振动力学ch1习题题目
《振动力学》习题集(含答案)【精选】精心总结
解：（1）
利用 ，
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
故（2）为：
考虑到 的影响，则叠加后的 为：
2.1一弹簧质量系统沿光滑斜面作自由振动，如图T 2-1所示。已知， ，m= 1 kg，k= 49 N/cm，开始运动时弹簧无伸长，速度为零，求系统的运动规律。
图T 2-1答案图T 2-1
解：
， cm
rad/s
cm
2.2如图T 2-2所示，重物 悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物 从高度为h处自由下落到 上而无弹跳。求 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
，
，
2.1图E2.2所示系统中，已知m，c， ， ， 和 。求系统动力学方程和稳态响应。
图E2.1答案图E2.1(a)答案图E2.1(b)
解：
等价于分别为 和 的响应之和。先考虑 ，此时右端固结，系统等价为图（a），受力为图（b），故：
（1）
， ，
（1）的解可参照释义（2.56），为：
（2）
其中：
，
和 为串联（因为总变形为求和），故：
振动理论习题答案
《振动力学》——习题
第二章 单自由度系统的自由振动
2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
解：
2
22221v g
W h W =
，gh v 22=
动量守恒：
122
122v g
W W v g W +=，gh W W W v 221212+=
平衡位置：
11kx W =，k
W x 1
1=
1221kx W W =+，k
W W x 2
112+=
故：
k
W x x x 2
1120=
-= ()2
121W W kg
g W W k n +=+=
ω
故：
t
v t x t
x
t x x n n
n n n
n ωωωωωωsin cos sin cos 12
000+
-=+-=
x
x 0
x 1
x 12
平衡位置
2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角
2
a
＝h 2F ＝mg
由动量矩定理：
a
h a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12
1
2
2-=-≈⋅-===
=αθ
αθ
其中
1
2
cos
sin ≈≈θ
αα
h l ga p h
a mg ml n 2
22
2230
4121==⋅+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π22
2=
==
2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。试求
《振动力学》习题集(含答案)
《振动力学》习题集（含答案）
1.1质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动， 如图E1.1所示。求系统的固有频率。
l
x
m 1 m 图E1.1
解：
系统的动能为： T 1 2 m x l 2 1 2
I x
2 其中I 为杆关于铰点的转动惯量： I l 0 m 1 l dx 2 x l 0 m 1 l
x 2 dx 1 3 ml 1 2 则有： T 1 2 ml 11 22223 xmlx
1 66
m m 1 l 2 2 x 系统的势能为： Umgl1cosx mg 1 l 2
1 cos x
1 2
mglx 2 1 4 mglx 1 2
1 4
2m m 1 glx
2 n 和TU 可得： 利用xx 32m m 1 g
n
23m
m 1
l
1.2质量为m、半径为R的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a的A点系有两根弹性刚度系数为k的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。
k
A
a
C
R
图E1.2
解：
如图，令为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：
T 1
2
I B
21
2
mR
21
2
mR
223
4
mR
22
U
1
2
2kRakRa
2
22
利用n和TU可得：
2
4kRaRa4k
n
2
3mRR3m
1.3转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为 k ，k 和 12
k 的轴约束，如图E1.3所示。 3 求系统的固有频率。
J
k1k2k
3
图E1.3
解：
系统的动能为：
1 2
TJ
2
k 和k 3相当于串联，则有： 2
2,kk
322
33 以上两式联立可得：
k 3 2,
kk 23
3
k 2 k 2 k 3
《振动力学》习题集(含答案)
《振动力学》习题集（含答案）
质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图所示。求系统的固有频率。
图
-
解： 系统的动能为：
()2
22
121x I l x m T +=
其中I 为杆关于铰点的转动惯量：
210212
0131l m dx x l m x dx l m I l l
⎰⎰==⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
则有：
()2212212236
16121x l m m x l m x ml T +=+=
系统的势能为：
()()()2
1212124
1
4121 cos 12
cos 1glx m m glx m mglx x l
g m x mgl U +=+=-⋅
+-=
利用x x
n ω= 和U T =可得： [
()()l
m m g m m n 113223++=
ω
质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图所示。求系统的固有频率。
图
解：
:
如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：
22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+==
()[]()22
22
12θθa R k a R k U +=+⋅=
利用θωθn
= 和U T =可得： ()m
k
R a R mR a R k n 343422
+=
+=ω
：
转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图所示。求系统
的固有频率。
，
图
解： 系统的动能为：
2
2
1θ J T =
2k 和3k 相当于串联，则有：
《振动力学》习题集[含答案]
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《振动力学》习题集（含答案）
1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。求系统的固有频率。
图E1.1
解：
系统的动能为：
()2
22
121x I l x m T +=
其中I 为杆关于铰点的转动惯量：
2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭
⎫
⎝⎛=
则有：
()2212212236
16121x l m m x l m x ml T +=+=
系统的势能为：
()()()2
1212124
1
4121 cos 12
cos 1glx m m glx m mglx x l
g m x mgl U +=+=-⋅
+-=
利用x x
n ω= 和U T =可得：
()()l
m m g
m m n 113223++=
ω
1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。
图E1.2
解：
如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：
22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+==
()[]()22
22
12θθa R k a R k U +=+⋅=
利用θωθn
= 和U T =可得：
()m
k
R a R mR a R k n 34342
2
+=+=ω
1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3
解：
《振动力学》习题集(含答案)
ﻩﻩ(3）
故:
ﻩ由（3）得:
ﻩ2.5在图Ｅ2.3所示系统中,已知ｍ，c,k， 和 ,且t=0时， , ,求系统响应。验证系统响应为对初值的响应和零初值下对激励力响应的叠加。
图Ｅ2.3
解：
,
ﻩ求出C，D后,代入上面第一个方程即可得。
2.７由一对带偏心质量的等速反向旋转齿轮构成的振动机械安装在弹簧和阻尼器构成的支承上,如图E2.7所示。当齿轮转动角速度为 时,偏心质量惯性力在垂直方向大小为 。已知偏心重W= 125.5Ｎ,偏心距e=1５．0ｃm，支承弹簧总刚度系数k=９6７.７Ｎ/cm,测得垂直方向共振振幅 ，远离共振时垂直振幅趋近常值 。求支承阻尼器的阻尼比及在 运行时机器的垂直振幅。
解:
（1）保持水平位置：
ﻩ(2)微幅转动：
ﻩ故:
ﻩ2.10求图T 2-1０所示系统的固有频率，刚性杆的质量忽略不计。
图T 2－1０ﻩﻩﻩ答案图Ｔ2-10
解：
ﻩｍ的位置:
， ，
,
，
ﻩ2.１1图T 2-11所示是一个倒置的摆。摆球质量为ｍ，刚杆质量可忽略,每个弹簧的刚度为 。
(１）求倒摆作微幅振动时的固有频率；
图E1.2
解：
如图，令 为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：
利用 和 可得:
ﻩ1.3转动惯量为J的圆盘由三段抗扭刚度分别为 ， 和 的轴约束,如图Ｅ１.3所示。求系统的固有频率。
《振动力学》习题集(含答案)
《振动力学》习题集（含答案）
1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。求系统的固有频率。
图E1.1
解： 系统的动能为：
()2
22
121x I l x m T +=
其中I 为杆关于铰点的转动惯量：
2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭
⎫
⎝⎛=
则有：
()2212212236
16121x l m m x l m x ml T +=+=
系统的势能为：
()()()2
1212124
1
4121 cos 12
cos 1glx m m glx m mglx x l
g m x mgl U +=+=-⋅
+-=
利用x x
n ω= 和U T =可得： ()()l
m m g
m m n 113223++=
ω
1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。
图E1.2
解：
如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：
22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+==
()[]()22
22
12θθa R k a R k U +=+⋅=
利用θωθn
= 和U T =可得： ()m
k
R a R mR a R k n 34342
2
+=+=ω
1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3
振动力学习题集
2
振动力学》习题集（含答案）
质量为 m 的质点由长度为 l 、质量为 m 1 的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如 图所
示。求系统的固有频率。
解： 系统的动能为：
1 2 1 2 T m xl I x
22 其中 I 为杆关于铰点的转动惯量：
利用x
n
x 和T U 可得：
3 2m m 1 g
2 3m m 1 l
m
l 1dx
x 2
l m 1
x 2dx
l
m 1l
31
则有：
系统的势能为：
1 2 2 1 2 2
ml x m 1l x 2 6
1
1 2 2 3m m 1 l x
6
U mgl 1 cosx
m 1g cosx 1 2
mglx
1
4
m 1glx
1 2m
4
m 1 glx 2
图
质量为m、半径为R的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在
两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图所示。求系统的固有频率。
CA=a的A 点系有
解：
如图，令为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：
利用
1212 1 2 23
T I B mR2mR2 2mR
2B
224
1222
U2k Ra2 k R a
2
4k R a 2
3mR2R 3m
图
U 可
得：
n J k 2 k 3
转动惯量为 J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为 k 1 ， k 2 和 k 3 的轴约束，如图所示。求系
统的固有频率。
k 2
解：
系统的动能为：
12
J 2
k 2和 k 3相当于串联，则有：
以上两式联立可得：
系统的势能为：
k 2k 3 k 1 k 2 k 3
k 1 3
,
k 2
k 2
k 3
k 3
k 2
k 2 k 3
利用
U 12
k 1
k 2 22
12
k 3 k 1 k 2 k 3 k 2k 3 2
振动力学习题集
《振动力学》习题集（含答案）
质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图所示。求系统的固有频率。
图
解：
系统的动能为：
()2
22
121x I l x m T +=
其中I 为杆关于铰点的转动惯量：
2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭
⎫
⎝⎛=
则有：
()2212212236
16121x l m m x l m x ml T +=+=
系统的势能为：
()()()2
1212124
1
4121 cos 12
cos 1glx m m glx m mglx x l
g m x mgl U +=+=-⋅
+-=
利用x x
n ω= 和U T =可得： ()()l
m m g
m m n 113223++=
ω
质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图所示。求系统的固有频率。
图
解：
如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：
22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+==
()[]()22
22
12θθa R k a R k U +=+⋅=
利用θωθn = 和U T =可得：
()m
k
R a R mR a R k n 343422
+=
+=ω
转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，
2k 和3k 的轴约束，如图所示。求系统的固有频率。
图
解：
系统的动能为：
22
1θ J T =
2k 和3k 相当于串联，则有：
332232 , θθθθθk k =+=
振动力学课后习题答案
2.11 图T 2-11所示是一个倒置的摆。摆球质量为m ，刚杆质量可忽略，每个弹簧的刚
度为2
k 。 （1）求倒摆作微幅振动时的固有频率；
（2）摆球质量m 为0.9 kg 时，测得频率()n f 为1.5 Hz ，m 为1.8 kg 时，测得频率为0.75
Hz ，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？
图 T 2-1
答案图 T 2-11(1)
答案图 T 2-11(2)
解：（1）
2
222
121θθ ml I T ==
()()
()
2
22222
2
1
2121 cos 121212θθθθθmgl ka mgl ka mgl a k U -=-=--⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅=
利用max max U T =，max
max θωθn = ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-=-=12
2
222mgl ka l g l
g
ml ka ml mgl ka n ω ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
（2）
若取下面为平衡位置，求解如下：
2222
121θθ ml I T ==
()()
mgl
mgl ka mgl mgl ka mgl ka mgl a k U +-=-+=⎪
⎭⎫ ⎝⎛-+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=222222222
2
1
2121 2sin 2121cos 21212θθθθθθθ ()0=+U T dt
d ，()02222=-+θθθθ mgl ka ml
振动力学试题
1、质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅垂平面内作微幅摆动，如图所示。求系统的固有频率。
2、质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图所示。求系统的固有频率。
3、图T 2-11所示是一个倒置的摆。摆球质量为m ，刚杆质量可忽略，每个弹簧的刚度为
2
k
。求倒摆作微幅振动时的固有频率。
4、转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图所示。求系统的固有频率。
5、在图所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。求固有频率。
6、如图所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为I 0，求系统的固有频率。
mg b
a
a F +=
2 x x 2
7、求图T 2-10所示系统的固有频率，刚性杆的质量忽略不计。
8、求图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是1k 及3k ，悬臂梁的质量忽略不计。
9、一种位移计的结构如图2-7所示。质量块重W ，摇臂AB 绕支点O 的转动惯量为I
，
x 1
x A
两个弹簧的刚度为1k 及2k ，求系统的固有频率。
c
b
B O W
k 1k 2
A
10、用近似估算的方法（瑞利法）计算图所示系统的基频。
11、如图所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上而无弹跳。求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
12、图所示的系统中，四个弹簧均未受力，k 1= k 2= k 3= k 4= k ，试问：
振动力学参考答案
总能量
m
O
(F ) 0
，
k1 1a m1 ga k3 3b k 2 2 l 0
2-8
一长度为 l、 质量为 m 的均质刚性杆铰
（A） 由题意可知，系统势能为
V
接于 O 点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如题 2-8 图所示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数
1 1 1 和阻尼固有频率的表达式。 k1[(a 1 ) 2 12 ] k 3 [(b 3 ) 2 32 ] k 2 [(l 2 ) 2 22 ] m1 ga 2 2 2 解：图（1 ）为系统的静平衡位置，画受力 （B） 图如（2） 。由动量矩定理，列系统的运动微分方 将（A）式代入（B）式，可得系统最大势能为， 程为： 1 1 1 2 2 2 2 2 2 c l 2 ka 2 0 I 0 Vmax k1 a k 3 b k 2 l 2 2 2 1 I 0 ml 2 Tmax Vmax 3 由， 1 1 1 2 2 2 2 2 I O 2 pn m1 2 p n a 2 pn l 2 2 2
所以：x = cos4.875t+
解：
m pn 1 2
2
， 三个方程联立，解得：
pd
pn n
2
2
，
n pn
《振动力学》习题集(含答案)
《振动力学》习题集（含答案）
1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。求系统的固有频率。
图E1.1
解： 系统的动能为：
()2
22
121x I l x m T +=
其中I 为杆关于铰点的转动惯量：
2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭
⎫
⎝⎛=
则有：
()2212212236
16121x l m m x l m x ml T +=+=
系统的势能为：
()()()2
1212124
1
4121 cos 12
cos 1glx m m glx m mglx x l
g m x mgl U +=+=-⋅
+-=
利用x x
n ω= 和U T =可得： ()()l
m m g
m m n 113223++=
ω
1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。
图E1.2
解：
如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：
22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+==
()[]()22
22
12θθa R k a R k U +=+⋅=
利用θωθn
= 和U T =可得： ()m
k
R a R mR a R k n 34342
2
+=+=ω
1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。
求系统的固有频率。
图E1.3
振动力学习题答案
请打双面
习题与综合训练 第一章
2-1 一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子
高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。
解：由于两根杆都是弹性的，可
以看作是两根相同的弹簧的并联。
等效弹簧系数为k
则 mg k δ=
其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知
δ=324mgh EJ =
则 k =3
24EJ h
设静平衡位置水平向右为正方向，则有 "
m x kx =-
所以固有频率
3n 24mh EJ p =
2-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角θ
2a
θ＝h α
2F ＝mg
由动量矩定理： a
h a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12
1
2
2-=-≈⋅-===
=αθ
αθ
其中
1
2c o s s i n ≈≈θ
αα
h l ga p h
a mg ml n 2
22
2
2304121==⋅+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π22
2=
== 2-3 求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁
端点的刚度分别是1k 和3k ，悬臂梁的质量忽略不计。
解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。即为
21211k k k k k +='，
振动理论习题答案汇总
《振动力学》——习题
第二章 单自由度系统的自由振动
2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
解：
2
22221v g
W h W =
，gh v 22=
动量守恒：
122
122v g
W W v g W +=，gh W W W v 221212+=
平衡位置：
11kx W =，k
W x 1
1=
1221kx W W =+，k
W W x 2
112+=
故：
k
W x x x 2
1120=
-= ()2
121W W kg
g W W k n +=+=
ω
故：
t
v t x t
x
t x x n n
n n n
n ωωωωωωsin cos sin cos 12
000+
-=+-=
x
x 0
x 1
x 12
平衡位置
2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角θ
2a
θ＝h α
2F ＝mg
由动量矩定理：
a
h a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12
12
2
-=-≈⋅-====αθ
αθ
其中
1
2cos
sin ≈≈θ
αα
h l ga p h
a mg ml n 2
22
2
2304121==⋅+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π22
2=
==
2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。试求
振动习题答案分析解析
《振动力学》——习题
第二章 单自由度系统的自由振动
2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
解：
2
22221v g
W h W =
，gh v 22=
动量守恒：
122
122v g
W W v g W +=，gh W W W v 221212+=
平衡位置：
11kx W =，k
W x 1
1=
1221kx W W =+，k
W W x 2
112+=
故：
k
W x x x 2
1120=
-= ()2
121W W kg
g W W k n +=+=
ω
故：
t
v t x t
x
t x x n n
n n n
n ωωωωωωsin cos sin cos 12
000+
-=+-=
x
x 0
x 1
x 12
平衡位置
2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角θ
2a
θ＝h α
2F ＝mg
由动量矩定理：
a
h a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12
12
2
-=-≈⋅-====αθ
αθ
其中
1
2cos
sin ≈≈θ
αα
h l ga p h
a mg ml n 2
22
22304121==⋅+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π22
2=
==
2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。试求
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习题 1．12 利用图示装置测某液体的粘度系数 。一等厚薄板质量为 M，面
积为 A，悬挂于弹簧 K 上。先使系统在空气中自由振 动，测得周期为 T1 ， （空气阻力忽略不计） 。然后放入被 已知薄板受到的 测液体中作衰减振动， 测得周期为 T2 。 阻尼力 F
2 Av ， （ v 为相对速度） ，试证明
习题 1．10 质量 m 2000 kg ，以匀速度 v 0.03m / s 运动，与弹簧 K、阻尼器 C 相撞后 一起作自由振动，如图所示。已知 K 48020N / m ， C 1960N s / m 。问质 量 m 在相撞后多少时间达到最大振幅？最大振幅是多大？
1． 11 求图示系统的动力学方程， 并给出存在往复运动的条件。 设 t=0 时质量的位移为 x0， 速度为 v0，弹簧的伸长为 a，求运动规律。
习题 1．4 在图示系统中，已知 ki（i=1,2,3） ，m，a 和 b， 横杆质量不计， 求系统的固有频率。
习题 1．6 两串联的弹簧悬挂质量 m 的物体。弹簧的刚度分别为 ki （i=1,2） ，长度为 li（i=1,2） ，单位长度质量为ρli（i=1,2） ，求系 统的固有频率。
习题 1．7 质ຫໍສະໝຸດ Baidu m1 在倾角为α的光滑斜面上从高 h 处滑下无反弹碰撞质量 m2，确定系 统由此产生的振动。
2M T22 T12 AT1T2
习题 1．1 质量为 m 的质点由长度为 l、质量为 m1 的均质细杆约束 在铅垂平面内做微幅摆动，求系统的固有频率。
习题 1．2 质量为 m、半径为 R 的均质柱体在水平面上作无滑 动的微幅滚动，在 CA=a 的 A 点系有两根刚度系数为 k 的水平 弹簧，求系统的固有频率。
习题 1．3 转动惯量为 J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为 k1,k2 和 k3 的轴约束， 求系统的固有 频率。
习题 1.8 不计质量的等截面悬臂梁长为 L，抗弯刚度为 EI，自由端有集中质量 m1 和 m2。梁静止时突 然释放质量 m1。试求 m2 的自由振动。
长为 l 的均匀杆及弹簧 K、 阻尼器 C 组成。 习题 1． 9 图示系统由一质量为 m， 试以杆的偏角为广义坐标建立系统的动力学方程，给出存在自由振动的条件。若 在弹簧原长处立即释手， 试求杆的最大振幅和发生时间、 最大角速度和发生时间。 是否发生在过平衡位置时？