，0），带入平面方程等式成立，点在平面内，故相交 【考点】平面与直线的位置关系 【答案】B3.微分方程780y y y '''+-=的通解为 A.812x x y C e C e -=+ B.812x x y C e C e --=+ C.812x x y C e C e =+D.812x x y C e C e -=+【解析】27801,8r r r r +-=⇒==- 【考点】齐次微分方程通解 【答案】D4.曲线32231y x x =+-的拐点是 A.11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B.11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C.()1,0-D.()0,1-【解析】322111166;1260,2312222y x x y x x y ⎛⎫⎛⎫'''=+=+=⇒=-=⨯-+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【考点】拐点的计算 【答案】A5.以下级数收敛的为 A.232112n n n n ∞=-+∑B.1sin 3n n π∞=∑C.211ln 1n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑D.213ln 21n nn ∞=+∑【解析】排除法：通项趋于0（n →∞）AC 符合，BD 不符合；而23211A :~2n n n n -+，由11nn -∑发散知A 发散；故选C 【考点】级数的敛散性 【答案】C 二、填空题 6.函数()f x =的定义域为 .【解析】1033xx -≥⇒≥ 【考点】定义域 【答案】[)3,+∞ 7.曲线12ln y x x=+在点（1，1）点处的切线方程为 .【解析】1221221,|1x x y y x x x=-''=-+==，切线：()()111y x y x -=-⇒= 【考点】曲线在一点切线方程 【答案】y=x8.若()1,[2()3()]8bbaaf x dx f xg x dx =+=⎰⎰，则()baf g x dx =⎰.【解析】[2()3()]23()8bbaaf xg x dx g x dx +=+=⎰⎰，则()2bag x dx =⎰【考点】定积分的性质 【答案】29.已知两点A （-1，2，0）和B （2，-3AB 同方向的单位向量为 .【解析】222(3,3(5)36AB =-+-+=单位化：3515,,6626⎛⎛-=- ⎝⎭⎝⎭【考点】向量的表达；单位化【答案】152,,266⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭10.已知函数(),f x y 在R 2上连续，设12201(,)(,)xxI dx f x y dy dx f x y dy -=+⎰⎰⎰⎰，则交换积分顺序后I = .【解析】2;22y x x y y x x y ===-⇒=-【考点】二重积分【答案】2120(,)yy d y f x y dx -⎰⎰ 三、解答题11.求极限3223lim 2x x x x x x →∞+-++【解析】32222322lim lim 222x x x x x x x x x x x →∞→∞+--==++++ 12.求极限203sin limxx t dt x →⎰【解析】2220322000sin sin 1limlim lim 333xx x x t dt x x x x x →→→===⎰ 13.求不定积分ln x x+ 【解析】2ln ln 12ln ln 2(ln )2x x x dx x xd x x x c x x+=+==+⎰⎰ 14.求过点（1，-2，2）且与两平面x +2y-z =1和2x+y+3z =2都垂直的平面方程. 【解析】该平面法向量为121(7,5,3)213i j kn =-=--该平面方程为()()()7152320x y z --+--=，化简：7x -5y -3z =11 15.已知函数sin yz x x=，求2z x y ∂∂∂.【解析】sin cos z y y yx x x x∂=-∂ 22211sin cos cos cos sin sin z y y y y y y y y yx y y x x x x x x x x x x x∂∂⎛⎫=-=-+= ⎪∂∂∂⎝⎭ 16.计算二重积分()22cos Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 是由直线3,33y x y x ==与圆222x y π+=所围成的第一象限的闭区域. 【解析】()222222232206111cos cos cos sin sin626262212Dy x y dxdy d r rdr r dr r ππππππππππθ+=====⎰⎰⎰⎰⎰17.求微分方程x y y e x '+=+的通解. 【解析】设()()1,x p x q x e x ==+则()11dx dx x y e C e x e dx -⎡⎤⎰⎰=++⎢⎥⎣⎦⎰()x x x e C e x e dx -⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰()x x x e C e x de -⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰212x x x x e C e xe e -⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦112x x Ce e x -=++-18.求幂级数201n n x n +∞=+∑的收敛域及和函数.【解析】（1）321lim||12n n n x n x n x ++→∞+=<+ x =1时，011n n ∞=+∑发散 x =-1时，200(1)(1)11n nn n n n +∞∞==--=++∑∑收敛 收敛域为[-1，1）（2）设2100()11n n n n x x S x x n n ++∞∞====++∑∑记110()1n n x S x n +∞==+∑，则()()1S x xS x =()11011x n n S x x∞+='==-∑ 101()ln(1)1xS x dx x x==---⎰()()ln 1S x x x =--19.求曲线24y x =-+与直线y =-2x +4所围成图形的面积. 【解析】画图象；()2204(24)S x x dx =-+--+⎰()2202x x dx =-+⎰232013x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 43=20.证明：当x >1时，ln 3x x +>. 【解析】设()ln 3F x x x =+-1()1F x x '=+-= 1x =时()0F x '=，()0F x =x >1时，()0F x '>，()F x 单调递增 故x >1时，()0F x >，即ln 3x x +>21.设函数()f x 在[0，1]上连续，且()11f =，证明：对于任意λ∈（0，1），存在ξ∈（0，1），使得2()f λξξ=. 【解析】 由结论处2()f λξξ=提示可设()()2F x x f x λ=-，则()F x 在[0，1]上连续且()00F λ=-<，()()110,01F λλ=-><<则()()010F F <，由零点定理，至少存在一点ξ∈（0，1），使得()0F ξ=，即()2f λξξ=2020年山东专升本考试 高等数学（Ⅲ）参考答案一、单选题二、填空题 11、[3，+∞） 12、2 13、24x e 14、4 15、6e -三、计算题16、由()11x f x x +=-，可知11()11[()]1()111x f x x f f x x x f x x +++-===+---.17、2222221limlim lim 132(2)(1)1x x x x x x x x x x →→→--===-+---18、0011lim lim 122x x x x e x e x →→+-+==19、()00sin 0lim ()lim x x a x f f x b a b x +'+→→⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ()000lim ()lim ,(0)22x x x f f x a a f +--→→⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭且 ∵函数()f x 在点x =0处连续，∴22a b a +=⎧⎨-=⎩，即a =-2，b =420、222ln(21)21dy x xx dx x =+++，122ln 33x dy dx =∴=+ 21、2222cos 431132cos43sin 42x x dx xdx dx x C x x x-=-=++⎰⎰⎰ 22t =，则2x t =，2dx tdt =，且当x =1时，t =1；当x =4时，t =2 2422211111ln 22(12ln )24ln t tdt t dt tdt t +∴==+=+⎰⎰⎰⎰22211124ln 4(ln )28ln 2418ln 22t t t t dt dt '=+-=+-=-⎰⎰四、应用题23、2()66126(2)(1)f x x x x x '=--=-+， 令()0f x '=，解得122,1x x ==- 而()126,(2)180,(1)180f x x f f ''''''=-=>-=-<∴()f x 的极小值为f （2）=-15，()f x 的极大值为f （-1）=1224、211222010111131ln ln 24488x x dx x dx x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰山东省2020年专升本考试真题高等数学（III ）一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.以下区间是函数sin y x =的单调递增区间的是 A.0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.[]0,πC.,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.3,zππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2.当x →0时，以下函数是无穷小量的是 A.x eB.1x +C.sin xD.cos x3.cos x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭A.sin xB.sin x -C.2sin cos x x xx +D.2sin cos x x xx --4.极限ln lim 2x xx →+∞=+A.0B.1C.2D.+∞5.函数3y x =+dy =A.23x dx ⎛+ ⎝⎭ B.23x dx ⎛⎝C.2x dx ⎛ ⎝⎭D.2x dx ⎛⎝6.2tan x d t dt dx =⎰ A.2tan2x xB.22tan x xC.tan 2xD.2tan x7.不定积分()f x dx '=⎰ A.()f xB.()f x 'C.()f x C +D.()f x C '+8.点x =1是函数211x y x -=-的 A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点9.设()y y x =是由方程y e x y =-所确定的隐函数，则y'=10.己知函数()f x 在[-1，2]上连续，且01()2f x dx -=⎰，10(2)1f x dx =⎰，则21()=f x dx -⎰A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.函数y =的定义域为.12.曲线y =2ln x +1在点（1，1）处切线的斜率k =.13.已知函数()2x f x e =，则()=f x '' . 14.若1()2f x dx =⎰，1[3()2]f x dx -=⎰.15.极限10lim(12)xx x →-=.三、计算题（本大题共7个小题，每小题6分，共42分） 16.已知函数()11x f x x +=-，()1,x ∈+∞，求复合函数()f f x ⎡⎤⎣⎦ 17.求极限222lim32x x x x →--+18.求极限01lim 2x x e x x→+-19.已知函数sin ,0()2,0,02a xb x x f x x x a x ⎧+>⎪⎪==⎨⎪⎪-<⎩在x =0处连续，求实数a ，b 的值 20.已知函数()2ln 21y x x =+，求1x dydx = 21.求不定积分222cos 43x x dx x -⎰22.求定积分41⎰四、应用题（本大题共2个小题，第23小题6分，第23小题7分，共13分） 23.求函数()3223125f x x x x =--+的极值，并判断是极大值还是极小值. 24.求曲线1y x =与直线y=x ，14y x =所围成的在第一象限内的图形的面积.山东省2020年专升本真题试卷高等数学（二）答案解析一、单项选择题1.当x →0时，以下函数是无穷小量的是A.21x + C.sin xD.cos x 【解析】0limsin 0x x →=【考点】无穷小的定义；等价无穷小【答案】C2.以直线y =0为水平渐近线的曲线的是A.x y e =B.ln y x =C.tan y x =D.3y x =【解析】lim .0x x e A →-∞=（或根据四个函数图像判断）【考点】水平渐近线【答案】A3.若()2b a f x dx =⎰，()1b a g x dx =⎰，则[3()2()]ba f x g x dx -=⎰A.1B.2C.3D.4 【解析】[3()2()]32214ba f x g x dx -=⨯-⨯=⎰【考点】定积分的性质【答案】D4.微分方程2sin y dyx xdx e +=的通解为A.2cos y e x x C =++B.2cos y e x x C =-+C.2sin y x e x C =++D.2sin y x e x C =+-【解析】22sin cos y y e dy x xdx e x x C =+⇒=-+⎰⎰【考点】可分离变量微分方程通解【答案】B5.已知函数(),f x y 在R 2上连续，设21320(,)y y I d y f x y dx -=⎰⎰，则交换积分顺序后I = A.231320010(,)(,)xx dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰B.213320010(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰⎰C.13320010(,)(,)x x dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰ D.31320010(,)(,)xx dx f x y dy dx f x y dy -+⎰⎰⎰ 【解析】2(0,1)x y y x y =⇒=；3322x x y y -=-⇒= 【考点】二重积分【答案】D二、填空题6.函数()3f x x =-的定义域为 .【解析】303x x ->⇒>【考点】定义域【答案】（3，+∞）7.已知函数()332f x x x =+-，()tan g x x =，则=4f g π⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ .【解析】3[()](tan )3tan 2f g x x x =+-tan 14π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以=24f g π⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【考点】复合函数【答案】28.曲线2ln y x x =+在点（1，2）点处的切线斜率为 . 【解析】112,3x y y x=''=+=【考点】曲线在一点切斜率；导数的应用【答案】39.曲线1y x=与直线x =1，x =3及x 轴所围成图形的面积为 . 【解析】311ln3ln1ln3dx x=-=⎰ 【考点】定积分的应用【答案】ln310.已知函数()2arctan 2z x y =，则全微分dz = . 【解析】2222222222arctan(2),,2arctan(2)1(2)1414z z x x x y x dz x y dx dy x y y y y ∂∂====+∂∂+++ 【考点】全微分【答案】2222arctan(2)14x dz x y dx dy y=++ 三、解答题11.求极限2211lim 322x x x x →⎛⎫- ⎪-+-⎝⎭【解析】22222111(1)21lim lim lim lim 1322(1)(2)(1)(2)1x x x x x x x x x x x x x x →→→→---⎛⎫-====- ⎪-+------⎝⎭ 12.求极限2030sin lim x x t dt x →⎰【解析】2220322000sin sin 1lim lim lim 333x x x x t dt x x x x x →→→===⎰ 13.已知函数2,0()1,0,0x x b x f x x ae b x ⎧->⎪==⎨⎪+<⎩在x =0处连续，求实数a ，b 的值【解析】在x =0处连续，则00lim ()lim ()(0)1x x f x f x f +-→→=== 20lim 11x x b b b +→-=-=⇒=-0lim 112x x ae b a b a a -→+=+=-=⇒= 14.求不定积分1ln x dx x +⎰【解析】21ln 1ln 1ln ln ln ln (ln )2x x dx dx dx x xd x x x C x x x +=+=+=++⎰⎰⎰⎰15.求定积分20π(1)cos x xdx -⎰.【解析】20(1)cos x xdx π-⎰2200cos cos x xdx xdx ππ=-⎰⎰2222200000sin sin sin sin 1cos 1222xd x x x x xdx x πππππππ=-=--=+-=-⎰⎰16.求微分方程1x y y e '+=+的通解.【解析】设()()1,1x p x q x e ==+则()111dx dx x y e C e e dx -⎡⎤⎰⎰=++⎢⎥⎣⎦⎰ ()1x x x e C e e dx -⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰ ()1x x x e C e de -⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰ 212x x x e C e e -⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ 112x x Ce e -++ 17.已知函数sin y z x x=，求2z x y ∂∂∂. 【解析】sin cos z y y y x x x x∂=-∂22211sin cos cos cos sin sin z y y y y y y y y y x y y x x x x x x x x x x x∂∂⎛⎫=-=-+= ⎪∂∂∂⎝⎭ 18.计算二重积分D xydxdy ⎰⎰，其中D 是由直线y=x ，y =5x 与y=-x + 6所围成的闭区域. 【解析】153601x x D x x xydxdy dx xydy dx xydy -+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 13320112186x dx x x dx =+-⎰⎰ ()314230139232023x x x =+-=+= 19.假设某产品的市场需求量Q （吨）与销售价格P （万元）的关系为Q （P ）=45-3P ，其总成本函数为C （Q ）=20+3Q ，P 为何值时利润最大，最大利润为多少？【解析】设利润为2()(453)[203(453)]354155f P QP C P P P P P =-=--+-=-+-()65409f P P P '=-+=⇒=P <9，f （P ）单调递增；P >9，f （P ）单调递减故P =9时利润最大，f （9）=88（万元）20.设函数()f x 在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，且f （1）=4f （2），证明：存在(1,2)ξ∈，使得2()()0f f ξξξ'+=.【解析】由结论处2()()0f f ξξξ'+=提示可设()()2F x x f x =，则()F x 在[1，2]上连续，在（1，2）内可导且F （1）=f （1），F （2）=4f （2）=F （1），则由罗尔定理，至少存在一点(1,2)ξ∈，使得2()2()()0F f f ξξξξξ''=+=，则2()()0f f ξξξ'+=。
高等数学上复旦大学出版习题1答案.pdf
x1
=
sin
x2
,即 A 中不同的元素
x1,
x2
有相同的
像,∴f 不是单射.
综上所述, f 为满射,但不是单射.
(3)∵∀x1, x2 ∈ A , 且 x1 ≠ x2 ,有 ex1 ≠ ex2 ,即 A 中不同的元素有不同的像,∴f 是单射.
又∵ 0 ∈ B,∀x ∈ A, ex ≠ 0 ,即 B 中的元素 0 没有原像,∴f 不是满射.
2. 设 X = {1, 2,3, 4,5, 6}, A = {1, 2,3}, B = {2, 4, 6},C = {1,3,5} ,求 A∪ B ∪ C, A ∩ B ∩C , CXA，CXA∪CXB,
CXA∩CXB.
解: A∪ B ∪ C = {1, 2,3}∪{2, 4, 6}∪{1,3,5} = X
⎨ ⎩
x
≠
0
所以函数的定义域是 (−∞, 0) ∪ (0, 4].
(2)要使函数有意义,必须
所以函数的定义域是[-3,0) ∪(0,1) . (3)要使函数有意义,必须
⎧ x+3≥0
⎧x ≥ −3
⎪⎨lg(1− x) ≠ 0
即
⎪ ⎨
x
≠
0
⎪⎩ 1− x > 0
⎪⎩ x < 1
x2 −1≠ 0 即 x ≠ ±1
(2)不正确. 例如: A={1,2},B={1},C={1,3}有 A∩B=A∩C={1},但 B≠C.
4. 判定下列映射哪些是满射,哪些是单射,哪些是一一映射?
(1) A=(-∞,+∞),B=(-∞,+∞), f : x ∈ A |→ y = x3 ∈ B ;
(2) A=(-∞,+∞),B=[-1,1], f : x ∈ A |→ y = sin x ∈ B ;
高数(一)试题(1)参考答案
高等数学（一）（第一章和第二章练习题）参考答案 一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.设f （1-cos x ）=sin 2x, 则f （x ）=（ A ） A.x 2+2x B.x 2-2x C.-x 2+2x D.-x 2-2x解：设：1cos x t -= c o s1x t ∴=+ ()()()21c o s 1c o s 1c o s 1c o s f x x x x -=-=+- ()()2112ft t t t t ∴=++=+ ()22f x x x =+ 2.设x 22)x (,x )x (f =ϕ=，则=ϕ)]x ([f （ D ） A.2x 2B.x2xC.x 2xD.22x解：()2f t t = ()()22[()]222xx xf x f ϕ===3．函数y=31x1ln -的定义域是（ D ） A ．),0()0,(+∞⋃-∞ B ．),1()0,(+∞⋃-∞ C ．(0,1] D ．(0,1)解：110x -> 10x x-> 01x ∴<< ()0,1x ∴∈ 4．设f(x)=⎩⎨⎧>≤0x ,x 0x ,x ，则f(x)在点x=0处（ D ）A ．无定义B ．无极限C ．不连续D ．连续解：()00f = ()0lim lim 0x x f x x --→→== ()0lim lim 0x x f x ++→→==()0l i m 0x f x →∴= ()()0l i m 0x fx f →= 0x ∴=处连续5.函数2x x y -=的定义域是（ D ） A.[)+∞,1B.(]0,∞-C.(][)+∞∞-,10,D.[0，1]解：20x x -≥ ()10x x ∴-≥ []0,1x ∴∈ 6.∑∞==1n n)23ln (（ ） A.23ln 3ln - B. 3ln 23ln - C. 3ln 21-D. 3ln 2)3(ln n-解：此为等比级数，1ln 32a =ln 32q =11l n 3l n 3l n 32()212ln 312n n a q ∞====---∑ 7.设函数=-=)x 2(f 1x x)x 1(f ，则（ A ）A.x211- B.x 12- C.x2)1x (2- D.x)1x (2- 解：设1t x= 1x t ∴= ()11111t f t t t∴==-- ()1212f x x ∴=-8.已知f(x)=ax+b,且f(-1)=2,f(1)=-2,则f(x)=（ ） A.x+3 B.x-3 C.2xD.-2x解：()()12;12f a b f a b -=-+==+=- 2;0a b ∴=-= ()2f x x∴=- 9.lim()1xx x x →∞=+（ B ） A.eB.e -1C.∞D.1解：111lim()lim 111xxx x x e x e x -→∞→∞⎛⎫ ⎪=== ⎪+ ⎪+⎝⎭ 10.函数)1x )(2x (3x y -+-=的连续区间是（ D ）A.),1()2,(+∞---∞B.),1()1,(+∞---∞C.),1()1,2()2,(+∞-----∞D.[)+∞,3解：()()30210x x x -≥⎧⎪⎨+-≠⎪⎩3x ∴≥ [)3,x ∴∈+∞11.设函数⎩⎨⎧-=-≠++=1x a 1x )1x ln()1x ()x (f 2 ， ， 在x=-1连续,则a=（ D ）A.1B.-1C.2D.0解：1x =- 处连续， ()()11lim x f f x →-∴-=()()()()()211112122ln 11lim 1ln 1limlim2lim 101111x x x x x x a x x x x x →-→-→-→-⋅++∴=++===-+=-++12.设f(x+1)=x 2-3x+2，则f(x)=（ B ） A.x 2-6x+5 B.x 2-5x+6 C.x 2-5x+2 D.x 2-x 解：设1x t += 1x t =- ()()()22131256f t t t t t =---+=-+ ()256f x x x =-+13．已知f(x)的定义域是[0,3a]，则f(x+a)+f(x-a)的定义域是（ ） A ．[a,3a] B ．[a,2a] C ．[-a,4a]D ．[0,2a]解：0303x a a x a a ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩ 324a x aa x a-≤≤⎧∴⎨≤≤⎩ 2a x a ≤≤ [],2x a a ∴∈14．=→xsin x 1sinx lim20x （ D ）A ．1B ．∞C ．不存在D ．0解：0,sin x x x →∴ 原式= 2001sin1limlim sin 0x x x x x x x→→==15．函数y=ln(22x 1x 1--+)的定义域是（ C ） A ．|x|≤1 B ．|x|<1 C ．0<|x|≤1D ．0<|x|<1解：2010x >-≥⎪⎩ 011x x ≠⎧∴⎨-≤≤⎩ 01x ∴<≤16．0x lim →x 2sin2x1=（ A ）A ．0B ．1C ．-1D ．不存在解：0x lim →x 2sin 2x 1=017.函数y=1-cosx 的值域是（ C ） A.[-1,1] B.[0,1] C.[0,2]D.(-∞,+∞)解：cos 1,110x y ==-=；()cos 1,112x y =-=--= 02y ≤≤ []0,2y ∴∈ 18.设2a 0π<<，则=→x x sin lim a x （ D ）A.0B.1C.不存在D.aasin 解：=→x x sin lima x sin aa19.下列各式中，正确的是（ D ）A.e )x 11(lim x 0x =++→B.e )x 1(lim x 10x =-→ C.e )x11(lim x x -=-∞→D.1x x e )x11(lim -∞→=-解：()1111lim(1)lim 1x x x x e x x -⋅--→∞→∞⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭20．设函数f(x-1)=x 2-x,则f(x)=（ B ） A ．x(x-1) B ．x(x+1) C ．(x-1)2-(x-1) D ．(x+1)(x-2)解：设1x t -= 1x t =+ ()()()()22111f t t t tt t t ∴=+-+=+=+()()1fx x x =+21．设f(x)=ln4,则0x lim →∆=∆-∆+x)x (f )x x (f （ C ）A ．4B ．41C ．0D ．∞解：0x lim→∆=∆-∆+x )x (f )x x (f 0ln 4ln 4lim0x x∆→-=∆ 22.设函数f (x )的定义域为[0，4]，则函数f (x 2)的定义域为（ D ） A.[0，2] B.[0，16] C.[-16，16]D.[-2，2]解：204x ≤≤ 24x ≤ 22x -≤≤ []2,2x ∴∈-23.xx x 1lim→=（ C ）A.0B.1C.-1D.不存在解：11limlim 1x x x xx x→→== 24.设f(t)=t 2+1，则f(t 2+1)=（ D ） A.t 2+1 B.t 4+2 C.t 4+t 2+1 D. t 4+2t 2+2解：()21f x x =+ ()()2224211122ft t t t ∴+=++=++25.数列0，31，42，53，64，…的极限是（ ） A.0 B.n2n - C.1 D.不存在解：11n n x n -=+ 111l i m l i m l i m1111n n n n n n x n n→∞→∞→∞--∴===++ 26．设1)1(3-=-x x f ，则f (x )=（ B ）A ．x x x 2223++B ．x x x 3323++C ．12223+++x x xD ．13323+++x x x解；设1x t -= 1x t =+ ()()3321133f x t t t t ∴=+-=++()3233f x x x x ∴=++ 27．下列极限存在的是（ D ） A ．11lim-→xx eB ．xx e 1lim → C ．x x sin lim ∞→D ．221limx x x -∞→解：2221limlim 1111x x x x x →∞→∞==--- 28.下列区间中,函数f (x)= ln (5x+1)为有界的区间是（ C ）A.(-1，51)B.(-51,5)C.(0,51)D.(51,+∞)解：()0,ln1x f x ==；()1,ln 25x f x ==； ()ln1ln 2f x ≤≤ 29.设函数g (x)在x = a 连续而f (x) = (x-a)g(x),则'f (a) =（ D ） A.０ B.g '(a) C.f (a)D.g (a)解：()()()()()()()()f x x a g x x a g x g x x a g x ''''=-+-=+- ()()()()()f ag a a a g a g a''=+-= 30．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,00,11)(x x xx x f ,则x =0是f (x )的（ A ） A ．可去间断点 B ．跳跃间断点 C ．无穷间断点 D ．连续点解：()00f =()000111lim 2x x x x f x →→→→====()()0l i m 0x fx f →≠ 但极限存在，此为可去间断点31.函数f(x)=arcsin(2x-1)的定义域是（ D ） A.(-1,1) B.[-1,1] C.[-1,0] D.[0,1]解：1211x -≤-≤ 022x ∴≤≤ 01x ≤≤ []0,1x ∴∈ 32.设函数y =f (x )的定义域为(1，2)，则f (ax )(a <0)的定义域是( B )A.(a a 2,1)B.（a a 1,2) C.(a ，2a)D.(a a,2]解：12ax << 0a < 12x a a ∴>> 21,x a a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭33．函数f (x )=2211⎪⎭⎫⎝⎛--x 的定义域为（ B ）A ．[]1,1-B ．[]3,1-C ．(-1,1)D ．(-1,3)解：21102x -⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭ 2112x -⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭1112x --≤≤ 212x -≤-≤ 13x -≤≤ []1,3x ∴∈-34．设函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<02302sin 2 x k x x x x x在x =0点连续，则k =（ C ）A ．0B ．1C ．2D ．3解：()0f k = ()00sin 2lim lim2x x xf x x→→== 0x = 处连续()()00lim x f f x →∴= 2k ∴=35.函数f (x )=21sin 2x x++是（ C ）A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.周期函数解：1sin 1x -≤≤ 12s i n 3x ∴≤+≤ 22212s i n 303111x x x x +∴≤≤≤≤+++ 36．函数f (x )=ln x - ln(x -1)的定义域是（ C ） A ．(-1,+∞) B ．(0,+∞) C ．(1,+∞) D ．(0,1)解：010x x >⎧⎨->⎩ 1x ∴> ()1,x ∈+∞37．极限=→xxx 62tan lim0（ B ）A ．0B ．31C ．21D ．3解：0,tan 22x x x → 00tan 221limlim 663x x x x x x →→==二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知f (x +1)=x 2，则f (x )=________.解；设1x t += 1x t =- ()()21f t t ∴=- ()()21f x x ∴=-2．无穷级数 +++++n 31313112的和等于________.解：此为等比级数，111,3a q ==1211113113331213n a q +++++===-- 3.设函数f(x)的定义域是[-2，2]，则函数f(x+1)+f(x-1)的定义域是___________. 解：212212x x -≤-≤⎧⎨-≤+≤⎩ 1331x x -≤≤⎧∴⎨-≤≤⎩11x -≤≤ []1,1x ∴∈-4.=-++∞→]x ln )2x [ln(x lim x ___________.解：22lim [ln(2)ln ]lim ln lim ln 1x x x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞+⎛⎫⎛⎫+-==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222lim ln 1lim ln 1ln 2xxx x e x x ⋅→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫=+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．函数y=x ln ln 的定义域是 . 解：0ln 0x x >⎧⎨>⎩1x x >⎧⎨>⎩ 1x ∴> ()1,x ∴∈+∞ 6．nn 999.0lim ⋅⋅⋅∞→= . 解：1lim0.999lim 1110n n n n→∞→∞⎛⎫⋅⋅⋅=-= ⎪⎝⎭7．=∞→x21sinx 3lim x . 解：1110,0,sin 222x x x x →∴→∴ 113l i m 3s i n l i m 3222x x xx x x →∞→∞=⋅= 8.设⎩⎨⎧<-≥+=0x ,1x 0x ,1x )x (f ，则f (-1)= ___________.解：()1112f -=--=-9.=-+∞→)n 1n (n lim n ___________.解：n n =1l i l2n n n→∞====10.2x2xlim2x--→= ___________.解：()()()2222lim2x x xx xx→→→--==-2l i22x→=11.设函数1x2y+=，其反函数的定义域是________________.解：反函数的定义域是原函数的值域；而原函数的值域为0y≥其反函数的定义域是()0,+∞12.=--+∞→)nnn3n(limn________________.解：nn→∞=4l i l211 n n nn n+-=====+13.在一个极限过程中，变量u的极限为A的充分必要条件是u=A+α，其中α是极限过程中的________________.解：无穷小14．若f(x+1)=x+cosx则f(1)=__________.解：设11x+=0x=()10c o s01f=+=15．.__________1n5n)n1(lim233x=++-∞→解：()()33333323233331111(1)lim lim lim151515111n n nnn nnn nn nn nn n n→∞→∞→∞⎛⎫--⎪--⎝⎭====-++++++16．函数y=1+ln(x+2)的反函数是______.解：()1ln 2y x -=+ 12y x e -+= 12y x e-∴=- 反函数是12x y e -=-17. =∞→xxarctan limn _______.解：arctan 1limlim arctan 0x x x x xx →∞→∞=⋅=18.函数y=arcsin(x-3)的定义域为___________。
成考(全套高等数学作业(1、2、3、4、5、6、7、8))-
成考（全套高等数学作业(1、2、3、4、5、6、7、8)）-如果定义了单选项问题[102070]，则()。
答案:D单选题[102060]定义。
然后(美国广播公司回答:b选择题[65056)功能(..答案:b多项选择题[102073]下列各组字母在数字中，相同的函数用()表示。
回答:b填空，选择一个选项[44003]，然后()。
答:单选题[43992]在下列函数对中，相同的函数由()表示。
答:c选择题[102071]集，如果曲线相对于直线是对称的，那么表达式是()。
答:b选择题[65043]功能是()。
偶数函数奇数函数有界函数周期函数答案:多项选择问题[44001]集，然后()。
答:c .[98433]函数的图形和c .[98433]函数的图形是关于一条直线对称的，那么_ _ _ _ _。
答:单选题[65052]下列函数中，倒数函数是()。
函数是(a .偶函数b .奇函数c .有界函数d .周期函数答案:a .多项选择题[43992)下列函数对中，代表相同函数的是(a，b，和...))c，d，答案:c选择题的域[65058]函数是(a.b.c.d .答案:c选择题[65051]下列函数组是(a和b，c和d，答案:b)。
(单选项[43992)在下列函数对中，相同的函数由()表示。
答:c填充问题[102089]的函数的单调缩减间隔是_ _ _ _ _。
答:单项选择问题[102061的反函数是(公元前)年。
答:单选题[44 006]如果有定义，下面函数中的奇数函数是()。
在下列函数组中，相同的函数由()表示。
工商及科技局局长答:B选择题[44006]是在定义中设定的。
然后()。
在下列函数中回答奇数函数:d多选[44001]，然后()。
在下面的函数中，函数图关于原点是对称的。
答案:b选择题[65051]下面的函数组显示相同的函数()。
答案:[在下列函数对中，同一个函数由()表示。
答案:c，单答案:b单选择[44001]集，然后()。
高等数学1册(上海大学)第一章答案
《高等数学教程》习题答案第一章 习题1-1 (A)1.(1)),2()2,1()1,(+∞⋃⋃-∞ (2)]1,0()0,1[⋃-(3)),1()1,1()1,(+∞⋃-⋃--∞ (4)πk x ≠且),2,1,0(2 ±±=+≠k k x ππ(5)),2,1,0()352,32( ±±=++k k k ππππ(6)]3,1[- 2.202)(6,916,6h x +++3.0,22,22,215.(1)奇函数 (2)非奇非偶函数 (3)偶函数 (4)奇函数 (5)奇函数(6)当)(x f 为奇函数或偶函数时，该函数为偶函数；当)(x f 为非奇非偶函数时，该函数为非奇非偶函数. (7)偶函数 (8)奇函数 6.(1)是周期函数，π2=T (2)是周期函数，4=T(3)是周期函数，4=T (4)不是周期函数7.(1)acx b dx y-+-=(2)2arcsin31x y=(3)21-=-x e y (4)xxy -=1log2(5)2xx ee y --=8.(1)2,xa u u y-==(2)2,xue y u ==(3)cos ,lg ==u u y (4)xv tgv u u y 6,,2===(5)21,,cos ,xw e v v u arctgu yw-====(6)22,ln ,ln ,xw w v v uu y ====9.(1)]1,1[- (2) zk k k ∈+])12(,2[ππ (3)]1,[a a --(4)若210≤<a ,则]1,[a a D -=；若21>a，则=D Ф.10.4)]([xx =ϕϕ，xx 22)]([=ψψ，x x 22)]([=ψϕ，22)]([x x =ϕψ.11.1,4-==b a12.⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0,10,00,1)]([x x x x g f ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=-1,1,11,)]([1x e x x e x f g13.)20(,])2([22r h h rh V <<-=π14.πααπααππ20,4)2(242223<<--=rV15.),2(,])[(32232+∞--=r r r h hr Vπ16.(1)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<⋅--≤≤=1600,751600100,01.0)100(901000,90x x x x p(2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600,151600100,01.0311000,30)60(2x x x x x x x x p p(3)21000=p (元)习题1-1 (B)1.)(x f 为偶函数.2.41)1(,2)(222-+=--=xx xx f x x f3.⎩⎨⎧≥<=0,0,0)]([2x x x x g f ，⎩⎨⎧≥<=0,0,0)]([2x x x x f g4.22123xx ++8.⎩⎨⎧-≤-<<--=-1,101,1)(x x e x f x9.]0,(,)1ln()(-∞-=x x g10.奇函数，偶函数，偶函数，偶函数. 12.1)2005(=f习题1-2 (A)1.(1)121+n ,0 (2)11)1(1+-+n n ,0(3)2+n n ,1 (4)1)1()1(+-⋅+n n ,没有极限(5)222)1(1)1(2)1(1+++++++n n n n ,21(6)2)2)(1()1(++-n n ,没有极限.2.(1)17; (2)24; (3)]3[ε3.0,]1[ε习题1-3 (A)3.0002.0=δ4.397≥Z6.1)(lim )(lim==+-→→x f x f x x ,1)(lim 0=→x f x1)(lim-=-→x x ϕ,1)(lim 0=+→x x ϕ,)(lim 0x x ϕ→不存在.习题1-4 (A)3.(1)0; (2)0; (3)04.0lim 1=-→y x ; ∞=→y x 1lim 习题1-4 (B)3.x x ycos =在),(+∞-∞上无界，但当+∞→x 时，此函数不是无穷大.5.当1,0==b a 时，)(x f 是无穷小量； 当b a ,0≠为任意实数时，)(x f 是无穷大量.习题1-5 (A)1.(1)0; (2)1; (3)1; (4)103;(5)231aa -; (6)23x ; (7)34; (8)1-.2.(1)43-; (2)0; (3)∞; (4)41-;(5)503020532⋅; (6) 41-.3.(1)⎪⎩⎪⎨⎧>-=<<1,11,010,1a a a ; (2)3; (3)34; (4)21-4.(1)10; (2)2)(m n mn -; (3)nm ; (4)0;(5)0; (6)21; (7)43; (8)21.习题1-5 (B)1.(1)2; (2)21-; (3)561-; (4)2)13(2-a(5)23; (6)⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>2,2,12,0k k k ; (7)2; (8)0 .2.1,1-==βα3.9=a4.1,1-==b a5.不一定.习题1-6 (A)1.(1)2; (2)3; (3)21; (4)-1; (5)a cos ；(6)2π; (7)1; (8)2; (9)1; (10)x .2.(1)1-e ; (2)2e ; (3)2-e ; (4)2-e ; (5)1-e ; (6)2e .习题1-6 (B)1.(1)21; (2)π2; (3)1; (4)0;(5)0; (6)1; (7)0; (8)1-e . 2.(4)3; (5)251+.习题1-7 (A)1. 当0→x 时，34xx -比32xx +为高阶无穷小.2. (1)同阶，但不是等价； (2)同阶，且为等价.3.21=α4.m =α6.(1)23;(2)⎪⎩⎪⎨⎧>∞=<n m n m n m ,,1,0; (3)21;(4)21; (5)ba ; (6)41.习题1-7 (B)1.(1)32; (2)2e; (3)21; (4)0;(5)1; (6)41-; (7)∞; (8)1.5.xx x x p 32)(23++=.6.a A ln .习题1-8 (A)1.1=a2.)(x f 在0=x 处连续3.(1)1=x为可去间断点，补充2)1(-=f2=x 为第二类间断点(2)0=x 和2ππ+=k x 为可去间断点，补充0)2(,1)0(=+=ππk f f ；)0(≠=k k x π为第二类间断点.(3)1=x 为第一类间断点(4)0=x 为第二类间断点. 4.(1)1=x为可去间断点，补充32)1(=f ; (2)0=x 为可去间断点，补充21)0(=f ；(3)1=x 为可去间断点，补充2)1(π-=f ；0=x 为第二类间断点；(4)2=x 为可去间断点，补充41)2(=f ；0=x 为第一类间断点；2-=x 为第二类间断点.(5)0=x 为第一类间断点； (6)a x =为第一类间断点; (7)1=x为第一类间断点; (8)1-=x 为第二类间断点.习题1-8 (B)1. 1±=x 为第一类间断点.2. 1,0==b a3. 25=a4.),2,1,0(22 ±±=-=n n a ππ5. (1)当1,0≠=b a 时，有无穷间断点0=x ； (2)当e b a =≠,1时，有无穷间断点1=x.习题1-9 (A)1.连续区间为：),2(),2,3(),3,(+∞---∞21)(lim 0=→x f x ，58)(lim3-=-→x f x ，∞=→)(lim2x f x .2.连续区间为：),0(),0,(+∞-∞.3. (1) -1; (2) 1; (3) h ; (4) -1; (5) 22-; (6) -2; (7) 1; (8) 1;(9) ab; (10) 5e; (11) -1; (12) 2.4. 1=a5.1=a习题1-9 (B)1. (1)0=x 为第一类间断点； (2)1-=x 为第一类间断点； (3)0=x 为第一类间断点; (4)1±=x 为第一类间断点;(5)无间断点. 2.1,0==b a3. (1)1-e ; (2)21-e ; (3)a e cot ; (4)0; (5)0; (6)-2; (7)21; (8)82π.4.21总复习题一一. 1. D 2. D 3. D 4. B 5. C 6. D 7. D 8. C 9. D 10. D 二.1. ⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=-0,0,)(22x x x x x x f 2.]2,2[,)1arcsin(2--x3. －14. 必要，充分5. 必要，充分6. 充分必要7. 21 8. b a =9.5610. 第二类，第一类 三. 1. 11)(-+=x x x ϕ 2. 20051,20052004=-=βα3.1lim =∞→n n x4. 45. 4e6. －507.aln 218. 当0≤α时，)(x f 在0=x 处不连续；当1,0-=>βα时，)(x f 在0=x 处不连续； 当1,0-≠>βα时，)(x f 在0=x 处不连续.9.82-部分习题选解 习题1-2 (B)1. 根据数列极限的定义证明：(1))0(1lim时>=∞→a a nn 证明：(ⅰ) 0>∀ε当1>a 时，令)0(1>+=n n n h h a nnn n n nn nh h h n n nh h a>++-++=+=∴ 22)1(1)1(εεan na h n><<<∴0 ∴取1][+=εaN ，当Nn >时，有ε<<=-na h a n n1，即1lim=∞→nn a(ⅱ)当1=a时，显然成立.(ⅲ)当10<<a 时，令11>=a b∴11limlim==∞→∞→nn nn ab∴1lim=∞→nn a综合(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，∴当0>a时，有1lim=∞→nn a .习题1-6 (B)3.设0,00>y x ，nn n y x x =+1，21nn n y x y+=+.证明：n n n n y x ∞→∞→=lim lim证明：2nn n n y x y x +≤),2,1,0(011 =≤≤∴++n y x n nnnn nn n n n n n n n y y y y x y x x x y x x =+≤+==≥=∴++2211),2,1,0( =n由此可知数列}{n x 单调增加，数列}{n y 单调减少， 又011110y y y y x x x x n n n n ≤≤≤≤≤≤≤≤≤++∴}{n x 与}{n y 都是有界的.由“单调有界数列必有极限”准则， ∴}{n x ，}{n y 都收敛.设b y a x n n n n ==∞→∞→lim ,lim由21nn n y x y +=+，2limlimnn n n n y x y +=∴∞→∞→b a b a b =⇒+=∴2即n n n n y x ∞→∞→=lim lim.习题1-10 (B)3.设函数)(x f 在]1,0[上非负连续，且0)1()0(==f f ，试证：对)1,0(∈∀l ，必存在一点]1,0[0l x -∈，使)()(00l x f x f +=.证明：令)1,0(,)()()(∈∀+-=l l x f x f x F)(x f在]1,0[上连续，)(l x f +在]1,[l l --上连续，)(x F ∴在]1,0[l -上连续. 又)1()1()1()1(0)()()0()0(≥-=--=-≤-=-=l f f l f l F l f l f f F )0)((≥x f0)1()0(≤-⋅∴l F F (ⅰ)若0)0(=F ，取0=x ，即)()0(l f f =(ⅱ)若0)1(=-l F ，取lx -=10，即)1()1(f l f =-(ⅲ))01(,0)0(≠-≠l F F 0)1()0(<-⋅∴l F F 由零点存在定理，必存在一点]1,0[0l x -∈，使0)(0=x F ， 即)()(00l x f x f +=.综合(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，对)1,0(∈∀l ，必存在一点]1,0[0l x -∈，使)()(00l x f x f +=.总复习题一三.11.设)(x f 在],[b a 上连续，且)(x f 在],[b a 上无零点. 证明)(x f 在],[b a 上不变号.证明：(反证法)假设)(x f 在],[b a 变号，即],[,21b a x x ∈∃，使0)(,0)(21<>x f x f 即0)()(21<⋅x f x f)(x f 在],[b a 上连续，∴)(x f 在],[21x x 上连续.由零点存在定理知，),(),(21b a x x ⊂∈∃ξ，使0)(=ξf 即ξ是)(x f 在],[b a 上的一个零点. 这与)(x f 在],[b a 上无零点矛盾， )(x f ∴在],[b a 上不变号.。
北语网院20春《高等数学(上)》作业_1答案
(判断)24：零值定理是介值定理的一种特殊情况。
正确答案：对
(判断)25：当时，的等价无穷小量为。
正确答案：对
B：是的驻点且为极小值点
C：是的驻点但不是极值点
D：不是的驻点
正确答案：B
(单选)11：
A：(A)
B：(B)
C：(C)
D：(D)
正确答案：B
(单选)12：
A：(A)
B：(B)
C：(C)
D：(D)
正确答案：A
(单选)13：
A：(A)
B：(B)
C：(C)
D：(D)
正确答案：C
(单选)14：
A：(A)
B：(B)
正确答案：对
(判断)18：是的拐点。
正确答案：错
(判断)19：单调函数的导函数必为单调函数。
正确答案：错
(判断)20：两个函数商的导数等于这两个函数导数的商。
正确答案：错
(判断)21：一个函数如果可积，则该函数一定是连续的。
正确答案：错
(判断)22：曲线与在上所围成平面图形的面积为。
正确答案：对
(判断)23：若是在上的任意一个原函数，则。
B：(B)
C：(C)
D：(D)
正确答案：C
(单选)14：
A：(A)
B：(B)
C：(C)
D：(D)
正确答案：D
(单选)15：曲线所围成平面图形的面积S是（ ）
A：
B：
C：
D：
正确答案：A
(判断)16：函数的定义域一定是某个区间。
正确答案：错
(判断)17：定积分的几何意义为：由所围成曲边梯形面积的代数和。
C：(C)
(完整word版)高等数学上册作业1-9有答案
第一学期高等数学(一)作业（九） 三、计算下列各题班级： 姓名： 学号： 1、计算由x y =2及2-=x y 围成图形的面积.一、填空题1、曲线x y e =，x y -=e 与直线1=x 所围图形的面积为 .2、曲线424x x y -=与x 轴的正半轴所围图形的面积为 .3、由抛物线 22x x y -= 与x 轴围成的图形绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积为 .4、由曲线2x y =与1=x ，3=x 及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周，所形成的旋转体的体积为 .5、曲线⎰++=x t t t y 02d 34在10≤≤x 之间的曲线段的长度为 .二、单项选择题1、摆线)sin (t t a x-=，)cos 1(t a y -=（π20≤≤t ）及0=y 所围成图形的面积为 .（A ）2πa ； （B ）22πa ； （C ）23πa ； （D ）24πa . 2、曲线 λθe a r=（0>a ，0>λ） 上，从0=θ到αθ=的一段曲线的弧长为 .（A ）⎰+αλθθλ02d 1e a ； （B ）()⎰+αλθθλ02d e 1a ；（C ）()⎰+αλθθ02d e 1a ； （D ）⎰+αλθθλ02d 1e a .3、由曲线x y 42=，0=x ，4=y 围成的图形绕y 轴旋转一周，则所成的旋转体的体积为 .（A ）π564； （B ）π532； （C ）π316； （D ）π332. 4、一块高为a ，底为b 的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，则薄板每面所受的水压力是 .（水密度为ρ，重力加速度为g ）（A ）g abρ2； （B ）g b a ρ62； （C ）g b a ρ32； （D ）g b a ρ322. 5、曲线x y =， 0=+y x 及2=x 围成图形的面积为 .（A ）32； （B ）34； （C ）38； （D ）314.三、解答下列各题2、抛物线22y x =分割圆822≤+y x 成两部分，求各部分的面积.3、计算心形线)cos 1(θ-=a r （0>a ）的全长.4、计算圆的渐伸线)sin (cos t t t a x +=，)cos (sin t t t a y -=（π0≤≤t ）的弧长.5、设()t t x f x d 1)(1⎰--=（1-≥x ），求曲线)(x f y =与x 轴所围图形的面积.6、求由曲线2x y =，x y =2所围图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积.7、由曲线12+=x y ，0=x ，1=x 及x 轴围成的图形绕直线2=x 旋转一周，求所成旋转体的体积.8、计算由曲线θ2e =r 及0=θ，4π=θ围成图形的面积.参考答案一、 1、2ee 1-+-； 2、1564； 3、π38； 4、π5124； 5、23. 二、 1、（C ）； 2、（A ）； 3、（A ）； 4、（B ）； 5、（D ）. 三、 1、29； 2、34π2+或34π6-； 3、a 8； 4、2π2a ；5、2321+； 6、π103； 7、π623； 8、)1e (81π-.。
川大版高等数学(第一册)部分课后题详细答案
高数第一册 第一章 习题1.13.(1)(,1)(1,)(2){|1,}1(1,1)(1,)(3)(1,1)x x x R -∞-⋃-+∞≠±∈∞-⋃-⋃+∞-或（-，） （4）22903[3,1)(1,3]10x x x x x ⎧⎫-≥⇒-⎪⎪⇒--⋃⎨⎬-⇒⎪⎪⎩⎭≤ ≤3＞＞1或＜-12222(5)(,3)(6)sin 0,,()241(7)114(1),11(1)3x x k x k k z x x x x x x πππ-∞≠≠≠∈⎡⎤≤⇒≤⇒≤+⇒-⎢⎥++⎣⎦（8）0ln 0x x x x x ⎧⎫⇒⇒⎨⎬⇒⎩⎭＞ ＞0＞1＞＞1(9)[1,2]-（10）21()x x x f x x x x x x x x ⎧⎫⇒⎪⎪⎪⎪=⇒⇒≠⇒∴⎨⎬⎪⎪⎪⎪⇒⎩⎭-1 ＜00≤≤10即0＜＜1 ＜ 0和0＜≤2e 1≤≤27．(1)(2)(3)(4)(5)奇函数偶函数偶函数偶函数非奇非偶（6）2()()f x f x -=+=偶函数（7）11()lnln ()11x xf x f x x x+--==-=--+奇函数）（8）2112()()2112x xx xf x f x -----===-++奇函数（9）()sin cos f x x x -=--非奇非偶 13．（1）22(())(2)24,(())2,xxxx f x f f x x Rϕϕ====∈（2）11(())(0,1)111x f f x x xx-==≠--（3）32221,()(1)3(1)256()56(1)(1)5(1)6x t f t t t t t f x x x f x x x +==---+=-+∴=-++=+-++则x=t-1,或：14．[]22(1)(0)0.(2)0,111111(3)01(4)1lg ,lg 1,lg 1,.1(5)11()(6)1log (16)y x x y x y y x y x x y y y xx y x y y x xy xx x y x x x =≤≤+∞=≥=++===≠-+==-=--=≠-+∞⎧=≤≤∞反函数反函数x=,x-1=,x=1+反函数y ，定义域反函数定义域x ＞0反函数,定义域（x ）－＜＜1反函数16)＜＜+⎫⎪⎬⎪⎩⎭习题1.2 2。
高等数学 第一章 1.1 作业答案
习题1-1 第34页第4题 求下列函数的自然定义域（1）由题意知：320x +≥，解得23x ≥-. 因此x 的定义域为)2,3⎡-+∞⎢⎣ 备注：偶次根式的被开方数应该大于等于零。
（2）由题意知：210x -≠，解得：1x ≠±.因此x 的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞备注：分式的分母不能为零（3）由题意可知： 2010x x ≠⎧⎨-≥⎩解得 011x x ≠⎧⎨-≤≤⎩ 因此，函数的自然定义域为[)(]1,00,1-⋃备注：偶次根式的被开方数应该大于等于零；分式的分母不能为零（4）由题意可知：224040x x ⎧-≥⎪⎨-≠⎪⎩ 解得：22x -<<因此函数的自然定义域为()2,2-备注：偶次根式的被开方数应该大于等于零；分式的分母不能为零（5）由题意知0x ≥因此函数的自然定义域为[)0,+∞备注：偶次根式的被开方数应该大于等于零（6）由题意可知：12x k ππ+≠+，k Z ∈解得：12x k ππ≠+-因此函数的自然定义域为1,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+-∈⎨⎬⎩⎭备注：tan x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭（7）由题意知：131x -≤-≤解得：24x ≤≤因此函数的自然定义域为[]2,4备注：arcsin x 的定义域为[]1,1-（8）由题意可知：300x x -≥⎧⎨≠⎩ 解得：30x x ≤⎧⎨≠⎩ 因此函数的自然定义域为()(],00,3-∞⋃备注：偶次根式的被开方数应该大于等于零；分式的分母不能为零 arctan x 的自然定义域为R（9）由题意知：10x +>解得：1x >-因此函数的自然定义域为()1,-+∞备注：对数函数的真数要大于零（10）由题意知：0x ≠因此函数的自然定义域为()(),00,-∞⋃+∞ 备注：分式的分母不能为零，x e 的定义域为R。
高等数学1试卷(附答案)
一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）1． 由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是π。
2． 设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =，则2y dy dxx=-。
3． 函数2sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2441()3x x o x -+。
4．11dx =⎰。
5． 函数x x y cos 2+=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上的最大值为6π+。
6． 222222lim 12n nn n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭=4π。
二、选择题（共7小题，每小题3分，共21分）1. 设21cos sin ,0()1,0x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩，则0x =是()f x 的 D 。
A ．可去间断点 B ．跳跃间断点 C ．振荡间断点 D ．连续点暨南大学《高等数学I 》试卷A 考生姓名： 学号：2. 设()232x xf x =+-，则当0x →时，下列结论正确的是 B 。
A ．是等价无穷小与x x f )(B ．同阶但非等价无穷小与x x f )(C ．高阶的无穷小是比x x f )(D ．低阶的无穷小是比x x f )( 3.1+∞=⎰C 。
A ．不存在B ．0C ．2πD ．π4. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0lim ()1x f x →''=-，则下列叙述正确的是 A 。
A ．(0)f 是()f x 的极大值B ．(0)f 是()f x 的极小值C ．(0)f 不是()f x 的极值D ．(0)f 是()f x 的最小值5.曲线2x y d t π-=⎰的全长为 D 。
A ．1B ．2C ．3D ．46. 当,a b 为何值时，点( 1, 3 )为曲线32y ax bx =+的拐点？ A 。
A ．32a =-，92b = B. 32a =，92b =- C ．32a =-，92b =- D. 32a =，92b = 7. 曲线2xy x -=⋅的凸区间为 D 。
高等数学第一册教材答案
高等数学第一册教材答案一、导数与微分1. 函数与极限题目：求函数$f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 2$在点$x = 2$处的导数。
答案：经计算得，$f'(2) = 20$。
2. 导数的基本公式题目：计算函数$f(x) = \sin^2x + \cos^2x$的导数。
答案：由于$\sin^2x + \cos^2x = 1$，所以$f'(x) = 0$。
3. 高阶导数题目：求函数$f(x) = e^{-x}\cos x$的二阶导数。
答案：通过计算可以得到$f''(x) = -2e^{-x}\cos x$。
4. 隐函数与参数方程的导数题目：已知曲线的参数方程为$x = \cos t$，$y = \sin t$，求$\frac{{dy}}{{dx}}$。
答案：利用链式法则，可得$\frac{{dy}}{{dx}} = -\frac{{\sin t}}{{\cos t}}$。
二、微分中值定理与泰勒公式1. 极值与最值题目：求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$的极值点。
答案：对$f'(x)$进行求导，令导数等于零，解得$x = 1$或$x = 2$。
由二阶导数的正负性可判断出$x = 1$为极小值点，$x = 2$为极大值点。
2. 勒贝格（L'Hospital）法则题目：计算极限$\lim_{x \to 1} \frac{{e^x - e}}{{\ln(2x - 1)}}$。
答案：对分子和分母分别求导，得到$\lim_{x \to 1}\frac{{e^x}}{{2x - 1}}$。
再次应用L'Hospital法则，得到$\frac{{e}}{{2}}$。
3. 泰勒公式题目：利用泰勒公式展开函数$f(x) = \ln(1 + x)$到$x^3$的最高阶。
答案：泰勒公式的展开形式为$f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) +\frac{{f''(a)}}{{2!}}(x - a)^2 + \frac{{f'''(a)}}{{3!}}(x - a)^3 + \dots$，对$f(x) = \ln(1 + x)$进行求导后带入$a$，得到$f(x) = x - \frac{{x^2}}{{2}} + \frac{{x^3}}{{3}} + \dots$。